PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAUNIDAD II: VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES 2.1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD 2.2 VALOR ESPERADO Y MOMENTOS 2.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2.3.1 BERNOULLI 2.3.2 BINOMIAL 2.3.3 POISSON 2.3.4 GEOMÉTRICA 2.4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 2.4.1 UNIFORME 2.4.2 NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR 2.4.3 APROXIMACIONES CON LA NORMAL JOSÉ IGNACIO ORTIZ RODRÍGUEZ INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PACHUCA 29/09/2012 2.1 VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Ejemplos: 1. Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se envía a un distribuidor que contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria eligiendo de 2 de estas computadoras, encontrar la distribución de probabilidad para el número de microcomputadoras defectuosas. Solución: Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son los números de computadoras defectuosas compradas por la escuela. Entonces x (resultado posible) puede ser cualquiera de los números: “0” por si no se elige una computadora defectuosa, “1” por si hay la probabilidad de elegir una computadora defectuosa y por último si se eligen “2” computadoras defectuosas. Para su solución utilizaremos Combinaciones. ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) La distribución de probabilidad de X: x ( ) 0 1 2 2. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas. X: El numero de accidentes de automóvil por año en el estado de Virginia. Y: El tiempo que toma jugar 18 hoyos de golf. M: La cantidad de leche producida anualmente por una vaca en particular. N: El numero de huevos que pone mensualmente una gallina. P: El numero de permisos para la construcción de edificios que otorga mensualmente una ciudad. Solución: Para dar solución primero consultamos las siguientes definiciones: Definición 1: Si un espacio muestral contiene un numero finito de posibilidades o una secuencias interminable con tantos elementos como números naturales existentes, sele llama espacio muestral discreto. N: Discreta. Y: Continua.Definición 2: Si un espacio muestral contiene un numero infinito de probabilidades igual al numero de puntos en un segmento de línea. Si X es el número de unidades defectuosas que se compran. Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. por que siempre hay accidentes es una secuencia interminable. P: Discreta. . indique los elementos del espacio muestral (δ) utilizando las letras B para “manchado” y N para “no manchado”. Si una agencia recibe 3 de estos vehículos aleatoriamente. δ NNN NNB NBN BNN NBB BNB BBN BBB x 0 1 1 1 2 2 2 3 4. se le llama espacio muestral continuo. Para las siguientes variables aleatorias su clasificación es: X: Discreta. por que hay las posibilidades de elementos reales en este caso los huevos. encontrar la distribución de probabilidad de X. por que hay la probabilidad de que la vaca elegida aleatoriamente aumente o disminuya la cantidad de leche producida. por que hay una secuencia continua interminable el otorgar permisos. por que tiene un número infinito para jugar y es continuo la probabilidad. respectivamente. 3. M: Continua. Solución: Para esto se consideran los 3 vehículos que se van a elegir aleatoriamente realizando una tabla donde se mostraran los posibles resultados de x de este espacio muestral. asigne para cada punto muestral un valor x (resultado posible) de la variable aleatoria X que representa el numero de automóviles con manchas de pintura comprados por la agencia. Un embarque de 5 automóviles extranjeros incluye 2 que tienen unas ligeras manchas de pintura. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es la variable aleatoria que indica el número de caras que resultan. Una moneda se lanza tres veces. Tenemos que: ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) La distribución de probabilidad de X: x ( ) 0 1 2 5. a) Función probabilidad P (CCC) P (SSS) P (CCS) P (SSC) P (CSC) P (SCS) P (SCC) P (CSS) Por lo tanto se le asigna de probabilidad. Entonces x (resultado posible) puede ser cualquiera de los números: “0” por si no se elige un televisor defectuoso.Solución: Sea X una variable aleatoria cuyos valores x son los números de televisores defectuosos comprados por el hotel. Para su solución utilizaremos Combinaciones. “1” por si hay la probabilidad de elegir un televisor defectuoso y por último si se eligen “2” televisores defectuosos. construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad. Solución: Para esto primero se debe hallar la función de probabilidad correspondiente a la variable aleatoria X. P (X=0) = P (SSS) = P (X=1) = P (SSC) + P (SCS) + P (CSS) = + + = P (X=2) = P (CCS) + P (CSC) + P (SCC) = + + = P(X=3) = P (CCC) = A si queda la función probabilidad con la siguiente tabla: x ( ) 0 1 2 3 . 2 VALOR ESPERADO Y MOMENTOS Ejemplos: 1. ¿Qué proporción de personas puede esperarse que respondan a un requerimiento por correo. La función de densidad de una variable aleatoria X esta dado por: ( ) { Solución: Calcular el valor esperado de X. Sea X una variable definida aleatoria de finida por la función densidad: ( ) Hallar: (a) E(X). Solución: Calcular el valor esperado de X.2. (b) E (3X-2) ( ) ∫ ( )( ) ∫( ) ∫ ∫ ( ) ( )| ( ) ∫ ( ) ∫ ( )| 3. se tiene: ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )| { (c) E(X2). si la proporción X tiene la función de densidad ( ( ) { ) . se tiene: ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( )| 2. (b) alrededor de la media. para una variable aleatoria X con una función de densidad ( ( ) { ) . 5. se tendrá en promedio 1. La distribución de probabilidad de X es: ( ) ( )( ( ) ) Se realizan los cálculos correspondientes sustituyendo los valores de x se tiene que: ( ) ( ) ( )( ( ) ( )( ( ) ( )( ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ) ) ) ) ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Por lo tanto si un comité de 3 miembros se selecciona aleatoriamente. Encuentre el número esperado de químicos que formen parte de un comité de 3 miembros que se seleccionan al azar de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos. una y otra vez de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos. se tiene: ( ) ∫ * ( ) + ∫ ( ) * + 4.Solución: Calcular el valor esperado de X. Hallar los primeros cuatro momentos (a) alrededor del origen.71 químicos. Solución: Sea X represente el numero de químicos en el comité. utilizando las siguientes definiciones: ( ) ∫ ( ) a) Alrededor del origen: ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) b) Usando la definición de µ tenemos que: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .Solución: Calcular los momentos de la variable aleatoria X. el primero es el método de variable aleatoria y el segundo método es con una distribución Binomial (Bernoulli).1 BERNOULLI (2. Método 2: Distribución Binomial (Bernoulli). Método 1: Variable Aleatoria X. Se resolverá el problema número 5 de la sección 2.2 BINOMIAL) Ejemplos: 1.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS 2. Si X es la variable aleatoria que indica el número de caras que resultan.1. Una moneda se lanza tres veces. Solución: Se puede resolver con 2 métodos diferentes.3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( )( ) ( ( )( ) ( ( )( ) ( ( )( ) ( ) ) ) ) .2.3. . De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esta área.000977 = 0. Encuentre la probabilidad de que los siguientes 8 adictos entrevistados.26362 + 0.2. Solución: Aplicando la formula Binomial. a) Exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas sicológicos b) Al menos 5 de ellos comenzaron a tomarlo por problemas que no fueron sicológicos.014648 + 0. lo tomaron por primera vez debido a problemas sicológicos. En una cierta área de la ciudad se da como una razón del 75% de los robos la necesidad de dinero para comprar estupefacientes. a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b) Cuando mucho 3: P (X≤3) = P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( )( ( )( ( )( ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) P (X≤3) = 0. b) Cuando mucho 3 se deberían ala necesidad de dinero para comprar drogas.3671 3. a) Exactamente 2 se debieran ala necesidad de dinero para comprar drogas.08789 + 0. aproximadamente 60% de los adictos al Valium en el estado de Massachusetts. 0168 = 0.2090 + 0.2253 + 0.2787 + 0. a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) b) Al menos 5: P (X ≥5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( )( ( )( ( )( ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) P (X≥5) = 0.2336 + 0.8343 . ¿Cuál es al probabilidad de que menos de 4 de los siguientes 9 vehículos no sean del estado? Solución: Nos pide la probabilidad de que los vehículos no sean del estado por lo tanto el porcentaje que no son del estado es 25%.5941 4.3003 + 0.Solución: Aplicando la formula Binomial. Que sean menos de 4: P(X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( )( ( )( ( )( ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) P(X<4) = 0. Un ingeniero de control de tráfico reporta que 75% de los vehículos que pasan por un punto de verificación tienen matriculas del estado.0751 = 0.0896 + 0. n=30 y empleamos la formula de ( ) Poisson: a) ( ) ( ) ( ) b) Ocurran menos de 3 accidentes: P (X<3) = P(X=2) + P(X=1) + P(X=0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) P (X<3) = 0. determinar la probabilidad de que de 4 tornillos escogidos aleatoriamente (a) 1. x=5.20.2240 + 0.4232 .1494 + 0.1.0498 = 0.8192 2. En promedio. p=0. (b) 0. en una cierta intersección ocurren 3 accidentes viales por mes.4096 + 0. (a) (b) ( ( ) ) ( )( ( )( ) ( ) ( ) ) (c) P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0. Sea la variable aleatoria X el número de tornillos defectuosos. (c) menos de 2 sean defectuosos.3. Si el 20% de los tornillos producidos por una maquina son defectuosos. Solución: La probabilidad de un tornillo defectuoso es 0.3 POISSON Ejemplos: 1. Cuál es la probabilidad de que en un determinado mes en esta intersección a) Ocurran exactamente 5 accidentes b) Ocurran menos de 3 accidentes Solución: Primero determinamos los siguientes datos.4096 = 0.5. P (0 ≤x≤4) y P (6 ≤x≤8).2. p=0.4015 3.04462 + 0. encuentre la probabilidad de 6. Una cierta área del este de Estados Unidos es afectada en promedio por 6 huracanes al año. Solución: Primero determinamos los siguientes datos.001. (6 ≤x≤8).10326 + 0.16062 = 0.13768 + 0.01487 + 0. n=10. Suponga que en promedio 1 persona de cada 1000 comete un error numérico al preparar su declaración de impuestos. p=0.000 y empleamos la ( ) formula de Poisson: .0 P (6≤x≤8) = P(X=6) + P(X=7) P(X=8) .08924 + 0. b) Cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes.5.000 formas y se examinan. Solución: Primero determinamos los siguientes datos.00248 = 0. n=12 y empleamos la ( ) formula de Poisson: a) Menos de 4 huracanes: P (X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) P (X<4) = 0. Si se seleccionan ala azar 10. 7 u 8 formas tengan error.1512 b) Cualquier cantidad entre 6 y 8 huracanes: P(6 ≤x≤8) = P (X=8) + P (X=7) + P (X=6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) P (6≤x≤8) = 0. Encuentre la probabilidad de que en un determinado año esta área sea afectada por a) Menos de 4 huracanes. hallar la probabilidad de que una muestra de 100 lámparas eléctricas (a) 0. p=0. (b) 1.001. 3. Si 3% de las lámparas eléctricas producidas por una compañía son defectuosas.11259 = 0. (f) 5 lámparas sean defectuosas. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero. (e) 4. (d) 3. n=100 y empleamos la ( ) formula de Poisson: a) b) c) d) e) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Solución: Primero determinamos los siguientes datos. (c) 2. es 0. 4.09008 + 0. X=variable aleatoria. 1. x=0. n=2000 y empleamos ( ) la formula de Poisson: a) b) ( ) ( ( ) = * ) [ ( ) ( + ) ( )] . Solución: Primero determinamos los siguientes datos.2657 4. (b) mas de 2 individuos tengan reacción. determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos (a) exactamente 3. p=0.001. 2.03.( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) P (6≤x≤8) = 0.06306 + 0. 5. Necesitamos establecer una conexión.2 y ( ( ( ) ) ) ( ( )( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( )( ) 3. Solución: Utilizando la formula tenemos que p=0. .2 de lograr establecer la conexión.3.4 GEOMÉTRICA Ejemplos: 1. ( ) ( ) ( )( ) . 2. Solución: Utilizando la formula tenemos que p=0. Calcule la probabilidad de que se logre el acoplamiento en 4 ó menos intentos.2. En el acoplamiento de una estación espacial. el 30% de los intentos es exitoso.3 y ( ( ) ) ( ( )( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( )( ) ) ( )( ) ( ) . Cada vez que intentamos conectarnos. Hallar la probabilidad que en lanzamientos sucesivos de un dado honrado resulte un 3 por primera vez en el quinto lanzamiento Solución: Utilizando la formula tenemos que la probabilidad del dado es . tenemos una probabilidad de 0. Cuál es la probabilidad de que l ogremos conectarnos en menos de 4 intentos. cada elemento del espacio muestral S= {40.4. Por lo tanto se tiene una distribución uniforme con: ( ) ( ) . 2.1 UNIFORME Ejemplos: 1. Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0.01. 5.05 se tiene: ( ) ( ) ( )( ) 2. 4. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para logar una comunicación. cada elemento del espacio muestral S= {1. Cuando se lanza un dado. 6} ocurre con una probabilidad de 1/6. 3. 100} ocurre una probabilidad de ¼ por lo tanto se tiene una distribución uniforme con: Solución: ( ) ( ) 2. se tiene: ( ) ( ) ( )( ) 5. 1 de cada 100 piezas esta defectuosa. uno de 75 y uno de 100. 60. Cuando un foco se selecciona al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts. Suponga que sea p=0.05 la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. uno de 60.4. En un cierto proceso de manifactura se sabe que en. Puede ser de interés saber el numero de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible. ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza inspeccionada sea la primera defectuosa? Solución: Utilizando la distribución geométrica con x=5 y p=0. 75. El tablero de un comunicador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto tiempo de ocupado se refiere. promedio.4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 2. de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. 3. ¿Esta distribución probabilidad es uniforme discreta. Si se define la variable aleatoria X como el número de caras que ocurren cuando una moneda legal se lanza al aire una vez. binomial o ambas? ( ) ( ) . que represente el numero que ocurre cuando se hace girar la ruleta. ( ) ( ) 4. encuentre la distribución de probabilidad de X. Encuentre la formula para la distribución de probabilidad de X. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área y se enumeran del 1 al 25. Una maquina despachadora de refrescos esta ajustada para servir un promedio de 200 mililitros por vaso. σ =15 y P(X=224). σ=15 y P (191≤X≤209).2 NORMAL Y NORMAL ESTÁNDAR Ejemplos: 1. Es el área entre 100 y 110.4. 100 110 El área es de 0. a) Que fracción de los vasos contendrá más de 224 mililitros b) Cual es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros Solución: a) Tenemos los siguientes datos M=200. 191 200 209 2. ¿Cuál es la probabilidad que una media escogida aleatoriamente puede estar en 110 y 100? Solución: Tenemos los siguientes datos M=100. cuya media = 100.8413 (por tablas). σ=10 y P (100≤X≤110). con una desviación estándar =10. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviación estándar igual a 15 mililitros.6 se busca en tablas en áreas bajos la curva=0. Este valor de 1.2. Un proceso de fabricación tiene una distribución normal.9452 200 224 b) Tenemos los siguientes datos M=200. . Encuentre la probabilidad de una media 108. Hallar el número de costales con: a) Inferiores o iguales a 100 kg 100 155 b) Encuentre 120 kg y 130kg. Los pesos de 2000 costales de arroz están distribuidos normalmente con una media de 155 kg y una σ=20.2 Cual es la probabilidad de obtener un media entre 110 y 115. 100 110 115 ( ) ( ) 3.2 o más alto. ( ) 110 130 155 . ( ) ( ) 100 108. 2 5. encuentre la probabilidad de que X asuma un valor mayor que 362. Dada una distribución normal con M=300 y σ=50. 155 200 4. ( ( ) ) ( ) 300 362 .c) Mayores o iguales a 200kg.5 0 1. Dada una distribución normal con M=50 y σ=10. Solución: Los valores correspondientes a son: ( ( ) ) ( ( ) ) -0. encuentre la probabilidad de que X asuma un valor entre 45 y 62. Utiliza la aproximación de la curva normal para encontrar la probabilidad de obtener a) Entre 185 y 210 caras inclusive ( Donde )( ) √( )( )( ) -1.55 0 1.45 0.75 .45 0 2. Una moneda se lanza 400 veces.55 c) Menos de 176 o más 227 caras ( ) ( ) ( ) ( ) -2.4.2.3 APROXIMACIONES CON LA NORMAL 1.05 ( ( ) ) ( ( ) ) b) Exactamente 205 caras ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0. 42 0 b) mas de 49.08 . promedio. Si se verifican 400 conductores en forma aleatoria la siguiente noche del sábado.58 -0. lo que vuelve ineficaz a la píldora. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 en una muestra de 200 sea ineficaz? Solución: . 0 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el numero de conductores ebrios sea ( )( ) √( )( )( ) a) menos de 32. P(X>32). Una compañía farmacéutica sabe que aproximadamente 5% de sus píldoras para el control natal tiene un ingrediente que esta por debajo de la dosis mínima.92 0 1. P(X>49). como es aproximación x=10. Estadísticas publicadas por la National High-way Traffic Administration y el National Safety Council muestran que en una noche de fin de semana. P (35>x<47).5 0 0. x=49. 1 de cada 10 conductores esta ebrio.16 ( ) ( ) 3. x=31.5 -1.2.5 c) al menos 35 pero menos de 47. de las cuales solo 1 es la correcta. x=29.14 0 5.71 . Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad.5. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0. Si X representa el número de respuestas correctas dadas al azar.4. ( √( )( )( ) )( ) ( ) ( ) -2. Una prueba de opción múltiple tiene 200 preguntas cada una con 4 posibles respuestas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan? Solución: Sea la variable X que representa el número de pacientes que sobrevivan. ¿Cuál es la probabilidad que al azar se den 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas acerca de los cuales el estudiante no tiene conocimientos? Solución. La probabilidad de una respuesta correcta para cada una de las 80 respuestas p= ¼. p=0. ( √( )( ) )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 1. Dado que n=100.4.16 2.4.