ProblemarioFunciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 1 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos Sea f(x) = ekx y f(2) = 5. Halle el valor f(6). (Sin calcular el valor de k, utilice propiedades de los exponentes). PROBLEMA 2 Sea G(t) = Aekt y los puntos (0, 20) y (2,30) pertenecientes a la función G(t). Halle el valor G(8) (Utilice propiedades de los exponentes) PROBLEMA 3 El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dada por: N(t) = Noekt a) Encuentre k si se sabe que, después de una hora, la colonia ha extendido a 1,5 veces su población inicial. b) Encuentre el tiempo que tarda la colonia para cuadruplicar su tamaño. PROBLEMA 4 La población de una cierta comunidad después de t años es aproximadamente de P(t) = 1700ekt. Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿cuál será la población en 50 años? PROBLEMA 5 La cantidad que queda de 50 gramos de plutonio 239 después de t años está dada por la función: g(t) = 50e-0.0000287t . Determine: a) El porcentaje de plutonio 239 que habrá desaparecido después de 1500 años. b) La vida media del Plutonio 239. 2 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 6 Todos los seres vivos contienen carbono 12 que es un elemento estable y carbono 14, que es radiactivo. Mientras una planta, un animal está vivo el cociente de estos dos isótopos de carbono permanece constante, debido a que el carbono 14 se renueva continuamente, pero al morir, no se absorbe más carbono 14. La ley de desintegración radioactiva mediante la cual es posible calcular la cantidad remanente de C14 es: Q(t ) Q(0)e , donde k es un número real negativo y representa la constante de desintegración del material orgánico. kt Si la vida media del C-14 es de 5600 años y se encontró un fósil con una milésima de C-14 correspondiente a la que el organismo contenía mientras vivía. ¿Qué edad aproximada tiene el fósil? PROBLEMA 7 Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función: N (t ) 10000 5 1245e 0.97 t Donde N(t) representa el número de personas contagiadas después de t días de haberse iniciado la propagación de la epidemia. Se desea conocer: a) ¿Cuántas personas infectadas por el virus dan inicio a la propagación de la enfermedad? (t = 0) b) El número de personas infectadas después de un día y después de cinco días de iniciada la epidemia. c) Grafique la función con los programas disponibles en el blog de la asignatura (graphmatica o geogebra) y describa el comportamiento de la curva. 3 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 8 Los biólogos han determinado que bajo ciertas condiciones ideales el número de bacterias f(t) presentes en un cultivo t minutos después, crece exponencialmente. Supongamos que f(t) = Ae kt. Si inicialmente están presentes 2.000 bacterias y 20 minutos después hay 6.000 bacterias. ¿Cuántas bacterias estarán presentes al transcurrir 1 hora? PROBLEMA 9 Bajo ciertas condiciones ideales, el número de bacterias presentes en un cierto cultivo, pasados “t” minutos, se expresa mediante la función exponencial f(t)=Ae0,04t . Si en el momento de iniciar el estudio se tenían 1.500 bacterias, determina en cuanto tiempo habrá 15.000 bacterias en el cultivo. PROBLEMA 10 De acuerdo con un modelo logístico basado en el supuesto de que la tierra no puede soportar más de 40.000 millones de personas, la población del mundo (en miles de millones9 t años después de 1960 viene dada por una función de la forma , donde C y k son constantes positivas. Hallar estas constantes si en 1960 la población mundial era aproximadamente 3 mil millones y de 4 mil millones en 1975. PROBLEMA 11 La forma de crecimiento exponencial viene dada por la función donde r es una constante positiva y representa la tasa de crecimiento de la población bajo estudio. Se estima que la población de un cierto país crece exponencialmente. Si la población era de 60 millones en 1974 (año considerado como t=0) y de 90 millones en 1979. ¿Cuál será la población en 1989? 4 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 12 La escala pH se define de la manera siguiente: pH=−log [H], donde H denota la concentración de iones de hidrógeno, también conocida como acidez. a) ¿Cuál es el pH de una muestra de lluvia ácida que tiene una concentración de iones de hidrógeno de 3 x 10-5? b) ¿Cuánto más ácida es el agua con un pH = 6.8, que el agua con un pH = 7.6? c) Si la acidez del agua salada (concentración de iones de hidrógeno) es aproximadamente10-9, entonces, ¿cuál es el pH? d) Si la acidez ideal para el terreno donde se cosechan papas es de 5 x 10 -8, ¿cuál es el pH del terreno? PROBLEMA 13 En la Escala de Richter, la magnitud R de un terremoto se define por: R log(x / x0 ) donde x es la amplitud de la onda sísmica mayor del terremoto y xo es una amplitud de referencia que corresponde a la magnitud R = 0. a. Calcule la magnitud de un terremoto para el cual, la mayor amplitud que el sismógrafo registró fue de 106 veces la amplitud x0. b. Si en un terremoto se registró una magnitud de 7 en la escala de Richter ¿cuántas veces más grande fue la amplitud de la onda sísmica mayor de dicho terremoto, comparada con la amplitud de referencia? c. En un terremoto reciente en Chile los sismógrafos señalaron una magnitud de 8.3 en la escala de Richter y a los dos días una réplica de magnitud 6.5. ¿Cuánto veces más grande fue la amplitud de la onda sísmica mayor de dicho terremoto comparada con la amplitud de la onda sísmica mayor de la réplica? 5 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 14 Se saca de un refrigerador una bebida fría en un cálido día de verano y se pone en una habitación es de 30°C. De acuerdo con una ley física establecida por Isaac Newton, la temperatura de la bebida “t” minutos después viene dada por la función: F(t) 30 A e k t Si la temperatura de la bebida al salir del refrigerador era 5 °C y a los 5 minutos ascendió a 10 °C determina: a. Los valores de las constantes “A” y “k”. b. ¿Cuál será la temperatura de la bebida a los 15 minutos? c. ¿Cuándo llegará la bebida a tener una temperatura de 25 °C? PROBLEMA 15 Los rollos del Mar Muerto se escribieron en papiros cerca del año 100 a.c. ¿Qué porcentaje del carbono 14 original permanecía en el papiro cuando se descubrieron los rollos en 1947? Tenga en cuenta que el carbono-14 (C14) es una forma radiactiva del carbono que se encuentra en todas las plantas y animales vivos. Una vez que el ser muere, la cantidad inicial “Q(0)” de C14 presente en el organismo al momento de morir, comienza a desintegrarse exponencialmente. Además, la vida media del C14 es 5.730 años, esto es, se requiere de este tiempo para que cualquier cantidad inicial de C14 pase a la mitad. La ley de desintegración radioactiva mediante la cual es posible calcular la cantidad remanente de C14 es: Q(t ) Q(0)e , donde k es un número real negativo y representa la constante de desintegración del material orgánico. kt 6 Funciones exponenciales y logarítmicas. Aplicaciones y modelos PROBLEMA 16 La escala Richter es usada para medir la magnitud de un terremoto, usando la fórmula E R log I0 donde E es la intensidad de un terremoto siendo medido y I0 es la intensidad de una unidad estándar de terremoto. Si llamamos I0 1 unidad, entonces, la fórmula se reduce a R = log (E). a. Escribe esta fórmula de forma exponencial. b. El terremoto de San Francisco en el año 1989, registró una magnitud de 6.9 en la escala Richter. El número de víctimas fatales fue de 62. En el año 1906, en esta misma ciudad, ocurrió un terremoto que midió 8.3 en la escala Richter. La cantidad de víctimas fatales fue de 503. Calcula cuán más poderoso (intenso) fue el terremoto del año 1906, que el del año 1989. c. En el año 2003, hubo un terremoto en el sur de Irán que registró 6.6 en la escala Richter. El número de víctimas fatales fue una cifra trágica de 31,000. ¿Cuán menos poderoso fue este terremoto que el de San Francisco en el año 1989? ¿Por qué tú crees que la cantidad de víctimas fatales fue mucho más alta? ¿Qué factores podrían haber contribuido a la enorme diferencia en fatalidades? d. Supón que un terremoto en la ciudad de Los Ángeles es la mitad de poderoso que el terremoto del año 2005 en Indonesia, el cuál midió 8.7 en la escala Richter. ¿Cuál hubiera sido la medida del terremoto de Los Ángeles en la escala Richter? Créditos: Problemas extraídos de los textos: Hoffman & Bradley, Prado, Miller y Stewart 7