Unidad IIPROBABILIDAD. En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, ¿entonces qué es lo más aconsejable para predecir su ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información. DEFINICIONES: Probabilidad: Es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando un experimento se lleva a cabo. Probabilidad subjetiva: Se basan en la creencia e ideas en que se realiza la evaluación de las probabilidades y se define como en aquella que un evento asigna el individuo basándose en la evidencia disponible (el individuo asigna la probabilidad en base a su experiencia). La probabilidad subjetiva puede tener forma de frecuencia relativa de ocurrencia anterior o simplemente puede consistir en una conjetura inteligente N. Para clarificar lo antes dicho un ejemplo muy común es el pronóstico del tiempo, muchos individuos como nosotros realizamos una predicción personal de cómo serán las condiciones climáticas para el día, basadas más en nuestra experiencia personal pero que muchas veces sustentamos en experiencia de eventos pasados. La asignación de probabilidad subjetiva se dan generalmente cuando los eventos ocurren solo 1 vez y a lo máximo unas cuantas veces más. Sin embargo en las organizaciones a pesar de que es común tomar decisiones en base a la probabilidad subjetiva la mayoría de las veces esta se respalda con datos futuros estadísticos. PROPIEDADES BÁSICAS: 1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1. 0 ≤ p(A) ≤ 1 2. La probabilidad del suceso seguro es 1. p(E) = 1 3. Si A y B son incompatibles, es decir A p(A B = entonces: B) = p(A) + p(B) 4. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: 5. Probabilidad del suceso imposible es cero. 6. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección. 7. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste. Siendo: P(A) = probabilidad de . si es que los eventos son mutuamente excluyentes. La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales. P(A o B) = P(A) U P (B) = P(A) + P (B) si A y B son mutuamente excluyente. es decir.REGLAS DE LA ADICIÓN. P(A o B) = P(A) + P (B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. REGLA GENERAL. es decir. Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes). de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo).ocurrencia del evento A. entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad: El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos Ejemplo: . P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B. P (B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. 1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Las probabilidades son: Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene: 2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción. Solución: A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo? . realizando un diagrama de Venn se obtiene: .Solución: O también. si la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la del otro. es decir. no pueden ocurrir a la vez. o cuando no tienen ningún punto muestral en común la siguiente regla para calcular dicha probabilidad: entonces se aplica .REGLA ESPECIAL Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes (eventos no intersecantes). Ejemplos 1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Solución: A y B son sucesos mutuamente excluyentes porque no es posible obtener ambos a la vez. Las probabilidades son: Reemplazando los anteriores valores en la regla particular probabilidades para eventos mutuamente excluyentes se obtiene: de la adición de . Calcular la probabilidad de sacar un As o un Rey de corazón rojo en una sola extracción. el tercero ocurre con probabilidad que depende de la de los dos primeros. Hay ocasiones en las cuales es necesario obtener probabilidades de eventos que se interceptan y son dependientes entre sí. es decir.2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número impar o con un número múltiplo de 4? Solución: REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN. y así sucesivamente. el segundo evento puede ocurrir tan solo si el primero ha ocurrido. . es decir. entonces. y se denota por P (B/A). dado A. si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. . se denomina probabilidad condicional de B. calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido. Si A y B son dos eventos dependientes. dicha probabilidad se calcula empleando la siguiente regla: Nota: La probabilidad del evento B.REGLA GENERAL. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey de corazón rojo en dos extracciones sin devolver la carta extraída.Ejemplo 1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Solución: A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída. La probabilidad de que la primera carta sea un As es: Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene: 2) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar un Rey de corazón rojo. Solución: . es decir. para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la siguiente regla: Nota: Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. entonces. Si A y B son dos eventos independientes. La probabilidad de que la primera carta sea un As es: Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene: REGLA ESPECIAL. esto es. si Ejemplo .A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. si el conocimiento de la incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro. el nivel de medición puede ser nominal. . Ejemplo: En un viaje organizado por Europa para 120 personas. así con la relación entre estas. y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Las tablas de contingencia son tablas para clasificar observaciones de una muestra.1) De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. de acuerdo con dos o más características identificables. A menudo los resultados de una encuesta son registrados en una tabla de dos direcciones y utilizados para determinar diversas probabilidades. Escogemos uno de los viajeros al azar. 36 saben hablar francés. Calcular la probabilidad de sacar un As y un Rey en dos extracciones devolviendo la carta extraída. consiste en una tabulación cruzada que resume simultáneamente dos variables de interés. Solución: A y B son sucesos independientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B. La probabilidad de que la primera carta sea un As es: Reemplazando los anteriores valores en la regla particular de la multiplicación se obtiene: TABLAS DE CONTINGENCIA. 48 de los que van saben hablar inglés. A 92 personas les gusta leer. En el siguiente ejemplo muestra la forma en la que las reglas de la adición y multiplicación se emplean en las tablas de contingencia. Los resultados son: . Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas. preguntando si les gusta leer y ver la televisión. . .A 47 personas les gusta ver la tele.EMPLEO DE TABLAS DE CONTINGENCIA EN LAS REGLAS DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN. es decir. Si elegimos al azar una de esas personas: a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele? . Se realiza un estudio de mercado con respecto a la apertura de un nuevo negocio (café internet) en un área determinada y muy concurrida por diversas personas.A 32 personas les gusta leer y ver la tele. se vació la información en una tabla de contingencia según la frecuencia y los rangos de edad de dichas personas. por lo que se realizó una encuesta cuya pregunta principal era la siguientes ¿Con que frecuencia visita un café internet en un día? A partir de la información obtenida de 200 personas que pasaron por el área en el transcurso de 1 hora y participaron en la encuesta se realizó una clasificación cruzada. sabiendo que le gusta ver la tele? c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer? Solución: Vamos a organizar la información en una tabla de contingencia. Es una gráfica útil para organizar cálculos que implican varias etapas. 77 120 30 DIAGRAMA DE ÁRBOL. Se dice que un evento A es dependiente de otro B si para que ocurra A es necesario que ocurra el evento B.b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer. a) P no I 73 0. Esta herramienta está fundamentada en el cálculo de probabilidades condicionadas. Cada segmento del árbol constituye una etapa del problema. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad. en el 98% de los individuos que no . Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Un instrumento útil dentro de la probabilidad condicional son las representaciones que nos permiten analizar la problemática de los eventos cuando estos ocurren uno después del otro. sabiendo que también sucede otro evento B. Concretamente estamos hablando de los diagramas de árbol. 68 47 c) P L 92 23 0. cada rama parte de un nodo que representa un evento aleatorio diferente. El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1 y/o 100% Ejemplo. completando los datos que faltan: Llamemos L = "Le gusta leer" y T = "Le gusta ver la tele". esto quiere decir que ocurra un evento A. Un evento dependiente se define de la siguiente forma.61 120 b) P L / T 32 0. Este está constituido de varias ramas. Las ramas del árbol se ponderan por medio de probabilidades. 05% P/Av L3 = 7% = 0.35 L3 = 15% = 0.07% P/Nav 1 = 97% = 0.50 L2 = 35% = 0. ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? Solución: Hacemos un diagrama en árbol: “Problema: una empresa de autotransporte urbano tiene 3 líneas distribuidas en 3 zonas de la ciudad.la padecen da negativa.0 P/Av L1 = 3% = 0. La línea 1 tiene el 50% de las unidades.” L1 = 50% = 0. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b) Si sabemos que ha dado positiva.97 P/Nav 2 = 95% = 0.93 . Con estos datos elabore un diagrama de árbol que muestre las probabilidades de averiarse y no averiarse. la línea 2 tiene el 35% de las unidades y la línea 3 tiene el 15% restante.95 P/Nav 3 = 93% = 0.03% P/Av L2 = 5% = 0.15 Total: 1. Calcule las probabilidades de que en un día una unidad se averíe o que ninguna se averíe. La probabilidad de que una unidad se averíe es de 3% para la línea dos 5% para la línea dos y 7% para la línea 3. Una permutación es cualquier distribución de “r” objetos seleccionados de un solo grupo de “n” posibles objetos. b. c y a. SIN REPETICIÓN. nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer. Observe que las distribuciones a. . ! = Factorial. de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. b. En las permutaciones el orden es importante.PERMUTACIONES. La fórmula para contar el número de diferentes permutaciones es: nPr= n! /(n-r)! Dónde: n= representa el total de objetos. Se representa por Pn. r = representa el total de objetos seleccionados. c son permutaciones diferentes. 1 = 120.. Por ejemplo: 5! = 5. Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces..1 = 180 dónde expresa que los números marcados con color rojo se eliminan y los demás se multiplican entre sí.3. plata y bronce) *Este es un ejemplo de permutación.3.2. De cuantas maneras se pueden organizar en oro.1)/ 4.n2 .2.5.4.1(3. .nr. Por definición 0! = 1 Ejemplo.4. donde el orden en el cual los sucesos ocurren importan. 1) En una carrera hay 20 atletas. el segundo se repite n2 veces. La notación factorial se puede eliminar cuando los mismos números aparecen tanto en el numerador como en el denominador.2.En las permutaciones y las combinaciones se emplea la notación “n” factorial (n!) y significa el producto de n (n-1)(n-2)(n-3)……(1).2. Ejemplo: 6! 3! / 4! = 6.3. Se representa por Pnn1.. cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación...r)= n!/(n-r)! = 20x19x18x17!/17! = 20*19*18= 6840 maneras posibles de organizarlos CON REPETICIÓN. aplicamos lo que sabemos de permutaciones: P(n. y el último se repite n veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo.. Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines. “r” a la vez. Solución: n = 6 banderines x1 = 2 banderines rojos x2 = 3 banderines verdes x3 = 1 banderín morado 6 P2. tres son verdes y uno morado. SIN REPETICIÓN. . un conjunto de objetos alguno de los cuales son parecidos.n2. La notación para las combinaciones es nCr que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados. dos de los cuales son rojos.nr) Ejemplo.1 = 6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes COMBINACIONES. r = representa el total de objetos seleccionados. ! = Factorial. Se representa: Fórmula: nCr= n!/ [r!(n-r)!] Dónde: n= representa el total de objetos.n2. Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de n elementos tomados de r en n r (de orden r) son los distintos grupos de r elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos.n1.n3…. de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación.n3….Para conocer el número de permutaciones de un multiconjunto.nr)=n!/( n1. es decir.3. cualquier selección se denomina combinación. Tiene como fórmula: P(n. entre 12 árbitros elegibles se seleccionaron 5. pero con el siguiente cambio: nCRr= n!/ [r!(n-r)!] Dónde: n= representa el total de objetos que se repiten + r .1 r = representa el total de objetos seleccionados. Las combinaciones con repetición es igual que construir las combinaciones sin repetición con un elemento más. de forma que los grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Los organizadores de un partido de fut bol colegial. ¿Cuántos equipos de 5 árbitros se pueden formar? n=12 r=5 nCr = n!/ [r!(n-r)!] 12C5=12!/ [5!(12-5)!] 12C5=12!/ (5!7!) 12C5=(12. están escogiendo a los árbitros de los partidos.11. .10.Ejemplo.9. CON REPETICIÓN.2. Combinaciones con repetición de n elementos tomados de r en n r son los distintos grupos de r elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los n elementos que tenemos.4. considerando la misma fórmula.1) 12C5=95.8)/(5.3.040/120 12C5=792 Se pueden formar 792 combinaciones de 5 árbitros. ! = Factorial.1)(1)) 4C3=4/1 4C3=4 Posibilidades. tres verdes. no influye el orden. Puede haber repeticiones porque hay dos colores y tenemos que sacar tres bolas. ¿Cuántas formas habrían de sacarlas? Al sacar las bolas a la vez y no anotar el orden en el que salen.1)/((3. Ejemplo. n=2 r=3 nCRr = n!/ [r!(n-r)!] (2+3-1)C3=(2+3-1)!/ [3!((2+3-1)-3)!] 4C3=4!/ (3!(4-3)!) 4C3=4!/ (3!1!) 4C3=(4. dos blancas y una verde. .2. dos verdes y una blanca. Sacamos tres bolas a la vez. Tenemos en una bolsa 4 bolas blancas y 4 bolas verdes.2.3. por ser números tan pequeños podemos determinar que las posibilidades son tres blancas. 8). una cara ocurre tres veces. tres veces. el total de probabilidades de todos los eventos posibles es 1. Esto siempre se cumple. etc. es decir. ¿Cómo generar una distribución de probabilidad? Ejemplo: Suponga que le interesa el número de caras que aparecen en tres lanzamientos de una moneda. En el primer lanzamiento puede aparecer una cara. O puede obtener cruz. Los posibles resultados son: cero caras. la probabilidad de una cara es de tres octavos. . en ese orden. Por consiguiente. cero caras se presentó una de ocho veces. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras? Solución: Hay ocho posibles resultados.DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado. dos caras y tres caras. la probabilidad de cero caras es de un octavo.000. aplique la fórmula de la multiplicación: (2)(2)(2). Observe que el resultado cero caras ocurre sólo una vez. Como uno de estos resultados debe suceder. Tal es el experimento. una cruz en el segundo lanzamiento y otra cruz en el tercer lanzamiento de la moneda. una cara. 8 posibles resultados. Estos resultados se listan enseguida. Para obtener los resultados del conteo (5. dos caras. Es decir. cruz y cara. y el resultado tres caras ocurre una sola vez. Presentación gráfica del número de caras que resultan de tres lanzamientos de una moneda y la probabilidad correspondiente Distribución de probabilidad de los eventos relativos a cero. una. dos y tres caras en tres lanzamientos de una moneda . VARIABLE ALEATORIA Cantidad que resulta de un experimento que. Una calificación no puede tener un valor de 8. puede adoptar diferentes valores. Se puede suponer una infinidad de valores.CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 1. La probabilidad de un resultado en particular se encuentra entre 0 y 1. Variable aleatoria continua Por otra parte. Por ejemplo. se trata de una variable aleatoria continua. Si pesa cuatro lingotes de acero. así. El peso es una variable aleatoria. la estatura de una persona o la presión de la llanta de un automóvil. con ciertas limitaciones. Dichos valores son discretos. 8. Una variable discreta suele ser resultado de contar algo.4.13 horas. Los resultados son eventos mutuamente excluyentes. Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria discreta adopta sólo cierto número de valores separados. etc.3 y 8. el número puede ser 0. por azar. 2. etc. Por ejemplo: • Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4. los pesos pueden ser de 2 492 libras. La lista es exhaustiva. lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis posibles resultados. Estos valores deben estar separados: debe haber cierta distancia entre ellos. 1. como la anchura de una recámara. los resultados se presentan al azar. 100. como 7. pues hay una distancia entre calificaciones de 8. Algunos experimentos dan origen a resultados de índole cuantitativa (como dólares. Variables aleatorias En cualquier experimento aleatorio. inclusive. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado. 1.34 o de 8. Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes. a éste se le denomina variable aleatoria.347. 2. el recuento de la cantidad de ausentes el lunes sólo puede ser 0. 5. peso o número de niños). si la variable aleatoria es continua. 2. es una distribución de probabilidad continua.9 y 9. por ejemplo. 3. 2 506 libras. ….2. .67 horas. 3. Si hay 100 empleados. una variable aleatoria discreta asume valores fraccionarios o decimales. A veces. la suma de las probabilidades de los diversos eventos es igual a 1.… El número de ausencias es una variable aleatoria. Así. otros dan origen a resultados de naturaleza cualitativa (como el color o la afiliación religiosa). Por definición: VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Variable aleatoria que adopta sólo valores claramente separados. 2 497 libras. Si mide algo.7. Por ejemplo. La variable aleatoria es la cantidad de horas. las calificaciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticas en una competencia de patinaje artístico son valores decimales. 3. Ideó la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado. Así. como: • El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda. Media. el resultado es una distribución de probabilidad. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados. como: • La duración de cada canción en el último álbum de Tim McGraw. si organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad. Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición. ¿cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria? Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento.Por lógica. • El número de estudiantes que obtienen A en clase. . • El peso de cada estudiante de esta clase. John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado. ¿Cuál diría que es la diferencia entre los dos tipos de distribuciones? Por lo general. una distribución discreta es el resultado de contar algo. así como la correspondiente probabilidad. varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD VARIANZA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Ejemplo John Ragsdale vende automóviles nuevos en Pelican Ford. Por lo general. ¿Cuál es la varianza de la distribución? Se trata de una distribución de probabilidad discreta para la variable aleatoria denominada número de automóviles vendidos. . a lo largo de una gran cantidad de sábados. ¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal? 3. no puede vender medio automóvil.¿De qué tipo de distribución se trata? 2.1 automóviles por día. los resultados son mutuamente excluyentes: no puede vender un total de 3 y 4 automóviles el mismo sábado. es la raíz cuadrada positiva de la varianza. no espera vender 5 automóviles ni 50. John Ragsdale espera vender un promedio de 2. ¿Cómo interpretar una media de 2. Observe que John sólo espera vender cierto margen de automóviles. Además. σ.1? Este valor indica que. 3 o 4 automóviles. 1. 2. Sólo puede vender 0. Asimismo. Recuerde que la desviación estándar. .136 automóviles? Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.91 automóviles.1 automóviles los sábados y la desviación estándar en sus ventas fue de 1.En este ejemplo es: ¿Cómo interpretar una desviación estándar de 1.136).91 > 1. concluiría que hay más variabilidad en las ventas sabatinas de Kirsch que en las de Ragsdale (pues 1.