Probab i Lida Des

CENTRO PREUNIVERSITARIOEJEMPLO:  1: Lanzar una moneda  2: Lanzar un dado  3: Formar un comité integrado por dos personas de un grupo de 10. ESPACIO MUESTRAL (): Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio (). EJEMPLO  1: En el lanzamiento de una moneda  = C; S  2: En el lanzamiento de un dado  = 1; 2; 3; 4; 5; 6 DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD: La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos (sucesos) favorables y el número total de casos (sucesos) posibles. P(A)  Donde:    A: obtener un número no menor que 3  Casos favorables: A = {3; 4; 5; 6}  n(A) = 4  P(A) n(A) 4 2   n() 6 3 PROBABILIDAD CONDICIONAL: Se calcula la probabilidad de un suceso “B”, sabiendo que ocurrió el suceso “A”, del cual depende el suceso “B” P(A  B) P( A ) EJEMPLO Se extrae una ficha de 10 que están numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad que sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par? : extraer una ficha  Casos posibles:  = 1; 2; 3; … ; 10  n() = 10 A: sea un número par A = 2; 4; 6; 8; 10  n(A) = 5 B: sea un número múltiplo de 3 B = 3; 6; 9 n(B) = 3 AB: sea par y múltiplo de 3 AB = 6 n(AB) = 1 Luego n(A) n( ) n(A) 5  n() 10 n(A  B) 1   P(A  B)  n() 10  P(A): probabilidad que ocurra “A” n(A): número de casos favorables al evento “A” n(): número de casos posibles en “” CICLO ACADÉMICO 2015-III  RE CE P Se observa que A   : lanzar un dado legal  Casos posibles:  = 1; 2; 3; 4; 5; 6 n() = 6 P(B/A)  EVENTO (A): Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral (). EJEMPLO : En el lanzamiento simultáneo de dos monedas  = CC; CS; SC; SS A: Las dos monedas muestran el mismo lado A = CC; SS EJEMPLO Se lanza un dado legal. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número no menor que 3? -U NS CH EXPERIMENTO ALEATORIO (): Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir con exactitud antes de realizar el experimento ya que consta con más de un resultado posible. UNSCH 1 P(A)  P (B) 5. RE Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se lanzan 2 dados legales. P(A)= 1 – P(A) n(A) 20 5   n() 36 9 Problema 3. 3. 4. P (A  B) = P (A) + P (B) – P (A  B) 2do dado 1 2 3 4 5 6 El producto de los puntajes es múltiplo de 3 -U NS CH 1er d a 1 d 2 o 3 4 5 6 2. 0P(A) 1 3. 5}  n(A) = 3 N n(A) 3 1    P(A)  n( ) 6 2   Problema 2. Si “A” es un evento seguro en . Si A es un evento contrario de A.CENTRO PREUNIVERSITARIO UNSCH 1 P(A  B) 10 1    P(B/A)  5 P( A ) 5 10 : lanzar dos dados legales A: el producto de los puntajes mostrados sea múltiplo de 3 PROPIEDADES 1. Se saca una bola. ¿cuál es la probabilidad de que sea negra? A) 1/8 B) 1/5 C) 1/3 D) 3/8 E) 5/8 Problema 1. Determinar la probabilidad que el producto de los puntajes mostrados sea múltiplo de 3. P(A) = 1 4. P(A) = 0   6. 2. Si “A” es un evento imposible en . Se lanza un dado legal. 6  n() = 6 A: obtener un número primo  Casos favorables: A = {2. 5. P(A  B) = P(A) . 3. Si “A” y “B” son eventos independientes. A) 1/8 B) 3/8 C) 1/4 D) 1/2 E) 5/9 CICLO ACADÉMICO 2015-III B B N N B N N N n() = 3B + 5N = 8 n(A) = 5  P(A) 2  n(A) 5  n() 8 . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo? A) 4/5 B) 4/6 C) 5/6 D) 1/4 E) 1/2 CE P : extraer una bola A: la bola extraída sea de color negra : lanzar un dado legal  Casos posibles:  = 1. Si “A” y “B” son eventos mutuamente excluyentes. P(A  B)= P(A) + P (B) 1er dado 2do dado   n() = 6  6 = 36 n(A) = 20   P(A) 7. Si “A” y “B” son eventos no excluyentes. Rommel. Calcular la probabilidad de que Rommel y Jessica no se sienten juntos. 4! R M C  n() = 4! = 24 J A Punto fijo A: Rommel y Jessica se sienten juntos CE P RE Si se arrojan 6 monedas. éstas sean una de corazón y la otra trébol? A) 11/102 B) 13/102 C) 1/4 D) 1/36 E) 17/102 UNSCH Antonio. A) 1/4 B) 3/4 C) 1/8 D) 1/2 E) 1/3  n(A) = -U NS CH C 52 2 A: obtener una de corazón y la otra trébol Corazón -Trébol   : sentarse alrededor de una mesa circular 13 C 13 1  C1  13 n(A) C13 13  13 13 1  C1 P(A)     52 52  51 102 n() C2 2! Problema 5. 2 Luego P(A) = 2 6! 6  5  4!    15 4!2! 4!2 CICLO ACADÉMICO 2015-III n(A I ) 12 1   n() 24 2 A: Rommel y Jessica no se sienten juntos  P(A) 3  1 . César. Jessica se sientan alrededor de una mesa circular. : extraer dos cartas de una baraja  n() =   P(A) R 3! 1ºm 2ºm 3ºm 4ºm 5ºm 6ºm        n() = 2  2  2  2  2  2 = 26 = 64 2! J C A Punto fijo M A: obtener 4 caras y 2 sellos (CCCCSS)  n(A) = 2!3! = 12 6      CCCC     SS 4 n(A)= P 6 4. Martha. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja (52 cartas.P(A I )  1  1 1  2 2 . 13 de cada palo).CENTRO PREUNIVERSITARIO Problema 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos? A) 15/34 B) 15/46 C) 15/64 D) 16/54 E) 15/19 : lanzar 6 monedas n(A) 15  n( ) 64 Problema 6. 72) b total de 10. Mateo tiene 3 cartas con las letras «A» «E» y «C».3  La probabilidad de aprobar sólo uno de dichos cursos es 0.CENTRO PREUNIVERSITARIO UNSCH : colocar las cartas en una fila  Casos posibles:  =AEC.6 – 0. calcule la probabilidad de aprobar solo uno de dichos cursos.72 y la probabilidad de no aprobar ninguno de estos cursos es 0.42 = 0. la talla.1. Se escogen al azar 4 focos de un Q(0.  n(A) 1  n( ) 6 1 F(0. C 62  C 24  CE P : retirar una carta de una baraja  n() = 52 A: la carta retirada sea “as”  n(A) = 4 (1 de cada palo: corazón. Por lo que los 2 defectuosos pueden ser ¿Cuál es la probabilidad que al retirar una carta de una baraja se obtenga “as”? A) 1/52 B) 2/13 C) 1/26 D) 3/13 E) 1/13 escogidos de RE n(A) 4 1   n( ) 13 13 Problema 9.1 : escoger al azar 4 focos de un total de 10 Luego b = (0. CEA n() = 6 A: obtener la palabra “CAE”  n(A) = 1 (CAE) Problema 7. la edad.72+0. Halle la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosos. por ejemplo: la posición.58 D) 0.75 E) 0. ¿cuál es la probabilidad de que obtenga la palabra «CAE»? A) 1/2 B) 1/6 C) 2/3 D) 5/6 E) 1/3 CICLO ACADÉMICO 2015-III C 62 maneras y los 2 no defectuosos pueden ser escogidos de  n(A) = C 24 maneras. El ordenamiento lineal se subdivide en: * El ordenamiento lineal horizontal: Ejemplo: El orden de llegada de autos 4 .6)  P(A)  65 43  n(A) C 62  C 24 2 ! 2!  P(A)    10  9  8 7 n() C 10 4 4! ORDEN DE DATOS Y TEST DE CUADRO DE DECISIONES ORDEN DE INFORMACIÓN LINEAL: Consiste en ordenar un grupo de objetos o personas de acuerdo a una característica común. trébol. entonces 2 no son defectuosos) Problema 8. CAE.15 Del enunciado  P(A) Problema 10.48 C) 0. A) 0.18+0. ECA.42 = 0. de los cuales 6 son defectuosos.6+0. el peso. entonces 4 no son defectuosos. pica y diamante) C 10 4 A: de los 4 escogidos 2 sean defectuosos (si 2 son defectuosos. A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7 D) 4/7 E) 5/7 c -U NS CH a 0. Si coloca las cartas en una fila. la antigüedad. etc.42 a = 0.3=0. la probabilidad de que apruebe Química es 0.1) – 1 = 0. Si la probabilidad de que un alumno apruebe Física es 0.18 c = 0.36 B) 0.48  n() = Del enunciado Si de los 10 focos 6 son defectuosos.72 – 0. EAC.6. ACE. Identifica en qué lugar vive Héctor y que carácter tiene. comparación de estaturas. etc. * El ordenamiento lineal vertical: Ejemplo: la distribución de departamentos dentro de un edificio. NO NO NO SI NO NO SI NO NO NO NO NO NO NO SI SI NO NO NO NO NO NO SI NO NO Problema 4. . es recomendable no suponer lo que el problema no señale . menos .El que vive en Jauja es agresivo. Juan solo el miércoles o viernes y ni Juan. Ana vive en el segundo piso. II. un abogado y un médico. . Daniel es primo del abogado y éste amigo de Fabián. ¿Quién es el abogado? A) César B) Fabián C) Pedro de carrera a la meta. CICLO ACADÉMICO 2015-III ingeniero contador abogado médico NO NO SI NO NO NO NO SI SI NO NO NO NO SI NO NO Alberto. Roberto. Junior es amigo del médico. si se sabe que: . Junior y Fabián. José vive en el quinto piso. Como por ejemplo: El orden de la llegada de una competencia Atlética. mart. Cecilia.Andrés no es liberal. la relación de las edades de un grupo de estudiantes. III. un contador. Beatriz tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Huancayo. . En una sala de conferencias están reunidos un ingeniero. Ana vive en un piso bajo y Cecilia en el inmediato superior al de Ana. RE Cinco amigos: Ana. Solo uno puede usarla cada día y ningún sábado o domingo. 5 . pero cada uno tiene caracteres diferentes: tímido. adelante . con precisión. ¿Qué día de la semana trabaja Roberto? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes CE P 7 6 5 4 3 2 1 E) Daniel Problema 3. ni tímido. estableciendo las relaciones entre los datos que presente el enunciado . Luis y Guillermo se turnan para trabajar en una computadora. Alberto solo puede usarla a partir del jueves. Ordenamiento horizontal y vertical Problema 1. más . cada uno en un piso distinto. primero . Alberto Roberto Juan Luis Guillermo lun. viern. … etc. Roberto un día después de Luís. no vive nadie. utilizando mayormente la palabra mayor. Cecilia vive en el tercer piso. los nombres aunque no necesariamente en ese orden son: Pedro. Juan. Tarma y Jauja. Luis vive en el séptimo piso y Jorge entre los pisos de José y Luis. el ingeniero es muy amigo de Fabián y del médico. Pedro Daniel Junior Fabián Luis Jorge José deshabitado Cecilia Ana Hay tiendas.Antonio no está en Tarma. ni Roberto trabajan los miércoles. Para la solución de éste tipo de problemas es conveniente la utilización de un segmento de recta puntualizando en éste la información . D) Junior -U NS CH Se trata de situaciones que presentan característicamente criterios de comparación cuantitativa. Si se sabe que Pedro y el contador no se llevan bien. Daniel. determine las afirmaciones verdaderas: I. Si en el primer piso hay tiendas y no vive nadie y el cuarto piso está deshabitado. . A) I. Jorge y Luis viven en un edificio de 7 pisos. II y III B) I y II C) II y III D) Sólo I E) Sólo II. menor .Andrés no está en Huancayo. ni Luís.CENTRO PREUNIVERSITARIO UNSCH Problema 2. agresivo y liberal.El que está en Tarma no es tímido. miérc juev. ¿Cuál es la C) Tarma . De un total de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 tortas con chocolate y 2 sin chocolate al escoger 5 tortas? A) 201/1067 B) 372/1067 C) 37/512 D) 65/542 E) 5/21 9. Halle la probabilidad de que los libros de cada materia estén juntos? A) 2/63 B) 3/62 C) 1/63 D) 3/77 E) 7/63 10.liberal probabilidad de que juan quede en el centro? A) 2/5 B) 3/10 C) 3/13 D) 1/5 E) 4/7 -U NS CH A) Huancayo . 7.tímido D) Tarma .agresivo UNSCH Se lanza 5 monedas al aire. 50 comen y 15 no bailan ni comen.CENTRO PREUNIVERSITARIO Antonio Andrés Héctor Antonio Andrés Héctor B) Jauja . ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sean sellos? A) 5/12 B) 1/64 C) 5/16 D) 1/6 E) 3/16 Si se arrojan 6 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número no primo? A) 4/5 B) 4/6 C) 1/6 D) 1/2 E) 5/6 3. Nueve libros. Se conoce que en cada 100 tortas se observa que 64 tienen chocolate y los restantes no. resulta que 70 bailan. se extrae dos a la vez. En una caja hay 10 bolas de billar. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número cuya raíz cuadrada sea exacta? A) 1/2 B) 3/4 C) 2/3 D) 1/4 E) 2/5 5. ¿Cuál es la probabilidad que coman y bailen? A) 4/5 B) 1/2 C) 1/3 D) 9/23 E) 5/21 RE 1. ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden juntos? A) 5/8 B) 7/8 C) 4/5 D) 1/4 E) 1/2 11. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un numero múltiplo de 3? A) 1/3 B) 4/5 C) 1/5 D) 1/4 E) 1/2 2. Se lanza un dado común. halle la probabilidad de que por lo menos una resulte de color amarillo? A) 1/6 B) 15/24 C) 5/6 D) 10/12 E) 1/30 6 . si de estas personas se eligen a una de ellas al azar. 9 amigos se sientan alrededor de una mesa circular. de las cuales solo 4 son amarillas. 8. se toman 3 al azar. A lanzar dos dados. de los cuales 5 son de Razonamiento matemático y 4de Razonamiento verbal. ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 10? A) 13/15 B) 10/15 C) 11/12 D) 13/12 E) 1/12 13. Juan y 4 amigos se ubican en una fila. En una fiesta donde asistieron 90 personas. CE P 4.liberal Huancayo Tarma Jauja SI NO NO NO NO SI NO SI NO tímido agresivo liberal SI NO NO NO SI NO NO NO SI Al lanzar un dado al azar.agresivo E) Huancayo . se colocan al azar en una estantería. 6. Al lanzar un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 caras y 2 sellos? A) 63/64 B) 15/64 C) 1/2 D) 1/5 E) 1/64 ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 4 tiros de una moneda y una suma igual a 11 en un tiro de 2 dados? A) 5/72 B) 2/73 C) 1/72 D) 3/73 E) 17/72 CICLO ACADÉMICO 2015-III 12. ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de espadas? A) 1/23 B) 3/17 C) 13/52 D) 1/52 E) 1/17 14. En una caja hay 12 bolas negras y 8 rojas. A) 7/22 B) 6/23 C) 7/24 D) 7/25 E) 6/25 UNSCH CE P 19. el de periodismo está a la izquierda del de educación y frente al de economía. Carla está más abajo que Juana. Carlos. Un sistema electrónico consta de 2 dispositivos M y N. Y. profesor y abogado. que tenía discrepancias con Carlos. El profesor. quien se encuentra un lugar más abajo que María. A) 1/2 B)1/3 C)1/6 D) 1/5 E)1/4 . la probabilidad que falle M es 0. En un comedor.45. este a su vez a la siniestra del de arquitectura. ¼ habla inglés y 1/10 habla los dos idiomas.2 de que fallen ambos es 0. Las 8 personas son estudiantes de diversas especialidades: el de ingeniería esta frente al de educación y entre los de economía y farmacia. Y es más alto que Z y más bajo que W. 7 . Frente al de farmacia está el de derecho. El médico se sentó frente a Luis. Pedro no está al lado de Silvia ni de Juan. Los nombres de las seis personas que se reunieron alrededor de una mesa circular eran: Luis. ¿Cuál es la profesión del que esta entre el de biología y educación? A) Derecho B) Farmacia C) Periodismo D) Ingeniería E) Economía RE 18. que probabilidad hay de. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima. quien está más abajo que Rosa. Las profesiones de estos eran: médico. X es más alto que W y más bajo que Z. Z y W son más bajos que X. Marcos se sentó a la derecha del ingeniero y frente al abogado.15 y de que falle solo N es 0. pero cada uno tiene caracteres diferentes: tímido. psicólogo. un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente: Yo ahorro en Interbanc. agresivo y liberal: * Marcos no está en Lima. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? A) María B) Juan C) Carla D) Daniela E) Tania CICLO ACADÉMICO 2015-III 23. 1/3 de los alumnos hablan portugués. El ingeniero se sentó frente a Eduardo. sacar una bola roja. Se quiere saber: en qué ciudad vive Víctor. X es el niño más alto del aula. Zenaida está en un extremo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son correctas? I. junto al médico y a la izquierda del profesor. 8 comensales se sientan en una mesa circular. Z es el más bajo de todos. A) Lima: liberal B) Cusco: tímido C) Lima: agresivo D) Cusco: liberal E) Iquitos agresivo 24. Cinco amigos están sentados en una banca en el cine. II. ¿Quién tenía discrepancias con Carlos? A) Eduardo B) Marcos C) Luis D) Andrés E) Guillermo -U NS CH 15. Seis amigas están escalando una montaña. ingeniero. en la misma aula. sacar una bola negra y luego de reponerla. Eduardo y Marcos. sociólogo.CENTRO PREUNIVERSITARIO 16. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania. Cusco e Iquitos. Un estudiante. En un curso de 60 alumnos. * El que está en Lima no es tímido. que es uno de los amigos y que carácter tiene. Zenaida y Pedro se ubican en forma adyacente. * Luis no está en Cusco. ¿Quién se sienta al lado de Silvia? A) Juan B) Pedro C) José D) Manuel E) Zenaida 20. Si Silvia y Manuel están peleados. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo. dice el medico a Jacinto. ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable solo un idioma? A) 20/33 B) 23/60 C) 25/67 D)1/13 E) 21/60 17. * Luis no es liberal ni tímido. A) Solo I B) I y II C) I y III D) Solo II E) II y III 21. que se encuentra entre Juana y Tania. ORDEN DE DATOS Y CUADRO DE DECISIONES 22. determine la probabilidad de que falle M sabiendo que fallo N. Un abogado invito a 5 personas a una conferencia. Guillermo. III. ubicados uno a continuación de otro. se sentó frente a Andrés. Luis se sentó entre el sociólogo y el profesor. El abogado dice: “Mi secretaria lleva mi dinero al Banco de Lima” . Betty. si se sabe que fue par? A) 1/4 B) 1/3 C) 1/7 D) 1/2 E) 1/5 29.El tercer personaje se llama José. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un número mayor que 2? A) 1/5 B) 1/6 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/2 26. pero no tiene auto. 6 rojas y 6 verdes. La enfermera camina siempre a su trabajo.CENTRO PREUNIVERSITARIO UNSCH . ¿calcular la probabilidad de que dicha bola sea múltiplo de 3. Ana. La actriz gana más dinero que la profesora o la secretaria.Tito comenta: “El banco que más intereses paga es el latino” . Se sabe lo siguiente: Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarse el auto al trabajo. Ana le gana siempre a Dina jugando casino. ¿Cómo se llama el estudiante? A) Alex B) Tito C) Pedro D) Jacinto E) José TAREA -U NS CH 25. La única vez que la secretaria vio a la actriz detuvo su auto para pedirle un autógrafo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o 4 al lanzar un dado? A) 2/3 B)2/9 C)2/5 D) 1/4 E)1/3 CE P RE 27. Calcular la probabilidad de obtener 2 de cada color (sin reemplazo). Se extrae una bola de billar de un total de 10 numeradas del 1 al 10. secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). A) 3/10 B)1/10 C)4/11 D) 5/11 E) 7/10 28. profesora. Carol y Diana son 4 señoritas cuyas ocupaciones son: enfermera. ¿A qué ocupación se dedica Carol? A) Contadora B) profesora C) secretaria D) enfermera E) actriz CICLO ACADÉMICO 2015-III 8 . Se extraen 4 bolitas al azar. Betty gana más dinero que Carol. Se tienen 12 bolitas en una bolsa. La actriz no vive cerca de la casa de la profesora. Se lanza una moneda y un dado. 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