Unidad 2: Probabilidades1) El MOP contempla la construcción de 4 nuevas carreteras, para lo cual llamara a 4 licitaciones. Por las condiciones impuestas solo podrán adjudicárselas, las empresas Alfa y Beta. Estas empresas, por decisión de sus respectivos directorios, llegaron al acuerdo siguiente: si una de ellas se adjudican dos de las carreteras en forma consecutiva, la otra no seguirá participando. Por antecedentes que se manejan, Alfa tiene una probabilidad constante de ganar en cualquiera de estas licitaciones de 0,6 y Beta 0,4. ¿Cuál es la probabilidad de que Beta “no siga participando”? Definimos variables sea: A= “La empresa β no sigue participando”. Ai= La empresa α gana la licitación i, i=1,2,3,4. ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Respuesta: Hay una probabilidad de 50,4% de que la empresa β no sigue participando. 2) Una fábrica realiza un control automático de la calidad de un producto determinado antes de introducirlo en el mercado. Este control clasifica al producto como correcto (C) o incorrecto (I). Por otra parte el producto puede ser defectuoso o no defectuoso. De los datos anteriores se sabe que un producto defectuoso es clasificado como incorrecto el 88% de las veces y que un producto no defectuoso es clasificado como correcto el 90% de las veces. Además, se sabe que el 8% de los productos son defectuosos. 2.1) Si los productos clasificados como correctos salen al mercado para su venta ¿Cuál es la probabilidad de adquirir en el mercado, un producto defectuoso? Defina sucesos y sus probabilidades. Definimos variables: C= El producto se clasifica como correcto. 1 ( ) ( ) D= El producto es defectuoso. ( ) Felipe Eduardo Olea Chandia se rompa cuando es sometida al test? Se definen variables: A= “La pieza presenta defecto tipo A”. 2.2) Se desea cambiar el proceso de control de calidad por un sistema no automático: Los productos se agrupan en lotes de tamaño 16. Se somete a control un lote con 16 productos que tienen exactamente uno defectuoso. tiene una probabilidad de 0. tiene una probabilidad de 0. Si al menos uno es defectuoso se rechaza el lote completo. ¿Cual es la probabilidad de que el lote sea rechazado? ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Respuesta: La probabilidad de rechazar el lote es de 0. tiene una probabilidad de 0.1) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar. se eligen al azar sin reposición dos productos para su inspección. 3) Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos. B= “La pieza presenta defecto tipo B”. si ninguno es defectuoso se acepta el lote y los productos se envían al mercado.95 de romperse. el 5% de la producción presenta el defecto de tipo B. Finalmente si la pieza no tiene ningún tipo de defecto. Después de ser producida cada pieza es sometida de manera automática a un test de ruptura.9 de romperse. El 8% de la producción presenta el defecto tipo A.Unidad 2: Probabilidades ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Respuesta: La probabilidad de escoger un producto defectuoso dado que se clasifico como correcto es 0. 3. de la producción.125. R= “La pieza se rompe durante el test” 2 Felipe Eduardo Olea Chandia .01 de romperse. con las siguientes posibilidades: Si la pieza tiene el defecto de tipo A.01146. N= “La pieza no presenta defecto”. se supone que no hay piezas que tengan los dos tipos de defectos y que el resto de las piezas no tienen defecto. Si la pieza tiene el defecto de tipo B. 3. Por lo que ahora se calcula la probabilidad en que una sola muestra de tres que presentan un defecto tipo A. 3 Felipe Eduardo Olea Chandia . ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Respuesta: La probabilidad de que en una muestra de 3 piezas.1) Si las piezas elegidas resultan no rotas en la aplicación del test.Unidad 2: Probabilidades P(A) = 0.01 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Respuesta: La probabilidad de que la pieza escogida al azar es la producción se vaya a romper durante el test es de 0.2.95 P(B)= 0.2.87 P(R/A)= 0.3. i=1. ¿Cuál es la probabilidad de que solo una presente defecto tipo A? = la Pieza elegida i no rota durante el test. ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) Esta representa la probabilidad de la pieza que tiene un defecto tipo A no sea rota.0271. presenta defecto tipo A.08 P(N)= 0.1282. solo una pieza no sea rota y que tenga un defecto tipo A es de 0.9 P(R/B)=0.2) Se eligen al azar y en forma independiente 3 piezas de la producción: 3.05 P(R/N)=0. Unidad 2: Probabilidades 3. Determine distribución de probabilidad de X y el número esperado de piezas que se rompen en la aplicación del test. Se tiene que la probabilidad de que se rompa durante el test una pieza es.2.6626 1 0. ( ) ( ( ( )) ( ) . entre las tres piezas elegidas”.043 3 0.0021 Felipe Eduardo Olea Chandia .2923 2 0. Se ( ) ) Se calcula la probabilidad de que se rompa solo una pieza: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ) Se calcula la probabilidad de que se rompan solo dos piezas: ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ) Se calcula la probabilidad de que se rompan tres piezas: ( ) ( ( ( ) ( ( )) ) ) Resumiendo: X P(X) 4 0 0.2) Se define la variable aleatoria discreta: “X= N° de piezas que se rompen en la aplicación del test. ( ) calcula la probabilidad de que no se rompa ninguna pieza. De los productos con defecto manchado. astillado y rayado 0.007 ¿Qué porcentaje de artículos salen con al menos un defecto principal? Utilice propiedades. La probabilidad de que un artículo salga con los tres defectos principales es 0. Un 15% de los artículos solo presentan defecto de astillado. sea: M= El articulo elegido esta manchado. rayado 0. R= El articulo elegido esta rayado. indican que existen tres defectos principales: Manchado (M). 4) Los informes de la inspección final de defectos de cierto artículo.58.095. Rayado (R) y astillado (A).105. manchado y astillado 0. que salen de una línea de armado. A= El articulo elegido esta astillado.3846. un 25% están rayados. se utiliza propiedades: ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Felipe Eduardo Olea Chandia .335. Se definen variables. Las probabilidades según el enunciado son: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) Nos piden calcular la probabilidad de que un artículo salga manchado o astillado o rayado.Unidad 2: Probabilidades Luego se calcula la esperanza: ( ) ( ) ( ) ∑ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Respuesta: La esperanza para el número de piezas que se rompen es 0. La probabilidad de que un artículo salga manchado es 0. 5) Al fabricar un producto. una empresa prueba uno de entre tres tipos de procedimiento.Unidad 2: Probabilidades Se debe obtener las probabilidades incógnitas se calcula la probabilidad de que ocurra solo el defecto A. El 20% de los productos se realiza con el procedimiento A. y el resto con el procedimiento C. se decide seleccionar al azar y en forma independiente piezas hasta encontrar una defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que la cuarta pieza seleccionada sea la defectuosa? Se definen variables: A= “La pieza es producida por A” C= “La pieza es producida por C” B= “La pieza es producida por B” D= “La pieza elegida es defectuosa” 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Felipe Eduardo Olea Chandia . mientras que este porcentaje es de 3% y del 4% si las piezas son producidas por los procedimientos B y C respectivamente. el 40% con el procedimiento B. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se debe calcular ( ) en base a propiedades: ( ( ) ( ) ( ) ) Ahora se calcula la probabilidad pedida: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Respuesta: La probabilidad de que se encuentre con al menos con un defecto principal es 0. De la producción total.92. El 2% de las piezas con el procedimiento A presentan defectos. el utilizado depende básicamente de las exigencias del mercado. 02903.3.4 1 0.1 El ingeniero también ha observado que la probabilidad de que la empresa pueda cumplir con los requerimientos de sus clientes es 0. ( ) ( ( ) ) Respuesta: La probabilidad de que la cuarta pieza sea la defectuosa es 0.98.3 2 0.4. ¿En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes.2. por lo que necesitamos saber el valor de probabilidad de R. preocupados por la rentabilidad de la planta y de dar buena atención a sus clientes.8 cuando falta 1 empleado. cuando no faltan empleados. 0.Unidad 2: Probabilidades Se Debe encontrar la probabilidad de encontrar una pieza defectuosa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La pieza i elegida independientemente es defectuosa. 0. i=1.2 3 0. 6) El ingeniero a cargo de una planta productora de circuitos integrados.5 cuando faltan 2 empleados y 0. ha logrado modelar probabilísticamente el “número de empleados que faltan semanalmente a la empresa por diversos motivos” (X). Felipe Eduardo Olea Chandia . mediante la siguiente función: X P(X=x) 0 0.35 cuando faltan 3 empleados. cual es la probabilidad de que en esas semanas falten dos o más empleados? Se definen sucesos: Según los datos que nos entregan: ( ) ( ) ( ) ( ) Se nos pide calcular que ( dado que 7 ). 8 Felipe Eduardo Olea Chandia .42 0 1 4 1 2 5 8 2 5 7. 7) Una compañía de seguros ofrece tres planes (T. ¿Qué es más probable que la compañía lo tenga clasificado en Bajo riesgo o en Alto riesgo? Justifique. tipo de plan y riesgo: Riesgo (R ) Bajo Medio Alto Tipo de plan (x) T V S T V S T V S 2-12 15 12 5 2 4 5 0 0 2 Prima mensual (U. y S) clasifica a sus asegurados según tres categorías de riesgo (Bajo. En la tabla siguiente se presenta información referente a una muestra aleatoria de 135 asegurados de esta compañía clasificados según prima mensual.Unidad 2: Probabilidades ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Finalmente se calcula lo que nos están pidiendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Respuesta: En las semanas en que se cumple con los requerimientos de los clientes.1) Se selecciona aleatoriamente a uno de estos asegurados y se observa que tomo el plan T.176.32 4 1 5 3 2 3 7 3 6 4 7 7 1 2 1 1 0 5 32 . la probabilidad de que en esas semanas faltan dos o más empleados es de 0. V.F) (Y) 12 .22 22 . Medio y Alto). 5 8. 8) Un sistema electrónico avisa peligro cuando al menos dos de sus tres componentes (A. que falle B es 0. C) fallan. la que está dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Empezamos calculando por partes para cada una de las probabilidades: ( ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) 9 ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Felipe Eduardo Olea Chandia .2.1) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro.2. B. Suponga que la probabilidad de que falle A es 0.15 y que falle C es 0. Asuma además que la falla de C es independiente de las otras dos.Unidad 2: Probabilidades Se nos pide determinar si ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) Respuesta: Es más probable que la compañía lo tenga clasificado de bajo riesgo. mientras que la probabilidad de que falle B sabiendo que ha fallado A es 0. ( ) ( ) ( ) ( ) Se nos pide calcular P(S). 01.Unidad 2: Probabilidades Al ser C independiente de A y B se puede decir que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) Finalmente: ( ) Respuesta: La probabilidad de que el sistema avise peligro es de 0. La probabilidad que en un accidente estén presente todas las causas mencionadas es de 0. el 9% a frenos y neumáticos.11. 9) En un estudio realizado. el 30% a causa de los neumáticos. sobre las causas mecánicas que provocan accidentes de tránsito encontró que las más frecuentes son por frenos. 8. es de 0. 9. dada la falla de dos de sus componentes. el 10% a causa de la dirección. Además se detectó que de todos los automóviles involucrados en accidentes un 25% no tenía contratado un seguro y que de ellos un 10% tuvo un accidente grave. por una compañía de seguros.13. El estudio mostro que el 48% de los accidentes se deben a causa de los frenos.2) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro debido a la falla de sólo dos de sus componentes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Respuesta: La probabilidad de que el sistema avise peligro. dirección y neumáticos. en cambio entre los que tenían seguro contratado un 18% tuvo un accidente grave. el 4% a neumáticos y dirección. ¿Cuál es la probabilidad que ninguna de las causas mencionadas haya provocado el accidente? 10 Felipe Eduardo Olea Chandia .1) Se elige al Azar un automóvil de los involucrados en accidente. El 51% a frenos o dirección. por propiedades: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Finalmente: ( ) [ ( ) Respuesta: la probabilidad que ninguna de las causas mencionadas haya provocado el accidente es de 0. sea: F= “El accidente fue a causa de los frenos”.Unidad 2: Probabilidades Se definen variables.31. D= “El accidente fue a causa de la dirección”. 11 Felipe Eduardo Olea Chandia . N= “El accidente fue a causa de los neumáticos” De acuerdo al enunciado se extraen las siguientes probabilidades: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Se nos pide calcular: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) Nos falta calcular ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ). S= “El auto está asegurado”. De acuerdo al enunciado se extraen las siguientes probabilidades: ( ( ) ( ) ( ) ) Se nos pide calcular: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Respuesta: la probabilidad que un automóvil de los involucrados en accidentes. elegido al azar. sea: A= “El accidente fue grave”. tenga un accidente grave. elegido al azar. Se definen variables. tenga un accidente grave es de 0.2) Determine la probabilidad que un automóvil de los involucrados en accidentes. 12 Felipe Eduardo Olea Chandia .Unidad 2: Probabilidades 9.16.