UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNOE.P. Ingeniería Geológica ÍNDICE Página. Introducción…………………………………………………………………………………… ………………………………….2 Elementos de probabilidades………………………………………………………………………………… ……………2 Concepto de probabilidad en espacio finito equiprobable………………………………………………….4 Axiomas de probabilidad…………………………………………………………………………………… ………………5 Probabilidad condicional…………………………………………………………………………………… ………………9 Teorema de Bayes…………………………………………………………………………………………… ………………..11 Eventos independientes……………………………………………………………………………… …………………….12 Variables aleatorias……………………………………………………………………………………… ……………………14 Distribución discreta de probabilidades……………………………………………………………………………..15 Distribución continúa de probabilidades…………………………………………………………………………….16 Esperanza……………………………………………………………………………………… …………………………………...17 Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.P. Ingeniería Geológica Varianza………………………………………………………………………………………… ……………………………………19 Bernuolli………………………………………………………………………………………… ……………………………………19 Binomial……………………………………………………………………………………… ………………………………………20 Hipergeométrica…………………………………………………………………………… …………………………………….21 Distribución Poisson………………………………………………………………………………………… ………………….21 Distribución Normal…………………………………………………………………………………………… ……….………22 INTRODUCCION La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia. En principio no sabemos cuál sería el resultado del experimento aleatorio, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral (o también llamado espacio muestra de un experimento Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 2 Los primeros estudios de probabilidad fueron motivados por la posibilidad de acierto o fracaso en los juegos de azar. Con la ayuda de algunos ejemplos ilustraremos a continuación los conceptos de espacio muestral y evento. Ingeniería Geológica aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. operaciones cuyo resultado no puede ser predicho de antemano con seguridad. Por otro lado. 3. Enfoques de probabilidad 1. ELEMENTOS DE PROBABILIDADES. c) extracción de una carta de una baraja de 52 cartas.P. y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega). es decir. Evento o Suceso: es cualquier subconjunto de un espacio muestral. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados asociados a un experimento. el lanzamiento de una moneda. C. Si el espacio muestral tiene un número finito de elementos o infinito numerable. La probabilidad es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios. 2. Ejemplo: a) lanzamiento de una moneda. Su símbolo es Ω. Esta letra proviene del término sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. b) lanzamiento de un dado. Todo subconjunto es un evento. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 3 . En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. etc. Por ejemplo. Más adelante mostraremos que este conjunto no es necesariamente único y su determinación depende del interés del observador o persona que realiza el experimento aleatorio. entonces se dice que éste es continuo. B.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Experimento aleatorio o experimento: Cualquiera operación cuyo resultado no puede ser predicho de anterioridad con seguridad. llamaremos evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A. entonces se dice que éste es discreto y si el espacio muestral tiene como elementos todos los puntos de algún intervalo real. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.P. llamado suceso imposible. Como los eventos son subconjuntos de Ω. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 4 . por lo tanto todos los complementos son tomados respecto a Ω. entonces es posible aplicar la teoría de conjuntos para obtener nuevos eventos. En todo experimento aleatorio Ω se considera el conjunto universal. llamado suceso seguro θ y el conjunto vacío también es un evento. Ingeniería Geológica en particular Ω mismo es un evento. entonces la probabilidad de un evento A es el cociente .UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. es decir Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 5 . Si Ω es un espacio muestral con n elementos.P. . Ingeniería Geológica CONCEPTO DE PROBABILIDAD EN ESPACIO FINITO. donde m es el número de elementos de A. Definición: Diremos que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si no pueden ocurrir juntos. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Ingeniería Geológica AXIOMAS DE PROBALIDAD. Sea Ω un espacio muestral y sean A y B dos eventos cualesquiera de este: De estos tres axiomas fundamentales es posible determinar algunas propiedades y consecuencias: Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 6 .P. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 7 .P. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 8 .UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.P. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 9 .UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.P. Cuando se está calculando la probabilidad de un evento A en particular. se lee "probabilidad de A dado B" y se define como: Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 10 . la cual se denota por P (A/B). y se tiene información sobre la ocurrencia de otro evento B.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Ingeniería Geológica PROBABILIDAD CONDICIONAL.P. esta probabilidad se conoce como probabilidad condicional. En una oficina hay 100 máquinas calculadoras.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. ¿Cuál es la probabilidad que sea eléctrica? Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 11 . Ingeniería Geológica Ejemplos. algunas de ellas son eléctricas (E) mientras que otras son manuales (M). El número de máquinas por categoría está dada en la siguiente tabla: Una persona entra a la oficina y escoge una máquina al azar. 1. descubre que es nueva. De ellas unas son nuevas (N) y otras usadas (U).P. P. Ejemplo. Ingeniería Geológica TEOREMA DE BAYES.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 12 . UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Suponga que en un día dado. mientras que la línea B ha producido 1 componente defectuoso y 9 componentes no defectuosos. la línea A ha ensamblado 8 componentes de los cuales 2 son defectuosos y 6 son no defectuosos.P. El encargado de ventas selecciona al azar una de estas 18 componentes para una demostración y encuentra que es defectuosa. La línea A usa equipos más viejos que la línea B de manera que es algo más lenta y menos confiable. ¿Cuál es la probabilidad que esta componente haya sido ensamblada por la línea A? Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 13 . Ingeniería Geológica Componentes complejas son ensambladas en una planta que usa dos líneas de ensamblado A y B. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 14 .P. Ingeniería Geológica EVENTOS INDEPENDIENTES. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 15 .P. Ingeniería Geológica VARIABLES ALEATORIAS.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 16 .P. a continuas representan datos medidos. temperaturas. distancias o Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 17 . pesos. Ingeniería Geológica En la mayoría de los problemas prácticos.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. tales como alturas. las v.P. tales como el número de artículos defectuosos de una muestra de k artículos o el número de accidentes por año en una vía rápida en una determinada ciudad. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 18 . Ingeniería Geológica períodos de vida. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD.a discretas representan datos que se cuentan. mientras que las v.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.P. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES. y para este tipo de variables se llama función de densidad de probabilidad o función de densidad. Esta fórmula es una función.a continua no puede presentarse en forma tabular. Como una distribución de probabilidad de una v. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 19 .P. es decir. ƒ(x).UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. si puede tener una fórmula. su distribución de probabilidad no puede darse en forma tabular.a continua tiene probabilidad cero de asumir cualquiera de sus valores. Luego. Ingeniería Geológica Una v. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 20 .P.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. E(X) es: Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 21 . El valor esperado de X. simbolizado por .a con función de probabilidad o función de densidad ƒ(x). Concepto: Sea X una v. Sea g(x) una función de la v.P.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. El valor esperado se usa como una medida de centro de una distribución de probabilidad de una V. Ingeniería Geológica ESPERANZA DE VALOR ESPERADO.A.a ?. P.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Ejemplo a) aprobar o reprobar una asignatura b) obtener cara o sello al lanzar una moneda Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 22 . Ingeniería Geológica DISTRIBUCION BERNOULLI. El experimento más sencillo es aquel que puede resultar en uno de dos resultados posibles. simplemente denotando algún evento A como éxito y su complemento Ac como fracaso. Cualquier experimento puede usarse para definir un ensayo Bernoulli.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 23 . Ingeniería Geológica c) sexo de un niño al nacer El experimento con dos resultados posibles se denomina ensayo Bernoulli. DISTRIBUCION BINOMIAL.P. Ensayos independientes indica que los ensayos son eventos independientes. Lo que establece una diferencia entre estas dos distribuciones de probabilidad discreta es la forma en que se obtiene la información. La función de probabilidad de una v. Tanto la distribución binomial como la distribución hipergeométrica persiguen un mismo objetivo: el número de éxitos n en una muestra que contiene observaciones. lo que ocurre en un ensayo no influye en el resultado de cualquier otro ensayo. cada uno con probabilidad de éxito. Para el caso de la distribución binomial la información de la muestra se toma con reposición de una muestra finita. Por lo tanto. Para el modelo hipergeométrico la información de la muestra se toma sin reposición de una población finita. se llama experimento binomial con ensayos y parámetro. es constante a lo largo de todas las observaciones de un experimento binomial. la probabilidad de éxito P.P. esto es.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. o sin reposición de una población infinita. en una distribución hipergeométrica el resultado de una observación afecta el resultado de las obseravciones previas. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA. en cambio. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 24 .a X con distribución hipergeométrica es. El espacio muestral para un experimento binomial es el producto cartesiano de los espacios muestrales de los ensayos Bernoulli consigo mismo n veces. Ingeniería Geológica Concepto: un experimento que consiste de ensayos Bernoulli independientes. una semana. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 25 se . El número X de resultados que ocurren en un experimento Poisson se llama v. un mes o inclusive un año. de Poisson.P. un minuto. Ingeniería Geológica DISTRIBUCION POISSON. un día.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. El número promedio de calcula de la forma resultados . Por tal motivo un experimento Poisson puede generar observaciones para una cierta v.a X y que representan el número de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica frecuentemente se llaman experimentos Poisson .donde t es el tiempo o región específicos de interés. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración. o al número de juegos pospuestos debido a la lluvia durante una temporada de fútbol.a X que representen el número de llamadas telefónicas por hora que se recibe en una oficina. Los experimentos que resultan en valores numéricos de una v. por ejemplo. el número de días en que una determinada escuela se cierra en invierno debido a la nieve.a. Esta curva permite describir muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza. Ingeniería Geológica DISTRIBUCION NORMAL.P. normal. Una v. Su gráfica recibe el nombre de curva normal. la industria y la investigación. Propiedades de la curva normal.UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E. Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 26 . Es la distribución continua de probabilidad más importante en el campo de la estadística.a continua X que tiene distribución en forma de campana se llama v.a. su forma es la de una campana. P. Ingeniería Geológica Juan Edwin Chara Chambi Geoestadística 27 .UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO-PUNO E.