prévoyanceetassurancedegroupeinsea,pierredeveolder,2008-2009

ROYAUME DU MAROC*-*-*-*-* PREMIER MINISTRE *-*-*-*-*-*-*-* HAUT COMMISSARIAT AU PLAN *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* INSTITUT NATIONAL DE STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE ***** Professeur : Mr Pierre DEVOLDER Option : Actuariat-Finance Année universitaire : 2008-2009 PREVOYANCE ET ASSURANCES DE GROUPE INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 2 TABLE DES MATIERES : TITRE 1 : LA RETRAITE Première Partie : Généralités sur les régimes de retraite Chapitre 1 : Régimes de retraite Chapitre 2 : Eléments de démographie Chapitre 3 : Systèmes généraux de financement Deuxième Partie : Les régimes en capitalisation Chapitre 4 : Méthodologie générale de la capitalisation Chapitre 5 : Capitalisation individuelle Chapitre 6 : Capitalisation collective Troisième Partie : Les régimes en répartition Chapitre 7 : Techniques de nivellement Chapitre 8 : Régimes par points Chapitre 9 : Comptes notionnels TITRE 2 : LE DECES Chapitre 10 : Assurances décès en prestations définies Chapitre 11 : Assurances décès en contributions définies INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 3 BIBLIOGRAPHIE : Ouvrage de référence du cours : DEVOLDER P. : Le financement des régimes de retraite , Economica, Paris, 2005 Ouvrages de base : ANDERSON A.W. : Pension mathematics for actuaries, Actex Publications,Connecticut, 1992 THULLEN P. : Techniques actuarielles de la Sécurité Sociale , BIT, Genève,1974 Lectures complémentaires : BERIN B.N. : The fundamentals of pension mathematics, Society of Actuaries, New York, 1986 BLAKE D. : Pension Finance, John Wiley, Chichester, 2006 Sur les systèmes au Maroc : SADEK A.M. : Les retraites : crises, enjeux et perspectives , Centre d’Etudes et de recherches documentaires, Mohammedia, 2006 INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 4 TITRE 1 : LA RETRAITE PREMIERE PARTIE : GENERALITES SUR LES REGIMES DE RETRAITE CHAPITRE 1 : REGIMES DE RETRAITE 1.1.THÉORIE DES TROIS PILIERS Historiquement, la notion de régime de retraite, en tant que mécanisme systématique et organisé sur une base légale ou réglementaire d'octroi de prestations aux personnes âgées, est relativement récente. Qu'il s'agisse de régimes de sécurité sociale mis en place au niveau de l'ensemble d'un pays, de régimes de retraite professionnels s'adressant à tous les membres d'une profession ou encore de plans complémentaires créés au sein des entreprises, on peut affirmer qu'il s'agit essentiellement de créations du XXe siècle. La conception moderne en matière de régimes de retraite repose sur la théorie des trois piliers. Un régime évolué de retraite doit reposer sur trois composantes, complémentaires et de nature très différente : - un premier pilier : la SECURITE SOCIALE organisée au niveau général d'un pays et permettant d'octroyer un premier niveau de base en matière de pension. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 5 - un second pilier : les REGIMES PROFESSIONNELS organisés au sein d'une entreprise ou d'un secteur d'activité, octroyant à chacun des affiliés de ces régimes un complément à la sécurité sociale. - un troisième pilier : l'EPARGNE INDIVIDUELLE organisée au libre choix de chacun. Chacun de ces piliers a ses propres modes de fonctionnement, le caractère plus ou moins collectif du pilier influant fondamentalement sur son mode d'organisation. Les premier et second piliers seront dénommés ci-après régime de retraite. Le tableau ci-dessous permet de se faire une première idée des différences fondamentales entre la sécurité sociale et les régimes professionnels. Premier Pilier (Sécurité Sociale) (Régime de base / Régime général) Deuxième Pilier (Régimes Professionnels) (Régimes complémentaires) 1°) Système organisé au sein d'un pays et concernant par définition une population importante. 1°) Système organisé au sein d'une entreprise ou d'un secteur d'activité ou d'une profession et pouvant concerner aussi bien des effectifs importants que des populations très réduites. 2°) Système supposé pérenne 2°) Système pouvant s'arrêter 3°) Communauté de risque ouverte 3°) Communauté de risque fermée 4°) Possibilité de transfert de charges entre génération 4°) Principe d'autofinancement INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 6 L'importance prise respectivement par le premier et le deuxième pilier peut varier fortement d'un pays à l'autre, en fonction des évolutions historiques. On peut distinguer historiquement 2 modèles de base qui ont influencé le développement des régimes, chacun répondant à une certaine philosophie du rôle de la Sécurité Sociale : - le modèle de BISMARCK Les prestations de retraite octroyées par la sécurité sociale sont la contrepartie octroyée par la collectivité, de la création de richesse dont celle-ci est redevable au travailleur. Il s'agit d'un principe d'assurance, et il y a logiquement une proportionnalité importante entre les revenus d'activité et les prestations de retraite octroyées - le modèle de Beveridge Les prestations de retraite octroyées par la sécurité sociale ont pour objectif de subvenir aux besoins fondamentaux de l'individu. Il s'agit plutôt d'un principe d'assistance, les prestations sont naturellement beaucoup plus uniformes et largement moins généreuses que dans le premier système. 1.2. PRESTATIONS D'UN REGIME DE RETRAITE On distingue 2 grands systèmes : - les régimes à prestations définies ( DB = Defined Benefits) - les régimes à contributions définies ( DC = Defined Contributions) 1.2.1. Les régimes à prestations définies INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 7 Ces régimes, basés sur une optique de revenu de remplacement, définissent explicitement les prestations octroyées en fonction de différents paramètres tels que la durée d'affiliation et les salaires d'activité. Par exemple : Rente de retraite = 30 % de la moyenne des salaires des 5 dernières années d'activité. Les prestations étant ainsi définies, il s'agit de les financer : le financement des régimes à prestations définies est l'un des aspects les plus importants de la théorie actuarielle des pensions. L'avantage de tels régimes est clairement la transparence vis-à-vis des affiliés, parfaitement au fait du niveau des prestations qu'ils recevront. Inversement, le coût est inconnu a priori … et peut réserver des surprises. 1.2.2. Les régimes à contributions définies Ces régimes, basés plutôt sur une optique d'épargne, définissent explicitement les cotisations qui seront versées au régime. Les prestations obtenues en découlent selon des règles définies. C'est donc ici le niveau du financement qui est défini a priori, les prestations devant être adaptées afin d'assurer l'équilibre du régime. Par exemple : Cotisation retraite = 10 % du salaire L'avantage de tels régimes est bien sûr la maîtrise du coût, connu dès l'abord. Le prix à payer est une relative insécurité pour les affiliés sur le niveau effectif des prestations octroyées par le régime. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 8 L'exemple élémentaire suivant permet d'illustrer le niveau très variable des prestations que peut générer un système en contributions définies, en fonction du profil de carrière de l'affilié : Exemple 1 : - Cotisation : 10 % du salaire - Taux de capitalisation : 4 % - 3 catégories de salariés - Age d'affiliation : 20 ans - Age de la retraite : 60 ans L'épargne accumulée à la retraite est convertie en rente viagère; on suppose que le prix de rente à 60 ans est de 10 (a 60 = 10). Les profils de carrière des 3 catégories sont les suivants (évolution des salaires) : Age A B C 20 - 29 100 75 100 30 - 39 125 100 200 40 - 49 125 150 400 50 - 59 125 150 600 On ignore l'effet de la mortalité durant la période d'activité. En notant S i j le salaire de l'année j pour la catégorie i, on peut calculer les grandeurs suivantes : - somme des salaires de carrière : ( ) ∑ = ∑ = 1 i j i 59 20 j S INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 9 - salaire moyen de carrière : ( ) ∑ ∑ = = 59 20 j 2 i j i S 40 1 - épargne accumulée à la retraite : ( ) ( ) i 60 3 i 59 20 j ij 04 1 S 1 0 − = ∑ ∑ = , . , - rente obtenue à 60 ans : ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = ∑ = 3 i 3 i 4 i 60 10 1 a 1 Le tableau suivant résume les résultats obtenus : A B C ( ) ∑ 1 i 4.750 4.750 13.000 ( ) ∑ 2 i 118,75 118,75 325 ( ) ∑ 4 i 111,2 102,2 239,4 On peut exprimer la rente obtenue en pourcentage du dernier salaire d'activité ( "taux de remplacement") ou du salaire moyen de carrière : A B C ( ) 59 i 4 i S ∑ 89 % 68 % 40 % INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 10 ( ) ( ) ∑ ∑ 2 i 4 i 94 % 86 % 74 % On constate que le système est très défavorable aux profils de carrière dynamiques et privilégie plutôt les profils plats. La quasi totalité des régimes de premier pilier sont de type "prestations définies" même si ces dernières années des régimes en cotisations définies ont vu le jour utilisant notamment la technique des comptes notionnels. Les régimes du second pilier se partagent en système à contributions définies ou à prestations définies. 1.3. FORMULE DES PRESTATIONS Une fois le choix effectué entre prestations définies et contributions définies, il s'agit de définir les formules de référence. 1.3.1 Régimes à prestations définies Classiquement, ces régimes définissent une rente de retraite (revenu périodique payable à partir de l'âge de la retraite). Ils peuvent également prévoir un capital unique à l’âge de la retraite. La rente de retraite notée RR est une fonction de plusieurs variables, généralement : - le salaire d'une ou plusieurs années de carrière - la durée de la carrière - des plafonds permettant d'écrêter ou de découper en tranches les salaires - des prestations obtenues par d'autres régimes. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 11 Les trois principaux choix à effectuer sont : 1°) la définition du salaire pris en compte 2°) la prise en compte de la durée de carrière 3°) les éléments soustractifs éventuels. 1°) Définition du salaire de référence En notant j S (j = 0 x ,… , 1 x r − ) le vecteur des salaires réels d'activité entre l’âge d'affiliation 0 x et l’âge de retraite r x , on détermine généralement les salaires à prendre en compte dans la formule de retraite, par les 2 opérations suivantes : a) écrêtement / découpe en tranches Les salaires peuvent être plafonnés : ( ) j j j j P où P S S , min = = plafond de l'année j Ils peuvent être également découpés en tranches : ( ) ( ) 0 P S k P S k S j j 2 j j 1 j ; max . , min . − + = où P j = plafond de l'année j k 1 et k 2 sont 2 coefficients définis dans le plan. Par exemple : Salaire de référence = 100% salaire annuel jusqu’à 25.000 EUROS + 75% du solde INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 12 b) nombre de salaires pris en compte On rencontre classiquement les systèmes suivants : - moyenne de carrière Le salaire de référence est la moyenne arithmétique des salaires de carrière éventuellement écrêtés. ∑ − = − = 1 x x j j 0 r r 0 S x x 1 S - moyenne de carrière indexée Les salaires historiques sont indexés à la date de la retraite : j 1 x x j j 0 r g S x x 1 S r 0 ∑ − = − = où g j = facteur d'indexation entre l'âge j et l'âge de la retraite x r . - salaire final A l'inverse, on ne tient compte ici que du dernier salaire d'activité 1 x r S S − = - moyenne des n dernières années On tient compte des n derniers salaires d'activité : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 13 ∑ = − = n 1 j j x r S n 1 S Travailler en moyenne de carrière ou en salaire final change fondamentalement l'amplitude des prestations comme le suggère l’exemple suivant : Exemple 2 Soit un régime octroyant une rente de retraite égale à 75 % de la moyenne des salaires de carrière. Que représente ce régime, exprimé en pourcentage du salaire final ? Hypothèse : - 0 x = 20 - r x = 60 - salaire initial unitaire S 20 = 1 croissant en progression géométrique d'un facteur (1 + j) La rente octroyée peut s'écrire : RR = 75 % ( ) ∑ = + 39 0 k k j 1 40 1 = 75 % ( ) j 1 j 1 40 1 40 − + En exprimant en pourcentage du salaire final : ( ) ( ) α = + − + = = %. 75 j 1 j 1 j 1 40 1 % 75 S RR TR 39 40 59 Le tableau ci-dessous donne en fonction du taux de progression des salaires la valeur de α : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 14 j α 2 % 70 % 5 % 45 % 10 % 27 % A l'inverse, un régime basé sur le salaire final s'il protège mieux l'affilié, peut réserver des surprises en terme de coût comme le montre l’exemple suivant : Exemple 3 - carrière entre les âges de 20 ans et 60 ans - salaire initial unitaire S 20 = 1 évoluant selon la grille suivante : Age Salaire 20 - 29 1 30 - 44 1,2 45 - 54 1,5 55 - 58 1,8 59 1,9 - le régime octroie une rente égale à 50 % du salaire final. - on suppose que le financement est assuré en cours de carrière par des versements constants basés sur le salaire connu au moment du calcul (le dernier salaire connu sert à tout instant d’estimateur du salaire final). - taux d'actualisation : 4 % INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 15 - pas de mortalité avant la retraite - prix de rente à 60 ans : a 60 = 10 On s'intéresse à l'évolution du pourcentage de contribution au régime, c’est-à- dire le rapport entre la cotisation à verser et le salaire - La cotisation initiale est donnée par : 40 40 20 a v 5 , 0 p & & = x 10 = 0,051 où v = 04 1 1 , 04 , 1 04 , 0 v 1 a 40 40 ⋅ − = & & Le taux de contribution initial est donc de 5,1 %. - A 30 ans, l'augmentation de salaire oblige à prévoir un complément de cotisation entre cet âge et l'âge de la retraite : 10 a v 2 , 0 5 , 0 p p 30 30 20 30 × ⋅ + = & & = 0,051 + 0,017 = 0,068 Le taux de contribution devient : 056 0 2 1 068 0 30 , , , = = π - De même, aux âges suivants, on obtient : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 16 Age Taux de contribution 20 - 29 5,1 % 30 - 44 5,6 % 45 - 54 9,3 % 55 - 58 22,6 % 59 46,6 % Les augmentations de salaire fin de carrière provoquent donc une explosion du coût dans ce type de plan. 2°) Définition de la durée de carrière : Généralement, les prestations sont reliées à la durée de carrière, à l'aide de fractions du type : TOT N N = α où N = durée de carrière prise en compte pour l'affilié ; TOT N = durée de carrière maximale prise en compte. En ce qui concerne la durée de carrière N prise en compte, différentes possibilités se présentent. Le problème se pose classiquement lorsqu'un plan est mis en place alors que les salariés comptent déjà des années de service dans l'entreprise. On peut dans ce cas : - ne compter les années de service que postérieures à l'affiliation au plan : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 17 N 1 = Age à la retraite - Age à l'affiliation - compter également les années entre l'entrée en service et l'âge d'affiliation : N 2 = Age à la retraite - Age à l'entrée en service On parle dans ce cas de reconnaissance des "services passés initiaux (ou "back service"). - ne revaloriser qu'une partie de ces services passés, par exemple : N 3 = N 1 + min (N 2 - N 1 ; M) où M est un nombre fixe d'années pour tous les affiliés (maximum). Suivant l'âge à l'entrée et l'âge à l'affiliation, le financement des services passés initiaux peut représenter un coût très important comme le montre l’exemple suivant : Exemple 4 - Mêmes hypothèses que l'exemple 3. - On suppose que tous les affiliés sont entrés en service à 20 ans, et que le plan reconnaît les services passés. - Pour un affilié âgé de 40 ans à l'instauration du plan, on a : - services futurs : N 1 = 20 INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 18 - services passés : N 2 = 20 Taux de contribution - services futurs : ( ) 081 , 0 a v 5 , 0 10 40 20 N 20 20 2 40 = ⋅ ⋅ = π & & Taux de contribution - services passés : ( ) 081 , 0 a v 5 , 0 10 40 20 N 20 20 1 40 = ⋅ ⋅ = π & & Contribution totale : ( ) ( ) 162 0 N N 2 40 1 40 40 , = π + π = π Le tableau ci-dessous donne les taux de contribution en fonction de l'âge à l'instauration du plan. TABLEAU : évolution des taux de contribution pour services passés et services futurs Âge à l'instauration x Taux de contribution services passés (1) Taux de contribution services futurs (2) Taux de contribution total (1) + (2) 20 0 5,1 % 5,1 % 30 2,1 % 6,4 % 8,6 % 40 8,1 % 8,1 % 16,2 % 50 30 % 10 % 40 % 55 77,7 % 11,1 % 88,8 % INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 19 La colonne (1) est donnée par : ( ) 60 x 60 x 60 1 x a a v 5 , 0 40 20 x N ⋅ ⋅ − = π − − & & La colonne (2) est donnée par : ( ) 60 x 60 x 60 2 x a a v 5 , 0 40 x 60 N ⋅ ⋅ − = π − − & & avec 04 , 1 1 v 10 a 60 = = Ce tableau met en évidence la croissance exponentielle du taux de contribution des services passés. 3°) Eléments soustractifs Les plans de pension pouvant se superposer les uns aux autres (comme par exemple un plan de second pilier venant s'ajouter un régime de base du premier pilier), il n'est pas rare que certaines formules prennent en compte les prestations déjà garanties par d'autres plans. Deux techniques sont classiquement utilisées à cet égard : a) la formule "offset" : On déduit explicitement les prestations d'un autre plan. Exemple : rente de retraite donnée par : SS R S % 70 40 N RR − = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 20 où N = durée de carrière S = dernier salaire = 1 x r S − SS R = rente octroyée par le régime général de sécurité sociale L'objectif de ce plan est donc d'octroyer un niveau global de retraite correspondant à 70 % du dernier salaire, en ce compris la pension de premier pilier. b) la formule "step rate" : Généralement les régimes de sécurité sociale ne prennent en compte dans les formules de prestation, les salaires que jusqu'à un certain plafond. La tranche de salaire supérieure à ce plafond ne donne donc droit à aucune pension au niveau du premier pilier. Il semble naturel dans ce contexte, dans le cadre d'un plan complémentaire de second pilier, d'octroyer des prestations plus importantes sur la tranche de rémunération au-dessus du plafond. L'exemple ci-dessous montre comment peut se justifier une telle construction : Exemple - Comme dans l'exemple précédent, on veut octroyer un niveau global de pension correspondant à 70% du dernier salaire. - On suppose que le régime de base octroie jusqu'à un certain plafond INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 21 de rémunération noté P, une rente de retraite correspondant pour une carrière de 40 ans à 50 % du dernier salaire. On a donc dans ce cas : ( ) P , S min . % 50 40 N R 1 x SS r − = L'objectif du plan de second pilier peut alors s'écrire : ( ) ( ) ( ) [ ] 0 , P S max % 70 P S min % 20 40 N P , S min % 50 40 N S % 70 40 N RR 1 x , 1 x 1 x 1 x r r r r − + = − = − − − − Par rapport à la formule offset, cette formule présente un double avantage : - plus grande simplicité de calcul et de communication aux affiliés : elle ne dépend que d'un montant du régime de base, le plafond; il n'est plus nécessaire de calculer la formule précise de premier pilier. - moins grande dépendance directe au régime de base notamment en cas de modification de ce dernier. Remarque :. Rente ou capital ? Les exemples développés précédemment définissent les prestations sous forme de rente (revenu périodique payable à partir de l'âge de la retraite); c'est évidemment la forme la plus naturelle de prestations d'un régime de retraite s’agissant somme toute de garantir des revenus de remplacement. Des alternatives sous forme de prestation en capital existent néanmoins. Ce choix entre rente et capital peut se situer à 2 niveaux : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 22 a) au niveau de la définition même de la formule de retraite : Plutôt que de garantir une rente régulière payable à partir de l'âge de la retraite, on verse un capital unique payable une fois à l'âge de la retraite. Exemple Garantie à l'âge de la retraite d'un capital retraite CR correspondant à 3 fois la moyenne des salaires des 5 dernières années d'activité, pour une carrière de 40 ans : ) S 5 1 ( 3 40 N CR 5 1 i i x r ∑ = − = b) au niveau de la liquidation effective des prestations : certains plans, même si ils sont formulés au départ sous forme de rente (respectivement de capital) peuvent offrir l'option à l'affilié de recevoir les prestations plutôt sous forme de capital (respectivement de rente). Le facteur de passage de rente en capital s'appelle prix de rente. Un plan en capital prévoyant un capital retraite CR donne droit à l'âge de la retraite à une rente de retraite RR donnée par : CR a 1 RR r x = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 23 1.3.2. Régime à contributions définies Le régime doit définir le niveau de contribution à verser par les affiliés. On rencontre entre autres dans la pratique les formules suivantes : - cotisations en pourcentage des salaires : par exemple : cotisation retraite = 5 % salaire - cotisations en pourcentage des salaires plafonnés : cotisation retraite = 7 % min (salaire; M) où M est un plafond - cotisations par tranches : cotisation retraite = 5 % min (salaire; M) + 10 % max (salaire - M; 0) - cotisations croissantes : Le pourcentage de cotisation à appliquer au salaire est croissant avec l'âge. Par exemple : cotisation retraite = 2 % salaire (20 ≤ x < 35) 3 % salaire (35 ≤ x < 50) 4 % salaire (x ≥ 50) (x étant l'âge de l'affilié). - cotisation par tranche et croissante : combinaison des 2 variantes vues ci-dessus. A l'instar des plans à prestations définies, les plans en cotisations définies peuvent selon les cas prévoir une liquidation de l’épargne en capital et/ou en rente. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 24 1.4. METHODES DE FINANCEMENT Dans un plan à prestations définies, une fois fixées les prestations, il s'agit de définir la façon de les financer, autrement dit de calculer les cotisations à verser en vue d'honorer les promesses du régime. De même dans un plan à cotisations définies, il y a lieu, à partir des cotisations, de déterminer les prestations dues. La liaison entre prestations et cotisations dans un régime de retraite est basée sur 2 notions fondamentales : - la communauté de risque - la relation d'équivalence actuarielle. La communauté de risque est un sous-ensemble de la population rendu solidaire dans le financement de la retraite. La relation d'équivalence actuarielle exprime alors pour chacune des communautés de risque, l'équilibre entre prestations et cotisations : valeur actuelle des cotisations pour la communauté = valeur actuelle des prestations pour la communauté On remarquera déjà que, contrairement aux principes actuariels classiques utilisés en assurance vie, on ne demande nullement ici nécessairement un équilibre moyen cotisation / prestation au niveau de chaque individu; l'équivalence est jugée au niveau d'un collectif à définir. Le choix du type de communauté de risque va engendrer des méthodes différentes de financement. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 25 En vue de visualiser facilement les communautés de risque, un outil utile est le diagramme de LEXIS; il s'agit d'un graphe à 2 dimensions, l'abscisse représentant le temps courant, l'ordonnée d'âge. Une ligne de vie représente dans ce graphe l'évolution d'un individu au cours du temps. t (temps) On peut distinguer 2 classes de méthodes extrêmes engendrées par des communautés de risques très différentes : - la capitalisation individuelle L'équilibre cotisation / prestation est réalisé au niveau de chaque ligne de vie d'un individu. On peut donc dire que chacun finance sa propre retraite; s'il y a solidarité, c'est au niveau de la cohorte de tous les individus nés la même année au travers de l’utilisation d’une table de mortalité. Il n'y a par contre aucune solidarité entre générations. Une communauté de risque est dans ce cas une diagonale dans le diagramme de LEXIS. x (âge) ligne de vie INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 26 - la répartition pure L'équilibre cotisation / prestation est réalisé à chaque instant, en mettant en parallèle les cotisations versées par les actifs et les prestations à verser aux retraités. La communauté de risque est donc constituée de l'ensemble des cotisants et bénéficiaires existant à un même instant; elle est représentée par une verticale dans le diagramme de LEXIS. On peut déjà à ce stade relever quelques caractéristiques générales de ces 2 systèmes antagonistes : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 27 Répartition pure Capitalisation individuelle - Résistance à l'inflation - Dépendance forte à l'inflation - Dépendance forte à l'évolution démographique - Résistance à l'évolution démographique - Solidarité inter- générationnelle - Equité au niveau individuel Répartition pure Capitalisation individuelle - Hypothèse sous-jacente de pérennité du système - Pérennité non indispensable - Rétroactivité facile en cas de création d'un régime - Rétroactivité difficile en cas de création d'un régime - Pas de constitution de provision - Provisions importantes Il est d'usage dans le débat sur les retraites d'opposer avec passion ces 2 systèmes qui effectivement, de par leur nature, présentent des traits à la fois extrêmes et violemment contrastés. C'est oublier qu'il existe entre ces deux extrêmes, toute une palette de méthodes intermédiaires qu'on peut regrouper en 3 familles : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 28 a) la répartition étalée La communauté de risque est constituée par l'ensemble des actifs et retraités présents, non plus seulement en un instant mais durant T années. b) la répartition des capitaux de couverture La communauté de risque est constituée d'une part, par l'ensemble des actifs présents en un instant, d'autre part, la génération partant à la retraite à cet instant. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 29 c) la capitalisation collective La communauté de risque est constituée par les lignes de vie de plusieurs cohortes, solidarisées dans le financement. Dans toutes ces méthodes, il y a constitution de provisions, leur importance variant selon la méthode retenue. 1.5. VEHICULES DE FINANCEMENT D'UN REGIME Le véhicule de financement d'un régime de retraite est le support financier qui sous-tend la construction. Si les premiers piliers, de nature étatique et le plus généralement en répartition, sont gérés dans le cadre des budgets de la sécurité sociale, les régimes de second pilier présentent des formes variées, justifiées par la gestion financière des provisions constituées (la répartition y étant rare). Citons ici 4 constructions possibles : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 30 1°) Réserves internes (BOOK RESERVE) : Les engagements de pension contractés par l'entreprise dans le cadre d'un plan de pension de second pilier sont inscrits directement au passif du bilan de l'entreprise. Les actifs représentatifs de ces engagements sont mélangés avec les autres actifs. BILAN SYNTHETIQUE AVANT CREATION DU PLAN ACTIF PASSIF Placements immobiliers Fonds propres Placements mobiliers Dettes Trésorerie BILAN SYNTHETIQUE APRES CREATION DU PLAN ACTIF PASSIF Placements immobiliers Fonds propres Placements mobiliers Dettes Trésorerie Provision pour engagement de pension INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 31 Les avantages de ce système sont : - une structure souple, peu coûteuse, ne nécessitant pas une construction parallèle - la possibilité d'injecter une partie du cash généré dans des investissements structurels. Les dangers sont : - la faillite : les affiliés sont mis sur le même pied que les autres créanciers et risquent de perdre tout ou partie de promesses contractées. - la liquidité : la politique d'investissement dans des biens structurels peut poser des problèmes graves de liquidité lorsque des prestations importantes doivent être payées aux retraités. Le risque de faillite fait que ce système est interdit dans de nombreux pays; il est utilisé en Allemagne, mais assorti d'une assurance insolvabilité obligatoire souscrite par l'entreprise. 2°) Réserves externes (PENSION FUND) En vue de la gestion de son régime de retraite, l'entreprise crée une entité juridique autonome ayant sa propre structure bilantaire et dont l'objectif unique est la réalisation du plan de pension; c'est la notion de fonds de pension. Les flux financiers sont donc : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 32 Cotisation Prestation Entreprise Fonds de pension Retraités Le fonds de pension a sa propre structure bilantaire, son unique passif étant par définition les engagements de pension contractés par l'entreprise : ACTIF PASSIF Placements immobiliers Provision pour engagement de pension Placements mobiliers Trésorerie Ce mécanisme permet donc de répondre aux deux objections du système de réserve interne : - la faillite : en cas de faillite de l'entreprise, les provisions de pension sont totalement protégées des créanciers extérieurs et restent acquises aux affiliés. - la liquidité : le fonds de pension ayant ses propres actifs, a sa propre politique financière tenant compte des échéanciers de pension (ce qu'on dénomme "gestion actif passif" ou ALM - "asset and liability management"). L'inconvénient majeur est évidemment le coût administratif généré puisqu'il faut créer et gérer un organisme complémentaire à l'entreprise. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 33 Ce système est largement répandu dans les pays anglo-saxons (Royaume Uni, Etats- Unis, Pays-Bas) et concerne plutôt les grandes entreprises. 3°) Fonds sectoriels / Fonds multi-employeurs Certains régimes de pension complémentaires sont communs à tout un secteur d'activité; dans d'autres cas, des entreprises, appartenant ou non à un même groupe financier, peuvent décider de gérer en commun leur plan de pension respectif. Ces cas de figure motivent l'existence de fonds de pension, ne concernant plus une seule entreprise mais plusieurs entreprises. Les flux sont alors : entreprise 1 entreprise 2 Fonds de pension Retraités entreprise n La construction permet le partage des frais inhérents à la création et gestion du fonds entre les différents membres du pool, ce qui en fait une solution mieux adaptée que la précédente pour les petites et moyennes entreprises. Des règles précises doivent bien sûr être prévues en cas de retrait ou de faillite d'un des membres de ce pool; le degré de solidarité entre les membres, notamment au niveau du financement, doit également être mentionné. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 34 4°) Assurances collectives / Assurances de groupe Une autre façon pour l'entreprise d'externaliser ses engagements de pension mais cette fois sans devoir créer une structure propre, est de confier la gestion de son plan de retraite à un assureur. Les flux sont donnés par : Primes prestations Entreprises Compagnie d'assurance Retraités Les engagements de pension sont cette fois inscrits au passif du bilan de l'assureur (poste "réserves mathématiques"); les législations prévoient généralement que les assurés bénéficient d'une créance privilégiée sur ce poste. En cas de faillite de l'assureur, les provisions constituées sont donc protégées. Au niveau de la gestion financière, celle-ci est effectuée par l'assureur avec selon les cas une plus ou moins grande intervention de l'entreprise; dans ce contexte, une garantie de taux d'intérêt peut être offerte par l'assureur. Ce système présente les mêmes avantages prudentiels que les fonds de pension; il ne nécessite pas de devoir mettre en place une structure autonome. Il permet facilement d'octroyer des garanties de taux aux affiliés mais les coûts d'intermédiation de l'assureur doivent bien sûr être pris en considération (frais de gestion réclamés et marge bénéficiaire dégagée par l’assureur) . INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 35 CHAPITRE 2: ELEMENTS DE DEMOGRAPHIE 2.1. DIAGRAMME DE LEXIS La démographie s'intéresse à l'évolution dans le temps des effectifs d'une population déterminée, généralement analysée par âge. Les deux variables principales d'analyse sont donc le temps (t) et l'âge (x). Le diagramme de LEXIS permet de visualiser dans un plan à 2 dimensions ces 2 variables ainsi que la progression d'une population. Un individu dans ce plan est caractérisé : - par un point d'entrée (x 0 , t 0 ) selon le problème étudié x 0 peut représenter la naissance (x 0 = 0); il peut également représenter l'entrée en service dans une entreprise si on s'intéresse à l'évolution de son effectif. - par un point de sortie ( ) 0 N 0 N x x t x − + , selon les cas, N x peut être l'âge de décès ou l'âge de la retraite r x - par une diagonale rejoignant ces 2 points et appelée ligne de vie Une verticale dans ce diagramme représente l'ensemble de la population présente en un instant. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 36 Une horizontale dans ce diagramme représente l'évolution dans le temps d'une classe d'âge fixé. 2.2. MODELES DISCRETS DE POPULATION Un modèle de population consiste à décrire l'effectif d'une population vu comme fonction de deux variables : le temps et l'âge. On suppose l'horizon de temps discret, de la forme : { } 1 0 0 0 t .... , 2 t , 1 t , t T + + = On observe donc la population, par exemple tous les ans ou tous les mois à dates fixes. Au niveau des âges, on discrétise également l'échelle (en arrondissant par exemple l'âge exact à 6 mois près) : { } N 0 0 0 x ...., , 2 x , 1 x , x X + + = On note alors : ( ) { } T t ; X x ; t , x L ε ε la fonction de population donnant à la date t, l'effectif de la population d'âge x. La population totale à la date t sera notée : ( ) ( ) ∑ = = N 0 x x x t , x L t N La fonction L de deux variables permet de faire une triple analyse : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 37 - pour t = ∗ t fixé : L est vu comme fonction de l'âge ( ) ( ) ( ) { } ∗ ∗ + t , x L .... , t , 1 x L , t , x L N * 0 0 On représente communément cette suite sous forme d'un graphe appelé pyramide des âges - pour x = ∗ x fixé : L est vu comme fonction du temps ( ) ( ) ( ) { } 1 0 0 t x L 1 t x L t x L , .... , , , , ∗ ∗ ∗ + permettant de suivre au cours du temps l'évolution en effectif d'une classe d'âge fixe. - pour x et t reliés par : ∗ ∗ − + = t t x x ( ) ( ) ( ) { } ... , 2 t , 2 x L , 1 t , 1 x L , t , x L + + + + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ permettant de suivre l'évolution d'une cohorte d'âge initial ∗ x au temps ∗ t ( ) T t X x ε ε ∗ ∗ , . INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 38 La dynamique des populations tente de comprendre l'évolution des effectifs à partir de deux phénomènes explicatifs : - les entrées dans la population (naissance, immigration, embauche,…) On notera ( ) { } T t , X x ; t , x E ε ε la fonction donnant à la date t l'effectif des nouveaux entrants à l'âge x. - les sorties de la population (décès, émigration, démission,…) On notera ( ) { } T t X x x x x p t ε ε , , ; , ' ' les probabilités de survie dans la population (probabilité étant à la date t et à l'âge x dans la population, d'encore y être à l'age x'). Ces différentes fonctions de population sont reliées par la relation de renouvellement, basée sur le suivi d'une cohorte : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h x , k x p k t , k x E h x , x p t , x L h t , h x L k t h 1 k t + + ⋅ ∑ + + + + ⋅ = + + + = exprimant simplement que pour être présent dans h années dans la population, il faut soit y être initialement et y avoir survécu, soit y être entré entre-temps et avoir également survécu. Un cas particulier important est celui où les entrées se font à un âge unique (par exemple les naissances à l’âge x = 0). INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 39 On a dans ce cas : ( ) ( ) ¹ ´ ¦ ≠ = = 0 0 x x 0 x x t E t , x E La relation de renouvellement se réduit alors à : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x , x p . x x t E t , x L 0 x x t 0 0 − − − − = Si on suppose de plus les probabilités de survie indépendantes du temps, il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) x ; x p x x t E t , x L 0 0 ⋅ − − = 2.3. POPULATIONS STATIONNAIRES Parmi l'ensemble des populations, la démographie s'intéresse tout particulièrement à certaines classes de populations; ces dernières présenteront notamment en matière de retraite, des propriétés de stabilité temporelle en termes de charges. 1° Population à l'état stationnaire relatif Une population est dite à l'état stationnaire relatif lorsque sa fonction de population satisfait au critère de séparation : ( ) ( ) ( ) x t t , x L ℵ ⋅ ϕ = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 40 où ϕ est une fonction uniquement du temps ℵ est une fonction uniquement de l'âge. De telles populations ont une pyramide des âges de forme constante dans le temps; en particulier les ratios suivants sont constants : a) ratio entre les effectifs de deux classes d'âge : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x x t x t x t , x L t , x L ℵ ℵ = ϕ ⋅ ℵ ϕ ⋅ ℵ = b) ratio entre les effectifs de deux sous-groupes de la population : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ℵ ∑ ℵ = ∑ ∑ = ∑ ∑ = = = = = = 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ' t , x L ' t , x L t , x L t , x L 2°. Population à l'état stationnaire absolu Une population est dite à l'état stationnaire absolu lorsque sa fonction de population est indépendante du temps : ( ) ( ) x t , x L ℵ = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 41 3. Construction de populations stationnaires Les hypothèses suivantes permettent de générer des populations stationnaires : a) les entrées dans la population se font à un âge uniforme noté x 0 ; b) les probabilités de survie sont indépendantes du temps. Dans ce cas, la fonction de population peut s'écrire: ( ) ( ) ( ) ( ) x ; x p x x t E t , x L 0 0 ⋅ − − = D'une manière générale, cette expression ne satisfait pas au critère de séparation Par exemple, si la fonction des entrées est une fonction linéaire, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x t K x x t E − − ⋅ = − − ( ) ( ) ( ) ( ) x ; x p x x t K t , x L 0 0 ⋅ − − = qui n’est pas séparable. Par contre, si la fonction des entrées est une fonction exponentielle, il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x t 0 e A x x t E − − ρ ⋅ = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ; x p e e A x ; x p e A t , x L 0 x x t 0 x x t 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ρ − ρ − − ρ qui est bien séparable. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 42 L'effectif total de cette population est donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) t 0 x x x x x t x x x e C x ; x p e A e t , x L t N N 0 0 N 0 ρ = − ρ − ρ = ⋅ = | | ¹ | \ | ⋅ ⋅ ⋅ = = ∑ ∑ (effectif de forme exponentielle) En particulier : si ρ > 0 : on a une population en croissance ρ = 0 : on a une population à l'état stationnaire absolu ρ < 0 : on a une population en décroissance. 2.4. RATIOS DEMOGRAPHIQUES Il est de tradition en sécurité sociale de partitionner la population globale en trois sous- groupes d'âges : - les jeunes : [ ] 1 x , 0 x ε - les actifs : [ ] r 1 x , x x ε - les retraités : [ ] ω ε , x x r INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 43 On peut alors introduire les différents ratios suivants, en supposant un modèle discret de population. a) Quotient de vieillesse : c’est le rapport entre l’effectif des retraités et l’effectif des actifs soit ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = − = ω = 1 x x x x x r 1 r t , x L t , x L t V Q Il mesure la dépendance des retraités par rapport aux actifs; il joue un rôle important en théorie des retraites. b) Taux de support potentiel : c'est l'inverse du quotient de vieillesse; il mesure le nombre d'actifs par retraité : ( ) ( ) t V Q 1 t P S T = c) Coefficient d'intensité de vieillissement Il permet de mesurer au sein de la population des retraités, la proportion au-delà d'un certain âge (par exemple 80 ans) : en posant : ω < < v r x x ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = ω = ω = r v x x x x t , x L t , x L t V I C INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 44 d) Quotient de jeunesse : c’est le rapport entre l’effectif des jeunes et l’effectif des actifs ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = − = − = 1 x x x 1 x 0 x r 1 1 t , x L t , x L t QJ e) Coefficient de dépendance C'est la somme du quotient de vieillesse et du quotient de jeunesse; il mesure le degré global de dépendance de la population inactive ("jeunes" et "vieux") par rapport à la population active. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ + ∑ = + = − = ω = − = 1 r 1 r 1 x x x x x 1 x 0 x t , x L t , x L t , x L t J Q t V Q t D C A titre d'exemple, le tableau ci-dessous donne une projection de quelques ratios démographiques pour les prochaines décennies concernant la population belge, en prenant comme bornes des classes d'âge : x 1 = 20 (entrée dans la vie active) x r = 60 (âge de retraite) x v = 80 (âge de survieillissement) INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 45 2000 2010 2020 2030 2040 2050 Quotient de vieillesse 40,06 % 44,1 % 53,0 % 63,3 % 67,0 % 68,9 % Taux de support 2,5 2,27 1,89 1,58 1,49 1,45 Intensité de vieillissement 16,8 % 21,5 % 20,8 % 22,4 % 28,1 % 31,9 % Coefficient de dépendance 83,9 % 85,3 % 94,2 % 106,4 % 110,0 % 112,0 % Ces projections sur les 50 prochaines années prévoient ainsi pour la Belgique - une croissance de plus de 70 % du quotient de vieillesse - 2,5 actifs pour un retraité aujourd'hui contre moins de 1,5 à terme; - un quasi-doublement de l'intensité de vieillissement; - un coefficient de dépendance dépassant l'unité (plus d'inactifs que d'actifs). Application aux populations stationnaires Dans le cas d'une population stationnaire, ces différents coefficients démographiques sont constants dans le temps puisque dans ce type de population, les ratios entre classes d'âge ne se modifient pas dans le temps. Ceci explique l'intérêt théorique de ce type de population dans les problèmes de sécurité sociale. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 46 CHAPITRE 3 : SYSTEMES GENERAUX DE FINANCEMENT 3.1. EQUATION GENERALE D'EQUILIBRE ACTUARIEL D'UN REGIME DE RETRAITE L'équation d'équilibre d'un régime de retraite est basé sur le principe d'équivalence actuarielle entre prestations et contributions : les prestations futures doivent être financées soit par les contributions futures, soit par la réserve initiale existante éventuelle. En théorie des retraites, cette équivalence ne s'exprime pas d'une manière générale au niveau de chaque individu (on ne cherche pas nécessairement l'équité à un niveau individuel) mais bien au niveau de l'ensemble d'un collectif. On a donc la relation suivante : ∑ individus valeur actuelle des contributions) + réserve initiale ∑ individus valeur actuelle des prestations En vue d'introduire les relations de base entre réserves, prestations et contributions, on suppose un régime démarrant à l'instant t = 0 et disposant d'une réserve initiale notée V(0) = V 0 . On notera : - π(s) = le taux de cotisation moyen du régime à l'instant s - ( ) s s = le salaire moyen à l'instant s de la population des actifs INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 47 - ( ) ( ) ( ) s s s , x L s S 1 x x x r 1 ∑ − = = = la masse salariale totale en s - ( ) s p = la prestation de pension moyenne payée à l'instant s - ( ) ( ) ( ) s p s , x L s B r x x ∑ = ω = = les prestations totales payées en s - i = le taux de capitalisation des réserves sur une période. On peut alors obtenir une première expression des réserves du régime, sous forme rétrospective (on supposera ici salaires et prestations payables anticipativement) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ + ⋅ − π + + ⋅ = − = − 1 t 0 s s t t i 1 s B s S s i 1 0 V t V Cette relation permet d'en obtenir une seconde, appelée formule de récurrence des réserves : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 1 t B t S t t V 1 t V + ⋅ − ⋅ π + = + ou encore sous forme différentielle : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) i 1 ( t B t S t t V i t V 1 t V 1 t V + − π + ⋅ = − + = + ∆ exprimant que l'accroissement des réserves du régime provient : - des intérêts sur les réserves existantes - de l'excédent des contributions par rapport aux prestations. L'équation d'équilibre actuariel permet enfin d'exprimer les réserves sous une forme prospective : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 48 Réserve = valeur actuelle des prestations futures - valeur actuelle des contributions futures ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ + π − ∑ + ⋅ = ∞ = − − ∞ = − − t s t s t s t s i 1 s S s i 1 s B t V L'équilibre actuariel entre prestations et contributions s'exprime alors simplement en égalant à tout instant les deux de la réserve du régime : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ + π ∑ − + = + ∑ − π + + ∞ = − − ∞ = − − − − = t s t s t s t s s t 1 t 0 s t i 1 s S s i 1 s B i 1 s B s S s i 1 0 V Dans un régime à prestations définies le vecteur { B } est fixé; une méthode de financement est alors un vecteur { π } qui satisfait à cette relation; on remarquera qu'il existe une infinité de solutions; chaque solution correspond à une méthode de financement particulière. A l'inverse dans un régime à contributions définies, le vecteur { π } est fixé et les prestations octroyées par le régime doivent être telles que la relation d’équilibre soit vérifiée. Différentes méthodes de financement peuvent être mises dès à présent en évidence : - cas limite n° 1 : on se fixe comme contrainte d'avoir à tout instant des réserves nulles (on suppose bien sûr qu'on démarre avec un niveau nul de réserve) : V (t) ≡ 0 ∀ t. La relation de récurrence montre que pour qu'il en soit ainsi, il faut que : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 49 ( ) ( ) ( ) 0 t B t S t = − ⋅ π ∀ t → ce qui conduit dans un régime à prestations définies au taux de cotisation : ( ) ( ) ( ) t S t B t = π → ce qui conduit dans un régime à cotisations définies aux prestations : ( ) ( ) ( ) t S . t t B π = ou ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ω = ⋅ π = r x x t , x L t S t t p Cette méthode est appelée REPARTITION PURE. - cas limite n° 2 : on se fixe comme contrainte de ne plus devoir rien payer comme contributions futures : π (t) ≡ 0 ∀ t. La réserve initiale doit donc dans ce cas être suffisante pour financer l'ensemble des prestations futures du régime. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) s 0 s x x 0 s s i 1 s p s , x L i 1 s B 0 V r − ∞ = ∞ = ∞ = − + = + = ∑ ∑ ∑ Cette méthode est appelée INITIAL FUNDING; c'est évidemment la méthode qui génère les réserves les plus importantes ( équivalent d’une INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 50 prime unique en assurance vie). - une autre méthode peut être mise en évidence en se fixant cette fois comme contrainte , partant d’une réserve nulle, d’avoir un taux de cotisation constant dans le temps : π(t)=π ∀ t. ( équivalent de primes annuelles constantes en assurance vie) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = − = − ∞ = ω = − ∞ = − ∞ = − + + = + + = π 0 s 1 x x x s 0 s x x s 0 s s 0 s s r 1 r ) i 1 )( s ( s ) s , x ( L ) i 1 )( s ( p ) s , x ( L ) i 1 )( s ( S ) i 1 )( s ( B Cette méthode est appelée PRIME MOYENNE GENERALE . D’une manière générale, dans un régime en prestations définies, nous appellerons méthode de financement admissible tout vecteur { π } satisfaisant à la relation d'équilibre tel que les réserves engendrées soient comprises à tout instant entre les 2 premiers cas limite : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t s t s x x i 1 s p s , x L t V 0 r − − ∞ = ∞ = + ≤ ≤ ∑ ∑ CONTRE-EXEMPLE Nous rejetons donc les méthodes, qui, quoique équilibrée actuariellement, peuvent conduire à certains moments à des réserves négatives. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 51 A titre de contre-exemple, on peut envisager le cas suivant, où rien n'est payé pendant une période T : ( ) ( ) 1 T ...., , 0 s 0 s 0 0 V − = = π = et ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ + = π ∞ = − 0 s s T i 1 s B T S T Cette dernière relation, reflétant un paiement intégral comme dans le cas de l'initial funding mais effectué cette fois trop tard, illustre le caractère d'équilibre actuariel de la méthode; néanmoins si des prestations sont à verser avant l'époque T (B(s) ≠ 0 s < T), les réserves seront négatives. Les réserves globales V(t) d'un régime de retraite peuvent d'une manière générale se décomposer en deux parties : ( ) ( ) ( ) t V t V t V a r + = où a) V r (t) =réserves nécessaires pour financer en totalité les retraites des individus déjà pensionnés en t = ( ) ( )( ) s t x x x t t s i 1 s p s , x L r − ω = − ω + = + ∑ ∑ Ce niveau de réserve est indépendant du choix de la méthode de financement utilisée. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 52 b) V a (t) = réserve des actifs ( ) ( ) t V t V r − = Par définition la réserve des actifs est l’excédent des réserves par rapport à la réserve des retraités. On peut alors classer les différentes méthodes de financement, selon le signe de ces différentes réserves : 1°) méthode de répartition pure ( ) ( ) ( ) 0 t V t V 0 t V r a < − = = Le régime ne dispose d’aucune réserve ; la réserve des retraités constitue une dette à charge des actifs 2°) méthode de répartition des capitaux de couverture ( ) ( ) ( ) 0 t V t V t V a r = = Le régime dispose en permanence exactement du montant nécessaire à la réserve des retraités ; les actifs ne disposent d’aucune réserve mais ne sont titulaires d’aucune dette. 3°) méthodes de capitalisation ( ) ( ) ( ) 0 t V t V t V a r 〉 〉 INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 53 La réserve des retraités est financée et les actifs disposent d’une réserve strictement positive. 3.2. CLASSIFICATION DES PRINCIPALES METHODES DE FINANCEMENT On se placera ici dans le cadre d'un régime à prestations définies; selon le plus ou moins grand degré de capitalisation du régime, nous introduirons les principales familles de méthodes de financement. Nous passerons en revue successivement : - la répartition pure; - la répartition étalée; - la répartition des capitaux de couverture; - la capitalisation individuelle. 3.2.1. La répartition pure La répartition pure est basée sur le principe d'équivalence à tout instant entre d'une part, les cotisations versées par les actifs et, d'autre part, les prestations de pensions versées à tous les retraités. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 54 En notant : - ( ) = t p la pension moyenne à verser en t - ( ) = t s le salaire moyen en t - ( )= π t R le taux de cotisation en répartition pure il vient : - Cotisations récoltées en t : ( ) ( ) ( ) ∑ π − = 1 x x x R r 1 t , x L t s . t - Dépenses de pension en t : ( ) ( ) ∑ ω = ⋅ r x x t , x L t p - Application du principe d'équivalence : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ω = − = = π r r 1 x x 1 x x x R t , x L t p t , x L t s . t c'est-à-dire : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 55 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = ω = ⋅ = π 1 x x x x x R r 1 r t , x L t , x L t s t p t = tr(t) . QV (t) où tr (t) = paramètre socio-économique = taux de remplacement = rapport entre la pension moyenne et le salaire moyen QV (t) = quotient de vieillesse = paramètre démographique Le taux de cotisation en répartition est le produit du quotient de vieillesse par le taux de remplacement. Lorsque le taux de remplacement est constant, on parle d'un régime à maturité. D'autre part, on sait que dans une population stationnaire, le quotient de vieillesse est constant. Dans une population stationnaire et pour un régime de pension à maturité, le taux de cotisation en répartition est donc constant. 3.2.2. La répartition étalée INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 56 La répartition étalée se base sur les mêmes principes que la répartition, mais plutôt que d'égaler recettes et dépenses sur une période, on en égalise les valeurs actuelles sur plusieurs périodes : Valeur actuelle des cotisations des actifs perçues entre t et t + T Valeur actuelle des pensions payées aux retraités entre t et t + T Analytiquement, il vient : - valeur actuelle des cotisations sur [ t, t + T ] : ( ) ( ) ( ) s T 0 s 1 x x x R v s t , x L s t s t r 1 e ∑ ∑ = − = | | ¹ | \ | + + ⋅ π avec = + = i 1 1 v facteur d'actualisation - valeur actuelle des dépenses sur [ t, t + T) : ( ) ( ) s T 0 s x x v s t , x L s t p r ⋅ | | ¹ | \ | + + ∑ ∑ = ω = - application du principe d'équivalence : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 57 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ − = = ω = = ⋅ + + ⋅ + + = π 1 x x x s T 0 s x x s T 0 s R r 1 r e v s t , x L s t s v s t , x L s t p t En particulier, si la population est à l'état stationnaire, il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ − = = ω = = ⋅ ℵ + ϕ + ⋅ ℵ + ϕ + = π 1 x x x s T 0 s xr x s T 0 s R r 1 e v x s t s t s v x s t s t p t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ¹ | \ | + ϕ + ⋅ | | ¹ | \ | ℵ | | ¹ | \ | + ϕ + | | ¹ | \ | ℵ = ∑ ∑ ∑ ∑ = − = = ω = s T 0 s 1 x x x T 0 s s x x v s t s t s x v s t s t p x r 1 r ( ) t tr QV⋅ = où QV est le quotient de vieillesse ( ) t tr est le taux de remplacement moyen pondéré entre t et t + T. Si on suppose de plus que les salaires et pensions évoluent de la même manière (taux de remplacement constant) ( ) s t s k ) s t ( p + ⋅ = + INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 58 ( ) k QV t e R ⋅ = π et on retrouve la méthode de répartition pure. L'utilisation de la répartition étalée, qui consiste à niveler les taux issus de la répartition pure n'a donc de sens que quand la population n'est pas stationnaire ou quand le taux de remplacement n'est pas constant. Il y a lieu de noter que la méthode de répartition étalée peut ne pas toujours être utilisée car pouvant déboucher sur des réserves négatives. Ainsi, si au démarrage du plan, et en l'absence de réserves préexistantes, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 S 0 B 0 0 R R e = π 〈 π la formule rétrospective des réserves donne : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 i 1 0 B 0 S 0 S 0 B i 1 0 B 0 S 0 1 V e R = + ⋅ | | ¹ | \ | − < + ⋅ − π = En réalité, la méthode de répartition étalée est utile lorsqu'on est en phase de croissance importante des charges dans le modèle de répartition; la répartition étalée permet alors de préfinancer la hausse des taux et de la niveler sur une période de temps fixée. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 59 3.2.3. La répartition des capitaux de couverture Cette méthode est basée sur le principe d'équivalence entre d'une part, les cotisations versées par les actifs sur une période et, d'autre part, les capitaux constitutifs permettant de financer jusqu'au décès les pensions de la génération partant à la retraite lors de cette période. Analytiquement, il vient : - Cotisations récoltées en t (cf. répartition pure) : ( ) ( ) ( ) ∑ − = ⋅ ⋅ π 1 x x x cc r 1 t , x L t s t - Dépenses - capitaux constitutifs en t : ( ) ( ) r r x x r x x r v x x t p x x t , x L − ω = ⋅ − + ⋅ − + ∑ - Application du principe d'équivalence : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = ω = − ⋅ − + ⋅ − + = π 1 x x x x x x x r r cc r 1 r r t , x L t s v x x t p x x t , x L t En particulier, si on suppose : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 60 - une population à l'état stationnaire absolu : ( ) ( ) x t , x L ℵ = - des retraites indexées en progression géométrique de taux j : ( ) ( ) ( ) r x x r j 1 t p x x t p − + ⋅ = − + On a : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = ω = − − ℵ ⋅ + ⋅ ℵ = π 1 x x x x x x x x x cc r 1 r r r x t s v j 1 t p x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − − ω = ℵ ⋅ + ⋅ ℵ ℵ ⋅ ℵ = 1 x x x x x x x r x x r r 1 r r r x t s v j 1 x x t p x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ω = − − − = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ℵ ℵ = r r r r 1 x x x x x x r 1 x x x r v j 1 x ; x p t tr x x ( ) ( ) ( ) r r r x 1 x x x r a t tr x x ⋅ ⋅ ℵ ℵ = ∑ − = où ∑ ∞ = − − + = r r r r x x x x x x r x v ) j 1 .( ) x ; x ( p a est le prix de rente indexé. Dans ce cas, le taux de cotisation peut ainsi s'écrire comme le produit de 3 termes : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 61 - un terme démographique, donnant le rapport entre l'effectif de la classe partant à la retraite et l'effectif total des actifs; - un terme socio-économique donné par le taux de remplacement; - un terme viager, représentant un prix de rente indexé. Remarque : comme en répartition, la méthode des capitaux de couverture peut être étalée sur plusieurs années donnant naissance à la répartition étalée des capitaux de couverture. L’équivalence actuarielle peut s’écrire dans ce cas : Valeur actuelle des cotisations des actifs perçues entre t et t + T Valeur actuelle des capitaux constitutifs pour les générations partant à la retraite entre t et t + T . Analytiquement il vient : - valeur actuelle des cotisations sur [ t, t + T ] : ( ) ( ) ( ) s T 0 s 1 x x x cc v s t , x L s t s t r 1 e ∑ ∑ = − = | | ¹ | \ | + + ⋅ π - valeur actuelle des capitaux constitutifs sur [ t, t + T) : ( ) r r x x s T 0 s r x x r v x x s t p ) x x s t , x ( L − + = ω = ⋅ − + + − + + ∑ ∑ INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 62 - application du principe d'équivalence : ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ − = = − + = ω = ⋅ + + − + + − + + = π 1 x x x s T 0 s x x s r T 0 s x x r cc r 1 r r e v s t , x L s t s v x x s t p ) x x s t , x ( L t 3.2.4. La capitalisation individuelle Chaque actif finance durant sa vie active, sa propre retraite. Il y a dans ce cas équivalence individu par individu entre la valeur actuelle des cotisations versées durant l'activité et la valeur actuelle des pensions payées après retraite. Analytiquement, pour le groupe entrant à l'instant t en activité, on a : - valeur actuelle des cotisations : en posant ( ) x c π le taux de cotisation à appliquer à l'âge x au temps t+x : ( ) ( ) ( ) 1 r 1 x x c 1 1 1 x x x v x x x t s x x t ; x L − − = ⋅ π ⋅ − + ⋅ − + ∑ - valeur actuelle des dépenses : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 63 ( ) ( ) 1 r x x 1 x x 1 v x x t p x x t ; x L − ω = ⋅ − + ⋅ − + ∑ - application du principe d'équivalence ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 r 1 r 1 x x 1 x x 1 x x 1 c 1 1 x x x 1 v x x t p x x t ; x L v x x t x x t s x x t ; x L − ω = − − = ⋅ − + ⋅ − + = ⋅ − + π ⋅ − + ⋅ − + ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) { } 1 x .... , 1 x , x r c 1 c 1 c − π + π π doit satisfaire à cette relation. Il existe donc une infinité de méthode de capitalisation individuelle. On peut envisager le cas particulier où on impose comme contrainte complémentaire un taux de cotisation constant tout au long de la carrière : ( ) ( ) ( ) c r c 1 c 1 c 1 x .... , 1 x , x π = − π = + π π On a alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − ω = − − + − + − + − + = π 1 x x x X X 1 0 x x x x 1 0 c r 1 1 r 1 v x x t s x x t , x L v x x t p x x t ; x L Si l'on suppose de plus : - une population à l'état stationnaire absolu INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 64 - des retraites indexées en progression géométrique de taux j des salaires indexés en progression géométrique de taux k (retraites et salaires pouvant être indexés à des taux différents) : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − − ω = − − ⋅ + ⋅ ℵ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ℵ = π 1 x x x x x x x x x x x x x 1 r c r 1 1 1 r 1 r v k 1 t s . x v j 1 x x t p x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − − ω = − − − ⋅ + ℵ ℵ ⋅ + ℵ ℵ | | ¹ | \ | ℵ ℵ ⋅ − + = 1 x x x x x x x 1 x x x x x x x r x x 1 r 1 r r 1 1 1 r r r 1 r v k 1 x v j 1 x x v x x t s x x t p ( ) ( ) ) k ( x x ; x ) j ( x x x x 1 r 1 r 1 r 1 1 r a a E t s x x t p − − ⋅ ⋅ − + = Dans ce cas, le taux de cotisation est le produit des 3 éléments suivants : - un taux de remplacement ( ) ( ) t s x x t p r r − + représentant le rapport entre le premier arrérage de pension et le premier salaire - un différé entre l'âge d'entrée en service et l'âge de la retraite - le rapport entre 2 annuités. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 65 3.2.5. Illustration numérique On se propose de comparer les différentes méthodes de financement, dans le cas simple suivant : a) On considère une population initiale de 600 personnes distribuées par la fonction de population : 10 20 ≤ x < 30 L(x,0)= 20 30 ≤ x < 50 10 50 ≤ x < 60 0 x ≥ 60 b) L'unique cause de sortie de la population est le décès supposé se faire de manière uniforme à 75 ans. c) au niveau des entrées, on suppose : → alternative 1 : une population fermée sans remplaçants → alternative 2 : une population ouverte : chaque individu partant à la retraite fixée à 65 ans est supposé remplacé par un actif de 20 ans : E (20, t) = L (65, t) d) on travaille avec un taux d'intérêt nul INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 66 e) on instaure en t = 0, un plan de pension octroyant une pension égale à la moitié du salaire final. Les salaires sont supposés uniformes; ni les salaires ni les pensions ne sont indexés. On compare, pour les 2 alternatives, 3 méthodes de financement : répartition pure, répartition des capitaux de couverture, capitalisation individuelle. Alternative 1 : population fermée - méthode de répartition pure compte tenu des hypothèses, le taux de cotisation à chaque instant est donné par : ( ) actifs des effectif retraités des effectif 5 , 0 t R ⋅ = π Il vient successivement : - t < 5 : ( ) 0 t R = π (pas de retraités) - t = 6 : ( ) 0085 , 0 590 10 5 , 0 6 R = = π (première génération de retraités) - t = 7 : ( ) 017 , 0 580 20 5 , 0 7 R = = π INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 67 - t = 15 : ( ) 1 , 0 500 100 5 , 0 15 R = = π - t = 16 : ( ) 11 , 0 480 20 x 1 10 x 9 5 , 0 16 R = + = π - t = 25 : ( ) 33 , 0 300 200 5 , 0 25 R = = π - t = 35 : ( ) 1 100 200 5 , 0 35 R = = π - t > 35 : il n'y a plus d'actif et le régime doit s'arrêter; plus aucune prestation ne peut être versée, ni aux actifs du moment, ni aux générations déjà retraitées. - méthode de répartition des capitaux de couverture Dans ce cas le prix de rente à 65 ans est égal à 10 : 10 a 65 = et le taux de cotisation est donné par : ( ) actifs des effectif retraite la à t tan par effectif a 5 , 0 t 65 cc ⋅ ⋅ = π Il vient successivement : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 68 - t < 5 : ( ) 0 t cc = π - t = 6 : ( ) 085 , 0 590 10 10 5 , 0 6 cc = ⋅ ⋅ = π - t = 7 : ( ) 086 , 0 580 10 10 5 , 0 7 cc = ⋅ ⋅ = π - t = 15 : ( ) 1 , 0 500 10 10 5 , 0 15 cc = ⋅ ⋅ = π - t = 16 : ( ) 21 , 0 480 20 10 5 , 0 16 cc = ⋅ ⋅ = π - t = 25 : ( ) 33 , 0 300 20 10 5 , 0 25 cc = ⋅ ⋅ = π - t = 35 : ( ) 1 100 200 10 5 , 0 35 cc = ⋅ ⋅ = π - t > 35 : il n'y a plus d'actif et le financement doit s'arrêter; les actifs présents à ce moment n'auront jamais de pension; par contre, les générations déjà pensionnées continueront de toucher intégralement leur pension. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 69 - méthode de capitalisation Chacune des classes d'âge paiera un taux de cotisation différent, mais supposé constant tout au long de la carrière. En notant π c (x), le taux de cotisation pour la classe d'âge initial x en t = 0 (x compris entre 20 et 60), on a : ( ) ( ) x 65 / a 5 , 0 x 65 c − ⋅ = π - groupe ayant 20 ans en t = 0 : ( ) 11 , 0 45 10 x 5 , 0 20 c = = π - groupe ayant 30 ans en t = 0 ( ) 14 , 0 35 10 x 5 , 0 30 c = = π - groupe ayant 50 ans en t = 0 : ( ) 33 , 0 15 10 x 5 , 0 50 c = = π - groupe ayant 60 ans en t = 0 : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 70 ( ) 1 5 10 x 5 , 0 60 c = = π Commentaire Cet exemple simpliste permet de mettre en évidence dans une population fermée les phénomènes de première et de dernière génération et l'antagonisme fondamental de traitement entre répartition pure et capitalisation. Considérons d'abord la première génération de retraités, c'est-à-dire le groupe âgé initialement de 60 ans. → en répartition pure : ce groupe ne verse aucune cotisation et reçoit une retraite pleine jusqu'au décès. → en capitalisation : ce groupe doit financer en 5 ans la totalité de sa charge de pension et a un taux de cotisation maximal. La répartition octroie donc par rapport à la capitalisation un cadeau dit cadeau de première génération. De manière contrastée, considérons la dernière génération de la population c'est-à-dire le groupe âgé initialement de 20 ans : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 71 → en répartition pure : ce groupe a dû payer (pendant 35 ans) des cotisations de plus en plus importantes, pour, arrivé à la retraite, ne recevoir aucune prestation. → en capitalisation : ce groupe peut étaler sa charge sur 45 ans et a un taux de cotisation minimal; ses prestations de retraite sont assurées. Le cadeau de première génération en répartition se transforme donc dans une population fermée en …. un cauchemar de dernière génération. Alternative 2 : population ouverte : - méthode de répartition pure Compte tenu des hypothèses de remplacement, la population des actifs garde constamment un effectif fixe de 600 unités. Le taux de cotisation devient donc : ( ) 600 retraités des effectif 5 , 0 t R ⋅ = π Il vient successivement : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 72 - t < 5 : ( ) 0 t R = π - t = 6 : ( ) 0083 , 0 600 10 5 , 0 6 R = ⋅ = π - t = 7 : ( ) 016 , 0 600 20 5 , 0 7 R = ⋅ = π - t = 15 : ( ) 083 , 0 600 100 5 , 0 15 R = ⋅ = π - t = 16 : ( ) 092 , 0 600 20 x 1 10 x 9 5 , 0 16 R = + ⋅ = π - t = 25 : ( ) 166 , 0 600 200 5 , 0 25 R = ⋅ = π - t = 35 : ( ) 166 , 0 600 200 5 , 0 35 R = ⋅ = π Le système peut se poursuivre indéfiniment. - méthode de répartition des capitaux de couverture La conclusion est la même qu'en répartition pure; tous les dénominateurs sont remplacés par l'effectif constant de 600 et le système peut se poursuivre. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 73 - méthode de capitalisation Pour les générations présentes en t = 0, le taux de cotisation est le même qu'en population fermée (pas de solidarité entre générations). 3.3. CAPITALISATION OU REPARTITION : LE PARADOXE DE SAMUELSON On se propose ici de trouver une relation d'équivalence théorique entre un système de répartition pure et un système de capitalisation : peut-on obtenir des conditions permettant d'assurer la suprématie d'une des deux méthodes de financement ? Il convient pour ce de se placer en régime stationnaire où le régime de retraite est supposé exister déjà depuis suffisamment longtemps et n'est pas voué à une disparition prochaine. En effet, à défaut, on se retrouve dans les phénomènes dits de première et de dernière génération où la comparaison est biaisée. Le phénomène de première génération est celui se présentant à la création ex nihilo d'un régime de retraite; dans ce cas, l'effectif initial de retraités, bien que n'ayant jamais cotisé, pourra recevoir directement en répartition une retraite pleine : c'est le cadeau de première génération. Au contraire, en capitalisation, à défaut d'avoir cotisé, ces retraités "initiaux" n'auront droit à aucune prestation. De manière symétrique, le phénomène de dernière génération se présente lorsque le financement du régime s'arrête définitivement; dans ce cas, les actifs ayant cotisé précédemment, ne recevront plus aucune prestation en INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 74 répartition alors qu'en capitalisation ils récupéreront une retraite correspondant aux sommes épargnées précédemment. Dans ces 2 situations limites, la comparaison entre répartition pure et capitalisation tourne donc à l'évidence. Plaçons-nous donc en régime stationnaire en vue d'éviter ces cas extrêmes. Les hypothèses retenues pour la comparaison seront les suivantes : a) hypothèses démographiques La population, modélisée de manière discrète, est stationnaire; la fonction de population est de la forme : ( ) ( ) ( ) x ; x p e e A t , x L 0 x x t 0 − ρ − ρ ⋅ = x 0 = âge d'entrée dans la population x 1 = âge d'entrée dans la vie active x r = âge de retraite b) hypothèses macro économiques On pose : σ = taux de croissance des salaires δ = taux d'intérêt ) t ( s = salaire moyen à l'instant t INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 75 c) hypothèses sur le plan de retraite On suppose fixé le taux de cotisation sur les salaires, noté τ ; on veut comparer les prestations obtenues d'une part en répartition, d'autre part en capitalisation. On notera : P r (t) = prestation obtenue en répartition P c (t) = prestation obtenue en capitalisation En répartition, il suffit d'égaler recettes et dépenses à l'instant t (approche verticale) : Recettes à l'instant t : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − ρ − ρ − = ⋅ ⋅ ⋅ τ = ⋅ ⋅ τ = 1 x x x 1 x x t 1 x x x t r 1 1 r 1 x ; x p e e t s A t , x L t s c Re Dépenses à l'instant t : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ⋅ Ρ ⋅ = ∑ ⋅ Ρ = ω = − ρ − ρ ω = r 1 r x x 1 x x t r x x r t x ; x p e e t A t , x L t Dep INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 76 En égalant recettes et dépenses, il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( t s x ; x p e x ; x p e t s t r r r 1 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x r ρ ϕ ⋅ ⋅ τ = ⋅ ⋅ τ = Ρ ∑ ∑ ω = − ρ − − = − ρ − En capitalisation, il y a lieu d'égaler sur toute la durée de la carrière supposée débuter à l'instant t, la valeur actuelle des cotisations à la valeur actuelle des prestations (cohorte entrant dans la vie active en t). Recettes actualisées à l'instant t : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x ; x p e t s t , x L x ; x p e e t s t , x L c Re 1 x x 1 x x x 1 1 x x x x 1 x x x 1 t 1 r 1 1 1 r 1 − σ − δ − − = − δ − − σ − = ∑ ∑ ⋅ τ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ τ = Dépenses actualisées à l'instant t : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ⋅ ⋅ = ω = − δ − − σ r 1 1 x x 1 x x x x c 1 t x ; x p e e t P t , x L Dep En égalant recettes et dépenses, il vient : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) σ − δ ϕ ⋅ ⋅ τ = ⋅ ⋅ τ = Ρ ∑ ∑ ω = − σ − δ − − = − σ − δ − t s x ; x p e x ; x p e t s t r 1 r 1 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x c INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 77 La comparaison des relations obtenues montre que les prestations générées en répartition et en capitalisation sont de même forme et sont liées à la fonction ϕ dont il y a lieu d'étudier le comportement. Soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = ζ ϕ ω = − ζ − − = − ζ − r 1 r 1 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x x , x p e x , x p e avec : - x 1 < x r < ω - p (x 1 , x) > 0 Montrons que la fonction ϕ est non décroissante : posons pour ce : ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = − − = − ζ − 1 x x x 1 x x r 1 r 1 1 x , x p e 1 x ; x ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = ω ω = − ζ − r 1 x x 1 x x r x , x p e ; x Il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r 1 1 x x x 1 x x 1 r ; x ) ( . 1 x , x x , x p e x x ; x r 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ω ω − − ( ¸ ( ¸ − − ⋅ ω = ζ ∂ ϕ ∂ − = − ζ − où : ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ω = − ζ − − − = ω r 1 x x 1 x x 1 x , x p e x x ) ( INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 78 On a : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ω − ≥ − ω = − ζ − r 1 x x r 1 r 1 x x 1 ; x x x x ; x p e x x et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − − ≤ − − = − ζ − 1 x x x r 1 1 r 1 x x 1 r 1 1 1 x ; x x x x ; x p e x x et finalement : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 , x 1 x , x , x x x ; x 1 x ; x x x 2 r r 1 r 1 r r r 1 1 r ≥ ∑ ω ∑ ∑ ∑ ∑ − ω − − ω ⋅ − − ≥ ζ ∂ ϕ ∂ Corollaire : ϕ étant une fonction monotone non décroissante , on a : ( ) ( ) σ − δ ≥ ρ ⇔ Ρ ≥ Ρ t t c r La répartition sert des prestations supérieures à celles de la capitalisation si le taux d'accroissement de la population est supérieur à la différence entre le taux d'intérêt et le taux de croissance des salaires. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 79 Dans ce cas, le cadeau de première génération de la répartition se "propage" de génération en génération : grâce à la dynamique importante de la démographie, chaque génération reçoit plus en prestations que la valeur capitalisée de ses cotisations : c'est le paradoxe de Samuelson ou encore paradoxe de la Sécurité Sociale : le cadeau de première génération n'est jamais payé et au contraire chaque génération reçoit un cadeau "intergénérationnel". Au contraire, en période de taux d'intérêt élevé sur le marché (i.e. δ > ρ + σ ), la capitalisation doit être préférée. Il y a également lieu de souligner un phénomène d’irréversibilité entre répartition et capitalisation dans le cas où l’on désirerait modifier la technique de financement et passer de l’un à l’autre en cours de développement d’un régime de retraite. Si le régime est en capitalisation, le passage en répartition est très facile ; il y a même libération de réserves devenues inutiles en répartition et qui peuvent être récupérées à d’autres fins ( par exemple diminution de la dette publique). Par contre le passage de répartition à capitalisation est beaucoup plus délicat pour les générations plus âgées qui n’ont jamais eu l’occasion d’épargner ; il y a alors risque temporaire d’un double financement : les plus jeunes doivent continuer à payer les pensions en cours en répartition et par ailleurs ils commencent à épargner pour eux-mêmes. Ce problème de transition de la répartition à la capitalisation est donc très délicat ! INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 80 DEUXIEME PARTIE LES REGIMES EN CAPITALISATION CHAPITRE 4 : METHODOLOGIE GENERALE DE LA CAPITALISATION 4.1. CARACTERISTIQUES ET CLASSIFICATION DES REGIMES PAR CAPITALISATION Comme déjà précisé, la plupart des régimes professionnels complémentaires de retraite fonctionnent par capitalisation. Ces méthodes sont donc très importantes en pratique. Rappelons que la possibilité d'arrêt de tels régimes à tout moment - ne fut-ce que par disparition de l'entreprise - commande d'avoir au moins réservé la totalité des droits des personnes déjà retraitées. La capitalisation se caractérise par des réserves d'actifs positives : ( ) ( ) ( ) t V t V t V a r + = où V r (t) est la réserve globale nécessaire pour financer en totalité les droits des personnes déjà retraitées. V a (t) est le solde des réserves, propriété des adhérents actifs. Les techniques de capitalisation génèrent par définition des réserves d'actifs strictement positives. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 81 Il n'existe pas une méthode de capitalisation, mais bien une infinité; deux critères permettent de caractériser les différentes techniques : a) la vitesse de formation des réserves b) le caractère individuel ou collectif de la méthode. Détaillons ces deux aspects : a) La vitesse de formation des réserves Une technique de capitalisation va conduire à préfinancer durant la période d'activité le montant nécessaire à l'âge de la retraite pour provisionner en totalité l'engagement. La vitesse à laquelle se forme ce préfinancement durant la période active peut évidemment être très variable comme l'illustre l'exemple suivant : EXEMPLE - plan de pension en prestations définies - âge de la retraite : 65 ans - âge d'affiliation : 25 ans - méthode n° 1 "initial funding" : versement d'une prime unique à 25 ans finançant la totalité de l'engagement. - méthode n° 2 "late funding" : financement par versements périodiques entre 60 et 65 ans. Ces deux méthodes, toutes deux de capitalisation puisque générant des réserves d'actifs strictement positives, sont clairement contrastées et extrêmes : au INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 82 financement maximal de la première, répond un rythme bien lent pour la seconde. b) le caractère collectif ou individuel On distingue deux grandes familles de méthodes de capitalisation selon leur degré de solidarité ou d'individualisation dans le phénomène de capitalisation : - capitalisation individuelle : méthodes dans lesquelles les réserves globales du régime V(t) peuvent à tout moment être individualisées par affilié. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t V où t V t V i i i ∑ = - capitalisation collective : méthodes dans lesquelles les réserves globales ne sont pas individualisables et servent globalement pour l'ensemble du collectif. En partant de la relation prospective de la réserve globale, il vient : ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ∑ ∑ + π − + = ∞ = ∞ = − − − − t s t s t s t s i 1 s S s i 1 s B t V Bien entendu, dans cette relation collective, tant les prestations que les salaires peuvent être individualisés, on peut donc écrire ( en notant ∑ ∑ = i sur les individus i ) : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ∑ ∑ + π − + ∑ ∑ = ∞ = − − − − ∞ = t s i t s i t s t s i i i 1 s S s i 1 s B t V où ( ) ( ) s B i = prestation probabilisée payée à l'individu i à l'instant s ( ) ( ) s S i = salaire probabilisé de l'individu i à l'instant s. est la réserve de l’individu i INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 83 Cette relation ne peut être individualisée que si le taux de cotisation est également déterminé actuariellement individu par individu et non pas pour tout le collectif; dans ce cas, il vient : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ∑ = ∑ ( ( ¸ ( ¸ ∑ ∑ + π − + = ∑ ∑ + π − + ∑ ∑ = ∞ = ∞ = − − − − ∞ = − − − − ∞ = i i i t s t s t s i i t s i t s i t s i i t s t s i i t V i 1 s S s i 1 s B i 1 s S s i 1 s B t V où ( ) ( ) t V i = réserve individuelle de l'affilié i. L'équilibre actuariel est alors exigé affilié par affilié : c'est la capitalisation individuelle. Par contre, quand le taux de cotisation est défini, par la méthode non pas individuellement, mais collectivement, une telle décomposition n'a pas de sens et on se trouve alors en capitalisation collective. Par définition, les régimes de type contributions définies en capitalisation seront en capitalisation individuelle; nous nous intéresserons dans la suite aux régimes en prestations définies, sauf mention contraire explicite. 4.2. LES FONCTIONS DE BASE EN CAPITALISATION Pour l'ensemble des méthodes de capitalisation -individuelles ou collectives-, on peut définir un certain nombre de fonctions de base qui permettent de caractériser le financement. Toute méthode de capitalisation engendre 2 mécanismes qu'il convient de quantifier : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 84 → un mécanisme de fixation des charges annuelles : les cotisations à verser → un mécanisme de formation progressive des réserves et tout particulièrement des réserves d'actifs. Ce phénomène va engendrer à la fois un phénomène d'actifs et un phénomène de passifs. Nous définissons ci-dessous ces fonctions de base dont les modes de calcul, variables selon les méthodes envisagées, seront décrites en détail aux deux chapitres qui suivent . Compte tenu des habitudes en la matière, nous utiliserons assez systématiquement des appellations anglo-saxonnes; nous nous risquerons à une traduction libre de ces notions. a) Accrued Liability (Passif Actuariel) : Provision globale représentant la dette vis-à-vis des affiliés; il s'agit donc d'un élément bilantaire de passif. Nous noterons AL (t) la valeur à l'instant t. b) Assets / Fund (Actifs représentatifs) : Valeur représentative des actifs en support du passif actuariel ; il s'agit donc d'un élément bilantaire d’actif. Nous noterons F (t) la valeur à l'instant t. c) Normal Cost (coût normal) : Cotisation périodique à verser selon des conditions standards générées par la méthode choisie. Nous noterons NC (t) la valeur à l'instant t. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 85 d) Unfunded Accrued Liability (Passif non financé) Partie non financée du passif actuariel; c'est à tout instant la difference entre "Accrued Liaibility" et "Assets". Nous noterons UAL (t) la valeur à l'instant t. e) Adjustment (cotisation d'ajustement) : Complément de cotisation par rapport au normal cost, en vue de combler le passif non financé. Nous noterons ADJ (t) la valeur à l'instant t. f) Global cost (coût global) Cotisations totales à verser résultant du normal cost et de la cotisation d'ajustement. Nous noterons C(t) la valeur à l'instant t. Les éléments "Accrued Liability" et "Normal Cost" sont typiquement des éléments de passif, définis à partir d'hypothèses actuarielles; ces deux notions sont liées par la relation prospective des réserves : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) T PVFNC t PVFB i 1 s NC i 1 s B t AL t s s t s i t s i − = ∑ ∑ + − ∑ + = = − − − − où PVFB (t) = present value of future benefits = valeur actuelle des prestations futures PVFNC (t) = present value of future normal costs = valeur actuelle des coûts normaux futurs INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 86 L'élément "Assets" est bien sûr un élément d'actif; l'actif détenu peut différer du passif actuariel pour diverses raisons. On aura donc d'une manière générale : UAL (t) = A (t) - F (t) Quant à la cotisation d'ajustement, elle peut être unique ou étalée dans le temps : - ajustement unique : ADJ (t) = UAL (t) - ajustement étalé : ( ) ( ) a t UAL t ADJ & & = où ä est une annuité financière ou viagère sur une durée fixée. Le coût total du plan de pension est bien sûr donné par : C (t) = NC (t) + ADJ (t) Dans une méthode de capitalisation individuelle, le principe d’équilibre actuariel trouve à s’appliquer individu par individu et l'ensemble de ces fonctions de base sont individualisées par affilié. On peut écrire par exemple : ( ) ( ) ( ) ∑ = i i t AL t AL ( ) ( ) ( ) ∑ = i i t NC t NC ( ) ( ) ( ) ∑ = i i t C t C INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 87 où ∑ = i somme sur tous les affiliés au plan en t. Dans une méthode de capitalisation collective ces fonctions de base restent par essence collectives et ne font l’objet d’aucune individualisation ; seul l’équilibre au niveau du collectif est recherché. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 88 CHAPITRE 5 : METHODES DE CAPITALISATION INDIVIDUELLE 5.1. PRINCIPES GENERAUX DE LA CAPITALISATION INDIVIDUELLE On se placera ici dans le cadre d'un engagement de retraite à prestations définies, organisé au sein d'un second pilier et financé par capitalisation individuelle . Chaque individu finance donc pour son propre compte sa retraite; l'ensemble des notions traditionnellement collectives dans un régime de retraite, telles que réserves ou cotisations, sont ici individualisées par affilié. Le principe de base de la capitalisation individuelle est d'avoir, pour chaque individu, financé en totalité durant la vie active l'engagement de pension à payer à partir de l'âge de la retraite. Il existe de nombreuses méthodes de capitalisation individuelle, chacune étant caractérisée par son propre rythme de constitution des provisions nécessaires et donc une répartition différente dans le temps du financement. Trois critères permettent de générer les principales familles de capitalisation individuelle : - première critère : méthodes avec ou sans projection - second critère : méthodes en primes constantes ou en primes uniques successives INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 89 - troisième critère : méthodes avec ou sans distinction des services passés initiaux Premier critère : méthodes sans projection : méthodes où on ne tient compte que des données financières connues au moment du calcul (salaires, plafonds,…). méthodes avec projection : méthodes où on tient compte de projections des données financières à l'âge de la retraite. Second critère : méthodes en primes uniques successives : (UNIT CREDIT METHOD) méthodes visant à répartir l'engagement de pension en unités égales à financer chaque année en primes uniques (financement annuel intégral de portions fixées des prestations). La contrainte porte donc sur le passif actuariel; le normal cost en résultera. méthodes en primes constantes : (LEVEL PREMIUM METHOD) méthodes visant à financer l'engagement par des versements annuels constants ou stables. La contrainte porte donc cette fois sur le financement, le passif actuariel en résultera. On peut déjà illustrer simplement cette différence d’approche sur une opération de capital différé que l’on désire financer par des versements périodiques. La solution traditionnelle utilisée en assurance vie consiste à travailler en primes constantes. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 90 En considérant un capital unitaire payable en cas de vie à l’âge x+n, la prime constante p à verser anticipativement chaque année entre les âges x et x+n est donnée par : n , x x n ä E p = Cette méthode , interprétée en termes d’amortissement, conduit à financer chaque année une portion du capital ; la prime versée l’année t ( ) n t 0 < ≤ permet de financer un morceau de capital noté K t donné par : n , x t x t n x n t x t n t ä E E E p K + − + − = = En particulier le premier élément est donné par : n 1 ä 1 K n , x 0 > = Compte tenu de la croissance du prix du différé, la fonction K est décroissante. La méthode des primes constantes génère donc une politique d’amortissement décroissante. Cette interprétation alternative conduit naturellement à envisager une autre forme de financement : plutôt que d’envisager des primes constantes on désire obtenir un amortissement linéaire du capital. Chaque année la prime p t à verser sera solution de l’équation : n 1 E p K t x t n t t = = + − La prime est donc cette fois variable, croissante dans le temps et donnée par : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 91 t x t n t E n 1 p + − = Cette approche alternative du financement d’une opération de capital différé en primes périodiques correspond à la méthode dite des primes uniques successives en théorie des retraites. Troisième critère : Lorsqu’à l’affiliation au plan le régime reconnaît des services prestés antérieurement ( par exemple depuis l’entrée en service) , certaines méthodes financent de manière séparée ces services passés initiaux. Ces trois critères de distinction croisés permettent de mettre en évidence les grandes méthodes suivantes de capitalisation individuelle. Non Projeté Projeté Primes uniques UNIT CREDIT COST (UC) PROJECTED UNIT CREDIT COST (PUC) Primes constantes INDIVIDUAL LEVEL PREMIUM (ILP) PROJECTED INDIVIDUAL LEVEL PREMIUM (PILP) Primes constantes avec séparation des services passés initiaux INDIVIDUAL WITH SUPPLEMENTAL LIABILITIES (ISL) ENTRY AGE NORMAL (EA) PROJECTED INDIVIDUAL SUPPLEMENTAL LIABILITIES (PISL) PROJECTED ENTRY AGE NORMAL (PEA) INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 92 En vue de comparer les différentes méthodes, nous les appliquerons sur un plan de pension standard; il s'agit d'un régime visant à octroyer pour une carrière de 40 ans une pension correspondant à 50 % du dernier salaire d'activité, payable à partir de 60 ans. Pour chaque affilié au régime, il y a lieu de disposer à 60 ans d'une réserve donnée par : ( ) 60 60 a 60 S % 50 40 N V ⋅ = où N = durée de carrière prise en compte (N ≤ 40). S (60) = dernier salaire d'activité a 60 = prix de rente à 60 ans ( ) ( ) ∑ ω = − − + + = 60 x 60 x 60 x 60 x i 1 k 1 l l où { } x l est la table de mortalité ; i est le taux d'actualisation k est le taux d'indexation de la rente (la rente de retraite étant supposée sur une seule tête; ce coefficient sera dans la suite un simple facteur multiplicatif). 5.2. UNIT CREDIT COST On considère un affilié entré en service et affilié en t = 0 à l'âge x 0 . On a en résumé le schéma suivant sur l'échelle du temps : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 93 t = 0 t T x 0 x x r = 60 affiliation instant quelconque retraite de calcul L’objectif de la méthode est, compte tenu des données observées en un instant quelconque de calcul, de détenir la réserve permettant de servir en totalité à la retraite les prestations correspondantes aux années déjà prestées. Cette philosophie de financement est sous tendue par l’idée que chaque année prestée donne droit à une fraction complémentaire de l'engagement. Le but est donc d'avoir à tout instant t en termes de passif actuariel : ( ) x x 60 60 t E a t S % 50 40 1 t AL − ⋅ ⋅ + = Le coût normal est le montant nécessaire pour faire passer le montant de réserve du niveau AL t au niveau 1 t AL + ( cotisation supposée payable anticipativement) . La première année, la méthode donne l’initialisation suivante : ( ) 0 0 x x 60 60 0 E a 0 S % 50 40 1 NC − ⋅ ⋅ = Ensuite par récurrence, il vient : 1 t NC + = normal cost à payer en t + 1 = ( ) 1 x 1 x 60 60 E a 1 t S % 50 40 2 t + − − ⋅ + + INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 94 - ( ) x 1 x x 60 60 E E a t S % 50 40 1 t | ¹ | \ | ⋅ + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 60 60 E a t S 1 t S % 50 40 1 t 1 t S % 50 40 1 + − − ( ( ( ¸ ( ¸ − + + + + 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 coût de l'année revalorisation du passé Ce montant va donc croître en cours de carrière pour deux raisons : croissance du prix du différé et terme de revalorisation du passé à croissance linéaire. L’initialisation de cette méthode lors de l’affiliation au plan est modifiée substantiellement lorsqu’il y a reconnaissance d’années de service antérieures à l’affiliation. 1° si comme supposé ci-avant il n’y a pas reconnaissance d’années antérieures à l’affiliation la durée totale de la carrière est donnée par : 0 r x x T N − = = Le premier normal cost correspond alors simplement au financement d’une année de service et est donné par : ( ) 0 0 x x 60 60 0 E a 0 S % 50 40 1 NC − ⋅ ⋅ = 2° s’il y a reconnaissance d’années de service antérieures à l’affiliation la méthode va induire un financement initial important correspondant au rattrapage intégral de ces années. Ce financement initial est appelé back service initial. En notant N 1 le nombre d’années reconnues antérieurement à l’affiliation ( par exemple N 1 = x 0 – x e où x e est l’âge d’entrée en service dans l’entreprise) la INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 95 durée totale de la carrière est donnée par : N = N 1 + T= (x 0 – x e ) + ( x r – x 0 ). Dans ce cas le premier normal cost outre le financement de l’année en cours doit également prendre en charge en totalité le poids du passé : ( ) 0 0 x x 60 60 1 0 E a 0 S % 50 40 1 N NC − ⋅ ⋅ + = De la même manière les normal cost ultérieurs deviennent : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 60 60 1 1 t E a )) t ( S ) 1 t ( S %( 50 40 N t S 1 t S % 50 40 1 t 1 t S % 50 40 1 NC + − − + ( ( ( ¸ ( ¸ − + + − + + + + = 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 4 4 3 4 4 2 1 Ces cotisations sont formées de trois composantes : - le coût de l’année - la revalorisation des services reconnus depuis l’affiliation - la revalorisation des services reconnus antérieurs à l’affiliation La reconnaissance de services antérieurs à l’affiliation a donc des effets de propagation dans le financement tout au long de la carrière et pas seulement à l’affiliation. 5.3.PROJECTED UNIT CREDIT Le principe est identique à celui de la méthode Unit Credit mais pour éviter au maximum l'effet du terme de revalorisation, on travaille avec des salaires projetés. Le salaire à l’instant t de calcul S(t) est remplacé par un estimateur du salaire final, par exemple : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 96 ( ) ( ) ( ) 1 x 60 g 1 t S t S − − ∗ + ⋅ = La variation de ce salaire projeté d'une année à l'autre est alors donné par : ( ) ( ) ( ) 1 x 60 g 1 t S t S − − ∗ + ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 60 r 2 x 60 2 x 60 g 1 t g 1 t S g 1 t S 1 t S t S g 1 1 t S 1 t S − − − − − − ∗ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + = + où g r (t) est le taux de progression réel des salaires. Finalement : ( ) ( ) ( ) g 1 t g 1 t S 1 t S r + + ⋅ = + ∗ ∗ Les deux estimateurs projetés coïncident si le taux de progression réel correspond aux hypothèses a priori. En appliquant à ces salaires projetés la technique unit credit sans reconnaissance de services antérieurs à l’affiliation il vient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 60 60 r 1 x 1 x 60 60 * 1 t E a g 1 g t g t S % 50 40 1 t 1 t S % 50 40 1 E a t S 1 t S % 50 40 1 t 1 t S % 50 40 1 NC + − − ∗ ∗ + − − ∗ ∗ + ⋅ ( ¸ ( ¸ + − ⋅ + + + = ⋅ ⋅ ( ¸ ( ¸ − + + + + = Le second terme de revalorisation est nul lorsque la réalité suit les hypothèses. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 97 D’une manière analogue lorsqu’il y a reconnaissance de services passés initiaux la formule générale du normal cost devient : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 60 60 r 1 1 t E a g 1 g t g t S % 50 40 1 t N 1 t S % 50 40 1 NC + − − ∗ ∗ + ⋅ ( ¸ ( ¸ + − ⋅ + + + + = 5.4. INDIVIDUAL LEVEL PREMIUM L’objectif de la méthode est de déterminer une cotisation qui, toutes autres choses étant égales, restera constante jusqu'à l'âge de la retraite. Le point de focalisation n'est plus sur le passif actuariel comme en Unit Credit mais sur le financement et sa stabilité. La première cotisation, supposée payable annuellement par anticipation, sera donnée par le principe d'équivalence actuarielle : valeur actuelle de cotisations constantes sur la carrière valeur actuelle des engagements L’initialisation de la méthode se fait donc de la manière suivante : ( ) 0 0 0 x 60 , 0 x x 60 60 x 0 E a 0 S % 50 40 N a NC − ⋅ = ⋅ − & & ( ) 0 x 60 , 0 0 0 x x x 60 60 0 a E a 0 S % 50 40 N NC − − = & & C'est le prix d'un capital différé à primes annuelles constantes de capital égal au capital constitutif de la promesse de pension : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 98 ( ) 0 x 60 , 0 0 0 x x x 60 60 0 a E a 0 S % 50 40 N NC − − ( ¸ ( ¸ ⋅ = & & Cette prime restera constante tant que le capital assuré restera constant, c'est-à- dire tant que le salaire restera constant. En pratique, les augmentations annuelles de salaire vont obliger à assurer des compléments de capital et donc payer des compléments de prime. Ainsi, si en t = 1, le salaire passe de S(0) à S(1), on aura : 1 0 1 NC NC NC ∆ + = où ∆ 1 NC est la prime annuelle constante à payer à partir de l'âge x 0 + 1, pour assurer un capital égal à : ( ) ( ) ( ) 60 a 0 S 1 S % 50 40 N − On a donc : ( ) 1 x 60 , 1 x 1 x 1 x 60 60 1 0 0 0 0 a E a 1 S % 50 40 N NC − − + + − − ⋅ ( ¸ ( ¸ ∆ = ∆ & & D'une manière générale, la prime se calculera par récurrence : 1 t t 1 t NC NC NC + + ∆ + = où ( ) 1 t x 60 , 1 t x 1 t x 1 t x 60 60 1 t 0 0 0 0 a E a 1 t S % 50 40 N NC − − − + + + + − − − + ⋅ ( ¸ ( ¸ + ∆ = ∆ & & INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 99 Ces compléments de prime deviennent de plus en plus coûteux par un double effet : actualisation sur une période plus courte et répartition sur un nombre plus réduit de versements. Ainsi ce que l'on espérait voir rester constant au départ ne le reste plus du tout a posteriori du fait des écarts de salaires. Il y a enfin lieu de noter que cette méthode peut s’appliquer indistinctement qu’il y ait ou non reconnaissance de services passés initiaux. Lorsqu’on désire financer de manière séparée les services passés il y a lieu de faire appel à la méthode Individual with supplemental liability 5.5. INDIVIDUAL WITH SUPPLEMENTAL LIABILITY Lorsqu’il y a reconnaissance de services passes initiaux ceux-ci peuvent faire l’objet d’un financement séparé ; la méthode individual with supplemental liability consiste à décomposer le financement total du plan en deux parties : - la partie des engagements relatifs aux services passés initiaux est financée en unit credit cost ; - le solde des engagements financés est financé en individual level premium. Concrètement on calcule les engagements initiaux relatifs aux services avant affiliation : ( ) 60 1 1 a 0 S % 50 40 N K ⋅ = Le normal cost de la méthode chaque année est alors celui obtenu en individual level premium ,après avoir soustrait le montant fixe K 1 des engagements totaux : ( ) 0 x 60 , 0 0 0 x x x 60 1 60 0 a E K a 0 S % 50 40 N NC − − ( ¸ ( ¸ − ⋅ = & & INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 100 Les normal cost ultérieurs se calculant à l’aide des mêmes formules de récurrence : 1 t t 1 t NC NC NC + + ∆ + = avec : ( ) 1 t x 60 , 1 t x 1 t x 1 t x 60 60 1 t 0 0 0 0 a E a 1 t S % 50 40 N NC − − − + + + + − − − + ⋅ ( ¸ ( ¸ + ∆ = ∆ & & D’autre part le montant K 1 doit bien sûr faire l’objet d’un financement complémentaire donné en unit credit par la prime unique initiale suivante qui viendra s’ajouter la première année au normal cost 0 NC : ( ) 0 0 x x 60 60 1 E a 0 S % 50 40 N ) 0 ( ADJ − ⋅ ⋅ = ) 0 ( ADJ NC ) 0 ( C 0 + = Remarquons que le coût initial d’ajustement ADJ(0) peut également être étalé sur plusieurs années ( par exemple sur une durée fixe de 5 ans). 5.6. PROJECTED INDIVIDUAL LEVEL PREMIUM Le principe est identique à celui de la méthode individual level premium mais pour éviter les augmentations de cotisation en cours de carrière, on travaille avec des salaires projetés. Comme dans la méthode projected unit credit on substitue au salaire S, un salaire projeté S* donné par exemple par : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 101 ( ) ( ) ( ) 1 x 60 g 1 t S t S − − ∗ + ⋅ = Si la croissance réelle suit l'hypothèse, les primes obtenues seront cette fois constantes. Sinon, il conviendra d'assurer un complément de capital donné par : 1 t x 60 , 1 t x 1 t x 1 t x 60 60 1 t 0 0 0 0 a E a )) t ( * S ) 1 t ( * S ( % 50 40 N NC − − − + + + + − − − + ⋅ ( ¸ ( ¸ − + = ∆ & & Remarquons que la méthode conduit généralement à des cotisations particulièrement élevées les premières années compte tenu de l’anticipation de l’inflation future sur toute la carrière ( préfinancement très important). En particulier le taux de cotisation ( rapport entre le normal cost et le salaire) sera décroissant dans le temps. On peut également dans cette méthode financer de manière séparée les services passés initiaux ; la méthode est identique à celle de l’individual with supplemental liability si ce n’est que tous les éléments sont projetés. 5.7. PROJECTED INDIVIDUAL LEVEL PERCENT L’objectif est similaire à celui de la méthode projected individual level premium mais cette fois la stabilité du financement est recherchée non pas en absolu mais en pourcentage des salaires. La méthode vise donc à définir un taux de cotisation sur salaire le plus stable possible tout au long de la carrière et ce individu par individu. Il s’agit de ce fait d’une méthode projetée. Le taux de cotisation être obtenu par la relation d'équivalence actuarielle : valeur actuelle des cotisations à taux constant = valeur actuelle des engagements projetés INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 102 Donc : ( ) ( ) ( ) ∑ − − = + ⋅ + ⋅ τ 1 x 60 0 n x n n n 0 0 p i 1 1 g 1 0 S = ( )( ) 0 0 0 x x 60 60 x 1 60 E a g 1 0 S % 50 40 N − − − ⋅ ⋅ + Le taux de cotisation est donné par : ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x n n n 1 x 60 0 n x x 60 60 x 60 p i 1 1 g 1 ) g 1 ( 0 S E a . g 1 0 S % 50 40 N ⋅ + + + ⋅ + = τ ∑ − − = − − La première prime est donnée par : ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x n n n 1 x 60 0 n x 60 x 60 0 p i 1 1 g 1 ) g 1 ( E a . g 1 0 S % 50 40 N 0 S NC ⋅ + + + ⋅ + = ⋅ τ = ∑ − − = − Posons j 1 1 i 1 g 1 + = + + (j = taux d'intérêt réel) On a alors : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 103 ( ) ( ) ( ) a ) g 1 ( j x 60 x j x x 60 60 0 0 , 0 0 0 E a . 0 S % 50 40 N NC & & + − − ⋅ = où les éléments actuariels ( ) ( ) j j a et E & & sont calculés au taux d'intérêt réel . Cette formule est donc similaire à celle du normal cost en individual level premium si ce n’est l’utilisation d’un taux réel dans les facteurs d’actualisation. 5 8. ENTRY AGE La méthode individual level premium occasionne de par les augmentations de salaires successives des compléments de cotisation ; ces compléments sont de plus en plus onéreux du fait de la croissance du taux de prime . L’idée de la méthode entry age est de faire fi de ce vieillissement et de continuer à appliquer obstinément dans le calcul des normal cost successifs le prix initial du différé à l’âge à l’entrée. Cette erreur conduit bien sûr à mettre en évidence un déficit ( unfunded accrued liability) qu’il conviendra d’amortir par une cotisation d’ajustement venant s’ajouter au normal cost. Il s'agit donc à nouveau d'une variante de la méthode individual level premium qui peut s’utiliser avec ou sans projection. Nous développerons ci-dessous la méthode sans projection Nous supposerons ici en toute généralité que l’âge d’entrée est différent de l’âge d’affiliation, ce qui occasionnera dès le début du financement un déficit : y x x r = 60 âge entrée âge en service d'affiliation INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 104 La première cotisation est donnée par : - en individual level classique : ( ) ( ) 60 0 x 60 , x x x 60 0 1 0 a 0 S % 50 40 N C où a E C NC ⋅ = ⋅ = − − & & - en entry age : ( ) y 60 , y y y 60 0 2 0 a E C NC − − ⋅ = & & On a bien sûr ( ) ( ) 1 0 2 0 NC NC 〈 Le paiement de ce montant constant ( ) 2 0 NC entre l’âge d’affiliation et l'âge de la retraite provoque donc un déficit initial donné par : 0 UL = unfunded liability = valeur actuelle des engagements - valeur actuelle des versements futurs ( ) x 60 , x 2 0 x x 60 0 a NC E C − − ⋅ − ⋅ = & & x 60 , x y 60 , y y y 60 0 x x 60 0 a a E C E C − − − − ⋅ ⋅ − ⋅ = & & & & | | | ¹ | \ | ⋅ ⋅ − = − − − − y 60 , y x 60 , x y y 60 x x 60 0 a a E E C & & & & INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 105 ( ¸ ( ¸ − ⋅ ⋅ ⋅ = − − − − − − x 60 , x y 60 , y y y 60 x x 60 y y 60 y 60 , y 0 a a E E E a C & & & & & & ( ) ( ( ¸ ( ¸ − ⋅ = − − − x 60 , x y 60 , y y y x 2 0 a a E 1 NC & & & & ( ) y x , y y y x 2 0 a E NC − − = & & C'est la réserve qui aurait été accumulée à l'âge x s'il y avait eu versement de primes constantes ( ) 2 NC depuis l'âge d’entrée y. Ce déficit UL 0 est amorti soit en une fois soit en m versements égaux ( par exemple sur 5 ans) : ( ) 0 UL 0 ADJ = ou ( ) m , 0 x 0 a UL 0 ADJ & & = La cotisation totale en Entry age est : ( ) ( ) 0 ADJ NC ) 0 ( C 2 0 + = Les années suivantes, les augmentations de salaires provoquent à nouveau des déficits qu'il faut amortir. A l'instant t + 1, le normal cost est : ( ) y 60 , y y y 60 60 1 t a E a 1 t S % 50 40 N NC − − + ⋅ | | ¹ | \ | + = & & INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 106 Le prix du différé est toujours à l'âge à l'entrée y. Le passage de t NC à 1 t NC + crée un nouveau déficit donné par : y 1 t x , y y y 1 t x 1 t 1 t a E NC UL + + + − + + + + ∆ = ∆ & & La méthode provoque donc une accumulation d'amortissement de déficits. On peut d’autre part montrer sans difficulté que lorsque les déficits successifs sont amortis en versements constants sur la durée restant à courir jusqu’à l’âge de la retraite la méthode entry age est identique à la méthode individual level premium. En pratique la logique de la méthode conduit à amortir les déficits sur une période plus courte ( par exemple 5 ans) , ce qui conduit donc à un financement plus important en début de carrière. 5.9. PRERETRAITE ET ANTICIPATION ACTUARIELLE Une des possibilités souvent offerte dans les plans de pension est de partir de manière anticipée et d’obtenir directement une prestation dès l’âge de départ. Il s’agit là d’un phénomène particulièrement présent en Europe ( l’âge effectif de fin de carrière professionnelle étant dans de nombreux pays largement inférieur à l’âge légal de la retraite). L’impact en termes financiers est considérable puisqu’il y a à la fois réduction du nombre de cotisations et accroissement de la durée de prestation. Les systèmes légaux de retraite organisent généralement des mécanismes de pénalités, des coefficients réducteurs venant diminuer la rente payée. Ces réductions souvent jugées excessives par les bénéficiaires sont pourtant souvent totalement insuffisantes actuariellement. A titre d’exemple considérons un régime octroyant à 65 ans pour une durée complète de carrière fixée à 45 ans une rente de retraite correspondant à 20% INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 107 du dernier salaire. En cas de départ anticipé on applique souvent une réduction linéaire sur les prestations : -soit en jouant simplement sur le nombre d’années valorisées : - départ à 65 ans : rente = S % 20 45 45 -départ à 60 ans : rente = S % 20 45 40 et donc une réduction des prestations de 11%. -soit en appliquant une réduction forfaitaire par année d’anticipation ; par exemple réduction de 5% par année ( 25% pour 5 ans d’anticipation). Ces réductions sont souvent jugées excessives par le bénéficiaire. Mais sont-elles suffisantes d’un point de vue actuariel ? L’exemple suivant de calcul en capitalisation permet d’en douter et illustre l’importance des pénalisations qu’il faudrait techniquement appliquer pour que les anticipations soient neutres au niveau du coût du plan de pension. Exemple de calcul d’anticipation : Hypothèses - pension unitaire à partir de 65 ans - financement de 20 à 65 ans par méthode Unit Credit Cost - pas de mortalité jusque 65 ans - prix de rente : annuité certaine jusqu’à l’âge fixe de décès fixé à 80 ans - taux d'actualisation : 4 % Le calcul de la rente acquise à 60 ans est alors donné par : - Réserve constituée à 60 ans : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 108 65 5 60 a x 04 , 1 1 x 45 40 V & & + | ¹ | \ | = -Conversion de cette réserve en rente à 60 ans : 60 60 a k V & & = où k sera le coefficient de réduction à appliquer. Donc : 60 65 5 a k a 04 , 1 1 45 40 & & & & = | ¹ | \ | + 60 65 5 a a 04 , 1 1 45 40 k & & & & + | ¹ | \ | = D'une manière générale, s'il y a anticipation de n année, le coefficient devient : ( ) n 65 65 n a a 04 , 1 1 45 n 45 n k − | ¹ | \ | − = & & & & Ainsi pour une anticipation de 5 ans et un taux d’actualisation de 4 % on a : ( ) 543613 , 0 444735 , 0 x 8219 , 0 x 45 40 v 1 v 1 04 , 1 1 45 40 a a 04 , 1 1 45 40 5 k 20 15 5 60 65 5 = | | ¹ | \ | − − | ¹ | \ | = ⋅ | ¹ | \ | = & & & & = 0,888 x 0,8219 x 0,81811 = 0,5971 soit une réduction de 40% très largement supérieure aux réductions traditionnellement rencontrées. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 109 L’importance de cette pénalité est liée à la juxtaposition de trois effets de réduction induits par le coefficient k (n) : - le premier terme 45 n 45 − illustre le fait qu’il manque n cotisations ; - le second terme n 04 , 1 1 | ¹ | \ | illustre le fait que le capital constitutif doit être disponible n années plus tôt que prévu ; - le troisième terme n 65 65 a a − & & & & illustre le fait qu’il faudra payer plus d’arrérages de rente que prévu. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 110 CHAPITRE 6 : METHODES DE CAPITALISATION COLLECTIVE 6.1. PRINCIPES GENERAUX DE LA CAPITALISATION COLLECTIVE Comme au chapitre 5 on considère un engagement de pension à prestations définies, organisé au sein d’un second pilier mais cette fois financé par capitalisation collective. Il n’y a donc plus d’individualisation des éléments de réserve et de contributions mais une vision globale au niveau du collectif ; le financement se fait de manière solidaire au sein de celui-ci sans qu’il n’y ait recherche d’équilibre pour chaque individu. L’objectif principal des méthodes de capitalisation collective est de dégager un financement global du plan qui respecte une certaine stabilité dans le temps ; on désire par exemple que le taux de cotisation encore appelé taux de dotation et défini comme le rapport entre les cotisations totales à verser chaque année et la masse salariale soit le plus constant possible dans le temps. Cette considération conduit à ce que les principales méthodes de capitalisation collective utilisées en pratique sont des méthodes de type projetées. Au sein de ces techniques collectives on peut distinguer deux grandes philosophies : -les méthodes de nivellement -les méthodes de capitalisation collective intégrale. Les méthodes de nivellement consistent à travailler en deux étapes : on calcule d’abord les charges prévisionnelles du plan sur un horizon de temps défini par utilisation d’une méthode de capitalisation individuelle ; dans un deuxième INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 111 temps on nivelle les charges globales ainsi mises en évidence. Les méthodes de capitalisation collective intégrale au contraire ne s’appuient pas sur une méthode individuelle mais projettent directement l’ensemble du collectif. Au sein de cette famille, la distinction entre les grandes méthodes tient surtout à la façon de financer les services passés initiaux à la création du plan. Comme en capitalisation individuelle, certaines méthodes financent de manière séparée ces services passés initiaux ; le tableau ci-dessous synthétise ces différents cas : Projeté Montants constants AGGREGATE COST (AGC) Montants constants avec séparation des services passés initiaux ATTAINED AGE NORMAL ( services passés valorisés en unit credit) ( AAN) FROZEN INITIAL LIABILITY (services passés valorisés en entry age) (FIL) En vue d’illustrer ces diverses techniques nous envisagerons le plan de retraite standard déjà étudié et prévoyant à partir de 60 ans une pension correspondant à 50% du dernier salaire annuel d’activité pour une carrière complète de 40 ans. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 112 6.2. TECHNIQUE DE NIVELLEMENT ET FONDS DE FINANCEMENT Les techniques de nivellement se basent sur une architecture du financement du plan de retraite à 2 étages : -étage 1 : application d’une méthode donnée de capitalisation individuelle avec comptes individuels -étage 2 : nivellement des charges globales résultant de l’étage 1 et alimentation d’un fonds de nivellement appelé aussi fonds de financement La procédure de calcul comprend trois étapes : 1 ère étape : application de la méthode choisie de capitalisation individuelle pour la première année 2 ème étape : projection sur un nombre fixé d’années des primes individuelles à l'aide : → d'hypothèses financières : - croissance des salaires - taux d'actualisation → d'hypothèses démographiques : - sorties (décès, démission, retraite) - entrées : éventuels remplaçants 3 ème étape : nivellement de ces charges. L’exemple suivant décrit la procédure pour le plan de pension standard considéré : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 113 Rente = 40 N 50 % S final à 60 ans - soit ℑ = { 1, 2, …., K } l'ensemble des affiliés présents en t = 0 - on suppose qu'il n'y a pas revalorisation de services passés - on choisit comme méthode individuelle de base l'UNIT CREDIT COST - on note : - j x = âge initial en t = 0 de l'individu j - ( )= 0 S j salaire initial de l'individu j 1 ère étape - calcul des primes individuelles de première année : ( ) = 0 p j prime de l'individu j en t = 0 ( ) ( ) j j x x 60 60 j j E a 0 S % 50 40 1 0 p − ⋅ ⋅ = coût total : ( ) ( ) ∑ = ℑ ε j j 0 p 0 P 2 ème étape - projection sur T années (en général T entre 10 et 20 ans) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x t x 60 60 j j j j j j E a 1 t * S t * S % 50 40 t t * S % 50 40 1 t * p + − − ⋅ ⋅ ( ¸ ( ¸ − − + = si 60 t x j < + = 0 si 60 t x j ≥ + (on fait ici l'hypothèse d'absence de remplaçants). Pour le traitement projeté S j (t) on peut par exemple utiliser une croissance géométrique : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 114 ( ) ( ) ( ) t j j g 1 0 S t * S + ⋅ = 3 ème étape - nivellement sur les T années Remplacer le vecteur de primes variables par un financement stable en pourcentage de la masse salariale. Pour un fonds de nivellement initial nul (F(0) = 0), le taux de nivellement τ sera solution de l'équation d'équivalence actuarielle : ( ) ( ) j j x t x 1 T 0 t j t j i 1 1 t * p l l + − = ℑ ε ⋅ + ⋅ ∑ ∑ = ( ) ( ) j j x t x 1 T 0 t j t j i 1 1 t * S l l + − = ℑ ε ⋅ + ⋅ ⋅ τ ∑ ∑ Le taux τ ne dépend : - ni du temps (exigence de stabilité temporelle) - ni des individus (étage de capitalisation collective) La solution est donc : ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j x t x t 1 T 0 t j j x t x t 1 T 0 t j j i 1 1 t * S i 1 1 t * p l l l l + − = ℑ ε + − = ℑ ε + + = τ ∑ ∑ ∑ ∑ qu'on note parfois en abrégé : PVFS PVFP = τ où PVFP = present value of future premiums PVFS = present value of future salaries Si le fonds F(0) initial est non nul, il suffit de le retrancher de la PVFP : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 115 ( ) PVFS 0 F PVFP− = τ Une fois le taux de dotation calculé, on peut calculer la dotation ( ≡ le coût à payer au plan) : ( ) ( ) ∑ ⋅ τ = ℑ ε j j 0 S 0 D Ce versement D(0) est comparé au montant P(0) nécessaire à l'alimentation des contrats individuels : → si D(0) < P (0) : la méthode ne peut être utilisée → si D(0) > P(0) : le solde D(0) - P(0) alimente le fonds de nivellement : F(0 + ) = D(0) - P(0) L'année suivante, le fonds est devenu avant financement : F(1 - ) = F (0 + ) . (1 + i) = ( D(0) - P(0) ) (1 + i) et après versement en t = 1 : F(1 + ) = F(1 - ) + D(1) - P(1) D'une manière générale, on a : ( ) ( ) ∑ ⋅ τ = t S t D j F(t - ) = F (t - 1 + ) . (1 + i) F(t + ) = F (t - ) + D(t) - P(t) INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 116 Si la réalité suit les hypothèses, le fonds F est nul au terme de la période. Les avantages et inconvénients de la méthode peuvent être synthétisés ainsi : Avantages de la méthode de nivellement La méthode combine les caractéristiques de la capitalisation individuelle et de la capitalisation collective : → comme en capitalisation individuelle : il y a mise en évidence claire des réserves individu par individu ("transparence des droits acquis"). → comme en capitalisation collective : il y a recherche d'une stabilité collective du financement au plan. Inconvénients de la méthode de nivellement La méthode nécessite à la fois : - un double calcul (calculs de primes individuelles et d'un taux collectif) - une double gestion (contrats individuels et fonds de nivellement). 6.3. AGGREGATE COST METHOD L’aggregate cost method est une véritable méthode de capitalisation collective visant à obtenir sur une population donnée un financement stable en pourcentage de la masse salariale, sur la durée de vie des affiliés au plan. Par rapport à la méthode de nivellement : 1) il n'y a plus 2 niveaux mais uniquement un seul étage, le niveau collectif 2) la projection se fait sur la durée de vie et non pas sur une période fixe pour tous. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 117 Considérons à nouveau le plan prévoyant une rente de retraite de : final S % 50 40 N RR= à 60 ans - soit ℑ = { 1, 2, …, K } l'ensemble des affiliés présents en t = 0 - pour chaque individu, on effectue 2 projections : a) projection des prestations : B j (0) = prestation projetée de l'individu j estimée à l'instant 0 = ( ) ( ) 1 x 60 j j j g 1 0 S % 50 40 N − − + ⋅ b) projection des salaires : ( ) = ∗ t S j salaire projeté en t de l'individu j ( ) ( ) t j g 1 0 S + ⋅ = On détermine alors deux aggrégats : 1) l'aggrégat des prestations : PVFB = present value of future benefits ( ) ∑ ⋅ ⋅ = ℑ ε − j x x 60 60 j j j E a 0 B 2) l'aggrégat des salaires : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 118 ( ) j j x t j 1 x 60 0 t j E t S PVFS ⋅ = ∑ ∑ ℑ ε − − = ∗ On calcule enfin le taux de dotation par équivalence actuarielle entre l'aggrégat des prestations et l'aggrégat des cotisations : ( ) ∑ ℑ ε − ⋅ ⋅ j x x 60 60 j j j E a 0 B = ( ) j j x t j 1 x 60 0 t j E t S ⋅ ⋅ τ ∑ ∑ ℑ ε − − = ∗ et donc : ( ) ( ) PVFS PVFB E t S E a 0 B j j j j x t j 1 x 60 0 t j x x 60 60 j j = ⋅ ⋅ ⋅ = τ ∗ − − = ℑ ε − ℑ ε ∑ ∑ ∑ Il est intéressant de comparer cette formule du taux de dotation avec la formule du taux obtenu dans la méthode de nivellement : par exemple les dénominateurs représentent tous deux une somme de valeurs actuelles de salaires futurs mais l’ordre des signes de sommation est inversé : - en nivellement on travaille sur une période fixe de temps et ensuite on observe durant cette période les individus présents ; - en aggregate cost on travaille avec une génération d’individu et ensuite on observe chaque individu jusqu’ à son âge de retraite. Dans le cas où le fonds initial est non nul, il suffit de le retirer de la PVFB : ( ) PVFS 0 F PVFB− = τ Une fois le taux calculé, la charge de première année est : ( ) ( ) ( ) ∑ ⋅ τ = = ℑ ε j j 0 S 0 NC 0 D Cette dotation alimente le fonds collectif (il n'y a plus de contrats ou de INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 119 comptes individuels); ce fonds collectif reçoit de l'intérêt et sert à payer directement les prestations. D'une manière générale, le fonds collectif obéit à la relation de récurrence : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) t B i 1 1 t D 1 t F t F t − + ⋅ − + − = où D(t - 1) = dotation payée au fonds i t = taux de rendement observé du fonds B(t) = prestations payées par le fonds Si la réalité suit exactement les hypothèses le taux τ pourra rester constant. En pratique, il y aura des écarts et le taux est régulièrement recalculé par la formule : ( ) ( ) ( ) ( ) t PVFS t F t PVFB t − = τ où -F(t) = avoir réel du fonds à l'instant t -PVFS(t) = valeur actuelle à l'instant t des salaires futurs (postérieurs à l'instant t) ( ) t x s j 1 t x 60 0 s j j j E s S ) t ( PVFS + ℑ ε − − − = ∗ ⋅ = ∑ ∑ avec : ( ) ( ) t s j j g 1 t S ) s ( * S − + ⋅ = -PVFB(t) =valeur actuelle à l'instant t des prestations postérieures à t donné par : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 120 ( ) ∑ ℑ ε + − − ⋅ ⋅ = j t x t x 60 60 j j j E a t B ) t ( PVFB avec : ( ) ( ) 1 t x 60 j j j j g 1 t S % 50 40 N ) t ( B − − − + ⋅ = Comme dans le cas du nivellement, la méthode peut parfois conduire à des valeurs négatives du fonds en cours de projection et devoir donc de ce fait être rejetée comme l’illustre le cas simple suivant : CONTREXEMPLE SIMPLE : - 2 affiliés présents en t = 0 : j = 1 : x 1 = 60 entrée en service : 25 ans j = 2 : x 2 = 40 entrée en service : 25 ans - Plan prévoyant à 65 ans un capital unique égal à : final S 5 x 40 N où N est compté depuis l'entrée en service. - Hypothèses financières et démographiques : - salaire unitaire pour tous - ni inflation ni mortalité - actualisation au taux zéro L'application de l'aggregate cost donne alors : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 121 - Taux de dotation : 3 1 25 5 5 x 2 = + = τ - Dotation : D = 3 2 Cette dotation reste constante durant 5 ans. En t = 5, le fonds a un avoir égal à : ( ) 3 10 3 2 x 5 5 F = = ce qui est insuffisant pour payer la prestation de l'individu 1 : ( ) 3 5 5 3 10 5 F − = − = + La méthode ne peut donc être appliquée. Remarquons qu'en terme d'équilibre final, on retrouve en fin de parcours le montant nécessaire : ( ) ( ) 5 3 15 3 20 3 5 3 1 x 20 5 F 25 F = = + − = + = + c'est-à-dire de quoi payer le second capital. La méthode doit néanmoins être rejetée dans ce cas car le fonds est passé par une valeur négative. On assiste en fait ici à un cas simple de transfert intergénérationnel de charges. Comme illustré dans ce calcul la raison de ce déséquilibre est à trouver dans le financement des services passés initiaux, reconnus par le plan mais non provisionnés à l’origine ; l’aggregate dilue ce financement sur la durée de carrière résiduelle moyenne du groupe et n’induit donc pas une vitesse INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 122 suffisante d’alimentation. En vue d’éviter ce type de problème, des variantes de l’aggregate peuvent être élaborées visant à traiter de manière autonome ce problème de reconnaissance de services non financés. 6.4. ATTAINED AGE NORMAL Dans cette variante de l’aggregate cost on maintient l’idée de niveler au mieux les charges futures projetées mais tout en évitant simultanément les problèmes de fonds insuffisant. Dans cette perspective le financement des services passés initiaux n ‘est plus intégré dans le calcul du taux d'aggregate mais fait l'objet d'un amortissement séparé et accéléré. La valorisation de ces services passés se fait à l’aide de la méthode unit credit et fait l’objet d’un financement complémentaire soit en une fois soit amorti sur un nombre fixé d’années. L’exemple suivant illustre le processus. Exemple : Considérons le plan suivant : ans 60 à S % 50 40 N RR final = où N est compté depuis l'entrée en service. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 123 1 ère étape : On calcule la prime unique globale qui couvre pour tous les affiliés les services passés initiaux : ( ) ( ) j j x x 60 60 j j j 1 E a 0 S % 50 40 N 0 UL − ℑ ε ⋅ ⋅ = ∑ où j 1 N = durée de service pour l'individu j entre l'entrée en service et la création du plan. Ce montant est au départ non financé. 2 ème étape : On calcule un taux d'aggregate en ne tenant pas compte de cet engagement : ( ) PVFS 0 UL PVFB− = τ Le coût normal est donné comme en aggregate par: ( ) ( ) ∑ ⋅ τ = ℑ ε j j 0 S 0 NC 3 ème étape : Un financement complémentaire doit être prévu pour amortir la dette UL(0). Par exemple, un financement en m années : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 124 ( ) ( ) m a 0 UL 0 ADJ & & = La dotation totale est alors : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ + ⋅ τ = + = ℑ ε j m j a 0 UL 0 S 0 ADJ 0 NC 0 D & & EXEMPLE Reprenons le contrexemple de l’aggregate cost , traité cette fois en attained age et montrons que cette fois il n’y a plus de problème de fonds négatif. L'application de l'attained age donne cette fois : - prime unique initiale : UL(0) = (35/40+15/40)5 = 6,25 (supposée payée en une fois initialement) - Taux de dotation : 125 , 0 25 5 25 , 6 5 x 2 = + − = τ - Dotation : D = 0,125 x 2 = 0.25 Cette dotation reste constante durant 5 ans. En t = 5, le fonds a un avoir égal à : ( ) 5 , 7 4 1 x 5 25 , 6 5 F = + = ce qui est à présent suffisant pour payer en t=5 la prestation de 5. Au terme on aura : ( ) 5 8 1 x 20 5 5 , 7 25 F = + − = ce qui permet de payer la dernière prestation. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 125 La méthode peut donc être appliquée cette fois. 6.5. FROZEN INITIAL LIABILITY La méthode est similaire à l’attained age normal ; les services passés initiaux font l’objet d’un financement autonome et ne sont plus intégrés dans le calcul du taux d’aggregate. La valorisation de ces services passés se fait ici à l’aide de la méthode entry age. En reprenant l’exemple développé ci-avant, il suffit d’y remplacer la valeur de l’engagement initial non financé UL (0) par : ( ) ( ) j j j j j j j j j j y y x I y x , y I y 60 , y y y 60 60 j j j E ä ä E a 0 S % 50 40 N 0 UL − − − − ℑ ε ⋅ ⋅ = ∑ où : - y j représente l’âge à l’entrée pour l’affilié j - x j représente l’âge à l’affiliation pour l’affilié j - N j représente la durée totale de service entre l’entrée en service et la retraite - S j (0) représente le salaire initial à l’affiliation. Ce montant représente la somme des réserves individuelles qui auraient été accumulées dans le plan, s’il y avait eu pour chaque participant paiement d’une cotisation nivelée depuis son âge à l’entrée jusqu’à l’affiliation en t=0 sur base des prestations connues à l’affiliation. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 126 TROISIEME PARTIE LES REGIMES EN REPARTITION CHAPITRE 7 : TECHNIQUES DE NIVELLEMENT 7.1. PRINCIPE GENERAL L'application stricte de la méthode de répartition pure peut conduire, dans le cadre d'un plan à prestations définies, à des variations importantes de charges d'une année à l'autre. Il est donc naturel d'envisager d'en lisser les effets : c'est précisément l'objectif des méthodes de nivellement et d'égalisation. Ces techniques, qui viennent se superposer à une méthode de financement, en vue d'en égaliser les effets, peuvent s'appliquer d'une manière très générale à toute méthode; nous en illustrons ici l'application à la répartition pure, dans le cadre de la gestion de régimes de sécurité sociale. Cette méthode est parfois aussi appelée « méthode de la prime échelonnée » et est utilisée notamment au Maroc dans les régimes de sécurité sociale ( CMR / CNSS). Le principe de nivellement repose sur deux outils : → le lissage conduisant à substituer à une charge irrégulière, une charge stable en absolu ou en relatif (le plus souvent, la stabilité est exprimée en terme de INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 127 taux de cotisation sur salaire) → un fonds jouant le rôle de "chambre de compensation". Il y a lieu de noter que plusieurs pays ont ces dernières années utilisé ce principe de fonds de nivellement de charges futures (par exemple en Belgique, le "Fonds argenté") dans la gestion de leur premier pilier. La technique trouve en effet tout particulièrement à s'appliquer lorsque les projections de charges futures montrent une croissance attendue très forte de cotisations futures; les évolutions démographiques auxquelles sont soumis nos régimes de sécurité sociale, dans les prochaines décennies, ne font que justifier l'appel à semblable technique. 7.2. LA METHODE DE NIVELLEMENT DES CHARGES On considère un régime en prestations définies financé en répartition pure. On projette en t = 0 l'évolution future des recettes et dépenses du régime, sur base d'hypothèses démographiques et financières, et ce pour une durée fixée . On note : - S (s) (s = 0, 1,…, N - 1) la masse salariale à l'instant soumise à cotisation - B (s) (s = 0, 1,…, N - 1) les prestations totales à payer l'année s - π R (s) = le taux de cotisation en répartition donné par : ( ) ( ) ) s ( S s B s R = π INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 128 On désire substituer au vecteur de cotisation variable (π R (0), π R (1)…, π R (N-1) ) un vecteur de cotisation contant ( ) π π π ... , . On applique pour ce le principe d'équivalence actuariel entre les deux vecteurs de cotisation : ( ) ( ) ( ) t 1 N 0 t R t 1 N 0 t v t S t v t S ⋅ ⋅ π = ⋅ ⋅ π ∑ ∑ − = − = ou ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − = π = π 1 N 0 t t t 1 N 0 t R v t S v t S t Le taux nivelé est donc la moyenne pondérée des taux par les masses salariales actualisées. En notant D N (s) la cotisation à verser pour la méthode de nivellement, on a : ( ) ( ) s S s D N ⋅ π = La différence entre cette dotation et la cotisation en répartition pure destinée à payer les prestations, alimente un fonds appelé fonds de nivellement dont l'évolution est donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 S 0 0 F R ⋅ π − π = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 S 1 i 1 0 F 1 F R ⋅ π − π + + ⋅ = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 129 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 N k 1 ( k S k i 1 1 k F k F R − ≤ ≤ ⋅ π − π + + ⋅ − = Au terme de la période de nivellement (k = N), ce fonds de nivellement est nul : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ¸ ( ¸ + ∑ π − | | ¹ | \ | ∑ + ⋅ π ⋅ + = + ∑ π − | | ¹ | \ | ∑ + ⋅ π = + ⋅ π − π + + + ⋅ − ⋅ − π − π = − − = − = − − − = − = − j 1 N 0 j R 1 N 0 j j N j N 1 N 0 j R 1 N 0 j j N N R R i 1 j S j i 1 j S i 1 i 1 j S j i 1 j S i 1 0 S 0 .... i 1 1 N S . 1 N N F = 0 par définition de π . Lorsque le vecteur de charge ( ) ( ) ( ) ( ) 1 N ..., 1 , 0 R R R − π π π est quelconque, le fonds de nivellement peut devenir négatif, et la méthode ne peut s'appliquer. Il y a donc lieu de vérifier cet élément avant d'appliquer la méthode. Il en va ainsi lorsque le taux initial des cotisations croît avec le temps : ( ) ( ) ( ) 1 N ..., 1 0 R R R − π 〈 π 〈 π C'est évidemment le cas standard où la méthode trouve toute sa raison d'être : l'application d'un taux nivelé π (avec ( ) ( ) 1 N 0 R R − π 〈 π 〈 π ) conduit à payer plus les premières années pour éviter de devoir payer trop les années suivantes. Considérons, à titre d'exemple dans ce cadre, le cas où la masse salariale et les charges de pension sont en progression géométrique, les charges croissant plus rapidement que les salaires : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 130 ( ) ( ) ( ) ( ) t 0 t 0 r 1 S t S k 1 B t B + ⋅ = + ⋅ = avec 1 r 1 k 1 g 1 et S B 0 0 0 > + + = + = π ( ) ( ) ( ) ( ) t 0 t 0 0 R g 1 r 1 k 1 S B t S t B t donc et + π = | | ¹ | \ | + + = = π Les taux de cotisations sont donc en progression géométrique et sont croissants. Le nivellement va donc fournir de bons résultats. Le taux nivelé est donné par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b 1 b 1 a 1 a 1 i 1 r 1 i 1 k 1 i 1 1 r 1 S i 1 1 r 1 S g 1 N N 0 1 N 0 t t t 1 N 0 t 0 1 N 0 t t t 0 1 N 0 t t t 0 t 0 − − − − ⋅ π = | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + + ⋅ π = | | ¹ | \ | + + | | ¹ | \ | + ⋅ + ⋅ + π = π ∑ ∑ ∑ ∑ − = − = − = − = i 1 r 1 b i 1 k 1 a où + + = + + = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 131 EXEMPLE : Prenons π 0 = 0,20 S 0 = 100 k = 5 % r = 3 % i = 6 % et considérons un nivellement sur 10 ans. On s'intéresse à l'évolution du régime les 20 prochaines années. 1) Taux nivelé sur la période [ 0; 10 ] : ( ) ( ) ( ) ( ) 2174 , 0 b 1 b 1 a 1 a 1 20 , 0 10 10 0 = − − − − ⋅ = π 2) Evolution des cotisations et du fonds sur [ 0; 10 ] : Taux de cotisation original en répartition Taux de cotisation nivelé Fonds de nivellement t = 0 20,0 % 21,74 % 1,74 1 20,4 % 21,74 % 3,22 2 20,8 % 21,74 % 4,42 3 21,2 % 21,74 % 5,27 4 21,6 % 21,74 % 5,74 5 22,0 % 21,74 % 5,78 6 22,4 % 21,74 % 5,34 7 22,9 % 21,74 % 4,24 INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 132 8 23,3 % 21,74 % 2,51 9 23,8 % 21,74 % 0 10 24,2 % Au début de l'année 10 : - le fonds de nivellement est nul (fin de la première période de nivellement) - le taux en répartition pure est de 24,2 %. 3) Taux nivelé sur la période [ 10, 20 ] : ( ) ( ) ( ) ( ) 2631 , 0 b 1 b 1 a 1 a 1 242 , 0 10 10 10 = − − − − ⋅ = π La méthode de nivellement ainsi appliquée conduit donc à la fin de la période de référence du nivellement, à une croissance très importante du taux (de 21,74 % à 26,31 %) alors que son objectif premier était de stabiliser les charges. Le fait de travailler avec une période fixe de 10 ans est évidemment responsable de ce phénomène. 7.3. LA METHODE D'EGALISATION DES CHARGES En vue d'éviter le problème de discontinuité à la fin de la période de nivellement, la méthode d'égalisation des charges consiste, chaque année à l'occasion du calcul du taux nivelé, à déplacer progressivement l'horizon de projection afin de conserver une vision sur une période fixe de N années futures. Le processus de nivellement est ainsi rendu dynamique. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 133 La première année, la méthode est identique à la méthode de nivellement : ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = − = π = π 1 N 0 t t 1 N 0 t t R 0 v t S v t S t Le fonds à la fin de la première année est donné par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i 1 0 S 0 1 F R 0 + ⋅ ⋅ π − π = − On applique alors le principe d'équivalence actuarielle sur la période "décalée" [ 1, N+ 1 ] : Valeur actuelle des cotisations nivelées + Fonds = Valeur actuelle des cotisations en répartition C’est-à-dire : ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = − − − ⋅ π ⋅ = + ⋅ π N 1 t N 1 t 1 t R 1 t 1 v t t S 1 F v t S ou ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = − = − − − π = π N 1 t 1 t N 1 t 1 t R 1 v t S 1 F v t S t INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 134 D'une manière générale, on a la k ième année : ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − + = − − + = − − − π = π 1 k N k t k t 1 k N k t k t R k v t S k F v t S t avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) i 1 1 k S 1 k 1 k F k F R 1 k + − − π − π + − = − − − REMARQUE Outre l'avantage de déplacer progressivement l'horizon de projection - évitant ainsi une discontinuité brusque - la méthode permet également en cours de projection de capturer les modifications éventuelles d'hypothèses, par rapport aux hypothèses initiales faites en t = 0 (par exemple, modification en cours de route du taux de capitalisation du fonds). EXEMPLE : En reprenant les hypothèses précédentes, il vient : - première année : t = 0 : 2174 , 0 = π (même taux qu'en nivellement) - deuxième année : t = 1 : ( ) 844 , 1 06 , 1 x 74 , 1 1 F = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2196 , 0 i 1 r 1 100 844 , 1 i 1 k 1 20 10 1 t 1 t t 10 1 t 1 t t 1 = ∑ + + ∑ − + + = π = − = − INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 135 CHAPITRE 8 : REGIMES DE REPARTITION PAR POINTS 8.1. REPARTITION ET CONTRIBUTIONS DEFINIES La plupart des régimes financés par répartition sont de type "prestations définies". Mais rien n'empêche de concevoir des régimes en répartition construits dans une optique de contributions définies. Il faut dans ce cas définir en fonction des cotisations versées le niveau des prestations à octroyer. Dans une technique de capitalisation individuelle pure, cette liaison est naturelle : les prestations sont générées par la valeur accumulée des cotisations durant la vie active. Une telle relation semble plus difficile dans une philosophie de répartition compte tenu de son aspect d'instantanéité. La technique de répartition par points introduite dans certains régimes de retraite en France (régimes complémentaires pour salariés et cadres) a été historiquement parmi les premiers système de ce type visant en une accumulation virtuelle sous forme de points. Plus récemment le système dit des comptes notionnels a inspiré les régimes de sécurité sociale de plusieurs pays. Ce système sera présenté au chapitre 9. 8.2. LA TECHNIQUE DES POINTS DE RETRAITE On suppose un régime prévoyant une cotisation fixe en pourcentage du salaire pris en considération; il peut s'agir du salaire complet ou d'une tranche de INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 136 salaire comprise entre deux plafonds définis. Chaque année, le versement par l'affilié de sa cotisation lui donne droit à un certain nombre de points de retraite. Le nombre de points est donné par le rapport entre la cotisation versée et un salaire de référence identique pour tous, appelé prix d'acquisition du point. Ce système est utilisé notamment au Maroc par la CIMR ( Caisse Interprofessionnelle Marocaine des retraites). En notant : - S (i) (t) : le salaire de référence en t de l'individu i. - π : le taux de cotisation fixe au régime - S r (t) : le prix du point en t - n (i) (t) : le nombre de points acquis l'année t, on a : ( ) ( ) ( ) ( ) t S t S t n r ) i ( i ⋅ π = (6.1) A l'âge de la retraite, l'affilié a ainsi acquis un nombre total de points égal à : ( ) ( ) ( ) ( ) t n i i 1 i t ) i ( t t 2 1 ∑ ∑ = − = où t 1 (i) est l'instant d'affiliation au plan de l'individu i t 2 (i) est l'instant de retraite de l'individu i. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 137 A partir de l'instant t 2 (i) une prestation de retraite notée P i (t) pourra être versée l'année t à l'individu i, selon la formule : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ≥ ⋅ Ρ = Ρ i 2 i i t t t V t où VP(t) est la valeur du point de retraite en t. La valeur du point de retraite VP(t) est fixée de telle manière à respecter au niveau de l'ensemble du régime le principe d'équilibre actuariel. Il y a donc lieu, comme dans un système classique de répartition, d'égaliser à tout instant, cotisations perçues et pensions payées. Les cotisations perçues l'instant t sont données par : ( ) ( ) ∑ π i i t S où la sommation porte sur tous les individus i actifs à l'instant t et cotisant au régime. Les prestations à verser l'instant t sont données par : ( ) ( ) ∑ ∑ ⋅ Ρ j j t V où la sommation porte sur tous les individus j retraités à l'instant t. La valeur du point est donc donnée par : ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ π = Ρ j j i i t S t V (6.4) INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 138 On peut obtenir une formule plus explicite de cette valeur si on suppose un salaire moyen constant pour tous les individus. ( ) ( ) ( ) t s t S i = = salaire uniforme en t. On a alors en suivant les notations du chapitre 3 : Cotisations perçues en t : ( ) ( ) ∑ − = ⋅ ⋅ π 1 x x x r 1 t , x L t s Dépenses de pension en t : ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ + − Ρ ω = r x x r r x x t , x t , x L t V où ∑ + − ) x x t , x ( r r est la somme des points accumulés à la retraite à l'âge x r pour la génération partie à la retraite à la date t - x + x r . ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ − = + − + − ⋅ π = + − 1 x x y r r r r 1 y x t S y x t s x x t , x Il vient donc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ω = − = + − ⋅ ⋅ π = Ρ r r 1 x x r r 1 x x x x x t , x t , x L t , x L t s t V INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 139 REMARQUE : Compte tenu de son caractère virtuel, la méthode permet d'octroyer des points complémentaires pour des périodes antérieures à l'affiliation mais reconnues dans le cadre du plan de retraite. Ce problème se pose notamment lorsqu'on instaure un plan (problème de la première génération); on peut dans ce cas tant pour les actifs que les retraités à l'instant initial, reconstituer des salaires et donc des points, même s'il s'agit de périodes non cotisées. On retrouve ici la force de la répartition qui permet directement d'octroyer des prestations d'un niveau cohérent, y compris dans la phase de démarrage du régime. 8.3. RENDEMENT D'UN REGIME DE REPARTITION PAR POINTS En vue de mesurer la performance d'un régime de répartition par point, on peut introduire une notion de rendement. On définira le rendement comme le montant de retraite acquis en contrepartie d'une cotisation contractuelle unitaire payée la même année. Une contribution unitaire à l'instant t donnera droit par définition à ( ) t S 1 r points, et la retraite correspondante sera donnée par : ( ) ( ) ( ) t S 1 t V t r r ⋅ Ρ = Le rendement ainsi défini se présente donc comme le rapport entre la valeur du point et le prix d'acquisition du point. En se plaçant dans l'hypothèse d'un salaire uniforme précisément égal au salaire de référence, les formules permettent d'obtenir le rendement : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 140 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t V Q x x 1 t r t , x L x x t , x L x x t , x L t , x L x x t , x t , x L t , x L t S t V t r 1 r x x 1 r 1 x x x x x 1 r 1 x x x x x r r 1 x x x r r r 1 r r 1 r r 1 − = ∑ − ∑ = ∑ − π ⋅ ∑ ⋅ π = ∑ ∑ + − ∑ ⋅ π = Ρ = ω = − = ω = − = ω = − = Le rendement du régime est donc de nature purement démographique, inversement proportionnel au quotient de vieillesse.En particulier pour une population stationnaire, ce rendement est constant. Le tableau ci-dessous donne pour diverses valeurs du quotient de vieillesse et pour une durée de carrière de 40 ans, les valeurs correspondantes du rendement : QV Rendement 0,30 8,33 % 0,40 6,25 % 0,50 5,00 % 0,60 4,17 % INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 141 CHAPITRE 9 : SYSTÈME DES COMPTES NOTIONNELS 9.1.. INTRODUCTION Une autre alternative récente dans le cadre de régimes en répartition est celle des comptes notionnels. Il s'agit de régimes, qui, bien que fonctionnant au niveau du financement en répartition, visent, au niveau des prestations à dupliquer un régime en contributions définies par capitalisation. Un certain nombre de pays se sont engagés ces dernières années dans cette voie; citons l'Italie, la Pologne ou encore la Suède. Il s’agit de l’avis de beaucoup d’experts d’un système prometteur pour l’avenir des régimes de sécurité sociale. Il est à l’étude dans de nombreux pays. 9.2. PRINCIPES DE FONCTIONNEMENT : Plutôt que de déterminer, comme dans un régime classique de répartition en prestations définies, les prestations en fonction du salaire final ou d'une moyenne de salaires, on se base ici sur une équivalence actuarielle entre cotisations versées durant la période d'activité et pensions versées à partir de l'âge de la retraite, afin de déterminer les prestations à verser. Ce calcul se fait bien entendu individu par individu. Tout se passe donc comme si chaque affilié disposait d'un compte d'épargne, transformé à l'âge de la retraite en rente. Bien sûr, ces comptes sont virtuels et ne servent que d'intermédiaire de calcul; nous sommes bien ici en répartition, en principe sans vraie réserve ( ni INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 142 individuelle ni collective). L'objectif de la méthode est à la fois l'équilibre actuariel et l'équité; chacun recevant une prestation basée sur son propre apport financier au régime. Au niveau d’un individu i, la pension de retraite à verser à partir de l’âge x r , notée ) x ( P r ) i ( et supposée indexée annuellement ensuite d’un facteur (1+g) est solution de l’équation d’équivalence actuarielle suivante exprimée à l’âge de la retraite : ( ) ( ) ( )| ¹ | \ | + π ⋅ π = ⋅ − = − = ∑ j 1 x x j 1 x x x i x r ) i ( r 1 x S a ) x ( P r r 1 r & & où : ( ) ( ) ( ) x ; x p i 1 g 1 a r x x x x x x x r r r r ∑ ω = − − + + = & & avec g = taux de revalorisation annuel de la rente ( ) ( ) x S i : salaire de l'individu i à l'âge x π : taux de cotisation ( système en contributions définies) r j : taux de capitalisation virtuel entre l’âge j et l’âge j+1 Il y a donc équivalence entre : - le capital constitutif à l’âge de la retraite d’une rente indexée de montant initial ) x ( P r ) i ( ; - l’épargne fictive accumulée à l’âge de la retraite par capitalisation de toutes les cotisations INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 143 Elle peut également se mettre sous la forme simplifiée : C . G ) x ( P r ) i ( = où : r x ä 1 G = est appelé coefficient de conversion ; C = capital virtuel accumulé à l’âge de la retraite. L’objectif est donc de définir des prestations plus équitables au niveau individuel (au sens que chacun obtient du régime ce qu’il y a versé) tout en préservant la dynamique de la répartition. On remarquera également que le coefficient de conversion G dépend de probabilité de survie estimée à l’âge de la retraite (le calcul de conversion se faisant à cet âge) ; ce coefficient est donc amené à évoluer génération après génération. La méthode induit ainsi naturellement une prise en compte d’un des deux risques démographiques mis en évidence précédemment : le risque de longévité, et ce contrairement à la technique de répartition par points présentée précédemment. En particulier si le taux de revalorisation g est égal au taux d’actualisation i , le coefficient de conversion est égal à l’inverse de l’espérance de vie à l’âge de la retraite. 9.3.. COMPTES NOTIONNELS ET PRESTATIONS DEFINIES En réalité, la technique des comptes notionnels, sous une apparence de contributions définies, conduit à un système de type prestations définies tenant compte des salaires de l’ensemble de la carrière (système de type moyenne de carrière indexée). En effet dans un système de type prestations définies sur moyenne de carrière revalorisées la prestation de pension d’un individu i peut s’écrire : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 144 ∑ − = − α = 1 x x x ) i ( 1 r r ) i ( r 1 ) x ( S ) x x ( ) x ( P g(x) où : - g(x) est la fonction de revalorisation des salaires entre l’âge x et la retraite, - α est le pourcentage accordé par le régime. D’autre part, la formule des comptes notionnels conduit à la prestation de pension : ∑ ∏ − = − = + π = 1 x x x 1 x x j j ) i ( x r ) i ( r 1 r r )) r 1 ( ( ) x ( S ä 1 ) x ( P L’équivalence entre les deux expressions se fait naturellement en posant : - fonction de revalorisation des salaires : ∏ − = + = 1 x x j j r ) r 1 ( ) x ( g -pourcentage accordé par le régime : ) x x ( G ä ) x x ( 1 r x 1 r r − π = − π = α Ainsi un système de comptes notionnels correspond à un système de prestations définies sur moyenne de salaires revalorisées où : - la fonction de revalorisation est construite à partir des taux de capitalisation virtuelle ; - le taux de prestation est le produit du taux de cotisation, du coefficient de conversion et de la durée complète de carrière. En particulier dans les systèmes de comptes notionnels où le taux de capitalisation virtuelle est lié à la progression des salaires ( ce qui est le cas par exemple en Suède) on obtient une fonction de revalorisation classique basée sur un indice d’évolution salariale. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 145 Si le système des comptes notionnels peut donc apparaître comme une autre façon de formuler un régime en prestations définies en moyenne de carrière, on notera néanmoins le caractère adaptatif de la technique : alors que dans un régime classique en prestations définies, le pourcentage α accordé par le régime est un paramètre exogène et fixe du système ( sa remise en cause ne manquant pas de provoquer la colère des affiliés), en comptes notionnels ce coefficient tiendra compte au travers du coefficient de conversion G , de l’évolution de l’espérance de vie. 9.4. COMPTES NOTIONNELS ET ANTICIPATION ACTUARIELLE : Un autre avantage de la technique de comptes notionnels est sa neutralité actuarielle en cas d’anticipation ou d’ajournement de l’âge de la retraite (… ce qui n’est pratiquement jamais le cas des régimes classiques en prestations définies). En effet, la formule de calcul de la prestation notionnelle, exprimée sous l’hypothèse d’un départ à l’âge légal de la retraite x r , trouve aussi bien à s’appliquer à un autre âge effectif de prise de la pension. Si l’affilié prend sa retraite à un autre âge noté x* ( avec x*<x r en cas d’anticipation et x*>x r en cas d’ajournement), le principe d’égalité des cotisations et des dépenses s’exprime à cet âge et la formule devient : ( ) ( ) ( ) | ¹ | \ | + π ⋅ π = ⋅ − = − = ∑ j 1 * x x j 1 * x x x i * x ) i ( r 1 x S a ) * x ( P 1 & & En notant C le capital virtuel accumulé à l’âge effectif de prise de la pension, on a donc : C ä 1 *) x ( P * x ) i ( = INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 146 Par rapport à une liquidation à l’âge normal de la retraite il y a donc application d’un coefficient correcteur : C G *) x ( P * x ) i ( β = avec : * x x * x ä ä r = β Le coefficient de correction sur la formule des prestations pour tenir compte d’un âge effectif de départ différent de l’âge légal de la retraite s’exprime donc sous la forme d’un rapport d’annuités. En particulier : -en cas d’anticipation (x* < x r ) : 1 * x < β : la prestation est réduite actuariellement ; - en cas d’ajournement (x* > x r ) : 1 * x > β : la prestation est majorée ( incitation directe à différer la prise de pension). Cette correction automatique dans ce cadre notionnel est beaucoup plus problématique dans les régimes classiques en prestations définies : - alors que la pénalité est implicite en notionnel, elle doit être explicitée dans un régime en prestations définies et peut donc être perçue de manière très négative pour les affiliés ; -la pénalité utilisée est souvent de forme linéaire ( réduction du taux α au prorata du nombre d’années d’affiliation par rapport au nombre d’années théoriques jusqu ‘à l’âge de la retraite) ; on peut montrer que généralement cette pénalité est largement insuffisante par rapport à la pénalité actuarielle développée ci-dessus ; -peu d’incitants existent en cas d’ajournement de la retraite ;le coefficient α est rarement revu à la hausse. Cette neutralité actuarielle du phénomène d’anticipation dans les régimes en comptes notionnels en constitue certainement un des atouts majeurs à la INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 147 lumière notamment des deux éléments suivants : - 1°) l’importance actuelle des pensions prises de manière anticipée par rapport aux âges légaux de retraite ; ainsi une partie importante des dérives de coût constatées dans des régimes de sécurité sociale proviennent de conditions d’anticipation trop généreuses ; -2°) l’intérêt pour le futur d’inciter l’individu à différer librement sa prise de retraite, et ce indépendamment de mesures obligatoires plus contraignantes de relèvement de l’âge légal de retraite ; il faut alors que le régime traite de manière équitable ces ajournements volontaires de retraite. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 148 TITRE 2 : Le décès CHAPITRE 10 : ASSURANCES DECES en prestations définies 10.1.INTRODUCTION : Un plan de prévoyance prévoit généralement à côté de la couverture retraite une assurance décès pour les héritiers de l’affilié en cas de décès de celui-ci. Le décès peut avoir lieu avant ou après l’âge de la retraite. Les couvertures sont généralement différentes dans ces 2 cas et nous les traiterons successivement. D’autre part, comme déjà souligné dans la première partie, il y a lieu de distinguer les régimes en prestations définies et les régimes en contributions définies. Ce chapitre 10 sera consacré aux couvertures décès dans un plan à prestations définies. Les 2 premiers paragraphes concernent les couvertures décès avant l’âge de la retraite ; la section 10.4 sera consacrée à la couverture en cas de décès après l’âge de la retraite. 10.2. TYPES DE PRESTATIONS ET BENEFICIAIRES : Lorsqu’on veut dans un plan à prestations définies ( c’est à dire un plan où l’on décide d’abord des prestations) mettre en place des couvertures en cas de décès avant l’âge de la retraite, on envisage généralement les possibilités suivantes : - un capital décès payé une fois au moment du décès et défini généralement en pourcentage du salaire au moment du décès ( par exemple 3 fois le salaire annuel) ; INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 149 - une rente viagère ou temporaire au profit du conjoint survivant, exprimée généralement en pourcentage de la rente de retraite prévue ( par exemple 50% de la rente de retraite définie dans le plan retraite). - une rente temporaire d’orphelin payable aux enfants jusqu’à un certain âge ( par exemple 21 ans) . 10.3. FINANCEMENT : D’une manière générale, le financement de ces couvertures décès peut se faire soit en assurances temporaires de durée 1 an soit en assurance temporaire nivelée. Nous développons ci dessous les formules de tarification d’une part pour une assurance d’un capital, d’autre part pour une rente au profit du conjoint survivant. Nous noterons dans tout ce chapitre : x= âge initial de l’affilié lors de l’affiliation au plan y= âge initial du conjoint n= durée totale d’affiliation t= le temps courant ( 0 < t < n) 10.3.1. Financement d’un capital décès : A titre d’exemple supposons que le plan prévoit en cas de décès avant retraite un capital donné par : ) t ( S 3 ) t ( CD = où S(t) représente le salaire annuel au moment du décès. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 150 1° cas : financement par assurance temporaire décès un an ( AT 1 an) : Dans ce cas, chaque année on paie une prime de risque représentant exactement le risque de décès sur un an. La cotisation décès de l’année t ( hors frais) sera alors donnée par : 2 / 1 t x v q ) t ( CD ) t ( + = π 2° cas : financement par assurance nivelée : La première année on calcule une prime annuelle sur toute la durée : n , x 1 n x a A ) 0 ( CD ) 0 ( = π Où : ∑ − = + + = 1 n 0 j 2 / 1 j j x x j 1 n x v q p A Ensuite les années suivantes on calcule des compléments de prime annuelle en cas d’augmentation du capital décès. Ainsi en t=1 on aura : 1 n , 1 x 1 1 n , 1 x a A )) 0 ( CD ) 1 ( CD ( ) 0 ( ) 1 ( − + − + − + π = π D’une manière générale : t n , t x 1 t n , t x a A )) 1 t ( CD ) t ( CD ( ) 1 t ( ) t ( − + − + − − + − π = π INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 151 10.3.2. Financement d’une rente en cas de décès : A titre d’exemple considérons un plan retraite qui prévoit à l’âge de 65 ans une rente de retraite donnée par la formule : ) t ( S % 50 40 N ) t ( RR = Le plan de prévoyance prévoit par ailleurs une rente en cas de décès payable viagèrement au profit du conjoint survivant et correspondant à la moitié de cette rente ( on dit alors que la rente de retraite est réversible à 50% ) : ) t ( S % 25 40 N ) t ( RR % 50 ) t ( RD = = On peut à nouveau financer cet avantage décès soit en temporaire annuelle soit en temporaire nivelée : 1° cas : financement par assurance temporaire décès un an ( AT 1 an) : La cotisation décès à payer l’année t est donnée par : 2 / 1 t x 2 / 1 t y v q a ) t ( RD ) t ( + + + = π 2° cas : financement par assurance nivelée : La première année on calcule une prime annuelle sur toute la durée ; le cas est plus complexe que pour une assurance décès classique : en effet le capital décès à prévoir chaque année est cette fois variable car il correspond à un capital constitutif d’une rente à l’âge atteint. On a dans ce cas une formule du type : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 152 n , x 1 n 0 j 2 / 1 j j x x j 2 / 1 j y a v q p a ) 0 ( RD ) 0 ( ∑ − = + + + + = π Ensuite, les années ultérieures la prime se calcule de manière récurrente : t n , t x 1 t n 0 j 2 / 1 j j t x t x j 2 / 1 j t y a v q p a )) 1 t ( RD ) t ( RD ( ) 1 t ( ) t ( − + − − = + + + + + + + ∑ − − + − π = π Remarque : correction d’âge : Pour toutes ces opérations, pour le calcul de l’âge de la seconde tête y , parfois on utilise l’âge exact du conjoint ; parfois, on travaille avec l’hypothèse d’âges égaux entre les conjoints ( x=y). 10.3. 3. Financement d’une rente temporaire d’orphelin : Une rente temporaire d’orphelin est de la même nature qu’une rente en cas de décès ; la seule différence est qu’il s’agit d’une rente temporaire et non pas viagère comme c’est généralement le cas pour le conjoint survivant. Par exemple la rente est payée au maximum jusqu’à la majorité de l’enfant. Le financement se fait par assurance temporaire un an Il suffit alors de remplacer dans la formule correspondante l’annuité viagère sur la tête y par une annuité temporaire : 2 / 1 t x 2 / 1 t n , 2 / 1 t y v q a ) t ( RTO ) t ( + − − + + = π où RTO(t) est la rente d’orphelin à assurer l’année t. Remarquons que parfois, compte tenu souvent de leur faible niveau, ces rentes temporaires d’orphelins font l’objet d’une tarification globale ; plutôt que de prendre en compte l’âge de chaque affilié et l’âge de chacun des enfants à couvrir, on utilise des âges moyens appliqués indistinctement à toute la population. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 153 On suppose alors dans la formule de la cotisation ci dessus par exemple x+t=35, y+t+1/2= 10 et n-t-1/2=11 10.4. COUVERTURE DU DECES APRES LA RETRAITE : Lorsqu’on veut aussi accorder des prestations en cas de décès après l’âge de la retraite, on ne peut évidemment poursuivre le paiement d’une assurance décès une fois le travailleur parti à la retraite. On intègre alors dans la prestation à assurer à l’âge de la retraite une partie réversion destinée à financer cette couverture. Implicitement, une partie de la couverture retraite est donc destinée à financer ce risque de décès après la retraite. Des modalités particulières existent selon que le plan retraite de base est exprimé en rente ou en capital. 10.4.1. Plan retraite en capital : Considérons par exemple un plan retraite en capital prévoyant à 65 ans un capital retraite multiple du salaire final ; on peut alors modifier le coefficient multiplicateur du salaire en fonction de l’état civil pour donner un capital plus élevé pour les affiliés mariés ( « capital pour 2 personnes » ) ; par exemple, un capital retraite donné par la formule : es célibatair affiliés les pour ) t ( S 3 40 N ) t ( CR mariés affiliés les pour ) t ( S 5 40 N ) t ( CR = = 10.4.2. Plan retraite en rente : Dans le cas où le plan retraite prévoit une rente de retraite, l’ajout d’une couverture décès après la retraite se fait par une réversion de la rente. Considérons à titre d’exemple un plan retraite prévoyant à l’âge de la retraite une rente correspondant à 50% du dernier salaire au profit de l’affilié. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 154 On suppose au surplus que le plan prévoit une réversion de cette rente à hauteur de 2/3 au profit du conjoint. Sans la réversion, le capital constitutif à assurer à l’âge de la retraite x r dans le plan retraite s’élève à : r x a ) t ( S % 50 40 N ) t ( CR = En ajoutant la réversion, on a : )) a a ( 3 / 2 a ( ) t ( S % 50 40 N ) t ( CR r r r r y x y x − + = avec : t t y t x t y x v p p a r r r r ∑ = ( rente sur 2 têtes) Notons que le terme ) a a ( r r r y x y − est appelé rente de survie. Le financement de ce capital retraite majoré CR se fait alors selon les techniques de financement de la retraite vues au titre 1. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 155 CHAPITRE 11 : ASSURANCES DECES en contributions définies 11.1. INTRODUCTION : Lorsque le plan retraite est de type contributions définies, deux possibilités se présentent pour adjoindre une couverture décès : par intégration dans la contribution définie ou par ajout d’un plan décès autonome ( formule parfois appelée plan combiné). Nous étudierons ci dessous successivement ces 2 possibilités ; nous terminerons comme au chapitre 10 par le cas du décès après retraite. 11.2. DECES INTEGRE DANS LA CONTRIBUTION DEFINIE : Dans ce cas la contribution définie fixée par le plan servira aussi bien à constituer des prestations à la retraite que des prestations en cas de décès avant retraite. Plutôt que d’être portée dans une combinaison d’assurance de type capital différé sans remboursement, les contributions sont versées dans une combinaison d’assurance comprenant du décès. Bien entendu, les prestations retraite dans ce cas seront moindres puisque amputées du coût de cette couverture décès. En vue de se fixer les idées, considérons un plan en contributions définies égal à 5% du salaire : ) t ( S % 5 ) t ( = π 11.2.1. Plan sans garantie décès ( assurances de capitaux différés) : En l’absence de couverture décès, ces primes sont portées en capital différé dans remboursement. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 156 Ainsi en travaillant en primes constantes, le capital assuré la première année d’affiliation sera donné par : x n n x x n n x E a ) 0 ( S % 5 E a ) 0 ( ) 0 ( CR = π = Les années suivantes, en fonction de l’évolution des salaires, la contribution évoluera et donnera naissance à un capital retraite donné récursivement par : t x t n t n t x E a )) 1 t ( ) t ( ( ) 1 t ( CR ) t ( CR + − − + − π − π + − = Si le plan de retraite est exprimé en rente, il vient successivement pour la rente assurée : première année : x n n x n x x n n x n x E a a ) 0 ( S % 5 E a a ) 0 ( ) 0 ( RR + + = π = années ultérieures : t x t n n x t n t x E a a )) 1 t ( ) t ( ( ) 1 t ( RR ) t ( RR + − + − + − π − π + − = 11.2.2. Plan en capital avec garantie décès ( assurances mixtes de capitaux) : Dans ce cas la contribution est portée dans une assurance de capitaux de genre mixte qui prévoit un certain rapport entre le capital décès à payer en cas de décès avant la retraite et le capital vie à payer à l’âge de la retraite. On parle d’une assurance mixte de capital 10/X ( 10= capital décès ; X= capital retraite) . Parfois le plan offre le choix à l’affilié de la combinaison ou propose des combinaisons en fonction de son état civil et de ses charges de familles. Par exemple : - mixte 10/20 pour célibataires - mixte 10/10 pour mariés sans enfants - mixte 10/5 pour mariés avec enfant INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 157 En reprenant le cas d’un plan en contributions définies de 5% du salaire, on a la première année : - capital décès de première année : x n 1 n x n x E 10 / X A a ) 0 ( ) 0 ( CD + π = - capital retraite de première année : ) 0 ( CD 10 X ) 0 ( CR = Ensuite de manière récurrente, on a pour l ‘année t : t x t n 1 t n t x t n t x E 10 / X A a )) 1 t ( ) t ( ( ) 1 t ( CD ) t ( CD + − − + − + + − π − π + − = ) t ( CD 10 X ) t ( CR = 11.2.3. Plan en rente avec garantie décès (assurances mixtes de rente): On peut également porter les contributions définies dans une opération de rente prévoyant une rente de retraite à l’âge de la retraite et une rente décès en cas de décès avant l’âge de la retraite. On parle alors d’une assurance mixte de rente. Il y a lieu de fixer dans ce cas un taux de réversion R donnant le pourcentage de réversion au décès ( par exemple rente de retraite réversible à 2/3 en cas de décès , R= 2/3). Les rentes assurées la première année d’affiliation sont données par : rente de retraite initiale : ∑ − = + + + + + + π = 1 n 0 j 2 / 1 j j x x j 2 / 1 j y x n n x n x v q p a R E a a ) 0 ( ) 0 ( RR rente décès assurée en cas de décès la première année : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 158 )) 0 ( RR ( R ) 0 ( RD = Ensuite de manière récurrente, on a pour l ‘année t : rente de retraite assurée en t : ∑ − − = + + + + + + + + − + − + + − π − π + − = 1 t n 0 j 2 / 1 j j t x t x j 2 / 1 j t y t x t n n x t n t x v q p a R E a a )) 1 t ( ) t ( ( ) 1 t ( RR ) t ( RR rente décès assurée en cas de décès entre t et t+1 : )) t ( RR ( R ) t ( RD = 11.3. DECES NON INTEGRE DANS LA CONTRIBUTION DEFINIE : Il s’agit d’une formule mélangeant la logique des contributions définies pour la retraite et celle des prestations définies pour le décès. On parle de « plan combiné ». La cotisation de base en contributions définies est totalement affectée au plan retraite comme décrit au paragraphe 11.2.1. En plus de cette cotisation retraite, le plan prévoit une cotisation décès complémentaire permettant d’assurer un certain niveau de prestations décès ( soit un capital soit une rente) . A titre d’exemple considérons le plan suivant : - cotisation retraite : 5% des salaires - plan décès : capital décès égal à 3 fois le salaire annuel. Ce capital décès doit alors être financé comme décrit au paragraphe 10.3.1. du chapitre 10. Ainsi si le financement se fait par assurance temporaire décès un an, la cotisation totale à payer au plan sera donnée chaque année par : INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 159 2 / 1 t x v q ) t ( S 3 ) t ( S % 5 ) t ( + + = π 11.4. DECES APRES LA RETRAITE : Comme dans le cas des prestations définies, on peut tenir compte de couvertures décès après la retraite. Considérons à titre d’exemple le cas d’un plan de retraite exprimé en rente. Si le plan prévoit uniquement une réversion de la rente après la retraite, les formules du paragraphe 11.2.1. sont à adapter en intégrant dans le prix de rente une réversion d’un niveau R fixé (même philosophie qu’au paragraphe 10.4.2) : première année : x n n y n x n y n x n x E )) a a ( R a ( a ) 0 ( ) 0 ( RR + + + + − + π = années ultérieures : t x t n n y n x n y n x t n t x E )) a a ( R a ( a )) 1 t ( ) t ( ( ) 1 t ( RR ) t ( RR + − + + + + − + − + − π − π + − = Le plan peut aussi prévoir que la rente est réversible en cas de décès aussi bien avant qu’après l’âge de la retraite. Il vient alors pour la rente de retraite par exemple la première année : ∑ − = + + + + + + + + + − + π = 1 n 0 j 2 / 1 j j x x j 2 / 1 j y x n n y n x n y n x n x v q p a R E )) a a ( R a ( a ) 0 ( ) 0 ( RR La rente décès avant ou après la retraite étant donnée par l’application du coefficient de réversion R sur la rente de retraite ainsi déterminée. INSEA Prévoyance et assurance de groupe Devolder 2009 160 ANNEXE : EXERCICE SUR LES METHODES DE CAPITALISATION INDIVIDUELLE On considère une entreprise constituée au départ en t=0 de 100 personnes de profil : Age en t=0 Age à l’entrée Salaire en t=0 Effectif en t=0 55 40 45.000 EUR 100 L’entreprise décide de démarrer en t=0 un plan de retraite prévoyant à 60 ans une rente de retraite égale à 1% du salaire final par année de carrière reconnue. Les hypothèses actuarielles sont les suivantes : - taux d’actualisation : 5 % - taux de projection des salaires : 3 % - prix de rente à 60 ans : 15 - pas de mortalité avant la retraite L’entreprise désire avoir une prévision de la charge de ce plan en pourcentage de sa masse salariale pour les 5 prochaines années ; elle hésite dans ce contexte à reconnaître les années prestées antérieurement au démarrage du système. Les méthodes à envisager sont : - unit credit cost ; - projected unit credit cost ; - individual level premium ; - projected individual level premium; - individual level percent . Comparer les différents profils de coûts correspondants avec ou sans reconnaissance du passé.