Estatística para Cursos de Engenharia e InformáticaPedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia São Paulo: Atlas, 2004 Cap. 4 - Probabilidade APOIO: Fundação de Ciência e Tecnologia de Santa Catarina (FUNCITEC) Departamento de Informática e Estatística (INE/CTC/UFSC) BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Incerteza e Probabilidade • Tomar decisões: – Curso mais provável de ação: • Se desejamos passear de barco e não sabemos nadar, devemos usar um salva-vidas. • Se não confiamos na continuidade do fornecimento de energia elétrica, devemos ter lanternas (e pilhas) ou velas (e fósforos) em casa. – Incerteza: • Por mais medo que se tenha, ou por mais revolto que seja o mar, pode não acontecer nada no seu passeio de barco. • Por pior que seja a concessionária de energia elétrica pode não faltar energia... BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 Incerteza e Probabilidade • Questão chave: como QUANTIFICAR a incerteza para auxiliar a tomada de decisões. • Há vários métodos: um deles é a Probabilidade BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004 REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Modelos probabilísticos • Construção de modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios BARBETTA. Atlas. 2004 . – Número de pessoas que chegarão em um banco nas próximas 2 horas. que possibilita construir um modelo para prever seus resultados. ele apresenta uma regularidade. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. BARBETTA. 2004 . – Resultados de jogos que envolvam sorteio (não viciados). Atlas. – Quando é realizado um grande número de vezes.Experimentos aleatórios • Experimentos aleatórios são aqueles nos quais: – ANTES do experimento ocorrer não se pode definir qual será o seu resultado. • Exemplos – Consumo de energia elétrica em uma cidade. Modelos probabilísticos Definição do experimento Definição dos resultados possíveis do experimento Definição de uma regra que obtenha a probabilidade de cada resultado ocorrer. BARBETTA. 2004 . Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. • Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. formado por intervalos de números reais. Atlas. 2004 .Espaço amostral • O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. BARBETTA. é dito contínuo quando for infinito. . 2004 . 2. Ω: {Energia/Potência ≥ 0 (MWh ou MW)} • Resultados de jogos que envolvam sorteio (não viciados). Ω: {possíveis resultados} • Número de pessoas que chegarão em um banco nas próximas 2 horas..Espaço Amostral • Consumo de energia elétrica em uma cidade.} BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.. Atlas. 1. Ω: {0. Atlas. 2004 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Eventos • Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral: • A é um evento ⇔ A ⊆ Ω BARBETTA. Operações entre eventos (a) União: A∪B (b) interseção: A∩B (c) complementar: A Ω A B A B Ω A Ω BARBETTA. Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . 2004 . B ou ambos) ocorre quando ocorrer ambos os eventos (A e B) ocorre quando não ocorrer o evento A (não A) A BARBETTA.Operações entre eventos Operação Conjunto Evento a) União A∪B b) Interseção A∩B c) Complementar reúne os elementos de ambos os conjuntos formado somente pelos elementos que estão em A e B formado pelos elementos que não estão em A ocorre quando ocorrer pelo menos um deles (A. Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Eventos mutuamente exclusivos • Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. 2004 . • A e B são mutuamente exclusivos ⇔ A∩B= ∅ A B Ω BARBETTA. Atlas. – B = Entre 50 e 100 MW (50 ≤ P ≤ 100 MW).Exemplo de operações com eventos • Experimento aleatório: potência elétrica P (em MW) demandada por uma cidade em um momento. • Operações com os eventos: – A = Mais de 100 MW ( P > 100 MW). =B∩C BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas. 2004 . – C = Mais de 80 MW (P > 80 MW). G • D=A∪B E=A∩B F=B∩C • Representar geometricamente. Atlas. A e B são mutuamente exclusivos. F = B ∩ C = 50 ≤ P < 80 MW B∩C 0 50 B 80 C 100 BARBETTA.Exemplo de operações entre eventos D = A ∪ B = P ≥ 50 MW A∪B 0 50 B 100 A E = A ∩ B = Ø . 2004 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . Atlas.Exemplo de operações entre eventos G = B ∩ C = 50 < P ≥ 80 MW B∩C 0 50 B 80 C 100 G=B∩C BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Probabilidade de eventos • Espaços amostrais discretos equiprováveis Definição clássica: • sendo: nA P ( A) = n – n resultados igualmente prováveis. – nA destes resultados pertencem a um certo evento A BARBETTA. Atlas. 2004 . . então: P( A) = i: ∑ P(ω ) ϖ i ∈A i BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas. ω3. 2004 .Probabilidade de eventos • Espaços amostrais discretos • Se A ⊆ Ω = {ω1. . }. ω2.. 2004 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Probabilidade de eventos • Alocação de probabilidades observações passadas: em função de nA Freqüência relativa f (A) = n P(A) = lim n →∞ f (A) = lim n →∞ nA n BARBETTA. Atlas. . 2.. Atlas.n) um evento genérico. então P(E1∪ E2 ∪ . • A probabilidade de ocorrência de Ei será um número real tal que: – 0 ≤ P(Ei) ≤ 1 – P(Ω) = 1 – Se E1.. E2. ∪ En) = Σ P(Ei) BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 .. .. e seja Ei (i= 1. En são eventos mutuamente exclusivos.Axiomas da Probabilidade • Seja um experimento aleatório com um espaço amostral Ω associado a ele.. .. Propriedades • P(∅) = 0 • P(Ω) = 1 • Probabilidade do evento complementar P( A ) = 1 − P( A) Ω A A BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas. 2004 . Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.Propriedades • Regra da soma das probabilidades P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) Ω A A∩B B BARBETTA. 2004 . 032 1550 50 50 6850 = P( F ∩ U ) P( F | U ) = = 1550 1550 P(U ) 6850 BARBETTA. Atlas.051 6850 Qual é a probabilidade que esteja fora das especificações. sabendo-se que é leite do tipo UHT? 50 P( F | U ) = = 0. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . de motivação Tipo do leite Condição do peso dentro das especificações (D) fora das especificações (F) Total B (B) 500 30 530 C (C) 4500 270 4770 UHT (U) 1500 50 1550 Total 6500 350 6850 350 P( F ) = = 0.Probabilidade condicional. Ex. Atlas. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por P(A ∩ B) P(A | B) = P(B) • Sejam A e B eventos quaisquer. 2004 . sendo P(A) > 0. sendo P(B) > 0.Probabilidade condicional • Sejam A e B eventos quaisquer. Definimos a probabilidade condicional de B dado A por P(A ∩ B) P(B | A) = P(A ) BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 4/8 4 BARBETTA. Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e ) P(Champignon | Calabresa) = .Probabilidade condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P(Champignon ∩ Calabresa) 3 / 8 3 = = P(Calabresa) 5/8 5 P(Champignon ∩ Calabresa ) 3 / 8 3 P (Calabresa | Champignon) = = = P(Champignon Informática. Probabilidade Condicional Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P(Champignon ∩ Calabresa ) 2 / 8 2 = = P(Champignon | Calabresa ) = 4/8 4 P(Calabresa ) P (Champignon ∩ Calabresa ) 2 / 8 2 P (Calabresa | Champignon ) = = = BARBETTA. Atlas./2004 4 P (Champignon ) 4 8 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 6)} E2 = soma das faces é menor ou igual a 5 = = {(1. 5) (6. (5. 2) (1. 1) ⎪ (2. 2). (1. (1. 1) ⎪ ⎪ (6. 2). (1. 2). 4). 2) (6. 6) ⎪ ⎪ (3. 4) (3. Atlas. • Calcule a probabilidade de ocorrer faces iguais. (2. 3). 3) (3. 4) (1. 4) (5.Probabilidade condicional. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 6) ⎪ ⎭ E1 = faces iguais = {(1. 3). 5). 2) (3. Exemplo • Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das faces voltadas para cima. (3. 6) ⎪ ⎪ (6. 3) (5. 5) (1. (2. 5) (3. BARBETTA. 3). 6) ⎪ ⎪ ⎬ (4. 4) (2. 1) ⎪ Ω=⎨ ⎪ (4. 4) (6. (6. 3) (6. sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5. 4). 3) (1. 1). 2) (2. 1) ⎩ (1. ⎧ (1. (4. 1)}. 2) (4. 1). 5) (2. 2). 5) (5. 6) ⎪ (5. 1) ⎪ (5. (3. 5) (4. 3) (2. (2. 1) ⎪ ⎪ (3. 6) ⎫ (2. (2. (3. 2004 . 1). 1). 2) (5. 4) (4. (4. 3) (4. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Exemplo 2 P( E1 ∩ E 2 ) 36 = 2 = 0.33 P ( E 2 | E1 ) = = 6 P ( E1 ) 6 36 BARBETTA. 2004 2 .2 P( E1 | E 2 ) = = 10 P( E 2 ) 10 36 P ( E1 ∩ E 2 ) 36 = 2 = 0.Probabilidade condicional. Atlas. Atlas.Regra do produto P( A | B) = P( A ∩ B) P( B) P( A ∩ B) = P( B) ⋅ P( A | B) ou P( B | A) = P( A ∩ B) P( A) P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B | A) BARBETTA. 2004 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas.Eventos independentes • Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . Nesse caso: P( A | B) = P( A) A e B são independentes P(A ∩ B) = P(A ) × P(B) BARBETTA. 2004 . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas.Teorema da probabilidade total • Ilustração da formação de um lote de peças provindas de 4 fornecedores Fornecedor: (2) (3) (1) (4) Peças não conformes Grupo de peças extraídas para a formação do lote BARBETTA. ∪ ( F ∩ Ek ) P ( F ) = P[( F ∩ E1 ) ∪ ( F ∩ E 2 ) ∪ . ∪ ( F ∩ E k )] = = P ( F ∩ E1 ) + P ( F ∩ E 2 ) + . 2004 k . REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática... Atlas...Teorema da probabilidade total E1 E2 F ∩ E3 E3 F ∩ E4 E4 F F ∩ E5 E5 E6 E7 F ∩ E7 F = ( F ∩ E1 ) ∪ ( F ∩ E2 ) ∪ ... + P ( F ∩ E k ) P( F ) = ∑ P( E i ) ⋅ P( F | E i ) i =1 BARBETTA. Teorema de Bayes E1 E2 F ∩ E3 E3 F ∩ E4 E4 F F ∩ E5 E5 E6 E7 F ∩ E7 P( Ei | F ) = P( Ei ∩ F ) P( F ) P( Ei ) ⋅ P( F | Ei ) P( Ei | F ) = P( F ) BARBETTA. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . Atlas. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. • a) Construa o modelo probabilístico para esta situação. uma empresa chegou a um conjunto de 9 engenheiros e 6 engenheiras. Indeciso. o setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para preencher as duas vagas oferecidas. todos com capacitação bastante semelhante. • b) Qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo? • c) Sabendo-se que ambos os selecionados são do mesmo sexo.Exercício • Após um longo processo de seleção para preenchimento de duas vagas de emprego para engenheiro. qual é a probabilidade de serem homens? Livro-texto. Atlas. 2004 . Página 114. BARBETTA. 6 M 9/14 6/15 9H. Atlas.Árvore de probabilidades 8/14 9/15 9 H. 2004 . 6M 6/14 H∩M H∩H Ω BARBETTA. 5M 5/14 M∩M M∩H 8H. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2571 15 14 6 9 P(M ∩ H) = P(M ) × P(H / M ) = × = 0.3429 15 14 P( H ∩ M ) = P(H ) × P(M / H ) = 9 6 × = 0. 2004 . Atlas.1429 15 14 BARBETTA.Modelo probabilístico 9 8 P(H ∩ H) = P(H) × P(H / H) = × = 0. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.2571 15 14 6 5 P(M ∩ M ) = P(M ) × P(M / M ) = × = 0. Probabilidade mesmo sexo P(Mesmo sexo) = P(F) P(F) = P{[ F ∩ (H ∩ H)] ∪ [F ∩ (H ∩ M )] ∪ [F ∩ (M ∩ H)] ∪ [F ∩ (M ∩ M )]} P(F) = P[(H ∩ H )] ∪ (M ∩ M )] = P(H ∩ H ) + P(M ∩ M ) P(F) = P(H) × P(H / H) + P(M ) × P(M / M ) 9 8 6 5 P(F) = × + × = 0. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2004 . Atlas.4858 15 14 15 14 BARBETTA. 2004 .7058 0. REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática.4858 BARBETTA. Atlas.Probabilidade homens. sabendo que são do mesmo sexo P(H ∩ H) × P[F /(H ∩ H)] P[(H ∩ H) / F] = P(F) 0.3429 P[(H ∩ H) / F] = = 0.