TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓNConducción en régimen permanente unidireccional. Problema 1. Un horno cerámico está revestido por una placa plana de 40 cm. de espesor, cuya conductividad térmica presenta una variación con la temperatura de la forma: K (T ) = K 0 (1 + bT ) = 0.5(1 + 0.001T ) (W/mºC, T en ºC) Si la temperatura en la superficie exterior (en contacto con el ambiente) es de 50 ºC y en la superficie interior (en contacto con la llama) es de 1500 ºC, calcular: a) Distribución de temperaturas a lo largo de la placa. b) Valores de la conductividad térmica para x=10 cm. y x=20 cm. c) Error cometido al calcular la temperatura con una conductividad térmica correspondiente a la temperatura media entre las dos superficies extremas. Problema 2. Una pared plana está compuesta por dos capas de diferente material, cada una de las cuales tiene un espesor de 20 cm. Uno de los lados de dicha pared está aislado y se encuentra a una temperatura media de 50 ºC. Sabiendo que la capa aislada presenta una conductividad térmica de 15 W/mºC y que en ella se genera calor a razón de 1000 W/m3, y que la otra capa presenta un valor de K igual a 20 W/mºC, calcular: a) Temperatura en la unión de las dos capas y en la superficie exterior. (Resultado: Tunión=48.67 ºC, Tsup. exterior= 46.67 ºC) b) Dibujar el perfil de temperaturas. Problema 3. Un cable eléctrico está aislado por una vaina compuesta de un material cuya conductividad térmica es de 0.5 kcal/h.m.ºC y ésta, a su vez, está en contacto con un fluido cuyo coeficiente de película es de 10 kcal/h.m2.ºC. Si el diámetro del cable sin aislar es de 10 mm., calcular: a) Espesor del material de recubrimiento que producirá máximo flujo de calor. (Resultado: 5 cm.) b) Si el recubrimiento está formado por capas de 10 mm. de espesor, ¿cuántas de éstas serán necesarias para que el flujo de calor sea máximo? (Resultado: 5 capas) Problema 4. En el interior de un cable conductor eléctrico, inicialmente sin aislar y suspendido en el aire, se genera un calentamiento por efecto Joule de 1W/m. La superficie del conductor, cuyo radio es de 0.5 mm., presenta una diferencia de temperatura con el ambiente de 30 K. Se propone cubrir el citado conductor con un aislante plástico de 0.25 mm. de espesor y cuya conductividad térmica es de 0.35 W/mK. Dicha cubierta, ¿mejorará el contacto térmico con el ambiente o presentará un efecto aislante?. Para verificar la respuesta, calcular la nueva diferencia de temperatura entre la superficie del conductor y el ambiente. Problema 5. Un microprocesador, que se supone de espesor despreciable, está unido a una placa de circuito impreso de aluminio (Kaluminio=238 W/mK) de 8 mm. de espesor mediante una capa de resina, cuyo espesor también se considera despreciable, a la cual se puede asociar una resistencia térmica de contacto de 0.9×10-4 m2K/W. La cara superior del microprocesador y la inferior de la placa base están en contacto con aire a 298 K y un valor del coeficiente de transmisión de calor por convección de 100 W/m2K. Si en condiciones normales el microprocesador disipa calor a razón de 10 kW/m2, ¿cuál será su temperatura de funcionamiento?. (Resultado: T=348.3 K) Problema 6. Una pared de un cerramiento, de los habitualmente empleados en edificación, está compuesta de diferentes capas de material como muestra la figura. Si la cámara de aire presenta una 1 2 W/mK K=0. exterior=54. Coef.5 mm. Aislante: Ladrillo: e= 0.m.3 W/mK K=0. del centro.47 ºC. Enlucido Aislante Exterior Cemento Ladrillo doble Datos: Coef.12 m. Sabiendo que el ambiente que envuelve al tubo está a 20 ºC. de diámetro interior y 2.04 m.83 kcal/h. de valor 10 W/m2K.05 kcal/h. Sabiendo que la temperatura en el interior de la cámara debe ser de –30 ºC y que la ganancia máxima de calor a través de la pared es de 10 W/m2.96 ºC) c) Temperatura en un punto situado a 80 mm.1 W/m2K) b) Calor perdido por m2 de cerramiento. Interior K=1.52 ºC. El tubo está constituido de hierro fundido (Khierro=45 kcal/h. de película exterior: Interior 2 hi=15 W/m2K K=0. respectivamente.m2.42 W/mK K=0. calcular: a) Calor perdido al ambiente por metro de longitud de tubería. Para cumplir el objetivo. calcular la posición dentro de la pared en la que se puede empezar a producir congelación (Resultado: 0.05 m. de espesor se utiliza para trasegar un fluido que se encuentra a 180 ºC. de película interior: Enlucido: e= 0.ºC. de radio exterior y 4 mm.m.21 m2K/W y los coeficientes de película de los ambientes que envuelven a las superficies interior y exterior son iguales.resistencia térmica de 0. (Resultado: Tsup.2 W/m2) c) ¿En que proporción se reduce el calor transmitido si la cámara de aire se rellena con un material aislante de conductividad 0. y que los coeficientes de película interior y exterior son. así como en las superficies interior y exterior.02 m.02 m.42 W/mK Rt=0. de espesor.03 W/mK?.=113. y se encuentra aislado del ambiente por una capa de lana de vidrio de 20 mm. Cemento: e= 0.26 W/mK Problema 7. calcular: a) Coeficiente global de transmisión de calor.m2.01 m. interior=179. (Resultado: φ=20. Por el interior de dicha tubería circula un fluido refrigerante que provoca una temperatura en la superficie interior de –10 ºC.ºC). Tunión tubo-aislante=179. Ladrillo doble: e= 0.7 %) Ladrillo doble Yeso Cámara de aire Cemento Exterior Ladrillo simple Datos: Cemento: e= 0.ºC. desde interior del cerramiento). Un tubo de 70 mm.4 W/mK he=15 W/m2K .ºC?.87 W/mK K=1. La temperatura ambiente exterior para el proyecto de una cámara frigorífica se considera de 20 ºC. Yeso: e= 0.2 ºC) Problema 9.025 W/mK K=0.21 m2K/W K=0. Ladrillo simple: e= 0. (Resultado: U=1.m.083 m.0648 kcal/h. Sabiendo que la temperatura ambiente es de 22 ºC y que el coeficiente de película con dicho ambiente es de 10 kcal/h. (Resultado: 55. sabiendo que la temperatura interior es de 23 ºC y que la Tª exterior es de 5 ºC. se dispone de un material aislante cuya conductividad térmica es de 0. (Resultado: Q/L = 200.m. de espesor y conductividad térmica 0. Tsup.ºC y 10 kcal/h.01 m. NOTA: Temperatura de rocío del aire en condiciones ambientales = 14 ºC Problema 8.m) b) Temperatura en todas las uniones de materiales.ºC. Aire: e= 0. Se desea evitar la condensación atmosférica sobre una tubería de 50 mm. ¿cuál será el espesor de aislante necesario para que no se produzca condensación si la conductividad térmica de la tubería es de 332 kcal/h. (Resultado: Tr=80 cm.m2. iguales a 1000 kcal/h.2 m.ºC. Para el almacenamiento de residuos radiactivos (Krr=20 W/mK) se utilizan contenedores cilíndricos de acero (Ka=15 W/mK) de radios interior y exterior 0.5 m y está recubierto de un material aislante de 25 mm de espesor (Kaislante=0. y c=-50 ºC/m2. b) Variación con el tiempo de la energía almacenada en el muro. El diámetro del contenedor es de 0. (Resultado: Qent=120 kW.5 m. T1 = 400 K y T2 = 600 K. y medio homogéneo con propiedades constantes.8 K) b) Obtener una expresión para la distribución de temperatura en el interior del cilindro.017 W/mK). 3 . Los bordes de dicho sólido se encuentran en x1 = 50 mm. y x2 = 250 mm. Asumir condiciones estacionarias. La distribución de temperaturas a través de un muro de 1 m.25. c) Evaluar la temperatura en el eje. K=40 W/mK. y x=0. cuya superficie exterior está expuesta a aire ambiente a una temperatura de 300 K y con un coeficiente de película de 20 W/m2K. (Resultado: 127.96×10-4 ºC/s) NOTA: Suponer conducción unidimensional en la dirección x. de sección transversal al flujo 10 m2.3 K) Problema 11. como el representado en la figura. Las temperaturas de dichos bordes son.6 m. (Resultado: E=30 kW). mientras que la superficie lateral está perfectamente aislada. y suponer despreciable el espesor de la pared del contenedor. mientras que a=900 ºC. y 0. Ecuación general de la conducción del calor: ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T + K ρC p = K + K + g ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Problema 12.Problema 10. La energía generada por el material radiactivo es de 105 W/m3. (Resultado: Tsup. y que abandona el muro (x=1 m). K = 3. Qsal=160 kW). (Resultado: ∂T/∂t = -4. (Resultado: 54. b=-300 ºC/m. c) Variación de la temperatura con el tiempo en x=0. interior=470. En el interior de la pared. y cp=4 kJ/kgK.46 W/mK). Un contenedor metálico de forma esférica se emplea para almacenar nitrógeno líquido a 77 K.9 kg/día) NOTA: Despreciar la resistencia térmica de transferencia de calor entre el nitrógeno y el contenedor. de sección transversal circular con diámetro D = a.025 m. Se dispone de un sólido con forma cónica (fabricado de cerámica. exterior=318. (Resultado: T(r=0)=783. existe una generación uniforme de calor de 1000 W/m3. respectivamente. Calcular: a) Calor transferido al nitrógeno (W).07 W) b) Cantidad de nitrógeno líquido evaporado cada día (kg/día). El calor latente de vaporización del nitrógeno líquido es de 2×105 J/kg. de espesor en un instante determinado viene dada por: T ( x ) = a + bx + cx 2 donde T está en ºC y x en metros. Si las propiedades de dicha pared son ρ=1600 kg/m3. respectivamente.8 K. calcular: a) Tasa de calor (W) que entra al muro (x=0 m). siendo a = 0.x.5 m. Tsup. y la superficie exterior del conductor está expuesta a un flujo de agua con h=1000 W/m2K y temperatura del fluido igual a 298 K. Problema 13. Calcular: a) Temperaturas en las superficies interna y externa del contenedor. Asumiendo condiciones estacionarias y conducción unidimensional en dirección radial. r1=20 cm. de radio r3. en forma simbólica. Ts3=600 K y T∞=290 K. (Resultado: h=585. se pide: 1 2 r1 Aislante g0 . La barra está refrigerada por agua. En el interior de una barra cilíndrica de un cierto material se genera uniformemente calor a razón de g0=24. El cilindro 1 (cilindro exterior). en el cual no existe generación de calor. en función de los datos necesarios de entre los que se muestran en la figura. K1 r2 r3 T∞ Ts3 a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura. g0=1.T2 T1 x x1 x2 Se pide: a) Obtener una expresión. ¿Dónde se alcanza la máxima temperatura en dicho cilindro? b) Calcular el valor del coeficiente de transmisión de calor por convección en la superficie interior de la configuración. (Resultado: Tmax=827. está perfectamente aislado en su superficie exterior. (Resultado: Q=-2. K1=30 W/mK. NOTA: • • • Considerar condiciones estacionarias y propiedades del fluido constantes Asumir conducción unidimensional en dirección radial Despreciar las resistencias térmicas de contacto en las uniones de los materiales 4 . La superficie interior del cilindro 2 (de radio r1). Asumir conducción unidireccional. El diámetro de la barra es de 3 cm. ¿cuál será la temperatura máxima que alcanzará el cilindro si el agua se mantiene a una temperatura de 190 ºC?. y su conductividad térmica tiene un valor de K=30 W/m ºC. b) Calcular la tasa de calor (W) a través del cono. r3=50 cm.107 W/m3. siendo el coeficiente de convección barra-agua de 9580 W/m2 ºC.12 W) Problema 14.9 ºC) Problema 15. Si la configuración ha sido diseñada para que el máximo valor de la temperatura en la superficie aislada (r=r3) sea igual a Ts3. T(r). r2=30 cm. sin generación interna de calor y condiciones estacionarias. para la distribución de temperatura en el interior del sólido. de conductividad térmica constante K1 y en cuyo interior existe una generación uniforme de calor go (W/m3).105 W/m3. sabiendo que la conductividad térmica del tubo interior es K2=20 W/mK. en el interior del cilindro 1. La configuración mostrada en la figura está constituida por dos cilindros concéntricos de diferente material. se encuentra refrigerada por un flujo de agua cuya temperatura media es T∞.9 W/m2K) c) Dibujar un croquis en el cual se muestre la variación de la temperatura con la coordenada radial. aislada perfectamente por su parte inferior (espacio entre conductos).3 K) c) Calor (W) transferido al agua que circula por el interior de cada tubo. y se supone que el 10% del calor generado en el calentador se pierde a través del aislamiento. • Despreciar las pérdidas de calor por radiación en la parte superior de la placa absorbente • Asumir conducción unidireccional en la dirección x Problema 18.5 W/mK. están unidos directamente a la capa absorbente del colector. (Resultado: Tmax=333.• La ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas viene dada por: 1 ∂ ∂T 1 ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T K + K rK + 2 + g = ρC p r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂ϕ ∂z ∂z ∂t Problema 16. se pide: 5 . En una instalación de tratamiento de alimentos se requiere almacenar agua caliente y mantenerla a una temperatura de 100 ºC. espaciados una distancia de 0. En condiciones estacionarias de funcionamiento. siendo K0 y b constantes.2 m entre ejes y por cuyo interior circula agua a una temperatura uniforme de 330 K. el agua se introduce en un recipiente esférico de radio interior r1=40 cm.2 m NOTA: • Dada la elevada conductividad del cobre. es decir. Dicha capa absorbente. Supóngase una pared plana cuya conductividad térmica presenta una variación con la temperatura de la forma K(T)=K0(1+bT). Si la temperatura en la superficie interior del recipiente es igual a la temperatura del agua (100 ºC). está separada del exterior por una cubierta totalmente transparente. el cual se encuentra recubierto por un calentador eléctrico de 500 W y aislado en su superficie exterior. Un colector solar de baja temperatura presenta la configuración que se muestra en la figura. se puede calcular como: T −T φ = Km 1 2 e donde “e” es el espesor de la pared y “Km” el valor de la conductividad térmica evaluado a la temperatura media aritmética entre las dos superficies extremas. Los conductos de cobre. Para ello. habiendo realizado el vacío en el espacio de separación entre la cubierta y el absorbente. Si T1 y T2 (T1>T2) son las temperaturas en las superficies extremas de dicha pared. φ(W/m2). (Resultado: Q=80 W) Cubierta transparente φrad Vacío Placa absorbente t Aislante L Conducto de cobre x Datos: Espesor de la placa absorbente: t=6 mm Anchura de la placa absorbente: w=1 m Conductividad térmica de la placa absorbente: K=200 W/mK Distancia entre ejes de los tubos de cobre: L=0. b K m = K 0 1 + (T1 + T2 ) 2 Problema 17. demostrar que el flujo de calor. el flujo de calor radiante que incide sobre el colector es de 800 W/m2. T(x). radio exterior r2=41 cm y conductividad térmica K=1. b) Valor de la máxima temperatura en dicha placa. En estas condiciones. considerar que la temperatura de la placa absorbente encima de los tubos es igual a la temperatura del agua. obtener: a) Una expresión para la distribución de temperatura en la placa absorbente. 18kJ/kgK Problema 19. (Resultado: Ts2=101. Ts2. Obtener la expresión de la resistencia térmica de conducción en una esfera de radios interior y exterior r1 y r2 respectivamente. cuya conductividad térmica es K (W/mK). T(r). dicha superficie se expone a un flujo de calor uniforme procedente de la radiación emitida por una fuente radiactiva cilíndrica. r1. Las temperaturas en las superficies extremas de dicha esfera son T1 (superficie interior) y T2 (superficie exterior). calcular la tasa de calor por unidad de longitud (W/m) que debe suministrar la fuente radiactiva para mantener la temperatura de la superficie interna igual a Ts1= 420 K. mientras que la temperatura de la superficie externa es constante de valor Ts2= 300 K. T(r). Ts2. asumiendo condiciones estacionarias y conducción unidireccional en dirección radial.a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura. y su conductividad térmica es K=10 W/mK. en coordenadas cilíndricas viene dada por: 1 d dT rK + g0 = 0 r dr dr siendo g0 la generación interna de calor (W/m3). 6 . cp(agua)=4. b) Calcular la temperatura de la superficie exterior del contenedor.5 ºC) c) Caudal de agua (kg/s) a 100ºC que puede suministrar el recipiente si el agua entra al mismo a 20ºC. y la fuente radiactiva proporciona calor a razón de φ0 (W/m2). en la pared del conducto en función de φ0. (Resultado: Q(W/m)=18007) NOTA: La ecuación general de la conducción del calor. en la pared del contenedor. El espacio de separación entre la fuente y el conducto ha sido evacuado (vacío). Si la superficie exterior del conducto se mantiene a una temperatura uniforme igual a Ts2. se pide: a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura. Problema 20. Para conseguir las propiedades requeridas en la superficie interior de un conducto cilíndrico de plástico. en la cual no existe generación interna de calor.00134 kg/s) Aislante r1 Calentador eléctrico r2 Agua Recipiente esférico Ts2 NOTA: Considerar condiciones estacionarias y conducción unidimensional en dirección radial. r2 y K b) Si los radios interior y exterior del conducto son r1=25 mm y r2=38 mm respectivamente. y su conductividad térmica es constante e igual a K. (Resultado: m=0. para las siguientes condiciones de contorno. sección transversal A=300 cm2 y cuya conductividad térmica es K=15 W/mK. h. siendo la potencia de dichas resistencias igual a Q0=1200 W. Se pide: a) Obtener una expresión para la variación de temperatura en la placa base (T(x)). Debido a que la parte superior de la plancha está bien aislada. La ecuación general de la conducción aplicada al problema viene dada por: d dT K =0 dx dx 7 .5 cm. K. La superficie interior de la placa base está sometida a un flujo de calor uniforme debido a unas resistencias eléctricas adosadas a la misma. en función de los parámetros conocidos (T∞.Fuente radiactiva Conducto de plástico Ts1 φ0 Vacío Ts2 r1 r2 Problema 21. L. Text=793 K) NOTA: Considerar condiciones estacionarias y conducción unidimensional en la dirección x Problema 22. siendo la temperatura del aire T∞=293 K y el coeficiente de película h = 80 W/m2K. Considérese la placa base de una plancha doméstica que tiene un espesor L= 0. Q0) b) Calcular las temperaturas en las superficies interior y exterior (Resultado: Tint=806. a) Flujo de calor y temperatura constantes en la superficie ubicada en x=0 (φ0=40 W/cm2 y T0=15 ºC) b) Flujo de calor constante en la superficie ubicada tanto en x=0 (φ0=40 W/cm2) como en x=L (φL=-30 W/cm2) c) Flujo de calor constante en la superficie ubicada tanto en x=0 (φ0=40 W/cm2) como en x=L (φL=40 W/cm2) NOTA: Asumir conducción unidimensional en la dirección x y que no existe generación interna de calor. Obtener una expresión para la distribución de temperatura (T(x)) en una pared plana de espesor L y conductividad térmica constante K. A.3 K. Comentar brevemente los resultados obtenidos. todo el calor disipado por las resistencias se transfiere a la placa base a través de su superficie interior. La superficie exterior de dicha placa está en contacto con aire. Una pared plana está compuesta por tres capas (A.Problema 23. Nota: Despreciar la resistencia térmica de contacto en las uniones entre los diferentes materiales 8 . En la capa central (capa B) existe una generación interna de calor uniforme de 1000 W/m3. Uno de los lados de dicha pared se encuentra perfectamente aislado. mientras que el otro se encuentra sometido a un ambiente convectivo (h∞=10 W/m2K. b) Obtener la expresión del perfil de temperatura y del flujo de calor en cada una de las capas. así como en las dos superficies intermedias (separación entre A-B y B-C). Si la conductividad térmica de cada una de las capas es KA=KC= 20 W/mK y KB = 50 W/mK. cada una de las cuales presenta un espesor e = 20 cm. T∞ = 25 ºC). B y C) de diferente material (ver figura adjunta). se pide: a) Calcular la temperatura y el flujo de calor en la pared aislada y en la pared sometida a convección.