Problema de La Mochila

Problema de la mochilaEl problema de la mochila es un problema de programación entera, estando ésta última dentro del campo de la programación matemática y consiste en escoger un conjunto de artículos para llenar una mochila de modo de que se cumplan ciertas restricciones. Definición Un problema típico de programación entera es el que nos ocupa, “el problema de la mochila”, que responde a la siguiente situación: imagínese hacer una excursión a la que solo podemos llevar una mochila que, lógicamente, tiene una capacidad limitada. Cada objeto que introducimos ocupa un volumen dentro de la misma y en contrapartida durante el viaje nos proporcionará un beneficio o utilidad (ejemplo: una cantimplora), el problema surge cuando debemos elegir qué objetos seleccionar para llevar en la mochila de forma que nuestro beneficio sea máximo (tengamos todo lo necesario) sin exceder su capacidad. Esta situación se presenta con cierta frecuencia en los ámbitos económico e industrial, donde la mochila suele representar la restricción presupuestaria (cantidad máxima de recursos económicos de los que se dispone) y donde la utilidad de los objetos seleccionados se equipara a un beneficio económico por adquirir o llevar a cabo ciertas acciones. Veamos a continuación un ejemplo de la aplicación del planteamiento de la mochila al ámbito económico. Ejemplo: una empresa que fabrica lapiceros, “Escribe Bien S.A.” que en el ejercicio económico que se cierra ha obtenido un excedente de 300.000€ (su beneficio neto, una vez descontados los impuestos y retribuidos los fondos propios es de 300.000€), esto le hace replantearse una posible inversión productiva (ampliar la capacidad productiva, ampliar la fábrica, contratar más trabajadores,....) que le permita incrementar su cartera de productos (número de productos que tiene en el mercado). El gerente de la empresa, Don L, reúne a sus asesores financieros y comerciales para que determinen de forma conjunta qué productos serán los escogidos para la ampliación de cartera. Los asesores comerciales sugieren los siguientes productos, basándose en estudios de mercado que han realizado para estimar la cifra de negocios que cada nuevo producto generará: - Lápices de colores con un beneficio de 200.000 €, esta cuantía es la que relacionamos con la utilidad que mencionábamos en la definición. - Gomas de borrar con un beneficio de 100.000 € - Minas para portaminas con un beneficio de 250.000 € - Carboncillos con un beneficio de 150.000 € de tal forma que la suma de todos los objetos multiplicados por el espacio que ocupan en la mochila no podrá exceder dicha capacidad máxima. El rasgo más importante de nuestras xi es que se tratan de variables dicotómicas o binaria.se refiere el objeto “i”-ésimo que no es más que una forma de hacer referencia a un objeto cualquiera que pueda ser incluido en la mochila -. por tanto. estos costes se podrían equiparar al volumen que ocupan los objetos dentro de la mochila. en tanto en cuanto va a ocupar un “espacio de la mochila” que dejará fuera otros objetos. es decir.000€. Variables a tener en cuenta Los elementos a introducir en la mochila van a ser nuestras variables objeto de análisis.Coste de las instalaciones para fabricar carboncillos: 50.000 € .000 € Intuitivamente escogerá fabricar aquel producto que mayores beneficios le dé.Coste de las instalaciones para fabricar gomas de borrar: 150.Coste de las instalaciones para fabricar minas para portaminas: 100.ci: peso del objeto “i” . . sólo pueden tomar dos valores. Su formulación matemática es la que sigue: . es decir. . equivale al presupuesto máximo del que se dispone. Formulación Para facilitar la comprensión del lector.bi: utilidad o beneficio que proporciona cada objeto.000 € podrá plantearse aumentar aún más su cartera y así sucesivamente mientras le resten recursos. en este caso.Coste de las instalaciones para fabricar lápices de colores: 75. en este caso.P: capacidad de la mochila. Datos del problema .n: número de objetos entre los que se puede elegir.Por su parte. antes de incorporar a este escrito la formulación del problema. analizaremos las partes de las que se compone la misma. ci representa el coste de escoger un objeto. escogeremos el valor “1” (si el objeto se incluye en la mochila) ó “0” (si el objeto se excluye de la mochila) Restricciones La restricción vendrá marcada por la capacidad máxima de la mochila.000 € .000 € . la suma de estos costes deberá ser menor a la capacidad de la mochila. si con la inversión en la fabricación de ese nuevo producto no consume los 300. los asesores financieros han estudiado los costes que implica reformar las instalaciones productivas para poder incrementar la cartera de productos. . cada variable la denotaremos como xi. . los recursos financieros sobrantes: 300. de nuevo se hace referencia al objeto i-ésimo. Ahora procederemos a formular el problema de la mochila: Nota: pueden existir otras restricciones técnicas que nada tengan que ver con las anteriormente citadas que serían comunes a cualquier problema de Programación Matemática Métodos de resolución Este problema se ha resuelto tradicionalmente mediante programación lineal entera.. a través de los denominados algoritmos voraces. no forma parte de la solución ni volverá a ser considerado para la misma.L.xn) tales que sea máximo.Función a maximizar Tal y como se expresa en la definición.. es decir. . Si quisiéramos resolver el problema mediante programación lineal entera tendríamos que plantear el modelo. y si es descartado. Existe otra forma de resolver este tipo de problema. Una aproximación voraz consiste en que cada elemento a considerar se evalúa una única vez. En otras palabras.. Si redefinimos el problema introduciendo los elementos que mencionamos en las líneas precedentes llegaremos a la siguiente formulación: “El problema de la mochila consiste en llenar una mochila con n objetos. bi.A. Ejemplo: si continuamos con el ejemplo de “Escribe bien S. por tanto. Cada objeto i tiene un peso determinado ci siempre positivo y una utilidad o valor asociado. al comentar cómo se expresa un problema que solucionar por este método. también positivo. siendo descartado o seleccionado. se han de escoger aquellos objetos xi que maximicen la utilidad de quien llena la mochila sin exceder su capacidad”. Con este método no siempre es posible dar una solución a un problema. del mismo modo que hicimos con Costuritas S. han de ser funciones cuyas incógnitas estén elevadas exclusivamente a la unidad. El hecho de que se trate de programación lineal hace referencia a que la función a optimizar y las inecuaciones que constituyen las restricciones han de ser lineales. de tal forma que si es seleccionado forma parte de la solución.. Otro sistema para resolver el problema de la mochila es mediante algoritmos genéticos que son métodos de optimización que tratan de hallar (xi.” vemos que la solución intuitiva que aportamos se corresponde con el método de algoritmos voraces comentado en el párrafo anterior. el objetivo de este problema es seleccionar aquellos objetos que introducidos en la mochila nos proporcionan una mayor utilidad. Se ha de considerar además que la mochila tiene una capacidad limitada P. lo que debemos hacer es maximizar la utilidad de nuestra mochila. x3. recuérdese que se está intentando llegar a una solución cuantitativa concreta y no simplemente intuitiva. Para reforzar el equipo el Unicaja dispone de un presupuesto máximo de 50. los que proporcionan una mayor utilidad – para el Unicaja optimizando también el desembolso que conlleva una nueva contratación. Nuestra intención es elegir los mejores jugadores – aquellos cuya aportación es mayor. en este caso.x2. estamos aplicando el problema de la mochila a una situación de índole económico. Walekowski (Farho Vigo) . Walekowski (Farho Vigo) 12000 $ 7 Como puede apreciarse.Planteamiento del problema El Club Baloncesto Unicaja de Málaga ante la lesión de Daniel Santiago y la escasa aportación del pívot brasileño Vitor Faverani se plantea reforzar el juego interior para la disputa de los play-offs por el título a partir del 17 de mayo. Maximizar 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 sujeto a: 50000x1 + 25200x2 + 36000x3 + 47000x4 + 12000x5 < 50000 x1. el siguiente paso lógico es formularlo en términos matemáticos.000 $.C. En la siguiente tabla aparece una relación de los candidatos a ser fichados junto con su aportación esperada y el sueldo que percibirían.C.x4.1} siendo: x1 Esteban Batista (Hawks) x2 Jared Reiner (Sioux Falls) x3 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) x4 Marcus Goree (Benetton) x5 K.000 $ / mes. Sin perder en ningún momento de vista la restricción de 50. es decir. para ello la secretaria técnica del equipo ha sondeado el mercado y ha encontrado a 5 jugadores que pueden adaptarse a lo requerido por el entrenador. Formulación del problema Una vez se ha planteado el problema.x5 Є {0. JUGADOR/EQUIPO SUELDO APORTACIÓN Esteban Batista (Hawks) 50000 $ 15 Jared Reiner (Sioux Falls) 25200 $ 8 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) 36000 $ 15 Marcus Goree (Benetton) 47000 $ 17 K. P es la restricción presupuestaria del equipo. Dejamos a un lado el algoritmo genético ya que al ser poco intuitivo y tener cierta complejidad (no en su teoría.) Maximizar 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 sujeto a: 50000x1 + 25200x2 + 36000x3 + 47000x4 + 12000x5 < 50000 x1.x3.1}.x3. representa. son los 50. teniendo en cuenta que hay un presupuesto al que ajustarse (50000 $/mes).x5 Є {0. En este caso.000x1 + 25. la primera de ella: 50.x2. No .El conjunto de ecuaciones que aparecen en las líneas precedentes constituyen la formulación matemática del problema que estamos tratando de resolver.000x4 + 12.000 $ mensuales de los que puede disponer para remunerar a sus nuevos jugadores. es decir.2. La última inecuación: x1.x5 Є {0. Para una mejor comprensión del lector.x4.Por algoritmos: existen tipos de algoritmos (genéticos. puesto que se trata de la utilidad (en este caso. Método tradicional (Programación Lineal Entera) Retomemos el problema formulado e reinterpretemos dicha formulación para comprender mejor cómo vamos a resolver el problema de elección de jugadores (vamos a repetir de forma resumida el desarrollo del punto 3.1} Lo que pretendemos es maximizar el valor que los jugadores contratados aportarían al equipo. pero en esta ocasión mostraremos el algoritmo más intuitivo y sencillo de ver. los ci o pesos del objeto “i”. por tanto.200x2 + 36. . analizaremos lo que representa cada una de ellas. donde. al igual que ocurre en la ecuación anterior. voraces). sino en su práctica) podría hacer que el lector tuviera cierta reticencia a continuar con su lectura y comprensión. Este algoritmo es el denominado "voraz". se corresponde con la expresión [Sumatoria (ci*xi) desde i=1 hasta n] < P. si x toma el valor 1 querrá decir que el jugador es contratado y si toma el valor 0.000x3 + 47. Las otras dos inecuaciones representan el conjunto de restricciones del problema.x4. Solución del problema planteado El problema de elección que afronta el Club Baloncesto Unicaja se puede resolver por distintas vías: .Por el método tradicional: a través de la maximización del problema anteriormente formulado mediante métodos de programación lineal entera. trata de indicar que estamos ante un problema dicotómico en el que cada variable puede tomar sólo el valor 1 o el valor 0.x2. La primera ecuación: 15x1 + 8x2 + 15x3 + 17x4 +7x5 es la suma de las utilidades que reporta cada jugador. será señal de que el club prefiere prescindir de él.000x5 < 50. De ahí que el objetivo sea maximizar la función. se corresponden con los salarios de cada jugador y las xi representan a cada jugador.000. estará medida por el número de partidos que el jugador haga ganar o en los que tenga un peso importante) al club de Baloncesto le interesará que sea lo mayor posible. la utilidad que percibirá Unicaja en función de la combinación de jugadores que elija. x4 Integers. x3≥0. el cual nos dará una rapidísima solución sin ninguna dificultad en su obtención.Si x =0 el jugador no debe ser contratado. Y haciendo esto obtendremos una aportación (utilidad para el equipo)de los jugadores al equipo de 22. ya que es imposible contratar una porción de jugador.x2. simplemente. ya que su aportación maximizará el valor que los jugadores dan al equipo.4167 Marcus Goree (Benetton) 47 17 0. x1≤1. Así lo introduciremos en Mathematica: P =NMaximize[{15x1+8x2+15x3+17x4+7x5.0.3175 Chriss Burgess (Ulsan Phoebus) 36 15 0. x5->1} Esto es. x1≥0.hemos de olvidar que la solución a este problema habrá de darse en números enteros. Con todo esto. y comprendida la formulación planteada. x4≤1.x5}] Y la solución que obtendremos será la siguiente: {22. x5≤1. x4≥0. contrataremos a los jugadores correspondientes a las variables 3 y 5: Chriss Burgess (del Ulsan Phoebus) y K. x3 Integers. ya que tenemos en cuenta ambos factores en la decisión.x4. Reconsideraremos el sueldo.. Cuanto más alto sea este ratio. dividiéndolo por 1000 para hacer el ratio más operativo. x2->0. x2≤1.2 8 0. x5 Integers}. Parece lógico ponderarlo así. lo que obtendremos será llamado *Sueldo*. de elegir la opción más lógica de acuerdo con un criterio. Walekowski (del Farho Vigo). x2 Integers. x5≥0. x1 Integers.x3. ya que su aportación no maximizaría el valor aportado al equipo. Para este ejemplo escogeremos como criterio el ratio "Aportación/Sueldo".{x1. Algoritmos voraces El método de algoritmo voraces es muy parecido a aquello que llaman "la cuenta de la vieja". procedamos a resolver el problema con los métodos tradicionales. x3->1. x3≤1.3000 Jared Reiner (Sioux Falls) 25.C. Se trata. x2≥0. Aquí utilizaremos el programa Mathematica 5. ¿Por qué las variables sólo pueden tomar los valores “0” ó “1”? . 50000x1+25200x2+36000x3+47000x4+12000x5≤50000. Jugador (Equipo) *Sueldo* Aportación Ratio Esteban Batista (Hawks) 50 15 0. .Si x =1 el jugador deberá ser contratado. preferible será contratar a este jugador. {x1->0. x4->0.3617 . 58333. sueldo = 12000 $ . total acumulado = 48000 $ Como no hay más jugadores cuyo sueldo pueda entrar en presupuesto. El resultado que nos ofrece el método de algoritmos voraces coincide con el obtenido por el método tradicional.K.K.C. Aquí lógica y matemáticas puras coinciden y se refrendan mutuamente.Chriss Burgess . Walekowski (Farho Vigo) 12 7 0. éste es nuestro resultado definitivo por algoritmos voraces. escogeremos aquellos jugadores con mejor ratio hasta agotar el presupuesto.5833 Como hemos dicho.41666. sueldo = 36000 $.Chriss Burgess: ratio =0. por lo que la directiva del club no deberá tener dudas en la contratación de nuestros dos nuevos fichajes: . . Walekowski .C.K. Walekowski: ratio =0.C. descubrir nuevos problemas para un análisis cuantitativo. Esta técnica es utilizada donde no se puede hacer uso de los métodos de solución numérica o de solución analítica. La solución de tipo iterativo se aproxima a la solución óptima con un margen de error permitido. en relación a resultados de una prueba anterior.. SIMSCRIPT. 2.. basado en una serie de pruebas sobre la misma lógica de solución. ya que se generan números aleatorios para obtener valores muestrales en base a una distribución de probabilidad. Existen Lenguajes de Programación para la Simulación. o sea.Existen los MÉTODOS DE SIMULACIÓN. THIERAUF Y GROSSE. . el análisis numérico. La Teoría de Juegos. Es la aplicación por grupos interdisciplinarios de Método Científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o de sistemas en relación al hombre-máquina.¿ QUE ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? A continuación se expone la definición de Investigación de Operaciones según los siguientes autores: TAHA. La investigación de Operaciones es la aplicación del Método Científico a los problemas de decisión de las empresas y otras organizaciones. (llamadas también soluciones analíticas). (Iterativo) o solución numérica en forma inductiva. La Investigación de Operaciones toma al Método Científico aplicado a la solución de problemas y la toma de decisiones de la gerencia en función a la construcción de un modelo simbólico examinando y analizando entre relaciones que lleguen a una técnica en la toma de decisiones en base a los resultados óptimos. es muy útil en la solución de problemas complejos. 3. La Investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (Método Científico) y un grupo interdisciplinario a fin de representar las complicadas relaciones funcionales como modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa en la toma de decisiones. incluyendo el gobierno y la milicia. MOSKOWITZ . es un método de solución que utiliza los problemas probabilísticos de simulación. NAMAKFOROOSH..EL MÉTODO ANALÍTICO. que son los que imitan al sistema real. se aplica cuando la solución no es posible obtenerla de manera deductiva. se utilizará. es un sistema donde existen varios grupos de decisión que reaccionan entre sí. de riesgo y bajo incertidumbre. 1. con el fin de producir soluciones óptimas para dichas organizaciones. Significa hacer investigación sobre las operaciones referentes a la conducción y coordinación de actividades dentro de una organización aplicada a una gama extraordinariamente amplia.es utilizado para obtener soluciones en forma deductiva. PRAWDA. FORTRAN. HILLIER . La Técnica de Montecarlo. La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción óptimo de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados.WRIGHT. aplicando técnicas matemáticas para representar por medio de un modelo y analizar problemas de decisión.LIEBERMAN.EL MÉTODO NUMÉRICO. hace el análisis matemático clásico. que va de lo particular a lo general. que parte de lo general a lo particular. GPSS. etc. como: DYNAMO. Para comprobar la solución del modelo. que pueden ser cambios entre las variables que definen al propio sistema .cambio de la relación entre ellos . y la manera en que afecta a la solución el cambio de los valores. Los sistemas no suelen ser estables y su estructura está sujeta a cambios. se debe tomar en cuenta lo siguiente: Determinar si el modelo señala el rendimiento del sistema según una o más variables que afectan a dicho rendimiento. observando si los resultados predicen o no. con cierta aproximación o exactitud. se empieza a ejecutar un procedimiento sistemático de control que depura y ajusta al mismo. Corroborar si el modelo no ha omitido alguna variable que tenga efecto importante en el rendimiento del sistema. con la realidad. Elaboración de un procedimiento para detectar los cambios importantes entre los parámetros (variables) y las relaciones. con el fin de hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los siguientes pasos: a) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento) b) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos) c) Reducir el número de datos.IV. o pueden ser cambios entre los valores de las variables del sistema. Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que obtienen resultados del modelo y les son presentados al grupo de toma de decisiones.cambio de los valores . Comprobar si el modelo expresa realmente la relación real existente entre la medida de rendimiento y la variables . cambiar su grado de importancia. se alejan bastante de los resultados reales del sistema. 2. ESTABLECIMIENTO DE LOS CONTROLES Y APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN. d) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis e) Evaluar los resultados. El diseño de un sistema de control deberá tomar en cuenta lo siguiente: 1.Verificar si los parámetros incluídos en el modelo no estén siendo evaluados adecuadamente. . o tal vez. V. antes de ser implantado. COMPROBACIÓN DEL MODELO Y DE LA SOLUCIÓN. Si los resultados del modelo. Enumeración de las variables y la relación entre ellas. El modelo debe probar su validez. deberá recopilarse la información. es para que no se pierda la efectividad del modelo matemático debido a cambios en los parámetros y la eficacia de la solución puede verse disminuída en consecuencia a: . El objetivo del establecimiento de controles. En consecuencia. un parámetro que no era significativo puede llegar a serlo o puede dejar de serlo. los efectos en relación a las diferentes alternativas de solución.cambio en ambos factores. la utilidad anual de la empresa. precio de ventas de un artículo. Como por ejemplo: número de días de trabajo.. El interés ganado se obtiene del factor inversión única por el interés anual... La participación entre los investigadores de operaciones y el personal de operación. A continuación se presenta un ejemplo de cómo elaborar un modelo matemático no lineal. Especificación de la acción que deberá tomarse o los ajustes que deben llevarse a cabo en el momento de ocurrir un cambio importante. permitirá desarrollar exitosamente el plan de implantación. cuyo trabajo en conjunto. Ya que ninguna consideración práctica se dejará de analizar. Asignamos símbolos para plantear lo anteriormente descrito.3. .. P. ejemplo:La cantidad de producto defectuosa. ganando cierta tasa de interés? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Datos de entrada Resultado -------------------------------------------------------------------------------Cantidad a invertir ? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tasa de interés Cantidad futura -------------------------------------------------------------------------------Tiempo de inversión Variables controlables : Cantidad de inversión única ? Tiempo de inversión Variables no controlables : tasa de interés anual Tomando en cuenta lo anterior deducimos que la cantidad futura dada será igual a la inversión única inicial más el interés ganado. teniendo en cuenta la cantidad futura dada. . 8 FORMULACIÓN DE PROBLEMAS NO LINEALES. Se requiere determinar ¿cuál será la cantidad de inversión inicial única. Los parámetros enumerados pueden ser clasificados como: a)Valores que se conocen de antemano durante el período correspondiente a una decisión. b)Medidas cuyos valores no se conocen de antemano. después de cierto número de años.. y de esta manera podrán verificarse las modificaciones o ajustes posibles al sistema **** lleva dibujos I. Entonces F2 = F1 + F1 i Si F1 = P ( 1 + i ). será igual a la cantidad acumulada al término del primer año más el interés final del año 1 hasta el final del año 2. sustituyendo tenemos F2 = P ( 1 + i ) + P ( 1 + i) i Quitamos paréntesis = P + P i + P ( i + i²) = P + P i + P i + P i² = P + 2P i + P i² Factorizando P = P ( 1 + 2 i + i²) Observamos que tenemos dentro del paréntesis el resultado de un binomio cuadrado perfecto. tenemos F3 = [ P (1 + i) + P (1 + i) i] + [ P (1 + i) + P ( 1 + i) i ] i Quitamos los paréntesis rectangulares y obtenemos .¶ Para el año 2. entonces se puede expresar de la forma F2 = P (1 + i ) ² . La cantidad de dinero acumulada será la cantidad de dinero del año 2 más el interés ganado al final del año 2. F3 = F2 + F2 i Si observamos que F2 es igual a P(1 +i) + P ( 1+i) i y sustituímos en F3... La cantidad de dinero acumulado F2..F: Cantidad futura obtenida P: Inversión inicial única ? P i : cantidad ganada i: Tasa de interés anual Luego entonces la cantidad futura estará expresada de la siguiente manera: F=P+Pi Para el primer año Cantidad futura para el primer año = Inversión única inicial + cantidad ganada F1 = P + Pi Factorizando P F1 = P ( 1 + i ) .· Para el año 3... obtendremos: Ingeniería Económica la expresa de la siguiente manera: P =F ( P/F.......(. Mientras que la variable independiente será.(. después de n años a una tasa de interés i. i.¸ De los valores anteriores. y el número de años de inversión n.. que es el valor buscado. (inversión única). . la cantidad única de inversión inicial P. el interés anual i. tenemos F3 = P (1 + i) ( 1 + 2i + i²) Si 1 + 2i + i² es el resultado del binomio (1 + i)². por inducción matemática podemos generalizar el número de años en n.F3 = P ( 1 + i ) + P (1 + i) i + P ( 1 + i) i + P ( 1 +i ) i² = P ( 1 + i) + 2P (1 + i) + P ( 1 + i) i² Factorizando P (1+i). Donde las variables dependientes serán la cantidad futura F.. deducimos que F = P ( 1 + i) n Si despejamos P. F2 = ( 1 + i ) ² . F3 = P ( 1 + i)³ .(. n ) Esta expresión permitirá determinar el valor presente P de una cantidad futura dada f. Si F1 = P ( 1 + i) . y lo sustituímos F3 = P ( 1 + i) ( 1 + i)² Luego entonces F3 = P ( 1 + i)³ . 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