PROBLEMARIO DE MATEMATICAS IING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA I II Expresar los siguientes números como el cociente de dos enteros. 1 1.181818… 4 0.45 7 1.4444… 10 0.9541111111… 2 0.285714285714… 5 4.5132132… 8 1.15 3 0.200200… 6 2.3544444… 9 0.53333… Determinar el periodo que se repite de los siguientes números racionales. x= 11 9 7 12 x= 11 17 13 x= 8 7 14 III Realice las siguientes operaciones con polinomios: 41 (2-x)-(x2+3x+3) 16 (ax+5)+(ax-4) x= 15 8 15 x= 4 2 66 (x2+xy+y2)(x-y) 17 (xy+x+y+2)+(xy-3) 42 (y)-(-y) 67 (x2+y2)(x2+y2) 18 (n3+8)+(-n3-n2-n-8) 43 (x2+4xy+y2)-(-x2+4xy-2y2) 68 (t3+n3)(t3-n3) 19 (3x3+3x)+(4x-3x2-7x+10) 44 (-2n3-n+8)-(-7-2n3) 69 (x2-xy+y2)(x+y) 20 (c2-d2)+(c2+d2) 45 (4y+5)-(-y-3) 70 (a4+a2b2+b4)(a2-b2) 21 (a2+b3)+(a3-3a2b+3ab2-b3) 46 3x(y+z) 71 (x2+5x-7)(x2-x+4) 22 (x2+2xy+y2)+(x2-2xy+y2) 47 (t2-1)2t 72 (k4-2k3+3k2-4k+5)(k+2) 23 (a3+b2-c)+(b2+c) 48 xy(2x4y+x2y2-3xy3) 73 (-n3-2n2-3n-4)(n2+n-1) 24 (az3+bz2-z)+(-az3+z-4) 49 (x+5)(x-3) 74 (ax3+bx2+c)(ax3-bx2+c) 25 (3x2+1)+(x2-4) 50 (x+4)(y-3) 75 (2x2y2-3x+4y+1)(1-xy) 26 (y3+3y2+2)+(y4+y3-y2+5) 51 -4y2(3y-8) 76 (r2-2r+1)(2r-r2-1) 27 (4x2y+3xy+7)+(x3+3x2y-2xy-5) 52 (k2-2k)(4k2-1) 77 (3b5-9b4+6b3)/(3b3) 28 (4y4-3y3-2y2-y-1)+(1+y+y2+y3+y4) 53 (ax3-2b2+c)(-3x) 78 (tc-2tc+2+3tc+4)/(tc) 29 (3k2-k+2)+(4k-3) 54 (3x+4)(x2+3x-5) 79 (5x2-6x-8)/(x-2) 30 b3+(3b3-c) 55 (4n2-7n+6)(5n2+4n+6) 80 (3y2-7y+6)/(y+3) 31 (x4-1)+(x3-3x2) 56 (y+3)(y-3) 81 (17n+n2+21)/(2n+3) 32 (3x+4)-(x-1) 57 (3x-4)(3x+4) 82 (r2-9)/(r-3) 33 (3x2-2x-1)-(5x+6) 58 (a+b)(a-b) 83 (1-16t4)/(1-2t) 34 (1+t+t2)-(-t+t2) 59 (t+3)2 84 (2x3-7x2-9x-3)/(2x+1) 35 (4-bcd)-(-bcd) 60 (2x+5)2 85 (x2a-16)/(xa+4) 36 (a-b)-(a-b) 61 (a+b+c)(d+e+f) 86 (y3-6y2+12y-8)/(y2-4y+4) 37 (x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2) 62 (5a+7)(2a-3) 87 (1-r-3r2-r5)/(r2+2r+1) 38 (k3-k-7)-k 63 (2x+3y)(x-4y) 3 39 (x -y )-(x-1) 64 (x3-y3)(1-y) 40 (6x3-3x+2)-(7x3+3x+7) 65 (4t2-t+3)(t+3) IV 89 90 91 92 93 94 V 3 Factorice completamente si el polinomio es factorizable. 99 9s2-16+4t2-12st 95 x2-(y+x)2 (y2-x2) 2 (12x -3) 100 x3+125 1 2 2 2 96 x − 2y (1-4n ) 101 24a3-3b3 2 2 2 2 (81a b -b ) 102 (x+2y)3-8 2 2 2 2 97 (u -v )-(u-v) (-49x +64y ) 103 (n+4)3+(n-1)3 2 2 2 2 2 -y +2x+1 98 x (25x -x y ) 104 u2+10u+25-v2 Encontrar, si es que existen, las raíces de los siguientes polinomios. 108 x3-8x2-4x+32=0 107 x3+5x2-17x-21=0 88 1 6 c 1 3c 1 2 c 1 c x + y / x + y 8 2 3 27 105 4a2 -4ab+b2-9 106 1 2 1 x + xy + y 2 − 2 2 2 109 3x4-2x3-28x2+18x+9=0 1 3 -i 184 3-2i 193 5-2i 202 -1-i 185 4+i 194 -5 203 1+i 186 5+3i 195 3-3i 204 1+ 187 7 196 -5i 188 2+5i 197 5-12i 189 -2+3i 198 15+8i 190 2i 199 -7-24i 191 -2-i 200 1-i 205 1- 209 -3-4i 210 8-15i 3i 3i 211 3i 212 –i 213 -2 206 -1+ 207 -1- 3i 214 3 3i 2 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 110 6x3-47x2+36x-7=0 111 3x3-10x2-23x-10=0 112 x5-x4-13x3+13x2+36x-36=0 113 x5-3x4+10x3-30x2+9x-27=0 114 5x4-12x3+71x2-192x-144=0 115 6x3+31x2+34x-15=0 116 x4-625=0 VI Resuelva lo siguiente: 117 −2 120 − 25 123 − 128 118 −3 121 − −9 124 − 12 119 − 36 122 − − 16 125 −9 16 126 − VII Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 131 (-2+3i)+(7+8i) 128 − 7i + 10i 129 4i + (− 10i ) 132 (4-3i)+(5-2i) 130 (3+2i)+(5-i) − − 80 127 25 4 134 3i-(5-2i) 136 (-2+8i)-(7+3i) 135 (3-i)-(5-2i) 137 (4-2i)-(5-3i) 133 2i-(4-3i) VIII Resuelva lo siguiente: 138 i 13 140 i18 142 i 99 139 i 20 141 i 27 143 i 71 − i 49 i 68 − i 72 + i 76 − i 80 144 IX Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 145 (3+2i)(5-i) 154 (-2+3i)/(7+8i) 163 (5-10i)/(-3+4i) 146 (-2+3i)(7+8i) 155 (4-3i)/(5-2i) 147 (4-3i)(5-2i) 156 2i/(4-3i) 148 2i(4-3i) 157 3i/(5-2i) 149 3i(5-2i) 158 (3-i)/(5-2i) 150 (3-i)(5-2i) 159 (-2+8i)/(7+3i) 151 (-2+8i)(7+3i) 160 (4-2i)/(5-3i) 152 (4-2i)(5-3i) 161 (3+2i)/(2+i) 153 (3+2i)/(5-i) 162 (8-3i)/(-2+3i) X 164 165 166 167 2 +i 2 −i 4 − 3i 2 − (i − 1) 2 + 4i 7 + 3i 2 + (4 + 2i ) 2 − 6i 168 3 − 4i (1 + 3i ) 3 + 2i (2 − i ) + (4 + 3i ) 2 2 2 (4 − 2i )3 2 i 3 169 (1 + 2i ) 1− i Si el reciproco de un número complejo z es 1/z Determinar los recíprocos y expresarlo en la forma a+bi: 170 i 171 –i 172 2-4i 173 -3-5i 174 -4+7i XI Obtenga las raíces cuadradas mediante el desarrollo del binomio de los siguientes números complejos: 179 -3+3i 175 2i 181 1.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING.3i 177 3 − i 176 1+i 178 4+i 180 3+4i 182 4 3 -4i XII Expresar en su forma polar y graficar en el plano complejo los siguientes números complejos: 183 4-5i 192 -4-3i 201 -1+i 208 . pero antes ponga los números complejos en su forma polar (1 + i )(1 − 3i ) 217 ( 3 + i )(− 1 + i )(− 1 − 3i ) 216 (1 − i )(− 1 − ) 221 1 + 3i 3+i 224 222 −1− i −1+ i 225 3i 4 218 (1+i) 219 ( 3 −i ) 223 3 (1 + 3i )( 3+i ) (− 1 + 3i )i 1 + 3i −1− i 1 + 3i 1 − 3i ( )( ) 1+ i 220 (-1-i)5 XIV Usando el teorema de De Moivre elévese a la potencia indicada los números complejos.7(3x+6)=1.5 247 2(x+6)=8x 248 80=10(3t+2) 249 180(n-2)=900 250 5y-(2y-10)=25 251 0. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA XIII 215 Realice las operaciones indicadas.1-(x+2) 263 5(3x+4)2+3=-2(2x-4) 1 1 252 (16 y + 8) − 17 = − (8 y − 16 ) 8 4 1 264 4 x − 7 = + 2 x 4 253 a+(a-3)=(a+2)-(a+1) 254 (x+2)(x-5)=0 256 (2x-3)(3x-2)=0 6 5 265 2x + 3 = 266 7 2 − 8x = 4 9 267 5x + 255 (y-8)(y-9)=0 2 257 m(m-8)=0 258 x(x-1)(x+2)=0 3 3 = − 2x 4 2 3 .PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING.3t=6.8t-. 228 (3+4i)5 230 (-2+3i)4 232 35 226 (1+i)3 227 (1- 229 (5-12i)2 3 i)3 XV Encuéntreselas raíces pedidas 234 Raíces cúbicas de 1+i 235 Raíces cúbicas de i 231 i9 233 (-2i)7 3i 239 Raíces cuartas de 1+ 240 Raíces cuartas de 16 236 Raíces cúbicas de 1- 3i 241 Raíces quintas de 1-i 237 Raíces cúbicas de - 3 +i 242 Raíces quintas de 1+i 238 Raíces cuartas de 1-i 243 Raíces quintas de -32 XVI Resuelve las siguientes igualdades: 244 1 3 3 + y= 4 8 4 245 − 5 1 x + = −18 2 2 259 1 (a − 3)(7a + 4) = 0 7 260 x 1 24 − = x − 24 6 3 261 2 5 4 2 x − = 3 + 7 x 5 2 262 6 3 5 5 + x = 9 3 x − 5 4 2 246 0. 2x-4 281 4 9 5+ 290 4x≥5x-7 275 x-9 ≤ 10 278 x2 ≤ 4 ≥ 2.3 286 306 293 x≤3x+2≤x+6 279 0.4x+5 ≤ 1. x ≠ 0 x 305 3x + 5 < XVIII 8 − 4x 3 303 7 − 3x ≤1 2 Encontrar el dominio y el rango de la función. x ≠ 0 x 2 298 6x +3x-8≤1 3 − 7x ≤6 4 1 < 1. exprese la solución en la notación de intervalos. x ≠ 0 x 299 5 2 6 − 3 x ≥ 2 3 x + 2 3 x2 − 2x + 1 ≤0 x2 − 2x − 3 313 3x + 5 ≥2 2x − 1 300 314 2 x − 3 ≤ 3x − 1 − 8x <0 (x + 1)3 3 2 > x−9 x+2 1 < 100 x2 315 7x − 1 ≥ 2x + 1 301 316 x 2 + 2x − 4 > 4 1 2x − 3 285 ≤ 3( x + 2 ) (x − 3)( x + 2 ) 302 x + 10 < 0. 269 5x-2>3x+8 2x + 7 304 3 − 11x ≥ 41 287 ≥9 270 6-x<9 5x − 7 271 x+5>2 288 x2-8x+12≥0 272 x+4<10 289 273 x+9 ≤ -12 274 x+14 ≥ 9 291 276 8x ≥ 24 277 -8x ≤ 32 − 3 5 x≥− 4 8 x+3 280 >0 x−3 282 283 284 1≤ 3 x + 14 ≤2 3 292 10-x<4x≤25-x 294 (8x-3)(x+1)>0 x−2 <0 x +1 3 3 4 x + ≤ 4(2 x − 7 ) 2 295 −1 < 2 − 1 <1 x x +1 > 0. 317 h( x ) = − x + 3 321 g (x ) = x 2 − 6 x + 1 325 h( x ) = 4 x − x 2 318 f (x ) = 2 x − 4 + 2 322 h( x ) = x 2 + 3 x − 6 326 g ( x ) = 2 sen( x − π 4 ) 319 f (x ) = − 3 − 6 x − 5 323 g ( x ) = 3 x 2 + 12 x + 3 327 h( x ) = −3 cos( x + π ) + 2 320 g (x ) = x 2 − 5 324 h( x ) = 3 − x 2 328 f (t ) = sec πt 4 4 .PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 268 2 7 x − = 5 + 3x 3 2 XVII Encontrar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades. x ≠ ±3 (x + 3)(x − 3) 307 3x + 2 ≤0 2x − 7 308 −1< 309 2x + 1 < 0 310 2x + 3 <2 5 311 25 x − 8 > 7 312 4− 296 x2+x-3>3 297 7−2 1 > 3. (f-g). x > 5 2 1 − cos x 1 1 2 senx − 1 x+3 1 x −4 2 XIX Dadas las funciones. x > 1 343 x + 1. x < 1 g (x ) = − x + 1. si no existen explicar por que: 374 lim(3 x + 2 ) x 376 x →2 375 lim 4 − x →4 2 2 ( lim x 2 − 3 x →2 ) 5 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 329 330 331 h(t ) = cot t 336 g (x ) = x 2 − 3x + 2 g (x ) = 337 h( x ) = f (x ) = 2 x −1 1 −2 x+5 338 4 332 f ( x ) = +6 8−x 333 g (x ) = x + 7 − 3 334 h( x ) = 4 − x − 1 335 339 340 f (x ) = h( x ) = g (x ) = f (x ) = x + 1 − x 341 2 x + 1. x ≤ 5 f (x ) = 2 ( x − 5) . x < 0 f (x ) = 2 x + 2. si es que existen. realizar. x ≥ 0 342 x 2 + 2.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. x ≤ 1 h( x ) = 2 2 x + 2. así como determinar el dominio y el rango de la función resultante. 345 f (x ) = − x + 3 346 f (x ) = 347 348 g (x ) = x 2 − 5 349 f (x ) = x g (x ) = x 2 − 1 350 f (x ) = x 2 g (x ) = x f (x ) = x 2 − 3x + 2 g(x ) = x − 1 351 f (x ) = 3 x g (x ) = x 2 − 1 f (x ) = 352 f (x ) = 1 x g (x ) = x + 2 2 g(x ) = x + 1 − x x −1 1 1 g (x ) = 2 x+3 x −4 XX Determinar si la función es par o impar o ninguna de las dos: 353 h( x ) = − x + 3 354 g (x ) = x 2 − 5 355 f (x ) = x 3 − 2 x + 1 356 h( x ) = x + 4 x − 2 x 357 358 5 3 g (x ) = x 4 − 5 x 2 + 1 f (x ) = x−x x2 + 5 x4 3 2 − 4 x3 ( ) 359 h x = 6 x + 5x + 3 360 h( x ) = 9x + x x + 2 x − 3 x3 5 πt 361 f (t ) = sec 362 h(t ) = cot t 363 g (x ) = 4 2 x −1 364 f (x ) = x + 1 − x 365 g (x ) = x − 3x + 2 h( x ) = 1 x+3 369 g (x ) = 1 x −4 370 f (x ) = x 2 4 − x 2 371 f (x ) = 3 x 372 f (x ) = x cos x 373 f ( x ) = sen 2 x 2 2 366 h( x ) = 1 − cos x 367 368 f (x ) = 7 ( ) 1 senx − 1 2 XXI Calcular los límites que se piden. si es posible las operaciones (f+g). (f/g) y (f o g). x ≥ 1 344 x + 4. (fg). si es que existen. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 377 ( lim x 2 + 4 x→5 378 lim( x + 3) 379 lim(3) 380 lim 3 x 382 383 ( lim(x ) lim x + 3 x 2 x→−3 ) 385 5x lim x →2 x+2 405 395 x2 + x − 6 lim 2 x→−3 − x 9 406 sen3x lim x→0 2x 396 x+5 − 5 lim x →0 x 407 sen2 x lim x→0 sen3 x 397 x + 5 −3 lim x →4 − x 4 408 5 x 3 − 3 x 2 + 10 lim x →∞ x2 398 1 1 − lim 3 + x 3 x→0 x 409 x2 + 2 lim 3 x →∞ x − 1 410 5 − 2 x 2 + 10 lim 3 2 x →∞ 3x − 4 411 2x − 1 lim x →∞ 3 x + 2 412 x lim 2 x→∞ x − 1 413 x lim 2 x→∞ x −x 414 sen2 x lim x→∞ x lim (senx ) x→π 2 399 lim(tan x ) lim(cos 3x ) x→π 400 389 390 x2 −1 lim x→−1 x + 1 391 2x2 − x − 3 lim x→−1 x + 1 x +1 lim x→−1 x + 1 3 2( x + ∆x ) − 2 x lim ∆x→0 ∆x ( x + ∆x )3 − x 3 lim ∆x→0 ∆x 401 senx lim x →0 5x 402 sen 2 x lim x→0 x 403 senx(1 − cos x ) lim x→0 2x2 415 416 XXII Calcular los límites que se piden.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. si no existen explicar por que: 417 x−5 lim+ 2 x→5 x − 25 418 x lim− 2 x→−3 x −9 419 cos x lim cot x x→π 2 3 x→π xπ lim sen x→1 2 392 x−5 lim 2 x→5 x − 25 4 x−3 lim 2 x →2 x + 4 388 394 lim ( x − 2 ) 384 387 404 x→−2 x→0 386 x3 − 8 lim x →2 x − 2 x→6 ( ) (1 − cos x )2 lim x→0 x 393 x →2 x→0 381 ) ( lim(x − ) − x) lim x + x 2 + 3 x→−∞ x →∞ x2 x lim− x →0 x 6 . PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA x+2 . x ≥ 1 421 Dada la función cuya gráfica aparece en la figura. x < 1 lim− f (x ). determinar los limites que se piden: 428 lim f ( x ) Y x→2 4 429 3 -5 -4 -3 -2 lim f ( x ) x →0 2 Y 1 4 -1 0 1 2 3 4 3 X -1 2 -2 1 -5 -3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X 0 1 2 3 4 X -1 -4 -2 422 423 424 425 lim f ( x ) -3 x → −2 + -4 lim f ( x ) x → −2 − lim f ( x ) 430 lim f ( x ) 431 x→2 x → −2 432 Y 4 433 lim f ( x ) x →2 + lim f ( x ) x →2 − lim f ( x ) x→2 lim f ( x ) x → −1 3 Y 2 4 1 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X 2 -1 1 -2 -5 -4 -3 -2 -1 -3 -1 -4 -2 426 427 lim+ f ( x ) x → −2 -3 -4 lim f ( x ) x → −2 − 7 .x ≤3 lim− f (x ).x >3 3 420 XXIII x 3 + 1. donde f (x ) = x →1 x + 1. donde f (x ) = 2 12 − 2 x x→3 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 434 435 436 XXIV lim f ( x ) 437 x →3 + lim f ( x ) x → −2 lim f ( x ) x →3 − lim f ( x ) x →0 Encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. x ≤ 2 445 f ( x ) = 2 3 − x. f (x ) = x 2 − 2 x + 1 442 f (x ) = x+2 x − 3 x − 10 x 440 f ( x ) = 2 x −x 443 f (x ) = x+2 x+2 x 441 f ( x ) = 2 x +1 444 x. x > 1 438 439 f (x ) = 3 x − cos x 1 x + 1. x2 − c2 cos x x 8 .PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. x ≤ 1 f (x ) = 2 x . x > 2 2 XXV Encontrar la derivada mediante el proceso de límite: 2 446 f ( x ) = 3 449 f ( x ) = 2 x + x − 1 447 f ( x ) = −5 x 450 f (x ) = x 3 − 12 x 448 f (x ) = 3 + 451 f (x ) = 1 x −1 ( ) XXVI 453 2 x 3 Calcular la derivada de la función: y =8 465 y = x x2 + 1 454 y = x6 466 y = x + 63 x 455 y= 467 y=x5 −x y=5 x 468 456 y = 6 x + 5 cos x 457 y = x +1 469 y = x2 + 1 x2 − 2x 458 y = −2 x 2 + 3 x − 6 470 y = 3 x x2 + 4 459 y = x 2 + 4x 3 471 y = x 3 cos x 460 y = x2 − 2x + 4 472 y= 461 1 y = − 3senx x 1 x7 462 y = x 2 + 5 − 3 x −2 463 4 y = x2 − 3 x 464 x 3 − 3x 2 + 4 y= x2 4 ( 2 452 3 )( ( ) ) f (x ) = x + 1 476 4 y = x 1 − x + 3 477 y= 478 y = x3 − 2 2x + 5 x ( 1 x y= x−3 ) 2 2− 479 ( ) 480 y = 3 x 3 + 4 x ( x − 5)( x + 1) 481 y= 482 y = xsenx 483 y= 484 y = − x + tan x x x +1 2 3 473 y= x x +1 474 y= senx x2 475 3 − 2x − x2 y= x2 −1 3 x2 + c2 c es una const. 0) 532 XXX x −1 x f(x)=x2-4.1) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica f en el punto indicado: (1.-2) 538 y=x4-3x2+2 9 .− 3 x −4 5 537 f (x ) = 37 − sec3 (2 x ) (0.0) 539 y=x3+x (-1.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA y = 4 x + 8 sec x 485 495 487 3(1 − senx ) y= 2 cos x y = − csc x − senx 488 y = x 2 tan x 489 y = 2 xsenx + x 2 cos x 498 486 490 y = (2 x − 7 ) 491 y = 3(4 − 9 x ) 492 y = 1− x 493 494 y= 2 1 x+2 504 y = sen(πx ) 505 y = sen2 x cos 2 x 506 y= y= 497 y = x 2 (x − 2) 507 y = 4 sec 2 x y = x 1 − x2 508 y = 3 sec 2 (πx − 1) 509 y = e 2 x sen 2 x 2 510 y = x 2 e x cos(3 x ) 511 e x sen( 3 x ) y= cos 2 (3 x ) 4 4 x y= x +1 500 x+5 y= 2 x + 2 y = 3 9x2 + 4 501 1 x−2 1 − 2v y= 1+ v 502 y = cos 3 x 503 y = 3 tan 4 x 9 514 y= 1 x+4 516 y = x2 517 y = 2− y = cos x 2 521 3 x 2 + y 2 =9 2 2 518 y=2 x 519 y = 2x + 1 2 x 2 527 y=sen(xy) 2 528 (x+y)3=x3+y3 524 x -3x y+2xy =10 1 2 2 XXVIII Encontrar dy/dx por medio de la derivación implicita 523 x3y3-y=x 520 x2+y2=16 1 cot x senx ( ) 2 XXVII Determinar la derivada de orden 4 de las siguientes funciones: 1 515 y = tan (2 x ) 3 512 y = (3 x + 1) 513 2 496 499 3 1 y= x −3 525 senx +2cosy=1 522 x3-xy+y2=4 526 senx=x(1+tany) XXIX 529 1. (4 3x + 2 533 (4. 530 f (x ) = x 3 3 − 1.-2) 536 f (x ) = f (x ) = x + (1.5) Encontrar la pendiente de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el punto dado: f(x)=3-2x.5) (0.- 534 f (x ) = x 2 + 2 x + 8 (2.36) (1.4) 535 f (x ) = 3) 531 f(x)=3x-3x2 (0. 570 f (x ) = x 3 − 6 x 2 + 12 x 571 f (x ) = 1 4 x − 2x2 4 3 f ( x ) = x( x − 4 ) 573 574 f (x ) = x x + 3 x f (x ) = 2 x +1 575 x f ( x ) = sen .1] y= 2 x2 . [− 1. [0. aplicar el criterio de la primera derivada para identificar a todos los extremos relativos: 563 f (x ) = x 2 − 6 x 566 f (x ) = x 3 + 1 564 f ( x ) = x 2 (3 − x ) 567 f (x ) = (x − 1) 3 565 x f (x ) = 568 f (x ) = x + XXXV 5 − 5x 5 1 x2 569 f ( x ) = 2 x −9 2 1 x Encontrar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de la función. 576 Una caja abierta de volumen máximo se va a construir a partir de una pieza cuadrada de material de 24 pulgadas de lado. 0<x<2π 554 y = x ( x − 3) 555 .5) 541 ( ) 2 542 y = 2 x 3 + 1 (-1. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA y= 540 XXXI 544 (1. 2 556 y=sen2x + cos x.x<3 y = x 4− x XXXIII Ubicar los extremos absolutos de la función en el intervalo cerrado 3 557 y = 2(3 − x ).2 561 2 2 558 y = − x + 3 x.3 [ ] [ ] [ 560 ] y = 3 x 3 − 2 x. − 1. 6 562 XXXIV Encontrar los puntos críticos de f (si los hay).1] x2 + 3 1 y = cos πx. cortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando los bordes. 0.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. 577 Encontrar dos números positivos tal que el producto es 192 y la suma del primero más tres veces el segundo es un mínimo. 0.1/2). 578 Encontrar dos números positivos tal que la suma del primero y el doble del segundo es 100 y el producto es un máximo. [− 1. − 1. 580 Determinar el punto sobre la gráfica y=x2 que está más cerca de (2.2 559 y = x 3 − x 2 . ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja?.4π ] 2 572 XXXVI Resuelve los siguientes problemas. 10 .0) Determinar los puntos si los hay donde la gráfica de la función tiene una recta tangente horizontal: y=x4-8x2+2 1 550 y = x2 547 y= x+4 545 y= 1 x2 546 y= 1 (3x + 1)3 9 548 y = cos x 2 549 y = tan 2 x 2 x 551 y = 2− 552 y=2 x 553 y = 2x + 1 XXXII Determinar cualesquiera de los puntos críticos de la función. Determinar el (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los cuales la función es creciente o decreciente.1) 543 y = sen2 x (π.2) 2 4 x3 y = 3 x 2 − 2 (3. 579 Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro de 100 metros y el área máxima. Para estas cajas el largo de la base debe ser el doble del ancho. El estudio de esta empresa revela que por cada incremento de 50 centavos en la tarifa. 500.00 por viaje. y el material para la base cuesta $100. 587 Una fuente luminosa se localiza sobre el centro de una mesa circular de 4 pies de diámetro. pagando una tarifa de $3.-300. V. 592 Una universidad desea diseñar una pista de carreras mediante un rectángulo de largo l y extremos en forma de semicírculos con diámetro (2r) coincidente con el ancho del rectángulo. 590 El jefe de la oficina de personal de la empresa Duro de México. 0. es necesario rellenar una parte de un valle donde los declives (pendientes) son de 9 y 6% (ver figura). Encontrar la altura h de la fuente luminosa tal que la iluminación I en el perímetro de la mesa sea máxima si I=(sen α)/s2. Encontrar las dimensiones para que la ventana tenga área máxima si el perímetro total es de 16 pies. la distancia horizontal entre los dos puntos es de Y 1000 pies.00 por metro lineal encuentra las dimensiones de la bodega menos costosa.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. 200. El costo de las paredes exteriores será de $150. mientras que el costo del material para los lados es de $60. y = 25 − x 2 . La parte superior de la región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos pendientes en los puntos A y B. La longitud total de la 11 . 300. de C.00 para obtener mayores ingresos y solicitan un estudio a una empresa consultora. 583 Una ventana norman se construye juntando un semicírculo en la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. 588 La Compañía de Envases metálicos. S. 100. 582 Un granjero planea cercar un pastizal en forma rectangular con un área de 180. desea hacer volantes para solicitar personal.00 por metro cuadrado. Encuentra el costo del tipo de caja más económica que se pueda construir con las características anteriores. -400. -200.A. desea construir una bodega rectangular sobre una superficie de 5000 metros cuadrados de área. desea fabricar depósitos de metal con forma rectangular sin tapa que tengan una capacidad de 10 dm3. A. que largo y ancho debe tener 585 Encontrar el volumen del cono circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio r. 400. En la actualidad un promedio de 6000 pasajeros toman el tren diariamente. Si la función cuadrática que describe la 1000pies parte superior de la región rellenada en el intervalo -500 A B ≤x≤500 es y=(3/40000)x2DE 6% DECL IVE D ECLIVE D (3/200)x+75/4 E 9% a) Construir una tabla en la X que se indiquen las profundidades del relleno para x= -500. La bodega tendrá dos cuartos rectangulares separados por una pared interior. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 581 . 584 Un rectángulo esta delimitado por el eje x y el semicírculo el rectángulo de manera que su área sea un mínimo. Las autoridades están pensando en subir la tarifa a $4. b) ¿Cuál será el punto más bajo de la autopista? ¿Estará directamente sobre el punto donde se juntan los dos declives?. y el costo de las paredes interiores será de $90. A. ¿Qué dimensiones requerirán la cantidad mínima de cercado?.00 por metro cuadrado. La resistencia S de la viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. donde s es la distancia del borde de la mesa a la fuente luminosa y α es el ángulo al cuál la luz incide sobre el borde de la mesa y k es una constante. y 2 cm en cada lado. Los volantes deben tener un área impresa de 150 cm2. con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior.00 por metro lineal. Encuentra la tarifa óptima para obtener el mayor ingreso. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más fuerte que puede cortarse a partir de un leño redondo de 24 pulgadas de diámetro (S=kh2w).000 m2 para proporcionar suficiente pastura al rebaño. ¿Qué dimensiones deben tener los volantes para que se use la menor cantidad posible de papel? 591 Las autoridades de transito de la ciudad de Monterrey operan una línea de tren subterráneo desde un suburbio hasta el área metropolitana. la cantidad de pasajeros se reducirá en 1000 pasajeros por día. 586 Una viga de madera tiene una sección transversal rectangular de altura h y de ancho w. -100. S. S. 589 La Empresa Almacenes Nacionales. Para construir una autopista. Determina l y r. ∫ (x + 3)dx 594 ∫ (2 x − 3 x )dx 595 ∫ (x + 2 )dx 596 ∫ (x + 2 x + 1)dx 597 ∫ x dx 593 1 ∫x 598 2 2 2 3 XXXVIII 608 609 610 ∫y 601 2 2 2 y dy Encontrar la integral definida de la función. de modo que el área encerrada por la pista sea lo más grande posible. ¿Cuál es el área encerrada por la pista en este caso?. 1 607 ∫ dx 603 ∫ (2 senx + 3 cos x )dx 604 ∫ (1 − csc t cot t )dt 605 ∫ (sec θ − senθ )dθ 606 ∫ (tan y + 1)dy 602 dx x2 + x +1 599 ∫ dx x 600 ∫ ( x + 1)(3 x − 2 )dx 3 3 3 ∫ ∫ (x − 2)dx ∫ (t − 2)dt 0 0 2xdx −1 1 ∫ 4 1 u−2 du u −1 1 612 2 −1 ∫( 1 611 ∫ 0 614 ) t − 2 dt x− x dx 3 1 3 2 ∫ 616 ∫ π 3 617 ∫ (2 − csc x )dx 4 0 6 −π π −1 1 − sen 2 x dx cos 2 x π 615 ∫ (t − t )dt π ∫ (1 + senx )dx 0 613 3 π ∫ 618 π sec xdx ∫ (1 + 2 x ) (2)dx 621 ∫ 9 − x (− 2 x )dx 622 ∫ x (x + 3) dx 623 ∫ x (x − 1) dx 624 ∫ x x + 2dx 625 ∫ 5 x ( 1 − x )dx 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 626 627 628 2 x ∫ (1 − x ) 2 3 ∫ x 1 − x2 x2 ∫ (1 + x ) 3 2 3 dx dx dx 1 1 629 ∫ 1 + 2 dt t t 2 630 ∫ dx 2x x 2 + 3x + 7 631 ∫ dx x 4 sec x tan xdx 3 ∫ (2 x + cos x )dx 619 2 3 −π 2 −π 2 6 2 2 4 0 XXXIX Encontrar la integral indefinida y comprobar el resultado mediante derivación. 620 π 2 t − dt t 633 ∫ (9 − y ) y dy 632 ∫t 2 ∫ πsen(πx )dx 635 ∫ sen(2 x )dx 634 1 1 ∫ x cos x dx 637 ∫ sen 2 x cos 2 xdx 638 ∫ sec(1 − x ) tan (1 − x )dx 639 ∫ tan x sec xdx 636 2 4 2 csc 2 x 640 ∫ dx cot 3 x 2 641 ∫ cot xdx ∫x 643 ∫ x x + 2dx 642 644 ∫ 2 1 − x dx x2 −1 dx 2x − 1 645 646 −x ∫ (x + 1) − x +1 dx ∫ (3x − 2) dx 4 1 dx x 1− 2 x 3 648 ∫ dt 1− t2 2 649 ∫ tsent dt 647 ∫ ( ) ∫ (cos x )e dx 651 ∫ 6( x − 4 ) dx senx 650 5 5 652 ∫ (z − 4) 653 ∫ v + (3v − 1) dv 5 dz 1 3 t2 − 3 ∫ − t 3 + 9t + 1 dt x2 655 . ∫ dx x −1 654 12 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA pista debe ser de 2 kilómetros.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. XXXVII Encontrar la integral indefinida y verificar el resultado mediante derivación. 2 ) − 1 e x dx x − 1dx 676 677 678 679 680 681 682 ∫ x cos xdx . el eje x. sen x dx cos x 3 688 ∫ tan xdx dx dx 4x2 + 9 − 5x 3 dx 2 x +5 2 5 ∫ ∫ x −9 2 702 . ∫ 2 dx 4 x + 4 x + 65 . 658 . el eje x. ∫e 701 . 656 ex ∫ 1 + e x dx ∫ (1 + 2 x ) dx 2 2 657 . 4 715 . ∫ dt 2 1 − (2t − 1) tan (2 / t ) . ∫ t csc t cot tdt . ∫ −x dx e +1 ln x 2 . ∫( 700 . xdx 687 692 1 ∫ 696 2 XL Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. y = cos x . 706 . ∫ dt t2 3 . ∫ t ln (t + 1)dt 3 x . ∫ x senxdx . x=π 717 . 697 . ∫x . 714 .PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. el eje x y el eje y. ∫ e x 1 − e 2 x dx 3 2x 3x x 2 2 cos 3 x ∫ sen 4 x dx sen 3φ 684 ∫ dφ cos 2 φ 683 685 4 3 ∫ cos xsen xdx 686 ∫ sen 5 703 689 ∫ cot (2 x )csc(2 x )dx 705 . y= 13 . 2 x3 . y = x − x 2 y el eje x. ∫ dx 6x − x2 4 . 1 . y = x + senx . 716 . 713 . y = (3 − x ) x y el eje x. 711 . 710 . ∫ dx cos x −1 . 719 . ∫ 698 . 695 . . x=2. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA . ∫ (ln x )2 dx x xe 2 x 673 . ∫ dx (2 x + 1)2 674 675 ∫ (x . 690 693 ∫ 694 . 659 . ∫ x e dx . x2 718 . 1 − x2 dx x4 1 ) 708 . 709 . 1 + e 2 x dx 2x 1 ∫ 4 + 4x 2 + x4 dx 1 dx −1 3 ∫ x 2 + x − 2dx 5− x ∫ 2 x 2 + x − 1dx x 2 + 12 x + 12 ∫ x3 − 4 x dx 2 x 3 − 4 x 2 − 15 x + 5 ∫ x 2 − 2 x − 8 dx 4x2 + 2x − 1 ∫ x3 + x 2 dx x 2 + 3x − 4 ∫ x3 − 4 x 2 + 4 x dx x2 − 1 ∫ x3 + x dx x2 ∫ x 4 − 2 x 2 − 8dx x ∫ 16 x 4 −1dx x2 + 5 ∫ x3 − x 2 + x + 3dx ∫x 704 . x=1. ∫ xe −2 x dx 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 2 ∫ x cos 2πx dx ∫ x e dx . ∫ e5 x dx 660 2 . ∫ csc πx cot πxdx . 3 sen 2φ ∫ cos 4 φ dφ dx 691 ∫ 2 sen x cos 4 x 707 . y = 1 − x y el eje x. ∫ dx x 1 + senx . ∫ sen3 x dx cos5 x x dx 2 x +9 1 dx 16 − x 2 ∫ 16 − 4 x 2 dx 712 . ∫ e senxdx ∫ e sen(2 x )dx ∫ x ln x dx ∫ xe sen(x )dx . ∫x 699 . y = 0.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. y = x + 2 x + 1. x . f (y) = y . y = x − 4 x. x = 0 1 3 757 . y = senx. 756 . y = 0. 2 730 731 XLII Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor del eje dado. Alrededor del eje x. x = 0 Alrededor del eje y=4.x=0. y = 0. x = 3 x +1 1 . 2 . y = − x 2 + 2 x + 5. y = x + 2 x + 1. x = 4 746 . y = x + 1. y = − x + 1. y = 2. 2 3 . y = 0. y = x − 1 726 727 729 733 2 . x = 1. y=0. y= 2 758 y= 1 . y = 3 x + 3. y = 1 754 . x = 0 739 740 . y = x3 747 748 x2 744 . y = 0. y = x + x . . 734 ( ) 3 . x = 0. y = 9 − x . y = x . y = 3 x + 1 . x = π x = − y 2 + 4 y. 735 f (x ) = 2 senx. 10 f (x ) = . 728 . 736 737 738 . y = −1. y = 0. y = 16 − x 2 . y = 2 x + 5. x = 0. y = 3 x + 1. y = 2.0 ≤ x ≤ 2π −x2 . y = 3. y = 0. 2 722 723 724 725 3 . x = 2. y = 0. y = 0. 749 XLIII 1 . x = 0 2 752 . y = . 2 .− 1 y = x 3 + 2. y = 10. y = 2 x + 2 x + 3. 732 2 2 . y = 2. 2 750 . y = 0. g (x ) = 2 − cos x. x = 0. y = 4.0 ≤ x ≤ 1 . 2 x − y + 3z = 9 759 . x = 3 1+ x Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. x = 0 2 755 . y = x. x = 0. x = 3 . y = x + 1 2 . x = 0. x = 0. y = x. f ( y ) = y + 1. y = x . y = 0. y = 4 − 4 Alrededor del eje y. y = 0. y = 3(2 − x ). 3 x + y + 2 z = 11 x− y+z =3 3x − 4 y − z = 1 761 x − y + 3 z = 3 3 x − 2 y + 2 z = 0 x+ y+z =0 763 3 x + y + z = 2 5 x − 2 y + 3 z = −8 x − 4 y + 5 z = −4 760 x + 3 y + z = 6 2 x − 3 y + 2 z = −6 x − 3 y − 7 z = 6 762 4 x + y = 7 2 x + 3 y + z = 9 3 x − 5 z = −1 764 2 x + 7 y = 6 x + y + z = 5 14 . y = 2 − x. y = 9 − x 2 . y = 3 x − x . y = x . x = 1. y = x − 4 x + 3. . y = 4. x = 0. x = 1 y = x 2 + 1. y = 0. . 721 . x = 0 751 . x = 0 741 742 743 745 . 3 . x = 0. y = ( x − 1) . y = x . x = 4 x . y = 0. x=2. x = 3 753 . g (x ) = tan x. g ( y ) = 0. y=0 XLI Dibujar la región acotada por las gráficas de las funciones y encontrar el área de la región. x = 0 y = x 3 . g(y) = y + 2 π ≤x≤ π 3 3 .y = x . y = x 2 . y = 4 − x 2 . x = 2 2 . f ( x ) = cos x. y = e − x . y = 1. y = 0. x = 0 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 720 . f ( x ) = xe . y = 0. y = x 2 − 6 x.x=2. 1 − 2 3 2 1 0 787 2 0 2 1 788 − 4 3 2 0 789 0 2 786 3 4 1 791 2 1 2 792 4 3 790 − 1 3 2 4 3 5 0 1 − 1 5 0 1 − 3 0 2 793 4 3 0 794 2 1 − 1 5 0 2 − 3 0 2 4 3 0 0 1 15 . MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA x+ y−z+w=0 3 x + 2 y − 2 z − 3w = 7 767 2 x − 4 y + 3 z + 2 w = 8 2 x + 2 y − z − w = 1 x− y−z =0 765 2 x + 3 y + 6 z = 3 4 x + 2 y + 2 z = 3 x + 2 y + 3z = 4 766 2 x + y + z = 1 3 x + 3 y + z = 2 XLIV Evalúe los siguientes determinantes. si existe. x− y+z−w=3 x + y + z + w = −5 768 x − 3y − z − w = 9 x + y − z + w = 1 3 6 4 −5 4 0 1 6 −3 7 770 7 5 −9 6 3 7 5 0 1 771 3 4 2 6 1 3 XLV 0 3 772 0 3 5 2 1 0 4 1 3 −2 2 3 1 4 3 3 774 6 9 2 0 775 6 4 2 2 3 1 1 1 2 2 1 0 1 1 −1 2 0 −2 1 6 0 0 1 3 4 2 6 3 773 2 5 8 2 3 4 7 4 8 2 − 2 1 2 3 4 − 3 4 3 2 1 5 1 784 2 1 2 785 4 3 2 1 2 1 4 1 776 0 2 3 2 777 1 0 8 2 1 4 2 3 0 1 8 0 2 1 3 0 1 2 4 2 3 4 0 2 1 3 Realice las siguientes operaciones.PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. Verifique su resultado en la fórmula AA-1=I. 1 2 769 . de cada una de las siguientes matrices. 1 − 2 1 2 3 3 2 3 2 1 1 − 1 2 3 4 0 − 2 779 4 1 5 2 4 778 1 − 1 2 3 4 780 0 − 2 4 1 5 2 4 1 781 4 0 1 782 2 1 2 4 2 − 1 3 5 4 0 0 1 3 − 3 2 − 1 5 1 2 783 4 0 2 2 3 3 − 3 0 1 0 5 1 0 2 4 2 − 1 3 5 + 4 0 0 1 3 − 3 − 1 5 1 2 0 2 − 2 3 − 3 0 1 0 5 1 0 4 5 1 4 5 1 XLVI Encuentre la inversa. PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA 1 2 3 795 4 − 1 1 0 1 2 1 − 1 5 796 2 − 1 3 3 0 − 6 0 0 6 797 − 6 6 0 0 − 3 2 4 −6 1 798 − 1 − 1 1 − 4 11 − 1 − 2 3 − 3 799 2 2 3 3 − 2 2 16 .