Problema Largo Mezcla de Agua Con Hielo Con Cambio de Fase

T5. En un recipiente de masa despreciable, se agregan 0.104 Kg de hielo a -15ºC a 0.190 Kg de agua a 35.0ºC. a) No se pierde calor al entorno, ¿a qué temperatura final llega la mezcla? b) A esa temperatura, ¿cuántos gramos hay de agua y cuántos de hielo? Datos: Hielo: mh = 0.104 Kg Th = −15℃ J J Ch = 2100 Kg.ºC Lhielo f = 334 x 103 Kg Agua: J ma = 0.190 Kg Ta = 35℃; Ca = 4190 Kg.ºC 1  Figura-esquema para mostrar el comportamiento del agua y el hielo al mezclarse CLAVE: Es sencillo entender que en la Ta = 35ºC mezcla agua-hielo la temperatura final habrá de estar en el rango posible −𝟏𝟓 < 𝑻𝒇 < 𝟑𝟓℃. Ahora bien en ese rango los A: procesos de absorción-desprendimiento de Hielo a 0ºC calor son distintos dependiendo de los sub- rangos posibles (indicados a la izquierda) para Tf; esto es, según cada caso, la Tfusión = 0ºC ecuación de igualdad entre 𝑸𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒃𝒊𝒅𝒐 y Mezcla 𝑸𝒄𝒆𝒅𝒊𝒅𝒐 es distinta. de hielo y agua B: Agua a 0ºC Para saber en cuál de las tres opciones se encuentra Tf, ha de realizarse previamente a la resolución del problema un análisis de Th = -15ºC calores absorbidos y desprendidos; análisis que gira alrededor de los dos estados ‘extremos’ posibles en la fusión (todo hielo −15 ℃ < 𝑇𝑓 < 0 (𝟏) a 0ªC o todo agua a 0ºC: ver figura) 𝑇𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 { 𝑇𝑓 = 0 (𝟐) 0 < 𝑇𝑓 < 35℃ (𝟑)  Análisis del punto B: agua a 0ºC (opciones posibles para Tf: (2) ó (3)) Calor Cedido en relación al p.f. Ta = 35ºC (0ºC) 𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎: 35℃ → 0℃) = 0.19 ∗ 4190 ∗ 35 = 27,863.5 𝐽 𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 0 ℃ → ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃) = Tfusión = 0ºC A B 0.19 ∗ 334 𝑥 103 = 63,460 𝐽 { Calor Absorbido en relación al p.f. 𝑄(ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜: − 15℃ → 0℃) = Calor total 0.14 ∗ 2100 ∗ 15 = 4,410 𝐽 Th = -15ºC Calor total { entregado por el 𝑄(ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 𝑎 0 ℃ → 𝑎𝑔𝑢𝑎 0 ℃) = absorbido por el hielo para llegar a agua a 35ºC 0.14 ∗ 334,000 = 46,760 𝐽 agua a 0ªC para llegar a agua a 0ºC 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐚𝐛𝐬 (hielo a − 15ºC → 𝐚𝐠𝐮𝐚 𝐚 𝟎℃ ) = 4,410 + 46,760 = 𝟓𝟏, 𝟏𝟕𝟎 𝐉 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐜𝐞𝐝 (agua a 35℃ → 𝐚𝐠𝐮𝐚 𝐚 𝟎℃ ) = 𝟐𝟕, 𝟖𝟔𝟑. 𝟓 𝐉 Entonces: 2  𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐜𝐞𝐝 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩) > 𝐐𝐚𝐛𝐬 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩) ⟹ 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍: 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒂 ℃ ⟹{ 𝑬𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 𝒍𝒂 ′ 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂′ 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑩  Análisis del punto A: hielo a 0ºC (opciones posibles para Tf: (1) ó (2)) Ta = 35ºC 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐚𝐛𝐬 (hielo a − 15ºC → 𝐡𝐢𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝟎℃ ) = 𝟒, 𝟒𝟏𝟎 𝐉 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐜𝐞𝐝 (agua a 35℃ → 𝐡𝐢𝐞𝐥𝐨 𝐚 𝟎℃ ) = 27,863.5 + 63,460 = Tfusión = 0ºC A B 𝟗𝟏. 𝟑𝟐𝟑. 𝟓 𝐉 En este caso: 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐜𝐞𝐝 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨) > Calor 𝐐𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐚𝐛𝐬 (𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨) ⟹ absor Th = -15ºCbido Calor total entregado por el por el (𝟏) 𝑵𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍: hielo 𝑇𝑓 = 0agua a 35ºC para llegar a 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 𝒂 ℃ para hielo a 0ºC llegar (𝟐) 𝑬𝒍 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒂 ′ a { 𝒍𝒂 ′𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂′ 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑨 ′ 0ºC  Conclusiones del análisis 1) Estado final: Entre A y B: parte agua, parte hielo 2) Temperatura final: Tf= 0ºC Ta = 35ºC Estado final: parte hielo, parte agua Tfinal Tfusión = 0ºC Calor total Calor total Th = -15ºC absorbido por entregado por el el hielo para agua a 35ºC para llegar a llegar a mezcla mezcla hielo- hielo-agua a 0ªC agua a 0ªC a) ¿A qué temperatura final llega la mezcla? Acabamos de ver en las conclusiones que: 𝑻𝒇 = 𝟎 ℃ 3  b) ¿Cuántos gramos hay de agua y cuántos de hielo? Para que Qced = Qabs es necesario ubicarse, como vimos en un estado entre A y B ⟹ El hielo tiene que absorber más calor que sólo el necesario para pasar a 0ºC pero sin llegar a convertirse totalmente en agua y el agua ha de ceder calor para bajar a 0ºC y después hacerse hielo pero sin llegar a que todo sea hielo. 𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + ∆𝑚ℎ→𝑎 𝐿𝑓 = 𝑄(𝑎: 35 ℃ → 0℃) + ∆𝑚𝑎→ℎ 𝐿𝑓 Q absorbido para estado final Q cedido para estado final O bien: 𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + (∆𝑚ℎ→𝑎 − ∆𝑚𝑎→ℎ ) 𝐿𝑓 = 𝑄(𝑎: 35 ℃ → 0℃) donde: Δmh→a es la cantidad de hielo que estaba inicialmente a -15ºC y se hizo agua a 0ºC Δma→h es la cantidad de agua que estaba inicialmente a 35ºC y se hizo hielo a 0ºC Δmh→a - Δma→h = Δmagua es la cantidad neta de agua proveniente de los cambios de estado (hielo→agua y agua→hielo) 27863.5−4410 O sea: 4,410 + Δmagua * 334,000 = 27,863.5 ⟹ Δmagua = = 334000 70 𝑔. 𝒂𝒈𝒖𝒂 Masa total de agua líquida = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 + ∆𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 190 + 70 = 𝟐𝟔𝟎 𝒈 Masa total de hielo = 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 − ∆𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 140 − 70 = 𝟕𝟎 𝒈 Comentarios. o Es interesante darse cuenta de que: 1) si se hubiera contado con bastante más gramos de agua y menos gramos de hielo, la temperatura final superaría los 0ºC; en cambio, 2) si la situación inicial hubiera sido: mucha mayor cantidad de hielo y menor de agua, la temperatura final habría quedado debajo de los 0 ºC. o Este tipo de mezclas objeto frío vs. objeto caliente sirve –en el laboratorio- para obtener el calor específico de uno de los componentes, conociendo el calor específico del otro. Normalmente se realizan en un rango de temperaturas que permita soslayar el cambio de estado (se evitan así problemas innecesarios, desde el punto de vista experimental). Ahora bien, asegurar un dato confiable en este tipo de experiencias no es nada fácil; ello, debido a que el supuesto (en nuestro problema) “no hay pérdidas de calor al entorno”, en la práctica requiere recipientes con un excelente aislamiento térmico. 4 Opciones adicionales en base al primer punto de los comentarios c) Resolver los incisos a) y b) tomando: Masa inicial de agua a 35 ºC, 270 g y masa inicial de hielo a -15ºC, 60 g. NUEVOS DATOS mh = 0.060 Kg Th = −15℃ ma = 0.270 Kg Ta = 35℃  Análisis en el punto B Calor Cedido respecto a B 𝑸𝒄𝒆𝒅 (𝒂𝒈𝒖𝒂: 𝟑𝟓℃ → 𝟎℃) = 0.27 ∗ 4190 ∗ 35 = 𝟑𝟗, 𝟓𝟗𝟓. 𝟓 𝐉 𝑄𝑎𝑏𝑠 (ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜: − 15℃ → 0℃) = 0.06 ∗ 2100 ∗ 15 = 1,890 J Calor Absorbido en relación a B 𝑄𝑎𝑏𝑠 (ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃ → 𝑎𝑔𝑢𝑎 0 ℃) = 0.06 ∗ 334,000 = 20,040 J 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 {𝑸𝒂𝒃𝒔 = 1,890 + 20,040 = 𝟐𝟏, 𝟗𝟑𝟎 𝐉 Vemos en esta situación que: Qced(a: 35→a: 0[estado B]) > Qabs(h:-15→a:0[estado B]), pues 39,595.5 > 21,930 luego concluimos que la Tf ha de estar más allá del estado B (‘a la Ta = 35ºC derecha’), es decir: 0 < Tf < 35 Tfinal  Obtención de la nueva Tf Nos encontramos ahora en una Tfusión = 0ºC A B situación como la de la figura de la izquierda. La igualdad entre calores es ahora: Calor 𝑄(𝑎: −35 ℃ → 𝑇𝑓 ) = total = 𝑄(ℎ: −15 ℃ → 0℃) + 𝑄(ℎ: 0 → entre- 𝑎: 0) + +𝑄(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣 ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 : 0 → 𝑇𝑓 ) ⟹ gado Th = -15ºC por el 0.27 ∗ 4190 ∗ (35 − 𝑇𝑓 ) = agua a Calor total absorbido por 35ºC 0.06 ∗ 2100 ∗ 15 + 0.06 ∗ 334,000 el hielo para llegar a + para agua Tf llegar 0.06 ∗ 4190 ∗ 𝑇𝑓 a agua a Tf La resolución de la ecuación nos arroja: 𝑻𝒇 ≈ 𝟏𝟐. 𝟖 ℃  Cantidades de hielo y agua Evidentemente, al final: 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒗. 𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 = 𝟎𝒈 y 𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒂𝒈𝒖𝒂 + 𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 270 + 60 = 𝟑𝟑𝟎𝒈 5  d) Resolver los incisos a) y b) tomando: Masa inicial de agua a 35 ºC, 40 g y masa inicial de hielo a -15ºC, 840 g. (Esto para que haya menos de 120 gramos de agua y más de 210 gramos de hielo) NUEVOS DATOS mh = 0.840 Kg Th = −15℃ ma = 0.040 Kg Ta = 35℃  Análisis en el punto A 𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎: 35℃ → 0℃) = 0.04 ∗ 4190 ∗ 35 = 5,866 J Calor Cedido en relación a A 𝑄𝑐𝑒𝑑 (𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑎 0 ℃ → ℎ𝑖𝑒𝑙𝑜 0 ℃) = 0.04 ∗ 334 ∗ 103 = 13,360 J 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 {𝑸𝒄𝒆𝒅 = 5,866 + 13,360 = 𝟏𝟗, 𝟐𝟐𝟔 𝐉 Calor Absorbido en relación a A 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒂𝒃𝒔 (𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐: − 𝟏𝟓℃ → 𝟎℃) = 0.84 ∗ 2100 ∗ 15 = 𝟐𝟔, 𝟒𝟔𝟎 𝐉 Vemos en esta situación que: 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒄𝒆𝒅 (a: 35→h:0[estado A])<Qabs(h:-15→h:0[estado A]), pues19,226 >26,460 luego concluimos que la Tf ha de estar más acá del estado A (‘a la izquierda’), es decir: -15 < Tf < 0 Ta = 35ºC  Obtención de la nueva Tf Ahora la igualdad de calores es así: 𝑄(𝑎: −35 → 0) + 𝑄(𝑎: 0 → ℎ: 0) + +𝑄(ℎ𝑝𝑟𝑜𝑣 𝑎𝑔𝑢𝑎 : 0 → 𝑇𝑓 ) = 𝑄(ℎ: −15 ℃ → A B 𝑇𝑓 ) Tfusión = 0ºC 0.04 ∗ 35 ∗ 4,190 + 0.04 ∗ 334,000 + Tfinal + 0.04 ∗ 2,100 ∗ 𝑇𝑓 = 0.84 ∗ 2100 ∗ (𝑇𝑓 − (−15)) La solución, sencilla de obtener, es Th = -15ºC Calor total ahora: absorbido Calor total entregado por por el hielo el agua a 35ºC para llegar a para subir de hielo aTf 𝑻𝒇 ≈ −𝟒. 𝟑 ℃ -15ªC a hielo a Tf  Cantidades de hielo y agua Y ahora tendremos: 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒗. 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒎𝒂𝒈𝒖𝒂 = 𝟎𝒈 y 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 = 𝒎𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 + 𝒎𝒉𝒊𝒆𝒍𝒐 = 840 + 40 = 𝟖𝟖𝟎𝒈 6