ProbabilidadUNIDAD I PROBABILIDAD La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento. Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cuál es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4. El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aun realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cuál de los resultados se va a presentar: Ejemplo: lanzamos una moneda al aire; el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cuál de ellos va a salir. Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleatorio hay que definir una serie de conceptos: Espacio muestral: Es el conjunto de resultados posibles al realizar un experimento, lo denotaremos con la letra S. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles). Ejemplo: Si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz; es decir: S={cara, cruz} Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral sería: S={(cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz)}. Al lanzar un dado, el espacio muestral es: S={1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento o suceso: Es cualquier subconjunto del espacio muestral Jorge Tuapanta 1 Probabilidad Al lanzar un dado y obtener un número par, los casos favorables son: A={2, 4, 6} Conteo: A veces es muy difícil o tedioso, determinar el número de elementos en un espacio muestral al tratar de enlistar cada uno de los elementos del conjunto S. Por ejemplo al lanzar cuatro monedas al aire. ¿Cuál es el espacio muestral?. Hay muchas posibilidades, y es posible, que si no se tiene cuidado se omita una, para evitar este problema, es útil dibujar un diagrama de árbol, como el de la figura M1 M2 M3 M4 C CCCC C S CCCS C C CCSC S S CCSS C C CSCC C S CSCS S C CSSC S S CSSS C SCCC C S SCCS C C SCSC S Jorge Tuapanta 2 Probabilidad S SCSS S C SSCC C S SSCS S C SSSC S S SSSS El espacio muestral S estará constituido de las 16 posibilidades de la última columna. Para determinar el número de combinaciones, se puede tomar en cuenta que para cada moneda hay dos ramas, por lo que al multiplicar 2.2.2.2=16 combinaciones de rutas. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CONTEO: Si los conjuntos A1 , A 2 , A 3 ,...A k contienen, respectivamente n 1 , n 2 , n 3 ,...n k elementos, hay n1 . n 2 . n 3 ....n k formas de elegir primero un elemento de A 1 , luego un elemento de A 2 , y finalmente un elemento de A k . EJEMPLO ¿En cuántas formas diferentes un grupo con 20 socios puede elegir a un presidente, vicepresidente, secretario y tesoro? Solución Al presidente puede elegirse de 20 socios, al vicepresidente de 19, al secretario de 18 y finalmente al tesorero de 17, en conjunto existen 20.19.18.17=116280 formas en las que se puede hacer la elección total. Jorge Tuapanta 3 Probabilidad En general, si se eligen r objetos de un conjunto de n objetos distintos, cualquier arreglo u orden particular de dichos objetos se llama permutación. TEOREMA: El número de permutaciones de r objetos seleccionados de un conjunto n! de n objetos distintos es: Pn,r (n - r) ! EJEMPLO Un mecanismo de control electrónico requiere 5 chips de memoria distintos, pero intercambiables. ¿ En cuantas formas puede ensamblarse este mecanismo al colocar los 5 chips en las 5 posiciones dentro del controlador? Solución 5! En nuestro ejercicio n=5 y r=5, por lo que hay: P5,5 120 formas de (5 - 5) ! ensamblar los chips. COMBINACIONES Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el orden. Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3. Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez. Para calcular el número de combinaciones de n objetos tomados r a la vez se aplica la siguiente fórmula: Jorge Tuapanta 4 Probabilidad m m! C m,r r r ! (m - r) ! EJEMPLO Las combinaciones de 10 elementos tomados 4 a la vez es: 10 10 ! C10, 4 210 4 4 ! (10 - 4) ! Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. TAREA: RICHARD A. JOHSON, (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. P. 55, ejercicios: 3.15; 3.18; 3.19; 3.21, 3.22, 3.26 CONCEPTO CLÁSICO DE PROBABILIDAD Si hay m posibilidades igualmente probables, de las cuales debe ocurrir y s se considera como favorables, o como “éxito”, entonces la probabilidad de un éxito está s dado por . m La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%): a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = 1 / 6 = 0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: Jorge Tuapanta 5 Probabilidad P(A) = 3 / 6 = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%) c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: P(A) = 4 / 6 = 0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%) Si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso "cruz" el 0%. Si lanzo diez veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7 veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se habría reducido al 70%. Si repito este experimento un número elevado de veces, lo normal es que las probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos según el modelo frecuentista. Probabilidad de sucesos Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades. a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene. Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b). P(A) = 1/6 = 0,166 P (B) = 3 / 6 = 0,50 Jorge Tuapanta 6 Probabilidad Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b). b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas. Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos. P(A) = 3 / 6 = 0,50 P (B) = 3 / 6 = 0,50 c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elementos comunes. EJEMPLO 1 Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cuál de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). Solución: El caso favorable es tan sólo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es decir, determinamos todas las posibles alternativas de 3 caballos que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones Por lo tanto, los casos posibles son: 12 ! C12,3 220 3 ! (12 - 3) ! Jorge Tuapanta 7 Probabilidad Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es: 1 P( A) 0,00455 220 EJEMPLO 2 Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta. Solución: El caso favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer lugar, colocados en su orden correspondiente. Los casos posibles se calculan ahora como permutaciones (ya que el orden influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3 primeras posiciones. 12 ! P12, 3 1320 (12 - 3) ! Por lo que la probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es: 1 P( A) 0,00076 1320 Menor que en el ejemplo 1. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada. Axiomas de probabilidad: A1: 0 P( A) 1 A2: P(S ) 1 Jorge Tuapanta 8 Probabilidad A3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes en S, entonces P( A B) P( A) P( B) . Si un experimento tiene k resultados posibles y mutuamente excluyentes, entonces k se cumple que p i 1 i 1 TEOREMA: Si A es un evento en el espacio muestral finito S, entonces P(A) es igual a la suma de las probabilidades de los resultados individuales que comprende A. TEOREMA: Si A y B son eventos en el espacio muestral S, entonces P( A B) P( A) P( B) P( A B) . TEOREMA: Si A es un evento en S, entonces P A 1 P( A) TAREA: RICHARD A. JOHSON, (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. P. 644-65, ejercicios: 3.31; 3.33; 3.34; 3.35, 3.46, 3.47, 3.48 PROBABILIDAD CONDICIONAL La probabilidad condicional se calcula una vez que se ha incorporado información adicional a la situación de partida: Si A y B son eventos cualesquiera de S y P( A) 0 , la probabilidad condicional de B dado A es: P( A B) P( B / A) P( A) EJEMPLO En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10 (probabilidad a priori). Además, la probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) Jorge Tuapanta 9 Probabilidad es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05. Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P (B/A)). P (B y A) = 0,05 P (A) = 0,25 P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20 Por lo tanto, la probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad a priori o menor. TEOREMA.- Si A y B son eventos cualesquiera de S, entonces P( A B) P( A).P( B / A) P( A) 0 P( B).P( A / B) P( B) 0 TEOREMA.- Dos eventos A y B son independientes, si y solo si P( A B) P( A).P( B) EJEMPLO Dos cartas se extraen al azar de un mazo ordinario de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas de ases si a) La primera carta se sustituye antes de sacar la segunda carta b) La primera carta no se sustituye antes de sacar la segunda Solución Jorge Tuapanta 10 Probabilidad a) Para el primer caso (evento A), sabiendo que hay 4 ases entre las 52 cartas se 4 4 1 tiene que: P( A) . . 52 52 169 b) En el segundo caso (evento B), solo hay tres ases entre las 51 cartas, después de 4 3 1 sacar una as de las 52, entonces P( B) . . 52 51 221 Como se puede ver los resultados son distintos, esto significa que la independencia se viola cuando el muestreo se realiza sin reemplazo. Regla de probabilidad total TEOREMA.- Si B1 , B 2 , B3 ,...Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces n P( A) P( Bi ). P( A / Bi ) i 1 Teorema de Bayas TEOREMA: Si B1 , B 2 , B3 ,...Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, entonces P( Br ). P( A / Br ) P( Br / A) n P( B ). P( A / B ) i 1 i i Para r=1,2,3…n. La expresión del numerador es la probabilidad de alcanzar A vía la r-ésima rama del árbol y que la expresión del denominador es la suma de las probabilidades de alcanzar A vía las n ramas del árbol. EJEMPLO Jorge Tuapanta 11 Probabilidad Un fabricante de videograbadoras (VCR) compra un circuito integrado, el LS-24, de tres proveedores. Un 30% de los circuitos LS-24 se compran a Hall Electronics, 20% a Schuller Sales, y el 50% restante a Crawford Components. Por el historial de los proveedores se sabe que el 3% de los circuitos LS-24 de Hall Electronics resultan defectuosos, que el 5% de los circuitos de Schuller Sales son no aceptables, y 4% de los de Crawford Components tiene defectos. Cuando los circuitos integrados LS-24 llegan al fabricante, se colocan directamente en un contenedor, y no son inspeccionados por el proveedor. Un trabajador selecciona uno para su instalación en una VCR, y lo encuentra defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por Schuller Sales? Solución Por el enunciado del problema existen tres eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: A 1 : El circuito LS-24 se compró a Hall Electronics A 2 : El circuito LS-24 se compró a Schuller Sales A 3 : El circuito LS-24 se compró a Crawford Components Las probabilidades a priori son: P( A1 ) 0.30 P( A2 ) 0.20 y P( A3 ) 0.50 La información adicional es: B 1 : que el circuito LS-24 sea defectuoso B 2 : que el circuito LS-24 no sea defectuoso Probabilidades condicionales P( B1 / A1 ) 0.03 P( B1 / A2 ) 0.05 y P( B1 / A3 ) 0.04 Jorge Tuapanta 12 Probabilidad Dado que los circuitos integrados no están identificados se desea determinar la probabilidad de que el circuito defectuoso sea de los comprados a Schuller Sales. Esta probabilidad se expresa como P( A2 / B1 ) . Construyamos un diagrama de árbol PROBABILIDAD PROBABILIDAD A PRIORI CONDICONAL PROBABILIDAD CONJUNTA P(B1/A1)=0,03 B1 P(A1 y B1)=P(A1).P(B1/A1)=(0,30)(0,03)=0,009 A1 P(A1)=0,30 P(B2/A1)=0,97 B2 P(A1 y B2)=P(A1).P(B2/A1)=(0,30)(0,97)=0,291 P(B1/A2)=0,05 B1 P(A2 y B1)=P(A2).P(B1/A2)=(0,20)(0,05)=0,010 P(A2)=0,20 F A2 P(B2/A2)=0,95 B2 P(A2 y B2)=P(A2).P(B2/A2)=(0,20)(0,95)=0,190 P(A3)=0,50 P(B1/A3)=0,04 B1 P(A3 y B1)=P(A3).P(B1/A3)=(0,50)(0,04)=0,020 A3 P(B2/A3)=0,96 B2 P(A3 y B2)=P(A3).P(B2/A3)=(0,50)(0,96)=0,480 La probabilidad de que el circuito LS-24 defectuoso provenga de Schuller Sales lo podemos hallar aplicando el teorema de Bayas. P( A2 ) P( B1 / A2 ) P( A2 / B1 ) P( A1 ) P( B1 / A1 ) P( A2 ) P( B1 / A2 ) P( A3 ) P( B1 / A3 ) (0,20)(0,05) 0,010 (0,30)(0,03) (0,20)(0,05) (0,50)(0,04) 0,039 P( A2 / B1 ) 0,2564 TAREA: RICHARD A. JOHSON, (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. P. 75, ejercicios: 3.61 a 3.66 Jorge Tuapanta 13 Probabilidad UNIDAD II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Definición.- Una variable aleatoria (v.a.) es una función que asocia un valor numérico a cada elemento del espacio muestral Las variables aleatorias se denotan con letras mayúsculas X, Y, Z etc., para distinguirlas de los valores dados en minúsculas x, y, z etc. EJEMPLO 1 El espacio muestral que describe los resultados de probar tres componentes eléctricos son: S NNN , NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD donde N representa no defectuoso y D defectuoso. Si definimos la variable aleatoria X como el número de defectuosos que se presentan, entonces a cada resultado del espacio muestral se le asigna un valor numérico x 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3 . EJEMPLO 2 Un conjunto de componentes llegan a la línea de ensamble y se les clasifica como defectuosos y no defectuosos. Definamos la variable aleatoria X como: 1 si el componente es defectuoso X 0 si el componente no es defectuo La variable aleatoria en la que se elige 0 y 1 para describir dos posibles valores, se denomina variable aleatoria de Bernoulli. Jorge Tuapanta 14 Probabilidad EJEMPLO 3 Sea X la variable aleatoria definida como el tiempo de espera en horas, entre conductores sucesivos que exceden los límites de velocidad detectados por una unidad de radar. La variable aleatoria X toma todos los valores x 0 . Definición.- Si un espacio muestral tiene un número finito de posibilidades, se llama espacio muestral discreto. Definición.- Si un espacio muestral tiene un número infinito de posibilidades, se llama espacio muestral continuo. Una variable aleatoria se llama discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles. Si la variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua En la práctica, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, por ejemplo: medidas de peso, alturas, temperaturas, distancias, etc.; las variables aleatorias discretas representan datos por conteo, por ejemplo número de accidentes por año en sector determinado, número de artículos defectuosos en una muestra de k artículos, etc. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD Las probabilidades de una variable aleatoria discreta X, se representan usando una función de los valores numéricos x, y lo denotamos con f(x), g(x), h(x), etc.; es decir: f ( x) P X x Al conjunto de pares ordenados x, f ( x) se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, si para cada resultado posible x, se cumple que: 1) f ( x) 0 Jorge Tuapanta 15 Probabilidad 2) f ( x) 1 x 3) P X x f (x) EJEMPLO 1 Un embarque de 8 minicomputadores similares contienen tres que están defectuosos. Si hacen una compra al azar de dos de estos minicomputadores, halle la función de probabilidad para el número de defectuosos. Solución Sea X una v.a. cuyos valores x son los números posibles de computadores defectuosos que compran. Entonces la función de probabilidad quedaría definida como: 3 5 x 2 x f ( x) , x 0, 1, 2 8 2 Es decir: x 0 1 2 f(x) 5 15 3 14 28 28 EJEMPLO 2 Una agencia automotriz vende 50% de su inventario de cierto vehículo equipado con bolsas de aire. Encuentre la función de probabilidad del número de autos con bolsas de aire entre los siguientes 6 vehículos que vende la agencia. Solución Jorge Tuapanta 16 Probabilidad Al vender un vehículo hay dos posibilidades que se venda uno equipado con bolsa de aire o sin ella, entonces el número total de posibilidades es: 2 6 = 64. El evento de vender x modelos con bolsas de aire y 6-x sin bolsa de aire puede ocurrir en C4,x formas, donde x puede tomar valores de 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Entonces la función de probabilidad f ( x) P X x es: 6 x f ( x) , x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 64 Definición.- La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria X con función de probabilidad f(x) es: F ( x ) P X x f (t ), - x t x EJEMPLO 1 Halle la función de distribución acumulada de la v.a. X cuya función de probabilidad está definida por: 1 1 3 1 1 f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) 16 4 8 4 16 3 Y pruebe mediante F(x) que: f ( 2) 8 Solución 1 F (0) f (0) 16 5 F (1) f (0) f (1) 16 11 F (2) f (0) f (1) f (2) 16 Jorge Tuapanta 17 Probabilidad 15 F (3) f (0) f (1) f (2) f (3) 16 F (4) f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) 1 Entonces: 0 x 0 1 0 x 1 16 5 1 x 2 16 F ( x) 11 2 x 3 16 15 3 x 4 16 1 x 4 11 5 3 Por lo tanto f (2) F (2) F (1) 16 16 8 EJEMPLO 2 La función de probabilidad de la v.a. X, el número de imperfecciones por 10 m de una tela sintética en rolos continuos de ancho uniforme está dado por: x 0 1 2 3 4 f(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 Halle F(x). EJEMPLO 3 k Sea f ( x) una función de probabilidad de una v.a. X que puede tomar los 3x valores x 0, 1, 2, 3 ,4 . Halle el valor de K y F(x). Jorge Tuapanta 18 Probabilidad DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, con dos resultados posibles: éxito o fracaso, por ejemplo, en una prueba de artículos a medida que salen de una línea de ensamble, cada experimento puede indicar si un artículo está defectuoso o no. En experimentos como el anterior se desea determinar la probabilidad de obtener x éxitos y n-x fracasos en n ensayos. Procesos como el anterior que están compuestos n de ensayos, conocidos como ensayos Bernoulli, deben cumplir las siguientes propiedades: 1) Para cada ensayo solo hay dos posibles resultados éxito o fracaso 2) La probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo 3) Los resultados de los diferentes ensayos son independientes Si no se cumplen las propiedades, no se aplica la teoría desarrollada. El número de x éxitos en n experimentos Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. Distribución binomial: Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito de probabilidad p y un fracaso con probabilidad q = 1-p .Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, de x éxitos en n ensayos independientes es: n b( x, n, p) p x q nx , x 0,1,2,..., n x EJEMPLO 1 La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es ¾. Suponiendo que las pruebas son independientes, encuentre la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben. Solución 3 3 1 Se sabe que p y q 1- , entonces: 4 4 4 Jorge Tuapanta 19 Probabilidad 4 3 1 2 2 3 27 b(2, 4, ) 4 2 4 4 128 EJEMPLO 2 Se afirma que en 60% de todas las instalaciones de calefacción solar, la facturación del servicio se reduce en al menos un tercio. En concordancia, ¿cuáles son las probabilidades de que tal factura se reducirá en al menos un tercio en: a) Cuatro de cinco instalaciones b) Al menos cuatro de cinco instalaciones c) Como máximo 3 de cinco instalaciones Solución a) x 4, n 5 y p 0,60 5 b(4, 5, 0,60) 0,60 0,40 0,259 4 4 1 b) x 4 y 5, n 5 y p 0,60 5 5 b(4, 5, 0,60) b(5, 5, 0,60) 0,60 0,40 0,60 0,40 4 1 5 0 4 5 0,259 0,078 0,337 c) Hállelo n Dado que p+q=1, se tiene que: b( x, n, p) 1 , una condición que debe ser x0 válida para cualquier distribución de probabilidad. Si queremos hallar P( X x) o P(a X b) utilizaremos la distribución binomial acumulada: Jorge Tuapanta 20 Probabilidad x B( x, n, p) b( x, n, p), x0 x 0, 1, 2, ..., n Puesto que las dos probabilidades acumuladas B( x, n, p) y B( x 1, n, p) difieren por el término individual b( x, n, p) se tiene que: b( x, n, p) B( x, n, p) B( x 1, n, p) donde B(-1) = 0. NOTA: Para valores de n muy grandes nos apoyaremos en las tablas de la distribución binomial acumulada. EJEMPLO 1 La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es 0,4. Si se sabe que 15 personas contraen tal enfermedad. Halle la probabilidad de que: a) Sobrevivan al menos 10 b) Sobrevivan de 3 a 8 c) Sobrevivan exactamente 5 Solución Sea X el número de personas que sobreviven a) P( X 10) 1 P( X 10) 1 B(9; 15; 0,4) 1 0,9662 0,0338 8 8 2 b) P(3 X 8) b( x,15;0,4) b( x,15;0,4) b( x,15;0,4) x 3 x0 x0 B(8,15;0,4) B(2,15;0,4) 0,9050 0,0271 0,8779 c) P( X 5) b(5,15;0,4) B(5,15;0,4) B(4,15;0,4) Jorge Tuapanta 21 Probabilidad 0,4032 0,2173 0,1859 EJEMPLO 2 Un fabricante de discos duros externos afirma que tan solo 10% de sus dispositivos requieren reparaciones dentro de periodo de garantía de 12 meses. Si 5 de 20 de sus discos requieren reparaciones dentro del primer año, ¿esa tendencia apoya o refuta su afirmación? Solución Hallemos la probabilidad de que al menos 5 de los 20 discos requerirán reparaciones dentro de un año. P( X 5) 1 P( X 5) 1 B(4; 20; 0,1) 1 0,9568 0,0432 La probabilidad hallada es pequeña, por lo que se rechaza la afirmación del fabricante de discos duros. TEOREMA: La media y varianza de la distribución binomial b( x; , n, p) son np y 2 npq EJEMPLO 1 Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial del ejemplo 1 de los pacientes sujetos a una rara enfermedad. (15)(0,4) 6 y 2 (15)(0,4)(0,6) 3,6 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA La distribución hipergeométrica se basa en el muestreo que se realiza sin reemplazo, por lo que no requiere independencia entre las pruebas. Jorge Tuapanta 22 Probabilidad En general, nos interesa la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos considerados como éxito y n-x fracasos de los N-k artículos que se consideran fracasos cuando una muestra aleatoria de tamaño n se selecciona de N artículos. Esto se conoce como un experimento hipergeométrico; es decir, aquel que posee las siguientes propiedades: 1) Se selecciona una muestra de tamaño n sin reemplazo de N artículos 2) K de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N-k se clasifican como fracasos. El número X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable aleatoria hipergeométrica. Distribución hipergeométrica: La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos, en los que k se denomina éxito y N-k fracaso, es: k N k x n x h( x; n, k , N ) , x 0,1,2,..., n N n EJEMPLO 1 Una compañía con base en Internet que vende accesorios con descuento para teléfonos celulares a menudo embarca un número excesivo de productos defectuosos. La compañía necesita un mejor control de calidad. Suponga que tiene a la mano 20 cargadores para automóvil idénticos, pero que 5 están defectuosos. Si la compañía decide seleccionar al azar 10 de dichos artículos, ¿cuál es la probabilidad de que 2 de los 10 estén defectuosos? Solución Se tiene que x 2, n 10, k 5 y N 20 entonces: Jorge Tuapanta 23 Probabilidad 5 15 2 8 h(2; 10, 5, 20) 0,348 20 10 EJEMPLO 2 Resuelva el ejemplo anterior 100 cargadores de automóvil, de los cuales 25 son defectuosos, usando: a) Usando la fórmula para la distribución hipergeométrica b) Usando la fórmula para la distribución binomial como una aproximación. Solución a) Como x 2, n 10, k 25 y N 100 entonces: 25 75 h(2; 10, 25, 100) 0,292 2 8 100 10 25 b) Se tiene que x 2, n 10, p 0,25 entonces: 100 10 b(2; 10, 0,25) 0,25 0,75 0,282 2 8 2 La diferencia entre los dos valores obtenidos en los literales es de 0,10. En general, se demuestra que h(x, n, k, N) tiende a b(x, n, p) con k cuando p N N , se puede usar la distribución binomial como una aproximación a distribución hipergeométrica si n N . 10 TEOREMA: La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(x, n, k, N) nk nk k N n son y 2 1 . . N N N N 1 Jorge Tuapanta 24 Probabilidad TAREA: Richard A.J. (2012). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Pag. 91- 93 desde el 4.7 al 4.29 los impares. Además, en todos los ejercicios de la tarea halle la media y la varianza. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y GEOMÉTRICA Distribución binomial negativa: Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en la que ocupa el k-ésimo éxito, es x - 1 k xk b* ( x, k, p) p q , x k, k 1, k 2,... k - 1 EJEMPLO En la serie de campeonato de la NBA, el equipo que gane cuatro juegos de siete será el ganador. Suponga que el equipo A tiene una probabilidad de 0,55 de ganarle al equipo B, y que ambos equipos, A y B, se enfrentan entre sí en los juegos de campeonato. a) ¿Cuál es la probabilidad que el equipo A gane la serie en seis juegos? b) ¿Cuál es la probabilidad que el equipo A gane la serie? c) Si ambos equipos se enfrentan entre sí en una serie regional de play-off y el ganador es quien gana tres de cinco juegos, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo A gane un juego de play-off? Solución a) Como x 6, k 4 y p 0,55 entonces: Jorge Tuapanta 25 Probabilidad 5 b* (6, 4, 0.55) (0,55) 4 (0,45) 64 0,1853 3 b) Sea G el evento, el equipo A gana la serie de campeonato, entonces: P(G) b* (4, 4, 0.55) b* (5, 4, 0.55) b* (6, 4, 0.55) b* (7, 4, 0.55) 0,0915 0,1647 0,1853 0,1668 0,6083 c) Sea O el evento, el equipo A gana el juego de play-off, entonces: P(G) b* (3, 3, 0.55) b* (4, 3, 0.55) b* (5, 3, 0.55) 0,1664 0,2246 0,2021 0,5931 Distribución geométrica: Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con probabilidad q=1-p, entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba en el ocurre el primer éxito, es g ( x; p) p q x-1 , x 1, 2, 3,... EJEMPLO Se sabe que en cierto proceso de fabricación, en promedio, uno de cada 100 artículos está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto artículo que es inspeccionado sea el primer defectuoso que se encuentra? Solución Como x 5, p 0,01 entonces g (5; 0.01) (0,01)(0,99) 0,0096 4 Jorge Tuapanta 26 Probabilidad TEOREMA: La media y la varianza de una variable aleatoria que sigue la distribución 1 1 p geométrica son: , 2 p p2 DISTRIBUCIÓN DE POISSON Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o una región específica, se llaman experimentos de Poisson. Un experimento de Poisson se deriva del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades. 1) El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto. 2) La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3) La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante. El número X de resultados que ocurren durante un experimento de Poisson se llama variable aleatoria de Poisson. Distribución de Poisson: La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo dado o región específica se denota con t, es e t t x p ( x, t ) , x 0, 1, 2, ... x! Jorge Tuapanta 27 Probabilidad donde λ es el número promedio de resultados por unidad de tiempo, distancia área o volumen, y e 2,71828... r La distribución acumulada de Poisson está definida por: P (r; t ) p ( x; t ) x0 EJEMPLO 1 Durante un experimento de laboratorio el número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 partículas entren en el contador en un milisegundo dado?. Solución Se tiene que 4, t 1, x 6 entonces: e 4 (4) 6 6 5 p (6; 4) p ( x; 4) p ( x; 4) 0,8893 0,7851 0,1042 6! x0 x0 EJEMPLO 2 Si un banco recibe en promedio 6 cheques malos por día. Determine la probabilidad de que recibirá: a) 4 cheques malos cualquier día dado b) 10 cheques malos durante cualesquiera 2 días consecutivos Solución a) Como 6, t 1, x 4 se tiene que: e 6 (6) 4 4 3 p (4; 6) p ( x; 6) p ( x; 6) 0,2851 0,1512 0,1339 4! x0 x0 b) Dado que 6, t 2, x 10 entonces: Jorge Tuapanta 28 Probabilidad e 12 (12)10 p (10; 12) P(10,12) P(9,12) 0,3472 0,2424 0,1048 10 ! EJEMPLO 3 En la inspección de la placa de hojalata producida por un proceso electrónico continuo, 0.2 imperfecciones se marcan por minuto, en promedio. Encuentre las probabilidades de marcar: a) Una imperfección en 3 minutos b) Al menos dos imperfecciones en 5 minutos c) Cuando mucho una imperfección en 15 minutos Solución a) Como 0,2, t 3, x 1 se tiene que: e 0.6 (0,6)1 p (1; 0.6) 0,329 1! b) Dado que 0.2, t 5, x 2 entonces: P(X 2) 1 - P(X 1) 1 - P(1, 1.0) 1 0,736 0,264 c) 0.2, t 15, x 1 P(X 1) P(1, 3.0) 0,199 TEOREMA: Tanto la media como la varianza de la distribución de Poisson p ( x; t ) tienen el valor t , es decir: t 2 TEOREMA: Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad permanece constante, b ( x; n, p) .Cuando n , p 0, y np n Jorge Tuapanta 29 Probabilidad p ( x; ) b ( x; n, p) n EJEMPLO 1 En ciertas instalaciones industriales los accidentes ocurren con muy poca frecuencia. Si se sabe que la probabilidad de un accidente en cualquier día dado es de 0,005 y los accidentes son independientes entre si: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier periodo dado de 400 días habrá un accidente en un día? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que haya a lo más tres días con un accidente? Solución a) Sea X una v.a. binomial con n 400 , p 0,005 y (400)(0,005) 2 . Con la aproximación de Poisson e 2 (2)1 P(X 1) p (1; 2) 0,271 1! b) P(X 3) P (3; 2) 0,8571 TAREA: Walpole, Myers, Myers, Ye (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Pag. 166-168 los ejercicios: 5.69; 5.71; 5.75; 5,79; 5.81; 5.82; 5.84; 5.85; 5.86; 5.87; 5.91; 5.93; 5.97; 5.98 y 5.99. Jorge Tuapanta 30