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GUÍA PARA EL EXAMEN DE ADMISIÓN A LA MAESTRÍA DE ADMINISTRACIÓNSEPI-UPIICSA-IPN PROBABILIDAD ELABORADA POR DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Octubre del 2005 CONTENIDO ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 1 51 ............................................................................................. selaugi sotnemele noc senoicatumreP 3.1.2 41 ..........................................................................................senoicatumreP :nóiciteper nis solgerrA 2.1.2 31 ............................................................................................. )ozalpmeeR( nóiciteper noc solgerrA 1.1.2 31 ...................................................................................................... DADILIBABORP Y OETNOC ED SACINCÉT 11 .............................................................................................................................................. soicicrejE 01 ......................................................................................................... dadilibaborp al ed nóicazitamoixa 4.1 01 ...................................................................otneve nu ed otnemelpmoc o oiratnemelpmoc otnevE -.4 01 ................................................................................................................. sotneve ertne aicnerefiD -.3 01 .............................................................................................................. sotneve ertne nóiccesretnI -.2 01 ........................................................................................................................ sotneve ertne nóinU -.1 01 ...................................................................................... sotneve ertne selatnemadnuf senoicarepO 2.3.1 9 ........................................................................................... sotneve ertne selatnemadnuf senoicaleR 1.3.1 8 ................................................................................................... sotneve erbos selatnemadnuf sotpecnoC 3.1 8 ..................................................................................................... )iroiretsop a( anaiseyab etneirroC 4.2.1 8 ............................................................................................................................ avitejbus etneirroC 3.2.1 7 .................................................................................................................)iroirp a( acisalc etneirroC 2.2.1 6 ........................................................................................................................ atsitneucerf etneirroC 1.2.1 6 ...........................................................................................................dadilibaborp al ed senoicaterpretnI 2.1 6 .................................................................................................................... sotneve erboS 6.1 solpmejE 5 ................................................................................................. .selartseum soicapse erboS 5.1 olpmejE 5 ..................................................................................socitsínimreted sotnemirepxe erboS 4.1 olpmejE 5 ...........................................................................................soirotaela sotnemirepxe erboS 3.1 olpmejE 4 ...........................................................................................socitsílibaborp soledom erboS 2.1 olpmejE 4 ..........................................................................................socitsínimreted soledom erboS 1.1 olpmejE 4 ............................................................................................... socitsílibaborp y socitsínimreted soledoM 1.1 1 ......................................................................................................................................................... ODINETNOC 05 .................................................................................................................................................... 3 soicicrejE 84 ..........................................................................................................................ocirtémoegrepih oledoM 8.4 84 .................................................................................................................................................... 2 soicicrejE 64 ..................................................................................................................................ocirtémoeg oledoM 7.4 64 .................................................................................................................................................... 1 soicicrejE 44 ............................................................................................................................... selaimonib salbat ed osU 44 ............................. selaimonib salbat ed osu y selaimonib soledom sol ed sedadilibaborp ed olucláC 1.6.4 34 ..................................................................................................................................... laimonib oledoM 6.4 34 ............................................................................................. DADILIBABORP ED SOTERCSID SOLEDOM 14 ........................................................................................... satercsid sairotaela selbairav ed soicicrejE 04 ............................................................................................... dav anu ed aicnairav al ed sedadeiporP 1.5.4 93 .............................................................................................................................. dav anu ed aicnairaV 5.4 93 ......................................................................................... dav anu ed odarepse rolav led sedadeiporP 1.4.4 83 ......................................................................................................................dav anu ed odarepse rolaV 4.4 63 ............................................................................................................... dadilibaborp ed nóicubirtsiD 1.2.4 53 ..................................................................................................................satercsid sairotaela selbairaV 2.4 53 ................................................................................................................................ sairotaela selbairaV 1.4 53 .....................................................................................................SATERCSID SAIROTAELA SELBAIRAV 03 .............................................................................................................................................. soicicrejE 92 .......................................................................... .roiretna oicicreje led lobrá ed amargaid le ecarT -.2 72 ............................................................................................................................seyab ed ameroet 4.3 62 ..................................................................................................................setneidnepedni sotnevE 3.3 42 ............................................ lanoicidnoc dadilibaborp al ne lobrá ed samargaid sol ed oelpmeE 2.2.3 32 ................................................................................ sedadilibaborp ed nóicacilpitlum al ed algeR 2.3 22 ......................................................................................................LANOICIDNOC DADILIBABORP 1.3 02 ...................................................................................................................................................soicicrejE 81 .......................................................................... dadilibaborp al a oetnoc ed sacincét sal ed nóicacilpA 4.2 61 .....................................................................................................................................amus al ed algeR 3.2 51 ....................................................................................................................................... senoicanibmoC 2.2 GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 2 ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 3 28 ...............................................................................................5002 led ozraM nóisimdA ed nemaxE 47 ................................................................................................................. 0002 nóisimdA ed nemaxE 47 ................................................................................................................. 8991 nóisimdA ed nemaxE 47 ............................................................................................................... sounitnoc soledom soicicrejE 37 ........................................................................................................................................... 2 soicicrejE 17 .............................................................................................................. selautnecrop salbat ed osU 4.4.5 86 ........................................................................................... adalumuca nóicnuf al ed salbat ed osU 3.4.5 86 .............................................................................. radnátse lamron nóicubirtsid al ed sedadeiporP 2.4.5 66 ................................................................................................................ sedadilibaborp ed olucláC 1.4.5 56 ....................................................................................................................................... lamron oledoM 4.5 56 ........................................................................................................................................... 1 soicicrejE 36 ............................................................................................................................... laicnenopxe oledoM 3.5 36 ............................................................................................DADILIBABORP ED SOUNITNOC SOLEDOM 16 .............................................................................................. saunitnoc sairotaela selbairav soicicrejE 95 .......................................................................................cav anu ed aicnairav al ed sedadeiporP 3.2.5 95 .............................................................................. aunitnoc airotaela elbairav anu ed aicnairaV 2.2.5 85 .................................................................................cav anu ed odarepse rolav led sedadeiporP 1.2.5 85 ......................................................aunitnoc airotaela elbairav anu ed aicnairav y odarepse rolaV 2.5 75 ........................................................... adalumuca nóicubirtsid ed nóicnuf anu ed sedadeiporP a2.1.5 75 .............................................................. aunitnoc airotaela elbairav anu ed adalumuca nóicnuF 2.1.5 75 ......................................................................................... dadilibaborp ed dadisned ed nóicnuF 1.1.5 65 ................................................................................................... SAUNITNOC SAIROTAELA SELBAIRAV 35 ............................................................................................................ sotercsid soledom ed soicicrejE 35 .................................................................................................................................................... 4 soicicrejE 25 ................................................................................................................................nossiop ed salbat ed osU 05 ...................................................................................................................................nossiop ed oledoM 9.4 igualmente.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 1. lo llamaremos “Modelo Determinístico”. En el modelo anterior se puede notar que en él nosotros estamos controlando los diferentes parámetros que intervienen. De la experiencia científica se deduce fácilmente que para poder estudiar un fenómeno es necesaria su imitación o reproducción en una cantidad suficiente para que su investigación sea lo más precisa posible. Definición 1. los llamaremos “Modelos Probabilísticos”.2 Sobre modelos probabilísticos Si deseamos conocer el lugar de caída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la tierra no podemos predecir el lugar donde él caerá. Definición 1.1 Sobre modelos determinísticos El modelo de una compañía en donde dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. el tiempo de producción y la ganancia por capítulo de cada producto se pueden establecer de tal manera que combinando los productos podemos obtener una ganancia óptima. por lo tanto. y además dichos factores ocurren de manera tal que no es posible predecir sus resultados. EJEMPLO 1. sociales. Definición 1. puesto que no podemos controlar su movimiento. por lo tanto.2 Modelos determinísticos Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados. Por ejemplo: fenómenos físicos.1 Modelo matemático Un Modelo Matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera. al establecer el modelo matemático correspondiente y los valores para los factores podemos predecir su resultado. sólo es posible indicar una región en donde se cree caerá el satélite con un valor numérico que represente la aseveración. Ahí el tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad determinada de horas por día. Los modelos matemáticos los podemos clasificar en: determinísticos y probabilísticos. 4 .3 Modelo probabilístico o estocástico A los modelos matemáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los factores que intervienen en su estudio. EJEMPLO 1. Por modelo. entenderemos a la representación o reproducción de los fenómenos. Los modelos pueden ser de diferentes tipos. económicos. realizada con el fin de estudiarlo mejor. etc. para nuestros objetivos nos interesarán modelos de tipo matemático.1 MODELOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS Uno de los objetivos del estudio de las Ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenómenos que ocurren en la naturaleza y poder predecir sus efectos que de ellos se derivan. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos. por lo que surge la necesidad de introducir un concepto referente al conjunto de todos los resultados del experimento.otnujnoc led sotnemele somamall sol . no es más que un subconjunto de un espacio muestral. En el espacio muestral a representa águila y s cara 1 S = {sss.4 Sobre experimentos determinísticos La mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto.cte . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Definición 1.otnujnoc le namrof euq sotejbo sol A . ssa.sarodatupmoc . Definición 1.5 Sobre espacios muestrales. lo llamaremos experimento aleatorio. Definición 1.númoc ne sedadeiporp sanugla o anugla ed oidem rop adinifed neib sotejbo ed nóicceloc anu a otnujnoc rop somednetnE 1 5 . EJEMPLO 1. aas. Definición 1. EJEMPLO 1.6 Espacio muestral Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos “Espacio Muestral del experimento” y lo denotaremos por S. Fácilmente podemos notar que un evento. se llama evento a un conjunto de resultados posibles de S. aaa}. Se eligen los artículos sin reemplazo y se anotan los resultados hasta obtener el último defectuoso.4 Experimento aleatorio o probabilístico Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir.3 Sobre experimentos aleatorios Observación de la cantidad de artículos defectuosos en un lote de 50 artículos.satcartsba néibmat onis . A los elementos de un espacio muestral los llamaremos puntos muestrales. . en donde existen 9 defectuosos. Al realizar un experimento generalmente se registran sus resultados para obtener las conclusiones correspondientes al fenómeno en estudio. EJEMPLO 1.ELABORÓ EL DR. sas. asa.7 Evento Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S. Definición 1..soremún nos omoc . ass.cte . saa.5 Experimento determinístico Al proceso por el cual se describen los fenómenos de los que se pueden predecir sus resultados.sartel .socsid omoc sacisíf sasoc olós on somednerpmoc otejbo roP . Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de una moneda 3 veces y anotan sus resultados posibles.8 Evento simple Al evento que consta de un sólo elemento le llamaremos evento simple. lo llamaremos experimento determinístico. “El equipo mexicano de fútbol está jugando mal.000 1000 veces. etc. se debe de realizar el experimento una gran cantidad de veces. en la frecuencia relativa con la que se obtendría E. Por ejemplo.4 . será: = 0. la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E? Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista. Supongamos que el experimento se repite 1000 veces en condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos soles.000 resultan con dos soles. si el experimento se repite una gran cantidad de veces. en lugar de comenzar el curso con una definición formal de probabilidad comentaremos sus 4 corrientes más comunes.1 CORRIENTE FRECUENTISTA En la corriente frecuentista -tal vez una de las más empleadas-. como su titulo lo indica. diríamos que la probabilidad de que ocurra E es: 2 e d l a t o t l e e r t n e o s e c u s l e e r r u c o e u q n e s e c e v e d d a d i t n a c al e d e t n e i c o c l a l a u g i s e osec u s nu ed avitaler aicneucerF 2 . resultados preliminares. en tal situación. el evento será: E = {ssa. A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemáticos para asignar de forma única la probabilidad a un suceso todo ha sido en vano puesto que desde los inicios de su estudio hasta nuestros días. Si ahora el experimento se repite 100. se lanza una moneda 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. sas. “El cielo está bastante despejado. por lo tanto. Con lo que contamos son con diferentes corrientes de probabilidad. las cuales se aplican para asignar un valor numérico a la posibilidad de la ocurrencia de algún suceso probabilístico. se puede hablar de la posibilidad de su ocurrencia. Sea el evento E: “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”. Se lanza una moneda 3 veces y se anotan sus resultados posibles. no tenemos una forma única de asignación de probabilidades. por lo tanto. ass} 1. tiempo. a partir de lo que se considera que ocurrirá. y es muy probable que en su siguiente partido pierda”. en condiciones similares (no idénticas. las palabras relacionadas con la probabilidad tienen la característica de basarse en sucesos que pueden ser verdaderos y que a causa de los hechos observados. etc. puesto que en este caso el proceso no sería aleatorio). no hay muchas posibilidades de que hoy llueva”. el verdadero significado de la probabilidad sigue siendo conflictivo. Su definición o interpretación de la probabilidad está basada.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJEMPLOS 1.otne m irepxe le etiper es euq secev 6 . Como se pudo notar en las expresiones anteriores. De hecho. 1.2 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD La palabra probabilidad es empleada por el ser humano con demasiada frecuencia. se asigna un valor de probabilidad a un evento E. Representando águila por a y sol por s. de las cuales 38. se diría 400 que la probabilidad de que ocurra E. por ejemplo en expresiones tales como: “Es probable que hoy estudie estadística”.2.6 Sobre eventos Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores. Sea el evento E: “Aparece una sola águila”. 1. La respuesta está en la interpretación de que entendemos por: “repetir el experimento una gran cantidad de veces”. de esta forma podríamos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y 100. Considerando que cada punto del espacio muestral es equiprobable con probabilidad de ocurrencia 1 8 . los clasistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral ( 1 n .2 CORRIENTE CLASICA (A PRIORI) En la corriente clásica se consideran espacios muestrales uniformes. por ejemplo: a). representando águila por a y sol por s. ass. basándose en resultados equiprobables (igualmente verosímiles). como E contiene 3 elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es: Probabilidad de E = 3 × 1 = 0.38 . ass}.000 = 0. en donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral). asa. que la probabilidad de los puntos muestrales se establece a priori. la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E? Para responder a la pregunta. Aunado a lo anterior en muchos de los fenómenos no podemos realizar una gran repetición de estos. lo siguiente: Se lanza una moneda equilibrada 3 veces y se anotan los resultados posibles que aparecen. es decir se asigna probabilidades a eventos. sas.ELABORÓ EL DR. Cabe notar que de lo anterior se deduce. Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clásica tendremos. ¿qué se entiende por una gran cantidad de veces? y ¿cuál sería dicha cantidad de repeticiones?. b). 8 Algunas de las dificultades por las que atraviesa esta interpretación de probabilidad son: 7 . tendremos que la probabilidad del evento E (resulten dos soles en los tres lanzamientos). pero surge la pregunta ¿porqué diferentes resultados para un mismo evento?. saa. se suma la cantidad de elementos de E. En estos casos. no podemos realizar una gran cantidad de lanzamientos de cohetes. ssa representa que los primeros 2 lanzamientos resultaron soles y el tercer lanzamiento águila. En este caso tampoco podemos realizar una gran cantidad de repeticiones del experimento para indicar el valor numérico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa de que Juan Pérez se casará o no este año. y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral ( 1 n ). posteriormente para obtener la probabilidad de la ocurrencia de un evento E. ssa. Estas condiciones son muy vagas para servir de base en una definición científica de probabilidad.Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso. sea el evento E: “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”..2.375 . es decir. aaa}.. tendremos: S = {sss. Evidentemente. Esto es. se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento: E = {ssa. antes de cualquier experimento. desde el punto de vista clasista obtenemos el espacio muestral. sas. aas.000 obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento E. para que de esta manera se obtenga la probabilidad en forma frecuentista del éxito de un lanzamiento. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 38.Para calcular la probabilidad de que Juan Pérez se case este año. 9.4 CORRIENTE BAYESIANA (A POSTERIORI) En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos. la probabilidad asignada está sujeta al conocimiento que el científico tenga con respecto al fenómeno estudiado. Definición 1. • En segundo lugar cuando los resultados no son equiprobables. si se sabe que el primer lanzamiento resultó un sol. etc. y a los eventos por letras mayúsculas. b. Por ejemplo. A los resultados del experimento.3 CORRIENTE SUBJETIVA En la corriente subjetivista (esta interpretación de la probabilidad es muy empleada en el estudio de la Teoría de decisiones). Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada. una de ellas es la dependencia en el juicio de cada persona al asignarla. la Geometría y las otras áreas de las matemáticas tienen. Al espacio muestral de un experimento lo denotamos por S.2. estamos empleando el concepto que se está definiendo. esto lo simbolizaremos a ∈ A . Es decir las probabilidades son del tipo dependiente. en caso de que no pertenezca. 1. Por lo tanto. o las propiedades que dichos elementos cumplen. esto es basándose en el conocimiento de la ocurrencia de eventos que estén en dependencia con el evento estudiado. el evento E :“Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”. que cumplen las condiciones del evento.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS Notación de eventos. • En tercer lugar no se indica un método para realizar el cálculo de las probabilidades. Los eventos también se representan por llaves.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD • En primer lugar al hablar de resultados equiprobables (tienen la misma probabilidad). entonces dicho evento se llama finito. por lo tanto. en el caso anterior cuando se lanza una moneda equilibrada. Para un mismo experimento las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden ser distintas. C. después del experimento. la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E?.2. como son A. 8 A a . se asignan probabilidades a eventos basándose en el conocimiento o experiencia que cada persona tiene sobre el experimento. como son a. dentro de las cuales se escriben sus elementos (¡ sin repetirlos ¡). Podemos mencionar que en la asignación de probabilidades subjetivas se emplea en muchos casos el conocimiento frecuentista que se tenga del experimento. La interpretación subjetiva de la probabilidad tiene diferentes dificultades. B. formando lo que se denomina “Álgebra de Eventos”. se les representa por letras minúsculas. 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. Eventos finitos. se simbolizará por ∉ . Como se puede comprender no se debe comenzar un estudio matemático de la teoría de las probabilidades si se quiere tener una forma universal de asignación de probabilidades para los diferentes eventos. además que tal juicio debe estar completamente fuera de contradicciones lo que es sumamente difícil por depender de la persona que la asigne. etc. esto se puede lograr haciendo uso de la teoría de conjuntos aplicada a los eventos. 1. 1. Si el resultado a del experimento realizado pertenece al evento A. es necesario estructurar a la probabilidad sobre una base axiomática que le dé el formalismo que el Álgebra. Definición 1. 9 B a A b . se dice que A es subevento de B si cualquier elemento que esté en A está en B. 1. se llaman mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Definición 1.A: Es un número par.11 Eventos infinitos Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina con el tiempo. esto es. A = {4. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Por ejemplo: 1. entonces ∉ . Es decir. 5.. 1. 4.13 Igualdad de eventos Los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento son iguales. A = {2..10 Evento vacío o no realizable. La máxima suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es 12. Por ejemplo. K}. entonces a ∈ B . El evento vacío. E = (2. y viceversa A = B.El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos son diferentes.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS Definición 1. 6} . el evento A no tiene ningún elemento.15 eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos) Los eventos A y B. se suele simbolizar por ∅ . si a ∈ A .ELABORÓ EL DR. si cualquier resultado de A es también elemento de B. 5. 3. esto es. 6}. para todo b ∈ B .A: Al menos se observan 4 soles en 6 lanzamientos de una moneda. Podemos generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento es mutuamente excluyente. 2. correspondientes a un mismo experimento. A ⊂ B . Lo anterior se simboliza. entonces b ∈ A Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los elementos de un evento dado están contenidos en el otro evento. entonces ∉ . El Evento que no contiene ningún elemento. entonces el evento se llama infinito.. esto es A = { } . entonces a ∈ B y viceversa. resultado del lanzamiento de un dado. no existe algún resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento se llama evento vacío. E = { 2. A: “Lanzamiento de un par de dados y que la suma de sus lados sea mayor a 13”.E: “La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primer águila”. Esto es: Para cualquier a ∈ A . 4.7) . 2. esto es.14 Subeventos Sean los eventos A y B correspondientes a un mismo experimento. Definición 1.3. igualmente. Definición 1. si ∀a ∈ A.. Por ejemplo: 1. A ⊂ B . ∀b ∈ B. 4 AXIOMATIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD Definición 1. . es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos.DIFERENCIA ENTRE EVENTOS La diferencia del evento A menos el evento B. k n n 2 P U E = P( E ) + P (E = 1 k 1 k n :elpmuc es . .S lartseum oicapse le araP . como A o A′ (complemento de A) A = {x x ∈ S y x ∉ A} el evento complementario de A. E .2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS 1.18 Probabilidad axiomática . E . 3. 2..K. ailimaf al ed . 10 .1] P (E ) A A A A B A A ∪ B = { x x ∈ A o x ∈ B} la unión de los eventos A y B. olavretni le ognar y se oinimod oyuc .vorógomloK ed samoixa sodamall samoixa sert setneiugis sol noc nelpmuc . sotneve ed ailimaf anu y .UNIÓN ENTRE EVENTOS La unión de los eventos A y B. E 3 2 1 ) + L + P ( E ) = ∑ P (E ) A [0. c c 1. 4.INTERSECCIÓN ENTRE EVENTOS La intersección entre los eventos A y B.setneyulcxe etnemautum sotneve ed )atinifni o( atinif nóisecus reiuqlauc araP .2 amoixA .GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 1. La diferencia. correspondientes a un mismo experimento.3. correspondientes a un mismo experimento.P acirémun nóicnuf al a acitámoixa dadilibaborP someramall . menos B.. A ∩ B = { x x ∈ A y x ∈ B} la intersección entre los eventos A y B. A − B = { x x ∈ A y x ∉ B} la diferencia del conjunto A.1 amoixA :satinif sailimaf arap .3 amoixA .EVENTO COMPLEMENTARIO O COMPLEMENTO DE UN EVENTO El complemento del evento A. es otro evento formado por los elementos del evento A. lo simbolizaremos.E otneve reiuqlauc araP .sotnevE ed arbeglÁ led seyel sal noc nelpmuc sotnemele sus euq lat . La unión la simbolizaremos por: ∪ (A unión B).. ed .S lartseum oicapse noc otnemirepxe nu odaD P( E ) ≥ 0 P( S ) = 1 1 k = . correspondiente a un mismo experimento. que no pertenecen al evento B. la simbolizaremos A − B (A menos B). es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral. El complemento del evento A. es otro evento formado por los resultados que pertenecen al evento A o al evento B o a los dos.. n E . La intersección. pero que no pertenezcan al evento A. la simbolizaremos A ∩ B (A intersección B). ne E otneve reiuqlauc arap serolav sol euq lat se y . 2 = 0.Sean los eventos a y b.8 y P ( A ∪ B ) = 1 − P ( A ∪ B ) Finalmente.7 y P( A ∩ B) = 0. tales que: P A = 0..2 TEOREMA 1.1 Sea ∅ el evento vacío.. entonces P (∅) = 0 TEOREMA 1.. se cumple que: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) EJEMPLO 1.4 + 0.2. 2).5 . calcule P ( A) y P (B ) . P A = 0. P E ( ) = 1 − P( E ) ⊂ . 2 = 0.3 − 0. del teorema 1.2 y P ( A ∩ B ) = 0.2 EJERCICIOS 1). c B A c Para cualquier evento E.¿Cuáles son los tipos de corrientes de probabilidad más comunes? 11 c ( ) ( ) = 1 − 0.2 . despejando P ( B ) P ( B ) = P ( A ∪ B ) − P ( A) + P ( A ∩ B ) = 0.2 .2 = 0. Empleando el Teorema 1.2 = 0. Finalmente.Sean los eventos a y b. tales que P ( A) ≤ P ( B ) TEOREMA 1. tales que: P ( A ∪ B ) = 0.4 Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral. P ( A) = 1 − P A = 1 − 0.4 y P ( B ) = 1 − P B c ( ) ( ) = 1 − 0. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ TEOREMA 1.3 .¿Cómo se le llama al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estocástico? 2). 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 TEOREMA 1..5 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0. tenemos c PB ( ) = 0. 8 .8 − 0.. entonces ( ) .7 = 0. Empleando el Teorema 1.2.5 c c c ( ) ( ) P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ). correspondientes a un mismo espacio muestral. c P ( A) = 1 − P A = 1 − 0.ELABORÓ EL DR.¿Cómo se le llama al conjunto que representa a una parte de todos los resultados posibles (pueden ser todos los resultados o ninguno) de un experimento estocástico? 3).13 1).2 .6 = 0. del Teorema 1. calcule P( A ∪ B) . correspondientes a un mismo espacio muestral.8 + 0.5 Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral.3 Para cualquier evento E.6 . .Enumera las operaciones fundamentales entre eventos.En el caso en que A ∪ B = ∅ .GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 4).Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral...e)..Describa los tres axiomas de Kolmogórov. 8). para un álgebra finita... 12).P ( A) = 1 − P ( A ) 11). ) A ∩ B = ∅ sólo puede ocurrir si. entonces su probabilidad tendrá que ser negativa? Justifique respuesta...Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral.¿Qué corriente de probabilidad será conveniente emplear para la asignación de un valor numérico al suceso de que Miguel Pérez se case este año? 22).c).Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. 10).Si un administrador asigna probabilidades a eventos dependiendo de su experiencia para realizar una toma de decisión.¿Sí el evento E está constituido de puros elementos negativos..∩ = ⊂ − 9)..17)... para la asignación de probabilidades a los diferentes eventos? 19).20).¿Cuándo dos eventos son mutuamente excluyentes? 7).− ⊂ ∪ ⊂ y ∪ ⊂ b)..13).d).16)..c).... 6).P ( A ) = P ( A) − 1 ∩ ≤ c).¿Cuáles son las dificultades por las que atraviesa la interpretación clásica.− ⊂ ⊂ − d)... ¿En qué se basa la definición frecuentista para calcular la probabilidad de un evento? ¿Cómo se considera el espacio muestral en la corriente clásica de probabilidad? ¿Cómo es la asignación de probabilidades a los eventos en la corriente subjetiva? ¿Por qué a la corriente bayesiana se le conoce también con el nombre de a posteriori? 18).14).15). ¿Cuáles incisos son correctos? a).¿Si A y B son P( A ∩ B ) = P( A) − P( B) ? dos eventos mutuamente excluyentes..− ⊂ − ⊂ c).∩ ⊂ y ∩ ⊂ ∪ ⊂ y ∪ ⊂ b).f). ¿Cuál inciso es correcto? a). ¿Cuál inciso es correcto? a).Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se asigna antes que se realice el experimento se le llama probabilidad de tipo. 5)..∩ = ∩ ≤ b).∩ ≥ d). ¿Cuáles incisos son correctos? d).a)..e).P( A ) = P ( A) − 1 21).. él estaría empleando la corriente de probabilidad llamada. sólo puede ocurrir si A y B son.. entonces en general ) B B A (P B A A B B A A A (P B B A A B A ) S B A c A (P ) B c A c A (P B B B B ) )A ( P A (P ) )A ( P A (P A c A B A A A B A A B A )B B ) ) )B B A B A A B A A (P A (P A (P A (P 12 ..Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral.∩ = ∩ ≥ b). 2 2 n . ya que se permite la repetición. la cantidad de arreglos que contengan k elementos elegidos con reemplazo del conjunto A estará dada por: n EJEMPLO 2. todos ellos diferentes.2 Sea el conjunto A = {a . si tenemos un conjunto A con n elementos diferentes y realizamos una extracción.1 ARREGLOS CON REPETICIÓN (REEMPLAZO) Diremos que los arreglos son con repetición o reemplazo. entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cada conjunto. a . cuando después de elegido un elemento puede volverse a seleccionar (cada vez que se realice una nueva extracción). 2. Como se puede escoger de 8 maneras un libro de Filosofía. k K k . seguidos por los de Historia y finalmente los de Matemáticas. 1n 1 k 1 . Igualmente cada dígito del arreglo se puede escoger de 10 maneras. 4 de Historia y 7 de Matemáticas. existen 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26 × 10 números de placas diferentes. si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que se permite la repetición.1 las cantidades respectivas de elementos de Sean A . la regla de la multiplicación. por lo tanto. que contengan un libro de cada tema.2 ¿Cuántos números diferentes de placas se pueden formar con los números dígitos y las letras del alfabeto. será 8 × 4 × 7 = 224 . n × 14243 k veces Definición 2.1.TÉCNICAS DE CONTEO Y PROBABILIDAD Definición 2. K . la llamaremos regla generalizada de la multiplicación está dada por: n × n × L× n EJEMPLO 2. nos indica que el total de arreglos que consten de tres libros diferentes (uno de cada tema). 3 3 n 2 1 k k n. al realizar una segunda extracción la podremos realizar otra vez de n formas. escribiendo primero los elementos del conjunto 1. y así sucesivamente k veces. de 4 maneras uno de Historia y de 7 maneras el de Matemáticas. ¿cuántos arreglos de 3 libros.1 Si se tienen 8 libros de Filosofía. Cada letra del arreglo se puede escoger de 26 maneras. Es decir. Si nos condicionamos a colocar el elemento elegido en el conjunto (reemplazarlo). seguidos de los del conjunto 2 y así sucesivamente hasta escribir los del conjunto k. se pueden formar con todos los libros anteriores?. resultando n × 4× L4n = n arreglos diferentes. esto se podrá hacer de n formas diferentes.K . A k conjuntos diferentes y dichos conjuntos. a } con n elementos diferentes. si primero van los libros de Filosofía. a } con n elementos diferentes y realizamos una primer extracción. a } con n elementos diferentes. a − } con − elementos diferentes. la cantidad de arreglos ordenados que contengan k elementos elegidos sin reemplazo del conjunto A estará dada por el número resultante de: n 2 1 n 2 1 n × (n − 1) × (n − 2) × L × (n − (k − 1)) EJEMPLO 2.1. el primero de 10 maneras. 14 . el segundo de 9 y el tercero de 8.2 ARREGLOS SIN REPETICIÓN: PERMUTACIONES Diremos que los arreglos son sin repetición o sin reemplazo. La primer letra se puede elegir de 26 maneras. la segunda de las 25 restantes y la tercer letra de las 24 sobrantes. cuando después de elegido un elemento ya no puede volver a ser seleccionado. a .4 y la regla de la multiplicación se tiene que la cantidad de arreglos es (26 × 25 × 24) × (10 × 9 × 8) = 11232000 . El factorial de un número n ∈ N se define como el producto sucesivo 1 × 2 × L × n . K . NOTA: !n 0! = 1 Definición 2. (n − k )! 1 n 1 n 3 1 n 5 4 2 1 2 ≤ ≤ . si tenemos un conjunto A = {a . a . y se simboliza por . finalmente por la definición 3. si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que no se permite la repetición.4 Llamaremos Permutación de k elementos escogidos de un total n (todos diferentes) a: n k La cual representa la cantidad total de arreglos ordenados de tamaño k.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 2. a . Definición 2.3 ¿Cuántos números diferentes de placas se pueden formar con los números dígitos y las letras del alfabeto. que se pueden formar con n elementos diferentes cuando no se permite la repetición 0 P = k n n! . Sea el elemento elegido a . esto se podrá hacer de n formas diferentes. a . de tal forma que cuando se efectúe una segunda extracción la podremos realizar sólo de − formas.3 Sea el conjunto A = {a . y así sucesivamente hasta el k ésimo conjunto el cual contendrá (n − (k − 1)) elementos diferentes para elegir uno y por la regla de la multiplicación la cantidad de arreglos diferentes que se puedan formar con los k conjuntos estará dada n × ( n − 1) × ( n − 2) ×L×(n − ( k − 1) ) arreglos diferentes.K .5 Factorial de un número. 1444444 444444 2 3 k elementos Definición 2. en el caso de los números dígitos se escogerán. Es decir.K . éste ya no se regresa al conjunto teniendo un conjunto A = {a . a . . “t” y “o”.Se tiene 4 computadoras “Acer” de aspecto semejante. En donde m 2 1 m 2 1 mn K nn 2 1 P = n! .5 Dado un conjunto con n elementos diferentes.. sólo se considera su cantidad de elementos en el grupo. … y n elementos iguales. tendremos que el total de arreglos es: 10! = 302400 permutaciones diferentes 3! 2!1!1!1!1!1! 2. k n ≤ ≤ . 3 y 3 de aspecto semejante. n elementos iguales. ¿en cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en línea recta todas las computadoras? Como se tiene en total 10 computadoras. 2 “u” y una letra “g”. tenemos lo siguiente. “n”. De forma general cuando se tienen n elementos iguales.ELABORÓ EL DR. mientras que en las permutaciones el orden entre sus elementos es fundamental. tales que: n + n +L+ n = n . con n + n +L+ n = n n !n !L n ! m 2 1 (1) = ) .2 COMBINACIONES Definición 2.3 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IGUALES En los casos en que se quiere formar arreglos con todos los elementos de un conjunto entre los cuales existen algunos que son iguales..Una diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en que el orden de los elementos de los grupos escogidos en estas últimas no importa.1. se tienen 3 “a”. considerando todos los n elementos por ordenamiento: n m 2 1 EJEMPLOS 2. “j”. Denotaremos al número de combinaciones de tamaño k que se pueden ! NOTAS 1. se pueden formar con todas las letras de la palabra Guanajuato? El problema es del caso en el que existen elementos iguales. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 2. Empleando la expresión 1. de la expresión 1.¿Cuántas permutaciones diferentes. 0≤ k ≤ n (2) . se tendrá: 10! = 4200 total de arreglos diferentes. resultará la cantidad total de ordenamientos diferentes. 4!3! 3! 2. Permutaciones ab ≠ ba. de las cuales existen 4. 15 k n !k ( − ! n kC n n k 0 formar con los n elementos por: C . 3 computadoras “Digital” también de aspecto semejante y 3 computadoras Compaq igualmente de aspecto semejante. llamaremos combinación a cualquier subconjunto no ordenado de tamaño k.4 1. c} . d . si por lo menos dos de los hermanos estarán en el comité? Como en el problema se pide que al menos dos de los tres hermanos estén en el comité.{b. Por ejemplo. etc. NOTA La aplicación de la regla de la suma por lo general se realiza cuando aparecen en el enunciado del problema las frases: “a lo más”. b . 3 71 3 71 2 3 en donde C representa la cantidad de maneras de escoger dos de los tres hermanos.6 Sean A . “menos que”. si el conjunto es {a .{d . esta última se emplea en las calculadoras. es el total de grupos diferentes que consten de dos elementos cada 2!(5 − 2 )! uno. junto con la de para las siguientes: n y k permutaciones.{a . n . e} .{a .. d} . lo que podrá ocurrir de la siguiente manera (notar que el orden en este problema no es importante. 2 3 m m Cn 2 2 1 1 n + n +L+ n 16 .En muchas literaturas para la notación de combinatoria.{b.3 REGLA DE LA SUMA Definición 2. entonces el total de arreglos de todos los m tipos ocurrirán de: m 2 1 formas y se le llamará regla de la suma. Puesto que se requieren cinco personas en el comité y dos de ellas deben de elegirse de los tres hermanos. “menos que”. “por lo menos”. e.6 Se va a seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 20. ya que sólo interesa que en el comité existan 5 personas). e} . EJEMPLO 2. d} .{a .} .{b.{c.n respectivamente.{c. 5! tendremos que C = = 10 .GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Combinaciones {a . que esto podrá ocurrir de: C × C maneras. Como en estos casos no importa el orden entre los elementos de los arreglos de la expresión (2). de los cuales 3 son hermanos ¿de cuántas maneras se puede formar el comité. e} .…. los grupos de 2 elementos son: 2 5 k k {a . Pn 2. también suele usarse alguna de las . tenemos por la regla de la multiplicación.b} . e}.…. mientras que C representa la cantidad de maneras de escoger a las otras tres personas de los 17 restantes. c}. “al menos”. EJEMPLO 2.b} = {b. 2. será cuando se tengan dos hermanos en el comité. A . A diferentes tipos de arreglos que pueden ocurrir de las siguientes formas n . se tiene que existen dos tipos de arreglos. Un tipo de estos arreglos. a} .5 ¿Cuántos grupos de 2 elementos se puede formar de un conjunto que contiene 5 elementos?. c. d}. . Basándose en lo anterior. Cada tipo de arreglo tendrá la misma cantidad de casos.Se tiene que de los cinco aparatos de la línea uno.los dos defectuosos quedan en una misma línea? Solución: En este problema. mientras que C representa la cantidad de maneras de escoger a las otras dos personas de los 17 restantes..los dos defectuosos quedan en la línea uno? b).En una fábrica se distribuyen 15 aparatos electrónicos en tres líneas diferentes. Por ejemplo. ¿de cuántas maneras se pueden distribuir los aparatos en las cinco líneas. de la fórmula (1). sólo nos interesa que existan 5 en cada línea. 1 3 C 5 01 C 3 31 C 22C 5 5 C 5 01 C 3 31 3 31 C 22C 2 2 = × × = 72072 17 .. en la primer línea (inciso a) y después multiplicarlo por la cantidad de casos a ocurrir C = 3 . tenemos que el total de maneras en que pueden ocurrir los dos tipos de arreglos es: C × C + C × C = 3×680 + 1×136 = 2176. con 5 aparatos en cada línea. lo cual se puede representar de la siguiente forma: 5 5 b). lo cual puede ocurrir de: C × C maneras. maneras de distribuir los 15 aparatos. la segunda o la tercera.ELABORÓ EL DR. 8!6! 2. Por lo tanto. por la regla de la suma. tendremos que la cantidad de arreglos posibles está dada por: 6. 3 3 Finalmente.. Finalmente los 5 de la línea 3 se escogerán de los 5 buenos restantes.. Si dos de los aparatos resultaron defectuosos. se tendrá 3×72072 = 216216. dos son defectuosos. 2 71 2 71 3 3 en donde C representa la cantidad de maneras de escoger tres de los tres hermanos. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ El segundo tipo de arreglos..8 41 2 71 3 3 3 71 2 3 P = 14! = 3003 maneras de contestar el examen. a). si se contestan todas las preguntas? Observemos que el problema se refiere a los casos en que existen elementos iguales (ya que si dos o más respuestas son verdaderas no se distingue entre ellas).Una prueba de falso y verdadero está formada de 14 preguntas de las cuales 8 son verdaderas y las demás falsas ¿cuántos arreglos de 14 respuestas se pueden dar. EJEMPLOS 2. la cual puede ser la primera. es cuando en el comité se elijan los tres hermanos.7 1. mientras que para la línea dos se escogerán los 5 de los 10 buenos restantes. cuando a). por lo que podemos escoger C defectuosos y C buenos para la línea uno. el orden entre los aparatos no importa.Ahora se pide que los dos aparatos defectuosos se localicen en una misma línea. por lo cual es necesario resolver sólo uno. Las dos a la vez. con η ( S ) ≠ 0 y ⊂ . Finalmente se aplica la definición clásica de probabilidad. y la probabilidad es: S E 03 01 3 03 3 01 18 . Definimos al experimento del que se habla en el problema.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 2. el espacio muestral S tendrá η ( S ) = 13 × 12 = 156 elementos.4 APLICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO A LA PROBABILIDAD Sólo se considerarán espacios muestrales finitos. de las dos bolas es roja”. de las 13 bolas a la vez”. Segundo.. Tercero. por la definición clásica de probabilidad tendremos la probabilidad del cualesquiera de ellos es η (S ) evento igual a: η(E) . Por lo tanto. El experimento consiste en: “La extracción de dos. de las cuales 3 son rojas. todas idénticas en forma y tamaño.Una urna contiene 13 bolas numeradas del 1 al 13.3846 . Se encuentra el espacio muestral del experimento. 1 01 1 3 Por otro lado. la probabilidad de uno 1 y. 4 blancas y 6 azules. una tras otra sin reemplazo”. simbolizamos por η ( S ) ≠ 0 . y sólo una de las dos bolas es roja”. y sólo una. P( E ) = η(S ) En los ejemplos siguientes el procedimiento de solución consiste en lo siguiente: • • • Primero. Lo anterior puede ocurrir en dos casos: Primero cuando la primer bola extraída es roja y la opciones.una tras otra sin reemplazo. el evento E se define como: “Los resultados del experimento en los que una. por lo tanto. Por lo tanto. Por otro lado. P( E ) = η ( S ) 156 b). y el segundo caso cuando la primera no es roja y la segunda sí segunda no lo es × = lo es × = opciones. el evento E se definirá como: “Los resultados del experimento en los que una. EJEMPLOS 2.. si se extraen a). η ( E ) = 30 + 30 = 60 . y la probabilidad será: η ( E ) 60 = = 0. el espacio muestral S tendrá η ( S ) = C = 78 elementos. Calcule la probabilidad de que exactamente una de ellas sea roja. 2 31 Por lo tanto. Se define y encuentra al evento correspondiente. Lo anterior ocurre de η ( E ) = C × C = 30 maneras. Se selecciona al azar 2 bolas de la urna..8 1. a la cantidad de elementos del espacio muestral y por η (E ) la cantidad de elementos de algún evento E. Al considerar que los elementos del espacio muestral son equiprobables. El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas. El experimento lo definiremos como: “La manera en que pueden sentarse 11 personas en línea recta”. η ( E ) 4!×8! 967.Con reemplazo. tenemos que el total de arreglos cuando las mujeres se sentarán primero es: de donde. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ P( E ) = η ( E ) 30 = = 0.0030 39. × = opciones. Por la regla de la multiplicación.todas las mujeres se sienten en los primeros 4 lugares? b). η ( E ) = 30 + 30 = 60 . P( E ) = b).Si se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres. Por lo tanto. etc. Lo anterior puede ocurrir.800 η ( S ) 11! η (E ) = 4!×7!×8 = 967680. Calcule la probabilidad de que: a). Por lo tanto. el evento E se define así: “Los resultados del experimento en los que una. Por otro lado.960 = = = 0.. η ( S ) 78 c).ELABORÓ EL DR. y la probabilidad será: 2.Vamos a definir al evento E: “Las mujeres deben sentarse primero”. Se tendrán diferentes tipos de arreglos.. y todos van a tener la misma cantidad de maneras de acomodarlos. otro en segundo.. tendremos que el total de arreglos cuando las mujeres van siempre juntas está dado por: de donde: P( E ) = 03 3 01 03 01 3 P( E ) = η ( E ) 60 = = 0. y el segundo caso es cuando la primera no es roja y la y la segunda no lo es. hasta el octavo lugar. de las dos bolas es roja”. η ( E ) 4!×7! 120. por lo tanto.800 η ( S ) 11! 19 . el espacio muestral S tendrá η ( S ) = 13 × 13 = 169 elementos.3846 .680 = = = 0. y sólo una. el espacio muestral S tendrá η ( S ) = 11! puntos muestrales.916.. con reemplazo”. mientras que los hombres se pueden sentar de 7! = 5040 formas. El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas una tras otra.3550 η ( S ) 169 η (E ) = 4!×7! = 24×5040 = 120960. sí importa el orden. en forma aleatoria. en dos casos: el primero ocurre cuando la primer bola extraída es roja opciones. uno cuando estén las mujeres en primer lugar..0242 39. en tercero. Por lo tanto. Debido a que las mujeres solas pueden sentar de 4×3×2×1 = 4! = 24 formas diferentes. a).En este caso el evento E: “Las mujeres deben sentarse siempre juntas”. × = segunda sí es roja.916.todas las mujeres deben sentarse siempre en lugares contiguos? Solución: Notemos que en este problema. empleando el resultado del inciso a.. a).Que las 5 placas sean del mismo tipo. Supóngase que el primer estudiante que va a elegir sólo se preparo en 50 de las preguntas (las cuales puede contestar sin equivocación). el profesor les da a sus alumnos de antemano 60 preguntas diferentes.¿Qué diferencia existe entre arreglos con elementos iguales y arreglos con repetición? 3).. Se seleccionan al azar 5 placas para inspeccionarlas. sin reemplazo.¿De cuántas maneras diferentes se puede asignar la tarea si consta de cinco problemas? b). para proyectar en los siguientes 10 días. para realizar de tarea.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJERCICIOS 1).Si se tiene 2 problemas más difícil que los demás. dos de los cuales fueron suministrados por un proveedor en particular. Si la asignación de los motores es aleatoria. utilice los teoremas combinatorios para determinar el número de puntos muestrales y asigne probabilidades a los puntos muestrales y encuentre la probabilidad de que la suma de los números que aparecen en los dados sea igual a 9.. en la calle Donceles.¿Cuál es el nombre que se le da a los arreglos en donde el orden entre sus elementos no es de importancia? 2). acomoda en línea recta en un estante de una tienda de libros de viejos..¿Qué relación existe entre una permutación sin repetición y una combinación? 4).Para presentar un examen de Física. El estudiante aprobará el examen si contesta bien al menos dos de las tres preguntas. mientras que de las otras 10 no sabe absolutamente nada (si le toca una de ellas la dejaría en blanco).. una del tipo II y 2 del tipo III.¿En qué consiste la principal diferencia entre una permutación y una combinación? 5).. con tres motores en cada línea... 10). ¿cuántas veces se incluirán los 2 problemas más difíciles en la tarea? 9). ¿En cuántas formas se pueden acomodar los libros si los de Filosofía deben de ir juntos? 8). Si por políticas de la administración en un periodo de 10 días se proyectan 2 películas diferentes en cada sala. 7). Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo. 11)... 20 . 4 de Química y 8 libros de Historia (todos ellos diferentes). 12). B (4 películas) y C (10 películas)..Un experimento consiste en lanzar dos dados. la asignación de las dos películas en la sala 2 sean del tipo B y finalmente las dos películas en la sala 3 sean del tipo C? 6).En un componente electrónico existen 20 placas de tres tipos diferentes (8 del tipo I. las cuales el día del examen colocará en una urna y el estudiante deberá elegir aleatoriamente 3 preguntas. Calcule la probabilidad de que en dichas condiciones el estudiante apruebe el examen.El administrador de una red de 3 salas tiene en su poder 20 películas diferentes con clasificaciones A (6 películas). b)..Que dos sean del tipo I. 6 libros de Filosofía.Se dispone de un grupo de doce problemas. y el administrador hace la programación al azar.Una persona. encuentre la probabilidad de que los dos motores del proveedor queden en una misma línea... Encuentre la probabilidad de: a). Se deben de distribuir los motores en tres líneas de producción. 5 del tipo II y 7 del tipo III).Un productor tiene almacenados nueve motores diferentes.. que no sabe leer absolutamente nada.. ¿Cuál es la probabilidad de que la asignación de las dos películas en la sala uno sean del tipo A.Considere todas las letras de la palabra “Administración”.. el tema B. al revisar las identificaciones de 4 personas de entre un grupo de 8.En una tienda se tiene 30 artículos de los cuales 20 son buenos y 10 defectuosos.En un centro comercial quedan 10 carros de control remoto para la venta.. calcule la probabilidad de que Armando González apruebe el examen. 18).... Encuentre la probabilidad de que en los siguientes 4 pedidos que se vendan. ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar la elección de tal manera que al menos una de las personas elegidas tenga el apellido Gómez? 21). ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir sus preguntas un estudiante. para un examen. 17). Calcule la probabilidad de que al menos uno de los carros elegidos sea defectuoso.Un examen de Álgebra Lineal en la UPIICSA está formado por tres temas. Se seleccionan 8 artículos.Un juego consiste en elegir 6 números sin repetición de 47 posibles (Melate). de los cuales tres no son mayores de edad?. 4 preguntas y el tema C. ¿de cuántas maneras se llevará a cabo la elección de tal forma que a lo más 2 sean defectuosos? 21 . Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo (ignorando la acentuación). ganará el juego.En una tienda se tienen 40 refrigeradores de los cuales 35 son buenos y 5 defectuosos. 16). entre los cuales existen 4 defectuosos. El tema A contiene 6 preguntas. La persona que halla elegido con anterioridad al sorteo los 6 números resultantes correctos.. en el cual se les entregará una ficha con 5 temas al azar de la lista de 35. Si el alumno deberá contestar correctamente al menos 3 temas de los 5 para pasar. 15). Calcule la probabilidad de que 3 de los 6 números elegidos por una persona coincida con los 6 números resultantes del sorteo.En un grupo de 30 personas se tiene 4 con apellido Gómez.. 8 preguntas. 14).¿Cuál es la probabilidad de que el portero de un cine sé niegue dejar entrar a 2 menores de edad (ya que se exhibe una película sólo para adultos).El alumno Armando González se ha preparado en 25 temas. Juan y Carlos. Se debe contestar 5 preguntas.. Si el señor Jaime López entra a la tienda para comprar dos de tales carros para sus hijos. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 13).Considere todas las letras de la palabra “Estadística”. si a lo más debe de elegir 2 preguntas del tema C? 20). de un total de 35. 19). Si se elige un equipo de 3 personas representante del grupo.. se encuentren dos defectuosos.ELABORÓ EL DR.. Mientras que la mitad de los automóviles del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul. Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil de color blanco ¿cuál es la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación? Este tipo de problemas se resuelve fácilmente empleando una tabla para representar los datos. Notamos que el espacio muestral en este caso consta de 50 elementos. Por tanto: La probabilidad de elegir un automóvil blanco es: P ( B ) = probabilidad de elegir un automóvil blanco y de exportación es: P( E ∩ B) = η ( B ) 20 = = 0. Diez de los automóviles de exportación son de color blanco.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 3.4 2. los automóviles del mercado interno.1 = 0. tales que P ( A) = 0. por B los de color blanco.. 0.1 Dados dos eventos A y B llamaremos probabilidad condicional del evento A dado que sucedió B a: P( A ∩ B) . mientras que la η ( S ) 50 η ( E ∩ B) 10 = = 0. y finalmente por A los de color azul.1 1.20 = = 0. I Mercado externo. A 10 20 30 Totales 20 30 50 Puesto que nos restringimos a la elección de un automóvil blanco la probabilidad de que el automóvil elegido sea de exportación es de tipo condicional. con P ( B ) > 0 P( A | B) = P( B) EJEMPLOS 3.Supóngase que en un lote de 50 automóviles VW se repartirán aleatoriamente 20 para el mercado interno y 30 para el de exportación.Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S).40 P( B) 22 .1 PROBABILIDAD CONDICIONAL Definición 3.4 y P ( A ∩ B ) = 0.6 . y los otros 20 de color azul. 5 . η (S ) 50 Luego P ( E | B ) = P ( E ∩ B ) 0. 0 . P ( B ) = 0. Mercado interno.20 .1 . Calcule la P ( A | B ) . De la fórmula 1. por E los del externo. Representemos por I. B 10 10 20 Azul. E Totales Blanco.25 .40 .. tenemos que: P( A | B) = 0 . se obtiene: P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B | A) . P( A ∩ B) = P( B) P( A | B) . Primero simbolicemos por A: “La primer bola extraída es blanca” B: “La segunda bola extraída es blanca”. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 3. tenemos P ( A) = 8 . se obtiene: P( A ∩ B) = P( A) P( B | A) = 8 7 56 × = = 0.2 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 son rojas y 8 blancas todas idénticas en forma y tamaño. Como originalmente en la urna existen 13 bolas. para realizar el cálculo. (3) A las fórmulas anteriores. 12 Finalmente. 13 12 156 La regla de la multiplicación para tres eventos. de las cuales 8 son blancas. Se seleccionan al azar 2 bolas una tras otra sin reemplazo. con las probabilidades calculadas. se les conoce como “Regla de la multiplicación de probabilidades”.ELABORÓ EL DR. EJEMPLO 3. Se tiene entonces que la probabilidad 7 de extraer una segunda bola blanca es P ( B | A) = .3590 . (2) también de forma equivalente a partir de P ( B | A) . Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas. por medio de una regla a la que llamaremos “Regla de la multiplicación de Probabilidades”. 13 Cuando calculamos la probabilidad del evento B nos restringimos a la extracción de una bola blanca quedando en la urna 12 bolas de las cuales 7 son blancas. P ( A ∩ B ∩ C ) = P( A ∩ ( B ∩ C ) ) = P ( B ∩ C ) P ( A | B ∩ C ) = = P(C ) P( B | C ) P( A | B ∩ C ) En su forma general la regla de multiplicación de Probabilidades para n eventos estará dada por la expresión: P ( A ∩ A ∩ K ∩ A ) = P( A )P( A | A )P ( A | A ∩ A )L P( A | A ∩ A ∩ K ∩ A 2 1 n 2 1 3 1 2 1 n 2 1 − ) 23 1 n .2 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Al calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos A y B cuando conocemos la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero se puede emplear la formula 1. y empleando la expresión 3. pero escriba en forma simbólica las probabilidades encontradas. Posteriormente comenzamos con la asignación de probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama de árbol ya elaborado. (8+1)b Finalmente. en caso contrario serán (6+1)n (3+1)n + = negras y 8 blancas. Ver figura siguiente. bolsa (8+1)b coloca en la segunda tendremos. En la teoría de las probabilidades siempre debe cumplirse que la suma de todas las probabilidades de los diferentes caminos de cualquier vértice sea igual a 1. cada una de ellas llega a otro vértice y de igual forma desde ese punto pueden trazarse otras aristas y así sucesivamente hasta terminar con todos los caminos posibles.3 Una bolsa contiene 5 pelotas blancas y 3 negras. 1er. posteriormente de ésta se saca una pelota y se coloca en la tercera. + = pelotas blancas y 6 negras. una segunda bolsa contiene 3 blancas y 6 negras. llamadas caminos o aristas. puesto que están restringidas a que sucedan los eventos de las aristas por las que está dirigido el camino. si de la segunda bolsa se extrae una 3b 3n 3n pelota blanca al colocarla en la tercer bolsa tendremos 8b + = blancas y 3 negras. Explicación: 3er. En el siguiente diagrama mostraremos las probabilidades correspondientes: 24 7 1 6 4 1 3 4 1 3 9 1 8 . bolsa (3+1)b 3n En caso de que la pelota de la primer bolsa sea negra 8b 5b en la segunda bolsa tendremos 3 blancas y + = (3+1)n 6n negras. finalmente una tercer bolsa contiene 8 pelotas blancas y 3 negras. k k Simbolizando por B al evento. bolsa Si sacamos una pelota blanca de la primer bolsa y se 2da. esto se hace a partir del vértice de la última arista y hasta llegar al vértice inicial. EJEMPLO 3. Es importante hacer notar que las probabilidades de los caminos ascendentes son probabilidades condicionales. Primero vamos a hacer un diagrama que nos represente las diferentes acciones que pueden ocurrir al sacar e introducir pelotas de una urna a otra.2 EMPLEO DE LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL EN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL El árbol lo comenzaremos trazando desde un punto que llamaremos vértice las diferentes ramas.2. Se saca una pelota aleatoriamente de la primer bolsa y se coloca sin verla en la segunda. “La pelota De igual forma por N al evento: “La pelota extraída de la bolsa k es negra”.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 3. La probabilidad de una rama cualquiera se obtiene multiplicando las probabilidades de los caminos descendentes. extraída de la bolsa k es blanca”. ¿Cuál es la probabilidad de que una pelota que se saque bajo estas condiciones de la tercer bolsa sea negra? Resuelva por diagramas de árbol. todas las pelotas son de igual forma y tamaño. en ésta. 10 10 Finalmente después de ocurridas las extracciones de las bolsas 1 y 2. tenemos las probabilidades condicionales para la bolsa 3: En el caso de la primera ramificación en la segunda bolsa: 1 2 3 1 2 1 2 P( B | B ∩ B ) = 1 2 3 9 3 3 1 = o P( N | B ∩ B ) = = . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ P( B | B ∩ B ) = P( B | B ) = 1 2 9 12 P( N | N ∩ N ) = Según el diagrama anterior resultan las siguientes probabilidades: Para la bolsa 1: P( B ) = 1 5 3 y P( N ) = .ELABORÓ EL DR. 12 4 12 4 En el caso de la segunda ramificación en la segunda bolsa: 1 1 2 2 3 3 P( N | N ) = 1 2 7 10 P( B | N ∩ N ) = 1 2 3 P( B | N ) = 1 2 3 10 P( N | B ∩ N ) = 8 12 1 2 3 P( N ) = 1 3 8 P( B | B ∩ N ) = 1 2 3 1 2 P( B ) = 1 5 8 P( N | B ) = 6 10 P( N | N ∩ B ) = 1 1 2 2 3 4 10 3 12 8 P( B | N ∩ B ) = 12 P( N | B ∩ B ) = 3 1 2 3 4 12 9 12 3 12 4 12 25 . tenemos las probabilidades condicionales para la bolsa 2: En el caso de la primera ramificación en la primera bolsa: 1 2 P( B | B ) = 1 2 4 2 = 10 5 o P( N | B ) = 6 3 = . 10 5 Para el caso de la segunda ramificación en la primera bolsa: 3 7 P( B | N ) = o P( N | N ) = . 8 8 1 Después de ocurrida la extracción de la bolsa 1. 12 4 12 4 En el caso de la cuarta ramificación en la segunda bolsa: 1 2 3 P( B | N ∩ N ) = 1 2 3 8 2 4 1 = o P( N | N ∩ N ) = = . 12 10 8 16 4 6 5 1 × × = . 12 10 8 320 4 7 3 7 × × = . entonces las parejas siguientes. 12 10 8 8 3 3 3 9 × × = .303125 . c c c c 1 2 3 P( B | N ∩ B ) = 1 2 3 8 2 4 1 = o P( N | N ∩ B ) = = . las condiciones con o sin reemplazo influyen en los eventos para que sean independientes o dependientes.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD En el caso de la tercer ramificación en la segunda bolsa: 1 2 3 P( B | B ∩ N ) = 1 2 3 9 3 3 1 = o P( N | B ∩ N ) = = . Con reemplazo ⇒ independencia Sin reemplazo ⇒ dependencia TEOREMA 3. tal y como se muestra a continuación: P( N | B ∩ B ) P( B | B ) P( B ) = 1 1 2 2 1 3 3 4 5 1 × × = . 12 3 12 3 De los resultados anteriores fácilmente se calculan las probabilidades de que la bola extraída de la tercera urna sea negra. si y sólo si P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) . A y B eventos independientes en S. OBSERVACIÓN Del ejemplo anterior podemos concluir que los ejercicios en donde se realicen elecciones. también son independientes A y B .1 Si S es un espacio muestral.2 Dos eventos A y B son independientes. Para tal efecto tenemos 4 casos. 16 8 320 80 320 3 P( N | B ∩ N ) P( N | B ) P( B ) = P( N | N ∩ B ) P( B | N ) P( N ) = 1 1 2 2 1 3 1 1 2 2 1 3 P( N | N ∩ N ) P( N | N ) P( N ) = 1 1 2 2 1 3 Finalmente por el principio de la suma resultará P( N ) = 3. 12 10 8 80 1 1 9 7 97 + + + = = 0. 12 3 12 3 (5) 26 . A y B .3 EVENTOS INDEPENDIENTES Definición 3. A y B . S = UE . 13 Fácilmente se comprueba que los eventos son independientes puesto que: 3.ELABORÓ EL DR. por lo tanto: P ( A) = Después de esto volvemos a colocar la bola en la urna quedando 8 blancas y 5 rojas. Para cualesquier par de eventos E y E . Además de que se tiene conocimientos con respecto a las probabilidades de los eventos de la partición y se quiera calcular la probabilidad de algún otro evento del espacio muestral. = η(S ) 169 Vamos a calcular las probabilidades de A y de B y comprobaremos que estos eventos son independientes. E forman una partición de S. todas idénticas en forma y tamaño. n . tiene η ( A ∩ B ) = 8 × 8 = 64 elementos. si cumplen con lo siguiente: P( E ) ≠ 0 . y η ( A ∩ B) 64 por tanto. para toda k = 1. j i j i 1 k = n 2 1 B A 8 . se dice que los eventos E . Por otro lado. Pues bien sea S un espacio muestral. Considerando que el experimento consiste en extraer dos bolas una tras otra con reemplazo. 13 P( A ∩ B) = P ( A) P ( B ) = 8 8 64 . el evento ∩ : “Ambas bolas blancas”. Pero antes de continuar recordemos el concepto de partición de un espacio muestral. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ EJEMPLO 3. Primero simbolicemos por A: “La primer bola extraída es blanca” B: “La segunda bola extraída es blanca” Como originalmente en la urna existen 13 bolas.4 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 bolas son rojas y 8 blancas. Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean blancas. E . Se seleccionan al azar 2 bolas de la urna. P( A ∩ B) = . de las cuales 8 son blancas. tenemos que el espacio muestral S tiene η ( S ) = 13 × 13 = 169 elementos. de tal forma 8 que al sacar otra vez una bola la probabilidad del evento B es: P ( B ) = . Para el evento A tenemos 13 bolas de las cuales 8 son blancas. de la partición se cumple E ∩ E = ∅ . 2. una tras otra con reemplazo. K . × = 13 13 169 k n k )b )c )a 27 . con i ≠ j . K .4 TEOREMA DE BAYES Veamos ahora como se resolverían ciertos problemas en donde se conoce el espacio muestral y una partición de éste. . Calcule la probabilidad de que sea capturado.1 Muestra la partición de un espacio muestral. aa} (denotando sol por s y águila con a). A un evento en S y E . por lo tanto numeraremos a las ciudades con respecto al camino elegido.40. De las condiciones del problema podemos deducir las probabilidades: 5 4 3 2 1 n n 2 2 1 1 n 2 1 P (C ) = 0. E : “Ningún águila”..Un espacio muestral S siempre tiene una partición formada con un evento E. C y C . 0. 0. respectivamente.5 1. E : “Resulten dos águilas”.10. y anotemos las combinaciones de resultados posibles. Este tipo de partición se emplea con mucha frecuencia en los problemas de probabilidad. E = {ss} . E = {sa. E 3 1 E 1 2 3 2 3 1 E . sa. C .20.40. K . y su complemento.Sea el experimento “Lanzamiento de dos monedas”. Los siguientes eventos forman una partición de S. tal que 0 < P ( E ) < 1 . E . P (C ) = 0.2 De la probabilidad total Si S es un espacio muestral. E : “Resulte una sola águila”. 0. la cual está segura que el prófugo sólo puede seguir uno de 5 caminos posibles C . puesto que cumplen con las tres condiciones de una partición..30.10 .25 y P(C ) = 0. entonces P ( A) = P ( A | E ) P ( E ) + P ( A | E ) P ( E ) + L + P ( A | E ) P ( E ) .6 Un preso que se fugo es buscado por la policía.20. 3. 0.10.30 y 0. Graficamente una partición del espacio muestral se observa de la siguiente forma: S 2 E Fig. S = {ss.30 . 0. respectivamente. Dichos eventos sí forman una partición de S. 0.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJEMPLOS 3.20 . 2.. E = {aa} . P(C ) = 0. EJEMPLO 3. as.25 y 0. P (C ) = 0. Por las condiciones policíacas de cada una de las ciudades a las que puede llegar las probabilidades. C . 0. TEOREMA 3.15 Como podemos notar tendremos tantas ciudades como caminos. son. 0. de que pueda ser atrapado. E una partición de S. as} .15. 28 5 4 3 2 1 n 7 E 5 E 6 4 E E . los cuales puede elegir con las probabilidades. Del ejemplo anterior. ¿cuál es la probabilidad de que la detención se efectuará en la ciudad número 2? Empleando la simbología anterior y el Teorema de Bayes tendremos: 2 2 2 n n n k 2 2 k 1 2 1 1 k P (C | A) = 2 P (C ∩ A) P ( A | C ) P (C ) = P ( A) P ( A | C ) P (C ) + P ( A | C ) P (C ) + L + P ( A | C ) P (C ) 0.0 C 1 52.ELABORÓ EL DR.0 3 4 C C 5 C C 1 01. la suma de probabilidades por vértice sigue siendo uno.30 + 0.20 . con k = 1.40 .10 × 0. 1 P ( A | C ) = 0. P( E | A) = P( A | E ) P( E ) + P( A | E ) P( E ) + L + P( A | E ) P( E ) EJEMPLOS 3.245 5 5 2 2 1 1 = 2.25 + 0.Trace el diagrama de árbol del ejercicio anterior.. 5 4 5 4 3 2 c A c c A c 07.40 × 0.15 = 0.0 29 ..10 + 0. puesto que nos estamos restringiendo a la ocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos. P ( A | C ) = 0.0 02. las probabilidades son: 3 2 c A 09.0 2 P ( A | C ) = 0. tendremos que para ser atrapado en la ciudad k.10 × 0.0 08.20 + 0.0 03. Por lo tanto.30 × 0. 2.10 . Explicación del diagrama de árbol: El vértice inicial tiene 5 caminos.0 04. E .0 03. En la parte de arriba en el otro vértice en cada caso se trazan otros dos caminos. P ( A | C ) = 0. K . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Simbolizando por A el evento: “El fugitivo es atrapado”. P( A | C ) = 0.20 . 5 primero debe huir por el camino k.30 y P( A | C ) = 0. Se tienen entonces las probabilidades condicionales: P ( A | C ) = 0.20 × 0. 4.245 5 5 2 2 1 1 TEOREMA 3. E una partición de S.0 01. En cada uno de ellos se anotan sus probabilidades de ser elegido (observe que la suma de los 5 es uno).40 × 0.0 A A A A A A A 06.40 . P ( A | C ) = 0. y el otro para su complemento. entonces para cualquier evento k de la partición tendremos que: P( A | E ) P( E ) . De lo anterior se deduce que las segundas probabilidades son condicionales.30 = 0. si el fugitivo fue atrapado.0 06.0 51.0 04.10 .0 02.40 .7 1. uno para el evento A. P ( A | C ) = 0.122 0. finalmente por el Teorema de la probabilidad total resulta: P ( A) = P ( A | C ) P (C ) + P ( A | C ) P (C ) + L + P ( A | C ) P (C ) = = 0.3 Teorema de Bayes Si S es un espacio muestral A un evento en S y E . 3.30 y P( A | C ) = 0.40 . . P ( A | C ) = 0.)41 .25 y P(C ) = 0..15 .ameroet le acilpa es ednod ne lanoicidnoc dadilibaborp anu euq sám se on seyaB ed ameroet lE -.?sedadilibaborp ed nóicacilpitlum al ed alger al eneitbo es otpecnoc éuq ne esab noC¿ -.80 .? lareneg ne secnotne .20 .)51 ?lartseum oicapse le se nóinu ayuc setneidnepedni sotneve ed otinif otnujnoc nu somenet odnauc nacilpa nedeup es .atelpmoc nóiccepsni anu rop nasap soneub solucítra sol sodot ed y sosoutcefed solucítra . rop aíratneserper es dadilibaborp us .)8 .?atelpmoc nóiccepsni anu rop ósap euq odad osoutcefed aes olucítra nu euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .sotneve sert arap nóicacilpitlum al ed alger al azilobmiS -.)3 .30 .sosoutcefed nos sodicudorp solucítra sol sodot ed rasap nebed euq sol egocse rosivrepus nu .)01 ?dadilibaborp ed rolav omsim le renet y setneidnepedni e setnerefid B y A sotneve sod res nárdoP¿ -.onu aes erpmeis amus ayuc salleuqa .?roiretna otneve led otnemelpmoc led dadilibaborp al aíratneserper es omóC¿ .sairatnemelpmoc sedadilibaborp rop odneidnetnE .B a odanoicidnoc átse A y setneidneped sotneve nos B y A iS -.70 y P( A | C ) = 0.)7 .0 ed se euqoviuqe es siuL euq ed dadilibaborp al iS .)31 .)61 . P ( A | C ) = 0.?setneyulcxe etnemautum nos néibmat¿ setneidnepedni nos areiuqselauc sotneve sod iS -.50.)6 .)1 EJERCICIOS P( A | B) Con estos datos y el diagrama de árbol podemos calcular fácilmente cualquiera de las probabilidades requeridas.oiciruaM y siuL . P ( A | C ) = 0.setroper ed odoirep etneiugis le ne neuqoviuqe es sobma euq ed dadilibaborp al aluclac .)2 . P (C ) = 0.)21 P( A B ) = P( A) < < .serodartsinimda 2 eneit oigitserp narg ed aíñapmoc anU -.0 led se agah ol oiciruaM euq ed y 30. P( A | C ) = 0. 5 c y sus complementos respectivos: Igualmente tenemos la primera ramificación con probabilidades: P (C ) = 0.90 .)11 .setneyulcxe etnemautum sotneve sod nos B y A iS¿ -.?setneidneped sotneve sol ne atsé ed soluclác sol arap dadilibaborP ed etneirroc ed opit le amall es omóC¿ -.serodartsinimda sobma a aerat amsim al ajed etnereg le .60 .)5 .sobma ed soenórre setroper sol ne aicnednepedni enopus eS .?setneidnepedni nos néibmat¿ setneyulcxe etnemautum nos areiuqselauc sotneve sod iS -.latoT dadilibaborP al ed ameroeT le racilpa edeup es sotneve ed sopit euq nE -.)4 . P (C ) = 0.aserpme al ed soreicnanif setroper sol obac a navell es odnauC .10 .60 . P(C ) = 0..)9 ?oirotaela otnemirepxe nu ne ozalpmeer noc nóiccartxe al y sotneve ed aicnednepedni al ertne etsixe nóicaler éuQ¿ -.atelpmoc nóiccepsni anu rop sol sodot ed .nóiccudorp ed aeníl anu ed lanif la nagell solucítra sol odnauC -.seyaB ed le y latot dadilibaborp al ed sameroet soL¿ -. 5 4 3 2 4 c 3 c 20% 10% GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 60% 30 1 2 c 1 c . 1 ) B ( P 0 eserédisnoC ?sairatnemelpmoc ) c B | A ( P y )B | A ( P sedadilibaborp sal noS¿ -.?setnednecsa sonimac sus ne satsé nos omóc¿ sedadilibaborp ed lobrá ed amargaid nu nE -. recnác ratceted arap ocinílc oidutse nu odaerc ah atsirotarobal nU -.2 aserpme al . 1 . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ C E C E C C C C C 31 .0 .le euq artneucne es .01 oñamat ed artseum anu anoiccepsni e amot olle arap y .aroh adac aniuqám al rasiver arbmutsoca rotcudorp lE .)71 c).guS .etnemavitcepser nos setnasrucnoc sol ed areiuqlauc rop .sosac sobma ne ellaf abeurp al euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .0 .0 y 5.)a .0 .sosac sol ed %1 le ne dademrefne al neesop euq odnacidni . 2 .02.sotcefed noc nelas %5 le etnemraluger euq sol ed solucítra ecudorp aniuqám anU -.sonimac 4 ed onugla rop orto a omertxe nu ed ri ne etsisnoc ogeuj nU -.a).apmart al ne eac anosrep al iS -.)a ne adaluclac dadilibaifnoc al noc sodazilaer 4 sonem la netluser recnác ed socinílc soidutse 01 setneiugis sol razilaer la euq ed dadilibaborp al eluclac .)22 .recnác ed ocinílc oidutse nu arap opurg led sanosrep 01 a etnemairotaela negile eS -.recnác etnemlaer eneit %02 le olós selauc sal ed sanosrep ed opurg narg nu a animaxe eS .?omrefne onas le y onas átse omrefne le euq etnemaenórre euqidni abeurp al euq .aroh arto ejabart aniuqam al euq etimrep secnotne .53.)asiveleT y acetzA VT( 2 y 1 .savisivelet saserpme sod olós netsixe ocixéM ed daduic al ne euq esagnópuS -.?10.savitisop sarutcel nartseum néibmat sonas soudividni sonugla odotém etse noc .ELABORÓ EL DR.0 .se otse .apmart anu eneit onimac adaC .raza la nóicamargorp al ecah rodartsinimda le y .)salucílep 01( C y )salucílep 4( B .?setebaid ed omrefne dadilaer ne étse etnemavitisop enoiccaer euq y raza la odigele etneicap nu euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .)c ? 2 onimac le odigele ayah euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .4.)salucílep 6( A senoicacifisalc noc setnerefid salucílep 02 redop us ne eneit salas 3 ed der anu ed rodartsinimda lE -.?anosrep alos anu arap ocinílc oidutse led dadilibaifnoc al se láuC -.)a osicni le ne adaluclac dadilibaifnoc al núgeS -.0 a laugi o ronem aes agneted es on aniuqám al euq ed dadilibaborp al %1 la laugi se sosoutcefed ed daditnac al is euq rarugesa arap .5.adanimreted aroh anu ne setnedivelet sol ed %53 le eneit 1 aserpme aL .a).?sosoutcefed solucítra ed %01 nu ecudorp ohceh ed odnauc odnanoicnuf agis aniuqám al euq a aczudnoc ol ametsis etse euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .79 nu ne odatreca se euq odnatluser .secev ed daditnac narg anu óborp es oidutse etsE .apmart al ne eac anosrep al iS -.0 y 03.)12 ?recnác noc odatluser nu ertseum salle ed anu etnematcaxe euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .sonertse ed anames anu ed séupseD .setneyulcxe etnemautum nos sonimac sol euq etoN .onas onu y omrefne onu .roditepmoc us euq sartneim .setneicap sod nanoicceles es iS .)a .alas adac rop setnerefid salucílep 2 natceyorp es saíd 01 ed odoirep nu ne nóicartsinimda al ed sacitílop rop iS .adanoiccepsni artseum al res ebed oñamat éuq eD¿ .)b .0 .ograbme nis .%56 etnatser le eneit .setneicap sod nanoicceles es iS .saíd 01 setneiugis sol ne ratceyorp arap .)02 .guS .solle ed onugla rigele ed savitcepser sedadilibaborp sal .onas onu y omrefne onu .aroh ahcid a setnedivelet ed oremún us ratnemua araP .eneit ol is euq acidni oidutse le recnác eneit on anosrep al odnauc sosac sol ed %3 nu ne acoviuqe es néibmat ograbme niS .6.51.b).0 .amrefne étse anosrep anu euq ertseum ocinílc oidutse le euq ed dadilibaborp al eluclaC .setebaid al arap odipár ocitsóngaid ed odotém nu etsixe euq agnopuS -.recnác ed amrefne etnemlaer átse anosrep al odnauc sosac sol ed %5.sosoutcefed solucítra eneitnoc on artseum al iS .apmart al ne agiac etnasrucnoc omixórp le euq ed dadilibaborp al se láuC -.somrefne setneicap ed sosac sol ed %59 le ne sovitisop sodatluser navresbo es euq ed dadiralucitrap al noC .)91 .)81 ?C opit led euf 3 alas al ne salucílep sod sal ed nóicangisa al euq odad B opit led naes 2 alas al ne salucílep sod sal .)c .onertse ed salucílep rartsom a azneimoc 1 aserpme al .dademrefne al eneit on dadilaer ne odnauc anas átse euq ertseum euq y dademrefne al eneit dadilaer ne odnauc .)b .? 3 le o 2 onimac le odigele ayah euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .etnemavitcepser nos apmart al ne reac ed sedadilibaborp sal .A opit naes onu alas al ne salucílep 2 sal ed nóicangisa al euq ed dadilibaborp al se láuC¿ . 4 y 3 . )62 .)82 .salle ed anu sonem la odíartnoc ah euq odad .0 ed .0 ed se .)b ?larobal adiv us etnarud setnedicca narruco on osergni oveun ed sorerbo sert ed opurg nu ne euq ed yah dadilibaborp éuQ¿ -.otseuper ed arto al y odnajabart anu .8.etsé edrat agell is orep .%01 le euf olós soña 22 ed seronem rovaf us a setnatov sol sotadidnac sorto sol a otcepser noc euq sartneim .57.ograbme nis .latigiD etnatser le y qapmoC 07 .59.solle ed olós onu noc esradeuq arap nóisiced anu ramot ereiuq y seroditraper sod eneit aserpme anU -.1 aserpme al a nóicamargorp ed naibmac 2 aserpme al ed setnedivelet sol ed %52 le euq sartneim .xoF ed rovaf a ótov anosrep atse euq ed lanoicidnoc dadilibaborp al ertneucnE .09.savitisop sarutcel nartseum néibmat sonas soudividni sonugla odotém etse noc .recA acram al ed 05 etnemairotaela áritrus es .aserpme al áridepsed seroditraper sod sol ed lauc a senoicidnoc satse nE .larobal adiv us etnarud etnedicca nu olós árirfus acirbáf atse ne rajabart a nasergni seneiuq ed %01 le euq enopus eS .setnatov ed nóicalbop atse ed raza la dade ed soña 02 ed anosrep anu egocse eS .)52 ?qapmoC acram al ed aes arodatupmoc ahcid euq ed dadilibaborp al se láuc¿ III muitneP arodatupmoc anu etnemairotaela egile .etneidnepedni se otneimanoicnuf us y 01.acirbáf anu ed sorerbo sol ne senumoc nos setnedicca ed opit otreiC -.elbatop auga le aebmob es acavanreuC ed daduic al ed laicnediser otneimanoiccarf nu nE -.)13 .0 ed odidep remirp la lautnup nóicneta ed dadilibaborp anu eneit 1 roditraper lE .)a .soña 22 ed seronem noreuf xoF ed rovaf ne setnatov sol ed %06 le euq atroper eS .setneidnepedni nos sorerbo ertne setnedicca ed aicnerruco al euq eredisnoC .adiv us ne zev anugla I dademrefne al áreartnoc nóicalbop al ed %03 euq enopus eS .sabma áreartnoc y II dademrefne al etnemlautneve áreartnoc %02 .”ibmoc“ o ”súborcim“ olós etnatser %02 le y ortem led osu necah %08 onabru etropsnart led soirausu sol eD .omuh yah iS .omuh yah iS .onabru etropsnart led osu ecah atsivertne es euq rodajabart le iS .)03 .0 ed odidep remirp le opmeit a ravell ed dadilibaborp anu eneit 2 roditraper le euq sartneiM .oiporp livómotua etnatser le y ojabart us a ragell arap onabru etropsnart led osu necah serodajabart sol ed %07 le ocixéM ed daduic al ne euq odavresbo ah aeS -.)92 .0 ed se opmeit a eugell etneiugis la euq ed dadilibaborp al odidep us ne opmeit a agell on iS .B ovitisopsid le rop y 8.0 se ellaf sabmob sod sal ed areiuqlauc euq ed dadilibaborp al iS .setebaid al arap odipár ocitsóngaid ed odotém nu etsixe euq agnopuS -.sodidep 3 ne opmeit a redneta ed dadilibaborp royam al agnet euq le noc áradeuq es euq ediced y .auga nis nedeuq es otneimanoiccarf led setnatibah sol odanimreted aíd nu ne euq ed dadilibaborp al eluclaC .)32 ?sanames sod ed séupsed avisivelet aserpme adac ne eneitnam es setnedivelet ed ejatnecrop éuQ -.III muitneP sadot nos latigiD sal euq sartneiM .57.)42 .sovitisopsid sod azilitu omuh ratceted arap ametsis nU -.III muitneP 05 y II muitneP nos 02 qapmoC sarodatupmoc sal a otnauc nE .nóicalbop atreic ed etneg al ertne senumoc nos II y I sedademrefne saL -.)b ?anames anu ed séupsed avisivelet aserpme adac ne eneitnam es setnedivelet ed ejatnecrop éuQ -.III muitneP 02 y II muitneP nos recA sarodatupmoc sal ed 03 .)72 .sovitisopsid sobma rop odatceted aes euq ed dadilibaborp al ertneucne .nóicamargorp us ne eugis 1 aserpme al ed setnedivelet ed %09 3% GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 32 .B y A .A ovitisopsid le rop odatceted aes euq ed dadilibaborp al .)a .sacisáB saicneiC ed efej le iS .”ibmoc“ o ”súborcim“ ed osu agah olós euq ed dadilibaborp al eluclac .?zev anugla setnedicca sám o sod nagnet sorerbo sol sodot opurg omsim etse ne euq ed yah dadilibaborp éuQ¿ -.sedademrefne sabma agiartnoc le nóicalbop atse ed raza la adigele anosrep anu euq ed dadilibaborp al eluclaC .0 ed se opmeit a eugell is etneiugis la euq ed dadilibaborp al .setnedicca sám o sert árirfus %3 le y setnedicca sod árirfus %51 le .sabmob sod neneit es otcefe lat arap .xoF ed rovaf a ovutse setnatov sol ed %44 le anacixeM acilbúpeR al ed etnediserP arap sadasap senoiccele sal nE -.somrefne setneicap ed sosac sol ed %59 le ne sovitisop sodatluser navresbo es euq ed dadiralucitrap al noC .etnemetneidnepedni najabart euq .sotnematrapeD sus arap sarodatupmoc 051 ed ASCIIPU al ed etrap rop odidep nu ne euq esagnópuS -.%3 le ne dademrefne al neesop euq odnacidni . sedaduic sal ne sotcudorp sus adnev euq ed dadilibaborp aL .soneub solucítra ed ejatnecrop le euq sartneim .oneub aes euq ed dadilibaborp al eluclac . ed dadilibaifnoc anu eneit dademrefne atreic racitsongaid arap abeurp anu euq amrifa eS -.I aeníl al ed eneivorp le .%03 .0 ed se aenórre acinófelet adamall anu sonem la abicer ocixéM ed daduic al ed asac ed ama anu aíd nu ne euq ed dadilibaborp aL -. 4 y 3 .)33 ?sodiuges saíd sod aenórre acinófelet adamall anu sonem la abicer daduic al ed ortnec le ne eviv euq aruaL aroñes al euq ed dadilibaborp se láuC¿ -.II aeníl al ne odarobale ayah es odigocse olucítra le euq ed dadilibaborp al eluclaC .rotceted le odacoviuqe etnematelpmoc étse euq ed dadilibaborp al se láuC¿ -.%03 y %05 .)b .)a .etnemavitcepser .?setebaid ed omrefne dadilaer ne étse etnemavitisop ónoiccaer euq y raza la odigele etneicap nu euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .9.)23 .III aeníl al ed y II aeníl al ed .dademrefne al eneit euq acidni ocitsóngaid le y nóicalbop al ed raza la anosrep anu egocse es iS .?sosohcepsos sobma arap o sod sol ed areiuqlauc arap avitisop arutcel anu ertseum rotceted le euq ed dadilibaborp al se láuC¿ -.riced se .?sosohcepsos sod sol arap avitisop arutcel anu ertseum rotceted le euq ed dadilibaborp al se láuC¿ -.elbapluc se salle ed anu olós ohceh ed y .anosrep alos anu rop odatuceje euf euq .?elbapluc le arap avitagen arutcel anu y etneconi le arap avitisop arutcel anu euqidni euq .nóitseuc ne dademrefne al eneit nóicalbop al ed etnemaloS .I aeníl al .dademrefne al eneit anosrep al is .)a .%51 y %52 . 01.soneub nos le III aeníl al ed y soneub nos le néibmat II aeníl al ed .)b ?dademrefne al agnet etnemlaer euq ed lanoicidnoc dadilibaborp al se láuc¿ -. 1 sedaduic ortauc a etnemetnatsnoc odnajaiv ratse euq eneit satnev ed etnega nU -.%09 la royam aes rotceted led dadilibaifnoc al euq ne osac le ne olós .adilav abeurp anu omoc rotceted la raredisnoc ediced osac led zeuj le iS -.riced se .oneub res atluser y airaid nóiccudorp al ed raza la olucítra nu egocse eS -.)73 1% 90% .acirbaf atreic rop etnemairaid sodicudorp solucítra sol eD -.)anas átse anosrep al is( 9.)d .%04 .nóisivelet al ne etneidnopserroc oicnuna nu ev 5 ed onu y atsiver anu ne oicnuna otreic ev otcudorp nu ed selaicnetop serodarpmoc 05 ed onu etnemadamixorpa euq ed atneuc ad es dadicilbup ed aicnega anU -.dademrefne al eneit %03 le ednod ne ednarg yum nóicalbop anu ed anosrep anu a aidutse es ocitsóngaid le raborp arap euq esagnópuS . rop sodicudorp nos euq odad .setneidnepedni nos aíd rop saenórre sacinófelet sadamall sal euq eredisnoC .1 arpmoc ol .0 ed dadilibaborp anu noc eneit al on euq áracidni néibmat abeurp aL .)43 .?otcudorp le erpmoc raza la odigocse laicnetop rodarpmoc nu euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .)b ?sadamall satsé ed 3 óibicer reya euq odad aenórre acinófelet adamall anu yoh ed aíd le abicer daduic al ed ortnec le ne eviv euq aruaL aroñes al euq ed dadilibaborp se láuC¿ -.oicnuna le otsiv nah on euq 01 adac ed y .etneim anosrep al odnauc sosac sol ed %59 ne y dadrev al ecid anosrep al odnauc sosac sol ed %01 ne )aritnem anu acidni . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 30% 80% 80% 30% 90% C C C 40% C 33 .%02 ed satisiv ed ejatnecrop nu noc .0 ed dadilibaborp anu noc dademrefne al áratceted abeurp al .soicnuna sod sol ev neic ed onu .otiled nu oditemoc rebah ed sanosrep sod ed ahcepsos es euq agnopuS .riced se( avitisop arutcel anu artseum saritnem ed rotceted nU -.sosac sol ed ELABORÓ EL DR. 2 .)53 ?adilav abeurp anu omoc saritnem ed rotceted la zeuj le áraredisnoc¿ senoicidnoc selat nE .%04 led se etnemavitcepser .oicnuna le otsiv ah is otcudorp le etnemlaer arpmoc 3 ed onu .?elbaifnoc se abeurp atse euq aíriD¿ -.)63 ?2 daduic al a ojaiv nóisaco atse ne euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .)b .)c .sotcudorp sus odidnev ah etnega le daduic anu ed raserger ed séupseD .)a .)a le se .airaid nóiccudorp al ed raza la olucítra nu egocse eS -. ?luza roloc ed aes livómotua ohcid euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .)%06 orto le ne A azilitu es( sosac sol ed %04 le ne etnemalos azilitu es ose rop y sám atseuc B .avitagen ótluser 02 sal ed raza la adigocse atseupser anU .saicnatsnucric le euq sartneim .)b -.nóicatropxe ed le arap 03 y onretni odacrem le arap 02 etnemairotaela náritraper es WV selivómotua 05 ed etol nu ne euq esagnópuS -.luza datim arto al y ocnalb roloc ed nos onretni odacrem led selivómotua sol ed datim al euq sartneim .lairtsudni dadilibah atreic serodajabart sol a rañesne arap B y A sodotém sod netsixE -.ograbme niS .ocnalB .nóicatropxe ed livómotua nu etnemairotaela egile etnereg le iS ?nóicatropxe ed aes livómotua ohcid euq ed dadilibaborp al se láuc¿ .luzA B .etnematcerroc olrednerp argol on orep sodotém sod sol ed onu núges rodajabart nu a ónertne eS .sanosrep 02 ed opurg nu abeurp a óitemos eS .B arap y A arap se sosacarf ed ejatnecrop lE .? A odotém le noc otneimanertne le odibicer ayah euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .ocnalb roloc ed nos nóicatropxe ed selivómotua sol ed zeiD .ocnalb roloc ed livómotua nu etnemairotaela egile etnereg le iS 05 03 02 selatoT 03 02 01 E onretxe odacreM 02 01 01 I .senoiccaer sus rirbucsed arap oiranoitseuc nu ratsetnoc óidip sel es y .luza roloc ed 02 sorto sol y . led etnemalos se serbmoh sol ne ejatnecrop .)a .?erbmoh nu rop adatsetnoc odis ayah euq ed dadilibaborp al se láuC¿ .)83 20% 70% 10% 40% GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 34 -.)93 .serbmoh 5 y serejum 51 .onretni odacreM selatoT A .)04 .saicnatsnucric sahcid ne etnemavitisop nanoiccaer serejum sal ed satreic ne etnerefid arenam anu ed nanoiccaer serejum sal y serbmoh sol euq odavresbo ah eS -. y R ⊂ R . en donde R. Sea S el espacio muestral del experimento. 4. NOTA Las Variables Aleatorias Discretas tienen cabida cuando la variable del experimento es tal que se requiere de un conteo para determinar sus elementos. Y. Los elementos del rango de una variable aleatoria generalmente se representan por letras minúsculas correspondientes a la variable aleatoria.1 VARIABLES ALEATORIAS Definición 4.2 Dado un experimento aleatorio y X una variable aleatoria de éste con rango R . llamaremos a X “Variable aleatoria discreta”. cuya imagen es x.ELABORÓ EL DR. X X X X :S a R X X :S a R S e x Contradominio o rango Dominio Fig. vad.1 Representación gráfica de una variable aleatoria. representa al conjunto de los números reales. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 4.2 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Definición 4. 35 X X X R . Veamos su representación gráfica. X (e) = x representa a la función X evaluada en el elemento muestral e. De tal manera que: X (e ) = x representa la asignación del número real x al punto muestral e.1 Dado un experimento con espacio muestral S. o lo que es lo mismo con el lenguaje de funciones. 4. X. generalmente a las variables aleatorias se les simboliza por las letras mayúsculas. Por lo tanto: representa a la función cuyo dominio es S y rango R . cuando el conjunto R resulta finito o infinito numerable. Z. etc. y sus elementos por las letras minúsculas correspondientes. En la Teoría de Probabilidades. llamaremos variable aleatoria del experimento a la función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. 1] p : R a [0. Ver Fig. k 36 . se define como: “La cantidad de lanzamientos hasta obtener una primer águila”.2. K} . con rango igual a R = {x . como: “La cantidad de extracciones sin reemplazo necesarios para encontrar a los tres artículos defectuosos de la muestra”. conjunto finito. 2). 1. como: X k k n 2 1 X Observamos que p ( x ) debe cumplir con las siguientes condiciones: k a) b) p( x ) ≥ 0 para toda k. 4. podemos definir a la variable aleatoria X.2 1). Por medio de diagramas de Venn podemos ilustrar a La Función de Probabilidad. ≥ k ∑ p( x 1 k ) = 1 . 5..Al analizar una muestra de 10 artículos entre los cuales existen 3 defectuosos..GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJEMPLOS 4. y la variable aleatoria X. 4. 4. Definimos en todos los reales a la Función de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X. R = {3. Tendremos que esta variable es discreta y su rango es: X R = { 2. 6. las probabilidades siempre son mayores o iguales a cero. La suma de todas las probabilidades siempre debe de valer uno. conjunto infinito numerable. si x ∈ R p( x ) = si x ∉ R 0. x . Con frecuencia a partir de la función de probabilidad se introduce una definición más Distribución de Probabilidad. X X :S a R S e Fig.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Definición 4. x } (puede ser infinito numerable).2 Representación gráfica de la función de probabilidad con el espacio muestral y la variable aleatoria correspondiente.2. 4.3 Dado un experimento y una variable aleatoria discreta X en él. la X k x [0.Si el experimento consiste en lanzar una moneda.1] X k k X P ( X = x ). 8. 4. 7. 9}. K . 3. 3 3 es decir. p( x ) = . 8 p (0) = P ( X = 3) = X 1 8 . x } (puede ser infinito numerable). para todos los reales x. Por otro lado. para toda x ∈ R .5 Sea X una variable aleatoria con rango R = {x . en donde cada salto representa la probabilidad del punto de discontinuidad a la derecha. tal que: k A partir de la definición de F (x ) .3 Analicemos el ejemplo relativo al lanzamiento de tres monedas. . 2. X: “Representa la cantidad de águilas en el lanzamiento de las tres monedas”. para toda x ∈ R k < . n n 2 2 1 1 X X Otro concepto probabilístico de importancia es la función de distribución acumulada. y. llamaremos distribución de probabilidad. K . )c EJEMPLOS 4. Se deducen fácilmente de las propiedades a) y b) de las → +∞ x funciones de probabilidad.4 Sea X una variable aleatoria con rango R = {x . 3} .p ( x ) ≥ 0. La gráfica de F (x ) es una función escalonada. para otro valor 37 X k ) k x (p =∑ k . es decir. y función de probabilidad p (x) llamaremos función de distribución acumulada (fda) de X. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Definición 4. x } (puede ser infinito numerable). lím F ( x ) = 0 y → −∞ x lím F ( x) = 1 . Está claro que R = {0. x . tal que se cumple: 2. y función de probabilidad p (x) . En donde. para x = 0. 2 8 0. a la función positiva y no decreciente definida en todos los reales y discontinua en cada punto x ∈ R . fácilmente se deduce que: y x F (x ) es una función no decreciente. entonces )b )a . 1. K .ELABORÓ EL DR. x . Definición 4. si F ( x) ≤ F ( y ) . las probabilidades para los valores de X son: 1 8 1 1 1 3 p (1) = P ( X = 1) = + + = 8 8 8 8 1 1 1 3 p ( 2) = P ( X = 2) = + + = 8 8 8 8 1 p(3) = P( X = 3) = . p( x ) ) . X k k X )x ( F k k X k 1. para toda x ∈ R k ∑ p( x k ) =1 y x ≤ x. para x = 1. al conjunto de parejas ( x . NOTAS • En la gráfica de la función de probabilidad los segmentos verticales son simbólicos. puesto que en caso contrario no se trataría de una función. en forma 38 X 3 2 1 0 X 6.0 2. si 2 ≤ x < 3 1. si 0 ≤ x < 1 8 4 F ( x) = . si 3 ≤ x Fácilmente se comprueba que se cumplen las condiciones anteriores. del lanzamiento de las tres monedas. y se calculará por: n 2 1 X E ( X ) = ∑ x p( x ) 1 k ≥ k k NOTAS 1 El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es un parámetro de dicha variable. será: 0. 4. x }. Ver figura siguiente. si x < 0 1 . p (x) 6. a la cantidad que denotaremos por E ( X ) o µ . y función de probabilidad p (x) .3 Representa las funciones de probabilidad (a) y fda (b).6 Sea X una variable aleatoria con rango R = {x .0 0 ° ° X (b) .5. El valor de la función está representado por el círculo negro.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Mientras que su función de Distribución Acumulada según la definición 4. muestran los valores de la probabilidad en dichos puntos de la variable aleatoria discreta. llamaremos valor esperado de X (o esperanza matemática de X). • Los saltos de discontinuidad en la función de distribución acumulada. 4. que representa el valor promedio que se espera suceda al repetir el experimento.4 VALOR ESPERADO DE UNA VAD Definición 4. y en los demás puntos vale cero.0 1 F (x) 1 ° ° 3 2 1 (a) Fig. K . si 1 ≤ x < 2 . x . respecto a la Función de Probabilidad y La Función de Distribución Acumulada. puede ser infinito numerable. 8 7 8 .0 2. mientras que el Promedio Ponderado es el resultado de una combinación aritmética entre ciertos datos.1 x XR b Xa b Y X X 2 X 1.Si realizamos un cambio de variable lineal = + .2 x . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ independiente. De lo mencionado. Puesto que. x . ) ) X (E X( V kx = ∑( 1 k − ) . pero que no necesariamente debe coincidir con alguno de estos valores. x .. tiene un rango infinito numerable. con pesos respectivos p ( x ). n 1 k = k k 4. una “gran cantidad de veces”. E ( X ) = ∑ x p ( x ) . Definición 4.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAD 2. Si la serie converge absolutamente. y función de probabilidad p (x ) . n 2 1 X 1 k n 2 n 1 ) X( V X ∑x ∞ p ( x ) < ∞ . p ( x ). Por lo que es necesario recurrir a otro parámetro que nos indique en cierta medida la variabilidad de los valores de la variable en relación con su valor esperado. debemos tener bien claro que E ( X ) y promedio ponderado de un conjunto de datos. 3 k k ∞ Cuando la variable aleatoria discreta X tiene un rango finito.8 En las condiciones anteriores llamaremos desviación estándar de la variable aleatoria discreta X. y calcularemos por medio de: ≥ ) k x (p 2 Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su variancia no coinciden (ésta última tiene las unidades cuadradas de la variable). entonces E (b) = b .ELABORÓ EL DR. se concluye que E ( X ) siempre es un valor intermedio de los R = {x . Definición 4.7 }. nx .4. Dado un experimento y una variable aleatoria discreta X en él con rango ={ puede ser infinito numerable. Sea = constante. K . el valor esperado es una = = k k serie. p ( x ) . K . x }. el valor esperado E ( X ) = ∑ x p ( x ) . se designa como valor promedio de X. x . 2 Cuando la variable aleatoria discreta X. 4. a la raíz cuadrada positiva de la variancia: σ = . Por otro lado. E ( X ) es un parámetro asociado a una variable aleatoria discreta X. x . se puede considerar como un valor medio ponderado de los valores de R .5 VARIANCIA DE UNA VAD Como es lógico suponer un sólo parámetro no es suficiente para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta. Llamaremos variancia de X a la cantidad que simbolizaremos con V ( X ) ó σ . se suele introducir otra definición en base a la raíz cuadrada positiva de la variancia. K . entonces E ( X ) 2 1 1 k 39 .- Valor esperado de una constante. en donde a y b son constantes el valor esperado de la nueva variable estará dado por E (Y ) = aE ( X ) + b . no son sinónimos. K . 1 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAD 1.4. Encuentre el valor esperado y la variancia de Y.961 = 3.29 2 2 2 2 2 2 ( ) − [E ( X )] 2 2.21 = 3.3 + (1)0.1) ) 0.5. = 3.1) ) 0.1) ) 0.814 = (−3) 0. con respecto al valor esperado de la variable aleatoria discreta X.6 + 0.29 La desviación estándar es igual a V (X ) = E X 2 2 2 2 1 k ≥ k Con la propiedad (2) el cálculo resulta más fácil. b La variancia de una constante vale cero.2 + 0. cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente.2 + (2) 0.29 = 1. Si = . 2.003 + 0.5 − 1.1 = 1. 4.1 = −1. 2 k 01 k 1 k ≥ 3.3 + 0.3 + (1) 0.De la definición de valor esperado de una variable aleatoria se deduce que : V ( X ) = ∑ ( x − E ( X ) ) p( x ) = E[ X − E ( X )] .1) = 1 3 x = p (x) − − 0.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD OBSERVACIÓN La variancia de la variable aleatoria discreta X es un parámetro positivo de dicha variable el cual representa el valor esperado de los cuadrados de las desviaciones que tiene cada uno de los valores x ∈ R .3.1 2 Xa 2 k Y 2 k 1 k X k k X 52 Y k X k 40 .4 Encuentre el valor esperado y la variancia de X.Sea ( y ..V ( X ) = ∑ ( x − E ( X ) ) p( x ) = (− 3 − ( −1. entonces V ( X ) = 0 . en donde a y b son constantes la variancia de la nueva variable estará dado por V (Y ) = a V ( X ) .2 2 ≥ Para los cálculos la varianza se obtiene como V ( X ) = E X c X ( ) − [E ( X )] .2 + (2)0.4 − 1.3 + (1 − ( −1..1 b). definida por = − .4 + (−1)0.E ( X ) = ∑ x p ( x ) = (−3)0.4 + (− 1 − ( −1.1) ) 0.4 1..3 1 0.Sea ( x .21 = 4. Si realizamos un cambio lineal de variable = + . p( y ) ) .444 + 0. según se muestra explícitamente: k k 0. a). la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Y.2 2 0.1 − (−1. EJEMPLOS 4.2 + (2 − ( −1. p( x ) ) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X. .882 + 0.4 + (−1) 0. 56 Finalmente la variancia de Y resulta: V (Y ) = 25 V ( X ) = (625)3. 2). E ( X ) = ∑ x p ( x ) = (1)0.Al sumar todas las probabilidades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X.05 = De la tabla de distribución y las fórmulas para el valor esperado y la variancia podemos calcular éstas directamente.8 + 5..20 90 4 0.80 ≥ k k Por tanto.25 165 7 0. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Y=y p ( y ) = p ( x ) ..20 + (4)0.. simplificaríamos los cálculos ya que E (Y ) = E (25 X − 10) = 25 E ( X ) − 10 .15 + ( 2) 0.¿Podrán ser negativos los valores de una variable aleatoria? 3). 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1)..8) = = 0.17 .25 + (7)0. V (Y ) = a V ( X ) ..Al sumar todas las probabilidades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X.15 + (2)0. E (Y ) = 25 E ( X ) − 10 = (25)3.44 = 18 − 14.35 + (6)0.56 = 2225 .6 + 9 + 2.44 = 3.. V ( X ) = E X − [E ( X ) ] = (1) 0. 9).. el resultado debe ser igual a. y = 25 x − 10 x 15 1 0.Los valores de una variable aleatoria discreta se obtienen por medio de .ELABORÓ EL DR.45 − 14.15 40 2 0. Por lo anterior es suficiente encontrar el valor esperado y la variancia de la variable aleatoria discreta X.35 140 6 0...La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del.8 − 10 = 85 .. 8). Mientras que su desviación estándar será: σ = V (Y ) = 25 V ( X ) = 47.2 + (4) 0. 5). De forma similar para la variancia.05 = 3..¿Podrá ser negativa la variancia de una variable aleatoria discreta? 10)..¿Qué representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta? 6)..15 + 0.05 − (3.. el resultado es igual a: 41 01 X 52 Y Y X 1 k . Pero de la relación = − .¿Qué diferencia existe entre una función de probabilidad y una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X? 4).¿Cómo es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta en los valores de ésta última? 7)..25 + (7) 0.35 + (6) 0.¿Qué representa el valor esperado de una variable aleatoria discreta X? ¡No se pide definir al valor esperado!... .Menor a uno d).1( x + 1). respectivamente. ¿Qué prima tendría que cobrar la compañía de seguros por una póliza anual.Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una probabilidad de 1 3 y 2 3 .Una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.. 1.001 y una pérdida del 50% con una probabilidad de 0. Encuentre cuántos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día determinado. en una fábrica. 1. Se elige una muestra de 3 aparatos y sea X la variable aleatoria que asigna La cantidad de aparatos defectuosos en la muestra. Si un auditor verifica tres asientos al azar: Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error. para salir a mano con todas las pólizas de $20. Si el alquiler en un día es independiente del alquiler en cualquier otro día. se da cuenta de que un equipo costoso es arrendado en promedio. b).9 y 0. puede sufrir una pérdida total en un año con una probabilidad de 0. 15).4 Le cuesta a la fábrica $90 pesos cada vez que se utiliza tal herramienta. en una cierta fábrica es de 12 aparatos.Un cliente potencial para una póliza de seguro por $20. 11).1 0.000 (dólares) con probabilidades de 0..El gerente de un almacén. 12). a).Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros.. 2. las compañías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables.5 0.La producción de artículos domésticos por día.Una representación de los eventos.Una asignación de probabilidades para los elementos muestrales. 3 f ( x) = con x ≠ 0. cuya función de probabilidad está dada por: 0. c). Supóngase que los empleados de una compañía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces.. Encuentre la media y la variancia del costo diario para el uso de tal herramienta. Encuentre la media y la desviación estándar de las ventas diarias. de acuerdo con la experiencia.. que representa: “El número de días entre dos alquileres”. 2.000 de este tipo. encuentre la distribución de probabilidad para X..Cualquier valor entre 0 y 1. d). 42 . con x = 0... 3 0.01.000 (dólares) tiene una casa en un área que. Determine la función de probabilidad de X. ha construido la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria (número de veces utilizada) para una herramienta en particular.Una agencia de alquiler que arrienda equipo pesado por días.b). solamente un día de cinco. 17). 18). de los cuales hay dos defectuosos. 16).. Cada entrevista tendrá como resultado una “no venta” o “una venta” de $50. Obtenga la distribución de probabilidad para las ventas diarias.Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un día se quejan por el servicio de una tienda. x 0 1 2 P ( X = x) 0.1.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD a). 13). 14).Una representación del espacio muestral.En los siguientes incisos indica cuál de ellos describe a la definición de una variable aleatoria. ignorando todas las otras pérdidas parciales?. Uno.- Depende de los valores de la variable X.. respectivamente. c). EJEMPLOS 4.. 2). Es decir si la variable X se define como: “Cantidad de artículos defectuosos”. Éxito y fracaso. Por consiguiente.. Definición 4.La probabilidad de éxito en una prueba es p y la de fracaso q = 1 − p .ELABORÓ EL DR. Uno de tales Modelos discretos que tiene mucho auge en los experimentos con pruebas independientes es el Modelo Binomial. Veamos algunos ejemplos en los que comprobaremos. 3).11 A la variable aleatoria X definida en un experimento binomial que representa la cantidad de éxitos en n ensayos de Bernoulli le llamaremos “Variable aleatoria Binomial”. Considerando a la variable aleatoria X: “Cantidad de radares que detectan el carro que viaja a gran velocidad”. cuando cumple con las siguientes condiciones: 1).99. Definición 4.5 Un sistema de 3 radares para detectar carros a gran velocidad se instala en una carretera. si la variable aleatoria definida en el problema trata o no de una variable de binomial. Calcule la probabilidad de que un carro que viaja a gran velocidad. Cada radar funciona independientemente con probabilidad de detectar un carro que viaje a gran velocidad igual a 0. existen muchos fenómenos probabilísticos discretos en donde las pruebas de los experimentos se consideran independientes. Determine que este experimento es de tipo binomial. y se mantienen constantes de prueba en prueba. Un éxito será cuando el artículo sea defectuoso.10 A cada una de las pruebas efectuadas en un experimento de Binomial les llamaremos Ensayos de Bernoulli.. NOTAS • Por éxito en un ensayo entenderemos el cumplimiento de la variable aleatoria. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD 4.El experimento consta de n (número finito) pruebas independientes. 43 . por dicha carretera. Definición 4.9 Un experimento aleatorio se llama Binomial.6 MODELO BINOMIAL En el estudio de La Probabilidad y la Estadística el concepto de independencia juega un papel muy importante. • Un experimento de Bernoulli se termina cuando ocurre la n-ésima prueba.Cada prueba tiene sólo dos resultados. no sea detectado. E ( X ) = np V ( X ) = npq P( X = k ) = C p q − .0 2019. 1. .1 0000. de las condiciones del problema se conserva constante de radar en radar e igual a 0.1 0000. para = y p = 0.1 0000.0 7199.1 11 ≤ ≤ 59.0 55.1 0000.1 9 2400. se emplea el Teorema 4.0 8639.0 0000.0 07.1 0000.k n P( X = k ) = C p q k k n − k = 0.0 1619.99. K .0 7027. n .0 4759. 1.1 8 4000.0 8238.0 0389. tal y como se muestra a continuación.1 0000. F ( x) = ∑ C p (1 − p ) Valores de p 14 05. 1. que sea detectado.0 k k n m X k(P Las probabilidades más comunes para calcular son: P ( X ≤ k ) .0 50.0 51.0 0499.1 0000.0 0000..0 56. = k n Función acumulada de la distribución Binomial.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Comprobación: Verifiquemos que se cumplen las propiedades de un experimento Binomial. n} X q =1− p ∑C n :árilpmuc y laimonib airotaela elbairav anu se X iS p q − =1 − 41 n x n . y los valores de p son: 0. 0. con distribución binomial.0 02.1 0000. como se muestra a continuación. 1. P ( X ≥ k ) y ejemplo. n osacarf y p otixé noc .0 9999.0 52.0 5399. esto es un éxito o un fracaso.0 5289.0 09.0 9817.0 04.0 5953.1 0000.0 3179. ) 4.0 8103.El éxito.0 1188.0 1440.0 2900.0 7578.0 2069. 3.0 6999.Al pasar el carro a gran velocidad por un radar sólo puede ocurrir una de dos: que sea o no detectado. USO DE TABLAS BINOMIALES Las tablas binomiales están dadas para la función de distribución acumulada. k = 0..0 1253. 0.0 06.15.0 8799.0 01. Igualmente el fracaso es 0.0 9899.1 0000.0 54.0 9340.0 0887.0 0 k x k k n . R = {0.0 8999.. Por 44 .1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE LOS MODELOS BINOMIALES Y USO DE TABLAS BINOMIALES En forma general para calcular probabilidades de una variable aleatoria discreta X. p éxito de un ensayo y q el fracaso.0 2938.0 5852.10.0 3899.0 3775.0 08..60 . Por las condiciones del problema vemos que los ensayos son independientes. 0 k = k n k k n .0 7874.05.0 7111. Pero si el valor de n está entre 1 y 30. tendremos (ver valores en la tabla anterior): 0000.0 5641.1 01 1030.95.El experimento consiste de tres ensayos cada uno de ellos determina si el radar detecta o no al carro que viaja a gran velocidad.0 58.0 7149.1 0000.1 0000. podemos emplear tablas para la distribución acumulada de la binomial. K .0 6889.1.0 1699. K .0 7579.0 0000.0 0000.1 0000.1 0000.0 5100. 2.0 7999...6. 0.0 7266. en donde: k n con n cantidad de ensayos. .0 9155.01.0 1415.0 57.0 5977. Teorema 4.0 8514.0 53.0 03.0 4851.0 8446.0 4999.0 7640.0 5110.0 8921.0 8799.1 es secnotne .0 5912. 0297 0 3 3 3 1 2 1 )8( F )11( F X 2 3 0 3 1 3 )11 X 8( P c). 1.2793 1604.Valor esperado y variancia de X. valor esperado y variancia...ELABORÓ EL DR.7207 = 0.7207 = 0.99. 3} .01) = 0. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ a).01) = 0. • El segundo punto también ya se realizó puesto que en el ejemplo anterior. Considerando a la variable aleatoria X : “El número de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”. 45 .Aplicar las fórmulas correspondientes para el cálculo de probabilidades.... X : “El número de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”..0 1415. b).0 3 NOTA Para resolver problemas de modelos discretos se recomienda seguir tres pasos.7207 .01 resultará: P( X = 0) = C (0.000001 P ( X = 1) = C (0..99) (0.Del Teorema 4.. 2).Del Teorema 4. 1).7207 .. P ( X < 10) = P ( X ≤ 9) = F (9) = 0.99 y q = 0.P ( X ≤ 9) = F (9) = 0.0 2029. 2.1 para p = 0.029403 2 0 P( X = 3) = C (0. 3).99) = 2.2793 .99) (0.Definir a la variable aleatoria en estudio. • En este ejemplo el primer punto para la solución de problemas ya esta hecho. Determine a).01) = 0. con probabilidad de detectar a un carro que viaja a gran velocidad e igual a 0. b). Cada radar funciona independientemente. para X. P ( X > 9) = P ( X ≥ 10) = 1 − F (9) = 1 − 0.000297 P ( X = 2) = C (0.1 se obtiene: E ( X ) = np = 3(0. resultó que X tiene una distribución Binomial con R = {0. puesto que la variable ya se definió.97 V ( X ) = npq = 3(0.01) = 0.Identificar el modelo al que pertenece la variable definida. EJEMPLO 4.Distribución de probabilidad.970299 b).99) (0. • Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos: a).99)(0.- ≤ ≤ = − = − = .99) (0.01) = 0.6 Un sistema para detectar carros a gran velocidad consta de 3 radares que se instalan en una carretera.P ( X ≥ 10) = 1 − F (9) = 1 − 0. GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJERCICIOS 1 1).- La revisión aduanal se efectúa en el Aeropuerto aleatoriamente, de la siguiente manera: En la salida se encuentra un semáforo, si al pasar la persona se activa la luz roja se realizará la revisión; en caso de activarse la verde, el viajero sale tranquilamente sin revisión. La luz roja aparece con una frecuencia del 10% . Si se consideran 18 viajeros, ¿Cuál es la probabilidad de que: a).- 3 o más sean revisados? b).- menos de 5 sean revisados? c).- ¿Cuántos de los siguientes 100 viajeros se espera sean revisados? 2).- Si en general 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias físicas o mentales, a).- ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (por parte de padres alcohólicos) resulten, por lo menos 2 casos de nacimientos de niños con deficiencias físicas o mentales? b).- De los siguientes 20 nacimientos (por parte de padres alcohólicos) ¿cuántos se espera que no tengan deficiencias físicas o mentales? 3).- Una máquina produce generalmente el 5% de objetos defectuosos. Una muestra de 8 objetos se selecciona al azar, de la línea de producción. Si la muestra produce más de dos objetos defectuosos, se inspeccionará el 100% de la producción. a).- ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra la inspección? b).- ¿Cuántos objetos se espera que no estén defectuosos en una muestra de 50? 4).- De una población humana muy grande de la cual el 10% sufre diabetes se seleccionan 20 personas al azar. a).- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de estas personas sean diabéticas? b).- ¿Cuál es la cantidad de personas (de las 20 que se seleccionaron), que se espera sean diabéticas? 4.7 MODELO GEOMÉTRICO Definición 4.12 Un experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple con: 1.- El experimento consta de ensayos independientes. 2.- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso. 3.- La probabilidad de éxito en un ensayo es p y la de fracaso q = 1 − p , y se mantienen constantes de ensayo en ensayo. 4.- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo. Definición 4.13 A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento geométrico que representa a la cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito, se le llama “Variable aleatoria Geométrica”. 46 ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ EJEMPLOS 4.7 1).- Sí el 35% de la población, del D.F., está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas, para las elecciones del 2000, podemos definir a la variable aleatoria: X: “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que esté en favor del candidato”. 2).- Sí una máquina despachadora de refrescos arroja un poco más de 200 ml. por vaso derramándose el líquido en un 5%, de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria: X: “Cantidad de vasos despachados, hasta obtener el primero que se derramará” Simbolizaremos por G (k ; p ) = P ( X = k ) a la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo k. La formula para calcular las probabilidades de un Modelo Geométrico estará dada por el siguiente teorema. Teorema 4.2 G (k ; p ) = P( X = k ) = q − NOTA De la definición de variable aleatoria con distribución geométrica debemos de observar que el rango de la variable a diferencia de la binomial comienza en 1 y no termina, es infinito. EJEMPLO 4.8 Sí el 25% de la población, del D.F. está a favor del candidato Cuauhtémoc Cárdenas para las elecciones del 2000. a).- Encuentre la probabilidad que la primera persona que esté a favor del candidato Cárdenas, se encuentre después de la quinta persona entrevistada. b).- ¿Cuántas personas se espera entrevistar hasta encontrar la primera que esté a favor del candidato Cárdenas? • Primer punto, definiremos a la variable. X: “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que esté a favor del candidato”. • El segundo punto, clasificaremos el modelo. Cómo se vio en el ejemplo 5.5.2, resultó que X cumple con una variable Geométrica con p = 0.25 y q = 0.75 . 47 .k m y arap , k c).- 1 m P(m ≤ X ≤ k ) = q − −q arap , k b).- P ( X ≥ k + 1) = P ( X > k ) = q arap , k a).- P( X ≤ k ) = 1 − q k = 1, 2, L k = 1, 2, L ≤ m, k = 1, 2, L 2 E( X ) = 1 p V (X ) = 1− p p 1 k 1 k = = 1 k p k = 1, 2, 3, K , ∑ G (k ; p ) = ∑ q ∞ secnotne , ∞ − q =1− p osacarf y p otixé noc ,acirtémoeg airotaela elbairav anu se X iS 1 k p =1 soluclác sol arap GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD • Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos: a).- Del Teorema 4.2 inciso b) resulta: P( X > 5) = q = (0.75) = 0.2373 . b).- Del Teorema 4.2 resulta: E ( X ) = EJERCICIOS 2 1).- Sea una máquina despachadora de refrescos que arroja un poco más de 20 ml por vaso derramándose el líquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir a la variable aleatoria X: “Cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramará”. Considere que la forma de despachar el líquido por la máquina es independiente de vaso en vaso. Calcule la probabilidad de que el primer vaso que se derrame se encuentre después del 15vo. vaso despachado. 2).- Un inspector de la SECOFI ha encontrado que en 6 de 10 tiendas que visita se presentan irregularidades. Si el inspector visita una serie de tiendas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a).- la primer tienda con irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta? b).- ¿Cuántas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con irregularidades? 3).- En un lote grande de artículos hay 3% de defectuosos. Si se selecciona al azar un artículo uno tras otro hasta encontrar un defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se deban inspeccionar más de 5 artículos? 4).- Se estima que el 70% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ¿Cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores a).- sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? b).- se tenga que entrevistar al menos 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? 4.8 MODELO HIPERGEOMÉTRICO Un modelo probabilístico será de tipo Hipergeométrico cuando los experimentos que se realizan con respecto a un evento E son tales que sus pruebas no son independientes. En estos modelos se consideran lotes de artículos, los cuales están constituidos de elementos divididos en dos clases. El experimento consiste en elegir una muestra del lote sin reemplazo y calcular las probabilidades cuando sus elementos pertenezcan a una de las clases. Definición 4.14 Un experimento aleatorio se llama Hipergeométrico si cumple con las condiciones: 1.- El experimento se realiza considerando un lote de tamaño N en el cual sus elementos están divididos en dos clases de tamaños m y N − m . 2.- Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo del lote. 3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos de una de las clases estén en la muestra de tamaño n. 1 1 = =4 . p 0.25 5 5 48 ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Definición 4.15 A la variable aleatoria discreta X definida en un experimento Hipergeométrico que representa a la cantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de éxitos se le llama “Variable aleatoria Hipergeométrica”. Teorema 4.3 secnotne ,n oñamat ed ozalpmeer nis artseum anu egile es lauc al ed N oñamat ed nóicalbop anu ne sotixé m noc acirtémoegrepiH airotaela elbairav anu se X iS P( X = k ) = m E ( X ) = n N m m N −n V ( X ) = n 1 − N N N −1 EJEMPLO 4.9 En un lote de 10 componentes electrónicos de TV en buen estado, se agregan 3 defectuosos, todos en apariencia y tamaño iguales. Una persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores. Calcule la probabilidad de que la persona tenga que regresar a reclamar al vendedor, por haber obtenido componentes defectuosos. • Primer punto, definición de la variable. Sea X: “Cantidad de componentes defectuosos en la selección” • El segundo punto, clasificación del modelo. Por las condiciones del problema se deduce que la selección se realizo sin reemplazo. Además el tamaño del lote es finito e igual a 13 y sólo tenemos dos clases de componentes, buenos y defectuosos. De lo anterior se deduce que X es una variable Hipergeométrica, con: = , = , = . • Tercer y último punto aplicación de formulas. De las condiciones del problema tenemos que la persona reclamará, sí al menos un componente resulta defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad que necesitamos calcular es: P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0) = 1 − C Este resultado nos indica, que probablemente el comprador regresará a reclamar. NOTA Los modelos Hipergeométricos debido a su naturaleza son mucho muy empleados en los problemas de Teoría del Control Estadístico, en donde juega un rol muy importante al analizar los componentes de los lotes, para determinar si se puede aceptar o rechazar un lote dividido en dos clases, buenos y defectuosos. 4 31 4 0 01 3 C C ≈ 1 − 0.2937 = 0.7063 . 0 , N m n xám k C = { + − , máx{n + m − N , 0} ≤ k ≤ mín{n, m} ∑ n N k n k m N m m n ním 3 m 4 n 31 N n N , k n k m N m C C − − { } C C } C − − =1 49 un año.Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 defectuosos entre los 8 objetos seleccionados. Este modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos continuos . Definición 4.. ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto? 3). 12 tienen compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas. tanto de espera como de servicio.9 MODELO DE POISSON El último de los modelos probabilísticos discreto que estudiaremos es el llamado: “Modelo de Poisson ”. se desea optimizar los tiempos.. más no la continuidad del intervalo.nossioP s ineD noé m iS sec n arf ocit ám et am la ron oh n E 3 3 50 . Si de un grupo de 20 turistas..16 A la variable aleatoria X definida en un experimento de Poisson. 3. ¿Cuál es la probabilidad de que el reporte sea satisfactorio.. etc.0481 ne siraP n e otreu m y 1871 sreiv ihti P ne odicaN . volúmenes.Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos. de tiempo. a este tipo de problemas se les estudia en el área de Investigación de operaciones en los temas: Líneas de Espera o Teoría de Colas.laicnenop xE opit ed sou nitnoC soledoM s ol n o c n ó i c a l e r a h c e r t s e a n u n e n e i t s o t s é . en caso de que no se encuentren defectuosos entre estos 5 el reporte se escribe satisfactorio. Se emplea generalmente en donde. nos referiremos al tiempo..Se van a escoger al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos.. Antes de seguir. un día. En estas condiciones es obvio que X es discreta con valores: 0. El modelo de Poisson tiene muchas aplicaciones. etc. NOTA 4 Para ejemplificar la definición de experimento de Poisson al hablar de intervalo. áreas.En el aeropuerto Benito Juárez de la ciudad de México debido a la gran afluencia de pasajeros. t ) .etselec acinácem al :erbos sojabart ed eires anu ed rotua y acitámetam acisíf al ed serodaerc sol ed onu eu F .dadicitsale . etc. • Un metro cuadrado. y estos pueden ser: • Un minuto. sólo se revisa el 10% de estos a la salida. b). etc.. 0 .Cuántos de los 8 objetos se espera que no estén defectuosos. se le llama Variable aleatoria de Poisson. 4.. a). una hectárea. 2.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJERCICIOS 3 1).. pero tomaremos en cuenta que en lugar de tiempo se podría tratar de un área. 1.omsitengam y sedadilibaborp ed oluclác . un volumen. que ocurren en el intervalo de tiempo (t . de un lote de 25 de estos se elige una muestra aleatoria de 5 y se prueban. n o s s i o P e d s o l e d o M s o l n e r r u c o e u q s o l n e s o u n i t n o c s o l a v r e t n i s o l a o d i b e D 4 . cabe mencionar que el modelo de Poisson es discreto puesto que en sus experimentos sólo nos interesará la cantidad de resultados que pueden ocurrir en un intervalo (de los antes mencionados). si en el lote se han introducido 4 videos defectuosos? 2). una semana. que representa la cantidad de resultados. Los intervalos dependen del experimento.dadiralipac . 17 Llamaremos Distribución de Probabilidad de Poisson.. P(k . λ y E ( X ) tienen el mismo valor numérico. λt ) = 1 = ∞ µ = E ( X ) = λt secnotne .La cantidad de llamadas telefónicas a un conmutador en un intervalo de 5 minutos. t ) 0 R = {0. t ) 0 σ = V ( X ) = λt 2 El parámetro λ está dado por: λ= E( X ) . λ ) = . 3).ELABORÓ EL DR.. podemos escribir la formula para el calculo de λ e −λ probabilidades como: P (k ...La cantidad de accidentes automovilísticos mensuales en un crucero determinado. 6).).Llegadas de clientes a una tienda durante un intervalo de tiempo determinado.. (t . 7). para k igual a 0.“La probabilidad de que en el experimento de Poisson ocurran k resultados en un intervalo (t .Representa la razón esperada de resultados en el intervalo de estudio. . Teorema 5. Definición 4. 2. K} olavretni le ne nossioP ed airotaela elbairav anu se X iS ) olavretni led dutignol al t rop odnatneserper( 51 . K ∑ P ( k .. 1 día .10 1). 2.. 2). 5). En tal caso. 1.La cantidad de carros que llegan a un estacionamiento en una hora determinada.La cantidad de errores de mecanografía por página en un libro determinado. EJEMPLOS 4. t ) ”. 1. a las parejas (k . etc. Simbolicemos por P (k .16 (t . 1 metro. λt ) = P ( X = k ) . k! k 0 k t ( λt ) − λ P ( k .. 3. pero debido a lo complejo de su demostración no la llevaremos a cabo. λt ) = P ( X = k ) = e k! k k = 0..El número de partículas que pasan a través de un contador en un milisegundo. 4). 0 En el siguiente teorema daremos la formula para calcular probabilidades de Modelos de Poisson..Cantidad de árboles infectados por ciertos gusanos en un área determinada. t En caso de que t sea igual a una unidad del intervalo (1 hora. 2. X y . 1. etc. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ • Un metro cúbico. λt ) ) . 0948 = 0.0 0510. 5.0 8322. λt ) = ∑ = e − λ (λt ) . .0 3210. b). P ( X ≥ k ) y ejemplo.0 2243.0 3373.4 07.0 9820.0 5480.0 8150.0 1400. tendremos (ver valores en la tabla anterior): 7892.0 4420.0 9170. µ = λt = 10 × (1 hora) = 10 clientes .0 6020.0 4280.0 0300.0 1160.0 4040.0 0081.0 8985.40) = 0..0 7903.0 4522.0 4791.0 3650.0 5241.0 7213.0 4220.5 0 k Función acumulada de la Distribución de Poisson.0 5983.0 3300.0 2414.0 4953.0 4061.40) = 1 − 0.0 6190.4 02.0 1604.0 3373.- ≤ ≤ = − = − = .4 01.4 00. 5. Un promedio de 10 clientes por hora.0 1832.0 7600.40) = 0. P ( x.0 1010. es decir: .0 3906.0 4075.0 6310.0 7102.4 x 0 1 2 3 4 . 5.0 ≤ ≤ 09.0 0500.0 8801.0 6091.0 2723. P ( X > 2) = P ( X ≥ 3) = 1 − P (2.4 06.0 9820.0 4593.0 2012.0 9810.0 6371.9052 .0 3660. con lo cual: hora La probabilidad es bastante grande.0 3674.0 6660.0 2492.0 6261. 52 aroh 1 X 2(P c).5 t µ=λ 00.. λ = 10 t P( X ≥ 5) = 1 − P( X ≤ 4) = 1 − [P ( X = 0) + P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P( X = 4)] = e − (10) e − (10) e − (10) e − (10) e − (10) = 1− + + + + = 0! 1! 2! 3! 4! = 1 − 0.0 1110.0 4130.0 1832.5 .0 3243.0 6620.0 4880.0948 = 0.0293 = 0.0 6610. P ( X < 4) = P (3.0 5044. k! k t ed serolaV 08.0 3810.2133 .0 8670. ¿cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes? Identificación de datos: Definamos a la variable aleatoria X : “Cantidad de clientes que llegan a la tienda”.0 7200.5 08.0 8490.P ( X ≤ 3) = P (3.5 05.0 1581.5 02. 5.9052 4443. En una hora dada.0 7421.5 06.5 04.0 2315.11 En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme una distribución de Poisson con un promedio de 10 por hora.0 8826.0 5400.9707 4 01 3 01 2 01 1 01 0 01 clientes Por lo tanto.0 1235. como se muestra a continuación.0 7523. clientes . x a).0 03.5 07.0 2155.P ( X ≥ 3) = 1 − P (2. ) m X k(P Las probabilidades más comunes para calcular son: P ( X ≤ k ) .1( P ) 04.0 2430.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD USO DE TABLAS DE POISSON Las tablas de Poisson están dadas para la función de distribución acumulada.0 3251.0 0562.0 0071.0 2773.0 ) 04.0 2800. para µ = 5.0 1900.40) = 1 − 0.5 .4 03.5 6101. Por .0 5753.0 5170.4 05.2133 . puesto que considerando un valor esperado de 10 clientes será muy probable que 5 o más clientes lleguen en el transcurso de una hora.4 04.0 0870.0 5500.0 7740.0 5334.0 6494.0 7300.40 . hora = En un intervalo de una hora dada.4 ( P )4 EJEMPLO 4.0 3312. en promedio. para una variable X con distribución de Poisson? 5).. 2)... para una variable X con distribución geométrica? 3).¿En que modelo discreto la dependencia entre sus pruebas es una de sus características? 10).¿En qué modelo siempre son iguales el valor esperado y su variancia? 9).¿Qué representa P ( X = k ) .¿Qué representa P ( X = k ) .... a razón de 5..¿Qué semejanzas existen entre los modelos binomial y geométrico? 8). EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ La probabilidad anterior se pudo haber calculado por tablas.5 clientes por cada 10 minutos. EJERCICIOS DE MODELOS DISCRETOS 1).¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución geométrica? ¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución de Poisson? 1). de que dicha cajera atienda a sólo 2 clientes en el transcurso de los siguientes 10 minutos.Desde el año 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido.ELABORÓ EL DR. b).9707 . no se cometan asaltos a automovilistas. ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses. a razón de 4. EJERCICIOS 4 1).Supóngase que una cajera de un Banco atiende (en promedio).. Suponga que el número de cierres por año tiene una distribución de Poisson. con µ = λt = 10 clientes . Encuentre la probabilidad de que. para una variable X con distribución binomial? 2). en la colonia Doctores se cometen en promedio 10 asaltos a automovilistas al día.Según las estadísticas de la ciudad de México.5 y cada vehículo transporta en promedio 12 pasajeros por cada 30 minutos.Una secretaria comete en promedio dos errores al escribir una página. a).. y además que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson... Si los asaltos son independientes y se apegan a un proceso de Poisson.¿Qué representa P ( X = k ) . Suponga que la cantidad de personas transportadas por la combi sigue una distribución de Poisson.11)..¿Qué diferencias fundamentales existen entre los modelos binomial y geométrico? 7). P ( X ≥ 5) = 1 − P ( X ≤ 4) = 1 − P (4.7 cierres por año.Si el costo de pasaje por persona en una Combi es de $2.0293 = 0... 53 . 10) = 1 − 0. Calcule la probabilidad. para una variable X con distribución Hipergeométrica? 4). 3). Comente el resultado obtenido. Si los errores cometidos son independientes y siguen un proceso de Poisson ¿Cuál es la probabilidad de que cometa 1 o más errores en la siguiente página que escriba? 2).Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 y 12 horas del día de mañana.¿Qué representa P ( X = k ) ..¿Cuándo se termina un experimento de Bernoulli? 6)..Calcule la probabilidad de que en un día determinado se cometan más de 10 asaltos a automovilistas. a).Se sabe que el 30% de los accionistas dedican 10 o menos minutos a la lectura del balance de su empresa. por la noche.. Considere la estimación anterior válida. Si un radio escucha habla cada día para tratar de ganar los premios que se reparten diariamente... Considere independientes la obtención de los premios por día..GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD a). Suponga que las llamadas son independientes. se suponen independientes. a). de que tengan que pasar más de 4 días de pedidos. encontrándose que aproximadamente el 5% contesto afirmativamente. calcule la probabilidad de que 5 o menos dediquen 10 o menos minutos a la lectura del balance de la empresa.- Encuentre el ingreso esperado por día de trabajo de un chofer (1 día de trabajo equivale a 10 horas). Si toma una muestra aleatoria de 15 empleados y se les pregunta si desean o no el sindicato...05).La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo es igual a 0.. 54 . para que resulte el primer día con más de seis pedidos.Según un estudio se obtuvo que el 65% de los empleados de una Universidad que tiene pocos años de laborar desean afiliarse a un sindicato. Suponga que las llamadas son independientes. b).b). Calcule la probabilidad de que en dos de los siguientes 5 días gane premio. durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecen premios por llamar a la estación). es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse (la línea esté desocupada es de 0. para lo cual el administrador supone que tiene un lote de 20 artículos de los cuales 3 son defectuosos y quiere conocer la probabilidad de que al elegir una muestra de 4 artículos.. 10).. durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecen premios por llamar a la estación).La administración de la empresa PARTEC.. b).Sea pedido más de 6 veces. es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse (la línea esté desocupada es de 0. se encuentre al menos un defectuoso.¿Cuál es el número de llamadas que deben de hacerse para que entre la primera llamada? 6)... 7). 8). Se eligen al azar 8 accionistas de la empresa.Calcule la probabilidad de que la tercera llamada que entra sea la décima que se realizó... Supóngase que los clientes llegan de manera aleatoria y por lo tanto. las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes.Sólo 5 deseen el sindicato.Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un segundo. 9).Si los pedidos de día en día. b).Las estaciones de radio en México. transporte a lo más la mitad del promedio dado anteriormente? 3). S. ¿cuál es la probabilidad de que en un día dado el articulo? a).05). b). 4).A.En una tienda se encontró que la venta de cierto articulo sigue un proceso de Poisson con un promedio de 5 ventas al día.Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra después del tercer intervalo de un segundo. calcule la probabilidad. calcule la probabilidad de que: a). si éste se obtiene con ser el primero que hable. de 30 minutos.La mayor parte deseen el sindicato.En la ciudad de México se efectuaron encuestas a un gran número de amas de casa para saber si por la noche el agua de su casa se salía de las cisternas. si en gasolina invierte 200 pesos diarios. calcule la probabilidad de que al inspeccionar a 20 casas.1.. 5).Las estaciones de radio en México. quiere conocer las probabilidades que pueden suceder para llevar a efecto un control de calidad. al menos en una de ellas se esté tirando el agua. La probabilidad de que en un intervalo determinado.. .. 19). de que una cajera atienda a sólo 2 clientes en el transcurso de los siguientes 10 minutos. a razón de 3 clientes por cada 10 minutos. 15). ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses. Se sabe que la probabilidad de que el llenado esté fuera de las especificaciones es de 0.7 cierres por año.. 18). si éste abre a las 10:30 horas. Si selecciona una muestra aleatoria de 6 de ellos.. Si el CPT revisa la contabilidad de una serie de compañías ¿cuál es la probabilidad de que: a). sólo se revisa el 10% de estos a la salida.Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos. llegan en carro de acuerdo con un proceso de Poisson con media de 10 carros/hora.Desde el año 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido. La embarcación de videos se comprará.01. El estacionamiento tiene 8 lugares techados. 14). Si se sabe que en promedio recibe 40 llamadas por hora. Calcule la probabilidad. 10 tiene compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 30 personas.. Encuentre la probabilidad de que.. y además que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson. ¿cuál es la probabilidad de que las tres personas revisadas tengan que pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto? 17).la primer contabilidad con errores importantes fuera encontrada después de revisar la tercera? 16). Si de cada uno de estos lotes se elige una muestra aleatoria de 3 de ellos y se prueban. más de uno tiene un contenido de cerveza fuera de las especificaciones.. en promedio. si al analizar aleatoriamente una muestra de 25 botes. calcule la probabilidad de que sean deudores con plazo vencido Más de tres. 13).Una institución bancaria selecciona a 20 clientes de los cuales 5 forman parte de su cartera vencida. ¿cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue en su carro a las 11:00 horas alcance un lugar techado del estacionamiento?. si después de analizar un lote no se han encontrado defectuosos.la primer contabilidad con errores sustanciales sea la tercera revisada? b). Si de un grupo de 30 turistas.El conmutador del IPN puede manejar un máximo de 3 llamadas por minuto. 55 . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 11).¿Cuántos intervalos de un minuto se espera tengan que ocurrir para que se encuentre el primero en que se sature el conmutador? 12). Calcule la probabilidad de que en estas condiciones se tenga que comprar la embarcación.ELABORÓ EL DR. a). se analizan por lotes independientes de 15 aparatos cada uno.Supóngase que una cajera de Bancomer atiende (en promedio). Suponga que el número de cierres por año tiene una distribución de Poisson..¿Cuál es la probabilidad de que en un intervalo de un minuto determinado se sature el conmutador?. b).En el aeropuerto Benito Juárez de la ciudad de México.. Calcule la probabilidad de que la línea de producción tenga que ser detenida al realizar el siguiente muestreo. Considere que el productor a introducido en cada lote 2 defectuosos.Un contador público titulado (CPT) ha encontrado que 9 de 10 auditorias de compañías contienen errores importantes. a razón de 5.En la industria de la cerveza se lleva a cabo un control de calidad con respecto a la cantidad de llenado de los botes de la misma. Suponga que un cliente que llega al restaurante tarde más de 45 minutos en salir. debido a la gran afluencia de pasajeros.. la línea de producción se detiene para ajustarla.Los clientes a cierto restaurante de la zona Rosa. 56 . La estatura de los estudiantes de la Universidad. Al medir a los estudiantes podemos asignarles a cada una de sus estaturas un valor dentro de un intervalo. k )b )d )a )c Una variable aleatoria X de un experimento aleatorio dado con rango “Variable Aleatoria Continua”. puesto que en éstas últimas podemos contar las probabilidades P ( X = x ) y posteriormente sumarlas.1 XR R X Para la asignación de probabilidades de las variables aleatorias continuas a diferencia de las variables aleatorias discretas. Continuando el uso de la teoría de funciones. EJEMPLOS 5. La humedad en cierta región podemos medirla y asignarle a cada medición de humedad. . En este caso podemos apreciar que la cantidad de resultados posibles no es contable. en las variables aleatorias continuas X la cantidad de elementos no es contable.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS En la parte 4 se repasaron las variables aleatorias que requieren del conteo de sus elementos. tendremos que introducir una función que nos permita realizar el cálculo de probabilidades de las variables aleatorias continuas.1 Al lanzar una moneda puede interesarnos predecir el área en la que ella caería. El primer problema a resolver en las variables aleatorias continuas consiste en la asignación de probabilidades. variables con dominios finitos o infinitos numerables. resulta un poco más complejo el problema. cuando el conjunto intervalo del conjunto de los números reales R. Más sin embargo en la práctica resultan una infinidad de experimentos en los cuales sus resultados se obtienen por mediciones y sus valores pueden ser cualquiera de los puntos de un intervalo. puesto que un resultado puede ser cualquier región de un área determinada y del Cálculo sabemos que un área tiene una cantidad no numerable de puntos. dando origen a las variables aleatorias discretas. negocio. incluso como veremos en unos momentos. abreviada por vac. Por otro lado. Al medir el tiempo de espera de las personas al establecimiento se le puede asignar un punto cualesquiera de un intervalo. Definición 5. esto es. Por lo tanto. P ( X = x ) pierde significado. la probabilidad en un punto de una variable aleatoria continua “siempre será igual a cero”. etc. la llamaremos: resulta ser un Como vimos en los ejemplos anteriores generalmente este tipo de variables tiene cabida cuando la variable del experimento es tal que se requiere de una medición para determinar sus elementos. un punto único en un intervalo. El tiempo de espera en una fila de una oficina. a diferencia de las variables aleatorias discretas. mientras que en las variables aleatorias continuas no se puede hacer. a b Antes de continuar debemos notar que f (x) no representa alguna probabilidad. ∞ b).1. llamaremos función de distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria continua X. → −∞ y x xd)x ( f a )b X ≤ ≤ =∫ b a( P b a c). EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 5. en el intervalo (a. abreviado por fdp. a la función F (x) definida en todos los reales. tales que x x a). es una función no decreciente. es decir.Para cualesquier reales a y b. b) . para todos los reales x e y.- −∞ ∫ f ( x)dx = 1 ≤ . Ver la figura 5. 5.1 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Definición 5. si < . 5.3 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x) . b) están representadas por el área bajo la curva de la función f (x) . de la variable aleatoria continua X.1. que cumple. para toda ∈R . tal que: F ( x) = P( X ≤ x) = −∞ ∫ f (t )dt ..1..1. tenemos P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx .ELABORÓ EL DR. a b X Fig. entonces F ( x) ≤ F ( y ) .2A PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA F (x ) . Se deduce fácilmente de la definición de una función de distribución acumulada. lím F ( x ) = 0 . en dicho intervalo. Las Probabilidades en un intervalo (a. )x ( f x )b )a 57 . para toda x∈R 5.f ( x ) ≥ 0 . con las condiciones siguientes le llamaremos “Función de Densidad de Probabilidad”.2 FUNCIÓN ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Definición 5.2 A la función sumable f (x) en todos los reales.1 Muestra el área bajo la curva de f (x) . X a b x )c 58 . La función de densidad de una variable aleatoria continua X se obtiene de la acumulada dF ( x ) .4 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad. llamaremos valor esperado de X (o esperanza matemática de X). En particular. si = . entonces se tienen las siguientes propiedades. es la misma constante.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAC Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. entonces E ( X ) = c . Xa Y d. entonces E (Y ) = E (h( X ) ) = ∞ −∞ ∫ h( x) f ( x)dx . Si Y = h( X ) . Se deduce inmediatamente del inciso b) de la definición de una función de densidad → +∞ de probabilidad. al valor que denotaremos por E ( X ) o µ . sólo cambiará su fórmula para hacer cálculos. c X c. Si = . a. entonces E (Y ) = aE ( X ) . Para las variables aleatorias continuas la interpretación de éstos se conserva. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x ) . entonces E (Y ) = aE ( X ) + b . Definición 5.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD lím F ( x) = 1 . puesto que la sumatoria se cambia por una integral.2 VALOR ESPERADO Y VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Los parámetros el valor esperado y la variancia de una variable aleatoria discreta los estudiamos en la parte 4. Es decir el valor esperado de una constante. y se calcula por: E( X ) = ∞ −∞ ∫ xf ( x)dx 5. Si Y = h( X ) = aX + b . La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua es continua. b. f ( x) = dx Con la función de distribución acumulada se pueden calcular probabilidades P ( X ≤ b) = )d )e )f −∞ ∫ f ( x)dx = F (b) −∞ P(a ≤ X ) = 1 − P( X ≤ a) = 1 − P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x )dx = a b b ∫ f ( x)dx = 1 − F (a) −∞ a −∞ ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) 5. f (x) .2. V ( X ) = ∞ −∞ ∫ (x − E ( X )) 2 f ( x)dx = E[ X − E ( X )] 2 b. Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 10.000 y 12.1 x 2 1 x 2 = ( 2 − x) − 2 X 2 2. entonces V ( X ) = 0 .000 galones de gasolina por mes.. con función de densidad f (x) .000 galones durante el mes.0 a). Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f (x ) .2 VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Definición 5. EJEMPLOS 5. y se calcula: 2 ∞ V (X ) = se llama desviación estándar de la variable aleatoria continua X. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por c X 2 2 0 < x <1 x.000 galones en un mes.- ∫ x f ( x ) = ∫ xdx + ∫ ( 2 − x ) dx = 2 = 2.ELABORÓ EL DR.18 = 0.2. En particular. que pueden bombear cada una hasta 10.80 ≤ X ≤ 1.000 galones en un mes en particular. 1 ≤ x < 2 0.1 = = 59 .Una gasolinera tiene dos bombas. si = . V ( X ) = E X ( ) − [E ( X )] c. Si Y = h( X ) = aX + b . f ( x ) = 2 − x. a.0 8.2) = )b )a = 0. llamaremos variancia de X al valor que denotaremos por V ( X ) o σ .0 x 1 8. 2 2 −∞ ∫ (x − E( X )) X f ( x)dx .36 1 x 8. a la raíz positiva de la variancia: σ = V (X ) 5.5 Dado un experimento y una variable aleatoria continua X en él. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 5. P (0.2.18 + 0. puesto que no existe variabilidad entre los elementos de una variable aleatoria continua constante. En particular. entonces se tienen las siguientes propiedades. entonces V (Y ) = a V ( X ) . encuentre la probabilidad de que haya bombeado más de 15.1 Xa Y 1 = 2. entonces V (Y ) = a V ( X ) . si = .3 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAC Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. en otro lugar Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8.2 1. 53584 diez miles de pesos. 3). si x ≤ 0 V (Y ) . para que presupuestada un 10% de las veces? 0 < x <1 en otro lugar ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse el costo real solamente exceda a la cantidad 2 3 2 2 2 Sea x la cantidad buscada.358. 1 x (2 − x) 2 2 x 2 5. 0 3 0 0 0 0x x 0.- 0.50 Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad e − . f ( x) = 0.4 . esto es x = $5.25 0. E (Y ) = 3E ( X ) + 10 = 3(1) + 10 = 13 . Calcule: E (Y ) y f ( x) = 0. V (Y ) = 3 V ( X ) = 3 = 27 . Para la variancia primero calculamos E ( X ) . tendremos: 3 3 1 x 3 Despejando x en la última igualdad de la expresión anterior. dada por 3(1 − x) . x x x Primero se calculará E ( X ) = ∞ De las propiedades del valor esperado.El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de probabilidad. con las mediciones dadas en diez miles de pesos.- ∫ (2 − x)dx 1 − = 2. anualmente para los costos de reparación.10 0 x 2 x x 2 1 2 E( X ) = 2 ∞ − − ∫ x f ( x)dx = ∫ x e dx = − e ( x + 2 x + 2) ∞ 2 0 −∞ 0 x ∫ xf ( x)dx = ∫ xe ∞ − dx = − e − ( x + 1) →∞ = = 0 + 1 = 1. si x > 0 . tenemos V ( X ) = E ( X ) − E ( X ) = 4 − 1 = 3 .5 | X > 1) = = = P( X > 1) P( X > 1) ∫ (2 − x)dx = (2 − x) − 2 2 x 2 = = = = 2 0 0 x 0 60 . →∞ = = 0 + 2 = 2.1 P[( X > 1.125 = 0. y la variable aleatoria continua Y = h( x ) = 3 X + 10 .GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD b).10 = 0.5) P( X > 1. tenemos x = 1 − 0.1 x 2 5.10 = P ( X > x ) = ∫ 3(1 − x) dx = − (1 − x) 2 0x 0 −∞ = = = −0 + (1 − x ) = (1 − x ) = 0.. Finalmente.5) ∩ ( X > 1)] P( X > 1. x De las propiedades de la varianza. para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada un 25% de las veces? 61 ragul orto ne x 0 ..0 )x ( f .. 2).. en otro lugar a)...¿Podrá ser negativo el valor esperado de una variable aleatoria continua? 8). para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada un 10% de las veces? 12). ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente para los costos de reparación.El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de probabilidad.000 y 12.000 galones en un mes en particular.. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente en los costos de reparación.Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8. 7).La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del. dada por: 2(1 − x ).. esto implica que el evento es el vacío? 6).000 galones durante el mes.. )x 1(3 = 2 − < < ..Si conoces la función acumulada de una variable aleatoria continua ¿cómo puedes encontrar su función de densidad? 9).¿Es cierto que en las variables aleatorias continuas tanto la función acumulada como la de densidad no deben tener puntos de discontinuidad? 10)..¿Podrá decrecer la función acumulada? 5).ELABORÓ EL DR..El costo de reparación anual X para cierta máquina tiene una función de densidad de probabilidad. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ EJERCICIOS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1).. Si se sabe que la gasolinera ha bombeado más de 20. encuentre la probabilidad de que haya bombeado más de 25. con las mediciones dadas en diez miles de pesos.¿Si la probabilidad de un evento de una variable aleatoria continua vale cero. dada por: 1 con las mediciones dadas en diez miles de pesos. 0< x<3 f ( x) = 3 0.¿Podrán ser negativos los valores de una variable aleatoria continua? 3).La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria X (expresada en diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por: 1 .Generalmente los valores de una variable aleatoria continua se obtienen por medio de .b). 11).000 galones en un mes..¿Podrán ser negativos los valores de una función de densidad? 4). 0 < x < 1 f ( x) = en otro lugar 0.. 0 3 x 0 ≤ x <1 x.La vida útil de cierto tipo de lavadora automática tiene una distribución con función de densidad igual a: 0. tiene un comportamiento aproximadamente igual a la función acumulada: x≤0 0. x≥0 0. 1 ≤ x ≤ 2 0.2] Calcule la probabilidad de que el proyecto sea terminado en la segunda mitad del tiempo optimista. Es decir.. 14).GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 13). la función de densidad correspondiente. 16). Considere que la espera del microbús son independientes. Calcula la probabilidad de que el costo sea menor a 1000 pesos (como están en miles sería la probabilidad de que X sea menor que 1). x > 0 Encuentre la probabilidad de que el primer día que la persona tenga que esperar más de 5 minutos su Microbús sea el tercer día de la semana. c). Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual se comportan de forma proporcional a una variable aleatoria X. 0< x<2 f ( x) = 4 0. f ( x ) = 2 − x. x<0 f ( x) = − .. si sólo quiere reparar un 20% de las lavadoras que venda? 15). en otro lugar con las mediciones dadas en miles de pesos.Por medio de observaciones una persona a notado que su tiempo de espera a la llegada de su Microbús (en minutos). dado por − . está dada por: x 2. b). a). Calcula el valor esperado de X.La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de cierta máquina. Para el primer año se espera un resultado optimista de terminación dado por x y en caso de surgir contratiempos se tiene un comportamiento de terminación pesimista.. x ∉ [0.2e ¿Cuál tiene que ser el tiempo de garantía en años que otorgue la empresa. dada por: 1 + x . x 2 62 . Encuentra la función de distribución acumulada correspondiente.La elaboración de cierto proyecto está planeado a terminarse según una variable aleatoria X. F ( x) = − 1 − e . la cual tendrá la siguiente función de densidad. c). Los modelos exponenciales se emplean cuando la probabilidad de que la variable aleatoria en estudio que ocurre en una unidad de tiempo sea igual a que suceda en cualquier otra..σ = V ( X ) = β x [0.. b).6 Sea X una variable aleatoria continua del experimento realizado. P( X > a) = e − β P( X < a) = 1 − e − β P ( a < X < b) = e − β −e − β . con x b secnotne . ∞ ) de tal forma que su función de densidad de probabilidad es una función de tipo exponencial negativa.ELABORÓ EL DR. cuando su función de densidad de probabilidad (fdp) es: 1 −β f ( x) = β e .Espera para ser atendidos en un banco... en los modelos relacionados con las líneas de espera es común que en los primeros instantes el cliente tenga una mayor probabilidad de ser atendido que después de un tiempo transcurrido. Por ejemplo.dadilibaborp ed dadisned ed ne etnemlaicnenopxe adiubirtsid aunitnoc airotaela elbairav anu se X iS a 2 a 2 a ) X (E a) µ= =β. x ≥ 0 0. Se dice que un modelo probabilístico continuo que describe apropiadamente tales fenómenos es de tipo exponencial cuando la variable aleatoria continua X está distribuida en el intervalo [0. b). e).y .3 MODELO EXPONENCIAL En una gran parte de los modelos continuos relacionados con el tiempo podemos notar que su distribución es de tal forma que en los tiempos cercanos a cero tiene una mayor acumulación y que conforme pasa el tiempo ésta decrece rápidamente de forma similar a una función exponencial negativa. c). ∞ ) x<0 0.Espera para ser atendidos los pacientes en una clínica.F ( x) = − 1 − e β . porque las distribuciones de tiempos son propicias para: a). d).Espera y llegada de clientes a un centro de servicios.0 Cálculos 0 a b .1 nóicnuf us ) x ( f .Duración de equipos industriales para poder establecer tiempos de garantías..En algunos otros casos en los que se estudian las duraciones de vida de componentes electrónicos.. Teorema 5.. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD 5. x ≥ 0 > > 63 . en otro lugar Los modelos exponenciales tienen una gran aplicación en las Líneas de espera o Teoría de Colas. Definición 5. Lo anterior significa que las variables aleatorias exponenciales son invariantes en el tiempo. diremos que tiene una distribución exponencial con parámetro positivo β en el intervalo [ ∞ ) . resulta que generalmente tienen una distribución tipo exponencial. .. calcula la probabilidad. Es decir: Para cualesquier a y b. tendremos: 01 De donde. tenemos: [ ]= − − 64 . Sea T el tiempo de garantía de las lavadoras. − 5 2 − ..Calcula la probabilidad. 5 5 Como X está distribuida exponencialmente con parámetro β = Por el teorema anterior P ( X > 6) = e 5 6 − tendremos. Primeramente vamos a definir a la variable aleatoria con distribución exponencial X X: “Tiempo de vida de las lavadoras Mabe”. b). se cumple: P ( X > a + b | X > a ) = P ( X > b) . La probabilidad de que opere por lo menos t unidades de tiempo adicionales debe ser igual a la probabilidad cuando un componente nuevo de tal tipo opere al menos la misma t unidad de tiempo que el viejo.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD EJEMPLOS 5. para que una lavadora sea reparada durante su tiempo de garantía.3 1.Calcula la probabilidad de que Pablo sea atendido después de 2 minutos. el cual tiene una distribución exponencial.20 . y nos muestra (al igual que se hizo con el modelo geométrico) que la distribución exponencial no tiene memoria. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deben tener dichas lavadoras si se desea que no más del 20 % de éstas fallen antes de que expire su garantía?. Si la vida útil de ese tipo de motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. es necesario que P ( X < T ) = 0. con el obtenido en el inciso b).. de que haya sido atendido después de 6 minutos. Si además tomamos en cuenta que β = 10 .Si se sabe que Pablo fue atendido después de 4 minutos. Esto último quiere decir que si comparamos las probabilidades de duración de un componente usado. Por el Teorema anterior: P ( X > 2) = e OBSERVACIÓN El resultado del inciso b) se puede generalizar.El tiempo de espera de los clientes en un restaurante para ser atendido es una variable aleatoria continua X con distribución exponencial y media µ = minutos. . la probabilidad de que la lavadora dure menos que el 5 4 − e e e )4 )6 X (P X (P )4 X( )4 X (P )6 T X( P )4 X |6 > > = = = 5 2 > ∩ > > > > 5 6 X (P )b )c )a Por el Teorema anterior y la probabilidad condicional..20 = P ( X < T ) = 1 − e tiempo de garantía. Compara el resultado. c). esta probabilidad coincide con la del inciso b. 2. Por otro lado. 0.Una lavadora MABE tiene una vida media de 10 años. . a). de que la siguiente persona que entre al restaurante sea atendida después de 6 minutos. El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de µ = 2 años.26 .F. todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí... 5 65 .4 MODELO NORMAL La distribución normal fue encontrada por Carl Friedrich Gauss .Se ha hecho un estudio sobre el tiempo de espera de los usuarios a cierto banco del D.5581 ne agnitoG ne óirum y 7771 ne kciwsnurB ne óicaN .- 5. con parámetros µ y σ (positivo) en todos los reales cuando su función de densidad de probabilidad es : σ 2π . resultando que la probabilidad P ( X < 35) = 0. Si la vida útil de ese tipo de motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial.ocitámetam ssuaG hcirdeirF lraC 2 2 f ( x) = e − σ ) x( 1 2 01 Despejando la exponencial.23 años. en algunos trabajos se le conoce como: “Ley de probabilidad de Gauss”.80 ..En más de 10 minutos.- 4). ¿Cuál es la probabilidad de que un interruptor falle después del 2do.ELABORÓ EL DR. 5 2). Por medio de una repetición de experimentos se obtuvo que la variable aleatoria continua X se describe en forma muy propicia por un modelo de tipo exponencial. año? Un motor eléctrico tiene una vida media de 6 años. 10 Finalmente: T = −10 ln(0. distribuyéndola simétricamente a su alrededor con una frecuencia que disminuye rápidamente al alejarse del centro.námela ocisíf y omonórtsa .7 Sea X una variable aleatoria continua. ∞) . Definición 5. resulta: e T = 0. Encuentre en tales circunstancias al parámetro β. y para determinar su parámetro correspondiente se ha empleado su función de distribución acumulada.- 3).80) . según ésta una magnitud sufre la influencia de numerosas causas de variación. los resultados se acumulan alrededor de la media. −µ en x ∈ (−∞. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ − Por medio del logaritmo natural: − T = ln(0. EJERCICIOS 1 1). y que el tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente. obteniéndose que el tiempo promedio que tardan en atender a un usuario entre las 9 y las 12 horas de un día normal es de 10 minutos.En menos de 5 minutos. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo más el 15 % de los motores fallen antes de que expire su garantía?. Calcula la probabilidad de que si vas a dicho banco en un día normal a las 10:20 horas seas atendido a). b).80) = 2.se dice que X tiene una distribución normal o de Gauss. de una variable aleatoria continua X.3 3 5. con el que no se tenga que resolver integrales para diferentes valores de µ y σ.0 1. por consiguiente es de gran importancia tener un análisis detallado sobre su comportamiento para el cálculo de probabilidades. se puede apreciar que la recta = µ es el eje de simetría de la función.2 2 5. mientras que en los valores = µ − σ y = µ + σ se tienen los puntos de inflexión de la gráfica de la función ¡compruebe esto último por medio del Cálculo! El modelo normal tiene gran aplicación en diferentes áreas y es una de las distribuciones con mayor auge en el estudio de las probabilidades y la estadística. La gráfica de la distribución Normal tiene forma de campana. la dimensión de su importancia radica en un Teorema titulado: “Teorema del Límite Central”. como es de suponerse se requiere de algún método. Desde luego. media µ y variancia σ . Teorema 5. Pero de los cursos de Cálculo.1 9. Por lo tanto. entre algunos otros tenemos: Método del trapecio.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Como se mencionó arriba los modelos con distribución normal se caracterizan por la forma de la gráfica de su función de densidad.1 1 5. pero debido a su importancia se tienen tablas y programas para calcular las probabilidades. V (X ) = σ .1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES Como se mencionó anteriormente la distribución de Gauss tiene una gran importancia en el estudio de las probabilidades y la estadística. cuando la integral es definida sólo podemos aproximar sus valores por medio de alguno de los métodos numéricos. De lo anterior. como la mostrada en la siguiente figura: 1.2 Gráfica de la fdp.2 ed nóicnuf us y x x x 2 5.0 3.0 1- (−∞.0 7. Simpson 1 3 y Cuadratura de Gauss. 2 − 1 f ( x) = e σ 2π 2 −µ 4 5. con distribución normal.dadilibaborp ed dadisned ne etnemlamron adiubirtsid aunitnoc airotaela elbairav anu se X iS E( X ) = µ . ∞) f (x) )b . se sabe que la integral de la función: σ ) 2 x( no se puede resolver en base a funciones elementales.4. En la gráfica anterior.0 1.0- Segmento de longitud σ E( X ) = µ Segmento de longitud σ 2 2 V (X ) = σ Fig. podemos notar que el cálculo de probabilidades resultaría bastante engorroso para este tipo de distribuciones. 5.0 5. 66 )a secnotne . 2 5. mientras que la división entre la desviación estándar influye en la amplitud de la función.4 0. En las gráficas de abajo cambiará su amplitud. µ = 1.2- 5. pero diferente desviación estándar.1 0.5.2 µ= σ= 0.1 0.2 0.1.1.0 53. Se puede apreciar que las dos gráficas son iguales.0.3 0.2 .0.0 52.0 50.1 5.2. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ El problema anterior se resuelve con el cambio de variable aleatoria: Z= X −µ σ al cual se le llama: “La estandarización de la variable X a unidades en Z”.0. La fórmula en Z es una regla de transformación puesto que en la estandarización X − µ .4.2 0.0 53.0 X X .0 σ= µ = 1. 5.0 52.5 o bien N (1.0 51.0.4 0.0 0. σ = 1 54.0. pero diferente valor esperado.4 5.5) Fig.3 5.3 Muestra la gráficas de la distribución normal con la misma desviación estándar.1 5. σ = 1.0 51.75) 1 5. sólo cambia la posición del eje de las ordenadas.0 50.0. a mayor variancia menor amplitud.5 5.0 . 57.1.3. Cuando se realiza la estandarización resulta que E ( Z ) = 0 y V ( Z ) = 1 .4 0. 5.1. ver figura 5.0 50. y su gráfica se representa en la Figura 5.3- 54.3 o bien N (1.1 µ= 55.3 5.5 5. 67 0.0.0.5.5.1.0 0.4 Muestra la gráficas de la distribución normal con el mismo valor esperado. representa un desplazamiento del eje de las ordenadas ver Figura 5.0 Fig.ELABORÓ EL DR.0 50.5.2. 5.0 1674.0 51. para homogeneizar el uso de tablas que emplearemos en los cálculos.24 1.1.3 5.25 1.0 5701.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Fig.0.2 0.3 USO DE TABLAS DE LA FUNCIÓN ACUMULADA Como se ha mencionado el uso de tablas o de algún programa para el cálculo de probabilidades es fundamental en la solución de los ejercicios.0 1043.0001.0 2 Z z 0 Z 0 Φ(z ) D(z ) 68 .0 7791.4.0 2698.0 9130.9545 . En los casos de P( Z > Z ) se puede emplear la simetría.0 7887.0 5997.0 9930.44 0. 5.05 0.0 4623.5. 7.0 6376.46 0. P( Z < − Z ) = P( Z > Z ) .2 2 5.0 8301.0 1508. es decir.0 4498. c) P (−1 < Z < 1) = 0.86 1.0 0484.0 5453. Por lo tanto. b) Propiedad del complemento.04 0.0 7406.2 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR a) Propiedad de simetría.85 0.0 1084.26 )z ( )z ( )z ( z Φ − Φ(z ) D(z ) z Φ − )z ( Φ(z ) D(z ) z Φ − Z Z - Φ(z ) D(z ) z Φ − z 2 π −∞ = − ∫ x z 1 xd 2 e 1 2 )z( Φ = ∫ − 2 x − 2 F (z ) = 0 ∫e z 0z 1 − dz = Φ( z ) 0.3- 54. La integral para la función acumulada de la variable aleatoria Z.5 Gráfica de la distribución normal estándar.0 1995.0 2776.0 3743. inciso a.0 0. Es decir.45 0.0.0 9915.4.0 50.0 3208.0 53.84 0. P( Z > Z ) = 1 − P( Z ≤ Z ) . Función acumulada de la Distribución Normal Estándar π xd 2 e )z(D 0 0 0 3297. La función f (z ) es simétrica con respecto al eje de las ordenadas.0 8223.6827 y P (−2 < Z < 2) = 0. 5. Es decir. 4) . o el complemento.0 6501.06 0.0 0615.0 5298. casi vale cero.1 0.0 50.2.1.0 0076.0 52.0 9325.0 5002.0 8740. d) La suma de probabilidades fuera del intervalo (−4.0.0.2. es decir la distribución normal en su forma estándar se calcula y representará por: 0 2π −∞ Para el cálculo de probabilidades se emplean las propiedades siguientes de la distribución y la tabla de la normal estándar.0 2016.0 0587. no puede ser mayor a 0.0 9491.0 0033.0 0.1 5. . calcula las probabilidades indicadas: 1)..86) = 0.86) = Φ(−0.P ( Z < 1.P ( Z > −1.8944 . EJEMPLOS 5.4).ELABORÓ EL DR.8485 Z 2.8944 4). o P ( Z > −1.03) = P ( Z < 1.1949 Z 1.8485 0.1 − 79.97 30.97 < Z < 2.3).1949 0.9970 0. P( Z > Z ) = P( Z < − Z ) = Φ(− Z ) . 0 0 0 0 0 En los siguientes ejemplos emplearemos ambas funciones Φ(z ) y D(z ) . EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Como se puede observar en estas tablas la función acumulada se representa por medio de la función Φ(z ) .25) = 0.25) = Φ (1.P(−2.97) = D(2. P ( − Z < Z < Z ) = D( Z ) . se podrá efectuar de la siguiente forma: 0 0 1).97) = = 0.03) = Φ (1.9970 69 .03) = = 0.0 0z − 0 0 D( z ) = 0 ∫e z 0z 1 2π − 2 dz = Φ ( z ) − Φ(− z ) − Z 0.- P( Z < Z ) = Φ( Z ) .P ( Z < −0. 2).2 Z − 68.2).03) = = 1 − Φ(−1. Para el cálculo de probabilidades en intervalos simétricos se tiene otra función: 2 0 Por lo tanto el cálculo de probabilidades en base a estas funciones y las propiedades anteriores.03) = 1 − P ( Z ≤ −1. P(a < Z < b) = Φ(b) − Φ (a) .1515 = 0.25 3).8485.03) = = 1 − 0.4 Sea Z una variable aleatoria continua con distribución normal estándar. calcule P (−1 < X < 5) .5 kg y una variancia de 5. 10).5 P( X > 85) = P > = P(Z > 2. determine el porcentaje de alumnos que podrán ser convocados.5239 = 0.5 85 − 70.57) = 0.0 − 0. 9).. 6)..2514 = 0. primero realizamos la estandarización.74) = 0. 70 ..6411 Z 1.- Si E ( X ) = 3 y σ = 76.6) 2. y después empleamos las tablas de la distribución normal estándar.6411 .Si E ( X ) = 4 y V ( X ) = 9 .24) − Φ(−0.6 < Z < 0.9988 − 0.06 < Z < 3.06 < Z < 5..24 7).7881 − 0.3 5 .1) = Φ (5. y después empleamos las tablas de la distribución normal estándar.4749 .3.0031 = 0. Si los estudiantes que pesen más de 85 kg.57) = D(0.2 12). 0. calcule la probabilidad P ( X ≥ 7) .8925 − 0.P ( Z < 5) = Φ (5) ≈ 1 .5 2. serán convocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representará a la escuela.04) = Φ(3.5) = Φ(−4. 8).04) − Φ(0.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 5).5 2.1587 4 7 X .74 ) = Φ(−2. X −4 7 −4 ≥ P ( X ≥ 7) = P = 3 9 = P(Z ≥ 1) = P (Z ≤ −1) = = Φ (−1) = = 0.P (−0.7333 13). − 1 − 3 X − 3 5 − 3 P (−1 < X < 5) = P < < = P(− 1. Para esto.4761 Sea X una variable aleatoria continua con distribución normal.24) = Φ(1.P (0.0548 = 0.5 = 0.31% . calcula las probabilidades indicadas: 11).06) ≈ 1 − 0. 5 .5239 = 0.3 5.8) − Φ(−1... X − 70.5) ≈ 0 .1) − Φ(0.06) = 0. Sea la variable aleatoria X: “peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA”..4313 .1587 Para esto.P (−0.57 < Z < 0.67) = 0.El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valor promedio de 70.P (0.67 < Z < 1.8) = Φ (0.P ( Z < −4. primero realizamos la estandarización de la variable X. 0 462.0 370.52 7. En lo que concierne a las variables aleatorias con distribución normal.4 USO DE TABLAS PORCENTUALES Con frecuencia al resolver problemas se deben de hacer conclusiones con respecto a la variable aleatoria en estudio.0- 646.1- (z 9.1056 × 10 = $23.5 6. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 14).5 7.8.0 823.52 8.1- 700. El valor esperado estará dado por: Ganancia esperada = P ( X > 95) × 25 + P ( X ≤ 95) × 10 = = 0.0 D(z ) 9.1- 365.1- 999.0 110.5 ) 800.0- 018. representa la resistencia a la ruptura de una cuerda.0 D(z ) 028.0 531.1- 085.0 900.52 6.52 ) 162.01 232.0 102.0 D(z ) 215.01 342.02 ) 791.01 842.0 D(z ) 985.0 991.5 1).0 7.02 8.4. con un promedio de 100 y una desviación estándar de 4. y que tienen el siguiente aspecto.0 262.01 7.0 631.8944 . Cada alambre para cuerda produce una utilidad de $25.0 891.0- ( z 9.1- 275.0- 718.8944 × 25 + 0.0- ( z 9.1732.108 0 z Z ) 723.51 8.2- 904.0 D(z ) 656.02 7. es común tener que encontrar los valores de la variable con los cuales se obtienen las probabilidades establecidas (pueden estar dadas en porcentajes). y 4 4 P ( X ≤ 95) = 1 − P ( X > 95) = 1 − 0.108 .5 8.8944 = 0.16.416 5.Encontrar el valor de z . Encuentra la utilidad esperada por alambre.1.02 6.51 6.0 Φ % Φ % Φ % Z Z - Φ z 1 2 )z(D xd 2 e 1 2 )z( Φ = ∫ ∫ π − % x z − − Φ % Φ 59 X 2 x 2 z Z 71 .Supóngase que X.0- 356. TABLA PORCENTUAL DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR π −∞ xd 2 e = EJEMPLOS 5. Primero calcularemos las probabilidades: X − 100 95 − 100 > P ( X > 95) = P = P ( Z > −1.0 6. 0 0 0. tal que P( Z < z ) = 0.0 923.51 7.0 133.2- (z % 9.0- 318. En caso contrario la cuerda se tiene que utilizar con otro propósito diferente y se obtiene una utilidad de $10 por alambre.1- 300. se emplean otras tablas.0 470.1056 .2- 663.0 8. llamadas: “Tablas Porcentuales de la Distribución Normal”.51 ) 331.. si > .0 170.0- 056.25) = 0.2- 754.0 562.0 010. Para tal efecto.0 D(z ) 110.0- (z 9.ELABORÓ EL DR..1- (z ) 070.0 731. 022 P ( X ≤ 6.645 . es decir P( Z ≥ z ) = 1 − P( Z < z ) = 5% . de donde. tenemos z = 0. y después empleamos las tablas Porcentuales de la distribución normal estándar.95 0 0.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD La probabilidad que se nos indica es igual al 10. 0 0 0 0 0. de donde − z = −1.674 . tenemos: z = Z (Φ ) = −1. tenemos: x = 4 + 3 z = 4 + 3(0. esto es: P ( Z < −1. buscando en las tablas porcentuales el 10.. z = Z (Φ ) = 1.Si E ( X ) = 4 y V ( X ) = 9 .. Como las tablas porcentuales nos muestran los valores para la función acumulada de menos infinito hasta el valor indicado.674 0 0 0 0 0 0 0 0 72 . por otro lado: 3 3 0 0 0 0 0 0 0 z = 0 0 0 0 x −4 .8%. necesitamos P ( Z < z ) = 95% . 75% Z z = 0. por lo tanto. esto es: P ( Z ≥ 1.Encontrar el valor de z .8%. primero realizamos la estandarización. Para esto.05 . X − 4 x − 4 P ( X ≤ x ) = P ≤ = P( Z ≤ z ) = 75% .022) = P ( Z ≤ 0.237) = 0. Es decir z = 1.108 2). tenemos que emplear la propiedad del complemento. tal que P( Z ≥ z ) = 5% .674) = 6. 3 Despejando x .645 .05 z = 1.237 .645 3). Este ejercicio también se puede resolver empleando la propiedad de simetría: P ( Z ≥ z ) = P ( Z ≤ − z ) = 5% .645) = 0. calcular el valor de x tal que P ( X ≤ x ) = 75% .674) = 75% .645 . Para que un pistón sea útil.90? Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una media de 78 y una variancia de 36.001 cm. y si él es mayor de 5.1 kilogramos inclusive.. Si en la fábrica se producen mensualmente 20. a).5 z .5 1. Encuentre la fracción de estos perros de lana con pesos.¿Cuál es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diámetro entre 947 y 958 milímetros? b).5 + 1. solamente el 10% de estos.¿Cuántos pistones serán desechados? 73 5. tendremos: X − 3. z = 0 x − 3 .282 .577 años.El diámetro de los pernos de una fábrica tiene una distribución normal con una media de 950 milímetros y una desviación estándar de 10 milímetros.000 pistones: a). a).arriba de 9..5 + 1.5 .. b)..002 cm. su diámetro debe encontrarse entre 4. De las tablas porcentuales de la distribución normal estándar. Si el diámetro del pistón es menor de 4.¿Cuántos pistones serán útiles? b).- 4).5 años y desviación estándar σ = años.5(−1..5 0 0 0 Por tanto.6 kilogramos.5 0 0 0 0 0 en donde.entre 7. tenemos: x = 3.282) = 1. EJERCICIOS 2 1). Finalmente el periodo de garantía: x = 3. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 4). éste se desecha. Como X representa a la vida promedio de los aparatos.5 kilogramos.- Una fábrica produce pistones cuyos diámetros se encuentran distribuidos en forma normal con un diámetro promedio de 5 cm y una desviación estándar de 0. 0 2).- 3).¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta un examen obtenga una calificación mayor a 72? b).La variable aleatoria X representa la vida promedio de cierto aparato electrónico. 1 . con media µ = 3.002 se puede reprocesar.5 P ( X ≤ x ) = P ≤ = P ( Z ≤ z ) = 0...9 kilogramos.¿Cuál es el valor apropiado de c tal que un perno escogido al azar tenga un diámetro menor que c con una probabilidad del 0.. 1.¿Cuál debe ser la mínima calificación aprobatoria si el examinador pretende que solamente el 28% de los estudiantes apruebe? Los pesos de un número grande de perros de lana miniatura están distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 8 kilogramos y una desviación estándar de 0. resulta z = −1. c).998.10 .ELABORÓ EL DR. a).1 0 . x .cuando mucho 8. tiene una distribución aproximadamente normal.998 y 5. y el 10% a la probabilidad de que el aparato dure menos que el período establecido. despejando x .. Si el fabricante de dichos aparatos desea reparar en el periodo de garantía. Determinar cuál tendría que ser el periodo de garantía..3 y 9.5 x − 3. ¿Qué distribución continua es invariante en el tiempo.Las televisiones de cierta marca tienen una vida media de 12 años. Si los estudiantes que pesen más de 85 kg. b).000 y desviación estándar de $50. describe a su función de densidad de probabilidad..P ( Z > 7... 6). 7)..000 y $500.- ¿Cuántos pistones necesitan ser reprocesados? La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de cierta máquina. Abajo de que costo anual se encuentra el presupuesto para la reparación anual de las máquinas en el 10% de los casos.- EJERCICIOS MODELOS CONTINUOS 1). qué porcentaje de sus productos tendrá que reparar la industria durante el periodo de garantía?.23) .. por garantía.Si X es una variable con distribución normal.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD c). b). Si la vida útil de ese tipo de televisiones puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. 6). 4). si desea reparar.¿Si el tiempo de garantía asignado por los administradores es de 2 años. b). El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valor promedio de 73.P (0 < Z < 12.Los administradores de cierta industria han notado que su producto tiene un tiempo de duración que puede considerarse una variable aleatoria con distribución exponencial con una vida media de 5 años.. d).¿Cómo son las variables aleatorias con distribución exponencial. serán convocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representará a la escuela.P ( Z ≤ −3π ) .000 a)... año? 8). a lo más el 20 % de los televisores?. calcula (sin usar tablas ni calculadora) con 4 dígitos exactos: a).3..Sea Z una variable de un modelo normal estándar.. ¿Cuál es la probabilidad de que un interruptor falle después del 3er. Calcula la probabilidad de que los costos de reparación para este año estén entre $300.000. determine el porcentaje de alumnos que podrán ser convocados.. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que otorgará el fabricante.¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un articulo de dicha producción dure más de 10 años?. 74 ...El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de µ = 2 años. 5). con respecto del tiempo?. es decir no tiene memoria?. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual se comportan de forma normal con media de $400.¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución exponencial?. 2).5 kg y una variancia de 4.P (−8 < Z < 8) . 3). c).5).79) .. a). con media 3. 14).2 puntos y variancia de 1. Un cable se considera defectuoso si el diámetro se diferencia de su promedio en más de 0.Una empresa metalúrgica produce rodamientos con un diámetro que tiene una desviación normal.8 puntos. Calcule la probabilidad de que su tiempo de espera sea: a). c).Se supone que los resultados de los exámenes de Introducción a la administración en la universidad..0010 pulgadas.01mm. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cable bueno? 17)..Los tornillos producidos por una máquina tienen un diámetro con distribución normal.. ¿qué fracción de la producción total será rechazada? 12).Ciertos tipos de baterías para automóvil tienen un tiempo de vida normalmente distribuido con media 1.Suponga que el tiempo promedio que tardan en atenderlo en una oficina de la tesorería es de 10 minutos.De 5 a 10 minutos. 10). aquellos cuyo diámetro se desvía de su media en más de 0. b).8 y variancia 0.200 días y desviación estándar igual a 100 días. Las especificaciones requieren que los diámetros estén en el intervalo ± pulgadas.Encuentre la probabilidad de que no llegue ningún cliente antes de las 8:10 horas.Si son ahora las 8:50 horas y el último cliente entró en las oficinas a las 8:40 horas. con una media de 230 mililitros y una desviación estándar de 10 mililitros. b).Encuentra la función de densidad para la variable exponencial que describe el tiempo entre llegadas. a). tienen una distribución aproximadamente normal con µ = 7.0 000.0005 pulgadas y desviación estándar de 0.025 mm.ELABORÓ EL DR. Considerando a los tornillos defectuosos..05 horas. Si los tornillos se distribuyen en cajas con 200 tornillos cada una... y cuya desviación estándar es de 0.Mayor de 10 minutos. Además se consideran a las cajas independientes. ¿cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llegué antes de las 9:00 horas? 11). Calcule la probabilidad de que el siguiente vaso despachado tenga más de 250 mililitros. La oficina abre a las 8:00 horas..025. ¿Por cuánto tiempo se deben garantizar las baterías si el fabricante quiere reemplazar sólo el 10 por ciento de las baterías vendidas? 15).. 13). ¿Cuántos de los 480 alumnos que van a presentar el examen de esta asignatura obtendrán una calificación menor a 6? 16). ¿cuál es la probabilidad de que en menos de 3 cajas de 8 seleccionadas al azar se encuentren menos de 10 tornillos defectuosos?. Si los cojinetes cuyos diámetros quedan fuera de ese intervalo se rechazan.El diámetro de un cable eléctrico está distribuido normalmente con promedio 0. y que ese tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente.El tiempo entre llegadas a la oficina de Hacienda es exponencial con valor medio de 0. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 9).3 75 .0004.El liquido despachado por una máquina de refrescos está distribuido normalmente...Se observo durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones de cierta fábrica tiene aproximadamente una distribución normal con µ = $400 y 0200.. ? 2 2 2 20).Cierto proceso de manufactura produce pernos que deben tener un diámetro entre 1. Si los salarios tienen aproximadamente una distribución normal.Una compañía paga a sus empleados un salario promedio de $5. ¿Cuál es la probabilidad de que otro cilindro tomado al azar..5 % de los solicitantes sigan siendo considerados en esta prueba? 21). b). σ = . Se sabe que el diámetro se distribuye normalmente con µ = 1. ¿De cuánto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento.su resistencia esté en el intervalo de 210 a 240 kg/ cm .1? 18). Suponga que la resistencia a la compresión tiene una distribución normal.69 pesos por hora inclusive? b). por cm .¿Mayor de que cantidad es el 5 % de los salarios más altos? 20. ¿Qué porcentaje de los pernos está fuera de éstas especificaciones? 19).2 y 1. con una desviación estándar de 30 kg.¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salario entre 4. a). por cm . si se quiere que aproximadamente el 2.25 pesos por hora con una desviación estándar de 50 centavos... se obtuvieron los resultados: en promedio resistieron 240 kg.25 pulgadas.. ¿Cuál debe ser el valor de µ .GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD σ = . y que una puntuación mínima de 65 le permita al solicitante seguir siendo considerado. a). Suponga que la distribución de las puntuaciones es normal.0 01 2 02$ 76 .. para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 0.Para seleccionar a sus empleados un ejecutivo industrial usa una prueba que tiene una puntuación promedio µ y una desviación estándar.resista más de 330 kg/cm .Al probarse a compresión simple los cilindros de concreto...21 y σ = .75 y 5. P ( X = k ) = p (1 − p ) − .)d -. 3. C). k = 1.En la parte de debajo de la tabla escribe la relación que existe entre las siguientes columnas Nombre Definición Expresión matemática A). de una población finita dividida en dos clases. - k Variable aleatoria 3). cada uno con una probabilidad de éxito p. se calificará aciertos menos errores. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ IPN.. 2. En este caso la probabilidad de que ocurra un solo resultado es proporcional a la magnitud del intervalo y/o al tamaño de la región y no depende del número de sucesos ocurridos fuera de ellos. B). I.Representa el número de Hipergeométrica individuos.)c .Variable aleatoria 1).0} ≤ k ≤ min{n. K .. n La función vale 0 en cualquier otro lugar. 2. P( X = k ) = C p (1 − p) − k = 0.. como se relacionan las columnas anteriores: a) -----------------b) -----------------c) -----------------d) -----------------77 k n k k n Variable aleatoria 4)..Ninguna de las anteriores. sin reemplazo.. 31/07/1998 Nombre:_______________________________________________________________________ Notas: El examen es totalmente conceptual. - P( X = k ) = 5). La sección I. C C C − − .)b -.Representa el número de éxitos de Poisson ocurridos en una secuencia finita de n ensayos independientes. - P( X = k ) = max{n + m − N .K La función vale 0 en cualquier otro lugar. E). µ e− µ 1 k Variable aleatoria 2). 3.UPIICSA Sección de estudios de Posgrado e Investigación Examen de Selección. Espacio para las respuestas. .Representa el número de la Binomial prueba en que se obtiene el primer éxito en una secuencia de k ensayos independientes. presentes en una muestra tomada.. - n N k n k m N m a). de una clase determinada. k! k = 0.K La función vale 0 en cualquier otro lugar. por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios.ELABORÓ EL DR. m} La función vale 0 en cualquier otro lugar. 1.Representa el número de sucesos Geométrica ocurridos en un espacio y/o en un intervalo de tiempo definido. 1. -. D)..Ninguna de las anteriores.. cada uno con una probabilidad de éxito p. .................... ...................Contesta brevemente a las siguientes preguntas 1........................................ en caso de que no existir................................................................................. Nota: ¡No se pide resolver el problema! 1......... Resp....... ........ ........................... ya sea discreta o continua (no se pide indicar formula.................................................................................................................................................................. que significa el valor esperado y la variancia de una variable aleatoria................................................................................................. por medio de la cual..............................................................................................................................................................................................5 .................................................................................. se pueden aplican cuando tenemos un conjunto finito de eventos independientes.5 ............................................................................................4 ................................ 3..............GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD II......................... .............................¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes....................................................................................................................................... ....... ........ ............. .................................................................................... 4.................................................. 6 y P ( A ∩ B ) = 0.................................................... de una variable aleatoria continua X...................... 5........... 2....................................................................................................... entonces en general P( A B ) = P( A) ? Resp........ bajo ciertas condiciones...................................................................................................... ......... 6 c y Resp............................Sean A y B son dos eventos independientes.......................... 3........................ .................. c 2...............6 .......... III.....................1 ........................................ ....... para calcularlo).......................................... ............... Calcular P (C ) Resp.................Sean A y B son dos eventos mutuamente excluyentes........................................................................................................................................................................... ........................................... ..............Indicar el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal.............................................................................................. .. Calcular P ( A ∪ B ) ( ) = 0............................ y P ( B ) = 0........................Sean A............................. 1 ....................................................En la formulación de las siguientes preguntas es posible que exista un error................... para que sea una función de densidad Resp.................... .... con: P ( A) = 0...¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes.. en tal caso indicar cual sería este.............................................................................................................................. ... cuya unión es el espacio muestral? Resp........ Resp..........Explica de la forma más breve posible................................... con: P ( A) = 0.................................................................................................. con: P ( A) = 0.................... contestar: La pregunta esta bien planteada............................................ P B P ( A ∩ B ) = 0........................Indica las propiedades que debe de cumplir una función f (x) ............................................ Resp........... 78 ........ B y C eventos que forman una partición del espacio muestral S........ . P B Calcular P ( A ∪ B ) ( ) = 0.................................... podemos aproximar cualquier otra distribución......... - P( X = k ) = k n . K .Variable aleatoria 2).K La función vale 0 en cualquier otro lugar.ELABORÓ EL DR.. 1.Lea cuidadosamente la siguiente tabla y escriba en la siguiente página la relación que existe entre las columnas. m} La función vale 0 en cualquier otro lugar.Representa el número de sucesos Geométrica ocurridos en un espacio y/o en un intervalo de tiempo definido. k! k = 0.)E k k n d). sin reemplazo. C). cada uno con una probabilidad de éxito p. k = 1. por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios.Representa el número de la Binomial prueba en que se obtiene el primer éxito en una secuencia de k ensayos independientes.0} ≤ k ≤ min{n. P ( X = k ) = p (1 − p ) − . D). 3. C C C − − . - n N k n k m N m a). - P( X = k ) = max{n + m − N .. de una población finita dividida en dos clases. n La función vale 0 en cualquier otro lugar.2000 _____________________________CALIFICACIÓN: _________________ Notas: El examen es totalmente conceptual.Variable aleatoria 3). se calificará sumando aciertos y restando errores.. cada uno con una probabilidad de éxito p.. . por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios.)5 79 ..seroiretna sal ed anugniN -. 2. - k c). .. 1.UPIICSA Sección de estudios de Posgrado e Investigación Examen de Selección Nombre:_______________________________________________________________________ Notas: El examen es totalmente conceptual. P( X = k ) = C p (1 − p) − k = 0. se calificará aciertos menos errores. FECHA: 03. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ IPN. µ e− µ 1 k b). La sección I. de una clase determinada. B)...K La función vale 0 en cualquier otro lugar.Variable aleatoria 4).Variable aleatoria 1). 2.. En este caso la probabilidad de que ocurra un solo resultado es proporcional a la magnitud del intervalo y/o al tamaño de la región y no depende del número de sucesos ocurridos fuera de ellos.Representa el número de Hipergeométrica individuos.Representa el número de éxitos de Poisson ocurridos en una secuencia finita de n ensayos independientes. La sección I. Nombre Definición Expresión matemática A).seroiretna sal ed anugniN -. presentes en una muestra tomada. 3. I. .......... .............. como se relacionan las columnas anteriores................................3 ............................................................ ............................................. B y C eventos que forman una partición del espacio muestral S................................................ P B Calcule P ( A ∪ B ) ( ) = 0..................................................Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes........................................Sean A y B dos eventos independientes...... Calcule Resp......................................... .................................................................................................. ........................... 80 .........................¿Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes............................................................................... ..........................Contesta brevemente a las siguientes preguntas 4........................................................................... con espacio muestral S...... de una variable aleatoria continua X................................. bajo ciertas condiciones.................................................. 8.......................... 6................4 ........................... 5...... entonces en general P( A B ) = P( A) ? Resp............................................................ indique cuál es.................En la formulación de las siguientes preguntas existe un error............ ejemplo: a) con 5 y B Columna a) con ______ y ______ Columna b) con ______ y ______ Columna c) con ______ y ______ Columna d) con ______ y ______ II...... .. c 7..............................6 y P (C ) = 0... con: P ( A) = 0............................................................... para que sea una función de densidad Resp.................................................¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes....Sean A.................................... P ( B ) = 0.............. podemos aproximar cualquier otra distribución................................. III............ .......................................... ......................................................................................................... c Resp......................................Indica las propiedades que debe de cumplir una función f (x) ...................................... con: P ( A) = 0.................5 ..... por medio de la cual............... ................................................................................................. .......................... se pueden aplican cuando tenemos un conjunto finito de eventos independientes cuya unión es el espacio muestral? Resp.......................................... ....... ........................ 9................................................................ de un experimento dado......................... 1 ...............Indica el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal.............................................................5 .............. ........................................................ Resp.................................................................. 6 y P ( A ∩ B ) = 0 ................................................................................... 6 y P ( A ∩ B ) = 0 ...Define a la variable aleatoria.................................... Calcule P ( A ∪ C ) Resp. 1 ................................. Nota: ¡No se pide resolver el problema! 6................. 10.....................GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD Espacio para las respuestas.......... P B P( A ∪ B) ( ) = 0............ con: P ( A) = 0........... ........... ............................................................... remarcando las similitudes y las diferencias entre éstas.................................................. ................................................................. d)......... para calcularlo)....................... ..........IV.............................Ninguna de las anteriores....................................................................... .................. ... ............ .......................................................................... clásica............................. ................. subjetivista......................... ..... que significa el valor esperado y la variancia de una variable aleatoria................................................................................... ............... ..................................................... .................................................................... Resp...............................................................................................................................................ELABORÓ EL DR..........................................................Entre las diferentes corrientes del estudio de las probabilidades.................... la bayesiana.................................... Explica de la forma más breve posible........................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Establecer relaciones causa – efecto para fenómenos naturales o experimentales.............................................................. tenemos a: La frecuentista................................................. el cálculo de probabilidades es equivalente a a)...........................................................................Contesta brevemente a las siguientes preguntas 1.............. ....................................................................................................... ................. 3........................................................................... 2............................................................................................ ......................................................................................................................... EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ Resp.................................................. .... 81 .................................................................................................................................................. b)........ c).......................................................................................................................................... .................................................................... Resp..................... Resp...................... ......................................................................................................................................................En términos generales.......................................................................................................................................... ..........................Menciona los axiomas de Kolmogorov......................... ...................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ............... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ de la definición axiomática de probabilidad............... ya sea discreta o continua (no se pide indicar fórmula................. .......................................................... Menciona brevemente en qué consiste cada una de ellas....... ..................Predecir el futuro................................................................................ ...Encontrar valores numéricos que nos permitan cuantificar la incertidumbre............................................................ 7............................................................................ Después de una semana de estrenos.2005 Nota: Para obtener todos los créditos escriba el desarrollo de cada respuesta. Admisión para la maestría en administración 10. ¿cuál es la probabilidad de que se tenga que parar la línea de producción?. 4).05.A. la empresa 2 (Televisa) el 45% y la empresa 3 (otras empresas) el restante 15% de televidentes.Una compañía de gran prestigio tiene 2 administradores. 3). La sección I.03. Supóngase que en un lote se encuentran 10 artículos defectuosos. se tiene que la empresa 1 (TV Azteca) tiene el 40%. a). Examen de Probabilidad. estableció la siguiente regla de control de calidad sobre sus líneas de producción para determinar cuando debe llevar a cabo una inspección de la línea.La administración de la empresa PARTEC.. se calificará aciertos menos errores. la empresa 1 comienza a mostrar películas de estreno. Se permite el uso de calculadora y tablas estadísticas. el 6% se cambia a la empresa 3 y el 4% a la empresa 2. Si la probabilidad de que Luis se equivoque es de 0.. y el 4% a la empresa 2 (el 66% sigue en la empresa 3). si encuentra al menos un artículo defectuoso. Finalmente. se encuentra que el 90% de televidentes de la empresa 1 sigue en su programación. Cuando se llevan a cabo los reportes financieros de la empresa. Se reporta que el 60% de los votantes en favor de Fox fueron menores de 22 años.. eventos independientes y árboles.GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD IPN.Según estudios hechos en el 2004 en la ciudad de México para conocer el ranking de televidentes en una hora determinada. Luis y Horacio.1 y de que Horacio lo haga es de 0. mientras que con respecto a los otros candidatos los votantes a su favor menores de 22 años sólo fue el 10%.¿Qué porcentaje de televidentes tiene la empresa televisiva 1 después de una semana? 82 . Para aumentar su porcentaje de televidentes a dicha hora. TEMA Probabilidad condicional. TEMA Técnicas de conteo y probabilidad 1). 2).UPIICSA Sección de estudios de Posgrado e Investigación Nombre:_______________________________________________________________________ Notas: El examen es totalmente conceptual. De cada lote de tamaño 100 toma una muestra aleatoria de 20 artículos y decide parar la línea de producción. S. el 30% de de televidentes de la empresa 3 se cambia a la empresa 1. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona votó a favor de Fox. el gerente deja la misma tarea a ambos administradores. Mientras que el 40% de los televidentes de la empresa 2 se cambia de programación a la empresa 1 y el 5% a la empresa 3 (el 55% sigue en la empresa 2). por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios. Se escoge una persona de 20 años (menor a 22 años) de edad al azar de esta población de votantes. calcula la probabilidad de que ambos hagan mal su trabajo en el siguiente periodo de reportes.En las elecciones pasadas para Presidente de la República Mexicana el 44% de los votantes estuvo a favor de Fox. Se supone independencia en los reportes erróneos de ambos. diferentes de cero. 83 .Una encuesta entre los habitantes del D.000 y desviación estándar de $50.ELABORÓ EL DR. 8 y 10 (millones). Calcula la probabilidad de que 6 personas de 20 entrevistadas estén a favor de López Obrador para las elecciones presidenciales del 2006. Abajo de que costo anual se encuentra el presupuesto para la reparación anual de las máquinas en el 10% de los casos.000 y $500. 5.000. 5).F. b). De forma subjetiva asigna probabilidades. 6). Calcula la probabilidad de que los costos de reparación para este año estén entre $300. muestra que el 38% está a favor de López Obrador para las elecciones de presidente de la República Mexicana del año 2006.000 a).. 7). Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual se comportan de forma normal con media de $400.Las ganancias semestrales X de un empresario tienen un comportamiento aleatorio con valores 3. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ b). se entrevista aleatoriamente a una persona y dice que a dicha hora está viendo la programación de la empresa 1. a cada ganancia y calcula su ganancia esperada.La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de cierta máquina.- Después de una semana. ¿cuál es la probabilidad de que anteriormente la persona entrevistada veía la programación de la empresa 2? TEMA Variables aleatorias.. 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