PRINCIPIAINTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO MATEMÁTICO, ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA JOSÉ ALFREDO DEL OSO ACEVEDO ISAÍ MORENO ROQUE RAFAEL TORRES SIMÓN MYRNA VELARDE SALDAÑA INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO MATEMÁTICO, ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA Academia de Matemáticas Colegio de Ciencia y Tecnología Programa de Integración TALLER DE MATEMÁTICAS COORDINACIÓN ACADÉMICA José Alfredo Del Oso Acevedo Isaí Moreno Roque Rafael Torres Simón Myrna Velarde Saldaña UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO Esther Orozco Orozco RECTORA Facundo González Bárcenas COORDINADOR ACADÉMICO Carlos Ruano Cavazos COORDINADOR DEL COLEGIO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA © Principia. Introducción al pensamiento matemático, aritmética y geometría, primera edición, 2006 primera reimpresión, 2007 segunda reimpresión, 2009 tercera reimpresión, 2010 © José Alfredo Del Oso Acevedo, Isaí Moreno Roque, Rafael Torres Simón y Myrna Velarde Saldaña D.R. Universidad Autónoma de la Ciudad de México Av. División del Norte 906, Col. Narvarte Poniente, Delegación Benito Juárez, C.P. 03020, México, D.F. ISBN: 968-5720-76-2 Academia de Matemáticas, Colegio de Ciencia y Tecnología, Programa de Integración, Coordinación Académica, UACM Materiales Educativos:
[email protected] Responsable de la edición: Ana Beatriz Alonso Diseño de la portada: Aarón Aguilar. Diagramas elaborados por integrantes de la UACM. Imágenes tomadas de images.google.comFRQREMHWLYRVGLGiFWLFRV\VLQ¿QHVGHOXFUR Material educativo universitario de distribución gratuita para estudiantes de la UACM. Prohibida su venta Hecho e impreso en México / Printed in Mexico La Ley de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, en su Exposición de motivos, establece: “7. Contribuir al desarrollo cultural, profesional y personal de los estudiantes: (...) El empeño de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México deberá ser que todos los estudiantes que a ella ingresen concluyan con éxito sus estudios. Para ello deberá construir los sistemas y servicios que éstos necesiten para alcanzar este propósito de acuerdo con su condición de vida y preparación previa. (...).” 1 De igual manera, en su Título I, Capítulo II, Artículo 6, Fracción IV, dice: “Concebida como una institución de servicio, la Universidad brindará a los estudiantes los apoyos académicos necesarios para que tengan éxito en sus estudios. (...).” 2 Atendiendo a este mandato, los profesores - investigadores de la UACMpreparan materiales educativos como herramienta de aprendizaje para los estudiantes de los cursos correspondientes, respondiendo así al principio de nuestra casa de estudios de proporcionarles los soportes necesarios para su avance a lo largo de la licenciatura. Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno __________________ 1 Ley de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México, publicada en la *DFHWD2¿FLDOGHO Distrito Federal el 5 de enero de 2005, reproducida en el Taller de Impresión de la UACM, p. 14. 2 Ídem., p. 18. Imagen de la portada: El Triángulo de Penrose, también llamado tribar, es un objeto imposible. Fue creado por el artista sueco Oscar Reutersvärd en 1934, y popularizado en los años 1950s por el matemático inglés Roger Penrose. El tribar aparenta ser un objeto sólido hecho con tres barras cuadradas que forman un triángulo; sin embargo, su fabricación en el espacio Euclideano o tridimensional no es posible: sólo puede ser concebido mediante el dibujo en dos dimensiones. Imagen tomada de en.wikipedia.org ø AGRADECIMIENTOS El germen de esta obra se debe en gran medida a las entusiastas proIesoras Rita Vazquez y Teresa Velasco. Con toda generosidad nos brindaron el material electronico de un trabaio anterior a éste que nos Iue de gran utilidad. Un reconocimiento especial a nuestra asesora editorial Ana Beatriz Alonso, cuya aportacion Iue Iundamental para darle Iorma y estilo a este trabaio. También queremos agradecer a la Mtra. Maria Rosa Cataldo, coordinadora del Plantel San Lorenzo Tezonco, quien al inicio del proyecto Iungia como coordinadora del Programa de Integracion, por su entusiasmo para llevar a cabo este proyecto. Asimismo, agradecemos los comentarios y observaciones de la Dra. Rosa Margarita Alvarez, quien reviso el texto con gran minuciosidad, en un lapso de tiempo muy breve, asi como las sugerencias realizadas por la ProIesora Veronica Pérez. Por ultimo, queremos mostrar nuestro mas proIundo agradecimiento al Dr. Juan Antonio Nido, por sus comentarios respecto al estilo del libro. Los autores ø PRESENTACIÓN Este es un libro dirigido, en general, a todo aquel que requiera adentrarse en la matematica a un nivel basico universitario, y en particular a los estudiantes de la Universidad Autonoma de la Ciudad de México que cursan el modulo inicial del Programa de Integracion. Hemos llamado Principia a este libro por dos razones: La primera, porque asi rendimos homenaie a dos grandes obras capitales de las matematicas: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, de Sir Isaac Newton, y Principia Mathematica, del matematico y humanista Bertrand Russell. La otra razon obedece a que la palabra principia, reIerente a principios en latin, nos remite al elemento esencial que hace ser a la matematica: ésta se desarrolla a partir de principios, la mayoria de ellos simples e inmediatos. El universo matematico es tan maravilloso y vasto que cualquier intento por ver su totalidad nos permite tan solo dar un atisbo, como el columbrar por una rendiia. Nosotros solamente pretendemos asomarnos por una ventana, bien ubicada que nos permita ver un panorama grato y, a su vez, no exento del rigor que exige el pensamiento matematico. La belleza de las matematicas radica no solo en el mundo propio que conIorman, aieno al universo real que nos rodea, sino en las capacidades creadoras de la mente y en los artiIicios que ésta es capaz para deducir hechos analiticamente. En este texto hemos considerado la importancia del pensamiento deductivo, sin olvidarnos del inductivo, el cual es mas inmediato y natural al ser humano. Por ello, iniciamos este libro con un apartado dedicado al pensamiento inductivo. Pretendemos que éste conduzca al estudiante a lo que el matematico Polya llamaba 'la excitacion del descubrimiento¨. Todo ser humano es un matematico en potencia, como lo demuestra Platon en un Iragmento de sus Dialogos. El pensamiento inductivo constituye una suerte de terapia: muestra al alumno que ya sabia matematicas y que no es necesario un bagaie de Iormulas para poder llevarlas a cabo. Las Iormulas vienen después, y, en la medida de lo posible, intentamos que el estudiante, via el razonamiento inductivo, llegue a ellas. Mostrar la validez universal de estas Iormulas o relaciones es otro asunto. Ahi entra en iuego, hasta entonces, el pensamiento deductivo o logico-Iormal. Nuestro texto inicia con un enfoque que no requiere de una preparacion previa. Privilegia, antes que el conocimiento, el pensamiento, la imaginacion y el uso creativo de la razon. No en vano Einstein decia que la imaginacion es mas importante que el conocimiento. Tratamos de que el libro Iuera ameno y ludico, pero no por ello exento del caracter Iormal que persigue un texto serio y bien programado, tanto estructural como metodologicamente. Nos interesa que el alumno halle placer en hacer matematicas o, al menos, que pierda el miedo inIundado y las comprenda a cabalidad. Por otra parte, aun cuando deseamos Iehacientemente que el texto sea Iacil de abordar, tampoco olvidamos otra Iamosa Irase de Einstein -genio de la imaginacion creadora- 'la ciencia debe ser Iacil, pero no mas Iacil¨. Esto se aplica bien a las matematicas. El libro ha sido producto de la experiencia en las aulas de la Universidad Autonoma de la Ciudad de México durante casi dos años, asi como de una revision exhaustiva de bibliograIia sobre el tema y de la reIlexion colectiva de sus autores. Estudiantes de las diversas ingenierias, asi como de humanidades, han estudiado el programa que aqui se propone y que responde a las necesidades Iormativas de los estudiantes del modulo A del Taller de matematicas. En cuanto a la propuesta aiaactica, el libro ha sido redactado con la mayor claridad posible con el obieto de que los estudiantes que por diversas razones no puedan asistir al aula, encuentren un apoyo para su aprendizaie a lo largo de las paginas del texto. Por supuesto, a pesar de contar con bibilograIia complementaria y ligas de internet, el texto no se limita a ser un material para autodidactas: sino que considera el trabaio interactivo, la participacion del estudiante y un contacto mas proIundo con el proIesor. La matematica es, en este sentido, un eiercicio dialéctico, ameno y eIicaz cuando se realiza entre mas de uno. Respecto a la profunaiaaa peaagogica, pretendemos que el libro cubra las necesidades de cualquier estudiante que requiera iniciarse en la aritmética y la geometria elemental. Pueden emplearlo como texto los estudiantes de los modulos iniciales del Programa de Integracion, y como un buen libro de consulta, en cuanto a los temas reIeridos, los estudiantes del Ciclo Basico y Superior. Metoaologicamente, hemos considerado importante que el libro tenga una estructura. Que esté basado en un orden preciso, casi canonico, ya que esto reIrenda la claridad con la que el material puede abordarse. Cada seccion, tanto la de Aritmética como la de Geometria, y en particular la de Razonamiento Inductivo tiene listas de eiercicios cuidadosamente seleccionados y notas historicas amenas que permiten que el alumno perciba la génesis de algunos topicos matematicos. El estilo del libro pretende un meior acercamiento al estudiante, deiando de lado el distante ustea. Tu y nosotros seran los pronombres que el libro emplee. En éste invitamos al alumno a realizar actividades diversas y a valorar el trabaio de coniunto. Finalmente, hemos optado por una propuesta visual que bien podria considerarse seria, con paginas en blanco y negro. No por ello deiamos de oIrecer un libro proIuso en imagenes. Encarecidamente hemos trabaiado en que la austeriaaa visual del libro redunde en aleiar distracciones, e introduzca al estudiante directo a los temas a tratar. En tal tratamiento tipograIico y de diseño editoral, hemos deseado que se reIleie parte de esa belleza hasta cierto grado pura, muy simple, que tienen las matematicas en su interior. Esperamos habernos acercado a nuestros obietivos. Esta utopia, lo sabemos, es algo inalcanzable, pero nos ha permitido el milagro de caminar y diluir la inmovilidad de las Iormas estaticas y silentes. Jose Alfreao Del Oso. Isai Moreno. Rafael Torres v Mvrna Jelarae. Acaaemia ae Matematicas. Programa ae Integracion UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE LA CIUDAD DE MÉXICO San Lorenzo Tezonco ø CONTENIDO UNIDAD TEMA P. u MAPA DE RUTA: COMO ACERCARSE A NUESTRO LIBRO 9 1. INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO MATEMÁTICO: 11 1.1 Busqueda de patrones: razonamiento inductivo 12 1.2 Verdades comprobadas: razonamiento deductivo 18 1.3 Maneio de estrategias para la solucion de problemas 23 2. ARITMÉTICA: 35 2.1 Numeros enteros 36 2.1.1 Operaciones 40 2.2 Numeros racionales 50 2.2.1 Los numeros racionales representando partes de un todo 50 2.2.2 Fracciones equivalentes y simpliIicacion 54 2.2.3 Operaciones con racionales 63 2.2.3.1 Multiplicacion 63 2.2.3.2 Division 65 2.2.3.3 Suma y resta 68 2.2.3.4 Numeros mixtos 72 2.2.4 Problemas con racionales 77 2.3 Decimales 82 2.3.1 TransIormacion de Iracciones a decimales 82 2.3.2 TransIormacion de decimales a Iracciones 84 2.3.3 Operaciones combinando decimales y Iracciones 87 2.4 Numeros irracionales y coniunto de los numeros reales 89 2.5 Razones y proporciones 92 2.5.1 Razones 92 2.5.2 Proporciones 95 2.5.3 Regla de tres simple: directa e inversa 98 2.5.4 Porcentaie 102 UNIDAD TEMA P. 3. GEOMETRIA: 107 3.1 Fundamentos de la geometria plana: punto, recta y plano 108 3.1.1 Perimetro y longitud 110 3.1.2 Circulo 112 3.2 Concepto intuitivo de area 115 3.2.1 Deduccion de Iormulas para el area de Iiguras basicas 118 3.3 Temas selectos de geometria 130 3.3.1 Volumen 130 3.3.2 Poliedros regulares 132 3.3.3 Razon aurea: la Irontera entre aritmética y geometria 135 3.3.4 Construcciones a regla y compas 137 3.3.5 Fractales 140 u FUENTES 145 · PRINCIPIA · ø MAPA DE RUTA: Cómo acercarse a nuestro libro Este material de apoyo ha sido elaborado por un grupo de proIesores: es un trabaio coniunto, y por esta razon podras identiIicar distintos estilos para plantear y resolver los temas y actividades que se presentan a lo largo de las tres unidades que lo integran. Observando y trabaiando los diversos estilos tendras elementos suIicientes para comparar las similitudes y diIerencias entre ellos, lo cual te permitira identiIicar qué tipos de textos matematicos Iuncionan meior para tu aprendizaie individual. En el universo de las matematicas cada tema tiene sus caracteristicas, sus reglas y su sello particular. Por esta razon, al avanzar por las secciones de este libro notaras que existen diIerencias entre las unidades, tales como la extension, la cantidad de eiercicios o la Irecuencia con la que se solicita el trabaio autonomo o en equipo. · En la Unidad I: Introduccion al Pensamiento Matematico, se abordan las diIerentes habilidades de pensamiento que ponemos en operacion al adentrarnos en esta materia. También se plantea la existencia de una gama de posibilidades para resolver problemas, y que es valido utilizar cualquiera de ellas para conseguir el resultado deseado. Puesto que estos temas se reIieren a procesos mentales y a estilos de percepcion y respuesta, encontraras un mayor énIasis en los procesos que en los resultados: es decir, en las actividades, en los razonamientos que haces a partir de tu trabaio y en la socializacion de tus conclusiones. · Por otra parte, en la Unidad II: Aritmética, se trabaia especiIicamente con el razonamiento deductivo, el cual nos obliga a seguir cada paso de las reglas en el orden necesario para resolver las operaciones: y nos presenta una metodologia especiIica para obtener el resultado correcto de los problemas. El contenido es mas extenso y el avance es gradual, ya que un conocimiento nuevo muchas veces depende del aprendizaie anterior. Por lo tanto, podras notar que abundan las deIiniciones, los eiemplos, y los eiercicios de practica. · Por ultimo, en la Unidad III: Geometria, se trabaia con conceptos matematicos que pueden visualizarse, dibuiarse y combinarse de manera mas tangible. Esta disciplina, ademas de ser una de las mas ancestrales, permite a un estudiante la inmediatez de ver los resultados de un razonamiento matematico. La seccion es un tanto mas amplia, ya que se incluyen ademas una serie de temas selectos que nos permiten ver los patrones geométricos existentes en la naturaleza. Por estas razones, esta unidad tendra una mayor cantidad de Iiguras, bocetos e ilustraciones: y te introducira a la obtencion de los entes geométricos a partir de un punto, al uso de construcciones a regla y compas y, en general, al goce de la sola contemplacion estética que la geometria conlleva. 9 · PRINCIPIA · Finalmente, queremos mencionarte que en las tres unidades se ha trabaiado una misma metoaologia, es decir, el mismo orden para presentar el conocimiento y Iacilitar que te lo apropies de acuerdo a una secuencia de pasos y apoyos adicionales que podras identiIicar con esta sencilla simbologia: 1. ACTIVIDADES: Son problemas que se te pediran siempre al inicio de un concepto nuevo, con el Iin de que evalues cual es tu conocimiento previo sobre ese tema: es decir, que busques dentro de ti lo que ya sabes, para que lo recuerdes y lo uses. 2. Planteamiento del concepto nuevo: Es la explicacion de la nueva inIormacion, el nuevo conocimiento, el contenido del tema, las deIiniciones, las reglas. 3. EJEMPLO: Aqui te presentaremos problemas resueltos paso a paso en los que se muestra como aplicar el nuevo contenido. 4. ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS: Esta seccion es indispensable para poner en practica tu nuevo aprendizaie y evaluar tu avance. 5. ¯ Observaciones: En ocasiones encontraras este simbolo con un breve texto. La inIormacion pretende darte herramientas que te apoyen en un punto especiIico del tema. También indican momentos en los que puedes evaluar tu aprendizaie, consultar a tu proIesor o socializar tu trabaio. 6. Capsulas ae cultura matemática. Hemos incluiao informacion que abre los temas hacia otras miraaas. como la historia. las anecaotas. la naturaleza o el arte. Recuerda que al Iinal del libro hemos incluido listas de titulos y de vinculos electronicos para que puedas investigar los contenidos que necesites. 10 · PRINCIPIA · ø UNIDAD 1 INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO MATEMÁTICO PROPOSITO Desarrollaras habiliaaaes ae razonamiento logico-matematico en la solucion ae problemas abstractos v aplicaaos. tales como clasificacion. reconocimiento ae patrones. generalizacion. abstraccion. aeauccion v ubicacion espacial. Te apropiaras ae ciertas estrategias o proceaimientos para analizar toaa una gama ae problemas. a fin ae que contemples que hav varias formas ae resolverlos. INTRODUCCION Los primeros testimonios materiales de la existencia del pensamiento matematico son dibuios y simbolos trazados sobre ladrillos o tabletas sirias y babilonicas, entre los siglos XXX y XX antes de nuestra era. Mas o menos por la misma época aparecieron en Egipto los primeros documentos matematicos escritos sobre papiros. Desde entonces, paralela al desarrollo de esta ciencia, la curiosidad por la resolucion de problemas de ingenio ha sido un Iactor que ha contribuido a la creacion matematica, tanto o mas que las aplicaciones practicas. El periodo clasico dio surgimiento a un tipo mas Iormal de matematicas, en donde los conceptos generales Iueron aplicados a problemas especiIicos, teniendo como resultado un desarrollo logico y estructurado de las matematicas. En esta unidad experimentaras distintas maneras de abordar y resolver problemas, las cuales pondran en operacion las distintas habilidades de razonamiento logico-matematico que posees. 11 · PRINCIPIA · 1.1 BÚSQUEDA DE PATRONES: RAZONAMIENTO INDUCTIVO Para la resolucion de las actividades que se te presentan a continuacion no requieres de Iormulas o conocimientos previos. Reunete en equipo y discute su posible solucion, escribela de la manera mas clara posible y compartela con el resto del grupo. ACTIVIDAD 1 Encuentra un patron en la siguiente secuencia de Iiguras. ¿Cual es la siguiente Iigura en la lista? (a) (b) (c) (d) (e) (I) · Explica iunto a tus compañeros de equipo cual Iue el procedimiento que siguieron y por qué. ACTIVIDAD 2 ¿Cual es el término que sigue en esta lista? U, D, T, C, C, S, S, O ... · ¿Como lo obtuvieron? ACTIVIDAD 3 Determina el siguiente término mas probable en cada Iila de numeros. 13, 18, 23, 28, 33 ... 1, 8, 27, 64, 125 ... 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1 ... · ¿Como predicen el término siguiente en cada lista? · ¿Podrian deIinir con sus propias ideas, y haciendo uso de lo discutido en las actividades anteriores, qué es una conietura? 12 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 4 SUCESION DE FIBONACCI Un hombre puso una pareia ae coneios en una iaula. Durante el primer mes. los coneios no tuvieron aescenaencia, pero caaa uno ae los meses posteriores proauieron un nuevo par ae coneios. Si caaa nuevo par proauciao ae este moao se reproauce ae la misma manera. ¿cuantos pares ae coneios habra al final ae este año? Este es uno de los Iamosos problemas en la historia de las matematicas y aparecio por primera vez en el libro Liber Abaci, escrito por el matematico italiano Leonardo Pisano (Fibonacci), en el año 1202. La tabla muestra el numero de pares de coneios al inicio y al Iinal de cada mes. Mes No. de pares al inicio del mes No. de nuevos pares producidos No. de pares al final del mes 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 1 3 4 3 2 5 5 5 3 8 6 8 5 13 7 13 8 21 8 21 13 34 9 34 21 55 10 55 34 89 11 89 55 144 12 144 89 233 A la segunda columna de la tabla se le conoce como sucesion ae Fibonacci: esto es, a la sucesion: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... · ¿Podrias describir qué regla esta siguiendo la sucesion? Consulta con tu proIesor el signiIicado de patrón en matematicas. · ¿Cual sera el término 16 en la sucesion? · En lenguaie matematico, ¿como escribirias el patron que representa a la sucesion? Apoyate en tu proIesor. ACTIVIDAD 5 Martin corta una hoia gigante de papel en 8 partes iguales, después corta de nuevo una de las partes en 8 pedazos y asi sucesivamente. ¿Puede obtener en algun momento exactamente 2005 pedazos? · Elabora un resumen de las estrategias que se utilizaron para resolver las actividades anteriores. También escribe aquéllas que no te Iuncionaron e indica por qué no Iueron exitosas. 13 · PRINCIPIA · ¯ Seguramente utilizaste la observación como medio para resolver algunas de las actividades planteadas: observaste las secuencias que se presentaban y elaboraste un patrón para cada una de ellas. En términos formales, a las conclusiones obtenidas se les llama conjeturas. Una conjetura es una suposicion Iundamentada en observaciones repetidas de un patron o proceso particular. ¯ A la forma en que has razonado para abordar y resolver las actividades anteriores se le conoce como razonamiento inductivo. El razonamiento inductivo se caracteriza por obtener una conclusion general (haciendo una conietura) a partir de observaciones repetidas de eiemplos especiIicos. La conietura puede ser verdadera o Ialsa. Asi: Razonamiento inductivo es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general. Suponemos que algo es cierto en algunas ocasiones y deducimos que lo sera en situaciones similares aunque no se hayan observado. ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS Los siguientes eiercicios pueden ser trabaiados en equipo o de manera individual. Tu proIesor te dara las indicaciones. ¯ Si por alguna razón vas a resolver esta sección de manera individual, te sugerimos que revises previamente la sección 1.3 MANE1O DE ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, ya que en ella encontrarás ejemplos detallados sobre cómo abordar y resolver un problema. 1. Encuentra el numero que sigue en las siguientes listas: 6, 9, 12, 15, 18, ... 32, 16, 8, 4, 2, ... 3, 6, 9, 15, 24, 39, ... 1/2, 3/4, 5/6, 7/8, 9/10, ... · Explica cual Iue tu razonamiento y comparalo con los del grupo. 2. Siguiendo el patron de estas Iiguras, a) ¿Cuantos triangulitos habra en la cuarta Iigura? 14 · PRINCIPIA · b) ¿Cuantos en la Iigura numero cinco? c) ¿Cuantos en la novena Iigura? d) ¿Y en la Iigura n? 3. Selecciona cualquier numero y sigue estos pasos: a) Multiplicalo por 2. b) Al resultado sumale 6. c) Lo que resulto, dividelo entre 2. d) Al resultado Iinal, réstale el numero con el que empezaste. e) Anota tu resultado. · EIectua el procedimiento anterior: pero en el paso b) sumale 8. Anota tu resultado. ¿Como harias para predecir el resultado Iinal? Puedes repetir el procedimiento: pero en el paso b), ahora sumale 10. 4. ¿Cual de las siguientes Iiguras no se convierte en un cubo perIecto si las doblamos sobre sus lineas negras? (a) (b) (c) (d) (e) (I) (g) · Escribe el razonamiento sin excepcion para la solucion de cada problema. Si es posible, discutelo con tus compañeros de equipo. 5. Las siguientes listas de numeros son términos de la sucesion de Fibonacci. Conietura una ecuacion que represente a cada una de las 4 columnas. 1÷2-1 1¹3÷5-1 1¹3¹8÷13-1 1¹3¹8¹21÷34-1 1¹3¹8¹21¹55÷89-1 1÷1 1¹2÷3 1¹2¹5÷8 1¹2¹5¹13÷21 1¹2¹5¹13¹34÷55 1 2 +1 2 =2 1 2 +2 2 =5 2 2 +3 2 =13 3 2 +5 2 =34 5 2 +8 2 =89 2 2 -1 2 =3 3 2 -1 2 =8 5 2 -2 2 =21 8 2 -3 2 =55 6. ReIlexiona si has utilizado recientemente el razonamiento inductivo Irente a algun problema cotidiano. ¿Tu solucion Iue acertada? · ¿Por qué? 15 · PRINCIPIA · 7. a) Dos pareias quieren cruzar el rio durante un paseo. El bote solo da cabida a dos personas. Siendo los hombres muy celosos, ninguno permite que en su ausencia su pareia se quede en una orilla, o que vaya en el bote con el otro hombre. ¿Como se las arreglan para cruzar? b) Tres pareias quieren cruzar el rio durante un paseo. El bote solo da cabida a dos personas. Siendo los hombres muy celosos, ninguno permite que en su ausencia su pareia se quede en una orilla, o que vaya en el bote con ninguno de los otros hombres. ¿Como se las arreglan para cruzar? c) Y para cuatro pareias, ¿cual seria el procedimiento? d) ¿Como generalizarias el resultado para cualquier numero de pareias? 8. Se tienen 6 monedas de dos tipos: 3 de uno y 3 de otro, colocadas en la siguiente conIiguracion: M M M m m m Lo que debes hacer es pasar las monedas de la izquierda a la derecha, basandote en las siguientes reglas: u Avanza al Irente solo una moneda y un lugar a la vez. u Dos monedas de un mismo tipo pueden estar iuntas solo al comienzo y al Iinal de la Iila. u Solo se puede 'brincar' un lugar. ¯ Sugerencia: intenta primero el ejercicio con cuatro monedas. · ¿Como lo harias con ocho monedas? · ¿Puedes generalizar lo anterior para n monedas? Discute tu propuesta con otros equipos y Iinalmente explicalo en clase. ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 1 EL PROBLEMA DEL FIN DEL MUNDO Levenaa hinau 'En el gran templo ae Benares. aebaio ael aomo el cual marca el centro ael munao. aescansa una base ae plata en la cual se fiian tres aguias ae aiamante. caaa una ae un cubito ae alto (50.8 cm aproximaaamente) v tan anchas como el cuerpo ae una abeia. Sobre una ae estas aguias Dios coloco 64 aiscos ae oro puro. caaa uno con aiametro poco mavor que el anterior. El aisco mas granae se encuentra aescansanao sobre la base v los aemas en oraen aecreciente encima ae el. Esta es la Torre ae Brahama. Dia v noche. sin cesar. el saceraote en turno transfiere los aiscos ae una aguia a otra. acorae con las leves fiias e inmutables ae Brahama: 1. El saceraote solo pueae mover un aisco a la vez. 2. Nunca aebe colocarse un aisco mas granae sobre otro ae menor tamaño. Cuanao el saceraote termine ae transferir la totaliaaa ae los aiscos. la torre. el templo v los brahamanes seran hechos polvo v el munao terminara.` Esta es una de varias leyendas de civilizaciones antiguas donde se involucran numeros muy grandes. Para esta practica, pide al proIesor las torres y trabaia con ellas, respetando las leyes Iiias e inmutables de Brahama. Después resuelve en equipo las siguientes actividades: 16 · PRINCIPIA · a) Completa la siguiente tabla: No. de discos No. de pasos Tiempo(s) Promedio parcial (s) 1 2 3 4 5 Promedio total: b) ¿Existe un patron entre el numero de discos y el numero de pasos? Intenta encontrar el patron y completar los datos: No. de discos Patrón / No. de pasos 1 2 3 4 5 6 * * * * * * 10 * * * * * * n c) Una vez que hayas encontrado el patron del numero de pasos necesarios para transIerir n discos de una aguia a otra de la torre de Brahama, calcula el tiempo que te tomaria transIerir los 64 discos de la leyenda, suponiendo que por cada paso utilizan un tiempo equivalente al promedio total de la tabla del inciso a). Es recomendable utilizar una calculadora cientiIica. · Compara el tiempo que obtuviste con el valor aproximado de la edad del Universo, segun las teorias cosmologicas modernas. Investiga con algun proIesor de Iisica. · Segun tus resultados, ¿podemos sentirnos seguros de que el mundo no se terminara pronto? El problema ael fin ael munao. Para facilitar la solucion ae este problema matematico clasico (tambien conociao como las Torres ae Hanoi). los eaucaaores se han avuaaao ae moaelos triaimensionales que representan las tres torres con los 64 aiscos. En el Museo Universum ael Centro Cultural Universitario ae la UNAM. encontraras un moaelo con el que pueaes ensavar. 17 · PRINCIPIA · 1.2 VERDADES COMPROBADAS: RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Aborda las actividades que se presentan a continuacion, anotando las estrategias, conceptos, dibuios, esquemas u otra herramienta que utilices para resolverlas. Después comparte tus respuestas con el resto de tus compañeros. ACTIVIDAD 6 Un cuaaraao magico es la disposicion de una serie de numeros en un cuadrado con casilleros, de tal Iorma que la suma de los numeros por columnas, Iilas y diagonales sea la misma. A esta suma se le conoce como suma magica. Por eiemplo, éste es un cuadrado magico con 9 casilleros: 6 11 4 5 7 9 10 3 8 En este cuadrado magico, la suma magica es 21. Puedes comprobarlo sumando cada Iila de manera vertical, horizontal y diagonal. Coloca los numeros naturales del 1 al 9 en las celdillas del cuadrado siguiente, de tal suerte que sea magico y que la suma sea 15. · ¿Qué operaciones eIectuaste para lograr que tu cuadrado Iuera magico? De acuerao con una fantastica historia ae Charles Trigg publicaaa en Mathematics Magazine en septiembre ae 1976 (p. 212). el emperaaor Carlomagno (742-814) oraeno que se construvera una fortaleza ae cinco laaos en un punto importante ae su reino. Como amuletos ae buena suerte. tenia cuaaraaos magicos colocaaos en caaa uno ae los cinco laaos ae la fortaleza. Puso una conaicion para estos cuaaraaos magicos. toaos los numeros en ellos aebian ser numeros primos. ACTIVIDAD 7 Diana es mas alta que David, pero mas baia que Carlos. Daniel es mas baio que Christian. ¿Cual es la primera letra del nombre de la persona mas alta? · ¿Qué procedimiento seguiste para resolver la actividad? · ¿Por qué? 18 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 8 Un hombre va a un pozo con tres recipientes cuyas capacidades son de 3, 5 y 8 litros, respectivamente. Considerando que los recipientes no estan graduados, ¿qué proceso debe seguir para sacar exactamente 4 litros de agua? ACTIVIDAD 9 Utiliza las operaciones elementales (suma, resta, producto 1 y division) y cuatro digitos '4¨ para obtener los numeros del 1 al 10. Por eiemplo: 44 44 ÷ 1 · ¿Existe solo un procedimiento para encontrar cada numero del 1 al 10? ACTIVIDAD 10 Considera que tienes dos reloies de arena que cronometran 5 y 9 minutos, respectivamente. ¿Cual es la Iorma mas Iacil de medir el tiempo para hervir un huevo durante 13 minutos? Si tienes a tu disposicion un reloi de arena, experimenta con él. · Elabora un resumen de las estrategias que se utilizaron para resolver las actividades anteriores: también escribe aquéllas que no te Iuncionaron y discutelas con tus compañeros. · ¿Utilizaste el mismo tipo de razonamiento y estrategias que en el grupo de actividades anteriores? · EspeciIica y anota cuales Iueron las diIerencias. ¯ Las estrategias y razonamientos que acabas de utilizar tienen que ver con el llamado razonamiento deductivo. El pensamiento deductivo parte de categorias generales para hacer aIirmaciones sobre casos particulares. Va de lo general a lo particular. El razonamiento deductivo parte de verdades comprobadas que se aplican a eiemplos especiIicos. En otras palabras, el pensamiento deductivo es una Iorma de razonamiento en el que se concluye algo a partir de una o varias premisas (puede ser una suposicion, una ley, una regla, una idea ampliamente aceptada). 2 Por eiemplo, el razonamiento deductivo permite deducir que un litro de agua a 130º estara en ebullicion (a nivel del mar), o que 15 es mayor que 10, puesto que son verdades comprobadas. ¯ De igual manera, las operaciones que tuviste que efectuar en las actividades anteriores, se basan en leyes comprobadas. 1 El producto es el resultado de la multiplicacion de numeros. 2 El IilosoIo griego Aristoteles, con el Iin de reIleiar el pensamiento racional, Iue el primero en establecer los principios Iormales del razonamiento deductivo. Para conocer mas sobre premisas, consulta con tu asesor. 19 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS Los siguientes eiercicios pueden ser trabaiados en equipo o de manera individual. Tu proIesor te dara las indicaciones. ¯ Si por cualquier razón vas a resolver esta sección de manera individual, te sugerimos que revises previamente la sección 1.3 MANE1O DE ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, ya que en ella encontrarás ejemplos detallados sobre cómo abordar y resolver un problema. 9. ¿Cuantas lineas rectas -sin levantar el lapiz- son las minimas necesarias para pasar por encima de los 12 puntos colocados en 4 columnas y 3 Iilas? Las lineas pueden ser horizontales, verticales o diagonales. · ¿Hay un solo camino con el minimo de lineas rectas? 10. Marcos abrio su alcancia y vio que habia monedas de cinco y diez pesos. Si eran 72 monedas en total, y sus ahorros ascendian a 495 pesos, ¿cuantas monedas de cada una habia en su alcancia? · ¿Como obtuviste el resultado? Discutelo con tus compañeros. 11. Una rana esta en el Iondo de un pozo de 20 metros de proIundidad. Cada dia se arrastra 4 metros hacia arriba: pero cada noche se resbala de regreso 3 metros. ¿Después de cuantos dias alcanzara la rana la boca del pozo? 12. En el problema siguiente, cada letra representa un digito especiIico. Suponiendo que el problema se ha resuelto correctamente, ¿qué digitos representan las letras? P P P ¹ A A B B B · ¿Como encontraste el valor de cada letra? · El procedimiento que seguiste, ¿Iue el mismo que el de tus compañeros? 13. Imagina que tienes 8 monedas. De éstas, 7 son auténticas y 1 es Ialsa, la cual pesa un poco menos que las demas. Tienes también una balanza de platillos que puedes usar solamente 3 veces. · Indica como descubrir la moneda Ialsa en 3 pesaies. · Discute tu procedimiento con tus compañeros. · Ahora muestra, con las mismas monedas, como detectar la moneda Ialsa en unicamente 2 pesaies. 20 · PRINCIPIA · 14. Tienes siete pesas con distintas masas 3 : 14 kg, 25 kg, 40 kg, 59 kg, 49 kg, 32 kg, y 19 kg. Elimina una de ellas. Las seis pesas restantes deben dividirse en dos grupos de tres pesas cada uno y lograr que tengan exactamente la misma masa. ¿Cual es la pesa que debes eliminar? · ¿Por qué? 15. Hugo, Paco y Luis tienen cada uno dos proIesiones. En coniunto, las proIesiones son: choIer, taxista, musico, pintor, iardinero y peluquero. · Sabiendo que: u El choIer oIendio al musico. u El musico y el iardinero Iueron a pescar con Hugo. u El pintor se subio en el coche del taxista. u Al choIer le gustaba la hermana del pintor. u Luis debia 5 pesos al iardinero. u Paco vencio a Luis y al pintor en rayuela. · ¿Como determinarias una proIesion de Hugo y otra de Paco? ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 2 LA LOGICA DE EINSTEIN Este problema fue propuesto por Einstein v traauciao a varios iaiomas conservanao su logica. Einstein aseguraba que el 98º ae la poblacion munaial seria incapaz ae resolverlo. Creemos que tu perteneces al 2º restante. Intentalo. · Condiciones iniciales: u Tenemos cinco casas, cada una de un color. u Cada una tiene un dueño de nacionalidad diIerente. u Los cinco dueños beben bebidas diIerentes, Iuman marcas diIerentes y tienen mascotas diIerentes. · Datos: 1. El noruego vive en la primera casa, iunto a la casa azul. 2. El que vive en la casa del centro toma leche. 3. El inglés vive en la casa roia. 4. La mascota del sueco es un perro. 3 Es oportuno recordar que lo que medimos en kilogramos es la masa de un obieto: a pesar de que, equivocadamente, hablamos del peso de un obieto. (Es la masa la que se mide en kilogramos: y el peso se mide en Newtons.) 21 · PRINCIPIA · 5. El danés bebe té. 6. La casa verde es la inmediata a la izquierda de la casa blanca. 7. El de la casa verde toma caIé. 8. El que Iuma Pall Mall cria paiaros. 9. El de la casa amarilla Iuma Dunhill. 10. El que Iuma Benson vive iunto al que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive iunto al que Iuma Dunhill. 12. El que Iuma Marlboro bebe cerveza. 13. El aleman Iuma Camel. 14. El que Iuma Benson tiene un vecino que bebe agua. · ¿Quién tiene peces por mascota? ¯ Si decidiste aceptar este reto, el intercambio de ideas es muy importante. Así que, además de discutir tu razonamiento con tus compañeros, puedes consultar a varios profesores en asesoría. Albert Einstein, cientifico aleman que aesarrollo las mas avanzaaas teorias ae la fisica aurante el siglo XX. entre las que se encuentra la Teoria General de la Relatividad. 22 · PRINCIPIA · 1.3 MANE1O DE ESTRATEGIAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS En las secciones previas hemos puesto en practica tanto la busqueda de patrones como el uso del razonamiento deductivo para el planteamiento y la solucion de problemas. Te hemos pedido también que elabores, iunto con tu equipo, un resumen acerca de la manera en que los has resuelto. ¯ Seguramente te has dado cuenta de que no ha sido única la manera en la que los has planteado: tal vez resolviste algunos de ellos mediante un esquema; otros, con alguna fórmula; algunos más, leyendo el problema y razonando la solución; y muchos otros, por ensayo y error. Esto comprueba que existen muy variadas Iormas para plantear y resolver problemas, las cuales abren interesantes posibilidades en tu aprendizaie de las matematicas. A continuacion te planteamos un esquema que puede serte util para trabaiar el resto de este texto, y para cualquier situacion en la que te enIrentes a un problema determinado durante tus estudios ya que, como has podido darte cuenta, el planteamiento y solucion de problemas no es un tema exclusivo de esta ciencia. El estudio al que nos reIerimos es una propuesta muy conocida acerca de las técnicas para la solucion de problemas. Fue desarrollado por el matematico polaco George Polya (1888-1985). Lo enunciamos a continuacion: PROCESO DE LOS CUATRO PASOS DE POLYA PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS 1) ENTIENDE EL PROBLEMA El problema aebe ser leiao v analizaao cuiaaaosamente. Es probable que necesites leerlo varias veces. Despues ae que asi lo havas hecho preguntate. ¿Que aebo encontrar? 2) FORMULA UN PLAN Hav muchas formas ae atacar un problema v aeciair que plan es el aaecuaao. Aqui hav algunas estrategias. · Elabora una tabla o un aiagrama. · Busca un patron. · Resuelve un problema similar mas sencillo. · Escribe una ecuacion v resuelvela. · Si una formula es aplicable. usala. · Juelve a revisar el trabaio. · Realiza suposiciones v verificalas. · Utiliza el metoao ae ensavo v error. · Usa el sentiao comun. · Si una respuesta parece bastante obvia o imposible. busca una trampa. 3) LLEJA A CABO EL PLAN Una vez que sepas como enfocar el problema. realiza tu plan. se persistente. Si eres capaz ae resolver un problema sin ningun esfuerzo. entonces esto no tiene mucho ae problema. ¿o si? 23 · PRINCIPIA · 4) REJISA Y COMPRUEBA Comprueba tu respuesta para ver que sea razonable. ¿Satisface las conaiciones ael problema? ¿Has responaiao a toaas las preguntas que se hacen en el problema? ¿Pueaes resolver el problema ae manera aiferente v alcanzar la misma respuesta? George Pólya es autor ael libro clasico How to solve it (Como resolverlo). Originario ae Buaapest. Hungria. murio a la eaaa ae 97 años. En una ocasion se le pregunto por que a finales ae siglo habian surgiao tantos buenos matematicos en su pais. a lo cual responaio. 'se aebe a que la matematica es la ciencia mas economica. no requiere ae ningun equipo costoso, solamente ae lapiz v papel`. ¯ En los ejemplos que a continuación se presentan, te señalamos algunas estrategias que puedes seguir en la solución de problemas a partir de los cuatro pasos de Pólya. EJEMPLO 1 · Una mañana la Sra. Martinez, la Sra. Pérez, la Sra. Torres y la Sra. Gomez Iueron de compras. Sus compras se simpliIicaban por el hecho de que vivian en un pequeño poblado y unicamente habia un comercio de cada tipo. u Cada una de ellas tenia que ir a dos tiendas distintas. u Una de las muieres tenia que visitar la tlapaleria, u dos tenian que ir al banco, u dos tenian que ir al carnicero y u tres tenian que ir a la tienda de abarrotes. · Si: u Dora no Iue a la tienda de abarrotes, u tanto Esther como la Sra. Gomez Iueron al carnicero, u Margarita llego a casa con mas dinero que cuando se Iue y u la Sra. Pérez no Iue a ninguno de los lugares en donde estuvieron Lucia y la Sra. Torres, · ¿cual es el apellido de Margarita? · Siguiendo los pasos de Pólya: 1. ENTIENDE EL PROBLEMA: A pesar de lo extenso del enunciado del problema, la pregunta es clara: deseamos encontrar el apellido de Margarita a partir de todos los datos que se nos proporcionan. 2. FORMULA UN PLAN: Hay varias Iormas de abordar el problema. Una de ellas es la de apoyarnos con una tabla, en la que asignemos una columna a cada señora y revisemos cada enunciado para ver si lo satisIace. La tabla, ademas, hace innecesario que debamos recordar todos los datos. 24 · PRINCIPIA · Dora Esther Margarita Lucía 3. LLEJA A CABO EL PLAN: Vamos revisando cada enunciado, y decidimos a qué señora le corresponde. Si un enunciado no puede ser asignado es porque necesitamos mas datos. En ese caso, pasamos al siguiente enunciado que podemos colocar. Algunos datos se asignan por eliminacion: Dora Esther Margarita Lucía e (1) no Iue a la tienda de abarrotes e (7) el apellido de Dora es Pérez, ya que no Iue a ninguno de los dos lugares donde estuvieron Lucia y la Sra. Torres, y como Lucia Iue a la tienda de abarrotes, sabemos que Dora no Iue e (9) las unicas posibilidades que quedan es que Dora haya ido a la tlapaleria y al banco e (2) Iue al carnicero e (4) Iue a la tienda de abarrotes porque Dora no Iue y deben ir tres e (10) el apellido de Esther es Torres, ya que Dora no Iue a ninguno de los lugares a donde Iueron Lucia y la Sra. Torres, que son al carnicero y a la tienda de abarrotes e (3) como Margarita llego a casa con mas dinero del que se Iue, suponemos que Iue al banco e (5) Iue a la tienda de abarrotes porque Dora no Iue y deben ir tres e (6) Iue a la tienda de abarrotes porque Dora no Iue y deben ir tres e (8) Lucia se apellida Gomez y Iue al carnicero, ya que la otra posibilidad era Dora, pero ya vimos que su apellido es Pérez Respuesta: por lo tanto, el apellido de Margarita es Martinez. 4. REJISA Y COMPRUEBA: Para comprobar que nuestra respuesta es correcta, debemos veriIicar cada una de las premisas del problema. Esto es, leer cada uno de los enunciados y revisar que, con nuestra respuesta, no hayamos llegado a una contradiccion. Los numeros que aparecen en la tabla Iueron colocados en el orden en el que se Iue llegando a cada una de las conclusiones. Esto nos indica que no necesariamente es importante seguir el orden en el que esta redactado el problema. 25 · PRINCIPIA · EJEMPLO 2 En una tribu del Amazonas, donde todavia se practica el trueque como un medio de intercambio de pertenencias, se tienen las siguientes equivalencias: u Un collar y una lanza se cambian por un escudo. u Una lanza se cambia por un collar y un cuchillo. u Dos escudos se cambian por tres cuchillos. · ¿A cuantos collares equivale una lanza? · Siguiendo los pasos de Pólya: 1. ENTIENDE EL PROBLEMA: El problema que se nos presenta es un trueque de articulos. Las premisas del problema involucran equivalencias: pero ninguna es la que nos preguntan. 2. FORMULA UN PLAN: Para representar de una manera distinta las equivalencias dadas en el problema, podemos nombrar a los articulos con una letra. Ahora podemos manipular estas equivalencias escritas de una manera simbolica: 1 Collar ÷ C 1 Lanza ÷ L 1 Cuchillo ÷ K 1 Escuao ÷ E Las equivalencias del problema quedarian escritas como: C · L ÷ E L ÷ C · K 2 E ÷ 3 K 3. LLEJA A CABO EL PLAN: Si L ÷ C · K, entonces 3L ÷ 3C · 3K (1) sabemos también que 2E ÷ 3K (2) sustituyendo (2) en (1), tenemos que 3L ÷ 3C · 2E (3) también sabemos que E ÷ L · C (4) nuevamente, sustituyendo (4) en (3), resulta 3L ÷ 3C · 2C · 2L esto es, 3L ÷ 5C · 2L si quitamos dos lanzas de ambos lados llegamos a la pregunta original: Respuesta: L ÷ 5C : una lanza equivale a cinco collares. 4. REJISA Y COMPRUEBA: Si leemos las aIirmaciones del problema, podemos comprobar que nuestra respuesta es correcta. 26 · PRINCIPIA · EJEMPLO 3 Completa los espacios en blanco, de tal manera que resuelvas la siguiente multiplicacion. Deberas usar todos los digitos (0, 1, 2, 3, ... 9) exactamente una vez, y lograr que el producto sea correcto: 0 2 X 3 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 5, · Siguiendo los pasos de Pólya: 1. ENTIENDE EL PROBLEMA: El problema es claro, debemos llenar los espacios con los digitos Ialtantes, de tal manera que no se repitan. Observa que no aparece todo el procedimiento de la operacion: unicamente los numeros que se van a multiplicar y el resultado Iinal. 2. FORMULA UN PLAN: De los 10 digitos, ya estan colocados el 0, el 2, el 3 y el 5. Por lo tanto, nos quedan por colocar en los espacios los numeros 1, 4, 6, 7, 8 y 9. Puesto que en el cuerpo de la operacion tenemos 2 incognitas, vamos a Iormar pareias con estos digitos, donde el primer numero se va a colocar en el espacio a la derecha del 3, y el segundo numero que Iorma la pareia representara el espacio en blanco a la izquierda del 0. Trataremos de encontrar la respuesta mediante el método de ensayo y error. 3. LLEJA A CABO EL PLAN: Entonces, podemos Iormar pareias con los numeros 1, 4, 6, 7, 8 y 9, como se muestra: 1, 4 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 4, 1 4, 6 4, 7 4, 7 4, 9 6, 1 6, 4 6, 7 6, 8 6, 9 7, 1 7, 4 7, 6 7, 8 7, 9 8, 1 8, 4 8, 6 8, 7 8, 9 9, 1 9, 4 9, 6 9, 7 9, 8 Haciendo esta tabla, podemos visualizar el tamaño de la tarea y tener el control de la misma. Como puedes ver, son muchas las posibilidades para llegar a la respuesta. Quizas podamos deshacernos de algunas pareias automaticamente y ahorrarnos un poco el trabaio. 27 · PRINCIPIA · Por eiemplo, si probaramos con la primera Iila de la tabla, esto es, la Iila que inicia con 1, al colocar la primera pareia en los espacios tendriamos la siguiente operacion: 4 0 2 X 3 1 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 4 0 2 1 2 0 6 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 1 2, 4 6 2 De inmediato apreciamos que el numero 2 se repetiria, ya que al sumar las columnas para llegar al resultado Iinal, el primer numero de la derecha es 2. Entonces, como no nos sirve colocar ahi el numero 1, todas aquellas pareias que inician con 1, quedan automaticamente descartadas. También puedes observar que, para todas aquellas pareias que inician con 6 ocurre lo mismo, asi que también las descartamos. Y asi, empezamos a probar con las posibles pareias restantes. Por eiemplo, utilizando la siguiente Iila de nuestra tabla, con la pareia 4, 1: 1 0 2 X 3 4 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 4 0 8 3 0 6 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 0 3, 4 6 8 Vemos que no es la respuesta correcta, ya que se repiten el 0, y el 4: y el 5, antes establecido, no aparece. Si probamos con la pareia 4, 6: 6 0 2 X 3 4 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 2 4 0 8 1 8 0 6 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 2 0, 4 6 8 28 · PRINCIPIA · De igual manera, vemos que no es la respuesta correcta, ya que el 5 establecido no aparece, y el 4 y el 6 se repiten. Al continuar probando, llegamos a que con la pareia 9, 4 tenemos la siguiente respuesta: Respuesta: 4 0 2 X 3 9 ¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸ 3 6 1 8 1 2 0 6 1 5, 6 7 8 4. REJISA Y COMPRUEBA: Al eIectuar la operacion, comprobamos que nuestra respuesta es correcta. ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS Los siguientes eiercicios pueden ser trabaiados en equipo o de manera individual. Tu proIesor te dara las indicaciones. 4 16. Un señor que vende huevos tiene ante si seis cestas. Cada una tiene huevos de una clase: de gallina o de pata y cada cesta tiene el numero de huevos que se indica: El señor dice, señalando una cesta: 'Si vendo esta cesta, me quedara el doble de huevos de gallina que de pata.¨ ¿Podrias averiguar de qué cesta esta hablando? 17. Escoge dos numeros naturales. Suma 1 al segundo y dividelo entre el primero para obtener un tercer numero. Suma 1 al tercero y dividelo entre el segundo para obtener un cuarto numero. Suma 1 al cuarto y dividelo entre el tercero para obtener un quinto numero. Continua este proceso hasta que descubras un patron. ¿Cual es el patron? 18. Algunos niños estan parados Iormando un circulo. Se encuentran separados a la misma distancia uno del otro y marcados en orden numérico. El cuarto niño se encuentra parado exactamente enIrente del duodécimo niño. ¿Cuantos niños hay en el circulo? 4 Si deseas revisar mas actividades relacionadas con esta unidad, puedes recurrir al libro Matematica. Razonamiento v Aplicaciones de Charles D. Miller, Vern E. Heeren y E. Jhon Hornsby, JR. Editorial Pearson Education. 29 · PRINCIPIA · 19. En el vértice de una caia con dimensiones 2 x 3 x 4 se encuentra una araña que quiere ir al vértice opuesto caminando sobre las caras de la caia. ¿Cual es la distancia minima que debe recorrer? 20. En una mesa hay cierto numero de columnas con discos. Una iugada consiste en elegir una de las columnas, quitar un disco y dividir lo que resta de la columna en dos columnas, no necesariamente iguales. Gana el iuego quien logre obtener una situacion donde cada columna tenga exactamente tres discos. Si Alvaro inicia el iuego teniendo una sola columna con 1,000 discos, ¿puede, después de alguna sucesion de iugadas, ganar? · ¿Por qué? 21. Dibuia un diagrama que cumpla con la descripcion siguiente, usando el numero minimo de paiaros: 'Dos aves por encima de un ave, dos aves por debaio de un ave y un ave entre dos aves¨. 22. Tenemos 9 monedas idénticas a la vista, 8 son auténticas y pesan lo mismo, la Ialsa pesa menos. ¿Podrias identiIicar la moneda mas ligera eIectuando exactamente dos pesaies en la balanza? · Si ahora son 27 monedas, ¿cuantos pesaies necesitas para encontrar la Ialsa? Sugerencia: Considera el caso con las 9 monedas. 23. Ricardo, Luis y Sebastian tienen cada uno su deporte Iavorito, -el tenis, el Iutbol y el baloncesto- y no hay dos de ellos que coincidan en el mismo deporte. A Ricardo no le gusta ni el Iutbol ni el baloncesto, a Luis no le gusta el Iutbol. ¿Cual es el deporte Iavorito de cada uno de ellos? 24. Cinco personas tienen las siguientes masas corporales: 10, 20, 30, 40 y 50 kilogramos, respectivamente. Los cinco deben cruzar el rio en un bote que solo admite una carga de 50 a 70kg, es decir, ni menos de 50 ni mas de 70. Observa que no todos pueden cruzar al mismo tiempo, ya que se rebasaria el peso limite del bote. · Diseña una estrategia que indique como deberan cruzar baio estas condiciones. 25. MAS SOBRE LA SECUENCIA FIBONACCI. Los patrones Fibonacci han fascinaao a cientificos v artistas aurante siglos. va que se han encontraao en numerosos aspectos ae la naturaleza. 5 En seguida te proponemos mas actividades en torno a este tema. Llamaremos a F n el numero de Fibonacci en la n-ésima posicion de la secuencia. Por eiemplo: F 1 =1. es el primer término de la sucesion, F 2 =1 . el segundo término, F 3 =2 . el tercero, F 4 =3 . el cuarto, y asi sucesivamente. 5 Por eiemplo, las abeias obreras macho se incuban de huevos que no han sido Iertilizados: asi, una abeia macho tiene solo un padre: una hembra. Por otro lado, las abeias obreras hembra se incuban de huevos Iertilizados, asi, una abeia hembra tiene dos padres: un macho y una hembra. Observamos que en la primera generacion hay una abeia, en la segunda hay una abeia, en la tercera hay dos abeias, etc. Estos son los términos de la secuencia de Fibonacci. Ademas, empezando con la segunda generacion, el numero de abeias hembra Iorma la secuencia, y empezando con la tercera generacion, el numero de abeias macho Iorma la secuencia. 30 · PRINCIPIA · Observemos que: F 1 +F 2 =F 3 F 2 +F 3 =F 4 F 4 +F 5 =F 6 En general, F ¦n-2) +F ¦ n-1) =F n para n>3. ¯ Aquí, únicamente observaremos los patrones; y no intentaremos proporcionar pruebas, las cuales se realizan por inducción matemática. · El décimo sexto numero de Fibonacci es 987 y el décimo séptimo es de 1597. ¿Cual es el décimo octavo numero de Fibonacci? · Recuerda que F n representa el numero de Fibonacci en la n-ésima posicion de la secuencia. ¿Cuales son los unicos dos valores de n en los que F n =n ? · F 23 =28657 v F 25 =75025. ¿Cual es el valor de F 24 ? · Si dos términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci son impares, ¿el término siguiente es par o impar? Comprueba para cuatro pareias de numeros. · Otro resultado, haciendo mencion a la secuencia de Fibonacci, es que todo numero natural puede expresarse como una suma de numeros de Fibonacci, donde un numero no se usa mas de una vez. Por eiemplo, 25 ÷ 21 ¹ 3 ¹ 1. Expresa cada uno de los siguientes numeros de este modo: a) 37 b) 40 c) 52 Fibonacci. aescubriaor ae la secuencia matematica que lleva su nombre. v un eiemplo ae la misma en la naturaleza. ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 3 Un camino circular esta Iormado por 17 piedras que numeramos 0, 1, 2, 3, ... 16. Bruno empieza en la piedra numero 0 y se mueve a la piedra numero 1, luego da cuatro pasos hasta la piedra numero 5, luego 9 pasos hasta la piedra numero 14 y asi continua hasta que al Iinal da 2005 2 pasos y se pone a descansar. ¿En qué piedra esta descansando? Sugerencia: 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +. . .+n 2 = ¦n¦ n+1)¦ 2n+1)) 6 . 31 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 4 Se escriben en una lista los multiplos de 7 y 8, de la siguiente Iorma: 7, 8, 14, 16, 21, 24 ... y los numeros que sean multiplos comunes se escriben una sola vez. ¿Qué numero aparece en la posicion 2005? ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 5 En la siguiente composicion se muestran tres arreglos de cubos que llamamos Iiguras 1, 2 y 3, respectivamente: · ¿Cuantas caras podras ver en la Iigura 10? ¿Cuantas en la Iigura n? Sugerencia: Si la diIerencia entre cualesquiera dos términos consecutivos es constante, digamos a, a la progresion se le llama aritmética, y la suma de los primeros n términos es: a 0 +a 1 +a 2 +. . .+a n =¦ n+1) a 0 +n ¦n+1) 2a . ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA 6 EL NUEJO ELEUSIS En iunio ae 1959 aparecio un articulo muv interesante en la revista ScientiIic American, referente a un iuego llamaao Eleusis. El iuego. el cual se iuega con un par ae mazos ae cartas ae poker. es nombraao ae esa forma por los misterios eleusinianos antiguos. ritos religiosos en los cuales los iniciaaos aprenaian las reglas secretas ael culto. Este iuego es ae especial interes para los matematicos v cientificos. va que provee un moaelo ae inauccion. que es el nucleo conceptual ael metoao cientifico. · Las siguientes son las reglas que no debes romper en el transcurso del iuego... si quieres que tu alma sea salvada: 1. El Oraculo, que es un iugador, debe hacer una regla secreta (patron inductivo). La regla secreta debe escribirse sin ambigüedad en una hoia en blanco para Iutura conIirmacion. El Oraculo puede dar una ayuda antes de que el iuego empiece. 2. El Oraculo reparte 14 cartas del mazo doble a los iugadores (minimo 4, maximo 8), y ninguna a él mismo. 3. El Oraculo coloca una carta de inicio al extremo izquierdo de la superIicie del iuego. Para determinar qué iugador inicia el iuego, el Oraculo cuenta en el sentido de las manecillas del reloi iniciando con él mismo y terminando en el iugador que iguale al numero de la carta inicial. 32 · PRINCIPIA · 4. El Oraculo dira correcto si la tirada se apega a la regla y la carta se colocara a la derecha de la carta inicial sobre la linea principal (horizontal): o incorrecto, en cuyo caso la carta se colocara directamente debaio de la carta iugada en sentido vertical y se daran dos cartas mas al iugador en turno. 5. Si algun iugador intuye que ha adivinado la regla puede iugar una cadena de 2, 3 o 4 cartas en una sola tirada. El iugador debe colocar las cartas traslapadas sobre la mesa, permitiendo que todos los iugadores observen su cadena. 6. Si una o mas cartas en la cadena del iugador son incorrectas, el Oraculo declara que la cadena completa es incorrecta, y se le dan al iugador el doble de cartas que baio, sin señalar las cartas incorrectas de la cadena. 7. Si el iugador en turno cree conocer la cadena secreta pero no tiene alguna carta que pueda ser iugada legalmente, debera decir 'paso¨ y mostrar su mano a todos los iugadores. Si el Oraculo declara que el iugador esta en lo correcto, y su mano tiene 4 cartas o menos, éstas se regresan al mazo y el iuego termina. Si el iugador esta en lo correcto y tiene 5 cartas o mas, su mano se regresa al mazo y se le devuelve una nueva mano con cuatro cartas menos de las que tenia inicialmente. 8. Si el iugador esta en lo incorrecto al declarar que 'pasa¨, el Oraculo toma una de sus cartas correctas y la pone en la linea principal. El iugador se queda con el resto de sus cartas y se le dan 5 mas. 9. El iuego termina si sucede cualquiera de estas dos situaciones: a) Se excede el tiempo de iuego de una hora, en cuyo caso gana el iugador que tenga el menor numero de cartas. b) Si algun iugador termina todas sus cartas antes del tiempo establecido. 33 · PRINCIPIA · 34 · PRINCIPIA · u UNIDAD 2 ARITMÉTICA PROPOSITO Comprenaeras la importancia ael aesarrollo ae proceaimientos para manipular numeros. los cuales nos permitiran comparar o meair cantiaaaes fisicas que se utilizan en aiversas activiaaaes ae la viaa cotiaiana. Asimismo. observaras que los numeros enteros son insuficientes para realizar meaiciones mas precisas v que 'por lo tanto` es necesario conocer los numeros racionales o fracciones. con sus respectivas operaciones v aplicaciones. Reconoceras tambien los aiferentes lenguaies v corresponaencias ae estos numeros. tales como aecimales. proporciones v porcentaies. INTRODUCCION El numero, una de las creaciones mas utiles que ha inventado la mente humana, puede considerarse dentro de las primeras abstracciones que surgieron de la necesidad de contar. Estudiando las civilizaciones antiguas, podemos percibir la evolucion del numero, desde los primeros trazos o simbolos representando cierta cantidad de obietos, hasta el agrupamiento de los mismos representado por nuevos simbolos, llegando Iinalmente al proceso mas compleio: otorgar un valor al simbolo segun la posicion que ocupa. Es a partir de este momento que surge el desarrollo de la aritmética. Los mayas y los romanos, por eiemplo, inventaron sistemas de numeracion por agrupacion. Los egipcios y los hindués desarrollaron sistemas posicionales, siendo la numeracion indoarabiga la antecesor de los numeros que actualmente utilizamos. Aqui puedes apreciar tres eiemplos de sistemas de numeracion: china, egipcia y maya: En esta unidad trabaiaras el desarrollo de la aritmética recorriendo los numeros naturales, enteros y racionales de manera similar a como Iueron surgiendo a lo largo de la historia: es decir, a partir de necesidades sociales y del entorno, tales como contar, censar, distribuir, desarrollar o comerciar. 35 · PRINCIPIA · 2.1 NÚMEROS ENTEROS Los primeros numeros que surgieron Iueron los números naturales, también llamados ae conteo, los cuales son: 1, 2, 3, 4, 5, ... Este coniunto de numeros se representa con el simbolo N . Mas Iormalmente: N ÷ ¦1,2,3,. ..¦ Los numeros naturales son insuIicientes para resolver ciertos problemas, y es necesario ampliarlos a un coniunto mas grande de numeros. El siguiente eiemplo muestra que tener solamente los numeros naturales no es suIiciente: · ¿Qué numero natural tendremos que colocar en los siguientes espacios para que dé como resultado el numero que se indica? 8+[ |=11 4+[ |=2 5-5=[ | Es claro que, en el primero, se debe escribir el numero natural 3 porque 8¹3 ÷ 11. En el segundo caso, hay problemas para encontrar un numero natural que sumado con 4 dé 2. Tal numero no existe. De igual manera, no es posible encontrar ningun numero natural que dé como resultado la resta de 5 consigo mismo. Operaciones tan sencillas como éstas son imposibles de resolver con los numeros naturales. De esta manera, surge la necesidad de ampliar este coniunto a otro, llamado números enteros. simbolizado por Z. Z ÷ ¦... .-4,-3,-2,-1, 0,1, 2, 3, ...¦ El coniunto de los números enteros esta constituido por los numeros naturales, el cero y los inversos aaitivos 6 de éstos: Z ÷ ¦... .-4,-3,-2,-1, 0,1, 2, 3,...¦. Este coniunto se puede representar en una recta numérica como sigue: -------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'------- ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... Los numeros a la izquierda del 0 son numeros negativos. Los que se hallan a la derecha del 0 son numeros positivos. El 0 no se considera ni positivo ni negativo. 6 El inverso aditivo de un numero natural n es el numero -n, de tal manera que n+(-n)÷0. 36 · PRINCIPIA · Observemos que este nuevo coniunto de numeros resuelve el problema anterior. Asi: 4+[-2|=2 5-5=[0| Podemos apoyarnos en una recta numerica para encontrar estos numeros: · 4+[-2|=2. -------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'------- ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... · 5-5=[0|. -------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'------- ... -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... En el primer caso, avanzamos 4 unidades a la derecha y de ahi nos regresamos 2, dando como resultado 2. Para el segundo, avanzamos 5 unidades a la derecha y de ahi nos regresamos 5 unidades a la izquierda, llegando al numero entero 0. La recta numérica nos ayuda a entender y visualizar las operaciones de suma de numeros enteros. Los numeros positivos avanzan a la derecha y los negativos a la izquierda. La medida de cada unidad, depende del tamaño que se Iiie. ¯ En las siguientes actividades compara y discute tus resultados con tus compañeros. ACTIVIDAD 1 Escribe el numero entero adecuado en los siguientes espacios. Comprueba que eIectivamente son correctos tus resultados dibuiando una recta numérica para cada caso. a) [ |+4=1 b) 5+[ |=-3 c) 7+[ |=3 d) -6+[ |=-8 e) -9+[ |=-7 La utilidad de los numeros negativos puede verse en situaciones que surgen en la vida diaria. Por eiemplo, necesitamos numeros negativos para expresar las temperaturas que descienden por debaio de cero. Las medidas sobre el nivel del mar se consideran positivas (altitudes) y las medidas que se hallan por debaio, negativas (proIundidades). Si una compañia pierde dinero, sus ganancias son negativas. De esta manera, cuando los problemas matematicos tratan de pérdidas y ganancias, las ganancias pueden interpretarse como numeros positivos y las pérdidas como numeros negativos. EJEMPLO 1 Pablo gano 9 yardas en la primera iugada, y en la segunda perdio 12 yardas. ¿Cuantas yardas gano o perdio? 37 · PRINCIPIA · SOLUCION Debemos sumar 9 positivo y 12 negativo: 9+¦-12)=-3 . En total, Pablo perdio 3 yardas. Como veras, si esta operacion la realizas en una recta numérica, la posicion Iinal queda del lado izquierdo del cero, por eso el resultado es negativo. ACTIVIDAD 2 El 23 de enero de 1943, la temperatura se elevo 49 o F en dos minutos en SpearIish, Dakota del sur. Si la temperatura inicial Iue de -4 o F , ¿cual Iue la temperatura dos minutos mas tarde? ACTIVIDAD 3 En una serie de tres iugadas consecutivas, Herschel Walker gano 4 yardas, perdio 3 yardas y perdio 2 yardas. ¿Qué numero, positivo o negativo, representa su ganancia neta total de yardas para la serie de iugadas? ACTIVIDAD 4 En un laboratorio se tienen dos termometros con la misma escala, y que cambian de la misma Iorma (si uno aumenta dos grados, el otro también): pero uno de ellos esta desIasado: cuando el primero marca 32°, el segundo marca -3°. · ¿Cuanto marcara el segundo si el primero marca 150°? · Y si el segundo marca -5°, ¿cuanto marcara el primero? Los numeros enteros poseen ciertas propiedades de suma y multiplicacion. Estas propiedades son sumamente importantes ya que de aqui se deriva el resultado correcto de las operaciones que realicemos: Propiedades de los números enteros Si a, b y c son numeros enteros, entonces: · Se cumple la propiedad conmutativa: a · b ÷ b · a y ab ÷ ba · Se cumple la propiedad asociativa: a · (b · c) ÷ (a · b) · c y a(bc) ÷ (ab)c · Existe un numero entero 0 llamado neutro aditivo, tal que a · 0 ÷ a y 0 · a ÷ a · Existe un numero entero 1 llamado neutro multiplicativo, tal que a1=a y 1a=a · Para cada numero entero a existe un solo numero entero a llamado inverso aditivo, tal que a · (a) ÷ 0 y (a) · a ÷ 0 · Se cumple la propiedad distributiva: a(b · c) ÷ ab · ac y (a · b) c ÷ ac · bc 38 · PRINCIPIA · Segun la propiedad inversa de la tabla anterior, el inverso aditivo de 7 es -7, el inverso aditivo de 1 es -1, el inverso aditivo de -5 es -¦-5)=5, el inverso aditivo de -10 es , -¦-10)=10, etc. En general, se tiene que para cualquier numero entero: Si a es un numento entero, entonces -¦-a)=a . EJEMPLO 2 El récord de la temperatura mas alta en Estados Unidos: 134°F, Iue registrado en el Valle de la Muerte, CaliIornia, en 1913. El récord de la temperatura mas baia Iue de -80 o F en Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la diIerencia entre la temperatura mas alta y la mas baia? SOLUCION Debemos eIectuar una resta entre el valor de la temperatura mas alta con respecto al de la temperatura mas baia para encontrar la diIerencia entre ellas: 134-¦-80)=134+80=214. Observemos que en el segundo paso de esta operacion, hemos usado la propiedad inversa anterior de signos. Asi, la diIerencia entre la temperatura mas alta y la mas baia es de 214 o F . ACTIVIDAD 5 Las dos tablas muestran las alturas de ciertas montañas y la proIundidad de algunas depresiones: Montaña Altura (pies) Depresión Profundidad (pies) Foraker 17 400 Filipinas -32 995 Wilson 14 246 Caiman -24 721 Pikes 14 110 Java -23 376 a) ¿Cual es la diIerencia entre la altura del monte Foraker y la proIundidad de la Iosa de Filipinas? b) ¿Qué tanto es mas proIunda la Iosa de Caiman que la Iosa de Java? c) ¿Cual es la diIerencia entre la altura del monte Pikes y la proIundidad de la Iosa de Java? ACTIVIDAD 6 EIectua las siguientes sumas de numeros enteros. a) 4-¦-8)= b) -7-¦-10)= c) 4+¦-9)= d) -6+10= e) -¦-3)+3= 39 · PRINCIPIA · 2.1.1 OPERACIONES ø SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Al sumar numeros enteros podemos apoyarnos en una recta numérica para visualizar y entender el comportamiento de los signos. Esto nos ayudara a comprender meior esta operacion. · Si son positivos los dos numeros, es claro que la suma dara positiva. · Si son dos numeros negativos, la suma sera negativa. · Si los numeros tienen signo diferente, eIectua la resta usual: resta el numero menor del numero mayor: el signo de esta suma es el que corresponde al signo del numero mayor. EJEMPLO 3 VeriIica las siguientes sumas de numeros enteros: a) -10+¦-7)=-17 . b) -3+¦-15)=-18 . c) -1+¦-1)=-2. d) -3+¦-5)+¦-2)=-10. e) -2+¦-1)+¦-4)+¦-6)=-13 . I) 10+¦-8)=2. g) 14+¦-5)=9. h) 12+¦-13)=-1. i) -10+6=-4. Estas operaciones se pueden comprobar utilizando la recta numérica. Por eiemplo, el inciso a): -'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'- -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Avanzamos 10 unidades a la izquierda del 0, y de ahi avanzamos 7 unidades mas a la izquierda para llegar a -17, que es el resultado de la suma de -10 y -7. ACTIVIDAD 7 EiempliIica con una recta numérica las operaciones anteriores. 40 · PRINCIPIA · ø SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La sustraccion o resta de numeros enteros es en realidad una suma. El resultado de la sustraccion se conoce como diferencia. EJEMPLO 4 La diIerencia entre 8 y 3 es 5, es decir: 8 3 ÷ 5. Esto también se puede escribir como: 8 ¹ ( 3) ÷ 5. De manera similar: 7 4 ÷ 7 ¹ ( 4) ÷ 3. Esto se puede resumir de la siguiente manera: Si a, b son numeros enteros, a b ÷ a ¹ ( b). Pongamos en practica esta propiedad por medio de los siguientes eiemplos: EJEMPLO 5 VeriIica las siguientes restas: a) 18-20=18+¦-20)=-2. b) 6-10=6+¦-10)=-4 . c) 10-10=10+¦-10)=0. d) -3-¦-1)=-3+1=-2. e) 5-¦-3)=5+3=8. I) -7-4=-7+¦-4)=-11. g) -3-5-8=-3+¦-5)+¦-8)=-16 . Puedes observar que en los incisos d) y e) ya no Iue necesario pasarlos a suma, puesto que se aplico directamente la primera ley de signos que vimos: ( a) ÷ a. 41 · PRINCIPIA · ø SIGNOS DE AGRUPACIÓN Con Irecuencia las operaciones de sumas y restas se combinan en un mismo problema. Estas combinaciones se construyen con ayuda de los signos de agrupación (parentesis: ( ), corchetes. [ ], etc.), que se utilizan para asociar o agrupar coniuntos de numeros relacionados por medio de una o varias operaciones aritméticas. Cuando una operacion se encierra entre signos de agrupacion, ello nos indica que dicha operacion tiene que eIectuarse primero, después, con el resultado obtenido, realizar las demas operaciones indicadas. Por eiemplo: · En la expresion 5 ¹ (2 3), los parentesis ordenan que primero se eIectue la diIerencia 2 3, y después se sume 5 a ese resultado. · En la expresion (13 8) (15 ¹ 3) ¹ (4 ¹ 2), los parentesis señalan que primero se deben eIectuar las operaciones señaladas dentro de ellos y después, con los resultados obtenidos, eiecutar el resto de las operaciones que se indican. · Cuando uno o mas signos de agrupacion se encuentran encerrados dentro de otros, las operaciones deben eIectuarse desde dentro hacia aIuera, eliminando de uno en uno cada subagrupacion. EJEMPLO 6 Para realizar la operacion 15 ¹ [5+¦6+3)-¦-8-2)|, primero debemos eIectuar las operaciones que se encuentran dentro del corchete. Asi, 15 ¹ | 5 ¹ ( 6 ¹ 3 ) ( 8 2 ) | ÷ 15 ¹ | 5 ¹ 9 ( 10 ) | ÷ 15 ¹ | 5 ¹ 9 ¹10 | ÷ 15 ¹ | 24 | ÷ 39. ACTIVIDAD 8 Realiza las siguientes sumas de numeros enteros. a) 5 ¹ ( 3 ) ¹ ( 2 ) ÷ b) 10 ¹ ( 5 ) ÷ c) 7 ¹ 2 ÷ d) 3 ¹ ( 12 ) ÷ e) 8 5 ÷ I) 3 10 ÷ g) 1 8 ÷ h) 1 ( 4 7 ) ÷ i) ( 3 5 ) ¹ ( 5 3 ) ¹ 5 ÷ i) 2 ¹ | ( 2 ¹ 8 ) ¹ ( 5 11 ) | ÷ 42 · PRINCIPIA · ø MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS A Iin de obtener de manera inductiva una regla para la multiplicacion de un numero entero positivo y uno negativo, observemos el patron de los siguientes productos 7 : 35=15 34=12 33=9 32=6 31=3 30=0 3¦-1)=¿? · ¿Qué numero debe asignarse al producto 3¦-1) , de tal manera que se mantenga el patron anterior? Los numeros a la izquierda del signo ' ÷ ¨ disminuyen de 1 en 1, y los productos de la derecha decrecen de 3 en 3. Entonces, para mantener el patron, el producto de la ultima multiplicacion, es 3 unidades menos que 0, esto es 3: es decir, 3¦-1)=-3. El patron continua si seguimos multiplicando los siguientes enteros negativos por 3¦-2)=-6 3¦-3)=-9 3¦-4)=-12 . y asi sucesivamente. De manera analoga, -32=-6 -33=-9 -34=-12. Para averiguar qué pasa con la multiplicacion de dos numeros negativos, observemos el siguiente patron: -43=-12 -42=-8 -41=-4 -40=0 -4¦-1)=¿? Notese que los numeros a la izquierda del signo de igualdad disminuyen de 1 en 1, y los productos de la derecha aumentan de 4 en 4. Entonces, el producto -4¦-1) debe ser 4 unidades mas que 0, es decir, -4¦-1)=4. 7 Recuerda que el producto es el resultado de la multiplicacion de numeros. 43 · PRINCIPIA · Asi que también se tiene -4¦-2)=8 -4¦-3)=12 -4¦-4)=16 . Podemos resumir esto como sigue: Ley de los signos para la multiplicación Signos iguales: El signo del producto de dos numeros enteros con el mismo signo es positivo. Signos diferentes: El signo del producto de dos numeros enteros con signo diIerente es negativo. EJEMPLO 7 a) -56=-30. b) -5¦-4)=20 . c) 7¦-2)=-14. d) -3¦ 4)+2¦-6)=-12+¦-12)=-24 . e) -2¦-4)+6¦-4)=8+¦-24)=-16 . I) 2[¦-5+2)+¦8-3)|=2[-3+5|=2[ 2|=4. g) ¦-3)[¦-2-3)-¦-2-4)|=¦-3)[-5-¦-6)|=¦-3)[-5+6|=¦-3)[1|=-3. 44 · PRINCIPIA · ø 1ERARQUIA EN EL ORDEN DE LAS OPERACIONES Cuando eIectuamos operaciones con numeros enteros que son combinaciones de suma y multiplicacion, comunmente cometemos errores. Esto se debe a que queremos comenzar reduciendo la operacion de izquierda a derecha, sin respetar el orden de las operaciones, y esto no siempre debe ser asi. Por eiemplo, la operacion 5-32. Comunmente empezariamos restando 5 3 y después multiplicando el resultado por 2. Esto es: 5-32=22=4. Este es el típico error que cometemos. En realidad, se debe eIectuar primero la multiplicacion de 3 x 2, y después se debe restar 5 a este resultado: 5-32=5-6=-1. Vemos que los dos resultados no tienen nada que ver uno con otro. Analogamente, para reducir 85-1 . se debe eIectuar primero la multiplicacion y después la resta. Asi: 85-1=40-1=39. EJEMPLO 8 a) 3 2 ( 3 1 ) ÷ 3 2 ( 2 ) ÷ 3 4 ÷ 1. b) 8 ¹ 2 ( 4 7 ) ÷ 8 ¹ 2 ( 3 ) ÷ 8 ¹ ( 6 ) ÷ 2 . c) 1 2 ( 5 2 ) ÷ 1 2 ( 3 ) ÷ 1 6 ÷ 5. d) 4 3 | 2 2 ( 3 5 ) | ÷ 4 3 | 2 2 ( 2 ) | ÷ 4 3 | 2 ¹ 4 | ÷ 4 3 | 6 | ÷ 4 18 ÷ 14. e) 5 2 | 5 2 ( 5 2 ) | ÷ 5 2 | 5 2 ( 3 ) | ÷ 5 2 | 5 6 | ÷ 5 2 | 1 | ÷ 5 ¹ 2 ÷ 7. Observemos que en cada una de las operaciones anteriores, primero tuvimos que reducir lo que hay dentro de cada paréntesis, y después respetar el orden de las operaciones: primero la multiplicacion y después la suma o resta. Al resolver operaciones combinadas de numeros enteros, primero se resuelven los paréntesis, después las multiplicaciones, y Iinalmente sumas o restas. Aqui ya no usamos el punto para indicar que estamos multiplicando. Se entiende que entre un numero y un paréntesis o corchete debe eIectuarse una multiplicacion. 45 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 9 Realiza las siguientes operaciones: a) ( 8 ) ( 3 ) ÷ b) ( 5 ) ( 4 ) ÷ c) ( 7 ) ( 4 ) ÷ d) ( 7 ) ( 1 ) ¹ 3 ( 8 ) ÷ e) ( 3 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ÷ I) ( 5 ) | ( 8 ¹ 2 ) ( 4 2 ) | ÷ g) 8 4 ( 5 2 ) ÷ h) ( 4 9 ) 2 5 ÷ i) 1 ¹ 3 | ( 8 9 ) ¹ ( 10 8 ) | ÷ i) 2 2 | 1 2 ( 2 4 ) | ÷ 46 · PRINCIPIA · ø DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Ahora deIiniremos la división entre dos numeros enteros. Si a, b, y c son numeros enteros, donde b=0. entonces, a b =c signiIica a=bc. Al numero c se le llama cociente. Es decir, al resultado que se obtiene de dividir 2 numeros enteros se le denomina cociente. EJEMPLO 9 a) 9 3 =3 porque 9=33. b) 20 4 =5 porque 20=45. c) 15 -5 =-3 porque 15=¦-5)¦-3) . d) -15 5 =-3 porque -15=5¦-3) . A partir de estos eiemplos vemos que el resultado de la division de 2 numeros enteros con signo igual arroia un numero entero positivo, y el resultado de la division de 2 numeros enteros con signo diferente es negativo. Esto lo podemos resumir de la siguiente manera: Ley de los signos para la división ( ) ( ) + ÷ ÷ ( ) ( ) + + + ( ) ( ) ÷ ÷ + ( ) ( ) ÷ + ÷ Ahora analicemos el caso cuando el cociente es cero: para ello contestemos la siguiente pregunta: · ¿Cual es el cociente de dividir 0 entre cualquier numero entero a=0 ? 47 · PRINCIPIA · · La respuesta es 0, esto es: 0 a =0 porque 0=a0. 0 dividido entre cualquier numero entero diIerente de cero es 0. · ¿Cual es el cociente al dividir 8 entre 0? Entonces nos debemos preguntar, ¿qué numero multiplicado por 0 da 8? No existe tal numero, ya que el producto de 0 por cualquier numero entero es 0. Por lo que podemos deducir que no hay un cociente de 8 0 . Por otra parte, 0 multiplicado por cualquier numero entero, es 0. Entonces existe un numero inIinito de cocientes para la division 0 0 , lo cual no se permite, ya que el cociente de una division debe ser unico. De esto podemos deducir que: La division entre 0 no esta deIinida. · ¿Cual es el cociente de 9 7 ?, es decir, ¿qué numero entero multiplicado por 7 da 9? La respuesta es que no existe ningun numero entero que multiplicado por 7 dé 9, por lo que no hay cociente para esta division: sin embargo, en el siguiente capitulo encontraremos un cociente. Para ello, en la siguiente seccion introduciremos el coniunto de los números racionales. 1ohann Carl Friedrich Gauss (1777-1855). matematico. astronomo v fisico aleman. fue uno ae los mas granaes cientificos ae toaos los tiempos. Entre sus aportaciones se encuentran la solucion ae los Poligonos Regulares trazaaos a regla v compas. el Teorema funaamental ael Algebra. el Teorema ae los Numeros Primos v la prueba ae Reciprociaaa Cuaaratica. Su trabaio permitio el aescubrimiento ae la Geometria Hiperbolica ae Bolvai, introauio la Constante Gravitacional Gaussiana. aesarrollo la Geoaesica v colaboro con W. Weber en los terrenos ae la electriciaaa v el electromagnetismo. El enfasis que otorgo a la aritmetica nos permite comprenaer por que se aice. "La Matematica es la reina ae las ciencias. v la aritmetica. la reina ae las matematicas." 48 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 1. EIectua las siguientes operaciones, indicando en la recta numérica la operacion realizada. a) 7 ¹ ( 4 ) ÷ b) 3 ¹ ( 1 ) ÷ c) 10 ( 5 ) ¹ 5 ÷ d) 6 ( 6 ) ÷ e) 20 ¹ 12 ÷ I) 6 12 ÷ g) 8 ( 10 ) ÷ h) 5 6 ¹ ( 3 ) ( 4 ) ÷ 2. EIectua las operaciones de numeros enteros. a) 2 ( 3 2 ) ¹ ( 4 8 ) ( 7 2 ) ÷ b) 15 ( 3 ) ¹ 6 ¹ ( 7 ) | 8 ( 3 ) | ¹ 4 ÷ c) 7 ¹ ( 4 8 ) 5 ( 7 3 ) 4 | 3 ( 1 ) | ¹ 1 ÷ d) 5 ( 6 5 ) ¹ 2 ( 1 ¹ 3 ) ¹ 7 ( 6 6 ) ÷ e) 3 ¹ 6 3 | 8 ( 8 ) | ÷ I) 3 ¹ 2 ( 8 11 ) 3 ( 3 ¹ 3 ) 3 ÷ g) 4 4 ( 3 1 ) ¹ 5 ( 2 2 ) ÷ h) 3 ¹ ( 4 7 ) ¹ ( 8 4 ) ¹ ( 1 3 ) ¹ ( 0 2 ) ÷ i) ( 3 ¹ 8 ) ( 2 7 ) ( 3 1 ) ( 4 ) ÷ i) 2 | ( 3 8 ) ¹ ( 4 7 ) ( 3 3 ) ¹ 1 | ÷ 49 · PRINCIPIA · 2.2 NÚMEROS RACIONALES Se cree que Iueron los egipcios quienes usaron por primera vez las Iracciones, utilizando Iracciones de la Iorma 1 n . por eiemplo: 1 2 , 1 3 , 1 4 , etc. Ademas introduieron Iracciones del tipo 2 3 . 3 4 . etc. , con las que consiguieron hacer calculos Iraccionarios de todo tipo. Sin embargo, mas adelante los babilonios desarrollaron un eIicaz sistema de notacion Iraccionaria que les permitio establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Para ellos Iue relativamente Iacil conseguir aproximaciones precisas en sus calculos gracias al uso de su sistema ae notacion fraccionaria. Este modelo perduro durante siglos como el meior de que dispuso civilizacion alguna hasta la época del Renacimiento. Los babilonios Iueron también los primeros en utilizar una notacion racional 8 , expresando los numeros en Iorma parecida a la actual. En esta seccion conoceras los numeros racionales, aprenderas a eIectuar operaciones aritméticas con ellos, y los utilizaras para la solucion de problemas practicos. 2.2.1 LOS NÚMEROS RACIONALES REPRESENTANDO PARTES DE UN TODO Hasta ahora, unicamente hemos trabaiado con los numeros naturales y con los numeros enteros. Frecuentemente, en la vida cotidiana se presentan problemas en los que las Iracciones surgen naturalmente. Por eiemplo, si tomamos como unidad un metro, esta unidad se puede dividir en 10 subunidades denominadas decimetros. Cada una de ellas representa la Iraccion 1 10 de metro. Cada decimetro se puede dividir, a su vez, en 10 subunidades denominadas centimetros, es decir, un centimetro corresponde a 1 100 parte de un metro. Con los coniuntos de numeros conocidos hasta ahora (naturales y enteros), no podriamos eIectuar operaciones tales como la indicada con la Iraccion 9 5 . o encontrar un numero x que cumpla que 3x=5. Con el coniunto de las Iracciones se amplia el coniunto de numeros que podemos utilizar para calcular operaciones, o bien, plantear y resolver diversos problemas. ¯ Para las siguientes actividades, reúnete con tus compañeros y discute los procedimientos y respuestas. 8 La expresion de una Iraccion poniendo el numerador arriba y el denominador abaio se la debemos a los hindues: pero ellos no ponian, entre ambos numeros, la linea horizontal que ponemos en la actualidad: esa linea se la debemos a los arabes. 50 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 10 Se va a repartir una pizza entre 3 personas, incluyéndote, de manera que les tocara la misma cantidad a cada una. ¿Te tocara mas o menos de la mitad? · Explica tu respuesta. ACTIVIDAD 11 Observa el rectangulo y las partes sombreadas: · ¿De qué manera podrias expresar numéricamente las partes sombreadas 1, 2, 3 y 4 con respecto al rectangulo mayor? · ¿Qué Iraccion del rectangulo original representa cada una de las partes numeradas? ACTIVIDAD 12 Para realizar un cartel, un estudiante necesita un rectangulo de cartulina con las siguientes caracteristicas: · area: 1m 2 · largo: 2m 2 1m 2 m 2m · ¿Cual debera ser la medida del ancho de la cartulina para que cumpla las caracteristicas requeridas? Como te habras dado cuenta, para dar respuesta a las actividades anteriores necesitamos de un coniunto mas amplio de numeros con los cuales trabaiar. A estos numeros, que has usado y que seguramente recordaste, se les llama numeros racionales 9 o fracciones: Conjunto de los números racionales: Un número racional es un numero que se puede expresar como a b . donde a y b son numeros enteros, y b=0. 9 A estos numeros se les conoce también como fracciones, y el nombre resulta razonable puesto que ayudan a expresar cantidades que no son enteras necesariamente. 51 · PRINCIPIA · Eiemplos de numeros racionales: 3 4 . -1 7 . 3 2 17 . 0= 0 5 . -12 . -12 1 . 3.19= 319 100 . En particular, todos los numeros enteros son racionales, ya que se pueden escribir de la Iorma : -3= -3 1 . 6= 6 1 . etc. Al escribir una Iraccion como 3 5 . al 3 le llamaremos numerador, y al 5, denominador. El 5 signiIica que dividimos un todo en 5 partes, y el 3 indica cuantas de estas partes tomamos para construir la Iraccion. Por eiemplo, en la Iigura: El rectangulo esta dividido en 5 partes iguales y 2 de ellas estan sombreadas, por lo que podemos decir que la parte sombreada representa las dos quintas partes del area total. Esto lo escribimos como: 2 5 . Observa que en la deIinicion de numero racional, el denominador no puede ser igual a cero, ya que la division entre cero no esta deIinida. ACTIVIDAD 13 El mes de abril tiene 30 dias. Imagina que el mes inicia en lunes. Completa la tabla: Días Fracción del mes que representa Jueves Lunes Sabados y Domingos Miércoles 4 30 · ¿Qué dia o dias tienen mayor representatividad en el mes de abril? · ¿Seran los mismos dias para el mes de mayo? 52 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 14 Señala la Iraccion sombreada correspondiente a cada Iigura: Rombo Triángulo 1 Triángulo 2 Cuadrado Figura Fracción Rombo Triangulo 1 Triangulo 2 Cuadrado · Imagina que unicamente esta sombreada una porcion del triangulo 1. Como sabes, esto representa 1 4 del triangulo original. ¿Es este valor equivalente a la Iraccion sombreada del cuadrado? · Explica tu respuesta. ACTIVIDAD 15 Se tiene un terreno en Iorma rectangular que se ha dividido en seis partes iguales, y solo se ha sembrado en cuatro de ellas. ¿Qué parte del terreno no se ha sembrado? Puedes apoyarte en un dibuio. ACTIVIDAD 16 Escribe un numero racional que represente los siguientes coniuntos de puntos: · Los del interior del rectangulo como parte del total de puntos mostrados. · Los del interior del triangulo como parte del total. · Los de la union del triangulo y el rectangulo como parte del total. 53 · PRINCIPIA · 2.2.2 FRACCIONES EQUIVALENTES Y SIMPLIFICACIÓN ¿Pueden dos Iracciones representar el mismo numero? Esta y otras preguntas seran respondidas en esta seccion. Indagaremos como, para un numero racional, existen Iracciones que representan ese mismo numero. Hablaremos de fracciones equivalentes cuando tengamos Iracciones que valen exactamente lo mismo, aunque se escriban de diIerente manera. Ademas, muchas veces nos va a interesar una Iraccion: pero escrita en su Iorma mas simple. Recurriremos entonces a la simplificacion ae fracciones. ACTIVIDAD 17 Para responder a la pregunta original, considera los siguientes cuadrados iguales: 1 4 2 8 3 12 Cuadrado 1 Cuadrado 2 Cuadrado 3 · ¿Qué Iraccion del cuadrado 1 no esta sombreada? · ¿Qué Iraccion del cuadrado 2 no esta sombreada? · ¿Y del cuadrado 3? · ¿Son iguales las partes sombreadas de cada uno de los cuadrados? · ¿Por qué? ACTIVIDAD 18 Traza una recta numérica. · ¿Podrias indicar donde se encuentra 1 2 ? · ¿Y donde 2 4 ? · De igual manera, cuenta en la recta numérica 2 3 y también indica donde esta ubicado 6 9 . · ¿Qué observaste? · ¿Son el tamaño de tu recta numérica y sus divisiones iguales a los de tus compañeros? · ¿AIecto lo anterior para realizar la actividad? 54 · PRINCIPIA · Con la ACTIVIDAD 17, comprobaste que las Iracciones 1 4 . 2 8 . y 3 12 representan el mismo numero. GraIicamente comprobaste en la ACTIVIDAD 18, que tanto 1 2 y 2 4 . como 2 3 y 6 9 . representan la misma Iraccion, independientemente de que no hayas conocido el tamaño o las divisiones de las rectas numéricas del resto de tus compañeros. Decimos que dos Iracciones son equivalentes baio la siguiente consideracion: Las fracciones equivalentes son las que representan el mismo valor. Tienen distinto numerador y denominador: pero valen lo mismo. · De esta manera, ¿cuantas Iracciones equivalentes tiene una Iraccion? ACTIVIDAD 19 Considera por eiemplo 1 3 . Si multiplicas su numerador y denominador por un mismo numero distinto de cero... ¿Obtienes una Iraccion equivalente? · Explica tu respuesta. En ese sentido, se puede construir una cantidad ilimitaaa de Iracciones equivalentes entre si: Dada una Iraccion a b . puedes construir la cantidad que desees de Iracciones equivalentes, simplemente multiplicando el numerador y el denominador por un mismo numero entero, esto es: : numero entero y 0. a k a k k b k b = Por eiemplo: 4 5 = 8 10 = 12 15 = 16 20 =... 1 7 = 2 14 = 3 21 = 4 28 =... Ademas, observa que cuando tienes dos Iracciones equivalentes, al multiplicar cruzaao el numerador de la primera Iraccion por el denominador de la segunda, y el numerador de la segunda Iraccion por el denominador de la primera, los resultados coinciden. A esto se llama igualaaa ae fracciones. Es decir: 55 · PRINCIPIA · Equivalencia de fracciones: Si a b y c a son Iracciones, entonces a b = c a si y solamente si aa =bc . b . a =0. ACTIVIDAD 20 SimpliIica las siguientes Iracciones, y después acomodalas en la tabla, de manera que correspondan a su Iraccion equivalente de la columna X. Observa el eiemplo resuelto: 7 35 21 28 6 30 14 21 18 24 5 25 7 28 15 20 4 20 7 7 6 6 6 12 5 5 5 10 5 15 4 4 4 12 4 16 Columna X Fracciones equivalentes 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 7 35 1 7 3 4 · Compara tu resultado con el resto de tu equipo. 56 · PRINCIPIA · EJEMPLO 10 a) Determina si 17 41 y 340 820 corresponden a la misma Iraccion. Como 17820=13940 y 41340=13940 . entonces las Iracciones son equivalentes, y las representamos como: 10 17 41 = 340 820 . b) Determina si 4 12 y 1 5 son equivalentes. Al multiplicar 45 y 121 . resulta que 45=121 . entonces las Iracciones no son equivalentes. Sin embargo, podemos determinar cual de las dos Iracciones es mayor. Puesto que al multiplicar cruzaaas las Iracciones el resultado mayor es es el de la izquierda, resulta que la Iraccion de la izquierda es la mayor. Esto lo representamos como 4 12 > 1 5 . EJEMPLO 11 Encuentra el numero n para el cual n 2 = 5 10 y 1 8 = -5 n . Para que n 2 = 5 10 se necesita que ¦n) ¦10)=¦5)¦ 2) con lo que n= ¦5)¦ 2) 10 = 10 10 =1. Para que 1 8 = -5 n se necesita que ¦1)¦ n)=¦ 8)¦-5) con lo que n=8¦-5)=-40 . Hemos visto como, a partir de una Iraccion, se pueden construir Iracciones equivalentes con numeradores y denominadores mayores a la original. Sin embargo, también es posible hacer el proceso inverso. Esto es: partiendo de una Iraccion, simpliIicarla o reducirla a otra mas simple. Podemos utilizar la igualdad 0 a k a k b k b = para simplificar fracciones, buscando factores comunes 11 en el numerador y denominador, y cancelando esos Iactores. EJEMPLO 12 La Iraccion 18 24 es equivalente a 3 4 . Sin embargo, la Iraccion 3 4 es mas simple y mas Iacil de maneiar que 18 24 . Analicemos paso a paso como podemos simpliIicar la Iraccion 18 24 y convertirla en 3 4 . 10 Una Iraccion también se puede interpretar como una razon, y a la igualdad de dos razones se le conoce como una proporcion. (Estos conceptos se veran mas adelante). 11 Pregunta a tu proIesor mas acerca de los factores comunes. 57 · PRINCIPIA · Observa que los dos numeros 18 y 24 son pares, por lo tanto podemos dividir entre 2 a cada uno (sacar la mitad) y obtener una Iraccion equivalente, esto es: 18 24 = 92 122 = 9 12 . ( Recuerda que 2 2 =1 ) Con la Iraccion que nos queda 9 12 . intentamos repetir el procedimiento: solo que ahora no podemos dividir entre 2 (ya que 9 no es numero par): sin embargo, tanto el 9 como el 12 tienen un Iactor comun que es el 3. De este modo: 9 12 = 33 43 = 3 4 . ( Recuerda que 3 3 =1 ) Si quisiéramos continuar con el mismo procedimiento no seria posible, debido a que 3 y 4 no tienen Iactores comunes, por lo tanto 3 4 es la expresion mas simple. ACTIVIDAD 21 SimpliIica las Iracciones 12 36 . 50 150 . 1575 165 . Compara tus resultados con tus compañeros. 58 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS Reunete en equipos para trabaiar en los siguientes eiercicios. Discute los resultados con el resto de tus compañeros y con tu proIesor. ACTIVIDAD 22 Expresa en Iorma de Iraccion la parte sombreada de las siguientes Iiguras: · ¿Hay Iracciones equivalentes? · ¿Por qué? ACTIVIDAD 23 Expresa como Iraccion: a) 3 dias y 18 horas de una semana. b) 5 horas y 30 minutos de una semana. c) ¿Hay una sola manera de expresar estas cantidades? d) JustiIica tu respuesta. ACTIVIDAD 24 Para cada una de las siguientes Iiguras geométricas, sombrea la Iraccion indicada: 2 8 7 8 5 10 5 5 · Si 2 8 = 1 4 . ¿como podrias interpretarlo con lo sombreado en la primera Iigura geométrica? 59 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 25 Aqui tienes varios segmentos dibuiados en papel cuadriculado: a) Compara la longitud de AB con las longitudes de los otros segmentos. Por eiemplo, AB= 4 5 EF . AB ÷ CD AB ÷ GH AB ÷ IJ AB ÷ KL b) Ahora, comparemos la longitud de cada uno de los segmentos con AB . Por eiemplo, CD= 3 4 AB. EF ÷ AB GH ÷ AB IJ ÷ AB KL ÷ AB ACTIVIDAD 26 ReIiriéndonos otra vez a la siguiente Iigura, expresa en Iracciones los incisos que se te piden: a. Los puntos que son comunes al triangulo y al rectangulo, como parte del total. b. Los del interior del rectangulo, como parte de la union del triangulo y del rectangulo. c. Encuentra un arreglo de puntos y una Iigura cuyo interior contenga 3 7 del total de puntos, y otra Iigura que contenga 12 21 de la cuadricula original. ¿Qué observas? d. ¿Es posible hacer una Iigura que contenga 4 3 del total de puntos? ¿Por qué? 60 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 27 Encuentra el numero racional que representa el area sombreada como parte del area total de cada Iigura. Compara con el numero que representa el area blanca. · ¿Qué ocurre con el area sombreada cuando avanzamos en el patron? · ¿Qué ocurre con el area sin sombrear? ACTIVIDAD 28 Encuentra cinco numeros racionales entre 1 y 2. · ¿Cuantos mas puedes encontrar? ¿Por qué? ACTIVIDAD 29 Para cada una de las tercias de numeros racionales, identiIica cuales son iguales o equivalentes. a) 17 41 . 289 697 . 714 1682 b) 438 529 . 19 23 . 323 391 c) 11 91 . 111 911 . 253 2093 ACTIVIDAD 30 Dadas las siguientes Iracciones, escribe otras tres que representen a la misma Iraccion. 3 8 . 9 16 . -5 7 . -7 11 ACTIVIDAD 31 SimpliIica las siguientes Iracciones. 20 34 . 111 185 . 172 252 . 270 150 . 648 1444 . 3600 5004 . 15 120 . 88 24 61 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 32 Encuentra el valor Ialtante para que las siguientes Iracciones sean equivalentes. a) 5 4 ÷ 10 x b) -1 3 ÷ x 9 c) 7 4 ÷ x -24 · Observa las siguientes rectas numéricas y escribe en los espacios las Iracciones correspondientes: -'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'- 0 1 2 1 -'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'- 0 1 4 2 4 -'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'-------'- 0 1 8 2 8 8 8 ACTIVIDAD 33 Encuentra el numero racional que esté a la mitad de la distancia entre los numeros: a) -2 3 y -5 6 b) -3 y -5 2 c) 5 6 y 9 13 d) 4 9 y 14 16 62 · PRINCIPIA · 2.2.3 OPERACIONES CON RACIONALES ø 2.2.3.1 MULTIPLICACIÓN Observa la Iigura. A partir de ella quisiéramos calcular la operacion 2 3 4 5 . · ¿Recuerdas como calcular el area de un rectangulo? · ¿Qué Iraccion del largo del rectangulo mayor representa el largo del rectangulo sombreado? · ¿Qué Iraccion del ancho del rectangulo mayor representa el ancho del rectangulo sombreado? EIectivamente, el rectangulo sombreado tiene de base 2 3 del largo del rectangulo mayor, y de altura 4 5 del ancho del rectangulo mayor. Asi que su area sera entonces 2 3 4 5 del rectangulo mayor. · Ahora, cuenta de cuantos rectangulos pequeños esta Iormado el rectangulo mayor. · ¿Con cuantos esta Iormado el rectangulo sombreado? · ¿Como expresas este resultado en Iracciones? Como te habras dado cuenta, la parte sombreada representa los 8 15 del area del rectangulo mayor. Concluimos entonces que 2 3 4 5 = 8 15 . Observemos que el resultado también se obtiene multiplicando los dos numeradores y los dos denominadores. Multiplicación de fracciones: Para multiplicar dos o mas numeros racionales, multiplicamos sus numeradores y después sus denominadores respectivamente: a b c a = ac b . a=0. El producto asi obtenido es otro numero racional. EJEMPLO 13 Multiplica y simpliIica a su minima expresion las siguientes Iracciones: a) 6 13 y 5 12 b) 25 392 y 49 50 63 · PRINCIPIA · SOLUCIONES a) 6 13 5 12 = 65 1312 = 30 156 , y simpliIicando 30 156 ÷ 30-6 156-6 = 5 26 . b) 25 392 49 50 = 2549 39250 = 1225 19,600 , y simpliIicando 1225 19,600 = 1225-1225 19,600-1225 = 1 16 . EJEMPLO 14 Multiplica ¦ 3 4 )[¦ -3 7 )¦ -1 2 )| . SOLUCION Resolviendo primero el segundo paréntesis, tenemos que [¦ -3 7 )¦ -1 2 )| = 3 14 . Luego ¦ 3 4 ) [ ¦ -3 7 )¦ -1 2 ) | ÷ ¦ 3 4 )¦ 3 14 ) = 9 56 . ¯Reúnete en equipos para trabajar la siguiente actividad. Comparte tus respuestas. ACTIVIDAD 34 Resuelve las siguientes multiplicaciones de Iracciones y simpliIica tu resultado. a) 6 ¦ 1 7 )¦ 5 12 ) d) ¦ 2 3 )¦ 3 2 ) 5 b) ¦ -2 9 )¦ 4 5 ) e) ¦ 12 7 )¦ 19 24 ) c) ¦ 15 16 )¦ -5 12 ) I) ¦ 3 8 )¦ 1 3 )¦ 1 8 ) ACTIVIDAD 35 Intenta plantear y resolver los siguientes problemas. Si lo deseas, puedes apoyarte con dibuios. · Carlos ha comprado la tercera parte de una calabaza que pesa 6 kilogramos, y le da la mitad a su vecino. ¿Cuanto le dio? ¿Qué Iraccion de la calabaza le regalo? · Una Iamilia tiene en su casa 3 4 de kilogramo de higos. En el almuerzo se comen la quinta parte y en la cena el resto. ¿Cuanto han comido en cada comida? · Las 4 5 partes de un numero es igual a 40. ¿Cuanto seran las 3 10 partes de ese numero? 64 · PRINCIPIA · ø 2.2.3.2 DIVISIÓN A partir de la multiplicacion de Iracciones, que ya sabes eIectuar, aprenderas como dividir Iracciones. Para ello nos sera util una deIinicion: Dos numeros racionales son recíprocos uno del otro si su producto es 1. Por eiemplo, 1 3 y 3 son reciprocos ya que 1 3 3= 3 3 =1. En general, el recíproco de a b es b a . donde a . b=0. Ahora observa que 3 1 5 = 3 5 =3-5. Asi que dividir 3 entre 5, es lo mismo que multiplicar 3 por el reciproco de 5 que es 1 5 . En resumen: División de fracciones: Para dividir dos numeros racionales, se multiplica el primer numero por el reciproco del segundo, es decir: a b - c a = a b a c = aa bc b . c . a=0. Observación: Existe una manera mas simple de ver la division, y es multiplicar en cruz las Iracciones, es decir: Otra manera de representar la division de Iracciones, que comunmente se conoce como sanawich, es: a a c aa b c b a bc a EJEMPLO 15 EIectua las siguientes divisiones entre numeros racionales: a) 5- 2 15 b) 25 392 - 50 49 65 · PRINCIPIA · SOLUCION a) 5 1 - 2 15 = 515 12 = 75 2 . b) 25 392 - 50 49 ÷ 2549 39250 = 1225 19600 = 1225-5 19600-5 = 245 3920 = 245-5 3920-5 = 49 784 = 49-49 784-49 = 1 16 . EJEMPLO16 EIectualamultiplicacion [ 2 5 ¦ -1 3 )| - 2 9 ysimpliIicaelresultado. SOLUCION [ 2 5 ¦ -1 3 ) | - 2 9 ÷ -2 15 - 2 9 ÷ ¦-2) 9 ¦15) 2 ÷ -18 30 ÷ -18-6 30-6 ÷ -3 15 . ACTIVIDAD 36 ResuelvelassiguientesoperacionesdeIraccionesysimpliIicaturesultado.Recuerdacompartirlosresultados contuscompañeros. a) 3 5 - 10 11 I) -10 3 - 5 9 b) [ 3 ¦ 4 12 - 5 12 ) | - 1 3 g) c) 11 5 3 20 h) 1 8 4 d) i) e) 1 1 100 i) 66 J J ` ' ( | 12 13 7 2 3 2 1 3 4 12 5 J J ` ' ( | J J ` ' ( | ÷ 5 3 3 1 7 5 6 5 100 10 1 1 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 37 Intentaplantearyresolverlossiguientesproblemas.Silodeseas,puedesapoyartecondibuios. · ¿Cuantascopasde 1 8 delitrosepuedenllenarconunabotellade 3 4 delitro? · Una tabla mide6metros de longitud. ¿Cual es lalongitud de cada pieza al cortarlaen cincopedazos iguales? · Unapersonahagastado 7 9 desusueldomensual.Silequedan$3000.00,¿cuantoganapormes? 67 · PRINCIPIA · ø 2.2.3.3 SUMA Y RESTA Porultimo,aprenderemoscomocalcularlasumayrestadeIracciones.Paraello,necesitamosdividirlasuma deIraccionesendoscasos. CASO1:FRACCIONESCONELMISMODENOMINADOR Consideralosdibuios: Comolasregionessombreadasestandivididasenquintaspartesdelareaconsiderada,paracalcularlasuma deestasregiones,bastasumarlacantidaddequintaspartesquehayeneltotaldelasregiones.Esdecir,la sumadelasareases: 3 5 + 1 5 = 4 5 dearea. Suma y resta de fracciones con igual denominador: ParasumarorestarIraccionesquetienenelmismo denominador, sesumanorestanlosnumeradoresypermaneceelmismodenominador. Estoes: a b + c b = a+c b . b=0 a b - c b = a-c b . b=0. EJEMPLO17 CalculalassumasyrestasdeIracciones:simpliIicandoturesultado. a) 3 8 + 7 8 b) 7 5 - 2 5 c) ¦ 3 7 - 8 7 )¦ -1 5 - 2 3 ) SOLUCIONES: a) 3 8 + 7 8 ÷ 3+7 8 = 10 8 ÷ 5 4 . b) 7 5 - 2 5 ÷ 7-2 5 ÷ 5 5 =1. 68 · PRINCIPIA · c)Paraestaoperacion,primeroseresuelveloqueestadentrodelparéntesis: 3 7 - 8 7 ÷ 3-8 7 = -5 7 y -1 5 - 2 3 ÷ ¦-1)3 ¦ 2)5 ÷ -3 10 . Luego: ¦ 3 7 - 8 7 )¦ -1 5 - 2 3 ) ÷ ¦ -5 7 )¦ -3 10 ) ÷ 15 70 ÷ ¦5)3 ¦5) 14 ÷ 3 14 . CASO2:FRACCIONESCONDISTINTODENOMINADOR Deseamoscalcularlasumadelasregionessombreadasqueseencuentranenlapartedeabaio. ObservaquesireescribimoslasIraccionesconundenominadorcomun,lasumasereducealcaso1.Estoes, necesitamosencontrarIraccionesequivalentesa 1 4 . 1 2 y 1 8 . todasconelmismodenominador:En estecaso,elegiremosal8comodenominador,yaque4y2sonsusmultiplos. Asique: 1 4 = 12 42 = 2 8 . 1 2 = 14 24 = 4 8 y 1 8 convienequepermanezcaigual. Conello, 1 4 + 1 2 + 1 8 = 2 8 + 4 8 + 1 8 = 7 8 . 69 · PRINCIPIA · Geométricamente,laoperacionseveasi: Suma y resta de fracciones con diferente denominador: ParasumarorestardosIraccionesdedistinto denominador, secambianlasIraccionesadenominadorcomun. Estoes: a b + c a = aa ba + bc ba = aa+bc ba v a b - c a = aa ba - bc ba = aa -bc ba , b=a . b. a=0. Resumen Dadoslosnumerosracionales a b y c a . lasumayrestaentrelosdosnumerosracionalesestadeIinidacomo: - silosdenominadoressoniguales ¦b=a ) . a b + c b = a+c b y, a b - c b = a-c b - silosdenominadoressondiIerentes ( ) b a = , a b + c a = aa ba + bc ba = aa+bc ba . y a b - c a = aa ba - bc ba = aa-bc ba , b=a . b . a=0. EJEMPLO18 ResuelvelassiguientessumasdeIracciones: a) 5 8 + 7 8 b) 25 392 + 49 50 c) 25 392 - 49 50 SOLUCIONES: a) 5 8 + 7 8 = 5+7 8 = 12 8 = 4¦ 3) 4¦ 2) = 3 2 . 70 · PRINCIPIA · b) 25 392 + 49 50 = 25¦50)+392¦49) 19,600 = 1,250+19,208 19,600 = 20,458 19,600 = 10,229 9,800 . c) 25 392 - 49 50 ÷ 25¦50)-392¦ 49) 19,600 ÷ 1250-19,208 19,600 ÷ -17,958 19,600 ÷ 2¦-8979) 2¦ 9800) ÷ -8979 9800 . EJEMPLO19 EIectualassiguientesoperaciones: a) 5 6 - 8 21 b) -3 7 - ¦ -2 9 ) + 2 5 SOLUCIONES: a) 5 6 - 8 21 = 105-48 126 = 57 126 = 3¦19) 3¦42) = 19 42 . b) -3 7 - ¦ -2 9 ) + 2 5 = -3 7 + 2 9 + 2 5 = -135+70+126 315 = 61 315 . 71 · PRINCIPIA · ø 2.2.3.4 NÚMEROS MIXTOS Enalgunasocasiones,esusualquesepresentenoperacionesconunaclasedenumerosllamadosmixtos.Para conocerlos,deIiniremosprimerolossiguientestiposdeIracciones. Fracción propiaesaquellaenlaqueelnumeradoresmenorqueeldenominador. Asi,cualquierIraccionpropiaesmenorquelaunidad. Eiemplos: 3 4 . 4 5 . 1 7 . 3 10 . Fracción impropiaesaquellacuyonumeradoresmayorquesudenominador. Eiemplos: 5 2 . 8 7 . 9 4 . 19 10 . Número mixtoesunnumeroIormadoporunnumeroenteropositivo, seguidodeunaIraccionpropia. Eiemplos: 1 3 5 . 3 4 7 . 11 1 5 . 2 8 9 . ElsigniIicadodeunnumeromixtoes,enrealidad,elresultadodesumarelnumeroenteroylaIraccion.Por eiemplo: 1 3 5 =1+ 3 5 , 3 4 7 =3+ 4 7 , 11 1 5 =11+ 1 5 , 2 8 9 =2+ 8 9 . Asique 1 3 5 = 8 5 , 3 4 7 = 25 7 , 11 1 5 = 56 5 , 2 8 9 = 26 9 . ¯Observemos que cada una de las fracciones mixtas anteriores equivale a una fracción impropia. UnamaneramasIacildeconvertirunaIraccionmixtaaIraccionimpropiaescomosigue: 1 3 5 = 1¦5)+3 5 = 5+3 5 = 8 5 . Multiplicamoselentero1por5(eldenominadordelaIraccion),yalresultadosumarcon3.Esteserael numerador de la Iraccion impropia. El denominador de la Iraccion impropia sera el mismo que el de la Iraccionmixta. Estoseresumecomosigue: 72 · PRINCIPIA · Sikesunnumeroenteroy a b unaIraccion,entonces k a b = kb+a b . ConlosnumerosmixtostambiénpodemoseIectuaroperaciones. EJEMPLO20 Calculalassiguientesoperacionesyreduceelresultadoasuminimaexpresion. a) 6 1 5 +2 7 15 b) 6 1 5 -2 7 15 c) 6 1 5 +2 1 5 6 1 5 -2 7 15 SOLUCION a) 6 1 5 +2 7 15 ÷ ¦6)¦5)+1 5 + ¦2)¦ 15)+7 15 ÷ 30+1 5 + 30+7 15 ÷ 31 5 + 37 15 ÷ 93+37 15 ÷ 130 15 ÷ 5¦26) 5¦ 3) ÷ 26 3 =8 2 3 . b) 6 1 5 -2 7 15 ÷ ¦6)¦5)+1 5 - ¦2)¦ 15)+7 15 ÷ 30+1 5 - 30+7 15 ÷ 31 5 - 37 15 ÷ 93-37 15 ÷ 56 15 =3 11 15 . c)Haciendousodelosresultadosa)yb): 6 1 5 +2 1 5 6 1 5 -2 7 15 ÷ 31 5 + 11 5 31 5 - 37 15 ÷ 42 5 93-37 15 ÷ 42 5 56 15 ÷ 15¦ 42) 5¦56) ÷ 126 56 ÷ 63 28 . 73 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS ¯Trabaja en equipo los siguientes problemas y comparte los resultados con tus compañeros. En caso de existir dudas, apóyate en el profesor. 3. ObservalaIigurayresponde: a)¿QuéIracciondelcuadradoglobalsonlasregionesI,II,III,IVyV? b)CalculalaIraccionquerepresentalasumadelasareasenloscasossiguientes: · I¹II · I¹III¹IV · II¹III¹V · ¿QuéIraccionrepresentalaregionnonumerada? 4. ¿Quécantidadhayquesumarlea 3 1 paraobtener 2 1 ? 5.EIectualassiguientesoperaciones: a) b) c) d) e) I) g) h) 74 ÷ + 12 15 12 21 12 1 + ÷ 3 2 3 3 1 ÷ 6 4 3 10 ÷ + 2 1 6 5 3 2 J J ` ' ( | + 5 2 8 1 72 ÷ + ÷ 2 7 1 4 3 4 3 + J J ` ' ( | 6 5 2 1 3 1 4 1 2 1 4 1 2 1 ÷ + · PRINCIPIA · i) i) k) l) 6. CompletalosnumerosqueIaltanenelsiguientecuadromagico,sabiendoquelasumadelosnumerosde cadaIila,columnaodiagonales30. 7.Sehadivididounterrenoentreslotes.Elprimeromide 3 8 delasuperIicietotal,elsegundo 2 5 dela superIicietotal. · ¿Cualloteeselmayordelostres? 8.Enunaocasion,unapersonacomprounarticuloen$700.00,lovendioen$800.00,lovolvioacompraren $900.00yIinalmentelovendioa$1000.00. · ¿Cuantagananciaobtuvo? 9.EIectualassiguientesoperaciones: a) b) c) d) e) I) g) h) i) i) 75 J J ` ' ( | + ÷ 1 3 2 4 1 2 1 + + + 3 2 2 1 1 5 J J ` ' ( | ÷ ÷ J J ` ' ( | + 4 1 4 2 3 2 1 1 4 3 3 2 ] ] ] J J ` ' ( | + J J ` ' ( | ÷ ÷ ÷ 2 1 3 1 3 5 1 4 1 2 1 3 1 4 3 ÷ 7 4 2 4 7 1 J J ` ' ( | J J ` ' ( | 5 4 2 1 2 + ÷ 3 1 5 10 9 5 15 + ÷ 3 1 1 7 2 ÷ + 3 1 7 2 3 ÷ + 3 1 2 8 7 2 4 1 3 J J ` ' ( | J J ` ' ( | 3 1 3 8 5 ÷ + + 3 1 1 1 3 1 3 J J ` ' ( | ÷ ÷ J J ` ' ( | + 4 1 4 2 3 2 1 1 4 3 3 2 + + 4 1 2 4 1 3 · PRINCIPIA · 10. Siunapersonahavivido 1 4 desiglomas14 2 3 deaños,¿quéedadtiene? 11.Unapersonacamina 1 2 5 kmporhoradurante 2 6 7 hrs.¿Quédistanciarecorrioduranteesetiempo? 12. Ladiagonaldeuncuadradoesaproximadamente 1 2 5 veceslalongituddellado.Encuentralalongitud deladiagonaldeuncuadradode24cmdelado. 13.Sisecortaunpedazodealambrede 3 3 4 metrosdelargodeunrolloquetiene100metrosdealambre, ¿cuantoalambrequedaenelrollo? 14. ¿Porcualnumerohayquedividira 5 2 6 paraobtener 6 1 3 ? 15.Unarecetautiliza 3 4 decucharaditadeablandadorparsazonarcadakilogramodecarne.Paracocinar 4 1 2 kilogramosdecarne,¿cuantascucharaditasdeablandadorsenecesitan? 16. Unatablamide 22 1 2 piesdelongitud.¿Cualeslalongituddecadapiezaalcortarlaencincopedazos deiguallongitud?(Ignoraelgrosordeloscortes). 17. Enunplatillodeunabalanzasehapuestounabarracompletadeiabon,enelotro, 3 4 partesdeun iabonigualyunapesade 3 4 dekg.Labalanzaestaenequilibrio.¿Cuantopesaeltrozoenterodeiabon? Observación: En el sentido coloquial utilizamos el término peso. En términos Iormales de la Iisica la preguntaseIormulaasi:¿Cualeslamasadelabarracompletadeiabon? 76 · PRINCIPIA · 2.2.4 PROBLEMAS CON RACIONALES TratemosahoradeabordarproblemasenlosqueestaninvolucradaslasIracciones.Podrasdartecuentade comonuestravidacotidianaestapermeadaporestetipodenumeros. Reuneteenequipoparatratarderesolverlassiguientesactividades.Anotalasestrategiasyplanteamientos queutilizasentucuaderno. ACTIVIDAD 38 Imaginaquetieneslossiguientesenvasesquemidenciertacantidaddeazucarcadaunodeellos: 1kilo 1/2kilo 1/4kilo Deseamosreunirunkilogramodeazucarconlosenvases.¿DecuantasmanerasdiIerentespuedesreunir1kg. deazucar?Comopuedesobservar,deloquesetrataaquiesdesumarIraccionescon 1 1 1kg, kgy kg 2 4 . Respondeentonces: a) ¿DecuantasmanerasdiIerentespuedesreunir1ymediokilogramodeazucar? b) ¿DecuantasmanerasdiIerentespuedesreunir1/kilogramodeazucar? c) Utilizandolosmediosyloscuartos,¿puedeshacer5kilos? · ¿Como? d) Siquieres2½kilosdeazucarutilizandosololoscuartos,¿podriashacerlo? · ¿Como? Comparatusrespuestasconlasdetuscompañeros. ACTIVIDAD 39 Cadavezquecaealsuelo,unapelotarebotalas 3 5 partesdelaalturadesdelaquehacaido.Siseledeia caerdeunaalturade125metros. · ¿Aquéalturallegaradespuésdelprimerrebote? · ¿Aquéalturallegaradespuésdelsegundorebote? · ¿Aquéalturallegaralapelotadespuésdeltercerrebote? · Puedeshacerusodedibuiosparaayudartearesponderlaspreguntas. 77 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 40 Unabotellatiene 3 4 delitrodeiugodenarania,otratiene 3 5 delitroyunaterceratiene 5 6 . · ¿Quécantidaddeiugodenaraniatienenentrelastresbotellas? · ¿Cuantoiugodenaraniatienelaprimerabotellamasquelasegunda? ACTIVIDAD 41 Sielhexagonosiguienterepresentaunentero, · ¿QuéIraccionrepresentacadaunadelassiguientesIormas? · ¿QuéIracciondelhexagonorepresentaA · B ? · ¿QuéIracciondelhexagonorepresenta2A B? EJEMPLO21 Debidoalmaltiempo,unciclistaviaioeldiadeayersolamente 1 6 desurecorrido.Decidioviaiar 3 8 el diadehoy,y 2 7 eldiademañana.¿CuantoleIaltaraparallegaralIinaldesurecorridopasadomañana? SOLUCION Denotaremos al recorrido completo que debe eIectuar el ciclista como la unidad. Si ayer viaio 1 6 del recorrido, hoy 3 8 ymañanaquiere recorrer 2 7 deél,entonceshabra recorrido entotalhastael diade mañana 1 6 ¹ 3 8 ¹ 2 7 ÷ 139 168 del recorrido. Le Ialta por recorrer : 1 - 139 168 ÷ 29 168 del recorrido. EJEMPLO22 Unrecipientecontieneaguahastalos 4 5 desucapacidad.Sisesacalamitaddelaguaquecontiene, a) ¿QuéIracciondelacapacidaddelrecipientesehasacado? b) Silacapacidaddelrecipienteesde80litros,¿cuantoslitrosquedanenelmismo? 78 · PRINCIPIA · SOLUCION a) Si el recipiente contiene agua a los 4 5 de su capacidad, al sacar la mitad del agua nos queda 4 5 -2= 2 5 deellayporlotanto 2 5 delacapacidaddelrecipiente. b)Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, como unicamente contiene 4 5 de su capacidad, en el recipientehay ¦ 4 5 ) 80 ÷ 320 5 ÷64litros. Ahora,siseextraelamitaddeestoslitrosnosquedarianunicamente32litrosenelrecipiente. EJEMPLO23 Secomprouncostalllenodealpisteparaalimentarauncanario.Elprimerdia,elcanariosecomio 1 2 del totaldealpiste.Elsegundodiasecomio 1 3 delalpisterestanteyeltercerdiacomio 1 4 delsobrante. Deltotaldealpistequehabiaenelcostal,¿quéIraccionqueda? SOLUCION Representemosalcostalllenodealpisteconlaunidad. · Elprimerdia,secomiomediocostaldealpiste,lorepresentamosasi: 1¦ 1 2 ) ÷ 1 2 costaldealpistese comioylequeda 1- 1 2 ÷ 1 2 costaldealpiste. · Elsegundo diasecome 1 3 delalpisterestante: 1 2 ¦ 1 3 ) ÷ 1 6 secomedelcostaldealpiste, yle queda: 1 2 - 1 6 = 6-2 12 ÷ 4 12 = 4¦1) 4¦3) = 1 3 decostaldealpiste. · Eltercerdia,deloquelequeda,quees 1 3 delcostaldealpiste,secome 1 4 . querepresentamosasi: ¦ 1 3 )¦ 1 4 ) ÷ 1 12 . · Asi,despuésdeltercerdialequeda 1 3 - 1 12 = 12-3 36 = 9 36 = 9¦1) 9¦4) = 1 4 delcostaldealpiste. ¯Este problema también se puede resolver de manera gráfica, intenta resolverlo de esa manera. 79 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 18. Enunaclasehay30estudiantes,deloscualeslas 3 5 partessonalumnas. · ¿Cuantasalumnashayenestaclase? · ¿Ycuantosalumnos? · JustiIicaturespuesta. 19. ¿Qué variacion experimenta una Iraccion si se multiplica por 5 el numerador y se divide entre 5 el denominador? · JustiIicaturespuesta. 20. Pablo,unIabricantedecortinas,deseahacertresparesidénticosdecortinas.Sicadaparnecesita 6 3 4 metrosdematerial,¿cuantomaterialnecesitaentotal? 21. Aunapersonaquelepreguntancuantopesa,responde:'Lamitaddelacuartapartedemipesoesiguala 10kilogramos.¿Cuantopesaesapersona? 12 22. Una recetade cocina necesitaprimero 2 1 2 tazasde harina,y luegose debeagregar 1 1 3 tazas de harinamas.¿Cuantaharinanecesitalareceta? 23. Lasinstruccionesparaprepararunpavoindicanquesiéstepesade12a16kilogramos,debehornearsea 160° durante 22 minutos por kilogramo. Diana desea hornear un pavo de 13 1 2 kilogramos. ¿Cuanto tiempodebeestarelpavodentrodelhorno? 24. UnaenIermeradebesuministrar 1 6 demedicamentoporcadakilogramodemasadelpaciente.Siuna persona pesa (o tiene un masa de) 80 kilogramos, determina la cantidad de medicamento que debe suministrarsele. 25.Enunpuestoderevistassehanvendidoalolargodelamañanalos 2 3 deunlotedeperiodicos.Porla tardesehavendidolamitaddelosquehabianquedadoenlamañana.¿QuéIracciondeltotaldeperiodicos representanlosvendidosporlatarde? · Sinosehanvendido20periodicos,¿cuantoshabiaalempezarlaventa? 26. Un comerciante tiene tres tipos de caIé: mexicano, cubano y colombiano. El peso total es de 885 kilogramos.SielpesodelcaIémexicanoeslos 2 5 deltotalyeldelcolombianolos 2 3 deloquequeda, ¿cuantoskilogramosdecaIéhaydecadaclase? 12 EntérminosIormalesdelaIisica,loskilogramosnomidenelpeso:sinolamasa,enestecaso,corporal. 80 · PRINCIPIA · 27.Unabotellatieneunacapacidadde 3 4 delitroyotrade 7 10 delitro.Explica: · ¿Cualdelasdosbotellastienemayorcapacidad? · Silasdosbotellasestanllenasdeagua,¿quétantaaguahayenlasdosbotellasiuntas? · Sidelaprimerabotellatomolamitaddelaguaydelasegundatomodosterceraspartesdesucontenido, ¿cuantaaguamequedaencadabotella? · ¿Cuantaaguaquedaenlasdosbotellasiuntas? · Finalmente,¿cuantaaguaconsumi? 28.UncarterodeioenunaoIicinaunsextodeltotaldelascartasquellevaba:enunbancodeiadosnovenos delrestoytodaviatiene70cartasporrepartir.¿CuantascartasledieronenlaoIicinadecorreosparaque repartiera? 29.Unapersonapesa63newtonsenlaTierra.SienUranosupesoes 111 125 delpesoquetieneenlaTierra, ¿cuantopesaenUrano? 81 · PRINCIPIA · 2.3 DECIMALES TenemosahoraplenoconocimientodecomosedeIinen,operanyseaplicanlosnumerosracionales,también conocidos como Iracciones. Sin embargo, los numeros racionales también se caracterizan por tener un desarrolloaecimal. 2.3.1 TRANSFORMACIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES SabemosqueunnumeroracionalpuedeserescritodelaIorma m n conm. n numerosenterosyn =0.Al eIectuarladivisiondem entren. llegamosalaforma decimal del número racional. Poreiemplo,paraescribirlaIormadecimalde 7 4 eIectuamosladivision: 4 7 cuyoresultadoes1.75.PuedesveriIicarqueelresiduodeestadivisionescero. Deigualmanera 2 11 equivaleaeIectuarladivision: 11 2 · Ydacomoresultado0.18181818... Observaqueelresiduodeestadivisionnuncavaasercero,yqueelnumero18serepetiraindeIinidamente despuésdelpuntodecimal. También 5 6 sepuedeescribircomo0.83333...aleIectuarladivisionde5entre6. Conloseiemplosanteriores,nosdamoscuentadequelapartedecimaldeunnumeroracionalesIinita,obien, haydecimalesqueserepiten(indeIinidamente).EntérminosIormales,eldesarrollodecimaldeunnumero racionalpuedeserdetrestipos: 1. Decimales exactos o finitos:sonaquelloscuyapartedecimaltieneunnumeroIinitodeciIras. Poreiemplo, 1 5 =0.2 . 3 10 =0.3 y 82 25 =3.28. 82 · PRINCIPIA · 2. Decimales periódicos puros: enestaexpresion,todalapartedecimalserepiteindeIinidamente enbloquesoperiodosdenumeros. Por eiemplo, 2 3 =0.6666... en este caso, el 6 se repite indeIinidamente. Se dice entonces que 6 es el periodo y el numero decimal se puede escribir asi: 0.6666...=0. 6. De igual manera 3 11 =0.2727... =0. 27 y 2 7 =0.285714285714...=0. 285714. Nota:LabarraindicaelgrupodeciIrasqueserepiteninIinitamenteeneseorden.Elperiododeundecimal periodico es el grupo de ciIras que se repiten indeIinidamente. Asi 2 3 ÷ 0.6666... tiene periodo 6, 3 11 =0.272727... tieneperiodo27,etc. 3. Decimales periódicos mixtos: enlaIormadecimalencontramosunapartequenoserepite yotraqueserepiteinIinitasveces. Poreiemplo 1 60 =0.0166... . enlapartedecimalel01noserepiteyel6serepiteinIinitamente,demanera que 0.01666...=0.01 6. También 5 6 =0.8333...=0.83 yporultimo 1031 330 =3.12424 ...=3.124. Nota: AlconiuntodeciIrasquenoserepitennoselesponebarra. Podemos concluir que la representacion decimal del numero racional m n con m. n enteros y n = 0, es decimalIinitaodecimalperiodica. 83 · PRINCIPIA · 2.3.2 TRANSFORMACIÓN DE DECIMALES A FRACCIONES HastaaquisehavistoquetodonumeroracionalpuedeexpresarsecomounnumerodecimalIinitoodecimal periodico.¿Elprocesoalainversaseracierto?Larespuestaessi.ElprocedimientoesdiIerenteparacadauno delostiposdenumerosdecimales. CASO1:DECIMALFINITO Consideremos el numero decimal Iinito 3.125 y tratemos de escribirlo en Iorma de Iraccion. La idea es multiplicarydividirelnumerodecimalyaseapor10,100,1000 13 ,etc.,(dependiendodecuantosnumerosse encuentranaladerechadelpuntodecimal).Enestecaso,haytresdigitosdespuésdelpuntodecimal,asique multiplicamosydividimosentre1000: 3.125= 3.125¦1000) 1000 = 3125 1000 Porlotanto, 3.125= 3125 1000 . CASO2:DECIMALPERIODICOPURO Enestecaso,cambiaremosundecimalperiodicopuroaIraccion. EJEMPLO24 Consideremos el decimal 0. 7 ÷ 0.777... . Llamaremos a al decima 0.777... . esto es, a ÷ 0.777... ComolacantidaddedigitosqueIormanelperiodoesuno(enestecasoelperiodoes7), entoncesmultiplicamospor10aambosladosdelaigualdad: a ÷ 0.777... (1) 10a ÷ 7.777... (2) Ahora,restemos(1)de(2): 10a=7.7777... a=0.7777... 9a=7. Porultimo,resolvamoslaecuacion9a ÷ 7.Despeiandoa: a ÷ 7 9 . Puedescomprobarelresultado,eIectuandoladivisionde7entre9. 13 Estoes,porpotenciasde10: 10 1 . 10 2 . 10 3 . etc. 84 · PRINCIPIA · EJEMPLO25 Consideremos ahora, el decimal 3. 41 ÷ 3.414141 ... Llamaremos a al decimal 3.414141... . esto es,a ÷ 3.414141 ... ComolacantidaddedigitosqueIormanelperiodoesdos(enestecasoelperiodoes 41),entoncesmultiplicamospor100aambosladosdelaigualdad: a ÷ 3.414141 ... (1) 100a ÷ 341.4141 ... (2) Ahora,eIectuemoslaresta(1)de(2): 100a ÷ 341.4141 ... ¸¸ a ÷ 3.414141 ... 99a=338. Porultimo,resolvamoslaecuacion 99a=338. Despeiandoa: a ÷ 338 99 . Puedescomprobarelresultado,eIectuandoladivisionde338entre99. CASO3:DECIMALPERIODICOMIXTO AnalicemoselcasoparaconvertirundecimalperiodicomixtoaIraccion. EJEMPLO26 Tomemoscomoeiemploelnumerodecimal 0.5132. Llamemosa alnumero 0.51323232... . estoes: a=0.51323232 ... (1) Multiplicaremos a . yaseapor10,100,1000,etc.(loquenecesitemos)paraqueelnuevonumeroseaun decimal periodico puro. En este caso, ambos lados de la igualdad (1) se deben multiplicar por 100 y al eIectuarlamultiplicacionloqueresulteseaundecimalperiodicopuro: 100a ÷ 51. 32 ÷51.323232... (2) Observa que el nuevo numero 100a ya es periodico puro. Regresemos entonces al procedimiento del CASO 2. Como la cantidad de digitos que Iorman el periodo es dos (en este caso el periodo es 32), multipliquemosambosladosdelaecuacion(2)por100: 100(100a) ÷100 ¦51. 32) ÷100(51.323232...) (3) 10000a ÷ 5132.3232... (4) 85 · PRINCIPIA · Restemoslaecuacion(2)delaecuacion(4): 10000a ÷ 5132.3232... 100a ÷51.3232... 9900A÷5081. Despeiandoadelarestaanterior,llegamosaque a ÷ 5081 9900 . EJEMPLO27 Consideremosaldecimalperiodicomixto 4.7053. Llamemosa alnumero 4.7053 ÷ 4.7053053... . estoes, a=4.7053053... (1) Enestecaso,ambosladosdelaigualdad(1)sedebenmultiplicarpor10,yaleIectuarlamultiplicacionloque resulteseraundecimalperiodicopuro: 10a ÷ 47. 053 ÷ 47.053053... (2) Observa que el nuevo numero 10a ya es periodico puro. Regresemos entonces al procedimiento del CASO 2. Como la cantidad de digitos que Iorman el periodo es tres (en este caso el periodo es 053), multipliquemosambosladosdelaecuacion(2)por1000: 1000(10a) ÷1000 ¦47. 053) ÷1000 47.053053... (3) 10000a ÷ 47053.053053... (4) Restemoslaecuacion(2)delaecuacion(4): 10000a ÷ 47053.053053... 10a÷ 47.053053... 9990A ÷47006. Despeiandoadelarestaanterior,llegamosaque a ÷ 47006 9990 ÷ 23503 4995 . 86 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 30. EscribelassiguientesIraccionesenIormadecimal: 9 15 , 40 12 , 11 12 , 2 5 , 2 3 , 21 100 , 7 4 , 33 6 , 28 12 y 14 3 . 31.EscribeenIormadeIraccioneslossiguientesnumerosdecimales: 0.42, 0.81 , 0.93 , 0.26, 10. 246 , 3. 16 , 0.03, 3.23 , 2. 2 , 0.5267 , 0.4 , 0. 4 y 0.44. 2.3.3 OPERACIONES COMBINANDO DECIMALES Y FRACCIONES ComotenemosdiIerentesrepresentacionesdenumeros,esconvenienteyquizanecesariocombinarnumeros que estén escritos en Iormas diIerentes. Si se suman numeros escritos como decimales y otros como Iracciones, entonces se requerira cambiar todos los numeros a la misma Iorma decimal o Iraccion y eIectuarlaoperacionindicada. EJEMPLO28 Suma0.75y 1 1 2 . Cambiando 1 1 2 adecimal: 0.75+1 1 2 =075+1.5=2.25 . Cambiando0.75aIraccion: 0.75+1 1 2 = 3 4 + 3 2 = 9 4 =2.25. EJEMPLO29 Suma 3 4 y1.32. Cambiando 3 4 adecimal: 3 4 +1.32=0.75+1.32=2.07. Cambiando1.32aIraccion: 3 4 + 132 100 = 75+132 100 = 207 100 =2.07. 87 · PRINCIPIA · EJEMPLO30 Suma2.45y 1 1 3 . Cambiando 1 1 3 adecimal: 2.45+1 1 3 =2.45+1.3=3.783. Cambiando 2.45 aIraccion: 245 100 + 4 3 = 735+400 300 = 1,135 300 =3.783. EJEMPLO31 Restade0.07y 5 2 . Cambiando 5 2 adecimal: 5 2 -0.07=2.5-0.07=2.43. Cambiando0.07aIraccion: . 43 . 2 100 243 100 7 250 100 7 2 5 ÷ ÷ ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 32.EIectualasoperacionescomoenloseiemplos30y31: 1) 4-0.75+1 1 2 2) -2.5+4 1 3 +2. 5-1 2 5 3) -5+ 3 4 -1.32 4) 7 1 3 -7 5) 2.2+2. 2+2.22 6) 15.5-15+0. 5 7) -3-0-007- 5 2 + 1 3 8) 3 5 - 2 3 +1. 3 9) 1 3 -0.3 10) 6 1 2 -6. 5+3 88 · PRINCIPIA · 2.4 NÚMEROS IRRACIONALES Y CON1UNTO DE LOS NÚMEROS REALES ø NÚMEROS IRRACIONALES Hemoscomentadoenpaginasanterioresquelarepresentaciondecimaldeunnumeroracional m n conm. n numerosenterosyn =0esundecimal finito oundecimal periódico. Resultaquelaproposicioninversa tambiénesverdadera: Todonumeroaecimal finitooaecimal perioaicoesunnúmero racional: esdecir,sepuederepresentarcomounafracción. Pero,¿existirannumeroscuyapartedecimalnotengaperiodo?Larespuestaessi: Eiemplos: .1234567891011..., 3.141592653589... ¡PormasqueintentesrepresentarestosnumerosdecimalescomoIraccionesresultaraimposiblehacerlo!Los eiemplosanterioresseconocencomonumeros irracionales 14 . AlosnumerosquenosonnienterosniIraccionesselesllamaalogos o irracionales. Los numeros irracionales aparecen en la historia de las matematicas vinculados a la geometria, cuando considerabanporeiemplo,untriangulorectangulodecatetos1. - Resulta quelamedidadelahipotenusadeestetrianguloesiustamenteunnumeroirracionalconocido como .2 .Lacaracteristicaprincipaldelosnumerosirracionalesesquesuexpresiondecimalnotiene periodo.Dehecho,todaslasraíces cuadradasquenosonexactas,soneiemplosdenumerosirracionales: .2=1.414213562 ... .3=1.732050808 ... .5=2.23606797 ... .7. .8 . .10 . .11. ... 14 Supuestamente, las magnitudes inconmensurables Iueron descubiertas por la Escuela Pitagorica, en el siglo VI a.c., mientras se intentabanresolverproblemascomolarelacionentreladiagonalyelladodeunpentagonoregular.Lamatematicapitagoricasebasaba en los enteros positivos y en todo lo que es expresable en términos de operaciones entre ellos: por lo tanto, a lo sumo se llego a considerarIraccionespositivasyse encontroqueestascantidades noeran ni numerosenterosni Iracciones. Estosedebio aque se concebianlasIigurascomoconstituidasporunacantidadIinitadepuntos.Eldescubrimientodemagnitudesinconmensurablespusoen evidenciaquetalsuposicioneraIalsa,yquemuchasdemostracionesdelageometriaerantambiénIalsasoestabanincompletas.Eudoxo (408355a.c.),estudiantedelaAcademiadePlaton,deIiniolaigualdaddeproporcionesaplicableparaloscasosracionaleirracional,y permitioelavancedelageometriadespuésdesuestancamientotemporal.Sieltemateinteresa,pideinIormacionatuproIesor. 89 · PRINCIPIA · - Otro numero irracional Iamoso es el numero n 15 que representa la longitud de una circunIerencia de diametro1,obien,larazonentrelalongituddeunacircunIerenciaysudiametro. - Asimismo,existeunnumeroirracionalquees: 1+.5 2 =1.61803398 ... ,conocidocomonúmero de oro o razón áurea. 16 ¯En la Unidad III: geometría, encontrarás mayor información sobre estos números, así como algunas de sus aplicaciones directas a la vida cotidiana. ø CON1UNTO DE LOS NÚMEROS REALES Paracomprendermeiorlainterrelacionqueexisteentrelosconiuntosdenumeros,haremosunrecuentodelos quehemosusadohastaahora: - Iniciamostrabaiandoconelconiuntodelosnúmeros naturales,1,2,3,4,5...,ylosdenotamosconla letra N . - Los numeros naturales Iorman parte de otro grupo mas grande que consta de los numeros enteros negativos,elnumeroceroylosnumerosenterospositivos.Aesteconiuntoselesllamaelconiuntodelos números enteros queson: ... -4, -3, -2,-1, 0,1, 2, 3, 4... ylosdenotamosconlaletra Z . Deesta manera,losnumerosnaturalestambiénsonenteros. - Después, deIinimos el coniuntos de los números racionales, meior conocidos como Iracciones. Los deIinimoscomolosquesepuedenexpresarcomo a b . dondeaybsonnumerosenteros, b=0 ,ylos denotamos con la letra O . Recordemos que cada numero entero puede escribirse como un numero racional,yaqueunicamentelecolocamosacadaunodeellos,eldenominador 1 .Yadiiimosquelos numeronaturalessonnumerosenterosy,asuvez,losnumerosenterossonnumerosracionales.Deesta manera,tantolosnumerosnaturalescomolosnumerosenteros,sonnumerosracionales. - Yporultimo,hablamosdelos números irracionales: aquéllosquenosonnienterosniIracciones:o bien,aquélloscuyapartedecimalnotieneperiodo.LosdenotamosconlaletraI. 15 Losantiguosegipcios(hacia1600a.c.)yasabianseguramentedeIormaintuitivaqueexistiaunarelacionentrelalongituddela circunIerenciaysudiametro:yentreelareadelcirculoyelradioalcuadrado.EnelPapiro ae Rhinapuedeleerselosiguiente:"Corta 1/9 del diametro y construye un cuadrado sobre la longitud restante. Este cuadrado tiene la misma area que el circulo". En Mesopotamia,masomenosporlamismaépoca,losbabiloniosutilizabanelvalor3¹1/8,segunquedaregistradoenlaTablilla ae Susa. 16 Seguramente,sihiciéramosunaencuestaa100personaspreguntandolesacercadesunumeropreIerido,ningunacontestariaqueesel 1.61803.Perosegunparece,ésteesyhasidoelnumeropreIeridodelahumanidaddurantemilesdeaños.Nohaymasquetomaruna tarietadecrédito, un Iolio o unlibro, ydividir sualtoentre suancho para toparse conel1.61803. Hablandomatematicamente, el numero Phi (4) queasi se llama es el resultado dedividiruna diagonal cualquiera entre un lado cualquiera de un pentagono regular.Perotambiénlopodemoscalcularmediantelaspinturasmasadmiradas(LeonardoDaVinci,Dali),yatravésdelaarquitectura masapreciada(PiramidesdeKeops,NotreDame,Partenon).Estasobrasguardanlaproporcion aureaencadaunadesuspartes. 90 · PRINCIPIA · - El coniunto Iormado por los números racionales e irracionales, se llama coniunto de los números realesysedenotaconlaletra R . AhoratepresentamosgraIicamentelarelacionquetienecadaconiuntodenumerosconelresto,conIormando asilatotalidaddelosnumerosqueconocemosyutilizamos: DIAGRAMA DEL CON1UNTO DE LOS NÚMEROS REALES 91 · PRINCIPIA · 2.5 RAZONES Y PROPORCIONES 2.5.1 RAZONES Unodelosconceptosmatematicosmasutilizadoseseldelarazon.Poreiemplo:lainclinaciondeunteiado, lasampliacionesoreduccionesdeIotograIiasyelpromediodediaslunesquehayendossemanaspueden expresarsecomounarazon. Anteriormente tratamos conlosnumeros racionales: los quese pueden expresar como uncociente p q . q=0 donde p . q sonnumerosenteros.LarazonseescribecomounaIraccion(engeneralpositiva)ala cualselepuededarotrotipodeinterpretacion:quemasadelanteveremos. ¯ Para tratar de entender este concepto, iniciaremos con algunas actividades. Se te sugiere realizarlas en equipo y discutir con otros equipos los resultados obtenidos, así como recurrir al profesor en cualquier momento que lo requieras. ACTIVIDAD 42 ImaginaquedespuésdehabercompradoenlapapeleriaunabolsadeglobosparaunaIiesta,llegasatucasay teencuentrasquedelos100globosdelabolsa,50sonroios,25azules,10amarillos,5verdesy10negros. ExpresaenIormadeIracciones: · ¿Cualeslarazondelosglobosroiosrespectoaltotaldeglobos? · ¿Cualeslarazondelosglobosamarillosrespectoalosglobosroios? · ¿Cualseralarazondelosglobosverdesynegros,respectoaltotaldeglobos? · ¿Tienesentidoestaultimapregunta? · JustiIicaturespuesta. ACTIVIDAD 43 Supongamosqueteaplicanunaencuestade20preguntasparaconocertuopinionrespectodeunproducto quesalioalmercado,yquedelas20preguntas,norespondiste5,ydelasquecontestaste,3Iueronrespuestas Ialsas. · ¿Cualeslarazondelaspreguntasquecontestasteconeltotaldelasquetenialaencuesta? · ¿CualeslarazondetusrespuestasIalsasrespectoaltotaldelasquerespondiste? · Sitieneslasiguienterazon: 5 20 . ¿comolapodriasinterpretarenlaencuesta? EJEMPLO32 Escribeunarazonparacadaunadelossiguientesenunciados. i) Larazonde7horasa2horas. ii) Larazonde7horasa2dias. 92 · PRINCIPIA · SOLUCION i) Estarazonpuedeescribirsecomo 7 2 . ii) Paraescribirestarazon,primerohayqueconvertir2diasenhoras: Sabemosque1diatiene24horas:deestamanera,2dias÷2(24horas)÷48horas. · Deestamanera,larazonde7horasa2diases 7 48 . EJEMPLO33 Unapersona,alcomprarunacaiacon30manzanas,observoque6salieronmaltratadas.¿Cualseralarazon delasmanzanasmaltratadasconrespectoaltotal? SOLUCION Alcompararlasmanzanasmaltratadasconeltotal,lorepresentamosmediantelarazon: 6 30 , simpliIicando,tenemosque 6 30 = 1 5 . · Estolopodemosinterpretarasi:'decada5manzanas,unaestamaltratada¨. EJEMPLO34 Un servicio de limpieza de alIombras cobra $ 600 por limpiar 3 cuartos alIombrados de las mismas dimensiones.¿CuantocostarialimpiarunsolocuartoalIombrado? SOLUCION Primeroqueremosencontrarelcostoporcuarto: Estoloobtendremosalencontrarlarazon: 600 3 =200. · DeestaIorma,cadacuartoconlasmismasdimensionestendrauncostode$200. Conloseiemplosanteriores,podemosdarunadeIinicionderazon: Razón eselresultadodecomparardoscantidades: eslacomparación por cocientededosnumerosenterospositivos. Estecocienteseinterpretacomoelnumerodevecesqueunodeellosesmayorqueelotro. LasrazonesserepresentanmedianteIraccionesdelasiguientemanera: a b . donde b=0. 93 · PRINCIPIA · TambiénhayotraIormaderepresentarlarazon: Sisetienelarazon a b . surepresentacionequivalentees a .b. ¯ Las siguientes actividades se te recomienda hacerlas por equipo; si no tienes la oportunidad, discute tus resultados con algunos de los compañeros o con el profesor. ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 33. Escribelarazonparacadaunadelossiguientesenunciados: i) Larazondelosdiaslunesendossemanas. ii) Larazondelosnumerosparesenlosprimeros20numerosnaturales. 34.Determinalarazonyescribelaensuminimaexpresion. i) 24minutosa2horas. ii) 8diasa40horas. iii) 16minutosa1hora. iv) 30cma2metros. 35.Unosbiologosmarinoshicieronenunlagolaestimaciondelnumerodepecesycalcularonquehay6000. Algunos de éstos son carpas y otros lobinas. Los biologos rastrearon el lago y pescaron 21 carpas y 24 lobinas. i) ¿Cualeslarazondecarpasrespectoalaslobinaspescadas? ii) ¿Cuantospeceshaydecadatipo? 36.Untinacotienecapacidadpara350litros.Sicontiene 5 8 deaguadesucapacidadtotal,ycadaunode los seis miembros de una Iamilia usa 40 litros para bañarse, ¿alcanzara el agua para que todos puedan bañarse? 37.Enunexamendeopcionmultiple,unodelosalumnoscontestocorrectamente35delas40preguntas. i) ¿Cualeslarazondepreguntascorrectas,respectoalnumerototaldepreguntas? ii) ¿Cualeslarazondelnumeroderespuestasincorrectasrespectoalnumeroderespuestascorrectas? iii) ¿Cualeslarazondelnumeroderespuestasincorrectasrespectoalnumerototaldepreguntas? iv) ¿Dequémanerapodriasobtenerlarespuestaanteriorconlarespuestadelincisoi) ? 38. Unestudiantecontesta12preguntascorrectasde18enunexamen,y14de20enotroexamen.¿Enqué examenobtuvomeiorcaliIicacion? 39. Largoyanchodeunrectanguloestanenunarazonde7:4.Sisuperimetroesde100cm,determinela longituddellargoyanchodelrectangulo. 94 · PRINCIPIA · 2.5.2 PROPORCIONES Unconceptoligadoconlasrazonessonlasproporciones.Asimismo,lasproporcionesestanrelacionadascon lasIraccionesequivalentes.Poreiemplo,pararesolverlasiguienteproporcion 7 5 = 63 x . implica encontrar el valor de la x , para el cual las Iracciones son equivalentes: y esto se cumple si x=45 .PararecordarIraccionesequivalentes,puedesrecurriralapartado2.2.2. Lassiguientesactividadestepermitiranirasociandoestosdosconceptos. ACTIVIDAD 44 EnunmapadelaRepublicaMexicanaaescala, 1 1 2 cm representa55km.Sidosciudadesestanseparadas por55cmenelmapa,¿cualeslaseparacionrealdelasdosciudades? ACTIVIDAD 45 Sielsonidorecorreenelaireunadistanciade1840m en 5 1 2 seg . ¿cualseraladistanciaquerecorreraen 1min? · Sielsonidorecorrio2000m,¿cuantotiempolellevorecorreresadistancia? ACTIVIDAD 46 Unapropiedadvaluadaen$420000,debepagaralatesoreriadelgobiernodelD.F.porimpuestosanuales $5000.¿Quéimpuestosdeberacobrarlatesoreriaparaunapropiedadsimilarvaluadaen$500000? EJEMPLO35 Unsastrecompro3.5metrosdetelaypagoporella$245.Sinecesita8metrosdelamismatela,¿cuanto debepagar? SOLUCION Utilizandorazones,podemoscalcularelpreciodelmetrodetelaconlosdatosquetenemos.Larazondelos 3.5metrosconrespectoa$245.00es: 245 3.5 . Asimismo,estarazondebeserigualalarazonpara8metros:estoes: x 8 . dondexeselvalorquedebepagarpara8metros. 95 · PRINCIPIA · Asique: x 8 ÷ 245 3.5 x÷ 245×8 3.5 x÷560. · DeestaIorma,los8metrosdetelacostaran$560. EJEMPLO36 Encuentraelvalordelaincognitax,enlasiguienteproporcion: 63 x ÷ 9 5 SOLUCION Alobtenerlosproductoscruzados: 63¦5)=9x 315=9x 315 9 = 9x 9 35=x . EJEMPLO37 Siserequieren16huevosy4kgdeharinaparalaelaboraciondeunpastel,¿cuantoshuevosserequeriran para7kgdeharina? SOLUCION Seax ÷Numerodehuevosrequeridospara7kgdeharina.Deestamanera,podemoscalcularlarazonde huevosporkgdeharinacomo 16 4 . asimismo,estarazondebeserigualpara7kg,estoes x 7 Deestamaneraobtenemos: 16 4 ÷ x 7 96 · PRINCIPIA · 4= x 7 4¦7)=7 x 7 28=x . · Asi,para7kgdeharina,senecesitan28huevos. Conestoseiemplos,podremosdarunadeIiniciondeproporcion: Proporción eslaequivalenciaentredosrazones. DosrazonesIormanunaproporciónsolamentesilosproductoscruzadossoniguales. Estonosllevaalapropiedad fundamental de las proporciones: a b = c a siysolosiaa ÷ bc ,dondeb v a = 0. ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 40. SegunlainIormacion nutricionalde unacaiadeesparragos,cuatro piezasdeesparragoscontienen15 calorias.¿Cuantaspiezasdeesparragoscontendran50calorias? 41. Segununatablanutricionalquevieneenunrecetario,tresonzasdehuachinangoproveen22gramosde proteinas.¿Cuantasonzasproporcionarian242gramosdeproteinas? 42.Unautomovilpuederecorrerunadistanciade250kmcon15litrosdegasolina.¿Cuantoslitrosrequerira pararecorrer500km? 43. Unmotordeunalicuadoragira36revolucionesentressegundos.¿Cuantasrevolucionesgiraraenun minuto? 44. Resuelvelassiguientesproporciones: a) 9 12 ÷ x 60 b) 12 35 ÷ v 20 c) 7 14 ÷ 58 z d) 2 w ÷ 5 100 45. Siunoconsume90gramosdeciertocereal,elcuerpoestariaabsorbiendo400calorias.¿Quécantidadde cerealnecesitariamoscomerparaabsorber1000calorias? 46. Unautomovilgasta5litrosdegasolinaporcada100km.Siquedaneneldeposito8litros,¿cuantos kilometrospodrarecorrerelcoche? 97 · PRINCIPIA · 2.5.3 REGLA DE TRES SIMPLE: DIRECTA E INVERSA Laregladetressimpleseapoyaenloscriteriosdelasproporciones:esunaoperacionquetieneporobieto hallarelcuartotérminodeunaproporcion,cuandoseconocentresdesuselementos. Laregladetressimpleestaconstituidadesupuestos v preguntas. Lossupuestossonlosdatosdelapartedelproblemaqueyaseconocen, ylaspreguntassonpartedelproblemaquecontienelaincognita. · Laregladetrespuedeserairectaoinversamenteproporcional: Formas de la Regla de Tres Directa Estareglaseutilizacuandolasmagnitudesdel problemasondirectamenteproporcionalesala incognita. Inversa Estareglaseutilizacuandolasmagnitudesdel problemavarianenIormainversamente proporcionalalaincognita. ParaentendercuandoaplicarcadaunadelasdosIormasdelaregladetres,comencemosporlassiguientes actividades. ¯ Se te sugiere que colabores en equipo y discutas tus resultados tanto con el profesor como con otros equipos. ACTIVIDAD 47 Enunacasaeditorial,5personastardaron1720hrsparaeditarunarevista.¿Cuantashorasocuparanpara editarlamismarevista8personas? ACTIVIDAD 48 UnaIotograIiamuestraaunniñoparadoiuntoaunenormecactus.Sielniñomideenrealidad48pulgadasy enlaIotoelniñomide0.6pulgadasyelcactus3.25pulgadas,¿cuantomideenrealidadelcactus? ACTIVIDAD 49 Siunamillaequivaleaproximadamentea1.6kmyladistanciaenmillasdeSanDiegoaSanFranciscoesde 520millas,¿cualesladistanciaentreesasdosciudadesenkilometros? ACTIVIDAD 50 EnunaccidentedetraIicosepierden 7 11 delacargadeuncamionquetransportabamelones.Sielmonto delapérdidaesde$9100ytransportaba1000kgenmelones, 98 · PRINCIPIA · · ¿Cualeraelmontodelcargamentocompleto? · ¿Cuantoskgdemelonesseperdieronenelaccidente? · ¿Cuantoeselcostodepérdidaporkgdemelon? EJEMPLO38 Sienunalibreria4librosdelmismotemacuestan$200,¿cuantocostaran15libros? SOLUCION IdentiIiquemoslaincognita: x÷preciodelos15libros. Laproporcionserialasiguiente: 4 200 ÷ 15 x . Despeiandoxtenemosx÷750.Deestamanera,los15libroscostaran$750. · ExisteotraIormadeplantearloanterior,medianteelsiguientearreglo,llamadoregla de tres: 4libros$ 200 15librosx. Comolaincognitavariademododirectamenteproporcionalalasmagnitudesdelproblema,resolviendopara x,obtenemos x÷ 15×200 4 x÷750. · Elresultadocoincideconelmétodoanterior. EJEMPLO39 Enunaobra,4hombresterminantodoeltrabaioen12dias.¿Encuantosdiaspodrianhacerlamismaobra6 hombres? SOLUCION Teniendoencuentaquetodosloshombrestrabaianporigualyalmismoritmo,identiIiquemoslavariable v÷alnumerodediasenqueterminanlaobralos6hombres.Planteandonuestraregladetres: 4hombres12aias 6hombresv 99 · PRINCIPIA · Comoahorapodemosnotar,laincognitavariainversamenteproporcionalalosdatos,resolviendoparav: v÷ 4×12 6 v÷ 48 6 v÷8. · 6hombresterminaranlaobraen8dias. EJEMPLO40 Siunalumnoharealizado 2 3 desutareaen20min,¿cuantotiempolellevararealizarlacompleta? SOLUCION IdentiIicamoslaincognita z ÷ tiempoquelellevararealizaralalumnolatareacompleta.Planteamosla regladetres: 20min 2 3 tarea z 3 3 tarea. Comolaincognitavariadirectamente,yaqueeselmismoalumnoynohayotrapersonaquelopuedaayudar parahacerlomasrapido,lasolucionparazes: z÷ 20× 1 3 2 3 z÷30min. 100 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 47.Enunaescuela,porIindeaño,losalumnospintaranlasparedesdesusalondeclases.Si12alumnoslo hacenen130min,¿cuantosalumnosserequierenparapoderpintarloen1hora? 48. Si queremos endulzar agua de melon, y sabemos que 250 gramos de azucar se diluyen en 5 litros, ¿cuantoslitrosdeaguademelonhayqueañadirparaquelamezclacontenga8gramosdeazucarporlitro? 49. Si25trabaiadorestardan80diasenhacerunpequeñoediIicio,¿cuantosdiasaproximadamentetardarian 70trabaiadoresenhacerelmismotrabaio? 50. UnganaderotienepasturasuIicienteparaalimentara300borregosdurante50dias.¿Porcuantosdias podraalimentarelganaderoa500borregosconlamismacantidaddepastura? 51. Unempleadoquetrabaia 6 1 2 hr diarias,recibecomosalario$4800.00almes.SuieIelehainIormado queseleaumentarandoshorasdetrabaio.¿Cualserasunuevosueldomensual? 52. Uncomerciantedetelasdeseasabercuantosmetrosdeteladebevenderparaobtenerunagananciade $2000.00, siporcada50metrosdetelavendidosgana$100.00. ¿Podriasdeterminarcuantosmetrosdebe vender? 53. UnvuelocomercialquepartedelaciudaddeMéxicocondestinoaMexicali,tarda 3 1 2 hrs conuna velocidadpromediode 275 millas hr . ¿Aquévelocidadviaiabaelavionsiunasemanadespuésrecorrela mismadistanciaen 2 3 4 hrs ? 101 · PRINCIPIA · 2.5.4 PORCENTA1E Unadelasprincipalesaplicacionesdelosnumerosdecimalesprovienedelusodeporcentaies.Enalgunas ocasiones hemos escuchado Irases como: el indice de pobreza disminuyo en tres por ciento, la meta del gobiernoesreducirenuncincoporcientoelindicedecriminalidadenlarepublica,elaumentodelsalario minimoIuedeuncincoporciento,etc. Tambiénlosporcentaiesestanrelacionadosconlasproporciones,yaquecalculareltantoporcientot º,de unacantidadA consisteenencontrarunacantidadB,deIormaqueAyBesténenlamismaproporcionque 100 yt.Asi,sielt ºdeunacantidadAesotracantidadB,severiIica: A B = 100 t . Poreiemplo,cuandomencionamosque'25°delaspersonasqueIormanunparlamentosondelaoposicion¨, seestadiciendoquedecada100parlamentarios,25sondelaoposicion.Portanto,contenerdosdeestos datos,sepuedeaveriguareltercero. 17 Lassiguientesactividadestepermitirancomprenderesteconcepto. ACTIVIDAD 51 Enunaclasede30alumnos,8practicanlanataciony22iueganalIutbol. · ¿Cualeselporcentaiedelosalumnosquepracticannatacion? · ¿CualeselporcentaiedelosalumnosqueiueganIutbol? ACTIVIDAD 52 Sienunaparadordeuncentrocomercial,seencuentraqueunarticulotieneunprecioetiquetadode$250,y tieneundescuentodel35°,¿cualeselprecioquesepagaraporelarticulo? ACTIVIDAD 53 Untrabaiadordeunaminadelnortedelpaisgana$2800almes,perocomocompensacionporunaccidente, leincrementaronelsueldoa$3000.¿CualIueelporcentaieenelqueseincrementosusueldo? ACTIVIDAD 54 PorIindetemporada,unamarcaderopaanunciaquetodasumercanciaestacon'rebaiassobrerebaias¨.Si unpantaloncuesta$250ytieneunarebaiainicialde20°,ydespuéstieneadicionalmenteunarebaiadel5°, ¿cualseraelprecioIinaldelpantalon? · ¿Seraigualestepreciosiseleaplicasoloundescuentodel25°? · Explicaturespuesta. 17 Estosproblemassepuedenplantearutilizandolaregladetres.Consultalaseccionanterior. 102 · PRINCIPIA · Elporcentajesederivadelaspalabras'porciento¨yserepresentaacompañadodelsimboloº. Alescribir1°,queselee'unoporciento¨,loqueestamosdiciendoes:'unapartedecien¨,yloescribimos comounaIraccionpropiaocomun, 1°÷ 1 2 =0.01. PorloqueengeneraldeIinimos n°÷ n 100 . EJEMPLO41 Sienlacompradeunarticulonoshacenundescuentode$87.5,ynosdicenqueeldescuentoIuedel35°, ¿cualeselprecioconelqueestamarcadoelarticulo? · ¿Cuantosepagoporesearticulo? SOLUCION IdentiIicamos la incognita: x ÷ Precio del articulo. Estableciendo el porcentaie en Iorma de proporcion, tendremos 87.5 35 ÷ x 100 . Resolviendoparax x= 87.5×100 35 x÷250. · Porlotantoelpreciodelarticuloesde$250,yloquesepagoporélloobtenemosdelaresta: 25087.5÷162.5. EJEMPLO42 UnapersonadesearentarunapartamentoenelcentrohistoricodelD.F.Sialcomienzodelañolarentaesde $10000yaumentaraun5°elmesdediciembre,¿cuantopagaraderentaendiciembre? SOLUCION Primero identiIicamos la variable: v ÷ Aumento en el mes de diciembre. Anotando el porcentaie como proporcion,obtenemos 10000 100 = v 5 . Resolviendoparav v= 5×10000 100 v=500. Deestamanera,larentaquesedeberapagarenelmesdediciembreesde$10500. 103 · PRINCIPIA · EJEMPLO43 Enunabaratadelineablanca,unreIrigeradortieneunpreciode$7000,yseoIreceundescuentodel15°: perosisepagaeneIectivo,hacenundescuentoadicionaldel5°.¿CuantosepagaraporelreIrigeradorsiel pagoeseneIectivo? SOLUCION IdentiIicando la variable para el primer descuento: x ÷ Cantidad del primer descuento. Escribimos el porcentaiecomoproporcion 7000 100 ÷ x 15 . Resolviendoparax x= 15×7000 100 x=1050. · Deestamanera,elpreciodelreIrigeradorconelprimerdescuentoesde:7000-1050÷5950. Ahorahagamoselsegundodescuento:v÷Montodelsegundodescuento.Elporcentaielodalaproporcion correspondiente 5950 100 ÷ v 5 . Resolviendoparav v= 5×7000 100 v=297.5. · Deestamanera,elprecioIinalporpagarloeneIectivoesde:5950-297.5÷5652.5. Nota:Sihacemoseldescuentodirectodel20°alarticulo,elprecioseriade$5600:deestaIormanoeslo mismounsolodescuentodel20°,queunprimerdescuentodel15°yluegounsegundodescuentodel5°. Hayreglas muy sencillasparapasar de decimales a porcentaies, de Iraccion aporcentaies y viceversa. A continuacionlosenunciamos: Conversión Porcentaje a Decimal: Quitaelsigno°ymueveelpunto decimaldoslugaresalaizquierda. Siesnecesario,insertaceros paraocuparloslugaresIaltantes. Decimal a Porcentaje: Mueveelpuntodecimaldoslugares aladerechayañadecerossies necesarioparaocuparloslugares Ialtantes.Finalmenteañadeelsigno°. Fracción a Porcentaje: Aplicandolasreglasanteriores,convierte laIraccionadecimaly,enseguida, convierteestedecimalaporcentaie. Finalmenteañadeelsigno°. 104 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 54.SiunobreroenEspañagana1600eurosalmesysuempresaleincrementaraelsueldoun11°,¿cualsera sunuevosalario? 55. Encuentraelporcentaieindicadoparalassiguientescantidades: a)2°de59 b)40°de1675 c)17.5°de240 56. Paralassiguientescantidades¿quéporcentaiede: a)224representa45? b)500representa50? c)32representa3? d)18representa2? 57. En un examen de 40 preguntas, un estudiante tuvo 32 aciertos. ¿Cual es su porcentaie de respuestas correctas? 58. UnequipodeaireacondicionadoIuevendidoen$7000luegodeaplicarleun20°dedescuento.¿Cuales suprecionormal? 59. Unterrenode300hectareasescultivadodelasiguienteIorma:25°dearroz,30°demaizy45°de Iriiol.¿Quécantidaddehectareasestansembradasdemaiz,arrozyIriiol? 60.Siunaprendacuesta$349(sinIVA),¿sepodracomprarlaprendacon$420? 61. Una tienda departamental hace descuentos por Iin de temporada sobre lo ya rebaiado. Karen desea comprarunarticulocuyoprecioesde$646yquetieneundescuentodel50°.Lapromocionindicaun15° dedescuentoadicionalsobreloyarebaiado.¿CuantopagaraKarenalIinalporelarticulo? 105 · PRINCIPIA · øUNIDAD 3 GEOMETRIA PROPOSITO Conoceras v aplicaras las formulas basicas ae la geometria para calcular perimetros v areas ae figuras geometricas. Asimismo. tenaras bases para poaer aplicar conceptos geometricos en otras aisciplinas. INTRODUCCION "No entre aqui quien no sea versaao en geometria" LamaximaanteriorseencontrabagrabadaalaentradadelaAcademiadePlaton,paramostrarlaIormaen quesusdiscipulosprivilegiabanalageometria.geometria,etimologicamente,signiIica:meaicion ae la tierra, locualnossugierequelosantecedentesdeestadiscipinasereIerianaproblemaspracticosparamedirtierras yterritorios.PorIortuna,lageometriaylosgeometrasIueronmasalladesolomedirterrenoslocualensi noesnadainteresantey,coneltiempo,estaareaseindependizoyadquiriolascualidadesqueahoraposee yquerepresentanunretoparaquienesseaventuranensusdominios. MuchosañosantesdeCristo,losgriegos,entreellosTalesdeMileto,habianobservadocuidadosamentelas matematicasque haciansuscontemporaneosdeotrasnaciones,comolosegipcios, babilonios,persas,etc. Basadosenesoyelloconstituyeelarranquedelasmatematicascomoseconocenahora,Iormularonla maneradeeiercerlascomounasuntodelintelectoaligualquedelarte,ynoexcluyeronlaposibilidaddeque pudieranseratractivas. 107 · PRINCIPIA · 3.1 FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRIA PLANA: PUNTO, RECTA Y PLANO Paralasactividadesqueencontrarasenestaunidad,reuneteenequipoydiscutesuposiblesolucion,escribela delamaneramasclaraposibleycompartelacontuscompañeros. ø EL ORIGEN DE LA GEOMETRIA A PARTIR DE UN PUNTO Parainiciarelestudiodelageometriapodriamospartirdelconceptodepunto: unaentidadmatematicasin magnitudnidimension 18 ,peroconubicacionenelespacio.Imaginaunpuntomuydiminuto: · EsclaroqueeldibuioanteriornorepresentaunpuntoenelsentidoalquenosreIerimos,puescuentacon dimensiones,aunqueéstas seanmuypequeñas.Deentrada,asicomo los griegosloconcibieron,losentes matematicossonunasuntoquerequierequeempleemosmuchonuestraimaginacion. Ahorabien,imaginemosquealdeplazarseestepuntoenciertadireccion,describeunsegmento de recta: Este,aldesplazarse,hadadolugaraunobietoquecuentaconunadimensión,esdecir,tienelongitud. Llevemosmasleiosnuestroeierciciodeimaginacion,ahorapensemosqueestesegmentosedesplaza,por eiemplo,haciaabaio,lamismadistanciaquesulongitud: ¡Estehechohadadolugaraunafigura cuadrangular!Estacuentacondosdimensiones:longitudy anchuraloque,porotraparte,implicaqueposeeunárea. De hecho, el segmento derecta pudo haberrotado alrededor desu centro, lo quehabria dado lugar a un circulo:Iiguraquedeigualmaneraestacontenidaendosdimensionesyposeeunárea: 18 EntenderemoscomoaimensionaquellaquenospermitedeIinirlargo,anchoyaltoentérminosdelongitudes. 108 · PRINCIPIA · Perovayamosmasleiosenesteeiercicio:pensemosqueelcuadradoanteriorsebarrehacianuestrosoios.Lo queocurrira,yquetalvezyatehayasimaginado,esquesegeneraraunaIiguratridimensional,propiamente uncubo: Talcuerpogeométricotienetres dimensiones:largo,anchoyalto.Poseeunvolumen. Losgriegosnotaronquelasentidadesmatematicasqueellosdescubrian,yquesurgian,pordecirloasi,dela nada,tenianpropiedadesquenodependiandequienlasexaminara.Losentesmatematicos,auncuandonose lespudiera deIinir con precision, conIormaban un mundo independiente del hombre, gobernadopor leyes propias. Al estudiar las propiedades de los entes geométricos, los griegos, después de muchos años de estudio, llegaron a un perIeccionamiento en el arte de la geometria, y plasmaron sus hallazgos en una obra monumental, cuya validez pervive hasta la Iecha: Los Elementos, unconiunto de libros recopilado porel matematicoEucliaesmuchoantesdenuestraera,yque,despuésdelaBiblia,hasidounodeloslibrosmas publicados. Euclides de Alejandría (c.325 - c.264 a.c.). matematico ae origen griego que es principalmente reconociao v recoraaao por su trataao sobre geometria. llamaao Los Elementos (una ae cuvas paginas aqui se ilustra). Susdescubrimientoshan inIluenciadoeldesarrollo universaldelasmatematicas durantelosultimos2000años. 109 · PRINCIPIA · 3.1.1 PERIMETRO Y LONGITUD ConelIindeadentrarnoseneltema,vamosarealizarunaactividadreIerentealperímetro, detalmaneraque proporcionemosunaprimeradeIiniciondesusigniIicado. ACTIVIDAD 1 Lasventanasdelacasadeunapersonatienenlassiguientescaracteristicas: · a)Silapersonadeseaadornarsusventanasalrededordeellas,esdecir,enlasorillasoenelcontornode estasIiguras,¿cuantosmetrosdeadornonecesitariacomprarparacadaventana? Unodelosconceptosqueutilizaremosyqueaprenderemosacalcular,seconocecomo: perímetro,concepto ampliamenteutilizadoparamedirlongitudes. LalongitudqueencontrasteparacadaIigurageométricaanterior,esiustamenteelperimetro. Masadelante, aprenderemostambiénacalcularperimetrosdeIigurascuyosladosnosonnecesariamentelineasrectas,como poreiemplocontornoscircularesuotras.PorelmomentonosconcentraremosenaquellasIigurascuyoslados sonlineasrectas. · b)¿ComoobtuvisteelperimetrodelasIigurasanteriores? ACTIVIDAD 2 IntentemosobtenerelperimetrodeestasIiguras: a) b) c) d) 110 · PRINCIPIA · Habras notado que, para calcular el perimetro de una Iigura compuesta de lineas rectas, se suman las longitudesdesuslados.Deacuerdoalasactividadesanterioresdelcalculodeperimetro: · Describecontuspropias palabrasel signiIicadodeperimetrodeunaIigurageométricacompuesta por lineasrectas. ACTIVIDAD 3 UtilizaladeIinicionquehasdadoparacalcularelperimetrodelassiguientesIigurasgeométricas,llamadas poligonos regulares (unpolígono regular esaquelcuyosladosyangulosmidenlomismo),donde L esla medidadecadaunodesuslados.Poreiemplo,elperimetrodelaprimeraIigura(triángulo equilátero),es: L+L+L ÷ 3L. Unpolígono regularesunaIigurageométricaplana enlaquetodossusladostienenlamismalongitud,ysusangulossoniguales. ACTIVIDAD 4 DeacuerdoaladeIinicionanterior,¿cualeslaIormulaparacalcularelperimetrodeunpolígono regularde nlados,dondelalongituddeunodesusladosesL? · ExplicacualIueturazonamiento. ElperímetrodeunaIiguraplana,compuestadesegmentosdelinea, eslasumadelasmedidasdeesossegmentos. Haciendousodelaimaginacion,pensemosqueconunacuerdasomoscapacesderodearelcontornodeuna Iiguraplanadada,yacontinuacionextendemoslacuerdaymedimossulongitud.Estoesequivalenteamedir por separado los lados de una Iigura y luego sumar las magnitudes. Lo que estaremos calculando sera el perimetrodelaIigura. 111 · PRINCIPIA · 3.1.2 CIRCULO Paracalcularelperimetrodeuncirculo,consideremosuncirculoderadior,diámetrodycircunferencia C (porcircunferenciaentendemoslalongitudquecomprendeelcontornodeuncirculo,estoes,elperimetro), comoenlasiguienteIigura: ComoelradioesladistanciadelcentrodelcirculoaunpuntodelacircunIerencia,entonceseldiámetroes eldobledelradio,estoes:d ÷ 2r. ACTIVIDAD 5 Conlaayudadeunacuerda,midelacircunIerenciadeuncirculodecualquiertamaño.Acontinuacion,mide el diametro del mismo circulo con otra porcion de cuerda, y averigua cuantas veces cabe la longitud del diametroenlacircunIerencia.Repiteesteprocesoconcirculosmasgrandesomaspequeños. · a)¿Quéobservasenesteexperimento? · b)¿CuantasvecescabelalongituddeldiametroenlacircunIerencia? · c)¿Importaeltamañodelcirculo? EIectivamente,eldiametrodeuncirculocualquieracabe3vecesenlacircunIerencia,ysiempresobraun tramo.Estepatronserepiteconcirculoscualquiertamaño. SidispusiéramosdeunamedidamasIina,nosdariamoscuentadequeeldiametrodeuncirculocabe3.1416 vecesaproximadamenteensucircunIerencia:esdecir,sidividimoslacircunIerenciaentreeldiametrodeun circulo,elresultadoessiempre3.1416.Elresultadodeestamedicionesenrealidadunaaproximacionparael numero a :recordemosqueelnumero a valeaproximadamente3.1416. LosgriegosdescubrieronqueeneIectoexistiaunnúmero especialque,Iuncionandocomounaproporcion, relacionabalalongituddelacircunIerenciaconeldiametro--sinimportareltamañodelcirculo. Estoes,parauncirculocualquiera, C d =n. Usualmente, el valor que se le da al numero n es 3.1416. Sin embargo, su valor aproximado es: 3.1415926535897932384626433832795...Estenumero,comosabras,esundecimalnoperiodico,osea unirracional,ynoestrivialelcalculodesusdigitos. LosgriegosaproximaronelnumeronconlaIraccion 22 7 . PeroIueronloschinosquienestuvieronmeioresacercamientosaél.Lascomputadorasmodernaspermiten calcularmillonesdedigitos:peronuncaseterminaria,pueséstossoninIinitosy,ademas,noserigenporun patronconocido--misterioquehastalaIechasigueinspirandoalosmatematicos. 19 19 Curiosamente,losantiguosgeometrasgriegosnoemplearonestaletragriega:IueLeonardEuler,matematicosuizo,quienlaintroduio hastaelsigloXVIII.Usolaprimeraletradeltérminogriegoperiferium,esdecir,periferia( a eslaletragriegaparap). 112 · PRINCIPIA · Regresandoalaigualdadanterior,tenemosque C d =n , asiquesieIectuamosunsencillodespeie,obtenemos C=aa . Ahora,tomandoencuentaque d ÷ 2r. laigualdadanteriorseescribe C=2ar . queeslaIamosisima Iormulaqueconocemos. LacircunferenciaCdeuncirculodediámetrodseobtienepormediodelaIormula C=aa . TambiénlacircunferenciaCdeuncirculoderadiorsedaporlaIormula C=2ar . ¯ Hasta aquí hemos empleado la letra C para referirnos exclusivamente a la circunferencia (perímetro) de un círculo. Sin embargo, para no confundir, ahora seguiremos usando la letra P para referirnos al perímetro de cualquier figura. ACTIVIDAD 6 DeducelaIormulaparacalcularelperimetrodeunmediocirculoderadior. (Noincluyaslalineapunteada.) ACTIVIDAD 7 Apartirdelarelacionanterior,proporcionarunaIormulaparacalcularelperimetrodelamismaIigura,solo queahoradebesincluirlalineapunteada: ACTIVIDAD 8 AhoranoteseradiIicildeducirlaIormulaparacalcularelperimetrode: a)elsegmentodeuncuartodecirculo,y b)elperimetrodeuncuartodecirculo. a) b) Nota: siemprequeenunaIiguraaparezcanlineaspunteadas,éstasnosedeberantomarencuentaparael calculodelperimetro. 113 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 9 PongamosenpracticalasIormulasanterioresparacalcularelperimetrodelassiguientesIiguras: a) b) c) d) e) · ¿Habraperimetrosque serelacionenmedianteunmultiploentero?Estoes,que aldividirelperimetro mayorentreelmenor,elresultadoseaunnumeroentero. · Explica. ACTIVIDAD 10 AhorateserasimplecalcularelperimetrodelassiguientesIiguras,compuestasconlineasrectasycurvas. AquitambiénseranecesarioocuparalgunasdelasIormulasqueyaobtuviste.Inténtalo: a) b) c) d) e) · ¿CualdeellastepareciomasdiIicildecalcular? · ¿Porqué? 114 · PRINCIPIA · 3.2 CONCEPTO INTUITIVO DE ÁREA Ahora nos ocuparemos del concepto de área. El signiIicado de area de una Iigura geométrica no debe conIundirsedeningunmodoconeldeperímetro. VeamoslasdeIiniciones: Perímetro Área Elperimetroes,esencialmente, unalongitud,yseobtienemidiendo elcontornodelaIiguraplanadada. Susunidadesdemedicionsonlineales: cm. m. km. pies. etc. Elareanopuedemedirsedirectamente: eselresultadodeunaoperacionrelativa alproducto. Susunidadesdemedicionson cuadradas:cm 2 . m 2 . km 2 . pies 2 . etc. Poreiemplo,elareadeuncuadradoinvolucramedirbaseyaltura(notodoelperimetro),ymultiplicarambas longitudes.MasadelantesedetallalaIormula. ACTIVIDAD 11 Contuspropiaspalabras, menciona¿quédiIerenciaexisteentrelosconceptosdeareayperimetrodeuna Iigurageométrica? ACTIVIDAD 12 PintadeuncolorelperimetroydeotrocolorelareadelassiguientesIiguras. · ¿TodaslasIigurasanteriorestienenarea? · Sirespondistequeno,comentaporqué. · ContuspropiaspalabrasmencionaquéentiendesporareadeunaIigurageométrica. · ¿QuétipodeIigurastienenareaycualesno? · ¿Porqué? 115 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 13 RecordemosqueenlaIormulaparacalcularelárea de un rectángulo semultiplicasubase por sualtura. Calculaelareadelsiguienterectangulo.Después,calculasuperimetro. Observarasquenocoincidenamboscalculos.ElareaeslasuperIiciedelmismo,esdecirelinterior:mientras queelperimetroesel contorno delaIigura.Comomencionamosanteriormente,sondoscosas totalmente distintas. En tus cursos previos de geometria, utilizaste en algun momento las Iormulas para calcular el area del triangulo, circulo, paralelogramo, etc. Sin embargo, quiza nunca te preguntaste de donde surgian dichas Iormulas. ParaIamiliarizarnosconlaaplicaciondealgunasdeellas,haremosactividadesdecalculodeareas,ymas adelante veremos como se deducen dichas Iormulas. Observa la siguiente tabla para el area de Iiguras geométricascomunes: Figura geométrica Representación gráfica Fórmula Rectangulo A=ab Cuadrado A=aa=a 2 Triangulo A= ab 2 Circulo A=nr 2 ACTIVIDAD 14 ApartirdelaIormuladelareaparaelcirculo,deducelaIormulaparacalcularelareadeunmediocirculoy deuncuartodecirculo. 116 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 15 DeacuerdoalasIormulasqueobtuviste,calculaelareadelassiguientesIiguras.Aquitendrasquehaceruna sustituciondelvalordelradio. a) b) c) ACTIVIDAD 16 IntentacalcularelareadelassiguientesIiguras,quesoncombinacionesderectangulos,triangulosycirculos. a) b) c) Acontinuaciondamoselconceptodearea: Áreaeslamedidadelaregionoporcionlimitadadeunplano. 117 · PRINCIPIA · 3.2.1 DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS PARA EL ÁREA DE FIGURAS BÁSICAS Ahora,deduciremoslasIormulasparaelcalculodeareadealgunasIigurasgeométricas,partiendodeque conocemoslaIormulaparacalcularelareadeunrectangulo. ø RECTÁNGULO Partamosdeloyaconocidoparaunrectangulo.Tomemosunrectángulo debasea yalturab comoenla Iigura: · EláreaAdeesterectanguloes A ÷ a·b. · Elperímetrodelrectanguloseralasumadetodosloslados:P ÷ a·a·b·b ÷ 2a·2b ÷ 2(a·b). Apartirdeloanterior,podemosdeducirlasareasdeotrasIigurasplanas. ø CUADRADO Observemosquesilabaseylaalturacoincidenyson,poreiemploa,entoncestendremosuncuadrado de area a 2 . a a A=aa=a 2 · EláreaAdeestecuadradoes A=a 2 . · Elperímetrodelcuadradoseralasumadetodosloslados:P ÷ a·a·a·a ÷ 4a. Observemosqueareayperimetronocoinciden. 118 · PRINCIPIA · ø TRIÁNGULO Nuevamente,conociendolaIormuladelareadelrectangulo,podemosdeducirlaIormulaparaobtenerelarea deltriángulo. Empecemos con un triángulo rectángulo (recordemos que un triangulo rectangulo es aquel que tiene un angulode90°oangulo recto): Resultainmediatoverqueelareadeltrianguloeslamitaddelareadelrectanguloenelqueestatrazado:por lotanto,elareadeltriangulorectanguloes: A= ab 2 . Paracalcularelareadeuntrianguloengeneral(aunquenoseatriangulorectangulo),imaginémosloinscrito tambiéndentrodeunrectangulo,comoenlaIigurasiguiente: Observemos que hemos dividido nuestro triangulo en 2 triangulos rectangulos. La parte de la base del triangulo en el lado izquierdo a la linea punteada es a-x . la parte complementaria de la base es: x. Calculandoelareadeambossubtriangulosrectangulos,tenemos: A= ¦ a-x)b 2 + xb 2 = ab-xb 2 + xb 2 = ab 2 - xb 2 + xb 2 = ab 2 . Esdecir,elareadeltrianguloes: A= ab 2 . quees,denuevo,laIormulaqueconociamosdenuestrosestudiosbasicosdematematicas:peroque¡estavez hemosdeducido! 119 · PRINCIPIA · ø PARALELOGRAMO Consideremos ahora el siguiente paralelogramo (Iigura de cuatro lados que tiene ambos pares de laaos opuestos paralelos): Sirecortamoseltriangulosombreadoylopegamosaladerecha,laIiguraresultanteesunrectangulo,como seapreciaenlaIigura: El area de este rectangulo, como ya lo sabemos, es: A=ab. lo cual debe coincidir con el area del paralelogramo. Porlotanto,elareadelparalelogramoes: A=ab. ¡Igualaladelrectangulo! ø TRAPECIO ConsideremosotraIiguramas,untrapecioconbase mavor B,base menor byaltura h,comosemuestraen lailustracion(untrapeciotienesolo2ladosparalelos): Observemos que si pegamos dos trapecios idénticos, uno de ellos invertido, la Iigura resultante es un paralelogramo: EsteparalelogramotienebaseB · byalturah. Suareaentonceses A=¦ B+b)h. Puestoqueelareadelparalelogramoeseldobledeladeltrapeciooriginal,entonceselareadeltrapecioesla mitaddelareadelparalelogramo. 120 · PRINCIPIA · Estoes,elareadeltrapecioes: A= ¦ B+b) h 2 . ¯ Es importante notar que, aunque esta relación para el área es la que aparece en los formularios de geometría, en este caso la has deducido sin necesidad de recurir al texto, empleando sólo las ideas básicas expuestas hasta ahora. Volviendoaltriangulo,existeotraIormulaparaobtenersuarea.LaIormulaquehemosdiscutidohastaaqui implicaqueseconozcanlabaseylaaltura.Supongamosqueconocemoslalongituddesus3lados:perola alturanonecesariamenteseconoce. Elperimetrodeestetrianguloes,comosabemos,lasumadeloslados:P ÷ a · b · c. Pero,¿ysuarea? Heron de Aleiandria, proliIico inventor de la antigüedad, mostro que se puede calcular el área de un triángulo conociendo sólo sus lados(osuperimetro).LaIormulaqueéldescubrioes: A÷ . s¦ s-a)¦s-b)¦ s-c) . dondesrepresentaelsemiperimetrodeltriangulo,dadoporlaIormula: s=¦ a+b+c) /2. · EiemplodelaFormula ae Heron: Dadountrianguloisoscelesdelados7,7y3,determinarsuarea.Notemosques÷ 17 2 . Luego,elareaes: A ÷ .17/ 2¦17/ 2-7)¦17/ 2-7)¦17/2-3) ÷ . 1683/ 4. LaIormulaquedescubrioHerontienealcancesinsospechados,yaquenospermitecalcular-engeneral-el areadecualquierpolígonosiprimerolotriangulamos. Poreiemplo,laIormuladeHeronsepuedeemplearparacalcularelareadeestos2polígonos irregulares(un poligono irregular esunaIigurageométricaplanaenlaquealgunodesusladostienediIerentelongitud,y algunodesusangulosesdistinto): 121 · PRINCIPIA · Uncasoparticulardelospoligonoseseldelospolígonos regulares,queyaestudiamosatras.Pararecordar un poco, son los que tienen todos los lados iguales, por eiemplo: el triangulo equilatero, el cuadrado, el pentagono, el hexagono, etc. La Iormula para el area de los poligonos regulares no es diIicil de deducir, empleandoentreotrastécnicaslaaplicaciondelaIormuladeHeron. Herón de Alejandría (c.10 - 70 a.c.). ingeniero v geometra ae origen griego. fue uno ae los inventores mas prolificos ae la antigüeaaa. Se le atribuve. entre otros muchos aiseños. la primera maquina ae vapor aocumentaaa. Fue tambien investigaaor v profesor ae matematicas. mecanica. fisica v neumatica. Descubrio la celebre formula que lleva su nombre (FormuladeHeron). con la cual se pueae calcular el area ae cualquier triangulo conocienao unicamente la magnitua ae uno ae sus laaos. ø CIRCULO Paracalculareláreadeuncírculo,losgriegos(secreequeArquimeaes)notaronquetambiénseinvolucrael numeroa. Paracalcularelareadelcirculo,ArquimedesprocediodelasiguienteIorma:tomouncirculoderadiorylo seccionoenrebanadassemeiantesagaios,reacomodandolosenunasecuencia: nr r Mientrasmaspequeñossehaganloscortes,laIiguradeladerechamasseaproximaraaunrectangulo.Los ladosdeeserectangulo-sediocuentaArquimedes-correspondianalradiomultiplicadoporunIactork,¡que nuevamenteresultoserelnumeroa!Deahiqueelareadelcirculosea: A=ar 2 . VeamosalgunoseiemplosdecomoaplicarlasIormulasquehemosdeducido.Sitrabaiasenequipo,comenta conlosintegrantesotrasIormasposiblesdesolucion. EJEMPLO1 Determinaelareadelassiguientes5Iiguras: a) b) c) 122 · PRINCIPIA · e) I) SOLUCIONES a)Aquieldiametroes6cm,porloqueelradior ÷ 3cm. Entonces A=n¦3cm) 2 =n9cm 2 =9ncm 2 A=9ncm 2 . b)LaIormulaqueobtuvisteparaunmediocirculoderadior. Iue A= nr 2 2 . Aquielradioes:r ÷ 4cm. Entonces A= n¦ 4cm) 2 2 = n16cm 2 2 =8ncm 2 A=8ncm 2 . c)LaIormulaparauncuartodecirculoderadiores: A= n¦r) 2 4 . Aquielradior ÷ 4cm.Entoncestenemosque A= n¦ 4cm) 2 4 = n16cm 2 4 =4ncm 2 A=4ncm 2 . 123 · PRINCIPIA · d)ParaestaIiguratendremosquesumardosareas,ladeltrianguloyladelmediocirculo. Areadeltriangulo: A= 4cm6cm 2 = 24cm 2 2 =12 cm 2 A=12cm 2 . Areadelmediocirculo: A= n¦2cm) 2 2 = n4cm 2 2 =2ncm 2 . Porlotanto,elareatotales: A=¦12+2n)cm 2 . e)EstaIiguraseIormaporunrectanguloyunmediocirculo. Areadelrectangulo: A=4cm5cm=20cm 2 . Areadelmediocirculo: A= n¦2cm) 2 2 = n4cm 2 2 =2ncm 2 . Porlotanto,elareatotales: A=¦ 20+2n) cm 2 . EJEMPLO2 CalcularelareasombreadadelassiguientesIiguras: a) b) SOLUCIONES a)Sicalculamoselareadelcuadradoylerestamoselareadelcirculoinscrito,tendremoselarearequerida. Porlotanto,elareadelaregionsombreadaes A=¦3cm) 2 -n¦1.5cm) 2 =9cm 2 -n¦2.25cm 2 )=¦9-¦ 2.25) n) cm 2 A=¦9-¦ 2.25) n) cm 2 . 124 · PRINCIPIA · b)Calculamosprimeroelareadelcirculogrande,ylerestamoselareadelcirculopequeño.Asi,elareadela regionsombreadaes A=n¦3cm) 2 -n¦2cm) 2 =n9cm 2 -n4cm 2 =¦ 9n-4n) cm 2 =5ncm 2 A=5ncm 2 . ¯ Se debe escribir 5n y no n5; es decir, primero se escribe el número y después la letra griega pi (n). EJEMPLO3 CalcularelareasombreadadelasiguienteIigura: SOLUCION Empleemos,paraauxiliarnos,unaconstruccion.Tracemosdoslineasverticalesdelasiguientemanera: Siobservamosconatencion,loquedemarcanlaslineaspunteadaslateralesesuncuadrado.Porotraparte,los semicirculosnegros,alaizquierdayaladerechadelcuadrado,tienenlamismaareaquelossemicirculos blancosalosladosdelalineacentralpunteada.Imaginemosquerecortamoslossemicirculosnegrosylos colocamosenelsitioqueocupanlosblancos. Loquesetendraseraiustamenteuncuadrado,deladoa.Porlotantoelareadelapartesombreadaes: A=a 2 . EJEMPLO4 De los dos triangulos siguientes, ¿cual tiene mayor area? (los rectangulos en los que estan inscritos son idénticosentamaño): 125 · PRINCIPIA · SOLUCION Elareadecualquiertrianguloesigualalproductodelabaseporlaalturadelrectanguloenelquesehalla inscrito,divididoentredos.Yyaquelosrectangulossoniguales,labaseyalturaseranlasmismasencada caso.Porlotanto,elareaeslamisma. Antesdeproponerlasiguientelistadeproblemas(quemasbiendebenversecomoretosyestimulosalusodel intelecto), recalcaremos que cada problema tiene una naturaleza propia, lo que hace de la matematica un eiercicio de la imaginacion mucho mas interesante. Aqui citaremos unas palabras de George Polya, 20 matematicopolacodelsigloXIX: "Un gran aescubrimiento resuelve un gran problema. pero en la solucion ae cualquier problema hav una pizca ae aescubrimiento. Tu problema pueae ser moaesto, pero si es un reto para tu curiosiaaa. v hace que entren en iuego tus facultaaes ae inventiva. v lo resuelves con tus propios meaios. experimentaras la tension v gozaras el triunfo ael aescubrimiento". ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS 1.Conseispalillos,construyecuatrotriangulosequilaterosdeigualtamaño. 2.Condocepalillos,construyeseiscuadrados,todosdeigualtamaño. 3.¿Esposibletrazar,sindespegarellapiz,lasiguienteIigura? 4.CalculaelperimetrodelassiguientesIiguras,apoyandotedeundibuioparacadainciso: a)Uncuadradodelado8cm. b)Unrectangulodelados6cmy4cm. c)Unrombodelado12cm. d)UnacircunIerenciadediametro7m. 5.Calculaelperimetrodelassiguientes6Iiguras: a) b) c) 20 RevisalaUnidadIdeestelibroyobservalavariedaddemétodosexistentesquepropusoG.Polyapararesolverproblemas. 126 · PRINCIPIA · d) e) I) 6. Calculaelareade: a)Uncuadradodelado6cm. b)Untriangulodelados3cm,7cmy5cm. c)Untrapeciodebasemenor4cm,basemayor10cm,yalturade3cm. d)Uncuadrilaterodebase5cmyaltura3.5cm. e)Uncirculodediametro10m. 7.Calculaelareadelassiguientes4Iiguras: a) b) c) d) 8.DeterminalacuartapartedelasuperIiciedeuncuadradode9 cm 2 . ¿Cuantomidesulado? 127 · PRINCIPIA · 9.DeterminalalongituddeunacircunIerencia,sielperimetrodelcuadradoquelacircunscribeesde40cm. 10.El12.5°delacuartapartedelperimetrodeuncuadradoesde2cm.¿Cuantomideelladodelcuadrado? 11. Losladosdeunrectanguloestanenlarazon 21 3:8,¿cuantomidesuladomenorsisuareaes600 cm 2 ? 12.Losperimetrosdedoscuadradosson24cmy72cm¿Cualeslarazonentresuslados? 13.CalculalasareasdelasregionessombreadasenlassiguientesIiguras,explicandodemaneraclaratus respuestas: · 1) ABCDesuncuadrado,M. N. P. Q,sonlospuntosmediosyBN ÷3cm. 2) ABCDesuncuadradocuyoladomide12m,ylasochosemicircunIerenciassoniguales. · 3) AC ÷ AB,elanguloIormadoporelvérticeCABesrectoyBC ÷10cm. · 4) ABCDesuncuadradode6cmdeladoyABEesuntrianguloequilatero. 21 Pararevisarestanotacion,recurrealaseccion2.5.1:Razones. 128 · PRINCIPIA · · 5) ABCDesuncuadrado,AB ÷ BE ÷6cmylosarcossondeunacircunIerencia. · 6) LaIigurarepresentauncuadradode24cm. · 7)ABCDesuncuadrado,BC ÷3cmycadaladoestadivididoentrespartesiguales. · 8) Cuadradodelados2cm. Tales de Mileto. con el unico fin ae aemostrarse lo sencillo que es hacerse rico. acaparo toaos los molinos ae aceite en un año ae excepcional abunaancia en la cosecha ae aceitunas. Su fin. al enriquecerse. era exclusivamente el ae mostrar que empleanao aaecuaaamente el intelecto se pueae acumular fortuna. Con el ainero que obtuvo viaio por varios paises v recopilo gran parte ael conocimiento matematico ae su epoca. Fue el quien introauio la geometria en Grecia. 129 · PRINCIPIA · 3.3 TEMAS SELECTOS DE GEOMETRIA Lassiguientesseccionessonopcionalesparaellector.Abarcanlostemasde:volumen,poliedrosregulares (solidosplatonicos),construccionesareglaycompas,razonaureayIractales.Estostemassonmuyatractivos einteresantesparaquienesgustandelageometria. 3.3.1 VOLUMEN Volumeneslamedidadelespacioocupadoodesaloiadoporuncuerpo. Parapoderdeterminarunvolumen,necesitamostresdimensiones.Engeneral,susunidadesdemedicionson lasdelongitudalcubo:cm 3 . m 3 . km 3 . pies 3 . etc. ø PARALELEPIPEDOS Paravolumenespensemos,antesquenada,encomosegeneranalgunosdeéstos.Sibarremosenunalongitud cunrectangulodeareaabhaciaarribaohacianuestramirada,segenerarauncuerpoconvolumen,loque denominamosunparalelepipedo: Poranalogiaalaobtenciondelarea,elvolumendeestecuerpogeométricoserabaseporaltura,considerando quelabaseesenestecasounarea(ab)ylaalturac:J ÷ abc. Enlugardeperimetro,esteparalelepipedotienesuperIicie,queesloquelimitaalvolumen.OtraIormade deIinir su superIicie es mediante la suma de areas limitantes del cuerpo geométrico. Para nuestro caso tenemosdostapasdeareaab,dosdeareabc ydosdeareaac.Entonces,lasuperIicieseralasumadeesas seissuperIiciesque,despuésdesimpliIicar,sereducea:S ÷ 2(ab·ac·bc). ø CILINDROS EstamosacostumbradosapensarqueuncilindroesunaIiguratridimensionaldeltiposiguiente: dondelabaseoseccionestadadaporuncirculoderadior,ytenemosunaalturah.Estoesverdad:peroen matematicastambiénsueleconsiderarseauncilindrocomouncuerpogeométricodeseccionconstante,sin quenecesariamenteéstaseacircular. 130 · PRINCIPIA · Eiemplosdecilindrostambiénsonlossiguientes: Enelprimercasoelcilindrotienesecciontriangularyenelsegundopentagonal.Elvolumendeuncilindro deestostiposes: J=bh ,dondebdenotaelareadelabaseyhlaaltura. ø LA ESFERA Imaginemosquetenemosuncirculoyquelohacemosrotarsobreuneiehorizontalovertical.Loqueéste generaraseraunaesIera(recuerdaloqueseobservacuandohacesgirarunamonedasobrelasuperIiciede unamesa). ElvolumenJdelaesIeraderadiorestadadoporlaIormula: J= 4 3 nr 3 . LasuperIicieSdelaesIera,quepuedeserimaginadacomouncascaron,estadadapor: S=4nr 2 . 131 · PRINCIPIA · 3.3.2 POLIEDROS REGULARES Alos poliedros regulares tambiénselesconocecomosoliaos platonicos.Tomemosunpoligonoregular. Pensemosenelmassimple:eltriangulo equilatero.Ahorabien,hagamonoslasiguientepregunta:¿cuantos triangulosequilaterosserequierenparaconIormaruncuerpotridimensionaldeIormaregular? Bien,sitomamoscuatrodeellos,podemosunirlosporlasaristasalaperIeccionytendremosuntetraedro: unpoliedrodecuatroladosiguales.Porotrolado,observamosquetiene4 vértices, 6 aristas, y 4 caras. 22 Siprocedemosdeigualmaneraconelsiguientepoligonoregular,elcuaaraao,veremosquelaIigura tridimensionalobtenidaesuncubo,aliuntaradecuadamenteseiscuadrados.Enestecaso,haciendoun conteo,tenemos8 vértices, 12 aristas y 6 caras. ¿Quéocurririasitratasemosdehacerlomismoconelsiguientepoligonoregular:elhexagono?¡Oh,sorpresa! Resulta imposible construir un poliedro regular con hexagonos. Los griegos conocian este hecho que los intrigo.Ellossospechabanquesoloexisten5poliedrosregulares: Poliedro Número de caras Conformado por Tetraedro Cuatro Triangulosequilateros Cubo Seis Cuadrados Octaedro Ocho Triangulosequilateros Dodecaedro Doce Pentagonos Icosaedro Veinte Triangulosequilateros Yestabanenlocorrecto,aunquenopudieronprobarlo.DebemosaEuler 23 lagarantiadeque,eIectivamente, existen solo cinco poliedros regulares. Para demostrarlo exploro, antes de iniciar su investigacion, una propiedadqueobedeceunpoliedrocualquiera(inclusounirregular). 22 Cara:esunladodelpoliedroencuestion,poreiemplo,uncubotieneseiscaras.Arista:eselsegmentodelineadondeconIluyendos caras.Jertice:eselpuntodondeseintersectanlasaristas. 23 LeonhardEuler(1707-1783),hasidoelmatematicosuizomasproliIicodelahistoria.Trassumuerte,seiniciounambiciosoproyecto parapublicarlatotalidaddesuobracientiIica,compuestapormasdeochocientostratadosqueabarcaninIinidaddetemasmatematicos, Iisicosyastronomicos. 132 · PRINCIPIA · SeencontroconunaIormulaquerelacionaelnumerodevértices,dearistasydecarasdeunpoliedrodado. TalIormulallevasunombre,ydescribeunnumerollamadoelnumero ae Euler,alquedenotaremosconla letragriegapsi:c.Asi,paraunpoligono,elnumerocestadadopor: .=J-A+C , dondeJeselnumerodevértices,Aelnumerodearistas,yCelnumerodecaras. De nacionaliaaa suiza. Leonhard Euler (1707-1783) es consiaeraao el matematico mas brillante ae su epoca. Entre sus multiples aportaciones a la ciencia poaemos mencionar. origen ae la topologia, aescubrimiento ae los numeros compleios, aeterminacion ae la constante que lleva su nombre, notacion ae conceptos, numero imaginario raiz ae menos uno, lev ae reciprociaaa cuaaratica, principios basicos ae mecanica. optica. acustica. mecanica ae fluiaos. mecanica celeste. teoria ael movimiento lunar v aeterminacion precisa ael centro ae las orbitas elipticas planetarias. A pesar ae haber queaaao ciego. su memoria v capaciaaa proaigiosas le permitieron legarnos mas ae ochocientas obras. EJEMPLO5 ¿CualeselnumerodeEuler,c,parauntetraedro? Veamos:paraesecaso,J ÷ 4,A ÷ 6yC ÷ 4.Porlotanto,VA¹C÷46¹4,porloquec÷2. EJEMPLO6 ¿Ocurrelomismoparaelcubo? EneIecto,aqui:J ÷ 8,A ÷ 12 y C ÷ 6. NuevamenteelnumerodeEuler,c,es2. SiseaplicaestaIormulaparalosdemaspoliedrosregulares,elnumerocsiguesiendo2.Eulerdemostroque sinimportareltipodepoliedroquesetome,elnumerocasociadoaélsiempresera2. esdecir: Teorema:Paratodopoliedrotridimensionalocurreque: J-A+C=2. Empleando este hecho demanera adecuaday eIectuando unoscalculos relativamentesimples, Euler pudo demostrar que solo existen cinco poliedros regulares, conocidos también como soliaos platonicos, en homenaieaPlaton,quienlosasocioconlaperIeccionylabelleza. Comohemosmencionado,yporloquesemuestraarriba,noesposibleencontrarunpoliedroregularque tengasolohexagonoscomocaras:éstasnoseacomodarian,hechoqueobservoEuler. 133 · PRINCIPIA · Sinembargo,siesposiblemanuIacturarunpoliedrouniendoadecuadamentehexagonosypentagonos.Unade lasprimeraspersonasenconseguirloIueelbrillantearquitectoestadunidenseBuckminsterFuller,amediados delsigloXX.Talpoliedroseencuentraenalgunasestructurascristalinasanivelmoleculary,enhonoraeste geometrallevaelnombredefulereno. No obstante, sabemos que también el matematico griego Teteto y, después, el pintor e inventor italiano LeonardodaVinci,habianencontradoestepoliedro. Si tomamos un balon de Iutbol y lo observamos con cuidado, veremos que esta constituido iusto por hexagonosypentagonos,unidosmediantecosturas.Al inflar unIulerenoconseguimosunbalondeIutbol. ¡Porotraparte,resultasorprendentequeelnumerodecaras,vérticesyaristasdelIulerenosatisIacentambién larelaciondeEuler,yelnumerocsiguesiendo2! Aplicacion ae la geometria. Fulereno. poliearo casi regular formaao por hexagonos v pentagonos. Tambien es conociao como icosaedrotruncado. 134 · PRINCIPIA · 3.3.3 RAZÓN ÁUREA: LA FRONTERA ENTRE ARITMÉTICA Y GEOMETRIA Enlaprimeraunidaddeestelibroconocimoslasecuenciadenumerosconocidacomolasecuenciaosucesion deFibonacci.Losprimerostérminosdeestasecuenciason: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... SiconsideramosloscocientesdelosnumerossucesivosdeFibonacci,surgeunpatron: 1/1÷ 1 13/8÷ 1.63 233/144÷ 1.61805... 2/1÷ 2 21/13÷ 1.61538... 377/233÷ 1.61802... 3/2÷ 1.5 34/21÷ 1.61904... 610/377÷ 1.61803... 5/3÷ 1.6666... 89/55÷ 1.61818... ... ... 8/5÷ 1.6 144/89÷ 1.61797... ... ... Al parecer, los cocientes se aproximan a un numero determinado, cercano a 1.618033... Este es verdaderamente el caso. ConIorme mas avanzamos en la secuencia de cocientes, estos numeros se van aproximandoaunnumeroespecial,unaproporcion,llamadanúmero áureo 24 ,odeoro,denotadoporlaletra griega:m. ¿Quétienedeespecialestenumero?¿Porquénoescomolosdemas?Delmismomodoquen serelaciona con la Iigura geométrica mas perIecta el circulo, el numero aureo 4 es el numero de la belleza. A continuacionveremosporqué. Elnumero4 pertenecealconiuntodelosnumerosirracionales,estoes,losquenopuedenexpresarsecomo cociente de dos numeros enteros. Por eiemplo, recordemos que el numero .2 es irracional. Podemos computaralnumero4 conunacalculadora,siguiendolasinstruccionesdadasacontinuacion: Calculamoslaraizcuadradade5,lesumamos1,ydividimoselresultadoentre2.Portanto,laIormulapara obtenerelnumeroaureoes: 4= . 5+1 2 . Matematicamentehablando,podemosdeIinirelnumeroaureocomoaquelalquesilesumamosuno,equivale aelevarloalcuadrado: x+1=x 2 . Hastaaquitodopuedeparecernosaritmética.Sinembargo,loverdaderamentemisteriosoyIascinanteesque estenumeroapareceenelarte:enlaarquitectura,lapinturaylamusica:enlanaturaleza:enladistribucionde lashoiasenuntallo,enlaIormaciondeloscaracolescomoelnautillus(verimagenes),yaunenelcuerpo humano. 24 Enlatinselellamoelaurea sectioesdecir,seccionaurea,oproporcionaurea. 135 · PRINCIPIA · UndatodeinterésesquelastarietasdecréditoylascredencialesdeidentiIicacionestanelaboradassegun estenumero:sisemideellargoysedivideentreelancho,setieneelnumero 4,porloqueguardanuna proporcionarmoniosay,sinexagerar,podemosdecirquesusproporcionessonbellas. ø RECTÁNGULOS ÁUREOS Unrectanguloaureoesunrectangulotalquesulargoysuanchoguardanunaproporcionaurea.Asi,siaesel largoybdenotalaaltura,setendra: 4= a b . Unabuenaaproximacionaunrectanguloaureo,eslahoiatamañooIicio,queconocesmuybien.Estamide21 cm de base por 34 cm de altura. Si divides el lado mayor entre el menor obtendras 1.619... , ciIra muy aproximada al numero aureo. Mas adelante veremos como construir un verdadero rectangulo aureo, sin aproximacionescomoelanterior,empleandoreglaycompas. UnadelaspropiedadesdelosrectangulosaureosmassorprendenteyIascinanteesladeque,sisetomandos deellosysecolocaniuntos,unodemanerahorizontalyelotroenIormavertical,existeunarectaqueunea tresdesusvértices.Estosoloocurrepararectangulosaureos,yningunotrorectangulocumpletalpropiedad: Uniendocuatrorectangulosaureos,yempleandolapropiedadanterior,podemosencontrarnosconIiguras muybellas,queposeenelementosdesimetriainteresantesyquenoshacensospecharque,eneIecto,entreel numero4 yelarteexisteunaintimaconexion: 136 · PRINCIPIA · 3.3.4 CONSTRUCCIONES A REGLA Y COMPÁS Lareglayelcompassonconocidoscomolasherramientaseucliaianas.EnlaobraLos Elementos,compilada porEuclides,senosmuestraelalcancedeestosdosinstrumentosparatrazarIigurasyconocerpropiedadesde losobietosgeométricos. Lareglaeuclidianaescomolaqueconocemos,perosinescaladeningunaespecie.Elcompasdelosgriegos eradistintoalnuestro,peroentreelqueellosemplearonyelnuestronoexistediIerenciaenlosresultados:asi que el compas actual puede ser considerado una herramienta euclidiana. Revisemos algunos eiemplos de comoconstruirIigurasgeométricasutilizandoreglaycompas. ACTIVIDAD 17 Paraconstruirareglaycompasuntriángulo equilátero,procedamoscomosigue: TracemosunsegmentoAB delongitudarbitraria.Abramoselcompasdemodoqueabarquetalsegmento. DesdeelpuntoAyluegodesdeelpuntoBtrazararcosdecircunIerenciaqueseintersectenenunpuntoC.Al unirlospuntosA,ByC,tendremosuntrianguloequilatero. ACTIVIDAD 18 Dadaunarecta,construirareglaycompasunarecta perpendicularaésta. EliiamosdospuntosAyBenlarecta.AbramoselcompasdemodoqueabarquelalongituddelsegmentoAB. Tomando como reIerencia el punto A y posteriormente el B tracemos arcos de circunIerencia que se intersectenenlospuntosCyD.LarectaquepasaporlospuntosCyD esperpendicularalarectaquepasa porlospuntosAyB. 137 · PRINCIPIA · ACTIVIDAD 19 Comobisectar un ánguloareglaycompas: DesdeelvérticeAdelangulotraceseunarcodecircunIerenciaderadioarbitrarioquepaseporlospuntosBy C. Tomando cada uno de estos nuevos puntos como reIerencia, tracense dos arcos de circunIerencia, respectivamentequeseintersectarandentrodelangulo,enunpuntoD.LarectaquepasaporlospuntosAy D,bisectaalangulodado. ACTIVIDAD 20 En la seccion anterior hablamos de la proporcion aurea. Veamos como construir, a regla y compas, un rectángulo áureo,esdecir,cuyoslados(baseyaltura)tenganunaproporcionaurea: Tomemosuncuadradocualquiera.Encontremos,mediantearcosdelcompas,elcentroC yB decadalado horizontaldelcuadrado,ytracemosconlareglaunsegmentoverticalquedividaalcuadradoendospartes iguales,yendodelpuntoBalpuntoC.Conlaregla,unaselapartemediaBdelabase,conelvérticesuperior derechoD,medianteunadiagonal.Abraseelcompasdemodoqueabarquetaldiagonalytraceseunacurva hacia abaio como se indicaen laIigura, conla punta del compas en el punto B. Tomando como base el segmentoAE ycomoalturaunsegmentodelongitudBC,tendremosunrectanguloaureoperIecto. 138 · PRINCIPIA · ø SECCIÓN DE E1ERCICIOS Ahora que has experimentado la logica y el Iuncionamiento de estas herramientas, intenta resolver las siguientesactividadesdemaneraindividual.AlIinalizar,ositienesdudas,compartelosresultadoscontus compañerosotuproIesor. 14.Construiruncuadradoregularareglaycompas. 15. Construirunhexagonoregularareglaycompas. 16. Intentar encontrar la manera de trazar un pentagono regular a regla y compas (este eiercicio requiere muchainventiva,peroconstituyeunexcelenteretoparaquienlointente). 17.Haciendousoadecuadodetodoloexpuesto,trisectarunangulode90grados. 18. ¿Seraposibletrisectarunangulode60 grados?¿Y,engeneral,unangulocualquiera?Siloconsideras necesario,preguntaatuproIesor. 139 · PRINCIPIA · 3.3.5 FRACTALES A ultimas Iechas la geometria ha dado un giro impresionante, luego de que los matematicos han hecho algunosdescubrimientosquealprincipiolosdesconcertaron.ElalemanGeorgeCantor,quizaelmatematico masoriginaldetodoslostiemposintroduio,sinproponérselo,elconceptodefractal. Cantorhizolosiguiente:tomounsegmentoderecta,lodividioentrespartesigualesyretiroladeenmedio.A continuacion,repitioelprocedimientoconcadaunodelossegmentosrestantes.Despuéshizolomismocon losqueIueronquedando,éstoscadavezmaspequeños,yasisucesivamente.LasIigurasresultantesIueronlas siguientes. CantorimaginoloqueocurririasicontinuabaesteprocedimientohastaelinIinitoy,parasorpresasuya,eso queparecianpuntosqueseesIumarianenlanada,continuabaexistiendo,ynoeraelconiuntovacio.Habia unasorpresamas:cadasubconiuntodepuntoserasimilaracualquieraqueseeligiera,sinimportareltamaño. Poreiemplo,eneltercerpasodelaIigurahaydosconiuntosquesonidénticosaldelaIiguraanterior(ladel paso 2): solo que mas pequeñas. Esto se conoce como autosimilariaaa, y es propio de los coniuntos conocidoscomofractales. Pero Ialtaba un resultado igual de sorprendente: la dimension de este coniunto descubierto por Cantor (llamadoPolvo ae Cantorensuhonor),eranoentera.Aliniciodeestetemadeciamosqueladimensiondela rectaodeunsegmentoderectaesunoyladimensiondeunpuntoescero.Puesbien,ladimensiondel Polvo ae Cantor noesniceroniuno,sinoqueseencuentra enunpuntointermedio,porloque sedice quees fraccionaria:deahivieneelnombredeIractal. MuchosIractalesnosayudanaeiercitarnuestraintuiciononuestropensamientoinductivo.Pero,ademas,algo quecaracterizaalosIractalesesquesonobietosmatematicosdegranbelleza.Acontinuacionmostraremos como construir algunos otros Iractales de dimension Iraccionaria entre uno y dos, que son aun mas interesantesqueelPolvo ae Cantor. Empecemosconunomuyconocido, denominadoel Triangulo ae Sierpinski,debidoalmatematicopolaco Sierpinski. Hay que tomar un cuadrado del tamaño que se desee, después dividirlo en cuatro cuadrados igualesyretirarelsuperiorderecho,comosemuestraabaio,dondelasegundaIiguraseobtienedelaprimera: 140 · PRINCIPIA · Acontinuacion,cadaunodelostrescuadradosrestantessedividenuevamenteencuatro,ydenuevoseretira elsuperiorderecho,iustocomoelprocedimientoanterior.LaIiguraresultanteeslasiguiente: Sisiguiésemosesteprocesoiterativamentemuchasvecesmas(inclusopodriamosimaginarquelohacemos hastaelinIinito),elIractalresultantetendrialaIormaquesemuestra.SierpinskisehizoIamosopordescubrir esteIractal: OtroIractal,tambiénatribuidoalmatematicopolaco,yconocidocomolaEsponia ae Sierpinski,seconstruye asi:Tomeseuncuadrado,dividaseen9partesigualesyquiteseiustoladelcentro,comosemuestraenla Iigura de la izquierda. Después, a cada uno de los 8 cuadrados restantes repitaseles el procedimento enunciado,quedandolosarreglosdelaIiguraqueapareceenelcentro.SisecontinuaelprocesohastainIinito tendremosunIractalcomoeldelaextremaderecha: HaymuchosIractalesquepuedenconstruirse,inclusotupuedesdescubriralgunosinteresantesdibuiandoen hoiasdecuadriculalosarreglosquesevanobteniendo.DaremosalgunoseiemplosmasdeIractales,enlos queseindicaralaparticion,yelIractalresultante,tupuedesdeducirIacilmenteloquesehizoyseguirlos pasos,comoenloscasosanteriores. Deunacuadriculacon9partesiguales,retirense4,quedandounaTcomosemuestraabaio. Despuésdel proceso,elresultadoesunaT fractal: 141 · PRINCIPIA · Ahora,deunacuadriculacon9partes,retirense3,demodoquequedelaIiguradeabaio.AlIinaldelproceso seobtendraunaIigurasimilaraladeladerecha: Acontinuacion,deunarreglocomoeldelaizquerda,despuésdeiterar, seobtieneuntapete fractal.(La reticulainicalesde25cuadradosiguales,delosquesesustraen9). DeunaH,queresultaquitando2seccionesdeunacuadriculadenueve,obtenemosunaH fractal: Delarregloque se tienealretirar1secciondeunacuadriculade6, e iterandoal inIinito, se obtieneuna mezquitafractal: 142 · PRINCIPIA · ø FUENTES ø TEXTOS DE REFERENCIA Y BIBLIOGRAFIA · Baldor,A.Aritmetica.México:PatriaCultural,2001. · Bell,E.T.Historia ae las Matematicas.México:FondodeCulturaEconomica,2000. · Cole,K.El Universo v la taza ae te. las Matematicas ae la veraaa v la belleza.Barcelona:EditorialB, 2003. · Gardner,Martin.Festival magico-matematico.Madrid:EditorialAlianza,2000. · Klein,Morris. Matematicas para estuaiantes ae Humaniaaaes.México:Fondo de CulturaEconomica, 1998. · Landaverde,J.Curso ae Geometria.México:EditorialProgreso,2000. · LuqueLuna,Alberto.Elementos ae Geometria Eucliaiana.México:Limusa,1995. · Miller,Charles,et al.Matematica. Razonamiento v Aplicaciones.México:Pearson,1993. · Mothner,Ira.Mathematical People.Boston:BirkhauserBoston,1985. · Piaget,J.,andSzeminska,A.The Chila´s conception of geometrv.EUA:PrenticeHall,1987. · Perelman,Yakov.Aritmetica recreativa.Barcelona:Ed.Roca,1990. · Polya,George.How to solve it.Princeton:PrincetonUniversityPress,1973. · Sagan,Carl.Miles ae millones.Barcelona:EdicionesB,2003. · Stewart,Ian.De aqui al infinito.Barcelona:Ed.Critica,2002. · Tahan,Malba.El hombre que calculaba.Argentina:Ed.PlumayPapel,2002. · Thompson,A.Geometria al alcance ae toaos.México:EditorialUTHEA,2005. 145 · PRINCIPIA · ø SITIOS WEB DE CONSULTA · http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/telsec/curso1/htmlb/sec46.html · http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/magnitudes/magnitudesproporcionales.htm#SIMPLEINVER SA · http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ · http://platea.pntic.mec.es/~iescuder/algebra1.htm · http://sss.sectormatematica.cl/comercial/tantoporciento.html · http://www-etsi2.ugr.es/proIesores/imaroza/anecdotario/anecdotario.htm · http://www.ameior.com/mates/bloques/todosproblemas/del251alIinal.htm · http://www.geocities.com/Athens/Acropolis/4329/cumat.htm · http://www.iuntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/Iracciones/Iracci ones.htm · http://www.librys.com/tantoporciento · http://www.maristas.com.ar/champagnat/poli/mate.htm · http://www.sabiasque.inIo/matematicas.htm · http://www.sectormatematica.cl/comercial/tantoporciento.htm · http://www.terra.es/personal/iiic0000/tangram.htm · http://www.vanguardiaeducativa.com/contenidos-biblioteca/contenidos°20matematica.htm · http://www.xtec.es/~Igonzal2/curioirrac.html · http://www20.brinkster.com/Imartinez/aritmetica7.htm 146 Esta obra se terminó de imprimir en el mes de agosto de 2009 en el taller de impresión de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México con un tiraje de 3500 ejemplares. . Principia es un libro dirigido, en general, a todo aquel que le inte- y , o i r a t i s r e v i n u o c i s á b l e v i n n u a a c i t á m e t a m a l n e e s r a r t n e d a e s e r especialmente a los estudiantes de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México que cursan el módulo inicial del Programa de Integración. La propuesta metodológica se basa en la comprensión de los princi- pios matemáticos como elementos esenciales para el entendimiento de un universo tan maravilloso como vasto. Privilegia, antes que el conocimiento, el pensamiento y la imaginación; el uso creativo de la razón. Siguiendo la ñlosofía del matemático Pólya, quien habla de la “ex- citación del descubrimiento”, Principia se estructura bajo la con- signa de aprender por medio del razonamiento y la resolución de problemas. Cada sección, tanto la de aritmética como la de geome- tría, y en particular la de razonamiento inductivo, incluyen ejerci- cios y notas históricas amenas que permiten que el lector perciba la génesis de algunos tópicos matemáticos. Introducir al lector en este mundo y despojarlo de sus miedos, ayu- darlo a comprender lo que ocurre de manera natural y sumergir- lo en su goce y disfrute son los propósitos fundamentales de esta obra.