UNIVERSIDADNACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA METODOS NUMERICOS Solución de Ecuaciones no Lineales Integrantes : Castillo Aldave, Yuri 070819J Cayo Gonzales, Hans 070804B Ramos Alvarado Ronald 062760J Terreros Macavilca, Jose 052097F Nª de Grupo: 02 P Pr ro of fe es so or r : : R Ra an ng ge el l M Mo or ra al le es s, , F Fa ab bi io o M Ma an nu ue el l G G. .H H : : 0 02 2Q Q Bellavista-Callao 2010 Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 2 Problemas de solución de ecuaciones no lineales 1.2 Una forma alternativa de la ecuación de flasheo en el problema número 1 es: ∑ Encuentre los flujos de vapor y líquido y sus composiciones respectivas usando la ecuación. Previamente demuestre la formula. DATOS: Componente Composición ⁄ 1 0,0079 16,2 2 0,1321 5,2 3 0,0849 2,6 4 0,269 1,98 5 0,0589 0,91 6 0,1321 0,72 7 0,3151 0,28 Balance de materia total (1) (1) Balance de materia para cada componente (2) Relaciones de equilibrio liquido-vapor (3) Restricciones ∑ ; ∑ (4) Sustituyendo la ecuación (3) en (2), se obtiene: (5) Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 3 Luego: (6) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (7) Sustituyendo (6) en (7): ∑ (8) Esta ecuación sirve para el cálculo de , sin embargo, normalmente se calcula la fracción vaporizada, para lo cual, se modifica ligeramente la ecuación, dividiendo entre F, luego se tiene: ∑ Donde 0<<1 Si se desea aplicar el método de Newton Raphson se requiere la derivada de la función ∑ [ ] Asumiendo ⇒ ∑ ………………………lqqd Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 4 Remplazando los valores de la tabla en la sumatoria: – – – – – – Derivando : [ ] [ ] [ ] [ – ] [ ] [ ] [ ] Aplicando el método de NEWTON- RAPHSON: Como 0 ≤ φ ≤ 1 ; tomamos φ 0 = 0.5 ; n φ n g(φ n ) g ´ (φ n ) φ n+1 Error 0 1 2 0.5 0.5488 0.5490 0.0422 2x10 -4 10 -4 -0.8639 -0.8663 -0.8665 0.5488 0.5490 0.5491 0.0488 2x10 -4 10 -4 Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 5 1.12 Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior de la pared, es de 625K, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La perdida de calor de la superficie exterior se efectúa por convección y por radiación. La temperatura esta determinada por la ecuación: : conductividad térmica de la pared; 1,2 W/mk : Emisividad; 0,8 : Temperatura del lado interior de la pared; 625 K : Temperatura del lado exterior de la pared (desconocida) : Temperatura del entorno; 298 K : Temperatura del aire; 298 K : coeficiente de transferencia de calor, : constante de Stefan-Boltzaman; : espesor de la pared; 0,05 m Determine el valor de Sol: Por el método de la secante n 0 298 -653,6709 1 625 14388 2 400,4415 -1247,6099 3 418,3597 -236,0181 4 422,5402 4,3055 5 422,4653 -0,0148 6 422,4656 -9,3277 7 422,4656 = 422,4656K Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 6 1.22 La reacción isotérmica irreversible de segundo orden → realizada avolumen constante, tiene una velocidad de reacción constante . El flujo volumétrico de una solución formada por concentraciones idénticas alimentadas a dos CSTR (tanque de reacción continuamente agitado) colocados en serie cada uno con un volumen . Denominando las concentraciones de salida del producto A de cada tanque respectivamente se obtiene: Siendo ⁄ ⁄ ⁄ y la conversión final 80% (es decir ) determine el valor V en litros, de capacidad del tanque. SOL: → ………………………(1) ……………………..(2) De (2) En (1) [ ] [ ] [ ] Por el método de Newton-Raphson Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 7 n | | 0 1000 -5,7968 0,0547 1105,9326 105,9326 1 1105,9326 0,3092 0,0606 1100,8314 5,1012 2 1100,8314 0,0603 1100,8191 0.0123 3 1100,8191 0,0603 1100,8191 0 V = 1100,8191L 1.32 La manera más simple de evitar el cálculo de la derivada f´(x) en el método de Newton Raphson es remplazar f´(x) en la ecuación 1.15 con un valor constante en .La formula resultante: X Define un método de convergencia lineal para m en cierto intervalo de valores cuyo algoritmo se conoce como método de Wittaker. a) Utilice este algoritmo conocido como el método de Wittaker , para encontrar una raíz real de la ecuación. b) F(x)=x 3 +2x 2 +10x-20=0 Tabulando: -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f() -145 -92 -59 -40 -29 -20 -7 16 55 116 205 Encontramos que la raíz se encuentra en el intervalo [1 , 2] y Tol=10 -4 Usando el método de Wittaker ´´ m ´´es un constante tomamos un intervalo de ´´m ´´en [0,1] Cuando m=0.5 Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 8 k | | 1 1,4 0,072 0,664 1,328 2 0,072 38,61 -19,269 38,538 3 38,61 -121770,85 60904,73 121809,4 4 -121770,85 3,6x -1,8x 3,6x 5 3,6x -9,2x 4,6x 9,2x 6 -9,2x 1,84x 9,2 No se encontró la raíz cuando m=0.5 la Tol >10 -4 . Cuando m=1 k | | 1 1.4 0.736 0.664 2 0.736 118.939 -111.579 3 118.939 -2052.53 2064.43 4 -2052.53 8,639E+09 -38656143 5 8,639E+09 -6.446x10 29 6.446x10 29 6 -6.446x10 29 2.6x10 89 -2.678x10 89 No se encontró la raíz cuando m=1 la Tol>10 -4 c) Con este algoritmo encuentra una raíz en el intervalo (1.5; 2.5) de la ecuación: F(x)=x 3 -12x 2 +36x-32=0 Tabulando: x 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 F(x) -1,6 -1 -0,57 -0,25 -0,06 0 -0,06 -0,23 -0,51 -0,9 -1,4 Facultad de ingeniería Química Métodos Numéricos 9 Tomando m=2 k | | 1 2.1 2.1295 -0.059 0.0295 2 2.1295 2.1787 -0.0984 0.0492 3 2.1787 2.2716 -0.1858 0.0929 4 2.2716 2.4828 -0.4225 0.2112 5 2.4828 3.1258 -1.2860 0.643 6 3.1258 6.2146 -6.1776 3.0888 7 6.2146 22.0714 -31.7137 15.8568 8 22.0714 -2812.33 5668.8196 2834.4014 9 -2812.33 1.1149x10 10 -2.23x10 10 1,114 10 1.1149x10 10 -6.9x10 29 1.3858x10 30 -6,9x No se encontró raíz cuando m=2 la Tol >10 -4