PROBLEMAS 4.5.Considere un flujo laminar bidimensional y permanente, entre dos placas paralelas horizontales (fig.4.19), el cual se produce por el movimiento de la placa superior dela velocidad U en la dirección xcon la placa inferior fija y el eje z vertical a) Determinar la distribución del esfuerzo tangencial y de velocidades sobre eje vertical; las velocidades máxima y media; el gasto por unidad de ancho; y los coeficientes α y β, para el caso en que U=0. Fig. 4.19. flujo laminar entre placas paralelas. b) Un amortiguador consiste de un cilindro de 7cm de diámetro, dentro del cual se desliza un embolo de 8cm de largo, con un espacio ente ambos de 1 mm. El cilindro está lleno de aceite cuya viscosidad es de 1 poise. Calcular la velocidad del pistón y el gasto del aceite cuando actúa sobre el pistón una fuerza de 18 kg. Solución a) para el flujo permanente ∂v/∂t= 0, para cualquier calor de x, siendo v= ƒ(z). si las placas horizontales Con estas consideraciones la Ec. (4.9a), aplicable en este caso, se simplifica en la forma Po otra parte, de la ec (1.1.): Por lo que Además, puesto que las líneas de corriente son rectas y por lo mismo, su radio de curvatura es infinito, ya que ∂z/∂z=1, de la Ec. (4.9b) resulta que ( ) Cuya integración da: ƒ(x) Esto significa que la distribución de presiones coincide con la presión hidrostática en la dirección normal al flujo. Por lo tanto ∂p/∂x es independiente de z y puede escribirse con ∂p/∂x. De este modo, al integrar dos veces l Ec. (a) resulta ( ) Con las condiciones de frontera: para z=0, v=0 y para z=a, v=U, se obtiene ( ) por definición, la velocidad media es: [ ( )] Y el gasto por unidad de ancho: si p/=0, el flujo se conoce como flujo Coutte, donde de acuerdo con la Ec. (b), la ley de distribución de velocidades es lineal: v=Uz/a y la velocidad media y el gasto unitario son V=U/2 y q=Ua/2, respectivamente. Cundo p/≠0, pero U=0, se obtiene un flujo laminar bidimensional de Poiseuille, donde la distribución de velocidades es parabólica de acuerdo con la Ec. (b): ( ) la velocidad máxima se presenta para z=a/2 y vale ( ) por lo cual Ec. (e) también se puede expresar así: ( ) de las ecs. (c) y (d) l velocidad media y el gasto por unidad de ancho son ( )= ( ) para el segundo tipo de flujo, la ley de distribución de velocidades se escribe también en foma: ( ) De la Ec. 4.16 el cociente α es: * + Integrando y tomando limites resulta que En la misma forma la ec. (4.17) se puede calcular β: * + Solución b) debido al movimiento, el aceite es forzado a flui entre las paredes del cilindro y del pistón. El espacio entre ambas paredes es muy pequeño si se compara con el diámetro del pistón, razón por la cual el flujo puede ser tratado como si las superficies fueran paralelas. La presión sobre la superficie del piston vale [ ] y el gradiente de presiones sobre la longitud de 8 cm es: ( ) Suponiendo inicialmente despreciable la velocidad U del piston, con µ=1 poise=0.00102 g seg/cm 2 , de la Ec (d) resulta: * + La velocidad aproximada del pistón es entonces Con este valor de U la ecuación del incremento de gasto es: [ ] Q Y el gasto total de aceite: Q = 105 + 3 = 108 Por último, el valor final de la velocidad del piston será: Problema 4.6. en una sección de una tubería cilindica (0.46m de diámetro) se midieron las velocidades que se anotan en la segunda columna de la tabla que se muestra abajo-contra las relaciones r/R en la primera columna donde r es el radio del punto de consideración y R el radio de la tubería. Determinar la velocidad media y los coeficientes α y β (r t /R) 2 v t m/seg V t 2 V t 3 0.05 1.615 2.608 4.212 0.15 1.610 2.592 4.173 0.25 1.605 2.576 4.134 0.35 1.590 2.528 4.02 0.45 1.585 2.512 3.982 0.55 1.560 2.434 3.796 0.65 1.545 2.387 3.688 0.75 1.505 2.265 3.409 0.85 1.420 2.016 2.863 0.95 1.28 1.638 2.097 Total 15.315 23.556 36.374 Solución: Observe en la tabla que iguales incrementos de la relación (r t /R) 2 , significan iguales incrementos de áreas ΔA t ; así, es posible la aplicación delas ecuaciones Con n=10 la velocidad media es V≈ =1.53m/seg Los coeficientes α y β, como sigue: α ≈ =1.015 β ≈ = 1.006 De acuerdo a la ecuación β seria: que es prácticamente el mismo valos antes obtenido. Si el área del tubo es: El gasto del tubería será: Problema 4.8. Una bomba se utiliza para abastecer un chiflon que descarga directamente a las condiciones atmosféricas el agua tomada desde un deposito;. La bomba tiene una eficiencia n=85%, y una potencia de 5 Hp cuando descarga un gasto de 57 L/s. bajo las condiciones la presión manométrica leída en el punto 1 es p1=0.05 kg/cm 2 . Determinar la línea de energía y la línea de cargas piezometricas, así como también indicar los valores numérico delas elevaciones de las dos líneas en lugares apropiados, tomando el valor α=1 Solución. La velocidad media en la tubería y en el chiflon, y las correspondientes cargas de velocidad son: Si la lectura de la presión manométrica en el punto 1 es p1=0.05 kg/cm 2 , la carga de presión en ese punto (inmediatamente antes de la bomba) es: De acuerdo con la ec (4.26 b) (1Hp = 76 kgm/s), la bomba incrementa la energía del líquido en la cantidad siguiente Figura 4.21. Instalación del problema La elevación de la línea de energía Et y de cargas piezometricas Ep en diferentes puntos del conducto es: Punto 0, (Et) = 10 m, Ep = 10-0.168= 9.832 m Punto 1, Et= 8.5 + 0.5 + 0.168 = 9.168 m Ep= 9.168 – 0.168 = 9 m Punto 2, Et= 9.168 + 5.667 = 14.835 m Ep= 14.835 – 0.168 = 14.667 m Punto 3, Et= 13.36 + = 13.891 m Ep= 13.891 – 0.168 = 13.723 m Las pérdidas de energía en cada tramo son: de 0 a 1 Ʃhr= 10- 9.168 = 0.832 m; de 2 a 3, Ʃhr=14.835 – 13.891 = 0.944 m