Probabilidad - Estadistica i (1) Trabajo

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Barcelona – Estado Anzoátegui Sección “UD” PROBABILIDADES Bachilleres: Profesor: Effraín López Farrera Isabel CI: 22.864.536 Mejía Juan C.I: 21.388.531 Meza Paola C.I.: 23.998.979 Ortega Albany C.I.: 24.203.457 Barcelona 15/07/2013 1 Índice Introducción................................................................................. 3 Probabilidad................................................................................. 4 Enfoque Clasico........................................................................... 5 Evento.......................................................................................... 6 Tipos de Evento............................................................................ 7 Espacio Muestral.......................................................................... 7 Experimento Aleatorio.................................................................. 7 Tipos de Experimento Aleatorio.................................................... 8 Experimento Determinístico......................................................... 9 Teorema de Bayes........................................................................ 9 Distribución de Poisson................................................................ 10 Distribución Binomial.................................................................. 11 Distribución Normal..................................................................... 12 Conclusión................................................................................... 14 2 Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. Actualmente se continuó con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo. 3 . de este modo.Introducción La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir. El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. los márgenes de error en los cálculos. expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las actividades que se pretenda realizar. ejemplos:  Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas  Competencias deportivas  Juegos de azar. etc. P (producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos producidos en la semana = 18 / 1500 = 0. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se manufacture un producto defectuoso. Por otra parte. si se toma como referencia que la producción de la última semana en esta línea fue de 1. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar.Probabilidad La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q: Ejemplo. por lo que el valor de p cae entre 0 y 1.500 productos. entre los que se encontraron 8 productos defectuosos.012 4 . La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite.Lo anterior nos indica que es muy probable que 1. la regla de la multiplicación y la distribución binomial. Ejemplo: Si tenemos en una caja de bombones 20 bombones de chocolate con maní y 5 bombones de chocolate blanco. entonces la probabilidad de que ocurra A es: El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible.2 productos de cada 100 que se manufacturen en esa línea serán defectuosos. La probabilidad de sacar un bombón de chocolate blanco en un intento es: 5 . Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición. Enfoque Clásico El enfoque clásico dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A. y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo). (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra. 6 . ser estudiante y ya estar casado. Ejemplo: repaso. Ejemplo: el color del zapato y la probabilidad que llueva hoy. coincide con el espacio muestral. calificaciones. o Suceso imposible: Aquel suceso que nunca se verifica. o Independientes: Estos no se ven afectados por otros independientes. o No excluyentes entre sí: cuando la ocurrencia de uno de ellos no impide que ocurra el otro. o Suceso compuesto: Aquel suceso que está determinado por 2 o más resultados del mismo. o Dependientes: cuando un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia de otro. Ejemplo: que una persona sea doctor que tenga 56 años. Se representa con la letra.Evento Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos los eventos se clasifican de la siguiente forma: o Mutuamente excluyentes: aquellos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. o Suceso seguro: Aquel suceso que está formado por todos los resultados posibles del experimento y por tanto. Tipos de evento o Suceso simple o elemental: Aquel suceso que está formado por un único resultado del espacio muestral. Ejemplo: cara o escudo. Un experimento se denomina aleatorio si verifica las siguientes condiciones:  Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorio numerable. Se conoce el procedimiento que se va a seguir y los posibles resultados pero no se puede predecir con certeza cuál de estos resultados será el final antes de realizar el experimento. constituido por diferentes sucesos) o por lo menos nombrar al último resultado se le llama experimento aleatorio finito. es decir. Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad. Ω o U) consiste en el conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.  Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo. puede presentar resultados diferentes.Espacio Muestral En la teoría de probabilidades. se le llama experimento aleatorio no numerable. pero son también importantes en espacios de probabilidad.  Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio muestral. y si no se puede nombrar al último resultado. se le llama experimento aleatorio infinito. no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. y si no se pueden contar. Experimento aleatorio Es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales. S.  A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba 7 . el espacio muestral o espacio de muestreo (denotado E. sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones. no se puede predecir el resultado. Son los que pueden dar lugar a varios resultados. es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. 8 . enunciado por Thomas Bayes. en la teoría de la probabilidad. Experimento Determinístico Los experimentos determinísticos son aquellos en los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. o Aleatorio: cuando al repetirse con las mismas condiciones iníciales. Si la arrojamos hacia arriba sanemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo pero después bajará. Teorema de Bayes El teorema de Bayes. Los fenómenos o experimentos aleatorios.Tipos de experimento aleatorio o Determinista: un experimento que siempre que se repita con las mismas condiciones iníciales se obtiene igual resultado. Ejemplo: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos sin lugar a dudas que la piedra bajará. (Ejemplo: lanzar un dado ó extraer una carta). A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos.1840)...  P (A | B) son las probabilidades “A” posteriori.. la probabilidad P (A | B) viene dada por la expresión: Donde:  P (Ai) son las probabilidades a priori.  P (B | A) es la probabilidad de “B” en la hipótesis A.. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B | A). unido a la definición de Probabilidad condicionada.. francés que desarrollo esta distribución la cual describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado. Entonces.Ai. obtenemos la Fórmula de Bayes. Esto se cumple Además.A3. también conocida como la Regla de Bayes: Distribución de Poisson Se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781 ...Teorema Sea {A1. y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. 9 .. e) = probabilidad de que ocurran x éxitos. minuto. Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo. Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo. etc. área o producto e= 2. mes.  de llegadas de embarcaciones a un puerto por día.Características: En este tipo de experimento los éxitos buscados son expresados por unidad de área.718. hora. la base de los logaritmos naturales. cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es: u= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo. o producto. x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra. área. etc.:  de defectos de una tela por m2  de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día. área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado. tiempo. pieza. la formula a utilizar seria: Donde: P(x. etc.  de bacterias por cm2 de cultivo  de llamadas telefónicas a un conmutador por hora. minuto. así como 10 . etc. etc.  Formula de la distribución de Poisson:  Sustituimos los valores en la formula nos queda de la siguiente manera: 11 .1. usando la formula de la Distribución de Poisson. Ejemplo: Supongamos que en un proceso manufacturero el 10% de las unidades producidas son defectuosas.cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado. Solución: El tamaño de la población “N” (total de unidades producidas) es muy grande. La probabilidad de una unidad defectuosa extraída de la población es de P=10% o de 0.n=10 y X=3. Encuentre la probabilidad de que una muestra de 10 unidades seleccionadas de el proceso tengan exactamente 3 defectuosas. p. con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. a partir de una frecuencia de ocurrencia media. con una probabilidad q = 1 . de hecho. 12 . esto es.Análisis del resultado: La probabilidad de que salgan 3 unidades defectuosas es. En teoría de probabilidad y estadística. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces. sólo son posibles dos resultados. en una distribución de Bernoulli. la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa. de 6. de forma independiente. la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. fracaso. la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí. la binomial se convierte. y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Distribución Binomial En estadística. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico. Para n = 1.13%. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro. 0. como por sus propiedades. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito. hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. tanto por su aplicación directa. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: A. hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. veremos que muchas variables de interés general pueden describirse por dicho modelo. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: A.8 q = 0. que han permitido el desarrollo de numerosas técnicas de inferencia estadística. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas? B. el nombre de Normal proviene del hecho de que 13 . En realidad.¿Y cómo máximo 2? La distribución Normal Se trata. del modelo continuo más importante en estadística. sin duda. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas? B(4. ¿Y cómo máximo 2? La última novela de un autor ha tenido un gran éxito.1.2 B.2) p = 0. por parte de médicos y biólogos.durante un tiempo se creyó.Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente. hallar: p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ) Ejemplo: La media de los pesos de 500 estudiantes es de 151 libras y la desviación típica es de 15. ¿Cuántos estudiantes pesan? : a) ¿entre 120 y 155 libras?  Se aplica la siguiente formula de de distribución normal : 14 . que todas las variables naturales de interés seguían este modelo. Su función de densidad viene dada por la fórmula: 1. Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ. σ).  La grafica de las áreas bajo la curva normal para los valores de Z-1 Y Z-2 queda de la siguiente manera: 15 . Buscamos el valor de Z-2. 26 es 0.4803 y 0. buscamos el área o probabilidad de Z-1= -2.06 y Z2 = 0.102 16 . En la siguiente tabla. 17 . Aplicamos una regla de tres y obtenemos el número de estudiantes que se encuentran entre los pesos 120 y 155 libras. Análisis del resultado: Por lo tanto el número de estudiantes que está dentro de estos límites (120 y 155 libras) es de 291 18 . Conclusión La estadística es una rama de la matemática que está no se encuentra muy visible en lo cotidiano pero que en realidad es de mucha utilidad para interpretar y ver desde un punto de vista muy general datos que se obtienen. A través de sus gráficas. en resumen son un verdadero método de ayuda para informar. medidas de tendencia central y de dispersión podemos ver más claro y concreto un conjunto de datos que se nos hacen muy complicados. 19 . 2004 Estadística 3era Edición Autores: Murray R. Spiegel Larry J. Mexico.Bibliografía Estadística 9na Edición. Editorial: Pearson Educación. Triola. México. Autor: Mario F. 2002 20 . StephensEditorial: The Megraw – Hill. 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