Problema 1: El caso de MOVE-U TRUCK RENTAL COMPANYModelos cuantitativos para la administración, Davis & MCKeown La Move-U Truck Rental Company se especializa en el arrendamiento de camiones a personas que sean realizare sus propias mudanzas. El gerente de distribución de la compañía, G I Miller, está considerando aplicar un “cargo por traslado” para cubrir el costo de enviar camiones desde las áreas en las que hay sobrantes a otros lugares en los que se necesitan. Antes de decidir si debe aplicar el cargo por traslado al costo de arrendamiento de los camiones que se dirigen a áreas en las que hay sobrantes, desea determinar la proporción del número total de camiones que, a largo plazo, acabarían en cada una de las áreas de renta. Si las proporciones son aproximadamente las mismas, el cargo por traslado será innecesario; si no es así, el cargo dependerá de la proporción del total que termine en cada región G I ha dividido la parte del país que atiende la compañía en tres regiones: norte, central y sur. De registros previos se ha determinado que de los camiones que se rentan cada mes en el norte, 20% van a una ciudad del norte, 30% terminan en la región central y 50% se devuelven a la compañía en la región sur. De manera similar, la compañía ha determinado que, cada mes, 40% de los camiones que se rentan en la región central se devuelven en la misma, 30% se devuelven en el norte y el 30% restante se devuelve en el sur. Por último, de los camiones que se rentan cada mes en la región sur, 20% se devuelven en el norte y 40% en la región central. En este momento, 40% de los camiones se encuentran en el norte, 30% en la parte central y 30% están en la región sur. Dado el patrón de movimientos de los camiones, la Move-U Company está interesada en saber lo siguiente: 1. ¿Qué proporción de los camiones se encontrará en cada región después de un mes?, ¿Después de dos meses? 2. ¿Qué proporción de los camiones estará en cada región después de un periodo “largo”? Análisis del caso Puede construirse una tabla para resumir la información referente a la proporción de camiones que tienen en una región de origen y llegan a otra de destino. Región donde Región donde se devuelve se renta Norte Central Sur Norte 0.2 0.3 0.5 Central 0.3 0.4 0.3 Sur 0.2 0.4 0.4 Proporción de camiones que se regresan a cada región En esta tabla, la región donde se renta el camión se lista en el extremo izquierdo y la región en donde se devuelve el camión aparece en la parte superior. Por ejemplo, observando el primer renglón de la tabla y la primera columna, puede verse que 20% de los camiones que se rentan en el norte se devuelven el mismo norte. 1 09 0.3 Central Norte 0.2 0. se muestra el diagrama de árbol para un camión que se renta en la región NORTE en el mes 0.04 0. lo que significa que un camión rentado debe ir a algún lado. es decir.5 Sur 0. La región en la que se devuelve un camión depende sólo de la región en que fue rentado 3. Abreviando.0 Nótese también que la región en la que se regresa un camión depende solamente de la región en la que se rentó.2 Norte 0.Otra forma de plantear esta relación. Si un camión fue rentado alguna vez en la región central.4 0. significa que esta situación satisface las consideraciones básicas de los proceso de Markov (propiedad markoviana).4 Sur 2 0. las principales consideraciones de las cadenas de Markov aplicadas al ejemplo son 1.3 Central 0.10 0. no afecta el lugar en que se le regrese si ahora se renta en el norte. 2.06 0. Presentación de cadenas de Mrakov a través de un árbol Un método ilustrativo para responder las primeras preguntas referentes a la flotilla de camiones consiste en utilizar un enfoque de “árbol”.2 de que un camión rentado en el norte sea regresado en la misma región (norte).3 0. la suma de las probabilidades es uno. en la siguiente figura. Hay incertidumbre con respecto a la región en la que se devolverán los camiones y es posible medir esta incertidumbre a través de probabilidades.0 Central 0. Obsérvese que para cualquier región.4 0.2 0. es que existe una probabilidad de 0. o ensayos.5 Sur Norte 0. Ubicación Probabilidad de cada en el ubicación en el mes 2 mes 2 Ubicación en el mes 1 Ubicación en el mes 0 0. Habrá ocurrencias repetidas.09 0.4 Central 0.5 = 1.0 Sur 0.20 . Una consideración adicional para los problemas de este tipo es que habrá ocurrencias repetidas del evento bajo estudio. es decir.4 Central 0.4 = 1. se rentan camiones en las mismas circunstancias. Norte Central Sur Suma Norte 0.2 Norte 0.3 = 1.10 0. El hecho de que haya una probabilidad asociada con el lugar en el que se devolverán los camiones y que esta región en la que se devuelven dependa solo de la región en la que se rente.12 0. el estado final del camión depende sólo de su estado más reciente.3 Sur 0.20 0.3 Norte 0.2 0.3 0. 3 0.3 S N C S 0.5 Vector de probabilidad después de un mes Para el segundo mes (empezando en el norte) se repiten los cálculos: N 0.10 = 0.06 + 0.5 0.39 Utilizando la notación matricial.4 S 0.4 0.39 Vector de después de dos meses El cálculo del vector de probabilidad después de dos meses depende del vector de probabilidad en el mes 0 y de la matriz de transición de un mes. y en las ramas del árbol aparecen las probabilidades de cada transición.5 0.04 Para determinar la probabilidad de que un camión se encuentre en el norte después de dos meses. Por ejemplo.2 0. se suman las tres probabilidades de encontrarlo en el norte: P(estar en el norte en el mes 2 dado que se encontraba en el norte en el mes 0) = 0.5 0.2 0.4 Matriz de transición de un mes N C S 0.4 Vector de probabilidad Matriz de transición probabilidad para de un mes comenzar en el norte N 0.10 + 0.12 + 0.09 + 0.38 0.2 0.Los nodos del árbol son las ubicaciones en los meses 0.5 0.3 0.3 0.3 0.3 0.20 = 0.2 C 0.2 0. En los cálculos anteriores.3 0 .3 0. 1 y 2.4 0 .38 P(estar en el sur en el mes 2 dado que se estaba en el norte en el mes 0) = 0.09 + 0.2)* (0.3 0. Las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados en el mes 2 se calculan multiplicando las probabilidades individuales de transición.3 0.4 0.38 S 0.2 0.3 0. estos cálculos para el mes 1 aparecerán de la siguiente manera: N C S N C S 1 0 0.4 Vector de probabilidad después de un mes Matriz de transición de un mes N C 0.23 0.2 0.23 De manera similar: P(estar en el centro en el mes 2 dado que estaba en el norte en el mes 0) = 0.3 0.4 0.2 0.3 0. la probabilidad de estar en el norte en cada uno de los tres meses está dada por: (0.2 C 0.2) = 0.39 Vector de probabilidad después de dos meses Obsérvese que estas series de cálculos puede combinarse en una solo de la siguiente manera: N 1 C 0 S 0 N C S 0.3 0.4 0.5 0.4 0.4 0. se utilizó un vector de probabilidad inicial que representaba un camión que había comenzado en el norte.4 0 Vector de probabilidad para comenzar en el norte Matriz de transición de un mes N C S 0.04 + 0.23 0.20 = 0.2 0. 3 . 3862 En la tabla anterior se observa que el vector de probabilidad cambia de su valor inicial de: [0. Desarrollo matemático El análisis anterior puede resumirse utilizando la siguiente notación: Pij = probabilidad de cambiar del estado i al estado j en un paso P = matriz formada por los valores Pij (matriz de transición) si(t) = probabilidad de encontrase en el estado i en el periodo j S(t) = vector de probabilidades de estado en el periodo t Por ejemplo: Pij P11 = 0.2 0 .3].Para calcular la proporción de camiones que se encontrarán en cada región después de dos meses. es decir.377 Proporción de camiones en el mes 2 De estos cálculos. [0.2 0 .3000 0.3 0.2 C 0 .4000 0.3764 0.4 Matriz de transición de un mes N 0 .3763 Sur 0.4 C S 0 . pueden repetirse los cálculos mes con mes.5 0.3 0.6% en el sur.4 0.4 ) 4 S(0) [0.7% estarán en la región central y 38.3763 0.2 si(t) s1(0 = 0.3] S 0.3 0 .2376 0.6% de todos los camiones se encontrarán en el norte.2376 0.3 0.2360 0.8% en el norte.3862 0.3763 0.5 0. Esta proporción de estado estable de camiones es 23.3770 0.4 0.238 0.3000 0.3763 0.3] a [0.3862 0.3862 0.4 0.387 .4 0 .6% en la región central y 38.2376 0.3 0.2376 Central 0.4 0 . Este patrón de vectores de probabilidad prácticamente iguales indica que se ha alcanzado una condición de estado estable (o estado estacionario) cuando la proporción de camiones en cada región permanece igual.3859 0.4 Matriz de transición de un mes 0. La segunda pregunta que interesa responder es la proporción de camiones que se encontraría en cada región después de un “periodo largo”.2300 0. los cálculos se convierten en: N 0 . simplemente se sustituye la proporción original de camiones que se encuentra en cada región y se considera como el vector inicial de probabilidad.2376 0.386] en 8 meses Observe también que el cambio entre vectores subsiguientes disminuye al aumentar el número de meses.7% en el sur. Por ello.2 0 .3870 0.4 S N 0 . el m37. 37.3 0 .376 0. puede verse después de dos meses que el 23.3 0.3 Proporción de camiones en el mes 0 C S 0 . o programar una computadora. Mes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Norte 0.3862 0.3600 0.3 N 0 .3763 0.2377 0.236 C 0.3 0.4 0 .4100 0. Para contestarla.3 0. que es el mismo sin importar el periodo. s . se llega al sistema de ecuaciones: s1 = 0. . para la condición de estado estable.s2(0 = 0. n Recuérdese que esto implica que debe hacerse alguna transición hacia un estado en cada paso. este resultado se convierte en: S(t) = S(0) P t Ahora.4s3 5 . 2. En primer lugar. .2s1 + 0. el vector de estado estable sigue siendo igual después de una transición de una etapa.3 P13 = 0. .3 0.5 P21 P22 P23 P31 P32 P33 = = = = = = 0. lo que implica que: S=SP Es decir. . se tiene: S(2) = S(1) P = S(0) P P = S(0) P2 En general.. …. La transición de un periodo al siguiente se encuentra incluida en la ecuación: S(t + 1) = S(t) P Para el primer periodo (t = 0) se convierte en: S(1) = S(0) P Y para el segundo periodo (t = 1). . . .. es posible plantear varios resultados clave. se tiene la suma: pi1 + pi2 + pi3 + . Terminando los cálculos.3s2 + 0.3s1 + 0.2 0.4s2 + 0.4 Utilizando esta notación.5s1 + 0.3s2 + 0. para cada renglón de la matriz de transición P. se tiene que la suma de las probabilidades de estado debe ser igual a 1: s1(t) = + s2(t) + s3(t) + … + sn(t) = 1 para un caso con n estados De manera similar.4 0. esto da como resultado: S s s s s s .2s3 s2 = 0.3 0.3 ) P12 = 0.4s3 s3 = 0.4 0. se tiene: S = S(t + 1) = S(t) Donde S es el vector de probabilidad de estado estable. + pin = 1 para i = 1. Para el ejemplo.3 ) s3(0 = 0. fue posible determinar estos valores resolviendo yn sistema de ecuaciones lineales.376 0. S.386 Estos valores son las mismas proporciones de estado estable que se obtuvieron usando el programa de computadora.34].33 0. Si se comenzara con un vector de probabilidades [0.25] o uno de [0.238 s2 = 0. en vez de repetir el procedimiento hasta que la diferencia entre los valores de dos meses se volviera pequeña. S(t). entonces se tiene que: S(t + 1) = S(t) P Pero dado que: S(t + 1) = S(t) P = S(t – 1)P2 = … = S(1) P t-1 = S(0) P t Puede decirse que: S(t) = S(0) P t También puede obtenerse el vector de probabilidades de equilibrio o de estado estable. s2 .5 0.Se sabe también que la suma de estas probabilidades es igual a 1. el vector de equilibrio. llegando a las probabilidades de estado estable siguientes: s1 = 0.386]. Un detalle que resulta importante tomar en cuenta con respecto a esta condición de estado estable es que no depende del estado inicial. sin embargo.238 0. si existe una matriz de transición de una etapa P = [Pij] y un vector de estado para el periodo t. por lo tanto: 1 = s 1 + s2 + s3 Se encuentran los valores de s1 . resolviendo el sistema de ecuaciones definido por: n S=SP y s i i para determinar los valores apropiados de si que forman S. a largo plazo siempre se terminaría con el mismo vector de proporciones de estado estable [0. 6 .25 0.33 0. Para resumir el desarrollo de las cadenas de Markov. s3 utilizando las 4 ecuaciones anteriores.376 s3 = 0. Dado que los televidentes normales. Goldman ha decidido esperar a que se estabilice la proporción de televidentes que ven un programa determinado.Problema 2: El caso de un ejecutivo de una cadena de televisión Modelos cuantitativos para la administración. Considera que el problema de selección de los televidentes se ajusta a las consideraciones de este modelo con suficiente cercanía como para permitir aplicar el modelo al problema. Por ejemplo. Goldman se encontraba en problemas porque la NBS había tenido un mal desempeño en las últimas dos temporadas con el formato de sus programas. Le ha pedido a uno de sus subordinados que tiene una maestría en administración de empresas. vicepresidente de la NBS TV Network. Con esta base.3 ABS 0. los valores que se muestran son la fracción de televidentes que verán el programa de cada cadena durante esta semana. También habían surgido críticas porque la cadena tendía a cancelar los programas con mucha rapidez si el número de televidentes (“rating” o “tasa de audiencia”) era inicialmente bajo. “Shampoo va a la Universidad”. se le encargó determinar una política de programación para la cadena.2 CBC 0. La NBS compite por captar televidentes con las cadenas de televisión CBC y ABS. Davis & MCKeown A Mark Goldman. cada una de las cadenas intenta captar una mayor cantidad de televidentes que sus competidores incluyendo nuevos programas y volviendo a programar otros. Bill Washington. 7 .4 0.2 ABS 0. sin tener que esperar hasta que las preferencias de los televidentes se vuelvan obvias a través de los datos de los “ratings” o recuentos de tasa de audiencia. decide utilizar un enfoque de cadena de Markov para abordar el problema. que estudie el periodo en el que cada cadena estará ofreciendo un programa nuevo para que determine cuáles serán las proporciones de televidentes finales. Al principio de cada temporada (en septiembre).4 0. semana a semana.3 0. Mark estará en posibilidades de tomar una decisión con respecto a un nuevo programa de la NBS. al principio de la temporada tenderían a cambiar de cadena con el objeto de ver programas nuevos o de volver a ver programas antiguos. Bill ha elaborado la siguiente matriz de transición utilizando datos recopilados en años anteriores y referentes a la forma en que los televidentes tienden a cambiar de una cadena a otra.4 0. para el tipo de programas que se considera: NBS NBS 0. dada la cadena que vieron la emana anterior. 20% de los televidentes que observaron el programa de NBS la semana pasada lo observarán esta semana. Bill supone que la selección de un televidente específico se ve influenciada más que nada por el programa más reciente que ha observado en ese periodo y que las proporciones finales en realidad son valores de estado estable. con bastante frecuencia. Si Bill puede predecir estos valores.2 CBC 0. Como resultado de las críticas se había decidido no cancelar ningún programa hasta que fuera evidente que seguiría teniendo un número reducido de televidentes.6 En esta matriz. .4s1 + 0. .227 s2 = 0.2s1 + 0. “Shampoo va a la Universidad” 27.7s2 + 0.2s3 = 0 0.2s3 s2 = 0. “Los demonios de Danny” Con base en estos deprimentes pronósticos. Mark Goldman puede tomar una decisión anticipada con respecto a si debe mantener o cancelar el programa. estará en posibilidades de utilizar la proposición de estado estable de televidentes para justificar su decisión.8s1 + 0.4s1 + 0.4s2 + 0.4s1 + 0. la proporción de televidentes de estado estable que estarán viendo el programa de cada una de las cadenas (suponiendo que todos los programas permanecen en la televisión el tiempo suficiente para que se estabilice el patrón de televidentes).7% observarán lo que la NBS ofrece. Dado que esta es una cadena de Markov.500 En otras palabras. .4s2 – 0.3% verán el programa que presenta la CBC.3s2 + 0.273 s3 = 0.3s2 + 0. .También se supone que todos los televidentes que vieron la televisión la semana pasada la verán esta semana. 8 . cuando los televidentes se han decidido respecto a los programas que les gusta ver: 22. . “Cuatro es una multitud” 50. se tiene: s s s s s s . .2s3 s3 = 0.6s3 De donde: – 0. En donde: s1 = proporción de estado estable de televidentes que observan la NBS s2 = proporción de estado estable de televidentes que observan la CBC s3 = proporción de estado estable de televidentes que observan la ABS Esto conduce a: s1 = 0.4s3 = 0 que cuando se combinan con la ecuación adicional: 1 = s 1 + s2 + s3 puede resolverse para determinar las proporciones del estado estable. . puede determinarse utilizando los métodos de las cadenas de Markov. . En este caso. Si decide cancelarlo.3s2 + 0.0% estarán observando el programa de la ABS.4s1 – 0. En este caso. se obtiene que los valores de las proporciones del estado estable son: s1 = 0.2s3 = 0 0. …S(n) y las de más necesarias hasta encontrar las probabilidades de estado estable (es decir. . . . . P Si S(0) = [0. . . . que implica que las probabilidades absolutas a largo plazo son independientes de S(0). .7 0. Etcétera (Hágalo usted) Entonces. determínese: S(1). 9 . . . . . . Hamdy Taha Considérese la siguiente cadena de Mrakov con dos estados: . . . . . . cuando los renglones de la matriz Pn sean iguales al vector S(n)). . P . el vector S(8) tiende a ser igual que los renglones de P8. . . . . . . por ejemplo. . S S P .Problema 3: Ecuaciones Chapman-Kolmogorov Investigación de Operaciones. . . . . P P P . . Etcétera (Hágalo usted) El resultado interesante es que. Este resultado tiene que ver con las propiedades a largo plazo de las cadenas de Markov. . . S(8). . . . de acuerdo con las ecuaciones Chapman-Kolmogorov: S(t) = S(0) P t : S S P . . . . . . las probabilidades resultantes se denominan probabilidades de estado estable. . los renglones de P8 tiende a ser iguales. También. . S() S P . . . . .3]. S(4). . . En este caso. P P P . . . . . . . . . 07 M 0. . Anderson.Sweeney. . M . πM. 0. πB) . .01 M A 0. Recuérdese que: π = π P . . .62 πM = 0.31 Después de muchas generaciones. .31 respectivamente. . . medio y bajo.07. B Hijos Por ejemplo el 1% de las personas que tuvieron padres de clase baja logran llegar a ser personas de clase alta. Problema 5: El análisis de las cuentas por cobrar Métodos cuantitativos para los negocios. es decir. Resolviendo las ecuaciones obtenemos valores: πA = 0. 0.50 B A 0.70 B 0. . πM. la probabilidad de pertenecer a la clase alta. . .45 M 0.Problema 4: El caso de la movilidad de clases sociales Supóngase que en la sociedad sólo existen los estratos socioeconómicos alto. Veremos a continuación la matriz de transición de un paso. es decir. A . . media y baja tiende a 0.07 πB = 0.48 M 0. las probabilidades de pasar en una generación una clase social a otra: Estado 0: Clase alta Estado 1: Clase media Estado 2: Clase baja A P Padres M B . .05 B 0.49 1 A M B Recuerde que una de estas es redundante. πB) = (πA.62. así se estabiliza la sociedad.25 B 0. Las ecuaciones de estado estable son: A A PAA M PMA B PBA M A PAM M PMM B PBM B A PAB M PMB B PBB 1 A M B Reemplazando los Pij obtenemos: A A 0.Williams 10 . (πA. los cuales cambiaron de una categoría de 31 – 90 días a una de 0 – 30 días después de que se pagó la factura de agosto. dudosas. simplemente.000 se recaudarán al final y cuánto resultará al final de cuentas incobrables. Considérese la situación de las cuentas por cobrar para la tienda departamental Heidman’s la cual emplea dos categorías para sus cuentas por cobrar: 1) Las cuentas que se clasifican con 0 – 30 días de antigüedad. el cliente paga la factura de $25 del 15 de agosto. el 7 de octubre.Una aplicación de contabilidad en la que los proceso de Markov han producido resultados útiles implica la estimación de la reserva para cuentas por cobrar de dudosa recuperación o. tiene menos de 31 días de antigüedad. y 2) Las cuentas que se clasifican con 31 – 90 días de antigüedad. los dólares que aparecen en una categoría de 31 – 90 días en un punto en el tiempo pueden aparecer n una categoría de 0 – 30 días en un punto posterior del tiempo. supóngase que el saldo de la cuenta de un cliente al 30 de septiembre es como sigue: Fecha de Cantidad cargada compra 15 de agosto $25 18 de septiembre $10 28 de septiembre $50 Total $85 La clasificación de antigüedad de esta cuenta por cobrar al 30 de septiembre asignaría el saldo total de $85 a la categoría de 31 – 90 días debido a que la factura sin pagar más antigua del 15 de agosto tiene 476 días de antigüedad. Supóngase que el 31 de diciembre Gheidman’s muestra un total de $3. Esta reserva es una estimación de la cantidad de cuentas por cobrar que al final demostrarán ser incobrables. Heidman’s sigue el procedimiento de clasificación de antigüedad del saldo total en la cuenta de cualquier cliente de acuerdo con la factura sin pagar más antigua. Por ejemplo. 11 . En el ejemplo anterior. este movimiento entre categorías fue cierto para $60 de las facturas de septiembre. Obsérvese que. Supóngase que una semana después. La cantidad estimada de cuentas incobrables aparece como una reserva para cuentas de esta naturaleza en los estados financieros anuales. bajo el método clasificación del saldo total. El saldo total restante de $60 se colocaría ahora en la categoría 0 – 30 días en vista de que la cuenta sin pagar más antigua.000 en sus cuentas por cobrar y que a la administración de la firma le gustaría una estimación de cuánto de los $3. corresponde a la compra del 18de septiembre. Si cualquier porción del saldo de una cuenta excede de 90 días. Este método de clasificación de las cuentas por cobrar se llama método de saldo total debido a que el saldo total de la cuenta es colocado en la categoría de edad correspondiente a la cantidad sin pagar más antigua. esa porción se clasifica como una deuda incobrable. . el estado pagado. y una probabilidad de 0. primero concéntrese en lo que le sucede en la actualidad a un dólar en las cuentas por cobrar.3 de que estará en la categoría 31 – 90 días (estado 4) una semana después. 12 . Obsérvese Que la probabilidad de que un dólar en la categoría 0 – 30 días (estado 3) se mueva a la categoría pagado (Estado 1) en el siguiente periodo es de 0. una vez que un dólar alcanza el estado 1 o el estado 2. Una propiedad importante de las cadenas de Markov. Por ejemplo. P. . Del mismo modo. la probabilidad de una transición a cualquier estado es cero. . ya sea en el estado pagado o en el de deuda incobrable. una vez que un dólar hace una transición al estado 1. Usando un modelo de proceso de Markov con los estados anteriores.Para ver cómo puede considerarse la operación de cuentas por cobrar como un proceso de Markov. la probabilidad de hacer una transición a cualquier otro estado es cero. . además. . Obsérvese. puede rastrearse el estado semana a semana de un dólar usando un análisis de Markov para identificar el estado del sistema en una semana o periodo particular. . para la situación de las cuentas por cobrar de Heidman’s. Puede concluirse que todos los dólares de cuentas por cobrar con el tiempo serán absorbidos. para Heidman’s: P p p p p p p p p p p p p .4. se elaboró la siguiente matriz de probabilidades de transición. se definen las probabilidades de transición como sigue: Pij = probabilidad de que un dólar en el estado i en una semana se mueva a estado j en la siguiente semana. con un dólar existente en uno de los siguientes estados del sistema: Estado 1 Categoría de pagado Estado 2 Categoría deuda incobrable Estado 3 Categoría 0 – 30 días Estado 4 Categoría 31 – 90 días Por lo tanto. p . Con base en las transiciones históricas en el rubro de cuentas por cobrar. . . p p . Por lo tanto. . el sistema permanecerá en este estado para siempre. Conforme la firma continúe operando en el futuro. . es la presencia de estados absorbentes. puede considerarse cada semana como un ensayo de un proceso de Markov. . y de ahí el nombre de estado absorbente. una vez que un dólar está en el estado 2. . este dólar tiene una probabilidad de 0. que un dólar en una cuenta de 0 –30 días no puede hacer la transición a una deuda incobrable (estado 2) en una semana. p . el estado de deuda incobrable. Además.3 de que permanecerá en la categoría de 0 – 30 días (estado 3) una semana después. . se desea conocer la probabilidad de que un dólar que en la actualidad está en la categoría de 0 –30 días de antigüedad termine pagado (estado absorbente 1) así como la probabilidad de que un dólar en esta categoría de antigüedad termine como una deuda incobrable (estado absorbente 2). . . sin embargo. R . . . . R . . cuyos elementos son 1 en la diagonal principal y 0 en todo el resto de la matriz. interesa conocer la probabilidad de que una unidad termine en cada uno de los estados absorbentes. Q tiene dos filas y dos columnas. llamada matriz fundamental. . . . . El cálculo de las probabilidades de estado absorbente requiere la determinación y uso de lo que se llama matriz fundamental. p . . También se desea conocer estas probabilidades de estado absorbente para un dólar que en la actualidad está en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad. Puede calcularse una matriz N. . En el ejemplo. Q . Q . . Los cálculos comienzan dividiendo la matriz de probabilidades de transición en las siguientes cuatro partes: Donde: . Par el problema de Heidman’s. . . Nótese que para usar la expresión anterior. El superíndice – 1 se usa para indicar el inverso de la matriz (I – Q). la matriz de identidad I debe elegirse de tal manera que sea del mismo orden (es decir. así que debe elegirse: I 13 . La lógica matemática que subyace en la matriz fundamental está fuera del alcance de este curso. . .Matriz fundamental y cálculos asociados Siempre que un proceso de Markov tiene estados absorbentes. A continuación se mostrará el cálculo de la matriz fundamental y la determinación de ls probabilidades de estado absorbente para la tienda departamental Heidman’s. . . como se verá. . . no se calculan las probabilidades de estado estable debido a que cada unidad a final de cuentas termina en uno de los estados absorbentes. Con estados absorbentes presentes. usando la siguiente expresión: N = (I – Q) – 1 Donde I es la matriz identidad. . . . . . la matriz fundamental se deriva de la matriz de probabilidades de transición y es relativamente fácil de calcular para los proceso de Markov con un número pequeño de estados. con el mismo número de renglones y de columnas) que la matriz Q. . El primer renglón del producto NR es la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad termine en cada estado absorbente. . I Q . . . Un método para obtener la matriz inversa. . un dólar en la categoría 31 – 90 días tiene una probabilidad de 0.54 N I Q . .000 se recaudarían y cuánto se perderá. es decir. . se observa una probabilidad de 0. NR . . por ejemplo.7 * 0. . / .11 de volverse una deuda incobrable. . . . . . . . . .Ahora. .74 de que al final se pague y una probabilidad de 0. que contiene los saldos actuales de las cuentas por cobrar en las categorías de 0 – 30 días y 31 – 90 días. / . . . por lo tanto. La multiplicación de N por R para el problema de Heidman’s proporciona los resultados: .000 en la categoría de 0 – 30 días (estado 3) y $2.3) = 0.3 * – 0.000 2. . Con base en este análisis. se observa que $2. .000 en la categoría 31 – 90 días (estado 4): B = [1. se obtienen las probabilidades de que los dólares de cuentas por cobrar que estén al inicio de los estados 3 o 4 alcancen con el tiempo cada uno de los estados absorbentes. . Establecimiento de la reserva para cuentas de dudosa recuperación Sea que B represente un vector de dos elementos. / .89 de que un dólar en la categoría de 0 – 30 será pagado y una probabilidad de 0. .000] Puede multiplicarse B por NR para determinar cuánto de los $3. .9) – (– 0. La multiplicación de BNR sólo es una forma conveniente de calcular las recaudaciones y las deudas incobrables resultantes de las cuentas por cobrar. B = [b1 b2] Dólares totales en la categoría 0 – 30 días Dólares totales en la categoría 31 – 90 días Supóngase que el saldo de cuentas por cobrar al 31 de diciembre de Heidman’s muestra $1. Por lo tanto. . . . Del mismo modo. . es decir. . se calcula la matriz fundamental: . es el de los determinantes de la matriz: d = (0. BNR . .26 de que resulte ser incobrable. / . el departamento de contabilidad puede establecer una reserva para cuentas incobrables de $630. continuando con el problema del ejemplo. Multiplicando la matriz fundamental por una porción R de la matriz P. el segundo renglón muestra las probabilidades asociadas con un dólar en la categoría 31 – 90 días. . 14 .370 del saldo de las cuentas por cobrar se recaudarán y $630 se considerarán como deudas incobrables. . . . La administración cree que la política bajo consideración aumentará la probabilidad de una transición de la categoría de 0 – 30 días de antigüedad a la categoría pagado y disminuirá la probabilidad de una transición de la categoría de 0 – 30 días de antigüedad a la de 31 – 9 0 días. . . NR . . Al multiplicar N por R.370 Supóngase que con base en el análisis anterior. p . . como se mostró con el cálculo de BNR.000)*0. . NR y BNR. . . . . se obtienen las nuevas probabilidades de que los dólares en cada categoría de antigüedad terminen en los dos estados absorbentes: .74 de cobrar en la categoría 31 – 90 días. . .000)*0. . 15 . . . Por lo tanto. . Para determinar los efectos de estos cambios en el gasto por deudas incobrables. . . .1. Empezando por calcular la matriz fundamental N: N I Q N I Q . debe calcularse N. . Se observa que la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad haga una transición a la categoría pagado en el siguiente periodo. . . . .89 de cobrar en la categoría de 0 – 30 días y una probabilidad de 0. Recuérdese que el análisis indicó que existe una probabilidad de 11% de que el saldo en la categoría de 0 – 30 días y una probabilidad de 26% de que el saldo en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad sean incobrables. . . . Supóngase que Heidman’s está considerando instituir una nueva política de crédito que implica un descuento por pronto pago. ha disminuido a 0. . . . . .Recuérdese que la matriz NR mostró una probabilidad de 0. . Se observa que con la nueva política de crédito se esperaría que sólo 3% de los fondos en la categoría de 0 – 30 de antigüedad y 23% de los fondos en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad serán incobrables. . a Heidman’s le gustaría investigar la probabilidad de reducir la cantidad de deudas incobrables. . se espera recaudar un total de: (1. .89 + (2. Supóngase que un estudio minucioso de los efectos de esta nueva política lleva a la administración a concluir que sería aplicable la siguiente matriz de transición: . ha aumentado a 0.6 y que la probabilidad de que un dólar en la categoría de 0 – 30 días haga una transición a la categoría de 31 – 90 días. .74 = $2. según se muestra a continuación: 16 . Después de considerar los costos implicados. se esperaría que la nueva política condujera a mayores utilidades para la tienda Heidman’s. . podría esperarse un ahorro de $630 . .7% en deudas incobrables. Por lo tanto. se asume un saldo actual de $1. se encuentra que este impacto era de $630. . la mueva política de crédito muestra un impacto por deudas incobrables de $490. .000. puede calcularse la cantidad total de cuentas por cobrar que terminen en los dos estados absorbentes multiplicando B por NR. obteniendo: BNR . incluyendo los descuentos. este ahorro representa una reducción de 4. es menor que 4. la administración puede evaluar la economía de adoptar la nueva política de crédito.000 en la categoría de 31 – 90 días de antigüedad. . Bajo la política de crédito anterior. Dado el saldo total de las cuentas por cobrar de $3.$490 = $140 como resultado de la nueva política de crédito. Problema 6: El dilema del ratón Un ratón está encerrado en una tienda de quesos que tiene 4 secciones intercomunicadas mediante puertas de acceso por las cuales el ratón puede pasar con la misma probabilidad.7% del saldo de cuentas por cobrar.000 en la categoría de 0 – 30 días de antigüedad y $2. Si el costo. como antes.Si. . por lo tanto. ÁREA DE EXHIBICIÓN BODEGA FABRICACIÓN EMPACADO Muestre el diagrama de relaciones correspondiente: A partir de este diagrama. construya la matriz de probabilidades de transición: P = Sala Exhibición 0 1/2 1/2 1/3 Sala Exhibición Bodega Fabricación Empacado Bodega Fabricación Empacado 1/3 1/3 1/3 0 0 1/2 0 0 1/2 1/3 1/3 0 Encuentre las probabilidades de estado estable del sistema: PSE PB PF PSE PB PSE = = = = = PB PF PE 1 PE PF = PE 1/2PB 1/3PSE 1/3PSE 1/3PSE PSE 0 1/2 1/2 1/3 1/3 0 0 1/3 1/3 0 0 1/3 1/3 1/2 1/2 0 PSE PB PF 0 1/3PSE 1/3PSE 1/3PSE 1/2PB 0 0 1/2PB = 1/2PF 0 0 1/2PF 1/3PE 1/3PE 1/3PE 0 + 1/2PF + 1/3PE + 1/3PE + 1/3PE + 1/2PB + 1/2PF + PB + PF + PE Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la función SOLVER: 17 PE . o bien. 0. 0.20 * 8 * 60: durante 96 minutos TOTAL 8 horas = 480 minutos Ahora calcule la probabilidad de que el velador de la fábrica mate al ratón poniendo queso envenenado en la zona de empacado o que lo saque de la fábrica abriendo la puerta que da de la bodega al patio de carga exterior.20 * 8 * 60: durante 96 minutos El cuarto de fabricación es de 20%. o bien.30 * 8 * 60: durante 144 minutos El área de bodega es de 20%.30 * 8 * 60: durante 144 minutos La zona de empacado es de 30%. 18 SALIDA . la probabilidad de que el ratón se encuentre en: La sala de exhibición es de 30%. ÁREA DE EXHIBICIÓN BODEGA FABRICACIÓN EMPACADO Replantee el diagrama de relaciones con esta nueva información. 0. 0.¿Cómo interpreta estos resultados para un periodo de 8 horas laborables? A la larga. o bien. o bien. 25 0 0.50 0 0.40 0.17 0.00 0 0.00 0 0.1 9 0.0 0 1.25 0 0.1 5 0.4 0 0.00 0 0.0 0.4 0 0.25 0.00 0 0.1 5 0. la matriz de probabilidades de transición cambia también a: P = Sala Exhibición Bodega Salida Fabricación Empacado Muerte PS E PB PS Pf PE PM Sala Exhibición 0 1/3 0 1/2 1/4 0 Bodega 1/3 0 0 0 1/4 0 Salida 0 1/3 1 0 0 0 PSE 0.00 0 PE 0.00 0 = = = = = = = Empacado Muerte 1/3 0 1/3 0 0 0 1/2 0 0 1/4 0 1 0.33 3 0.00 0 0.25 0 0.00 0 0.0 0 .00 0 Pf 0.00 0 0.1 9 0.0 0 1.19 0.00 0 PB 0.00 0 0.00 0 0.25 0 1.50 0 0.33 3 0.00 0 PS 0.33 3 1.00 0 0.33 3 0.2 5 0.1 7 0.33 3 0.00 0 0.1 7 0.2 5 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.00 0 0.33 3 0.00 0 0.15 19 Fabricación 1/3 0 0 0 1/4 0 PM 0.00 0 0.Y en consecuencia.00 0 0.00 0 0.