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2Índice Índice Índice Índice Sobre o autor............................................................................................................................... 4 Edição ........................................................................................................................................... 4 Contato ......................................................................................................................................... 4 Orientação de Estudos ............................................................................................................... 5 1. Cálculo de Probabilidades ......................................................................................................... 8 1. Introdução ............................................................................................................................. 8 2. Experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos .......................................................... 9 3. Combinações de eventos .................................................................................................... 10 3.1. União de dois eventos .................................................................................................. 10 3.2. Interseção de dois eventos .......................................................................................... 11 3.3. Eventos mutuamente exclusivos .................................................................................. 11 3.4. Complementar de um evento ...................................................................................... 11 4. Probabilidade de um evento ............................................................................................... 13 4.1. Probabilidade clássica (ou teórica) ............................................................................... 13 4.2. Probabilidade empírica (ou estatística) ....................................................................... 14 4.3. Probabilidade subjetiva ................................................................................................ 15 5. Probabilidade de um evento complementar ...................................................................... 15 6. Probabilidade da união de dois eventos ............................................................................. 16 7. Espaços equiprováveis e não equiprováveis ....................................................................... 20 8. Independência de dois eventos .......................................................................................... 23 9. Exercícios ............................................................................................................................. 28 2. Modelos Discretos de Distribuições de Probabilidades .......................................................... 41 1. Lei binomial da probabilidade - Ensaios de Bernoulli ......................................................... 41 2. Distribuição Binomial .......................................................................................................... 41 3. Exercícios ............................................................................................................................. 49 3. Modelos Contínuos de Distribuições de Probabilidades ........................................................ 52 1. Distribuição Normal ............................................................................................................ 52 2. Área sob a Curva Normal..................................................................................................... 57 3. Normal Padrão .................................................................................................................... 58 4. Usando a tabela da Normal Padrão .................................................................................... 59 5. Resumo das Propriedades da Distribuição Normal ............................................................. 65 3 6. Exercícios ............................................................................................................................. 72 Formulário ................................................................................................................................... 76 Tabela – Distribuição Normal Padrão ......................................................................................... 77 4 Sobre Sobre Sobre Sobre o autor o autor o autor o autor Conrad Elber Pinheiro é graduado em Licenciatura em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (USP) e mestre em Estatística também pela USP. Edição Edição Edição Edição Este material está sendo constantemente revisado, atualizado e corrigido. Esta versão foi revisada e editada em setembro / 2013. Contato Contato Contato Contato Se você possuir dúvidas, sugestões ou quiser informar de algum erro encontrado neste material, sinta-se a vontade para entrar em contato com o autor via email: [email protected] . 5 Orientação de Estudos Orientação de Estudos Orientação de Estudos Orientação de Estudos Prezado(a) aluno(a), Ao longo de todo o curso que ministro, costumo orientar os estudantes em COMO estudar Matemática, mais especificamente, Estatística. Alguns alunos seguem minhas orientações logo de início. Outros, demoram um tempo maior para “aprender” a estudar. Digo “aprender”, pois muitas vezes o método de estudo que funciona bem em determinada disciplina não fornece bons resultados em outra. Um exemplo: muitas pessoas têm facilidade em estudar disciplinas de humanas: basta prestar atenção nas aulas e ler um resumo que obtêm ótimos resultados nas provas. Porém, isso não funciona na Estatística! Por isso, vou passar algumas orientações que garanto que funcionarão. Funcionaram comigo na época em que era estudante. Funcionaram com aqueles alunos que seguiram estas orientações. Funcionará com você também! Inicialmente, vale a pena destacar e enfatizar que a Estatística é uma disciplina totalmente CUMULATIVA. Ou seja, muitas vezes, nas últimas aulas do curso, estaremos retomando conceitos que foram ensinados nas primeiras aulas. Então, siga estas orientações: 1) não falte às aulas! Seja assíduo, visto que se faltar, possivelmente terá dificuldades em acompanhar o conteúdo das aulas seguintes, e de todo o resto do curso! Lembre-se: estar presente não é sinônimo de bom desempenho. Participe das aulas, não necessariamente falando, mas prestando atenção! 6 2) Anote tudo que for dado em lousa, seja teoria ou um exercício. Alguns alunos dão a famosa desculpa: “ou eu copio, ou eu presto atenção”. Muito bem, como já disse, isso é desculpa! É muito importante copiar o que está na lousa, pois só assim você terá um material de consulta. Tente conciliar as coisas: preste atenção nas palavras do professor enquanto copia. Lembre- se: copiar não é ficar enfeitando o caderno! Acho muito bom cadernos organizados e coloridos, mas, se preciso, copie tudo sem muito capricho e depois passe a limpo suas anotações. O importante é que tenha, após a aula, anotado tudo que foi dado em lousa. 3) Caso precise, de fato, faltar à alguma aula, procure ler e estudar o que foi dado na(s) aula(s) que perdeu, além de, é claro, COPIAR tudo que foi passado em lousa de algum colega. 4) Alguns alunos pensam que exercício feito em lousa é apenas para exemplificar a matéria e, por isso, não se preocupam em refazer esses exercícios. Querem, logo após a aula, pegar os exercícios que ainda não foram resolvidos e tentar fazê-los. ERRADO! O primeiro passo para assimilar um conteúdo novo é REFAZER OS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM LOUSA, tentando entender o passo a passo da resolução. Feito isso, passe para a resolução dos exercícios propostos. 5) Consulte sempre! O único momento em que você não poderá consultar suas anotações é durante a prova. Enquanto estiver em sala de aula, ou fora dela fazendo exercícios, procure consultar e se basear em exemplos resolvidos. Esses exemplos irão lhe ajudar muito em algumas situações. 7 6) Faça os exercícios da apostila. Muitas vezes, por questões de tempo, fica inviável fazer todos os exercícios da apostila (embora isso seja o ideal). Ao menos, refaça os exemplos dados em aula e faça alguns exercícios da apostila. Essa será a única maneira de aprender o conteúdo. Não adianta prestar atenção durante a aula e copiar tudo que for passado em lousa. A assimilação só ocorrerá quando você fizer, sozinho, alguns exercícios. 7) Não deixe para estudar na última hora!!! Possivelmente você escuta isso desde criança. Mas, agora, leve isto à risca! O conteúdo é bastante extenso. Você não conseguirá assimilar todo esse conteúdo se estudar apenas uma semana antes da prova! Assim, procure reservar um horário por semana para estudar Estatística. Vá fazendo os exercícios da aula e da apostila lentamente, de acordo com as orientações dadas pelo professor em sala de aula. Estude sempre e não apenas nas vésperas de provas! Seguindo estas orientações, garanto a você que conseguirá aprender Estatística mais fácil do que você imagina. Alunos meus que seguiram, foram aprovados com tranquilidade. Se você acha que é muita coisa para ser feita, ou se você acha que o SEU método de estudo é relativamente bom, ok! Mas... que tal mudar? Que tal você, ao menos, TENTAR seguir as orientações aqui citadas? Acho que valerá a pena! Sucesso nos estudos! Sucesso nos estudos! Sucesso nos estudos! Sucesso nos estudos! Prof . Conrad Prof . Conrad Prof . Conrad Prof . Conrad 8 1 11 1. Cál . Cál . Cál . Cálculo de Probabilidades culo de Probabilidades culo de Probabilidades culo de Probabilidades 1. Introdução Conscientemente ou inconscientemente, a probabilidade é usada por todos nós na hora de tomar decisões em situações de incerteza. Conhecendo ou não as regras para o seu cálculo, muitas pessoas se interessam por eventos ligados às probabilidades. Do contrário, como poderíamos explicar o grande número de indivíduos que jogam em loterias, bingos, corridas de cavalos, etc.? A utilização das probabilidades indica a existência ou não de um elemento de acaso (incerteza) quanto à ocorrência ou não de um evento. Por exemplo, se lançarmos uma moeda, não podemos afirmar se vamos obter cara ou coroa. A probabilidade indicará uma medida de quão provável é a ocorrência de determinado evento. São várias as situações em que é desejável ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro: lançamento de um produto, bons lucros em uma operação financeira, chover amanhã de manhã, meu time ganhar o próximo jogo, etc. Um breve histórico A resolução de problemas vinculados a jogos de azar esteve na origem da teoria das probabilidades, que deu seus primeiros passos no século XVI. Os jogadores da época recorriam a matemáticos como Tartaglia e Cardano, solicitando-lhes informações que os favorecessem nos jogos de dados e de baralho. Foi no século XVII, porém, que a teoria das probabilidades veio adquirir sua forma atual. Os responsáveis por isso foram três franceses: o Cavaleiro de Méré – nobre e jogador inveterado – e Blaise Pascal e Pierre de Fermat, dois matemáticos, que, embora amadores, deram contribuições muito importantes para a Matemática. Em 1652, o Cavaleiro de Méré propôs a Pascal alguns problemas ligados aos jogos de azar, um dos quais era este: num jogo de azar equilibrado, duas pessoas apostaram 32 moedas de ouro cada uma. Combinou-se que ganharia quem primeiro vencesse 3 partidas; no entanto, o jogo precisou ser interrompido quando uma pessoa tinha vencido 2 partidas e a outra, 1 partida. De que forma devem ser repartidas as 64 moedas de ouro? Blaise Pascal refletiu nesse problema durante dois anos e, em 1654, passou-o para o jurista Pierre de Fermat. Seguiu-se então uma correspondência entre Pascal e Fermat, que veio constituir-se no ponto de partida da atual teoria das probabilidades. Pascal e Fermat começaram por concordar que, num jogo interrompido, as moedas deveriam divididas de acordo com as perspectivas de vitórias de cada jogador. 9 Pascal resolveu o problema analisando o que poderia ocorrer na 4ª partida, para a qual havia 2 possibilidades: • vence a 1ª pessoa, que assim ganha o jogo e as 64 moedas; • vence a 2ª pessoa, que desse modo fica em igualdade de condições com a 1ª. Nesse caso, a decisão ocorreria somente na 5ª partida. Observemos que, se não houver a 5ª partida, ou a 1ª é a vencedora (e ganha as 64 moedas), ou ambas ficam em igualdades de condições (aí, é justo que cada uma delas fique com 32 moedas). Portanto, ao fim da 4ª partida, a 1ª pessoa já tem garantido 32 moedas, e as 32 restantes têm a mesma possibilidade de ir para uma ou para outra (que essas 32 moedas sejam então divididas em partes iguais pelos dois jogadores). Com base nesse raciocínio, Pascal conclui que a 1ª pessoa tinha direito a 48 (32 + 16) moedas, e à 2ª cabiam 16 moedas. Notemos que Pascal resolveu o problema subdividindo-o em casos mais simples, para os quais fossem muito mais óbvias as possibilidades de ocorrer um ou outro fato; em seguida “agrupou” esses casos para chegar à resposta desejada. Fonte: TROTTA, F. Matemática por assunto 4. s.e. São Paulo: Scipione, 1988 2. Experimentos aleatórios, espaço amostral e eventos Entendemos por experimento aleatório os fenômenos que, quando repetidos inúmeras vezes em processos semelhantes, possuem resultados imprevisíveis. O lançamento de um dado e de uma moeda são considerados exemplos de experimentos aleatórios. No caso dos dados podemos ter seis resultados diferentes {1, 2, 3, 4, 5, 6} e no lançamento da moeda, dois {cara, coroa}. Do mesmo modo, se considerarmos uma urna com 50 bolas numeradas de 1 a 50, ao retirarmos uma bola não saberemos dizer qual o número sorteado. Essas situações envolvem resultados impossíveis de prever. Podemos relacionar esse tipo de experimento com situações cotidianas, por exemplo, não há como prever a vida útil de todos os aparelhos eletrônicos de um lote, pois isso dependerá das condições de uso impostas pelas pessoas que adquirirem o produto. Outro exemplo que demonstra a característica de um experimento aleatório são as previsões do tempo. Os experimentos aleatórios produzem possíveis resultados que são denominados espaços amostrais. O espaço amostral possui subconjuntos denominados eventos. Como já citado anteriormente, temos que o número possível de elementos no lançamento de um dado é o seu espaço amostral, que geralmente é representado pela letra grega maiúscula ômega ( Ω). Ou seja, neste caso temos: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}. 10 Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos são representados por letras maiúsculas. Podemos definir um evento A da seguinte maneira: A: sair um número par no lançamento de um dado. Neste caso, A={2,4,6}. e os subconjuntos, os possíveis eventos são {(1), (2), (3), (4), (5), (6)}. No caso da moeda, o espaço amostral são os dois possíveis resultados {cara e coroa} e os eventos são {(cara), (coroa)}. Exemplo 1: uma moeda é lançada 2 vezes. Seja o evento A: sair faces diferentes. Escreva o conjunto que representa o espaço amostral e o evento A. Vamos definir K como sendo sair cara e C sair coroa. Temos: Ω={(K,K), (K,C), (C,K), (C,C)} e A={(K,C), (C,K)}. Perceba que as letras K e C foram colocadas entre parênteses, como se fosse um par ordenado de um plano cartesiano. Isso deve ser feito porque (K,C) é diferente de (C,K). Nessa notação, (K,C) indica a ocorrência de cara no primeiro lançamento e coroa no segundo. Já (C,K) indica cara no primeiro e coroa no segundo. Nota: se ao invés de lançarmos uma moeda duas vezes lançássemos duas moedas simultaneamente, os conjuntos Ω e A seriam exatamente os mesmos. 3. Combinações de eventos 3.1. União de dois eventos Sejam A e B dois eventos; então A ∪ B corresponde a um evento que ocorrerá quando uma das três condições forem satisfeitas: I. ocorre A e não ocorre B; II. não ocorre A e ocorre B; III. ocorre A e ocorre B simultaneamente. Fique atento: na língua portuguesa, quando dizemos “A ou B” estamos pensando em ocorrências exclusivas, ou seja, em “ocorre A e não ocorre B” ou em “não ocorre A e ocorre B”. Por exemplo, se alguém lhe perguntar: “você prefere Guaraná ou Coca-Cola?”, espera-se que a sua resposta seja uma das duas bebidas. Não esperamos que você responda: “quero os dois”. Por isso que a palavra “ou” em português é dita exclusiva. Já pensando na linguagem matemática, “ou” é sinônimo de “união” e, neste caso, quaisquer uma das 11 três respostas mencionadas é coerente. Por isso que “ou” em matemática é dito inclusivo. Graficamente, a região hachurada a seguir representa A ∪ B: 3.2. Interseção de dois eventos Sejam A e B dois eventos; então A ∩ B será um evento que corresponde à ocorrência de A e B simultaneamente. Dessa forma, podemos perceber que o conjunto A ∩ B é um subconjunto de A ∪ B: 3.3. Eventos mutuamente exclusivos Se A ∩ B = ∅, A e B são chamados mutuamente exclusivos. 3.4. Complementar de um evento Seja A um evento; então A (lê-se: “A barra”) será também um evento que ocorrerá se, e somente se, A não ocorrer. As figuras abaixo ilustram a situação do complementar em relação a A: 12 Exemplo 2: suponhamos o lançamento de um dado. Sejam os eventos: A: ocorrer um número ímpar; B: ocorrer um número primo. Escrever os conjuntos que representam: a) o espaço amostral; Ω={1,2,3,4,5,6} b) o evento A; A={1,3,5} c) o evento B; Lembre-se que um número primo é aquele que possui exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo. O número 1 possui apenas um divisor, que é o próprio 1. Logo, o número 1 não é primo! B={2,3,5} d) o evento ocorrer um número ímpar ou primo; Esse evento corresponde à união de A com B: A ∪ B = {1,2,3,5} e) o evento ocorrer um número ímpar e primo; Esse evento corresponde à intersecção de A com B: A ∩ B = {3,5} f) o evento não ocorrer um número ímpar; É o mesmo que obter o conjunto complementar de A: A = {2,4,6}. Ou seja, podemos dizer que A é o evento “sair um número par”. g) o evento não ocorrer um número primo. Corresponde ao complementar de B: B = {1,4,6}. 13 4. Probabilidade de um evento Existem três tipos de de probabilidades: probabilidade clássica, probabilidade empírica e probabilidade subjetiva. A probabilidade de que o evento E ocorrerá é escrita como P(E) e lê-se “probabilidade de um evento E”. 4.1. Probabilidade clássica (ou teórica) É utilizada quando cada resultado de um espaço amostral é igualmente possível de ocorrer. Ela é calculada pela fórmula: amostral espaço do elementos de número E conjunto do elementos de número ) n( n(E) ) E ( P = Ω = A probabilidade de ocorrer um evento E é sempre um valor entre 0 e 1, ou seja, entre 0% e 100%: 1 ) E ( P 0 ≤ ≤ Quando a probabilidade de um evento for 0, isso significa que não há possibilidades desse evento ocorrer. Por isso, dizemos que é um evento impossível. Em contrapartida, se a probabilidade for igual a 1, isto é, a 100%, isso indica que com certeza ocorrerá tal evento. Por isso dizemos que é um evento certo. Exemplo 3: lança-se um dado. Sejam os eventos: A: obter número 5; B: obter número 1 ou 6; C: obter número 7; D: obter um número de 1 a 6. Calcular a probabilidade de ocorrer cada um dos eventos citados. Inicialmente, vamos escrever o espaço amostral e os conjuntos que representam cada um dos eventos citados: Ω={1,2,3,4,5,6} A={5} B={1,6} C=∅ (pois não existe o número 7 no dado) D={1,2,3,4,5,6} Utilizando a definição de probabilidade, temos: 1667 , 0 6 1 ) A ( P ≅ = ou 16,67% 3333 , 0 3 1 6 2 ) B ( P ≅ = = ou 33,33% 14 0 6 0 ) C ( P = = , ou seja, o evento C é chamado de evento impossível. 1 6 6 ) D ( P = = ou 100%, ou seja, o evento D é chamado de evento certo. 4.2. Probabilidade empírica (ou estatística) Quando um experimento (por exemplo, lançar um dado ou lançar uma moeda) é repetido muitas vezes, são formados padrões regulares que permitem encontrar a probabilidade empírica de que determinado evento ocorra. Por exemplo: ao lançarmos uma moeda 10 vezes, pode ser que ocorra obtermos 2 caras e 8 coroas. Porém, isso não significa que a probabilidade de ocorrer cara não seja 50%. Se repetirmos o experimento lançar uma moeda em torno de 10.000 vezes, é muito provável que o número de caras observadas seja um valor bastante próximo de 5.000. Esse fato é explicado pela Lei dos Grandes Números: conforme um experimento é repetido várias vezes, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica (real). A probabilidade empírica de um evento E é a frequência relativa do evento E, ou seja: total s ocorrência de número E evento do s ocorrência de número ) E ( P = Exemplo 4: em um Serviço de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, é perguntado sobre o grau de satisfação do cliente com os serviços prestados. Em 1000 atendimentos, 550 consumidores disseram estar “muito satisfeitos”; 300 apenas “satisfeitos”; e o restante, “insatisfeitos”. Qual a probabilidade de a empresa receber a ligação de um cliente “insatisfeito”? Temos um total de 1000 – 550 – 300 = 150 clientes insatisfeitos. Seja o evento A definido por receber a ligação de um cliente insatisfeito. Assim: 15 , 0 1000 150 ) A ( P = = ou 15%. Logo, a probabilidade de a empresa receber a ligação de um cliente “insatisfeito” é de 15%. 15 4.3. Probabilidade subjetiva As probabilidades subjetivas resultam da intuição, de suposições fundamentadas e de estimativas. Por exemplo: um médico “acredita” que a chance de um paciente que possui ferimentos oriundos de um acidente de trânsito sobreviver é 80%. Note que se o mesmo paciente fosse avaliado por outro medido, essa probabilidade poderia ser de, por exemplo, 90%. 5. Probabilidade de um evento complementar Sendo A um evento e A o evento complementar e o fato de a soma das probabilidades de todos os eventos ser sempre igual a 1, temos: 1 ) A ( P ) A ( P = + Ou ainda: ) A ( P 1 ) A ( P − = Exemplo 5: a probabilidade de um equipamento sair de fábrica com defeito é de 0,5%. Qual a probabilidade de o equipamento sair funcionando corretamente? Definindo D: um aparelho apresentar defeito de fábrica, temos que D é o evento um aparelho não apresentar defeito de fábrica, ou seja, sair funcionando corretamente. Lembrando que 0,5% = 0,005, temos: 995 , 0 ) D ( P 005 , 0 1 ) D ( P 1 ) D ( P 005 , 0 1 ) D ( P ) D ( P = − = = + = + Logo, a probabilidade é de 99,5%. Exemplo 6: segundo os meteorologistas, a probabilidade de fazer um dia ensolarado é 45%; ficar nublado é 30%. Qual a probabilidade de chover? Vamos definir os eventos: S: o dia será ensolarado; N: o dia ficará nublado; C: haverá chuva no dia. 16 Como a soma de todas as probabilidades é sempre igual a 1, então: P(S) + P(N) + P(C) = 1 0,45 + 0,30 + P(C) = 1 P(C) = 1 – 0,45 – 0,30 P(C) = 0,25. Ou seja, a probabilidade de chover é de 25%. 6. Probabilidade da união de dois eventos Sejam A e B dois eventos tais que ∅ ≠ ∩B A . Neste caso, P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) É muito comum imaginarmos que a probabilidade de ocorrer A ou B (A U B) seja igual a soma das probabilidades de A com as probabilidades de B. Isso só é válido se estivermos trabalhando com eventos mutuamente exclusivos. Se A e B são dois eventos tais que ∅ = ∩B A (ou seja, são mutuamente exclusivos) então P (A U B) = P(A) + P(B). Em muitas situações, podemos utilizar as fórmulas acima para a resolução de um exercício ou calcular a probabilidade diretamente, utilizando a definição. Exemplo 7: escolhendo-se aleatoriamente um número natural de 1 a 20, qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 2 ou 3? Sejam os eventos: A: o número ser múltiplo de 2; B: o número ser múltiplo de 3. Logo, concluímos que: A U B: o número ser múltiplo de 2 ou 3; A ∩ B: o número ser múltiplo de 2 e 3. Os conjuntos serão: A = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} B = {3,6,9,12,15,18} A ∩ B = {6,12,18} As probabilidades são: 17 20 10 ) A ( P = ; 20 6 ) B ( P = e 20 3 ) B A ( P = ∩ . Logo, 20 13 20 3 20 6 20 10 ) B A ( P = − + = ∪ . Observe que esse valor poderia ser obtido diretamente da definição de probabilidade escrevendo o conjunto: A U B = {2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}, que possui 13 elementos. Exemplo 8: (FUVEST) A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. Vamos definir os eventos: A: a população tem 110 milhões ou mais; B: a população tem 110 milhões ou menos. Logo, podemos concluir que o evento A ∩ B corresponde a população possuir exatamente 110 milhões. E, ainda, A U B corresponde a população ter 110 milhões ou menos ou mais. Portanto, A U B corresponde à todas as possibilidades de tamanho da população. Assim: P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 1 = 0,95 + 0,08 – P(A ∩ B) P(A ∩ B) = 0,95 + 0,08 – 1 P(A ∩ B) = 0,03 Logo, a probabilidade de a população ter exatamente 110 milhões vale 3%. Exemplo 9: suponhamos o lançamento simultâneo de dois dados. Calcular a probabilidade dos seguintes eventos: A: ocorrência de números cuja soma seja menor ou igual a 6. B: ocorrência de números cuja soma seja 8. C: ocorrência de números cuja soma seja diferente de 8. D: ocorrência de números iguais nos dois dados, ou de números com soma igual a 8. E: ocorrência de números múltiplos de 3 em pelo menos um dos dados. Podemos construir o espaço amostral: 18 Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), 2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Perceba que nosso espaço amostral possui 36 elementos e que, portanto, poderá ser um pouco mais difícil trabalharmos com a observação direta desse conjunto. Assim, para situações de lançamentos de 2 dados, podemos recorrer a um método prático de resolução que é a construção de uma tabela. Note que as bordas da tabela representam os resultados dos dados e o centro dela corresponde à soma dos resultados: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Observe que na tabela temos os 36 possíveis resultados do lançamento de dois dados. Para o cálculo de P(A), basta observamos, na tabela, os resultados cuja soma é menor ou igual a 6. São, ao todo, 15 resultados: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 Logo, 12 5 36 15 ) A ( P = = . Com relação ao evento B, observamos facilmente que temos soma igual a 8 em 5 resultados. Portanto, 36 5 ) B ( P = . O evento C é o complementar de B. Logo: P(C) + P(B) = 1 P(C) = 1 – P(B) 36 31 36 5 1 ) C ( P = − = . O evento D pede soma igual a 8 ou números iguais nos dois dados. Assim, em nossa tabela, vamos verificar quais são os resultados com soma 8 e aqueles 19 em que os resultados são números idênticos nos dois dados (marcados com X): 1 2 3 4 5 6 1 X 2 X 8 3 X 8 4 8 5 8 X 6 8 X Note que o par (4,4) corresponde a intersecção dos dois eventos. Portanto: 18 5 36 10 ) D ( P = = . Com relação ao evento E, apenas nos interessa os resultados dos dados em si, e não a soma dos resultados. Assim, podemos utilizar uma tabela similar para marcar os resultados que nos interessa. No caso, múltiplos de 3 nos dois dados: 1 2 3 4 5 6 1 X X 2 X X 3 X X X X X X 4 X X 5 X X 6 X X X X X X Ao todo, são 20 resultados de interesse. Logo, 9 5 36 20 ) E ( P = = . Exemplo 10: Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Administração e 10 estudam Engenharia e Administração. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que: a) ele estude Administração e Engenharia? b) ele estude somente Engenharia? c) ele estude somente Administração? d) ele não estude Engenharia nem Administração? e) ele estude Engenharia ou Administração? Uma forma simples de resolver este tipo de exercício é trabalhar com conjuntos. Lembre-se que devemos iniciar sempre a partir da intersecção. 20 Agora, podemos responder às questões: a) 50 1 500 10 ) E A ( P = = ∩ b) 50 7 500 70 E) apenas ( P = = c) 25 7 500 140 A) apenas ( P = = d) 25 14 500 280 E) não e A ão n ( P = = e) 25 11 500 220 500 70 10 140 ) E A ( P = = + + = ∪ 7. Espaços equiprováveis e não equiprováveis Quando a probabilidade de ocorrência de cada elemento de um espaço amostral for a mesma, dizemos que temos um espaço equiprovável. Porém, se a probabilidade de ocorrência de cada elemento não for a mesma, dizemos que temos um espaço não equiprovável. Exemplo 11: uma urna contém 50 bolas idênticas. Se as bolas forem numeradas de 1 a 50, qual a probabilidade de, em uma extração ao acaso, a) obtermos a bola de número 27? Nosso espaço amostral é Ω={ 1, 2, ..., 50} e é equiprovável. Ocorrer a bola 27 significa que o evento possui apenas 1 elemento. Logo: 50 1 ) A ( P = . b) obtermos uma bola de número par? A E 10 80 – 10 = 70 150 – 10 = 140 500 – 140 – 10 – 70 = 280 21 Perceba que existem, de 1 a 50, 25 bolas pares. Ou seja, nosso evento é composto por 25 elementos. Assim: 2 1 50 25 ) B ( P = = . c) obtermos uma bola de número maior que 20? O evento aqui é C = { 21, 22, ..., 50}, composto por 30 elementos. Logo: 5 3 50 30 ) C ( P = = . Exemplo 12: considere a roleta indicada na figura ao lado: Calcule a probabilidade de ser sorteado cada um dos número mostrados. Observe que o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3}. Porém, é natural percebemos que a chance de ser sorteado o número 3 é maior que de sair o número 1 ou 2. Logo, se trata de um espaço não equiprovável. Se dividirmos o círculo em 4 partes iguais, percebemos que o número 1 e o número 2 ocupam uma das quatro partes cada um. Já o número 3 ocupa duas das quatro partes. Dessa forma, é fácil concluir que: 4 1 ) 1 ( P = ; 4 1 ) 2 ( P = ; 2 1 4 2 ) 3 ( P = = . Resumidamente, perceba que a probabilidade de ocorrer cada um dos números é diretamente proporcional à área desses números na roleta. Exemplo 13: a probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é 0,62. Qual é a probabilidade de ocorrer coroa? Embora se trate de mais um caso de espaço não equiprovável, a resolução deste exemplo é praticamente intuitiva. Seja K o evento sair cara e C sair coroa. Então: P(K) + P(C) = 1 P(C) = 1 – 0,62 P(C) = 0,38 ou 38% 1 3 2 22 Exemplo 14: em uma moeda viciada, a probabilidade de ocorrer cara é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. Calcule a probabilidade de ocorrer cara em um lançamento dessa moeda. Usando as mesmas suposições do exemplo anterior temos também que: P(K) = 4.P(C). Como P(K) + P(C) = 1, substituindo a expressão anterior temos: 4.P(C) + P(C) = 1 5.P(C) = 1 5 1 ) C ( P = . Logo, 5 4 ) K ( P = . Exemplo 15: três cavalos P, Q e R disputam um páreo, no qual só se premiará o vencedor. Um apostador afirma que a probabilidade de P vencer é o dobro da probabilidade de Q e que Q tem o triplo da probabilidade de ganhar de R. Qual a probabilidade que cada cavalo tem de vencer? Pelo enunciado temos: P(P) = 2.P(Q) (I) P(Q) = 3.P(R) . (II) Substituindo (II) em (I) temos: P(P) = 2.3.P(R) P(P) = 6.P(R). (III) Sabemos que P(P) + P(Q) + P(R) = 1. (IV) Substituindo (II) e (III) em (IV) obtemos: 6.P(R) + 3.P(R) + P(R) = 1 10.P(R) = 1 10 1 ) R ( P = . Substituindo o resultado em (II) e (III) obtemos: 10 3 ) Q ( P = e 10 6 ) P ( P = . 23 Exemplo 16: em um lançamento de um dado viciado, a probabilidade de observarmos um número é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de ocorrer número maior ou igual a 5. Seja k um número real. A probabilidade de ocorrer uma face é proporcional ao valor dessa face. Então, temos a tabela: face probabilidade 1 k 2 2k 3 3k 4 4k 5 5k 6 6k soma 1 k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 1 21k = 1 21 1 k = . As probabilidades de ocorrer face 5 e 6 são, respectivamente, 21 5 e 21 6 . Portanto, P(face maior ou igual a 5) = 21 5 + 21 6 = 21 11 . 8. Independência de dois eventos Dois eventos são estatisticamente independentes se a ocorrência de um deles não afetar a ocorrência do outro. Por exemplo: ao lançarmos uma moeda honesta e observarmos o resultado, podemos ter obtido uma cara. Se lançarmos novamente, a probabilidade de obtermos outra cara não será alterada em função do resultado obtido na(s) jogada(s) anterior(es), ou seja, a probabilidade continua sendo 50%. Dessa maneira, se A e B são eventos independentes então P (A ∩ B) = P(A) . P(B) . 24 Essa regra é válida para n eventos independentes A 1 , A 2 , ..., A n . Isto é válido desde que todas as combinações entre dois ou mais eventos sejam independentes: P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) = P(A 1 ) . P(A 2 ) ... P(A n ) . Caso A e B não sejam eventos independentes, dizemos que A e B são dependentes. Exemplo 17: uma experiência consiste em lançar, simultaneamente, um dado e duas moedas. Qual a probabilidade de obter a face quatro no dado e duas caras? Como os eventos são, claramente, independentes, visto que o resultado obtido nas moedas e no dado não são influenciados um pelo outo, temos: P(K ∩ K ∩ 4) = P(K) . P(K) . P(4) = 24 1 6 1 . 2 1 . 2 1 = . Exemplo 18: lança-se uma moeda 3 vezes. Sejam os eventos: A: ocorrem pelo menos duas caras. B: ocorrem resultados iguais nos três lançamentos. Novamente, estamos trabalhando com eventos independentes. Uma maneira de resolver este exercício, sem a necessidade de se escrever todas as possibilidades do espaço amostral, é trabalhar com o que chamamos de árvore de possibilidades ou árvore de probabilidades. A árvore deve partir de um ponto e “passar”, até o final dela, por todas as possibilidades de resultados. Em seus galhos, anotamos as probabilidades de ocorrências. Ao final dela, multiplicamos os resultados de cada galho para sabermos a probabilidade de um evento em específico. Note que este método é indicado apenas para eventos independentes. Inicialmente, vamos montar apenas as possibilidades. Perceba que, partindo do primeiro galho (lado esquerdo da árvore) e fazendo um caminho completo até o final, obtemos todos os 8 elementos do espaço amostral, conforme mostra o lado direito. 25 Agora, vamos marcar as probabilidades nos galhos. Neste caso, por se tratar de uma moeda honesta, a probabilidade de cara e de coroa são iguais a 0,5. Indicamos com as letras A e B os casos de interesse, de acordo com os eventos A e B definidos. Para obtermos as probabilidades de cada evento, basta somarmos os resultados indicados na árvore: K K K K K K K C C C C C C C KKK KKC KCK KCC CKK CKC CCK CCC K K K K K K K C C C C C C C 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 0,5.0,5.0,5 = 0,125 A A A A B B 26 P(A) = 4 . 0,125 = 0,5 ou 50% e P(B) = 2 . 0,125 = 0,25 ou 25%. Exemplo 19: duas pessoas praticam tiro ao alvo. A probabilidade da 1 a atingir o alvo é P(A) = 3 1 e a probabilidade da 2 a atingir o alvo é P(B) = 3 2 . Admitindo A e B independentes, se as duas derem um tiro ao alvo cada uma, qual a probabilidade de: a) ambas atingirem o alvo? b) ao menos uma atingir o alvo? Vamos resolver, novamente, este exemplo usando a árvore de modo a tornar a resolução por este método prática mais clara. Primeiro, construímos a árvore com as possibilidades, marcando em seguida, nos galhos, as probabilidades de ocorrência. A seguir, calculamos as probabilidades de cada caminho, bastando multiplicar as probabilidades anotadas em cada galho: As letras ao lado direito indicam os casos de interesse para respondermos aos itens a e b do enunciado. Assim: a) P(ambas acertarem) = 9 2 . b) P(ao menos uma acertar) = 9 7 9 4 9 1 9 2 = + + . acerta acerta acerta erra erra erra A B 1ª pessoa 2ª pessoa B B 27 Exemplo 20: As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = 3 1 e P(B) = 5 3 . Qual a probabilidade de que: a) ambos resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? c) nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema, mas B não? e) B resolva o problema, mas A não? Vamos construir a árvore de probabilidades: As probabilidades pedidas são: a) P(ambos resolvam) = 15 3 . b) P(ao menos um resolva) = 15 11 15 6 15 2 15 3 = + + . c) P(nenhum resolva) = 15 4 . d) P(A resolva e B não) = 15 2 . e) P(A não resolva e B resolva) = 15 6 . resolve resolve resolve não resolve não resolve não resolve A B Pessoa A Pessoa B B B C D E 28 9. Exercícios 1) Lança-se um dado ao acaso. Determine a probabilidade de se obter na face superior: a) o número 2 b) um número maior que 4 c) um múltiplo de 3 d) um divisor de 20 e) um número ímpar f) um número par g) um número primo h) um número maior ou igual a 6 i) um número maior que 6 2) Um baralho tem 52 cartas, das quais 4 são reis e 4 são valetes. Retira-se uma carta ao acaso. Determine a probabilidade de: a) de ser retirado um rei b) não ser retirado um valete 3) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determine a probabilidade de que ele seja primo. 4) (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade de Antônio descobrir esse número é: a) 1 2 b) 1 6 c) 4 6 d) 1 3 e) 3 36 5) Determine a probabilidade de se obterem os eventos a seguir, no lançamento simultâneo de 2 dados, observadas as faces voltadas para cima. a) números iguais b) números diferentes c) números cuja soma é igual a 5 d) números cujo produto é par e) números cuja soma é ímpar f) números cuja soma é menor que 12 g) números cuja soma é maior que 12 h) números primos nos 2 dados 6) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3? 7) A probabilidade de um cavalo vencer três ou menos corridas é de 58%; a probabilidade de ele vencer três ou mais corridas é de 71%. Qual é a probabilidade de o cavalo vencer exatamente três corridas? 8) Num dominó (28 peças),qual é a probabilidade de, escolhendo uma peça ao acaso, retiramos uma que tenha repetição de números (0-0, 1-1, ......, 6-6)? 29 9) (FGV-SP) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão de duas maneiras apenas: • com a manteiga para cima (evento A); • com a manteiga para baixo (evento B). Uma possível distribuição de probabilidade para esses eventos é: a) P(A) = P(B) = 3/7 b) P(A) = 0 e P(B) = 5/7 c) P(A) = –0,3 e P(B) = 1,3 d) P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6 e) P(A) = 6/7 e P(B) = 0 10) Numa cidade com 1000 eleitores vai haver uma eleição com dois candidatos, A e B. É feita uma prévia em que os 1000 eleitores são consultados, sendo que 510 já se decidiram, definitivamente, por A. Qual é a probabilidade de que A ganhe a eleição? 11) Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3°mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% 12) (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? 13) Jogando 3 dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter soma menor ou igual a 4 ? 14) Seja Ω = {a, b, c, d} o espaço amostral de um experimento aleatório. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8, P(b) = 1/8, P(c) = 1/4, P(d) = x. Determine o valor de x. 15) Dos 100 alunos de uma turma, 40 gostam de Álgebra, 30 gostam de Geometria, 10 gostam de Álgebra e Geometria, e há os que não gostam de Álgebra nem de Geometria. Um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ele gostar de: a) Álgebra? b) Geometria? c) Álgebra e Geometria? d) Álgebra ou Geometria? 30 16) Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2/5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 17) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? 18) (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, determine a probabilidade de não obtermos a bola número 7. 19) (FGV-SP) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando- se uma bolinha, determine a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8. 20) (F. Objetivo-SP) Um dado honesto tem suas faces numeradas de 1 a 6. Joga-se este dado duas vezes consecutivas. Determine a probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo lançamento. 21) (CESGRANRIO-RJ) Dois dados são lançados sobre uma mesa. Determine a probabilidade de ambos dados mostrarem, na face superior, números ímpares. 22) De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator Rh positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm fator Rh positivo e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de: a) seu sangue ter fator Rh positivo? b) seu sangue não ser tipo O? c) seu sangue ter fator Rh positivo ou ser tipo O? 23) Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa. Calcule a probabilidade de: a) ocorrer cara no lançamento dessa moeda; b) ocorrer coroa no lançamento dessa moeda. 24) Os jogadores A, B, C e D disputam um torneio onde A e B têm “chances” iguais, C e D também têm “chances” iguais, mas A tem o dobro das “chances” de C. Qual a probabilidade de B vencer? Qual a probabilidade de D vencer? 31 25) (UFR-RJ) Os cavalos X, Y e Z disputam uma prova ao final da qual não poderá ocorrer empate. Sabe-se que a probabilidade de X vencer é igual ao dobro da probabilidade de Y vencer. Da mesma forma, a probabilidade de Y vencer é igual ao dobro da probabilidade de Z vencer. Calcule a probabilidade de: a) X vencer; b) Y vencer; c) Z vencer. 26) (UF-PI) No lançamento de um dado vicioso, as faces diferentes de 5 ocorrem com probabilidade p, enquanto a face 5 ocorre com a probabilidade 3p. Assim sendo, determine o valor de p. 27) No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que esta é o sêxtuplo da probabilidade de sair coroa? 28) Três carros, A, B e C, participam de uma corrida. A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar que B e B tem três vezes mais probabilidades de ganhar que C. Determine as probabilidades de vitória de cada carro. 29) Lança-se um dado viciado, de forma que cada número par sai o triplo de vezes que cada número ímpar. a) qual a probabilidade de ocorrer um número ímpar? E um número par? b) Qual a probabilidade de ocorrer um número menor que 4? c) Qual a probabilidade de que saia um número múltiplo de 2 ou 3? 30) Três corredores, A, B e C, participam de uma competição. A e B têm a mesma probabilidade de vencer e cada um tem quatro vezes mais probabilidades de vencer do que C. Calcule P(A), P(B) e P(C). 31) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 pretas. Outra urna II tem 6 bolas vermelhas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola também ao acaso. Qual a probabilidade de observarmos: a) urna I e bola vermelha? b) urna I e bola preta? c) urna II e bola vermelha? d) urna II e bola preta? 32) Uma urna tem 8 bolas vermelhas, 3 brancas e 4 pretas. Uma bola é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida, também ao acaso. Qual a probabilidade de: a) a 1 a bola ser vermelha e a 2 a branca? b) a 1 a bola ser branca e a 2 a vermelha? c) a 1 a e a 2 a serem vermelhas? d) saírem uma bola vermelha e uma bola branca? 32 33) A urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna III tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade de a bola ser: a) vermelha? b) branca? c) amarela? 34) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B, existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C, existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos 3 lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade de a peça ser: a) boa? b) defeituosa? 35) (EU-RJ) Protéticos e dentistas dizem que a procura por dentes postiços não aumentou. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura. Assunto encerrado. (Adaptado de: Veja, outubro de 1997) Considere que a população brasileira seja de 160 milhões de habitantes. Escolhendo ao acaso um desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de: a) 0,28% b) 0,56% c) 0,70% d) 0,80% 36) (UMC-SP) Escolhendo ao acaso uma pessoa numa certa população, a probabilidade de ela ser surda é de 0,004, a probabilidade de ela ser cega é 0,007 e a probabilidade de ela ser surda e cega é de 0,0006. A probabilidade de ela ser cega ou surda é: a) 0,0116 b) 0,005 c) 0,011 d) 0,0104 e) 0,0011 37) A probabilidade de certo homem sobreviver mais 10 anos, a partir de certa data, é 0,4, e de que sua esposa sobreviva mais 10 anos a partir da mesma data é 0,5. Qual a probabilidade de: a) ambos sobreviverem mais 10 anos a partir daquela data? b) ao menos um deles sobreviver mais 10 anos a partir daquela data? 33 38) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A) = 1/2, a de que outro aluno B resolva é P(B) = 1/3 e a de que um terceiro aluno C o resolva é P(C) = 1/4. Qual a probabilidade de que: a) os três resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? 39) Renato tem probabilidade 1 4 de convidar Alice para um passeio num domingo. A probabilidade de que César a convide é 2 5 e a de Olavo é 1 2 . Qual a probabilidade de que: a) os três a convidem para o passeio? b) nenhum a convide para o passeio? c) ao menos um a convide para o passeio? 40) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. a) Selecionando-se um estudante ao acaso, qual a probabilidade de que ele estude inglês ou espanhol? b) Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 41) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são: P(A) = 1 3 e P(B) = 3 5 . Qual a probabilidade de que: a) ambos resolvam o problema? b) ao menos um resolva o problema? c) nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema, mas B não? e) B resolva o problema, mas A não? 42) Uma moeda é lançada 10 vezes. Qual a probabilidade de: a) observarmos 10 caras? b) observarmos 10 coroas? c) observarmos 6 caras e 6 coroas? 43) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Retira-se uma bola aleatoriamente. Sejam os eventos: A: a bola retirada possui um número múltiplo de 2; B: a bola retirada possui um número múltiplo de 5. Determine a probabilidade do evento A U B. 34 44) Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard? 45) Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de: a) a bola não ser amarela? b) a bola ser branca ou preta? c) a bola não ser branca, nem amarela? 46) Em um circuito elétrico, 3 componentes são ligados em série e trabalham independentemente um do outro. As probabilidades de falharem o 1º, 2º e 3º componentes valem respectivamente p 1 = 0,1, p 2 = 0,1 e p 3 = 0,2. Qual a probabilidade de que não passe corrente pelo circuito? 47) (Vunesp-SP) Para uma partida de futebol, a probabilidade de o jogador R não ser escalado é 0,2, e a probabilidade de o jogador S ser escalado é 0,7. Sabendo que a escalação de um deles é independente da escalação do outro, determine a probabilidade de dois jogadores serem escalados. 48) (EU-RJ) Suponha haver uma probabilidade de 20% para uma caixa de Microvlar ser falsificada. Em duas caixas, a probabilidade de pelo menos uma delas ser falsa é: a) 4% b) 16% c) 20% d) 32% e) 36% 49) (U. F. São Carlos-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contatar os pais é: a) 0,20 b) 0,48 c) 0,64 d) 0,86 e) 0,92 35 50) (Cesgranrio-RJ) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1 2 , 2 5 e 5 6 . Se cada um bater um único pênalti, determine a probabilidade de todos errarem. 51) Numa bolsa temos cinco moedas de R$ 1,00 e quatro de R$ 0,50. Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 52) Uma urna I contém uma bola vermelha e duas brancas. A urna II contém duas bolas vermelhas e uma branca. Tiramos aleatoriamente uma bola da urna I, colocamos na urna II e misturamos. Em seguida, tiramos aleatoriamente uma bola da urna II. Qual é a probabilidade de tirarmos uma bola branca da urna II? 53) A probabilidade de um aluno X resolver este problema é 5 3 e a do aluno Y é 7 4 . Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 54) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um número par? 55) Um número é escolhido ao acaso no conjunto {1, 2, 3, ..., 20}. Verifique se são independentes os eventos: a) X: o número é múltiplo de 3 e Y: o número é par. b) M: o número é primo e N: o número é ímpar. 56) (FGV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? 57) Sejam dois eventos quaisquer A e B contidos em um espaço amostral Ω de modo que P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Determine os maiores e menores valores possíveis para ܲ(ܣ ∩ ܤ) e ܲ(ܣ ∪ ܤ). Represente cada uma das quatro situações com um diagrama. 58) Sejam dois eventos quaisquer A e B contidos em um espaço amostral Ω de modo que P(A) = 0,75 e P(B) = 0,25. Determine os maiores e menores valores possíveis para ܲ(ܣ ∩ ܤ) e ܲ(ܣ ∪ ܤ). Represente cada uma das quatro situações com um diagrama. 36 59) Sejam dois eventos quaisquer A e B contidos em um espaço amostral Ω de modo que P(A) = 0,8 e P(B) = 0,6. Determine os maiores e menores valores possíveis para ܲ(ܣ ∩ ܤ) e ܲ(ܣ ∪ ܤ). Represente cada uma das quatro situações com um diagrama. 60) (ENEM) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é a) 1/5 b) 1/4 c) 2/5 d) 3/5 e) 3/4 61) (FUVEST) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 4/27 b) 11/54 c) 7/27 d) 10/27 e) 23/54 37 62) (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a) 150/216 b) 91/216 c) 75/216 d) 55/216 e) 25/216 63) (UFMG) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, é CORRETO afirmar que a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é a) 1/100 b) 1/99 c) 1/50 d) 1/49 64) (FGV) Uma urna contém cinco bolas numeradas com 1, 2, 3, 4 e 5. Sorteando-se ao acaso, e com reposição, três bolas, os números obtidos são representados por x, y e z . A probabilidade de que xy + z seja um número par é de a) 47/125 b) 2/5 c) 59/125 d) 64/125 e) 3/5 65) (PUCCAMP) Numa certa população são daltônicos 5% do total de homens e 0,05% do total de mulheres. Sorteando-se ao acaso um casal dessa população, a probabilidade de ambos serem daltônicos é a) 1/1.000. b) 1/10.000. c) 1/20.000. d) 1/30.000. e) 1/40.000. 66) (MACKENZIE) Num conjunto de 8 pessoas, 5 usam óculos. Escolhidas ao acaso duas pessoas do conjunto, a probabilidade de somente uma delas usar óculos é: a) 15/28 b) 15/56 c) 8/28 d) 5/56 e) 3/28 38 Respostas Respostas Respostas Respostas 1. a) 1 6 b) 1 3 c) 1 3 d) 2 3 e) 1 2 f) 1 2 g) 1 2 h) 1 6 i) 0 2. a) 1 13 b) 12 13 3. 3 8 4. D 5. a) 1 6 b) 5 6 c) 1 9 d) 3 4 e) 1 2 f) 35 36 g) 0 h) 1 4 6. 1 2 7. 29% 8. 1 4 9. D 10. 1 ou 100% 11. D 12. 1,445% 13. 1 54 14. x = 1 2 15. a) 40 100 = 40% b) 30 100 = 30% c) 10 100 = 10% d) 60 100 = 60% 16. A 17. 8/1365 18. 0,9 19. 3 25 20. 1 6 21. 1 4 22. a) 4 5 b) 1 2 c) 9 10 23. a) 2 3 b) 1 3 24. B = 1 3 e C = 1 6 25. a) 7 4 b) 7 2 c) 7 1 26. p = 1 8 27. P(cara) = ૟ ૠ ≅ 0,8571 28. P(A) = 3 5 , P(B) = 3 10 e P(C) = 1 10 29. a) P(ímpar) = 4 1 e P(par) = 4 3 b) 5 12 c) 5 6 30. P(A) = 4 9 , P(B) = 4 9 e P(C) = 1 9 31. a) 3 14 b) 2 7 c) 3 8 d) 1 8 32. a) 4 35 b) 4 35 c) 4 15 d) ସ଼ ଶଵ଴ 33. a) 11 28 b) 71 140 c) 1 10 34. a) 53 60 b) 7 60 35. C 36. D 37. a) 0,20 b) 0,70 39 38. a) 1 24 b) 4 3 39. a) 1 20 b) 9 40 c) 31 40 40. a) 3/7 b) 2/5 41. a) 1 5 b) 11 15 c) 4 15 d) 2 15 e) 2 5 42. a) 1 1024 b) 1 1024 c) 0 43. 3 5 44. 4/11 45. a) 4 9 b) 4 9 c) 1 3 46. 0,352 47. 0,56 48. E 49. E 50. 1 20 51. 9 5 52. 12 5 53. 35 29 54. 3 2 55. a) independentes b) dependentes 56. a) 1 − ቀ ଽଽଽ ଵ଴଴଴ ቁ ଷ଴ ≅ 0,0296 b) ݊ > ୪୬଴,ଽଽ଻ ୪୬଴,ଽଽଽ ≅ 3,003. Logo: 4 dias. 57. mín ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 0,5 máx ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 0,8 mín ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0 máx ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0,3 58. mín ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 0,75 máx ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 1 mín ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0 máx ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0,25 Ω A B Ω A B Ω A B Ω A B Ω B A Ω A B Ω A B Ω A B 40 59. mín ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 0,8 máx ܲ(ܣ ∪ ܤ) = 1 mín ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0,4 máx ܲ(ܣ ∩ ܤ) = 0,6 60. E 61. C 62. B 63. B 64. C 65. E 66. A Ω B A Ω A B Ω A B Ω A B 41 2. Modelos Discretos de Distribuições de 2. Modelos Discretos de Distribuições de 2. Modelos Discretos de Distribuições de 2. Modelos Discretos de Distribuições de Probabilidades Probabilidades Probabilidades Probabilidades 1. Lei binomial da probabilidade - Ensaios de Bernoulli Consideremos um experimento que consiste em uma seqüência de ensaios ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e outro que chamaremos de fracasso (F). À probabilidade de ocorrer sucesso em cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q, de tal modo que q=1–p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de Bernoulli. Exemplos de ensaio de Bernoulli 1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Cada lançamento é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: cara ou coroa. Chamemos de sucesso o evento sair uma cara e de fracasso o evento sair uma coroa. Em cada ensaio, p=0,5 e q=0,5. 2) Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna; este procedimento é repetido 8 vezes. Cada extração é um ensaio, em que dois resultados podem ocorrer: bola vermelha ou bola branca. Chamemos de sucesso o evento sair bola vermelha. Conseqüentemente, fracasso corresponde ao evento sair bola branca. Neste caso, 10 4 p = e 10 6 q = . 2. Distribuição Binomial Antes de apresentarmos a fórmula e suposições da distribuição Binomial de probabilidades, vamos analisar um exemplo e deduzir a fórmula a partir dele. Exemplo 1: uma prova consta de 10 testes com 5 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria avaliada, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente 6 testes? A probabilidade de acertar um teste aleatoriamente é 2 , 0 5 1 = . Logo, a de errar esse teste é de 8 , 0 5 4 5 1 1 = = − . 42 Vamos considerar uma situação bastante específica: o aluno acerta os testes de 1 à 6 e erra os testes de 7 à 10. A probabilidade de isso acontecer é obtida utilizando–se o Princípio Fundamental da Contagem: 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,2 . 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8 = = (0,2) 6 . (0,8) 4 ≅ 0,000026 ou 0,0026%. Porém, essa é apenas uma situação de acertos / erros possível. O número total de maneiras que esse aluno pode acertar 6 testes de um total de 10 testes é calculada utilizando–se combinação (visto que a ordem dos acertos NÃO importa): 210 )! 6 10 !.( 6 ! 10 C 6 , 10 = − = maneiras. Para cada uma dessas 210 formas, temos uma probabilidade de acerto igual a calculada anteriormente. Logo, a probabilidade de esse aluno acertar 6 testes qualquer é: 210 . (0,2) 6 . (0,8) 4 ≅ 0,0055 ou 0,55%. Vamos definir a variável aleatória X que representa sucesso como sendo: X: número de testes que o aluno acerta (sucesso). Associada a X, temos a probabilidade de sucesso p=0,2 e, conseqüentemente, a probabilidade de fracasso q=1–0,2=0,8 (probabilidade de errar o teste). Lembrando que | | ¹ | \ | = 6 10 C 6 , 10 , podemos escrever que a probabilidade do aluno acertar 6 testes é: P(X=6) = | | ¹ | \ | 6 10 . (0,2) 6 . (0,8) 4 Generalizando, se em cada uma das n repetições de Ensaios de Bernoulli a probabilidade de ocorrer um evento definido como sucesso é sempre p, a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas k das n repetições é dada por: k n k ) p 1 .( p . k n ) k X ( P − − | | ¹ | \ | = = 43 Resumindo: um experimento binomial deve satisfazer os seguintes critérios: 1) O experimento é repetido n vezes, onde cada tentativa é independente das demais. 2) Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse, associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o fracasso. 3) A probabilidade de sucesso será denotada por p e é a mesma em cada tentativa (entenda Ensaio de Bernoulli). Logo, a probabilidade de fracasso será denotada por q = 1 – p. Observações importantes: é comum àqueles que estão iniciando os estudos da distribuição Binomial acharem que a variável definida como sucesso precisa ser algo “bom”. Porém, isso não está correto. A variável X, ou seja, o sucesso, deverá ser algo que nos interesse. Por exemplo, poderíamos definir como sucesso: – alunos reprovados em determinado ano; – número de óbitos em uma UTI; – número de fumantes presentes em uma reunião; – acertar um alvo num torneio de tiro; – entrevistados serem do sexo masculino; – sair cara no lançamento de uma moeda; – sair face 5 ou 6 no lançamento de um dado. Ou seja, a variável sucesso pode ser ou pode não ser algo bom! Às vezes, pode ser algo imparcial, como face de uma moeda ou dado, ou sexo de uma pessoa. Exemplo 2: para entender melhor a fórmula, vamos recapitular o cálculo de probabilidades com base em um exemplo. Responda rapidamente a pergunta: um casal deseja ter 4 filhos, 2 homens e 2 mulheres. Supondo que a probabilidade de nascimento de um homem (H) ou uma mulher (M) seja a mesma, qual a probabilidade de tal fato acontecer? Muitas pessoas respondem 50%. Se você foi uma delas, a pergunta seguinte possivelmente será “por quê? Não é???”. A resposta é não! O que mostra que muitas vezes a intuição nos engana, enfatizando a importância da probabilidade (veja, por exemplo, o caso de um médico obstetra ou um laboratório que muitas vezes precisa conhecer cálculos de probabilidades como este). Faremos, inicialmente, um método mais trabalhoso, mas que certamente convencerá o leitor de que tal probabilidade não é 50%. Depois, faremos o cálculo utilizando um modelo probabilístico. Listemos todas as possibilidades de nascimentos: 44 HHHH HHHM HHMH HMHH MHHH HHMM HMHM MHHM HMMH MHMH MMHH HMMM MHMM MMHM MMMH MMMM Das 16 possibilidades listadas, note que em 6 delas ocorrem o nascimento de 2 homens e 2 mulheres. Logo, a probabilidade disso ocorrer é: 37,5% ou 375 , 0 16 6 P = = . Ou seja, a probabilidade é inferior a 50%, mais precisamente, vale 37,5%, o que contradiz a intuição da maioria das pessoas. Uma outra forma de resolver esse mesmo problema é utilizando a Binomial. Agora, para resolvermos essa situação apresentada através da Binomial, vamos determinar que nosso interesse seja o número de homens que nascem. Essa ocorrência será chamada de sucesso. Assim: X: número de homens que nascem (sucesso) Logo, nascer mulher indicaria fracasso. Não é nenhum tipo de preconceito, mas sim, uma questão Estatística. Poderíamos, sem problemas, ter trocado homem por mulher e vice-versa. A probabilidade de sucesso é a probabilidade de em um nascimento qualquer ocorrer um homem, ou seja, 5 , 0 2 1 p = = . Temos interesse que, em 4 nascimentos, 2 sejam homens e 2 sejam mulheres. Como chamamos de sucesso nascer homem, temos interesse no nascimento de 2 homens ou, em linguagem matemática, X=2. Logo, o valor de k é 2 (basta comparar a fórmula X=k com o que acabamos de escrever X=2). 45 Obtemos, portanto: 375 , 0 8 3 4 1 . 4 1 . 6 2 1 1 . 2 1 . 2 4 ) 2 X ( P 2 4 2 = = = | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = = − , que é o mesmo valor obtido utilizando o método anterior. Cabe ressaltar que a fórmula apresentada não tem caráter místico algum. É possível fazer a sua dedução e, para isso, basta utilizarmos a lógica desenvolvida no método anterior. Vejamos: Suponhamos 4 caixas numeradas, e que iremos colocar em cada uma delas um cartão que possui uma letra H ou um cartão que possui uma letra M. Suponhamos que temos um par de cartões “mestre” que serão utilizados na escolha de uma das letras e que tenhamos uma outra pilha de cartões que serão colocados nas caixas. Inicialmente, escolheremos duas delas para colocarmos um cartão que possui a letra H. O número de maneiras que podemos fazer tal escolha não depende da ordem, ou seja, escolher a caixa 1 e 3 é indiferente de escolher a 3 e 1, visto que colocaremos cartas iguais dentro de cada uma delas. Utilizamos a combinação: 6 2 4 C 2 , 4 = | | ¹ | \ | = Logo, há 6 maneiras de se fazer tal escolha. Fixemos uma das escolhas, como por exemplo, H nas caixas 1 e 3. Nas caixas 2 e 4 colocaremos cartas com a letra M. A probabilidade de tal fato ocorrer pode ser expressa através do princípio multiplicativo. A probabilidade de ocorrer cada H é de 0,5 (pois sorteamos as letras a partir dos cartões-mestre) e de ocorrer M também é 0,5. Assim, a probabilidade de sortearmos H na primeira vez, M na segunda, H na terceira e M na quarta é dada por 0,5.0,5.0,5.0,5 = (0,5) 4 = 0,0625. Como tal fato (2 H e 2 M) pode ocorrer de 6 maneiras diferentes temos que a probabilidade final fica 1 2 3 4 H H M H Cartões mestre 46 P = 6 . 0,0625 = 0,375. Note que 0,5 = 1 – 0,5 = 1 – p. O raciocínio aqui desenvolvido é o mesmo que se faz para deduzir a fórmula da Distribuição Binomial. Exemplo 3: uma urna tem 4 bolas vermelhas (V) e 6 brancas (B). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. O experimento é repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente 3 vezes bola vermelha? Inicialmente, vamos definir a variável aleatória de interesse: X: número de bolas vermelhas observadas (sucesso). Logo, a probabilidade de sucesso será p=4/10=0,4. Utilizando a fórmula apresentada, em que n=5 (número de retiradas) e k=3 (número de bolas vermelhas que temos interesse em observar), temos: 2304 , 0 6 , 0 . 4 , 0 . 3 5 ) 4 , 0 1 .( 4 , 0 . 3 5 ) 3 X ( P 2 3 3 5 3 = | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = = − ou 23,04%. Exemplo 4: numa cidade, 10% das pessoas possuem carro de marca A. Se 30 pessoas são selecionadas ao acaso, com reposição, qual a probabilidade de exatamente 5 pessoas possuírem carro de marca A? Definindo X: número de pessoas que possuem o carro da marca A (sucesso), temos associada uma probabilidade de sucesso p=0,10. Sendo n=30 e k=5, temos: 1023 , 0 9 , 0 . 1 , 0 . 5 30 ) 1 , 0 1 .( 1 , 0 . 5 30 ) 5 X ( P 25 5 5 30 5 ≅ | | ¹ | \ | = − | | ¹ | \ | = = − ou 10,23%. Exemplo 5: admite–se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 horas. Analisando– se 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, pelo menos 3 continuem funcionando após 600 horas? Seja X: número de válvulas que permanecem funcionando após 600 horas. Temos que a probabilidade de sucesso é p=0,3. Perceba que estamos realizando 10 Ensaios de Bernoulli (n=10). Logo, queremos calcular: P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + ... + P(X=9) + P(X=10). Note que teríamos que calcular cada uma das probabilidades envolvidas nessa soma utilizando a fórmula apresentada, ou seja, teríamos que aplicar a fórmula 47 8 vezes para, em seguida, somar todos os resultados. Neste caso, vamos utilizar uma propriedade, já vista, de eventos complementares: P(X≥3) = 1 – P(X<3) = = 1 – [ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)] = = ( ¸ ( ¸ − | | ¹ | \ | + − | | ¹ | \ | + − | | ¹ | \ | − − − − 2 10 2 1 10 1 0 10 0 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 2 10 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 1 10 ) 3 , 0 1 .( 3 , 0 . 0 10 1 = = ( ¸ ( ¸ | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | − 8 2 9 1 10 0 7 , 0 . 3 , 0 . 2 10 7 , 0 . 3 , 0 . 1 10 7 , 0 . 3 , 0 . 0 10 1 = = 1 – 0,3828 = 0,6172 ou 61,72%. Exemplo 6: em uma grande pesquisa com 6000 respondentes, determinou–se que 1500 dos entrevistados assistiam determinado programa de TV. Se 20 pessoas são escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de que ao menos 19 assistam a esse programa? Definindo a variável aleatória que indica sucesso: X: número de pessoas que assistem ao programa. Perceba que a probabilidade de sucesso (p) pode ser calculada a partir do enunciado: 25 , 0 6000 1500 p = = . Logo, queremos calcular: P(X≥19) = P(X=19) + P(X=20) = = 0 20 1 19 75 , 0 . 25 , 0 . 20 20 75 , 0 . 25 , 0 . 19 20 | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | = ≅ 5,5.10 –11 , ou seja, a probabilidade de 19 ou 20 pessoas assistirem ao programa é muito pequena, quase zero, visto que vale 0,0000000055%. Exemplo 7: vamos supor o lançamento de uma moeda honesta (ou seja, P(cara)=P(coroa)=0,5). Suponhamos que você faça uma aposta com um amigo seu: ganha aquele que obtiver mais caras (no seu caso) ou coroas (no caso dele) em 7 lançamentos. A probabilidade de você ganhar ocorre quando saírem 4 ou 5 ou 6 ou 7 caras. Utilizando o modelo Binomial onde: X: número de caras (sucesso) n = 7 lançamentos 48 k = 4,5,6,7 p = 0,5 Otemos: P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 5 , 0 2 1 . 1 2 1 . 7 2 1 . 21 2 1 . 35 2 1 1 2 1 7 7 2 1 1 2 1 6 7 2 1 1 2 1 5 7 2 1 1 2 1 4 7 7 7 7 7 7 7 7 6 7 6 5 7 5 4 7 4 = | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + | ¹ | \ | + | ¹ | \ | = = | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − − − − Resultado interessante, não? Ou seja, ao invés de fazer essa aposta, poderiam ter feito a tradicional aposta de cara x coroa. Exemplo 8: Suponhamos a mesma situação do exemplo anterior, mas agora, você pega, sem seu amigo perceber, uma moeda viciada em que a probabilidade de ocorrer uma cara é de 0,75 ou 4 3 . Neste caso, p=0,75 e a probabilidade de você ganhar é: P(ganhar) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = ≅ | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | + | ¹ | \ | − | ¹ | \ | | | ¹ | \ | = − − − − 7 7 7 6 7 6 5 7 5 4 7 4 4 3 1 4 3 7 7 4 3 1 4 3 6 7 4 3 1 4 3 5 7 4 3 1 4 3 4 7 9294 , 0 ≅ ou 92,94%. Logo, é muito provável que você ganhe a aposta usando essa moeda viciada. Exemplo 9: Overbooking é prática realizada na aviação do mundo todo. Consiste na empresa aérea vender mais bilhetes do que o disponível no vôo com base na média de desistência dos vôos anteriores. Uma empresa aérea possui um avião com capacidade para 100 lugares. Se para um certo vôo essa empresa vendeu 103 passagens e, admitindo que a probabilidade de um passageiro não comparecer para embarque é de 1%, qual a probabilidade de algum passageiro não conseguir embarcar? Este é um problema clássico resolvido utilizando a Binomial. Aqui, é muito comum haver uma certa confusão na elaboração do que é o sucesso bem como do que se deseja calcular. Assim, vamos definir: X: número de passageiros que comparecem ao embarque (sucesso). Neste caso, p=0,99. Temos, ainda, que n=103, visto que cada um dos 103 passageiros pode comparecer ao embarque (sucesso) ou não comparecer (fracasso). Queremos calcular a probabilidade de que algum passageiro não 49 consiga embarcar, ou seja, de que compareçam ao embarque mais de 100 passageiros: P(X>100) = P(X=101) + P(X=102) + P(X=103) = = 0 103 1 102 2 101 01 , 0 . 99 , 0 . 103 103 01 , 0 . 99 , 0 . 102 103 01 , 0 . 99 , 0 . 101 103 | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | + | | ¹ | \ | = = 0 103 1 102 2 101 01 , 0 . 99 , 0 . 1 01 , 0 . 99 , 0 . 103 01 , 0 . 99 , 0 . 5253 + + = = 0,9150 ou 91,50%. Espantoso? Pois é, a probabilidade de haver problemas devido ao excesso de passageiros para esse vôo é bastante elevada e igual a 91,5%. 3. Exercícios 1) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos exatamente duas caras? 2) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que o “4” apareça exatamente 3 vezes? 3) Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira. Supondo que as vezes que ela atira são ensaios independentes, qual a probabilidade de ela acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ela dá 8 tiros? 4) A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens com 45 anos, qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? 5) Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de observarmos ao menos uma cara? 6) Um time de futebol tem probabilidade p = 0,6 de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma? 7) Uma prova consta de 5 testes com 4 alternativas cada um, sendo apenas uma delas correta. Um aluno que nada sabe a respeito da matéria da prova, “chuta” uma resposta para cada teste. Qual é a probabilidade desse aluno: a) acertar os 5 testes? b) acertar apenas 4 testes? c) acertar apenas 3 testes? d) acertar apenas 2 testes? e) acertar apenas 1 teste? f) errar todos os testes propostos? g) qual o resultado mais provável obtido pelo aluno? 50 8) Foi realizada uma pesquisa com 500 pessoas para verificar se assistiam determinado programa de televisão. Duzentas pessoas afirmaram assistir. Se, a partir da população, retirarmos 8 indivíduos, qual é a probabilidade de que no máximo 6 assistam o programa? 9) Um aluno tem o domínio de 70% do conteúdo que será cobrado em uma prova. Sabendo–se que essa prova é composta por 10 questões, qual a probabilidade de ele acertar, ao menos, 7 questões para ser aprovado? 10) Em uma UTI, em média 5% dos bebês que nascem prematuros não sobrevivem. Se, atualmente, há 40 bebês prematuros, qual a probabilidade de que no máximo 5% dos bebês não sobrevivam? 11) Em 320 famílias com quatro crianças cada uma, quantas famílias seria esperado que tivessem: a) nenhuma menina? b) três meninos? c) quatro meninos? 12) Um time X tem 3 2 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar cinco partidas, calcule a probabilidade de: a) X vencer exatamente três partidas; b) X vencer ao menos uma partida; c) X vencer mais da metade das partidas. 13) A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 3 1 . Se ele atirar seis vezes, qual a probabilidade de: a) acertar exatamente dois tiros? b) não acertar o alvo? 14) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; b) três defeituosas; c) mais do que uma boa. 15) Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade de que a face “2” apareça pelo menos uma vez nos 5 lançamentos? 51 Respostas Respostas Respostas Respostas 1) 0,2344 2) 0,03215 3) 0,0459 4) 0,2592 5) 0,98439 6) 0,9898 7) a) 1/1024 b) 15/1024 c) 90/1024 d) 270/1024 e) 405/1024 f) 243/1024 g) O resultado mais provável é que o aluno acerte apenas 1 teste. 8) 0,9915 9) 0,6496 10) 0,6767 11) a) 20 b) 80 c) 20 12) a) 80/243 b) 242/243 c) 64/81 13) a) 80/243 b) 64/729 14) a) (0,95) 100 b) | | ¹ | \ | 3 100 (0,05) 3 .(0,95) 97 c) 1–(0,05) 100 – 100.(0,95).(0,05) 99 15) 5981 , 0 7776 4651 ≅ 52 3 33 3. Modelos . Modelos . Modelos . Modelos Contínuos Contínuos Contínuos Contínuos de Distribuições de de Distribuições de de Distribuições de de Distribuições de Probabilidades Probabilidades Probabilidades Probabilidades Como já vimos, uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Quando a variável é contínua, ou seja, assume valores em intervalos da reta dos números reais, a distribuição de frequência de uma amostra de observações pode ser representada através de um histograma. Agora, porém, queremos analisar a população de onde foi retirada essa amostra. Como não temos acesso ao histograma de frequências relativo à população, não conseguimos determinar, diretamente, o cálculo de qualquer probabilidade. Para o cálculo exato, necessitamos de um modelo para a distribuição de frequências da população. Estudaremos, aqui, dois dos principais modelos contínuos: a Normal e a Exponencial. Os modelos que serão analisado representam comportamentos de uma extensa série de variáveis do mundo dos negócios e também distribuições teóricas de probabilidades que são fundamentais para os métodos de inferência estatística. Tais modelos são expressos por funções matemáticas denominadas funções densidade de probabilidade. A área sob a curva que expressa a função densidade de probabilidade é igual a 1 (total das probabilidades), sendo que a probabilidade de uma particular observação pertencer a um intervalo é dado pela área sob a curva, correspondente ao intervalo, conforme podemos observar na figura seguinte: 1. Distribuição Normal “O mundo é normal!” Acredite se quiser! Muitos dos fenômenos aleatórios que encontramos na prática apresentam uma distribuição muito peculiar, chamada Normal. Um modelo probabilístico é aquele que nos diz, ou melhor, nos traduz na forma de números o comportamento de uma variável. Por exemplo, já fizemos 53 algumas análises das variáveis altura e peso. Considerando o caso de grandes amostras aleatórias ou mesmo da população, tanto o peso como a altura tem um comportamento muito parecido. Vejamos, por exemplo, a variável altura, considerando-se o sexo masculino e sendo a população os habitantes do Brasil. Essa variável é dita Normal, conforme discutiremos mais adiante. Essa distribuição de frequência denominada curva normal, considerada um modelo teórico ou ideal que resulta muito mais de uma equação matemática do que de um real delineamento de pesquisa com coleta de dados. A curva normal é um tipo de curva simétrica, suave, cuja forma lembra um sino. Ela é unimodal, sendo seu ponto de frequência máxima situado no meio da distribuição, em que a média, a mediana e a moda coincidem. Para exemplificarmos, suponhamos 2000 lançamentos de 200 moedas honestas. Utilizando um software de simulação, obtivemos os seguintes resultados: [80 ... 81] 5 [82 ... 83] 6 [84 ... 85] 16 [86 ... 87] 19 [88 ... 89] 39 [90 ... 91] 60 [92 ... 93] 91 [94 ... 95] 111 [96 ... 97] 165 [98 ... 99] 194 [100 ... 101] 227 [102 ... 103] 220 [104 ... 105] 206 [106 ... 107] 174 [108 ... 109] 155 [110 ... 111] 123 [112 ... 113] 84 [114 ... 115] 49 [116 ... 117] 21 [118 ... 119] 18 [120 ... 121] 6 [122 ... 123] 8 [124 ... 125] 2 [126 ... 127] 1 54 sample mean = 102.132 sample st dev = 7.238 A partir desses dados, construímos o histograma: Observando tal histograma e a tabela anterior, notamos que a média está entre as duas classes com maiores frequências. Além disso, considerando-se a média, percebemos que o histograma parece ser simétrico ao redor dela. A frequência é menor quanto mais nos afastamos da média, tanto para mais quanto para menos, sendo que as menores frequências ocorrem nas pontas do gráfico. Note que quanto mais classes usamos, mais fácil fica identificarmos um formato criado pelas colunas do histograma. Esse formato faz lembrar um sino, conforme a figura seguinte: “Limpando” o gráfico acima, temos: 79.50 127.50 0 227 Freq heads 79.50 127.50 0 227 Freq heads 55 Essa curva que chamamos de sino recebe um nome especial: Curva Normal. A Curva Normal é a representante do modelo normal e é obtida a partir da função densidade que nada mais é do que uma função que origina o gráfico anterior. Assim, se X é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e variância σ 2 (notação: X ~ N(µ, σ 2 )) então a sua função densidade é dada por 2 2 2 ) x ( e 2 1 ) x ( f σ µ − − π σ = A Normal apresenta as seguintes propriedades: - é simétrica ao redor da média; - a área sobre a curva é igual a 1; - para valores muito grandes de x, tendendo a infinito (ou muito pequenos, tendendo a menos infinito), a curva tende a zero. Note que conforme o caso, poderemos ter curvas com formatos diferentes, ou seja, mais para a direita, mais para a esquerda, mais ou menos achatadas... enfim, cada caso poderá gerar uma curva diferente. Vejamos mais um caso. Consideremos o lançamento de dois dados não viciados. Estamos interessados em analisar a soma dos resultados obtidos em cada jogada. Realizando uma simulação e construindo o histograma dos resultados, obtemos: 80.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.0 80.0 90.0 100.0 110.0 120.0 130.0 Média = 102,3 56 No caso simulado, obtivemos: sample mean = 7.07200 sample st dev = 2.34282 Ou seja, µ = 7,07 e s = 2,34, onde µ µµ µ indica a média e s o desvio padrão da amostra. Isolando a curva da normal temos: Assim, conforme havíamos dito, existem diferentes curvas, que variam conforme os valores da média e do desvio-padrão. Lembramos que a área abaixo desse gráfico vale 1. Ou seja, a área corresponde a uma probabilidade. 1.50 12.50 0 173 Freq sum −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.0 0.1 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.011.012.013.014.015.016.0 0.1 57 2. Área sob a Curva Normal É aquela região do plano compreendida entre a curva e o eixo das abscissas, que corresponde em qualquer distribuição normal a 100% dos dados considerados. Exemplo 1: consideremos uma população de uma cidade A e de uma outra cidade B. Suponhamos que todas as pessoas tenham informado as respectivas alturas (em centímetros). E deseja-se fazer uma comparação entre tais populações. As principais estatísticas obtidas por essa pesquisa foram: População A População B Média (µ µµ µ) 174 178 Variância (σ σσ σ 2 ) 64 1 Um pesquisador deseja sortear aleatoriamente pessoas para fazer um teste sobre DNA e crescimento e, para isso, gostaria de coletar (aleatoriamente!) pessoas com mais de 1,80m. Em qual das duas populações será mais fácil achar pessoas com tais características? Para isso, podemos dizer que estamos trabalhando com duas variáveis: X A : altura de 1 pessoa selecionada ao acaso na população A X B : altura de 1 pessoa selecionada ao acaso na população B Nosso objetivo é calcular as seguintes probabilidades: P(X A > 180) e P(X B > 180). Mas antes, calculemos o valor do desvio-padrão (σ) de cada uma das populações. Lembrando que o desvio-padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância. Logo: 8 64 A = = σ 1 1 B = = σ Utilizando um software é possível calcularmos tais probabilidades. Esse software calcula, na verdade, a área abaixo da curva: P(X A > 180) = 0,2266 ou 22,66%. P(X B > 180) = 0,0228 ou 2,28%. Portanto, o pesquisador terá mais facilidade de achar pessoas com mais de 1,80m na população A. Aleatoriamente falando, tal probabilidade é de 22,66%. 58 Esse resultado pode parecer estranho, visto que a população B possui uma média de alturas superior ao da população A. Porém, tal fato é explicado através da variabilidade dos resultados, ou melhor, pelo desvio-padrão. Exemplo 2: Consideremos, ainda, o exemplo anterior. Só que, agora, temos interesse em obter pessoas que tenham entre 1,75m e 1,80m. Qual população possui um número maior de habitantes nessa faixa de altura? Aqui, queremos calcular as seguintes probabilidades: P(175 < X A < 180) e P(175 < X B < 180) . Novamente, usando um software, obtemos: P(175 < X A < 180) = 0,2236 e P(175 < X B < 180) = 0,9759. Portanto, é evidente que a população B, mais uma vez, representa a melhor escolha, pois a probabilidade de escolhermos uma pessoa nessa faixa de altura na população B é quase 100%, ou seja, quase todos habitantes possuem as alturas procuradas. 3. Normal Padrão Em muitos livros de Estatística podemos encontrar uma tabela da Normal Padrão. É uma tabela que nos fornece valores das áreas (= probabilidades) de acordo com o valor de x, exatamente como fizemos nos exemplos anteriores com o auxílio do software Winstats. A maioria dos softwares de Estatística possuem comandos que permitem calcularmos o valor das áreas sobre curvas como a Normal, dentre eles, o SAS, o Excel, o S-PLUS, e outros. Porém, se não temos acesso a um computador, podemos usar a Tabela da Normal. Mas, como dissemos anteriormente, existem diversas curvas da normal, que variam segundo a média e variância. Isso significa que teríamos que ter inúmeras tabelas da normal... o que não parece muito viável. Dessa forma, criou-se uma maneira mais simples de se obter as áreas desejadas. Criou-se uma curva denominada Normal Padrão, que corresponde Meu computador “deu pau”! Como calcular as probabilidades da Normal? USE A NORMAL PADRÃO ! 59 a uma distribuição normal com média zero e desvio-padrão um. Geralmente a variável aleatória associada à distribuição normal padrão é chamada de Z. Em notação: A grande vantagem de usarmos tal distribuição é o fato de trabalharmos apenas com uma distribuição e, portanto, com uma única tabela. Tudo é mais fácil! Porém, como fazer para obtermos tal variável Z (padronizada) a partir de uma variável aleatória qualquer X tal que X ~ N(µ µµ µ, σ σσ σ 2 ) ? Basta padronizarmos ou normalizarmos a variável X através da fórmula: onde: µ = média de X σ = desvio-padrão de X 4. Usando a tabela da Normal Padrão Existem algumas variações de apresentação da tabela. No nosso caso, utilizaremos uma tabela tal que P(0 ≤ Z ≤ z c ) = p, ou seja, a probabilidade fornecida pela tabela (p) corresponde ao intervalo que vai de 0 até um certo número z c no eixo x. Esquematicamente, a tabela da normal nos fornece a probabilidade correspondente à área a seguir: Z ~ N(0,1), ou seja, µ Z = 0 e σ Z = 1 0 zc p 60 Veja, esquematicamente, como deve ser a leitura da tabela: Exemplo 3 – Padronização Voltemos ao caso do exemplo anterior onde tínhamos µ = 174 e σ = 8. Queríamos calcular P(X > 180). Vamos normalizar a variável X (ou seja, transformá-la em Z) e utilizar a tabela para obter a probabilidade desejada. ( ) 75 , 0 Z P 8 174 180 X P ) 180 X ( P > = | ¹ | \ | − > σ µ − = > Para obtermos a probabilidade desejada, devemos lembrar que a nossa tabela nos fornece a probabilidade de 0 até um certo valor. Dado Z = 0,75, vejamos como obter a probabilidade a partir da tabela da Normal Padrão. Na coluna mais à esquerda, tomamos a parte inteira e a primeira decimal de Z, no caso, 0,7. Na linha superior, observamos o valor da segunda casa decimal, no caso 5 (lembre-se que o número é 0,75). A célula correspondente á linha do número 0,7 e da coluna de 5 é o valor da probabilidade. No caso, p=0,2734. 2ª casa decimal de Z Parte inteira e 1ª casa decimal de Z Probabilidade Leitura da Tabela Consultando a tabela da Normal 61 Parte inteira e primeira decimal de z Segunda casa decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,000 0 0,004 0 0,008 0 0,0120 0,0160 0,0199 0,023 9 0,027 9 0,031 9 0,035 9 0,1 0,039 8 0,043 8 0,047 8 0,0517 0,0557 0,0596 0,063 6 0,067 5 0,071 4 0,075 3 0,2 0,079 3 0,083 2 0,087 1 0,0910 0,0948 0,0987 0,102 6 0,106 4 0,110 3 0,114 1 0,3 0,117 9 0,121 7 0,125 5 0,1293 0,1331 0,1368 0,140 6 0,144 3 0,148 0 0,151 7 0,4 0,155 4 0,159 1 0,162 8 0,1664 0,1700 0,1736 0,177 2 0,180 8 0,184 4 0,187 9 0,5 0,191 5 0,195 0 0,198 5 0,2019 0,2054 0,2088 0,212 3 0,215 7 0,219 0 0,222 4 0,6 0,225 7 0,229 1 0,232 4 0,2357 0,2389 0,2422 0,245 4 0,248 6 0,251 7 0,254 9 0,7 0,258 0 0,261 1 0,264 2 0,2673 0,2704 0,2734 0,276 4 0,279 4 0,282 3 0,285 2 0,8 0,288 1 0,291 0 0,293 9 0,2967 0,2995 0,3023 0,305 1 0,307 8 0,310 6 0,313 3 0,9 0,315 9 0,318 6 0,321 2 0,3238 0,3264 0,3289 0,331 5 0,334 0 0,336 5 0,338 9 1,0 0,341 3 0,343 8 0,346 1 0,3485 0,3508 0,3531 0,355 4 0,357 7 0,359 9 0,362 1 Então: −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0,75 Em vermelho, temos a área (probabilidade) fornecida pela tabela. p=0,2734 62 Como fazer para calcular o valor desejado a partir do valor da tabela? Bem, é preciso relembrar as propriedades da curva da normal, em especial duas delas: 1) a área abaixo da curva é igual a 1; 2) a curva é simétrica em torno da média (no caso da normal padrão, em torno do zero). Logo, concluímos, que a área correspondente à metade da curva é igual a 0,5: Então, podemos observar que: P(0 ≤ Z ≤ 0,75) + P(Z > 0,75) = 0,5 ⇒ P(Z > 0,75) = 0,5 – P(0 ≤ Z ≤ 0,75) ⇒ −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0,75 Em laranja, temos a área (probabilidade) que desejamos obter. p = 0,5 63 P(Z > 0,75) = 0,5 – 0,2734 ⇒ P(Z > 0,75) = 0,2266 Logo, a probabilidade procurada é de 0,2266 que corresponde ao mesmo valor obtido utilizando-se o software (exemplos anteriores). Exemplo 4 – Padronização Consideremos a mesma situação das alturas, ou seja, µ = 178, σ = 1 e queríamos calcular a probabilidade P(175 < X < 180). Normalizando a variável X temos: ) 2 Z 3 ( P 1 178 180 X 1 178 175 P ) 180 X 175 ( P < < − = | ¹ | \ | − < σ µ − < − = < < Graficamente: Porém, a nossa tabela só nos fornece os valores: −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Em vermelho, temos a área (probabilidade) que desejamos obter. 64 E, também, fornece o valor de: Logo, a área procurada corresponde à soma das áreas parciais: P(–3 < Z < 2) = 0,4772 + 0,4987 = 0,9759, que é igual à probabilidade obtida através do software (exemplos anteriores). Assim, mostramos que a tabela pode ser muito útil, principalmente quando não temos um computador ou software adequado por perto. Exemplo 5 – Teste de aptidão Em um certo teste de aptidão para contratação de determinada empresa, os candidatos devem realizar uma sequência de tarefas no menor tempo possível. Suponhamos que o tempo necessário para completar esse teste tenha uma distribuição Normal com média 45 minutos e desvio-padrão de 20 minutos. Suponhamos que, numa primeira etapa, esse teste foi aplicado com uma −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0,4772 0,4987 Lembre-se que, como a curva é simétrica, a área correspondente ao intervalo de –3 à 0 é igual a área de 0 à 3! 65 amostra de 50 candidatos. Qual a probabilidade de encontrarmos algum candidato que tenha um tempo superior a 50 minutos (candidato muito lento) ou inferior a 30 minutos (que seria impossível completar o teste)? Qual o número aproximado de candidatos com tal perfil? Inicialmente, seja X uma variável que indique o tempo de execução das tarefas tal que X ~ N(45, 20 2 ). Desejamos calcular: P(X > 50) + P(X < 35) = = = | ¹ | \ | − < σ µ − + | ¹ | \ | − > σ µ − 20 45 30 X P 20 45 50 X P = P(Z > 0,25) + P (Z < -0,75) = = (0,5 – 0,0987) + (0,5 – 0,2734) = = 0,6279 ou 62,79% Como 0,6279 . 50 = 31,39, temos que o número de pessoas aproximado que contenham tais característica é de 32 pessoas. Então, nesse teste a empresa já exclui 32 candidatos, restando apenas 18 para continuarem no processo de seleção. 5. Resumo das Propriedades da Distribuição Normal 1ª) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª) A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. 4ª) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.1 0.2 0.3 0.4 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 0.1 0.2 0.3 0.4 66 5ª) Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. 6ª) Uma variável Normal X com média µ e desvio padrão σ pode ser transformada em uma variável Normal Padrão Z pela fórmula σ µ − = X Z . Exemplo 6: Qual a probabilidade de escolher-se de forma aleatória, numa só tentativa, uma pessoa que tenha renda anual entre US$ 4.000 e US$ 7.000, morador de uma cidade. Sendo a renda média desta cidade US$ 5.000 e o desvio padrão de US$ 1.500? Sabe–se que a renda populacional possui uma distribuição Normal. Sendo X: renda anual de uma pessoa em dólares, temos: ) 33 , 1 Z 67 , 0 ( P 1500 5000 7000 Z 1500 5000 4000 P ) 7000 X 4000 ( P < < − = | ¹ | \ | − < < − = < < Consultado a tabela da normal, verificamos que a probabilidade entre z=0 e z=1,33 vale 0,2486. A probabilidade entre z=0 e z=–1,33 é igual, devido à simetria da curva, à probabilidade entre z=0 e z=1,33 e vale 0,4082. Logo: P(–0,67<Z<1,33) = 0,2486 + 0,4082 = 0,6568 ou 65,68%. Exemplo 7: Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65,3 kg e desvio padrão 5,5 kg. Determine o número de estudantes que pesam: a) entre 70 kg e 80 kg b) mais que 63,2 kg c) mais que 72 kg Resolução Seja X: peso de um estudante em kg. a) ) 67 , 2 Z 85 , 0 ( P 5 , 5 3 , 65 80 Z 5 , 5 3 , 65 70 P ) 80 X 70 ( P < < = | ¹ | \ | − < < − = < < = = 0,4962 – 0,3023 = 0,1939. Logo, haverá 0,1939 . 600 = 116,34 ~ 116 estudantes pesando entre 70kg e 80kg. b) 6480 , 0 1480 , 0 5 , 0 ) 38 , 0 Z ( P 5 , 5 3 , 65 2 , 63 Z P ) 2 , 63 X ( P = + = − > = | ¹ | \ | − > = > . 67 Portanto, espera–se encontrar 0,6480 . 600 = 388,8 ~ 389 estudantes com peso superior a 63,2kg. c) 1112 , 0 3888 , 0 5 , 0 ) 22 , 1 Z ( P 5 , 5 3 , 65 72 Z P ) 72 X ( P = − = > = | ¹ | \ | − > = > . Assim, devemos encontrar 0,1112 . 600 = 66,72 ~ 67 estudantes com mais de 72kg. Exemplo 8: sendo Z uma variável Normal Padrão, calcule as seguintes probabilidades: a) P (0 < Z < 1,44) b) P (–1,48< Z < 2,05) c) P (Z > –2,03) d) P (Z > 2,03) e) P (0,72 < Z < 1,89) f) P (0,72 ≤ Z < 1,89) g) P (0,72 < Z ≤ 1,89) h) P (0,72 ≤ Z ≤ 1,89) i) P(Z = 0,72) j) P(Z = 1,89) k) P(Z>4,5) l) P(Z<4,5) Resolução Observe que a variável já está padronizada. Logo, basta consultarmos a tabela para efetuar os cálculos. Sugestão: para compreender melhor, sempre faça um esboço da área procurada. a) P (0 < Z < 1,44) = 0,4251 b) P (–1,48< Z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104 c) P (Z > –2,03) = 0,5 + 0,4788 = 0,9788 d) P (Z > 2,03) = 0,5 – 0,4788 = 0,0212 e) P (0,72 < Z < 1,89) = 0,4706 – 0,2642 = 0,2064 Para os itens seguintes, perceba que há apenas a alteração entre os símbolos < e ≤. Pensando que a probabilidade corresponde a área sob a curva e que a área sob um único ponto é uma linha e, portanto, tem área igual a zero, concluímos que a adição ou remoção de um ponto não interfere no resultado final. Ou seja: f) P (0,72 ≤ Z < 1,89) = 0,2064 g) P (0,72 < Z ≤ 1,89) = 0,2064 h) P (0,72 ≤ Z ≤ 1,89) = 0,2064 A área sob um ponto é uma linha, ou seja, a área é igual a zero: i) P(Z = 0,72) = 0 j) P(Z = 1,89) = 0 68 Note que a tabela não possui valores de probabilidade para z muito grande (geralmente acima de 4, dependendo da tabela utilizada). Ao mesmo tempo, note que para os últimos valores da tabela, a probabilidade se aproxima de 0,5. Então: k) P(Z>4,5) = 0,5 – 0,5 = 0 l) P(Z<4,5) = 0,5 + 0,5 = 1 Exemplo 9: Se X é uma variável aleatória tal que X~N(20; 49), Calcule P(X<30). Pela notação da distribuição Normal, X possui média 20 e variância 49. Logo, o desvio padrão vale 7. Assim: 9236 , 0 4236 , 0 5 , 0 ) 43 , 1 Z ( P 7 20 30 Z P ) 30 X ( P = + = < = | ¹ | \ | − < = < . Exemplo 10: o salário semanal dos operários de construção civil de certo país é distribuído normalmente em torno da média de $ 80, com desvio padrão de $5. a) Qual é o valor do salário para escolhermos 10% dos operários com maiores remunerações? b) Qual é o maior salário correspondente aos 20% dos trabalhadores que ganham menos? Resolução Este exemplo é o contrário dos anteriores. Antes, conhecíamos o valor da variável X, padronizávamos para a variável Z e, usando a tabela da Normal Padrão, obtínhamos o valor da probabilidade procurada. Aqui, vamos fazer exatamente o mesmo caminho só que ao contrário. a) Queremos calcular um salário a de modo que: P(X>a) = 0,10. Padronizando: 10 , 0 5 80 a Z P = | ¹ | \ | − > . Ou seja, nosso interesse é procurar um valor de z na tabela de modo que a área da curva a seguir seja 0,10. 69 Consequentemente, vamos procurar na tabela o valor que mais se aproxima de 0,40 (veja a figura seguinte): Observando a tabela, encontramos o valor de z mais próximo à probabilidade 0,40: 0,10 z = ? z = ? 0,40 70 Ou seja, o valor de z desejado é z=1,28. Isso significa que P(Z>1,28) ≅ 0,10. Comparando com a expressão obtida 10 , 0 5 80 a Z P = | ¹ | \ | − > , temos a seguinte igualdade: 28 , 1 5 80 a = − Portanto, a=86,4. Conclusão: existem 10% dos operários que ganham acima de $86,40. Esse é, portanto, o salário procurado. b) Agora, desejamos saber o salário b que separa os 20% que ganham menos dos demais, ou seja: P(X<b)=0,20 20 , 0 5 80 b Z P = | ¹ | \ | − < Graficamente, queremos achar, na tabela da Normal Padrão, o valor de z que satisfaz ao gráfico: 71 Observando a tabela da Normal Padrão, devemos procurar a probabilidade mais próxima de 0,30: Ou seja, o valor procurado é z=0,84. Porém, olhando o último gráfico, devemos ficar atento para o fato de que o valor que desejamos está à esquerda do zero, ou seja, é um valor negativo. Devido à simetria da curva da Normal, concluímos que o valor de z que realmente queremos é z=–0,84. Em outras palavras, temos que P(Z<–0,84) ≅ 0,20. Logo: z = ? 0,20 0,30 72 84 , 0 5 80 b − = − e, portanto, b=75,8. Assim, o salário semanal de $ 75,80 separa os 20% dos operários que recebem menos. Exemplo 11: em uma escola, as notas de um exame são normalmente distribuídos com média de 72 pontos e desvio padrão de 9. O professor atribuirá conceito A aos 8% dos melhores alunos. Qual a menor nota (valor inteiro) que um aluno pode tirar de modo a garantir um conceito A? Seja k a nota procurada e seja X a variável que representa a nota de um aluno. Queremos: P(X>k)=0,08 08 , 0 9 72 k Z P = | ¹ | \ | − > . Buscando na tabela da normal o valor de z que mais se aproxima da probabilidade igual a 0,5–0,08=0,42, encontramos z=1,41. Ou seja, P(Z>1,41)=0,08. Logo: 69 , 84 k 41 , 1 9 72 k = ⇒ = − . Ou seja, a menor nota que o aluno deve tirar para garantir um conceito A é 85. 6. Exercícios 1) O tempo necessário em uma oficina para o conserto da transmissão de um tipo de carro segue distribuição normal com média de 45 minutos e desvio- padrão de 8 minutos. O mecânico comunicou a um cliente que o carro estará pronto em 50 minutos. Qual probabilidade do mecânico atrasar o seu serviço? 2) A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: a) Entre 700 e 1000 dias b) Mais de 800 dias c) Menos de 750 dias 3) Determinado atacadista efetua suas vendas por telefone. Após alguns meses, verificou-se que os pedidos se distribuem normalmente com média de 3.000 pedidos e desvio-padrão de 180 pedidos. Qual a probabilidade de que um mês selecionado ao acaso esta empresa venda menos de 2700 pedidos. 73 4) O conteúdo líquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante é normalmente distribuído com média de 300 ml e desvio padrão de 2 ml. Determine a probabilidade de uma garrafa selecionada ao acaso apresentar conteúdo líquido: a) inferior a 306 ml b) Superior a 305 ml c) entre 302 e 304 ml 5) O lucro mensal obtido com ações de determinada empresa tem distribuição normal com média de 12 mil reais e desvio padrão de 5 mil reais. Qual a probabilidade de que em determinado mês o lucro desta empresa seja: a) superior a 18 mil reais b) inferior a 8 mil reais c) entre 10 e 15 mil reais 6) Durante o mês de dezembro aumenta a procura por concessão de crédito para pessoa física. De acordo com dados históricos é possível verificar que a procura segue uma distribuição aproximadamente normal com média de 12,8 milhões e desvio padrão de 15 milhões. Se as instituições de crédito reservarem 25 milhões para concessão de crédito, qual a probabilidade de faltar dinheiro para emprestar? 7) Suponha que a renda média anual de uma grande comunidade tenha distribuição normal com média de 15 mil reais e com um desvio-padrão de 3 mil reais. Qual a probabilidade de que um indivíduo aleatoriamente selecionado deste grupo apresente uma média salarial anual superior a 18 mil reais? 8) O escore de um estudante no vestibular é uma variável com distribuição normal com média de 550 pontos e desvio padrão de 30 pontos. Se a admissão em certa faculdade exige um escore mínimo de 575 pontos, qual é a probabilidade de um aluno ser admitido nesta faculdade? 9) As vendas de determinado produto têm apresentado distribuição normal com média de 600 unidades e desvio padrão de 40 unidades. Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mesmo mês, qual é a probabilidade dela não poder atender a todos os pedidos desse mês por estar com o estoque esgotado? 10) O volume de enchimento de uma máquina automática usada para encher latas de bebidas gasosas é distribuído normalmente com uma média de 12,4 onças e um desvio padrão de 0,1 onça. Qual a probabilidade do volume de enchimento ser: a) inferior a 12 onças b) entre 12,1 e 12,6 onças c) superior a 12,3 onças 74 11) O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual é normalmente distribuído com uma média de 0,4 segundos com um desvio-padrão de 0,05 segundos. Qual a probabilidade de que uma reação de um motorista requeira: a) mais de 0,5 segundos b) entre 0,4 e 0,5 segundos 12) O período de falta de trabalho em um mês por causa de doenças dos empregados é normalmente distribuído com uma média de 100 horas e desvio padrão de 20 horas. Qual a probabilidade desse período no próximo mês estar: a) entre 50 e 80 horas b) superior a 90 horas c) inferior a 60 horas 13) X é N(10; 100). Calcular P (12 < X ≤ 20). 14) X é N(30; 16). Calcular P (X < 19). 15) X é N(20; 25). Calcular P (X ≤ 30). 16) X é N(50; 81). Calcular P (40 ≤ X < 60). 17) X é N(10; 16). Calcular P (X ≥ 5). 18) Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma média de 2,4 anos antes de trocá–los por uma máquina nova. O desvio padrão é 0,5 anos. Um dono de computador é selecionado de forma aleatória. Encontre a probabilidade de que ele vá usar o computador por menos de 2 anos antes de trocá–lo. Considere uma distribuição normal de probabilidades. 19) Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja é normalmente distribuído. Uma pessoa entra na loja. a) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos? b) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja mais que 39 minutos? c) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela entre 24 e 54 minutos? d) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela por mais de 39 minutos? 20) As pontuações para um teste de serviço civil são normalmente distribuídas com uma média de 75 pontos e um desvio padrão de 6,5. Para ser adequado ao emprego de serviço civil, você deve ter pontuação dentro dos 5% primeiros colocados. Qual é a menor pontuação que você pode obter e ainda assim ser adequado ao emprego? Considere que a pontuação é um valor inteiro. 75 21) Em uma amostra escolhida aleatoriamente de homens com idade entre 35 e 44 anos, a média do nível de colesterol total era de 210 mg/dl. Suponha que os níveis totais de colesterol sejam normalmente distribuídos com desvio padrão igual a 38,6 mg/dl. Encontre o nível total de colesterol mais alto que um homem nessa faixa etária pode ter dentre os 1% dos homens com menores níveis de colesterol. 22) Você vende uma marca de pneus de automóveis que tem uma expectativa de vida que é normalmente distribuída com uma vida média de 30.000 milhas e um desvio padrão de 2.500 milhas. Você quer dar uma garantia de troca de pneus grátis que não durem muito. Como você poderia honrar sua garantia se você está disposto a trocar 10% dos pneus que vende? 23) Uma máquina de venda automática, distribui café em um copo de 8 decilitros. A quantidade de café no copo é normalmente distribuída com desvio padrão de 0,03. Você pode deixar o café transbordar 1% das vezes. Qual quantidade você deveria marcar como a quantidade média de café a ser distribuído? 24) Os pesos do conteúdo de uma caixa de cereais são normalmente distribuídos com um peso médio de 20 onças e um desvio padrão de 0,07 onça. Caixas nos 5% mais baixos não atendem às condições mínimas de peso e devem ser embaladas novamente. Qual é o peso mínimo exigido para uma caixa de cereais? Respostas Respostas Respostas Respostas 1) 0,2643 2) a) 0,9992 b) 0,8665 c) 0,0132 3) 0,0475 4) a) 0,9987 b) 0,0062 c) 0,1359 5) a) 0,1151 b) 0,2119 c) 0,3811 6) 0,2090 7) 0,1587 8) 0,2033 9) 0,0062 10) a) 0 b) 0,9759 c) 0,8413 11) a) 0,0228 b) 0,4772 12) a) 0,1525 b) 0,6915 c) 0,0228 13) 26,2% 14) 0,3% 15) 97,72% 16) 73,3% 17) 89,44% 18) 21,19% 19) a) 0,7333 b) 0,6915 c) 147 pessoas d) 138 pessoas 20) 86 pontos 21) 120 mg/dl 22) Pneus que gastam antes de completarem 26.800 milhas. 23) 7,93 decilitros. 24) 19,88 onças 76 Formulário Formulário Formulário Formulário União de eventos: ) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P ∩ − + = ∪ Eventos independentes: ) B ( P ). A ( P ) B A ( P = ∩ Binomial: k n k ) p 1 .( p . k n ) k X ( P − − | | ¹ | \ | = = Normal: σ µ − = X Z 77 Tabela Tabela Tabela Tabela – Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal: Valores de p tais que P(0 ≤ Z ≤ z) = p Parte inteira e primeira decimal de z Segunda casa decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000