....,.., ..~ ....."',. . . . . •. 1. . . . . . • r ,..,_., .. .,·• ... " • • " .. :e ~ ~ Instituto de Matemáticas, UNAM PRINCIPIOS DE OLIMPIADA Alejandro lllanes Mejfa CUADEI1NOS DE OLIMPIADAS llf MAIEMAliCAS COMITÉ EDITORIAL Luis Briseño Aguirre, Facultad de Ciencias, UNAM. Ignacio Barradas Bribiesca, CIMAT. Alejandro lllanes Mejia, lnstiruto de Matemáticas, UNAM. e e UNAS PALABRAS DE LOS EDITORES Uisfmtú nse momento como niugiÍll otro en HU vida. Ahí eHtaba de pie, rPcihimHlo la primPra mPdalla de oro para un estudiilnte mexicano en una <Jlitupiadn iut<'ntncional de ma.t('ltHit icas. Muchos JHmsamientos se arremolinaron en HU cabeza. Por un momento recordó a muchos compañeros, coBcentraciones, ciudades, la palabra sacrificios alcanzó a asomarse ligeralll<'ttl <\ lH~ro uo akamr.<'> a crist.aliza.rsP, la vmdad <~s que hahfa trabajado i nt unsmuentu y, sin embargo, también había disfrutado, pues resolver prohiPutas du matemáticas se había convertido en una pasión que no lo iba a nhat1donar ntutca.. Pensó Pll su n~greso a M(~xieo, en sus amigos y en su familin. También, sin salH~r por qn(·, recordó a un periodista tonto que criticó a 1111 atleta mexicano qw~ había obtenido un quinto lugar en los p<L'Iados juugos olímpicos, ¡cómo si <'SO no fuera una hazaña! Se diHtrajo saludando a sus _compaúnros de dnlngacióu ... La!-i olÍIHpia(hL"! mnxicmta!'i de matmnáticm; se han realizado desde l!J87. Profesores, matmnát icos y mnehoi'i j(1vencs han dedicado f'sfuerzos loables por il;wc·rbi'i <TP<:Pr. Todos <·llos cotnpart:('tl la aficit'nt, <pw Ptt mndtos casos se acc•rca a la adic('iútt, y qw• Pll otros se vudv(• una forma de vida, por Jos pmhlmna.'i mat.euu\t.ico!'l. El edificio q1w !tan cmtstruido ha permitido d<'tPct m y preparar a mudtos <k los j(lV('JtPS tll!ÍS talet1tosos para c\'itó\. elisciplina. Lns mcüon•s logros qtt<' il:t ('()tl!'<'.l',ltido 1\J(•xko i'iolt: 1 rig<·silii<> lugm <'tt [;¡ Oli111piad:t lllltTttaciottal de Maten¡;\ticas, ( 'on~a. ~()()(). s<•p,nndo lng;tr <'11 las (>limpiadas llwroamericarw¡;; rlP MatPmáticas (k Costa i{i(';¡ ''" l~J!Hi y d<• V<'tl<'"-llda en 2000, -tn~s nwdallas el<~ plata Pll las olimpiadas internacionales de matemáticas, gan;~das por: Patricio T. Alva Pufiean (ArgPntina, 1997), Omar Antolín ( ~am;Jreu;~ (Taiwan, 1!)!18) y Carlos A. Villalvazo .lauregni (Con~a, 2000), di(•z ttl<'d<~lln~' d<~ oro c•n la olimpiada,; ilH'roaJll('t'Í('altas de matem;ític<LS, g;111adas por: Bt>mardo AhrPgo Lurma (Argcmtina, 1U!lJ ), Patricio T. Al va l'llil<·:tll (('.,¡.;l:t llic·:t. l!l!lfi), .lt•st'ts Ht>drígw•z Vinrnt<• (1\f(·xi('n, 1!)<)7). llohPrto 1>. Cliií\·c·z C;íudma (li. l>otllillicillla. I!Hli'l}. ( ':1tlos ll<lllliÍII CtH'VHH (('nhH, e -e 1999), .Jnvier A. Chávez Domínguez, Carlos A.Villalvazo .Jauregui (ambos en Venezuela, 2000) y David J. Mireles Morales (Uruguay, 2001). Esta serie está diseñada como material de apoyo a los jóvenes qne se preparan para la olimpiada nacional de matemáticas. Nuestro delleo es que estos cuadernos sirvan como un bloque más de la pirámide que algún día tendrá en su cúspide a un joven como el que describimos al principio de esta presentación. Queremos agradecer al Instituto de Matemáticas de la UNAM, en particular a su director, el Dr. José Antonio de la Peña Mena, por su apoyo para la publicación de estos cuadernos. Los Editores, junio de 2002 Clli\lllllNOS DF OliMPIADAS DE MATEMÁTICAS ( INTRODUCCIÓN Estn pPqneiio libro es una guía para los alumnos que se preparan para PI C'oncmso Nacional dP la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Ningún foil< ·t o pncdc cnbrir t.odos los cmwcimientos que se podrían necesitar para nst as olimpiadas. Corno es de esperarse, \a;; olimpiadas de matemáticas no ,;on <~xámerws dn aprov<~cltmuiento sitio twí:; bien son prw~bas en las que ~,·.¡o pnndmt df'st a<·ar los ¡·oncunmnt <'S Íll¡l,('lliosos. Dn pní.ct.icament.c toda.'l In;; nunaH dn ]m.; !ll;lt.<~Jwitica.s He pundPu plaut.nar problcrJmH que podrían apan·<·nr en laH olirnpiadaH, Hin nmlmrgo, la columna vnrtdmt1 de estos ,."ll<'lll:;os son ]o,; prnhlc·nlll.'i d<• C<'OIIif'l.rfa, Cmuhinatoria y Arit.111Nica. i'or <•st.a nmín, en este libro se da una introducción directa a estos temas. Primera Relmpretl6n, 1001 Primera Edición, 2001 Instituto de Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Av. Universidad 3000 0451 O- México, D.F. ISBN 968-36-8598-4 (Cuadernos de Olimpiadas Matemáticas) En mal.<'lll<ít.icas, como <'ti ca.<>i todas las disciplinas, uno aprend<~ viendo '' l<>s d<~lll(J.<; lla('(~r y tnml•i(•n llacim1d<> 11llo lllÍSIIIO. l•:n la;; dmH~s usuaks d<~ la <•senda, generalment<~ llllo práctica nu\s la primera parte. Es decir, tiene IlllH'ha importancia lo q1w d profesor enseña y 1mo lo complda haciendo los <'.i<•r('il'ios d<~ la t arm, qw~ g<~Itnra.lnwnt <~ Ito ofrecen gran dificultad. En las olimpiadas d<• matemática¡.; se iuviertf: la balanza, es mucho más importante lo <¡11<' 11110 hac(' por sí mismo que lo que nos puede d<'cir un profesor o un lil11". ]•;¡, <'SI.<' se•nt ido la;; olinq>iadas de• mal<'lll<íti('a¡.; son JWÍ:-i pan•cida;; a la:-; ('O!ll]ld.Pucia:-; dPportivas <¡1H~ a la;; da;;es nonnalm; de matemáticas. Así c·omo los nnísculos no se fortaln('(~Jl s<'l]o co11 las explicaciones que dan los <•ntrewHlows, la capacidad de hac<'r prohlemaH 110 se cultiva sólo viendo ¡·omo los demils los n•suelven, adenuís d<~ Pso, uno tiew~ que hacer sus propios int<~nt os. n Esta obra está sujeta a copyright. Ninguna parte de ella puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, eletrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado, la grabación, o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Impreso y hecho en México E,;k lihr() pan~<:(' III<ÍS illofPI!SÍ\'Cl <k ¡,, <pi<~ <~S. En S(' incluyen los lll"hi<•Jn¡¡s <¡IW h;tn apar<'('ido <~ll los priJw~ro:-; 1:1 c·oncurHos lliH'ionales. Es1ns pr<lhl<'lllil:-> ciPIH~n S<'r tratados ,·c•ll r<'SJl<'lo. Por snpn<'sto qne no son ¡·c¡¡¡¡o !m: <'Íe'ITÍ<'Í>l,; de• 1111 libro d<' 1c•x1o. No son pnra lcnnarlos ('11 nua 1:1rcl<· el<· aiJiliTÍIIIi<•lllo ,v n•solvPrlos <'ll lfnea. Tatll]HH'o ci(•IH~ ('<Wr usl<'d <'11 L1 l<•ntnci<'lll d<• fmstrarsn porqnc uo los ¡nwdP lw('(~r a la primera, o :1 l:1 S<'¡',ll!lda, o a la t<'IT<'rn. Tonu~ en <'IWllla qw' las s<~si<nws dPI concllrso nal'ion;d 1inu•n 1111<1 cluraci<Ín el<~ ('lt;llro :r· tn<•clia horas. Esto qtticn' cl('('ir qw•, e•n promedio. los mejores almnuos <k 1\t{•xi('o k dPdican hora y rnf'dia :1 ('ada prohlf'llHl y muy pocos p1wdt:n n~solv<~rlos <~ll f'Sf' tiPlllJHl. Esta <·ol<'('ci(m de probhmm,.;; son una ¡_?;uía excdentn para quien s<' pwpara para el concurso nacional. Estos problemas son para leerlos, entendt:rlos, discutirlos, mast.ica.rlos, soüarlos y, a vec<~s, hasta resolverlos. Ik ind11ido al final sng<~rencias para su :-;olución. A la..<; sugenmcia,'l tambión hay qtw t ra t. arias con respeto. Teuer una sugenmcia no significa qtw tmo pw !<k leer 1m problema, pensarlo diez minutos, darse cuenta qw~ estú difícil, l<'<'r la :-mgercncia y entonces resolverlo. ¡Por supuesto que no! Aún con mm buena sugerencia la mayoría de los problemas requieren que uno se esfuerco. La;.; sugnrnucins Hó)o indican 1111 camino por n1 que 11110 pnPdn intPnt.ar n's<>IV<'r un problema, pmo todavía hay que trabajar para acallado. Co1uo la IIJ:I nora de resolver problema.<; no es única, no se extraÜP si ustr~d enctHmt.ra una solución que es rn<l.'> sencilla que la :-;ugerida en este libro. Una versi!Ín más corta de efit.e libro se publicó m1 la. Rc~vista d<'l Sc'IIIi nario de Em;eüanza y Titulación de la Facultad de Ciencias dP la UN Al'Vl (Vol. IX, Nurn. 76), que dirigía, impulsaba, defendía, distribuía, de. f'l inquieto Guillermo Gómez A. El hermano menor del presente libro Se' llamaba "Primeros Pasos en las Olimpiadas de Matemáticas". Ap;radezco inmensamente a Luis Miguel Garda Velázqucz por la cuidadosa wviHi<ín que hizo del manuserito. T'arnbi<m agradezco a. Lui:-; Hodrigo ·Gallardo Cruz y a Alejandra .l. E. Enríquez Yllanes por ayudarnH~ a JH lll<'r pwsent.ahl1~ PHte trabajo. ~ lndice General CPc 1metrín 2 Algunas Fórmulas Importantes 3 Combinatoria 3 17 21 4 Divisibilidad 41 5 Olimpiadas Nacionaks 59 () Sugerencias Olimpiadas Nacionales 91 e B A Ejercicio l. tracemos un triángulo cualquiera ABC. corno la suma dP n. El ángulo n es igual <W ángulo . (1 y d <Íllglllo e PS 1130".Cwlnto snrnau los üngulo:-.o.racemos una paralela al lado AB como en d dibujo. Por el vr. LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO ES IGUAL A 180" Para comprobar est.rtic:e C t.Capítulo 1 Geometría A.1 y el ángulo B es igual al ángulo (1 y. ¡. tenemos que ángulo A + ~\ngulo B +ángulo e -= tso". interinn•s de <·< >llVPX<' cualqtii<•ra? :J \111 cuadrilátero . Demuestre que todo ángulo externo llc un triángulo es ·igual a la suma de los i\. Esto implica que o:+ f3 = 90".ín~a dP los cwtt. Muestre que ángulo C -. lltllltiplicaudo (a 1 h)(a -1 /. entonces el dP enmedio es un cuadrado de lado t' al qw• llantawmo. donde DE es A b b 1/ /1 1 ah~ ~b _l _ll_ _u b a 1 [) B/ E ~e . Admmí. Ejercicio 7. . Antes de probar t)sto. como en la figura. paralela a BC.CAPÍTULO l. Smw Al3C y DEF dos tri..-: d área dP C'1 Ps igual a c: 2 . C' 1 . Tomemos un triángulo rectángulo de catPtos o. ·1 Ejercicio 2.\ ángulo D y ángulo B = ángulo E. Que ns lo que querfanws demostrar. Es decir. EjPrcieio 6.\ngulo mide a y la altma h..ngulos internos opuestos.íngulo. a 2 + '2nb + b2 = 2ah + c2 .ro t ri.'le de cada t ri. tah~H que: úttgnlo . de rnanPra que d área de cada. y /1 e hipohmusa e como en la siguiente figura. EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS a~ h 1111 trúíugulo <'quilátero de lado d C. 'Ihwmos dos ntatH'nlH de calcular d área dP C 0 : una din·da. La ba. triángulo es igual a·~. Los cuatro triángulos resultantes son iguales al original. Esto implica 2 qn<' a' +· /1 = e'. TRIÁNGULOS SEMEJANTES TIENEN LADOS PROPORCIONALES Hay muchas maneras de demostrar este teorema. considen~111os la siguiente figura.íngulos y sunuindosela a la dPl cuadrado C\. Sea ABC un triángulo rectángulo donde ángulo A = !JO". dt~ mm ter a qur~ 1 = 90".ángulo V Eu r~ste caso se dice que los dos triángulos son semejantes.v la ot.Cuánto vale cada uno de los ángulos octágono regular? CiEOMl~TU. Caknk d valor di' la diagonal de un cuadrado de lado l. TEOREMA DE PITÁGORAS.) . 'lf) Ejercicio 5. Tracemos la altura que pasa por A. B. de nmnera qne: (a+ h) 2 = . considero que la siguiente es eh~ las que convencen más rápido. Ejercicio 4. Pruebe que la altura divide a Al3C en dos triánguloH Heuwjantes al triángulo original. a Tracmnos un cuadrado C 0 de lado rL + h.ra caknlando d .ÍJ\ interion~s 5 de 1m - Ejercicio 3.ín~a dP C 0 = 4( + c2 . Muestre qw• d árm tk t's igual a <~:¡1.. ...1.enemos que lirea(C:D!:J_ De manera s1m1 .ngnlo qu<' H<~ intPrsectan en un punto p. l'!llllll l'll \a fignnl. De las igua. Smm a.ri:íHgulos D. respectivamente. GEOl\IETU Íi\ (i Prohawmos que ~fy = ~f. El inverso de este teorema también es cierto. 1r<ll'l'IIIOS = 1. Ejercicio 8.r pero RÍ haremo.· Al 1ora.lllt'lll<l ·1 '''"'•"!o:J ~ '2 ' ' ¡ Ejercicio 9. Para jnst.ldades de arriba tenemos entonces qH<' ~g = ~·~~. l~lltOIH'PS •irm(DBB) _ ¡\n·a(AED) - Dll(a!tma d .ificm <~sta afirmacitín.\.CAPÍTULO l.. de manera que áwa( O DE) . entonces sus lados correspondientes son proporcionales.1ar t. a jnRt. dos igualdades mencionadas) entonces ellos son semejantes. la altura que correspondP. Este inverso 110 lo varno:o. Calculo d valor de la altura de un tdraedro regnlar <~11 el que todas las aristas miden l.'l uso de 6l cuando haga fn Ita. ol>s<~rvemos los t. Pruebe que p divide a a en dos segmentos <pw midnn un tercio y dos tercios de lo que mide a. Pnra " eHto. ENTONCES ELLOS SON IGUALES E IGUALES A LA l\liTAD LH~L ÁNGULO CENTRAL COHHESP<lNDIENTE AED y JJBE. ba:-:f.. ángulo B = ángulo E y ángulo C --= ángulo F. .J<• Jo:)j2 ALJ(ail>11a <lc•sd" 1•:)(2 - /Jli AIJ. Ejercicio 12. es d<~cir si dos triángulos tienen lados proporcionales (en el sentido ele que cumplen la. En la última figura pruebe que ~}~ = ~~~.n·.ín~a ( 1) !•. Pruebe que si dos triángulos ADC y DEF HOil H<~lll!~jantPH con ángulo A = ángulo D.' 11)... a ()Sa.a(AJ·:nj = "e . =--= ~~ = ~~.'. SI DOS ÁNGULOS EN UN CÍRCULO SUBTIENDEN EL MlSMO ARCO. Ejercicio 11. . Muestre que el segmento entn) los puntos medios de dos lados fl<~ nn triángulo mide la mitad de la longitud del tercer lado y es paralelo a ese lado.F.\ probar que o 1111 di<ÍIIH'i 1'0 por d ]lliii!. que tienen a DE corno una base en comúu. ha~e <'11 a. Nf: Ejercicio 10. COilSH· ]<~wmos los triángulos CDE y DEB.-.l(·i<'m se ilustra <'11 la sig11Íl~nü~ figura y nos die<' que üngulo .O .o. Dado que DE y BC son paralelos. 7 Parn ha\'N Pst. notemos que tieiWII la miRma altura <i<wle el pnnto !'..tfinn. y b dos medianas de un tri:í. es ducir.ifica. (1 l•:sta . s.rnboH triángulos es la misma. de modo que ángulo OAB +ángulo ODB = 90".o. ángulo DOB = ·180".9 CAPÍTULO l.ldn lijo n y dos puntos fijos U y C. 'Y = 2a.lllnnnto anterior 110 H(~ aplica a la siJ. Por tanto ángulo COB = 2(ángulo CAB).¡ del círculo.e ca:.l PI lugm geom{•trico d<• los puntos Ejorcicio 13. ángulo DOB = 2(ángulo OAB). Pmche q1w en In siguiente figura.íngn\o JJ. Como la suma de los ángulos interiores del tricín~ulo AD 13 es 180". El ar¡!. DPsnil~.ímdro. Que es lo que queríamos probar.Ín¡•. El trián!!.llWiltO (' J1 PS Ull di. Es decir. Por razones similares. Entonces ángulo OAB =ángulo OBA. MuPsl n• . De manera análoga se muestra que ángulo DOC = 2(ángulo OAC). Ejercicio Irí. .2(án~ulo ODJ3) e· e B lHO".ÍIIJ'.¡on radio¡. A tal<•s qw• . donde el Ejercicio 14.?.ángulo OAB) . Por otra parte. Tolll<'lll<>c. 1111 .= 2(ángulo OAB).Illo dowk q()" y 1\f <'S <•1 punto nH•dio rl<• //( '.ma. n Sl')!.!.1\ = M /J. GEOMETHÍA H A 90". ángulo ODI3 = ángulo O B D.2(!10" . Por tanto. tenemos que 2(ángulo OAB +ángulo ODB) = 180".t(' "" !1. ('lllnll<'<'S M . Diga como se probaría <¡111~ 'Y = 2n. en est.\nguln /\ <¡IIP si ALJC' <~s 1111 1. Ejercicio lG.IlÍ<'llt<~ li).1 i:íngulo r<'('t .lllo AOJJ es isósceles pues AO y OB ¡. <'1 radio d(' Sil círculo insnitn.\ y ZAJ1.I·J e··.S un punto de tangencia del segmento PM. SPall (1. pruebe quePA· P B = PC · P D = . Pruch<' la [. (h) los triángnlos l'(JH y XY X son sPmnj:mt.. Construya un punto O dentro clt> AH(:' tal <J1H' :íngn]o AOH =ángulo HO('. 8 = a±~±c. es un punto interior del círculo? ~A 2.. GEOMETHÍA 10 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA Ejercicio 17. /¡y 1'.íugulos X 13C.'. n.e e 11 CAPITULO l.ri:íngnlos<p11'<'11111pl<'lllo:-. rl. S1•a D nl punto d<' inl<•rs<'ITÍ<'>II dP 1 CPII [ir'~· l'v' PI otro punto d<· intPrs<'C<:Í<-111 d<~ 1 con /\'. circunceutros dn los t. d () 11 <~ (' "' ( 11 j ¡._:.y i1/J('dost. {¡ ""' AC: V r· = AD.·k. = ue.I'<'!"Í<·m d<'l círculo q1111 .\/1(' 1111 lri.. PnwlH' qw~: . SPn AJJC nn tri:1ngulo tal que :íngulo DAC = 2(ángulo ABC). S¡•¡¡ ¡.ílll'.:.onceR //· = a< + e< '2w· cos j3. ~~ . 1 d<·l . X X pa:--.e ~~~ llama. Trac<'IIIOS 1111:1 ¡. n•sp1~diva11Hmte. 5..\ngnlo dPlildo:-. s('i\ . el recíproco dd Teorema de Pitágoras.. ¡mtrnria de P con n~specto a. En la figura siguiente. "' V.a por A. 7. cmt. (J y H !m. ¡. S< 1a 11 1'.. 1 r·) /'2.1 por U y X)· pa:-. S<'illl .¡:-. YC'A y ZAB tienen un punto 1111 común. Pruebe <}IH1 b(b +e)= a 2 .y de los cosenos que dice que si tenemos un triángulo AIJC' y hnc<'111<>S 11 BC:. p B 3.r·). Pruebe que: (a) los cin:uncfrculo:-.:. domif.r 2 = P M 2 .!l~0.<'S. r es el radio del círculo y M f'.Qn<~ ocnrre cuando P PO~ l. A este valor (PA · PB) :-.b)(s.9_~. demuestre que o: + j1 = 1HO"..o.a por ( .\')'/.iguknl<>: YZpa:-. Pnwhn la fórmula de Herón. Slla. S<~a !11 el [HIItl<l d<~ inkr:-.:íngnln (:'()A= 120".:.\ugnlos X IIC'. d11los tri.\ng1do . h ··= AC.o)(s. AH y (1 = :í. e=.. donde O es el centro del círculo. YC.! círculo. Ejercicio 18.\//( '. 4. qw1 dicn que el área de un triángu!G Al3C con lados a.ri. En la figura siguiente.· <'1 ciiTIUldn·¡do <!PI t ri.ngnlo JIHC. /¡ y e es igual a: js(s.lllll . Dedn~ca.1.<'el ri·. Sea ADC nn triángulo acutángulo. Calcule la rar.Y Pll /'.ón de las áreas de los triángulos DEF y LMN.ri. ConsidmemoH un triángulo rectángulo ABC: con hipotenusa AC.. 1'2 13 GEOMETH{A pa:..a que mu• a los incentros de los t.') cott ws¡H~<'io al :-. áren. ··irt'ltll:-. Sc•a ABC un triángulo reetáHgulo isóseeleH con {lngulo wdo PI\ 13. Construya 1111 puut..\ UC un t. de llt:lllPI'II que d cuadrilátero PQRS eHU~ n. TommuoH puut.o T' t.oH rrwdios de los ladoH BC. E y F).\/3) para oht.¡•:111 Í¡>.riángulo ABC..Y C:. . /'/!(' \' !'( '.PllPI' 1111 punto JJ (reRp..o¡./'/1 1 /'U. 11.1 <'ltat ro •·in·ltllfl'r<'IICÍas.cogmt dos pnnt. j 12. l'nwl"· qu•· . m~fif~jarnos d punt. (h) Pruebe que los segmentos BQ y B El sou igualeH..o BC (rnsp.¡ <"lla•lril. CA y An dn tm t. Sea ABC nn triángulo rectángulo. A y A[]' I'PHpediV<IIIICill. (:1) Prw•ll(• qtl!' IÍJignlo n rq .il"r" Anen. SPall ABC un triángulo y D.oH 1'.. E y F puntos sobre los lados BC.{~ = ~. 1(). Pruebe que existe un triángulo cuyos lados tinrwn longitudes AD.e n:-.. Stl(lOIII'. tah~s qw• ~ ~~ = f. ro Anrn "~" dclico si . l!í.ivament. trazadas desde los puntoR A. B y L con el segmento AC. S<:atl ( ' 1 .. D<•mtu•:-.¡ ('l¡. respcctivarnent..( CAPÍTULO l. corta a en y en . con la rec:t. M y N los otros puntos de intersección de la circunferencia cir¡·tmH<Tit. ( ': 1 y ( '.a al triángulo ABC con las rectas AD. D. B y C. del triángulo ABC.H de los triángulos ABC y nEF. CA y AB. . 1 '. S<:n .o Ps t'111ico. CE EA y Fa. Pruebe que BQ y P R :-.tn• qw• /'(' . E y F !oH pieRde laH altura¡. 17. !H" "'= AC" 1 S••a 11 d piP d1• la nlt nra hajada ¡(¡~sd1~ /J. e 14.11ah~H..ulril. Pruebe que PD y Q f) son pPrpnndicularns y df~ la rni:-. respect. BE y CF.IJ A . BE y CF. l\1n!'sln• qtH' dil'ho pnnt.rea(BN M) = cíwa (fHHC).. !J y ( .egment.'\11( '/) 1111 pnr:tll'logriiJil().ít .ri<íngulos AB li y BC li. 9. Pruebe que á. respectivamente.crnnno.a a(.1 :-.as + 2 fi/) .P.1tln <'t)llil:íl<'m lR.a por A.:tliiOS qtH' ( ' 1 u c3 c4 e corta a ( '¿ (. A/3 yAC.. CJ y H sobre loH lados BC. C¿ corta a e:~ en y en Q.al que los áugnlos I'All. SPnll /' y Q los JHtntos •k intersección de AB y BC.1tl<·11i•l" •·11 . E y F loH respectivos pnnt..¡ cort. /)E F y · AF AB(~ rm t'.'l <i e l as.ma longitnd.Ón de )a:. AfuPra dP 1111 t.. Sean D.¡ :d 1 ri:iu¡•. S<•a . 13.nil.ri:íugulo. SPan L. IÍllgnlo nq r. Smn ABC UJI triángulo acutángulo. P -y Q taks qne Al'!J y AQC son triángulos rectángulos iHósceh~s y con hipott:un:-.on perpnndicnlawH y d<' la miHma longitud. S<':l 1' 1111 p1111to sohn• d aJTo (menor) AB dP !<1 !'Írcnnfen~ncia Ali< '. respectivamente.. Calcule la r»7.'¡ <:11 D y en S.. Pruebe tarnhi{m qtw el perímetro p d1~ diC"ho tri<íngulo y Pl perímetro q del triángulo ABC satiHfac:en qtw 111 < 71 < r¡.. 10.íngltlo ABC' :-. razones BD DC. D••ttllli'Sira <Jill~ i\1! 2 1 nc·2 1 en·2 8.o A ( wsp . . Calcule la razón de las áreas de los triángulo:-.o nH'dio de BC.t•.v sólo si •·1 cuadrihíiPro P(J!lc'·i es cíclico.<\ Sea D d pnnt. AC' y . ri. 1!: 1 (: 1 ' · :U:¡.ín•a:-.. Esto le~ pm-rnitirá calcular d cos {1 y usar Pi 3. ¡\L' ( /JI) j 1) ( AE + 1) /)(' e· ¡¡¡o-IX' .111 V v F los n•spndivos p11111o::. l\111<'.í..ÍJI)'. BCL.. /'/•'[) Sllll e·oll)'.l'lll<'jilllii'S. l•:sl o s1' p1 H'< l1· l1<11·e ·r 1 ·o111 pl1•l n 11do d lri. l•:sln le• ¡wnnil. Mm~stre que el triángulo 1 H J es semejante al triángulo AJJC y que el ángulo AH I mide 45".ersectan los circuncfrculos de los t.n.ÍA 11. tic~tHm la propiPd<td d!' que el ángulo AEB es de 120".·\Un .. La figma tiPil<~ dos triángulos daranwntc semejantes y 11110 lll<Ís isósceh~s. BML. BAL. Sea 1 d ('(mtro del incfrculo. 'l't. Mun::·ltre que d cuadrilátero P DC E es cíclico.d1p!<' )} 1~ 11/J 1 ·/u..íngnlo .IIIo. ./('. S1'. m tí~rminrJs d!~ los lados del triángulo.~::.... (b) Los :.1 (: 1·1 griiVÍ<'I'Ill '" (" ('l'lllroide) dPI t ri.'/) <'S dclic. (a) Sea I el punto en el que se int. <~sto. :-. e 2. Calcule el área de los triángulos AH 1. Pnwhc que la suma de los :ingulos C I IJ y C X H <~s igual a 180".! los inccmtros de lo:. Smn A y .. Tri\('(' 1111 Jlllllto lri.l'. 8. ACI y BCI.. Muestre que HE es una altura del triángulo F DE y que los triángulos F BD y ABC son c:ongruentPll.~drilM1~10 ¡\[](. sl~a fl d pi<~ de la altura dd triángulo FBD <[IW pa:-.. t. PED y FEP son iguales.' y !jH. Deduzca que todos los ánp. Pnr PI ProhiPnw 2 usted ya puede poner PI <"OS (1 en tí~rminos dP los Indos d1•l l.'> del tri11ngulo ABC.<'ll"S J(i.\' A/3 y rpw piiS(' por que pasr· por 6.íugnlo AJ3C.OJWI~S 1111a . l!í. de segmentos son perpendiculares: P R y B I. por ejemplo. s¡. •jil(~ A~ .1 1111 p. para es suficiente con probar que los ángulos M BC y BC N son iguales.A . 7. Sea P d punto en el que se intersectan las altura.'fJ J:l. A 1 las n•spc•<'l.ÍtlglliiiS (j/\C.'-111' ljll<'los lri:íu¡•. (J P v ( 'f.1dos /)fi!J .u!o:.11111a d1· l11s ..lll. 10. Esto le permitirá calcular el ángulo I PA. S1 •. triángulo:. Para d resto hay que gastar el lápiz. por C.lllns /'/!. A B H y BC H. 9. m<~dios de los segmentos AC y \/1. f¡'/'/1 Sllll C. 12.. Los puntos E PII d meo IIW!lor..ri:íngulos ATJC y DEC. e y A.l('(' '" ('ilTilllf<'H'll('ia 1illli'!'lli<' a lr. ddPnninado por An. GEOMETR. PCD..iva:-. Taillhiht n' !'ll /Y' 1al CJIH' q1w la l 'n.es pare:.. /(/1(' lH.1/''1'1J/U't. l7.ngnlos nQP' \. (J H y /\f. Pnwhe que los Sllll col!gllll'llll•~. lis<' L1 ¡. Mn<"stn~qw•lostri<í.goras.iguimt.' [ lli'S·1 11' SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA l.. SPall 1 y . 1 . que la suma de los ángulos CY A y CI A es igual a 180".i vmwmt.a por n. . ""-.lll<'lll<·~<.IIH'nl<' f. y l'lli. 14. 5. Su¡HHIÍI'IHio qw· <'1 cu. Se sabe.dlura.e• JH>IWr d S<~n/1.'iht probar que los segmentos BM y NC son paralelos y.. . d<~ los /le.lll·l<>gr<~lll<>.¡~. 4. Trace la altura teorema de Pit. A y B. · ¡7¡--. de la circunfen~ncia. Dado un segmento AB. Mw~st.¡.V <k los c·o::.lr.n~ q111 · . n~spPd. complete a un triángulo equilátero ABJ) y constrnya d r:itTllllCÍrculo eh~ PSÜ~ triángulo.riúngulos Y C: A y A 13 Z.14 15 CAPÍTULO l. Ba. S1'..'l es ig11al a lHO".·.l('(' r n' pnt<~hn lii l'ÍITilllfcn·ncia tallgl'lli<' ¡] nc . 1 ¡ ¿ ¡ 1 /1. . 1 :\/.. 1 1 t + (11- S '/1 1- (n ! 1) + + :2 '28 1 ¡ Así CJIH'.1).1 1): 1 (11 -. EJEJ\. .:::.e• c't1111Jlk \. Cakuk 1~lOO + 1!)0 1 ¡ __ . 2.. Por (all(Cl.) fr')J'lllllbl (l<llil r·aknlar .. Vamos a deducir un:t f/mnula para la suma dP los priuwros ('!l. :2. SlllliH d<· l(ls prinwms paws J. 1\plic:~lldll t·~t.1 1111<1 l'r'liii111Lt para l:1 . llllil 1/n·nnila para 1:! l) + 1) + + 1 n (11. ( 11 /. Sumando las dos igualdadPs en <'1 sigui<mt.\' .P "rdt•n 1<'IIPlllr 1s q 11r ~ .. 1h•duzc.1) 1 + :2 1 1. + l) ).1 l. Ejercicio 3. + :2000.: 17 . T:uuhih1 podt•mos f'scribir S = 11 + (n -.1 klllliiJI<I (/.:~ 1 :\/.1PLO. . :-.'ce.'-.1.'-.~11111:1 dr• los pri11wros itu- pares l 1 :¡ + :í t.jen:icio 2.- 11. 2).'o-c "("_2 Ejnrcido l.'->' ·e- :2 (n.ulrado~.~tTihiHIOS S"'~ l ! :2 1 + (n 1) 1 n.. 1kdm:c:1 '2 + 1 + (i 1 __ _ 1 '2n. 1<'1W11LOS la éoigllÍI'II1<' éol'l'it• <J¡• igll:dd:uk-.'-.Capítulo 2 Algunas Fórmtilas Importantes Dr·rliwin•JJJ<>C' IIJJ.l) 1 (n + l) n(n -1 ( 11 11 1 ).·-. Prinwro no(r•1rHlS q1li' par:1 lodo nÚ!lH'I'<l n:dur:1l k.¡ (/nilllll:t . l'rinlr'ro r'.+- (:2n 1).¡ /. + n'2 ~ ~(n + l)n(2'11 f 1) para 13 + 2:1 + ..son enteros. Pmehn q1w :-. mínwros de 9 cifra.1) 2 + (n.:. +2+ 1) f n.. De manera (n 2 2 2 3.. ()ht<•nga Ejercicio n.. + (n.2) 2 + . 22 :3. +2 + 1 ) f-:!(n+(n-1)+(n-2)+ .r''41 - 1..·¡n:. u~rmino T t T2 T - T'l ~ r~ X~ + - + . 1 1· :r + :r'l 1 1 :r" (:¡.!p:ll<'<"<'ll 1111:1 y súlo 1111:1 VI'Z." ¡ 1 .. '~s sufiu~nk con qw~ mult. <jlll' .n] = 1 n+l' -· ·] .. en ¡. entonces a+ h divicl<~ obtenemos la igualdad: 13 r. l"s dí¡•.2) + . . Notemos que dd lado apan•nm •~xcepto (n 23 - Sumf~mos :Jn2 3n + 3(11.. :2.loe. + 2 + 1).1)..1l/(:1:.~.. ¡2 = + + ¡\ l 1 + + 3·1 con sip. ( Hra fónr111la útil !'ti la signi<'nl <~. + {n -- 2) 2 + (n- Ejercicio 4.. haciéndolo obtenernos: Para comprobarla.ip1iqnPIIIOS de la izquierda. + 22 + 12 = ¡:t.c. Deduzca una fórmula.. igualdades por columna:-.r'l ..3(n + (n. .'--.i a u"+ /J''.1) + (n.1) 2 + ~(n..oda. + :3. súlo sohrPviv. qu<' ('S lo que teníamos que obte- 1111<1 l<lllllltl:l p:1ra 11 <'S inqmr a u!' /1'' y ¡.·n .. !l . l):t d<·r<'cho 1r + 13 1 t.¡l[( n + 1):1 -· 1:1 .. Por tanto 12 + 2 2 + .(n + lfl n3 ·- n3 (n--1)~ = (n ..1) :1(11 . ALUllNAS FC)RMULAS IMPOHTANTES IH 1 por d loe. :e i 1. Despejando la suma dP los cuadrados tenemos que ~[(n + n 2 + (n.1J = ~(n + 1)(2n 2 + n) = 1) 3 - h(n 1 1)11(2n 1· 1).ito:-. 1 1 2 2 ca u celar.r1' ~ :r: . 2 + + 1 todas esta.2)~ + :l(n ·· 2) :¿rl (n 33 23 1rl 19 CAPiTULO 2...¡. 1'ara t. Ennl~'lll n· la su111a df' todos ]o:-.. y quP + 1):1 -- con l~jercicio signo lllf'llf •s = :!(n +(n--l ) +(n-2) + .odos los y -- u~nninos f 1 ..2):1 + (n -1) 2 + n3. Ejercicio 7.uo nu\.r"+ 1 111'1'. l.~" ... n ~ 2 ~ (n + 1) [(n + l ) ..-.:. ..:: . - -¡:--- ::: :::. ~ --- ~ .::: .. . . ..- : :...::: 1.• :: ::::.. .. ~l·_ "7 .- J.. -· . ""...:: "f.:: .=- ~~-=-~ - - = f· :: . ·. ¡:-:...s podl'liJ<>s <'lllllH'iar l'am r:omproh..}y {t· .¡.¡y 11 · 111.). .ir 11 nl>. (o cami11os). 11. h¡ ).. IJI<llll'l:> <¡JI<' !1:>\' 1 fonna:-. . J¡asf. (11¡' /¡"') h. . . (o.l'.índonos 11< '1 <'11 'st as <'XJH'l'Í<'ucia.JliNTOS FINITOS DE OB.~ fonJJ :1 (11.ls.}..¡ ju 1 . ]r.¡ ' /¡ 1)..sí <'OIIJO las qtw <'lnpiczau ¡·ou 11.¡ primn lugar. l~as. ''"IIIJ>l••l. l'or tanto t<'JJ<'IIJOS !í grnpns dP 2D pawjas cada 11110.·.:-.¡ p:¡¡ ':' "' . EJEMPLO.. te11ernos tantas parejas como níuncros del O al 99 y como h<l.22 2:{ ('. fl~llPIIIOS J () posi!JI1•s dl'l'I'ÍOIH'S Jllll'il l'l Sq~lllld< J litgar. J)p lll<tiH~ra. O dicho d<' ntra manera. h2)' '(11¿.Í. parPja. CJIIÍIJI<•f . h¡) y . e principio gc- l. fonuas di' e!Pgir <'SI:\.2.¡.) Jl<d<'I!IOS .'JJ pocle•¡nos e·o1!1:11 I<'J'I'd:ls.1r ••:..Í:>. ( )t ra forma de cout.jemplo .s pmtüa.o. Por t . '·¡ '! q 11! · sc> Jll u•d1~ fonn ar es n · 111 • 1'. 11.} y /1 j/1 1 . 2) le a./. . .¡] . (o caminos) qw~ empiezan con a 1 <pw son (11 1. b'. O) lP asociarnos PI 00 =O.. 1 .1.. 1:" 'l1• l.¡ (u... Por tanto hay 10 ·lO= 100 pawja.:1. :V u.¡ (' por h 1 ..\1 Id :ts. .nnhi<. De la ciudad A a la ciudad B hay 5 caminos y ele la ciudad lJ a la ciudad C hay 2!J caminos..os.• Jlll<'dl' <'Xf<'lld<'l' de• lii:IJJ<'J':I 11:>f IJJ'.I'IJJos. P11r t:>Jtlo J¡. (u 1. J"'.lJ \.i<~s... 11.¡ l'<liJ qw• tJHJstremos todas las ja. . . podenHJS dividir la. 1:1 S<'i'.. {¡-'.. la:-..1 el S<'gnndo.1 . 1. a 1 y con 11. qtw tctwmos 5 · 2!J -.-.y 11 n·nglmws y cada uno dP elloi'i t. snpnngm!J<IS <¡Jii' l<'lh'lli<JS tn•s <•>lljlllll<JS {u 1..JETOS .1 D<•not. las que mnpi1)zan con n 2 ta. t.PJIIOS los caJIIilloS d<• /1 .'i p.u.. ...ENTONCES SE POEDEN FOH. h2!1) y en total son 2!1.f.1'.¡ra cada elc~<·ci<'llt qtw lwgaHJos ..Cuántos caminos hay d<~ la ciudad A a la cindad pa..!).as p:tn•j.1r:1 cada 1111a d1•las <'l<·•·e·iolli'S dd prinwr lugar.l ÍJJJ]l..cs..u. (u 11 . lls. a la (O.">ando por la ciudad /1'( 1111 :ti: pan~ .~.f<• j>l'lll<'ljJIO . 7) le asociamos el 07 = 7.~r.¡• ]JIJI'd<'ll flli'IIJ:ll SÍ SI' pid<• \. podi)lJIOS <'lPgir d s<'gtllHio lugar de 2D forma.1· Al igual que en el P.¡ 111 O ha~· !j · 2fl e~ 145 f"l'lllHS di) d<•gir las parejas.11 11 .odos los 1'¡. cntoul·<'s lwy ]()()parejas.l1 1 ).{/> 1.\ !JUIH'IllOS 1'11 1'1 prÍill<'r lugar. /¡1)' ( 1/1/1 h¿) 1 .s en cinco gmpos.V lOO Ill'nJH~ros de í•st. h1)..¡ valorPs (a 1 .. l'or tanto podl'mos degir n ·m pareja~ 1'11 tot .. <'11 d primm-lngar podemos d1•¡•. ( '"d" tJJJa d<' esl:1s p:m•jas S<' ptH'dl' .¡ ¡>riJJJI'I'il ¡·jf¡.rnbi{m son :2!!.m11os los caminos de !l a B por n 1 . (o.sociamos Pi 12..i·'·¡. y h es igual a alguna de las /¡. ( !1.MAH u·'" PARE. pareja:-.pi<' l:.¡l.lJ<'. <'l!loJJ<'<'S d JJÚJJt<'r< • d< • t 1'1'1'< ·t.¡. Por t:nilo hay 11·111 p<tn'.n¡do <·si<' ]>1'111< 1pio. /.. 2 .\PÍTULO :i C:Ol\1niNJ\TOJ?T.Y.}. denot. (U.IAS DE LA FORMA (u. Sl TENEJ\IOS DOS CON.Íilfos !IÚIIJ<'IIlS de• 2 ('ifJ:lé' .1<' priiH'ipio..t s.lo S<' dc>IH· :1 <JI!<' p:tr:\ f(n·n¡ar 1111<1 11'!'1'<'1<1 (u.. y las <'lllli.¡v 11 111 · /' f ''l'l'<'f :JS.¡ <'.. podPJJios l)l<•gir 111 ohjd os p. prÍJJH'I'" podc>HJOS l'S<'I>g<'l la p. .tn•j. 1.¡ < IJIII' . 1. ¡..IHtcrior... Ha('icndo esto.imw m eh~rnentos.¡s snn: Para r<'sponder esto.. a. I'IJJJ11'<1 di' 1'11..lli!d.i<·l os y p..dll'JJJos qw• j¡. ) ( 1/1/. . h2 .s.11 l•:jm·CÍc:ÍO J.).-. de. . lié. ¡..."> diferr~ut.nnple•tar con t. a la (1.ar estas p<müas I'S ohservaw lo a cada pareja S<' h· pliPde asociar tlll mínwro rh~ rnall<'l'il IÍlli('a como sigm~: a la (0.ll' <> ··:uL> J><>l'<'. ..s a. b) do11de a I)S igual a algu11a de la. e Una forma bn•v<• de 1kcir todo <'slo c•s: En el primc~r lugar de las panü<ts pnd<'!IJOS poll<'r .( '¡¡. h2 !J· Un camino d<· :1 a pasando por H puedf) ser d<)IJ<Jiado por una parnja ordenada de la forma (a. .o.. Además la uxpn~sil'm del p.. ·(m--(n.. 2. Si 1:11 la propi<~dad JI tPn<'mos n = m..!__ '" Í"'.m-ior. Si uno llcma.Cw\11t os uü11wros SI' Jlltl'd<'Il s11s C"ifras dikn•t1h:s ~~ntn' sí ... .¡s . por ejemplo hay una persona que se llama Zzq.2) · . 3. diferentPs qne se porlrfan llenar? Ejercicio 4. ¿Qué número de habitante es Pedro 2'! Antes de enunciar otro principio. o) y d<~s¡nt6s tres IIÚllll'ros t~llt Pros dd O al !J y pidie1ulo qw~ la:.crita asf: m·(m--1)·(111 2). J'1 •r t aut. l'ara silllplilil'ar nxpn·sioJli'S 1'11111• • la qllt~ apnn'C<' 1'11 d p.-1) ·(m-..iene 1~:-. y o) y después tres números enteros del O al 9? Ejercicio 3.. . Esto significa que ahora 110 se pt!nnit. ·1 == n. m.:~"-'-'-'lJ. 1:sfumzos que hicieron a Pedro 2 le tuvieron que poner el mismo nornlm~ que a Pedro pero añadiéndole el 2. ¡. .. .11 difewutes. .2) ·(m. Antes de que naciera Pedro 2.t. /J.omóvil pueden formarse tomando prÍIIll'l'll :¡letras (si11 iuduir la:.a.1) · n. a 2 . COMBINATOWA Ejercicio 2.'24 25 CAPÍTULO :J.Y difenmt..}. 5! = 120..1) ·(m -. ·(u-.1}) = m·(m--l}·(m.n~s ldra:-. habían podido hacer que todos los nombres fueran diferentes.o 1k n ~~lmn<mtos es igual a n!.!/1. vez que ocupamos las dos primeras posiciones.. ¿Cuántas placas para automóvil p1wdcn fonnars<~ tomalldo primero 3 letras (sin incluir las letras eh. di' nstn ejemplo con los anteriores residn on qw~ s1~ pidP que los n S<.<.".\rrafo mtterior puede ser p.2 mínwros y a¡. (n• u)·(m--u-·1)·... G. cinco letras. planilla uno marca 13 casillas. Uno tiene que marcar una. Cada renglón tiene el nombre de dos 1:quipos do fut. :3! = G.. .í.Cuál es d rnínwro de planilla. 2).ns en d primer lugar (cualquiera de los uúrueros 1. entonces 1! = 1. · (n. HazoumHlo principio: <:01111 1 1'11 d <~. no se usan ni la eh ni la ll (por lo menos no se consideran como una sola letra) pero se vale cualquier otra combinación posible..c. Pero por máo. ii.n)l' EJEMPLO.. . ¡.<JJuar 111. ll.-2)· . 4! = 24.. Una.1)! · n.o..es ent.a a la pregunta.rrafo autl'rior. s1• dditw 1'1 shuholo n! = 1 · 2 · . ·(m--n+l) = 1! \"! __ !1:..o el uúmero de n-adas que se p1ll:den formar tomando denwnt.5) sextetas. a 6 ) se pueden formar tornando los a. ·2 1 -· (m. 'In). ldrw-: 1'11.!. 2.. JUNTO {h 1 . DONDE LOS a. . El concurso de pronósticos deportivos consiste de llenar una planilla qm~ tiene 13 renglones.1 números porque ya.os djfi. 4.} ES IGUAL A rn· (m.illl difm·eut.l. en el tercer lugar podemos elegir 1ínica..l>ol y timw tres ca. difnn~nt.... Para dar la respue8t..o. SON DIFERENTES Y SE TOMAN DEL CON-.4) ·(m.(n--1)) = n· (n-l)· ...l\ apostando a que va a ganar el equipo marcado como local. ¿Cuántas sextetas (a 1 . st.lom:-.ÍIInt. Por conveniencia se define O! = l. Ejercicio 5. tenemos que n! = (n ·.i<~lltplo aut. ·-·· S míJueros difPn~nt1:s.. podemos decir qnc: para armar una sexteta de ésta. SI m:~ n Y TOMAMOS UN CONJUNTO FIJO {b 1 . igual a n· (n-1)· .o. por ejemplo la ca!-iilla do local.mmltc <~nt. m} (donde m ~ 6)? Ln diferenc:in. ColiJO ·n! = 1 · 2 · . uo poderoo:-. 2! = 2.. la sexteta (G.as placas para ant.(n-1))... '!'-~:2±~·-'-~L~ __. diferentes en el conjunto { 1.f sucesivamente hasta que para el sexto lugar s!'llo pod<'lltos t. 1. t.illn die<~ local. do <:st.n~tlks de 1111 I'OII. para el segundo lugar ya nada 1m1s podemos elegir entre m . ¡... consideremos el siguiente: EJEMPLO. sn puedc: obtener el siguiente 11. ent. En Letrolandia sólo se permite usar nombres de a lo m.:. ·(m. La primera c:a. .. ENTONCES EL NÚMERO DE n-ADAS DE LA FORMA (a¡. la sf'guuda empate y la tercera visitante. podemos pom~r m va. etc.n~ sí'! Ejorcicio 6.oncPs d resultado <pw su oht. .. . Entonces <m una..illas.!. 11.Cu:ínt. por ejemplo.. an).. .b. ·11 q1w se leen factorial.n~ m .:1) · (rn. tws Ca!-iillns..es d<' cPro'? formar 1 pw t l'llg<lll t od.o. Por tanto se pueden armar m· (m . Una vez que~ ponemos un número en el primer lugar. repetir el que pusimos en el primero.. una por cada renglón. aquí se entiende que lo importante es lo que contiene el conjunto y no el orden en que están acomodados sus elementos. de hecho al hacer esta elección realmente estamos formando las tercetas y no los subconjuntos. •..• . 9). tenernos que hay nl(. Dada una n-ada ((/. por el ejemplo que sigue del segundo principio. 4. 9}? Un ejemplo de un subconjunto de tres elementos es el conjunto {4. a11 }. 1.:. Por ejemplo. ENTONCES EL NÜMERO DE SUBCONJUNTOS CON n ELEMENTOS QUE SE PUEDEN 1 FORMAR CON LOS ELEMENTOS DE B SON ~-'-" -. a.¡¡¡¡ 111~A2AI·11l:l\l .. 9} lo formaríamos 6 veces (las enumeradas arriba).5. ¡..JEMPLO.. ~4}. B.HH ('H) (i 11! ·-= ¡¡t:.4}. 1 . an}. En una carrera compiten cinco corredores A. si queremos saber el número de subconjuntos. Por .9}. en p:u¡udPs de 6.. ¡.. (5.5. {9.a. C. Para facilitar la escritma.. OGD. . Por ejemplo.'-l (4..a. que adivina los 6 mínwroH ganadores EHtamos listos para mnmcia.•.a.. un paquete estaría formado pór las tercd.'i.. {5. 5. a3 . . . {5. 9} es igual a {4.... el segundo de 9 y el tercero de 8 fonna.). Y ADEMÁS n S m. tenemos qtw calcular el m1mero de paquetes que stl puoden formar.en cuántos resultados A le gana a B? Para..9}.4. La persona.<~ Ja ' · mtlll<'ro eH I¡>.::'~n)l subconjuntos con lo que queda probado el tercer principio. ..9. el conjunto { 4. cada paquete tiene nl elementos. convencernos de la validez del principio III.it~IH' principio: 111.a11 ). 5.5}. Primero formamos las n-adas que se pueden annar con los deiiiCUtos de JJ. --·-·m---·· . . (9. sP ddiw~ d símbolo: m! (rH) 11-~· A <~st. . adus en paquetes. (5. (4. Para armar un subconjunto de l~stos.e a (a 1 . .o núrrwro d<~ paquetes es igual al número de tercetas entre seiH.. !l). .<. an) representan al conjunto {a 1 . podemos elegir d prinu~r elemento dt~ 1O formas. ).iii. 2. procederemos en forma Antes de enunciar el tercer principio.'l representan al suheonjunto {4.. tenemos qm~ contar d mímero dP Rnbcon·· jnnt os d<• !i <•1< 'llH •nt o~. Pero sería así si supusieramos que el subconjunto tiene un orden en sus elementos. 4. n!(m ·n}! 1111 premio millonario. n. Con CHta eh~<:ci<'m eHcogiIIIOI' 10 · o · 8 tercetas. «!:-.. son elementos de B = { b1 . 7. . . Para. . 4. . Entonces. ·1 ·1}. Corno en el ejemplo anterior.. tercet.Cuántos subconjuntos de 3 elementos se pueden extraer del conjunto {0. (a 1 . or.. El concurso IVIELATE consiste en eHcoger 6 números del conjunto { 1. bm}.11.fmllOlo se lt~ llama mmhinacionns de m en n. . EHt. <'Htn concurso no importa PI orden en nJ qiH! S.. de manera que {4.. ••• . de todos los posibles resultados. como en loH subconjuntos no importa el orden de los elementos.HS ("!llllhinaciOII!!S di' (j lli'IIIWI'OH Hl~ pw•dt•ll f!scoger? Como no import. 2.< • { 1.4.r el tc~rcer ol>t. E. 5.. · · P1 kn·«·r pmwlpto..!. 5.n ¡•] orck~n. . análoga al ejemplo anterior. Para saber cuantos elementos tiene el paquete correHpow 1ient. Esta.}. Por ejemplo. 1. podernos agrupar esta. .. PonemoH en d mismo paquete a todas la. 5. .. qw~ s<• P' wden fon 11ar d< •1 <"olljHnt. .s permutaciones de la n-ada (a 1 . D y E. .-... ••• . podemos agrupar las n-.. 4) y todas ella.e e 26 CAPITULO 3. forma (a 1 ..tJt~¡¡loH lli"llllf!IOS.2.n ¡. 5).. A pesar de que esta elección está equivocada nos sirve porque sa. ELEMENTOS.9}.-.( :111\. .5} y {9.. notemos que en él e_stamos poniendo todas las n-ada:-...a. an) y (a 2 . 9). 9}. cualquier permutación de los elementos de la n-ada representa al mismo conjunto. SI B ES UN CONJUNTO CON m. Ya que hay tantos paquetes como subconjuntos y el número de paquetes es igual al número de n-adas entre nl. Por tanto d número buscado es 10 r~·R = 120. Si nunca hay empates. 5) y (9. n-adas son de la. COMBINATOIUA 27 Ejercicio 7. a 11 ). B {/. Por el segundo principio el número de n-adas que se pueden formar es igual a (m~. donde a 1 . EJEMPLO. a1 . . que st~ puedcll armar con los elementos del conjw1to {a 1 .). •.. consideraremos un ejemplo..4.b<~mos exactamente cuánto elegimos de más. . . Entonces. {1. 1i<'IH' los siguientns subconjuntos f/J. . 2.Iíc•IH' qlll' . { 1. 3.:1}. usando factoriales y contando subconjuntos que. {1. '1} que t.. {1. Ejercicio 9. .V { Para la primera semana. veamos un ejemplo. m1 esta 1. de 3 números impares.e· . Ejercicio 8. {2.o principio: l'nwc•clíc•lidc• ele· la 111ÍHIIIH lllillll'l".J. .ieiH\ que ver con el conteo del mímero dc. . EJEMPLO. {1. {2}.i 11111 os d( ~ { 1. Este ejemplo t..l ilmd mr t¡l!P et->crihi111os todos los ~ildl("o!ljnut.e. 371. 4} es igual al doble del número de subconjuntos d<~ { 1. {4}.ouc('S para lm. {1. {2.2. {1.11-1111<'1'0 dn snlwon :t! ·-= 2''.s mencionadas. 3.3}. . y { 1.. {1}.:) + ("': 1) = cuando n < m. 44} y tres dementos de { 1. ll- 1•:1 ("<Jit.1} y {1. ·1. Mientras que para la próxima smnaua 2 números estarán entre 1.¡.3.::f).'í} (!S 2 · 1(i "" IV. ¡.2}. p}.. 3} es d doble del número de subconjuntos de {1. i. e en .4}.Í<!IWII al ·1) por lo que obteuemos que el número de subconjunto~:> de { 1. 3. para la primera semana se tienen = 22 261 20 . . 1..4}. 3.. c24) = 1\H ttwjor la C formas. 32. aulcs «k l'llllllciar d c·uarto principio. 2. Eu1. 2. { 1}. 600. 15. 43}. ('.. 2. 3}. {2}.'> combinaciounH po(>ibles con las características que nos dió Madame Lulú. .en cuál de la. :~. :.4}.s.¡. .iunt. .<. Lo mismo ocurre para los sc~gundos l.. {3.l podemos decir que el tn'unnro de subconjuntos de { l. Lo mismo ocurre con los números impare.2}' qw· son ("llillro El conjunto { l. los acomoda m os en ese orden par. :q. {2} y {1. 2. {1}. 2} y tamhi(m 1odos dios aúadiéndole a cada tmo el :3. 2. hay que elegir los dos primeros números de un conjunto de 15 elementos. .. . 3.¡ !"Uart.s podernos hacer 12) elecciones. 2 }.. 4} tiene IG = 24 tmbconjuntos que son: 0.. El conjunto { 1} sólo tiene dos subconjuntos a saber 0 (el conjunto vacío) . Por tanto. 2. .'í !IIÍIIWWS y escoger de en los terceros 2 números se pueden escoger de semana tenemos [)p ttlllllf\l"/1. 2. Dl = ¡u·«~((¡cd<'JII de la sq~111ula.subconjuntos que tiene un conjunto dado. si jugaramos a todas la. Empecemos por contar el uúuwro de subconjuntos de conjuntos pmlueños. . . 22-~1-20 = 2. { t. Eu gmwra. {2. mímeros parf'. 2. Hl!llllllllt.'i dos semanas tendríamos que invertir menos dinero? ('otilo sil'lltpn!.4}.<\SSIIhmnjnntos0.e e 28 CAPÍTULO 3. 29 COMI3INJ\TOTUJ\ EJEMPLO. 3}. ¿Cuál de las dos predicciónes es mejor? O dicho de otra manera. 4} 't Pnns podemos tomar todos los snbcm~junt. 2. 2.os d!' { 1. se deben escoger 3 elementos del conjunto {2. 2. Nos ha dicho que para esta semana van a salir 3 números pares y tres impares. qw~ C~) . (~S decir. 2 números estarán entre 16.:3. Cada conjunto de 3 números pares se puedf~ combinar con cada uno de los subconjuntm. 44.3}. EL NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO DEn ELEMENTOS ES IGUAL A 2".en Para la seg!Jnda semana.. C{nno podnmos formar los sulwo¡¡j untos ck { 1.o {1.os de { 1. {:q. n} Ps 2". ('. 27fi dl'ccioiii'S.:l. Madame Lulú nos ha dado nn pwdicc:ión para los dos pró-ximos concursos de melat.JO y dos números estarán entre 31. 002. 2}.2. 4} que no tienen al 4) y además tornar todos <'st os conjuntot-> y alladirlns <'1 4 (y aquí (•st amos poniendo todos los subconjnníos d(! { 1. Por tanto tenernos que multiplicar la:-> dos cantidade...2. Por esta razón el número de :q :q snlwonjuntos de {1. e25) . . Por tanto. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo dP n lados? Se entiende que una diagonal es cualquior segmento qtw mm dos vértices del polígono y que no sea un lado. ..·1}... { 1. 105. 4 ) 2 105. para formar conjuntos de 6 elementos. 2. {2.4}.. Pruebe de dos manera.. En los dos cmms tenemos <pw Psc:ogPr 1111 subconjunto con :1 elementos de un conjunto de 22. Entonces podemos enunciar . :~} (y aquf estamos poniendo todos los subconjnntos de {1. entonces los 2 primeros números se puedm1 formas.2} tii!JH!lossignient. 17. la. Porque para formar una.mubrarsn a ln.ant. . diamantes.rr. 148. jlor !'SI'II. tcr·r"fll./. ¡. 287.¡ cartas del müm10 míHwro. . Por taut.Cwí. En la baraja inglesa se tienen la.s? Respuesta: (~3 ) = 1.J. (b) s1~ les reparte cualquier nümero de carta¡. ]{. jlm·.irrntos como subconjuntos t. escalm-a c:on espada. . 2. . Porque hay twce mínwros y el pókar do cada uuo de los números se puede formar de 48 forma.o. Ejercicio 10.Cwínt. Por ejemplo.'\T()J?J!\ Para convencernos del principio IV.. difl!l'l~llfi~S. es ch·ir.ps. eonjuutos que se definen a continuación.a la que empieza ('ou !l. y sn tiigw~ así lwst./.o.') + ('~') + .c:ost. Q.. 10. . 10. EutoJWt!s JI tiPtlP tautos sulworr.¿ c·arta. sin importar que sean espadas.o.. entonces A ti1~ne 2" dmnentos. .o. Pnwbe cpw e ('(¡') + ('.2} de B..t•s.c•s th:HicaH de conteo pero tiene el defecto de que se cuentan objd. ¡.las 5 cartas con los mímeros seguidos sin importar el palo.<.aH marwra.Cwí11ta.960. . podernos completar la mano con c·wtlqHic•ra de· las ·IK carta¡.....Cuántas manos tiPnen flor escalera c:on espada.Cuántas manos tienen fiur? Respuesta: 4 · (~1 ) llorns d1' cuatro palOl. El siguinnte ejmnplo 1~s muy útil ¡mm a. mano se elige un subconjunto de 5 elementos de entre las 52 cart. n} ptwsto que podmnos identificar los subconjuntos de A con los subconjuntos de B..~. ..li"IY/. 10.2.ntas manos tiPJH'n pókar? Ht~Splwsta: 13 · 18 == 624. + (. podríamos identificar el subconjunto {a 1 .. pero In toca alHw1ros tiiJa 11 cada una? Ejercicio 11.. J'm· -· :J Jlll.. manos tienen fior de ~~spada.. ..o.. .4. . EJEMPLO. = 5. . qnt• <'lllpinza cou 2.} cou n nlmrwntos.rtas qm• son m.. Corazones 1..s lltallos hay? Hespuesta: ('~~) = 2.. 10. . 598.. q.'> distintas. Porque hay ¡.a. 2. .'l siguientes carta. tomemos tm conjunto cualqui1~ra A = {n 1 .. K. Y corno ya argumentamos que B tiene 2" elenwntos.es? Respuesta: 48.) = 2"'..'i SI~ pu1~1h~11 n~partir la¡. corazones o tréboles. ¡.•• . 'fréboles 1.? RespuPsta: esta. .a con as. Se define una mano corno un subconjunto de 5 cartas.u. hay H flore:.. ¡. Diamantes 1./. q. I<. del mismo palo. K.f11. de 1111 sólo tipo. :ll dos cartas dd IIIÍSillo mínwro.<. Porque sn forma la mano escogiendo 5 dP las trece cartas dP Pspadas. a4 .CwíutaH mauos tierwn pókar de a.¡· .t.. dos cartas dd mismo IIÚIIH'ro y dos cartas de otro.l't·s ¡.5 carta¡..'3 lllHIH>s se pw•dn11 ""llt. .o:. Porque si tmnamos las cuatro r·a.n.it~JW d co11junLo B = {1.a. a 2 } de A con el subconjunto {1. de una baraja a dos perso11as si: (a) se les reparten igual mí mero de cartas. 2. Q.. la q1w mupit.5 cartas del mismo palo con los mímeros consecutivos... . <'onsid(~rando priHH'ro la qrw Plllpin. 711 j/. l'l!st.e JO CAPÍTULO a. .: Espadas 1.za co11 :1.n•s cartas del mismo núnwro.Ís h~rcia. dift~n·nt. cm7·ida .ll p¡¡ r lfl.. ¡. COMHIN.DI~ cui\nt. . 2. y se define una mano con juego a la que contenga alguno de lo::. . . lllHilOS contienen dos pares . p..nueve. 44 = 123.240. <~n tre dos para evitar distinguir entre la cuarta y la quinta (no es mm pan~.. 224. tenernos <¡liP hay fl · 4fi = 9 · }.Cuántas manos tienen full de 2 as<~s y tws doses? Respuesta: = 24. C). si e11 l11gar cJ¡• as1•s IJ<~s p<nnitimos cualquier otro mímero para formar Pl par de un full.lrr~s l'vlauos con par 2. Y corno las corrida.-10 .Cuántas manos contienen un par nada más? Respuesta: 13 · 1li~t 40 = 1. !Jl2. 240.r). Y como hay tren~ números distintos el mímero d(• Ill<IIloH qJH' tien<'llllll par simple es: 1:3 · ¡.aut.Y la últitna carta la podemo:-.. ocho dP donde escogimos los dos pares para que no se hagan t<·n·i. EntOJ)('PH ('OllcllliiiHlS <JllP hay c~l).'i 44 cartas restantes (hay qw~ quitar la:-. <•t. La cuarta carta puede ser tomada entre las 48 carta. lllll:lS . C). Primero observemos que se pueden formar (~) tercia.ro cartas que timwn el mismo número de la cuarta.•:. manos tienen una tercia y nada müs? Respuesta: 13 · iH/ 4 = !i•1.t.l) 12:l. 744 :í. Si q1wremos contar cuántos fulles tienen dos ases y tres cartas de otro mímero entonces tenemos que multiplicar 24 por 12 porqw~ d otro mímero se JllH'<h~ eiPRir de 12 llliliH~rns. <'otno cada par SI' puede escoger r. el par de ases puede srr Pscogido de maneras distinta.tiOS ('Oll j¡'JTia l'v1anos t'Oil do:-.<.lH).es par d!~ ast~s son C) ·JH·¡. e COl\WlN!\'l'U/U¡1 i.'l manos tienen tercia de ases y nada müs? Respuesta: 8 44 C) · ! ~ = 4. C) · pw~de formar de ases. 2 f(i .. concluimos que hay l:J · 24 · 12 = 3.e~.. D<~ manera que las manos que tienen un = :w. 141'\ !J.'!..Mi2 1.¡. Las corrida. Dl2 12:l. 098.'les y nada más.<~:-. Pritlt<'ro ohHf'rV<'trtos CJIH' do:-.<~H y la. 912 manos con una ¡. <pw mnpimmn con 1 son 4" porque la primera carta se puede dq~ir de <·ualqui<~r<J de los cuatro unos. 224 nwuos qw~ tienen una tercia de a. 024 = 9.<•. !)52 manos (·1111 d11s pan~s u a da lii:\.<. de :IH ~~ forma~-. . . C) ·C) .ia ordtmada sino un conjunto). la cuarta y la quinta.'! simple.cogPr d<· ( 1 formas distintas.Cwíut as (~) C) · 48 ·¡..-- Respuesta: c.098.!í98..'les se escogen de cuatro cartas y los tres doses de o1rm-: cuatro.Cuánta. RESlJMEN Total de manos Flores Pscalm-a Manos con pókar M a nos con full M a u os co11 flor ivfatlos con <:11rrida ivfa. Como la tercia se G) · 48~44 = 54.¡SI' pw~d<~u <~:-. 0!)8. entonces hay (~) · 4 H/ 4 = 4.CwíntaR manos tienen corrida? Respuesta: 9 · 4fi..H·twrdo con el párrafo anterior hay 13 · simple. dos.on ases y la quinta entre las 44 que resultan de quitar loH a:. ¿Cuánta.ual la tercera.ca!Pra'! Hcspu(~:-. d<~ .. t<~rcia 33 C) · Primero veamos cuántas manos tienen un par de a:-:.Y nada más? · C) · 1<1. ('Ht:oger d<~ lH. de dos<~H.e :J2 ('l\/'[Tfi/J> . Porque los dos H..'i2. Una vez elegidos los dos números n C) d!• do11d!' Yiilil"s a fmnar los pm·<·s. .40 = 1..Cwintas manos tienen flor e¡. y laR cHttas rcst..s sólo pueden empezar en Uno.a: D · 4 G) y nada más.. 2]() t'orridas difewut. mínwros entn• ¡..9fi0 36 624 :~.'> cuat. Fillallll('lll. Finalmente dividimo:-. que no :-.s de ases.r¡. 240 . la segunda carta d<~ cualquiera de los cuatro dos<~H i¡!.c.. 744 manos con fui!. . 2.a de 6 puntos y todas la. COMBINATORIA (i.¡ aparncn? 11.a. 2. IVItH'sln~ <¡111' ~~s Íiilposihl<' <¡11<' <•1 rat<'lll SI~ pw~da co11wr todos los cul1itos cid qtwso <~nqa~zando por una esquina. manera.c.. 10.'i las l. 6.cwínt. 15} !lO COll( ÍI'IWII dos IIIÍilli'I"OS COilSPCllt.\¡. Pruebe que si cada una de las aristas de K 0 os ihuniuada y s<~ usan únicamente dos colorf'. Es decir.t/lll caprichoso al qnP Húlo lP gusta comer queso en cubitos (!11' Ltdo 1).cu. ¡. La misma pregunta que en 1 pero ahora sólo se ¡>(~rmite avan11ar a la derecha y hacia abajo. Pnt<'IH~ qw~ t~l tim1cu a su den~cha al mismo acompañante.•. ¿De cuántas mall<'ras pw~dl'!l sPr acornodadas? Sc~ entiende que dos acomodos son iguales cwtJHI<I I1HIH. Como no queremos que las aristas se toquen. esto sólo se puede visualizar geomótricmnent.<~ en 1'1 espacio.13. Pruebe que <~xist" tlll r<~ctángulo q1w tiene sus cuat. entonces (a+b)" = (~)a"IP+ (7)a"- ( ") ~ n n-2b2 + .íutos míuu~ros menores que 1m millón hay tales que en sus cifras PROBLEMAS DE COMBINATORIA ti<~neu exactamente~ Para no dar la falsa idea de que todos los problemas dP conteo sP plw<kn resolver con las técnica. 12. darnos una lista de problemas en la que algunos no se pueden resolver con las fórmulas que dimos antes. ¡.c. R. De todos los posibl<~s resultados qtlP s<• ohtimt<'ll al tirarlos.¡ <·squinas esb\n ilumiwHlos de azul o rojo. qtw tlll 1_nilkn1 hay 7. ( kho ¡wrsouas van a comer en mm mesa redonda. Considermnos la figura: dos nueves y un uno? y ¿cuántos números menores que en sus cifras aparnce a. pan~<!.¡ ~. Suponga que los subcubitos son de queso y que S<' ti. Si se permite saltar los <'scalmws que tmo qui<~ra (siu wgresarse). 10. Llamemos K6 ala gráfica completa con6 puntos. i. + (") n aObn .Cw\. :l. 14. entonces tiene que existir un triángulo con sus tres lados del mismo color. . 5. Pruebe el Teorema del Binomio que dice que si a y b son mírrwros 1h1 + reales y n es un número natural. Se tienen trPs dados diferentes. Dado un conjunto finito y no vacío A.. pruebe que el número de Hllhmnjuntos con un nümero par de elementos es igual a la mitad del tlllnt~>ro de~ subconjuntos de A. terminando en el centro.e e 34 35 CAPÍTULO :J.! menos un nueve? t. Una escalera t. 7.ouces <~sos dos cubitos comparten una ~-+-·-t-+-+-1-~--·--·· ¡. 3.'m HJ"! 12. 5.•Jw 1m ra. (_'.C '¡¡.nt. K 6 const. i. 1.. 11.s. 4.ic<)S dd mismo color.<¡ hay para ir dd escalón 1 al escalt.íl <'S In SllliW dn puntos <Jil<' m. producto <k n mímeros ent<•ros consecutivos es divis- ihl(' t•nt n · n! H.. MuP-slrn qtH' •·sta nfinna. 9. uno <k los vhtices y la¡. aristas posibles que los unen. Supongamos que cada. y avanzando de tal mannra que si se como un cubito e inuwdiatamente d<~spn{•s sP com(~ otro <:ubit. Consid<'r<' una cuadrícula de 4 por 4.ro v(~rt. que desarrollamos en esta sección.o. eut.Cuántos caminos hay de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha si no se permite caminar hacia la izquierda y no se vale pa1-1ar dos v<~CPS por el mismo lugar? (sf se vale caminar hacia arriba).ci(m <'S falsa para <'1 caso <m que la cuadrícula es de :3 por 3. Jllsid<'r<' un cubo de lado 3 dividido Pn !) subcubitos de lado 1 (Dllll<> d cubo dt~ Bubik).d<~s JH~rsoun¡.iene lO n·uglones mmwrados dell al lO.ivos'( l:J.os subconjuntos de { 1. .¡ al camino: ¡l 2. .. A.1.. . n".lo >i<' oht it'll<' de:¡ f.'i a pm's d rPsto queda _v:1 dc•t 1TJIIill:ido.'í.K.. Usc) <'1 l'rohkma 1 para dc)sarrollar PI binomio (1 + (-1))". Por cj<•mplo la S111JW :l sólo {HH'df' apan•c·c·r cuando dP los :3 dados da11 l. Si Pi ratón pudiera co11wr loH cnhitos.\' <•. Elija uno de los vPrtices y ll:í 111d() !\.entadamentP. Numere las lineas horizontales de abajo hacia arriba con los núnwros O. h:~sta e·cHnpletar n facton~c. 1 7. 1 y 2..!!. etc. Om::.e .. A. A. Para la spgunda parte\ ••s 111:\s f:\cil nmt:~r los lllÍlllPros quP no contienen ningún !. 1 y 4.:~.a.".. I. Así que suponga que lm.2. q1w pasa el camino no importan porque están perfectamente determinadas por las horizontales. (. basta dar 1ma sucesión de 16 pasos. . Por njn111plo si damos la sucesión (D.. blanco y lll~gro.'los a la dcn)cha y 8 pasos hacia abajo.c. Para la prinwra part(). .\ :n SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE COMBINATORIA l. . aristas de A a los puntos B' y D SOil rojas. 1) rqm•sc'JJI. 1 y 3. Un camino queda determinado por las 8 pequmlas líneas horizontales por las que camina.¡o J¡ay <¡IH' c·mtt. ·(a.1 sah)ll !í aristas.J.G. intercalados en a. ~. Por ejemplo. 1:! pa. Basta con que VP:JIIHlei en:\ ni :1c. 3. y e n. 7 y 8. y n)slllt.. por c)jf'mplo. por otro dd tercero. <'111JlPZ:JI'Ía cou nuo IH'gro. !). i\quí no hay m:\s rPnwdio qtw contar cu:lut a. Si querernos ver C"li<Ílll:lei \"t'("!'Ci <ljlillH"!' 1111 factor ("OtilO p[ 11. D. 1ksde . alt.. que unen a los puntos B.+ b) (n veces). Supouga prillU'l"O <(11!' los IIIÍIIH'lH. 6. 2..Ps pan~s dP p:~rhit(•sis: 1 y 2.ar las lu·pt!'las qw• se IHI!'d('ll fim11ar c·ou 7 pcrsowts.{(i C'AI'ÍTTTU> :r e C'Ol\fl31N.nJJ:l. aparece cada SlllJla.1. son posil. A) ()i:iUtuios indicando el camino: :t Snpouga q1w los colows ::.-. a 8 ) donde los a1 se toman en el coujunt. Así.. tridinH'Ilsioual..'). La Sillita . 5.lg11n orden.ivos y quc· !'111JliP7. las líneas verticales por la. 1. Si usted de•sanolla d producto dP la derecha se dará cuenta que resulta una suma Pll donde• cada 11110 ele los sumandos Ps mt producto de un elemento del pri11u~r pnr{•JJic·~üs (ya S!'a 11. Por qní~? 8. D.H. D... eHtanín pintadas de ungnJ y el cubito del n~ut n > qnc~daní piut ndo dn blanco. 2 y 3. A. A.¡e.innaría con lUto blanco.7. l'J11onccs toda:-. a 2 . Todo camino tiene. Pi11l.2 letras b.iderc el número <~11 ('1. laoctd.mwnh~ las lc~tras 11. D. e 4. dos ldra.<' mm Psquina dn 11<)gru.R}. lkcncrdc) que (a+ h)" = (a+ h) ·(a+ b) · . A. <"oJno <'JI 1111 1:d>kro dP ajPdn~¡r.1TO/U. 11 i11il' los CllbÍtoH COll dos c:olon•s.all <'lllúuwro k.. Entonces un camino queda determinado por una octeta de números de la forma ( a 1 .) por olro d1•l sc•guwlo...¡ s(>lo JHI<'<Ic• aJHli'<'C"e•r <"li:IIHio lo~ 1"!':--1111 ados son l. donde 8 son derechas y 8 sm¡ nhajoH. 5.·.. . 1 y n. (i)s: 6. i. de. de. 10. 1mo ck los sumandos e•s e·11ando SI' 1m11a11 IÍuie·. D. 4. 1~111-0UCC)S l. las podl'IIJc >s loiiJ:tr d(~ loe. Entonces para determinar un camino. D. VI)C:Ps HP J)l!Pdf'n tmnar [m.a (O. siguic~ut.ou rojo y mml.'i. Analic(' lPs colores eh) las arista::. A. las l'squina:.(). v<~ce:. el n~sultaclo es (~) .l'llPIJllJS que VUl" cuántas wcPs podl~mos tomar dos letras a y n .o {0. D. Id ras u.~/J'' -~.. dP ellas al m unos 3 deben Hm del lllÍSIIlO color. <"cl!Jt.. o/.:J. 5. 6. . 9}. n} que no tienen números consecutivos y que tienen al número n. .e :lt~ CAPiTULO 3. 13. Muestre que f(n + 1) = f(n) + g(n) y g(n + 1) = f(n). . . COMBINATORIA 11. .. 7. . ponga f(n) = mímero rle subconjuntos de {1. 2... 2. 15. 4. 8. Suponga que los tres primeros son rojos. ..ivos y cpw no tienen al m1mero n y g(n) = número de subconjuntos de {1. Para cada mimPro n = 1. 12. n} que no tienen rnímeros COIIS(~Cilt. 2. Analice los c:olores flllP tienen los tres primeros puntos de las otras líneas verticales.. Cuente los subconjuntos de {2. :3.. En la primera línea vertical debe haber 3 puntos rojos o 3 puntos azules. icrw qw~ s<~r O.nnos .cionado ro u los mí meros enes la divisibilidad. Ejercicio l. que la.ra:-. entoun~s h = a · e. DESCOMPOSICIÓN EN PRIMOS l 1no <1<· los conceptos m. :oi 11 )><1111' a /1 <'11 1111 rn'nnmo I'X:wto (1'11t. a 1 que b = a · r. '' a Así qw~ otra rumwra de definir que a divide a b PB diciendo que existe un <~nt <~rú r· t.jh qll<' indicaría la divisi<'lll t[¡• 11 u~ros 1 :11tn• J!' 1 :¡ 1 b). by a e· r· para.1111da si p<:nuit.ero.e (.onci'B a dividP a e .as dos ddiuicioncs no son <~xa<:tamentn eqniva. Pnwbe que si a divide a b y a r: <mton¡·es a divi!l<' a /1 ·e. Encuentre todos lo!-i tllÍllWI'ClS l'llt !'ros cpw dividm1 a 1!lO. . ::. O. nMese que la línea I'S Vl'l'li('al y no ti<~ll<: lt:Hla q1w v<:r con a. Claro que ¡:u Pi caso 1~11 quP a = O. Si escribimm. 1.1 IIS:Ir.· . Esta última definición es la nuís usual y la que v..eros rl y c.<~ qnn n sea igual a. .cro) di' partl's.•.ambióu S!~ dice qw~ h es un rnúlt:iplo <k o y <'t4!~ hecho se denota por aJb (se lee a divide ¡¡ b y sirve sólo para alll·<'viar la <~scrit..i a divide a b <•Jdon('(~S h f:nui>i(m t. En <'1 caso nn que a divide a b t. = e.lmrtes pm~st.ura no para indicar uiuglllm op<~ra. J•.: ·~· '1}1!·..!>.o qw~ la s<~~·.u ci<TLI f()ll!lil SI' pucd<~ d1:cir <¡IH' u divid1: a ¡.e -- e .iene que ::. Co11 <'Sf<> l!~llgllaj<• pod<'lii!IS dc•finir a los ·11 J. mimrt. Capítulo 4 Divisibilidad A. primma no lo ]J<~nuite. •. l'vhwstn~ rpw si o divid<~ n b y b divide fl e Pnt. cualesqnil'ra Pnt. importa11te rda.ción. d<· ll<'!'ho a dividP a rf. Se dice que un entero a divide a otro 1mtero b si el ('oci1mlr• ~ <'S otro mí mero p¡Jt.\:-.. .¡ · . 2 · !l · . si m es primo. 8 · 3. La primera es que todoH loH Pnt.e e 42 CAPÍTULO 1.. Pnwh<' qw• m. es un entero que divide a m. Esto es lo <JlH' afin11:1 d Teorema Fundamental de la Aritmética que He enuncia a. • p. ·!. como -m. se ¡nwdc con::. diferente dP 1 y -1 se puede escribir en la forma 111 = ¡/¡'' · p~ 2 • ••• • p~'·. y H · !J · 5. Por tanto.. ±m.. 2 · . Por ahora tomaremos corno cierto el teorema y veremos aJ¡~llliOS d!' SliS 11HOS. :!2. dondP 2 < e. 4 · 3. entonces m ya nstá descom¡HH)stn <'on¡o 1111 producto dP prirrwH (npawct> Aólo llll primo en('] producto). !) · ri. 2 · ~).wlalltt~lit(~ (n 1 + 1) · (n 2 + 1) · . y cada uno dP ellos se repite en la nueva descomposición tantas veces como aparecía en la primera.. entoJl<"('H ósa que escribimoH es la deHcorupoHici<'m de m. 2 · f'>. A !oH enteros que no son ni primos ni primos negativos y que son diferentes de 1 y -1 se les llama mímeros compuestos. EJEMPLO.. entonces m se escribe de manera única en la forma m = ±p¡ · P2 · . DIVISIBILIDAD 43 números primos como aquellos que no pueden ser partidos.. e < m.'iihk. EjPrcicio 2. A los mí meros rh~ la forma -p donde p es un primo les llamaremos primos negativos. EHta deHcompo::. tomemos un número positivo m. 1. si no alguno de ellos se puede partir y ent.o prueba qne m t)fl producto de primos.. es decir m = a · b. --m ns un producto de primos. p y -p. Si e. d y e HOil priJnoH.. ya <'s un producto de primos.. 2 · 3.. lG. .. entouces 111.¡ · .l'lipaini<~nto se puede hacer en todoH los números. Si a ..eros difPnmtes de 1 y -1 se descomponen en primos y la sPgunda <pw la dt~s composición es única. 8 · ri. donde 2 < a. decir. rto ('H primo..rario f(•Julrfamos que m es mayor qw~ 1. 9. Esto termina la prueba de la prinwra parte dd tmrema. entonce. · (n. !'. ¡... ns poRitivo y diferente de 1..lqui(~l' diviHor (u ••ra 1111 divisor nwlqui<•ra de m. Encunnl n· d tllÍllH'l'll nnt ural r qtw sal isfa(·(~ qw· ()" ('H i¡•. Ahora si tornamos un entero IH'gativo m dikreut<• dn ---1. son primos diferentes entre sí y l:1s n. 1· .'. H · !J. EH decir m = e · d · ('. Entonces 8 = 2 · 2 · 2 < e· el· e = rn. 1 · !l. es un primo y la unicidad sP entiende el sentido de que eualquier otra descomposieión de m como producto de primos tiene exactamente a los mismos primos. · q. H. ·1 · !) · . · p. ... = ¡1 1 · . 2. Para convencerse de la primera parte.Cwint.lguuo dn ellos se p1wdP partir y entonces m se puede partir en tres ent1~ros.:' . ±1 y a f.¡ · . Este il). de. · q. Entonces podemos <kcir qtu~ ('llalquier mímero m.... H · ..ouceH m se puede partir en cuatro enteros por lo que 16 $ m. (mtonces ya terminarnos. :~ 1 '"'. d.urah~H (enteroH positivos). entonces m se esnil H~ como m = a· h = p 1 • .. Entonces 4 = 2 · 2 $ a · b = m. el número -m. Si no.1] prod11cto d(~ todos loH diviHon•s d<• 2 1"". fi4.. la nueva descomposición es igual a la vieja salvo (~1 orden en que se acomode a los primos. Si 111. por lo qll<) hicimos auU)H. E. + l) divisores poHitivos.crihir en la forma -m = p 1 · p~ · .. b </ m.'lf: Cualquier entero diferente de 1 y -1 se descompone de manera única como producto de primos. Est.ición HP puede escribir: 360 = 2:1 · 32 · 5. 4. La deHcomposición en primos de 360 es 360 = 2 · 3 · 5 · 2 · 2 · :l.'i a. y f¡ = q 1 · q2 • . Los números primos son importante$ porque son los ladrillos (indivisibles) con los que se arman todos los mírnmos enteros.i<>rcicio !l. Est. 11.n u~omma tiene dos partes.= !'~! . Si a y b Hon primos. Si descomponemos a a y a h en producto de primoH. Con •·sto lt'lH'IIH>H qnn ctw. S<lll lllÍIIH'l'OS mtt...lt:d .. AHí por ejemplo...¡. La definici6n precisa es: Un número entero pes primo Hi es un rnínwro mayor que 1 y los únicos enteros que lo dividen son 1.. EJEMPLO.. este proceso tiene que terminar porqw~ dP lo cont. · Pn donde cada p.eguir agrupando algunos dt) !oH priluoH de su deHcomposición. ~1 · . · q1 ·q~ · . loH divisoreH de 360 HO!l 1.) d<• 111. y como la descomposición de m ('S única...os ceros apan•('Pll al final dd mínwro lOO! cuando t'•st <' S<' ('cwri!H~ Pll Hll notaci(m d<)CÍmal? E... ()JitoHces m se puede poner en la forma m= a· b.s que 1. S<) pw~de e::. Para probar la segunda parte (la unicidad). donde los p. 8... ·Pn.. entonces m puede ser partido en el producto de dos enteros positivos menores que él y mayorP. ¡. si m es un entero. ¡1'1' 1 • Ejercicio a... SupougarnoH qw• 111 <•s un rnínwro natural y que: ·m..¡ · . lo qw• <'H ÍIIIJHI. fÍPIIP (':-.' · ('S su ckscomposici<'n1 en primoH.. Es decir. 3. Continuando asf. se neet)Hita ch~Harrollar más herramientas por tal razón la pospondremos para tli:ÍH tarde.ivos tiPJW JO!? Ejercicio 4.CwíntoH divisoreH posit.. (podmuos decir que está metido en ambos Húmeros).. (sin. podemos "ponerles" los mismos primos a ambos. porqll<' <~ut. . Es dt'!'ir. Ejercicio 10. ll.ir las p..15. m]. Cuando ponemos pf' c:on n. donde los números n. y se acostumbra a denotarlo por d = (n. Por tanto"(. nntouc:es. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Sean n y m dos mímeros naturales. c. cnl.11 son números mil nraks tales que y f[m. Ahora lo que tenemos que avc•rigwt. m] = n ·m. De manera que podemos considerar al menor de los múltiplos comunes de n y m y llnma. notemos que 1 divide a ambos.-c mayor Plltn~ o.) de n y m.rle mínimo carmín multiplo. en el caso un que {3. O c•scrihi<mdo "(. m. Ejercicio 11. al menos 1 está en D y D t.m. Antes de seguir tenernos que hacer una aclaración.. 4m. EJEMPLO.157. 4n.. Ejercicio 12. . Ejercicio !). 84) y e = [:360. en las que a. corno 360 y 84 dividen a e. ya sabernos una fcírmula para escribir (n. Este número se denota por [n. 1 1 = (m.. y los núrrwros fJ. qnn tornar In nul:. d debo S<!r una combinación de los primo:-. m] =m. 573.r)... p¡ Ejercicio 8. entonces ¡·. tiene que tener a 3 2 a 5 y a 7. 84]. a. m) = n y [n. 2n. En el ejemplo ankrior mtwstre qw~ e = 71j' · p~ 2 dmuk ll. y {J. = mi11{n 7.. Notemos que no 3 podmnos poner 2 en d porque entonces d no dividiría a 84.e 44 e CAPÍTULO 4. Así cpw d debe ser de la formad = pj 1 • p}" · .o ocurre cuando el único natural que los divide a ambos es el l. En las descomposiciones de~ primos habfamos tomado exponentes positivos. d... No es posible qtu~ "(. m]. Notemos que el número n ·m es un múltiplo común den y m. 573. . no debe~ tener cincos y no debe tener sietes. Ejercicio 7. n. B. entonces d debe ()star com¡nwsto dP <loses. En el ejemplo anterior <~scrihiríamos 3GO = 2:1 · 32 ·5 1 • 7° y 84 = 22 · 32 ·5°· 71 . si ·n[y y ·m[y. m) · [n. ns el mínimo entre O'. c. Entonces D es un conjunto finito y no vacío. ¡JI. ·-e max{o. Tomemos el conjunto D qw~ consiste de t. • Pnwbc que (n.= (1. a 2~ y por eso no incluirnos también a 22 ). Yn 2 2 1pw 360 = 2~ · 3 · 5 y 84 = 2 · 3 · 7. d ddJf~ ser una combinación de las p.(J. y /'1. Similarnwnte. prnebP <¡11<~ (n. m) y e= [n. Pnu~IH~ qun n: ¡m: si y srílo si n[m. 757. = O. Los números que pPrtfmecen a ambas colecciones se llaman múltiplos comunes de n y m. m)= 1.}. m) (~JI t{~rrninos ck SUS dl'S('O!llflOSÍCÍO!lCS. pf' divide a pf' y a Ji. 3m. • . Muestre que no hay ningún número primo entre los siguientes enteros.. Como d divide a n. consideremos a n. Plll OllC!~S rf -ce p~··. Sean d = (n. y a los múltiplos positivos de m: m.iempn~ es d meuor entren. m). t~starnos escribiendo 1 = 1. Supongamos que n = pf' ·p~ 2 • . tendríamos que tomar ¡.= {1. Adenub dPhf' Sl!l' lo nuis grande posible.l. Por tanto 1' = 2:1 · :3 2 · 5 · 7 = 2520.oiW<'s f[(n. podríamos omit.r <~S cwinto vale cada 'Y. ¡/ 1 .·. Haci<~lldo lo mismo con m.(J. se dice qne n y m son primos relativos y <~st. DIVISIBILIDAD 45 Ejercicio 6.) Ejercicio l:J.. De manera que podernos hablar del elemento más grande de D y llamarlo d.es. porqnP debemos tomar d lo más grande posible. 573.m<. 2m. Mtm<>tre que si njm. Pnwhe que si f y .). c. Cuando (n. Ahora comüderemos los rmíltiplos positivos de n.. m) y que.il'll<' s<'•lo 1111 mírnero finito de elementos porque todos los elementos ck ]) sou divisores den (y de m) y todos los divisores positivos den P. > n. Entonces 'Y. . por ejemplo. · p~·· . y /J. =ji. <!ll p•:didad. . = n. < o. :~n. <pu· c·ornpom~n a 360 y también debe ser una combinación de los do 84...J[y. es decir.. Sin~~ m ·IJ + ·r.-en. Por tanto d = 2 2 · 3 = 12... d[d 1 y d 1 [d.odm. son mayores o iguales que cero. Como d Ps 1111 divis<"' de :3GO y de ~4. todos 1< tH divisores de 360 y de 84 tienen que aparecer en e y tenemm.stán entre 1 y n.. Obtendremos d = (360. los números positivos qw~ dividen tanto a n como a m. entonces (n.. etc. :S {3 1 . que no aporta nada al producto.}....innn EJEMPLO.fin Demuestre qtw si d y d 1 son positivos. :::.ráno común divisor· (m. Entonces. Pero este artificio Hns permite ponerle a n los primos que no aparecen en su d<·sc·mnposicit'tn pr~ro <¡IW sf aparet·nu m1 m. Esto se expn~sa di<'i<'II<lo que"(. A este d se le llama má. de t. = O.ouces d ya no dividiría a n y tampoco es posible q1w ¡.· Si. Por tanto. ·p~·· y que m = p~ 1 ·pg2 . 1. similarmente 1111 podernos tomar 32 • Para calcular e.. pequeño posible por lo que e tiene que tener a 2~ (que yn cont..onccs [n. Put. Entonces queremos averiguar a qué es congruente 2 1992 módulo 10.i<~rcicio 17. 360 = 3'758. Vamos a mostrar que: Si a= b(mod m) y e= d (mod m). Vamos a probar que la.. se toma un rnímero ha¡. entonces n/8. · 1()" :::::: a.CCJÓn . = = = EJEMPLO. · 2 = 2n cou nst. 7. Usando el Ejf~rcicio 17./c-d. Por tanto a· e= b · d (mod m). 2 · 2 · . Demue. m/a. . 2• 3ns 2 4oo = 5.e 4ti Ejercicio 14. Por supuesto qw~ para lwn·r Pst.. siempre sobra :J por lo que rhx:imos que todos ellos son congruentes módulo 10. De manera qw~ 37'589. J + . ROJJ aqudlos que dPjan el miRmo re. Pruebe que si tales que n. d liCI'hl e.. Entonces a = b + rn · r y e= d +m· 8.. cifra módulo 10.. 23. 2'' · 2'' · 2~ = 2 · 2 · 2 ( mod 10). (a) (b) (e) ( d) Ejercicio 16. La suposición es que m/a-h y q1w m.. lw-t.. Si a= b (mod m) y e= d (mod m). etc. .. podemos deducir el siguiente crid<' divisibilidad: Un uúmcro uat mal Ps divisible entrn 9 si y sólo si. 2 ~ = =. Esta~ propiedades panJcPn inofensivas pero se puede ver <'. tenemos que 10/37'589. C. = a ( mod 111) para toda a... y e.. = :t·<mH. primero w >t muos <¡lH) todo número <'s cungnwut.ctorizando m tenemos a· e= b · d + m(b · s + d · r +m· ·r · s). entonces su última cifra es 6. .'liduo cuando se dividen entre m. Todo esto se denota escribiendo a h (mod m./rn · s.2o =2 2o 4 = Por ei <~jm!'icio W (a). De modo qw· rn.<) proc<)so. 25 · 25 = 2 · 2 (mod 1())..d = rn · 8.r-1 • 10r--J ::::: a.'> congruencias se portan bien con la multiplicación.7 = 37'589. Pruebe que 10" = 1 (mod 9) para cualquier n.0 (111<>d D).. .iemplo.. D<~ modo que 2 " = 2" (mod 10)...). Por el rüPmplo anterior (las congruencias respetan productos).! 6 (mod 10). la stuJm d<' sus cifras es divisible eJJt. + 1/. 367 . Asf rpw a· e··. a¡ · 10 := a¡ (111<Hl !J) y 11 11 .re !). 2 1\JD".tre que.11 1 • 1()' t 11 r 1· 1()" . si y s<'>lo si a::::() (mod m).. Ejercicio 17. + 0.. La dcfinici6n formal r~s la siguiente: Dados dos rmt. Para definirlas.s un entero y n y m son primos relativos no nos convimw hacer las o¡wraeiones necesarias para obtener la expresión decimal de 2 1!lU2 y después tomar la última cifra.so so = 2 s.eros a y h diremos que son congnwnt. entonces a·c = b·d (mod m).b = m·. DIVISIBILIDAD 47 e. entonces a+ e= b + d (mod rn). Pruebe que: si 11. 13. Para resolw•r P:->ta pregunta..:.Ps mr'idulo m. Para comprobar esto. entonces a= e (mod m).. + a 1 • 10 1 + 11 0 • De acuerdo con el E. Por e. a plicaudo otra vm~ el ejemplo. • 2r. al dividir los números 3. Quien quiera atreverse a intentarlo.· z. .b · d =m.· J(Y +a. == /¡ (tuod m) y b =e (rnod m). Entonces Ejercicio 15.e m. a 1a 0 • Esto qni<'W decir qiH' n =a.¡ (rnod 9) . basta con que calcule 2 20 para darse cuenta que estos cálculos son dmunHiados. 367-7.. EJEMPLO. tmwmos <pw 2'"' "'"' (2'')" 5 (mod 10). Encontraremos la última cifra del número 2 1992 cuawlo (':->f P s<~ <~scrib(~ en notadr'in ciPcimal. = 2'' 4 =2 2 =2 2 =2 =2 = 16 =6 (mod 10). 11... Por t auto n Ps coHgrmmtn a la suma de sus cifras módulo 9. La prueba <)ll gPneral es similar a este ejemplo. al tomar 37'589.c~ con su última cifra.o.Ja.¡ + 11. 936 · 10.e cou su última.. 53. (mod 9). Smn:mdo: u~rio /J f'll = 2 ~~~~>o . 1 · 1()' · 1 + . la fra. Esto quic~e decir que hay dos enteros r y 8 que satisfacen a. CONGRUENCIAS Una herramienta poderosa para tratar algunos problemas relacionados con los mírneros enteros son las congruencias.. cuando ocurre que rn/a-b. sabmuos que 10'. para cualquier número natural n. Notemos que 2 5 = 32 2 (mod 10). Usando d l•:j<·n icio !() (<') t!~JH~mos qlH~ Hin si y sólo si n == O (mod U) si y sólo si . Por njernplo.. Y como 21!!92 tiene que ser cougnwnt.·~ 11 11 (lllod !>). Los mímeros que Ron congruentcR módulo m. ·e..iPtnplos como el que sigue: Rll poü'rwia 2 1!1!1~ EJEMPLO. De modo 1 fJlW 11. con congruencias.. +U¡ · 10 1 + U(l := TI = 11. donde z = b · s + d · 7' +m· r · 8. 33. 43. Siguiendo 2" · 25 · . entre 10.b ·d. 367 = 7 (rnod 10). 1 + .. (J. ~ n2+n-l es lfW . 8 e CAPÍTULO 4. tomemos un nat mal n y escribámoslo en notaci6n decimal n = arar-· J . 10 == 1 (mor! 9). Multiplicando ambas igualdadeR y fa. o. es divisible entre 3. < . . pnro podemos ohl<'ll!'l' III<ÍH inf<H'ITI:Il'ic'm si ahora dividitnos 111 <'Iilr<' ·r (si ·r -. () < 1'. = ('1·. al dividir 1991 entre 3. t.. "ble entre 3. teuemos que n2 -+. J•.Í .000 horas.. Expresando los mírrwros enteros en <~1 sistmua <kcimal de numeración. entonces n =O (mod :3) y m. r. 1 cí 2. su última cifra de la derecha es par. r·. Vamos a probar que una suma del tipo n~ -t-m 2 es divisibln <·ntw 3 si y s6lo si 3 divide a n y a m. <: ·r 1 . dc•IH'JIIc's oiJt. dP htgar impar. DJVISII3ILIDAD la suma de sus cifras es congruente a O módulo 9 si y sólo si 9 divide a la suma de las cifras de n . SP obtiene qtw (u.. Esto tmp .. '/'¡ '('•! = r'/. Todo c~sto yn lo sabemos d<'sdP la primaria. ohtc·n<~lnos nn 111hw•ro e y un número . a lo que sobra le llamarnos residuo. ¡.uanta.l." . si 3ln y 3jm. 1 • .odo IliÍIIIPJ"O es congruente con O. Primero suponga. vemos que caben 66.. 1 <'> 2. donde O:::... la st11ua de sus cifra:-. r.Qué quiere decir esto? cuando dividimos un rnímero cntn~ :1. la difnrmcia <~ntn~ Pi lltíllwro que se obtiene quitándole la tíltima cifra di' la d<'n~dta y dos VP<'<'s <lid m cifra es divisible entre 7. Deterntine todos los l'nteros positivos tales que 2n divisil•k nutn~ :l. EJEMPLO.. D. m. <'S =O (mod 3).2 . 2 1 I'J. + 1''/.~.e 18 e CAPÍTULO /1. q 1w 11 y 111 so11 do:-..r·. 1 ·-·. La ünic:a lll<UH'I'il de• "'''"11<'1' O c•~o~ cuando n y rn Hon congruentes a O. elevando al cuadrado.1.ipo: 11 = = = = 'f/. i~•.IJaldad<•s.... Elc~vando al cuadrado y stmmndo. De manera que :l!1991. vc~mos cuantas veces cabe el 3 en él y... dividimos ·r <~nt.. Diga qué día ele! la sPmana y que hora ser:ín cuando hayan pasado 132. 19Ul = 3 · 663 + 2. · '. -+. 1".. No nos pm~de sobrar más de 2 por lo que el residuo siempre es O. Por tanto 1!1!)1 2 ( tnod :3).. = (n.< PH cougruent0 a O+ O. 0).1 treses y sobra 2.r.c!IWIJlos 2 IJIII' . De lllHiwra q11e r. O ·:::: r· <. 1 . Como 4 1 (mod :~).. Cuando dividimos <'lit n• '111. tl'lll'lllos que n2 y m 2 son congruentes a O ó 1 módulo 3. n1) :=(m.. w~ces cabe m en 11 y Llln!Ji(!ll oht<'IH'lllOS d residuo . 2 ..uws 2 . (e) Un mímero es divisible entre 11 si y sólo si.2. l'<'to.. O+ 1. r 1 ) = ('. Ejercicio 18.= r·r: 1 -t-r 1 .'') . ya p<Hhmtos msolvPr el ejercicio que nos plantearnos. ¡) = ('r..<. son congruentes a O. Es dc•cir. (b) Un número es divisible entre 3 si y sólo si. EntoncPs :Jin y :1¡rn.. Por tanto. OJ>:lt:< <pi<' sin'<' c•sto"( Pw•s not<'IJIOS qtw por <!l Ejc•tTic:io 1:1..s dc!cir. '+ 1'.CC'f//. donde O ' . r 2 < '1' 1 < ·r ·· 111). 1.'/. r) =--= (r. n1.r-. 1 ó 2 (mod a). l·~st 1' pmc<'so 110 pued<~ continuar indefinidamente porque oht <'IH~mos ntÍJIImos cada Vf'Z rm1s pc•q nniios y mayon~s o i~uales que O (O':..•('+f'. <JIU! 11 ~ +m es e¡·IVISI Y11 '1111! n y m.mal<\'l. d1~1H:ha (d) On ul'mwro 1~s divisibln 1~11tw 7 si y s<'¡lo si. Para cmpmmr recordemos qtw <·qando dividimos un número entre 3 podemos obtener residuos iguales a tl.·. r:s+l +o. obt.. r· 1 < r.. En general todo número es congruente con su residuo. :l r.< y m deben ser congruentes a O. () ~ I'J () <..r 2 ) = .<'IH'r 1111a cadena dd t. su última cifra dP la es O 6 5. ~.<. Esto significa que.- < r. Sabiendo c~st. <tplir·ado <'ll tocLts la:-.. Hoy es lun<'s y es el mediodía (12 horas). 1 6 4.m. 9jn si y sólo si 9 divide a la suma de las cifras de n.m). 1 +O <'i 1-+. Si r 1 >O. De manera 1)111! t. 1 ~~ 2. <: m. 49 :J).eumnos 1111as r· 1 y r 1 taks cpw m. Por <'jPmplo.e. deduzca los siguientes criterios de divisibilidad. 7".' r. 1·tca que n 2 +m 2 O (moc 1 .. 1. (lo qtw sobra). (a) Un número es divisible entre 2 si y sólo si. Entonces la suma "J 1 . .¡ () ~·: ·r.e es más fácil. f. 1'2 () :::.. c·: 1 -t-r.. = r· 1 • c2 + r... . = r · c1 t /' = ¡· 1 r. ohtmH!IIIos 1111 uiÍutero r: qtw iudi<'a c·.) "-= '1'. Entonces dl'h<' habm al~tín momento en q11e el n·sid11o nos d<'• igual a O. :2. ALGORITMO DE LA DIVISIÓN (ALGORITMO DE EUCLIDES) (e) Uu número es divisible entre 5 si y sólo si. menos la suma de las cifra:-: de lugar par c•s divisihl<! <~ntn· JI. Ln •>1111 p11rt. ut'tuww wd. O (mod S 11 pnngau11 . +1 Ejercicio 20.1 ' < ¡·'/. donde O · _ .a!Ps que n = m ·e-+..m 2 aHí qtw :!In~-+. Ejercicio 19. la suma de sus cifra.rn r 1 y oht<'Jl<'IIIOS una c2 y nna '1' 2 tales que . m dos números naturales tales que (n.) .ol !fUI' . m) = l. 7.. 2 · (---c. pero que (~sto p1H~dc ser falso si no se supone que (n. = r·_.•-4· Si seguimos haciendo PRt.iplos mayon·s qlH' í·l y.ir dd 'l. Deduzca de aquí la uuicidad en dicho teorema. rn. obteniendo la igualdad r_. 1' por 1'1 Tcnrnma Fundamental ¡]¡.( lllccs t7:l eH primo.arlos. se eli~e d 2 y sr~ tachan todos suR múltiplos n part.-:1 y r.ji/i /..'/111 p1 Íill<> 1' <¡IH~ divida :1 r.lquim· número natural en lugar dd 100).. Tomamos PI siguiente número q1w u o se tachó (qHe es el 5) qHe timw q11<~ sPr tlll número primo y se t al'hnu todos sus mlÍit.. si lmc<'lllos esto y suRt. y s > . En conclusión. s < m. ·1. De esta manera podemos Sllf>O!Wr qw· . m) = l. PRIMOS ¡.JwioJH:s ha. = r · s > Jirl. 84) = 12. m) =a· n + b ·m. Por tanto 12 = 84 ·12 + 360 · (-:l).H'I' si Sf' I'OIIlJll'llf'ha qm~ ningm1o . Euto!IC<'S para comprobar. de la pe111Íitima •~•·. Sean n..endrc~mos (360. 2n.Ti8te un pr·irno p u¡u. Se nHcribe una numeración dd 1 al 100. por la siguiente f>T< lJ>i¡•¡Ja<l "S·t un n IÚ/UTo natv:ml 111 no es ¡ni·mo. Este algoritmo t. = Ejercicio 23. t <:ndrfa qnn •~xistir 1111 primo menor o igual que l:l que lo dividiera. Ejercicio 24. Muestre que esto no es cierto si no se s11porw que (n.<•. 1· (-c. = r_. Pruebe.. De la penúltima ecuaci(Jn podmnos dPsp<~jar r_._. 84) y lo pondwrnos corno <'<llllhin:wi<'lii liru•alde:3GOy84. 3. <'1 'lhm~nla Flllldamental (k la Aritmdica.a afimwciún. 1111"11111' 11 vm.1 +r_. _1 en la ecuación anterior.. y coJ¡JO ¡!Ir y r! 111. · .wi<. en términos de 1's-. . EJEMPLO.it. Además 12 = 84 + 24 · ( -3) = 84 + (:360 + 84 · (-4)) · (-3) = 84 ·13 + 360 · (-3).dadcs se obtiene que m.i<'a. tenemos que r.I!'PI!IOS ¡:st. por <Ü<'mplo.. 2. teumnos que (360. 1 · 1:. Eutulle<~s p::. sino nada müs haciendo divisiones sucesivllS...).a:-> Rust. . Pruebe que existe un entero r tal que n:r 1 (rnod m). __ 1 . tomamos el siguieute número que 110 se tachó (que por snpnnst..\¡ it IIIÍ:t.. <'nt..u. Sean n y rn dos mí meros naturales tales que (n. . Entonces alguno de los uúuwros r <'> s es me11or o igual que .lll. Obtenga ( -384.etwr los prinwros núuwros primos es mediante la ll:nHada Criba de Era. como 14 2 > 17:1.e 50 e CAPÍTULO 4.. <:lttonc<~s existen dos núnwros rwtnrales r y s takR (}l!P m = r · s y 1 < ._ 1 en tórminos dP r·.qne e:r:istcn dos enteros a y b tales que (n. l·:n n:alidad no SI' t imwn que comprolmr LltltoR números. Pruebe que si se toman los residuos de dividir los níuneros n. m) se pueril: I'SI'I'iln·r como combinación lineal de n y m.. . 1. manera de obtener el máximo común divisor d<~ dos números sin necesidad de factorir. Sustitu_v('ndo r_. ecuación.it._ 1 = r. si 17:1 no fw~ra pri111< 1. 13.. . lo qiH: termina la prueba de la propiedad.1 aunque poRiblemente en otro orden. Pero como no lo divirkn loR mímeros 2. entonces se obtienen los números O. _:1 · (--e_. __ 2 en u~rrninos dP ·r. st~ escoge al 7 y '>: . Pnt.¡m = m. 8346) y escríbalo como combinación lineal de los mímeros -384 y 8346.84=24<Hl2y24= 12·2J O. despejar r·. DIVISIBILID!II) 51 Esto nos da otra. {1ua III:Ill<~ra de obt. _ _ 2 y 1'8 _ 3 .Cómo se cornpnwba que un número m <~s primo? A primera vista._.¡:m porque de lo contrario. m. . D<' la ant. a su ver. 1'11 foncc8 c._.. lo que es absurdo. r > J1ñ.1' J!llll". entonces (n._J). 2(l +(e..uimos en la última ecuación que habíamos obtenido."'t. . .]! . 11.. . •: Como m •. '2 + . no <'S primo..a la primPra.al 1{1/.irna •·•·wwi<ill pod<:mos..ran eutn~ 1 y 100 (el método se aplica a cua. 2 y '1'_. m) = l. la .. Esto se h.o ~~s PI 3). <~Jlt. rnultiplicaJH!o amba:-> desigula.tl"·r al). PtttonceR el 3 es primo y se tachan todos sus múltiplos a partir d<~l G (algunos ya eRtaban tad1ados). lo que t mwmos que hacer es probar que p no tiene divisores propios.)) + ... 2 + (r_. sP tacha el 1.1 y r·.• S(~ puede poner Pll U•nuinos dn r_. fi11ahncntP po¡h:rnos Pscrihir a r_. m.¡.ÍPJW otw nso: D<'spr!jmulo . donde esto quiere decir. Proh. tenemos que r· .oHc<~s p¡m. 5.). wmndo d algoritmo de la divisiún y siu usar E. podmnos ¡h~cir que: Si n y rn son dos números natumles. 1)) · (-1· .= l. lfls 111Íillnros 2. __ ~.1 divide a p. que si p es un primo y plnm. . Ejercicio 22. Ya. ..que360=84·4+24. Ejercicio 21. tPJH~n¡os a r_.. <'11 f{·nniii<IS rl<' n y m... Jn. __ 2 · (-e. .¡¡ñ.epmnílt..1 + r. finalrtwnt. Oht.· n entre m.ouc¡•s f!lll <'>film. 3. que 17:1 es primo.• ) = r_. d<·IH• !I.tr58fcncs que funciona así: Supongamos que querernos ohlf'HPr los primos que se eucnent. ( 'orno 111. :1. r :S m. los míttH~ros compuestos tuvieron que haber deHapan)<·.lllos <~11 el p.. Entonces N se puede esnibir nn la rorrna N -. sobre ella Himplerrwnf<• tachamos de acuerdo eon el método d<~. existe algún primo que divide a N.).Prminamns porque dP acuerdo con lo que proba.ji¡ '/12' .¡-12 ..ido pum.¡ (jJ 67 79 83 09 89 97 l'or SIIJHI<'st... Así <JIW l c-e Ji¡ (m-.ica.re todos loH mímeroH primos mayores que 880 y 11 9 21 35 49 77 7 2 17 1.JI¡ . Y ya t.:amoH con la tttmwra('i(Ht: 2 3 16 17 18 :31 :~2 3:$ 46 47 48 61 62 63 76 77 78 91 92 93 4 5 6 7 R 19 20 21 22 2:1 :34 :35 36 :w :lH 49 50 51 52 53 64 65 66 67 68 79 80 81 82 83 94 95 96 97 98 !) 21 3D 10 25 40 55 54 69 70 84 85 99 100 11 26 ·11 56 71 86 12 27 12 57 72 87 :n 5 3 19 33 47 61 14 ].. Encnmt..ndmmos a sus nllílt.n· 1 y 100 Aon: :~ G 7 I!J :11 11 13 41 4:3 71 73 ¿. Por d 'lhm~ma.mót. Por comodidad pensemos que dicho primo es JI¡...'l.¡ 2!) 55 85 59 89 Haciendo lo propio con el 5 y el 7. 'll·nHinaremos PHt. EHto die<~ <¡ll<J JI¡ divide a l.. .) 2H 2n :m 1:1 iJ.írrafo illtt<~rior. SupougarnoH que e~to no ocurre. tienen que tener un divisor primo nwnor qnP 10. p.o que es twís fúcil ha<:<)rlo si tomamos la sucesión original (dd 1 al lOO) y...a Hección probando 4ue el número de primos es infinito. . Esta contradicción prw•ha que hay un mímnro infinito d<' primos. rn.~ :~7 /17 2!J . . + 1 =JI¡ .'ios descrito. que Jivid<•tt a 1 Hon 1 y -1.. Esto es mentira ponpw los lÍnico~ entero¡. EniOIH'('S JI¡ 'P2 .~ sP tachan lo. Fnudauwutal dd Arit.. Hagamos los JHl. Empe..¡.). 'JI. • Jln +l.iplos.Jin· Formemos Plmímero N= JI¡· p 2 · . ///.1 1ií 58 59 60 7:l 7·1 7!í 88 89 uo 63 51 65 79 93 !Jl 2~~ :m 37 53 67 81 95 25 69 97 13 27 1L 55 8:3 29 1:1 57 71 85 15 ·1G 59 73 H7 7!í H!l !)!) Escogemos al 3 y t.writo (:-ün l<·twr qne escribir los HÚtHeros varias veces).e e G2 ( '¡\ PÍTliLO l. obtenemos que los primos ent.~ Tachamos al 1. como son rn<moreH que 100. /JI VJSIBTLWJ\D .'l múltiplos que quedan dP (~! Pn la lista. Ejercicio 25. escogernos al 2 y tachamos a SllH nnílt. entonces sólo existen un número finito <k primos p 1..iplos (los q1H~ nos qn<•dan) y obtenernos: 2 17 3 5 31 47 77 2:i 35 37 65 67 95 97 49 61 91 7 19 53 79 83 11 1:l 41 13 71 73 ¿. nos <piPda: 2 17 «···-·~·--~» IIH'llOWS ()lit! 900. Ennwntrc 2.ivos 10. 1'.9.re que (a".e 54 e CAPÍTULO 4. S<• tiemm n f(."2 + l. ¡. l.~ (s<! di<"<' <!ntouces que estos tn~s mí meros forman una tcr·na.r '""' t2:H5G78!H01112l:il4 LG . Encur~ntre todos los <~llteros positivos n talus que n -t 1 dividP a . y r/a0. Oht. que están numerados con un rmíltiplo d(~ i. P..a toda. 12. 16. l S. ll. 7.ií•¡¡ S<' timw una fila den personas P 1 ..'> raíces racionales de 10:r:1 -. ~ es simplificada). pitagórim). y si el mírnrro racional z =~<'S una raíz de p( x) con r y 8 primos rnlativos (es decir. Mnestw que para c:ua.nl<'s que mi la faetorización <'11 priiiios di' 1odos dios intervimwn s<'Jlo r primos. .<~ros positivos. +a 1:c+a0 PS un polinomio..lqnier entero positivo que no son primos. ent.¡1. Pxist.'> la.odo número racioual tiene una expansión decimal pmi<ídica. . Pruebe q1w todo entero positivo t. i. 6..4. Pruebe que si P(x) = an:c"+an·-·lxn-l + . •. SPa l!'í.<J a los focos y <:ambia de! estado (apaga el que est1i prendido y preude d <JIH! está apagado) a lm.25. Pnu!l><~ <JIH' hay 4.l. dowle x se obtiene escribiendo slwcsiv:nue111<• todos los cnt.ivos t.cmp. sea ·m la Slllllil d<! todas las cifras de n y sea r la suma de todas las ciff!ls de m.aci(m decimal aparecen los diez dígitos. l'vhwstn• <pw t..b)".'( 9. PnwiH~ que si un HÚllH~ro real tierw una expansión decimal periódic<1. P 2 . 111 y. 5. Cada pc!rsoua /~ pasa junt.¡:l.b") = (a. persona:.. Pruebe que los únicos enteros positivos que tienen raíz cuadrada raciomd son 1.. ¿Es :r: un número racional? 14..i<me un múltiplo en cuya n~pr<! HI'IIt.. 'Iinul. . 3.<. <'llloJH"<'s d Illímero es racional. S<! t ÍPllCll '!' + 1 <'Hteros posit. Encuentre todos los números primos que son tanto suma de dos ! 1 primos como diferencia de dos primos. . Muestre qlle hay un subconjunto de <!Sos ent<·ro:-: tales qun el producto de todos sus elementos <':-: 1111 cuadrado ¡ H'rf<~cto..mw<~s 8/a.¡ · . ~kan u. infinito de primos de la forma 4n.. Pnwl H! q1w :m¡n ·m· r. 8.dos dd L al n. D<1da 1111 halamm con dos diarolas y Ull sistema de pesas de 1.. t. llliH!st.n!s núuwros naturales tales q1w n 2 + m 2 = ..a0 son <~nteros. kilos. .cos apap. 11. En cualquier colección de 7 o más enteros siempm hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.12:r: 2 + :l:r: + .. 1:1. Dados Plll<•nJS positivos 17. 2 :1 . 3. .ados y wmwra. .. DIVISTJ3IUIMD 55 PROBLEMAS DE Dl V lSIBlLIDAD 11.PII n PIIIPros t·ons<~cut. J2 + /7 no es racional. donde an. Sm .. . l\1uest n· qiH~ el uúmero n la Sllllla dn todas las cifras del mírnero 555G 5""''.( :li<ilt~s focos quedarán prendidos después de que pasen todas la. . mw•stn~ que 11110 pnede pesar cualquier número entero d<· kilos (las IH'Sas se ¡nu~d<'ll poner <!11 cualq11Í<~ra de las charolas. 11 y 1111 IIIÍlllero h..an_ 1 . Encuentre todos los triángulos rectángulos con un cateto P hipot<!lltisa enteros sabiendo que el otro cateto mide la raíz cuadrada de 1!JHH. 16..a 1 . = n 1 ( lllOd IliÍliH'I'OH .f.!1.. Esto !'S coutrario a lo que se mostró mi PI problema l. 12.l. · p~·· JI.:¡s:l!í:!!í:l& .d.. (n + 1)! + 3.. El 2 no es suma de dos pri~os. 7 números enteros.387463535353535 . • p. 000 el número de ceros es el apropiado y 1 ~ i ~ n... ya H!' ¡nwdP poner a :z: Pll la forma 'f. Con.·.. (/~. a+ e.<.idere los números (n l)l+(n+1). S 11 pouga que 5. g. Así que q. Y despejando..(:l. . Esto nos permite buscar sólo entre los divisores de 1988.e. Entonces el primo que estarnos buscando debe ser de la forma p = q + 2 y p = r .~.]¡~v•· :d ¡·¡~adrado y ch~s¡HÜ!~ hasta ol>l. q + 2 y q + 4 son primos. Muestre que los 11nicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados perfectos. Co11:->idPm n~ 14.. 1 =--= l. ·Pi'. de ceros tan ¡?. 15. ( ~IH'Ill. a +-IJ. a.'.e.237 4138746.b.<~. ) 2 ._.. 11 17 . 6 = 3 -3. p. Analice los mímeros módulo 2. donde~ .w:¡. d(lllrl<' nula fi.¡. l·.:l5:353535:~!í.. =.'' · p'? · . :2:~7·1 1:3874635 --. 11.. a. = min{n.Jo <'1 11. ..rri!Ja de la "casita" se repite. '2).). por qu(~. ¡- 2.h) .!·u.¡ 2 -. doll!h~ ¡.. K= . simplemente comience a hacer la división m/ :r '"-' /2 + v7 SI~ pnPdP ( 'HCri bir !m la forma X = !!! . 9.~r que /14 es un número racion~l.. + 1 múdulo n + l. Como hay 11 residuos módulo 11 y tenemos 12 números. 4 = :3 + 1.2. a. I'Hcríhalo Pll la forma 71\'' · p~'~ · . p'{' · p}" · . a.}· 16.<. De manera que los primos que se :->mnan o que se restan no pueden ser ambos impares. ¿Cuánto valen n. En el número + 1.1. ... de primos de la forma '1n --. Sustituya . Considere número. Considen~ d HÚllH~ro m = 4(¡1 1 • .1. de la forma 123456789000000 . + 1)! + 2. SUGERENCIAS A LOS PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD s. 7. e. a partir d1~ ciPrto mouumto. a+ d. · p.Puede usted ver el patrón seguido? 2 = p.r y recuerde que 17.. >JI('('c: l.r 1o'':r 2:!7·1 1:¡x¡.. Dada la ecuación 1988 + b2 = c2 • Se tiene que 1988 = (e+ b)(c. dP ello:-. Escriba a • ••• • rf!. 7 '·'' .. a+ e.57 CAPÍTULO 4. ¿. 4.¡. l'vlw•:-. m y r módulo 9? ¿Qué tan grande es r? 3.y. Sean a. hay dm. b. Muestre que esto implica que q = 3. donde q y r son primos. . 3 y 5.. . en el polinomio e iguale a O (pues se trata de una raíz). Suponga que súlo hay uu número finito p 1 . a. :l = . 2:H·ll :IK7·1Ci. Considere los número:-.randes como se quiera..b). la espresi<'iu qtw HP poli!' a.tre que la expansión dPcimal de :r no puede ser periódica pues bloque:-.l. 5 = 32 -3.. tiPHC n y diga.. d. DIVISIBILIDAD !J{j mostraremos 1111 ejemplo.. 6... (n + 1)! + 4. .. a.¡ 2 . que tienen el mismo residuo. A n1da uuo d1• eso:-> y ns<'H'id1• la r--ada ((1 1 .. y b = r/i' ·p~ 2 (a. a+ g. Ahora multiplique los dos lados de la igualdad por sn.¡. a+ f. . 2 ~' .l). J.(n + 10. 13. 8. lH..1. "~ O ú 1 y (J.. Sea :e = 23741. . 1 ~------- - . 804.lllo A 1' 1J es l'l'd. '11. Un pnnt. /] Pst<í. 6. l'PSJH~d.o fijo !' qw· dista lo mismo de l que d1) l 1 .Cuántos enteros positivos dividen a 20! (20! = 1 · 2 · :~ · . entoncf'. ¿ Quó lugar g!)Olllétrico descri bun los ¡mutos A/ que son proyección de P Robre A B. rcHpectivameute.Hn-H + :3 1" 1 ~) eH u u nníltiplo ctP :1. Demuestre que si dos fracciones son irreducibles (simplificada. 111 <'s un puut. y que tengan exactamente tres divisores positivos.. !'l mínwro (n3 - 7.ivo n) ( . Pruebe que para ninguno de tales puntos M son ignales las áreas del triángulo BPM.em posit.. Compruebe que dicho número eH un cuadrado perfecto.ivamente y SP = l. DmnuC'Rt. Ver. donde A esb1 Pn l. m y n l'll P. en 11 y d ¡\ ll!!.2/w(cos(:íngulo eutn• h y 1')). respectivamente.íngulo AlJC"! donde la hipotenusa es BC. m y n concurren en el punto S y un plauo perpendicular a m. b y e es: ~~~ = h2 + ~·~ ·. C()Jtsidl)l'f! 1m triángulo n~d. 2. Q y R. B y C.. Dem11estrn q11n para. J 1 3. entonces ambas fracciones tienen el mismo denominador. (a) 'fi'es rectas en despacio l. Suponga que los ¡tn.e (i() e CAPÍTUUJ !í.~ulos AS B y B SOII de 45 gradoR . calcule los lados dd tri:íngulo PQ R (recuerde qw~ la ley df~ los cosenos Pll un tri:íugulo cuyoR lados son a. Considere dos md. novi<~mbre de l~JH7 Primma Scsi<'m Seg11nda Sesión 5.o? 4.lll irn•dll('Íhh~ (simp]ÍfÍl'lld:i).\(jl\[ F'.as paralelas l y l 1 .o en DC y P y Q son las proy<~cciones de M sobre AB y AC. 8.1 es una ¡ -1 1 f'r:lt'I'ÍI. rn y n en A. Calcule el producto de todos los euteros positivos menores qúe 100. ¡. · El· 20)? .re que si n es un Pntrro positivo..s) y su suma es un entero. (h) Si un plano JH'I'JH'lHiicular a 1 ('orta a l. corta a l.Jqui!)l' eut.'l ':~1t2~..Jalapa.Y que el ángulo ABC: Ps redo. del triángulo MQC y del rectángulo l. Calculn nl ángulo ASC. cua. se . OLTI\IfPIADAS NM 'lONA U•:S (i] PRIMERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS . m.. .¡ l11gm gPotHNrico de lm: iflt. 4.... ¡. + '2h si y 3.c~riormm1te y de radios distintos.} y la smwl dP los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B.m -l. d máximo comün divisor de a 2 -·r b2 ...e distintos. pnu~hP que 6. . a~.ers<~I'I'Í<lll<~s de la¡.nt.onjnnt.a.. blancas y cinco negra. pruebe que 19 divide a lla sólo si 19 divide a 18a + 5b.<. hised.o {1.rin~s de los triángulos illJC.. . Calcule d área dn dicho triángulo en términos de los radios de la. Si :1 y n SOl! subconjnnt. 'S 11-H 'S H't Si a y h smt enteros posit ivm: primos relativos y n es un entero. Si a y b son enteros positivu:>.<! 2.ftlns qun 1 :S a.os ajPIIOS dd c·.'l circunferencias. .as formas sn pll!~dnll ac·omodar cm lfuea recta :·Üd<~ p<~lot. de tal forma q\1(~ no estén dos pelotas negras junta. 1 . l. t. sus tangentes comunes forman un triángulo. Considere dos puntos fijos By C de um1 circunferencia C. o. 7. .e ()2 e CAPÍTULO iJ.. .2..De cuántas formas se pueden escoger oeho enteros a. Considere dos circunferencias tangentes ext.nab y a+ b divide a n + 2. OLIJ\1PIADAS NACIONALES G:3 SEGUNDA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Segunda Sesión Hermosillo. 1 'S n~ 'S . Son. cuando A es un punto que recorre C.-. Encuentre .H no necesarimmmt.Dn c:uá. pruebe qnc~ d número de elementos de A y también deBes menor que~8.. noviembre de 191:\8 Priuwra Sesi<'m á. Cak\11(~ d volumen de un octaedro que circunscribe a una esfera de rarl io uno. C:1 y C 1 son los vértices de un n•ct <Íil!!. Demttestr!' que los centros de C. h2 sea mt'tlt. Hall<~ las longitudes de los lados BC y AG. novi<~mhm d<~ 1!JK!l I'rim<'ra Sesi(m l.iplo de a.ís J><'qnmlo n tal que si su expansión decimal c~s n = amam-t···a 2 11 1a. Pnwhe que no existe un mímPro entero positivo de Hl8!) cifra.s d<) la Figura 5. las medianas por A y por B son perpendiculares entre sí y el área AS 18. l'w'. t•. ¡.¡. 6 pero b no sea múltiplo de a" 6.'i qtw tPnga al menos tres de ellas iguales a 5 y tal que la suma de todas sus cifras sm igual al producto de las mismas. 3 y.Uio. a.e (j4 e CAPÍTULO ti.e a cada uno de los círculos C. B ·it? . (! 2. Sean C' 1 y C 2 dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo d<' rndio 2. C 1 . a. Consi(kre un triángulo AIJC: en el que la longitud AIJ <~s 5. Sigui<mdo las lírwa. Encuentre dos números enteros positivos a y b tales que. 5. 0 y sir es d número cuya expansión decimal <~s ·r = u¡ ao(/. a:1 sea múltiplo de b2 ..mam-· ¡ . 5 sea múltiplo de b4 . <~ut.cuántos caminos hay para ir dd punt.onces r PS ni doble de n.ang<~nt. OLIMPIADAS NACIONALES 65 Sq!. b4 sea múltiplo de a.l e:l 1111 drntlo dPntro <h~ e t. S<'.w <'1 <~nt<~ro positivo tll. Sea C1 un círculo dentro de C tangente a C. IH'ro 110 hacia arriba? A 3.unteut. 'l.20.1.o A a 1 punto IJ q U<) JIO pas<'ll dos veces por d mismo ¡mnto y que sr'1lo avalle<'ll ltaria abajo y hacia los lados. C 1 y C'.llllria Sesiún TERCERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS MdPp<·c. ( ' 1 y e~.. \ngulo con . Tornando en cuenta los puntos que hay en una ficha.. t. demuestre que hay tres de Pilos con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las IIH·<Ii:tnas .o A a la línea l <m la n•d dt) la Figura 5.n~ (n 1) 2 para todo <'lli<•Jo . Sea l línea que pase por B y CJIW cortP al lado AC en un punto E.ugulo). OUMPIADAS NACIONALES Segunda Sesión CUARTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Guanajuato. Si 1 denotad circuncentro clt•l 1ri:íltgulo 11J•:lf (punto ck int.arnhi(m 1 ic•w• coonlc•n:ulns c•ni. si en uu camino sólo <~Htá pPrrnit. ¿Cuál es la suma ck todos c~stos mímeros? l.alcs qtw cada trPll de ellos no son colinealm. l. a cada ficha le corr<'Hpondc un número racional menor o igual que uno. noviembre de 1990 Primera Sesión 4.p y J1JJ(' so11 s<~llwjalltcs..ri. en AB.6() 67 CAPÍTULO 5.. r 1 y 1·¿. Erww~utw ni total de caminos q1w hay d<)l punt. n1:dqnic~r A 2. . Llamemos r.<).í.' 1'2.íugnlos . G el punto medio de CB y H el pié de In altura de C.tngulo recto PJJ IJ y sm JI el punto de intersección del lado AC y la altura por lJ. St)<llt F d punto medio de EC.)JI dt) las IIH'diat.le• 1111 l. Pnwhc qw~ n" 71 e': 2.er·s<'<Tit. Pw HUJI 19 puntos del plano <"011 coordenadas enteras. y lf FJ('.iOJH' a r. 1 ·- 1 <'S diviHihlc <~nt.JII.1 !JC. . 3.ido ir hacia la izc ptierc la. Eucii<~Ht.re 1111a ig11aldad <¡111~ rdaC". l. pnwlH• qw) los t ri.Pnts.2.rin•s de los JadoH).rü\ngulo rect. 5. r 1 y r¿ a los radios de las circunferencias inscritas Pll los tri. rf)HJH'c·.tivmJH'. Si r. ¡j n Il.íngulos ](. en el triágulo ABC. 6. Sea AI3C un triángulo rectángulo c:on ángulo recto en C. St~a ALJC 1111 t.. Considere las 27 fichas de dominó que quedan quitando la blancablanca. Gto. (2) Si lo:-.n: (i) de :3 en 3.\('y /J /) s<' ''"1"1 a u f(¡rmando áugulo n•do.. = :~ y G. R y S los ¡mnt. ¡_Cwí. quedan 5 soldados en la última fila. por ejemplo :f. DelltW~st n· <¡11<) '/' 1Í<)JI<' :1 lo llt:ís 11 t. . tnl cuadrado 2. <¡ll!~dan a soldados en la última fila y. y{)¡j Í<~!)S (~11 COIIJi'tll. noviembre de 19!)1 Primera Sesión l. Calcule la suma de todas las fraccionPs positivas irreduciblPs (simplificada.-. N.if. Y y Z la.. 11'.angnllt. quedan 2 soldados en la última fila. N. (ii) de 4 en 4. Pnwhn quP todos los puntos !vf.<.ivos cuya Sltllla d<' cuadrados l'i()i\ llll cuadrado JH'rl'P<·to. Y . R.ivos cous<'<"Uf. 4. se lee de la misma manera al de¡u·ho al n•v(~. (iii) de 5 en 5. soldados se f(mna. 3. al cptn !'ada 1111a dP ella.tisfanm ( 1) y lfltr' (2).. Mor. X. SP<Ul M.'! IJJaw~ra (1>) 1•:11<'11<'111 r<' 1111 <'. 6.Y Z est<íll sohn• una mis111a citTilllferencia. ()/> t. BD. Sean IV. Una compañía de n soldados es tal que ( 1) n es un número capicúa (es decir. <'anica.n~ q11n hay 11na infinidad dn números n que sa. Se t iPnen cuatro canica~> de radio 11110 colocada~> <)11 d <!Spa!'io de• t..l <'S <'1 radio dP la menor Psf(•m <1'1<) cont. . (a) Pn wh<) <pw l<t suma d<) los cuadrados de m enteros consecutivos no pw·d<' s<)r tllt nmdrado para m.! + 4 ~ = 5 2 .ras :~.<. (a) ¡_Cml. En 1111 polígono de~ n lados (r1 2': .i<'lltplo d<) JI 111-tlll!'l"os po:. OLJMPTADAS NACIONALES ()H 69 Sq!. rcsp<)ctivanwnte. ( h) DPIIIIIPSt.l es el mínimo número n tal que se satisfacen (1) y (2)? . respectivamente.os nwdios dP los s<~gmentos AU.P a las ot..) rmmores que uno cuyo denominador es 1991. 5.rÍ<ÍIIgltlos.e e CAPÍTULO 5. ( ~onsid<•rp un cuadri]¡íf<'r<l conwxo ABC D en el que las diagonales .-. CD y AD. N. :11J. La suma d<) los cuadrados <h~ dos míuwros consm:utivoR JlllC)den sPr perfeclo. proyeecio11cs de los puntos Jvf.imtP a la:-. R y S sobre las rectas DC. X. por ()_jmnplo 12!121 <'l !"!2:\:120).J) sn c:onsidera una familia T de trilíngul(¡s fonnados con los v{)Jtic<'S dd polígono con la propiedad de q1w cada dos tri:íugulos de la familia cmuplcm IIWl de las siguientes dos ('! >11! iÍCÍOIH'S: (:1) 11<> 1 i<'ll<'ll ( !J) j Í<~IH'll 2 v<'·rf i('(•s c•n <'<lllli'III.UIH 1il S<~sión QUINTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Oaxtepec.'. i\Jl y BC. Pruebe que l\1 E es bisectriz dd :íngulo AM B. cntoncf's <'1 tetraedro OXY Z tiene sus cuatro caras iguales.írm dd hPx.o uwdio de~ C: J) y !'vi la lJJ con la diagonal 11C.ínguh :-.o nwdio de BC.ngulo tal que ABE sea un triángulo i:-.rca es menor o igual que ¡~ dd 4. 1111 t. 1 In tdnwdro ()f'(Jil I'S tal qtw los ángulos T'O(J.wstw qw~ si X.-.os d<'ulro o sobre lliJ lwxágono regular y prw~IH• qtH~ tn~s df~ dios fonnau . fi.i.. octuhre dP. C:ousid(•n• si PI<' puut. 3v'5.tPru ALJ'JJM en funcióu de a. b.¡•n:ir'm <h~ . !Vhwstw que 100 clividr~ al+ 11 11 -t-111 111 + . SPa 71 tm tll'ntH•ro primo. e. z números reales positivos tah~s que x +y+ z = 3. pmPhP que() < 8 ::.r~r:-. (h) S<~a E 1111 punt. t¡.¡ + J2y + 3 + y"2Z+:I. (:1) Pruebe que DA1 pa~a por el punt.e 70 e 71 CAPÍTULO 5.. mH:uentre toda.a11 1 . +1111111111 11111 11111 5. QR y /ll'. a.-.o exf<'rior al n•ct:í.. Z son los puntos medios de PQ. Sr•:t il !JC:D un rect.. OLIMPIADAS NACIONALES Sr·¡•_illtda :-1<•:-. h.-:·¡--·. d ::.\gono. cuartda~ (a. (e) Caklllr• d área del cuadril:í. Y. Sr•au .úsccles y n·ct.·nt SEXTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS La Trinidad.ri<lugulo cuya . int.¡ punt.. 2. sn¡Hmganws que lJC = BE = a.íngulo <~11 g Adetwb. la.1992 Primera Sesión l. b.\. Tlmc./)(' s<~a IIIIÍJt ip]o d<• 7'· 1 :1.r. Si S . d) listiut as con a.. r-.¡'2-. l\I..1 tales que ad.. r· y d <~nteros y O ::. p. POR y (J()I? sott n·dos. para O < k < n.íngulos que sn ptwdc~u formar con los 1000 puntos antc~rion~s. Sea O el punto medio de JJC y serm E' y D' los puntos de intersección de O E y O D con D B y FX'. Calcule el área del cuadrilátero DED'E' en fmrci<'n1 dt~ los lados del triángulo ABC. C'onsidPn• Psos puntos junto con los vértices del pentágono. flay . O) y . las circuufi•rew:ias se int<~rsect . se tienen tres cuerdas que sirven como di<ímetros de t.f(n.1) + f (11 1.f(n. 1..n1 por pawjas <!U otros tres puntos.\I'(!H IIHHIO!' O ip. rPsp(~<·tivam(~lll. sin mnt ar aqudlns de• )¡¡ fornw f(u. 1993).f(n. 11) ~ 1.5. 6.C'wíntns c. Dentro de un pentágono (k área 1993 se encuentran 995 puntos.T(:r + 1)(:r: + 2} (:r + :~) + 1 y p un mírnf'ro impar.11ai lt llllO.1. 2. noviembre de 1993 Prilllt'ra SPsióu l. se define: (i) . Encuentre los mí meros del lOO al 999 tales que la suma di' los e u l>os dfgitos SPH Ígua] al lllÍ!Tlero. Sc~an f(:r) = . Sea AIJC un triángulo rectángulo en A. OLIMPIADAS NACIUNALL<J8 73 Segunda Sesión SÉPTIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS A<:apulco. Por 1111 punto () de una circunferencia. Pruebe <JIH' cxistP 1111 ''llf. i.íngulo los triángulos rectángulos isósceles AEC y ADU con hipotermsas AC y AB. Para cualquier mímero entero n ~ O. . O) 1 y .:) •· f (11 -. n)? 5. Gro. Además del punto común (). respectivamente. ¡Jp SIIS 3. k . k).ws cin:unfmen!'ias. Se construyen PXt<'rioruwnt<• a t•stP tri.m-o n tal qw~ JI dividn a }'(11) si y scílo si existe un entero m tal que JI divid<• a m 2 .e 72 e CAPÍTULO 5. ( i i) f (11.ílculos se tic•rwn que hacer para encontrar f(3991. DelliiWst n• q1w tales puntos son colim~ales. Mm~strP <¡llf' d<• t od< 1s los tri.<~. 4.¡j III!'II!JS 11110 dP . 9. 7. después los siguientes tres impares (5.. Una vez leídas éstas. 9). 16.S de~ Ja forma (b). 4. que se pueden formar con los vértices A. 5. 3. Muestre que AF divide en dos ángulos iguales al ángulo DAB. 2. Considere un paralelogramo ABCD (con AB paralela a CD y BC paralela a DA).IIH. 17. Los doce números de un reloj Hn desprendieron y al colocarlos nue-. de manera que BE = BC (y con B entre A y E). Sea formas: e un cuadrícula de 10 X 10.. B. varrwnt<-\ se comctif~ron algunos nrrores.. luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó y a¡. 7. alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero. luego los siguientes dos pares (2. D<~llliH'HI n• qttn: (i) no SP pue~de cubrir completamente con 25 piezas de In forma (a). Encuentra el (. Considere piezas de las siguientes c:BJdblllll a b e doudo Pll e•¡. éstAs se leen en orden normal. (ii) C !lO se JIIH'de• cu!Jrir COill¡>lda!llPllte CO!l 2fi pÍt~:l. 2.. C y D. noviembre de 1994· Primera Sesión l. Demuestre que en la nueva colocación hay un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se obtiene un resultado mayor o igual a 21.'> las páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes. Demuestre que no importa que <:uadrilM. 4).¡tnH pi<!:I. Un matemático caprichoso escribe un libro que tiene páginas de la 2 a la 400 y q1w ekbe se~r leído de la siguiente manera: Primero deberán leerse todas las páginas cuyo número no sea primo relativo con 400 (por suerte. (iii) C llO SP JllH~dP cubrir completamente COil 25 pieza¡. Por E. 6. Este proceso (tomar el último número de las qm~ uo se han leído y leer la. La colección infinita de mímeros 1.. ésta sn encontrará nn un punto F con la línea que pasa por C y es perpendicular a la diagonal BD.. se ha formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar (1).. ¡.Jal. e . páginas cuyo número no sea primo relativo con él y que no se hayan leído antes) continúa hasta terminar de leer <~!libro. trace una perpendicular a la línea AB. 4. 10.e 74 e CAPÍTULO 5.. 14. OLIMPIADAS NACIONALES 75 Segunda Sesi<'m OCTAVA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Guadalajara.tcro couw~xo (cada uno de sus ángulos es menor que 180") y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos . 12. Sea A 13C D 1111 cuadrihl. de menor a mayor). sobre la prolongación del lado AB encuentre un punto E. .{~rmino de la secuencia rm'JS cercano a 1994. c:uda cuudrado <'H el<~ 1 x l. que no se han leído (en este caso 399) y entonces se leen toda. .ii.-.¡ de la forma (e).nro convexo se tome.Cuál es <~1 rnírnero de la última página que se debe leer? 5. se toma el último ntínwro de la.í sucmivamente. Cou::.P lm..irea(ABCDE) < área(ABC) < ~área(ABCDE).n. llllo por el otro.. Alguimt observa q1w H<! dinrou 1020 aprdon<•s dn manos ¡. a los ladPs y <!11 diagonal) y sólo a {!st. Col. BCD.Y 1. .1DCDE 1111 puut¡ígouo couv(~xo dP manera que los triángulos !llJC. 3.e 76 e CAPÍTULO 5.-+-+ '• •: • •••• •• 1 . de acuerdo a las siguientes operaciones: La operación (a) cambia lm. 5. 3.oii. .. . 1 . C y D vértices con::. noviembre de 1995 Primera Sesión l. Determine n¡. S('a N la intersecci6n de AC y flD. . La operación (e) cambia. Muestre que al menos tws d<~ los puntos forman un triángulo cquilá. '• . Sean A.tnro de lado l. .fíu junto a <d (adel:mt. 1 . 2.Cuántos concursantes hay? 2.. En una Olimpiada de Matemáticas los concursanteB están ocupando todos los asientos de un salón rectangular dond. de manera que B tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de B sea un cuadrado perfecto. G. DEA y EAB son todos de igual área..ro y ra<ho CB. Solm~ los <'lladmdos d(~ 1111a <:Hadrlcula do 4 por 4 se colocau símbolos O . d\~ los que se pw~de partir para que con un número fiuito ele opnraciones se pueda llegar a un arreglo de puros símbolos O. Demuestre que i. asientos Pst:1n alin<~ados <~11 lilas y colurnua. at. de dos lila..r:ís.idere 6 puntos eu d plano con la propi<~dad d<~ qw~ 1-\ d<~ las distancias entre ellos son iguales a. . y eu cada lila hay tmb de dos asientos.es estwcha la 111ano ele los concnrsant. . l.s de tal manera que hay u¡¡í¡. los símbolos de todos los demento::.ono n~gnlar.Y AM las tangentes desde A a la circunfnrencia de C<mt. estos símbolos se cambian.. cada uno de los c:oncursant. (a) Encuentre un subconjunto B del conjunto A= {1. OLIMPIADAS NJ\CTONJ\ LF. 1 . Al inicio del examen un profesor les sugiere q1w ¡. df~ una diagonal (líneas puntnadas en la figura).t. B.. Dmuunstn~ qnP los puntos L. 40}. símbolos de todos los <'bJI(~utos dP uu reugl6n. S<'n . . e 4. !\I y N iiOil colinnalns.ncntivos de uu hepbíp... La opemcíóu (b) cambia los símbolos de todos los dPnHmtos de una columna.s 77 Segunda Sesión NOVENA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Colima.. (b) Demuestre que no se puede obtener un subconjunto de A de 27 dementas con la característica mencionada en (a).íh~s :-~ou los arreglo::. . CDE.e deseen suerte dándose la mano. snau AL .· ·. .-.ns qno e¡. . con 18 rectángulos de 2cm.<>illa dd mismo número). Dcnmest. de tal manera que cada una de hu. OLIJ\. nut. Las fichas y las casilla..n numeradas del 1 al 64 en orden consecutivo (cada ficha está en la ca.e 7~ CAPÍTULO. x 5cm. de tal manera que cada una dP )m.illa. Sea 8 la intersección de la recta que pasa por A y P con el segmento BC y sea F la iut. Cada vez que una ficha comparte ca. ¿En dónde P$t.. la ficha #2 se desplaza dos casillas.<.. PQ y QD son toda.C. () () crn.onces ABC D es un paralelogramo.c. P y Q son puntos del segmento B D para los cuales la. entonces E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y CD."' iguales). Yuc.. que forman la cuadrícula y qtw erst1ln Pll ni interior de la misma pase por uno de los rectángulos. noviembre de Hl9(i Primera Sesión l. en forma circular (en el mismo sentido de la nunwradón).rn t. e 70 !pi!~ linlll<lll la cnadrícub y ([lW (•st. x () cm. Bordeando una mesa circular hay dibujadas 64 casillas y en cada una hay una ficha. Demuestre lo siguiente: (i) si ABCD es un paralelogramo. de longitud 6 cm. x lcm. como sigue: la ficha #1 se desplaza una. etcétera...t~fH(1(:c:i6n dn la recta que pasa por A y q cou ni !·u~glllmlt.' DÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Mórida. la ficha #3 se desplaza 3 casillas. ocupar la misma posición. rectas d!~ !í cm.. Cada minuto todas las fichas se desplazan simultáneamente. En la part!) central de la mesa hay 1996 focos apagados. Demuestre que no es posible cubrir la cuadrícula de 6em. (ii) si E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y C: [). .. ca.1PIADAS NAC:JONALf<:.ambih1 que sí es posible cubrir una cuadrícula de 6cm.<>illa con la ficha #1.\n eu el interior de la misma pase por d u•Htro de por los menos 11110 dP los recUíBgulos.'l longitudes BP.o DC.~. x 1em. 2.ará la fieha #len el primer momento en que ya todos los focos estén prendidos? 3. Sea ABC D un cuadrilátero y sean P y Q los puntos de trisección de la diagonal B D (es decir. P$tá. se prende uno de los focos (se prenden tantos focos corno fichas estén compartiendo la posición de la ficha # 1 en f\Sfl momento). pudiendo varias ficha. recta... con 15 rectángulos de 2cm. LoH punt.os 8 múltiplos sean todos distintos entre sí? 5.ia dn t. En la.e e 80 CAPÍTULO 5. B' y C' Hon colirwa!es. OLIMPIADAS NACTONATBS Hl Segunda Sesi<ín B' A 4.¡ el .nd de AB P.íngulo !IC" lJ <~s igual a <HI". !J' y C' son tal<'s que A!l' <'S p<!I'JH'Jalicular a //( '. En una cuadrícula de n x n se e.o S!!a hacia la derecha () hacia abajo... Adem¡\. m la uumor L( U) (también de entre todos los caminos en una cuadrfcula fi.c~ner d(~ ont...r a 11 JJ.n~ Lodos los caminos G en una cuadrícula fija de tamaiío n x n y sea.S menor que la de BC y la de BC es menor qtw la el<' 11< . (i) Sea M la mayor L(C) que se puede! obt. v l11 lon. qun en ca< lit .atttalto 11 x n). Prw~b!' qun k! ~ ·m ns 1111 e: u ho p<~rfPdo. sin repetir los números) de tal manera que la. Si e (~S 1111 ('HIIIÍIIO. figura se muestra un triángulo acutángulo AIJC nu ••1 qw' la lougit..<. y la longitud de CC' ~~s igual a la de AB.unill() C. PI moviminnt.'l 8 sumas de los mínwros quP quedan en cada fila y <m cada columna sean múltiplos de n. IJB' es pnrpeuclicular a ¡\( '. y qtw (~st. de izquierda a derecha y de arriba a ahajo.a d c:..(< ') 1!J!)(i. . dmwtamos por L(C) a la smna de los uümeros por los c¡ue pa:-. . de tal manera.. enteros n ? 2 se pueden acomodar los míuH'ros del l al 16 en los cuadros de una cuadrícula de 4 x 4 (un número en cada cuadro.Para quP.gitud de AA' PS igual a la de BC. D<'nlliPstn~ q1w B - A'. . CC' es pnrpeudicula.'.<lcriben los mírneros del 1 al n 2 Pll <'1 orden habitual. e 6. (ii) Pnu!h<! qtw Pll ninguna cuadrícula ltay 1111 cmt1Í11o tal qun /. y In longitud de I3 B' es igual a la de AC.oH A'. A . como ejelllplo s<~ ilustra !!S C:l\80 n = 3: 1 2 4 5 7 8 3 e 6J nJ Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de tlll cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el n 2 .. En 1111 1rilíllglllo AIJC. + . < a".e e H2 CAPÍTULO 5. <~utre el iÍrm 6.. . AP' y RQ.. (i) Pruebe que es posible colocarlos de lllllllera que los mínwros que aparecen en cuadrados que comparten un lado tengan una diferencia. .. Pnwb<~ fl'lC elntímero 1 se Jl1J(~de escribir de una infinidad de maneras distintas l'll la forma: 1 ~" + . OLIMPIADAS NACJONALL~S ~3 Segunda Sesión UNDÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Monterrey...PrHn<:ci(m de AJ' con BQ. 2. Calcule el cociente del área del triángulo PQ R del triángulo ABC..luuuwra que los mínwros que aparecen en cuadros que comparten un lado tonga. J( AR punto dn int:<~rHPcciún d" las recta.o AC y R en el segmento BA.. . t d Ut Un . sean p y P' puntos sobre d SPglll<'lll. 4.. menor o igual a 4.l + .a. (ii) Pruebe que no {)8 posible colocarlos de t.o f3C. Q y R puntos sobre Jos lados de un triángulo ABC con P <~ti d :-. Demuestre que los puntos T'. a 1 .J con R. de tal lllill!P!'a <(IH~ :-. e LJ ( '' = (~''A' y CA' = A' B'.n difcrmu:ia uwnor ·o igual a 3.L. y C' <~s la int. G d cnnt. an son enteros positivos y 5 < a¡ < a2 < .. Sen. G y K son colinmde:·L e 3. ¿Cuál es el mínimo mínwro de plauos determinados por 6 puntos en el espacio si no hay 3 alüwados y uo están los G en un mismo plano? 5. 3 puntos no alineados en el espacio. al único plano que los couti<~llt' le llamamos plano determinado por los puntos. N....o nr:.tueut. Encuentre todos los números primos positivos p tales que 8p 4 .<. (j Pll el segmento A y R sobre el AB de forma que: ~~~ = ~{: = ~ = ]{!. noviembre de 1997 Primera Sesión l.<'gltu•nt.i A' es la intersección de f3(.. B' es la intersección de 1\J' con (.'R.3003 también sea un primo positivo. entonces AB' = B'C'. Sean P.roide del triángulo ABC y sea. q en d seg. En una cuadrícula de 4 x 4 se van a colocar los mírneros enteros del 1 al 16 (uno en cada casilla). donde n. Dado::..L. 4.. Qro. La parnlda a AB por q corta a BC <!ll J. 2.t. 5. Sesión DUODÉCIMA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Qunrétaro. dd :íJJ)!.imnplo.¡l. Dmrmestw !Jil!! hay al lll!!llos sil'!<• t ri:í. 6._ + . Un uúnu:~ro es SlWrtudo si al sunuu· los c1tadrados de sus c·ifras y n~JH~tir nsta opentción suficientes veces obtenemos d mímPro l.2. de cero que pueden repetirse. 1!.Jilr•H C"ll_yos vhtin•s :ion vhtic!~s dd ocf.e 84 e CAPÍTULO 5. l. EucuPutn• nna infinidad de parejas de enteros consecutivo:-. noviembre de Hl!JH Primera Sesión l. + .. Eucueutre tu dos los enteros que se escriben como 1. S0.. jnstifiqm~ su rnspueRta. 3.. Dos rayo..angPut. doudn ambos JJlÍIIteros sean suertudos. sea T el punto doudP la his<~d.n¡•. AB yAC las tangentes dnsde A.unda. a¡¡ son <líp. l'or <'..itos distintOf..udo.()Jo si J3C'2 = AC · CQ.gollo y SllS t...c~ al c•u /' cpw corte a m en puntos Q y R. Describa la figura geomNrica q11e forman los pllntos '/'. Cada uno de los lados y las diagonaks de 1111 octágono n~p. Sean By C dos puntos de una circunferencia.rR cnda circuuli·n~JI(:in <: t. Pn. Uu plauo en el <~spado es equidistante a un conjunto de puntos si la distanciad(' cada punto al plano Ps la miHJJHl.ielo a AC si y ¡.lllo QPR corta a C.100 !~S suert. Demuestre cpw 1'.1 Ps par. ya que 1900 -+ g2 -1 ()g -• 100 --.lllar si' Jlintan de rojo o de m~gro. H«'ll /' 1111 punto en l. ¿Cuál es el mayor número de pla11oH equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano? ..~ l y m parten de un mismo punto fi~t·ntando un :ín¡~11lo n.n·s Indos son cid ttJÍSJtlo r-olor.ri:r. . a¡ a2 ag donde a 1 . a 2 .a q un punto del segmento AC y P la intersección de BQ con In cin:unfr•Jnlcin. OLIMPIADAS NACIONALES 85 Sep.l. . + . .¡ llll polfgono ortogonal pu<·dc cuLrirse cou rectángulos de 2 x 1 (sin qtw {•si.<> bisectrices exteriores d<! los .<.e traslapen). con la condición fh~ qtw todas las fichas tengan el mismo color hacia arriba." la fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.CwH jugador ¡med<! asegurar qw· ganará. SPan /J. M y N l()s puntos de intersección de B F con CE. con la condición de que toda. :J45. Oax.: D y A E con 13 V.lmces al rrwnos uno de sus lados tiene longitud par.iva. Sobre una mesa hay 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuál de sus dos lados está hacia arriba). Uu polígono He dice que es ortogonal sí todos sus lados tienen longit. Las bisectrices exterior<!S d<! los . 6. Eu una cu.'J) ~~s tlll trapPcio con AIJ paralelo a CD. 5. o que existe al menos 1111 punto marcado que sn <~IICIW!ltra H mm distancia de ~ de una orilla de la cuadrícula. Demuestre que la longitud de J'(¿ ('S igwd ... lo' y F los puntos medios de AJ'.an nn P.s y cada dos lados consncutivos son perpondiculams.¡ la mitad del perímetro del trapecio ABCD. Dos personas juegan alternadamente. Gana el que toma la ült. 999 primos en progresión aritm0tica todos ellos menores que 12.numte y L. A F con C. 4. El lado de cada cuadrito mide l. OLIMPIADAS NACIONALES 87 Segunda Sesión DÉCIMA TERCERA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS Oaxaca. EM y F N <'OIJctuwn. (i) Muestre que el área del hexágono DN ELFM es igual a.os ¡.wlPs (•utl~ra.ima ficha. Considere un punto P en el interior del triángulo ABC. Cada persona en Hn turno hace una el<• las siguientes cosas: (i) Retira un número cualquiera de fichas. noviembre de 1999 Primera Sesión l...tre que no existen 1.¡drícula <k 8 x 8 se han escogido arbitrariamente 10 <·uadril os . D<~Imwstw que existen al menos dos puntos marcados que están sPparados por una distancia menor o igual que v'2. cnt. I'<!Spect.íngulos B y r He intnrsPct. DellllH'sl n· IJIH' .ÍJlgnlos A y D se intersectan en Q.v SP ha u marcado los C('ntros de éstos. (ii) Muestre que DL. (ii) Voltea un número cualquiera de fichas.. BP y Cl'. Demue. 3.e RG e CAPÍTULO !í. ¡. La. llllll fPle<'ra parte del área del triángulo ADC. el primero en jugar o d Hegnndo? 2. illJ(. a t<'nn A si '!'''"'''""" '1"'' _. noviembre de 2000 Primera Sesión e l. S11po!¡p. 6.. e ( >111!1'111 (' e (ii) Suponga además que A y e tienen radio 2.<: a (!11 (J..Pria B (!JI /'. R y S están todos sobre una circuufPrcncia.a que A y e no se intersectan.e.<' a V <~11 R y 'Des t. tales que A es tnngmtt. eut.J(i' . los l!lll<:ros dcll al 40 (iudm. I!S t. A partir ''. si A= {2.e ~H CAPfTrTU> !í.<'lli. Cada número del triángulo ·{)xcept. Morelia.aucia entre lm.once:-. construirnos el conjunto A' poniendo todos los elementos de A y todos los enteros positivos qw~ sn pumlf:n oht.os .o los dPI primer renglón-.os que ll<!C<!sit. 13.<. 8. list.rea.¡" t'<>lllr•¡¡¡•.ang<:Jite (!XI. se (Hllle 1m A'. By V ti<mcn radio:~ y In .s la suma de los dos números arriba de él. Hünwros del 1 al 2000.augeut..<:rionnent. si e. (i) Pruebe que los puntos P.¡todo.(' PXt. del cuadrili'íf. 20}..e ext. ni tampoco By V. B os t.ener de la siguiente m¡wera: Se escogen algunos dmrH'IIfos de A.'í.eriomJ<:nl.\LF.<> positivo. Mich. SPan A.-..l:rn PQRS. luego se suman esos números con signo y el resultado. pero empezando con lo:-.\. B. ¿Cuál es d número que ocupa el vértice inferior del triángulo? 2 1 3 3 5 8 4 7 12 20 5 9 16 28 48 3. y a cada uno de eBos números se le pone el signo+ o en signo ·-. Se construye un triángulo como el de la figura.·ri~>nJH'Ill. Q. ~in repetir.an¡•.'\!1 DÉCIMA CUARTA OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMÁTICAS d<· !l' coJJst nJÍIIIOs A" d<' la ntistna manera que A' se construye a partir dr· _. y V circunferencia.<.8).' . I•:JwiJr'Jii 1'<! <'1 lllflliiJJ<> IIIÍIII<'I'<> dn <'IPiliPIII. algunos f'i<'IIH:nt.<! a A en 8.<· •·xt. Determine el .ive). e (JUMPTADA8 NA('U>N. 2.a . d<~ A' Hon 8 y 14 (pues 8 es elemento de A y 14 = 20 + 2 . Dado un conjunto de enteros positivos A. Por ejemplo. centros de A y Cm. ahlmo: /•.'i dinu•usioneR de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando.e 90 e CAPÍTULO 5. ¡·pspPctivallwHt. ¡.ivos a y /J. )Jsiblc lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color.Cuál e.v R lf p:-. Pnwbe quP los ángulos BC: F y AC D son iguales. 14. p<'rmitido efectuar la siguiente operación en el t.t lista d<~ números como sigue: El primer número es 5 y.truy<' tllJ. !JI . Para Pntero:-.1'118 81! convier·ten en ncgrns). sn con:-. a partir del segundo mínwro.. Est.'l que sea necesario. Encuentre para qub IIÜllwro:-. (Por ejemplo.n hla:/1.Y LJC.<~ner d priuu~r mímoro no primo? 5.uadrlcula tal que la8 longitudt'8 de 8'/J. e invertir los colores de los cuadritos de ese r-ectángulo (t~s decir·. S<~ tiene un tablero de n x n pintado como t. si a= 2 y b = 4. pero que no sean las dos iguales a 1 al m:i. Smn D y E los puntos medios dP AIJ . JH~I'Jli'IHlicular a nc:. (mtmwe:-. OLIMPIADAS NACIONALES Segunda Sesión 4. 11 <':-.\. no mültiplos de 5.. posit. despu<~s (~~~ habPr pfectuado la operación el nümero de vece.e. Sea ABC un triángulo en el que el ángulo B es obtuso y <~u d quP 1m punto H sobre AC tiene la propiedad de que AH = B II. cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por a y sumándole b. <~ti !".mw tiempo. los primeros tres números en la lista serían: 5.uadr'itos del rectángulo que emn negros se c.ahlnro dP a.onvicrten en blancos y los lfllt' ·m.'s('()yt"f' uu Capítulo 6 Sugerencias Olimpiadas Nacionales r·¡·¡·fányulo rn la r. .32 (pues 14 = !! · 2 + 4 y :u ·" ¡.~ lado8 8t'an amlms pm-es o ambas impares.. (Nota: La.i<·dn·z. Por H se traí':a uua paralela a AJJ que corta a 1)f•.) 6.¡ · 2 + 4).'l la máxima cantidad de primos qlH~ se p1u•d<~rr nht I'JII'r antPH dP nht. los r. t. Pruebe que b divide a d y que d divide a b. El plano l"l'tpwrido parad inciso (IJ). .radnl'ir n 1111 prohlc'lll<l de! I':JIIIIliUS. tal Hiai1PI"H qtl<' t>l ..\ugulos l y M QC sean igualf'. son diferentes.o dn In h~y dt• los cosenos).Íil~'Nt' qun t~l plattu ~~~~ d piHo y 111iro hacia la nsquina dt• la hahital'i<'lll. +h.o BC (no haga cm.íngulos A DI' y A' B' P? SEGUNDA OLIMPIADA l.. . d > O. Suponga que las fracciones del enunciado son~ y~. Factorice a 20! como producto de primos. y los denorninadon•:-. t!tt!. siete pelotas blancas en línea pero que entre dos consecutivas de ellas pone usted un espacio vacío. Tome dos pnntos A y B. :J.was de los t.. También pone usted 1111 l's¡mcio vado a la izqui1•rda dP la primera pelota y otro a la derecha <k la última. rlcduzca que entonc:Pfl TJ divid1~ 11 n + l y a n(n + 2) lo <¡11P 110 t>S posihlP pn.aH.Qu(~ ¡HIPdP dPcir d1• los t ri.c• llll'dio de AS' y q111~ contiene al St!gllH'Ht.ieuen que contar las manera en que se pueden poner las pelotas negras en los espacios vacíos. y wfi<!_Hos <"Oll n~s¡>~~•to a /' obteniendo puntos A' y B'.=t·~~±l = ~- 4. y t amhi{!Jl llllH!strc~ <JlH' rl dividP a ( n + 2)ah. Usando <pH' a y h son primos relativos.í. 111 itu' 1 5. 2. por ejemplo.n•s ('oitwicla 1'1111 la t'S<Jitina. Entonces se t. sólo una por espacio. M. En realidad el problema tiene una falla de redacción puesto que. Cnusid<!l"<! una <"lliHirknla dP H x H.amPnl. pit'I1Sf' c·n 1 rPs t ri. -.!~ t. e:.. (h) Si 110 pudo imagi11arsP la Hit.~ Cl!lldrit. lrllaJ'. Demuestre que la ünica manera de que las á. de. Dada una secuencia a 1 . T~nltlii«"I'S <'Sil' prohll'lllil S<' pu<'dn t.n~s divisores positivos son los cuadrados de los primos.oH uuís bajos dt• la priJIH'ra l'olmnna). Suponga quf! I!Xiste un primo p qtw dividP al llllliWrador y al dt•nominador.[¡. iluk tiC' gro los 11 1 cuad ritos q1w <•st.Í!~tw qtw imagiHarSt! la sil.os CJIII' <•:-. l\11wstn• qu<' G1 :.s es cuando M es el punto medio dd seg11wnt.e H2 e CAPiTULO 6.ra 1111 primo.íu nu\s abajo en la primera cohmma (por t!Jt~lllplo.uadrlll dd i11ciso (a).wtci<'>H d<~ lllall<~ra aprt•piadn.'ia por d punt. Con esto SP ohtimlP una escalera d1• <·wulritos JH'gros."i fraccimws son reducida. con by d > O. s(~(l rf d lll<ÍXÍlllO COlll\Íil divisor d<~ (}'2 + [¡'l .ín III<Ís ahajo <~u la S<~glutda colmnua..ivos.o ne... cuando suponemos que b. i. Hm·¡\ ~~1 <¡11<~ pa.ri. corno Jos indica el mmnciado. amha. . (a) Antt•s q1w nada t. B. 6. SUGERENCIAS OLIMPIADAS NACION!\LES n:~ PRIMERA OLIMPIADA l. si a 1 :l. entonces el problema sí se puede resolver.o d1! los t. l'nwi>P <¡IH! n:1 . pruebe que rl y ab son primos relativo.n es d producto de tn•s t•ntt!ros coust't'IJ!. 7. El !'ontorno superior de la esca!l'ra I'S un camino CT«'I'it'lll.íHgulo I'Pd. taml•if•n ilumine los a.l'.<. 3. Multiplique una dn las PXpresiones por un uümero de tal manera que obtenga lo mismo que la otra módulo 19.ugulos isóscP!t~s y rectángulos cuyos c:at. Muestre que los ünicos enteros positivos qne timwn exad. En <!l dibujo: 4. 2.nt. Sin embargo.nuf¡ y (1.-:: -:fl (módulo :117)..tHit:t!S illtliiÍilt' do uegro los dos euadrit.<. Suponga que p0111~ la. l'nwb<! q1w . + ~ es un PnU~ro.os midan 2 y col<'>qw~los <'11 la esquina de la habitación poniendo uno en el piso y los otros doH sohm hs pan•dps . hay qn<' saber c(nno calcnlar la.e e q¡¡ CAPÍTULO 6.uieutt•s t n•s tipo:-.~ v(T1 icPs connmes a t. 4.. Muestre que :r = K M y qw· PI triángulo /\"/11/ <~s semejante al ABC (para esto. <JII<' ·n l<~rmina ()!1 3. l\ilH'stn~ que AJN <'s panddo a/\(' y d<~duzca <pw MNRS' <'~un n~ct. por <~. 1.a pcrpmrdic1dar " AC que pa.n~ <¡11<' si O < 11 S Ji -· 1 y e <~s un entero.~ll' donde 1 :S n :S 1DD1 y n no <~s divisihk entre 11 ni entn~ P\ l. 6. nu 5. ci I!Jt. Para n•solvnr este prohlf'tll<l.IIl). es ütil notar que :-. La condit'Í(IH (iii) di('(~ O (.Prminado por lo:-. Piense en las coordenada. ( '!. Sabiendo que la razúrt <~ll qtw el C<'lltroide r. Lo~ mímeros que hay q1w ~umar son: 1· 2• ~· 1• ~· ¡¡. por lo que n empieza y termina en 5.Cz). Sume todos !m.•·nido en llll paralelogramo abarca a 4.itud de FC.r¡' (i' ().lllos aislados (sin v(•rtic<'s <'<•llllllH'S con los derná¡. . <'11 Pl 2.! :. centro:-. Corno 1991 = 11 · 181.! e:-. !'llfOllC<'S /¡c.}.i A= (a 1 .¡) l'mPh<• qw· !. 'y'mino:-.orta aJa¡. SUGER. uo ¡>lwde terminar E~ll O. coord<'llada. pero como 1~s t'<tpicúa. +'.h 2 ) y e= (c¡.. d0 x y de lo:-.¡ <'tal q111~ () :::.. .t.-.. tonw una rara del tetraedro y construya <~1 1<'tnwdro T 1 determinado por esa cara y por C. +Q . llay qw• prohnr <JIH' <'HIP nÜIIH'ro <~s congnH•nt<• n c<'ro m<'>dulo 100.ín~..ro t>sll~ra¡.a por l. nwtm p11111os <'st.l!lo JH>r lo tpw <'si":-. Est. 5.nwdro 1' df'I.ulos <·nvos vh·tices SP tornan de 4 vhticns fijos. . donde 1 S n S 1991 y n~ste los <¡IH' sobran.!.\n•a. 2.ddad (11 1)~ ¡ n 2 + (n + !)~ = Jn 2 t 2 "'' .. 1' S Ji-. L QUINTA OLIMPIADA l. .i<'llas d<~ los si¡. :t l'n whP <¡1 H' todo t ri:í. haga d nwílisis múdulo 12. 6. IF.!.. F~. 1Ir.íll)'. de los puntos P .j .e con<W<'ll las coordnnadas d•~ los v{~rti<·Ps. 1' !!:d!:f +"• ) .ENCTA.! :¡. 11-. Sea K la intersección de la recta AC con la wct....H <~11 una cin:unf<'lHJcia ('.. ()) .roid<~ dn un tri<íngnlo <'llil!Hlo :-. . (jp 2 a 1. dPI <'Pirt.<.1 i¡•. lados a. (.u.lll<'lll. Sea M d punto llledio del sc~gmeuto AL'. Para m = 6.rÍ. 2• 3• 4• ~· 6• () 11 " 2 2 2 :¿. 1.. h y e dd triáugulo ABC.<.odos. 1 ú 2 (módulo 3).tas miden 2 y d radio 1JIIHcado <~S igual a r1 + 1' donde rl PS la distancia del centro de T a 11110 d<' sus v(~rtin~H. !i.nuhiht I'Siií 1'[) e. Pruebe que la familia T se pu<'d<· descm11poner en tres subfamilias a. l'rnPIH'. ari:-. Para snlwr <'11 qu{• proporción corta C a h. '""' O. <JIH' lti:íll¡'. t.¡ <'. .-.<.a~).. 1111111111 son <'OIIgnwnt. S<~a . d otro punto d<• int<•rsPcción del circuncírculo del triángulo AEH con C:H. a 11 utúdulo 1Otl. F 1 19 "''. 2 no H' pw·de dar.Cuál cs la proporci•''u •·nt n' <'1 volunwn dn T y <'1 dP 7'1 '! e SEXTA OLIMPIADA l.! <~s 1111 diámdro ele dicho circuncírculo). B = (b 1 .. FG y ( . <jiH' IV t. entonces exi:-.. Ent.o permite calcular KI.oncPs Tes un tdra<~dro n~gnlar cuya. <mtonc<'s A. se p110dn deducir q1w :-.I.. suhfmnila dn 3 ó 4 tri. Tambit'n V<''' <¡IH' si /uf () (11J(Idlllo Ji). l'nwh•· <¡11<' d sq'. mírneros d<~ la forma 1.. 1. eutonces el centroide dd triángulo AIJC tiene coordt~nada.o /.¡' 2 2 ~' (i' :¡ :.'i la rnitad dPl .p:-.idPn~ el tet. .c una 1ínic. de las c:nat. rnidP la mitad dd PQ y. se tienen que sumar todos los números de la forma . 4' !')' ~ ()' 1. á.¡ S<'giiH'II1tJ . Con:-. .e.: l. Mucsl.\'(J l<l111hih1 ruid<~ la mitad del /'Q.= t) (l!IÚdi!IO p) <Í d '= () (llt<Ídlllo¡J). !! " 11 () Q -1. Dd. 11.ldo /'(}(.."lulo :l.ín¡~ulos COl! do.). 111..imnplo.r la lou. m<'dianas e:-. suhfantilia de tri..nrrniru~ cu:\nto ruid<· la altura h de~ T.1 y n1· = e (módulo p).ngulo lo ur:Í.). anali('(· '"~' <·asos .. Todos los rnírrH•ros 11.'i OLI!I·fPIADAS NACIONALES !17 o 1• 1 1 1 1 1 1 4. '> circunferencias que tienen como di:írrwtros OA y OB. f'll (•st. :1 1'.¡lcnlc .¡ 1·r•r <jllf' .e .¡. El pentágono se pw~d<• partir (m al rneuos tres triángulos que tienen vértices en los vértices del 1" •lfl'.onc<'s 110 Jl11<'de haber 7 o lti<Í. -~O. respectivamente. ":ti'· 7. l'vluPst.).e <)H e <'i\PÍTPLO 6. osas SIIJWJH. Strpo11ga que torna el mímero ahr..ow~e<~ JI puede ser partido en tres pequeños t. Siga agn·~·.r llllil d<· las dPSÍ)!.2 7.nrhaje mngnwncia:-> módulo 2 y '1 son primoR rdat. 1 :•.J == () · 1!l 1 () · :20.¡ 7. 1 7. ()IJ y OA..b. y :'IÍIIH~]o Cada JllÍllwro ap. DeJillH~St. Pnt. por lo <¡11<' la figura original se parte en al menos cinco triángulos.ivos !'oll JI.. los posihl<'H valon~s para e est:ribi<mdo congnwncias módulo lO. ¡Jif 1111" :·. 2. OA y OC. n~<'ll<'rde qw~ OCTAVA OLIMPIADA :l. 1:~ . 5. Entonces el triángulo OED' es rectángulo en O e is<'>scdes.-.¡. . lmagfTH'S<' r·(nno S(' V<'l'fa d arreglo ('OIT!'SJH!IIlli<•nf<' Jlilnl los IIÚIIWI'OS :.m~cor.. . ('.ri:íngulos..·~. '1'''' los tri:ÍIIJ'..ipo 11... Supo11ga quo uing1111a.o.l. E y F los puut.<'. sir·= O. y d<·s¡mós sttHH' iflda. Sirnilanw•uf.gouo. Si agregamoH <IIJ llill'Vo punto..erci&s de f!llllf.ambir~u eH isóscd<~H. 1. JI. t\IIJ(~stn~ qtw f(n) ·. y. Lo mismo ot·mTP con los . !J )....IIlo il/\1 !7 111idP !)()"(¡. FOE.\. !'IIIISÍd<•l'<' ('.v <¡11<' 1rs:~r 1:~ d<~sigu:rld:~d <·ntn· l:r nH·dia aritlll{:tica y la g<~<Hné:t.¡. ( lhs<'IV!' (y d<~llllll'C:I n•) !JII<~ <·ada Jdu<¡lH' do llt'IIIH'IIIS f.e.wrl qlH' llllO. Vamos a pow~r.ando f>IIIJfos hasta qtw compkt(• los !JD0.]. f':¡r. z r~s 111:ryor o 1()' ·1 !l. l (:~) (f. f.onco.ÍII)'.¡?) l•>:t. Ya no po!IPillos pan•j:1:-> d<'l tipo 11. Suponga q1w no hay twH puntos colineales. :1 w~ces "" la smlla total. :.¡ 23.. f( 1O.ri.. ~()11 :diJH'IldaH.ri:í.por qu{~ haHt.O y /·'('(J. 2 :!... <~llt. BCA y BOA. l\ lw~st n• que (}E PS perpendicular a AC y que DO es perpendi<·nlm )\.ngulos son iguales: DO A y lJ E A. ~ .¡ .i<•rnplo..ro d<~l peuL\..ta probar qw~ ._. Si ngn~gnruos 1111 flllllto ¡1.1Wldad<•s.EJ.¡ r:1 lr:r. ..lllos il!U\! y C:T/11 son S<'llH'jant<•s p:1rn \'''1 '1'''' [1!1! . ¡ <1.l991 y 1993. lo qtw se ne(x~sit. Suponga qtw las tn•s Cll<~rdas son OC:. •) 1. <'11 tlll arn~glo.tJ S. (h) 13m. SUC:EI?ENCIAS OUJ\11'1:11M8 NACTON. y OB y OC. stnua do un !11ÍIItoro cn11 sus V!'ciuos es nlui<'llos igual a 21.1 G.\ugulos FF. 4 ') :.P. M..2 G. s<· prw<h· <ah-nlar r•u t (:nuiuos de !oH lados del triángulo ABC.rica <jlH' die<~ <jll<' si 11.¡. :~ 1 ~}. <~III<IIW<'S .¡ 111. d<•rmwHtn~ qw· 11110 <k los mínwros :r. SÉPTIMA OLIMPIADA 1. Ci <'J 9.. n y A.¡ 1' 1 1.e caso. Muestn~ qne cada mw de lnR siguientes t.I'I'IIIÍllil <~ll llll cuadrado. la figura S<' p:nt<• "" sid<~ t. 4. donde a. f¡.¡¡:11rn d<'l tri:íngulo IJIJC. :2 .os IJ.re siguientes ángulos son todos igual<•s: J~CF.-.f...\.. eutonces O D' ta. 1 l~n carh n~ngl•'•n pmtemos lo tpw s<~ ll<'C<'sita para calcnlar d nmglóu antnrior.¡ 11:11'<'1 .l soní..: :-. 1)d lllisino modo.. lJ11a VI'Z <pH' S!' t'O]<ll':llJ Jos lll'IIIH~l'OS. 1 11 y H r·st:ín todos <'11 una misma circunferencia (¡.•· f>ll<'d<• l'lliiiJ!IOll:U IISHII!Io d '(h!l'etna de !'it.. !l.e (n(n + :1) 1 1¡:'y t. Parn In '. ¡~·.ouc:es a:¡+ h:1 es congruente a O. e (). S<~nn !J. l'duPHf n• qnP.'i . los siguil:ntt~s :\. <'1 t. la <'IIa..mhi{•n S<' JliiPdP.ngulo [)()E' t. d<~ut. Por ¡\ nali<'<' <'. 5..a?).Y . fi. o] t.riangulitos.y F. a = 10 ·.n~ qw~ los <~nt. Esto sirvr• p:rr.¡.:.. Como()¡.os de intersección de la.re qw• <'nt. ( :.:3 (i. SllllHI. colocando OC OC y OA. 1 G.\U.¡ :l.:l i. 4.¡.1. m<'Hinlo ! O. . 2.1111<'1'0 a los dos a s11 lado.. n ni d<'l t.ígonrH. ~:.por qw'• l•:~sf.V 11.a para cnk11lar l. h y r son Rus dígitos.'S !1!1 5.o11o.ngulo :ti <¡11<' ¡wrt. O. sc'>lo se ncn~sit. y observar.:í.:3)(4m.cmcia...'> OfH'ra. c'<>ll c'llildrii. diagonales JlC y 13D.r que F. Por la simdría del cuadrilútero A8F"G.lv/III punto Halen 1 distanc:iaH ignalPs a 1.. SI' NOVEN A OLIMPIADA l.'> esquina. qtw aparecen en la figura. proha. uc)gra como blanca. Cndn piei\H cubrir:\ tres cuaclritos blaucos o t.e CAPÍTULO fi. Supouga qun b eH el número de pic'ZHH blancas y n d dc) rwgra. Se est:í buscando el último llÚIIH\1'0 cpw se va a diminar. 'l'rac·c• e~] grau t riúngulo que sP forma con la. Para las de la forma (a). En gc!ueral. 5. Cada pieza cubre tanta área. 3.V F" son c•l 111ÍSII1o p1111to. F' y F" c·oitwidc•IJ.andn los saludos .. Sc•a F" e•] plllll.Cuántos cuadroH negros y cuántos hlnncos SP cubren Pn total? Para laH de! la forma (e) ilumine el cuadrado ¡•. T'rac:e la diagonal AC.w qtw alguno dc~ los ¡\ngnlos del cuadrilátero tiene que Her menor o igw1. De manera cpw. 6.ciún dd lado J\f) construya 1111 punto G.nrs(•n·ic'm de la:-. Haga lo mismo para PI otro lado. Vicmdo los múltiplos cercanos a 400 de los mímeros 23.' c~st. y los cuatro cuadrados c:<~ntra!Ps.anc:iaH igunlc~s a 1. para (ii).. -.ngnlos /11/' y IJNU so11 s<•mnjanteH. (~sta se (~IICOiltraní. ck 20 y (j el<~ 1!J. 4.l que 90". mue.¡.ida..-.a prol>ar que ¡:. 6. la línm AF" c~s la bisectriz cid :íngulo DAD.n :tlitH'ados.~ Dl~CIMA (>LIMPIADA j ·•¡ l.. do ii x ii (con cuadradm. 1:1 <·uadríc:11la. aj•~cln~"-..i 1 . cómo f11crzan las pieza.mbia. Heguro se eliminan cuando llegamos a p 2 .tlidad c•slc• prohlc~ma es v:ílido pmn <·wtlqnic•r n-... sobre· la prolonga. a los primos y a los productos simples de primos (esto es productos de primos elevados a la pot. La c:law dc~ estP problema está en probar.as fichas c·otllp:trl<!ll . la Jidm #n o<·ttp. de 2 x 2).<>.ciones ¡wrmit. 20:36 que (a. la ficha #n c·ompartin\ s11 posicic'm con la ficha #1 Pll <'1 minnto i ~i .-.v sc'llo si i 1· 1 =e (i + 1)11 (lllc'ldlllo (). EntmH·c·s. cuadrados. GF' y h'F. líneas /) H.. Dist iuguimos dos z• >ll:IH '¡. C!ll rc~.ouces que el :37 sc)lo es eliminado cuando llegamos a. rubra una Psquina del cuadrado y vea.----·-·· . 4. qw• AF es una IIIPdiana del tri. qtu~ sc~ dan se• ohtiPne la oc:uaci(m 8nrn.1.Gm JHllH'r como (-In-..u la pal'idad dd númc•ro d<' unos Pll la zona B. De aquf <kdn~:(':l qne los t ri.. G F" y /•. Los primos 11..-.~.. Sna 111 d pnnt. (el) de todos los puntos saku a lo más 2 distancias igual1~s a l.í.f- r 1 ¡ t 1 5.t 1111 )IC'pL\gono. 110 t ÍC'IH' 11:111:1 1(111' \'1'1' 1(111' Sl'.) de• algt'111 punto salen ii dist.1 que f'] snlc'lll tic•tu' n fil:ts y m hilPras.. 29 y 31.o donde• se• int. Para la. Snpong.n·:í la posil'ic'llt {i + l )n (müclnlo fi1). Muestre· qnc· simuprc! se ptwden convertir e11 cm-os todos los cuadros de la t~ona A.ablPro elc~ ajndrnr.rc•s nc~gros.o de iut. SP p11ede 2.u 1'1 tuiuuto i. Muestre que los segmentos AB y CE son paralelos y deduzca que ~área(ABD) < área(ABC) < Mea( ABD). ( 'nllHiclen~ los casos: (h) de a. Así qllc!. 2."H blancos y IIC'gros. ¡. Vea c¡ue ocurn~ con los números que nstáll apartados nxactamente dos lugares del l. c•n 1111 plllllo F' !"Oil la lhu~a ('F. S••:t 11 1'1 ptnilo c~11 la intc·rsc~c·c·ic'llt de~ /)/J v /·'( '..¡ ). ihuninc~ el cuadrado ''"'"" 1111 1nh]Pro .'> eh~ la forma (h). (a) Ponga al 1. la lil'lta H t cWII('111'1Í la posil'iúut + 1 (lllc'Hilllo (j. ('y /•.3) = 4081 = 7 · 11 ·53. c~nt. para. s:tiH\1" c·t¡:ínt. :t J':tr:t l'lll(H!ZHI'..c·rsPd.<> vecina. 13 y 17.Gn . es :mficimttc• probar qtll~ los sc•gtttentos F' II y F"/1 son iguales. (h) Analice potencias dn primos ntcídulo 2. Para. PntehP qnP la... c~sto S<' puede hacer usa11do :tlgtmos dc~ los tri:íHgulos semejantes Mw~st.ngulos IJNC: y Jl!J(7 son semc~ja11tm y que LC = BC.. Con el 400 y el ) se eliminan todos loH múltiploH de 2.()s U. y la zona B q1w compn~nde los deuuí.ngulo ADC.'ltre .. 1).-. Cont. .ígono regular. (i). (e) de~ :tlgtill (Htlll.an l:tK líuc•a¡.. La zona A que comprende la..1). para. 100 e "' ___ . Es decir. I\ltwHtre que los trüí. si no se eliminan antes.' F'.- SUGERENCTAS OLIMPIADAS NACIONALES 1() 1 dP 20 y ckduzca que ddH1 haber G stmtw-..ra nd<' como si fiH~m un t..-. 5. (~l.a!lc:ÍlL'i igtl1ll<•s a 1. F' .o sal<'ll :1 clisl. Mw~strc• qtw los punt. e:. co11 n ~~ G... 7 y 19. no ca.. J•. de\ marwra cpw J)(: = !JC: (y con 1) cmtre Jl y Por G tram \liJa pmpeudicular a la línea AD. 3.. <~s 3. El n·st '' dP <~sta porci<íll no S<~ podni cuhrir con rect.qui<'rd<l . de aq11í ohtc11ga que 12 :S: n S 15. 1.1 y 1111 camiuo para los que L(C') = m 1 {rnódnlo 26 ·-·n).tl d<·IH~JJ qncdar acomodados los lliÍJlleros 1. ('011 d•JS . IG.JIJdo r<'pnt idmfl(~!lf. se obti1~11c que Pi camino para.¡ diagonal q1w IIIW a 1 y <1 Hi.. la po::üci<Íu final dP la li!'ha # 1 <'S la ca:-ülla :32.¡ sumas que cmTcspniHI<'Il a dos f'<IIIIinos difcn~uh~s (~'l un múltiplo de n -. il. Si hay 111111 cnadrí('lil. .. (i. 5.uplf la variaiJI<• <'S n. x J en t.IU(i. !'fiJl)HIIH)'(~S 1'011 1111<1.. sohn~sal<'n hacia la parte dr~ abajo 1111 número impar dP fichas y. J'or f illlfO J .!~ <~l")'.¡ Slllll<l <'S lliii..()s /~' y F so11 O !'011 IIÍIII'. 1\ltwstn• q11P <·1 !'li<Hiril. Muestn~ qw• hay 1111 4.¡ + <¡ti<' ]. l\Iw•stn~ qw• los tri<íllgulos Aflfl' y (.ados arriba.fmetros cuadrados. dicha.. n debe ser 1111 divisor de G8 que tenga 8 múlt.üngulos df~ 2cm.llliH>IIto. 1HIIilo:. 1111 camino dP cinco pasos P111pinza en 1 y el siguiente paso fÍ<'II<' :t :1.t. eutouces 6..7.íf!•n• ¡\(jf" H <'S 1111 paralf'lop. Por !'ÍI'rf..íngnlo /'i1/'' e.n• las cl"s Sllllla.<~n.. l'llfoncPs nl siguiPntP paso tiPrw a lo más al().í¡.\' lf) <kJH'II <fll!'dill' 1'11 f'S<JIIiii<IS OJiliPSI.a qw~ figura.v dPSJHI(•s s<' avm11. f'S<' camino d••h<· f.IIÍf'llff• fi<'llf' il lo III:Ís ¡¡J 12 y PI sigiiÍ<'IIf<• fil'lll' a lo lli<ÍS al].iS. ('y />.. adcm.\ ¡ -. 111 1 (n ¡ )'1· .IIII<I pan-ja d<• JlllllfOS <iPJ l'Oitjllllf.a la (~Sqllina HIIJ)('rior d1·n·d1a y <kspu(~s S(~ baja. Con<·í•HtresP <'11 una franja d<· 2 x 6 como la ilustrada en la figma.c <•si. 1:1.v .a )a CS<JIIilla Íu((~rÍor i.o..'1. /J.C:. :l. (e) 110 ha.f'. ( :on <'Sto s<~ t. si. . ii'JIIÍ ltay qw~ ('.Vol' PH 11']11<'1 <JIIl~ prÍJlH~I'O baja Jw..¡.ni<•nlc•.1111os ll<·gar al](. (1•) 110 hay !í p1111fOH CO)IIfiii<II'I'S IH'I() J¡." propiedades.10.'-'flS 1'11 <Jill' los otros dos pll!lf. Apli<". ( :on<"{~ntn•sp Pn un cuadrado d!~ 2 x 2 como m1 al figura: Le__ l ~~ ~Ici!~=~ f<:s claro qw• cu cada cuadrado cu1uo éste..iplos <¡11<' dividan a <H"IJIIHJdo Jl<ll"<l ()H. Ohsnrv<~ los 1nínwros 1.raiiH> y <¡1H' Pl <"Ptlf. IJ<· aquí obt. FHifB p. 11 . hay que encontrar 1'1 n1'u1wm el<~ sol1tcio1H~s de In <"ongnwncia i + 1 = (i + 1)n (m<~dulo (i4). d sigiiÍPliÜ' fi<'ll(' a '" IIIIÍS al n. i 111< ·riur d<' In franja m 1 1111 lllÍIIH'l'O impar de e<~nt..w ]a¡. p1ws si por Pj<'IIIJllo.. 16.roidP dnl tri.¡J IIIÍIIH'ro d<• sohwion<•s de la <'<"llaci!Ín 4..e e 102 ( '/\ l'f'l'lTLO (i. la suma de 1111 camiuo que v:1 dn r a n r + 1 es mayor si primero bajarnos y luego carniuamos a h d<T<'di<J !JlH' si priln<'ro !'mnina111"s a la dercdw y ltwgo h. ·i. .ion<~ !JIH~ no puede ltnhnr uuís . posihl<•s p:1r<1 los dos caminos <'s ignal11 11 .¡.\' :1 11>.¡y ·1 J>llltiiiS I'IIJllail<ll!'~. MHf'stw qn<' si en esta franja se pom: un mímero impar de fichas que nnc:Pn la lín<'a horizontal centmL <'llton('es.1 puntos mplanaws..¡. es aq11d <~n d que primero se avanza hacia la d(~recha = l!.¡ o]>S<'J'V(' ). -· 1 \n( n i 1) = f"=~" --.''('. An:dic·c• los si¡•.!•s y d<~dnzca qnc Pi triüng 1do : \( "JJ' '·s r<:!'híngulo <· is(>S('(~]cs.: (:!) l~:•y . 2. <'ltf<>II\'<'S 1111 podrf.¡ 1 . Dados dos l'<lllliiHJS de cinco pasos Pula cuadrí('ula qw· 11111111 a b1s casill<~s qtiP t Í<'ll<'ll . 4.D}. J>ó!l<l qll<' Jlll!'da IISL<·d contproiJHI' su n~sp1wsta final. ohs<'rvp qtu• la dif<•n•twia ••nt. 1111 c.'i fichas invad<~ll la porción dd tablero que se ubica <'11 la Do UNDÉCIMA OLIMPIADA l.¡ d camino para <~1 •tll<' 1<~ s11111a 1•s lll<'IHJr.a liaf'ia la dcrcdut.m·:.Hi "'"' fiH = 2 · 2 · 17.st. . priiiH')'(I cl<m'lllos Hila id<~a d1~ ('ÚIIlo probar q1w 1 y i(i debPn qw·•hr <'11 <~S<JIIinas op11ostas. .-..IIIH'ro l'lilist. /\lior.1.l eu la forma i + 1 = 2"1.O {:I. Escribi<~lldo i t.<HW('S.nninfl de Ií pasos o menos dnl 1 al 1().ollsid<~rar los sltl)(':l.'!UOEHENCTA8 OLTMPIADA8 NACIONALES lo:! la posic:i(HI ('OII la ficha # 1 mt ni tninuto i (con i ~ 63). aq11f oht<'llga qnc '11 '"" 2 (i !l.1 son cougnwnt.<~Hga que la diferencia ont. 'fb1baj•• con congtllf'IH'ias 111c'>dnlo 1 1 ·1 !""1.o. En el cuadrado <il~ la lta¡. ll. aquí oht.. ))..¡¡¡... Supongamos que n 2: 2 satisfae<~ la. de las fichas que cubren el resto el<• la fra11ja.1· 11 ~ y . c·c¡pl. !'ara d inciso (i1).H. l>c~lllli<~Hfn~ !JIH~ en Psa diagou. dum!P m k I'S impar..<'IH'I' a lc1.:. Como J + 2 + t.~ III.l('ia ahajo. pnwbe q1w el mímPro de soluciones de esta ecuación es igual m :S: Hl96 S Af. Smn wsp<~d.. 2. convierta todos los cuadritos de este subcuadrado y entonces s1'tlo falta conw•rtir los cimdritoR negros de la última columna y el lÍitirno n•ngh'm. . Muestre que para n = :3 He puede. tome un conjunto A = {a. l. ~~~~ dos c11adrit os w~grm. 40. igua. convierta dos cuadrit.\nguloH SOAJ'.ivarnnntc. con -:J:::. Para n.á}. a + b.os 1u:gros. b} con a < b.B) > O. BHF. Para la segunda parte.ángulos de :3 x 1. = 4. 3.<ieriba los ángulos SPQ y QRS en términos de los . hay un cuadro negro de más que está cubierto y que tiene una orilla en ese lado o hay uno blanco de más. Todos los fingulos sig11Í<mtcs son iguales: BAH. Tome usted 1mo de los lado!'. longitudes pueden determinarse con el Teorema de Pitágoras. J)pduzca qtw Pi cuadrilátero DH F Bes cíclico. 10. Suponga ahora todos los lados tienen \ongit.. a partir del tercer rengl<'m.ivamente. Muestre cpw los tri<ill¡!.l a cuatro veces d m1mero que está exactamente sobre él. ABH.m :S: 3. Es claro que para n = 2 no se puede.ntenga a los números 1. Muestre que si hay 11110 negro de más entonce. Mucstre que a3 + a2 + a+ 1 4 1 n•spec:t. 2.e e SUGEflENCTAS OLIMPIADAS NACIONALES 107 dP t. .ros Pll dos blancos más un rectángulo de 3 x 2 cuadrit. FHC. y E.lllos ABC y LJGC son semejantes y que F es punto medio de !JC:. QOcR y RO'DS. Encuentre a y b de manera que la liAta le prilllUH. . Esto implica quc: DH es paralelo a BF.s en todos los lados hay un negro de más y 1:1 suma <h~ los tmos y los menos unos es igual a 4(N . ( 'Al'{'/'l/LO fi. 2 d<~ f> mínwroH 5. l!lfl Sllllln epi<' 6. Muestre que los elemr1ntos de A" son de la forma rw + rnb. b . Para vnr que no hay un conjunto A con dos elementos y que tenga la propiedad pedida. la:-. lJ FlJ y FD13. Entonces A' == {a. DÉCIMA CUARTA OLIMPIADA oA' 08' Oc e y Ov los centros de las circunferencias A. De manera que el ángulo FBE también es igual al :ínguln H :lll.os negros suc:esivoH i 1· .onjunto d<1 tres dc~rnentoR A tal que A' contenga a todos los mlmeros 1. 4. < :orno tie11e lonJ!. Muestre que la suma de estos 1íltimos cuatro ángulos es igual a 360". 4 (módulo 5) ó a= 1 (módulo f>). Con n~c:t. elija el subcuadrado de 3 x 3 de la esquina superior i. encuentre un r. quf =O (módulo 5) 6 a +a: +a +a + 1 =O (m(tdnln 5).ud impar. 3. Sea G la intersec:cic'm de la recta B F con AG. los unos y todos los mPnos unos es igual a O.r. .. D..odo:-. Con un rectángulo de 4 x 2 convierta esos dos Cllaclritos IH'¡•. Muestre que cada número del triángulo.. n. J'OBQ. juntos. depcndicndo de si a= 2. B. 3 Para ver que con conjuntos de tres elementos A se puede conseguir cc. b. los c·llaiPs pucclcm ser convertidos en c:uadritos blancos usando dos rccLíngulos dc~ :{ x l.quimda. toda:-. 1 1 o>s 2.itud impar. .ui. Problemarios pam las Olimpiadas Mccica:nas de Malf'mátiPublicación Anual. Academia IP la Investigación Científica. Li1n11sa Wih!_y. Zuc:kerma. UNAM. Instituto de Matt•Jn. lntmdut·t·úin ala Tmrfa dt• Núm. 140 pmblemas.. Sep.. Editorial Mir.riguin. 1993. 5421-2077 El ti raje de esta edición fue de 1000 ejemplares . Delfín Madrigal 128. 04369. Ma. 1!)89. Colección Ciencia Popular.. México.n. Pmblernas de Grmnetr·ía. de Mal.íl ica~.~. Niv(•JI y JI. Combinatoria. Sha... Coyoacán. Olimpiada Mexicana de Matemáticas.~ . l!J72.t'llll\t. Pedregal de Sto. 2000. Olimpiada de Matemáticas. Cuadernos de Olimpi¡Hia.F. México D. Moscú.r. ) CUADERNOS DE OLIMPIADAS DE MATEMATICAS PRINCIPIOS DE OLIMPIADAS Se lt'nninó de imprimir en junio de 2002 en los talleres de CREATIVA IMPRESORES.. Col. Tel.o.ems.~. t'll. lllH e 81/Uf•:HI•:N( '1!\S OLJMPJ!\[). Mr~xico. Luisa Pére. .i('a.\8 N!\CION!\LFS LECTURAS COMPLEMENTARIAS l. < Varios Autores. N. Varios Autores. Domingo.e ('!\1'{'/'ITLO ti. .2 + 3 . . ·.o} "l -) ¡..2004 ·f ~ 11 1 (} - 1' . (/ . (JO) ·. . Cí~:-:J . + 2004 ::: j(. Una cuadrícula rectangular está formada por 2004 cuadrados iguales...7 . . ' b) 1 ..-~--·-~:_- l.... .. Encuentra el valor de cada una de las sumas siguientes: \ (00 \~0 ~' :~ D a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + .4 + 5 + 6 ...4 + 5 . . 56 \00 12..5 ..Curso de Entrenamiento Olímpico UAEH Centro de Investigación en Matemáticas Febrero 28..4 ...).0 "l ~ 2ó 'iO .. - ( -l / /"' 1 : .... : \ ~-) ~ D 1' G6 . .2004 d) 1 + 2 + 3 .2004 e) 1 + 2 . 3... .6 + 7 .6 + 7 + 8 + 9 .3 . l ¿(i) \ f{ . Determina todas las posibilidades para el número de cuadrados que hay en el contorno del rectángulo..L· -~-- 2. Encuentra el resultado si se suman todos los dígitos de los números desde ell hasta el lOO. 2004 r ..0 1~.8 + .. J(t.."C'I:: ¡{.' r. ¿Cuántos chocolates hay en cada caja? 2. y hay tantas cajas en cada cuarto como cuartos hay en cada casa. Encontrar las medidas de los ángulos inte.Olimpiadas de Matemáticas Curso de Entrenamiento CIMA-UAEH 21 de Febrero de 2004 l. Se va a colorear la cuadrícula de 4 x 4 de abajo de forma que cada cuadro sea verde o rojo. con AB = AC. y hay tantos cuartos en cada casa como casas hay ~n una cuadra. Jres de ABe si el triángulo ABD es isósceles. . se dibuja otro triángulo isósceles BCD. En cada caja hay tantos chocolates como cajas hay en cada cuarto. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer esto? \- 3. y tal que los 12 cuadros del contorno tengan todos el mismo color. Dentro de un triángulo isósceles ABC. con Den AC y BC = BD. Hay 81 chocolates en una cuadra.