PROGRAMA DE EXTENSIÓN PARAPROFESIONALES EN INGENIERIA DEL MANTENIMIENTO Herramientas de análisis de la Confiabilidad Contenido Introducción Unidad 1: Fundamento Estadístico Unidad 2: Datos y Tipo de Datos Unidad 3: Distribución Exponencial Unidad 4: Distribución Normal Unidad 5: Distribución Weibull Unidad 6: Limites de Confianza INTRODUCCIÓN ¿Qué es Confiabilidad? • Es la probabilidad de que un producto realice su función prevista durante su periodo de uso, en condiciones especificadas de funcionamiento, de manera que cumpla o supere las expectativas de los clientes. Discusión Probabilidad: • La confiabilidad es un fenómeno probabilístico. Depende de: – Los materiales y componentes suministrados – Como el producto es elaborado y ensamblado – Como el cliente usa el producto. – La exposición a esfuerzos que afecta el rendimiento – Interacción entre subsistemas a nivel de sistema • Es una gran preocupación para las organizaciones aceptar el concepto probabilístico de la confiabilidad: admitir la posibilidad de fallas. Discusión Probabilidad: • Muchas organizaciones temen que la versión pública de la confiabilidad pueda dar lugar a abusos, especialmente en el caso de lesiones causadas por las demandas de funcionamiento del producto o la seguridad. • Algunas empresas están adoptando terminología alternativa como "cumplimiento del desafío" o "deterioro de la función" con el fin de evitar el uso de palabras tales como "falla" o "defecto", que el público pudiera malinterpretar. Discusión • Función prevista del producto: – Debe ser identificada en el proceso de diseño para asegurar que las necesidades del cliente se ha incorporado en el producto. – Por ello, es importante que el cumplimiento de cada función debe ser entendida en términos de las expectativas del cliente Discusión • Periodo de uso: (vida útil) – Una organización miope elige simplemente el diseño de un producto para sea confiable durante el período de garantía establecido. – Una organización proactiva elegiría una vida que sea proporcional al tiempo previsto en el que el producto será utilizado. – La especificación de vida podría basarse en alguno de los siguientes criterios: • La vida económica estimada del producto. • El tiempo de garantía • Vida de diseño Discusión • Condiciones de operación – Un producto debe ser diseñado para realizar las funciones previstas en condiciones que representen cómo el cliente utilizará el producto. – Se debe usar el método del “producto robusto”. – Factores que influyen: • Ambientales • Esfuerzos físicos • Contacto superficial • Variaciones en el proceso de fabricación. Discusión • La voz del cliente: – Es responsabilidad del cliente decidir si el rendimiento de un producto es o no aceptable. – Cuando un cliente experimenta un rendimiento sin problemas, esto conduce a mayores niveles de satisfacción y atrae nuevos negocios. – Por otro lado, la escasa confiabilidad se traduce en una erosión de la satisfacción y lealtad del cliente, que tiene el efecto opuesto. Propósito de la Confiabilidad • Determinar el nivel óptimo de Confiabilidad y ser capaces de controlarla. • La Confiabilidad permite gasto mínimo durante el ciclo de vida y costo mínimo de producción, sin comprometer la Calidad. Ingeniería de Confiabilidad • Metodologías y técnicas para caracterizar el estado actual y predecir el comportamiento futuro de equipos, sistemas y/o procesos. • Analiza el historial de fallas, para identificar las acciones correctivas y proactivas que puedan efectivamente optimizar costos a través de la sistemática reducción de la ocurrencia de fallas y minimizar su impacto en el negocio. Ingeniería de Confiabilidad • Permitirá responder las siguientes preguntas: – ¿Cuál es la expectativa de vida de un producto/ equipo/sistema? – ¿Cuántos retornos/fallas son esperados para el próximo año? – ¿Cuánto costará desarrollar y dar soporte a este producto? – ¿Podemos optimizar los costos involucrados? ¿Por qué la Confiabilidad es Importante? Consumidores exigenConfiabilidad Factores valorados para compra de vehículos nuevos Critico/muy importante Experiencia/ excede expectativa Prestigio del fabricante 81.9% 96.0% Calidad del producto 92.8% 92.9% Confiabilidad 94.0% 96.3% Innovación del producto 59.9% 96.6% Fuente: Polk´s manufacturer Loyalty Excelerator. First half 2000 Model Year ¿Por qué la Confiabilidad es …? • El consumidor de hoy es mas “inteligente” y esta mas informado sobre el producto. • En el futuro, sobrevivirán solamente las empresas que sean capaces de controlar la Confiabilidad de sus productos. • La responsabilidad por un producto no confiable puede ser muy alta. ¿Por qué la Confiabilidad es …? • Línea de Montaje de un producto – Un fabricante de automóviles tiene $4.300 de utilidad bruta por cada vehículo fabricado. – Cada línea de montaje produce 60 vehículos por hora, cuando la producción fluye sin problemas. • ¿Qué sucede si una línea de montaje para?. ¿Por qué la Confiabilidad es …? • Línea de Montaje de un producto – Actualmente las líneas de montaje producen mucho menos del 75% de su capacidad máxima. • El costo por la “No Confiabilidad”, para cada línea, sobrepasa los $500.000 por turno. • Esto excede los $1,5 millones por día, y en tres turnos por día... ¿Por qué la Confiabilidad es …? • Ensayo de Durabilidad Una gran empresa de autopartes redujo la inversión en ensayos experimentales. – Para demostrar sus metas de Confiabilidad hicieron algunas pruebas en componentes. – Ejm.: Realizaron pruebas en cilindros de freno y aprobaron los que pasaron el tiempo de prueba acumulado de 1.000.000 km. – Este tipo de ensayo de Confiabilidad: ¿Es una buena estrategia para la empresa? ¿Por qué la Confiabilidad es …? • Mantenimiento – El costo medio de reparación de una bomba es de U$ 8.000 en una industria petroquímica. – El MTTF de esta bomba es de 18 meses. – Dado el gran numero de bombas existentes, los costos de reparación podrían ser muy altos. – El análisis de datos de vida permitió tomar acciones de mejora que generaron una reducción de 30% de las fallas. ¡Las fallas pueden tener muchos efectos, desde un desagrado hasta una catástrofe! ¡Confiabilidad es dinero! • A pesar de que la Confiabilidad es una metodología científica, su aplicación en productos y equipos tiene impacto directo en el desempeño de las empresas! ¡Confiabilidad es dinero! • Todos sabemos que no se puede administrar una empresa sin datos, informes y pronósticos financieros precisos. • ¿Los datos de confiabilidad de su empresa no deberían ser debidamente analizados y divulgados, dado que la Confiabilidad permite generar lucro o prejuicio? Importancia del estudio de la Confiabilidad - El aumento de la complejidad de los sistemas técnicos con gran cantidad de componentes. - La intensidad de los regímenes de trabajo (altas temperaturas, altas presiones, altas velocidades,...) - Las duras condiciones de explotación (temperaturas extremas, humedad elevada, vibraciones, radiación,...) - Exigencia en la calidad del trabajo (precisión, efectividad,..) Importancia del estudio de la Confiabilidad - Aumento de la responsabilidad de las funciones desarrolladas por el sistema (alto valor económico asociado a una falla, riesgo de vidas humanas,...) - La creciente competencia en todos los sectores industriales y la necesidad consecuente de diferenciar los productos respecto de los competidores: diseño, fiabilidad, garantía,.. - Exigencias de los consumidores y existencia de regulaciones y normativas en algunos campos de actividad concretos. Balance de la Confiabilidad • La Confiabilidad debe estar balanceada con los otros aspectos de negocio de la empresa, como costos de producción, ventas, características del producto y satisfacción del cliente. ¿Quiénes deben estar involucrados? Gerencia Ejecutivos Operaciones Técnicos ¿Cuándo se debe aplicar la Confiabilidad? • Desde el nacimiento hasta la muerte. (Todo el ciclo de vida del producto) ¿Cuándo se debe aplicar la confiabilidad? • Inicio del Proyecto – Pruebas de Confiabilidad (piezas) • Fase Intermedia del Desarrollo – Pruebas de Confiabilidad de los prototipos. • Fase final del desarrollo – Demostración previa de la Confiabilidad de las pruebas de desarrollo. • Fase de Producción Inicial – Determinación de la variación de la Confiabilidad debido a los efectos del inicio de producción. • Fase de Producción – Determinación de efectos de los cambios de proyecto y del proceso, en la Confiabilidad. • Pos venta – Determinación de la Confiabilidad a lo largo de la utilización del producto, para subsidiar nuevos proyectos. Ingeniería de Confiabilidad vs Control de Calidad • Ingeniería de Confiabilidad estudia el comportamiento de la tasa de fallas en el tiempo. • Control de calidad estudia cuantos productos están fuera de las especificaciones, o presentan defectos en un instante dado en la línea de producción. • La Confiabilidad es la calidad a lo largo del tiempo. Costo del producto vs Confiabilidad • Un aumento de la Confiabilidad del producto, aumentará el costo del proyecto. – Una baja producción y costo del proyecto no significa un bajo costo en el producto final. – El costo del producto deberá ser determinado no solo por el costo hasta la puerta de la fabrica, si no también incluyendo el costo total del producto durante el tiempo de vida. Costo del Producto vs. Confiabilidad Cuantificando la Confiabilidad Cuantificando la Confiabilidad • La Confiabilidad caracteriza el periodo de tiempo en que el producto funcionara. – Función del tiempo – Función de las condiciones – Definición precisa del Modo de Falla... • El “Control de Calidad” tradicional, garantiza que el producto funcionara después del montaje si esta conforme con su especificación. Cuantificando la Confiabilidad • Necesita de: – Datos – Modelos – Un diagnostico para la elección del modelo apropiado. – Medios para ser comunicada: • Gráficos • Informaciones • Costos Ejemplo : Compañía de Seguro • Se obtuvieron los siguientes datos de mortalidad (edad): 48, 58, 65, 68, 72, 74, 81, 82, 83, 88 • ¿Será suficiente decir que la vida media (basada en estos datos) es de 71,9 años de edad? • Si el objetivo es entregar un seguro de vida para 20 hombres con 50 años de edad y otro 20 hombres con 40 años: ¿Esta media me ayudara a determinar cuanto cobrar? Ejemplo : Compañía de seguros • Se necesita mas información que solo la media. – Se necesita una estimación de cuantos asegurados sobrevivirán el próximo año, dado sus edades actuales. – Necesita cuantificar: • Como la tasa de mortalidad varia de grupo en grupo, cambiando la franja de edad. • El numero de defunciones esperados en cada grupo por franja de edad. • Si estamos analizando productos/equipos, la tasa de mortalidad puede ser entendida como tasa de falla. Ejemplo : Compañía de seguros • Se necesita de un modelo que pueda generar los resultados deseados. • será un modelo probabilístico – entregando información de probabilidad, tales como: – La expectativa es que el 99,9% de los hombres con 40 años de la edad sobrevivirán un año mas. – La expectativa es que el 99,3% de los hombres con 50 años de edad sobrevivirán un año mas. – El modelo describirá la probabilidad de sobrevivencia (Confiabilidad). Modelos • Entregan la estimación de tasa de falla del producto en función del tiempo. • Los modelos son representaciones matemáticas de los datos, (funciones continuas). Modelos • Están basados en distribuciones estadísticas. Las mas utilizadas son las “distribuciones de vida”. Distribución Weibull Distribución Exponencial Distribución Normal Modelos para datos de Vida 1. Definir el modelo. 2. Caracterizar el modelo por el comportamiento de la falla. Tasa de falla (probabilidad Instantánea) Es la chance de fallar en la próxima y menor unidad de tiempo, dado que el ítem funciono hasta entonces. – Tasas de falla decreciente: (mortalidad infantil, infancia) – Tasa de falla constante: (Vida útil). – Tasa de falla creciente: (desgaste, vejez) “Curva de la bañera” : (infancia + vida útil + vejez) Curva de la Bañera “Idealizada” Diferentes patrones de tasa de falla Curva de la Bañera para un Auto T a s a d e F a l l a s Vida (Km) Mantenimiento Preventivo D e s g a s t e D e s g a s t e Nuevo periodo t = ? T a s a d e F a l l a s Vida (Km) Curva de la Tasa de Falla Construcción de Modelos: • Datos de campo • Banco de Pruebas (inducir fallas y realizar un análisis rápido) – Ensayo Durante el Desarrollo del Proyecto – Ensayo de Calificación – Ensayos de Vida – Ensayos Acelerados de Vida Cuantitativos – Ensayo de Crecimiento de la Confiabilidad. Datos de Campo • Recolectados a partir de centrales telefónicas, reclamos de garantías, inspecciones de ítems desarrollados. • Pueden contener datos sesgados. • Reflejan las condiciones actuales de uso (y abuso). • Requiere sistema de colecta y análisis de datos. Preparación de Datos 90% de los esfuerzos!! • Obtener los datos (cuanto mas automatizado mejor) • Calificar los datos – Entrada Correcta – Representatividad – Sin Desvíos (Viciados o Ficticios) • Tabular los datos de forma correcta. Análisis de datos de Vida • Utiliza metodologías estadísticas para construir modelos probabilísticos a partir de Datos de vida. • Los modelos son utilizados para realizar predicciones precisas. Estimaciones & Predicciones • En el análisis de Datos de Vida y en la Ingeniería de Confiabilidad todo esta basado en estimaciones. • El valor real de la Confiabilidad de un producto nunca será conocido. – El valor real de la Confiabilidad solo será conocido cuando todos los productos ya hayan fallado. • El objetivo de la Ingeniería de Confiabilidad es predecir con precisión el valor real. Para Ilustrar… • Tenemos una piscina con bolitas negras y rojas. – Calcule el porcentaje de bolitas negras. Se toma una muestra de 20 bolas • 8/20 negras • 12/20 rojas • 40% son negras y 60% son rojas Se toma otra muestra de 20 bolas • 11/20 negras • 9/20 rojas • 55% son negras y 45% son rojas Se toma una muestra de 200 bolas 108/200 negras 92/200 rojas 54% son negras y 46% son rojas Se toma otra muestra de 200 bolas 105/200 negras 95/200 rojas 52.5% son negras y 47.5% son rojas UNIDAD 1 Fundamentos Estadísticos Variables Aleatorias • Los problemas en Ingeniería de Confiabilidad ser refieren a la cuantificación de medidas. – Se puede denotar con la variable aleatoria X con las posibles salidas (defectuoso o no defectuoso). – En el caso del tiempo hasta la falla, nuestra variable aleatoria X puede poseer el valor de tiempo hasta la falla del producto o componente y el valor va de 0 hasta el infinito (en el caso donde no tenemos el tiempo exacto). Variables Aleatorias Discretas • Si la variable aleatoria contiene solo informaciones de valores pre-definidos, entonces se denomina variable aleatoria discreta. • Por ejemplo, el resultado del lanzamiento de un dado honesto, (con seis lados), puede ser: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6. Variables Aleatorias Continuas • Si la variable aleatoria puede asumir cualquier valor en una escala continua, entonces esta se define como una variable aleatoria continua. • Para un neumático, Kilómetros hasta la falla, puede tomar cualquier valor desde 0 hasta infinito (p.e.10.000 kilómetros, 17.523 kilómetros, etc.). Estadística Discreta Definiciones • La estadística es una herramienta metodológica de investigación. • Se basa en: – Recolecta de datos – Clasificarlos – Representarlos. – Resumirlos. – Hacer inferencias científicas, es decir, sacar conclusiones Definiciones • Población: Elementos de una clase • Muestra: Subconjunto de la población • Tabulación de datos: Ordena los datos según: – Frecuencia: # de veces que se repite el dato – Distribución de frecuencias: Conjunto de clases predeterminadas y su frecuencia Definiciones • Histogramas: – Agrupar los valores de las variables en intervalos. – El eje de ordenadas estará comprendido por las frecuencias (ya sean absolutas o relativas). – Las columnas se levanta teniendo en cuenta que el área de cada columna ha de ser proporcional a la frecuencia, por lo que la altura se calcula como sigue: altura=frecuencia/amplitud Definiciones Medidas de Tendencia Central Medidas de Tendencia Central Medidas de Tendencia Central Medidas de Tendencia Central Medidas de Tendencia Central Coeficiente de variación de Pearson (CV): Es el porcentaje que la desviación típica representa la media aritmética. Recuerde que la media poblacional y la media muestral son prácticamente iguales mientras que la desviación estándar muestral difiere de la poblacional. A mayor valor de CV mayor heterogeneidad de los valores de la variable; y a menor CV, mayor homogeneidad en los valores de la variable. Medidas de Tendencia Central Coeficiente de Asimetría de Fisher (g): Se refiere a si la curva de la distribución presenta la misma forma a izquierda y derecha de un valor central. Se puede calcular empleando la siguiente expresión: Donde n es el número de datos, x i son los datos y x m la media aritmética. Los resultados que podemos obtener son los que siguen: Medidas de Tendencia Central g 1 = 0 Distribución simétrica g 1 < 0 la mayor concentración de datos está a la izquierda del valor central. g 1 > 0 la mayor concentración de datos está a la derecha del valor central. • Calculo de la función densidad de fallas • Calculo de la función acumulada de fallas • Calculo de la función Confiabilidad • Calculo de la función Tasa de fallas • Calculo de la probabilidad condicional de fallas Ejercicio Considere un conjunto de datos representando 100 variables aleatorias continuas, obtenidas de una misma población, como se muestra en la siguiente tabla: 32.8 148.7 53.9 53.4 28.2 45.6 106.5 65.3 188.0 37.6 15.1 18.2 85.8 101.4 116.5 96.5 110.6 55.1 104.9 22.2 22.4 82.3 44.6 5.1 9.2 48.2 130.8 20.6 34.6 57.4 77.9 38.1 44.9 26.7 67.5 129.2 44.2 94.3 211.3 181.2 46.7 89.1 93.9 46.9 22.3 52.3 74.2 35.4 58.7 19.6 28.2 144.7 32.7 8.9 91.5 70.8 35.6 64.0 26.3 161.6 83.5 30.5 97.3 21.1 88.6 48.8 23.6 38.6 24.1 71.7 124.8 120.1 147.1 72.0 31.2 28.8 178.0 16.6 20.2 21.5 30.1 82.2 60.3 102.7 82.1 65.4 89.8 41.9 57.0 44.8 68.9 103.0 41.9 78.1 38.6 35.0 75.7 28.5 53.9 49.4 Ejemplo • ¿Cuál es el comportamiento de esos datos?. – Podríamos clasificar los datos separándolos por intervalos y visualizar la porción de datos en cada intervalo. – Probemos con los siguientes # de intervalos: • I = 5 • I = 11 • I = 15 Ejemplo 0 10 20 30 40 50 60 50 100 150 200 250 Histograma Tamaño del Rango =50 Ejemplo 0 5 10 15 20 25 30 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 0 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 Histograma Tamaño del Rango = 20 Ejemplo Histograma Tamaño del Rango= 15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 0 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 Ejemplo DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Tiempo f ( t ) Ejercicios Parte 1 ESTADÍSTICA CONTINUA Funciones Básicas: pdf y cdf • Para una variable aleatoria continua X: – La función densidad de probabilidad, pdf, es f(x). – La función distribución acumulada, cdf, es F(x). • La pdf y la cdf dan una descripción completa de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. Función Densidad de Probabilidad Si X es variable aleatoria continua, entonces la función de densidad de probabilidad, pdf de X, es una función f(x) tal que, para dos números, a y b con a<b resulta: – La probabilidad de que X tenga un valor en el intervalo [a,b] es el área de la función densidad entre a y b. } > = s s b a x todo para 0 f(x) y f(x)dx b) X P(a Función de Distribución Acumulada • Para obtenido la probabilidad a partir de la pdf, es necesario calcular el área bajo la curva. • La función de distribución acumulada, cdf, entrega este valor directamente. • La cdf es una función F(X) de la variable aleatoria X, definida por: donde, para una variable aleatoria X, F(a) es la probabilidad de que el valor observado X será a lo mas a. } ÷· = s = a dX X f a X P a F , 0 ) ( ) ( ) ( Relación entre la pdf y la cdf P(X≤a) } ÷· = s = a dx x f a x P a F , 0 ) ( ) ( ) ( Relación entre la pdf y la cdf • La relación matemática entre la pdf y la cdf esta dada por: • Derivando: } · ÷ = x dx x f x F ) ( ) ( dx x F d x f )) ( ( ) ( = Relación entre la pdf y la cdf • La cdf es el área formada por la función densidad de probabilidad, hasta un valor escogido de x. – Esto significa que el área total bajo la pdf es siempre igual a 1, o matemáticamente: } +· · ÷ =1 ) ( dx x f La pdf es una ecuación • Un ejemplo de una función densidad de probabilidad es la distribución Normal, cuya pdf esta dada por: – Donde µ es la media y σ es la desviación estándar. – La distribución normal es una distribución con dos parámetros. 2 2 1 2 1 ) ( | . | \ | ÷ ÷ = o µ t o t e t f La función de Confiabilidad R(t) La función de Confiabilidad • La función de Confiabilidad es obtenida a través de la probabilidad de éxito, o de la probabilidad de que no se observe la falla, en el tiempo t. • Definiendo la no confiabilidad como Q(t) entonces: } = = t dt t f t Q t F 0 ) ( ) ( ) ( La función de Confiabilidad R(t) • Tenemos: R(0) = 1 R(∞) = 0 • Derivando: } } · = ÷ = ÷ = = + t t dt t f t R dt t f t R t F t R t R t F ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 0 dt t R d t f )) ( ( ) ( ÷ = Terminología de la Confiabilidad • La Confiabilidad no puede ser especificada sin la asociación con el tiempo, en otras palabras, no puede decir que un ítem posee una Confiabilidad de 90% sin decir para que intervalo de tiempo. DISTRIBUCION WEIBULL Funcion de Supervivencia 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Tiempo R ( t ) Función Confiabilidad La función Tasa de falla • Permite determinar el número de fallas ocurridas por unidad de tiempo. Esta es dado matemáticamente por: • La tasa de falla se expresa en fallas por unidad de tiempo. – El tiempo puede ser cualquier medida que pueda ser cuantificada. Ejm.: minutos, horas, ciclos, actuaciones. – El termino “Hazard Rate” es sinónimo de tasa de falla ) ( ) ( ) ( t R t f t = ì La función Confiabilidad Condicional • Permite determinar la probabilidad de que un ítem sobreviva a una nueva misión de duración t, dado que ya han completado con éxito una misión de duración T. ) ( ) ( ) / ( T R t T R T t R + = Ejemplos: • Un vuelo de Lima a Tacna, si la aeronave llegó a Arequipa, tiene mayor probabilidad de completar el vuelo (Confiabilidad) sin problemas, que la que tiene una aeronave que aún está en Lima. • Se tiran los dados. La probabilidad de que salga 3 es 1/6. ¿La probabilidad que salga 3 habiendo salido un numero impar es: ………………….? Vida Media (MTTF) • Representa el equilibrio de toda la población. Se le denomina también “Expectativa de Vida” y “Esperanza Matemática”. Esta dada por: – Es el valor medio esperado del tiempo hasta la falla y – Generalmente se denota como : MTTF (Mean Time-to- Failure). – También se denomina MTBF (Mean Time Between Failures). Esto es incorrecto en la mayoría de los casos. – Solo es valido cuando la tasa de falla es constante. – MTTF = MTBF (solo cuando h(t) = cte ) } } · · = = = 0 0 ) ( ) ( . dt t R dt t f t m µ Ejemplo de una distribución Simétrica Media pdf Distribución Normal Ejemplo de una distribución Asimétrica DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Tiempo f ( t ) Media = 12 hrs. Vida Mediana • Es el valor que divide la pdf por la mitad. La mediana es obtenida por: • Ejemplo de una muestra de datos: 11, 12, 13, 20, 21, 24, 145 – La mediana es el punto central de estos valores, que en este caso es 20. } · ÷ = T dt t f 5 , 0 ) ( Ejemplo para una distribución Simétrica La media, mediana y moda tienen el mismo valor Ejemplo para una distribución Asimétrica DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Tiempo f ( t ) Mediana = 11 Media = 12 Vida Media y Vida Mediana • Observe que la vida media es igual a la mediana en el caso de que la distribución es simétrica. • Para las distribuciones asimétricas, la media puede variar, pudiendo ser mayor o menor que la mediana. – Para la distribución exponencial, la vida media siempre corresponderá al tiempo en que 63,2% de las unidades fallarán. – Para la distribución Weibull, no hay un valor fijo. Este porcentaje es función de los parámetros del modelo. Media vs. Mediana • A veces se usa las media y mediana como si fuesen lo mismo. Esto no es correcto!. • En el resto de los casos, la diferencia entre los valores de la media y la mediana puede ser muy grande. – Ejemplo: considere un conjunto de cinco datos: (1, 2, 3, 4, 100) – La media es: • Sin embargo. La mediana de este conjunto de datos es el valor 3, o sea el valor central de los datos. 22 5 110 5 ) 100 4 3 2 1 ( = = + + + + Moda • La vida modal o moda, es el valor máximo t que satisfaga: – Para distribuciones continuas, la moda corresponde al máximo valor de la densidad de probabilidad, o sea el valor donde la pdf tiene su máximo (pico). 0 )] ( [ = dt t f d Ejemplo para una distribución Simétrica Ejemplo para una distribución Asimétrica DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 Tiempo f ( t ) Mediana = 11 Media = 12 Moda = 9 Varianza de la población • Es una medida de la dispersión de la población • Se calcula según la expresión: Resumen • Confiabilidad, R(t): Probabilidad de que la falla no ocurrirá hasta el tiempo t. • No Confiabilidad, Q(t): Probabilidad de que la falla será observada en el tiempo t. • Confiabilidad Condicional (T, t): Probabilidad de que una falla no será observada por un tiempo adicional t, dado que el ítem vivió con éxito por un tiempo T. • Vida B X : tiempo en que la no confiabilidad es igual a X% • Vida Media (MTTF): tiempo medio hasta la falla • Vida Mediana: tiempo en que el 50% de las fallas son esperadas. • Vida Modal: valor máximo de la pdf • Tasa de falla (λ) Estimación de Parámetros Parámetros de una Distribución • Los parámetros de una distribución describen y definen la distribución en particular, y son estimados (obtenidos) a partir de datos. Ejemplo: En la distribución exponencial, dependiendo del valor de lambda,λ, f(t) exhibirá diferentes características. Estimación de Parámetros • Para ajustar un modelo a los datos, es necesario realizar un estimación de los parámetros del modelo escogido. • Esta estimación se realiza basándose en el conjunto de datos. Estimación de Parámetros La estimación de parámetros de la distribución normal para datos completos es trivial. – Ejemplo: – 3,000, 4,000, 5,000 – µ = 4,000 – σ = 1,000 ReliaSoft Weibull++7 - www.ReliaSoft.com Función de Densidad de Probabilidad µ=4000.0001, o=1220.5112, µ=1.0000 Tiempo, ( t) f ( t ) 0.000 20000.000 4000.000 8000.000 12000.000 16000.000 0.000 4.000E-4 8.000E-5 1.600E-4 2.400E-4 3.200E-4 Pdf Datos 1 Normal-2P RRX MRE MED MF F=3/S=0 Línea de la Fdp Juan Musayon TECSUP 01/02/2008 02:46:30 p.m. Método de estimación de parámetros Hay varios métodos para la estimación de parámetros. Los mas conocidos son: – El método del Ploteo de Probabilidades (probability plotting) – El método de los mínimos cuadrados (least squares) y – El método de la Máxima Verosimilitud (maximum likelihood). Ploteo de Probabilidades • Método mas conocido (manual) para distribuciones complejas (probability plotting). • Considera el ploteo de los datos en un papel especial obteniéndose el grafico de probabilidades. • El principio básico es linealizar la cdf. • Con algebra básica, se puede fácilmente obtener la ecuación de la recta (y=mx+b). Ploteo de Probabilidades • Los puntos ploteados representan los datos de tiempo hasta la falla. Estos tiempos son los valores del eje x. • Para determinación la posición y (probabilidad de falla), hay que determinar el valor de la “categoría mediana” (median rank) para cada tiempo hasta la falla. Categorías Medianas (MR) • Las categorías medianas son utilizadas para obtener una estimación de la no confiabilidad, Q(T), para cada tiempo hasta la falla. • La categoría mediana esta dada por: (Aproximación de Bernard) MR = Rango Medio (Media Rank) N = Tamaño de la muestra J = Numero de Orden (posición de la falla) 4 . 0 3 . 0 + ÷ = = N j MR F Categorías Medianas (MR) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 50 29.289 20.630 15.910 12.945 10.910 9.428 8.300 7.412 6.697 6.107 5.613 2 70.711 50.000 38.573 31.381 26.445 22.849 20.113 17.962 16.226 14.796 13.598 3 79.370 61.427 50.000 42.141 36.412 32.052 28.624 25.857 23.578 21.669 4 84.090 68.619 57.859 50.000 44.015 39.308 35.510 32.390 29.758 5 87.055 73.555 63.588 55.984 50.000 45.169 41.189 37.853 6 89.090 77.151 67.948 60.691 54.811 50.000 45.951 7 90.572 79.887 71.376 64.490 58.811 54.049 8 91.700 82.018 74.142 67.620 62.147 9 92.587 83.774 76.421 70.242 10 93.303 85.204 78.331 11 93.893 86.402 12 94.387 4 . 0 3 . 0 M + ÷ = n i R Adicionalmente, se puede emplear la siguiente tabla para determinar MR: Ejercicios Parte 2 UNIDAD 2 Datos y Tipos de Datos Tipos de Datos de Vida • Datos Completos (tiempo hasta la falla) • Datos Censurados (no se conoce el tiempo de falla) Censura a Derecha (Suspensión) Censura en Intervalos Censura a Izquierda Datos Completos Realizamos un ensayo con 5 ítems y si todos fallasen, tendríamos toda la información de la muestra. X X X X X Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Falló Falló Falló Falló Falló Tiempo Datos Censurados • Se presentan debido a que todas las unidades sometidas a prueba no fallan antes de que se verifique el criterio de parada de la prueba, dificultando el estudio de la confiabilidad. • No es posible prescindir de los datos censurados ya que, si esto se hiciera, los resultados obtenidos estarían claramente sesgados. Datos Censurados a Derecha (Suspendidos) Si ensayamos cinco ítems, pero solo tres fallan, tenemos los datos completos de tres ítems que fallaron, pero no de los dos ítems que no fallaron. X X X Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Falló Falló Falló No falló No falló Tiempo Datos Censurados a Derecha (Suspendidos) • Items donde los tiempos de falla solo serán conocidos cuando excedemos cierto valores de tiempo. • Las suspensiones no deben ser ignoradas. Tiempo de no Falla t (h) t X ? Ejemplo 1 • 100 bombas operando por tres meses. – Una falló durante el primer mes. – Una falló durante el segundo mes. – Dos fallaron en el tercer mes. • Cual es el tiempo medio de falla? 1(1)+1(2)+2(3) = 2.25? 4 Ejemplo 2 • Si se fabricaron 100 unidades y tres retornan en el primer mes, dos en el mes siguiente, ¿Cual es la media de retorno? 3(1)+2(2) =1.4? 5 • ¿Puede ignorarse las unidades que no retornan?. Datos Censurados en el Intervalo • Ensayamos cinco ítems y realizamos inspecciones cada 100 horas. • Si el ítem fallo entre las inspecciones, no sabremos el momento exacto en que la falla ocurrió, pero sabemos que la falla ocurrió dentro del intervalo de inspección. Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Falló Falló Falló Falló Falló Tiempo Depende de las inspecciones t (h) t ? Datos Censurados a Izquierda • Representa situaciones donde el ítem es encontrado en estado de falla solo después de un cierto periodo de tiempo y donde también es desconocido el momento exacto de la falla. X X X Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3 Unidad 4 Unidad 5 Falló Falló Falló Falló Falló Tiempo Tiempo es en un intervalo [0,t] t (h) t ? Ploteo de Datos Censurados (Suspensión) • Cuando utilizamos el análisis de regresión para considerar el hecho de que algunos ítems no fallaron, o quedaron en suspensión, necesitamos ajustar su probabilidad de falla, o de no confiabilidad. • Utilizaremos la metodología de Leonard Johnson para determinar su posición. Procedimiento para ploteo de datos Censurados 1. Los ciclos transcurridos hasta la falla son listados en orden creciente, y son clasificados como: f = ocurrencia de la falla, s =suspensión 2. El “incremento – Ni” del equipo o componente que presenta falla es calculado por la fórmula: Ni = N + 1 – Na N+1 – Fa N = Total de Equipos o Componentes de la Muestra Na = Número de orden de la falla anterior Fa = Número de componentes anteriores Procedimiento para ploteo de datos Censurados 3. El “número de orden medio – NOM”, del equipo o componente que presenta falla se obtiene de la expresión: NOM = Na + Ni 4. Calcular los “niveles medianos, NM” por la fórmula: NM = NOM -0.3 N + 0.4 Los niveles medianos expresados bajo la forma de porcentaje (frecuencia relativa observada acumulada) y los ciclos (tiempos, …) transcurridos son las salidas de este análisis. Ploteando Datos Censurados • Ejemplo para ilustrar la metodología: Se ensayaron 5 ítems y se obtuvo tres fallas y dos suspensiones. Posición Estado F o S Vida del ítem (ciclos) 1 F 1 5100 2 S 1 9500 3 F 2 15000 4 S 2 22000 5 F 3 40000 Solución • En esta secuencia, F1 es la primera de las 5 fallas. Por lo tanto: Posición Estado F o S Vida del ítem (ciclos) Posición de la Falla 1 F 1 5100 1 2 S 1 9500 3 F 2 15000 ? 4 S 2 22000 5 F 3 40000 ? Solución Posición Estado F o S Vida (ciclos) Na NOM NM 1 F1 5100 5 1 13% 2 S1 9500 4 3 F2 15000 3 2.25 36% 4 S2 22000 2 5 F3 40000 1 4.13 71% Ploteando Datos Censurados • Una vez establecida la media del número de orden, necesitamos obtener posiciones de la categoría mediana para las fallas en la media del número de orden. Simplificando, debemos tener la categoría mediana de los números de orden: 1, 2.25 y 4.125 para un muestra de tamaño 5,como se muestra en la tabla: Posiciones ploteadas para las fallas (Tamaño de muestra =5) N° Falla NOM MR (%) 1: F1 1 13% 2: F2 2.25 36% 3: F3 4.125 71% Gráfico de la cdf Rel iaSoft Wei bul l ++ 7 - www.Reli aSoft.com Probabilidad - Weibull |=1.0627, q=3.2508E+4, µ=0.9999 Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 1000.000 100000.000 10000.000 10.000 50.000 90.000 99.000 Probabi li dad-Wei bul l Datos 1 Weibul l -2P RRX MRE MED MF F=3/S=2 Puntos de Datos Lí nea de Probabi li dad Juan Musayon TECSUP 04/02/2008 08:54:56 a.m. Ejercicio 2 Posición Estado F o S Vida (ciclos) 1 S1 2,500 2 F1 2,730 3 F2 3,900 4 S2 4,100 5 F3 5,000 Errores del Método de Ajuste • Este método de ajuste es el mas utilizado en el análisis de datos suspendidos. • Pero es importante indicar posibles errores que pueden ocurrir: – Solo se toma en cuenta en los cálculos, la posición en que la falla ocurrió. No se consideran los tiempos exactos de suspensión. – Esta metodología nos daría exactamente el mismo resultado para el caso 1, como para el caso 2 que veremos a continuación. Errores del Método de Ajuste Posición Estado F o S Vida del ítem (ciclos) 1 F 1 1000 2 S 1 1100 3 S 2 1200 4 S 3 1300 5 F 2 10000 Posición Estado F o S Vida del ítem (ciclos) 1 F 1 1000 2 S 1 9700 3 F 2 9800 4 S 2 9900 5 F 3 10000 6900 33 . 1 = = q | En ambos casos se obtiene la misma NOM, y por tanto, los resultados de la categoría mediana serán los mismos. Es por tanto, una limitación del método. 348 , 21 9337 . 0 = = q | Errores del Método de Ajuste • Este tipo de error es significativo cuando el número de fallas es pequeño y el número de suspensiones es grande y no uniformemente distribuidos entre las fallas, como en los datos mostrados anteriormente. • En estos casos, lo recomendable es utilizar el método del estimador de la máxima verosimilitud (MLE), en vez del método de los mínimos cuadrados, dado que la máxima verosimilitud no lleva en consideración las categorías o posiciones de ploteado, sino que por el contrario, utiliza cada tiempo hasta la falla o suspensión. Regla para escoger el método de Análisis • Use el método de regresión (RRX) – Datos Completos y pequeñas muestras • Use MLE – Grandes cantidades y/o mezclados con censura. – Grandes muestras (30+ fallas) DISTRIBUCIONES CARACTERÍSTICAS Distribuciones • La distribución estadística es descrita por la pdf (o Función densidad de probabilidad). • Todas las funciones utilizadas en la Ingeniería de Confiabilidad permiten el análisis de datos de vida, tales como: – Confiabilidad, – Tasa de falla, – Vida media, – Vida mediana, – Vida modal. • Todas estas características pueden determinarse a partir de la definición de la pdf o f(t). Distribuciones usadas como Modelos de Vida • Normal – tasa de falla creciente • Otros: – Gamma – Gamma generalizada – Logística – Log-logística – Gumbel – Modelos Mixtos – Modelos de Modos de falla Competitivos (CFM) • Exponencial – Tasa de falla constante • Weibull – Tasa de fallas puede ser creciente, decreciente o constante. • Lognormal – Creciente y luego decreciente asintóticamente hacia cero Ejercicios Parte 3 UNIDAD 3 Distribución Weibull Distribución Weibull • Es una propuesta general para análisis de Confiabilidad • La pdf puede tener diferentes formas y puede aproximarse a las otras distribuciones. • El comportamiento de la tasa de falla puede ser creciente, decreciente o constante. • Tipos: – Weibull de 3 parámetros – Weibull de 2 parámetros – Weibull Mixta Distribución Weibull de 3 parámetros | : Parámetro de forma q : Parámetro de escala ¸ : Parámetro de ubicación Wallodi Weibull 1887- 1979 | q ¸ | q ¸ q | | | . | \ | ÷ ÷ ÷ | | . | \ | ÷ = T e T T f 1 ) ( La pdf de la distribución esta dada por: Distribución Weibull de 2 parámetros • Es la forma más popular. (¸ =0) • La pdf esta dada por: | q | q q | | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | = t e t t f 1 ) ( Analizando β • β es el parámetro de forma o inclinación de la distribución (en un papel Weibull). • La forma de la pdf es alterada cambiando el valor β. • β es un número adimensional. Efecto de | en la pdf 0 0 t f(t) ß = 0.5 ß = 1.0 ß = 3.44 ¸ = 0 ß = 2.5 ß = 5.0 Efecto de β en la cdf Efecto de β sobre la Confiabilidad R i e s g o d e f a l l a , r ( t ) ?t | = 0.5 | = 2.5 | = 1.0 Efecto de | sobre tasa de fallas Analizando η • Es el parámetro de escala de la distribución Weibull, y tiene las mismas unidades de T, como horas, Kilómetros, ciclos, actuaciones, etc. 0 0 t f(t) ß = 2.5, ¸ = 0 q 1 ß = 2.5, ¸ = 0 q 2 q 1 < q 2 Vida Característica % 8 . 36 ) ( = q R Efecto de q en la pdf Analizando ¸ • Es el parámetro de ubicación de la distribución Weibull y tiene la misma unidad de T. • Representa un desplazamiento en el eje x, es decir, cambiar el punto de inicio de la distribución a un valor diferente a cero. • Esto puede ser aplicada a otras distribuciones. 0 0 t f(t) ß = 2.5 ¸ Vida mínima Parámetro de ubicación, ¸ ¸ Positivo • Un valor positivo para el parámetro de ubicación indica que las fallas solo ocurrirán después del tiempo equivalente a ¸, en otras palabras, hasta el tiempo ¸ la Confiabilidad es igual a 100% ¸ negativo • Indica que los ítems poseen una Confiabilidad menor que 100% para el tiempo igual a cero. • Esto puede ocurrir debido al método utilizado para registrar el tiempo, o puede indicar algún modo de falla que ocurre debido al transporte, degradación del ítem por estar en stock, por cuestiones de manufactura, etc. Análisis Weibull • Requiere el tiempo para la falla como dato. • Una falla debe ser un evento definido y no solo una valoración subjetiva de perdida de rendimiento. • Los datos deberán ser estadísticamente una muestra al azar de la población. • Emplear la medida de utilización adecuada para el equipo y el mayor modo de falla. • Revisar otros factores tales como posición instalada, mal uso, incorrecto diagnostico de falla, etc. El Papel Weibull F( ) t t = ÷ ÷ ÷ | \ | . | | \ | . | | 1 exp ¸ q | lnln F( ) ln( ) ln 1 1÷ | \ | . | = ÷ ÷ t t | ¸ | q Sobre un papel Weibull, el eje vertical está en escala lnln y el eje horizontal está en escala ln. Papel Weibull Se ha obtenido datos de 10 items, seleccionados aleatoriamente y todos los cuales han fallado. El tiempo para la falla del equipo fue: 410, 1050, 825, 300, 660, 900, 500, 1200, 750, 600 Paso 1 Ordenar los datos en orden ascendente Paso 2 Tabular con el valor correspondiente F(t) para una muestra de 10, empleando la tabla del Rango Medio. Ejercicio: Análisis Weibull Ejercicio : Análisis Weibull Número Falla (i) Horas para la Falla (ti ) Línea Media % Acum Falla F(t ) 1 300 6.7 2 410 16.2 3 500 25.9 4 600 35.5 5 660 45.2 6 750 54.8 7 825 64.5 8 900 74.1 9 1050 83.8 10 1200 93.9 0 2.4 830 720 Estimación de Factores Vida Mínima, ¸ Factor Forma, | Vida Característica, q Vida Media, µ Vida Promedio Vida B q Vida Característica tiempo | = 2.4 q = 830 f(t) 63.2% Vida Media tiempo | = 2.4 µ = 740 f(t) 52.7% Vida Mediana tiempo | = 2.4 B 50 life = 720 f(t) 50% Ploteando los datos usando el Parámetro de ubicación • El tercer parámetro de la distribución Weibull es utilizado cuando no es posible trazar una recta con los datos. • Para poder utilizar el método de ploteo de probabilidad, se utiliza la siguiente formula para determinar un nuevo valor de ¸ : • Restar de cada dato el valor de ¸ * y plotear la correspondiente recta. ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 2 2 3 2 T T T T T T T T T ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = - ¸ Estimación del Factor de Ubicación ( )( ) ( ) ( ) ¸ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ t t t t t t t t t 2 3 2 2 1 3 2 2 1 b a tiempo t 1 t 2 t 3 Ejercicio : Ploteo de Probabilidad (con Weibull 3P) • Seis ítems idénticos, están siendo probados en las mismas condiciones de aplicación y exigencia. • Todos los ítems fallan durante el ensayo siguiendo los siguientes numero de horas: 48;66;85;107;125 y 152 horas. • Encuentre los parámetros de la distribución Weibull 3P (tres- parámetros) usando el método de ploteo de probabilidad. Resultado: Probabilidad - Weibull Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 10.000 1000.000 100.000 10.000 50.000 90.000 99.000 26 . 17 32 . 92 95 . 1 = = = ¸ q | Datos originales Datos ajustado por γ Número Falla (i) Horas para la Falla (ti ) Línea Media % Acum Falla F(t ) 1 1000 9.4 2 1300 22.8 3 1550 36.4 4 1850 50.0 5 2100 63.6 6 2450 77.2 7 3000 90.6 Ejercicio: Análisis de Weibull 3P Estimación del factor de Ubicación Desde los datos: t 1 = 810 horas t 2 = 1500 horas t 3 = 4000 horas Replanteando: t 1 ÷ 1000 – 547 = 453 horas t 2 ÷ 1300 – 547 = 753 horas t 3 ÷ 1550 – 547 = 1003 horas, etc. t i ÷ ¸ ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 547 810 1500 1500 4000 810 1500 1500 4000 1500 ˆ 1 2 2 3 1 2 2 3 2 = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = t t t t t t t t t ¸ Ejercicio: Análisis Weibull 3P El ajuste del tiempo para la falla es ahora lineal Número falla (i) Horas para la falla ajustadas Línea media % Acum. Falla F(t) 1 453 9.4 2 753 22.8 3 1003 36.4 4 1303 50.0 5 1553 63.6 6 1903 77.2 7 2453 90.6 Resultado: Probabilidad - Weibull Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 100.000 10000.000 1000.000 1.000 5.000 10.000 50.000 90.000 99.000 Datos Originales Datos Corregidos Beta = 1.85 Eta = 1538.7 Gamma = 558.5 Efecto del Factor de Ubicación tiempo | = 1.9 nuevo q = 547+1560 f(t) 63.2% ¸ = 547 1560 Ejercicios Parte 4 UNIDAD 4 Distribución Exponencial Distribución Exponencial • Una de las distribuciones mas simples, utilizada erróneamente debido a su facilidad. • Definida como: Donde: – t es la variable aleatoria que representa el tiempo. – La letra griega λ (lambda) representa el parámetro de la distribución. t e t f . . ) ( ì ì ÷ = Gráfico de la Función Exponencial Funciones Relacionadas • Dada la representación matemática de la distribución (pdf), podemos obtener también todas las funciones necesarias para el análisis de datos de vida. • Ejemplo, la pdf de la distribución exponencial es: • Por lo tanto la Función Confiabilidad puede obtenerse por: t e t f . . ) ( ì ì ÷ = Función Confiabilidad t t t s e t R e t R ds e t R . 0 . ) ( ] 1 [ 1 ) ( . 1 ) ( ì ì ì ì ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ = } Función tasa de falla • La Función tasa de falla es dada por: ì ì ì ì ì = = = ÷ ÷ t t e e t R t f t . . . ) ( ) ( ) ( Media o MTTF • El tiempo medio hasta la falla (MTTF) esta dado por (equilibrio), (esperanza de vida): • Esta misma metodología puede ser aplicada para cualquier distribucion, dada la pdf, con varios grados de dificultad dependiendo de la complejidad de la f(t). } } · ÷ · = = = 0 . __ 0 __ 1 . . ) ( ) ( . ì ì ì dt e t MTTF T dt t f t T t La Distribución Exponencial • Es muy utilizada en la Ingeniería de Confiabilidad debido a su simplicidad. • Se utiliza para describir ítems que fallan con tasa de fallas constante. Distribución Exponencial con un parámetro • La pdf de la exponencial con un parámetro esta dada por: Donde: λ = Tasa de fallas constante. m = Media entre fallas o hasta la falla t = Tiempo de operación, vida o edad. • Es un caso especial de la distribución Weibull con β = 1 m t t e m e t f ÷ ÷ = = 1 . ) ( . ì ì Distribución Exponencial con dos parámetros • La pdf de la exponencial con dos parámetros esta dada por: • Donde γ es el parámetro de localización (vida mínima). ¸ ì ì ¸ ì > ) > = ÷ ÷ t t f e t f t ; 0 ; 0 ) ( . ) ( ) ( Estadísticas de la Exponencial • Confiabilidad: • Confiabilidad Condicional: • Tasa de fallas: • Media (MTTF): ) ( ) ( ¸ ì ÷ ÷ = T e T R t e T R t T R t T R . ) ( ) ( ) , ( ì ÷ = + = ì ì = ) (T ì ¸ 1 + = MTTF El efecto λ en la pdf Exponencial • La pdf de la exponencial no tiene un parámetro de forma, porque solo tiene una forma. • La pdf siempre es convexa y se prolonga a la derecha con el valor de decrecimiento λ. • El valor de la función pdf siempre es igual al valor de λ en T=0 • El parámetro de localización γ positivo altera el inicio de la distribución a la derecha del origen, lo que significa que las fallas ocurrirán solo después de “γ” horas de operación. El efecto de λ en la pdf Ejercicio: • Un nuevo producto está siendo probado para determinar el periodo de garantía. El tiempo límite de ensayo es de 2 meses. • Después de este tiempo, solo 1 de 100 unidades falló (en 150 hrs). Las otras 99 fueron suspendidas en 1440 hrs de ensayo. • ¿Cómo debería ser determinado el periodo de garantía al 90% de Confiabilidad? Consideraciones Preliminares • Necesitamos determinar el periodo de garantía, el cual está directamente relacionado con la tasa de fallas. • Con una falla, ¿Se puede asumir la tasa de fallas? – Como solo se observó una falla, la distribución exponencial es una buena opción. – Con datos históricos se podría utilizar la distribución Weibull de un parámetro y luego calcular β. Solución: • El tiempo de garantía se calcula con: • Caso 1: Con Censura • Caso 2: Sin Censura ì ì ) ( ) ( . R Ln t e t R G t G G ÷ = = ÷ ¿ ¿ ¿ × + × = f s t fallas t S fallas # ) (# # ì ¿ ¿ × = f t fallas fallas # # ì Solución: • Estamos en el caso 1. • Para una confiabilidad del 90%: hr fallas / 10 7 150 1 1440 99 1 6 ÷ × = × + × = ì hr Ln t G 036 , 15 10 7 ) 9 . 0 ( 6 = × = ÷ Ejercicios Parte 5 UNIDAD 5 Distribución Normal Distribucion Normal • Es utilizada comúnmente en el análisis de Confiabilidad, para tiempos hasta la falla de componentes electrónicos y mecánicos, equipos o sistemas. • La pdf de la distribución normal es dada por: 2 2 1 2 1 ) ( | . | \ | ÷ = o µ t o T e T f Log normal pdf • Mientras la distribución normal es simétrica, la distribución log normal es asimétrica y desplazada hacia la izquierda, permitiendo una mejor adecuación para el modelo de datos de vida. Rel iaSoft Wei bul l ++7 - www.Reli aSoft.com Función de Densidad de Probabilidad µ=6.4531, o=1.8828, µ=0.9996 Tiempo, ( t) f ( t ) 0.000 2000.000 400.000 800.000 1200.000 1600.000 0.000 0.002 4.000E-4 8.000E-4 0.001 0.002 Pdf Datos 1 Lognormal-2P RRX MRE MED MF F=8/S=0 Lí nea de l a Fdp Juan Musayon TECSUP 01/02/2008 12:21:01 p.m. pdf de la distribución Normal • La distribución Normal es una distribución de 2 parámetros (μ,σ), y esta dada por: μ= Media normas de los tiempos de falla σ = Desviación estándar de los tiempos de falla. 2 2 1 2 1 ) ( | . | \ | ÷ = o µ t o T e T f Características • La pdf tiene el mismo valor para la media, mediana y moda. • La pdf tiene la forma de una campana y es simétrica en relación a la media. • La pdf no tiene parámetro de forma. Esto significa que tiene forma única. Características • La desviación estándar σ es el parámetro de escala de la pdf. • Si σ disminuye, la pdf se acerca a la media, es decir mas estrecha y mas alta. • Si σ aumenta, la pdf se torna mas ancha y mas baja. Ejercicio: • Se probaron 20 muestras de paletas de turbina para determinar su frecuencia natural. Basada en esta muestra, se desea determinar la porción de la población que poseerá frecuencias fuera del intervalo de 7,8 hasta 8,2 kHz. Ejercicio: • El siguiente cuadro muestra las frecuencias naturales de las paletas (en kHz) 7.93 8.08 7.76 7.88 8.14 7.97 7.57 7.98 7.50 8.12 7.89 7.64 7.91 8.02 8.00 7.98 8.11 8.06 8.02 7.94 Solución: • Necesitamos conocer la probabilidad del área sombreada: Solución: (ver tabla de distribución Normal) • Porción de la población mayor que 8.2 kHz: • Porción de la población menor que 7.8 kHz: • Porción de la población fuera de los límites especificados: % 8 . 5 ) 2 . 8 ( = > f P % 7 . 23 ) 8 . 7 ( % 8 . 76 1 ) 8 . 7 ( ) 8 . 7 ( 1 ) 8 . 7 ( = < ÷ = < > ÷ = < f P f P f P f P % 5 . 29 % 7 . 23 % 8 . 5 = + Distribución Lognormal Distribucion Lognormal • Es comúnmente utilizada en el análisis de Confiabilidad, en ciclos hasta la falla, para fatiga resistencia de materiales y en un proyecto probabilístico con cargas variables. • Cuando el logaritmo natural de los tiempos hasta la falla son normalmente distribuidos, entonces decimos que los datos siguen una distribución Log normal. • La pdf de la distribución lognormal es dada por: T’=LogT ( se saca primero el Log de los datos. luego se utiliza la Función normal) pdf de distribución Lognormal • Una variable aleatoria se distribuye de acuerdo log normalmente, si el logaritmo de la variable aleatoria se distribuye normalmente. • La distribución esta dada por: 2 2 1 2 1 ) ( | | . | \ | ÷ - - - - - = o µ t o T e T f Donde: T* = Ln(T), y T es el tiempo de falla μ* = media del logaritmo natural de los tiempos de falla σ* = desviación estándar del logaritmo natural de los tiempos de falla. Características: • La distribución lognormal es asimétrica, desplazada positivamente lo que da mas sentido al modelamiento de datos de vida. • La tasa de fallas es inicialmente creciente y luego decreciente. Rel iaSoft Wei bul l ++7 - www.Reli aSoft.com Función de Densidad de Probabilidad µ=6.4531, o=1.8828, µ=0.9996 Tiempo, ( t) f ( t ) 0.000 2000.000 400.000 800.000 1200.000 1600.000 0.000 0.002 4.000E-4 8.000E-4 0.001 0.002 Pdf Datos 1 Lognormal-2P RRX MRE MED MF F=8/S=0 Lí nea de l a Fdp Juan Musayon TECSUP 01/02/2008 12:21:01 p.m. Gráf ico de Tasa de Fallas vs. Tiempo Tiempo, ( t) T a s a d e F a l l a s , f ( t ) / C ( t ) 0.000 300.000 60.000 120.000 180.000 240.000 0.000 200.000 40.000 80.000 120.000 160.000 Ejercicios Parte 6 Ejercicio 1 • 8 unidades se someten a una prueba de vida hasta la falla. Las fallas ocurrieron a las 45, 140, 260, 500, 850, 1400, 3000 y 9000 horas. Estimar los parámetros de la distribución que mejor se ajuste a estos datos. • Determinar la confiabilidad a las 1000 hrs Solución: • Ploteando la probabilidad: • μ* = 6.45 • σ* = 1.88 • μ = 3735 hr • R(1000)= 40.5% Probabilidad - Lognormal Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 10.000 10000.000 100.000 1000.000 1.000 5.000 10.000 50.000 99.000 APLICACIONES GENERALES Datos de Mortalidad Humana Estado Año Estado Año Estado Año Estado Año Estado Año S 23 S 36 S 39 S 54 S 74 S 25 S 36 S 40 S 55 F 75 S 27 S 37 S 41 S 55 F 77 S 28 F 38 S 41 F 58 F 78 S 29 S 38 S 41 S 59 F 82 S 29 S 38 S 43 F 61 F 88 S 29 S 39 F 46 S 63 S 31 S 39 F 51 F 64 S 34 S 39 S 52 F 68 F 35 S 39 S 53 F 69 S 36 S 39 F 54 F 72 S= Vivo F=Fallecido Solución con distribución Exponencial λ =0.0067 R(50) =38.37% µ = 52.2 años Probabilidad - Exponencial Tiempo, ( t) C o n f i a b i l i d a d , C ( t ) 20.000 90.000 34.000 48.000 62.000 76.000 1.000 5.000 10.000 50.000 99.000 Solución con distribución Normal µ = 68.17 años σ = 15.36 R(50) =88.16% Probabilidad - Normal Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 20.000 90.000 34.000 48.000 62.000 76.000 1.000 5.000 10.000 50.000 99.000 µ´ = 4.198 σ´ = 0.2609 R(50) =86.38% µ = 68.88 años Solución con distribución LogNormal Probabilidad - Lognormal Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 10.000 100.000 1.000 5.000 10.000 50.000 99.000 Solución con distribución Weibull 2p β = 5.16 η = 74.08 R(50)=87.75% µ = 68.16 años Probabilidad - Weibull Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 10.000 100.000 1.000 5.000 10.000 50.000 90.000 99.000 Cálculos de Confiabilidad adicionales • Probabilidad de que una persona vivir hasta los 60 años: • Realizando el cálculo: R(t) = 71.48% • Probabilidad de que una persona con 40 años de edad sobrevivirá un año más (hasta 41 años): 99.44%. | q | | . | \ | ÷ = = t e t R ) 60 ( | | q q ) ( ) ( ) , ( T t T e e t T R ÷ + ÷ = Modelando Componentes de fallas • Se asume informaciones de falla/reparación para una flota de 10 camiones que están siendo monitoreadas y registrados. – Mas aún, suponga que un componente simple es de interés. – A continuación se muestran los datos registrados: Camión Evento Kilometraje Km para la falla Km sin falla 1 Primer reemplazo 62874 62874 Segundo reemplazo 95777 32903 Kilómetros recorridos 113266 17489 2 Primer reemplazo 33094 33094 Segundo reemplazo 64111 31017 Kilómetros recorridos 106945 42834 3 Primer reemplazo 5811 5811 Segundo reemplazo 47952 42141 Kilómetros recorridos 86366 38414 4 Primer reemplazo 74354 74354 Kilómetros recorridos 184755 110401 5 Primer reemplazo 48000 48000 Segundo reemplazo 57760 9760 Tercer reemplazo 83538 25778 Kilómetros recorridos 85758 2220 6 Primer reemplazo 28234 28234 Kilómetros recorridos 100281 72047 7 Primer reemplazo 14563 14563 Kilómetros recorridos 80052 65489 8 Primer reemplazo 28020 28020 Segundo reemplazo 114452 86432 Kilómetros recorridos 117980 3528 9 Primer reemplazo 46014 46014 Segundo reemplazo 66446 20432 Tercer reemplazo 91035 24589 Kilómetros recorridos 127216 36181 10 Primer reemplazo 65165 65165 Kilómetros recorridos 78226 13061 Ejercicio: Conjunto de datos de vida. Camión 1: - Falla con 62.874 millas - Falla con 32.903 millas - Operando sin fallas: 17.489 millas Camión 2: - Falla con 33.094 millas - Falla con 31.017 millas - Operando sin fallas: 42.834 millas Función de Densidad de Probabilidad Tiempo, ( t) f ( t ) 0.000 200000.000 40000.000 80000.000 120000.000 160000.000 0.000 2.000E-5 4.000E-6 8.000E-6 1.200E-5 1.600E-5 Análisis de Datos | q | q q | | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | = t e t t f 1 ) ( β = 1.6 η = 57505 Análisis de Datos Probabilidad - Weibull Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 1000.000 100000.000 10000.000 1.000 5.000 10.000 50.000 90.000 99.000 Cuestiones Básicas • Confiabilidad en cualquier tiempo: – 10.000 = 94.3% – 20.000 = 83% – … – 50.000 = 44.92% • Media hasta la falla= 51.576 Km • Mediana hasta la falla = 45.690 Km (50% de falla) Proyección de fallas • Un resultado de interés es la proyección del número esperado de fallas de un componente de la flota, para un periodo de tiempo futuro, dado el kilometraje actual de la flota. • La Probabilidad Condicional puede ser utilizada para determinar la probabilidad de fallas de cada componente, dado su kilometraje actual. – Basado en el modelo ajustado Weibull Proyecto de fallas (cont.) • Dada el kilometraje actual de la flota, ¿cuántas fallas mas debería esperar para los 10.000 Km siguientes? Camión 1 • Kilometraje actual del componente: 17.489. – Probabilidad de falla del componente para los 10.000 Km siguientes = 14.65% | q | q | | . | \ | ÷ | | . | \ | + ÷ = T t T e e t T R ) , ( % 65 . 14 1465 , 0 ) , ( 1 ) , ( % 35 . 85 8535 , 0 ) , ( 6 . 1 6 . 1 505 . 57 489 , 17 505 . 57 000 , 10 489 , 17 = = ÷ = = = = | . | \ | ÷ | . | \ | + ÷ t T R t T F e e t T R Proyecto de la Flota Camión Kilometraje Actual Probabilidad Condicional de falla 1 17489 0.14623 2 42834 0.22044 3 38414 0.20937 4 110401 0.34463 5 2220 0.07543 6 72047 0.28220 7 65489 0.26972 8 3528 0.08354 9 36181 0.20355 10 13061 0.12929 El mas probable que falle! LC para ejemplo de Camiones: Probabilidad - Weibull Tiempo, ( t) D e s c o n f i a b i l i d a d , F ( t ) 1000.000 100000.000 10000.000 1.000 5.000 10.000 50.000 90.000 99.000 UNIDAD 6 Intervalos de Confianza (Límites de Confianza) ¿Qué es Intervalo de Confianza? • El Intervalo de Confianza presenta una estimación de rango de valores que probablemente pueden contener el parámetro desconocido de la población. • El Intervalo estimado se calcula a partir de un conjunto de datos de la muestra. • Si las muestras son tomadas independientemente una de otras, de la misma población, entonces con un determinado porcentaje de certeza (nivel de confianza) el intervalo contendrá el parámetro estimado. ¿Qué es el intervalo de Confianza? • El intervalo de confianza nos da un rango de valores reales para un parámetro desconocido. – La amplitud del intervalo de confianza nos da una idea sobre la incertidumbre del parámetro desconocido. – Un intervalo muy grande indica que se necesita recolectar mas datos antes de tomar cualquier decisión sobre los parámetros. • Los Limites de Confianza son las fronteras para los intervalos de Confianza, es decir, los valores que definen el intervalo para los limites de confianza. ¿Qué es el intervalo de Confianza? • Los Limites de Confianza generalmente son de dos tipos: – Unilateral (one sided) – Bilaterales (two sided) Límites Bilaterales (Two-Sided Bounds) • Los limites de confianza bilaterales permiten observar donde esta situada la mayoría de la población. – Por ejemplo, cuando utilizamos 90% bilateral (two-sided), estamos diciendo que el 90% de la población esta entre X e Y con 5% menor que X y 5% mayor que Y. x y 90% 5% 5% Limites Unilaterales (One-sided Bounds) • Los intervalos unilaterales permiten observar el porcentaje mayor o menor (superior o inferior) en un cierto punto X. – Por ejemplo, 95% unilateral significa que 95% de la población es mayor que X, siendo X el limite inferior, o 95% de la población es menor que X, siendo X el limite superior. – Cuando estimamos la Confiabilidad, frecuentemente nos preocupamos si la Confiabilidad es mayor que la estimada (comparamos con el limite inferior, o sea se utiliza el limite unilateral inferior). Observaciones • Los Limites Bilaterales (two-sided) significa que, dado un nivel de confianza, el valor real estará entre estos limites (X% del tiempo). • Mientras que en el Limite Unilateral inferior tendremos X% de certidumbre que el valor es mayor que la línea limite ploteada, y en el caso de Limite unilateral superior tendremos X% de certidumbre que el valor es menor que la línea limite ploteada. Construcción de limites de Confianza • Preguntas ….. “Habla con la información, no con opiniones” Anónimo GRACIAS!!!!