Principio Del Impulso y La Cantidad de Movimiento

VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN5.4 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Este método se basa en el principio del impulso y la cantidad de movimiento, y se usa para resolver problemas que implican fuerza, masa, velocidad y tiempo. Es de particular interés en la resolución de problemas que implican movimiento impulsivo e impacto. Considere una partícula de masa m sobre la que actúa una fuerza F. La segunda ley de Newton puede expresarse en la forma Donde mv es la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Al multiplicar ambos lados de la ecuación (13.27) por dt e integrar a partir del tiempo t1 hasta el tiempo t2, se escribe o, al trasponer el último término, La integral en la ecuación (13.28) es un vector conocido como impulso lineal, o simplemente impulso, de la fuerza F durante el intervalo considerado. Al descomponer F en componentes rectangulares, se escribe y se advierte que las componentes del impulso de la fuerza F son, respectivamente, iguales a las áreas bajo las curvas que se obtienen al graficar las componentes Fx, Fy y Fz en función de t (figura 13.16). En el caso de una fuerza F de magnitud y dirección constantes, el impulso se representa mediante el vector F(t2 - t1), que tiene la misma dirección que F. Si se usan unidades del SI, la magnitud del impulso de una fuerza se expresa en N ∙ s . Sin embargo, al recordar la definición del newton, se tiene los impulsos de las fuerzas de acción y . De tal modo.28) es dimensionalmente correcta. y puesto que el intervalo de t1 a t2 es común para todas las fuerzas implicadas.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula. cada partícula puede considerarse por separado y la ecuación (13. el impulso de una fuerza se expresa en lb∙ s . es necesario entonces sustituir la ecuación (13. se verifica que la ecuación (13. Se escribe Adviértase que si bien la energía cinética y el trabajo son cantidades escalares.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN que es la unidad que se obtuvo en la sección 12. Si se usan unidades de uso común en Estados Unidos. debe considerarse el impulso de cada una de las fuerzas. También es posible sumar vectorialmente las cantidades de movimiento de todas las partículas y los impulsos de todas las fuerzas implicadas.32) se escribe para cada partícula. Cuando un problema incluye dos o más partículas.30) por las correspondientes ecuaciones de componentes Cuando varias fuerzas actúan sobre una partícula. Se tiene La ecuación que se obtuvo representa una relación entre cantidades vectoriales. Para obtener una solución analítica. la cantidad de movimiento y el impulso son cantidades vectoriales.17).28) expresa que cuando sobre una partícula actúa una fuerza F durante un intervalo dado. Se escribe entonces Puesto que las fuerzas de acción y reacción ejercidas por las partículas entre sí forman pares de fuerzas iguales y opuestas. La ecuación (13.4 para la cantidad de movimiento lineal de una partícula. la cual es también la unidad que se obtuvo en la sección 12. ésta debe sustituirse por las correspondientes ecuaciones de las componentes. en la solución real de un problema. la cantidad de movimiento final mv2 de la partícula puede obtenerse al sumar vectorialmente su cantidad de movimiento inicial mv1 y el impulso de la fuerza F durante el intervalo considerado (figura 13. Por ejemplo.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN reacción se cancelan y sólo necesitan ser considerados los impulsos de las fuerzas externas.18). MOVIMIENTO IMPULSIVO Una fuerza que actúa sobre una partícula durante un breve intervalo que es lo suficientemente grande para producir un cambio definido en la cantidad de movimiento se conoce como fuerza impulsiva y el movimiento resultante se denomina movimiento impulsivo. Sin embargo. las únicas fuerzas externas que actúan sobre los botes son sus pesos y las fuerzas de flotación ejercidas sobre ellos. que están siendo jalados uno por el otro (figura 13. Si se ignora la resistencia del agua. si la suma de las fuerzas externas es cero. Si no se ejerce fuerza externa sobre las partículas o. cuando se golpea una pelota de béisbol. de masa mA y mB.33) se reduce a que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. . de manera más general. Puesto que estas fuerzas están equilibradas. el contacto entre el bate y la pelota se realiza durante un intervalo Δ t muy corto. el segundo término en la ecuación (13. por ejemplo. La ecuación obtenida indica que los botes se mueven en direcciones opuestas (uno hacia el otro) con velocidades inversamente proporcionales a sus masas.19). dos botes. y el impulso resultante es lo suficientemente grande para cambiar el sentido de movimiento de la pelota (figura 13. se escribe Donde v´A y v´B representan las velocidades de los botes después de un intervalo finito. inicialmente en reposo. el valor promedio de la fuerza F ejercida por el bate F Δt sobre la pelota es muy grande.33) se anula y la ecuación (13. Considere. En el caso del movimiento impulsivo de varias partículas. la ecuación (13. Los problemas que implican el choque o impacto de dos partículas se estudiarán en detalle en las secciones 13. la cual se reduce a Donde el segundo término implica sólo fuerzas impulsivas externas.32) se convierte en Las fuerzas no impulsivas incluyen el peso de un cuerpo.33).34).36) y esta ecuación se reduce a la ecuación (13. cuando dos partículas que se mueven libremente chocan entre sí. es posible usar la ecuación (13. su energía total no se conserva en general. Esta situación ocurre. se debe advertir que mientras se conserva la cantidad de movimiento total de las partículas. la fuerza ejercida por un resorte o cualquier otra fuerza que se sabe que es pequeña comparada con una fuerza impulsiva.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN Cuando actúan fuerzas impulsivas sobre una partícula. Las reacciones desconocidas quizá sean o no impulsivas. . iguales a las razones de cambio de la cantidad de movimiento lineal y de la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas. Se escribe Que expresa que la cantidad de movimiento total de las partículas se conserva. por ejemplo.35) siempre que no se haya demostrado que se pueden ignorar.14. se anula el segundo término en la ecuación (13. Sin embargo.12 a 13. respectivamente. PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Estas ecuaciones expresan que la resultante y el momento resultante alrededor del punto fijo O de las fuerzas externas son. sus impulsos deben consecuentemente incluirse en la ecuación (13. Si todas las fuerzas externas que actúan sobre las diversas partículas son no impulsivas. 11) en t desde t 1 hasta t2. Hay que referirse de manera similar a las integrales en la ecuación (14. la ecuación (14.32) y (14. .8 están dibujadas las cantidades de movimiento de las partículas del sistema en los tiempos t1 y t2.33).33) como los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. De tal modo. Para clarificar el significado físico de las ecuaciones (14. De manera similar.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN Al integrar las ecuaciones (14. se escribe Al recordar la definición del impulso lineal de una fuerza.32) representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. se rearreglan los términos en estas ecuaciones y se escribe En los incisos a) y c) de la figura 14. respectivamente.10) y (14. se nota que las integrales en la ecuación (14. la ecuación (14.33) expresa que la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas es igual al cambio en el momento angular alrededor de O del sistema.32) expresa que la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual al cambio en la cantidad de movimiento lineal del sistema. El sistema de la cantidad de movimiento inicial es .8 En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas y un momento de par igual a la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas.8 es igual al momento resultante de los vectores en el inciso c). por definición. Juntas.8 mediante el uso de signos de más y de igualdad en color azul.34) y (14.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN Figura 14. Esto se ha indicado en la figura 14. aunque el análisis presente sigue siendo válido en el caso de partículas que se mueven en el espacio.34) y (14. Al recordar de la ecuación (14.6: si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas de un sistema.35) son cero. Por simplicidad.7) que HO es el momento resultante de las cantidades mi v i de movimiento . se advierte que la ecuación (14.35) expresa de manera similar que el momento resultante de los vectores en los incisos a) y b) de la figura 14.6) que L. se ha supuesto que las partículas se mueven en el plano de la figura.8 es igual a la resultante de los vectores indicados en el inciso c) de la misma figura. y estas ecuaciones producen De este modo se verifica el resultado obtenido en la sección 14. Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema. es la resultante de la cantidad de mi v i movimiento .35) expresan entonces que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t 1 y los impulsos de las fuerzas externas desde t1 hasta t2 forman un sistema de vectores equipolente al sistema de las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t 2. Si se recuerda de la ecuación (14. las integrales en las ecuaciones (14. las ecuaciones (14. se nota que la ecuación (14.34) expresa que la resultante de los vectores mostrados en los incisos a) y b) de la figura 14. la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de O del sistema de partículas se conservan. m v 1+ ∑ Imp 1→ 2=m v 2 +¿ → ¿ ¿ ¿ . Después de que la bola es golpeada por el bate B. la cantidad del movimiento angular del sistema de partículas alrededor de cualquier punto fijo se conserva. determine la fuerza impulsiva promedio ejercida sobre la pelota durante el impacto. EJERCICIO . Si el bate y la bola están en contacto 0.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN equipolente al sistema de la cantidad de movimiento final y. por lo tanto. adquiere una velocidad de 120 ft/s en la dirección que se indica. SOLUCIÓN Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a la pelota.Una pelota de béisbol de 4 oz se lanza con una velocidad de 80 ft/s hacia un bateador.015 s. Puesto que el peso de esta misma es una fuerza no impulsiva. puede ignorarse. 015 s )= (120 ft /s) cos 40° 32.9 ) 2 F=97.9lb A partir de sus componentes Fx y Fy se determina la magnitud y dirección de la fuerza F: √ 2 F= ( F x ) + ( F y ) 2 F=√ ( 89 ) + ( 39.2 − F x =+89.0 lb ( +↑ ) componente y : 0+ F y Δt=m v 2 sen 40° 4 16 F y ( 0.14 ° .2 F y =+39.9 89 ) ⦨=24.2 32.53 2 lb Dirección Fy Fx ⦨=arctan ( ) ⦨=arctan =24.015 s )= (120 ft /s ) sen 40 ° 32.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN 4 4 16 16 (80 ft /s)+ F x ( 0.14 ( 39. está en segundos.439 seg 3.1 – A un bloque de 5 lb se le imparte una velocidad inicial de 10 pies /seg hacia arriba por una pendiente lisa de 45 ° . Si el gabinete inicialmente se mueve hacia abajo del plano con una rapidez de 6 pies/seg .55 =0. 5 (10 )+ (−5 sen 45 ° ) t=0 32. Determine el tiempo durante el cual se mueve hacia arriba antes de detenerse. .10 – El gabinete de 20 lb se somete a la fuerza donde t F=( 3+2 t ) lb .2 t= −1. determine cuanto tiempo le lleva a la fuerza detener el gabinete.53 t=0.439 seg EJERCICIO 15. F siempre actúa paralela al plano.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN EJERCICIO 15. 64 seg 2 ( 3.72 ) 2 t=4.72+6.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN ( +↙ ) m ( v x )1 + ∑ F x dt=m ( v x )2 t 20 ( 6 ) +20 sen 20 ° t−∫ ( 3+2 t ) dt=0 32.2 0 2t 2 3.72=0 t= −b ± √ b2−4 ac 2a −( 3.84 ) −4 (−1 )( 3.72) t= =−0.64 seg .84 )+ √ (3.84 t− 3t + =0 2 ( ) 3.84 t−3 t−t 2=0 −t 2 +3.84 t+ 3.72) 2 −( 3.80 seg 2( 3.72 ) t= =4.84 )−√ ( 3.84) −4(−1)(3.72+6. VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN EJERCICIO 15.2 B −2 T + 100=1. 2 S A +S B =l 2V A +V B =0 SB SA V A= −V B 2 ( +↑ ) m v 1 + ∑∫ Fdt =m v 2 2T 0+2 T ( 2 )−10 ( 2 )= 10 V 32. Ignore la masa de las poleas y la cuerda.155 V B V B= 4 T −20 −0.31( ---.1 Bloque A 10 Lb ( +↓ ) m v 1 + ∑∫ Fdt =m v 2 0−( 2 ) T +50 ( 2 )= 50 V 32.155 en ecuación 1 T Bloque B 50 Lb .2 A 4 T −20=0.2 −V B 2 −V B ) 2 4 T −20=−0.55 V B Sustituyendo V A= 4 T −20=0.20 – Determine la velocidad de cada bloque 2 seg después de que los bloques se sueltan del punto de reposo.31 V A ---. 99 37.80T +129.03) −2 T + 100=−39.63)+100=1.80 T +129.55V B −5.31 V A =30.31V A 10.31V A V A= −9.03 VB En ecuación 2 −2 T + 100=1.26+ 100=1.48 ft /seg T en ecuación 2 −2( 2.55(−25.63 T en ecuación 1 4 (2.99 T =2.55 V B .52−20=0.63)−20=0.99 T= 99.99−100 37.99 T +199.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN V B =−25.99 −2 T + 39.99T =99.48 ft /seg 0.48 =−30.99=199. 74 1.12 ft / seg .55 V B =61.VELÁZQUEZ MARTÍNEZ JONATHAN V B= 94.