Investigación de operacionesProgramación lineal Programación Lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible. PROBLEMA 1. Un fabricante tiene cuatro órdenes de producción: A, B, C y D. La tabla que se incluye indica el número de horas-hombre que se requieren para fabricar estas órdenes en cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria. Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes. Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, establezca el planteamiento del problema (Función objetivo y restricciones). Defina las variables a emplear y explique su significado. PROBLEMA 2 La compañía Tejas Ltda., es un contratista grande que realiza trabajos de techos. Puesto que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuando las haya adquirido. La tabla que aparece al final refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo de manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento de $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacena. Lo máximo que se puede guardar en el almacén son 220.000 piezas, esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo período. La compañía ha fijado como política no conservar materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que permita a Tejas Ltda., maximizar sus utilidades para un período de cuatro temporadas. por otros compromisos. 2 y 3). 700 y 600 toneladas de madera. En la siguiente tabla se da el costo de transporte de las compañías madereras a las fábricas de muebles ($/Tonelada). las otras dos compañías madereras usan camiones. La primera fábrica de madera usa el ferrocarril como medio de transporte y no hay un límite al peso que puede enviar a las fábricas de muebles. lo cual limita a 200 toneladas el peso máximo que puede enviar a cualquiera de las fábricas de muebles. siendo los de mayor aceptación por el público. Los datos de la investigación realizada indicaron las especificaciones y los precios de venta siguientes: . Los primeros dos fabricantes de madera tienen virtualmente un suministro ilimitado mientras que. ha constatado la existencia de un mercado para paquetes de tornillos a granel en distintos tamaños. PROBLEMA 4 Un cierto fabricante de tornillos. Por otra parte. Los datos de la investigación de mercados han demostrado que se podrían vender cuatro clases de paquetes con mezclas de los tres tipos de tornillos (1.PROBLEMA 3 Un fabricante de muebles tiene tres plantas que requieren semanalmente 500. Formular y resolver el problema sabiendo que se quiere minimizar los costos de transporte. El fabricante puede comprar la madera a tres (3) compañías madereras. el tercer fabricante no puede surtir más de 500 toneladas por semana. Teniendo en cuenta que la producción es eminentemente manual. alquileres de bodega. Después de estudiar las tendencias presentadas. Las ventas realizadas en promedio en los cinco últimos años es . El costo unitario de producción es de $1.) de $100 (cien pesos). Se empieza en el período con un stock de 60 unidades y se desea que al final del período quede una existencia de por lo menos 50 unidades como stock de seguridad. Por consiguiente.000 (mil pesos) y los costos de almacenamiento por unidad y mes (teniendo en cuenta la obsolescencia. se ha visto la conveniencia de acompasar.mes a mes – la señalada en la tabla. se tiene la seguridad de que las ventas van a experimentar un 8% de incremento. sino más bien evitar gastos excesivos de almacenaje. la producción a las necesidades mensuales de la demanda. no existe gran ventaja en producir en grandes cantidades. suponiendo que puede vender todo lo que fabrique? PROBLEMA 5 En una industria pequeña de fabricación de cocinas de gas se debe programar la producción por un período de seis meses. .Para estos tornillos la capacidad de la instalación y los costos de fabricación se indican a continuación: ¿Cuál sería la producción que debe programar este fabricante para obtener la Ganancia máxima. etc. en lo posible. Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente cuadro: Producto Componentes Precio de Venta (S/. es decir las unidades del producto X1 más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe ser menor que 15. Esta función llamada objetivo será óptima si consideramos las restricciones mencionadas.000 2X1 + X2 <= 10. . 2) Función Objetivo: max Z = 4X1 + 3X2 Restricciones: X1 + 3X2 <= 15.000 X1.000 unidades. X2 son la unidades del producto 2 cuyo precio de venta es 3 soles. X2 >= 0 Para el problema la función objetivo Z = 4X1 + 3X2 indica que X1 son la unidades del producto 1 cuyo precio de venta es 4 soles. establecer la programación óptima para el período de Seis meses y calcular el costo total. es decir que sea mas rentable eligiendo un número determinado de componentes para la elaboración de cada producto./Unidad) C1 C2 P1 1 2 4 P2 3 1 3 Dispone 15000 10000 Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de ventas Solución 01: Xi = unidades del producto a producir (i = 1.La capacidad de producción para cada mes se señala a continuación: Con los datos anteriores. Este problema busca encontrar una ecuación matemática que optimice el ingreso de ventas. PROBLEMA 6. para conseguir 3 tipos de abonos 1. FLORANID S. B y C. La función objetivo esta en función al producto de lo costos unitarios y unidades a producir.3) Función Objetivo: min Z = 100X1 + 150X2 +200X3 Restricciones: Mes 1: X1 <= 900 X1 >= 300 Mes 2: X2 <= 900 X1 + X2 >= 650 Mes 3: X3 <= 900 X1 + X2 + X3 >= 1050 El objetivo de este problema es minimizar los costos en función de una serie de restricciones (capacidad de producción y compromiso de venta). y 3.Así mismo no sólo consiste en encontrar la formula matemática sino que esta en función una serie de restricciones para que se logre la optimización.. su disponibilidad es limitada y sus costos son los siguientes: . 2. / unidades) 100 150 200 Venta (Unidades) 300 350 400 Se pide formular el problema: Solución 03: Xi = Producción en el mes i (i=1.2. Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual de venta a EXPORTPERU son como sigue: Mes 1 2 3 Costo de Producción (S/.A. PROBLEMA 7: La capacidad de producción de TEXTIL-PERU es de 900 unidades mensuales. PROBLEMA 8. es una empresa dedicada a la comercialización de abonos para plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A. En cuanto a los ingredientes. En las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes. INGREDIENTE A B C CANTIDAD DISPONIBLE (kg) 4.75 X11 – 0. Además de lo anterior.40 X21 0 .000 pts/kg Abono 3 1500 pts/kg.500 1. nos ha facilitado. no menos del 25 % de A y no más del 40 % de C.300 1.000 Los costos de los abonos son: Abono 1 2.000 pts/kg Abono 2 3.40 X11 – 0. y para el abono 3. para el abono 2. no menos del 35 % de B.25 X21 – 0.60 X31 – 0. podemos construir un primer esquema que nos permitirá desarrollar el modelo de programación lineal para la resolución del problema: INGREDIENTE S A B C ABONOS 1 X11 X21 X31 2 X12 X22 X32 3 X13 X23 X33 CANTIDAD DISPONIB LE (kg) 4000 6000 2000 COSTOS (pts/kg) 1300 1500 1000 VARIABLES DE DECISIÓN Xij : cantidad de ingrediente del tipo i para cada tipo de abono j. con los datos facilitados. no menos del 20 % ni más del 30 % de B y no más del 15 % de C.A.000 COSTOS (pts/kg) 1.25 X31 0 0.000 6. no menos del 30 % de A.000 2. los ingredientes han de mezclarse en proporciones específicas para asegurar una combinación adecuada: Para el abono 1. RESTRICCIONES X11 + X12 + X13 4000 X21 + X22 + X23 6000 X31 + X32 + X33 2000 Restricciones de disponibilidad 0. Con todos los datos que FLORANID S. nos piden que determinemos: ¿Cuánta cantidad de cada tipo de abono hay que producir de forma que se maximice el beneficio de la compañía? Así pues. 30 X32 0 – 0. y en la siguiente página presentamos el último cuadro del SIMPLEX.0.15 X12 0 – 0. SOLUCIÓN ÓPTIMA: X11 = 0 X12 = 4000 X13 = 0 X21 = 0 X22 = 2182 X23 = 490 X31 = 0 X32 = 1091 X33 = 909 Z 12700000 = S1 = 0 S2 = 3328 S3 = 0 S4 = 0 S5 = 0 S6 = 1818 S7 = 727 S8 = 0 S9 = 0 S10 = 0 . en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la solución óptima hallada a través de los cálculos.15 X22 – 0. la función objetivo y las restricciones sujetas a ella.30 X12 – 0.65 X23 – 0.20 X32 0 – 0.20 X12 – 0.35 X13 – 0.70 X12 0. una vez definidas las variables de decisión.30 X32 0 – 0. hemos trabajado los datos para proceder a su resolución.80 X22 mezcla 0.85 X32 0.30 X22 – 0.35 X33 0 Restricciones específicas de la FUNCIÓN OBJETIVO Abono 1: Bº = Ingresos – Gastos 2000(X11 + X21 + X31) – 1300X11 – 1500X21 – 1000X31 = 700X11 + 500X21 + 1000X31 Abono 2: 3000(X12 + X22 + X32) – 1300X12 – 1500X22 – 1000X32 = 1700X12 + 1500X22 + 2000X32 Abono 3: 1500(X13 + X23 + X33) – 1300X13 – 1500X23 – 1000X33 = 200X13 + 500X33 Max (700X11 + 1700X12 + 200X13 + 500X21 + 1500X22 + 1000X31 + 2000X32 + 500X33) Así pues.70 X22 0. Por tanto. X21 . X13 . tal y como se ve reflejado en la solución del modelo de programación lineal que hemos definido. X22 .En este cuadro se destaca principalmente la presencia de 10 variables de holgura (S). S2 . X31 . por lo que no vamos a producir nada de él. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 horas en la segunda máquina. Cada unida de A requiere 2 horas en cada máquina y 5 horas en una segunda máquina. a partir de los cuales produciremos y venderemos 1399 kg del abono tipo 3. S9 . S8 . X32 . sin utilizar nada del ingrediente A. S3 . X33 . S7 . S10 Así pues. podríamos clasificar las variables de la solución de la siguiente forma: Variables básicas: X12 . A y B. S6 . estas serían las combinaciones de ingredientes y las cantidades de abono producidas que nos permiten maximizar el beneficio: Abono 1: No utilizamos ningún ingrediente para conseguir este tipo de abono. Se dispone de 100 horas a la semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda máquina. S4 . S1 . Abono 3: Para producir este tipo de abono emplearemos 490 kg del ingrediente B y 909 kg del ingrediente C. 2182 kg del ingrediente B y 1091 kg del ingrediente C por lo que vamos a producir y vender 7273 kg del abono tipo 1. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total? PRODUCTO A B HRS MÁQUINA 1 2 4 HRS MÁQUINA 2 5 3 UTILIDAD $ 70 POR KILO $50 POR KILO . Variables no básicas: X11 . (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos productos. Por tanto. S5 . Abono 2: Para conseguir este tipo de abono emplearemos 4000 kg del ingrediente A. X23 . cada una de las cuales hace referencia a cada una de las restricciones que condicionan a la función objetivo. PROBLEMA 9. puesto que ya sabemos que una variable básica es aquella cuya solución óptima es diferente de cero. Solución: ¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2 …….000. x2 > 0 Problemas de Solución de Modelos con el Método Gráfico PROBLEMA 10. la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo. (2) 5x1 + 3x2 < 110 ………. El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente. En este caso 1. El riesgo es una medida relativa de las dos inversiones alternativas.. conteste lo siguiente: 1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción? 1. También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.3 ¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada? . Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones. Limitando el riesgo total para la cartera.(3) lo que queda Planteado x1. La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa. ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico? 1.. El monto total disponible para invertir es de $80.(1) Sujetos a: 2x1 + 4x2 < 100 ……. x2 ≥ 0 1. 1.1. 2x1 + x2 ≤ 4 x1 + 2 x2 ≤ 3 x1 ≥ 0 . Suponga que cambia a 9. 2. Resuelva el siguiente problema: Max Z = x1 + (1/2) x2 s. r. Resolver empleando el método del Simplex (forma Tabular) . Resuelva el siguiente problema: Max Z = 2x1 + x2 s. Resolver gráficamente. ¿Cómo se llama este Análisis que se hace? PROBLEMA 11. Resolver empleando el método del Simplex (forma Tabular) PROBLEMA 12. r.5 ¿Qué efecto tendría sobre la solución óptima encontrada un cambio en el retorno anual de cada acción Tipo 2.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene.2x2 ≤ 2 x1 ≥ 0 . -x1 + x2 ≤ 1 x1 . x2 ≥ 0 1. Explique y muestre sobre el gráfico. 2. Resolver gráficamente.
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