Probabilidad y Estadistica 2

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero Director Académico Ing. Arturo Sandoval Mariscal Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Ing. Raúl Leonel Durazo Amaya PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2011 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edición 2011. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 COMISIÓN ELABORADORA: Elaborador: María Elena Conde Hernández Revisión Disciplinaria: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Corrección de Estilo: Alejandro Ernesto Rivas Santoyo Apoyo Metodológico: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Supervisión Académica: Luz María Grijalva Díaz Diseño: Joaquín Rivas Samaniego Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Diana Irene Valenzuela López Coordinación General: Ing. Arturo Sandoval Mariscal Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2011. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 6,598 ejemplares. 2 PRELIMINARES DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ Ubicación Curricular FORMACIÓN PROPEDÉUTICA COMPONENTE: HORAS SEMANALES: 03 GRUPO: 3 y 4 ECONÓMICO ADMINISTRATIVO / HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES CRÉDITOS: 06 PRELIMINARES 3 4 PRELIMINARES . .......................................................................................109 • Distribución de probabilidad para variables continuas .........................................................................................................................................15 • Regla del complemento de la probabilidad ............................79 • Teorema de Bayes ................................................................................................................................................................................................................38 Secuencia Didáctica 3: Teoría combinatoria..........................................69 • Eventos independientes ...........................45 • Permutaciones ..............................................................................................................................................................................................................131 • Aproximación de la distribución binomial a la normal ......................................................................135 • Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal .......................................81 BLOQUE 3: RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS ............................................................................................................ 8 BLOQUE 1: DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDINATE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO ......................64 • Probabilidad condicional .........................27 • Conteo mediante una lista sistemática ........ 87 Secuencia Didáctica 1: Distribución de probabilidad para variables discretas ......................................................................................................................................................................................10 • Métodos para asignar probabilidades ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................118 • La distribución normal .......................................................88 • Distribución de probabilidad ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................71 Secuencia Didáctica 2: Teorema de Bayes ....................................................................................................................90 • Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas .............................................................. 63 Secuencia Didáctica 1: Probabilidad condicional .....................35 • Factoriales ......................................................................................................................................................................................................................136 Bibliografía .............111 • Modelos de distribuciones de probabilidad de variables continuas ..........................................92 • Distribución binomial .................................................................................................................................................98 Secuencia Didáctica 2: Distribución de probabilidad para variables continuas ..................................................................................................................................................9 Secuencia Didáctica 1: Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos ...............................................................................................................................................................................133 • Teorema central del límite ..............................................70 • Regla especial de la multiplicación de probabilidades ................................54 BLOQUE 2: EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL ............................................118 Secuencia Didáctica 3: Aproximación de la distribución binomial a la normal ................................................................17 Secuencia Didáctica 2: Principio fundamental de conteo ...............................................16 • Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o” ..................48 • Combinaciones ..................................................91 • Valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad discreta .........12 • Propiedades de la probabilidad ........... 7 Mapa de asignatura ..........143 PRELIMINARES 5 ......................................................................................................66 • Regla general de la multiplicación de probabilidades .................................................................................30 • Principio fundamental de conteo ..............................................................................Índice Presentación .............................................................................................................................................................. 6 PRELIMINARES . además de lo que demandan los escenarios local. Así también. los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto. aprender a ser y aprender a vivir juntos. de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido. Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos. desarrollo y cierre. procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias. reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes. videos. a las nuevas políticas educativas. donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana. social y profesional.Presentación “Una competencia es la integración de habilidades. además en este momento. desde material bibliográfico. Es necesario que realices la autoevaluación. proceso donde de manera conjunta valoran su actuación. investigación de campo. Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos. actitudes y valores. El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos. binas o equipos. nacional e internacional. con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo. Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica. el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo. éstas se desarrollan de forma individual. de ser receptor de contenidos. organizadas en tres momentos: Inicio. características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional. La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia. PRELIMINARES 7 . que propiciará tu desarrollo como persona visionaria. procedimentales y actitudinales. situación que te permitirá: Aprender a conocer. las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades. es una herramienta de suma importancia. con la finalidad de fomentar la participación. conocimientos y actitudes en un contexto específico”. donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual. es decir. las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación. aprender a hacer. que permite recabar evidencias a través de tu trabajo. Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo. Para que contribuyas en ello. promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo. los saberes. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades. mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo. De este modo. de ahí que se te invita a participar de forma activa. profesional y laboral. habilidades. El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante. el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social. este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades. competente e innovadora. El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Probabilidad y Estadística 2. En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales. sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal. es recomendable la coevaluación. es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol. etc. limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje. ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades. donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo. Teorema de Bayes. Emplea la proabilidad condicional. Bloque 1. Distribución de probabilidad para variables discretas. Probabilidad condicional. Aproximación de la distribución binomial a la normal. Secuencia Didáctica 1. Secuencia Didáctica 2. Secuencia Didáctica 3. Principio fundamental de conteo. 8 PRELIMINARES . Bloque 2. Bloque 3. Probabilidad y estadística 2 Secuencia Didáctica 3. Cálculo de probabilidades de eventos simples y compuestos. Distribución de probabilidad para variables continuas. Secuencia Didáctica 2. Teoría combinatoria. Determina la probabilidad de eventos medinate diferentes décnicas de conteo.Secuencia Didáctica 1. Secuencia Didáctica 1. Secuencia Didáctica 2. Resuelve problemas de aplicación mediante la distribución de probabilidades de variables discretas y continuas. 1. 5. Tiempo asignado: 18 horas . Asume una actitud constructiva. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.6. para resolver problemas relacionados con su entorno.Determina la probabilidad de eventos mediante diferentes técnicas de conteo. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo. 8. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas. congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. analíticos o variacionales. Cuantifica. Utiliza el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos. mediante el uso de técnicas de conteo. 8. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 8. 6.2.1. gráficos. Unidad de competencia:     Estructura ideas y argumenta de manera clara y coherente.3. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. mediante el lenguaje verbal. Argumenta la solución obtenida de un problema. comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. gráficas. 5. 5. matemáticas o gráficas. mapas. Identifica las diferentes formas de contar agrupaciones de objetos.1.4. con métodos numéricos. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana. matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 7. Competencias profesionales:       Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Interpreta tablas. definiendo un curso de acción con pasos específicos. diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.1. Identifica los tipos de eventos y las reglas de probabilidad.1. los resultados de la probabilidad conjunta. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. pero no con su progreso. ¿cuál es la probabilidad de que el número observado sea par? 10 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Se arroja un dado sin truco y se observa el número de puntos que muestra la cara superior. Inicio Actividad: 1 Responde a los siguientes cuestionamientos. Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla. c) El alumno no se encuentre satisfecho ni con la carrera ni con su progreso. En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. determina la probabilidad de que una de ellas sea cara y otra sello. 2. 3. 1. determina la probabilidad de que: a) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera. Satisfecho con la carrera Si No Total Satisfecho con su progreso Si 362 18 380 350 70 420 No 712 88 800 TOTAL  Si se elige una encuesta al azar. d) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera. b) El alumno se encuentre satisfecho con la carrera y con su progreso en la misma. Cálculo de probabilidades de eventos simples y eventos compuestos.Secuencia didáctica1. y cara (c) es la imagen del rostro del personaje que aparece en cada moneda. el águila es el sello (s) emblema de nuestra bandera. Normalmente en una moneda mexicana. Si se lanzan dos monedas normales al aire. y 8 estudian francés y alemán. pero no inglés. c) Estudie solamente inglés. f) Estudie francés. determina la probabilidad de que: a) Estudie los tres idiomas. Distribuye en el diagrama de Venn la siguiente información y responde a los siguientes cuestionamientos. Saberes Procedimental Calcula probabilidades empleando las propiedades de la misma. d) Estudie francés e inglés. e) Estudie alemán e inglés. 45 estudian inglés (conjunto 𝐼). 5 estudian los tres idiomas. 12 estudian francés e inglés. 25 personas estudian francés (conjunto 𝐹). 10 estudian alemán (conjunto 𝐴). Una escuela de idiomas necesita delimitar espacios para aquellas personas que estudian sólo un idioma. C MC NC Puntaje: Actitudinal Muestra interés siguiendo instrucciones de manera reflexiva Calificación otorgada por el docente BLOQUE 1 11 . Autoevaluación  Evaluación Producto: Problemas aplicados.Actividad: 1 (continuación) 4. Actividad: 1   Conceptual Distingue los distintos métodos de asignar probabilidades. Si se elige una persona al azar. pero no alemán. b) Estudie francés o alemán. Astrónomo. lotería.). esto se expresa como: ) . El espacio muestral es: { } { }. Laplace. de modo que normalmente se supone que cara y sello son igualmente probables de salir. y uno de los resultados es una cara. el número de resultados posibles es obviamente dos. . ruletas. Ahora el experimento aquí es el lanzamiento de una moneda con estas características. se llama posibles es cara. la probabilidad es el cociente de 1 y 2: ) De manera simbólica. La probabilidad deseada se obtuvo teóricamente. Los siguientes ejemplos con eventos simples te harán recordar y aclarar la diferencia entre estas dos interpretaciones de la probabilidad. No se requirió un experimento real. es decir. No hay razón aparente para que uno de los lados de la moneda. juegos de cartas. Por la frecuencia de “éxitos” en este experimento. Pierre Simon Maqués de Laplace (1749 -1827). se realiza el experimento de lanzar la taza 50 veces. se determina de dos formas: empíricamente (de manera experimental) o teóricamente. determina la probabilidad de que caiga con la cara hacia arriba. Si se lanza al aire una taza de plástico. Intuitivamente. en su famosa Teoría Analítica de la Probabilidad. Observa en el ejemplo 1. conocido por el Teorema de Laplace. se concluye que: ) . Supóngase que cayó de lado 44 veces. mucho más a menudo que hacia arriba o hacia abajo. etc. y observar la frecuencia de los resultados. Esta suposición puede remarcarse si la moneda está no defectuosa o alterada. determina la probabilidad de que caiga hacia abajo. En el curso pasado de Probabilidad y Estadística 1. y aparentemente también a muchos fenómenos de la naturaleza. boca abajo 5 veces y hacia arriba sólo una vez. siendo ésta una medida numérica de la verosimilitud del evento.Desarrollo Métodos para asignar Probabilidades. Ejemplo 1. es probable que una taza caiga de lado. a la larga. físico y matemático francés. publicada en 1812. Pero no queda claro exactamente qué tan a menudo. Transformada de Laplace y Determinismo científico 12 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . ambos igualmente probables. sean equiprobables. que implica el lanzamiento de una moneda no defectuosa. cuya probabilidad se busca. Ejemplo 2. caiga hacia arriba con mayor frecuencia que el otro. siempre y cuando el espacio muestral sea finito y los resultados sean igualmente probables. Para tener una idea. Como uno de los dos resultados y el evento de que caiga cara. Si se lanza una moneda al aire. viste que la probabilidad de un evento. dio una fórmula que se aplica a cualquiera de tales probabilidades teóricas. Las probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento de dados. Fórmula de la probabilidad empírica Si es un evento que puede suceder cuando se realiza un experimento. entonces la De modo que son tres los casos favorables al evento exactamente dos niñas. Por lo general. Aquí. { )}. donde las probabilidades de los diferentes resultados no estaban claras intuitivamente. Se efectuó un experimento real para llegar a un valor de probabilidad de un décimo. que sean exactamente dos mujeres: es la pareja Por medio de la fórmula de probabilidad teórica: ) b) En total ella tiene tres hijos. Observa que el espacio muestral lo forman las parejas: { ) ) ) )} El único resultado favorable para el evento . Este valor se encontró de acuerdo con la fórmula de la probabilidad experimental o empírica. la suposición de igual probabilidad permite el uso de probabilidad teórica. son igualmente probables. Luego la probabilidad de es: ) . Claudia quiere tener exactamente dos niñas. Ahora el espacio muestral para este caso es: { ) ) ) ) ) ) ) )} . en el ejemplo 2 implicó tener que lazar una taza al aire. Más ejemplos al respecto: Ejemplo 3.Fórmula de la probabilidad teórica Si todos los resultados en un espacio muestral probabilidad teórica del evento está dada por: ) Por otra parte. y es un evento en . determina la probabilidad de éxito en cada uno de los casos siguientes: a) En total tiene dos hijos. indicadas en el espacio muestral con negritas. BLOQUE 1 13 . Suponiendo que niño y niña son igualmente probables. en las aplicaciones queda claro cuál de las dos fórmulas de probabilidad debe usarse. entonces la probabilidad empírica del evento está dada por: ) En la cual la asignación de las probabilidades de los sucesos o eventos de interés se basan en la información observada y no en el conocimiento previo del proceso. Calcular la razón del número de caras al número total de lanzamientos. y así sucesivamente.Aunque en este ejemplo se supuso que tanto niños como niñas tienen la misma probabilidad de ocurrir.33. 0. En un año reciente. Este valor “limite” sólo puede ocurrir cuando el número real de lanzamientos observados se aproxime al número total de lanzamientos de la taza. Para obtener las razones se toma en cuenta que los dos primeros resultados son sellos. 0. 14 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . en general. la probabilidad empírica resultante debe tender a estar más cerca del valor teórico. en realidad nunca se encontraría la probabilidad teórica que se pretende.60.inegi. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona fuese hombre? Ya que los nacimientos de hombres y mujeres no son igualmente probables. después del primer lanzamiento. etc. el sexto lanzamiento es sello. produciendo la siguiente secuencia de resultados.…resultado de dividir respectivamente . el nuevo valor sería probablemente diferente (al menos un poco) del que se obtuvo. los valores de la probabilidad empírica resultante pueden aproximarse a algún valor particular. 0. por lo que ⁄ .aspx?tema Ejemplo 4. de ahí que la razón sea ⁄ . y con ayuda del Excel mostrar estas razones en una gráfica. Conforme el número de lanzamientos se hace cada vez más grande. el segundo lanzamiento. El quinto lanzamiento nuevamente es cara. la proporción de resultados favorables a cualquier evento tenderá a estar cada vez más próxima a la probabilidad teórica de ese evento. . así que la razón es ⁄ . pero sería mejor en el sentido de que se basa en un conjunto mayor de resultados. ⁄ .00. .00. 613 millones de hombres y 1. y cuando el número real de lanzamientos observados aumente. Aún sería una probabilidad empírica. 0. Si es así. La gráfica muestra cómo las fluctuaciones alrededor del 0. es decir.mx/poblacion/mujeresyhombres. el cuarto lanzamiento vuelve a ser cara.50. 531 millones de mujeres. hasta completar los 35 lanzamientos. y se tiene información específica experimental que respalda este hecho. por lo regular hay siempre más mujeres en cualquier momento dado.50. Las primeras razones a dos lugares decimales. el tercer lanzamiento y así. los nacimientos en México incluían 1. ) ) Ahora piensa nuevamente en la taza del ejemplo 2. . . debido al mayor índice de mortalidad entre hombres y a la esperanza de vida más larga en las mujeres. se calcula la probabilidad empírica. Si una persona fue seleccionada aleatoriamente de los registros de nacimientos de ese año. Este importante principio se conoce como ley de los grandes números o en algunas ocasiones como ley de los promedios.00. son 0. por lo común. Como potencialmente existe un número infinito de posibles lanzamientos. A la vez. ese número puede definirse como la probabilidad teórica de que esa taza caiga boca abajo. ¿Una moneda no defectuosa se lanzó 35 veces. los nacimientos de niños ocurren con un frecuencia un poco mayor. Ley de los grandes números Cuando un experimento se repite más y más veces.gob. 0.50 son más pequeñas. Pero aún se puede suponer que tal número existe. Luego el tercer resultado es cara. de ahí que los dos primeros lugares sean 0. Para cerciorarte de este comentario consulta los censos poblacionales del INEGI en la página: http://cuentame. Ejemplo 5. sucesivamente. . Si se lanza 100 veces en lugar de 50. ya que la expresión que calcula la probabilidad. Entre más grande sea el número en que se basa la estimación. Observa que la ley de los grandes números proporciona una conexión importante entre las probabilidades empírica y teórica.conforme el número de lanzamientos aumenta. aplica para espacios con igual probabilidad (equiprobables). De manera similar. realiza el experimento de lanzar dos monedas no defectuosas 100 veces y calcula esta probabilidad de forma empírica. De la fórmula de probabilidad teórica se deducirán algunas propiedades de la probabilidad. conocer la probabilidad teórica de un evento permite predecir la fracción de veces que ocurrirá en una serie de experimentos repetidos. Para que te convenzas de que ⁄ es mejor que ⁄ . Esto se puede expresar mediante la cardinalidad de un conjunto como sigue ) ). Conocer la probabilidad empírica para un evento permite estimar su probabilidad teórica. BLOQUE 1 15 . claro está. de acuerdo con la ley de los grandes números. La predicción será más precisa. Como cualquier evento es subconjunto de . lo cual es incorrecto. pero menor que el número de elementos de . para un número grande de repeticiones. Al dividir todo entre el número de elementos del espacio muestral queda: ) ) ) ) ) o ) . y la razón parece que se aproxima a 0. se tiene que: { } ) La probabilidad de que salgan dos caras: . Propiedades de la probabilidad. se sabe que el número de elementos del conjunto es mayor que cero. donde ) es el número de elementos del conjunto en este caso. Para el experimento de lanzar dos monedas al aire no defectuosas se tiene el espacio muestral: { La probabilidad del evento que salgan dos caras es: ) . ) ) ) )} en tanto que si se considera el espacio muestral con resultados no igualmente probables. simplemente por deducción. más confiable será esta.50 en la parte derecha de la gráfica. En el lanzamiento de un dado regular (sin truco) determina la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: Para cada caso se obtiene primeramente el espacio muestral. Estas propiedades se resumen a continuación: Sea un evento en el espacio muestral . . inclusive. se puede escribir esta ecuación de dos formas equivalentes. ) ) 16 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . . } d) Obtener un número menor que 7. de las cuales. inclusive. lo cual es ) ) cierto para cualesquiera dos eventos complementarios. { ) b) Obtener un número distinto de 2. es un subconjunto de . La probabilidad de un evento seguro es uno. para luego marcar dentro de este los casos favorables del evento simple en cuestión: a) Obtener el número 2. 2. } { ) . entonces el número de elementos de ese conjunto debe ser 0 ( es el ) conjunto nulo o vacío). Ejemplo 6. ) ) ) . esto es. entonces el número de elementos de es igual al número de elementos del espacio muestral. esto es. la más útil se indica en la siguiente regla. Entonces: 1. Si el evento es imposible (no puede suceder). La probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1. Reagrupando términos. La probabilidad de que un evento ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. La probabilidad de un evento imposible es cero. 3. por lo que: ) ) ) ) . . } Observa que los incisos c) y d) del ejemplo anterior ilustran las propiedades 2 y 3 respectivamente. Regla del complemento de la probabilidad. { ) .En palabras esto significa que la probabilidad de cualquier evento es un número entre 0 y 1. } c) Obtener el número 7. por lo tanto Por otro lado. . { ) . Observa también que los eventos en los incisos a) y b) son complemento uno del otro y que sus probabilidades suman 1. si un evento es seguro (es inevitable que ocurra). tréboles negro. donde se vieron ejemplos de operaciones con conjuntos (unión. intersección) que en teoría de probabilidad equivale a eventos compuestos. 10. que las que no son reyes.El siguiente ejemplo ilustra la forma en que la regla del complemento permite calcular probabilidades de forma indirecta. Dependiendo del juego el As también es considerado como la última carta. la sota (J). Se escoge un número de manera aleatoria del conjunto: { } Determina la probabilidad de que sea un número impar o múltiplo de 3. Sea tanto: ) ) . Cada palo tiene 13 denominaciones As. “y”. En tu curso de probabilidad pasado se desarrolló la teoría de conjuntos. Donde es el evento tomar un rey. por mencionar algunos. recuerda que es el evento en el que ocurre por lo menos uno de los dos eventos simples. 2. Por lo Ahora se considerarán ejemplos de eventos compuestos.9. se )o desea calcular ). ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey? Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos: espadas negras.…. El As es el uno. diamantes rojos. Se tienen entonces de cada evento los siguientes { } { } Distribuyendo los elementos de estos conjuntos en un diagrama de Venn quedan. Eventos compuestos que incluyen el conectivo “o” Ejemplo 8. En esta secuencia. recuerda que estos eventos se caracterizan por combinar eventos simples mediante conectivos lógicos como “o”. J. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. BLOQUE 1 17 . corazones rojos. Ejemplo 7. cuando ello resulta más sencillo. Q. el objetivo es calcular la probabilidad de estos eventos compuestos. por ejemplo: para los eventos simples y . Primeramente se dará nombre a los eventos simples de la siguiente manera: que el número sea impar y elementos: que el número sea múltiplo de 3. 3. K. el evento de no tomar un rey. Es más fácil contar las cartas que son reyes. Paco planea ver uno que elegirá de forma aleatoria cerrando los ojos y seleccionando con el dedo el desplegado impreso de la programación televisiva. Los enteros 3 y 9 son tanto números impares como múltiplos de 3. Por lo que: ) ) ) ) ) ) ) ) ) . 9 son interesantes y 5 son educativos e interesantes. La regla correcta se establece de la siguiente forma. Regla general para la suma de probabilidades Si y son dos eventos cualesquiera. Si 8 de los programas son educativos. ) y ) ) . Si se hubiera hecho así. en este ejemplo el resultado que se hubiera obtenido sería. que un programa tenga por lo menos uno de estos atributos significa: o que el programa es educativo o que es interesante. Por lo tanto. que el programa sea interesante. (Ya que los conectivos lógicos “o” e “y” corresponden a las operaciones de conjuntos (unión) e (intersección) respectivamente. ) ) En general. entonces: ) ) Enseguida se muestra un ejemplo del uso de esta regla. El El diagrama muestra la posición de los 10 elementos dentro del espacio muestral y se ve que evento compuesto corresponde al conjumto . determina la probabilidad de que el programa que vea tenga por lo menos uno de estos atributos. Ejemplo 10. mediante la fórmula de la probabilidad teórica. se puede establecer dos versiones de esta regla). Lo cual es incorrecto ya que se estarían contando los resultados que están dentro de la intersección dos veces. Utilizando la regla general de la suma de probabilidades se tiene: ) Por otra parte ) . Supóngase que se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas.{ }. Así que se pide calcular la probabilidad de . De los 20 programas de televisión que se presentarán esta noche. 18 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Determina la probabilidad de que sea espada o roja. Si que el programa sea educativo. Ejemplo 9. no se puede tan sólo sumar probabilidades individuales de cada uno de los eventos simples que intervienen en el evento compuesto de la forma . ya que no existen cartas de espadas rojas (todas las espadas son negras). y hay 13 cartas por palo como se muestra en la figura. Ejemplo 11. En este ejemplo se vio que el evento sea “espada y roja” tiene probabilidad cero porque. De forma general. (En teoría de conjuntos recuerda que a dichos eventos se les denomina “ajenos” o “disjuntos”).15 19 . Por lo tanto. si representa el número de horas dedicadas a la tarea. puede aplicarse una extensión de la regla especial de la suma. pero el evento de que la carta seleccionada sea espada y roja. entonces: ) ) ) ) ) ) A menudo es posible encontrarse con casos en los que necesitan considerarse composiciones de más de dos eventos.10 0.10 0. la regla de la suma de probabilidades adquiere una Regla especial para la suma de probabilidades Si y son dos eventos mutuamente excluyentes en un experimento dado. la baraja inglesa consta de 26 cartas rojas (diamantes y corazones) y 26 negras (espadas y tréboles). De hecho. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan sólo una hora esta noche. el tercer término de la fórmula para la suma será 0 (por la propiedad 2 de la probabilidad) por lo que puede omitirse.05 0. Cuando cada evento asociado es mutuamente excluyente de todos los demás. no es posible que pueda suceder. Para cualesquiera dos eventos forma más sencilla. Sea que la carta sea espada y que la carta sea roja. entonces ella asigna probabilidades a los diferentes valores de .Recuerda. cuando dos eventos no pueden darse al mismo tiempo se dice que son mutuamente excluyentes. al tomar sólo una carta no es posible que la espada y el color rojo salgan al mismo tiempo. mutuamente excluyentes.20 0.40 0. De ahí que: ) . como se muestra en la siguiente tabla: ) 1 2 3 4 5 6 BLOQUE 1 0. debiendo ajustar la fórmula restando la probabilidad del evento en aquellos casos donde los eventos no son mutuamente excluyentes. de los cuales 5 estudian física. Ahora se considera. ). Básicamente se sumaron las probabilidades del evento y del evento . por lo que ) ) ) ) . ni 4 horas. esto es ) Eventos compuestos que incluyen el conectivo “y” En el párrafo anterior se desarrollaron reglas para determinar la probabilidad de eventos de la forma . ya que si Ana requiere de 3 horas para hacer su tarea. En una clase universitaria de ciencias hay 30 alumnos. Utilizando una desigualdad como el caso anterior “más de 2 horas” se expresa sean 3 o 4 o 5 o 6 horas. Los 6 períodos determinados son mutuamente excluyentes entre sí.(Se está suponiendo que el tiempo real necesario se redondeará a la hora más cercana y que no tomará menos de una hora ni más de 6. la tarea consta de dos etapas. 22 son mujeres y el resto hombres. 15 matemáticas y 10 biología. cómo determinar la probabilidad de cualquier evento de la forma . cuando los eventos son mutuamente excluyentes o ajenos. Si se escoge un estudiante al azar para pasar al pizarrón. por lo que 8 son hombres (casos favorables). ) ) Por lo tanto )significando esto que Ejemplo 12. pero no más de 5. Para esto se sabe que son 30 alumnos (casos posibles) y que de ellos 22 son mujeres. de manera general. b) Más de 2 horas. Determina la probabilidad de que Ana termine su tarea en cada uno de los siguientes períodos: a) Menos de 3 horas. Es decir estudiar 2 o 3 o 4 o 5. Por medio de la fórmula de probabilidad teórica se tiene: ) 20 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . “Menos de 3 horas” significa 1 o 2. para terminar su tarea). entonces no necesitará ni 2 horas. Primero se calculará la probabilidad del evento que sea hombre. De estos mismos. esto se puede expresar con la siguiente desigualdad . por lo que: ) ) c) Más de una hora. ¿cuál sería la probabilidad de que este sea hombre y estudiante de matemáticas? 5 22 mujeres 15 10 Física Matemáticas Biología 5 8 hombres 15 10 Física Matemáticas Biología De acuerdo al diagrama de árbol. ni cualquiera de las otras opciones. Ahora se calculará la probabilidad del evento ser estudiante de matemáticas. Recuerda que 30 son los casos posibles, y que de estos, 15 estudian matemáticas (casos favorables). Así se tiene que: ) La probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente, será el producto de las probabilidades de cada suceso. Es decir: ) ( )( ) Ejemplo 13. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto { de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3. El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado { Sea que el número sea par y }, } determine la probabilidad que el número sea múltiplo de 3, entonces: { } ) ) . { } { }. Por lo tanto por medio de la fórmula de El evento compuesto probabilidad teórica, corresponde al conjunto ( La fórmula general de probabilidad del evento , que se verá más adelante, exigirá que se multipliquen las probabilidades individuales del evento . Pero, como se muestra en el ejemplo 13, eso debe hacerse con ) ) precaución. Aunque y , al multiplicar simplemente estos dos números se hubiera obtenido . Lo cual es incorrecto; el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de que ha ocurrido el primer evento (o está ocurriendo u ocurrirá, pues el tiempo carece aquí de importancia). Este tipo de probabilidad, calculada bajo alguna suposición especial, se conoce como probabilidad condicional, que se estudiará en el siguiente bloque. BLOQUE 1 21 Actividad: 2 En equipo resuelvan los siguientes problemas. 1. Se considera el tipo de secadora de ropa (de gas o eléctrica) comprada por cinco clientes de una tienda. Si la probabilidad de que a lo más uno compre secadora eléctrica es de 0.087. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 compren secadora eléctrica? 2. El evento 𝐴 es que el próximo préstamo de una biblioteca sea un libro que no es de ficción y 𝐵 que sea de ficción. Supongamos que 𝑃 𝐴) y 𝑃 𝐵) . a) Calcula 𝑃 𝐴𝑐 ) b) Calcula 𝑃 𝐴 𝑜 𝐵) 3. Las tres opciones preferidas en cierto automóvil nuevo son:  Transmisión automática 𝐴)  Dirección hidráulica 𝐵)  Seis cilindros 𝐶) Se sabe que: el 70% de los compradores piden 𝐴; el 80% pide el tipo 𝐵, 75% piden 𝐶; 85% piden 𝐴 𝑜 𝐵; 90% 𝐵 𝑜 𝐶; 98% piden 𝐴 𝑜 𝐵 𝑜 𝐶. a) Elabora un diagrama de Venn Euler para representar los tres eventos. 22 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO Actividad: 2 (continuación) b) Determina la probabilidad de que un comprador elija al menos una de las tres opciones. c) Determina la probabilidad de que un comprador no seleccione ninguna de las tres opciones. 4. La madrina de recuerdos de una boda ha comprado dos tipos de arreglos: 50 velas y 50 centros de mesa para los invitados, ¿cuál es la probabilidad de que a un invitado le toque recuerdo de vela o centro de mesa, si es que llegaron 150 invitados y a cada uno sólo le obsequian un recuerdo? 5. Si se lanzan 2 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos? Actividad: 2 Conceptual Reconoce las propiedades y reglas de la probabilidad. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula la probabilidad de eventos Aporta ideas y respeta las simples y compuestos mediante aportaciones de sus las propiedades y reglas de la compañeros. probabilidad. C MC NC Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes y dispongas de información de interés: http://www.wiris.net/planetamatematico.com/whiteboard/es/index-sta.htm http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k http://www.youtube.com/watch?v=wPmi1pcoDq8 http://www.youtube.com/watch?v=Wq-MeZLKi2k&playnext=1&list=PL03A6D9A990D7F560 http://www.youtube.com/watch?v=-5EG28z2E08 http://www.youtube.com/watch?v=_vSG858zfNI&feature=fvsr BLOQUE 1 23 Los datos de esta encuesta se presentan en la siguiente tabla. ¿qué probabilidad tiene? Si se selecciona una familia de las encuestadas al azar: c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga necesidad de llamar al exterior y esté adherida a un plan de larga distancia? 24 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO .   1. En el último año las compañías de teléfonos han hecho grandes esfuerzos para atraer nuevos clientes. Supón que en una muestra de 400 familias una compañía telefónica obtuvo información sobre el interés de planes de larga distancia y sobre las necesidades semanales de realizar llamadas de larga distancia internacional. Adherido a algún plan de larga distancia Necesidad de llamar semanalmente al exterior Si No TOTAL Si 120 30 150 No 120 130 250 Total 240 160 400 A partir de la información de la tabla: a) Proporciona un ejemplo de evento simple y determina su probabilidad b) ¿Cuál es el evento complemento de tener necesidad de llamar semanalmente al exterior?.Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. Justifica tu respuesta. 2. a) Las parejas resultantes son: b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 4? BLOQUE 1 25 . no juegue volibol o beisbol? Simultáneamente se arrojan un dado y una moneda. 2 alumnos juegas los 3 deportes 3 alumnos juegan futbol y beisbol 2 alumnos juegan futbol y voleibol 3 alumnos juegan beisbol y voleibol Elabora un diagrama de Venn Euler. Si escogemos al azar un alumno: ¿Cuál es la probabilidad de que…: a) juegue futbol o beisbol? b) juegue volibol? c) no juegue volibol? d) practique los tres deportes? e) juegue futbol o volibol? f) 3. son mutuamente excluyentes. De 46 alumnos de un grupo. 16 juegan beisbol y 14 volibol.Actividad: 3 (continuación) d) ¿Cuál es la probabilidad que la familia seleccionada no se haya adherido a ningún plan de larga distancia? e) Di si los eventos 𝐴 ∶ Está adherido a un plan de larga distancia y 𝐵 Tiene necesidad de llamar al exterior semanalmente. Escribe el espacio muestral y contesta a las siguientes preguntas. 18 juegan futbol. Calificación otorgada por el docente 26 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . externando sus ideas. C MC NC Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad mostrando interés en la misma. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Un cubo de madera se pinta de blanco y lego se separa en cubitos (como indica la figura) Si se escoge uno de estos cubitos al azar. ¿qué probabilidad hay de que…: a) tenga 6 caras blancas? b) tenga 3 caras blancas? c) tenga una cara blanca? d) no tenga caras blancas? e) no tenga ninguna cara blanca?                                                                                                                            Actividad: 3 Conceptual Comprende las propiedades y reglas de la probabilidad.Actividad: 3 (continuación) c) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un sello? d) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan 4 y un sello? e) ¿Cuál es la probabilidad de que caigan una cara y un 5? 4. tanto en eventos simples como en compuestos. Saberes Procedimental Aplica propiedades y reglas de probabilidad para calcular la probabilidad de eventos. en la presentación de una conferencia. Presidente. dígito 1 2 3 2 3 BLOQUE 1 27 .  a) Elabora una lista de las diferentes formas de elegir estos tres puestos.________._______ _________._______ _________. 1.________. Considera un club con cinco miembros: Andrea. A:Andrea A:Andrea B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva 2.________. Escribe en la tabla todos los números de dos dígitos que se pueden escribir con los números { }. tesorero _________. Beto. dígito 1 1er. ¿de cuántas y cuáles formas se pueden elegir? Utiliza la siguiente tabla como apoyo para la selección._______ b) Si se eligen dos personas como representantes del Club._______ _________.________. Daniel y Eva. para abreviar usaremos las letras 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 (suponiendo que todos los miembros son elegibles). secretario._______ _________. B:Beto C:Carla D:Daniel E:Eva 2do.________.Secuencia didáctica 2._______ _________. Carla.________. Principio fundamental de conteo. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se solicita. tienen boletos para cuatro asientos reservados en primera fila para un concierto de rock._______.__________ _________._______. ________ triángulos. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? Comenta con tus compañeros la forma de conteo que utilizaste para obtener la respuesta. 4.________. 28 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . B: Betty. A: Andy. C: Clau y D: Dany.________. _________.__________ _________. En una tabla escribe todos los posibles resultados que se obtienen cuando se lanzan dos dados comunes._______.________.Actividad: 1 (continuación) 3. Escribe 3 maneras diferentes en las que pueden sentarse.__________ 5. de modo que Andy y Betty estén juntos. _______ _________. Apoyándote del esquema._______ _________. _________. Autoevaluación Evaluación Producto: Esquemas. Saberes Procedimental Construye los posibles resultados de un proceso de conteo. chocolate y queso). escribe 5 formas diferentes en las que puedes combinar los platillos del menú._______ Actividad: 1 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo. 2 guisados (estofado y pescado) y 3 sabores de helado como postre (nuez.________.________.________.Actividad: 1 (continuación) 6.________._______ _________. verduras y fideos). Calificación otorgada por el docente BLOQUE 1 29 .________._______ _________. C MC NC Puntaje: Actitudinal Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad. En un restaurante se prepara un menú que consta de 3 sopas (tortillas. Cuando una tarea consta de más de dos etapas. 17. Determina cuáles y cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los números{ }. 51. 75. distingue básicamente tres diferentes formas que hay para llevar a cabo estos agrupamientos: Permutaciones y Combinaciones. Otra herramienta útil es el diagrama de árbol. Para ello. luego elegir el segundo. Todos los métodos de conteo que se estudiarán en esta secuencia implican proponer una lista real de los posibles resultados para una determinada tarea. 31. Para calcular probabilidades. Esta tarea consta de dos etapas: seleccionar un primer dígito. es muy importante emplear un método sistemático. sistemáticamente se han considerado todos los posibles resultados sin olvidar ninguno de ellos. entre otros. Ejemplo 2. 57.13. sin embargo. Cuando se listan todos los posibles resultados. la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. 35.Desarrollo Conteo mediante una lista sistemática. si ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado al mismo tiempo? 30 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO 1er. Este enfoque sólo es práctico para listas pequeñas. La teoría combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que se pueden obtener bajo algún modo de composición de los elementos. 53. artículos producidos por una fábrica. Existen 16 posibilidades. 71. Ejemplo 1. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números. que puede definirse como la parte de la Matemática que se dedica al estudio de los problemas relativos al cálculo del número de formas diferentes en que pueden agruparse una cantidad dada de objetos que poseen características determinadas cuando se toman todos o algunos de los elementos de un conjunto finito. empresas. Si sólo enlistas las posibilidades conforme se te van ocurriendo. 55. es muy probable que se te olvide nombrar algunas. Los resultados pueden representarse en una tabla de la siguiente manera: 2do. 73. como se muestra en los siguientes ejemplos. es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado. A menudo. no es fácil analizarla mediante una tabla. o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que se pueden formar tomando algunos de los elementos. En esta secuencia se tratarán las cuestiones elementales de teoría combinatoria. objetos.37. ¿Cuántas configuraciones diferentes pueden seleccionarse. ya que necesitarías una tabla de más de dos dimensiones. dígito . 33. que es difícil de construir en una hoja del cuaderno. para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio fundamental de conteo y los aportes realizados por la teoría combinatoria. Hay otros métodos desarrollados que permitirán determinar “cuántas” son las posibilidades sin realmente listarlas todas. teniendo en cuenta las relaciones que deben existir entre ellos. La impresora de la computadora de una oficina permite configuraciones especiales con un panel de cuatro conmutadores en hilera. 77. dígito 1 3 11 13 31 33 51 53 71 73 1 3 5 7 5 15 35 55 75 7 17 37 57 77 Observa que la lista de posibles resultados de la tabla son: 11. personas. Como ves. 15. cada una puede ser de 1. como son los equipos de computación. ¿Cuántos tipos posibles de vivienda tiene a disposición? El diagrama de árbol facilitará el listado de los posibles resultados. Conmutador 3er.Esta situación es característica de opciones seleccionadas por el usuario de diferentes dispositivos. Configuración 4to. ¿Cuántos triángulos comprende la figura? G I H D F E A B C BLOQUE 1 31 . En el diagrama de árbol se representa el “encendido” con el número 1. Ejemplo 3: Una familia desea adquirir una vivienda en cierta zona de la ciudad. se tienen 2 opciones para la primer etapa (casa o apartamento) y 3 opciones para la segunda (número de dormitorios). 2 o 3 dormitorios. Por lo que son 6 los posibles tipos de vivienda que la familia tiene a disposición. Conmutador 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0101 0110 0111 1010 1011 1101 1110 1111 Observa que cada vez que un conmutador indica que está apagado (0) en el diagrama de árbol. y “apagado” con el 0 (una práctica común). Por tanto. Ejemplo 4. Esto es para satisfacer la restricción de que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar al mismo tiempo apagado. A su vez. de los Conmutador conmutadores 1er. el siguiente conmutador sólo puede estar encendido (1). los mecanismos para abrir una puerta de cochera y otros equipos. Conmutador 2do. son 8 las configuraciones diferentes que pueden seleccionarse. 1 Dormitorio Casa 2 Dormitorios 3 Dormitorios 1 Dormitorio Apartamento 2 Dormitorios 3 Dormitorios Existen dos etapas para esta tarea. y se le presentan las siguientes posibilidades: casa o apartamento. Actividad: 2 En equipos de cuatro. entonces no es necesario elaborar una lista. Observa en todos estos ejemplos que utilizar un sistema definido asegurará una lista completa de todos los posibles resultados para varias tareas. Luego. El total es nuevamente 16 triángulos. si el número total de posibles resultados es todo lo que necesitas saber. 1.Un método sistemático es marcar los puntos. escriban las parejas de números para los que la suma (de los puntos de la cara de ambos dados) sea la siguiente: Suma 2 8 Par Entre 6 y 10 De 6 a 8 Menor que 5 Impar 7 2. listar los que constan de dos regiones cada uno: . De todos los posibles resultados del lanzamiento de dos dados. Elaboren una tabla donde escriban todos los posibles números de 2 dígitos que se pueden formar con el } suponiendo que: conjunto de números { a) Se permite repetir los dígitos. como es el caso del ejemplo 3. luego proceder en orden alfabético para escribir todas las combinaciones de tres letras y.y los de cuatro regiones cada uno: . tachar las que no son triángulos en la figura. finalmente. iniciando con A. Enseguida. Sin embargo. No hay triángulos de tres regiones. Resultados 32 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . desarrollen lo que se solicita. verás formas de calcular “cuántos” por medio del principio fundamental de conteo. Por último en la figura hay 16 triángulos diferentes ¿Por qué no están incluidas las ternas en la lista? y (y muchas otras) Otro método podría ser identificar primero los triángulos que constan cada uno de una sola región: . en especial cuando la lista es larga. como se muestra en la figura. ya que con frecuencia es muy tedioso y díficil obtenerla. b) Números primos. f) 4. b) Menos de dos caras.Actividad: 2 (continuación) b) No se permite repetir los dígitos. Luego listen los resultados: a) Al menos dos caras. Números cuadrados. De los treinta y seis números de la tabla del problema 2. c) Más de dos caras. Elaboren un diagrama de árbol donde se muestren todos los resultados posibles cuando se lanzan tres monedas. e) Múltiplos de 6. c) Números con dígitos repetidos. d) Potencias de dos. BLOQUE 1 33 . d) No más de dos caras. 3. a) Números impares. listen los que pertenecen a cada una de las siguientes categorías. ____________. ¿cuántos segmentos pueden dibujarse con cada una de las longitudes siguientes? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ________. 7. _________. Es respetuoso con sus compañeros y aporta ideas en la resolución de la actividad. C MC NC Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de la sistematización en el conteo. Evaluación Producto: Listas sistemáticas de conteo Saberes Procedimental Representa sistemáticamente los posibles resultados de un proceso de conteo. ¿cuántos habrá si se tiran tres dados? Actividad: 2 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo. _________ 6. En el patrón que se observa abajo. los puntos están a una unidad de distancia. Cuando se lanzan dos dados se tienen 36 resultados diferentes. Autoevaluación Calificación otorgada por el docente 34 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . tanto horizontal como vertical. Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse.Actividad: 2 (continuación) 5. Si un segmento puede unir dos puntos cualesquiera. __________. Suponiendo que no hay restricciones para los interruptores elaboren un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel. o diseñar. Este principio establece que todos los posibles resultados en una situación dada se pueden encontrar multiplicando el número de formas en la que puede suceder cada evento. en realidad son números de un dígito. 30. Segunda etapa: Seleccionar el segundo dígito. ¿Cuántos números de dos dígitos no contienen dígitos repetidos? (por ejemplo 66 no se permite). BLOQUE 1 35 . Por lo tanto. con diez opciones posibles. Como el número debe estar formado por dos dígitos. de aquí que haya 10 formas de seleccionar el segundo dígito (de 0 a 9). Como ya se mencionó. la segunda en 𝑛 formas. el segundo dígito podría haberse elegido primero. 03. Principio fundamental de conteo Cuando una tarea consiste en 𝑘 etapas separadas. esto daría como resultado 8 opciones. hasta la 𝑘 é𝑠𝑖𝑚𝑎 etapa. que puede hacerse de 𝑛𝑘 formas. ya que. no se considera el cero para esta etapa. ¿Cuántos números de dos dígitos hay en nuestro sistema (base diez) de números naturales? La “tarea” es seleccionar.. Segunda etapa: Elegir el segundo dígito. Por lo que el número total de posibilidades de elegir un números de dos cifras de las cuales estas no se repitan es . Luego quedan nueve opciones para el segundo dígito. La tarea básica. Ejemplo 2. el total es . entonces el número total de resultados posibles para completar la tarea está dado por el producto 𝑛 𝑛 𝑛 ⋯ 𝑛𝑘 Ejemplo 1. Por lo tanto hay nueve opciones posibles para el primer dígito (de 1 a 9). Nuevamente. si la primera puede realizarse en 𝑛 formas. En este ejemplo.Principio fundamental de conteo. el cero es posible para esta etapa. se debe de descartar el dígito seleccionado en la primera etapa. por lo que hay nueve formas de seleccionar el primer dígito (de 1 a 9). Luego. etc. un número de dos dígitos. ya que si tiene sentido hablar de 20. el número total de posibilidades es . Primera etapa: Seleccionar el primer dígito. 02. pero se debe considerar el 0 como una opción para el segundo dígito. hay nueve opciones para el primer dígito. que hay dos o más características que pueden variar. 40 como números de dos dígitos por ejemplo. La restricción del número de dos dígitos es que estos no se repitan. 01. de nuevo. 08 no lo es. esto es. Esta labor consta de dos partes o etapas. Aunque 80 es un número de dos dígitos. es seleccionar un número de dos dígitos y hay dos etapas o partes para hacerlo. El principio fundamental de conteo también conocido como regla de la multiplicación se puede utilizar para determinar los posibles resultados cuando una tarea consta de varias etapas. por lo tanto. Primera etapa: Elegir el primer dígito. el principio fundamental de conteo muestra que existen. ¿Cuántos números de cuatro dígitos hay en nuestro sistema de números de conteo (naturales)? La tarea de seleccionar un número de cuatro dígitos se compone de cuatro etapas. a su presidente. considerando que el alfabeto tiene 26 letras. no sería posible decidir el número de opciones para el primer dígito. considera primero ese cargo. Ejemplo 5. ¿Cuántas placas diferentes son posibles. Ejemplo 3. Como no hay restricciones sobre las letras o los dígitos que se utilizarán. luego quedan cuatro opciones para presidente (las tres mujeres junto con el hombre que no quedó como secretario). como en el caso anterior. 3 mujeres y 2 hombres. salvo que el primer dígito debe ser distinto de cero. Hay seis partes o etapas que componen esta tarea. se habrían tenido problemas. Para evitar esta clase de ambigüedades. ya que no hay manera de saber si el segundo dígito fue cero u otro distinto de cero. La numeración de las placas de matrícula para carros particulares en México. Hay dos opciones. ¿De cuántas maneras puede un grupo escolar elegir de entre 5 candidatos. secretario y tesorero. si el secretario debe ser hombre? Como la restricción especial se aplica al secretario. placas. se compone de 3 letras seguidas de 4 dígitos.Si se hubiera empezado por el segundo dígito en el ejemplo 2. porque después de observar que existen 10 opciones para el segundo dígito. Ejemplo 4. antes que sea necesario un nuevo esquema? La tarea básica es diseñar una numeración que conste de tres letras seguidas por tres dígitos. 36 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . El número total de formas es . es mejor empezar por cualquier parte de la tarea que tenga alguna restricción especial. Por último hay tres opciones para tesorero (las tres personas que hasta el momento no han sido elegidas para un cargo). Un panel que contiene seguidos tres interruptores de encendido y apagado está por activarse. En ambos ejemplos el primer dígito está restringido a que no puede ser cero. Explica con tus propias palabras el principio fundamental de conteo. así que considéralo primero. Suponiendo que no hay limitaciones para los interruptores. Actividad: 3 Mediante el principio fundamental de conteo resuelve lo siguiente: 1. utiliza el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. No hay restricción asociada. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 2. Por lo que hay posibles números de cuatro dígitos. Actividad: 3 (continuación) 3. Suponiendo que no hay restricciones, elabora un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel del problema 2. 4. Del problema 2, considera que ningún par de conmutadores adyacentes puede estar apagado. Puedes usar el principio fundamental de conteo para determinar el número total de posibles activaciones. Argumenta tu respuesta. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 5. Construye un diagrama de árbol para listar todas las posibles activaciones del panel con la restricción del problema 4. 6. El club de porristas formado por los siguientes elementos {𝐴𝑛𝑑𝑟é𝑠 𝐵𝑒𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡 𝑦 𝐷𝑎𝑣𝑖𝑑 𝐸𝑚𝑚𝑎}, se está preparando para una presentación en su escuela. a) ¿De cuántas maneras pueden alinearse en una fila los cinco miembros para una fotografía? b) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos miembros uno para iniciar la presentación y otro para clausurarla, dado que Beto no estará presente? c) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse un hombre y una mujer para que hagan la decoración del escenario? BLOQUE 1 37 Actividad: 3 Conceptual Comprende el principio fundamental de conteo en la solución de problemas cotidianos. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Utiliza el principio fundamental de conteo para solucionar problemas cotidianos. C MC NC Puntaje: Actitudinal Se interesa en el análisis de los problemas. Calificación otorgada por el docente Factoriales. La cantidad de números de cuatro dígitos diferentes que se pueden formar puedes calcularla como sigue . Como este tipo de producto aparece con mucha frecuencia en las aplicaciones, se le conoce con un nombre y un símbolo. Fórmula de factorial Para cualquier número natural (número de conteo) 𝑛, el producto de todos los números naturales de 𝑛 a 1, se denomina 𝒏 factorial, se denota con 𝑛 y está dada por: ) ) ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 . Por ejemplo evalúa el factorial de las siguientes cantidades: a) b) c) ( ) d) e) ) ) ) ) 1. . ⋯ Observa las diferencias entre los incisos c) y e) y entre los incisos b) y d) anteriores. Con el fin de que el factorial sea definido para todos los números naturales, incluido el cero, se define el cero factorial de la siguiente manera. Más adelante te darás cuenta que esta definición especial hace que otros resultados sean más fáciles de expresar. Siempre que necesites conocer el número total de formas de ordenar o acomodar un número de objetos distintos, puedes utilizar un factorial, el principio fundamental de conteo lo hace, como ya lo vimos con anterioridad, pero los factoriales proporcionan una forma más corta. 38 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO Ordenamiento de 𝒏 objetos El número total de formas diferentes para acomodar 𝑛 objetos es : 𝑛 Ejemplo 1. Emilia tiene nueve trabajos que incluir en su portafolio de evidencia en la asignatura de química. ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos? Si el portafolio tuviera secciones como folders, para acomodar el primer trabajo, Emilia tendría nueve posibles lugares donde acomodarlo; para el segundo trabajo tendría ocho posibles lugares, puesto que el primero ya ocupa un lugar, para el tercero tendría siete posibles lugares, y así sucesivamente hasta acomodar el último trabajo que sólo tendría una opción de acomodo. Por lo que el número de formas de acomodar nueve objetos distintos es. . Ejemplo 2. Cada vez que Ana, bibliotecaria de una escuela, tiene que acomodar las nuevas adquisiciones de libros, lo hace de tal manera que todos los libros de la misma asignatura queden juntos. Si le llegaron 12 libros de Álgebra de distintas editoriales, ¿de cuántas maneras diferentes puede acomodarlos? Doce libros de Álgebra pueden acomodarse entonces de: .maneras diferentes. Si compruebas este resultado con el principio fundamental de conteo, te darás cuenta que, para acomodar el primer libro tiene 12 maneras distintas de hacerlo, luego para acomodar el segundo libro tiene 11 maneras de hacerlo puesto que el primer libro ya ocupó un lugar, para el tercer libro entonces, tiene 10 maneras de colocarlo, siguiendo este proceso, al colocar el último libro, éste tendrá sólo una manera de ser colocado, por lo que las maneras diferentes de acomodar los 12 libros de álgebra puede ser expresada por el producto: . Para facilitar la tarea de cálculo del factorial de un número, las máquinas calculadoras cuentan con una tecla que te proporciona el resultado directo. La función o , dependiendo del modelo, se activa presionando la tecla de segunda función (que en algunas máquinas es la tecla SHIFT, 2nd F o INV). Así, para calcular tienes que presionar primero el número, después la tecla de factorial previamente activada con SHIFT. BLOQUE 1 39 _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 2. Describe de qué manera conviene usar el factorial en problemas de conteo. a) b) − ) c) d) − ) e) − ) 40 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . 1. Sin utilizar calculadora evalúa las siguientes expresiones. en general. Explica si los siguientes resultados son o no verdaderos.Actividad: 4 Contesta a los siguientes cuestionamientos. y justifica tu respuesta con ejemplos específicos. a) 𝑚 𝑛) 𝑚 𝑛 b) 𝑚 ∙ 𝑛) 𝑚 ∙ 𝑛 3. aaamatematicas.htm BLOQUE 1 41 . Autoevaluación Evaluación Producto: Ejercicios. C MC NC Puntaje: Actitudinal Realiza el ejercicio con limpieza y claridad. Saberes Procedimental Aplica la definición de factorial para obtenerlo.Actividad: 4 (continuación) 4. Emma tiene siete ensayos que incluir en su carpeta de Inglés ¿De cuántas formas diferentes puede acomodarlos? 5. Cada vez que Laura lleva al parque a los nueve niños que tiene a su cuidado.amolasmates.com/sta-basic-cntg. todos ellos quieren estar siempre al frente de la fila. calculando el número de formas en las que se pueden agrupar un número de objetos.es/flash/combinatoria/mod_4publish/ http://www. http://www. Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes e interactúes. ¿De cuántas maneras diferentes puede acomodarlos? Actividad: 4 Conceptual Reconoce y describe la utilidad del factorial. David (D). iniciando en un asiento de pasillo. 3. Claudia (C). Emma (E) y Fernando (F) tenían reservados seis lugares en la fila de un teatro. ¿cuántos asientos están disponibles para B? c) Ahora. cuatro estuches para guitarra. ¿cuántos para C? 42 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . y tres opciones en la categoría de platillo fuerte. b) Las novelas deben ir juntas. Andy (A). Determina el número de comidas disponibles en cada uno de los siguientes casos: a) Se debe incluir un elemento de cada una de las tres categorías. ¿Cuántos equipos completos puede Leo seleccionar para iniciar su carrera musical? 4. a) Si A se sentó primero. ¿cuántos asientos están disponibles para él? b) Ahora. seis amplificadores y tres procesadores de efectos. 5. dos opciones en la categoría de pan. 1. con todos los artículos compatibles y todos adecuados para principiantes. Un distribuidor de equipo musical tiene diez guitarras diferentes. ¿Cuántos códigos postales de cinco dígitos en total pueden formarse utilizando todos los dígitos del código postal de Nicasio? 2. El código postal de Nicasio Mendoza es 83120. Betty (B). b) Sólo se incluirá una sopa y un platillo fuerte. ¿De cuántas maneras diferentes los puede acomodar en una hilera? si: a) Los libros de texto deben estar a la izquierda de las novelas. El restaurante La Casa Loma ofrece cuatro opciones en la categoría de sopa y ensalada (dos sopas y dos ensaladas).Cierre Actividad: 5 Resuelve los siguientes problemas. c) Ningún par de novelas debe estar junto. Jorge guarda cuatro libros de texto y tres novelas en su escritorio. un pan y una ensalada. c) Sólo se incluirá una sopa. 1 X — — — — 2 X X — — — 3 — X X — — 4 — — X X — 5 — — — X X 6 — — — — X a) ¿Cuántos pares de asientos pueden ocupar A y B? b) Ahora. 6. ¿cuántos para D? e) Ahora. ¿cuántos para F? g) Ahora multiplica las seis respuestas anteriores. primero da respuesta a la siguiente serie de preguntas. ¿en cuántos órdenes pueden sentarse ellos? c) Ahora. ¿cuántos para E? f) Ahora.Actividad: 5 (continuación) d) Ahora. ¿cuántos asientos están disponibles para C? d) ¿Cuántos para C? e) ¿Cuántos para D? f) ¿Cuántos para E? g) ¿Cuántos para F? BLOQUE 1 43 . dados los dos asientos para A y B. ¿De cuántas formas pueden sentarse de modo que Andy y Betty estén juntos? Apóyate de siguiente esquema. Actividad: 5 Conceptual Distingue el uso del principio fundamental de conteo y factoriales en problemas de aplicación. C MC NC Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores.Actividad: 5 (continuación) 7. b) No puede tomar Álgebra ni Programación en R. Saberes Procedimental Aplica el principio fundamental de conteo en la resolución de problemas cotidianos. e) Se retiraron los fondos para tres de los cursos de computación y para dos de los cursos de sociología. solamente a modo de ilustración. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Rodrigo es estudiante de Ciencias en Computación. 2005. que debe incluir una clase de cada una de las cuatro categorías que se muestran aquí. si: a) Todas las clases mostradas están disponibles. 13 Utiliza la tabla para que determines el número de formas que tiene Rodrigo de elegir su horario. d) No cumple con los requisitos previos para la literatura contemporánea y programación en C. c) Todas las secciones de Minorías étnicas y la mujer en la cultura hispana ya están llenas. está preparando su calendario de clases del próximo semestre. Calificación otorgada por el docente 44 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Opciones Número de opciones Literatura contemporánea Redacción Poesía moderna Álgebra Trigonometría Introducción a las hojas de cálculo Procesadores avanzados de texto Programación en C Programación en R Problemas sociales Sociología de Latinoamérica La mujer en la cultura hispana Minorías étnicas 3 Categoría Inglés Matemáticas 2 4 Ciencias de la computación Sociología 4 Total Origen: Datos ficticios. Inscripción en universidades locales. Evalúa cada expresión con ayuda de una calculadora. a) b) − ) c) d) ∙ BLOQUE 1 45 . 1. Simplifica las siguientes expresiones: ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙  ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 2. Inicio Actividad: 1 Desarrolla lo que se solicita.Secuencia didáctica 3. Teoría combinatoria. supongamos A. Carla. 46 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . El club de porristas formado por Andrea. y D. pero sólo se puede costear 2. 7. Melvin quiere comprar cuatro libros diferentes. ¿de cuántas maneras pueden ser elegidos si nadie puede ocupar más de un cargo? 5. Escribe en una lista las opciones de compra que Melvin puede hacer. Considerando que los subconjuntos 𝑎 𝑏 𝑐) 𝑎 𝑐 𝑏) 𝑏 𝑎 𝑐) por ejemplo. lista ahora los subconjuntos de tres elementos que se pueden formar. Daniel y Elsa. y determina cuántas son. Del conjunto formado por las letras {𝑎 𝑏 𝑐 𝑑}. C. Del mismo conjunto del problema 1. Beto.Actividad: 1 (continuación) 3. Anótalos en la siguiente tabla. B. quiere elegir a un presidente y a un secretario. 4. ¿Cuántos comités diferentes de tres miembros pueden elegirse del club de porristas del problema 4 de modo que haya sólo una mujer en el comité? 6. son el mismo. elabora una lista de todas las permutaciones de tres elementos que se puedan formar. Tréboles negros. Cuando se toma una carta de una baraja inglesa estándar de 52 cartas. Saberes Procedimental Actitudinal Determina el número de posibles resultados mediante principio Muestra interés y apertura en el fundamental de conteo y desarrollo de la actividad. de modo que haya sólo un hombre.9. J. Autoevaluación Evaluación Producto: Ejercicios y problemas Puntaje: aplicados. la reina (Q) y el rey (K) son “cartas con figura”. de la urna mostrada abajo._______ Actividad: 1 Conceptual Identifica diferentes formas de conteo. El As es el uno. en ese orden (sabiendo que la urna contiene 3 bolas grises. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 1 47 . la sota (J). 2. _________.________.…. sin reemplazo. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra. sin reemplazo. Cada palo tiene 13 denominaciones As. determina la probabilidad de que todas sean de corazones. Si se sacan cinco cartas. Lupita toma tres bolas. 11. ¿cuál es la probabilidad de que la carta seleccionada sea distinta a un rey? Una baraja inglesa de 52 cartas tiene 4 palos: Espadas negras._______ _________. Elabora una lista de los comités diferentes de tres miembros que podrían designar el club formado por Andrea. Diamantes rojos. 10. Daniel y Elsa._______ _________.Actividad: 1 8. 3. factoriales.________. 9. K. Corazones rojos._______ _________.________. Q.________. 10. blanca y gris. Beto. 10 negras y 7 blancas). Carla. es decir. el producto se detiene cuando hay tres factores. mientras el segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los elementos que no están en el primer lugar. cualquiera de ellos podría ser. por uno ) elementos restantes. 48 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Fórmula para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez. el número de permutaciones de objetos distintos tomados en grupos de a la vez. un ordenamiento es el número total de formas diferentes para acomodar objetos. para ocupar el ) los é lugar se tendrán elementos posibles. por lo común es más eficaz que aplicar el principio fundamental de conteo. el club tiene 4 formas para elegir al secretario y 3 maneras de elegir al tesorero. el club tiene 5 maneras de elegir al presidente. para este propósito se supone que . Los factores empiezan con el 5 y continúan de manera decreciente. al igual que en un producto factorial. La diferencia es que sólo tres de los miembros. la segunda al secretario y la tercera al tesorero. un secretario y un tesorero. Si se continúa el razonamiento. pero sin llegar a 1. (En este ejemplo. se obtiene: ) ) ) [ )] Al simplificar el último factor se obtiene la fórmula siguiente. están incluidos en cada caso. Por ejemplo. de los 120 que hay.) Otra forma de elaborar la misma pregunta es: ¿cuántos arreglos o disposiciones hay de cinco cosas tomadas de tres en tres? En el contexto de los problemas de conteo. El tercer lugar puede estar ocupado de los por cualquiera de los elementos que no están ni en el primer lugar ni en el segundo. una vez elegido al presidente. escritos de manera abreviada. ya que nadie puede ocupar más de un cargo. Observa. sin que nadie pueda ocupar más de un cargo? Una vez más. está dada por: 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑃𝑘 𝑛) 𝑛 𝑛 𝑘 ) Los factores de este producto empiezan de y descienden hasta que el número total de factoresque son . se denota por ). según el principio fundamental de conteo. esto es cuestión de ordenamientos o arreglos. Refrescando un poco la memoria. David y Emma puede acomodarse en } { } { } una fila para tomarse una fotografía. Esto se debe a que el primer lugar del grupo puede estar ocupado por uno cualquiera de los elementos. Como el número de objetos que se acomodará no puede exceder el número total disponible. La respuesta. en formas diferentes. Usar el factorial. Al aplicar el teorema fundamental de conteo para arreglos de este tipo. es formas o arreglos diferentes de hacer la elección. diagramas de árbol. considerando que la primera entrada corresponde al } { } { } { } cargo de presidente.Desarrollo Permutaciones. Algunos arreglos o disposiciones de esta elección. con frecuencia los arreglos se conocen como permutaciones. donde 𝑘 𝑛. el club integrado por Andrés. Beto Cathy. en lugar de los cinco. tablas y el principio fundamental de conteo para responder preguntas como: ¿de cuántas formas puede elegir el club a un presidente. { { } son sólo 4 arreglos o disposiciones. son: { { } { }. ya que los elementos deben ser diferentes. En el bloque anterior viste el factorial como una manera de contar el número de ordenamientos o arreglos de un determinado conjunto de objetos. es decir por uno cualquiera de ) elementos restantes. es decir. También has utilizado listas. es el número total de arreglos o disposiciones diferentes que se pueden formar con objetos. Empieza en 7. Empieza en 8. que en cada grupo los elementos son distintos. disminuye hasta que haya dos factores. por lo que debe ser igual a Esta fórmula siempre puede utilizarse para evaluar permutaciones. No se repiten los elementos. mientras que en la parte del ) Este cociente es igual a ) − ) ) )⋯ ) ) )⋯ ) ) ) )⋯ ) ) . Recuerda que: ) Al ampliar este producto hasta llegar a 1 se obtiene: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Multiplicando la expresión de permutaciones . Evalúa cada permutación: a) b) c) d) e) ) ) . objetos distintos tomados todos a la vez). . ) ) .Ahora. Empieza en 5. por un uno conveniente como se observa a continuación: ) ) ) )⋯ ) ) ) )⋯ )⋯ ) ) Tenemos en la parte del numerador de manera completa el factorial de denominador se tiene el factorial de . Sí importa el orden. Para todos los números enteros positivos se cumple que: . disminuye hasta que haya dos factores. ) ) ) . Empieza en 4. el número de formas en las que el club puede elegir a un presidente. y utiliza cinco factores. BLOQUE 1 49 . es decir. Observa que (Esto es el número de posibles resultados de En general las permutaciones también pueden relacionarse con los factoriales de la siguiente manera. Empieza en 5. ) ) ) ) ) . y utiliza cinco factores. y como se obtuvo multiplicando y dividiendo por la misma cantidad la expresión de . se cumple que:    No entran todos los elementos. Ejemplo 1. ) ) ) ) ) . . disminuye hasta que haya tres factores. un secretario y un tesorero puede denotarse por: ) ) ) ) ) ) ) Observa que en estos arreglos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez. Se sabe que el número a formar se compone de tres dígitos. el número de objetos tomados en grupos de 0 a la vez. el primero de ellos es el dígito de las centenas. cdu. DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO 50 . los de la lotería y otros casos particulares). Ejemplo 2. es 1. No se repiten los elementos. una calculadora con la tecla de cálculo directo para permutaciones. }? Para dar respuesta al problema. 231. De los 5 dígitos entran sólo 3. Así que las formas en que se puede elegir el primer dígito con . La fórmula anterior también muestra que cuando en . lo que significa que el primer dígito de la cifra (las centenas) lo puede ocupar sólo uno de los 5 números . se tratará la situación por partes. ) ) O bien. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { Del problema tienes que . Sí importa el orden. es: . ) ) En otras palabras. el número que se quiere formar de tres cifras diferentes. se tiene que: Por lo que la cantidad de números de tres cifras diferentes que se pueden formar son: Ejemplo 4. 321 son distintos entre sí. los números 123. Esto es razonable. de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez. puede calcularse como: 𝑛 𝑛 𝑃𝑘 𝑛 𝑘) Si y son muy grandes. puesto que. no puede comenzar por cero (excepto los de las matrículas. O mejor aún. Es decir. Utilizando la fórmula de factorial para las permutaciones. hay una sola forma en que no se puede acomodar ninguno de los objetos. (o todos a la vez) se calcula: ). El enunciado pide que las cifras sean diferentes. El número de permutaciones de elementos tomados de O también. Ejemplo 3. el segundo las decenas y el tercero las unidades. Calcular las permutaciones de 6 elementos tomados de tres en tres. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos: { Observa que se cumple inmediatamente que: }? No entran todos los elementos. donde 𝑘 𝑛.Fórmula factorial para las permutaciones El número de permutaciones o arreglos. Si notas en el conjunto de dígitos a seleccionar se encuentra el 0. una calculadora con una tecla para factorial y ésta fórmula ahorrarán mucho trabajo cuando se determinen permutaciones. es decir. es decir. Se supone que cada candidato presenta una sola obra. b) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones diferentes. Ejemplo 5. Por lo que la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor. y la posición de accésit puede ser ocupada por cualquiera de los 8 candidatos que no han logrado una posición en el concurso. en sólo 72 de ellos aparece el novelista mexicano como ganador. menos el que se ocupó en las centenas. Si te fijas. la novela mexicana resulte ganadora? a) De la información que proporciona el problema. esta calcula la cantidad de números de dos dígitos. El cuadro de honor lo forman el ganador. No entran todos los elementos. entre ellas la obra de un novelista mexicano. la suma de los números de las bolas sea un número par? a) Las diferentes posibilidades son todas las agrupaciones o arreglos de 2 bolas seleccionadas de las 4 que hay. que son 4. con las formas en las que se puede seleccionar este segundo dígito son: . el finalista y un accésit (mención honorífica). ya que los dígitos no se pueden repetir. (Cabe mencionar que el 0 si puede ocupar el dígito de las decenas o el de unidades). En la expresión de las permutaciones . b) Recuerda que la probabilidad de un evento se calcula dividiendo los casos favorables entre los casos totales. De una caja que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4 se extraen sucesivamente 2 sin reposición. Por lo que la cantidad de números de tres cifras que se pueden formar con los 6 dígitos. No se repiten los elementos. Ya que si el mexicano es ganador. se extraiga primero la bola 4? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en las extracciones. a) ¿Cuántas extracciones diferentes pueden resultar si se supone que interesa el orden de extracción? . la posición de finalista la puede ocupar cualquiera de los 9 candidatos que quedan. es decir. − ) y 3 conforman el cuadro de cuadros de honor. No es lo mismo quedar ganador que finalista. sin devolverlas a la caja. los números que se componen de decenas y unidades. De esta manera.El segundo dígito del número de tres cifras. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. es: . 10 candidatos hacen que honor significa que . ya que el factor 5 representa el número de formas en las que se puede seleccionar el dígito de las decenas. todos los pares ordenados posibles: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) extracciones diferentes. De 10 candidatos entran sólo 3. (las decenas) lo puede ocupar cualquier número del conjunto de dígitos. Así que de los 720 cuadros de honor que se pueden formar. la novela mexicana resulte ganadora es: ) Ejemplo 6. Sí importa el orden. a) ¿Cuántos cuadros de honor se pueden formar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los cuadros de honor. BLOQUE 1 51 . en el cálculo de esta última permutación van incluidas las formas en las que se puede seleccionar el dígito de las unidades. Explica cómo están relacionados los factoriales con las permutaciones. ¿Cuántas placas para carros de trabajo se pueden hacer. c) 41 objetos tomados en grupos de 2 a la vez. 3. 2.b) De los pares ordenados posibles que han sido listados anteriormente. Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios. observa que solo en tres de ellos. de modo que. es. ¿cuántas placas pueden hacerse si el primer dígito no puede ser cero? 4. ) Actividad: 2 Mediante la fórmula de permutaciones resuelve lo siguiente: 1. aparece la bola 4 en primer lugar de extracción. si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de 3 dígitos diferentes? Considera que el alfabeto tiene 26 letras. a) 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez. de los pares ordenados. es. Del problema anterior. la probabilidad de que de los pares ordenados se extraiga primero la bola 4. b) 12 objetos tomados en grupos de 3 a la vez. observa que cuatro son los pares que sumados sus números dan un número par. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 52 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . ) c) De la misma manera. por lo que la probabilidad que de las extracciones la suma de un número par. se pueden formar con los dígitos del conjunto { }? 5. Calificación otorgada por el docente BLOQUE 1 53 . C MC NC Puntaje: Actitudinal Aprecia la facilidad de utilizar permutaciones en el conteo de arreglos. ¿Cuántas permutaciones distintas pueden formarse con las letras de cada una de las palabras? a) Tema b) Campana c) Estadística Actividad: 2 Conceptual Conoce las características de los arreglos a formar de un conjunto de objetos. En una carrera intervienen 3 nadadores: A. ¿Cuáles son los resultados posibles de la carrera y cuántos son? 6.Actividad: 2 (continuación) 5. Saberes Procedimental Resuelve permutaciones mediante problemas aplicados. ¿Cuántos números distintos de 5 dígitos. B y C. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas aplicados. Daniel y Elsa} es: { }{ }{ }{ }{ } { }{ }{ }{ }{ }. hay un sexto más de combinaciones que de permutaciones. El número de combinaciones de objetos tomados en grupos de a la vez (esto es el número de subconjuntos de tamaño . Fórmula de las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos. está dada por: 𝑛 𝑃𝑘 𝑛 𝑛 ) 𝑛 ) 𝑛 𝑘 ) 𝑛 𝐶𝑘 ) 𝑘 ) ) ) 𝑘 𝑘 𝑘 Con anterioridad viste que las permutaciones se pueden expresar completamente en términos de factoriales: Empleando esta fórmula. Lo mismo } no es un subconjunto válido de tres que con las permutaciones. El número posible de comités no es el número de arreglos de tamaño 3. sino que es en realidad. al igual que { Para ver cómo encontrar el número de tales subconjuntos sin listarlos todos. Por ejemplo. de modo que diez es el número posible de comités de 3 miembros. de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de 𝑘 a la vez. donde 𝑘 𝑛. { } no es un comité válido de tres miembros. La lista de todos los comités de tamaño 3 (subconjuntos) del club (conjunto) formado por {Andrea. dado un conjunto de tamaño ) se escribe ). el número de subconjuntos de tamaño 3 (ya que el orden de los elementos que se listan en un conjunto no tiene importancia). Beto. Hasta aquí. con lo que se obtiene la fórmula siguiente. con comités de tres miembros el orden no es importante. Por lo tanto. Carla.Combinaciones. Generalizando de este ejemplo. Los subconjuntos en este nuevo contexto se denominan combinaciones. Beto. El orden de los elementos fue importante. objetos pueden acomodarse de formas diferentes. Así. Los comités ) y ) no son diferentes. observa que cada subconjunto (combinación) de tamaño 3 da origen a seis arreglos (permutaciones) de tamaño 3. se obtiene: − ) ) ) 54 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Por ejemplo. Por otro lado. has estudiado las permutaciones para evaluar el número de arreglos de objetos tomados en grupos de a la vez. podía elegir a 3 directivos de: ) ) formas diferentes. elementos. Carla. o desde otro punto de vista. Recuerda que el club formado por Andrea. las repeticiones no se permiten. hay seis veces más permutaciones de tamaño 3. en donde no se permiten las repeticiones. Hay 10 subconjuntos de 3 elementos. con la combinación { } se obtienen las 6 permutaciones { } { }{ }{ }{ }{ }. Daniel y Elsa. ∙ ∙ El 6 aparece en el denominador ya que existen seis formas diferentes de acomodar un conjunto de tres objetos (puesto que ∙ ∙ ). puede calcularse como: 𝑛 𝑃𝑘 𝑛 𝑛 𝐶𝑘 𝑘 𝑘 𝑛 𝑘) Con este resultado. 54). Lo que significa que un subconjunto de objetos tiene exactamente un subconjunto “vacío”. donde 𝑘 𝑛. por lo que hay: ) maneras de elegir los números en el sorteo melate. 45. 7. 45. Observa que en estos subconjuntos de objetos distintos tomados en grupos de a la vez. 34. 7. 2. No se repiten los elementos. 18. Calcular el número de combinaciones de 10 elementos tomados de 4 en 4. No se repiten los elementos. para cualquier número entero positivo : − ) ∙ . 2). 7. Para dar respuesta a la primera pregunta del problema. 7. 45. 18. 54). ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar? Como en una combinación: No entran todos los elementos. (34. Ana o Ana. 45. 45. 34. 18). Empleando esta fórmula y considerando el hecho de que . 34. 18. 18. las combinaciones también pueden calcularse mediante factoriales. 54). es decir. El orden de los dígitos que conforman el número elegido no importa. (7. Ejemplo 1. de 𝑛 objetos distintos tomados en grupos de𝑘 a la vez. no se repiten los números dentro de cada sexteta. Utilizando factoriales queda: ) Ejemplo 2. Esto significa que hay exactamente una combinación de objetos tomados en grupos de 0 a la vez. Juan forman el mismo comité. hay que tener en cuenta en los subconjuntos a formar que: No entran todos los elementos. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. BLOQUE 1 55 . se cumple que: No entran todos los elementos. No se repiten los elementos. sólo 6 de los 54 números. 2. es decir. No importa el orden como ya vimos anteriormente.Fórmula factorial para las combinaciones El número de combinaciones o subconjuntos. las posibilidades (2. ¿De cuántas maneras se pueden elegir los números del sorteo melate? ¿Cuál es la probabilidad de ganar el sorteo? Para jugar en el sorteo melate se tienen que elegir 6 dígitos entre los números del 1 al 54. son cubiertas por la sexteta (2. es decir. ) Ejemplo 3. No importa el orden: Juan. por mencionar algunas. que en cada grupo los elementos son distintos. 54. No importa el orden. 34. 54). 7. (54. Una persona no puede ocupar dos puestos diferentes dentro del comité. 18. 34. (2. 45. __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 2. ¿cuántas líneas están determinadas por siete puntos en un plano. utiliza combinaciones. ¿cuántas de las muestras de tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos? 56 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de veinticuatro reproductores? 5. 3. en el que ningún conjunto de tres puntos es colineal? 4. Ejemplo: ¿De cuántas formas se puede seleccionar un comité de cuatro de un grupo de 10 personas? 2. ¿Cuántos comités diferentes de cinco miembros podrían formarse de los 100 senadores de Estados Unidos? 3. muchos problemas de conteo comprenden la selección de algunos elementos de un conjunto dado. Explica en qué se diferencian las permutaciones y las combinaciones. utiliza principio fundamental de conteo. y el orden es importante. Las condiciones particulares del problema determinarán qué técnica específica utilizar. considera las siguientes sugerencias. Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden formar en una fila de una taquilla tres de siete personas? Si los elementos seleccionados no pueden repetirse. y el orden no es importante. Si dos puntos cualesquiera determinan una línea.Entonces la probabilidad de ganar el sorteo melate. Ejemplo: ¿Cuántos números de cinco dígitos existen? Si los elementos seleccionados no pueden repetirse. Como la selección de la técnica apropiada es fundamental. es: ) ¿Conviene jugar al melate sabiendo que son tantas las opciones a elegir? Como has visto a lo largo de este bloque. Si los elementos seleccionados se pueden repetir. Actividad: 3 Mediante la fórmula de combinaciones resuelvan lo siguiente: 1. 1. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos. utiliza permutaciones. En la lotería conocida como ⁄ . ¿cuántas de las muestras de tamaño cinco no incluirán reproductores defectuosos? 8. en donde ningún conjunto de tres puntos es colineal? 9. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas aplicados. ¿Cuántos triángulos están determinados por veinte puntos en el plano.Actividad: 3 (continuación) 6.com/index. ¿De cuántas formas puede una muestra de cinco reproductores de CD seleccionarse de un cargamento de veinticuatro reproductores? 7. Si el cargamento del ejercicio anterior contiene 6 reproductores defectuosos. 57 . C MC NC Puntaje: Actitudinal Reconoce la facilidad de utilizar combinaciones en el conteo de subconjuntos.php?option=com_co ntent&task=view&id=118&Itemid=158 BLOQUE 1 Ingresa a los siguientes sitios de internet para que experimentes e interactúes los temas vistos aquí. Calificación otorgada por el docente  Sitios Web recomendados:    http://www.planetamatematico. tú eliges siete números distintos del conjunto formado por los números del 1 al 39. en donde el orden no tiene importancia.amolasmates.wikispaces.es/flash/combinatoria/mod_4publish/  http://miwikideaula. Saberes Procedimental Resuelve combinaciones mediante problemas aplicados. Expone sus dudas. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacer tu elección? Actividad: 2 Conceptual Conoce las características de los subconjuntos a formar de un conjunto de objetos.com/Applets Cierre http://www. respectivamente a tres. ¿Cuál es la probabilidad de que a un cuentahabiente le toque la numeración AG3645ZH? (Considera el alfabeto con 26 letras). 58 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . ¿Cuántas cartas deben sacarse (sin reposición) de una baraja de 52 cartas. un contratista. Roberto. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas? 4. Considera que ciertos números de cuenta constan de dos letras seguidas por cuatro dígitos y luego tres letras más. 1. seis y siete personas? 5. ¿De cuántas formas podrían dividirse veinticinco personas en cinco grupos que comprendan.Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas. ¿Es posible evaluar 𝑃 ? Explica tu respuesta. ¿cuál es la probabilidad de que a un comprador le toque una casa en esos lotes? Suponga que se construirán cinco modelos diferentes. cinco. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 2. 3. pero el último grupo de letras puede contener una o ambas letras de las usadas en el primer grupo. para garantizar que al menos dos de ellas sean del mismo palo? 6. construye casas de ocho modelos diferentes y actualmente tiene cinco lotes para construirlas. donde las repeticiones de letras o dígitos no se permiten dentro de cada uno de los tres grupos. cuatro. Actividad: 4 (continuación) 7. segundo y tercer lugar en una carrera en la que compiten seis corredores? 8. uno de los competidores. ¿cuál es la probabilidad de que Ángel. _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 10. el entrenador aún no ha determinado cuáles serán los nueve jugadores que utilizará ni qué orden de bateo tendrán. forman parte siete jugadores que sólo lanzan. llegue en cualquiera de los tres lugares? 9. un equipo joven en una liga de béisbol. Para el juego del sábado. Del problema 7. Determina el número de formas de obtener cada uno de los puntos siguientes: a) Solamente dos demócratas b) Sólo cuatro demócratas c) Exclusivamente cuatro republicanos d) Dos demócratas y dos republicanos 11. ¿De cuántas maneras puede presentarse el primero. y doce jugadores más que pueden jugar cualquier posición. Se elegirá un comité de cuatro congresistas de un grupo de siete demócratas y tres republicanos. ¿Es posible evaluar 𝐶 ? Explica tu respuesta. excepto la de lanzador.De los Coyotes. ¿Cuántas órdenes de bateo diferentes puede haber? BLOQUE 1 59 . excepto que el lanzador bateará al final. ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan tres caras? 14.Actividad: 4 (continuación) 12. pero las letras del primer grupo pueden aparecer en el último grupo de tres. un juego de lotería de California. ¿de cuántas formas diferentes podrían obtenerse tres caras? 13. 60 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . Si se lanzan 5 monedas al aire. Si se eligen al azar cinco personas para que llenen un cuestionario. Del problema 12. En un grupo de 10 personas se incluyen seis mujeres y cuatro hombres. con la esperanza de que la elección coincida con la lista seleccionada al azar por los funcionarios de la lotería. Suponga que no se permite repetición dentro de cualquiera de los tres grupos. De entre todas las posibles muestras de las cinco personas en el problema 14. En la “Super Lotto”. ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería? 17. se eligen seis números distintos de entre los números 1 a 51. ¿Cuál es el porcentaje de números de identificación que empiece con las letras ABC? (Considera que el alfabeto tiene 26 letras). ¿cuántas muestras diferentes de cinco personas son posibles? 15. Los números de identificación en ciertos proyectos de investigación científica constan de tres letras seguidas de tres dígitos y luego de tres letras más. ¿cuál es la probabilidad de seleccionar un grupo que conste exactamente de dos mujeres y tres hombres? 16. ¿De cuántas formas diferentes puede completar su lista de seis números? ¿Cuál es la probabilidad de ganarse la lotería con esta estrategia? 19. Saberes Procedimental Calcula probabilidades mediante problemas de aplicación usando permutaciones y combinaciones. En una ciudad para ir del punto A al punto B hay 6 caminos. y de B a C hay 4 caminos. Diana siempre incluye su edad y la edad de su esposo como dos de los números en la selección de Super Lotto. externando sus dudas. Calificación otorgada por el docente BLOQUE 1 61 . C MC NC Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad mostrando interés en la misma. Autoevaluación Evaluación Producto. Problemas aplicados. a) ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C pasando por B? b) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? c) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C sin usar el mismo camino más de una vez? Actividad: 4 Conceptual Identifica las características de las diferentes formas de agrupar objetos de un conjunto dado.Actividad 4: (continuación) 18. 62 DETERMINA LA PROBABILIDAD DE EVENTOS MEDIANTE DIFERENTES TÉCNICAS DE CONTEO . 8.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.1. Interpreta tablas. congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. para resolver problemas relacionados con su entorno. Unidad de competencia:    Identifica los tipos de eventos que involucran el teorema de la multiplicación. Cuantifica. diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. 6. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 5. con métodos numéricos. gráficas. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Argumenta la solución obtenida de un problema. matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas. 8. comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Competencias profesionales:       Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.3. Utiliza la probabilidad condicional en situaciones de su propio interés relacionados con al ámbito escolar o personal.6. Tiempo asignado: 15 horas . Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.1. gráficos. analíticos o variacionales. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo.Emplea la probabilidad condicional. matemáticas o gráficas. mediante el lenguaje verbal. representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.1. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.2. 8. para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia. 5. definiendo un curso de acción con pasos específicos.4. 5. Asume una actitud constructiva. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7. mapas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. Emplea el Teorema de Bayes basándose en la probabilidad condicional. 9.11. g) El conjunto formado por números pares y primos. Si dos conjuntos son del mismo tamaño. entonces ¿son iguales? 2.7. Inicio Actividad: 1 Resuelve los siguientes cuestionamientos. j) El conjunto formado por números primos o múltiplos de 4. d) El conjunto formado por números pares y múltiplos de 3.5. determina los elementos pertenecientes a los siguientes subconjuntos.10.3.2.13. f) El conjunto formado por números primos.6. Probabilidad condicional.8.Secuencia didáctica1. i) El conjunto formado por números pares o impares.12. h) El conjunto formado por números primos y múltiplos de 4. c) El conjunto formado por los múltiplos de 3. a) El conjunto formado por los números pares. Del conjunto {1.14.4. e) El conjunto formado por números impares y múltiplos de 5. b) El conjunto formado por los números impares. 1.15}. 64 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . 𝑐2. 𝑠3. Saberes Procedimental Construye conjuntos a partir de operaciones entre conjuntos. Se lanzan una moneda y un dado. C MC NC Puntaje: Actitudinal Muestra disposición para realizar la actividad. c) Aparecen sellos y un número impar. y aparecen sellos y un número par. Autoevaluación Evaluación Producto: Ejercicios. 𝑠5. Actividad: 1 Conceptual Reconoce los conjuntos y operaciones entre ellos. 𝑐5. d) ¿Cuáles de los conjuntos anteriores son mutuamente excluyentes? e) Aparecen caras y un par o aparece un número primo. Calificación otorgada por el docente BLOQUE 2 65 . 𝑐6. 𝑠4. f) Aparece un número primo. 𝑐3. 𝑠1. 𝑐4.Actividad: 1 (continuación) 3. El espacio muestral está dado por los doce elementos: 𝑆 = 𝑐1. 𝑠2. b) Aparece un número primo. 𝑠6 Determina los elementos de los siguientes conjuntos: a) Aparecen caras y un número par. g) Aparecen números que no son primos. la probabilidad de = . Los resultados de la encuesta se muestran en la siguiente tabla. Antes de dar la definición de probabilidad condicional. el numerador (362). dentro de los 380 estudiantes satisfechos con su progreso. entonces se verifica que: = Analizando esta probabilidad observa lo siguiente: Si no se tuviera información del evento está satisfecho con su progreso. y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento relacionado al primero. entonces la probabilidad anterior se escribe De acuerdo a la tabla. 362 están de acuerdo con la carrera. como: está satisfecho con su progreso. Ejemplo 1. de acuerdo a la tabla. El concepto de Probabilidad Condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento . Para comprender un poco sobre la necesidad de introducir este concepto. Intuitivamente se percibe que aumenta si se sabe que ocurrió ya que ambos eventos están relacionados. la probabilidad de un evento se determina dividiendo los casos favorables entre los casos totales. 362 = 3 5 sin el conocimiento de que ocurrió En . pertenecen al conjunto El denominador (380) es el número de empleados que pertenecen al evento .la cual se lee como “probabilidad de A dado B”.Desarrollo Probabilidad condicional. 66 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . es menor que la probabilidad condicional .En un estudio se hace una encuesta a 800 alumnos de una universidad sobre el grado de satisfacción con la carrera y el grado de satisfacción con el progreso en la misma. al menos intuitivamente. es decir. suponga que se quiere conocer la probabilidad del evento : “lloverá” y se sabe que se presentó el evento : “está nublado”. a los alumnos que están satisfechos con su progreso en la carrera. es el número de estudiantes que están satisfechos con la carrera y con su progreso en la misma. Siguiendo la notación dada: Si está satisfecho con la carrera. se retomará el ejemplo visto con anterioridad en una de las actividades. entonces: = es decir. Satisfecho con la carrera Si No Total Satisfecho con su progreso Si 362 18 380 No 350 70 420 TOTAL 712 88 800 Se selecciona una encuesta al azar y se quiere calcular la probabilidad de que el alumno esté satisfecho con la carrera dado que está satisfecho con su progreso en la misma. es decir. Si recuerdas. se denota con . se denomina probabilidad condicional de 𝑨. mientras que el número de alumnos que están satisfechos con la carrera elegida son 712. del que se sabe ya ocurrió. y se denota 𝑷 𝑨 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝑩 𝑷 𝑩 . el número total de estudiantes. Es indistinto cómo nombres los eventos. se tiene que: = Observa entonces que el numerador de simultánea. La condición que se supone sucedió. equivale a considerar una reducción del espacio muestral. como se observa en el siguiente ejemplo. generen probabilidades diferentes. es el evento al cual se le calculará la probabilidad. dependiendo a qué evento condiciona. determina la probabilidad de que el alumno esté satisfecho con su progreso. en este caso el número de casos totales se redujo de 800 a 380. quien condiciona es el evento . De la tabla se observa que el número de alumnos satisfechos con la carrera elegida y con su progreso en la misma son 362. Si está satisfecho con la carrera elegida. provocando de esta manera que los espacios reducidos. Dada una familia con dos hijos. entonces la probabilidad Observa que ahora el evento que está condicionando es . Sea el evento está satisfecho con la carrera. Probabilidad condicional La probabilidad del evento𝐴. determina la probabilidad de que ambos hijos sean niñas. En este caso. es decir.el numerador y el denominador de la igualdad se dividen por 800. el evento está condicionando. condicional en este caso es: está satisfecho con su progreso. bajo la suposición de que el evento 𝐵 ha ocurrido. BLOQUE 2 67 . dado 𝑩. siempre reducirá el espacio muestral a un subconjunto propio del espacio muestral original. mientras que en el segundo. mientras que es el evento que está condicionando. no hay que confundir ) y En el primer caso.Por lo que en = . es decir. Ejemplo 2. (Considera que el tener un niño o una niña es igualmente probable). Del ejemplo1. por lo que: = 362 = 12 5 Ejemplo 3. calcula lo siguiente: a) Si se sabe que por lo menos uno de los hijos es una niña. esto lo puedes observar precisamente en la condicionante que el problema pide después del Si…. Por lo que. siempre y cuando en la probabilidad condicional consideres en segundo término (a la derecha de la vertical) el evento que está condicionando. “está satisfecho con la carrera elegida”. es decir. es = = 4525 = 4 5 526 es la probabilidad de que ocurran los dos eventos de manera y el denominador es A partir de esta última observación surge naturalmente la definición formal del concepto de Probabilidad Condicional para dos eventos cualesquiera y . Si en la expresión . y en primer término se coloca el evento al que se le va a calcular la probabilidad (izquierda de la vertical). MENOS DE $2.500. que es el que se sabe . de modo que: 1 = 2 Ejemplo 4.500. Ya que la muestra es de 100 personas.500. Del mismo modo. la primer posición que ambos sean niñas. la condición dada de que por lo menos uno de los hijos es una niña reduce el espacio muestral original.500. mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. quedando de la siguiente manera. el 70% de las compras las realizan las mujeres. El espacio muestral se reduce a . determine la probabilidad de que ambos hijos sean niñas. se tiene que calcular la probabilidad condicional: Recuerda que el evento que condiciona se coloca en segundo término (derecha de la vertical). de la pareja indica el primer nacimiento). de modo que el espacio reducido es . Aquí el evento que está condicionando. que llamaremos .500 fue de . Del inciso anterior se determinó que la probabilidad de que la compra supere los $2. . 9 son los hombres que realizan compras por más de $2. es ya ocurrió. Como el 80% de las mujeres realizan compras por más de $2. por lo que: 1 = 3 b) Si el hijo mayor es una niña. por lo que su complemento es . debido a que empieza definiendo la condición en el momento que dice “Si se sabe…”.500? b) Si se sabe que el ticket de compra no supera los $2. al anularse el resultado . de acuerdo a la tabla la probabilidad de 65 = = 65 1 b) Si observas. por una simple regla de tres. 70 son mujeres y 30 son hombres. .500. a) Elegido un ticket de compra al azar ¿Cuál es la probabilidad de que supere los $2. En un supermercado.Sea ambos hijos sean niñas y por lo menos uno de los hijos es niña. la probabilidad de que la compra no supere los $2. y el evento la compra haya sido hecha por una mujer. Considerando el evento el ticket de compra no supera los $2. El espacio muestral para dos hijos es = . se deduce que 56 son las mujeres que cumplen con esa característica. esto es. en este caso. de una muestra de 100 personas. El evento que el hijo mayor es una niña. . El evento se obtiene por uno de los tres resultados igualmente probables. se obtiene sólo por un elemento del espacio muestral reducido. de las compras realizadas por éstas.500 14 21 MAS DE $2. el 80% supera los $2. .500. Situación que también se puede ver si sumas 14 +21=35 que EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL 68 . .500. (De las parejas que conforman el espacio muestral.500 56 9 es: MUJERES HOMBRES a) Sea el evento que la compra supere los $2. para dar respuesta a este inciso. ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Para dar respuesta a los incisos es preciso considerar una tabla de acuerdo a la información que el problema proporciona. la probabilidad que pide el problema es condicional. 500.5. determina la probabilidad de que el número seleccionado sea par y múltiplo de 3. = 6 .6. .1 .6. . como se muestra en el ejemplo anterior. .5. El espacio muestral para este caso es todo el conjunto proporcionado: = 1.500 y que además sea mujer. . al multiplicar simplemente estos dos números se obtiene: BLOQUE 2 69 . Pero. El conectivo lógico “y”.3. entonces 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 o 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 Retomando el ejemplo 13 de la Secuencia didáctica 1 del bloque anterior. Con ayuda de la probabilidad condicional. se puede escribir la siguiente regla general de la multiplicación de probabilidades (la cual es muy similar al principio fundamental del conteo).1 El evento compuesto probabilidad teórica: corresponde al conjunto ( = 1 1 = 3. Ésta se ilustra en el siguiente diagrama de Venn. como ya viste en el bloque anterior.4.6. .3. Aunque = y = . = Regla general de la multiplicación de probabilidades: Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos cualesquiera. corresponde a la intersección en la teoría de conjuntos.son las personas cuyas compras no superan los $2. entonces: = 2. Mientras que 14 son las personas que cumplen con que sus compras no superan los $2. eso debe hacerse con precaución.4. Ejemplo 5.2. . Por lo tanto por medio de la fórmula de La fórmula general de probabilidad del evento exigirá que se multiplique las probabilidades individuales del evento .1 Sea que el número sea par y que el número sea múltiplo de 3. .6.4. De aquí que la probabilidad condicional sea: = = = = 4 Regla general de la multiplicación de probabilidades. Si se elige un número de manera aleatoria del conjunto 1.2. Por medio de la regla para la multiplicación de probabilidades. Esto confirma que la regla general de la multiplicación de probabilidades sí proporciona la respuesta correcta. sin reemplazo. Supóngase que se toman dos cartas sucesivamente. de las cuales 11 son figuras. La condición dada de que el libro sea de pasta dura reduce el espacio muestral a ocho libros. De esos ocho. (recuerda que la baraja tiene un total de 12 figuras). Esto es. de acuerdo a la siguiente tabla. Por lo tanto = = 4 52 11 44 4 = = = 51 2652 663 1 70 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . Por lo tanto. de que el número seleccionado es par. antes de que se tome la segunda carta. sólo uno. el procedimiento correcto es calcular la probabilidad del segundo evento bajo la suposición de que ha ocurrido el primer evento. Tiene clasificadas cada una de sus veinte adquisiciones de 1997 como de pasta dura o rústica. el 6. siempre que sea de pasta dura. Eventos independientes.6. usando la regla general de la multiplicación de probabilidades. sólo 3 son de ficción. Determina la probabilidad de que la primera carta seleccionada sea una reina y la segunda carta sea una figura . . determina la probabilidad de que el libro sea de cada uno de los siguientes tipos: a) Pasta dura . reducirá el espacio muestral a un subconjunto propio del espacio muestral original. “si…”. Roxana suma a su colección de libros varias publicaciones nuevas que cree serán interesantes y de valor duradero. Como la primera carta seleccionada fue una reina (figura) y no se reemplaza.4. Cada año. hasta ahora has visto que ésta se presenta con las leyendas “dado que”. Si escoge de forma aleatoria uno de estos 20 libros para el período de lectura de la tarde de hoy. Por lo tanto: 3 = c) De pasta dura y ficción. de una baraja estándar de 52 cartas. el monto de las cartas se reduce a 51 cartas. es múltiplo de 3. el inciso c) se facilita puesto que 3 de los 20 libros son de “pasta dura y ficción”.1 De estos cinco elementos. se puede escribir: 5 1 5 1 = = = = 1 5 5 1 Ejemplo 6. pero con probabilidad condicional en el segundo factor de la multiplicación. Ejemplo 7. por lo tanto = = b) De ficción. significa que sólo se considera el conjunto 2. Sea el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y el evento que la segunda carta sea cualquier figura. Observa otra variante de presentar la condición. la condición que se supone sucedió. y de ficción o no-ficción. agrega ahora la frase “siempre que”.= = . es decir no se regresa. Ocho de los 20 libros son de pasta dura. lo cual es incorrecto. 2 3 6 3 = = = = 5 4 2 Si observas directamente la tabla. en la práctica. son mutuamente excluyentes (algunas veces se tiene la idea de que “mutuamente excluyentes” e “independencia” significan lo mismo. para la probabilidad condicional de . De forma general. Sea el evento de que la carta sea negra y sea evento de que la carta sea de diamantes. Siendo así. los eventos independientes se definen de la siguiente manera. tenemos dado el = = . Este problema es una repetición del ejemplo 7. (trece de las 52 cartas son de diamantes. esto es . Los eventos son independientes. tenemos cartas negras es de diamantes. Responde las preguntas siguientes. Regla especial de la multiplicación de probabilidades. b) ¿Son los eventos mutuamente excluyentes? Los eventos mutuamente excluyentes. en una extracción sin reemplazo. Puesto que ninguna carta del montón es a la vez negra y de diamantes.La selección de la segunda carta. De modo que cuando se saca la segunda carta. Sea el evento de que la primera carta seleccionada sea reina y el evento que la segunda carta sea cualquier figura. se ve afectada por lo que salió en la primera debido a que se reduce el número de éstas. Eventos independientes. entonces 𝑃 𝐴 𝑦 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 o 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 Ejemplo 9. Ejemplo 8. en una extracción con reemplazo esto no sucede. incluidas las 12 figuras. Por lo tanto. Siempre que dos eventos son independientes. puesto que se vuelve a tener la misma cantidad de cartas que en la primera extracción. determina la probabilidad de que la primera carta sea una reina y la segunda una figura. será igual a . serían independientes uno del otro. ya que el hecho de que el experimento se haga con reemplazo no condiciona de ninguna manera la extracción de la segunda carta. = = = = = 1 BLOQUE 2 71 . a) ¿Son eventos independientes? Para la probabilidad no condicional de . la regla general de la multiplicación de probabilidades se reduce a la siguiente forma. esto es: 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵 El enunciado = es equivalente al que se dio en la definición de eventos independientes. sin embargo. Dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro. En este caso. la probabilidad condicional y no condicional son iguales. En este caso. es decir que cuando se toma la primera carta. ya que éstos son rojos.) Puesto que la probabilidad condicional diferente a la probabilidad no condicional . son los que no pueden ocurrir juntos para una determinada realización de un experimento. se deduce que los eventos son independientes. por lo que la condición puede ignorarse en el cálculo de la probabilidad. se utiliza la regla particular de la multiplicación de probabilidades. ésta se regresa al montón. excepto porque ahora se hace con reemplazo. pero este ejemplo muestra que no es así). se puede establecer la independencia entre y verificando cualquiera de estas dos ecuaciones. Se toma una carta de una baraja de 52 cartas. definidos en el bloque anterior. Es decir. Regla especial de la multiplicación de probabilidades Si 𝐴 y 𝐵 son dos eventos independientes. es decir = . están disponibles las 52 cartas. Si se toman dos cartas con reemplazo de una baraja estándar de 52 cartas.) = = = (ninguna de las 26 es no Pero. según el teorema de la 72 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . Utilizando las letras apropiadas para denotar los colores y subíndices para indicar la primera. . El diagrama de árbol muestra todos los posibles resultados del proceso. Ejemplo 12. Una manera conveniente de describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento es mediante un diagrama de árbol.Una pequeña diferencia comparada con la respuesta del ejemplo 7. Si un inspector de calidad debe supervisar la producción probando una lámpara de alguna de las cajas elegidas al azar. Lupita toma tres bolas. que calcula la probabilidad de que el resultado representado por cada trayectoria del árbol suceda. Una fábrica de lámparas de buró tiene tres líneas de producción para elaborarlas. escoger al azar una lámpara de la misma. el número de cartas disminuye en uno y el número de corazones disminuye en uno. la segunda blanca y la tercera roja se determina de la siguiente manera: La probabilidad de que la primera bola sea negra . debido a Las reglas general y especial de la multiplicación de probabilidades pueden aplicarse a casos en los que intervienen más de dos eventos. por la probabilidad de que la segunda bola sea blanca dado que la primera fue negra . 5. la probabilidad de que la primera bola sea negra. la segunda etapa. Si se sacan cinco cartas sin reemplazo. por la probabilidad de que la tercera bola sea roja dado que la primera fue negra y la segunda blanca. blanca y roja. determina la probabilidad de que todas sean de corazones. y con base en la siguiente información preliminar: Cajas 1 2 3 Lámpara s 4defectuosos 6 no defectuosos 1defectuoso 5 no defectuosos 3defectuosos 5 no defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara seleccionada sea defectuosa? La tarea del inspector consta de 2 etapas: primero escoger al azar una de las tres cajas. De modo que por la regla general de la multiplicación. en ese orden. donde que la selección se hizo con reemplazo. no eran independientes. Ejemplo 10. el evento que buscamos puede simbolizarse por . La probabilidad de que una trayectoria determinada del diagrama de árbol suceda. La probabilidad de seleccionar solamente corazones es: = 13 52 12 51 11 5 1 4 = 154.64 4 5 4 Cuando se tiene una tarea con varias etapas de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un proceso estocástico (finito). de la urna mostrada en la figura.2 = 33 = 66. Cada vez que se selecciona un corazón. Es decir: = = 1 2 1 3 21 = = = 1 6 4 22 3 Ejemplo 11. Determina la probabilidad de que las bolas que obtenga sean negra. ya que las extracciones son sin reemplazo el total de bolas va disminuyendo. Se utilizará el teorema de la multiplicación que ya se ha visto anteriormente. segunda y tercera selección. éstas son empaquetadas en cajas para su distribución. es.44 311. sin reemplazo. se escoge al azar un número del 1 al 5. por otro lado la probabilidad de elegir un número par cuando la moneda cae sello es que hay dos pares del 1 al 5.multiplicación. es decir. por lo que la probabilidad de escoger un número par es: = = = . de la misma manera las lámparas de las otras dos cajas están solamente en sus respectivas cajas) que conducen a una lámpara defectuosa. el producto de las probabilidades de cada rama de la trayectoria. la suma de las probabilidades de estas trayectorias es la probabilidad que se busca: 1 3 4 1 1 3 1 6 1 3 3 = 2 15 1 1 1 = 6 113 = 216 36 Ejemplo 13. El diagrama de árbol para este caso queda: Lados de la moneda Números 4 pares 5 impares 2 pares C S 3 impares Observa que la probabilidad de escoger un número par del 1 al 9 cuando la moneda cae cara es puesto que hay 4 . Se lanza una moneda cargada de modo que la probabilidad de que caiga cara es 2⁄3 y la probabilidad de que caiga sello es por tanto 1⁄3. que la probabilidad de escoger la caja 1 y luego que la lámpara sea defectuosa es: 1 3 4 4 2 = = 1 3 15 La probabilidad de escoger la segunda caja y luego que la lámpara sea defectuosa es: 1 3 1 1 = 6 1 Por último elegir la tercera caja y que la lámpara sea defectuosa es: 1 3 3 = 3 1 = 24 Ahora. Hallar la probabilidad de que se escoja un número par. se escoge al azar un número de 1 a 9. como hay tres trayectorias mutuamente excluyentes (las lámparas de la caja 1 pertenecen solamente a esa caja. BLOQUE 2 73 . ya números pares del 1 al 9. si sale sello. Dos de las trayectorias del diagrama conducen a un número par. Si sale cara. 2. Un hombre visita a un matrimonio que tiene dos hijos.Actividad: 2 En equipos de cuatro integrantes. entra en la sala. Uno de los hijos. si las cartas son rojas. un niño. hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. si las cartas son rojas. 3. b) No se sabe nada del otro hijo. Hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean espadas. 74 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . b) Una sea espada y otra corazón. resuelve los siguientes problemas. Se lanzan un par de dados corrientes. Encontrar la probabilidad de que el otro niño sea también niño si: a) Se sabe que el otro hijo (hija) es menor. Si la suma es 6. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. 1. Caja II: contiene 6 con 1 defectuosa. 2 canicas rojas y 4 bolas de color amarillo. Se toman al azar tres artículos del lote uno tras otro. 5. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja seguida de una canica azul? b) Si las extracciones se hacen con reemplazo. Se reparten 13 cartas de una baraja de 52 cartas a cuatro personas Ana. a) Si Beto no tiene ases. b) Si Ana y Beto juntos tienen nueve corazones. Caja III: contiene 8 con 3 defectuosas. Se elige al azar una caja y luego se elige al azar una lámpara. ¿cuál es la probabilidad de sacar una canica roja seguida de una canica azul? 7. hallar la probabilidad de que su compañera Ana tenga exactamente dos ases. Carlos y Edgar. Se elige una canica y se anota su color. ¿cuál es la probabilidad de que sean todos niños? BLOQUE 2 75 . Beto. Hallar la probabilidad de que los tres estén buenos. Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. ¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa? a) Se tiene una caja con 3 canicas azules. Se tienen tres cajas numeradas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar. se pone de nuevo en la caja y se saca otra canica. Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos. cada una de ellas contiene lo siguiente: Caja I: contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas.Actividad: 2 (continuación) 4. hallar la probabilidad de que Carlos y Edgar tengan cada uno dos corazones. 6. Sea el evento 𝐴 que una familia tenga hijos de ambos sexos. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación.wordpress. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas. a) Comprobar que los eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son independientes si una familia tiene dos hijos. empleando la Participa exponiendo sus ideas y probabilidad condicional en respetando la de los demás. Actividad: 2 Conceptual Identifica las características de la probabilidad condicional y la multiplicación de probabilidades. y sea el evento 𝐵 que una familia tenga a lo más un niño. problemas de aplicación. Se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. 9. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y la tercera blanca. b) Comprobar que los eventos 𝐴 𝑦 𝐵 son independientes si una familia tiene tres hijos. http://matescampanilleras. C MC NC Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa al siguiente sitio para que consultes e interactúes con los temas vistos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Realiza el cálculo de probabilidades.Actividad: 2 (continuación) 8.com/2010/09/26/probabilidad -compuesta-de-sucesos-independientes-2/ 76 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . En una universidad existen tres facultades: 𝐴. selecciona a una mujer y si sale sello selecciona a un hombre. b) Aparece un 5 en uno de los dos dados por lo menos. En una ciudad el 55% de los habitantes consume pan integral. determina: a) ¿Cuál es la probabilidad de que coma pan de multicereales. ¿cuál es la probabilidad de que no consuma pan integral? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona de esa ciudad no consuma ninguno de los dos tipos de pan? 2. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un concurso internacional. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hotelería está constituido por 25 personas. Decide lanzar una moneda: si sale cara. 4. Se selecciona un habitante al azar. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea hombre. de las que un 60% son mujeres. determina la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés. el 30% consume pan de multicereales y el 20% consume ambos. ¿cuál es su facultad más probable? BLOQUE 2 77 . b) Si un estudiante elegido al azar es hombre.Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1. Se lanza un par de dados normales. en 𝐵 hay 300 mujeres y 200 hombres. Escribe el desarrollo que te llevó a la respuesta. si se sabe que consume pan integral? b) Sabiendo que consume pan de multicereales. Hallar la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor si: a) Aparece un 5 en el primer dado. y en C hay 150 mujeres y 150 hombres. 3. 𝐵 𝑦 𝐶 En la facultad 𝐴 hay matriculados 150 mujeres y 50 hombres. Calificación otorgada por el docente 78 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . 5 negras y 5 rojas. 8.Actividad: 3 (continuación) 5. A un jugador le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja corriente de 52 cartas. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre. ¿cuál es la probabilidad de que todas sean espadas? 10. hallar la probabilidad de que por lo menos una de las cartas adicionales sea también espada. Hallar la probabilidad de que: a) Ambos estén vivos dentro de 10 años. y la probabilidad de que su esposa vivirá 10 años más es 1⁄3. 6. y otro monedero contiene 4 de plata y 3 de cobre. c) Ninguno estará vivo dentro de 10 años. b) Al menos uno estará vivo dentro de 10 años. Calcula la probabilidad de que las dos sean blancas si: Antes extraer la segunda bola se vuelve a meter la primera. La probabilidad de que un hombre vivirá 10 años más es 1⁄4. Actividad: 3 Conceptual Reconoce la probabilidad condicional y la regla de la multiplicación como herramientas para resolver situaciones problémicas. C MC NC Puntaje: Actitudinal Expresa sus dudas y corrige sus errores. A un hombre se le reparten 4 espadas de una baraja de 52 cartas. b) La segunda bola se extrae sin haber metido la primera en la caja. a) Una caja contiene 10 bolas blancas. 7. 9. Si se le dan tres cartas más. d) Solamente la esposa estará viva a los 10 años. Saberes Procedimental Aplica la probabilidad condicional y la regla general de la multiplicación para resolver problemas cotidianos. Se extraen dos bolas consecutivamente de la caja. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata? Dos personas piensan cada una de ellas un número del 0 al 9. Calcula la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número. 2. escribiendo en sus ramas las probabilidades correspondientes. determina la probabilidad de que caiga cara. y la última está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara sea 1⁄3. Urna 𝐵 contiene 2 bolas rojas y 1 blanca. 1. la segunda tiene dos caras. a) Elabora un diagrama de árbol para el problema. Una caja contiene tres monedas: una es corriente. Inicio Actividad: 1 Responde a los siguientes cuestionamientos. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de ella. Urna 𝐶 contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Teorema de Bayes. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. b) Apoyándote del diagrama: si la bola es roja. ¿cuál es la probabilidad de que haya salido de la urna 𝐴? BLOQUE 2 79 . b) Del diagrama.Secuencia didáctica 2. a) Elabora un diagrama de árbol para el problema. Se dan tres urnas como sigue: Urna 𝐴 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. escribiendo en sus ramas las probabilidades correspondientes. sólo son mujeres el 20%. c) Fernanda trabaja en dicha oficina. C MC NC Calificación otorgada por el docente 80 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas aplicados.Actividad: 1 (continuación) 3. el 50% son mujeres. y regla de la multiplicación. a) ¿Qué porcentaje de empleados no foráneos son hombres? b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea hombre. mediante la construcción de diagramas de árbol. el 70% de los empleados son foráneos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula probabilidades de procesos de varias etapas. ¿cuál es la probabilidad de que sea foránea? Actividad: 1 Conceptual Identifica procesos compuestos de varias etapas. De entre los foráneos. En una oficina de gobierno. Se muestra interesado al utilizando probabilidad condicional reconocer conocimientos previos. mientras que de los no foráneos. Ahora sea otro evento. . 𝐴 . . por la regla de la suma especial de probabilidades se tiene: = Luego. . por la regla general de la multiplicación. 𝐴𝑛 es una partición del espacio muestral 𝑆y que 𝐵 es cualquier evento. la probabilidad condicional de = En esta última ecuación se usa la expresión que se obtuvo en el paso anterior a este y se sustituye en el denominador de la expresión . 𝐴 . Teorema de Bayes. mutuamente excluyentes y su unión es todo el espacio muestral. . como se muestran en la siguiente figura. . para cualquier subíndice del evento . que se abordará a continuación. Supongamos que 𝐴 . Además se usó la regla general de la multiplicación de probabilidades en la expresión de la intersección del numerador. . Por la propiedad distributiva de relaciones entre conjuntos se expresa el conjunto = = = como sigue: Donde las intersecciones son eventos mutuamente excluyentes. Entonces el conjunto se puede formar con las intersecciones de los eventos simples . Considera la suposición de que el espacio muestral está dividido en varios eventos simples . BLOQUE 2 81 . En consecuencia. . Entonces para cualquier evento 𝐴𝑖 𝑃 𝐴𝑖 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴𝑖 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐴𝑛 𝑃 𝐵 𝐴𝑛 dado se define por: .Desarrollo Teorema de Bayes. = Por otra parte. obteniendo así el teorema de Bayes. Una de las aplicaciones más común de la probabilidad condicional es el teorema de Bayes. Ejemplo 1. Tres máquinas , producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se selecciona al azar un artículo, ¿cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso? Sea el evento el artículo sea defectuoso, entonces por la regla general de la multiplicación se tiene la suma de los productos de las probabilidades del porcentaje de producción de cada máquina y la probabilidad de que el artículo defectuoso dado salga de dicha máquina. = = 5 3 3 4 2 5 = 3 Observa que también se puede considerar este problema como un proceso estocástico que tiene el siguiente diagrama de árbol, visualizándose el resultado en la suma del producto de probabilidades de cada una de las ramas de los artículos defectuosos. Artículos Máquinas 0.50 0.30 0.20 0.03 defectuosos 0.97 no defectuosos 0.04 defectuosos A B I C 0.96 no defectuosos 0.05 defectuosos 0.95 no defectuosos Ejemplo 2. Considerando la fábrica del ejemplo anterior. Suponga ahora que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina ; esto es, hallar . Observa que el problema, además de ser una tarea de dos etapas como lo muestra el diagrama de árbol, está manejando una condicionante, “que el artículo que fue elegido al azar es defectuoso”, es decir, dado que sucedió el evento , determina la probabilidad de que haya salido de la máquina . Por el Teorema de Bayes se tiene: = = = = 4 54. Ejemplo 3. De manera similar, si el artículo seleccionado es no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina ? Sea el evento : el artículo sea no defectuoso, nuevamente se tiene una condicionante, ahora de que el artículo seleccionado haya sido no defectuoso. Nuevamente por el Teorema de Bayes se obtiene: = 2 3 5 6 1 = 63 = 5 2 5 = 1 3 82 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Actividad: 2 Resuelve los siguientes problemas. 1. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? 2. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene ésta si se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? 3. En cierta facultad, 4% de los hombre y 1% de las mujeres tienen más 1.85 m de altura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Si selecciona al azar un estudiante y es más alto que 1.85 m, ¿cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer? 4. Tres máquinas 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 2%, 3% y 4% respectivamente. Seleccionado un artículo al azar, resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina 𝐶? Actividad: 2 Conceptual Diferencia el uso de la probabilidad condicional en el Teorema de Bayes. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Utiliza el Teorema de Bayes para resolver problemas de aplicación. C MC NC Puntaje: Actitudinal Expresa la importancia de la utilidad del Teorema de Bayes para la resolución de problemas. Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. http://www.vitutor.com/pro/2/a_e.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/7.html BLOQUE 2 83 Cierre 0 Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. 1. El 12% de los habitantes de un país padece cierta enfermedad. Para el diagnóstico de ésta, se dispone de un procedimiento que no es completamente fiable ya que da positivo en el 90% de los casos de personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de personas sanas. ¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el procedimiento le ha dado positivo? 2. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad: el Paraíso perdido, el Rincón encantado o el Palacio del rey, en una proporción de 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente. Si se selecciona un visitante al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio? b) Y se sabe que él no se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el Paraíso perdido? c) Si se sabe que el visitante seleccionado se quejó del servicio prestado, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel el Rincón encantado? 3. Se dan tres urnas como sigue: Urna 𝐴 contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Urna 𝐵 contiene 2 bolas rojas y 1 blanca. Urna 𝐶 contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de ella. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea de la urna 𝐴? 84 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL y las de la tercera son una de plata y otra de oro. C MC NC Puntaje: Actitudinal Muestra interés en el desarrollo de la actividad.Actividad: 3 (continuación) 4. Se escoge una bolsa al azar y de ella una moneda también al azar. así como la proporción de artículos que cada uno procesa. robot defectuosos Art. ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda en la bolsa sea de oro también? Actividad: 3 Conceptual Identifica las características del Teorema de Bayes para su aplicación. Calificación otorgada por el docente BLOQUE 2 85 . dos monedas en oro o plata. en la segunda las dos son de plata. procesados A 0. Hay tres bolsas que tienen. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los tres. Saberes Procedimental Resuelve problemas de aplicación mediante el Teorema de Bayes. En una etapa de la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots.002 18% B 0. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. de acuerdo a la siguiente tabla.001 40% a) ¿Cuál es la proporción global de defectos producidos por los tres robots? b) Si se toma un artículo al azar y resulta con defectos en la soldadura. Si la moneda es de oro. En la primera bolsa las dos monedas son de oro. expone sus dudas. cada una.005 42% C 0. ¿cuál es la probabilidad de que haya sido soldado por el robot C? 5. 86 EMPLEA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL . 1. matemáticas o gráficas. para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana. analíticos o variacionales.4. como la binomial y la normal. Asume una actitud constructiva. congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.3. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 7. Competencias profesionales:       Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 5.6.2. Unidad de competencia:    Identifica los tipos de variables aleatorias discretas y continúas. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.1. Utiliza la distribución de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas más comunes. para resolver problemas relacionados con su entorno. 8. Tiempo asignado: 15 horas . Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. mediante el lenguaje verbal. 5. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo. Interpreta tablas. 8. gráficas.1. mapas.BLOQUE 3 Resuelve problemas de aplicación mediante la distribución de probabilidades de variables aleatorias discretas y continuas. respectivamente. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.1. Argumenta la solución obtenida de un problema. gráficos. definiendo un curso de acción con pasos específicos. diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Emplea la aproximación binomial a la normal. 5. comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 6. matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Atributos a desarrollar en el bloque: 4. Cuantifica.1. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. con métodos numéricos. así como sus distribuciones de probabilidad que modelan fenómenos o eventos de situaciones de nuestro entorno. 8. representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Inicio Actividad: 1 Responde los siguientes cuestionamientos.=Frecuencia Probab.Secuencia didáctica1. 1 36 36 36 36 = 1 a) ¿Cuántas parejas suman 12? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 12? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea 7? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5? 88 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Completa la tabla considerando la gráfica que representa los posibles resultados de lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos en las caras superiores. Resultado 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total Frec.=Probabilidad Frec. 1. 1 Probab. Distribución de probabilidad para variables discretas. Miriam va a presentar un examen y tiene 70% de probabilidades de aprobarlo y obtener 4 puntos. Se regresa la canica a la caja y nuevamente se extrae una canica. Autoevaluación Evaluación Producto: Tablas y cuestionario. En una caja hay 10 canicas. ¿Cuál es la probabilidad de tener 10 puntos? Actividad: 1 Conceptual Interpreta gráficos y resultados de experimentos aleatorios. y si es roja se obtienen 4 puntos.Actividad: 1 (continuación) f) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea mayor que 5? h) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea menor que 4? i) j) k) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5 o menor que 4? ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea número par? De las parejas cuya suma es mayor que 5 o cuya suma es un número par ¿cuántas parejas hay en común entre los dos conjuntos? ¿Cuántas parejas su suma es mayor que 5 o su suma es un número par? l) m) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor que 5 o sumen un número par? 2. Si reprueba el primer examen no tiene derecho a presentar el segundo y tiene 0 puntos. Exp. 70% son rojas y el resto blancas. no se tiene derecho al segundo intento. Si aprueba el examen presentará un segundo examen en el que también tiene 70% de probabilidades de aprobarlo y obtener 6 puntos. desarrollo de la actividad. Realiza el experimento 10 veces y registra los resultados. Si en el primer intento se saca una canica blanca. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 3 89 . si es roja se obtienen 6 puntos. si es blanca. cero puntos. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Calcula probabilidades y ejecuta Muestra interés y apertura en el experimentos aleatorios. 1° 2° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. Se saca al azar una de ellas. En otro caso. Una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto infinito no numerable. Por ejemplo. el evento = es la combinación de cuatro artículos que no contiene artículos defectuosos. Según los conocimientos adquiridos en tu curso de Probabilidad y Estadística I. A fin de verificar la calidad del producto. Para proporcionar una descripción con una mejor comprensión de lo que es una variable aleatoria discreta. Nuevamente. Una variable aleatoria es discreta cuando puede asumir una cantidad de valores susceptible de contarse. se analizarán algunos ejemplos relacionados con fenómenos reales. y que a lo más pueden ser cuatro. se vende en lotes de 20 cajas. Por lo tanto existe una relación funcional entre los eventos (combinación de cuatro artículos) de y los valores que puede asumir . = 3 y = son las combinaciones de cuatro artículos en los que se observan dos. En este bloque como ejemplo típico de variable aleatoria discreta se verá la distribución binomial. y como ejemplo típico de variable aleatoria continua se estudiará la distribución normal. el evento = 1 es la combinación en la que se observa un artículo defectuoso. debido a que no se sabe cuántos artículos defectuosos se pueden extraer. es representado con la letra minúscula . cada una de las cuales contiene 12 artículos. supóngase que un producto fabricado en una empresa. una vez observado el experimento. De modo que el valor numérico que puede tomar la variable aleatoria . la selección de cuatro artículos fabricados de entre 240 produce un espacio muestral que contiene eventos. Esto es. pues el número de bacterias es numerable. Los eventos experimentales con frecuencia son numéricos. se revisaron dos casos. es una función que asigna uno y sólo un número real a cada suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio y puede tomar posibles valores. la cantidad de bacterias que han crecido por unidad de área en un estudio del control de fármacos. De forma similar. Si más de uno de los artículos muestreados resulta defectuoso. En este caso es una variable aleatoria discreta. constituye una variable aleatoria. se realiza un experimento y se observa el valor numérico de alguna característica que sea de interés estudiar o analizar.Desarrollo Distribución de Probabilidad. que se denota ( = ) 90 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . como un intervalo por ejemplo. es una variable aleatoria discreta. El evento de interés para el jefe de control de calidad es la observación de la variable número de artículos defectuosos entre los cuatro que se prueban. de manera puntual. Dentro de las variables aleatorias numéricas. pues no se sabe cuántas bacterias van a reproducirse. que los elementos se puedan contar a pesar de ser un número exageradamente grande). Continuando con éste último ejemplo. es decir. puesto que el valor que puede asumir es un valor numérico que varía de forma aleatoria de una repetición del experimento a otra. el jefe de control de calidad de la empresa selecciona al azar cuatro de entre los 240 artículos de un lote y determina si los artículos están defectuosos o no. Igualmente = . Para denotar una variable aleatoria generalmente se usan las últimas letras del abecedario en mayúsculas: . En este experimento es importante saber el número de artículos defectuosos de entre los cuatro artículos seleccionados al azar. se rechazará todo el lote. además la variable es discreta. Así. numéricas discretas y numéricas continuas. tres o cuatro artículos defectuosos. para decidir si se rechaza todo el lote. la expresión ( = ) puede leerse como el conjunto de todos los posibles resultados del espacio muestral que pueden asignarse a valores mediante la variable aleatoria Ahora tiene sentido hablar de la probabilidad de que la variable aleatoria adopte el valor . Es por ello que el número de artículos defectuosos es la variable aleatoria que se pretende analizar. De aquí que una variable aleatoria es una función que cuantifica los resultados de un experimento o fenómeno aleatorio. cada uno de los cuales corresponde a una posible combinación de cuatro artículos que podrían seleccionarse del lote. Así. donde en él se encuentran una infinidad de números decimales imposibles de contar. Una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto con un número finito de elementos o infinito numerable (esto es. para asignar un valor numérico a la variable . puedes distinguir dos tipos de variables: categóricas y numéricas. En materia de estudio. Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas. ( ) 1 y ( ) = 1. es decir. luego la probabilidad de que asuma el valor cero es: ( = ) = ( ) = ( ) = El evento = 1 contiene dos eventos simples donde aparece sólo una cara en cualquiera de los lanzamientos. para acortar la notación ( = ). ya que durante el experimento podemos observar que no caigan caras en ninguno de los lanzamientos. Es similar a la binomial. Hipergeométrica. mientras que la segunda entrada refiere al segundo lanzamiento. Por lo que una vez más se cumplen las propiedades 1 y 3 de la probabilidad. La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede representarse a través de una tabla. Los eventos simples que conforman el espacio muestral y los correspondientes valores de se muestran en la siguiente tabla. el evento = refiere a los elementos del espacio muestral donde no se observó una cara en ambos lanzamientos. un espacio o un lugar. De acuerdo a la tabla. en este caso es el único evento. que caiga una cara en cualquiera de ellos o que ambos lanzamientos sean caras.      Uniforme. Binomial. por tanto ( = 1) = (1) = ( ) = ( ) = = Por último. pero con un tamaño de muestra grande en relación al tamaño de la población. Es la distribución de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un periodo de tiempo. Es la que maneja la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito constante y con repeticiones del experimento independientes. es representado por ( ). será la distribución binomial que se abordará más adelante. como se verá en el siguiente ejemplo. una gráfica o una fórmula que da la probabilidad ( = ). donde la probabilidad de que ocurra ( = ) = 1 6 para valores de = 1 3 6. Por ejemplo: tirar un dado. para = 1 . en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denomina función de probabilidad. Es la distribución donde todos los eventos simples tienen la misma probabilidad. el Sean los eventos simples de observar una cara. Considera el experimento de lanzar dos veces una moneda normal y se observa la variable aleatoria número de caras. ( ) ( ( ( ( ) ) ) ) 1 1 1 1 1 1 Recuerda que en la pareja ( ) la primer entrada hace referencia al resultado observado en el primer lanzamiento. que es la función que asigna la probabilidad a cada valor .Cuando una de estas variables aleatorias toma diversos valores. Calcula la distribución de probabilidad para . En ocasiones. la que más nos interesará estudiar de estas. 91 BLOQUE 3 . respectivamente. como un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que se presentan en el experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre o duda. Es la distribución de la probabilidad de realizar cierto número de experimentos antes de obtener un éxito. En los casos de variables discretas se tienen los siguientes modelos. Ejemplo 1. la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribución de probabilidad. Esta probabilidad se define como la sumatoria de las probabilidades de todos los posibles valores obtenidos en el espacio muestral asignados al valor . la probabilidad del evento donde aparecen dos caras es ( = )= ( )= ( )= . Geométrica. De Poisson. ( ) 1 La suma de las probabilidades de cada evento simple debe ser igual a 1. 0. Por otro lado.La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad para : = 0 1 2 ∑ ( ) 1 1 1 ( )=1 Como puedes notar cada una de las probabilidades es mayor que cero. en este caso. Las probabilidades de cada uno de los eventos simples debe ser positiva y menor que uno. El valor esperado –también llamada esperanza. pero menor que uno. la distribución de probabilidad se representa de la siguiente manera: Observa que la variable “número de caras” (eje horizontal) toma valores de manera puntual. Por lo tanto representa la cantidad media que se “espera” como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Es el número ( ) que representa la idea de valor medio de los resultados de un experimento aleatorio. Esto es. Se sabe que entre los números 0 y 1 de la recta numérica. Aunque cabe mencionar que el valor que 92 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Requisitos para una distribución de probabilidad discreta 1. es en ese sentido que decimos que una variable aleatoria discreta toma valores puntuales. que la variable. se multiplica cada valor que la variable pueda tomar por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego se suman esos productos. A través de un gráfico de barras. media poblacional o media– es una idea fundamental en el estudio de las distribuciones de probabilidad. 2. esto es. cumple con los requisitos para que la distribución anterior sea de probabilidad. es imposible que tome. ∑ ( )=1 Valor esperado y varianza para una distribución de probabilidad discreta. De ahí que las barras estén separadas entre sí. Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta. en el eje vertical se encuentran las probabilidades asociada a cada uno de los valores que la variable aleatoria toma. se encuentran una infinidad de números decimales. además la suma de todas las probabilidades es igual a uno. 1 o 2. para el seis. = ( )=∑ donde corresponde a los resultados individuales que la variable aleatoria toma. por lo que se espera que el resultado 7 se presente con mayor frecuencia que el resultado 6. se puede llevar a cabo cálculos de probabilidad mediante la sustitución de valores numéricos directamente en una fórmula algebraica. los valores de la variable que más ocurren tienen asignadas un peso mayor que las que menos ocurren. sugiere que si se lanzan dos monedas el beneficio medio o beneficio esperado a largo plazo de observar el número de caras es en promedio uno. calculada con la fórmula planteada. tres y tres. ya que hay el mismo número de resultados a favor de una suma que de otra. ya que dentro de la gráfica te indica dónde se están concentrando los datos de mayor frecuencia. Por ejemplo. Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) Entonces el valor esperado. La tercera columna ilustra la esperanza o valor esperado para el experimento. es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación. representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de una manera algebraica. produciendo así = ( ) = 0 1 2 ( ) 1 1 1 ∑ ( )=1 ( ) 0 ( )=0 1 ( )=1 2 ( )= = ( )= 1 =1 1 =1 El hecho de que = ( ) = 1. resulta contraproducente apostar a un suceso que tiene menor peso (probabilidad) de ocurrir. esto es. ¿Es cierta esta afirmación? Claro que no.5. en el que todos los sucesos son de igual probabilidad. Cinco y uno. como se verá más adelante. y al final sumamos los resultados obtenidos en cada caso. mientras que los sucesos que hacen que la suma sea 7 son (1 6) ( ) (3 ) ( 3) ( ) (6 1) y en consecuencia esta probabilidad es . En muchas situaciones. Por ejemplo. cuatro y dos. el valor esperado cuando se lanza un dado normal de 6 caras es 3. ya que el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible. Al hacer esto. cada valor que toma la variable es multiplicado por su respectiva probabilidad. en realidad los sucesos que dan origen a que la suma sea 6 en el lanzamiento de dos dados son: (1 ) ( ) (3 3) ( ) ( 1) por tanto la probabilidad es . 1 1 1 1 1 1 16 ( ) = 1( ) ( ) 3( ) ( ) ( ) 6( ) = =3 6 6 6 6 6 6 6 Observa que no es posible obtener el valor 3. en términos de los cálculos que se deben hacer. En este caso. Si de apuestas se trata. o media aritmética de es ( ). está dada por las primeras dos columnas de la siguiente tabla.5 en una de las caras del dado al lanzarlo.toma la esperanza en algunos casos puede no ser "esperado". cinco y dos. Formalizando la definición de valor esperado se tiene. un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener en la suma de estos un seis que un siete. para el siete. esperanza. La media aritmética o valor esperado es una medida de centralización. cuatro y tres. BLOQUE 3 93 . En consecuencia. la probabilidad de que la suma sea 7 es mayor que la suma sea 6. es fácil realizar el cálculo para comprobar dicha aseveración. se encuentra que es más conveniente. Si este experimento se realiza en repetidas ocasiones. es decir. El valor esperado pesa cada resultado posible con respecto a la frecuencia con que se espera que se presente. Seis y uno. La distribución de probabilidad para el lanzamiento de dos monedas visto anteriormente. la esperanza es igual a la media aritmética. definida como la raíz cuadrada positiva de la varianza de . Se lanza un par de dados sin truco. =√ =√ = 1 Ejemplo 2. y mide la distancia a la que se encuentran los datos con respecto a la media. es decir. que se denota por . Por ejemplo. queda expresado en la cuarta columna de la siguiente tabla. En cambio si se considera la desviación estándar de . c) Calcular la esperanza. las unidades de la varianza están expresadas al cuadrado. es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades que la variable aleatoria. ) ] = [( Desarrollando la definición anterior. a) Obtener la distribución de probabilidad para b) Construir una gráfica para la distribución de probabilidad. = ( ) ( ) ] Pero como = ( ) = ( ) ] = ( ) Si la variable aleatoria es discreta con probabilidades =∑ Donde: = ( )=∑ ( ) ( ) ( ) entonces: La varianza está medida en unidades distintas de las de la variable. por lo que resulta poco conveniente de usar. el cálculo de la varianza para este caso. la varianza se expresa en metros al cuadrado. por ser la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. se obtiene la siguiente definición y equivalente: = [ ] Por propiedades de la Esperanza se tiene. (que suele representarse con el símbolo ) como una medida de su dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.Sea una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidades ( ) y con media = ( ) se define la varianza. = 0 1 2 ∑ ( ) 1 1 1 ( )=1 2 ( ) 0 =0 1 = = = 1 1 =1 = ( ( (1 ( 1 ) 1) 1) 1) 1 1 1 1 = ( ) 1 = = = 1 1 = = ( )= = La desviación estándar para este caso es la raíz cuadrada del valor obtenido en la varianza. si la variable mide una distancia en metros. y se desea observar la variable de interés las caras superiores. Continuando con el experimento del lanzamiento de dos monedas. varianza y desviación estándar de : la suma de los puntos de 94 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . y en total la suma es uno. para el caso ( = ) corresponden las cuatro parejas (1 ) ( 3) (3 ) ( 1). y la segunda entrada a la cara del segundo dado. 8. La variable aleatoria : la suma de los puntos de las caras superiores. Por ejemplo. 7. puede tomar a lo menos el valor de 2 (correspondiente a la pareja (1 1)) y a lo más el valor de 12 (correspondiente a la pareja (6 6)). BLOQUE 3 95 . 10. 3. por lo que la probabilidad asociada es ( = ) = a) De modo que la distribución de probabilidad para la variable aleatoria 2 1 36 3 36 4 3 36 5 36 6 36 7 6 36 8 36 9 36 10 3 36 es: 11 36 12 1 36 ( ) Nuevamente observa que todas las probabilidades son mayores que cero. pero menores que uno. 4. 11 y 12. 6. b) El gráfico de barras para la distribución de probabilidad.De antemano se sabe que el espacio muestral para este experimento está conformado por las 36 parejas de números igualmente probables de ocurrir. 9. donde la primer entrada refiere al resultado obtenido en el primer dado. Por lo que los valores que puede tomar la variable son: 2. 5. ( ( (3 ( ( (6 ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) 1 = 36 36 3 = 36 36 3 = 36 36 16 = 36 36 = 36 36 6 = 36 36 36 = = ( )= = 36 16 ( ) = 36 36 3 (1 ) = 36 36 3 (11 ) = 36 36 1 (1 ) = 36 36 1 = = 36 Por lo que la desviación estándar es: =√ =√ 3= 1 Con lo que se concluye que la media o esperanza de la suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es de 7. 96 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicha suma 2.c) La esperanza y varianza para la variable aleatoria = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑ ( ) 1 36 36 3 36 36 36 6 36 36 36 3 36 36 1 36 ( )=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ( ) = = = = = = = = = = = 36 son calculadas en la siguiente tabla.4 unidades. 00. completa la tabla anotando el monto de dinero para cada caso. 10% de realizar tres ventas. tiene 30% de probabilidades de realizar una venta. e) Calculen la esperanza y la desviación estándar e interprétalas. Si por cada venta gana $120. 𝑿 = 𝒙 𝑷(𝒙) ∑ 𝑖 𝑃(𝑥𝑖 ) = 1 d) Realicen la representación gráfica de la distribución de probabilidad. 𝑿 = 𝒙 0 1 2 3 ∑ 𝑖 𝑷(𝒙) 𝒙𝒊 𝒑(𝒙𝒊 ) (𝒙𝒊 𝝁)𝟐 𝒑(𝒙𝒊 ) 𝑃(𝑥𝑖 ) = 1 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝜎 = BLOQUE 3 97 . Cuando un agente de ventas atiende a un cliente.Actividad: 2 En equipo de cuatro. realicen lo que se pide. c) Elaboren una distribución de probabilidades. 1. y 40% de no realizar ventas. Ventas 0 1 2 3 Total 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total a) ¿Cuál fue el total de ventas? b) ¿Cuánto ganará si recibe 10 clientes? Si 𝑋 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠. 20% de realizar dos ventas. 10 0.15 a) Determinen si la tabla representa una distribución de probabilidad. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación.10 0. de una variable aleatoria.40 0.20 0. b) Elaboren el gráfico correspondiente a la distribución de probabilidad anterior. c) Calculen la esperanza y la desviación estándar de dicha variable. Ana cree que existe una pequeña probabilidad de que pueda terminar su tarea en tan solo una hora esta noche. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Construye la distribución de probabilidad de una variable Participa exponiendo sus ideas y discreta. 𝒉 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 1 2 3 4 5 6 𝑷(𝒉) 𝒉𝒊 𝒑(𝒉𝒊 ) (𝒉𝒊 𝝁)𝟐 𝒑(𝒉𝒊 ) ∑ 𝑖 𝑃(ℎ𝑖 ) = 1 𝜇 = 𝐸(𝑥) = 𝜎 = Actividad: 2 Conceptual Distingue la información del problema para el cálculo de probabilidades y la construcción de la gráfica.05 0. C MC NC Calificación otorgada por el docente 98 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . e interprétalas. Calcula media y varianza respetando las de los demás. De hecho. entonces ella asigna probabilidades a los diferentes valores de ℎ.Actividad: 2 (continuación) 2. como se muestra en la siguiente tabla: 𝒉 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 1 2 3 4 5 6 𝑷(𝒉) 0. si ℎ representa el número de horas dedicadas a la tarea. en 4 de ellos se obtuvieron sólo un 2. fracaso en el segundo como . entonces es una variable aleatoria y se puede construir su distribución de probabilidad. que caiga un dos (que denotaremos con la letra ) es de 1 3 . ( ) ( ) 1 1 (1 ) ( 1) ( 3) (3 ) (1 1) (1 3) (3 1) (3 3) ∑ ( )= =1 En este ejemplo se tiene un caso de una distribución de probabilidad binomial. se conocen también como ensayos de Bernoulli repetidos (en honor a su creador Jakob Bernoulli).com/html/probabilidad/varaleat/tstu dentprob. Cuando los resultados de un experimento se dividen en dos categorías. Que en los dos giros la flecha no haya caído en dos. mientras que en el caso que caiga uno y tres serían “fracasos”.com/spanish/statistics. Con la finalidad de desarrollar una fórmula general para la probabilidad binomial. significa que ambos sean fracasos. (Imagina que cada una de las regiones contiene un arco de 120º. el primer y segundo números hacen referencia al primer giro y segundo giro.html http://www. Entonces aplicando las reglas de la probabilidad.es/software/java. y sólo en uno de ellos se obtuvieron 2 doses. éxito y fracaso. mientras que la de fracaso ( ) es 3. que se obtenga 1 o que se obtengan 2 doses. Supóngase que la flecha de la figura se gira dos veces y que se está interesado en el número de veces que se obtiene el 2. Entonces la distribución de probabilidad para dos giros se expresa en la siguiente tabla. Observa que la suma de probabilidades es uno y que cada una de las probabilidades son positivas y menores que uno.html Distribución binomial. en 4 de ellos no se obtuvo ningún 2. es decir. y así sucesivamente. la distribución de probabilidades se conoce como “binomial” (el prefijo bi significa dos). respectivamente. respectivamente.analyzemath. lo cual concuerda con la propiedad 3 de la probabilidad vistas en el segundo bloque. Se denotará éxito en el primer giro como . podría tomar los valores 0. Durante el experimento de girar dos veces la flecha.estadisticaparatodos. en que la probabilidad de éxito permanece constante en todas las repeticiones. 1 o 2. http://www. Observa que de los nueve resultados que son. se tiene lo siguiente. Si representa el número de 2 (doses) obtenidos después de dos giros.matematicasvisuales. El espacio muestral de resultados (igualmente probables) de la ruleta para los dos giros: = {(1 1) (1 ) (1 3) ( 1) ( ) ( 3) (3 1) (3 ) (3 3)} En cada uno de estos pares ordenados. se puede considerar otra forma de obtener las probabilidades de la tabla anterior. por lo que cada uno es igualmente probable). debido a que todos los posibles valores de han sido listados. ( = )= ( ) BLOQUE 3 99 . Las realizaciones repetidas de un experimento de estas características. esto es. que en el par de giros no se obtenga ningún dos. Los diferentes giros de la flecha son independientes entre sí y en cada giro la probabilidad de éxito.Sitios Web recomendados: Ingresa al siguiente sitio para que consultes e interactúes con los temas vistos. Se puede pensar en el caso que caiga dos como un “éxito”.html http://www. 100 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Sólo existe una forma de obtener = (es decir que se fracase en los dos intentos. ). la probabilidad de éxito multiplicada por la probabilidad de fracaso. significa que haya un éxito y un fracaso que se pueden presentar de la siguiente manera: ( = 1) = [( ) ( )]. Y sólo hay una manera de obtener = (cuando los dos giros son éxitos. ). ( = 1) = 3 ( )=1 = . existe un patrón en los cálculos anteriores. La probabilidad de cada una de estas tres formas es (1 3) ( 3) ( 3) = . Que la flecha haya caído en un dos. significa que en cada giro caiga un dos. (¿recuerdas la expresión de combinaciones? significa las combinaciones de dos objetos tomados de uno en uno). = . Cada una de las dos formas de obtener exactamente un éxito tiene una probabilidad igual a (1 3) ( 3). de acuerdo con el hecho de que = 3. Pero existen dos formas posibles de obtener = 1. ¿De cuántas formas puede ocurrir exactamente un éxito en dos ensayos repetidos? Esta pregunta es equivalente a decir ¿cuántos subconjuntos de tamaño uno existen en el conjunto de dos ensayos? La respuesta es = . Por la regla especial de la suma: ( = 1) = [( Por la regla especial de la multiplicación: ( = 1) = ( ) ( ) = ( 1 3) ( 3) = ( ) ( ) ( 3) (1 3) ) ( )]. Estas formas son . El siguiente diagrama de árbol muestra todas las posibilidades de tres giros. Si observas bien. Si la misma flecha se gira tres veces en vez de dos. es = 3. una es y la otra es .Por la regla especial de la multiplicación se tiene: ( = )= ( ) ( ) = ( 3) ( 3) = . el número de éxitos de que caiga un dos. Existen dos formas porque el único éxito requerido puede ocurrir en el primer giro o en el segundo. Por lo tanto. ( = )= ( ) Por la regla especial de la multiplicación: ( = ) = (1 3) (1 3) =1 . y . Y por último que haya dos éxitos. observa que el número de formas de obtener dos éxitos en tres ensayos es también de tres. entonces . = 0 1 2 3 ∑ 1 6 1 ( )= =1 ( ) El patrón que se observa en estos experimentos ahora puede generalizarse para cualquier experimento binomial. Sea: = = =1 = ú = Observa que la probabilidad de éxito permanece fija en todos los ensayos. por lo tanto multiplicamos veces la probabilidad de éxito por veces la probabilidad de fracaso . habrá siempre éxitos y fracasos. debido a que este es el número de subconjuntos diferentes de posiciones de la flecha (hablando específicamente del problema aquí desarrollado) entre un conjunto de posiciones. Todo el análisis anterior se resume en el siguiente enunciado. La variable aleatoria (número de éxitos) puede tomar cualquier valor entre y . se puede obtener éxitos de ensayos de formas diferentes. BLOQUE 3 101 .Núm. Observa también que la suma de las probabilidades es uno. giro 1er. giro Probabilidad 1 1 1 1 1 1 1 3= 3= 1 3= 3= 1 3= 3= 1 3= 3= 1 𝐴 𝐹 𝐴 𝐹 𝐴 𝐹 3 2 2 1 2 1 1 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 𝐴 𝐴 𝐹 𝐴 1 1 3 3 3 3 𝐹 𝐹 𝐴 𝐹 La siguiente tabla proporciona la distribución de probabilidad asociada. de éxitos 3er. También sin importar cuáles de los ensayos resultaron éxitos. giro 2do. Esto significa que todos los ensayos son independientes entre sí. En general. Control de calidad de un producto. . que caiga sello. entonces la cara de la moneda será el “éxito”. y como piden la probabilidad de que caigan tres caras. se utilizará la fórmula establecida anteriormente. 𝒙 Para denotar que una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria binomial con parámetros ensayos o repeticiones y con probabilidad de éxito . éxitos. se puede usar cualquier número entero para y cualquier valor de entre 0 y 1. Para este propósito. por lo regular están disponibles en los libros de estadística. la lanzamientos que pide el problema. éxito y fracaso. son los )= La fórmula de la probabilidad binomial ( = ) = ( es una función de probabilidad discreta. Determina también la media y la desviación estándar. la desviación estándar de una distribución probabilística binomial con parámetros =√ Resumiendo. es = probabilidad de fracaso. Determina la probabilidad de obtener exactamente tres caras en cinco lanzamientos al aire de una moneda sin defectos. Ejemplo 1.En las finanzas. puedes usar los paquetes de software estadísticos que realizan estos cálculos de manera automática o bien tu máquina calculadora. es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como: . utilizamos la expresión ( ). . También.Juegos de azar. . éste es un experimento binomial con parámetros: = 1 . ( = )= 102 y es: y es: . para distintos valores de . ayudado con la calculadora. = Media Varianza = Desviación estándar =√ Existen tablas de valores para la binomial.En educación. La probabilidad de obtener exactamente 𝑥éxitos está dada por: 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝑪𝒏 𝒑𝒙 𝒒𝒏 𝒙 . entonces = 3. también se le conoce como ensayos o pruebas de Bernoulli. con 𝑝 𝑦 𝑞 = 1 𝑝 constantes a lo largo de los 𝑛 ensayos.Fórmula de la probabilidad Binomial Cuando ocurren 𝑛 repeticiones independientes de un ensayo. donde y parámetros de la variable. De la misma manera. tres éxitos. Ya que sólo se tienen dos opciones. la distribución binomial tiene las siguientes propiedades. que caiga cara. la probabilidad de éxito. es = 1 1 = 1 . RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . de modo que para llegan comúnmente hasta cerca de 20. De la fórmula de la probabilidad binomial. Distribución Binomial ( ). o sea. Como el problema pide determinar la probabilidad de obtener cara. La media y la desviación estándar de la distribución binomial La media de una distribución de probabilidad binomial con parámetros = Por otro lado. donde 𝑝 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑥𝑖𝑡𝑜 y 𝑞 = 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜. Así. en teoría.sustituyendo todos los valores tenemos que la probabilidad resulta: ( = 3) = (1 ) (1 ) = (1 ) (1 ) 1 1 1 =1 = = = 3 16 31 Nota: En algunas calculadoras. que salga un cinco es = 1 6. Una pareja planea tener 5 hijos. el “éxito” será que salga un cinco. En el caso de ensayos repetidos independientes. Ejemplo 3.91. en teoría. presionas la tecla SHIFT para que se active la función de combinaciones. el promedio de observar un cinco sería de 1 con una dispersión de 0. Determina la probabilidad de que tengan más de tres niñas. Nuevamente ya que piden la probabilidad de obtener el número cinco de un dado. Determina la probabilidad de obtener exactamente dos cincos en seis lanzamientos de un dado sin truco. la media de acuerdo a su fórmula es: = Y la desviación estándar es: =√ = ( )(1 ) = = . las permutaciones y combinaciones se encuentran generalmente arriba de las teclas de ( ) y ( ). enseguida presionas la tecla sobre la cual se encuentran las combinaciones. primero escribes 5 en la calculadora. la probabilidad de fracaso por tanto es = 1 1 6 = 6 y ya que pide obtener exactamente dos cincos. cuando un evento implica más de un número específico de éxitos. (se va a suponer que los niños y las niñas son igualmente probables.5 (casi tres caras) con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicha suma 1. respectivamente. entonces = . De la fórmula de la probabilidad binomial se tiene.) BLOQUE 3 103 . luego el igual. enseguida presionas 3. Por último.11 unidades. Ejemplo 2. la probabilidad de éxito. Calcula su media y desviación estándar. se puede emplear la fórmula de la probabilidad binomial junto con la regla de complementos o la regla de la suma vistas en el bloque anterior. su media y desviación estándar. Para calcular . = 1 11 = √( )(1 )(1 ) = √ Esto quiere decir que al realizar cinco lanzamientos al aire de una moneda. Y te devuelve como resultado el número de combinaciones de 5 en 3 que es 10. ( = )= ( 1 6) ( 6) = ( 1 6) ( 6) 1 6 31 =1 = = 1 36 1 6 1 La media de acuerdo a su fórmula es: = La desviación estándar es: =√ = (6)(1 6) = 6 6 = 1 1 = √(6)(1 6)( 6) = √3 36 = Esto quiere decir que al lanzar un dado seis veces. y aparece en la pantalla la expresión . para este tipo de calculadoras es la tecla ( ). el número de caras promedio que se esperan observar en los cinco lanzamientos sería de 2. Entonces los parámetros de la distribución son: = 6 ya que son 6 lanzamientos. 7. “más de 2”. Determina la probabilidad de que obtenga más de dos imparables en la serie. Entonces los parámetros de la distribución son: = . o sea 4 o 5. (esto significa. 6. 104 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . es decir. 8. 1 o 2” y restárselos a 1. Ejemplo 4. Utilizando la fórmula de la probabilidad binomial. Este “experimento” implica = 1 ensayos de Bernoulli. la media de acuerdo a su fórmula es: = Su desviación estándar es: =√ 1 1 1 1 1 16 3 = = = 1 = = 1 11 = ( )(1 ) = = √( )(1 )(1 ) = √ Esto quiere decir que al tener cinco hijos. Debido a que en este caso. con probabilidad de éxito (dar un imparable) dada por = 3 (lo cual implica que la probabilidad de fracaso es. 4.72% de probabilidad de pegar más de dos imparables en la serie corta. = 1 . que en promedio de cada 10 bateos. calcular la probabilidad para los casos cuando el número de imparables es “0. = 1 3= ). En una serie corta. en teoría el número de niñas promedio que se espera observar en los cinco alumbramientos sería de 2. 5. = 1 1 =1 y 3. tiene una carrera establecida por haber bateado un promedio de 0. 9 o 10” (lo cual significa 8 diferentes posibilidades). con otro equipo rival.11. significa “3. Por lo que implica usar la regla de la suma. un jugador de béisbol. ( 3) = ( = ) ( = ) = ( = ) ( = ) 1 ) (1 ) = ( (1 ) (1 ) = = Por último. aproximadamente 3 son imparables). sería menor trabajo si se aplica la regla de los complementos. ya que pide que tengan más de tres niñas. pues sólo se tienen dos opciones nuevamente.3. resulta. Rudy Preciado. ) ( 3) ( 33 ] ) Por lo que Rudy Preciado tiene el 61. .5 (entre dos y tres niñas) con una desviación con respecto a la media de 1. Rudy bateará 10 veces.El “éxito” entonces es que sea una niña. ( )=1 =1 =1 =1 [ ( ) ( = 1 ( = ) Por regla de los complementos Sólo tres posibilidades diferentes Regla especial de la suma Fórmula de la probabilidad binomial ) ( = 1) ( 3) ( ) 1 11 ( = ) ] ( 3) ( =1 [ =1 3 = 61 . e) Tres. al cobrar una falta. d) Al menos uno. g) Menos de 3.Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. c) 2 puntos. si se encesta el primer lanzamiento se tiene derecho a un segundo lanzamiento extra. si se encesta en ambos lanzamientos. 2. 1.  2 puntos. a) Cero. de tal manera que se pueden obtener:  0 puntos. b) Uno o dos. si se encesta el primer lanzamiento y se falla el segundo. determina la probabilidad de cada uno de los siguientes números de sellos. Si se lanzan al aire tres monedas no defectuosas. Si un jugador en promedio encesta 3 de cada 4 intentos. si se falla el primer lanzamiento. f) No más de uno.  1 punto. al cobrar un falta. En baloncesto. BLOQUE 3 105 . ¿qué probabilidad hay de obtener? a) Cero puntos b) 1 punto. c) Uno. Saberes Procedimental Aplica la distribución binomial. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación.           Actividad: 3 Conceptual Identifica las propiedades de la distribución binomial.bio.html  http://www. C MC NC Puntaje: Actitudinal Aprecia las características de la distribución binomial en el cálculo de probabilidades.com/statistics/binomial_probability.  http://www.es/mod_distribu/distribu_applet_ghost.ucm.matematicasvisuales.html     RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS 106 . determina la probabilidad de que una familia con tres hijos tengan exactamente dos niños.Actividad: 3 (continuación)           3. Calificación otorgada por el docente      Sitios Web recomendados:   Ingresa al siguiente sitio para que consultes e interactúes con los temas vistos. para resolver problemas cotidianos.analyzemath. Suponiendo que un bebé niño o niña son igualmente probables.com/html/probabilidad/varaleat/binomial.html  http://e-stadistica. b) Ninguno de los siete finalice la tarea. La probabilidad de que un alumno de primer año de bachillerato repita un curso es de 0. 3 no hayan recibido un buen servicio. Suponiendo que una de las personas decide resolver el examen al azar. Por lo general.25. c) Al menos dos acaben la carrera.3. Se eligen 20 alumnos al azar.Cierre Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas. 10 personas se van sin recibir bien el servicio. d) Hallar la media y la desviación estándar del número de alumnos que acaben la carrera. Hallar la probabilidad de que un grupo de estudiantes matriculados en primer curso: a) Todos finalicen la carrera. Un examen consta de 10 preguntas de Falso y Verdadero. BLOQUE 3 107 . ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente 4 alumnos repetidores? 4. Hallar: a) La probabilidad de obtener cinco aciertos. En una oficina de servicio al cliente de una tienda de autoservicio. 2. 1. Determina la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes. c) La probabilidad de obtener al menos cinco aciertos. se atiende a 100 personas diariamente. 3. b) La probabilidad de obtener algún acierto. La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de Licenciado en farmacéutica es de 0. Actividad: 4 (continuación) 5. Calificación otorgada por el docente 108 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . d) Más de 5 tengan fuga de aceite. Saberes Procedimental Emplea la distribución binomial. d) Determina el promedio y la desviación estándar de amortiguadores defectuosos. en la solución de problemas cotidianos. C MC NC Puntaje: Actitudinal Reconoce el uso de la distribución binomial en diversas situaciones de la vida real. 6. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas. En una fábrica de cámaras fotográficas. en la solución de problemas cotidianos. hallar la probabilidad de que: c) 4 salgan defectuosos. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. el 5% sale con defectos. Si se instalan 20 de estos amortiguadores. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% de ellos presentaban fuga de aceite. e) De 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. Actividad: 4 Conceptual Identifica los parámetros de la distribución binomial. Inicio Actividad: 1 Responde los siguientes cuestionamientos. Distribución de probabilidad para una variable continua. e) Tiempo que tarda un avión en despegar. a) El número de caras obtenidas en 30 monedas lanzadas. b) El número de bebés que nacen en un día en cierto hospital. 2. d) La altura de los abetos de seis semanas de edad. f) El nivel de hemoglobina en la sangre de una persona. 1. c) El peso promedio de los bebés nacidos en una semana.Secuencia didáctica 2. Observa la gráfica y contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué porcentaje está por encima de 70? b) ¿Qué porcentaje está por debajo de 85? BLOQUE 3 109 . Clasifica las siguientes cantidades de variables como numéricas discretas o continuas. 8? d) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina entre 12. arroje un nivel de hemoglobina que varíe entre 12 y 13.8?    Si se eligen al azar 300 mujeres adultas. ¿cuántas de ellas tienen niveles de hemoglobina superior a  13.2?   RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS 110 .4 y 13.6? e) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a una mujer a quien le realizaron un estudio sanguíneo.6 y 12. arroje un nivel de hemoglobina inferior a 12.Actividad: 1 (continuación) c) Si se supone que los números del eje horizontal son calificaciones de 500 alumnos que cursaron la materia de Matemáticas 4. que la gráfica refleja los niveles de hemoglobina en las mujeres adultas.6? b) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina entre 11.2? f) g)     ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir azar a una mujer a quien le realizaron un estudio al sanguíneo. ahora. ¿cuántos de ellos obtuvieron una calificación entre 70 y 90? ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar a un alumno que cursó esta materia haya tenido una calificación inferior a 75? d) 3. Suponiendo.4? c) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina superiores a 12. da respuesta a cada una de las siguientes preguntas: a) ¿Qué porcentaje de mujeres tiene niveles de hemoglobina inferiores a 13. 30) No.10) [10.25) [25. Sin embargo. Los datos se han agrupado en una distribución de frecuencias considerando intervalos de cinco días como sigue: Tiempo de entrega (días) [0. modelar una función se convierte en un problema más complicado.     Actividad: 1 Conceptual Interpreta áreas bajo la curva en porcentajes y probabilidades. por lo que se tienen que trabajar en intervalos y.20) [20. desarrollo de la actividad. y después de la etapa de detección y corrección de errores. Para clarificar cómo se realiza esta aproximación al modelo teórico se considerará el siguiente caso: Se han registrado los tiempos que le tomó a una empresa de mensajería entregar 190 paquetes con destinatarios diferentes dentro de una misma ciudad. Saberes Procedimental Actitudinal Convierte áreas bajo la curva en Se muestra interesado en el porcentajes y probabilidades. representando sobre cada intervalo un rectángulo con área proporcional al número de datos en ese rango. el comportamiento de estas variables puede explorarse gráficamente mediante un histograma de frecuencias. Autoevaluación Evaluación Producto: Descripción y Puntaje: cuestionario. en ese momento. a diferencia de las variables discretas que le corresponde un gráfico de barras. o dos o más de ellos no coincidan. C MC NC Calificación otorgada por el docente Desarrollo Distribución de probabilidad para variables continuas. Esta curva suave "asintótica" representa de modo intuitivo la distribución teórica de la característica observada. de los datos numéricos.5) [5. de modo que el polígono de frecuencias tendrá una apariencia cada vez más suavizada. Entre más grande sea la cantidad de valores observados de la variable de interés. como se verá a continuación. al considerar las variables continuas se encuentra el problema de que. Además de las medidas descriptivas correspondientes. lo más probable. Si se unen los puntos medios del extremo superior de las barras (techos de los rectángulos). de paquetes 115 31 17 12 10 5 BLOQUE 3 111 . Es la llamada función de densidad. un primer paso consiste en describir la distribución de las variables estudiadas y.15) [15. se obtiene el llamado polígono de frecuencias. los datos que se puedan recabar no sean completamente exactos. Sin embargo. Al iniciar el análisis estadístico de una serie de datos. Recuerda de tu primer curso de probabilidad que para construir un histograma se divide el rango de valores de la variable en intervalos de igual longitud. Hasta el momento se han considerado las distribuciones de probabilidad para variables discretas. se pueden realizar aproximaciones y describir la probabilidad a través de modelos teóricos de probabilidad cuya gráfica es una línea continua. en particular. donde se podía asignar el valor que toma la función de probabilidad cuando la variable aleatoria tomaba un valor en concreto. se puede construir un histograma en el que las bases de los rectángulos sean cada vez más pequeñas. es decir.24) [24.8) [8. que los paquetes se distribuyen equitativamente cada día.2) [2.18) [18.22) [22.3) [3.15) [15.10) [10.6) [6. Se puede aumentar la muestra y seguir recogiendo información para hacer una distribución de frecuencias similar a la anterior. El problema es que al manejar intervalos de cinco días se está suponiendo que dentro de cada intervalo los datos se distribuyen de manera uniforme.28) [28.Se va a suponer que un posible cliente. conociendo esta información.16) [16.9) [9.30) No. de paquetes 93 30 18 13 9 8 6 6 4 3 Al seguir reduciendo la amplitud a dos días se obtiene la distribución: Tiempo de entrega (días) [0.12) [12.14) [14.24) [24.30) No. de paquetes 76 29 18 13 10 8 6 6 5 4 4 4 3 2 2 112 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . cosa que no es así.21) [21. quisiera saber qué probabilidad tiene de que su paquete sea entregado en dos días.26) [26. Otra posible solución es reducir la amplitud de los intervalos.20) [20.12) [12.6) [6. de tal suerte que se podría tomar una amplitud de tres días por intervalo y hacer la siguiente distribución de frecuencias: Tiempo de entrega (días) [0.18) [18. pero se tendría el mismo problema: dentro de cada intervalo se está presuponiendo que los datos se distribuyen uniformemente.4) [4.27) [27. 16) [16.26) [26.2) [2.24) [24.Al reducirla a intervalos de un día se tiene la distribución: Tiempo de entrega (días) [0.19) [19.23) [23.1) [1.14) [14. los valores a una curva continua. Y se podría graficar tal información en histogramas para poder ver cómo se aproximan. si es que ocurre.5) [5.11 [11.12) [12. el total de datos). lo que le interesa al futuro cliente es la probabilidad de que se haga una entrega en un cierto tiempo.17) [17. y nuevamente reducir la amplitud de los intervalos.8) [8. 18) [18.4) [4.27) [27.10) [10.3) [3. por lo que habría que considerar las frecuencias relativas (para este caso es la frecuencia de cada intervalo entre 190.21) [21.25) [25.29) [29.28) [28.30) No.9) [9. de paquetes 51 25 17 12 10 8 7 6 5 5 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Ahora. 6) [6.7) [7.20) [20.13) [13.22) [22.15) [15. BLOQUE 3 113 . a los intervalos de dos días. Se han incluido de una vez las líneas que unen los puntos medios de las barras del histograma porque se puede ver que las barras de las frecuencias relativas se "van reduciendo en altura" y las líneas graficadas están tan separadas del lado izquierdo (en este caso) que no se puede hablar de una aproximación continua a una sola línea.Donde las barras del fondo. que se va a definir como el cociente de la frecuencia relativa entre la amplitud del intervalo: = De hecho. De esta manera. existe la función de densidad de una distribución de probabilidad. Una posible solución a esto es utilizar la densidad del intervalo. las más anchas (rosas) y la línea (roja) que los recorre. a los intervalos de un día. que son los que están en primer plano. de donde se deriva esta definición de densidad del intervalo. le siguen las barras y línea azules. y las barras y líneas verdes. corresponden a los intervalos de cinco días. añadiendo las columnas correspondientes a la frecuencia relativa y la densidad se tienen las siguientes tablas: Intervalos de cinco días 114 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . corresponden a los intervalos de tres días. las barras y línea amarillas. quedan como sigue: BLOQUE 3 115 .Intervalos de tres días Intervalos de dos días Intervalos de un día Al realizar los histogramas correspondientes. despejando en el primer cociente la frecuencia relativa e igualando con esta segunda expresión se obtiene que: =( ) ( ) Geométricamente hablando. que son las que están en primer plano dentro del gráfico. la gráfica se convierte en la curva continua de la función de densidad. como se ve en la siguiente gráfica: 116 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . el producto que proporciona la probabilidad del evento representa lo siguiente: La densidad del intervalo es la altura de cada uno de los rectángulos. y las barras rosas que son las que se ven en último plano ahora se han reducido en altura. mientras que la amplitud del intervalo es el ancho de cada rectángulo.Observa cómo las barras azules. tomando en cuenta la densidad de los intervalos y que cuando tales intervalos tienen una amplitud cada vez más pequeña. han aumentado su altura. se sabe que alto por ancho proporciona el área del rectángulo. es decir. corresponden a los intervalos de un día. De esta manera. considerando la manera en que se definió la densidad de un intervalo como: = y recordando que la frecuencia relativa es la probabilidad de un evento (en el ejemplo de la mensajería sería la probabilidad de entregar un paquete dentro de un intervalo dado de tiempo): = = Entonces. Igual que en el caso anterior. entonces la probabilidad de que un evento ocurra en un intervalo [ ] es el área bajo la curva de la función en ese intervalo. El resultado es una línea continua que es la gráfica de una cierta función denominada función de densidad de la distribución de probabilidad. que tiende a cero. Ahora. se han graficado simultáneamente las barras y las líneas que unen los puntos medios de éstas para observar que con la densidad sí se aproximan los histogramas a una línea continua (que la mejor aproximación presentada es la línea azul) cuando los intervalos se reducen continuamente. la probabilidad de que ocurra un evento corresponde al área de las barras del histograma hecho. el cálculo de tal probabilidad se realiza utilizando cálculo integral: ( )=∫ ( ) = ( ) Donde ( ) es la función de densidad de la distribución de probabilidad correspondiente. la probabilidad (frecuencia relativa) es igual a la densidad del intervalo por la amplitud del intervalo. Hay que estar conscientes de que en el caso de las variables continuas sólo se puede calcular la probabilidad de que un evento caiga dentro de un intervalo. que las probabilidades sean positivas y en la número 2. como ya también se dijo. ( ) ∫ ( ) para toda . 2. por tanto. entonces no importa qué tan grande sea la densidad de tal intervalo porque.Por tanto. debe satisfacer las siguientes dos condiciones: 1. la probabilidad es igual a cero. = 1. BLOQUE 3 117 . Por esto. debido a que la exactitud de los instrumentos de medición siempre es relativa y muy lejana a la "exactitud" de los cálculos matemáticos. Así. a que la suma de las probabilidades de los valores que toma la variable es igual a 1. En la número 1. Para que ( ) sea una función de densidad de probabilidad (FDP) legítima. la función de densidad de probabilidad mide la probabilidad concentrada alrededor de los valores de una variable aleatoria continua. la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor exacto es nula: ( = )=∫ ( ) = Esto se puede explicar de la siguiente manera: si. por ser variable continua la amplitud del intervalo tiende a cero y. La gráfica de ( ) se conoce a veces como curva de densidad. Es decir que el área total de la curva de densidad en toda la recta real es igual a 1. Esto es que en todo valor dentro del intervalo debe ser positiva. la probabilidad de que tome un valor en el intervalo [ ] es el área bajo la curva de la función de densidad. Observa que estas propiedades para el caso de variables aleatorias continuas son similares al caso discreto. como ya se dijo. Nivel de ruido en telecomunicaciones. Al igual que en el caso de las distribuciones de probabilidad de variables discretas. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. denotadas generalmente por las letras griegas minúsculas (mu) y (sigma). Cuando los datos no sean normales. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) No obstante. Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de bioestadística y demás disciplinas utilizadas en la práctica. La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:        Caracteres morfológicos de individuos como peso. Esto se debe a dos razones fundamentalmente: a). Normal. Es una distribución asociada a la prueba c². Caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco. b). y aunque algunos autores han señalado que el comportamiento de muchos parámetros en el campo de la salud pueden ser descritos mediante una distribución normal. su media y su desviación estándar. Sirve para el estudio de variaciones. su ecuación matemática y sus propiedades más relevantes. Gamma. en honor a su creador Carl Friedrich Gauss. es la distribución normal.       Uniforme. Se utiliza para estudiar variables cuya distribución puede ser asimétrica. Valores estadísticos muestrales como la media. a través de varias muestras. de un porcentaje que representa algún fenómeno. Exponencial. se puede transformarlos o emplear otros métodos estadísticos que no exijan este tipo de restricciones (los llamados métodos no paramétricos). también llamada distribución Gaussiana. Es la distribución en donde todos los eventos tienen la misma probabilidad. 118 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . estatura. existen otras medidas. La simple exploración visual de los datos puede sugerir la forma de su distribución. Aun así. La distribución normal. proporcionando algunos ejemplos sobre sus aplicaciones. Es la distribución más utilizada porque la mayoría de las variables utilizadas en fenómenos sociales se distribuyen aproximadamente siguiendo este modelo. Su función de densidad es simétrica y con forma de campana. etc. lo que favorece su aplicación como modelo a gran número de variables estadísticas. y se usa para comparar los valores observados con los esperados. Caracteres psicológicos como el cociente intelectual. La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros. si la muestra de la que se dispone procede o no de una distribución normal. Caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos. Beta. A continuación se describirá la distribución normal. Se utiliza para estudiar el tiempo entre dos sucesos. Es además. Es la que tocaremos a continuación y se le llama comúnmente distribución normal. límite de otras distribuciones y aparece relacionada con una gran cantidad de resultados ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades matemáticas. respectivamente. puede resultar incluso poco frecuente encontrar variables que se ajusten a este tipo de comportamiento.Modelos de distribución de probabilidad de variables continuas. ji cuadrada (  2 ). De cualquier modo es importante no dar por hecho que un conjunto de observaciones asume la distribución normal. en el caso de las distribuciones de probabilidad de variables continuas se tienen varios modelos teóricos. gráficos de normalidad y contrastes de hipótesis que ayudan a decidir de un modo más riguroso. La distribución normal es la distribución de probabilidad que con más frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. la curva decae rápidamente. mediana) son idénticas.3% 34% 13. efectuando la transformación: = entonces la variable aleatoria se dice que se ha estandarizado. como se verá en algunos ejemplos más adelante. Esta propiedad resulta especialmente interesante en la práctica. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación estándar ( ). se dice que una variable sigue una distribución normal con media y desviación estándar . que corresponde a una distribución de media = y desviación estándar = 1. Cuanto mayor sea la . la curva normal es asintótica al eje de abscisas. y se denota como ( ). (sigma) es la desviación estándar ( es la varianza) y es la variable aleatoria continua que determina la curva en forma de campana. Es importante saber que. Es simétrica con respecto a su media. Así. el rango de la distribución normal es infinito. Conforme nos alejamos de la media (centro). De entre todas ellas. y que permitirán resolver preguntas de probabilidad acerca del comportamiento de variables de las que se sabe o se asume que siguen una distribución aproximadamente normal. moda. . En concreto. siempre existe la posibilidad (aunque muy pequeña) de que tome un valor superior. Pero de hecho nunca alcanza al eje. que se diferencian por los valores de su media y su varianza. no existe una única distribución normal. más aplanada será la curva de la densidad.5% 2. sino una familia de distribuciones con una forma común. en forma teórica. y un 50% de observar un dato menor.7%. Como lo muestra la gráfica. y después. de manera gradual se aproxima al eje de las abscisas. Como se deduce de este último apartado. existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo ( 1 6 1 6 ). 34% 13.3% µ-3 µ-2 µ-1 µ µ+1 µ+2 µ+3 BLOQUE 3 119 . de tal modo que la nueva variable aleatoria tendrá una distribución normal con = y = 1. Para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media. Propiedades de la curva normal Las medidas de tendencia central (media. Por lo tanto. a partir de cualquier variable que siga una distribución ( ). se puede obtener otra variable con una distribución normal estándar. la más utilizada es la distribución normal estándar. si su función de densidad está dada por la ecuación anterior.La función de densidad está dada por: ( )= 1 √ ( ) Donde (mu) es la media. ya que para una distribución ( 1) existen tablas a partir de las cuales se puede obtener de modo sencillo la probabilidad de observar un dato menor o igual a un cierto valor . a dos desviaciones estándar el 95% aproximadamente y a tres desviaciones estándar aproximadamente el 99.5% 2. Regla empírica: El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a una desviación estándar de la media es aproximadamente el 68%. por ello. No importa que tanto nos alejemos. 1808 0.1331 0.0080 0.1844 0. más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana.1700 0.1443 0.2054 0.4 0.0636 0. Supongamos que 300 estudiantes de química hacen un examen semestral y que la distribución de sus resultados está distribuida de manera normal.2123 0. mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia los ejes. como la tabla que se anexa en este módulo.0910 0. Ya que hay un total de 300 resultados. El método tradicional es consultar una tabla de valores de áreas.02 0.01 0.0199 0.1772 0.0987 0.0040 0.0239 0.0675 0.06 0.1406 0.5 120 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . el área bajo la curva delimitada entre la media 0 y el valor de indica la probabilidad de que la variable de interés . una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.03 0. será mucho más probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre muy alejado de este. el 68% de los resultados posibles están a 1 desviación estándar de la media.05 0. la desviación estándar es una medida de dispersión. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en torno a la media.00 0.07 0. el objetivo aquí es ilustrar el uso de la tabla de valores de la normal.2190 0.1950 0.0438 0.1026 0.1368 0.1628 0. Al igual que ocurre con un histograma. esta indica la posición de la campana.2157 0.0478 0.3 desviaciones estándar por encima de la media.1217 0. cuando una variable siga una distribución normal. Ejemplo 1. Los paquetes de software diseñados para aplicaciones estadísticas por lo común pueden calcular los valores de las probabilidades necesarias.8 a 1.1103 0.1293 0. tal y como se muestra en la figura abajo en el eje horizontal se considera un valor . el número de resultados a 1 desviación estándar es de (6 )(3 ) = b) Dentro de 2 desviaciones estándar de distancia de la media. a) Dentro de 1 desviación estándar de distancia de la media.1985 𝑧 Segunda cifra decimal del valor de 𝒛. Determina el número de resultados que caen dentro de los siguientes intervalos.04 0.0596 0.0 0.0948 0.0793 0. por tanto. La media es una medida de localización. 0. Mediante la regla empírica.2224 0. y además muchas de las avanzadas calculadoras actuales tienen esta capacidad. ya que determina el grado de apuntamiento de la curva. Por otra parte.0398 0.0000 0.0120 0.1517 0. en el que el área de cada rectángulo es proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si. Áreas bajo la curva normal estándar entre 0 y 𝒛.Es importante darse cuenta de que el porcentaje de valores en un intervalo es equivalente a la probabilidad de que un valor aleatorio se encuentre en dicho intervalo.1179 0. 0 0. Si bien se podrían usar estas herramientas como un método opcional.1915 0.08 0. 3 desviaciones estándar de la media.0832 0.1664 0. se podría necesitar el porcentaje de resultados a 1 o desviaciones estándar de distancia de la media.1554 0.0319 0.1141 0. Cuanto mayor sea el valor de . Por ejemplo.1 0. En tales casos.0359 0.0279 0.0517 0. Un total de 95% de todos los resultados caen dentro de 2 desviaciones estándar de la media. se necesita más que la regla empírica. De modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal.1064 0. 2.0714 0.0753 0.3 0.2019 0.1591 0.09 0. tome un valor cualquiera en ese intervalo.1480 0.1255 0. o quizá el área bajo la curva de 0.1736 0.0871 0. Esto sería ( )(3 ) = Casi todas las preguntas a las que se necesita dar respuesta sobre distribuciones normales implican regiones diferentes de las de 1.1879 0. Un valor pequeño de este parámetro indica.2 0. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y .0160 0.2088 0.0557 0. 4207 0.4177 0.3315 0.2422 0.4222 0.4993 0.3438 0.6 0.2389 0.4319 0.4960 0.8 3.4678 0.3770 0.7 1.4971 0.9 0.3264 0.500 unidades cuadradas a cada lado de la media.4649 0.5 1.4999 0.3643 0.4573 0.4793 0.4441 0.4946 0.3531 0.4732 0.4750 0.3849 0.3665 0.4994 0.4990 0.4998 0.4974 0.4664 0.4911 0.7 3.4452 0.4726 0.4997 0.4279 0.4846 0.4693 0.4966 0.4999 0.4641 0.3869 0.4999 0.4871 0.4713 0.4545 0.4861 0.4625 0.4115 0.4982 0.4292 0.4990 0.4979 0.5 3.4986 0.4978 0.4147 0.4996 0.01 0.4955 0.4131 0.4991 0.4854 0.4997 0.4251 0.4999 0.4997 0.3997 0.5000 0.4991 0.6 2.4985 0.2486 0.4936 0.2549 0. Todos los elementos de la tabla pueden pensarse como una correspondencia con el área que está bajo la curva.4970 0.9 3.4817 0.2673 0.4998 0.3888 0.4994 0. Lo que queda más allá es tan pequeño que no aparecen los decimales.8 2.4099 0.4357 0.2939 0.3365 0.4964 0.2 3.2454 0.0.4904 0.4868 0. La tabla muestra que a 3.4995 0. la tabla puede usarse para valores por debajo de la media o por encima de esta.4999 0.3212 0.02 0.3023 0.3485 0.7 z 0.4798 0.5 2.4938 0.4999 0.4998 0.06 0.4992 0.4969 0.4906 0.4913 0.2910 0.4998 0.03 0.4525 0.3 3. Debido a la simetría de la curva normal.4991 0.3106 0. El área total se arregla para que sea igual a 1.2995 0.4979 0.4484 0.4875 0.2794 0.4994 0.4968 0.4984 0.3389 0.3 1.4967 0.2823 0.8 1.4992 0.2967 0.4956 0. BLOQUE 3 121 .9 desviaciones estándar de la media se encuentra esencialmente toda el área.3289 0.4997 0.4 2.4999 0.4616 0.4992 0.4 1.5000 0.4990 0.4994 0.4306 0.4949 0.4974 0.4929 0.3980 0.4989 0.4997 0.4049 0.4850 0.4993 0.4772 0.4998 0.4890 0.4987 0.3 2.2611 0.3078 0.3621 0.2764 0.5000 0.3686 0.4996 0.4671 0.5000 0.4996 0.4909 0.4922 0.1 3.4998 0.3186 0.4515 0.4896 0.4931 0.4995 0.2580 0.4744 0.4995 0.2642 0.4857 0.4999 0.05 0.4686 0.4920 0.3340 0.4934 0.3461 0.2257 0.4999 0.4767 0.4977 0.4943 0.4999 0.000 unidad cuadrada.4916 0.3925 0.4554 0.4997 0.3907 0.4463 0.3599 0.4901 0.6 1.4998 0.4999 0.3790 0. con 0.4952 0.3944 0.4265 0.4582 0.4830 0.4981 0.4633 0.4999 0.3554 0.4996 0.4236 0.4997 0.4984 0.4884 0.4986 0.4980 0.4995 0. Ejemplo 2.4997 0.4015 0.4965 0.4599 0.4998 0.4999 0.4838 0.4082 0.3238 0.2881 0.4999 0.4761 0.4591 0.4994 0.4982 0.4999 0.4975 0. Utiliza la tabla de la curva normal para determinar el porcentaje de todos los resultados que caen entre la media y los siguientes valores.5000 0.3962 0.4842 0.6 3.4826 0.4989 0.4925 0.4808 0.4878 0.3708 0.4972 0.4345 0.4418 0.4996 0.5000 0.3729 0.4918 0.4983 0.4998 0.4957 0.7 2.4999 0.4927 0.2517 0.4959 0.4738 0.4999 0.4783 0.4788 0.4993 0.4429 0.3830 0.4963 0.4999 0.4976 0.4881 0.4778 0.4999 0.2734 0.4066 0.4981 0.4382 0.2852 0.4962 0.3508 0.4999 0.4999 0.4756 0.4973 0.3159 0.2704 0.4951 0.4932 0.4997 0.4988 0.3810 0.4505 0.3749 0.4162 0.4993 0.4941 0.5000 0.2324 0.4495 0.4192 0.4995 0.4706 0.4564 0.9 2.8 0.4961 0.4999 0.4370 0.5000 0.4656 0.4719 0.04 0.4998 0.4995 0.4996 0.4998 0.0 3.08 0.2357 0.3133 0.4998 0.5000 0.4812 0.4997 0.4999 0.4803 0.2 1.9 1.00 0.4987 0.1 2.4988 0.3051 0.4332 0.4989 0.4699 0.07 0.4898 0.0 2.4999 0.4999 0.4999 0.4834 0.4998 0.4032 0.4948 0.4953 0.09 0.4999 0.4864 0.4608 0.4985 0.4977 0.4940 0.4394 0.4893 0.2291 0.4 3.1 1.4945 0.3413 0.4406 0.4821 0.4987 0.3577 0.4887 0.0 1.4999 0.4474 0.5000 La tabla proporciona la fracción de los resultados de una distribución normal estándar que caen entre la media y un valor .2 2.4535 0.4992 0. el área entre la media y dos desviaciones estándar ( = la derecha de la media es 0.4265. y encuentra el 1. Aunque en este caso pide el porcentaje por debajo de la media (es decir.4966.29% de todos los valores caen entre la media y 2.00 en la columna de . Un total de 0.45 desviaciones estándar por debajo de la media y 2. 10 minutos son dos desviaciones estándar más que la media. 122 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS .4929ó 49.45 desviaciones estándar por debajo de ésta. la probabilidad de que una llamada exceda los 10 minutos es de 0. ya que la curva normal es simétrica con respecto a la media. Ejemplo 3. Observa en la gráfica que para valores de por debajo de la media se denotan con números negativos. la tabla de la curva normal estándar continua funcionando. Si se elige al azar 1 llamada.71 desviaciones. escrito como decimal a la centésima más cercana).45 en la columna de . ) por encima de la media es 0.4772. La probabilidad de tal llamada es igual a la región sombreada como se muestra en la figura. a la izquierda de esta). Por lo tanto. como se observa en el gráfico. El total a De la tabla. él área entre -1. por lo tanto el 34. Localiza 2. de los archivos de cierta compañía. ¿cuál es la probabilidad de que haya durado más de 10 minutos? En este caso. mientras que = 1 da 0.0228. Entonces para encontrar el área a la derecha de 10 se hace mediante la resta: = . Ejemplo 4. Determina las áreas de las regiones sombreadas en las siguientes figuras: a) El área entre 1. es decir.45 y 2.13% de todos los valores cae entre la media y una desviación estándar por encima de la misma. = 1 da un área de 0.500. es decir. b) A 2. y una desviación estándar de 2 minutos. Aquí = 1 (el número de desviaciones estándar.71 desviaciones estándar por encima de la media. La duración de las llamadas de larga distancia de cierta ciudad está distribuida normalmente con una media de 6 minutos.45 desviaciones estándar por debajo de la media. 6 66 = 31.3413. De la tabla de valores de la normal.a) Una desviación estándar por encima de la media. La entrada de la tabla correspondiente a la columna de área señala 0. Por lo que el área total es la suma de éstas como se logra ver en la gráfica. Consulta la tabla de valores. En general cuando se usa la tabla de valores de la normal. recuerda que la puntuación se relaciona con la media y con la desviación estándar de la distribución por medio de la fórmula: = Supóngase.62 y 1. Para obtener el área entre éstos dos valores se restan las áreas: 1 3 = 11 Los ejemplos anteriores enfatizan la equivalencia de tres cantidades. se utiliza la fórmula anterior. para = .600 millas por mes. Nuevamente de la tabla de valores. mientras que para = el área es 0. (Se sabe que es por debajo de la media. Así para el valor = se tiene: = = = = 1 1 en consecuencia.2324. que una curva normal tiene una media = y una desviación estándar = 1 . Todas estas cantidades las determinan los valores de la columna de la tabla de la normal.b) El área entre 0. 247 se encuentra a 2. ya que la puntuación es negativa y no positiva). y determina el porcentaje de todos los automovilistas que recorren las siguientes distancias. ya que 247 se encuentra a la derecha de 220. Probabilidad (de un resultado elegido aleatoriamente y que caiga en un intervalo). Estandarizando el valor de la variable mediante la fórmula anterior tenemos. Para = 16 = = = = 1 33 1 1 Así. en promedio. 2. de 1. de la siguiente forma: 1. Al proceso anterior se le conoce como estandarización de la variable . Suponga que el número de millas se aproxima mediante una curva normal. en lugar de por encima.200 y 1. Porcentaje (del total de resultados que caen en un intervalo). es la puntuación de un elemento en particular. con una desviación estándar de 150 millas. Comienza por determinar a cuántas desviaciones estándar por encima de la media son 1. el área bajo la curva es de 0. En cierta área. a) Entre 1. = = 16 1 1 = 1 = 6 BLOQUE 3 123 .200 millas. Para determinar el número de desviaciones estándar a que se encuentra un valor dado respecto a la media.4441. 3. De la sección anterior. La cantidad en que se debe pensar depende de la forma en la que se formule cada pregunta. como ya se había comentado.33 desviaciones estándar por debajo de la media. Área (por debajo de la curva normal a lo largo de un intervalo). por ejemplo.25 desviaciones estándar por encima de la media.600 millas. Ejemplo 5.59 desviaciones estándar por encima de la media. 204 se encuentra a 1. la distancia recorrida mensualmente por los automovilistas es. 500. el valor necesario es 74.500 millas por mes. b) Entre 1.21.De la tabla de valores. donde los automovilistas manejan entre 1. Como se aprecia en la gráfica. Esto significa un área total .000 y 1.4962 ó 49. multiplicando primero a ambos lados de la igualdad por 5. de 3 = = 1 1 1 1 1 = 1 3 1 = 1 33 = 1 = = = 1 33 da un área de 0. = 1 y = 1 y se desconoce . El siguiente Los ejemplos anteriores han dado un valor y después han requerido que se determine el valor de ejemplo da el valor de y pide el valor correspondiente. Se sustituyen los valores dados en la fórmula: 13 = 1 1 Despejando de esta ecuación. Ejemplo 6.7.600 millas por mes.7 en cada lado de la igualdad para obtener: 33 1 = 666 = 1 1 1 ( 1 1 1) Redondeando a la décima más cercana. mientras que = da 0.000 y 1.500 millas por mes. Una distribución normal tiene una media distribución corresponderá a = 1 3 = 1 y una desviación estándar = 1.55%.62%. u 88. ¿Qué valor de la Se comienza con la fórmula de estandarización de una variable: = En este caso = 13 .4772. los valores de deben estandarizarse para ambos valores.000: = Para 1. el área bajo la curva es 0.4083.500: = De la tabla de la normal. 13 ( 1) = 33 = Se suma luego 81. de todos los conductores manejan entre 1.200 y 1.000 y 1. 124 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Para 1. . 1. Supongamos que 100 estudiantes de geología miden la masa de cierta muestra de un mineral. Por errores humanos y por las limitaciones en la fidelidad de la balanza. d) Entre 36 y 39 g.01 BLOQUE 3 125 . c) Más de 36 g. no todas las lecturas son iguales. Determina el porcentaje de área bajo la curva normal entre la media y el número de desviaciones estándar de la media (observa que el signo positivo indica por encima de la media. mientras que el signo negativo quiere decir por debajo de la media) a) 2. 1. b) Entre 36 y 38 g. Utiliza la simetría de la curva normal y la regla empírica para estimar el número de estudiantes que informan lecturas dentro de los rangos.5 b) 0. 2. a) Más de 37 g.71 d) -2. Se descubre que los resultados se aproximan a una curva normal.81 c) -1. con una media de 37 g y una desviación estándar de 1 g.Actividad: 2 Resuelve los siguientes problemas. a) 5% del área total está a la derecha de 𝑧. d) 25% del área total está a la derecha de 𝑧. b) 1% del área total está a la izquierda de 𝑧. Determina el porcentaje del área total bajo la curva normal entre los valores dados de 𝑧. a) 𝑧 = 1 1 y 𝑧 = 3 b) 𝑧 = 1 y 𝑧 = 1 c) 𝑧 = 3 11 y 𝑧 = 1 d) 𝑧 = 1 y 𝑧 = 1 4. c) 15% del área total está a la izquierda de 𝑧. 126 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Determina el valor de 𝑧 de manera que se cumplan las siguientes condiciones.Actividad: 2 (continuación) 3. Encuentra el número de focos que puede esperarse que duren las siguientes cantidades de tiempo. utilizando las propiedades de la distribución normal. Un parque de diversiones compra e instala 10.html http://www. El tiempo de vida de un foco puede aproximarse por medio de una curva normal.analyzemath. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación.es/software/excel_simulacion.com/html/probabilidad/varaleat/tstudentprob.Actividad: 2 (continuación) 5. con una desviación estándar de 100 ℎ.estadisticaparatodos.html http://www.matematicasvisuales.html BLOQUE 3 127 . Saberes Procedimental Calcula áreas bajo la curva. a) Por lo menos 500 ℎ. c) Entre 650 y 780 ℎ. C MC NC Puntaje: Actitudinal Muestra interés y apertura en el desarrollo de la actividad.000 de estos focos. http://www. Actividad: 2 Conceptual Reconoce las propiedades de la distribución normal en la solución de problemas de aplicación. Los focos tienen un promedio de vida de 500 ℎ.com/statistics/graph_normal. Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. b) Entre 500 y 650 ℎ. d) Entre 290 y 540 ℎ e) Menos de 740 ℎ f) Menos de 410 ℎ. Calcular la probabilidad de que un lote de productos seleccionados aleatoriamente tenga: a) Entre 80 y 90 g.Cierre Actividad: 3 Resuelve los siguientes problemas. ¿cuántos individuos se espera que tengan un coeficiente superior a 125? 2. 1. c) Entre 75 y 85 g. a) Determina el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.5 g. b)Entre 80 y 95 g. Un producto de una empresa se distribuye de manera normal con un peso promedio de 90 g y una desviación estándar de 6. 128 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS .4 g. b) ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población? c) En una población de 2500 individuos.5 g. Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una distribución normal con media 100 y desviación estándar de 15. d)Más de 97. e) Menos de 77. ninguno mida menos de 160 cm? BLOQUE 3 129 . ¿Cuántos de estos estudiantes se esperaría que tuvieran alturas.5 cm y una desviación estándar de 6.5 cm y 182 cm? c) mayores a 165 cm? d) entre 174. al menos 3 midan más de 180 cm? h) ¿Cuál es la probabilidad de que de tres estudiantes. Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174. a) menores de 160 cm? b) entre 171.5 cm y 180 cm? e) entre 180 cm y 195 cm? f) menores de 185 cm? g) ¿Cuál es la probabilidad de que de cinco estudiantes.Actividad: 3 (continuación) 3.9 cm. Calificación otorgada por el docente 130 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS .Actividad: 3 (continuación) 4. al menos siete sintonicen la estación por más de cinco minutos? Actividad: 3 Conceptual Identifica áreas bajo la curva de acuerdo a la simetría de la distribución normal. el tiempo promedio que una persona sintoniza esa estación es de 15 minutos con una desviación estándar de 3. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Una estación de radio encontró que el tiempo de sintonía que emplean los radioescuchas sigue una distribución normal.5 minutos ¿Cuál es la probabilidad de que un radioescucha sintonice la estación por: a) más de 20 minutos? b) entre 15 y 18 minutos? c) entre 10 y 12 minutos? d) ¿Cuántos minutos como máximo sintonizan la estación el 70% de los radioescuchas? (Sugerencia: De la expresión despejar y obtener a partir del porcentaje proporcionado y de la consulta de la tabla de probabilidad. Saberes Procedimental Aplica la distribución normal para resolver situaciones cotidianas. C MC NC Puntaje: Actitudinal Expresa la importancia de la utilidad de la distribución normal reconociendo sus propiedades en la resolución de problemas.) e) ¿Cuál es la probabilidad de que de ocho radioescuchas. Escribe que características debe tener una distribución para que sea binomial. una distribución binomial.Secuencia didáctica 3. b) Realiza un gráfico de barras y comenta sus características. c) Calcula media y varianza del experimento y compáralos con la media y varianza teórica. 1. En este espacio pega la hoja doblada de los resultados obtenidos. Saberes Procedimental Actitudinal Construye distribuciones de Se interesa en el desarrollo de la probabilidad. a) Construye una tabla de distribución de frecuencias del número de fichas verdes obtenidas. Realiza50 extracciones de dos fichas una tras otra con reemplazo y registra cada resultado. C MC NC Calificación otorgada por el docente BLOQUE 3 131 . Simulación con fichas. Inicio Actividad: 1 Realiza las siguientes actividades. gráficos y calcula actividad cumpliendo en forma y media y desviación estándar de tiempo con la misma. Actividad: 1 Conceptual Identifica las características de una distribución binomial en cuanto a sus parámetros y gráfica. En una caja introduce 6 fichas de las cuales 3 sean verdes. 2. del color de tu preferencia (puedes elaborar las fichas con cartón o cualquier otro material). Autoevaluación Evaluación Producto: Actividades Puntaje: experimentales. Aproximación de la distribución binomial a la normal. el resto. Entra al sitio de internet http://www. En base a lo que observaste.matematicasvisuales. misma. Manteniendo constante 𝑝 = 1 compara las distintas gráficas para 𝑛 = 1 𝑦 3 . 1. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Argumenta el comportamiento de las distribuciones de probabilidad Participa exponiendo sus ideas binomial de acuerdo a los distintos cumpliendo en forma y tiempo valores de los parámetros de la con la actividad. Ahora manteniendo 𝑝 = 3 compara las gráficas para 𝑛 = 1 𝑦 3 .com/html/probabilidad/varaleat/binomial. Por último manteniendo constante el valor de 𝑝 = compara las gráficas para 𝑛 = 1 𝑦 3 .htm y representa gráficamente la distribución 𝐵(𝑛 𝑝) para distintos valores de sus parámetros 𝑛 y 𝑝. Autoevaluación Evaluación Producto: Práctica. elabora un pequeño resumen de los resultados observados anexando gráficas que argumenten tus conclusiones. ¿cómo varían las gráficas para los distintos valores de los parámetros? En una hoja que anexarás en este espacio.Desarrollo Actividad: 2 Sigue las indicaciones de la siguiente actividad. C MC NC Calificación otorgada por el docente 132 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Actividad: 2 Conceptual Compara gráficamente las características de una distribución binomial en cuanto a sus parámetros. ( ) ( = =√ ). es decir. BLOQUE 3 133 . es decir. siempre que el número de ensayos o repeticiones . la distribución binomial tiene un extraordinario parecido con la correspondiente distribución normal. ( )para el caso continuo. pero con el inconveniente de que se produce un desplazamiento hacia la derecha de la distribución binomial a medida que aumenta . restando la media de la binomial ( ) (para corregir el desplazamiento) y dividiendo por la desviación estándar o típica de la binomial (√ ) (para ajustar la dispersión). sea grande y la probabilidad de éxito no esté muy próxima a 0 o a 1. Cuando el valor de es grande. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación estándar o típica que la distribución binomial. En el siguiente gráfico se representa una serie de distribuciones binomiales para variables que se nombrarán para distintos valores de y un valor constante de = 3 Observa cómo efectivamente entre mayor sea el valor de . se va a estandarizar la variable. mejora el parecido de las gráficas de barras de las distribuciones binomiales (discretas) a la gráfica de la distribución normal estándar (continua). y . Este inconveniente se evita corrigiendo la variable aleatoria . Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal. por lo que el matemático Abraham de Moivre (1667-1754).Aproximación de la distribución binomial a la normal. En las secuencias anteriores se han estudiado ya las distribuciones binomial con parámetros discreto y la normal con parámetros y . la distribución binomial resulta muy laboriosa y complicada. ( ) para el caso Para ciertos valores de y . demostró que cuando se dan ciertas condiciones una distribución binomial se puede aproximar a una distribución normal de media = y desviación estándar de = √ . Lo que se quiere. es aproximar estas distribuciones a una distribución normal estándar. entonces. junto con la función de densidad de la distribución 134 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . a cada variable se le asigna: √ Si se representa ahora para el mismo caso normal estándar. porque la suma de las longitudes de todas las barras es 1 (función de probabilidad definida sobre una variable aleatoria discreta). A la nueva variable . el área bajo los rectángulos del diagrama de barras es igual a la distancia entre barras consecutivas. el proceso que se ha realizado anteriormente no es otra cosa que la estandarización de la variable aleatoria . Para ajustar ambas funciones. razón por la cual se ven “disminuidas en altura”. del diagrama de barras de la binomial corregida y de la función de densidad de la distribución normal estándar es: Cuando aumenta. situación lógica. La distancia entre barras consecutivas es: = √ √ = √ = 1 √ Por tanto. = y = 3. la longitud de las barras disminuye. se tendría que conseguir que la suma de las áreas de los rectángulos que forman el diagrama de barras fuera 1. se le asigna ( ) La representación gráfica para el caso del mayor número de repeticiones o ensayos. para que la suma de las áreas de los rectángulos entre barras consecutivas sea 1. es suficiente multiplicar por la inversa de la distancia entre barras consecutivas. se tiene: = y = ( ) 3. es decir. mientras que el área bajo la función de densidad (definida sobre una variable aleatoria continua) de la distribución normal estándar. también es 1.= √ Si has observado con detenimiento. Como la distancia entre las barras es constante y la suma de las alturas de todas las barras es 1. como ya se ha comentado anteriormente. con lo cual. En caso de que se pueda aproximar. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media ( = ) y desviación estándar o típica ( = √ ) que la distribución binomial. En resumen: Una distribución binomial ( ) se puede aproximar por una distribución normal. que si se tiene una variable binomial con parámetros y . La distribución binomial ( ) se aproxima a una curva normal de media = y desviación estándar o típica =√ . se debe calcular: ) Del mismo modo se razona en el caso de probabilidades acumuladas en la binomial. si se debiera calcular ( ). en una distribución continua todas estas probabilidades valen 0. Así. (en concreto 3 ). el propio aparecería en la probabilidad a calcular y NO debe aparecer. esta variable se aproxima a una normal con parámetros = =√ .Como se puede apreciar en la gráfica se ajustan bien ambas funciones. se ilustra una comparación entre la función de densidad de una variable aleatoria continua con distribución ( ) y el diagrama de barras de una variable aleatoria discreta de distribución ( ) para casos en que la aproximación normal de la binomial es válida. se debe tener en cuenta que se está pasando de una variable discreta (binomial) a una continua (normal). y por tanto son distribuciones diferentes.5 y no sumarlo es que se quiere que sea menor estrictamente que . no se puede calcular directamente la probabilidad de esta nueva variable ( = ) porque. Así. con el proceso de corrección anterior. si se pide ( = ) con binomial. Si no se cumplen estas condiciones NO se puede aproximar la binomial que se tenga por una distribución normal. aproximando por normal se calcula ( ) La explicación de que haya que restar 0. La aproximación se puede aplicar (y es una buena aproximación) sólo si es grande. tiende a infinito. si se sumara 0. con binomial. La primera de ellas es una binomial con parámetros =1 y = 1 . si se pide la probabilidad ( = ) en una distribución binomial . Algunos ejemplos: Si se pide ( ) con binomial. y se aproxima por una distribución normal . fíjate que ahora por tanto al aproximar por la normal se debe calcular ( ) sí está incluido en la probabilidad y Comprender estos dos hechos es fundamental para realizar bien la corrección por continuidad al aproximar una distribución binomial por una normal. En la práctica se utiliza la aproximación cuando: 3 = = En cuyo caso. corrigiendo la variable se tiene: ( ) ( = =√ ) Es decir. El “precio” que hay que pagar por pasar de una a otra se denomina “corrección por continuidad” y consiste en hacer determinados ajustes para que la aproximación realizada sea lo más precisa posible. Y estandarizando la variable se obtiene la normal estándar correspondiente: = √ ( 1) Teorema central del límite. Además y . Por otro lado. La corrección por continuidad consiste en tomar un pequeño intervalo de longitud 1 alrededor del punto .5. con la aproximación normal ( . BLOQUE 3 135 . es decir. siempre que sea grande y no esté muy próxima a 0 o 1. Aunque en realidad esta aproximación no da resultados muy precisos a menos que realmente sea un valor muy grande o Para entender mejor. cuando se hace exageradamente grande. Ahora. enferma el 30% de la población. normal ( ) el Los pasos a seguir para calcular estas probabilidades son: Identificar que la variable es binomial con parámetros ( ). 136 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . Aquí = 1 y = . Ejemplo 1.Observa la localización que tienen tanto la normal como la gráfica de barras de la binomial. En un aula con 200 estudiantes de Medicina. . Realizar la corrección es una normal con parámetros ( ⏟ √ ⏟ Estandarizar . Durante cierta epidemia de gripe. La aproximación es peor cuando el valor de está muy cercano a los bordes del intervalo [ 1]. pero realizada con parámetros con los que la aproximación normal de la binomial es mejor. Regla práctica para calcular probabilidades mediante el paso de una binomial a una normal. ¿cuál es la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad? La variable aleatoria que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es: ( = = 3). se presenta la misma comparación que en la figura anterior. están ambas recargadas hacia la izquierda. ) que al ser corregida se aproxima a una nueva variable Si es una variable binomial ( cálculo de probabilidades de puede hacerse a partir de del siguiente modo: [ [ [ [ = ] = [ ] = [ ] = [ ] = [ [ ] = [ [ ] = [ ] ] ] ] ] ]. = ⏟ √ ( ) ). ya que es menos trabajo.cuya media es = = 6 y su varianza es = = . Ejemplo 2. ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 productos manufacturados en esa línea: a) menos de 354 productos sean defectuosos? b) entre 342 y 364 productos sean defectuosos? c) exactamente 354 productos sean defectuosos? a) Menos de 354 productos sean defectuosos. Por lo que el área que se pide en la gráfica se obtendrá. como ya se hizo anteriormente. La información que el problema proporciona es la siguiente: = 1 = ( ) = 3 = ( ) = 1 = 6 ( 3 )=3 = =1 )( 3 )( 6 ) = 1 =√ = √(1 31 BLOQUE 3 137 .499. Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso. se manejará a través del complemento. Por ello se utiliza la aproximación normal de . Se busca en la tabla el valor de 3. teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable: = 3 =6 ( ) { } ( =6 = ) =1 Para responder a la pregunta acerca de la probabilidad de que al menos 40 padezcan la enfermedad. esta probabilidad es equivalente a calcular ( 3 ). Así aproximando la variable aleatoria discreta binomial . ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño y potencias muy elevadas. Por simetría. entonces menos de 354 productos refiere a la desigualdad 3 . Si 35% de los productos manufacturados en cierta línea de producción es defectuoso. haciendo la resta = 1.09 y el área correspondiente es de 0. como se observa en el gráfico. De esta manera la probabilidad de que al menos 40 estudiantes padezcan la enfermedad es de 0. ( Observa que el valor de 6 ⏟ √ ( ) 6 √ ) ( 3 ) está por debajo de la media.001. mediante la variable aleatoria continua normal se tiene: ( ) ( ) Estandarizando la aproximación se obtiene. Si : es el número de productos defectuosos que se manufacturan en la línea. (3 (36 1 ) 3 31 = 36 1 3 31 = 613 6 Por lo tanto la probabilidad de que entre 342 y 364 productos sean defectuosos 36 ) = ( ) ( ) = 1 3 331 = 3 c) Exactamente 354 productos sean defectuosos. Siguiendo la = De esta manera ( = 3 )= acuerdo a la gráfica es la siguiente. es Observa que el valor de está por debajo de la media. de )= ( = 3 )= 1= 1 36 ). Para este caso se trata de determinar la probabilidad de que = 3 . ( 3 (3 1 ) 3 31 = 3 3 1 3 31 = 3 1. = De aquí que ( = 6) = 331 es la suma de las dos áreas. ( regla práctica para el cálculo de probabilidades para este caso. = (3 1 ) 3 31 = 3 1 1 3 31 = 63 6 equivalente por simetría. Por lo que la probabilidad de que al menos 354 sean defectuosos. es equivalente a considerar el intervalo (3 este tipo de intervalo la regla práctica sugiere lo siguiente. Para b) Entre 342 y 364 productos sean defectuosos. es decir. de acuerdo a la regla práctica se tiene que considerar un intervalo de tamaño 1 centrado en el valor 354. 3 ). entonces busca el valor de decir.Preguntan por la probabilidad de que al menos 354 productos sean defectuosos. como se ilustra en la gráfica. se busca ( = 6) = 1 3 Ahora. = Por lo que ( = 138 (3 1 3) = 1 ) 3 31 = 3 3 1 3 31 = 3 3 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . se tiene. rice. ( = 3 ) = ( ) ( ) = 11 1 = 6 . sombreando el área bajo la curva que se indique en el mismo. De las siguientes 80 personas entrevistadas. Anoten la probabilidad de la binomial y de la aproximación normal para cada caso. ¿cuál es la probabilidad de que a) al menos 50 sean de esa opinión? b) a lo más 56 tengan esta opinión? c) entre 60 y 70 tengan esta opinión? BLOQUE 3 139 . en equipo lean las instrucciones (usa un traductor si se presentan complicaciones) y determinen las siguientes probabilidades. dibujen la gráfica correspondiente.= ( = 3 ) = 11 . Si se sabe que 100 personas contrajeron esa enfermedad. 1.ruf. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.edu/~lane/stat_sim/normal_approx/. (3 1 ) 3 31 = 3 1 3 31 = 3 3 Por tanto la probabilidad de que exactamente 354 productos sean defectuosos es. a) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 se recuperen? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 30 se recuperen? c) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 30 se recuperen? 2. Investigadores de la Universidad George Washington reportan que aproximadamente 75% de las personas creen que “los tranquilizantes funcionan muy bien para hacer una que una persona esté más tranquila y relajada”. Actividad: 3 Apoyándote del sitio http://www.4. 4.comlu.html#Aproximación 140 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS .com/estadisticas/aproximacion. aproximación de una distribución respetando la de los demás. Si el 20% de los residentes de una ciudad de Estados Unidos prefiere un teléfono blanco sobre cualquier otro color disponible. a) entre 170 y 200 sean blancos? b) al menos 210 sean blancos? c) más de 225 sean blancos. las probabilidades de la binomial y de la aproximación normal que se obtuvieron en cada caso? Anoten sus conclusiones. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Comprueba las condiciones para la Expone sus dudas e ideas.com/?Aproximacion-de-Binomial-a-Normal http://www.matematicasvisuales.ub.htm http://masmatematicas.matematicasvisuales.html http://www. binomial a la normal.youtube.com/html/probabilidad/varaleat/tstudentprob. ¿Cómo son. http://www.com/watch?v=8A7nRuaHav4 http://www. C MC NC Calificación otorgada por el docente Sitios Web recomendados: Ingresa a los siguientes sitios para que consultes el tema. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. entre sí.Actividad: 3 (continuación) 3. ¿cuál es la probabilidad de que entre los siguientes 1000 teléfonos que se instalen en esta ciudad.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Button.com/html/probabilidad/varaleat/binomialnormal.html http://matematicasies. Actividad: 3 Conceptual Compara las probabilidades binomial y de aproximación normal. 2. En una ciudad. Si se eligen al azar 90 familias. 3. Para verificar esta afirmación. 1. Suponiendo que se contesta al azar. cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. inspectores de gobierno utilizan el medicamento en una muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si 75 o más se curan.70? BLOQUE 3 141 . una de cada tres familias posee teléfono. calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 familias que tengan teléfono. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno acepte la afirmación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el gobierno rechace la afirmación si en la realidad la probabilidad de curarse es de 0.Cierre Actividad: 4 Resuelve los siguientes problemas de aplicación. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierto medicamento cura una enfermedad de la sangre en promedio el 80% de los casos. calcular la probabilidad de aprobar el examen. En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple. mediante la regla práctica del cálculo de probabilidades. al distinguir las condiciones de los parámetros. a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 100 nuevos delincuentes juveniles 30 o más vuelvan a delinquir? b) ¿Cuál es la probabilidad de que de 50 nuevos delincuentes juveniles 40 o menos vuelvan a delinquir? 5. El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos.Actividad: 4 (continuación) 4. Autoevaluación Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Actividad: 4 Conceptual Determina el uso de la aproximación binomial mediante la normal. Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Puntaje: Saberes Procedimental Actitudinal Determina la probabilidad de Reconoce la bondad de la eventos binomiales que se aproximación de una distribución aproximan a una normal. Se lanza una moneda sin truco al aire 400 veces. Un estudio sobre nuevos delincuentes juveniles reveló que el 38% de ellos vuelve a delinquir. ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 10 tiros? 7. ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 50 defectuosos? 6. mediante discreta binomial a una el uso de la regla práctica del distribución continua normal. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces. Si tenemos un lote de 2000 tornillos. cálculo de probabilidades. Calcula la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210. C MC NC Calificación otorgada por el docente 142 RESUELVE PROBLEMAS DE APLICACIÓN MEDIANTE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES DE VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS . P. (2001). Probabilidad y Estadística. MILLER.Probabilidad y Estadística. (1994). L.Bibliografía BRISEÑO AGUIRRE. México: Mc Graw Hill.Probabilidad y aplicaciones estadísticas. GEORGE C. MEYER. Estadística elemental. CARLES D. México: Progreso ZÚÑIGA TOPETE. JORGE (2002). México. México: Mc Graw Hill. 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