PROBABILIDADES

PROBABILIDAD APLICACIONES A LA INGENIERIA .1. Verificar que para los eventos A y B cualesquiera: a) P (A – B) = P(A) – P(AB) b) P(ABC U AC B) =P(A) + P(B) – 2P(AB) A B Solución: a) P (A – B) = P(A) – P(AB) Si: A-B AB A =(A – B) U (A B) P(A – B) + P(AB) – P [(A-B) (AB)] 0 Por: P(A U B) =P(A) + P(B) – P(AB): Despejando: P(A – B) = P(A) – P(AB) b) P(ABC U AC B) =P(A) + P(B) – 2P(AB) A B Verificando: ABC AB ACB P (A U B – A  B) = P [(A U B) – (A  B)] = P (A U B) – P [(A U B)  (A  B)] = P (A U B) – P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) – P(A  B) P [(A U B) – (A  B)] = P(A) + P(B) – 2P (A  B) 3 Si la probabilidad de que ocurra un evento A es ½ y que ocurra un evento B es ¾, determine los posibles valores de P = P (A  B) Solución: P(A) = ½ P(B) = ¾ P = P (A  B) Haciendo para 3 casos: 1) A  B =   P =0 2) A  B =  P(A) = ½ 3) A  B =  ¼ < P < 1 1 1. Caso: A  B =  :  P=0 2. Caso: A  B:  P = P (A  B) P =P(A) P=½ 3. Caso: A  B: P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A  B) 1 = 1 + 3 - P ( A  B) 2 4 1 - 5 = -P (A  B) 4 P (A  B) = 1 4 ==> 5 1 < P (A  B) < 1 4 Un lote de producción de construcción contiene n objetos. La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 0.06, mientras que la probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es 0.04. Calcular la probabilidad de que: a. Todos los objetos sea no defectuosos. b. Exactamente un objeto sea defectuoso. Solución: Si: Sea x = # de defectuoso n x = 0, 1, 2, 3, ... d n–d P(x > 1) = 0.06 P(x > 2) = 0.04 a. P (x = 0) = 1 – P (x > 1) 2 P (x =0) = 1 – 0.06 = 0.94 x>1 b. P (x = 1) = P(x > 1) – P(x > 2) = 0.06 – 0.04 P (x =1) = 0.02 7 0 x>2 1 2 3 ..... 1 defectuoso Como resultado de la demanda de pasajes, las líneas aéreas nacionales se han visto obligadas a aumentar el número de vuelos. Una compañía determinada tiene por el momento 5 vuelos: Lima – Iquitos, dos de ellos en la mañana y los otros en la tarde. a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún vuelo en la mañana? b. Si se cancelan al azar dos de estos vuelos, ¿cuál es la probabilidad de que sigan habiendo un vuelo en la mañana y dos en la tarde? Solución: n = 5 vuelos A, B  2 vuelos en la mañana X, Y, Z  vuelos en la tarde Sea el evento m = hay vuelo en la mañana. a) A =no hay ningún vuelo en la mañana. P(A) =1 – P (m) =1–2 5 P(A) = 3 5 b) La probabilidad de: 1 vuelo de la mañana (2 vuelos) 2 vuelos de la tarde (3 vuelos) 2 3 C . C 1 = 2 2! x 3! 1! 2! 1! = 1 2 x 6 2 = 6 = 3 5 C 5! 3! 2! 3 2 120 12 10 5 3 C .C 1 2 3 = 5 C 5 3 9 Un Ingeniero programador de computadoras debe escoger tres trabajos de entre cinco que esperan atención del programador. Aunque el programador no lo sabe, 3 los trabajos varían en cuanto al tiempo de programación que requieren. Defina un espacio muestral para este experimento enumerando sus elementos. Dar una asignación de probabilidades adecuada y calcular la probabilidad de que el programador escoja los dos trabajos que requieran el menor tiempo. Solución: Dos trabajos de menor tiempo 3  123 4  124 5  125 4  134 5  135 5  145 4  234 5  235 4 5  245 4 5  345 2 1 3 4 n(52) = 10 3 2 3 Sea: A = Dos trabajos de menor tiempo: A = {123, 124, 125} n(A) = 3  P(A) = n(A) = 3 n(52) 10 4 P(A) = 1 – P(A’) P(B) 4 8 P(A) = 1 – C C 0 3 12 C 3 P(A) = 1 – 56 220 P8A) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de que con las 4 unidades escogidas satisfaga el pedido del cliente? Solución: 12 4D 8B 5 . Si el comerciante escoge al azar y de una sola vez 4 de tales artículos. si se extraen al azar 3 artículos a la vez.10. calcular la probabilidad de obtener por lo menos un defectuoso. A’ = Un defectuoso.745 13 un ingeniero civil tiene 12 unidades de cierto artículo de losetas de los cuales 4 tienen algún tipo de defecto.. Solución: n =12 8B 4D Sea el evento: A = Por lo menos un defectuoso.en una fábrica de productos un lote contiene 8 artículos buenos y 4 defectuosos. B = 3 artículos de los 12 que existen. Un cliente pide para comprar 3 de tales artículos pero que no tengan defectos. Sea el evento: A = El comerciante escoge 4 artículos.263 495 4 12 C 4 P(A) = 0. y se pregunta por su voto. 4 P(A) = C 3 C 2 4 + C 1 3 3 C 0 7 C 3 P(A) = 4! 2! 2! x 3! + 4! 1! 2! 3! 1! 7! 3! 4! P(A) = 18 + 4 35 6 .263 15 un jurado de 7 ingenieros civiles van a decidir la inocencia o culpabilidad de un ingeniero en una obra Suponga que 4 votan por inocencia y los otros tres por culpabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la mayoría de los jurados de la muestra estén a favor de la inocencia del ingeniero ? Solución: 7 se extraen 3 jueces 4I 3C Sea el evento: A = la mayoría de los jueces están a favor de la inocencia del reo. 8 4 P(A) = C C 3 8 + C 1 4 4 C 0 12 C 4 8 4 P(A) = C C 3 8 + C 1 = 130 = 0. Si se seleccionan al azar 3 jueces. P(x) = 1 – P(A) P(x) = 1 . 5 tienen defectos leves. U = 100 A = 50 B =87 a 10 2=b 30 8 20 5 15 7 . 8 sólo A y C. Si se eligen 3 pernos al azar y de una sola vez.P(A) = 0. y 3 tienen defectos graves. De 5 personas encuestas elegidas al azar. y 15 sólo C. 3 5 C = 10 maneras de obtener pernos con defectos leves 3 P(A) = casos posibles de obtener 3 pernos con defectos leves casos posibles de escoger 3 pernos P(A) = 10 560 La probabilidad de que los tres no tengan defectos leves es el complemento del evento. 5 sólo B y C. Calcular la probabilidad de que los tres no tengan defectos leves.98 21 Cien ingenieros civiles de obra fueron encuestadas a cerca de sus preferencias sobre tres productos A. Se encontró que 50 prefieren el A.629 17 Una caja contiene 16 pernos de los cuales 8 no tienen defectos. B y C. calcular la probabilidad de que 2 de ellas prefieran solo A y B y una prefiere los tres productos.10 560 P(x) = 0. 16 Hay C = 560 maneras de escoger 3 pernos entre 16. 37 el B y 30 el C además 12 prefieren A y B. B. b) al menos dos resultados iguales.18 x 10-5 225862560 23 Un dado normal se tira cinco veces. Solución: a. calcular la probabilidad de obtener: a) todos los resultados diferentes. C. 7 P(x) = 10 C C 2 10 C 2 1 100 C 5 P(x) = 21 x 45 x 10 = 4. 2 prefieren solo A y B y uno prefiere A.c = 30 a + b =12 8 + b + 5 + 15 = 30 b = 2  a =10 n (B  C) = 7 n (sólo A y B) = n (A  B – C ) = 10 n (A  B  C) = 2 Sea el evento x = 2 prefieren A. B y C. Sea: A = Todos los resultados son diferentes: * n =6 k=5 n  = k n! (n-k)! 6  = 5 6! = 6! = 720 (6 – 5)! ! n 8 . 12. 6. P(m) = 1 – P(A) P(m) = 1 – 0. 999 Números múltiplos de 3 y 7: 21.. a.. 2. 2. 1.43 P(m) = 0. 9. 999.907 25 Se selecciona al azar un número. Las barras se saca al azar a una sin reposición. P(A) = 0.*  = nk  65 = 7776 k P(A) = # de casos a favor # de casos posibles P(A) = 720  7776 b. 9 . Solución: Números múltiplos de 3: 3.. .0925 P(x)= 0.43 999 Para calcular que no sea divisible ni por 3 ni por 7 es igual al complemento de P(A). 14. Describa el espacio muestral. 0. 42.. Calcular la probabilidad de que el número no sea divisible ni por 3 ni por 7.. 21.. 3.. 63.0925 Obtener al menos dos resultados iguales es el complemento del anterior (PA) P(x) = 1 – P(A) P(x) = 1 – 0. 999 N2 = 142 Números múltiplos de 7: N3 =45 N1 + N2 – N3 = n(A) 333 + 142 – 45 = n(A) 430 = n(A) P(A) = 430 = 0. . . 999 N1 = 333 7. k = 1. Si se considera un existo cuando la bola k sale en extracción k.57 27 Una caja contiene 3 barras de acero numeradas de 1 a 3. .. Solución: E E  EEE F F  EFF E E  FEE F F  FFF E F  FFF F F  FFF E F F 31 Un lote contiene 40 artículos de accesorios de servicios eléctricos de los cuales 4 son defectuosos y 36 no defectuosos. también en cada sub-lote los 9 que no son defectuosos se pueden colocar de 9! Formas como hay 4 sub-lotes será: 9! X 9! X 9! X 9! = 9! 4   n(A) = 4! 36! 9! 4 40 artículos pueden colocarse de 40 formas y esto dividen en 4 sub-lotes de 10 esto ocurre para cada lote 10! x 10! x 10! x 10! = 10! 4  4! 36! P(A) = 9!4 40! 10!4 = 1 10 .  Que los 4 artículos en cada lote se puede realizar de 4! formas y los restantes de 36! Forma. Se divide el lote en 4 sub-lotes de 10 artículos cada uno. Calcular la probabilidad de obtener al menos un éxito. Solución: D = 04 B = 36 Sea el evento A = en cada lote hay un artículo defectuoso.b. calcular la probabilidad que cada sub lote haya un artículo defectuoso. A = {(x. Calcular P(A/B c) Solucion: 11 . Se acuerda bajar el precio de venta de ambos artículos.. y)  Ω / 5 < x + y < 7} n (A) = 7 – 5 = 2  x 7–5=2y  n (A) = 4 n Ω = 10 – 2 = 8  x 10 – 2 = 8  x n (Ω) = 8 x 8 = 64  P(A) = 4 = 1 64 16 1. 2 < y < 10} Sea el evento: A = La suma de sus demandas superen los 5000 toneladas pero que no sea mayor a 7000 toneladas. y) / 2 < x < 10.37 La demanda de cada uno de dos artículos A y B varía aleatoriamente e indistintamente en un rango de 2000 a 10000 tn. 2000 < y < 10 000} Ω = {(x. si la suma de sus demandas supera las 5000 tn.. Si: P(A) = 5/8. P (B) = ¾ y P (A/B) = 2/3. y) / 2000 < x < 10 000. pero no es mayor a 7000 tn. ¿Cuál sería la probabilidad de que el precio de venta de ambos artículos baje? Solución: x = Demanda del artículo A Y = Demanda del artículo B Ω = {(x. P  A  B  ….P(Ac/Bc) = 1     1  P A  B   P AC  B C  1   C PB P BC        1  P  A  P  B   P  A  B    …... P (B/A) = 1/5 y P  A  B  = 1/15. (1) Calculamos P (A)  P (A) = P A  B  1 / 15  1/3  P (A) = 1/3 = P  B / A 1/ 5 Luego Reemplazando en (1):   P A  B C = p(A) = P  A  B  = 1 1  3 15 12 . Calcular P  A  B C  Sol:   P A  B C = P (A – B) = P (A) . (1) P BC    = 1  Luego: Hallando P  A  B  P(A/B) =  P A  B   P(A/B) P (B) = P  A  B  P B  P A  B  = 2 3 1   3 4 2 P A  B  = 1 2 Reemplazando en la ecuación (1)  1  P  A  P  B   P  A  B    P BC    1  P (A/Bc) = 2. 1 2 Si P (B) = 3/.P(A/Bc) = 1 . 4 15 En una muestra de 120 cajamarquinos. se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad. 200. P  F  B  12 / 120 12 1    P( B) 36 / 120 36 3 De 200 clientes de crédito de una tienda comercial Requejo.(jaen-2014). 100 tienen créditos menores que S/. Si uno de tales cajamarquinos es escogido al azar. ¿Cuál es la probabilidad? a) De que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 360 años? b) De que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años? Sol: N (  )=120 60% sufren alguna enfermedad  72 30%  30 años  36 20% < 30 años y sanos  24  Construimos una tabla de doble entrada: <3030TOTALF601272F1242448 F TOTAL8436120 : Sufren alguna enfermedad F1 : No sufren enfermedad A : < 30 años B : 30 años a) P ( F  B  12 / 120  1 / 10 ) b) P F / B   4. Además 30 13 . P A  B C   3. 500. el 30% tiene al menos 30 años y el 20% son menores de 30 años y sanos. y 110 tienen créditos menores de 4 años. 15 tienen créditos de la menos S/. 500> 10 Clientes Crédito < S/. 500 y 10 clientes tienen créditos de al menos 500 y menos de 4 años.500  4años P  4años    14 . 200  Crédito < S/. 200) = TOTA L 110 90 200 P   4años  S / . 500/>4 años) =  P uno tenga  S / . 500 y < 4 años   Construimos una tabla de doble entrada: < 4 años > 4 años TOTAL < S/.200  200  500 > 500 45 55 100 55 30 85 10 5 15 a) P (<4 años/< S/. 500 o más? Sol: 100 Clientes 15 Clientes Crédito < S/. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga crédito menos de 4 años si tiene saldo de crédito de menos de 200? b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito ¿Cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de S/. 500  110 Clientes  Crédito < 4 años 30 Clientes  Crédito > 4 años y < 200.200  45 / 200 45 = = = P   200  100 / 200 100 9 20 b) P (uno tenga >S/.clientes tienen créditos de al menos 4 años y de 200 a menos de S/. a) Si se elige un cliente al azar. 3 b) P (E1/M) =   P E 1 P( M / E 1 ) P( M ) 15 .70.12 5.= C15  C185 / C 2200 C 290 / C 2200 = C15 C185 C 250 = 0.70) P(M) = 0. En una encuesta de opinión en Cajamarca (2014) se encontró que el 25% de los lectores votarían por el candidato E. De los que no votarían por E el 20% son mujeres y el resto son hombres. si se elige un lector elegido al azar y resulta ser mujer ¿Cuál es la probabilidad de que no vote por E? Sol: 25% Votan por el candidato E 20% No votan por el candidato E  Son mujeres H = Hombre M = Mujer a) E = Votar por E E1 = No votar por E P(M) = 1.12  La probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de S/. Además la probabilidad de que un lector elegido al azar sea hombre es 0. 500 a más es 0.P (H) = 1.(0. 3 P (E1/M) = 0. ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso? b) Tres defectuosos.Total de objetos = 80 D: Defectuosos 2 del Proveedor A 5 D1: No defectuoso 3 del Proveedor B 5 .5 % = 6 B(D1) = 48 x 87.5 % son defectuosos de A y B A = x 80 = 32  A = 32 B = x 80 = 48  B = 48 A(D) = 32 x 12.75 0. ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos provengan de A? Sol: .=  0.5 % = 28 B(D) = 48 x 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos.5 Un comerciante de Jaén recibe para su venta 80 objetos. 2/5 del proveedor A y el resto del proveedor B. El 12.5 % = 4 A(D1) = 32 x 87.20 0.5  6.12. La probabilidad de que no vote por E es 0.P(Bc) 16 .5 % = 42 a. Si se hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan: a) Ser de B. P (B) = 1. si la primera máquina se descompone se enciende la segunda. la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.5 2 P (M1  M2) = P(M1) P(M2 / M1) = (0. pero no operan simultáneamente.5 2 M2 = 1 = 0.3) P (M1  M2) = 0.3 ¿Qué probabilidad hay que el sistema embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo? Sol: M1 se descomponga es P (M1) = 0.2 M2 se descomponga es P (M2) = 0.2) (0.=1- C 442 C 448  La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 1- C 442 C 448 b.3 M1 = 1 = 0.2. C 24 C16 C 310 En horas de trabajo (cervecería Trujillo ) una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras M1 y M2. P(dos de los defectuosos provengan de A) = C 24 C16 C170 C 24 C16  10 C 310 C170 C3  La probabilidad de que dos de los defectuosos provengan es 1- 7. La probabilidad de que la primera máquina se descomponga es 0.6 17 . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de estos sea de tipo A? Sol: 50 Artículos 10 del Tipo A Se extrae 40 del Tipo B 5 artículos Sea: N : del Tipo A N1: Ninguno del Tipo A n (  ) = C 250 C 540 Luego: P (N ) = 50 = 0.31 P(N) = 0. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento.06 8. En un lote de 50 artículos. Sol: A 10 Llaves A = Abre A1 = No abre 18 .69  La probabilidad de que al menos sea del Tipo  una probabilidad de 0. El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. hay 10 de tipo A y 40 de tipo B. Sólo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta.31 C5 1  P(N1) = 1 – P(N) P(N) = 1-P(N1) P(N) = 1 – 0. La probabilidad de que el sistema embotellador no este funcionando en las horas de trabajo es 0. se extraen del lote 5 artículos al azar uno por uno si reposición.69 9.  1 10 En una urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. Sol: Saca Una a Una E = Exto E1 = Fracas 1 1 2 2 3 3  P (E) = 3/6 11. las balotas se sacan al azar una a una y sin reemplazo.A1 1A 9A 10 A  9   8  7  6  1        )  10   9   8   7   6  P(A) =   P(A) 10. Hallar a probabilidad de obtener un éxito. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima extracción se considera un éxito. 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 = = = = = = E E F F F F E F F F F E E F E F F F  P (E)= ½ Se prueba un lote de 48 focos uno por uno (sin reposición). ¿cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba? Sol: 19 . Si el lote contiene dos defectuosos. Luego una bola es 20 .D: Defectuoso 48 FOCOS S: Sano P(B1 x D2 x D3) + P(B2 x D2 x D3) 2 1   2 46 1   46 X X X X     48 47 46   48 47 46  =  = 0. Una bola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna 2. La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules. mientras que la ranura 2 contiene una bola roja y tres azules.0018 12. 21 . Si ahora una bola es seleccionada al azar de la urna 1. Luego se saca de la urna una segunda ficha.seleccionada al azar de la urna 2 y colocada en la urna 1. P(R) = 9/20 Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Determinar el número de fichas blancas en la urna si se sabe que la probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0. Se extrae al azar una ficha de la urna y se reemplaza por una del otro tipo.5. ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja? Sol: 2R 1R 2ª I 3ª II 2R 3R 3AII 2R 2AI 1R 2AI 3AII 1R 2R 4AII 3AI 3 6  1  3  3  2         = 20 20  4  5  4  5 P(R)=   13. Sol: R: Fichas Rojas B: Fichas Blancas 5R xBI 4R X+1 5R xB 6R X-1 = 20 6 6 X  20 1    2 2  X  5  X  5  X  5 2 2 12X + 40 .15 = 0  X1 = 5 22 .2X .(X + 5)2 = 0 X2 . Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 defectuosos. se rechaza el lote.Se escogen: C 29 C 03 C19 C13 C 09 C13 36 27 3  12  12    66 66 66 C 212 C2 C2 27  C 28 C 02 C18 C12 C 08 C 22   10  10   66  C 210 C2 C2  27  28 16  27  1        66  45 45  66  45   36 27   44 / 45 66 66 23 .14. si los dos son buenos se acepta el lote. Si los dos son defectuosos. de otro modo se rechaza. se toman dos objetos al azar y a la vez. si alguno es bueno se acepta el lote. Esta vez. Sol: 9 No Defectuosos n (  ) = C 212 n (  ) = C 210 3 Defectuosos . y si solo uno es bueno se toma otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Calcular la probabilidad de aceptar el lote. 4 21 6 3   23 21 7 Sea el espacio muestral:    w1.w3} C={w1.se an los eventos: A={w1. w2. Calcular P(B) a) Si los eventos A y B son excluyentes b) Si los eventos A y B son independientes Sol: a) P (A  B) = 0 P (A  B) = P (A) + P (B) = 11 P ( A)   P( B) 21 3 P(B) = 11 1  21 3 P(B) = 4 21 b) P( A  B ) = (A) + P(B) – P(A) P(B) = P(A)+P(B) [1-P(A)] 11 1  2   P ( B )  21 3  3  P( B)  16. C. B. w4 donde.w4} ¿son los eventos A. Si: P(A) = 1/3. w3.15. w3.w2} B={w1. independientes? Sol:    w1. P W 3   1 4 .P  w1  ]  1 4 . w2. w4 24 . y P (A  B) = 11/21. P  w4   1 4 . A es independiente de B.w3} C={w1.  como ambos son excluyentes  ambos son independientes 25 .w4} Verificando: P(ABC)=P(A) P(B) P(c) P(ABC)=1/4+1/4+1/4=3/4 P(A) P(B) P(C)=1/4+1/4+1/4=1/64  ABC no son independientes 17. entonces. P(A  B) = P(A) P(B) c) Si A y B son independientes. entonces P(B/A)=P(B/A c) Sol: a) A B 1.w2} B={w1.P({w1})=1/4 P({w3})=1/4 P({w2})=1/4 P({w4})=1/4 Además: A={w1. Pruebe que: a) Si el evento B es independiente del evento A. b) A y B son eventos independientes. si solo si. a) De obtener éxito una sola vez? b) De obtener al menos una vez? Sol: 1ra vez E P Negocio E P Negocio 1- P a) 2da vez Al menos una vez E’ 1- P E’ De obtener éxito una sola vez.b) P(A  B)=P(A) P(B) A B P(A)=1/4+1/2=3/4 1/4 1/4 P(B)=1/4+1/2=3/4  P(A  B)=P(A) P(B) A B c. P(1-P)+P(1-P)  2P(1-P) 26 .  P(B/A)=P(B/Ac) A y B eventos independientes. dado que la probabilidad de B esta condicionada por la probabilidad de la no ocurrencia de A. ¿Qué valor de P hace máxima la probabilidad.. 18. el negocio se realiza dos veces de manera independiente. Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es P. la probabilidad de que ocurra el evento B dado a que el evento “A” a ocurrido. Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de cualquier otro evento.b) De obtener al menos una vez P(1-P)+P(1-P)+PxP  2P(1-P)+P2 19. Sol: Caso 1 P(A)=0 Caso 2 P(A)=1 Sea A un evento Caso 1: P(A)=0 (A  B)  A P(A) P(A  B) P(A) P(B) Caso 2: P(A  B)+P(Ac B) P(A) P(A  B)=P(A) P(B)  P(Ac C)  P(Ac) 27 . ¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase a) ambas pruebas? ¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso.98 D C D ’ D C’ D ’ a) (0.98x0.02) = 0.20.9996 28 .98) P(D)=0.98+0.48x0. Suponga que una compañía de zapatos Ortecho 2014 utiliza un procedimiento de prueba que es confiable en 98% es decir identifica correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de 0.02x0. en un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se comete a dos pruebas independientes.02) (0. b) es decir de que no pase lo menos una de las pruebas? Sol: Confiable : 98% D: Defectuoso No confiable: 2% D’: No defectuoso P(D)=0.004 b) P(D)=(0.98.02+0. un juego consiste en sacar tales objetos y termina cuando sale el numerado uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego termine si se saca al azar 5 objetos? a) A la vez? b) Uno a uno sin reposición? c) Uno a uno con reposición? Sol: Sacan 5 objetos Sea A: solo en N° 1 a) A la vez? P(A)=5/10  P(A)=0.21. Una urna contiene 10 objetos numerados de uno a 10.1 c) Uno a uno con reposición: P(A)= = 10  1 51 10 5 94 10 5  P ( A)  94 10 5 29 .1  P(A)=0.5 b) Uno a uno sin reposición: P(A)=1/10  P(A)=0. 5x0. En una oficina de una empresa minera de hualgayoc –cajamarca hay dos computadoras A y B que trabajan de manera independiente.79 23.3)+P(0.22.6x0.4x0.4x0.6 0.4x0.3) =0.29 b) P(Ac BC)+P(ABc C)+P(ABCc)+P(ABcCc)+P(AcBCc)+P(AcBcC) +P(ABC) =(0.3)+P(0. a) Dos de los tres programas? b) Al menos uno de los tres programas? Sol: A B C Ac B c C c 0.5x0. si en un momento cualquiera la probabilidad de que la maquina B esté en mal estado es ¼ y la probabilidad de que solo la maquina A esté en mal estado es 3/10 ¿Cuál es la probabilidad de que solo la maquina B esté en malas condiciones? Sol: 30 .5 0.4x0.7) =0.4.6x0. B y C son respectivamente 0.3 0. 0.7)+P(0.7)+P(0.5 y 0.5x0.3)+P(0.7)+P( 0.7 a) P(Ac BC)+P(ABc C)+P(ABCc) =P(0. Se ha determinado que el porcentaje de televidentes en Cajamarca que ven los programas A.7)+P(0.4x0.6x0.6x0.5x0. Si se elige al azar a uno de tales televidentes ¿Qué probabilidad hay de que vea.4 0.5x0.7)+P(0.5x0.5x0.5x0.4x0.5x0.5 0.3 cada televidente ve los programas independientemente uno del otro.5x0. P.P. P(B)=(1/2)(1/4)=1/8 En los circuitos de las figuras que siguen.B A M B B M Si solo B esta mal 24. la probabilidad de que cada llave se cierre (pase comente) es P.P2-P. calcular la probabilidad de que la comente pase de E es S en a) y b).  2P3 – P5 Sea a: la corriente pasa de E a S P(1)+P(1ª2)-P(1y2) P(1)+P(1ª2)-P(1y2)  Px[1+P-P2] 31 .P. 0<P<1. a) E Sol: S 1 2 a) E S b) E 3 2 3 4 5 2 3 4 5 S 1 3 1 2 b) E S 1 P(1)=P P(2)=P [P(1)+P(1)]P(2)P(5)-P(1)P(2)P(3)P(4)P(5) P(3)=P (2P(1))P(2)P(3)-P(1)P(2)P(3)P(4)P(5) 2P3. si toda las llaves se cierran o abren en forma independiente.P. 95)+(0.2)=0. es de 0. Calcular la probabilidad de alcanzar el éxito en tres intentos a lo más. y es de 0.05)2(0.25.95  éxito B=0. Calcular la probabilidad de que un mensaje de n(n  1) dígitos binarios (0 y 1) sea incorrecto.05)(0. si la probabilidad de recibir un digito incorrecto es P y si los dígitos se reciben en toma independiente. Un experimento se realiza tantas veces en toma independiente hasta obtener el primer éxito. Sol: Sigue las reglas: No se sigue las reglas: A=0.20 si no se siguen correctamente las instrucciones. Sol: 0 N(N  1) Sea: A.95) = 0.95 si se siguen correctamente las instrucciones.999875 b) (B)+(B’)B+(B’)2(B)=(0.488 26. a) Si se siguen correctamente las instrucciones cada vez.05  no existo B’=0.20  éxito A’=0.8)2(0.95)+(0.2)+(0.2)+(0.8)(0. Suponga que en cada intento la probabilidad de que se tenga éxito. b) Si no se siguen correctamente las instrucciones cada vez. el mensaje es incorrecto 1 P(A)=P(-2)-P(Ac)  P(A)=-1-(1-P)n Correcto Digito Incorrecto 32 .80  No existo a) (A)+A’(A)+(A’)2(A)=(0. 99 F’ F: Falla = 0.99)+(0. Hallar la probabilidad de que un accidente ocurra en una o mas ocasiones.0198 0. Suponga que un sistema funciona si al menos una de sus componentes funciona.01 F  x(0. Un persona está expuesta a 1 riesgo en 100 ocasiones independientes si la probabilidad de que ocurra un accidente es 1/100 cada vez.01 ¿Cuántas componentes debería tener el sistema para que no talle con probabilidad de 0.01)(0. Sol: 1 100 - Ocurra un accidente es - Que no ocurra un accidente es 1- - Que no ocurra un accidente en una o más ocasiones =  1 99 = 100 100  99    100  100 33 . Si las componentes trabajan independiente y si la probabilidad que talle cada uno es de 0.0198 X(0.9999 X(0.99)=0.01)(0.99)2=0.27.0099)=0.9999? Sol: F’: No falla = 0.0099  X=2 28.0198 X= 0.  99    100  29.75 7 Suponga que en cierta región del país la probabilidad de que un adulto mayor de 40 años tenga cáncer es 0. Sol: 10 veces E 10 Veces E: Éxito E’: No éxito E’ 30. la probabilidad de que el diagnostico sea correcto es 0.-  99  Que ocurra un accidente en una o mas ocasiones =1. 100 100 =1-0. calcular la probabilidad de que.80 y de que sea errado es 0. Calcular la probabilidad de que ocurran 3 éxitos si el ultimo intento debe ser un éxito.05. si se elige al azar a una de esas personas. b) Si se le diagnostique cáncer.   100   1.25 3  0.20.366=0. Sol: A = Tenga Cáncer A’= No tenga cáncer 34 . 10 Veces  9 2  0. En cada prueba la probabilidad de éxito es ¼. tenga realmente tal enfermedad. a) Si se le diagnostique cáncer.634 Un experimento aleatorio se repite sucesivamente 10 veces en forma independiente. 05)(0. a) Hallar la probabilidad de que acierte la pregunta.C = Diagnostico Correcto C’ = Diagnostico no correcto a) P(A)=(0. Si la probabilidad de que conozca la respuesta es 0. Si duda.23  P(B/A)=0.05 0. Si no sabe marca al azar.2 y de que dude es 0.80  0. de que conozca es 0.80)+(0.1739 A’ C’ 31. responde al azar. Ante una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas donde solo una es la respuesta correcta.20) C P(A)=0. b) Si acertó la pregunta ¿Qué probabilidad hay de que no haya sabido la respuesta?.23 A C’ >40 C b) P(B/A)=  0.3. 35 .5.95)(0. un examinado puede saber la respuesta o no saberla o tener dudas. reduce las alternativas a 3 de las cuales una es la correcta y luego. 3)(0.64 Solo el 60% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es la calidad excepcional.21 / 5  0.64 b) 32.7)(0.5)+(0.69 36 .64 0. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del fabricante A? Sol: P(C)=(70%)(60%)+(30%)(90%) =(0.04 0.2)1/3+(0.1(0. se inspecciona un embarque que acaba de llegar y se encuentra es la calidad excepcional. y por esta razón solo el 30% de mercadería le es permitido adquirir al fabricante B.. Sin embargo la capacidad de fabricación del fabricante B es limitada.6)+(0.9) P(c)=0. el 70% la adquiere de A.Sol: S………. mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de excepcional.5) 1 2 3 N S = Sabe S’ = No sabe D = Duda 4 5 1 D 2 3 a) (0.  0.3)1/3 =0. 71 C D ’ 37 .42 0.4.25 y 60% con probabilidad 0.35.25)(0. calcular la probabilidad de que se de calidad del 90% no defectuoso.225 . si se selecciona al azar uno de tales objetos y si resulta no defectuoso.35)(0.4)(0. Sol: D P(D’)=(0.B A M B B M P(A/C)= = P(A/C)= 33.25 0. 90% con probabilidad 0.6) A D ’ D B D ’ D P(D’)=0.71  P(PB/D’)= 00.9 0.9)+(0.69 0.7)(0.71 P(B/D’)= = P(B)P(D' /B) P(D' )  0.7)+(0.69 En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados es 70% con probabilidad 0. P(A)(P(C/A)) P (c ) (0.6) 0. . 1 Luego: P(A)+P(B)+P(M)=100%. se afirma que el porcentaje de electores que votarían por el candidato D puede ser: 30% de clase baja........ a) Si se elige un lector al azar y se encuentra que vota por D. 50% de clase media 70% de clase alta. De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones. 2  1 Y 2 = P(M) = 30% D A D ’ D M D ’ D B D ’ 38 . El 100% de una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes: baja...... ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la clase alta? b) Si se escogen dos electores al azar ¿Qué probabilidad hay de que uno de ellos vote por D? Sol: P(B ó M)=90%  P(B)+P(M) Baja = 60% Media = 30% P(M ó A)=40%  P(A)+P(M) Alta = 10% P(A)+P(B)+2P(M)=130………….34. media y alta.... y la clase media o alta el 40% del total. de manera que la clase baja o media son el 90% del total... 6)(0.78 39 .7  0.4)(0.48 35.7)  (0.07 P(A/D)= (0.1)(0.4  0. Si la maquina está bien ajustada en un periodo.6) P(P)=0.6)]=0.78   La capacidad de que solo 2 pasen el control de calidad es de 0. Una maquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Se ha determinado que el 90% de los periodos la maquina esta bien ajustado de los 25 objetos producidos en un solo periodo se escogen 3 al azar y a la vez para el control de calidad. a) ¿Qué probabilidad hay que solo 2 pasen el control de calidad? b) Si solo a pasen el control de calidad ¿Qué probabilidad se tiene que haya sido producido cuando la maquina trabaja en un periodo de buen ajuste?.175  P(A/D)=0.a)  0.10  0. Sol: Producción: Un periodo  80% pasa el control de calidad bien ajustado de lo contrario solo el 60%  mal ajustado Bien ajustado  90% de los periodos 25 objetos  escogen 3 al azar a) P(P)=(0.5)  (0.3)(0.1)(0.175 b) P(DD’ ó D’D)=2(P(D’D)) =2[(0.90)(0.8)+(0. el 80% de los objetos producidos pasan el control de calidad de otro modo solo pasan el 60%.3)  0. 6)(0. El departamento de créditos de una tienda comercial afirma que según sus experiencias pasadas la probabilidad de que el 20% de los clientes que compran por mas de S/.2)(0.2)(0.955 0. Sin embargo al entrevistar a dos clientes al azar se encuentra que los dos compraron por mas de S/.264 P (60%) P ( D / 60%) 0.045 0.3 y que la probabilidad de que el 60% de los clientes compren mas de S/.b) P(2P1P’)  P(P) P(P) P(P’) =(0.7) P(D)=0.264 40 .6)(0.50 es igual a 0.7)(0.78)  P(2P1P’)=0. en base este resultado ¿Qué modificación acerca de las probabilidades 0.6)(0.7.3)  0.2)(0.133848 36.3 y 0.50 es igual a 0.264 (0.264 Luego: en 20% y 60% 20% < 5/50 P(20%/D)= P( 20%) P( D / 20%) P( D) C = 20% >50 C’ C P(60%/D)= 60% >5/50 C’ = (0.78)2(1-0.50.2)(0.7 deberá hacer la tienda comercial? Sol: P(D)=(0.6)  0.3)+(0. 079 C’  0.1) 0. Una agonía de publicidad observa que el 20% de los compradores potenciales de producto ve su propaganda por periodo.79)(1/10)  =0.079   0.149 C  0.00 3 C’  0.12 6 PT C  0. ¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre a) dicho producto si no vio la propaganda? Si un comprador potencial compra el producto ¿Cuál es la b) probabilidad de que no haya visto la propaganda? Solucion a) (0. 6 x 0.1 C’ 0.149 0.37.01  0.00 6 6 C  0.149  0.21)1/3+(0.711 41 . 3 x0.01  0. el 20% de dicha propaganda por televisión y el 1% ve los tipos de propaganda.9% compran y no ven la propaganda.19  0.06 3 b) T (0. A demás de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.789)(0.00 3 3 P C’  0.007 T C  0. 6 x0. 38.1.4 A3 = 3 Clientes llaman ==> P (A3) = 0.7) 3 2  0.189 3 3 0 P(A3) = C 3 (0.4 si llaman dos clientes y es de 0.3) 1 (0. a) Calcular la probabilidad de que realice el negocio. si ninguno de los 3 le llaman.3 0. Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio.8 si llaman los 3 clientes.3 0. No se realiza el negocio.441 P(A2) = C 23 (0.3 i = 0.8 B: El agente realiza el negocio: 3 0 3 0 0 P(A0) = C 0 (0) (1) P(A1) = C13 (0. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 clientes en toma independiente es 0.2.2 A2 = 2 Clientes llaman ==> P (A2) = 0.7)  0.3 además la probabilidad de realizar en negocio es de 0.3) (0.3) 2 (0.20 si llama un cliente. es de 0. b) ¿Cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente subiendo que realizo en negocio? Sol: P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )   0.27 42 .3 ==> P (Ao) = 0 A0 = 1 Ningún cliente llama ==> P(A0) = 0 A1 = 1 Cliente llama ==> P (A1) = 0.7) 31  0. 441) (0.0000475 1854 43 .0216 P ( A1 ) P ( B / A1 ) a) 1 pues es P ( A1 ) P ( B / A1 )  P ( A2 ) P ( B / A2 )  P ( A3 ) P ( B / A3 )  0.0756 + 0.4) + (0.2) + (0.8) P(B) = P(A1) + P(B/A1) + P(A2)(B/A2) + P(A3) P(B/A3) P(B) = (0.2) + (0. (0.189) (0.27) (0.P(B) = P(B/A0) + P(B/A1) + P(B/A2) + P(B/A3) 0 .0882 + 0.4) + (0.0882  0.8) P(B) = 0. P X  3 4 / 16  4 / 11 = P 2  X  4 11 / 16 Una urna contiene 10 fichas de las cuales 4 son rojas y 6 blancas. se extraen 3 fichas al azar Determine la distribución de probabilidad del número de fichas rojas. El número de hijos por familia en una determinada región es una variable aleatoria X cuya función de probabilidad es. X P[ X=x] 0 1/16 1 4/16 2 k 3 4/16 4 1/16 a) Calcular el valor de la constante k b) Si una familia tiene al menos dos hijos ¿Cuáles la probabilidad de que tenga 3 hijos? Solución a) P x 0  i  1 4 4 1  k  1 6 16 16 16 10 10  k 1  k 1 16 16 k 6 16 La probabilidad de que tenga al menos dos hijos será: P  2  X  4   P  2  P  3  P  4  b) P  2  X  4  6 4 1   16 16 16 P  2  X  4  11 16 La probabilidad de que tenga tres hijos dado que tiene al menos dos hijos es:  40. Si se escogen: 44 .VARIABLES ALEATORIAS 39. 017 1 0.03 C210 X P[ X=x] 0 0.3 P X  k  Ck4C36 k C210 Ck4C36 k P X  k  C210 c) 10 Fichas 4 rojas 6 blancas La distribución de probabilidad del número de fichas rojas: p 4 6 .3 C210 f (3)  P  X  3  C34C06  0.a) Los 3 a la vez b) Una por una sin restitución c) Una por una con restitución Solución a) Casos que pueden salir alguna de las Fichas de color rojo Rx= 0.1.017 C310 C14C26  0.017 2 0.2.q   p  q 1 10 10 45 .3 b) Una por una sin restitución Rx = 0.1.017 C310 f (2)  P  X  2  C24C16  0.2.3 C 310 Casos que pueden salir las 3 Fichas rojas a la vez C k4 C 36 k Ck4C36 k f (k )  P  x  k   C310 f (o )  P  X  0   f (1)  P  X  1  C04C36  0. hasta que ocurra una ficha azul ¿cuál es la probabilidad de que A gane el juego si el sale primero? Solucion. y 10 premios de $ 5. 150 S/.P X  1  C13 p 1 q 31 P X  2  C 23 p 2 q 3 2 P X  3  C 33 p 1 q 33  P X  k   C k3 p k q 3 k 41.03 500 500 500 500 Una urna contiene 3 fichas rojas y 5 azules un juego consiste en extraer una ficha sucesivamente con reposición si dos personas A y B juegan alternadamente extrayendo la ficha.00 b) P (X=199) + P(X=49) + P (X=4) = 42. 200 S/. 1 4 10 15     0. 199 S/. 49 S/. 4 premios de $ 50. Se venden 500 boletos de una rifa que consiste en un premio de $ 200. –1 -- P  X  x 1/500 4/500 10/500 485/500 4. 5 0 -- Utilidad S/. Si cada boleto cuesta $ 1. R: Fichas rojas A: Fichas Azules 46 . y si usted adquiere un boleto a) Hallar la función de probabilidad de la utilidad b) Que probabilidad hay de ganar algún premio Solucion a) Base 1 4 10 485 500 Precios S/. 4 S/. Etc..2…... Una urna contiene seis bolas numeradas del 1 al 6..  9 27 9   5   64    5   1  64  312  ..  5  5  3      8    8  8   5   8  2  5   8   3    8 4  .  8  8 P(c) = P(X=1) Ó P(X=3) Ó P(X=5) Ó .   8   1 / 1  64    8   65   8 / 11 43 . se extraen al azar dos bolas.C: que gane el Jugador A 3R 5A 8 Fichas  P (A)= 5 8 P (B)= 3/8 Sea x: El número de extracciones hasta obtener la primera Ficha Azul. etc. Siendo (k-1) el número de extracciones de las fichas rojas 5 3  P (X-K) =     K 1 K=1.. una después de la otra con reposición Sea X el menor de los dos números obtenidos a) Encuentre la función de probabilidad de X b) a partir de X la1distribución 2 3 acumulada 4 5 6 de X calcular P[ 2<x<4 ] Solucion: 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66 f(1)= P X  1  11 / 36 n (  )=6x6=36 f(2)= P X  2  9 / 36 f(3)= P X  3  7 / 36 f(4)= P X  4  5 / 36 f(5)= P X  5  3 / 36 f(6)= P X  6  1 / 36 47 . 3 .1 3.1 .1.  2.3 .  3.6 36 a) P 2  X  4  P X  4  P X  2  P 2  X  4 f(1)= 11/36 f(2)= 11/36+9/36=20/36 f(3)= 11/36+9/36+7/36=27/36 f(4)= 11/36+9/36+7/36+6/36=32/36  P 2  X  4 = 32/36-20/36= 12/36 43.2  . 1.2.3.  2. Por inducción matemática se tiene que: f(x)= P x  k   13  2k   1. a) X: número de éxitos n (  )=  1.2.2  n (  )= 6 X P(x) 1 2/6 2 1/6 3 3/6 48 .1.3. 08)(0.05)+(1-0.P(B)P(A) + P(A) P(B) P(C) = (0.17-0.04)(1-0.P(A  C) .00872 X = 3.04)(1-0.16096 = 0.83904 X = 1.04) (0.08) (0.04)(0.08)(0. P(x = 0) = 1 .08) (1-0.2.09) 49 . P(x = 3) = ABC = (0.05) + (1-0.3 X = 0.08)(1-0.005) + (1-0.0092-0.08) + (1-0.P(B  C) . P(x = 1) = AB’C’ + A’B’C + A’BC’ = (0.P(B)P(C) .04 B: con probabilidad P(B) = 0.15208 X = 2.P(A)P( C) .0.04)(1-0.16096 X = 0 Defectuosos b) Px=  0.04) (0.00016 = 0.05 P(A  B) = P(A) + P(B) + P(C) .b) P (x  1) = P(x=1) + P(x=3) = 1/6 + 3/6 = 4/6 44.08)(0.08)(1-0.04) (0. P(x = 2) = ABC’ + AB’C + A’BC = (0.05) =0. a) A: con probabilidad P(A) = 0.04)(1-0.04) = 0.04)(0.05) + (0.08) (1.1.08 C: con probabilidad P(C) = 0.05) + (1-0.05) = 0.04) (1-0.P(B  A) + P(A  B  C) = P(A)+P(B)+P(C) .08) (1-0. X: N° de Ventas X P(x) 0 45/60 500 14/60 1000 1/60 2 5 5 2 3 5 5 5 6 6 P(x=0)=      2 1 5 6 10 15 45   30 36 60 3 5 1 5 6 6 P(x=500)=   2     3 1   5  10  2 P(x=1000)=  Media = E(x) =  2 6 14   30 36 60 3 1  180 60 8000  45   14   1000    500     00  60  60   60   xP( x)  E ( x)  0 2 2 V(x) = E (x2) . a) 60% Hombres 40% Mujeres cumplen requisitos 40% h 50% m  P = (0.= 0.24 + 0.00016 45.5) P = 0.44 50 .4) (0.4) + (0.E ( x )   E(x)  1250000  160000 1109000  9 9 46.6)(0.2 = 0. 51 . 2.4.… etc 52 .2.2.3 k 3 k b) P x  k   C k p q P x  k   C k3 p k q 3 k = C13 (0.… etc  1    n 2 k=1.etc si k E Rx entonces extracción con probabilidad 1/n.44)(1  0. Luego: En las (k-1) extracciones restante ocurre la otra probabilidad 1/n y ocurre (k-2) bolas independientes con probabilidad (1-1/n)  La probabilidad de x=k está dada por:   L(x)= P x  k   C1k 1 q k  2 P P  C1k 1 q k  2 P 2 Donde:  q =  1  1  . – Si se escogen uno por reposición entonces: El rango x es el conjunto R x 1.3..44) 2  0.. n  P x  k   C P k 1 1    1 1  n 1 n k 2 k=1.41 47. 48. 1/25  53 . Área = Áreas = = = = = k-puntos S-k 0 5 Área=k/S j  k  1 /S 1/25  Prob. 1/25  = 3/25  3/25  2 3 9/25  .4.2. 9/25  49.1 4 4/25  . 1/25  . a) F(x)=  5 0 cdx c 5  x 0  c 1 5 s Hallando F (x) en  0. 5/25  .1 k= 0.2.3. 7/25  .5 x X< 0  F ( x)     odc  0 1) xxs 2)  F ( x)   x  1 odc   0x dc   xx odc 5 1 5 x = t 0 x 5 54 .1.4 b) Prob. 50. 3/25  .9/25  = 3/25 4 1   7/25  9/25   – 16/25  = 4/25  a) U: Utilidad (S-k) = V V = 5.3.4/25  = 5/25 5/25  3 2 16/25  . xs 3)  F ( x)   0  odc   = 5 0 1 dc   sx odc 5 1 5 t 0 1 5 Luego:  0 x0  F (x) =  x / 5 0  x  5  1 x5  b) P X  8  1  P X  2 1 2 / 5  3/ 5 c)  MAX  F ( X )dx  3 / 5   max  dx  3/5 5 1/5max=3/5  max  3 d) P(x=2)=  8 2 dx  0 Por un solo punto 5 P(x=2)=0 51. a) La ecuación de la recta es y=mx+b. donde m es la pendiente m c  1 / 8 y b es el punto de intersección en el eje y b=c 8c x  P( x)    c. a  x  8c 8 x 1 8c f ( x)  1   (8c  x)dx  1 8 0 0  y2 64c 2 2 (8 xc  )  8  64c   8  c  1 / 2 2 2 De acuerdo a la grafica no tomo C=-1/2 55 . f ( x) 1 x 4 x   2 8 8 7  4 x  dx  16  8  7 16 5  4 x  dx  ) 16  8  12/16 3  4 x  dx  16  8  15/16 1 b) P (0  x  1)  0  2 P (  x  1)  1  3 P ( 2  x  2)  2   4 x  dx  1 / 16  8  P  3  x  4   3  4 1 f(x)=?? df ( x)   f ( x) dx  f ( x) dx Se sabe que f(x)=  x2   4 x  1/ 8  k  dx  f ( x )   4 x  2   8   f(x)=   pero k=?? perox1=1  f(x1)=7/16  x12  1 7   k 4 x  f(x1)=  1  2  8 16  f(1)= 7 7  1k  k 0 16 16  x  4  4   2  f ( x)  1   c) P  0  x  k   0 k k f ( x)dx  95 100 19  4k  dx  20  8    0  8x  x 2 16 k /0  19 8k  k 2 19   20 16 20 0k  5k 2  76 k 407 (40) 2  4(5)(76) 10  k  3.106 1 52. 56 . 0 c(2 x  1)dx  1 1 a) c8 2  x  / 0  1  2c  1  c  1 / 2 Luego la función desidad de y o s. . a) f(x)=1 1 5   4kdx   k (5  1)dx  1 0 1 1 5 4 k / 0  k ( 5 x ) /1  1  4k  20k  12k  1 12k  1  k  1 / 2 1 2 b) P (0  x  2)  0 4kdx  1 (5k  kx)dx  4k  5k  3k 15k  como k  1 / 2 2 2  15    2  5 / 8 x100%  62. f(x)= 0  c  1 / 2 de x f(x)=0 1 x t2 t x de   /0  0 2 2 2 f ( x)  x2  x 2 b) P x  75% / x  25%  P x  0. a) 57 .59 27 / 32 27 53.5%  P (0  x  2)    9    5/8  12  54.1 0 en el resto si x  0  x 0 tde  si 0<xc1.75 / x  0. 7x  1 2  f ( x)   x  0.25    P x  3 / 4 / x  1/ 4  P x  3 / 4nx  1 / 4 …………. (xx) en (x) P1 / 4  x  3 / 4  1 / 2  3/ 4 1/ 4 1 3/ 4 ( 2 x  1) dx  ( x 2  x ) /1 / 4  1 / 2 2 en (xx) 1 =1/2 1 / 4 (2 x  1)dx  1 2 1 ( x  x) /1 / 4  27 / 12 2 P x  3 / 4 / x  1 / 4  Luego 1/ 2 16   0..(x) P x  1 / 4 ………….   cx  0  x 1  c  f ( x)    ( x  3)1  x  3 2     Hallando C. 0 onotrocaso 1 X C 0 xdx  cx 2 2 1 / 1 XX C 0 ( x  3)dx  0 c 2    c  x2   3x  2  2  / 3 1 c  2/3 2  3 x 0  x 1   f ( x) ( x  3) 1  x  3   0 en caso  f ( x )  P x  x    0de  0  b) i) x<0  f ( x)  P x  x    0de    ii) 0  x  1  x 0 2c 2c 2 dc  3 6 / x 0 (3  c ) de 3 6x  y 2  5 c2  3c   1 / 3   3  3  1c iii) 1  x  3  f ( x)]  P x  x    0de  0 3 de  1   0  1 / 3  1 / 3   iu) f  3 1 x 6x  x 2  3 6 x  3c  de  3 0de  1  3  f ( x)  P x  3   0de   Cde    x 0 1 x 1 3  0 x0   2  x 0  x 1  3 f ( x)   2  6x  x  3 1  x  3  6  1 y3  58 . 80 0  x2  2 a    (100  x)dx   0.80 2   k / 500 0 a 1000  (1000) 2  (4)(1 / 2)( 450000) (1 / 2) a  83.1 2 3 2x  3 x dx     dx  0.75 k  /  1  0.75 250000 f ( x ) dx  0.77 56.80 500  2 2  x 500  x  a  k / 0   1000 x  2  /500  0.625 1 3  3  1 k  0 2  x2  3 2  c)  1  x2 x1 / 3 3 x  2  /  0  6k  k 2  3  3.625  k  9/ 2  k  3/ 2 k  3 / 2 55. a)  2 0 kxdx  kx 2 2  6 2 2kdx  6  8 6 k ( x  8)dx  1  x2   8 x   2  / 0  2kx / 2  k  / 8 0 1 2 k  8k  2 k  1  k  1 / 2 59 . a)  500 0 100  kxdx   x2  2 k  / 800  500 0 (1000  x ) dx  1   (250000)  1 b)  f ( x) dx  k  750  250 k  750  a k  500 250 x2 2 250 c) x2 2 1000   1000 x / 900  / xdx   / 1000 500 1 250000 (1000  x ) dx  750 500 500  750  1000 x / 500  250 f ( x)dx  1 x2 2 / 750 500 187500  0. x b) f ( x)   x f ( x)dx  x / 12   0x2 2 x5  1 / 6 f ( x)  1 / 12(8  x) 6  x  8    0 en otro caso x f 1 ( x)   0de  0 0 c t 2 x x2 de  0   0 x2 x 0 12 24 / 0 24 0 2 tde 6 1 4 t x 4 ( x  2) f 3 ( x)   0de     de   /2   x 0 12 2 2 24 6 24 6 0 2 tde 6 1 x f 4 ( x)   de     dc   (8  c)de x 0 12 2 2 6  4 16 1  12 x  x 2 0     30  24 24 12  2  0 f 2 ( x)   0de   x x 2 x 0 f 5 ( x)   0de   2 x6 6 dc 8 (8  c ) x tdc   de   0de  1 2 6 6 0 12 12  0  x0 2  x 0x2  24   4 1 f ( x)    ( x  2) 2  x  6  24 6  20 1  16 x  x 2   30       24 12  2  x8  x 6 x8 1 57. 0 a)  a x ce .bx dx  1 60 . C B x C ((1)  1  C  B B x   e  BU  x  / 0  1  e  BX f ( x)   Be  B 4 du  B 0 B    x 0 e dx  P(4  x)   b) B  1 / 4 x 4 1 x / 4 e 4 / x 4 si x  0  0.5) 2 0. 100 x cdx 1   1  c   2 x x   c 0   1 100 1    c  100 100  P  x  2000  2000 x 100dx 100 x 100    0 . f ( x)  ce 200 x   ce x 100 0 x x  x  1  200  200 dx  1 z  200c 0 e d  x  200ce 200 / x  1  200c (1)  1  c  0 1 200 x 1 100 su función densidad o función de probabilidad de f ( x)  e 200 probabilidades es :  x 1 e 100 dx    e 100  200 100  x P x  100   x    / x 100  e 1 / 2  0. 1  x  4 4  4 x  16 1  9  13 1  4 x  3  13 donde 9(9) será 61 .5 / 2 100 x 200 y 2000hr  200 docenas dolares P  n k p k q nk  P   4 2 (0.6065  f ( x)  0.375 60.5) 2 (1  0.6065 x 59.3679 x 58.  C 1  9  13  G(9)    D en otro caso  Hallando el valor de C 13  0 13 Cdx  1  c  dx  cx /1  12c  1  c  1 / 12 13 1  1 / 12 1  9  13  G (9)  0 en otro caso  61. 0 x  2     x( x  1)  2  x  1   f ( x) 0 1 x  0    ax  x 0  x  1   x2 0  y   xx  b 0ab  au 2 9  9x 2 1  au   9  2 a  2 a   ax /2 2 1 2 2 2 1 x  au 2 9 9 1 xx)  ( au  a )du   0du   au /  2   a  2a  2a  1 x  0 2 1 2 2 2 1 0 x 9   au 2  x 9  xxx)  ( au  a )du   0du    u  a  du   0  au  / 0 2 1 0 2 4  2    1 x )  (  au  9) du   x 9 9x 2   ax 2 4 1 xxx)  ( au  a )du  2  0du   0 1 0du  .0  x  1 1  (9 / 2u  a)du   0 x 1 9 du 2 59 9 x  4 2 62 . ....... (2) Reemplazando 1 en 2  1 – p = 0.2) (0. calcular: P[X  3].2 np = 3 n(0.4 q 2. P(x  3) = 1 [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)]  15 0 15 15 1 14 15 2 13 = 1 ..008796) + 105 (0.2) = 3  n  3  n = 15 0.002748)] = 1 – 0..- Si X ~ B(n.4 . p) tal que E(X) = 3 y V(X) 2.C 0 (0..8)  = 1 – [1(0.4 3 p = 1 – 0.2 p(x  3) = 1 – p (x < 3) = 0.......602 tabla.8 3q = 2.. x  2 0   2   ax  ax  2  2  x  1   a f ( x)    ax 2 / 4  9 x  2   5a  9 x  4 2   1  1 x  0 0  x 1 x2 MODELO BINOMIAL 1..8)  C 2 (0.. (1) V(x) = npq = 2.8)  C1 (0.2) (0..4 .035184) + 15 (0..8 q = 0....2) (0. SOLUCIÓN: E(x) = np V(x) = npq E(x) = np = 3 .3980232 63 .8 p = 0.. 25)9 (0.= 0. 0.011 Redondeando.- Un estudiante contesta al azar (o sea sin saber nada) a 9 preguntas.75) + C99 (0.25 = p p = probabilidad de contratar correctamente.75)3 + 36 (0. siendo cada una de 4 respuestas de las cuales sólo una es la correcta.25)7 (0. SOLUCIÓN: n = 9 preguntas con 40 opciones: = ¼ = 0.25)9 (0.25)8 (0. a) Determinar la distribución de probabilidades del número de preguntas contestadas correctamente. X  Binomial (9.75)2 + C8 (0. x  B(9.75)3 + C 7 (0.25) P (x  6) = P(x = 6) + p(x=7) + p(x = 8) + p(x = 9) 9 9 9 = C 6 (0.75) + (0. n (p) = 1 5 (c/s2) = 1  1 1=1 2.75) = 0. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?.25)6 (0. 0.75) = 84 (0.25)7 (0.25) Es decir de 4 opciones una correcta  p = 1/4 b) Para aprobar debe contestar correctamente al menos 6 preguntas es la probabilidad de contestar correctamente.6019797907 b) Solución: Valor más probable. 64 . b) Si para aprobar tal examen debe contestar correctamente al menos 6 preguntas.25)6 (0.25)8 (0.009945068 = 0. a) X : N° de preguntas contestados correctamente.75)2 + 9(0. SOLUCIÓN A – 75% Excepcional  60% adq.2  n = 5 p(x = 1) = C15 (0.75) = 0.80) = 0. b) ¿Cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra? SOLUCIÓN: X: N° de objetos defectuosos P(x = 1) = 0.23)2 65 .45 pB = 0. Si se seleccionan 4 unidades de la mercadería.2) (0.- El 75% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional. p) p (x =2) = C 42 (0. se espera que haya un defectuoso. ¿qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional?. a) calcular la probabilidad de que haya un objeto defectuoso. PA = 0.77 p = pA + pB = 0. la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.77)2 (0.2 N E = (x) = np = 1 n(0.77  p = 0.60 (0. mientras que el 80% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional.4096 4.2) = 1 n = 1/0. B X : N° de objetos de calidad excepcional.8)4 = 0.32 0. El 60% del total de la mercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si en una muestra de n de tales objetos escogidos al azar uno por uno.2.77  x  Binomial (4. A B – 80% Excepcional  40% adq.3.- En una producción.40 (0. 0.80 x 0. n=5 X : N° de trabajadores aptos para jubilarse P (x  2) P = 0.1) P(x  2) = 1 – p (x < 2) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1)]  = 1 .91854 = 0.9  0 5 4  = 1 – [(0.1  0.1  0.9  C15  0.77)2 (0. 66 .- SOLUCIÓN: 80% . De cinco solicitudes para jubilarse. .Mujeres  Jubilación 10% M. En caso contrario se rechaza. cuando contiene menos de dos unidades defectuosas.= 6(0.23)2 = 0.1881864 5. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas.1) (0.Hombres  Jubilación 10% H. según el número de unidades defectuosas que contienen.08146 6.70 1 0.C50  0.1 = 0.- La producción de cuatro máquinas es recogida en cajas de 5 unidades.9)5 + 5(0.1  X Binomial (5. 20% .1 + 0.00 La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada caja.- En una empresa de construcción civil donde los empleados son 80% hombres y 20% mujeres están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres.02 0. # de unidades defectuosas Porcentaje de cajas 0 0.05 4 5 0. ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse?. Se acepta una caja.08 3 0.9)4] = 1 – 0.20 x 0.15 2 0. 3)4] = 1 – 0.5)5 + 5 (0. # de unidades defectuosas Porcentaje de cajas 0 0.05 4 5 0. En caso contrario se rechaza.05) P(x  2) = 1 – p(x < 2) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1)] 0 5 1 4 5 5 = 1 .00 Acepta la caja si hay menos de 2 unidades defectuosas.70) P(x  2) = 1 – p(x 2) = 1 – [P(x = 0) + p(x = 1)] 0 5 1 4 5 5 = 1 .08 3 0.95)5 + 5(0.05   0. C0  0. 0.95)4 ] = 1 – 0.7) (0.Binomial (5.0225925 67 .3 + C1  0.a) ¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no contenga unidades defectuosas? b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga tres unidades defectuosas? SOLUCIÓN: 4 máquinas n = 5 unidades.3  = 1 – [(0.95   = 1 – [(0.03078 = 0. a) X : N° de unidades defectuosas.70 1 0.9774075 = 0.96922 b) P(x  2) X -----.05   0. C0  0. P(x  2) X ------.Binomial (5.05) (0.7   0.02 0. 0.95   C1  0.15 2 0.7   0. 4. Por cada uno.00 Por cada vendido gana S/. 2.6   C 3  0.4   0.6  0 15 1 14 2 13 3 12  = 0.2) b) E(x) = n p = 10 (0. 3 Por cada no vendido pierde S/. a) hallar la distribución de probabilidad de las unidades vendidas.- Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto eléctrico para viviendas básicas a $2 cada una.7. 0. 2. 3. 4. 2/5) p(x > 3) = 1 – p(x  3) = 1 – [p(x = 0) + p(x= 1 ) + p(x = 2) + p(x = 3)]  15  C15  0. Si al terminar el periodo nocturno de un día se han registrado 15 transacciones. 8.2) = S/.C15 0  0. a) X : N° de unidades vendidas: X  Binomial (10. 2.4   0.9094980976 68 .- Una computadora utilizada por un sistema bancario de 24 horas asigna cada transacción al azar y con igual probabilidad. ¿cuál es la probabilidad de que el número de transacciones efectuadas a las posiciones de memoria par sea mayor que 3? SOLUCIÓN: 1. b) calcular la utilidad esperada de( vendedor. 5.4   0. 5  p(x) = 1/5 n = 15  transacciones p((número par) = 2/5 = p(éxito)  X : Nº de transacciones a Nº par X  Binomial (15. gana 13$ si vende o pierde 1$ si no vende en el día . Si la probabilidad de venta de cada unidad es 0.2. 3.6  2  0. SOLUCIÓN: n = 10 S/.2 y si las ventas son independientes.6   C15 = 1 . y la ventas son independientes. 1 P (venta de c/unidad) = 0.4   0. a una de cinco posiciones de memoria: 1. 2. 1500. Si se realiza el experimento 20 veces bajo las mismas condiciones y asumiendo resultados independientes a) Calcular la probabilidad de lograr el objetivo por lo menos en tres de las 20 veces b) El costo de realizar el 'experimento es de S/.2   0. se retrasa 15 minutos en el 20% de las veces. . Calcular el costo esperado para realizar el experimento. si se logra el objetivo.15 de la mañana para dictar una carta. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la oficina entre las 8 y 8.15 p(x > 3) = 1 – p(x  3)  x Binomial (5.4.Al realizar un experimento.15 El gerente llama a la oficina entre los 8 y 8. 3000 si no se logra. no esta en la oficina de 8 a 8.15 X : Nº de días que llega tarde n=5  éxito. la probabilidad de lograr el objetivo es 0.8 0 5 = 1 – 0. y de S/. Calcular la probabilidad de que en 5 mañanas por lo menos una no encuentre a la secretaria.67232 10.32768 = 0.2) p(éxito) = 1/5 p(x  1) = 1 – p(x < 1) = 1 – p(x = 0) = 1 . 69 ..C50  0. 0.9. SOLUCIÓN: debe llegar a las 8:00 20% de las veces se retraza 15’  8.- Una secretaria que debe llegar a la oficina a las 8 de la mañana. 6   C 20 2  0. a) k=? X : Nº de respuestas correctas x --------Binomial (10.SOLUCIÓN: p(ÉXITO) = 0. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que responde al azar las 10 preguntas..4   0. Por cada pregunta mal contestada se descuenta k puntos.C 020  0.0036114721 = 0. tenga una nota mayor o igual a 11? SOLUCIÓN: n = 10 con cinco alternativas cada una de las cuales sólo una es correcta.Una prueba de aptitud consta de lo preguntas con cinco alternativas cada una.4   0.4) = 8 Costo = 1500x + 3000 (20 – x) E(costo) = E(1500x + 3000 (20 – x) = 1500 E(x) + 6000 – 3000 E(x) = 1500 (8) + 6000 – 3000 (8) E(costo) = 48000.6   C120  0.2) 70 . 0.  x  Binomial (20.9963885279 b) E(x) = np = 20(0. Cada pregunta correcta = 2 puntos.6  0 20 1 19 2 18  = 1 – 0.4 n = 20 a) X : N° de veces que se logra el objetivo. de las cuales sólo una es la correcta. 11. La calificación se realiza de la siguiente manera: Cada pregunta correctamente contestada vale 2 puntos.4) p(x  3) = 1 – p(x < 3) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)]  = 1 . 0. a) Determine el valor de k de tal manera que la nota esperada de un alumno que responde al azar las 10 preguntas sea cero.4   0. Cada pregunta incorrecta = -k puntos. 00046499 12. 71 . K(10-x) --------por cada respuesta incorrecta -k puntos.E(x) = n(p) = 0 X P(x) 0 1/5 1 1/5 E(x) = 0 + 1/5 = 1/5 E(x) = n (1/5) = 10(1/5) = 2 Nota = 2x – k (10 – x) 2x ----.por cada respuesta correcta 2 puntos.. % de clientes que habiendo hechos sus reservas se quedan sin viajar. Por lo tanto: E(Nota) = E[2x – k(10 – x)] E (Nota) = 2E(x) – 10k + kE(x) Pero la E(Nota) = 0 2E(x) 10k + k E(x) = 0 2(2) – 10k + k(2) = 0 4 – 8k = 0 k = 4/8 k = 0.8 3 p(x  6) = 0. Si la compañía decide acepar reservas por un 20% más de los 15 cupos que posee.2  7  0.2(15) = 3.5 b) P(Nota  11) = C710  0. 0. calcular el porcentaje de clientes que habiendo hechos sus reservas se quedarían sin viajar. X : Nº de cupones cubiertos. SOLUCIÓN: 20% no se efectivizan 20% más de los 15 cupones que posee.Una agencia de viajes observa que el 20% de las reservas de pasajes para viajar al interior no se hacen efectivas. El tiempo de duración X. f (x)   a) ¿Cuál es la probabilidad de que una de tales resistencias eléctricas dure más de 4 meses?.5e 0.865)10 72 .817  0.8 16  0.21  C1818  0.5 x .2(15) P(x > 15) -------------X Binomial (18.135 b) n = 10 x  B(10.2 2  C1817  0.5 x . p) 10 p(x = 0) = C0 (0.9 se tenga al menos uno que dure más de 4 meses? d) Si el costo de producción de una resistencia es: C = 2 + (30 .5 x  e 0. si x  0 en otro caso  0.8) P(x > 15) = p(x = 16) + p(x = 17) + p(x = 18) = C15 16  0. de un tipo de resistencia eléctrica tiene función de densidad de probabilidad:  0. en meses. ¿cuál es la probabilidad de que ninguna dure más de 4 meses?.2713418775 13. f ( x)   a) p(x > 4) =  0.818  0. c) ¿Cuántas resistencias se probarían para que con probabilidad igual a 0.5 x  4 = e-1/2(4) = e-2 = 0.2 0 = 0.. si x  0 en otro caso  0.135)0 (0.865)10 = (0.X)2 ¿Cuánto es el valor esperado del costo? SOLUCIÓN: X : tiempo de duración en meses  0. 0.N = 18 = 15 + 0.5e 0. b) Si se prueban lo resistencias eléctricas.5e 0. k = 0. 3.9 = p(x = 0) n 0.Una caja contiene 20 chips. SOLUCIÓN: f(x) = p(x = k) = C rk C nNkr ....865) = log (0. 20% (20) = 4 = r ...865) n = 16 modelo Hipergeométrica: 21. k = 0.k p[x = k] = .x  B(n.. b) Calcular la probabilidad de que al menos uno sea no apto para su venta..865)n (0.877 log (0. 1.. 1. 2. y el resto si.. Se escogen 5 chips al azar uno a uno sin reposición. N – r = 16 a) C 4k C16 5.9 1 – 0. n = 5 . 2.1) = 15. p) c) p(x  1) = 0.865)n = 0..1 n log (0. . C 520 b) p[x  1] = 1 – p(x < 1) = 1 – p(x = 0) C 04 C16 5 =1C 520 73 . a) Determine la distribución de probabilidad del número de chips escocidos que sean no aptos para su venta. C nN E(x) = np V(X) = NPQ N-n N 1 N = 20 20% no están aptos para su venta..1) n log (0.135)0 (0. 4. de los cuales el 20% no están aptos para su venta y el resto si..1 = C0 (0.. Si se prueban 3 tarjetas extraídas al azar una a una y sin reposición de un lote elegido al azar. Se escogen 5 ítems al azar de un lote y se rechaza el lote si se encuentra dos o más defectuosos. Calcular la probabilidad de aceptar un lote que tiene 3 defectuosos si los ítems se escogen uno por uno. en caso contrario se acepta el lote. 30% de marca A y 70% de marca B.2 n=5 a) Con sustitución. en la proporción.7372 b) Sin sustitución: N n r X  H (20.8)4 = 0.8)5 + C15 (0. calcular la probabilidad de no encontrar tarjetas defectuosas. 3.718266. 5) p(x  1) = C50 C15 C15 C15 2 2 + = 0. X  Binomial (5.2 (0. SOLUCIÓN: N = 20 p = 1/5 = 0.86 23.Un determinado producto industrial es embarcado en lotes de 20 unidades.. Se sabe que el porcentaje de producción defectuosa es de 40% para la marca A y de 1 0% para la marca B. b) sin reposición..859649 20 20 C3 C3 = 0. X : Nº de artículos defectuosos. 0.=1- C16 5 = 0. 2) 5 p(x  1) = C 0 (0. a) con reposición. C520 22. SOLUCIÓN: N = 10 74 .2)0 (0.Una ensambladora de computadoras recibe lotes de 10 tarjetas cada uno de un tipo específico. Un jurado de 9 jueces va a decidir la inocencia o culpabilidad de un reo. b) ¿cuál es la probabilidad de que ningún juez seleccionado esté a favor de la inocencia del reo?.0119 C93 75 . a) Calcular la media y la varianza del número de jueces de la selección que votan por la inocencia.. C 60 C 93 P(x = 0) = = 0. a)  = np = E (x) p = 6/9  6  =2  9 =3   2 = npq Nn N 1  6   3   10  3        9  9  9  =3  = b) 6  7 42   = = 0. Suponga que 6 votan por inocencia y el resto por culpabilidad.30%  A 70%  B % producción defectuosa es 40%  A % producción defectuosa es 10%  B n=3 X : Nº de tarjetas defectuosas. P(x = 0) 3 C 04 C36 7 C10 C93 10 C10 + 10 C10   3   3 p(x  0) de A p(x  0) de B 24. Si se seleccionan al azar 3 jueces y se pregunta por su voto.518518518 9  9 81 X : Nº de jueces que votarán a favor. SOLUCIÓN: X : Nº de jueces que votaron a favor.  = 0. Calcular la probabilidad de rechazar el envío si contiene 25% de piezas defectuosas.Un lote grande de N objetos manufacturados contiene el 10% dé unidades defectuosas. Del lote se seleccionan al azar 10 unidades una a una sin reposición. b) 0. se rechaza el lote. p(x  1) = 15 C15 C52 C15 C53 C15 1 C2 1 0 + + C320 C320 C320  C50 C15  3 20   C3  P(x < 1) = 1 . siendo el resto no defectuosos. 25%  20(0.25. 26. se rechaza el lote. 0. b) Si N = 1. Si en la muestra se encuentra al menos una defectuosa. SOLUCIÓN: N = 20 n=3 Si se encuentra al menor defectuoso... a) Determine la distribución de probabilidad del extraídos. calcular aproximadamente la obtenido a lo más un objeto defectuoso.1 N. El control de calidad de la Cía. 10). Rp. en caso contrario se acepta el lote. escocidos al 76 .7361. consiste en tomar una muestra de 3 piezas al azar sin reposición de este envío.000.6008. a) H(N. Cada semana se realiza un control de calidad seleccionando una muestra de 20 unidades del artículo. en caso contrario se eligen al azar 2 piezas adicionales.Una compañía recibe un envío de 20 piezas de un proceso de manufactura. Si en la segunda muestra se encuentra al menos una defectuosa.25) = 5 X : Nº de artículos defectuosos. 27. ¿cuántos objetos defectuosos se repite el experimento truchas veces?.- En una fábrica la producción semanal de cierto tipo de artículo es de 1000 unidades. Esperado = 1. aceptar si a lo más uno defectuoso.05 250 50 950 C50 0 C 20  C1 C19 = = C1000 20 28.. o rechazar que el porcentaje de producción defectuosa es 2% en caso contrario. 1000 (0. 50.05) = 50 X : Nº de artículos defectuosos. 20) p(aceptar) = p(x  1/p=0.2).. X  1 + (1000 .El número medio de automóviles que llegan a una garita de peaje es de 120 por hora. 77 .azar y sin reposición de la producción de la semana (1000 artículos) y adoptando la siguiente regla de decisión: aceptar que el porcentaje de producción defectuosa es 2% si en la muestra se encuentra a lo más un defectuoso. ¿cuál es la probabilidad de que se haya decidido aceptar que el porcentaje de producción defectuosa de una semana es 2% cuando en realidad fue 5% de los 1000 producidos? SOLUCIÓN: N = 1000 n = 20 r = 4 = 20 (0. Derive respecto a q ambos lados de q k 0 k  1 1 q MODELO POISSON 29.Verificar que:   kq k 1 k 1  1 (1  q ) 2  Rp. . b) Calcular la probabilidad de que en el período de 3 minutos lleguen más de 5 automóviles... e 2 ( 2) 0 = e-2 = 0.7449 78 . SOLUCIÓN:  = 120 por hora  en un minuto llegarán: 120  60 = 2  =2 X : Nº de automóviles que llegan a la garita de peaje.a) Calcular la probabilidad de que en un minuto cualquiera no llegue automóvil alguno.285056 = 0.  ’ =  t = 2(3) = 6. P(x = x) = e (x )x x! x = 0. P(x = 0)  = 2(3) = 6 e 6 (6) 0 p(x = 0) = = 0. calcular la probabilidad de que en un medio minuto dado lleguen más automóviles de lo que puede atender..  0! 1! 2! 3! 4!    36e 6 216 e 6 1296e 6     = 1 . P(x > 5) = 1 – p(x  4)  e 6 (6) 0 e 6 (6)1 e 6 (6) 2 e 6 (6) 3 e 6 (6) 4      =1. e  6e  2 6 24   6 6 = 1 – [e-6 + 6 e-6 + 18 e-6 + 36 e-6 + 54 e-6 ] = 1 – 115 e e-6 = 1 – 0. 1. . e) Si tal garita puede atender a un máximo de 3 automóviles en 30 segundos.002478 0!  ’ =  t = 2(3) = 6...135 0! a) p(x = 0) = b) Período de 3 minutos llegan más de 5 automóviles. 2.. Un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias por cm3. . Calcular la probabilidad de que no ocurran accidentes en 2 semanas consecutivas..367879 0!  ’ = t  = 2(3) = 6 p(x  1) = 1 – p (x = 0)  e 6 (0) 6   0!   =1.Suponga que el número de accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica sigue la ley de Poisson de manera que la probabilidad de que ocurran 2 accidentes es igual a 3/2 de la probabilidad de que ocurra un accidente.997521 31. SOLUCIÓN: X=3 a)  ’ = t  = 1/3(3) = 1 p(x = 0) = b) e 1 (0)1 = 0..30. a) de 1/3 de cm3 no contenga bacteria alguna.002478752177 = 0. b) de 2 cm3 contenga por lo menos una bacteria. . = 1 – 0. calcular la probabilidad de que una muestra. SOLUCIÓN: X : Nº de accidentes por semana p(x = 2) = 3/2 P(x = 1) p(x = 0) en 2 semanas p(x = 2) = 3 p (x = 1) 2 3  e  1  e   2 =   2  1!  2! 79 . 000 tiene una distribución de Poisson con una media de 3 clientes por día.000? SOLUCIÓN: Por más de S/.002478 x! 0! 32.1801370 33. ¿cuál es la probabilidad de que en dos de los días hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $ 10.Un banco atiende todos los días de 8am. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hasta el mediodía no se haya producido una solicitud de préstamo por más de $ 10. p = 0. 10..2e   2 3e    = 2 1 e   2 = 3 e  e   2 =3 e    =3 p(x = 0) = ?  ’ =  t = 2(3) = 6 p(x = 0) = e   x e 6 (6) 0 = = 0..000  ’ =  (t) = 3(1/2) = 3/2 p(x = 0) = b) e 3 / 2 30 = e-1. el valor esperado de la demanda se duplicará con 80 .5 = 0. y se sabe que el número de clientes por día que van a solicitar un préstamo por más de $10.000  Poisson con  = 3 a) p(x = 0) = ? X : Nº de cliente que solicitan préstamo por más de 10. Se estima que después de una campaña publicitaria.223 p(x = 2) = C 42 (0. a 4pm.777)2 = 0.000? b) En cuatro días.22313016 0! n = 4  Poisson con aproximación a la binomial.La demanda semana¡ de cierto producto tiene una distribución de Poisson Actualmente su media es 3 por semana.223)2 (0. . ¿cuál es la probabilidad de que después de la campaña la demanda sea igual a 4?..113829 34.8)  = 9 con p(0. b) Calcular el valor esperado de X.3.2e 9 24 = 2. 2.. SOLUCIÓN:  = 3 por semana. igual a 10 con probabilidad 0. etc.8)  = 9 con p(0.probabilidad 0.  = 6 con p(0.2) X : demanda después de la campaña p(demanda = 4.8 y se triplicará con probabilidad 0.2. donde k = 1..2e 9 (9) 4 + 4! 4! = 1036.2 a) Determinar P[X = k] . que puede ser: igual a 20 con probabilidad 0.  = 6 con p(0.. después de la campaña p(x = 4) = 0. después de la campaña p(x = 4) = 0. SOLUCIÓN:  = 3 por semana.8e 6 (6) 4 0.5.8e 6 (6) 4 0.2e 9 (9) 4 + 4! 4! 81 .. igual a 15 con probabilidad 0.8e 9  1312.161938 24 = 0.56997  0.El número de personas que cada día se aloja en un hotel es una variable aleatoria X que tiene distribución de Poisson con parámetro  .2) X : demanda después de la campaña p(demanda = 4. = 1036.8e 9  1312.2e 9 24 = 2.56997  0.161938 24 = 0.113829 X  Poisson Parámetro  20 con prob. 0.5 15 con prob. 0.3 10 con prob. 0.2 a) p(x = k) ; k = 1, 2, 3, ...... e  20 (20) k e 15 (15) k e 10 (10) k p(x = k) = + +   k!   k!   k! 0.5 p(x = k) = 0.3 0.2 e  20 (20) k = 0.5 k! e-20 (20)k = 0.5 k! e  20 (20) k = k! 5 4.1223 x 10-9 (20)k = k! E(x) = 1 p(1) +  2 p(2) +  3 p(3) = 20(0.5) + 15(0.3) + 10(0.2) = 16.5 35.- Cierto tipo de loceta puede tener un número X de puntos defectuosos que sigue una distribución de Poisson con una media de 3 puntos defectuosos por loceta. El precio de la loseta es $1 si X = 0, de $0.70 si X = 1 o 2, y de $0.1 si X>2. Calcular el precio esperado por loseta. SOLUCIÓN: X : Nº de puntos defectuosos. X  Poisson  = 3 82 Precio = S/. 1, Si: x = 0 0.70 Si x = 1 ó 2 0.1 Si x > 2 E(x) =  = ? e  0 P(x = 0) = = e-3 = 0.04979 0! e 3 31 e 3 32 P(x = 1) ó p(x = 2) = + 1! 2! 9e 3 =3e + 2 -3 = 7.5 e-3 = 0.3734 p(x > 2) = 1 – p(x 2) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)] = 1 – [0.04979 + 0.3734] = 0.5768098188 E(x) = 0.37 X= Precio 0 1 0.049 1 0.7 2 0.7 3 0.1 36.- El número de usuarios que acuden a cierta base de datos confidencial sigue una distribución de Poisson con una media de dos usuarios por hora. a) Calcular la probabilidad de que entre las 8 am. y el mediodía (1 2.m) acudan más de dos usuarios. b) Si un operador de la base de datos trabaja todos los días de 8 am. hasta el mediodía (12.m), ¿cuál es la probabilidad de que este operador tenga que esperar más de 7 días hasta observar el primer día en el cual acceden más de dos usuarios'?. SOLUCIÓN: 83  = 2 por hora.  ' =  t = 2(4) = 8 x  Poisson X : Nº de usuarios que acuden a cierto base de datos confidencial. P(x > 2) = 1 – p(x  2) = 1 – p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)  e 3 80 e 8 81 e 8 82    =1-   1! 2!   0 = 1 – [e-8 + 8 e-8 + 32 e-8] = 1 – [41 e-8] = 1 – 0.01375396774 = 0.986246 b) X  Geométrica (p) donde: p = 0.986 p(x > 7) = qa = (1 – 0.986)7 = (0.014)7 = 1.05414 x 10-13 37.- Cierta panadería dispone de una masa con frutas concitadas para hacer 200 panetones. Agrega 2,000 pasas de uvas a la masa y la mezcla bien. Suponga que el número de pasas es una variable aleatoria de Poisson con un promedio 10 pasas por panetón. a) Calcular la probabilidad de que un panetón elegido al azar no contenga ninguna pasa. b) ¿Cuántos panetones se espera que contengan 6 pasas? c) Suponga que en tal producción hay 15 panetones con a 1º más 6 pasas, si un cliente adquiere 5 panetones, ¿cuál es la probabilidad de que dos tengan más de 6 pasas?. SOLUCIÓN: N = 200 panetones X : N° de pasas por panteón: 84 X  Poisson  = 10 a) p(x = 0) = e 10 10 0 = e-10 = 4.54 x 10-5 0 b) p(x = 6) = e 10 10 6 = 0.063055 6! np = 200 (0.063055) = 12.61  13 r = 15 con a lo más 6 pasas N = 200 n=5 k=2 p(2 contengan 6 pasas) X :  Distribución Hipergeométrica 185 C15 3 C2 P(x = 6) = C5200 38.- Una compañía de seguros encuentra que el 0. 1 % de los habitantes de una gran ciudad fallece cada año en accidentes de tránsito. Calcular la probabilidad que la compañía tenga que pagar en un año a más de 10 de sus 3,000 asegurados contra tales accidentes. SOLUCIÓN: 0.1% de los habitantes fallecen cada año. P(x > 10) ;  = 0.001 (3000) X : Nº de clientes asegurados contra accidentes de tránsito. P(x > 10) = 1 – p(x  10) e   x  x! x 0 10 =1-  = 0.001 (3000) = 3  p(x > 10) = 1 - e 3 3x  x! x 0 10 85  x1 : N° de páginas con por lo menos k + 1 errores.5 e-5 = 18.001 X : Nº de soldaduras defectuosas.  = 5000 (0.001) Si aproximamos a la Poisson.001) = 5 p(x  2) = p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2) = e 5 50 e 5 51 e 5 52 + + 0! 1! 2! = e-5 + 5 e-5 + 12.  x1  Binomial (n. SOLUCIÓN: n páginas  Errores en promedio.Suponga que la probabilidad de que se haga una soldadura defectuosa en un conexión dada es 0.  = 1 ..0029 39.5 e-5 = 0.99971 Tabla = 0. 0.001.124652 40. p) p = p(x1  k+1) 86 . Calcular la probabilidad que por lo menos una página contenga por lo menos k + l errores.0.000 conexiones X  Binomial (5000 .000 conexiones soldadas independientemente. p(una página contenga por lo menos k + 1 errores) p(x  k+1) = ?  x Poisson. P(x  2).Un libro de n páginas contiene en promedio k errores de impresión por página.. Calcular la probabilidad de que se presenten a lo más 2 defectos en un sistema que tiene 5. N = 5. SOLUCIÓN: p(x = soldadura defectuosa) = 0. La probabilidad de que por lo menos una página contenga k + 1 errores es: P(x1  1) = 1 p (x < 1)  = 1 .C = 1 – p(x = 0) n 0 n = 1 .C0 p q n 0 qn   87 . 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