PROBLEMA Nº01: PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN VIEW El departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla adjunta. Nutrientes proporcionados por las distintas comidas NUTRIENTE (mg / 100 g) PROTEINAS HIERRO TIACINA TIAMINA VITAMINA C 5 000 1.1 1.4 0.18 0.0 29 300 1.8 5.4 0.06 0.0 5 300 0.5 0.9 0.06 10.0 3 000 2.2 0.5 0.07 28.0 4 000 1.2 0.6 0.15 3.0 INGREDIENTES Espagueti Pavo Papas Espinacas Pastel de Manzana GRASA 5 000 5 000 7 900 300 14 300 Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas. SOLUCION DEL EJEMPLO DE MINIMIZACION 1. Determinación de Variables Lo que nos interesa es la cantidad (en g) de los alimentos que debemos utilizar para cumplir con las restricciones y la función objetivo. Debemos tener en cuenta que en la tabla de nutrientes, las concentraciones de cada nutriente estan dadas en función a 100 g de cada alimento, por lo cual, será mucho más cómodo definir a nuestras variables como la cantidad de 100 g de alimento que utilizaremos. espa = número de 100 gramos de espagueti a utilizar. pavo = número de 100 gramos de pavo a utilizar. papa = número de 100 gramos de papas a utilizar. espi = número de 100 gramos de espinaca a utilizar. manz = número de 100 gramos de pastel de manzana a utilizar. 2. Determinación de las Restricciones Podemos distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: las de concentración de nutrientes y las de cantidad de alimento Restricciones de Concentración de Nutrientes • • • • • Proteínas 5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000 Hierro 1.1*espa + 1.8*pavo + 0.5*papa + 2.2*espi + 1.2*manz >= 10 Niacina 1.4*espa + 5.4*pavo + 0.9*papa + 0.5*espi + 0.6*manz >= 15 Tiamina 0.18*espa + 0.06*pavo + 0.06*papa + 0.07*espi + 0.15*manz >= 1 Vitamina C 10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50 Restricciones de Cantidad de Alimento espa <= 3, pavo <= 3, papa <= 2, espi <= 1, manz <= 1 3. Determinación de la Función Objetivo Debemos minimizar la cantidad de grasa presente en la comida. Minimizar: 5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz 4. Condición de No Negatividad Como sabemos, el modelo de programación lineal no acepta variables de valores negativos, por cuanto: espa >= 0, pavo >= 0, papa >= 0,espi >= 0,manz >= 0 5*espi + 0. papa <= 2.8*pavo + 0. !grasas. !vitamina C.06*papa + 0.07*espi + 0.9*papa + 0.15*manz >= 1. manz <= 1.2*espi + 1. pavo <= 3. !(RESTRICCIONES DE CANTIDAD DE ALIMENTO).4*espa + 5. !tiamina.METODO SIMPLEX – DESARROLLO EN LINGO !(FUNCION OBJETIVO). 0. !niacina. . 10*papa + 28*espi + 3*manz >= 50.2*manz >= 10.1*espa + 1. espi <= 1. !hierrro.18*espa + 0. 5000*espa + 29300*pavo + 5300*papa + 3000*espi + 4000*manz >= 63000. 1.5*papa + 2.6*manz >= 15. 1.4*pavo + 0. espa <= 3. min = 5000*espa + 5000*pavo + 7900*papa + 300*espi + 14300*manz. !proteínas. !(RESTRICCIONES DE NUTRIENTES).06*pavo + 0. 000000 0.33 2.00 51283.000 22333. por tanto tendremos en cuenta a esta restricción para modificarla.0000000 -83333. pero el dual price de la cuarta nos conlleva un mayor decremento en nuestra funciòn objetivo.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.3333333 Reduced Cost 0.200000 0.0000000 0.000000 1.0000000 Dual Price 1.0000000 0.0000000 0.0000000 3100.00 0.0000000 0.33 -600.00 Value 3.0000000 0.833333 2.SOLUCION DEL MODELO Global optimal solution found at step: Objective value: Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54800.0000000 0.33 0.6666667 Slack or Surplus 54800.000000 2.1666667 0. .0000 10000.0000000 0.400000 7.0000000 0.0000000 11 Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción. tendriamos un nuevo modelo el cual a continuación resolvemos.00000 15.000 7900.1000000E-01 1.000000 1.8000000E-01 0.7273 3100.2000000 0.000 5000.000 22333.00000 1.0000 14300.3571429E-01 0.00000 3.0000 Righthand Side Ranges Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Current RHS 63000.5555556E-01 0.33 INFINITY Allowable Decrease INFINITY 3333.00 Allowable Increase 10000.33 2.000000 3.200000 0.000000 0.00 10.000000 50.3333333 Del análisis de sensibilidad nos damos cuenta que podemos modificar nuestra cuarta restricción en 0.333 INFINITY INFINITY 930.ANALISIS DE SENSIBILIDAD Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Coefficient 5000.2272727E-01 0.1666667 0.000 300.1000000 0.7518797E-02 INFINITY Allowable Decrease INFINITY INFINITY INFINITY 0.000000 2. .000000 1.400000 7.00 422.4864865 INFINITY 0. Entonces.8.000000 Allowable Increase 51283. e inclusive el dual price nos lleva a razonar de la misma forma que en la coyuntura anterior.33 Value 3.33 12216.3333333 Reduced Cost 0.33 -600.0000000 0.500000 0.0000000 1.0000000 0.0000000 0.0000000 0.000000 0.0000000 0.Solución del modelo decrementando la restricción cuarta en 0.500000 2.0000 10000.08 Global optimal solution found at step: Objective value: Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48133.00 0.0000000 Dual Price 1.000000 0. Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Variable Coefficient Allowable Increase Allowable Decrease .6666667 Slack or Surplus 48133.000 22333.0000000 3100.0000000 0.67 0.000000 1.0000000 -83333. pero será mejor que antes observemos los nuevos rangos formados.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.33 0.000000 1.0000000 6 Tenemos un surplus de 0 en la cuarta y quinta restricción nuevamente.0000000 0. 6766917E-01 INFINITY Allowable Decrease INFINITY INFINITY INFINITY 0.000 7900.00 10000.0000 14300.0 1.9200000 50.0 0.0 0.500000 0.0000000 0.000000 1.0 0.000000 2.00000 15.000000 2.000000 1.33 Value 3.0000000 0.000000 Allowable Increase 12216.000000 0.9000000E-01 El análisis de los rangos nos determina que debemos decrementar la restricción quinta en 1.800000 0.000000 3.ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ 5000.7273 3100.000000 1.5000000 1.0000000 0.00 10.33 INFINITY INFINITY 3333.000 22333.00000 3.2000000 0.000000 3.00 422.67 0.000 5000.8 Global optimal solution found at step: Objective value: Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ 47053.0 0.0000 Righthand Side Ranges Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Current RHS 63000.3333333 0.8 Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.333 INFINITY INFINITY 930.6666667E-01 Reduced Cost 0.0 INFINITY 0.0000000 0.000 300.00000 0.0 0.0000000 5 . 18 422.67 1.000 5000.000 7900.000 Allowable Decrease INFINITY INFINITY 2180.0000000 0.18 422.0000000 0.33 53766.0000 14300.0000000 12962.7273 0.000 12962.Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Slack or Surplus 47053.000 INFINITY 930.7273 11268.88 0.000 300.79 -247.740000 0.0000000 0.0000000 0.980000 7.0000 Righthand Side Ranges .0000000 0.0000000 0.0000000 0.00 Allowable Increase 11268. Es necesario observar los rangos de este nuevo modlo para observar las variaciones que podriamos hacer. Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Coefficient 5000.7273 3100.000000 0.88 5450.0000000 0.0000000 La restricción cuarta y la quinta nuevamente presentan un dual price que nos permite minimizar la cantidad de grasas de la comida.9333333 Dual Price 1.0000000 -90378. 474286 0.1232000 0.000000 2.980000 7.940000 Reduced Cost 0.0000000 2180.000000 0.8666667 Slack or Surplus 42693.000000 Allowable Increase 53766.000000 1.33 46366.33 Value 3.0000000 Dual Price 1.8 Global optimal solution found at step: Objective value: Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Row 1 2 3 42693.000000 0.0 17.0 0.00000 0.67 1.0000000 0. Solución del modelo decrementando la restricción quinta en 1.20000 3.740000 0.6 la quinta restricción.9200000 48.0000000 0.67 1.000 0.00 10.6616541 INFINITY Allowable Decrease INFINITY INFINITY INFINITY 0.0 0.00000 15.000000 3.Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Current RHS 63000.60000 0.0 0.0000000 4 .0000000 0.0 INFINITY 0. Veamos los nuevos resultados del modelo.0 0.6844444 1.9333333 Podemos observar que podemos decrementar en 17.000000 0.0000000 1.000000 1.000000 3. 0000000 0.2000000E-01 Allowable Decrease INFINITY INFINITY INFINITY 0.0000000 0.000 INFINITY 1800.67 1.00 10.420000 0.4 5 6 7 8 9 10 11 6. Análisis de Rangos Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Variable ESPA PAVO PAPA ESPI MANZ Coefficient 5000.333 0.9200000 Allowable Increase 46366.00 720.940000 6.000000 0.000 5000.000 300.0000000 0.0000000 6373.33 0.00000 0.000 Allowable Decrease INFINITY INFINITY 2180.00000 15.1333333 0.000 Righthand Side Ranges Row 2 3 4 5 Current RHS 63000.420000 0. Veamos si los rangos apoyan el decremento en esta restricción.000 7900.0000 0.0000 14300.0000000 12160.0000 INFINITY 6373.0000000 -95333.00 720.00 Allowable Increase 12160.0000000 2. solo la cuarta restricción tiene un dual price que nos indica una reduccion de grasas en nuestra funcion objetivo.0 .0000000 0.0000000 Pues ahora.333 5450. Luego.000000 1.857143 INFINITY INFINITY 0.000000 1. pero también se podría usar el numero de fracción de 8 horas.0 INFINITY 1. de tal manera que generemos la mayor cantidad posible de tubos. por lo que concluímos en que nuestro análisis de sensibilidad ha terminado. Observemos que no utilizaremos papas en escalope.60000 3. deberemos de combinar: 300 gramos de espagueti. Determinación de Variables: Lo que nos interesa es saber cuántas horas. Solución: 1. debemos dedicarnos a la producción de tubos grandes y cuantas horas a la de pequeños. 100 gramos de espinaca y 86. Formule un modelo para determinar cuánto tiempo de un día de 8 horas debe asignarse a la producción de tubos grandes y cuanto a la de pequeños.0 0. el problema nos pide que usemos como variable “el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes”. Los tubos grandes se producen a una velocidad de 200 pies por hora y los pequeños a 300 pies por hora. Cada hora que la maquina es usada para producir tubos grandes generalmente ocasiona 1. Para las variables de decisión use el número de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños y grandes. PROBLEMA 02: FMR Company tiene una máquina capaz de fabricar tubos de diámetros grandes y pequeños para contratistas de plomería.6 7 8 9 10 11 30.33 Para esto.1333333 El decremento determinado por el análisis de rangos es cero para la cuarta restricción. de un día de 8 horas. y además el numero de pies de ambos tamaños sea el mismo. . TG = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos grandes. La gerencia desea un número igual de pies de ambos tamaños de tubos y la mayor cantidad total de tubos posible. durante los cuales la maquina no puede producir tubos.000000 3.000000 2.1111111 0.3333333 2.0 0. Cada atascamiento requiere aproximadamente 5 minutos de restablecimiento.7 gramos de pastel de manzana. 300 gramos de pavo.5 atascamientos y cuando se producen tubos pequeños resultan 3 atascamientos por hora. la cantidad mínima de grasas que podemos tener sería 42693.0 0.000000 0.000000 0. Numero de pies de tubos grandes = Numero de pies de tubos pequeños. 4. 2.5 Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horas Deducimos que la demanda de producción de pies de tubos grandes debe ser igual a lo que se debería producir si no hubiera atascamientos menos lo que no se produce en el tiempo muerto que las maquinas no están trabajando.5*(1/12)*TG*200. Debemos maximizar la producción de pies de tubos. MAX = 175*TG + 225*TP. Atascamientos por hora = 3 Tiempo de restablecimiento = 5min = 5/60 horas = 1/12 horas Análogo a la situación anterior: DP=300*(TP)-3*(1/12)*TG*300. DP = 225TP Para esta parte nuestra restricción quedaría de esta manera: DG=DP 175*TG = 225*TP. 3. y la de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas.TP = Numero de horas de tiempo de maquina por dedicar a la fabricación de tubos pequeños. Determinación de la Función Objetivo. Restricción del tiempo de horas de tiempo de maquina por día de 8 horas. Atascamientos por hora = 1. Determinación de las restricciones. DG= 200*(TG) – 1. Condiciones de no negatividad: . Restricción de la demanda de producción de pies de tubos. DG= 175*TG Calculando la demanda de producción de pies de tubos pequeños (DP): Datos: Velocidad de producción tubos pequeños = 300 pies/hora. Podemos distinguir en el problema 2 tipos de restricciones: la de la demanda de producción de pies de tubos. Calculando la demanda de producción de pies de tubos grandes (DG): Datos: Velocidad de producción tubos grandes = 200 pies/hora. Entonces la restricción queda: 175*TG – 225*TP = 0. TG + TP <= 8. TP>=0. 5. existe un Slack de 0 y un Dual Price de aumento de 196.TG>=0. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Análisis de rangos: .8750 por lo que tendremos en cuenta a la hora de analizar la sensibilidad y asi ver la posibilidad de poder variar la restricción del row 3 de tal manera de tener la máxima producción de pies de tubos. Formulación Completa y solución del problema. SOLUCION DEL MODELO: Como observamos en el row 3. DESARROLLO EN LINGO – METODO SIMPLEX. i=1 -> Cayena. ESPECIA Cayena Pimienta Negra Semillas de binojo Polvo de cebolla Ajo Orégano COSTO ($/gm) 0. Determinación de variables Nos debemos dar cuenta que lo que nos interesa es poder expresar las cantidades de cada especia en porcentaje al producto final. i=3->Semillas de binojo. i=5-> Orégano) . y 3.5 horas de tiempo de maquina dedicados a la fabricación de tubos grandes. PROBLEMA 03: Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. por lo nos indica que que ya se ha obtenido nuestro objetivo de maximizar la producción de pies de tubos. SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1.Como observamos el “Allowable Increase” es 0. Pi = (Porcentaje utilizado de especia i. i=5-> Ajo.025 0. En conclusión: Nuestra máxima producción de pies de tubos es de 1575 pies. de tal manera que nuestro problema queda resuelto.082 0. donde i=1…6. i=4-> Polvo de cebolla.5 horas a la fabricación de tubos pequeños.025 0.075 MÍNIMO (%) 18 15 12 16 12 14 MÁXIMO (%) 20 18 14 20 15 18 Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el coto total.020 0. para lo cual se debe asignar 4.028 0. en un día de 8 horas. La siguiente tabla proporciona el costo por cada especie y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en producto final. ya que esto nos ayudara a facilitar el entendimiento que proporción utilizada de cada especia utilizada respecto al producto final. i=2-> Pimienta negra. 12. P5<=0.15. P5<=0.15. Determinación de las restricciones Las restricciones se distinguen de acuerdo a las condiciones indicadas en la tabla. Otra restricción sería que la suma de todas establece la unidad total.20. P5>=0. recordemos que las unidades están indicadas en porcentaje al producto final: P1>=0.20. P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 3.082($/gm)*1000gm*P3 + 0.12.18. Determinar la función objetivo Debemos minimizar el costo total por cada kilogramo (1000gm) de producto.14.020($/gm)*1000gm*P1 + 0.025($/gm)*1000gm*P4 + 0.14. P4>=0. P1<=0.16. P1>=0. P3<=0. P5>=0. MIN= 20*P1 + 25*P2 + 82*P3 + 25*P4 + 28*P5 + 75*P6 .16. P1<=0. P2<=0. P3<=0.20. P3>=0.18. !COSTOS.14. !RESTRICCIONES DE CANTIDAD. P4<=0.028($/gm)*1000gm*P5 + 0.18. !RESTRICCION DE TOTALIDAD.12. P4<=0. P2<=0.2. P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1.12.18. Min= 0. SOLUCIÓN DEL MODELO Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.20. P3>=0.79000 Variable Value Reduced Cost .025($/gm)*1000gm*P2 + 0.15.075($/gm)*1000gm*P6 Min= 20P1($) + 25P2($) + 82P3($) + 25P4($) + 28P5($) + 75P6($) DESARROLLO EN LINGO !FUNCION OBJETIVO. P6>=0.18.14. P6<=0.15. P2>=0. P6>=0.18. P2>=0. P6<=0. P4>=0. 79000 1.00000 50.0000000 -75.0000000 47.0000000 0.1000000E-01 0.1400000 INFINITY 0.000000 0.0000000 50.3000000E-01 0.0000000 0.2000000 0.3000000E-01 0.3000000E-01 0.1400000 0.2000000 0.3000000E-01 0.00000 Podemos observar que en el row 14 se presenta un surplus de 0.00000 INFINITY P2 25.2000000E-01 INFINITY 0.1500000 0.3000000E-01 INFINITY 0.3000000E-01 1.1500000 0.0000000 0.1000000E-01 0.000000 0.00000 0.0000000 0.1000000E-01 0.00000 INFINITY P5 28. entonces debemos tomarla en cuenta para modificarla.3000000E-01 INFINITY 0.2000000E-01 0.0000000 -7.00000 INFINITY P6 75.00000 INFINITY P3 82.0000000 Slack or Surplus Dual Price 38.1800000 0.1200000 0.0000000 0.1000000E-01 INFINITY 0.1800000 INFINITY 0.1800000 0.0000000 0.1000000E-01 .0000000 0.00000 47.4000000E-01 INFINITY 0.000000 47.00000 0.1600000 0.1800000 0.2000000E-01 0.1000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.3000000E-01 0.00000 0.000000 0.3000000E-01 0.00000 7.1200000 0.2000000 0.00000 0.00000 50.000000 P4 25.1000000E-01 0.3000000E-01 0.0000000 0.2000000E-01 0.1200000 0.1500000 0.1500000 0.P1 P2 P3 P4 P5 P6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.2000000E-01 0. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20. y nos indica un decremento mayor en nuestra función objetivo.3000000E-01 0.00000 55.0000000 55.00000 INFINITY 7.0000000 0.4000000E-01 0.00000 Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 0.2000000 0.0000000 0.1000000E-01 0.0000000 0. 1500000 0.00000 INFINITY P5 28.4000000E-01 0.00000 0.1200000 0.2000000E-01 0.0000000 50.00000 0.1500000 0.3000000E-01 .3000000E-01 0.0000000 0.0000000 50.2000000E-01 0.0000000 Slack or Surplus Dual Price 38.00000 50.0000000 0.3000000E-01 0.1800000 0.0000000 0.0 0.00000 0.0000000 0.0000000 0.000000 47.0000000 0.0000000 55.4000000E-01 INFINITY 0.1500000 0.0 0.00000 55.000000 P4 25.2000000 0.2000000 0.00000 0.0000000 0.El análisis de sensibilidad nos indica que podemos disminuir la restricción del row 14 en 0.0000000 -75.0 0.0000000 0.00000 47.00000 INFINITY P6 75.1200000 0.04000 Variable P1 P2 P3 P4 P5 P6 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Value 0.00000 Row 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 0.0000000 0.4000000E-01 0.1800000 0.2000000E-01 0.4000000E-01 0.0 0.2000000E-01 INFINITY 0.000000 0.0000000 0.0000000 0.00000 INFINITY P2 25.3000000E-01 INFINITY 0. Para obtener un nuevo modelo: Global optimal solution found at step: 5 Objective value: 38.000000 0.00000 Análisis de Rangos con el nuevo modelo: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease P1 20.1400000 INFINITY 0.3000000E-01 INFINITY 0.04000 1.0000000 -7.01.1800000 0.2000000E-01 0.0 0.0000000 0.0000000 47.2000000 0.00000 50.00000 7.00000 INFINITY 7.2000000 0.0000000 0.1200000 0.1400000 Reduced Cost 0.3000000E-01 0.4000000E-01 0.1600000 0.00000 INFINITY P3 82. Cada galón debe tener entre 0.10% de azufre.47 TEXAS 0. Como se muestra en la tabla.40 de galon de petróleo final que contiene 0. plomo y fosforo.-IDENTIFICACIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN.35 de galon del producto final.55 0.25 y 2.30 de galon de producto final que contiene 0.0045 gramos de fosforo. cada galon de petróleo crudo de Mississippi resulta solo en 0. De manera similar. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla.0025 y 0. 4.07% de azufre.025 0.08 0.02 0. Azufre (%) Plomo(g/gal) Fosforo(g/gal) Costo($/gal) PETROLEO CRUDOS MISSISSIPPI NUEVO MEXICO 0.4000000E-01 0. que contiene 0. Cada galón debe tener a lo más 0. El costo de cada componente también se presenta. Debido a los residuos e impurezas. 3. cada galon de crudo de nuevo México produce 0. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. plomo y fosforo: 1.08% de sulfuro y cada galon de crudo de Texas resulta en 0.12 Como gerente de producción.5 gramos de plomo.07 0.12 13 14 0.0 INFINITY INFINITY 0. 2.9900000 0.08 --------0. .33 ADITIVOS 1 2 ----7 6 0.1800000 0. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar las cantidades de azufre. Cada galon debe tener entre 1. Usted puede controlar la cantidad de cada tipo de crudo y cada aditivo por mezclar al producir un galón de gasolina.0 PROBELMA 04: EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL COMPANY Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi.1400000 0. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre. determine un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mismo costo.4000000E-01 0. Nuevo México y Texas.07% de azufre. SOLUCION: 1.10 ----0. 35 XM galones de gasolina.35 de galón de gasolina. XM galones de este crudo producen 0.08 A1 + 0. El objetivo global es minimizar el costo de los componentes usados en la fabricación de cada galón de gasolina.XM =Numero de galones de petróleo crudo de Mississippi usados para hacer un galón de gasolina. De .55 XM + 0.IDENTIFICACIÓN DE LAS RESTRICCIONES Restricción de Producción Esta restricción asegura que se produzca precisamente un galón de gasolina: Cantidad de gasolina producida = 1 galón Si aplicamos la descomposición llegamos a: Cantidad de gasolina = (cantidad producida del petróleo crudo de Mississippi) + (Cantidad producida de petróleo crudo de nuevo México) + (Cantidad producida del petróleo crudo de Texas) + (Cantidad del aditivo 1) + (Cantidad del aditivo 2) Recuerde que cada galón de crudo de Mississippi produce solo 0. A2= Numero de galones del aditivo 2 usados para hacer un galón de gasolina..12 A2) 3..IDENTIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. A1 =Numero de galones del aditivo 1 usados para hacer un galón de gasolina.33 XT + 0. 2.47 XN + 0. XN = Numero de galones de petróleo crudo de Nuevo México usados para hacer un galón de gasolina. Entonces tenemos: Costo total= (costo del petróleo crudo de Mississippi) + (Costo del petróleo crudo de nuevo México) + (Costo del petróleo crudo de Texas) + (Costo del aditivo 1) + (costo del aditivo 2) Usando las variables y los costos asociados de la tabla obtenemos la siguiente función objetiva: Minimizar (0. XT = Numero de galones de petróleo crudo de Texas usados para hacer un galón de gasolina. Por tanto. 35 XM =0.07% de azufre.35 de galón de gasolina que contiene 0.40 XN + 0.30 XT + A1 + A2 =1.0 (producción) Restricciones De Composición De Mezclado Este grupo consiste en tres conjuntos de restricciones. 0.00032 XN +0. y aplicando una lógica similar a los otros resultados de petróleos crudos en la siguiente restricción de azufre.30 de galón de gasolina.000245 XM +0.manera similar.0007 (azufre) Aplicando el mismo razonamiento usado en el desarrollo de la restricción de azufre.50 7A1 + 6A2>=1. esta restricción es.35 XM + 0.000245 XM Observando que los aditivos no aportan azufre. Por tanto.40 de galón de gasolina y cada galón de petróleo crudo de Texas resulta en 0. se obtiene lo siguiente.0003 XT <=0.35 XM galones que contiene 0. 7A1 + 6A2<=2. uno por cada una de las limitaciones de azufre. Calculamos la cantidad de azufre en la mezcla: Cantidad de azufre en la mezcla = (cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi) + (Cantidad de azufre del petróleo crudo de nuevo México) + (Cantidad de azufre del petróleo crudo de Texas) + (Cantidad de azufre de aditivo 1) + (Cantidad de azufre de aditivo 1) Cada galón de petróleo crudo de Mississippi produce 0.07% de azufre. 0. como cada galón de petróleo crudo de nuevo México produce 0. plomo y fosforo en la mezcla final.0007*0.25 . XM galones de este petróleo crudo produce 0. Así Cantidad de azufre del petróleo crudo de Mississippi = 0. 000000 0.0000000 0.0000000 0.0.1256250 0.0000000 Slack or Surplus Dual Price 0.0045 0.0000000 8.47 XN + 0.19 Por lo tanto la formulación completa es la siguiente: Minimizar (0.866 A1 0.12 A2) 0.140 A2 0.0003 XT <=0.000000 8 0.0007 (azufre) 7A1 + 6A2<=2.025A1 + 0.02A2<=0.000245 XM +0.9494500 1.0000000 -1.00032 XN +0.02A2>=0.500 .33 XT + 0.0 (producción) 0.0000000 0.195000 Como vemos la solución óptima es: XM 0.55 XM + 0.30 XT + A1 + A2 =1.475000 0.0000000 1.50 7A1 + 6A2>=1.0045 0.1400000 0.000 XN 1.2200000 0.375 XT 0.025A1 +0.0025 Utilizando el programa lingo7 obtenemos el resultado de la función objetivo Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 0.02A2<=0. resultando la siguiente restricción.2000000 0.25 0.000000 0.40 XN + 0.375000 0.02A2>=0.0000000 1.5000000 Reduced Cost 0.0000 1.08 A1 + 0.025A1 +0.9494500 Variable XM XN XT A1 A2 Row 1 2 3 4 5 6 7 Value 0.025A1 + 0.35 XM + 0.0000000 375.000000 0.8667 0. A1 + A2 <=0.000000 0.3000000 0.0025 Finalmente el total de A1 y A2 debe ser a lo más 19% de galón. 500000 INFINITY 1.94945. La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1. El mismo razonamiento se realiza para las otras variables.Con una solución objetivo de 0. así el rango para de valores que puede tomar esta variable es infinito<=Xm<=0.3300000 0.4000000 Righthand Side Ranges Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease 1. desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos.Despues de mezclar estos aditivos. PROBLEMA 05: Incredible Indelible Ink Company mezcla 3 aditivos A1.1900000 0.2153571 0.000000 0. Para el caso de las restricciones por aumento de una unidad vemos que nos encontramos con la misma lógica. 2000 de A3 y 4000 de base.8000000 0. en otras palabras cada galon de producto fimal se fabrica mezclando y procesando 1.2250000 0. la tinta azul en la proporción 2:3:4 y la tinta verde en la proporción de 1:2:3. A3 en la proporción de 3:1:2.6500000 0. La tinta roja se obtiene mezclando A1. A3 a una base en diferentes proporciones para obtener distintos colores de tinta. se añade una cantidad igual de base para cada color. • Identificación de variables de decisión: R: cantidad de tintas rojas A: cantidad de tintas azules .3000000 0.9571429 0.4700000 0.14 de galon de aditivo 1 y 0.450000 0.1256250 0. A2.05 de galon de aditivo 2.220000 1.1100000 0. 1500 de A2.5200000 2.1100000 0.375 galones de petroleo crudo de nuevo mexico y 0. A2.2987500 0. Consultando con el reporte de rangos de la función encontramos los siguientes valores: Ranges in which the basis is unchanged: Current Variable XM XN XT A1 A2 Row 2 3 4 5 6 7 8 Objective Coefficient Ranges Allowable Allowable Coefficient Increase Decrease 0.2500000 0.5500000 INFINITY 0.2390000 0.1200000 0.1256.2000000 INFINITY 0.1500000 0.8667 de galon de petróleo crudo de texas con 0. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo.700000 0.1265.3000000 INFINITY 0.1000000 Analizando resultados con respecto a los coeficientes de la función objetivo para la variable Xm vemos que existe un incremento permisible infinito pero un decremento de 0.3500000 0.250000 0.4000000 0.2500000 0. A2. Siendo b1=b2=b3 B=b1+b2+b3 Entonces la función objetivo se podría representar de este modo: Max (R+A+V+B). A3 y una base en proporciones dadas en el enunciado. no lo consideramos en la maximización por ser iguales para cada uno. pues cada uno contiene como máximo una determinada cantidad. • Identificación de la función objetivo: Para maximizar los ingresos.A2.V: cantidad de tintas verdes Ahora. • Identificación de las restricciones: Comenzaremos por los aditivos. b2 y b3. pues como es el mismo para cada uno. Para la tinta roja “R” la relación entre los aditivos A1. Max 6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3. A2. A3 es de 3:1:2 todos con una constante X1 siendo así: R=3*x1+1*x1+2*x1 Y del mismo modo para los siguientes casos: A=2*x2+3*x2+4*x2 V=1*x3+2*x3+3*x3 Y la base B que está dividida en 3 partes iguales según el enunciado: b1. Pero cada tinta está compuesta por aditivos A1. considerando cada tipo de tinta. A1<=1000 gl => 3*x1+2*x2+x3<=1000 . está compuesto por tres aditivos A1.A3 y una base. tenemos que considerar el precio de venta de cada tinta. x1+3*x2+2*x3<=1500. b3>=0. b2>=0 y b3>=0 Programa en el Lingo: De acuerdo con todo lo señalado el modelo quedaría así: MAX=6*x1+9*x2+6*x3+b1+b2+b3. b2>=0. 2*x1+4*x2+3*x3<=2000. b1-b2=0. b3-b1=0.A2<=1500 gl => x1+3*x2+2*x3<=1500 A3<=2000 gl => 2*x1+4*x2+3*x3<=2000 Ahora con las bases tenemos que como se dividen en partes iguales a todas las tintas: B<=4000 gl => b1+b2+b3<=4000 b1-b2=0. b3-b1=0. . b1-b3=0. b1+b2+b3<=4000. La cantidad de cada base en las tintas tiene que ser positiva: b1>=0. 3*x1+2*x2+x3<=1000. b1-b3=0. b2-b3=0. b2-b1=0. b3-b2=0. b2-b1=0. b2-b3=0. b1>=0. b3-b2=0. entonces 4500+4000=8500 dólares que viene a ser el ingreso máximo invirtiendo solo en la tinta azul. A3 y B muestran un precio dual que es lo que varia según lo que se coloque en las restricciones Según el cuadro anterior indicado tenemos que el aditivo A1 presenta un incremente máximo de 2000. ya superior a ese valor este aditivo no provoca ningún efecto en la maximización pero con respecto a las bases su incremento no tiene límites. tenemos que los valores de las variables x1 y x3 resultan ser cero y que la variable x2 cuyo valor es 500 lo cual funciona como constante para la tinta azul. .Según esto. Por otro lado. los aditivos A1. Entonces significa que A=9*x2=9*500=4500 sumados a las bases de 4000.