PROBLEMAS DETECNOLOGÍA ENERGÉTICA Juan Carlos Ramos González Doctor Ingeniero Industrial Raúl Antón Remírez Doctor Ingeniero Industrial Julio de 2013 Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 2 Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas ÍNDICE Problemas Tema 1. Introducción a la transferencia de calor y a la conducción ............................. 1 Problemas Tema 2. Conducción unidimensional en régimen estacionario ..................................... 7 Problemas Tema 3. Conducción bidimensional en régimen estacionario ..................................... 15 Problemas Tema 4. Conducción en régimen transitorio ............................................................... 21 Problemas Tema 5. Introducción a la convección......................................................................... 29 Problemas Tema 6. Convección forzada en flujo externo ............................................................ 33 Problemas Tema 7. Convección forzada en flujo interno ............................................................. 37 Problemas Tema 8. Convección libre o natural ............................................................................ 41 i Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 2 Si el fluido refrigerante es aire (h = 200 W/m2·K). 5) -30 ºC.250 W/m2. -5. Convección) Un chip cuadrado isotérmico de lado 5 mm está montado en un sustrato de manera que sus superficies laterales e inferior están bien aisladas. 4) -85 ºC. -160 K/m.000 W/m2·K). Datos: constante de 1 . 2. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA CONDUCCIÓN 1. 2) 498 K.000 5 30 ºC -3.000 W/m2. 6. Caso T1 T2 dT/dx (K/m) q ′x′ (W/m2) 1 400 K 300 K 2 100 ºC -250 3 80 ºC 200 4 -5 ºC 4. -5.35 W y 5.13 del Incropera. T1 T2 L x Determine las cantidades desconocidas para cada caso de la tabla siguiente y dibuje la distribución de temperatura indicando la dirección del flujo de calor. 3.5 m. mientras que la superficie frontal se expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15 ºC. ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Solución: 0. ¿cuál es la potencia máxima admisible del chip? Si el fluido refrigerante es un líquido dieléctrico (h = 3.000 W/m2. (Radiación y balance de energía) Un antiguo alumno de la Escuela que trabaja en la ESA (Agencia Espacial Europea) nos ha transmitido la siguiente cuestión: Una sonda de exploración espacial cuyas placas de energía fotovoltaica tienen una superficie Ap y una temperatura de fusión Tp = 2.000 K es enviada en dirección al Sol. Ley de Fourier) En el sistema mostrado en la figura se produce una conducción de régimen estacionario unidimensional sin generación de calor.25 W.7 del Incropera. (2. 3) -20 ºC. 120 K/m.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 1. La temperatura del chip no debe sobrepasar los 85 ºC.000 Solución: 1) 200 K/m. Calcular el radio de la órbita solar mínima (Ro) a la que se podrá acercar la sonda al Sol. La conductividad térmica es 25 W/m·K y el espesor L es 0. (1. 8 W. La temperatura de su piel es de 33 ºC y se puede considerar un emisor de radiación perfecto. a = 0 y a < 0. 7.000 K. considere un material para el que esta dependencia puede representarse como k = ko + aT donde ko es una constante positiva y a es un coeficiente que puede ser positivo o negativo. ¿Cuánto valen ∂T/∂y y ∂T/∂x en la superficie B? Solución: ∂T/∂y = 0. b) El gasto energético en kcal/día. Solución: a) qconv = Q& conv = 81 W. (Convección y radiación) Una persona desvestida tiene una superficie de 1. radio del Sol Rs = 7·108 m. temperatura de la superficie solar Ts = 6. La densidad y el calor específico del aluminio son 2. Si el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 9 W/m2·K. b) 2. Balance de energía) Una placa de aluminio de 4 mm de espesor se monta en posición horizontal con su superficie inferior bien aislada.846 kcal/día.6 del Incropera. 4. Solución: Ro = Rs (Ts/Tp)2. (2. ∂T/∂x = 60 K/m.700 kg/m3 y 900 J/kg·K. qrad = Q& rad = 56. (1. respectivamente.5 m2 expuesta a un ambiente y a unos alrededores de 27 ºC.25. hállese: a) Las pérdidas de calor por convección y por radiación. Ley de Fourier) En el cuerpo bidimensional que se muestra en la figura se encuentra que el gradiente en la superficie A es ∂T/∂y = 30 K/m.67·10-8 W/m2·K4.27 del Incropera. El coeficiente de transferencia 2 . 5. suponer que tanto el Sol como las placas se comportan como cuerpos negros (ε = α = 1). Se aplica a su superficie superior un recubrimiento que absorbe el 80% de cualquier radiación solar incidente y tiene una emisividad de 0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Stefan-Boltzmann σ = 5. (2. a) Considere las condiciones para las que la placa está a una temperatura de 25 ºC y la superficie superior se expone súbitamente al aire ambiente a T∞ = 20 ºC y a radiación solar que proporciona un flujo incidente de 900 W/m2. Ley de Fourier) Para determinar el efecto de la dependencia de la temperatura de la conductividad térmica sobre la distribución de temperatura en un sólido. Dibuje la distribución de temperatura de régimen estacionario asociada con la transferencia de calor en una pared plana para tres casos que corresponden a a > 0.11 del Incropera. 6. T (K) cp (J/kg·K) 600 557 800 582 Solución: 841 kW.005 m2. b) Ts = 321 K.4 m y Lo = 25 m. 9. 1 hoja de acero inoxidable AISI 304 se lleva de 300 K a 1.4 W/m·K. ¿Cuál es la velocidad inicial de cambio de la temperatura de la placa? Suponga que no hay alrededores.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas de calor por convección entre la superficie y el aire es h = 20 W/m2·K. y la temperatura de la superficie del horno. Ley de Fourier) Algunas secciones del oleoducto de Alaska están tendidas sobre tierra.5.31 del Incropera. Wo = 2. b) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio de la placa cuando se alcancen las condiciones de régimen estacionario? c) Represente mediante Excel® una gráfica de la temperatura de régimen estacionario como función de la emisividad para 0. La superficie inferior del horno también está a 350 K y reposa en una placa de cemento de 0. para tres valores de la absortividad de la placa de 0. sostenidas por columnas verticales de acero (k = 25 W/m·K) de 1 m de longitud y sección transversal de 0.05 ≤ ε ≤ 1.900 kg/m3. (2. Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: ρ = 7.5 m de espesor cuya base está a 300 K. ¿cuál es la combinación más deseable de emisividad y absortividad de la placa? Solución: a) 0.12 del Incropera.8 y h = 10 W/m2·K. El espesor y ancho de la hoja son ts = 8 mm y ws = 2 m.052 K/s. En condiciones normales de operación se sabe que la variación de temperatura de un extremo a otro de la longitud de una columna se rige por una expresión de la forma 3 . Datos: kcemento (a 300 K) = 1. La parte superior y cuatro lados del horno se exponen al aire ambiental y a alrededores a 300 K. su emisividad y el coeficiente de convección respectivos son Ts = 350 K. respectivamente. 0. Estimar la potencia eléctrica que se requiere suministrar al horno. (1. ancho y largo del horno son Ho = 2 m. 8. Balance de energía) En una etapa de un proceso de recocido.8 y 1 con el resto de condiciones constantes. εs = 0. respectivamente.250 K conforme pasa a través de un horno calentado eléctricamente a una velocidad de vs = 10 mm/s. mientras que la altura. Si la finalidad es maximizar la temperatura de la placa. b) Calcular la conductividad térmica y la temperatura promedio de una muestra de hierro Armco puesta en lugar de la muestra inferior del acero AISI 316. En este caso el calentador toma 0. Evalúe la temperatura y la rapidez de conducción de calor en la unión columna-ducto (x = 0) y en la interfaz columna-tierra (x = 1). a) Con dos muestras de acero inoxidable AISI 316 en el aparato. 10. Las caras laterales de las muestras se aíslan para que la transferencia de calor sea unidimensional. el calentador toma 0.25 W. ¿Cuál es la conductividad térmica del material de la muestra de acero inoxidable y cuál la temperatura promedio de las muestras? Compare los resultados con los valores de la Tabla A. Ley de Fourier) Un aparato para medir la conductividad térmica emplea un calentador eléctrico intercalado entre dos muestras idénticas de 30 mm de diámetro y 60 mm de longitud. c) ¿Cuál es la ventaja de construir el aparato con el calentador intercalado entre dos muestras en lugar de construirlo con una sola combinación muestra-calentador? ¿Cuándo resulta significativo el escape de calor por la superficie lateral de las muestras? ¿Bajo que condiciones esperaría que ΔT1 ≠ ΔT2? Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 316: T (K) k (W/m·K) 300 13. Se pone grasa conductora entre todas las superficies para asegurar un buen contacto térmico.2 4 .4 400 15. (2.1 del Incropera.0 ºC.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas T = 100 – 150x + 10x2 donde T y x tienen unidades de ºC y metros. prensadas entre placas que se mantienen a una temperatura uniforme To = 77 ºC mediante la circulación de un fluido. respectivamente.0 ºC. Se empotran termopares diferenciales en las muestras con un espaciado de 15 mm.353 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ΔT1 = ΔT2 = 25.17 del Incropera. Explique la diferencia en las transferencias de calor.75 W y 16.601 A a 100 V y los termopares diferenciales indican ΔT1 = ΔT2 = 15. Las variaciones de temperatura son insignificantes sobre la sección transversal de la columna. Solución: 18. 8 K/s. y la distribución de temperatura en la capa central es: T ( x) = − A − ax e + Bx + C ka 2 Las cantidades A (W/m3). (2.7 Solución: a) k = 15 W/m·K y T = 400 K. y k es la conductividad térmica que también es constante. 11. 5 .167·105 ºC/m2. b) k = 70 W/m·K y T = 380 K. ecuación de calor y balance de energía) Un estanque solar poco profundo con gradiente salino consiste en tres capas fluidas distintas y se utiliza para absorber energía solar. Ley de Fourier. Las propiedades de la varilla de combustible son k = 30 W/m·K.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Propiedades termofísicas del Armco: T (K) k (W/m·K) 300 72. b) 56. a (1/m). donde T2 > T1.8 × 10 4 W/m . a) Obtenga expresiones para la rapidez a la que se transfiere calor por unidad de área de la capa inferior a la capa central y de ésta a la capa superior. B (K/m) y C (K) son constante conocidas.7 400 65. y en condiciones de régimen estacionario la distribución de temperatura es T(r) = a+br2.24 del Incropera. a) ¿Cuál es la velocidad de transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla en r = 0 (línea central) y en r = 25 mm (superficie)? b) Si el nivel de potencia del reactor aumenta súbitamente a q& 2 = 10 8 W/m3. Las capas superior e inferior están bien mezcladas y sirven para mantener las superficies superior e inferior de la capa central a temperaturas uniformes T1 y T2. ¿cuál es la velocidad de cambio de temperatura en el tiempo inicial en r = 0 y en r = 25? Solución: a) q ′r (r = 0) = 0 y q r′ (r = 25) = 9. Considere condiciones para las que la absorción de la radiación solar en la capa central proporciona una generación no uniforme de calor de la forma q& ( x) = Ae − ax . mientras a = 800 ºC y b = -4. ρ = 1. donde T está en grados Celsius y r en metros. Ecuación de calor) En una varilla cilíndrica de 50 mm de diámetro de combustible de un reactor nuclear ocurre generación interna de calor a q&1 = 5·10 7 W/m3.21 del Incropera.100 kg/m3 y cp = 800 J/kg·K. (2. 12. E& gen a 6 . q ′x′ ( x = 0) = − − Bk . b) Régimen estacionario. c) a a ) A ′′ = 1 − e − aL . por unidad de área superficial. Solución: a) q ′x′ ( x = L) = − ( A − aL A e − Bk . c) Obtenga una expresión para la rapidez a la que se genera energía térmica en la capa central.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas b) Determine si las condiciones son estacionarias o transitorias. ext. Datos: kvidrio (a 300 K) = 1.27 kW/m2.ext y hext sobre las temperaturas.ext = 10 ºC y su coeficiente de convección hext = 65 W/m2·K. b) Evalúe cualitativamente la influencia de T∞. b) Ambas disminuyen al aumentar hext y aumentan al aumentar T∞. (3.17 W/m·K.9 ºC. Propiedades termofísicas de la fibra de vidrio: T (K) ρ (kg/m3) k (W/m·K) 300 16 0.15 del Incropera) Una casa tiene una pared compuesta de madera.035 7 . ′′ = 1.int = 25 ºC y su coeficiente de convección hint = 10 W/m2·K. 2.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 2. a) Calcular la potencia eléctrica por unidad de área de ventana necesaria para mantener la temperatura de la superficie interna a 15 ºC cuando la temperatura del aire interior es T∞. Datos: Tablero de yeso: k (a 300 K) = 0.2 del Incropera) La ventana posterior de un automóvil se desempaña mediante el paso de aire caliente sobre su superficie interna.int = 40 ºC y su coeficiente de convección hint = 30 W/m2·K y la temperatura del aire exterior T∞.038 300 40 0.3 del Incropera) En la ventana posterior del automóvil del problema anterior se instala como sistema para desempañar su superficie interior un elemento de calentamiento consistente en una película transparente delgada con resistencias eléctricas. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor por convección son hext = 60 W/m2·K y hint = 30 W/m2·K.ext y hext sobre la potencia eléctrica. El área total de la superficie es de 350 m2. El aire exterior está en las mismas condiciones que en el problema anterior. Solución: a) Tint = 7. 3. siendo la temperatura del aire caliente T∞. (3. CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Pared plana 1.046 300 28 0. (3. como se indica en el esquema. c) Evalúe cualitativamente la influencia de T∞. b) Text = 11. Al calentarse eléctricamente este dispositivo se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna. b) Calcular la temperatura de la superficie externa de la ventana.1 ºC. c) Pelec ′′ aumenta al aumentar hext y Solución: a) Pelec disminuye al aumentar T∞. aislante de fibra y tablero de yeso. a) Calcular las temperaturas de las superficies interna y externa de una ventana de vidrio de 4 mm de espesor.ext.7 ºC y Text = 4.4 W/m·K. b) Determine la pérdida de calor total de la pared. La resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta es Rt′′.c = 10-4 m2·K/W. 8 . La superficie inferior de la tarjeta se expone al aire ambiente para el que hint = 40 W/m2·K y T∞.25 del Incropera) Un circuito integrado (chip) disipa 30. El chip. a) Dibuje el circuito térmico equivalente señalando las resistencias térmicas. b) ¿Cuál es la temperatura del chip para las condiciones de disipación de q c′′ = 30. (3.45 %. d) La de la fibra de vidrio.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Tablero de madera contraplacada: k (a 300 K) = 0.000 W/m2·K y T∞. las temperaturas y los flujos de calor. ¿cuál sería el porcentaje de aumento relativo de la pérdida de calor? d) ¿Qué resistencia térmica influye en mayor medida sobre la pérdida de calor a través de la pared? Solución: b) 4.000 W/m2 de calor eléctrico.ext = 20 ºC. que es el aislante y tiene la k menor. se expone a un líquido dieléctrico en su superficie superior con hext = 1. Resistencia de contacto 4. c) Si el viento soplara de manera violenta elevando hext a 300 W/m2·K.000 W/m2? c) ¿Qué influencia tendría en la temperatura del chip el aumentar en un orden de magnitud la conductividad de la tarjeta de circuitos y en disminuir en un orden de magnitud la resistencia térmica de contacto entre el chip y la tarjeta? Solución: b) Tc = 49 ºC. c) 0. que es muy delgado.214 W. c) Prácticamente ninguna. En la superficie inferior se une a una tarjeta de circuitos de espesor Lb = 5 mm y conductividad kb = 1 W/m·K. a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared incluyendo los efectos de convección.12 W/m·K.int = 20 ºC. 051 365 0. Calcular también la temperatura superficial exterior del aislante. c) ≈ 3 meses.8 se utiliza para transportar vapor saturado a una presión de 20 bar (Tsat = 485 K) en un cuarto para el que la temperatura del aire y de las paredes es 25 ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie externa del tubo es 20 W/m2·K. Si la línea de vapor opera 7.37 del Incropera) Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros que se requieren para mantener la superficie externa del tubo B a 5 ºC.061 Solución: a) 3.055 420 0.5 W/m·K. b) 23. 9 .7 ºC.ail.702 W/m.cable = 318. La varilla A tiene una conductividad térmica kA = 0. b) ¿Cuál es la temperatura en el centro de la varilla A? Solución: a) 251 W/m. c) El coste asociado con la generación del vapor saturado es de 4 €/109 J y el del aislante y su instalación de 100 €/m. a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo expuesto (sin aislante)? b) Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud del tubo si se añade una capa aislante de 50 mm de óxido de magnesio que también tiene una emisividad de 0.153 ºC y Ts. (3.15 W/m·K y el tubo B kB = 1.45 del Incropera) Un tubo de acero de pared delgada de 0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Pared cilíndrica 5.ext ≈ 30 ºC. ¿cuál será el espesor de este aislante que dará el valor más bajo de la temperatura del cable? ¿Cuál es el valor de esa temperatura? Solución: a) Ts.cable = 1.20 m de diámetro y emisividad 0. El cable esté en un medio que tiene una temperatura de 30 ºC y el coeficiente total asociado con la convección y la radiación entre el cable y el medio es aproximadamente 25 W/m2·K. b) Ts. a) Si el cable está expuesto.500 horas al año.2 ºC.5 W/m·K. 6.8. (3.02 m2·K/W. La superficie externa está en contacto con un fluido a temperatura T∞ = -15 ºC y un coeficiente de convección de 50 W/m2·K. ¿cuánto tiempo se necesita para amortizar la instalación del aislante? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de magnesio: T (K) k (W/m·K) 310 0.cable = 778. b) q ′ ≈ 162 W/m y Ts.aislante = 778.4 ºC. c) e = 17. ¿cuál es la temperatura de la superficie? b) Si se aplica un recubrimiento muy delgado de aislante eléctrico al cable.7 ºC. ¿cuáles son las temperaturas superficiales del aislante y del cable? c) Si se usa un aislante de conductividad térmica 0.5 mm y Ts. 7. (3. con una resistencia de contacto de 0.44 del Incropera) Una corriente eléctrica de 700 A fluye a través de un cable de acero inoxidable que tiene un diámetro de 5 mm y una resistencia eléctrica de 6·10-4 Ω/m. es decir que la transferencia de calor es independiente del radio. la forma: Rt . La sonda tiene un diámetro de 3 mm y su superficie se mantiene a -30 ºC cuando se incrusta en tejido que está a 37 ºC. En un elemento diferencial de esfera la aplicación de la conservación de la energía implica que qr = qr+dr.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Pared esférica 8. para condiciones unidimensionales de régimen estacionario y sin generación interna de calor. La ecuación de Fourier para una esfera hueca cuyas superficies están en contacto con fluidos a temperaturas distintas y en condiciones de régimen estacionario sin generación de calor adopta la forma: qr = − kA dT dT = − k (4πr 2 ) dr dr donde A = 4πr2 es el área normal a la dirección de la transferencia de calor. Se forma una capa esférica de tejido congelado alrededor de la sonda con una temperatura de 0 ºC en su superficie de contacto con el tejido normal.conv = (Ts1 − Ts 2 ) 1 ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ = qr 4πk ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 1 4πr 2 h Una vez visto esto se puede representar el circuito térmico equivalente al enunciado del problema: q T s1 T s2 1 ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 4πk ⎝ r r + e ⎠ T∞ 1 4π (r + e) 2 h 10 q . (3. Si la conductividad térmica del tejido congelado es 1.cond = Y la de convección: Rt .56 del Incropera) Una sonda esférica crioquirúrgica se incrusta en tejido enfermo con el propósito de congelarlo y destruirlo. ¿cuál es el espesor de la capa del tejido congelado? Resolución: En primer lugar se expone una manera de obtener una expresión de la resistencia térmica para una esfera. por la tanto. Al integrar la ecuación anterior: qr 4π ∫ r2 r1 Ts 2 dr = − ∫ k (T )dT 2 T s1 r Suponiendo k constante y al resolver para las condiciones de contorno de temperaturas conocidas en las superficies se obtiene: qr = 4πk (Ts1 − Ts 2 ) (1 / r1 ) − (1 / r2 ) La resistencia térmica para conducción adopta.5 W/m·K y el coeficiente de transferencia de calor por convección entre el tejido congelado y el normal es 50 W/m2·K. 000 W/m3. El núcleo de combustible está en buen contacto con un material de encamisado de radio externo r2 y conductividad térmica kc.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas La velocidad de transferencia de calor se puede expresar: q= T∞ − Ts 2 Ts 2 − Ts1 = 1 1 ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 2 4πh(r + e) 4πk ⎝ r r + e ⎠ Al resolver se obtiene la siguiente ecuación en e2: e 2 + re − k Ts 2 − Ts1 r=0 h T∞ − Ts 2 Al resolver se obtiene: e = 5. b) ¿Cuáles son las temperaturas en las superficies externa e interna de la pared para esa condición? c) Determine el valor de q o′′ que debe suministrar el calentador de listón de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara. d) 55 ºC. d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor del calentador de listón permanece constante. q o′′ .83 del Incropera) Un elemento de combustible de reactor nuclear consiste en un núcleo cilíndrico sólido de radio r1 y conductividad térmica kf. (3. a T∞. a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared (T-x) para la condición de que no se pierde nada del calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara (es decir. (3. ¿cuál sería la temperatura de la pared exterior en régimen permanente? Solución: b) T(0) = 65 ºC y T(L) = 60 ºC. se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme.int = 50 ºC se calienta convectivamente con hint = 20 W/m2·K mediante una pared de 200 mm de espesor que tiene una conductividad térmica de 4 W/m·K y una generación de calor uniforme de 1. 10. c) 200 W/m2. Considere condiciones de régimen estacionario para las que ocurre una generación de calor uniforme dentro del combustible a una razón volumétrica q& = e& gen y la superficie 11 .ext = 25 ºC con hext = 5 W/m2·K. Para prevenir que algo del calor generado se pierda hacia el exterior de la cámara. quitando el calentador y aislando la superficie externa de la pared).34 mm. Generación interna de calor 9.73 del Incropera) El aire dentro de una cámara a T∞. Superficies extendidas y aletas 11. el valor de h? Solución: b) Tf(r = 0) = 1. (3. por tanto. Considere una pila de aletas de 200 mm de ancho y 100 mm de profundidad con 50 aletas de 12 mm de longitud. ¿Cuáles son las disipaciones de calor de una aleta y del sistema de aletas en cada una de las placas? 12 . Un extremo de la varilla se une a esta superficie (en x = 0) y el otro (x = 25) se une a una segunda superficie que se mantiene Ts2 = 0 ºC.000 W/m2·K y T∞ = 300 K. h = 2.458 K.109 del Incropera) Varillas de cobre circulares de diámetro D = 1 mm y longitud L = 25 mm se usan para reforzar la transferencia de calor de una superficie que se mantiene a Ts1 = 100 ºC. b) qt = 103. si se instala una disposición de varillas separadas entre centros 4 mm? Datos: kcobre (a 300 K) = 401 W/m·K. ¿cuál es la temperatura máxima en el elemento de combustible? c) Evalúe cualitativamente la influencia de h sobre las temperaturas. (3. Las temperaturas máximas permisibles asociadas a las placas opuestas son To = 400 K y TL = 350 K. La pila completa está fabricada de aluminio (k = 240 W/m·K) de 1 mm de espesor. a) Obtenga expresiones para las distribuciones de temperatura en el combustible y en el encamisado. Si q& = e& gen = 2·108 W/m3.114 del Incropera) A menudo se forman pasajes de aletas entre placas paralelas para reforzar la transferencia de calor por convección en núcleos compactos de intercambiadores de calor. Solución: a) qf = 1. El aire que fluye entre las placas tiene una h = 150 W/m2·K y una T∞ = 300 K. ¿Es posible mantener la temperatura de la línea central del combustible por debajo de 1. a) ¿Cuál es la transferencia de calor de una sola varilla de cobre? b) ¿Cuál es la transferencia total de calor de una sección de 1 m x 1 m de la superficie a 100 ºC.8 kW. El aire que fluye entre las superficies también está a una temperatura T∞ = 0 ºC y tiene un coeficiente de convección h = 100 W/m2·K.000 K ajustando el flujo de refrigerante y.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas externa del encamisado se expone a un fluido refrigerante que se caracteriza por una temperatura T∞ y un coeficiente de convección h. c) Si h aumenta Tf y Tc disminuyen.51 W. 12. No es posible. b) Considere un núcleo de combustible de óxido de uranio para el que Kf = 2 W/m·K y r1 = 6 mm y un encamisado para el que Kc = 25 W/m·K y r2 = 9 mm. Tf(r) y Tc(r). qfL = -88.5 W.95 W. qto = 5. La pared del transformador tiene una conductividad térmica de 5 W/m·K y un espesor de 6 mm.c = 10 −4 m 2 ·K/W . El soporte del dispositivo de aletas tiene un espesor de 4 mm.291.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Solución: qfo = 114.c Soporte de k = 240 W/m·K las aletas al Tal Tb Tint t = 2 mm δ = 2 mm q"i h = 100 W/m2·K 6 mm 4 mm 25 mm 13 T∞ = 320 K .972. El calor generado en el transformador se puede asimilar a un flujo de calor uniforme sobre la pared de valor q i′′ = 10 5 W/m 2 . examen septiembre 2005) Se quiere disipar el calor generado en el interior de un transformador situando en una de sus paredes un dispositivo de aletas rectas.5 W.08 W. (3. Entre la pared del transformador y el soporte de las aletas hay una resistencia de contacto de valor Rt′′. qtL = -4. Sobre ella se coloca un dispositivo de aletas de sección rectangular de aluminio (kal = 240 W/m·K). El aire exterior está a 320 K y proporciona un coeficiente de convección de 100 W/m2·K. Pared del transformador ktra = 5 W/m·K R"t. Las aletas tienen una longitud de 25 mm. 13.131 del Incropera modificado. un espesor de 2 mm y la distancia entre ellas es de 2 mm. b) Calcule los valores de las resistencias térmicas que aparecen en el circuito térmico anterior. c) Calcule la temperatura de la superficie interna del transformador.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Dibuje el circuito térmico equivalente entre el interior del transformador y el aire exterior para la parte de pared que le corresponde a una aleta teniendo en cuenta que la dimensión perpendicular al dibujo es muy larga. e) Tb = 400. e) Calcule la temperatura de la base de las aletas. Tint.3 K. Solución: c) Tint = 532. Tb. 14 .6 K. Tal.3 K. d) Tal = 402. d) Calcule la temperatura de la superficie interna del soporte de aluminio (en contacto con la resistencia de contacto). (4. Los canales tienen un diámetro D = 15 mm con un espaciado de línea central de Lo = 60 mm. capa cilíndrica y coraza esférica. b) Esfera hueca de superficie isotérmica de diámetro D en el interior de un medio infinito. b) 2πD. (4. 2πL/ln(r2/r1). Si el tubo se cubre con un superaislante (ki = 0. 15 .05 W/m·K. Solución: a) A/L.33 W/m. El fluido caliente está a Ti = 150 ºC y el coeficiente de convección es 1. El tubo está forrado de una capa cilíndrica excéntrica que se mantiene a 35 ºC y mide 120 mm de diámetro. El espacio entre el tubo y la capa está lleno de un material aislante que tiene una conductividad térmica de 0.16 del Incropera) Con las relaciones de resistencia térmica desarrolladas en el tema 3 determine expresiones del factor de forma para las siguientes geometrías: a) Pared plana.000 W/m2·K. (4. El cable está enfundado en un tubo de pared delgada de 0. Solución: 12.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 3. Factores de forma con circuitos térmicos 4. definida como la distancia entre los centros del tubo y la capa.1 m de diámetro y para hacer al cable superconductor (esencialmente cero disipación de energía). ¿cuál es la carga de enfriamiento por unidad de longitud de tubo [W/m] que debe suministrar un refrigerador criogénico para mantener el nitrógeno a 77 K? Solución: 9. Las placas de cubierta se exponen al aire ambiental que está a 25 ºC y tiene un coeficiente de convección de 200 W/m2·K. es 20 mm. CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL EN RÉGIMEN ESTACIONARIO Factores de forma 1. el espacio entre el cable y el tubo está lleno de nitrógeno líquido a 77 K.5 W/m y 11. Calcule la pérdida de calor por unidad de longitud de tubo y compare el resultado con la pérdida de calor para una disposición concéntrica. (4.05 m de espesor y la superficie de la tierra (kg = 1. y la resistencia de contacto entre los dos materiales es Rt′′. 2. 4πr1r2/(r2-r1).20 del Incropera) Un cable largo de transmisión de energía se entierra a una profundidad (distancia de la tierra a la línea central del cable) de 2 m. Las conductividades térmicas de los materiales son kA = 20 W/m·K y kB = 75 W/m·K.25 del Incropera) Por un tubo de cobre de pared delgada de 30 mm de diámetro fluye agua caliente a 85 ºC.005 W/m·K) de 0. 3.c = 2·10 −4 m2·K/W.28 del Incropera) Un fluido caliente pasa por tubos circulares de una plancha de hierro colado de espesor LA = 60 mm que está en contacto con unas placas de cubierta de espesor LB = 5 mm.2 W/m·K) está a 300 K. La excentricidad.89 W/m. Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Determine la transferencia de calor de un solo tubo por unidad de longitud de la plancha en dirección normal a la página. la temperatura de la base no cambia. b) Ts = 90. por debajo de la de la base y el flujo de calor del material de la base a la aleta es bidimensional. qi′ . (4. Si la superficie inferior está aislada.8 ºC. Tj. qi′ aumenta y Ts disminuye.578. c) Si Lo aumenta. si la temperatura del material de la base excede la temperatura del fluido. ¿Cómo afectaría a qi′ y Ts aislar la superficie inferior? Solución: a) qi′ = 1. Las condiciones de convección en la superficie de la aleta son T∞ = 25 ºC y h = 50 W/m2·K. b) Determine la temperatura de la superficie externa de la placa de cubierta. 5.6 W/m. Ts. qi′ disminuye y Ts permanece constante. Considere condiciones en las que una aleta larga circular de aluminio de diámetro D = 5 mm se une al material de la base cuya temperatura lejos de la unión se mantiene a Tb = 100 ºC.31 del Incropera) En el Tema 3 se supuso que cuando se une una aleta a un material base. 16 . Lo que en verdad ocurre es que. c) Comente los efectos sobre qi′ y Ts de un cambio en el espaciado de los canales. al colocar una aleta disminuye la temperatura de la unión. f 6.5 m de espesor.8 m y paredes de nieve compactada de 0. en condiciones normales de viento.24 W. c) Si h aumenta qf aumenta.2 ºC. qf = Q& f = 4. (ii) Tj = 78. La temperatura de la capa de hielo sobre la que se asienta el iglú es de -20 ºC y tiene la misma conductividad térmica que la nieve compactada.4 ºC. en el exterior. Sobre la superficie superior del dispositivo electrónico hay un flujo de aire a 27 ºC con un coeficiente de convección de 1. La conductividad térmica de la nieve compactada es 0. b) Repita los cálculos anteriores para el caso del aluminio si entre la unión de la aleta y el material de la base hay una resistencia térmica Rtc" = 3·10 −5 m2·K/W c) ¿Cómo influye el coeficiente de convección en la transferencia de calor? Solución: a) (i) Tj = 98 ºC. Ti = 20.000 W/m2·K. (4. calcule la temperatura del aire interior cuando la del aire exterior es -40 ºC. es 15 W/m2·K. b) Ti = 0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Calcule la temperatura de la unión y la transferencia de calor cuando el material de la base es (i) aluminio (k = 240 W/m·K) y (ii) acero inoxidable (k = 15 W/m·K). Considere las pérdidas de calor a través del suelo. qf = Q& = 4.8 ºC.44 W. b) ¿Cómo afecta a la temperatura interior el que el coeficiente de convección exterior se triplique debido al viento? ¿Y cómo afecta el doblar el espesor de las paredes? Solución: a) Ti = 1.15 W/m·K. b) Tj = 92 ºC. 7.34 del Incropera modificado) Un dispositivo electrónico en forma de disco muy delgado de 20 mm de diámetro disipa 100 W cuando se monta sobre un bloque grande de aleación de aluminio (2024-T6) cuya temperatura se mantiene a 27 ºC. qf = Q& f = 3.32 del Incropera) Se construye un iglú en forma de hemisferio con un radio interno de 1. (4.08 W. En la interfaz entre el dispositivo y el bloque hay una resistencia de contacto Rtc" = 5·10 −5 m2·K/W. 17 . En el interior del iglú el coeficiente de transferencia de calor por convección es 6 W/m2·K. a) Suponiendo que el calor corporal de los ocupantes proporciona una fuente continua de 320 W dentro del iglú.8 ºC. 41 del Incropera) Las superficies superior e inferior de una barra de conducción se enfrían convectivamente por acción de aire a T∞. Los lados se enfrían manteniendo contacto con sumideros de calor a To.c . pero con hsup ≠ hinf. = 126. Las aletas rectas de sección circular (aletas de aguja) están hechas de cobre (k = 400 W/m·K) y están expuestas a un flujo de aire a 27 ºC para el que el coeficiente de convección es 1. Método de las diferencias finitas 8. La barra tiene conductividad térmica k y el ancho es el doble del espesor L. Para la temperatura del dispositivo que se calculó en el apartado a). b) Para aumentar la potencia del dispositivo se instala un sistema de aletas en la parte superior del dispositivo. Considere condiciones de estado estacionario para las que se genera calor de manera uniforme a una tasa volumétrica q& debido al paso de una corriente eléctrica. b) Peléct. ¿cuál es la potencia de operación permisible? Datos: Propiedades termofísicas de la aleación de aluminio 2024-T6: T (K) k (W/m·K) 200 163 300 177 400 186 Solución: a) Td = 54. 18 . (4.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Calcule la temperatura que alcanzará el dispositivo en esas condiciones de trabajo.77 W.000 W/m2·K. Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1 y 13.45 ºC. a través de una resistencia térmica de contacto Rt′′. Solución: a) T1 = 362. b) q’ = 7. T3 = 369 K. q’ = 7.502. 2 y 3 resolviendo el sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que forman las ecuaciones nodales. 19 . La varilla experimenta una rapidez de generación de calor volumétrica uniforme de 5·107 W/m3 y tiene una conductividad térmica de 20 W/m·K. T2 = 390. mientras que los otros dos están aislados. (4. a) Determine las temperaturas en los nodos 1.4 K.48 del Incropera) Las temperaturas de estado estacionario (en K) en tres puntos nodales de una varilla rectangular son como se muestra en la figura.2 K.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 9. b) Calcule la transferencia de calor por unidad de longitud de la varilla (W/m) a partir de las temperaturas nodales. Dos de sus lados se mantienen a una temperatura constante de 300 K. Compare este resultado con la transferencia de calor calculada a partir del conocimiento de la generación volumétrica de calor y las dimensiones de la varilla.5 W/m.500 W/m. 80. La varilla se une en un extremo a una superficie calentada a 120 ºC y en el extremo libre se encuentra aislada. q’ = 205 W/m. 90 mm de largo. 20 . 11. = 3. Uno de sus anchos está sometido a un proceso de convección con aire a 100 ºC y un coeficiente de convección de 100 W/m2·K.1 del Chapman.9 ºC.33 ºC. El resto de los lados se mantiene a 50 ºC. la diferencia relativa de la temperatura en el extremo en dos iteraciones sucesivas ha de ser inferior al 1 %. a) Determine la distribución de temperaturas en la varilla resolviendo las ecuaciones nodales mediante el método iterativo de Gauss-Seidel y con un Δx = 5 cm.27 W/m.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 10.24 W.52 del Incropera) Una barra larga de sección transversal rectangular tiene 60 mm de ancho. (Basado en Ejemplo 5. b) qfaprox.33 ºC y 50 ºC. Solución: a) Empezando desde el lado sometido a convección las temperaturas nodales son: 81. 49.8 ºC.1 ºC. c) Compare la solución anterior con el calor perdido por la aleta calculado de manera exacta. c) qf = 3. q’ = 156. 52. i i −1 Textremo − Textremo E r (%) = 100 ≤ 1 % i Textremo b) Determine una aproximación a la pérdida de calor de la varilla a partir de la distribución discreta de temperaturas calculada en el apartado anterior. Solución: a) Comenzando desde la base la distribución de temperaturas es: 120 ºC. 5ª edición) Se dispone de una varilla de hierro (k = 50 W/m·K) de 1 cm de diámetro y 20 cm de longitud. a) Con un espaciado de malla de 30 mm y mediante el método iterativo de Gauss-Seidel. 80.32 W. Su superficie lateral está en contacto con un fluido a 20 ºC para el que el coeficiente de transferencia de calor por convección es 10 W/m2·K. b) Temperaturas de los nodos a lo largo del ancho sometido a convección: 50 ºC.8 ºC. repita los cálculos con un espaciado de malla de 15 mm. Es decir. El número de iteraciones viene dado por un criterio de convergencia en la temperatura del extremo de un 1 %.16 ºC. 58.7 ºC. 85. (4. 63.6 ºC. y una conductividad térmica de 1 W/m·K. 84. b) Utilizando Matlab® para resolver el sistema de ecuaciones (método de inversión de matrices). determine las temperaturas nodales y la transferencia de calor (por unidad de longitud normal a la página) desde el aire a la barra.5 ºC y 52. (5.4 s. suponiendo que la temperatura del gas y el coeficiente de convección tienen valores constantes de T∞ = 600 ºC y h = 100 W/m2·K a lo largo del canal.05 m que está a una temperatura inicial de 25 ºC.8 del Incropera) Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. 3. que está bien aislado en la superficie externa y encierra capas alternadas del material de almacenamiento y rejillas para el flujo. una superficie 21 . ρ = 7. y el coeficiente de convección promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m2·K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0. T (K) k (W/m·K) cp (J/kg·K) 300 237 903 400 240 949 600 231 1. cp = 129 J/kg·K.033 Solución: t = 933. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuál es la temperatura del aluminio en ese momento? Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: ρ = 2. Considere condiciones en las que la unidad de almacenamiento se carga con el paso de un gas caliente a través de las rejillas.14 del Incropera) La pared plana de un horno se fabrica de acero al carbono simple (k = 60 W/m·K. Cada capa del material de almacenamiento es una plancha de aluminio de ancho W = 0.5 s ≈ 15.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 4. cp = 430 J/kg·K) y tiene un espesor de L = 10 mm. 2.55 min y T = 456 ºC. ¿cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto? Datos: Propiedades termofísicas del plomo a 300 K: k = 35.850 kg/m3.702 kg/m3.10 del Incropera) Una unidad de almacenamiento de energía térmica consiste en un canal rectangular largo.340 kg/m3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K. ρ = 11. Para protegerla de los efectos corrosivos de los gases de combustión del horno. (5.3 W/m·K. (5. Solución: T = 351 K. CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO Método de la resistencia interna despreciable 1. La superficie opuesta está bien aislada de los alrededores. para un área superficial unitaria. 01 R h R ∑ t tf El número de Biot correspondiente será: Bi = ULc 20·0.200 K? ¿Cuál es la temperatura Tso de la superficie expuesta de la película cerámica en ese momento? Resolución: Se dibuja el circuito térmico equivalente del sistema: Tso T∞ q Tsi Rtf′′ 1 hA A Como entre la pared y el fluido existe una película que aporta una resistencia térmica de contacto. Al poner en funcionamiento el horno.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas de la pared se cubre con una película delgada de cerámica que.01 = = 0.01 m2·K/W. Suponiendo que la película tiene una resistencia térmica interna insignificante. la pared está a una temperatura inicial de Ti = 300 K y los gases de combustión entran en el horno a T∞ = 1. ¿cuánto tiempo tardará la superficie interior del acero en alcanzar una temperatura de Tsi = 1. tiene una resistencia térmica de Rtf′′ = 0. U: UA = 1 1 1 ⇒U = = = 20 W/m 2 ·K ′ ′ 1 + 1 / 25 + 0 .300 K. con lo que proporcionan un coeficiente de convección de 25 W/m2·K en la película cerámica.0033 k 60 Al ser menor que 0.1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: Tsi − T∞ ⎛ t⎞ = exp⎜ − ⎟ Ti − T∞ ⎝ τ⎠ 22 . para poder calcular el número de Biot y estudiar si se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable hay que trabajar con el coeficiente global de transferencia de calor. 687.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas τ = Rt C c = t = −τ ln ρVc p UAs = 7.75 s 20 Tsi − T∞ 1.75·ln = 3.28 del Incropera) Considere la pared unidimensional que se muestra en el dibujo que inicialmente se encuentra a temperatura uniforme Ti y se somete de pronto a la condición de frontera de convección con un fluido a T∞.900 kg/m3. ¿Cuánto tiempo se tardará en alcanzar el 75 % del almacenamiento máximo posible de energía? ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima de la mampostería en ese momento? Solución: t = 1. Otra pared. pero con un material de mampostería de k = 0.6 min.40 25·10-6 100 30 20 100 ¿Cuánto tiempo tardará la segunda pared en alcanzar 28.5 ºC en la posición x = L2? Solución: t = 960 s = 16 min. Tmín (x = 0) = 412 ºC.10 15·10-6 50 300 400 200 2 0.850·0.687. la temperatura en x = L1 después de t1 = 100 s es T1(L1. tiene diferentes condiciones de espesor y térmicas como se muestra en la siguiente tabla. caso 1. Para una pared en particular. ρ = 1. (5. la temperatura de la superficie de la película vendrá dada por: h(T∞ − Tso ) = (Tso − Tsi ) / Rtf′′ ⇒ Tso = hT∞ + Tsi / Rtf′′ h + 1 / Rtf′′ = 1.01·430 = 1.886 s ≈ 65 min 300 − 1.t1) = 315 ºC.300 Ti − T∞ A partir del circuito térmico equivalente.174 s ≈ 19.200 − 1. (5.300 = 1. Tmáx (x = W/2) = 538 ºC.70 W/m·K. caso 2. Caso L (m) α (m2/s) k (W/m·K) Ti (ºC) T∞ (ºC) h (W/m2·K) 1 0. Conducción unidimensional: pared plana 5. 23 .220 K Efectos espaciales: análisis de semejanza 4. cp = 800 J/kg·K empleado en lugar del aluminio.32 del Incropera) Considere la unidad de almacenamiento de energía del problema 2. Las caras de los extremos se someten de pronto a una intensa rapidez de calentamiento que las eleva a una temperatura de 500 ºC. El adhesivo entre la losa y el suelo se suavizará lo suficiente si se calienta por encima de 50 ºC durante al menos 2 minutos. (5.45 del Incropera) Una varilla larga de 40 mm de diámetro fabricada de zafiro (óxido de aluminio) e inicialmente a una temperatura uniforme de 800 K. (5.000 K se endurecerá. Suponga que la losa y el suelo tienen una temperatura inicial de 25 ºC y propiedades termofísicas equivalentes de k = 0. ¿cuánta energía se eliminará de él durante el tiempo que se tarda en despegar la losa? Solución: a) t = 168.5·106 J/m3·K. Sólido semiinfinito 8.7 s. b) Q = 56. 24 . Solución: t = 3. Conducción unidimensional: esfera 7. ρ·cp = 1.300 K y h = 5.9 W/m·K. Después de 35 segundos la varilla se envuelve en un aislante y no experimenta pérdidas de calor. Al mismo tiempo.4 s. lo que permite levantarla posteriormente. se enfría de súbito con un fluido a 300 K que tiene un coeficiente de transferencia de calor de 1. Determine la temperatura en el punto central del cilindro 8 segundos después de la aplicación súbita del calor. ρ = 7.063.110 J/kg·K. cp = 1. Este tipo de calentamiento se lleva a cabo mediante la inmersión súbita de la bola en un baño de sal derretida con T∞ = 1.970 kg/m3. Conducción multidimensional 9.600 W/m2·K. Suponga que cualquier posición dentro de la bola cuya temperatura exceda 1.800 kg/m3. cp = 500 J/kg·K) se desea aumentar la temperatura de la superficie por un tiempo corto sin calentar de manera significativa el interior de la bola. ¿Cuál será la temperatura de la varilla después de un largo tiempo? Datos: Propiedades termofísicas del óxido de aluminio (zafiro) a T = 600 K: k = 18.48 del Incropera) En el tratamiento térmico para endurecer bolas de acero de rodamientos (k = 50 W/m·K. a) ¿Cuánto tiempo se tardará en despegar una losa de espesor 4 mm empleando el bloque de hierro? ¿La temperatura del adhesivo excederá 120 ºC? b) Si el bloque de hierro tiene un área superficial cuadrada de 254 mm de lado. pero su temperatura no debe superar 120 ºC para evitar su deterioro.15 W/m·K.000 W/m2·K. (5. Estime el tiempo que se necesita para endurecer el milímetro externo de una bola de 20 mm de diámetro si su temperatura inicial es de 300 K. ρ = 3. El bloque de hierro se pone en contacto con la losa para suavizar el adhesivo. la temperatura es menor que 120 ºC. la superficie cilíndrica se somete a calentamiento por un flujo de gas con una temperatura de 500 ºC y un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m2·K. (5.6 J.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Conducción unidimensional: cilindro 6.61 del Incropera) Una grúa para levantar losas adheridas al suelo emplea un bloque de hierro que se mantiene a temperatura constante de 150 ºC mediante un calentador eléctrico empotrado. Solución: Tinf = 510 K.75 del Incropera) Una punta cilíndrica de cobre de 100 mm de longitud y 50 mm de diámetro está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC. Para las soluciones unidimensionales se emplearán el método de la resistencia interna despreciable (si Bi < 0.2) según corresponda. t ) − T∞ = Ti − T∞ Ti − T∞ T (r .8) − T∞ · Pared Ti − T∞ plana Cilindro infinito A continuación se resuelve cada sistema unidimensional por separado.2 del Cuaderno de Fórmulas. la solución bidimensional se expresa como producto de las soluciones unidimensionales correspondientes a una pared plana y a un cilindro infinito.0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Resolución: En el problema en cuestión la longitud y el diámetro del cilindro son comparables por lo que se tiene una transmisión de calor bidimensional.8) − T∞ = Ti − T∞ Ti − T∞ T (0. Como se pide la temperatura central en t = 8 s. La expresión de la ecuación de calor para este caso será: 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ 2T 1 ∂T = ⎟+ ⎜r r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂x 2 α ∂t Se puede demostrar que la solución ha esta ecuación se puede obtener por el método de separación de variables. llegando a la siguiente expresión: T ( x. a partir de la ecuación vista antes se tiene que: T (0. t ) − T∞ · Ti − T∞ Pared plana Cilindro infinito Es decir.8) − T∞ T (0. la solución exacta o la aproximada con el primer término (si Fo > 0.1). r . t ) − T∞ T ( x. En la Tabla 4. Tablas y Figuras se presenta un resumen de soluciones para distintos sistemas multidimensionales como productos de las soluciones unidimensionales. Visto esto se resuelve este problema en concreto. Se calcula el número de Biot para la conducción a través de una pared plana: Bi pp = hLc =∞ k 25 . 5906 Cilindro infinito T (0.8) − 500 T (0.1 se puede aplicar el método de la resistencia interna despreciable: T (0.933 kg/m3.05 2 = > 0. Como Fo 2 ρc p Lc 8.8) − T∞ Ti − T∞ = C1 exp(−ξ12 Fo) = 1.9827 ⎝ 457.0.304 .9827 = 0.933·410·0.8) − T∞ · Ti − T∞ Pared plana = 0.1 del Cuaderno de Fórmulas.5707 2 ·0.2733·exp(−1. 2 Se calcula el número de Fourier: Fo = αt 2 c L kt 384·8 = = 0.2 la aproximación con el primer término es correcta.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Como para este caso la temperatura superficial está fijada esto es equivalente a tener una h infinita. Se calcula el número de Biot: Bicil . (5.601 Pared plana A continuación se resuelve la conducción a través de un cilindro infinito.933·0. T (0. Se buscan las propiedades del cobre para una temperatura media de: 20 + 500 T = = 260 º C = 533 K ⇒ ρ = 8.304) = 0.0.025·410 = 457. Tablas y Figuras se obtienen los coeficientes de la aproximación de un término: ξ1 = 1.8) − T∞ Ti − T∞ Cilindro infinito ρVc p hAs Cilindro infinito ⎛ t⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎝ τ⎠ = 8. Método de las diferencias finitas 10.8) − T∞ T (0.8 ⎠ T (0.025 = = 6.51·10 −3 384 k Por ser menor que 0.82 del Incropera) Un cilindro de material plástico (α = 6·10-7 m2/s) está inicialmente a una temperatura uniforme de 20 ºC y está bien aislado a lo largo de su superficie lateral y en un extremo.0. k = 384 W/m·K. 26 .8) = 216. = hro 100·0. Como el número de Biot es mayor que 0. En el tiempo t = 0 se le aplica calor en el extremo izquierdo de manera que T0 aumenta linealmente con el tiempo a una razón de 1 ºC/s. A partir de la Tabla 4. cp = 410 J/kg·K.2733.1 no se puede emplear el método de la resistencia interna despreciable.5707 y C1 = 1.8) − T∞ = = 20 − 500 Ti − T∞ Ti − T∞ T (0.601·0.5 ºC Lo correcto sería volver a calcular las propiedades del cobre para esta temperatura y repetir el problema. Empleamos la solución aproximada con el primer término.8) − T∞ Ti − T∞ τ = Rt C c = T (0.8 s 100·2 8 ⎞ ⎛ = exp⎜ − ⎟ = 0. Con Fo = 0. t y las temperaturas nodales de T0 a T4. b) Con Fo = ½ construya una tabla que tenga como encabezados p. T0. T0 (t = 210 s) = 230 ºC. c) Resuelva el problema mediante el método implícito y el método de la inversión de matrices Solución: b) Δt = 30 s. Determine la temperatura de la superficie. Resolución del apartado c): De las ecuaciones nodales explícitas se pueden deducir las ecuaciones nodales implícitas fácilmente: Nodo T0p +1 + T2p +1 − 2T1 p +1 = 1: 1 ( T1 p +1 − T1 p ) ⇒ −(1 + 2 Fo)T1 p +1 + FoT2p +1 = − FoT0p +1 − T1 p Fo Nodo 2: FoT1 p +1 − (1 + 2 Fo)T2p +1 + FoT3p +1 = −T2p Nodo 3: FoT2p +1 − (1 + 2 Fo)T3p +1 + FoT4p +1 = −T3p Nodo 4: 2 FoT3p +1 − (1 + 2 Fo )T4p +1 = −T4p Expresadas en forma matricial: 0 0 Fo ⎡− (1 + 2 Fo) ⎤ ⎡T1 p +1 ⎤ ⎡− FoT0p +1 − T1 p ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p +1 ⎥ ⎢ − (1 + 2 Fo) 0 Fo Fo − T2p ⎥ ⎢ ⎥ ⎢T2 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢T3p +1 ⎥ ⎢ − (1 + 2 Fo) 0 Fo Fo − T3p ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p +1 ⎥ ⎢ p − (1 + 2 Fo)⎦ ⎢⎣T4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 2 Fo − T4 ⎥⎦ ⎣ [A][· T ] = [C ] ⇒ [T ] = [A]−1 ·[C ] Se inicia un proceso iterativo en que para cada tiempo p hay que evaluar el vector [C] antes de resolver las temperaturas en el tiempo siguiente p+1. 27 . 2. 3 y 4. cuando T4 = 35 ºC.5 ⇒ Δt = 30 s.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Con el método explícito obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para los nodos 1. Los resultados se pueden expresar en forma de tabla. 832 kg/m3. T4. ¿Cuál es el Δt? ¿Se satisface el criterio de estabilidad? Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010 a 1.3 K. La soldadura actúa como una capa interfacial de espesor insignificante y resistencia efectiva de contacto Rt′′. ρ = 7. En el tiempo t = 0.3 W/m·K.100 del Incropera) Se sueldan dos barras muy largas en la dirección normal a la página.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 11.c para T4. la cara m = 3 de la barra de cobre hace contacto con la cara m = 4 de la barra de acero AISI 1010.01.17 s) = 806. cp = 1. a) Obtenga la ecuación en diferencias finitas explícita en términos de Fo y Bic = Δx .2 y determine el criterio de estabilidad correspondiente. Solución: a) Criterio de estabilidad: Fo ≤ 1/(4 + 2Bic). p t T0 T1 T2 T3 T4 0 0 20 20 20 20 20 1 30 50 2 60 80 3 90 110 (5. sí se satisface el criterio de estabilidad. determine T4. las cuales tienen las distribuciones de temperaturas iniciales que se muestran en la tabla inferior.2 un intervalo de tiempo después de que se hace contacto.168 J/kg·K. k ·Rt′′.c = 2·10-5 m2·K/W.000 K: k = 31. b) Δt = 1.2 (t = 1. b) Si Fo = 0.17 s. 28 . Perfiles de la capa límite 3. h = 38. INTRODUCCIÓN A LA CONVECCIÓN Coeficientes de transferencia de calor 1. Solución: h x / hx = 4/3. y =0 Transición de la capa límite 4. Para condiciones de estado estacionario.222.4 K/m. que depende de las propiedades del fluido.44·x[W/m2·K]. donde hx es el coeficiente a la distancia x desde el inicio de la superficie y la cantidad C. Datos: Propiedades termofísicas del acero AISI 1010: ρ = 7. 2. Dibuje la variación de hx y h x con x. Sin embargo.2 del Incropera) Para la convección laminar libre de una superficie vertical caliente. donde x e y están en metros.22 K/m. La pared es de 0. (6. el coeficiente de convección local se expresa como hx = Cx-1/4.6 W/m2·K.9 400 487 58. Solución: hx = 600·k·x [W/m2·K] = 15.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 5. Determine y elabore una gráfica de la forma en que varía el coeficiente de convección local h con x. (6.5 del Incropera) Aire a una temperatura de flujo libre T∞ = 20 ºC está en un flujo paralelo sobre una placa plana de longitud L = 5 m y temperatura Ts = 90 ºC. los obstáculos colocados en el flujo intensifican la mezcla al aumentar la distancia x desde el inicio. Obtenga una expresión para la razón h x / hx. ∂y ∂y = -17.832 kg/m3. donde h x es el coeficiente promedio entre el inicio (x = 0) y la posición x. Evalúe el coeficiente de convección promedio h para la placa.7 ∂T pared ∂Tagua Solución: h = 700 W/m2·K. (6. T cp k (K) (J/kg·K) (W/m·K) 300 434 63. y la variación espacial de las temperaturas medidas en la capa límite están correlacionadas por una expresión de la forma T (x.10 del Incropera) Agua a una temperatura T∞ = 25 ºC fluye sobre una de las superficies de una pared de acero (AISI 1010) cuya temperatura es Ts1 = 40 ºC.35 m de espesor y la temperatura de la otra superficie es Ts2 = 100 ºC. ¿cuál es el coeficiente de convección asociado con el flujo de agua? ¿Cuál es el gradiente de temperatura en la pared y en el agua que está en contacto con la pared? Dibuje la distribución de temperaturas en la pared y en el agua contigua.5 m con base en el número de 29 . (6. = -171. y) [ºC] = 20 + 70 exp(-600xy). es independiente de x.12 del Incropera) Considere un flujo de aire sobre una placa plana de longitud L = 1 m en condiciones para las que ocurre la transición en xc = 0. b) q’(y = 0) = -1.5 .8 − 1. La placa superior (placa estacionaria) está construida con un material de conductividad térmica kpe = 1. respectivamente: hlam ( x ) = C lam x −0.18 del Incropera 5ª edición en inglés) Considere un cojinete hidráulico ligeramente cargado que usa aceite con propiedades constantes ρ = 800 kg/m3. hlam ( x ) .21 del Incropera) Considere el flujo de Couette con transferencia de calor para el cual la placa inferior (placa móvil) se mueve con una velocidad de U = 5 m/s y está perfectamente aislada.600 rpm.75 W/m1. Solución: a) V = u∞ 1 h ( x) = 2C lam xc0.508 W/m.845 W/m3/2·K.145 W/m·K. c) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio de toda la placa h (x) . 30 .Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Reynolds crítico Rex. Las placas están separadas por una distancia Lo = 5 mm.5 W/m·K y espesor Lpe = 3 mm.799 N·s/m2 y conductividad térmica ko = 0.8·K y x tiene unidades de m. c) ] Ecuaciones de conservación y soluciones: flujo de Couette 5. como función de la distancia desde el inicio de la placa. ν = 10-5 m2/s y k = 0. a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite suponiendo que no hay transferencia de calor hacia el interior del eje y que la superficie del apoyo del cojinete se mantiene a 75 ºC. 2 y donde Clam = 8. 0 ≤ x ≤ xc. La superficie externa se mantiene a Tpe = 40 ºC. b) Desarrolle una expresión para el coeficiente de convección promedio hlam ( x ) .c = 5·105.25C turb x c0. En las regiones laminar y turbulenta los coeficientes de convección local son. El diámetro del eje es de 75 mm.13 W/m·K. xc≤ x ≤ L. que se llena con un aceite de motor de viscosidad μo = 0. d) Dibuje una gráfica de hlam (x) . b) ¿Cuál es la transferencia de calor del cojinete? 2 Solución: a) T ( y ) = T0 − 6. x.8 . hturb (x) y h (x) para 0 ≤ x ≤ L. x. el espacio hasta su apoyo es de 0. para la región turbulenta. = 20. (6. para la región laminar.25C turb x 0. K ⎝ ∂y ⎠ ⎣ 2 ⎦ ρν ⎛ ∂u ⎞ ⎡ y 2 (6.92 m/s.25 mm y trabaja a 3. a) Mediante la evaluación de las propiedades termofísicas del aire a 350 K determine la velocidad del flujo de aire. Cturb = 49. ⎤ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎢ − Ly ⎥ . como función de la distancia desde el inicio de la placa.5 + 1. x [ b) hlam ( x ) = 2C lam x −0.5 hturb ( x ) = C turb x −0. b) Determine la temperaturas en los extremos de la película de aceite en contacto con las dos placas. To(y = 0) y To(y = Lo). (6. c) Dibuje la distribución de temperaturas en la película de aceite y en la placa estacionaria. el flujo promedio de calor desde la superficie al aire es 20. Solución: a) T(y) = -2. examen septiembre 2002) Un objeto de forma irregular tiene una longitud característica L1 = 1 m y se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts. se mantiene a la misma temperatura superficial y se coloca en aire atmosférico a T∞ = 31 .3 ºC y Te = 303. Si un segundo objeto de la misma forma. Tc y Te.646 W. Cuando se coloca en aire atmosférico a una temperatura T∞ = 300 K y se mueve con una velocidad V1 = 100 m/s. 7.03 N·s/m2 y k = 0. c) Si la cubierta del cojinete se enfría con agua.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Determine la distribución de temperaturas en la película de aceite. b) Determine la transferencia de calor [W] del lubricante suponiendo que no se pierde calor a través del eje. mientras que el material del cojinete tiene una conductividad térmica de kc = 45 W/m·K. To(y).3 ºC. c) Tc = 81. a) Determine la disipación viscosa μΦ [W/m3] en el lubricante.15 W/m·K. pero con una longitud característica. Las propiedades del aceite lubricante son μ = 0.22 del Incropera) Un eje con un diámetro de 100 mm gira a 9.27 del Incropera. (6. b) q = 14.000 W/m2. Similitud y parámetros adimensionales 8.755·106·y2 + 390 [K]. Solución: a) μΦ = 6.000 rpm en un cojinete hidráulico de 700 mm de longitud. b) To(y = 0) = 390 K y To(y = Lo) = 321 K. determine las temperaturas del cojinete y del eje. de modo que la superficie externa del cojinete se mantiene a 30 ºC.1 = 400 K. L2 = 5 m.66·107·W/m3. 0248 Solución: a) aire: NuL = 3. Suponga un coeficiente del número de Prandtl n = 0. ReL y Pr para los siguientes fluidos: aire. aceite de motor. Datos: Propiedades termofísicas del mercurio: k·103 cp Pr T μ·102 ν·106 α·107 ρ (K) (kg/m3) (kJ/kg·K) (N·s/m2) (m2/s) (W/m·K) (m2/s) 300 13. aire δ δt = 21.85 Pr 1 / 3 Estime la temperatura superficial del chip si éste disipa 30 mW.403.34 del Incropera) Considere las condiciones para las que un fluido con una velocidad de flujo libre V = 1 m/s fluye sobre una superficie con una longitud característica L = 1 m.885 .85 . mercurio = 1. ReL = 1.889. ReL = 8.35.31 y 6.27 .888.0248.166. agua: NuL = 163. ReL = 1. a) Calcule los parámetros adimensionales Nu L . mercurio y agua.092.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas 300 K.1393 0. Pr = 0. lo que proporciona un coeficiente promedio de transferencia de calor por convección h = 100 W/m2·K. aceite de motor: NuL = 690. Uno de tales elementos es un chip. ¿cuál será el valor del coeficiente promedio de convección si la velocidad del aire es V2 = 20 m/s? 9.932.7. Pr = 6.04 Re x0. 32 . b) δ δt 10.83. b) Dibuje la variación relativa entre el espesor de la capa límite hidrodinámica y la capa límite térmica para el flujo laminar sobre una placa plana para los cuatro fluidos anteriores. que se localiza a 120 mm desde el inicio de la tarjeta.706.5 .540 45. agua (6. Pr = 0.529 0. (6.30 0. de 4 mm por 4 mm.35 del Incropera) Se utiliza aire forzado a T∞ = 27 ºC y V = 10 m/s para enfriar elementos electrónicos sobre una tarjeta de circuitos. Nota: Las propiedades del fluido se deben calcular a la temperatura media entre el fluido y la superficie. Pr = 5.1523 0.818. Los experimentos revelan que el flujo sobre ésta es perturbado por los elementos y que la transferencia de calor por convección está correlacionada mediante una expresión de la forma: Nu x = 0.802. Solución: T = 317 K = 44 ºC.1125 8. δ δt = 0. Suponga que los fluidos están a una temperatura de 300 K. mercurio: NuL = 11. aceite δ δt = 0. ReL = 62. 11 del Incropera) Una placa plana de 1 m de ancho se mantiene a una temperatura superficial uniforme Ts = 150 ºC mediante el uso de módulos rectangulares generadores de calor.304 W/m2.300 kg/m3.4 ºC. La placa se une a un recinto bien aislado de manera que todo el calor se debe transferir al aire. ′ = 5.3 del Incropera) Sobre ambas superficies de una placa plana de 1 m de longitud que se mantiene a 20 ºC fluye aceite de motor a 100 ºC y a una velocidad de 0.3 mm. q& [W/m3]. b) El flujo local de calor al final de la placa. Además la placa de aluminio es lo suficientemente delgada para asegurar una temperatura casi uniforme en ella. (7. b) Tmáx = 158. δt.2 W/m·K. a) Encuentre la generación de potencia que se requiere.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 6. Solución: a) q& = 873. cp = 320 J/kg·K y ρ = 2. Aire atmosférico a 25 ºC fluye sobre la placa a una velocidad de 30 m/s. b) Encuentre la temperatura máxima en ese módulo generador de calor. c) La transferencia de calor por unidad de ancho de la placa.448 W/m3. Las propiedades termofísicas del módulo son k = 5. c) qtotal 2. en el módulo situado a 700 mm del inicio. Determine: a) Los espesores de las capas límite de velocidad y térmica al final de la placa. de espesor a = 10 mm y longitud b = 50 mm. b) q ′L′ = 1.32 del Incropera) Un conjunto de componentes electrónicos disipadores de calor se monta sobre el lado inferior de una placa horizontal de aluminio de 1. controlados de manera independiente. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO Placa plana en flujo paralelo 1.L = 14. (7.2 x 1.2 m. Cada módulo está aislado de sus alrededores. 33 . (7.1 m/s. 3. mientras que el lado superior se enfría con un flujo de aire para el que u∞ = 15 m/s y T∞ = 300 K.7 mm.216 W/m. así como de su parte posterior. Solución: a) δL = 146. que se supone permanece a Ts = 127ºC.9 400 7. Datos: Propiedades termofísicas del aluminio: T cp k ρ (K) (kg/m3) (J/kg·K) (W/m·K) 300 2. (7. se sujeta una aleta de alfiler de acero inoxidable AISI 304 de diámetro 5 mm a As. 5 mm y 10 mm. 5. Datos: Propiedades termofísicas del acero inoxidable AISI 304: cp k T ρ (K) (kg/m3) (J/kg·K) (W/m·K) 300 7.71 kW. Con el fin de aumentar la velocidad de eliminación de calor.5 W de la superficie As. Para estas condiciones se eliminan 0.702 903 237 Solución: a) q = 2.14 kW. (7. respectivamente.42 del Incropera) Un tubo circular de 25 mm de diámetro exterior se coloca en un flujo de aire a 25 ºC y presión de 1 atm.6 34 . ¿Cuál es la transferencia de calor del tubo por unidad de longitud? Solución: q ′ = 527 W/m. mientras que la superficie externa del tubo se mantiene a 100 ºC. El aire se mueve en flujo cruzado sobre el tubo a 15 m/s. ¿cuál es la disipación de calor máxima permisible? b) Determine la disipación de calor máxima permisible si sobre la placa de aluminio se coloca un sistema de aletas longitudinales cuya longitud. Flujo alrededor de un cilindro 4.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Si la temperatura del aluminio no debe exceder de 350 K. b) q = 12.900 515 16.900 477 14.49 del Incropera) Aire a 27 ºC y a velocidad de 5 m/s pasa sobre la pequeña región As (20 x 20 mm) en una superficie grande que se mantiene a Ts = 127 ºC. espesor y espaciado (entre planos centrales de las aletas) son 25 mm. d) ¿Cuál es el porcentaje de aumento en la transferencia de calor de As debido a la instalación de la aleta? Solución: a) qfmáx = 2. respectivamente. Comience evaluando las propiedades del aire a T∞ = 15 ºC.200 kg/m3.76 del Incropera) Considere un banco de tubos escalonado para el que el diámetro exterior del tubo es 16. 8. longitud L = 100 mm y conductividad térmica k = 240 W/m·K. Fo = 0.3 W. cp = 800 J/kg·K. q’ = 28. Los espaciados longitudinales y transversales son SL = ST = 4 mm con un dispositivo cuadrado de 625 aletas (NL = NT = 25) montadas en placas cuadradas de ancho W = 100 mm. k = 1 W/m·K) de diámetro D = 10 mm está inicialmente a una temperatura uniforme de 25 ºC y súbitamente se expone a un flujo cruzado de aire a u∞ = 50 m/s y T∞ = 350 ºC. (7.27 s (Calculado con Tf = ((25+175)/2 +350) /2 y correlación de Hilpert ⇒ h = 240 W/m2·K). Las aletas son de diámetro D = 2 mm. El aire entra a una velocidad de 10 m/s y a una temperatura de 300 K. d) 455 %.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Determine la velocidad máxima posible de eliminación de calor a través de la aleta. b) L = 37. La temperatura superficial de los tubos es de 70 ºC y la temperatura y velocidad del flujo de aire son 15 ºC y 6 m/s. 6.4 mm y los espaciados longitudinal y transversal son SL = ST = 20. Flujo a través de bancos de tubos 7. Hay siete líneas de tubos en la dirección del flujo de aire y ocho tubos por línea (NL = 7 y NT = 8).5 mm. 35 .80 del Incropera) Los componentes eléctricos montados en cada una de dos placas isotérmicas se enfrían al hacer pasar aire atmosférico entre ellas.7. c) εf = 93. Solución: h = 235 W/m2·K.62 del Incropera) En un proceso de fabricación. una varilla larga recubierta de plástico (ρ = 2. (7. (7.5 kW/m. εf.4 mm. y se usa un dispositivo en línea de aletas de alfiler de aluminio para aumentar la transferencia de calor al aire. ¿Cuánto tiempo le costará a la superficie de la varilla alcanzar 175 ºC. b) ¿Qué longitud de aleta proporciona esa velocidad máxima de eliminación de calor? c) Determine la efectividad de la aleta. Determine el coeficiente de convección y la transferencia de calor para el banco de tubos.1879. temperatura por arriba de la cual se curará el recubrimiento especial? Solución: t = 8. donde m& = ρVLNTST es el flujo de masa del aire que pasa a través de las aletas.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Evaluando las propiedades del aire a 300 K. 36 . b) Tsal = 321 K. Sugerencia: La temperatura de salida del aire está gobernada por una relación exponencial de la forma [(Tplaca – Tsal) / (Tplaca – Tent)] = exp[-( h Atηo) / ( m& cp)]. qtotal = 2.467. estime el coeficiente promedio de convección para el dispositivo de aletas.3 W. b) Suponiendo el coeficiente de convección anterior uniforme sobre las aletas y las placas determine la temperatura de salida del aire y la transferencia total de calor cuando las placas se mantienen a 350 K. Solución: a) h = 435 W/m2·K. At es el área superficial total de transferencia de calor (placas más aletas) y ηo es la eficiencia superficial global del conjunto placas más aletas. sal. (8. El tubo es de diámetro D = 50 mm y existen condiciones completamente desarrolladas con h = 25 W/m2·K sobre toda la longitud L = 3 m. q.ent + 4 2 4m& c p ⎝L⎠ ⎛ m& c p ⎞ L q ′′( x) ⎟⎟ . a) Obtenga expresiones para el flujo de calor local q ′′(x ) y para la transferencia total de calor q de la varilla de combustible al agua. Ts(x). b) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura media del agua a lo largo del tubo. Desarrolle una expresión para la posición x para la que se maximiza. x máx = arctan⎜⎜ − c) Ts ( x) = Tm ( x) + h π ⎝ DLh ⎠ Solución: a) q ′′( x) = 2.000 W/m2. q ′s′ = 1. Tm(x). 37 . siendo q& o [W/m3] una constante. CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO Consideraciones térmicas y balance de energía 1. Se puede suponer que existe un coeficiente de convección uniforme entre la superficie de la varilla y el agua.15 del Incropera) Aire atmosférico entra en la sección caliente de un tubo circular con un flujo de 0. Dq& o D 2 Lq& o D 2 Lq& o ⎛ πx ⎞ sen⎜ ⎟. Tm. Hay generación de calor dentro de la varilla de combustible y se sabe que la rapidez de generación volumétrica varía senoidalmente con la distancia a lo largo de la varilla: q& ( x) = q& o sen(πx / L) . determine la transferencia total de calor. Por la región anular entre la varilla y el tubo fluye agua presurizada a un flujo másico m& y la superficie exterior del tubo está bien aislada.12 del Incropera) Considere una varilla cilíndrica de combustible nuclear de longitud L y diámetro D que está encerrada en un tubo concéntrico. ⎡ ⎛ πx ⎞ ⎤ ⎢1 − cos⎜ L ⎟⎥ . b) Tm ( x) = Tm . c) Obtenga una expresión para la variación de la temperatura superficial de la varilla a lo largo del tubo.005 kg/s y una temperatura de 20 ºC. y la temperatura media del aire que sale del tubo. a) Para el caso de un flujo de calor superficial uniforme. q = . . ⎝ ⎠⎦ ⎣ (8.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 7. 24 del Incropera) En las etapas finales de producción se esteriliza un fármaco calentándolo de 25 a 75 ºC a medida que se mueve a 0. (8. Un flujo de calor uniforme se mantiene mediante un calentador de resistencia eléctrica enrollado alrededor de la superficie externa del tubo. c) Para cada tipo de proceso de calentamiento anterior.7 ºC. Pr = 10. ¿cuál es el flujo de calor que se requiere? Si entra fluido al tubo con un perfil de velocidad completamente desarrollado y un perfil uniforme de temperatura.2 ºC. mientras que la temperatura de la pared del tubo se mantiene a 100 ºC por condensación de vapor sobre su superficie externa.122 W/m2.48 W/m·K. k = 0. a) Determine la temperatura superficial uniforme de la pared del tubo para estas condiciones.sal = 89. Ts. Ts.249 W. ¿qué flujos de calor se requieren para alcanzar en la salida una temperatura del aire de Tm. q ′s′(x) = 500x [W/m2].sal? Dibuje la variación con x de Tm y Ts.sal.sal = 152 ºC. Ts. Ts (x = 0.5 m desde la entrada? Las propiedades del fluido se pueden aproximar a: ρ = 1.ent y Ts.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas ¿Cuál son los valores de las temperaturas superficiales del tubo en la entrada y en la salida.sal = 125 ºC? Solución: a) q = 471. Solución: q ′s′ =12. Tm. b) q = 353. Si el tubo es de 10 m de longitud. 4. Correlaciones de transferencia en tubos circulares 3. (8.ent y Ts. Entra helio a 600 K y sale a 1.700 W/m2.4 W. determine el flujo másico y la temperatura de salida del aire si la rapidez de eliminación de calor y la temperatura superficial del tubo permanecen iguales.sal = 150. a) Estime el coeficiente promedio de transferencia de calor para el flujo interno del aceite.5) = 65.2 ºC. b) Determine la temperatura de salida del aceite. cp = 4. Ts. Ts.ent = 20 ºC. μ = 2·10-3 kg/s·m.19 del Incropera) Aceite de motor a razón de 0.000 J/kg·K. c) Calcule la transferencia total de calor al aceite.6 ºC. Tm.39 del Incropera) El núcleo de un reactor nuclear de alta temperatura enfriado por gas tiene tubos de fluido refrigerante de 20 mm de diámetro y 1. El aceite tiene una temperatura de entrada de 60 ºC. ¿cuáles son los valores de q.24 W.6 ºC.7 mm de diámetro. ¿cuál es la temperatura superficial en la salida del tubo y a una distancia de 0. 38 . Tm. Ts.000 K cuando el flujo es de 8·10-3 kg/s por tubo.ent = 60 ºC.2 m/s por un tubo recto de acero inoxidable de pared delgada de 12. 5. c) q = 1. Solución: a) h = 201 W/m2·K.6 ºC.sal = 113. b) Si el flujo de calor superficial varía linealmente con x.02 kg/s fluye por un tubo de 3 mm de diámetro y de 30 m de longitud.sal? Dibuje la variación con x de Tm y Ts.000 kg/m3. q ′s′(x) = 748x [W/m2]. c) q ′s′ = 1. (8. b) Si el gas refrigerante es aire en vez de helio.500 mm de longitud.sal = 90. b) Tm.sal = 153. Ts. (8.2 kg/s y Tm. ¿Cuáles son las temperaturas del aire y la de la superficie del conducto en la salida? Solución: Tm. Entra agua al tubo desde un recipiente grande a m& = 0.80 del Incropera) Una placa fría es un dispositivo de enfriamiento activo que se une a un sistema generador de calor con el fin de disipar el calor mientras se mantiene el sistema a una temperatura aceptable.sal ≈ 35-36 ºC. b) Tm.5 ºC. la temperatura media del agua es 80 ºC. Ts. Correlaciones en conductos no circulares 8. Los diámetros interno y externo de la tubería son Dint = 20 mm y Dext = 25 mm. En cierta posición a lo largo de la tubería. La velocidad y la temperatura media del refrigerante son um y Tm.sal ≈ 128. 7. a) Si la superficie del tubo se mantiene a una temperatura uniforme de 27 ºC.ent. dentro del que se hacen canales por los que pasa el fluido refrigerante.sal = 106. kpf.8 K.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Datos: Propiedades termofísicas del helio: k·103 cp Pr T μ·107 ν·106 α·106 ρ 3 2 2 (K) (kg/m ) (J/kg·K) (N·s/m ) (m /s) (W/m·K) (m2/s) 800 0.05924 5193 382 304 0. Normalmente se fabrica de un material de alta conductividad térmica. respectivamente. m& aire ≈ 0. Tm.72 del Incropera) Aire a 3·10-4 kg/s y 27 ºC entra en un conducto de sección rectangular de 1 m de longitud y con una sección de 4 por 16 mm. Solución: a) Tm.50 del Incropera) Considere un tubo de pared delgada de 10 mm de diámetro y 2 m de longitud.53 del Incropera) Una tubería de acero (k = 60 W/m·K) que conduce agua caliente se enfría externamente mediante aire en flujo cruzado a una velocidad de 20 m/s y una temperatura de 25 ºC.654 Solución: a) Ts = 1. ¿cuál es la temperatura de salida del agua. Encuentre la transferencia de calor al flujo de aire por unidad de longitud de tubería. (8. respectivamente. Considere la placa fría de las dimensiones de la figura en la que las paredes laterales se pueden suponer aisladas y las paredes superior e inferior se mantienen en contacto con el dispositivo generador de calor a una temperatura constante Ts. (8.sal ≈ 919 K.0474 kg/s. 9. b) Tm.sal? b) ¿Cuál es la temperatura de salida del agua si se calienta mediante el paso de aire a T∞ = 100 ºC y V = 10 m/s en flujo cruzado sobre el tubo? Las propiedades del aire se pueden evaluar a una temperatura de película supuesta de 350 K.2 ºC. 6.000. Se impone un flujo de calor uniforme de 600 W/m2 sobre la superficie del conducto.ent = 47 ºC. 39 .sal ≈ 47 ºC. Solución: q ′ = 490 W/m. (8.142. Suponga que el flujo dentro del tubo está completamente desarrollado con un número de Reynolds de 20. ent = 300 K. cp = 4.sal.sal = 305. q = 15. El refrigerante es agua a um = 2 m/s y Tm. k = 0. y la transferencia total de calor a la placa fría. δ = 4 mm. q. H = 10 mm.184 J/kg·K. 10 canales cuadrados de w = h = 6 mm.818 W. Propiedades promedio del agua: ρ = 984 kg/m3.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Suponiendo flujo turbulento completamente desarrollado a través de cada canal plantee todas las ecuaciones necesarias para calcular la temperatura de salida del refrigerante. Pr = 3.15. Ts = 360 K y kpf = 400 W/m·K. Tm. μ = 489·10-6 N·s/m2.65 W/m·K. 40 . Solución: Tm. b) Resuelva el sistema con los siguientes datos: W = 100 mm.3 K. Solución: qconv = 9. (9. comente la pérdida de calor por convección libre con relación a la de radiación. 2. T alr. 3.9 W. qconv / qrad = 46 %. ¿cuál es su temperatura T? ¿Cuál es la pérdida de calor a través del vidrio? Solución: T ≈ 1 ºC. Estime la pérdida de calor al cuarto con aire ambiente a 22 ºC.5 m de altura y 0.12 del Incropera) La puerta de un horno de 0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas PROBLEMAS TEMA 8. Las paredes de la habitación y el medio externo están a la misma temperatura (Talr. (9. ext = -20 ºC). CONVECCIÓN LIBRE Placas verticales 1. Si la puerta tiene una emisividad de ε = 1 y los alrededores también están a 22 ºC.20 del Incropera) Un contenedor de paredes delgadas con agua caliente a 50 ºC se coloca en un baño de agua fría en reposo a 10 ºC. qrad = 21.7 m de ancho alcanza una temperatura superficial promedio de 32 ºC durante el funcionamiento del horno.4 W. Si el vidrio tiene una emisividad de ε = 1. La transferencia de calor en las superficies interna y externa del contenedor se pueden aproximar por la convección libre en una placa vertical.17 del Incropera) El vidrio delgado de una ventana cuadrada de 1 m de lado separa aire quieto de una habitación a T∞int = 20 ºC del aire ambiental exterior a T∞ext = -20 ºC. q = 174 W. 51 . int = 20 ºC. (9. (9. estime la temperatura que alcanza la placa cuando el aire ambiente está en reposo y a 0 ºC. ¿Qué potencia eléctrica se requiere cuando el aire ambiente y los alrededores están a 24 ºC? Suponga que la parte inferior de la parrilla está aislada. Solución: q = 91 W.80 y una conductividad térmica de 240 W/m·K? Solución: a) q = 104. (9.29 del Incropera) Se tiene un transformador de potencia eléctrica de forma cilíndrica de diámetro 300 mm y altura 500 mm. (9.9 se mantiene a una temperatura superficial constante de 130 ºC. U . entre el agua caliente del contenedor y el agua fría del baño.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas Determine el coeficiente global promedio de transferencia de calor.25 m de diámetro y emisividad de 0. (9. ¿Cuál es ahora la rapidez de eliminación de calor si las aletas tienen la misma emisividad de 0. 52 .42 del Incropera) Una placa cuadrada de 1 m de lado inclinada un ángulo de 45º se expone a un flujo neto de calor por radiación de 300 W/m2 en su superficie inferior. Placas inclinadas 4.34 del Incropera) Una parrilla circular de 0. Si la superficie superior de la placa está bien aislada.5 W. 6. Placas horizontales 5. a) Determine cuanta potencia se puede eliminar de sus superficies lateral y horizontal superior (la inferior se supone aislada) cuando la temperatura ambiente y los alrededores están a 27 ºC. Cilindros horizontales 7.80. b) q = 531 W. Se enrolla una cinta delgada de calentamiento eléctrico sobre la superficie externa del tubo para evitar pérdidas de calor del fluido caliente al aire ambiente y mantener su temperatura constante. El tubo se monta horizontalmente en aire en reposo a 15 ºC. Solución: T = 61 ºC.60 del Incropera) En un tubo de pared delgada de 20 mm de diámetro circula un fluido caliente a una temperatura media de 45 ºC. La superficie tiene una emisividad de ε = 0. Se desea mantener su temperatura superficial a 47 ºC mediante refrigeración por convección libre y radiación. Solución: U ≈ 350 W/m2·K. b) Se añaden 30 aletas verticales de 5 mm de espesor y 75 mm de longitud a lo largo de toda la superficie lateral. respectivamente. c) q e′′ = 113.051 W/m·K) y se expone a aire atmosférico a 25 ºC.000 W/m2·K. Si el aislante tiene una emisividad ε = 0. Se sabe que el coeficiente de transferencia de calor por convección para el flujo de vapor es 11. determine la transferencia de calor por convección libre al cuarto por unidad de longitud de tubería. Datos: Acero inoxidable AISI 302: k (a 300 K) = 15.1 W/m·K. Solución: a) q ′ ≈ 50 W/m.51 del Incropera) Vapor saturado a 4 bar de presión con una velocidad media de 3 m/s fluye a través de una tubería horizontal de acero inoxidable AISI 302 cuyos diámetros interior y exterior son 55 y 65 mm. calcule el flujo de calor q e′′ que se debe suministrar mediante la cinta eléctrica. La emisividad de la cinta es 0. ¿cuál será ahora la pérdida de calor de la tubería por unidad de longitud? Calcule la temperatura de la superficie exterior del aislante en estas condiciones. Taisl ≈ 52 ºC.050 W/m·K) de espesor 20 mm y emisividad 0.Tecnología Energética / Curso 2013-14 Problemas a) Ignorando las pérdidas de calor por radiación.65 W/m2. a) Si la tubería se cubre con una capa de 25 mm de espesor de aislante (k = 0. b) Calcule el flujo de calor teniendo en cuenta la radiación.60.80 y los alrededores están a 25 ºC.95 y los alrededores también están a 15 ºC. (9. ¿Cuál es la temperatura de la superficie exterior del aislante? b) La radiación neta a los alrededores también contribuye a la pérdida de calor de la tubería. Taisl = 20 ºC. 8. c) Calcule el flujo de calor si se añade una capa de aislante (k = 0. ¿Cuál será la temperatura superficial del aislante? Solución: a) q e′′ = 208 W/m2. b) q e′′ = 388 W/m2. 53 .