Preguntas y Ejercicios Resueltos

Taller 01 de Electromagnetismo1 Pregunta rápida 1.1 Dos varillas aislantes se encuentran cargadas con cargas de signo contrario en sus dos extremos. Las dos varillas están apoyadas sobre sus centros, de modo que pueden girar libremente, y colocadas en la posición que se muestra en la figura 1.1, vista desde arriba. El plano de rotación de las varillas es el plano del papel. ¿Vuelven las varillas a dicha posición si se las separa ligeramente y luego se las libera? Si no es así, ¿a qué posición se moverán? ¿Representa la posición final (o posiciones finales, si hay más de una) un equilibrio estable? Figura 1.1 Si se perturba el sistema ¿volverá a esta posición? Respuesta y explicación La configuración es inherentemente inestable. Las cargas negativas se repelen. Cualquier ligera rotación de una de las varillas podría producir una rotación adicional que alejaría el sistema de su posición inicial. En el siguiente diagrama se muestran tres posibles configuraciones finales. La configuración (a) es estable: si se acercan los extremos superiores cargados positivamente, se repelerán y devolverán el sistema a su posición inicial. La configuración (b) representa un equilibrio inestable: si se acercan los extremos superiores, la atracción entre ellos será mayor que la de los extremos inferiores, acabándose en la configuración (c). La configuración (c) es estable. (a) (b) (c) Figura 1.2 Explicación de la pregunta rápida 1.1 Situación problémica 1.1 Una esfera cargada positivamente, pendiente de un hilo, se sitúa cerca de un objeto no conductor. La esfera es atraída por el objeto. A partir de este experimento, no es posible determinar si el objeto está cargado negativamente o es neutro. ¿Por qué no? ¿Qué experimento adicional sería de ayuda para decidir entre ambas posibilidades? Razonamiento La atracción entre la esfera y el objeto puede ser una atracción de cargas de signo contrario o también puede ser la atracción entre un objeto cargado y uno neutro debido a la polarización de las moléculas del objeto neutro. Hay dos posibles experimentos adicionales que ayudarían a determinar si el objeto estará cargado negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, éste estará cargado negativamente. Otra posibilidad consiste en situarse una esfera carga negativamente cerca del objeto; si la esfera es repelida por el objeto, éste estará cargado negativamente. Si la esfera es atraída por él, el objeto tendrá una carga neutra. Pregunta rápida 1.2 El objeto A tiene una carga de +2 μC y el objeto B tiene una carga de + 6 μC. ¿Cuál de las siguientes es correcta? (a) FAB = - 3FBA (b) FAB = - FBA (c) 3FAB = - FBA Respuesta y explicación (b) A partir de la tercera ley de Newton, la fuerza eléctrica que B ejerce sobre A es de igual magnitud y sentido contrario a la que A ejerce sobre B, es decir, FAB = - FBA Pregunta rápida 1.3 Una carga de prueba puntual de + 3 μC se encuentra situada en un punto P, donde el campo eléctrico debido a una serie de cargas fuente se dirige hacia la derecha y tiene una magnitud de 4x10 6 N/C. Si la carga de prueba se sustituye por una carga de – 3 μC, ¿qué le sucede al campo eléctrico en P? Respuesta y explicación Nada, suponiendo que las cargas fuente que crean el campo no sean perturbadas por nuestras acciones. Recuerde que el campo eléctrico no es creado por la carga de + 3 μC ni por la carga de -3 μC, sino por las serie de cargas fuente. Pregunta rápida 1.4 Una pelota de plástico muy pequeña, recubierta de metal y de carga neutra, está suspendida en el espacio entre dos placas metálicas verticales, Taller 01 de Electromagnetismo 2 donde existe un campo eléctrico uniforme. Si las dos placas están cargadas, una positiva y la otra negativamente, describa el movimiento de la pelota después de ponerla en contacto con una de las placas. Respuesta y explicación Las dos placas cargadas crean una región de campo eléctrico uniforme entre ellas, dirigido desde la positiva hacia la negativa. Si la pelota se perturba de modo que toque una de las placas, por ejemplo la negativa, una cierta carga negativa se transferirá a la pelota, que experimentará una fuerza de repulsión que acelerará hacia la placa positiva. Cuando toque la placa positiva, cederá su carga negativa y adquirirá carga positiva, y se acelerará de nuevo hacia la placa negativa. La pelota continuará realizando este movimiento de un lado a otro hasta que haya transferido la carga entre ellas, dejando ambas placas en estado eléctricamente neutro. Pregunta rápida 1.5 Cuando hace buen tiempo, aparece un campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra, que apunta hacia el interior de ésta. ¿Cuál es el signo de la carga del suelo en dicho caso? Respuesta y explicación Negativa, puesto que la líneas de campo eléctrico apuntan hacia abajo, el suelo debe tener cargas negativas. Pregunta rápida 1.6 Ordene los valores de la magnitud del campo eléctrico en los puntos A, B y C de la figura 1.3, de mayor a menor. Figura 1.3 Líneas de campo eléctrico por dos cargas puntuales positivas Respuesta y explicación A, B y C. El campo eléctrico máximo en A, puesto que las líneas se encuentran más juntas. El hecho de que no haya líneas en C indica que el campo allí es cero. Ejemplo conceptual 1.1 Si un objeto suspendido A es atraído hacia el objeto B, que está cargado, ¿podemos concluir que el objeto A está cargado? Razonamiento Figura 1.4: Atracción electrostática entre una esfera cargada B y un conductor neutro A No. El objeto A podría tener una carga de signo opuesto a la de B, pero también podría ser neutro. En este último caso , el objeto B hace que A se polarice, con lo cual atrae carga de un signo a la cara cercana de A, y al mismo tiempo desplaza una cantidad igual de carga del signo opuesto hacia la cara lejana, como se muestra en la figura 1.4. Así, la fuerza de atracción ejercida sobre B por cara inducida en el lado cercano de A es ligeramente mayor que la fuerza de repulsión ejercida sobre B por la carga inducida en lado lejano de A. En consecuencia, la fuerza neta sobre A está dirigida hacia B. Ejemplo 1.2 Determinación de la fuerza resultante Considere tres cargas puntuales localizadas en las esquinas de un triángulo, como se muestra en la figura 1.5, donde q1 = q2 = 5.0 μC, q3 = - 2.0 μC y a = 0.10 m. Encuentre la fuerza resultante sobre q3. Solución Primero observe la dirección de las fuerzas individuales ejercidas sobre q3 por q1 y q2. La fuerza ejercida sobre q3 por q2 es atractiva debido Taller 01 de Electromagnetismo 3 a que q3 y q2 tienen signos opuestos. La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es repulsiva debido a que ambas son positivas. Figura 1.5 La fuerza ejercida sobre q3 por q1 es F31. La fuerza ejercida sobre q3 por q2 es F32. La fuerza resultante ejercida por F3 sobre q3 es el vector suma F31 + F32 Calcule ahora la magnitud de las fuerzas sobre q3. La magnitud de F32 es: 2 2 3 e 32 a q q k F = ( )( ) ( ) 2 6 6 2 2 9 m 10 . 0 C 10 x 0 . 2 C 10 x 0 . 5 C m . N 10 x 99 . 8 ÷ ÷ | | . | \ | = N 0 . 9 = Advierta que en vista de que q3 y q2 tienen signos opuestos, F32 está dirigido hacia la izquierda, como se muestra 1.5 La magnitud de la fuerza ejercida sobre q3 y q1 es ( ) 2 1 3 e 31 a 2 q q k F = ( )( ) ( ) 2 6 6 2 2 9 m 10 . 0 2 C 10 x 0 . 5 C 10 x 0 . 5 C m . N 10 x 99 . 8 ÷ ÷ | | . | \ | = N 0 . 11 = La fuerza F31 es repulsiva y forma un ángulo de 45º con el eje x. En consecuencia, las componentes x y y de F31 son iguales, con magnitud dada por F31cos45º = 7.9 N. La fuerza F32 está en la dirección x negativa. Por tanto, las componentes x y y de la fuerza resultante sobre q3 son Fx = F31x + F32x = 7.9 N - 9.0 N = -1.1 N Fy = F31y = 7.9 N La fuerza resultante sobre q3, en forma de vector unitario como F1 = (-1.1i +7.9j) N. Ejemplo 1.3 ¿Dónde es igual a cero la fuerza resultante? Tres cargas se encuentran a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.6. La carga positiva q1 = 15.0 μC está en x = 2.00 m y la carga positiva q2 = - 6.00 μC está en el origen. ¿Dónde debe estar situada la carga q3 sobre el eje x de manera que la fuerza resultante sobre ella sea cero? Solución Puesto que q3 es negativa y tanto q1 como q2 son positivas las fuerzas F31 y F32 son atractivas, según se indica en la figura 1.6. Si dejamos que x sea la coordenada de q3 entonces las fuerzas F31 y F32 tienen magnitudes ( ) 2 1 3 e 31 x 00 . 2 q q k F ÷ = y 2 2 3 e 32 x q q k F = Figura 1.6 Tres cargas puntuales se colocan a lo largo del eje x. La carga q3 es negativa, en tanto que q1 y q2 son positivas: Si la fuerza neta sobre q3 es cero, entonces la fuerza sobre q3 debida a q1 deber ser igual y opuesta a la fuerza sobre q3 debida a q2. Para que la fuerza resultante sobre q3 sea cero, F32 debe ser igual y opuesta a F31, o ( ) 2 1 3 e 2 2 3 e x 00 . 2 q q k x q q k ÷ = Puesto que ke y q3 son comunes en ambos lados, despejamos x y encontramos que ( ) 1 2 2 2 q x q x 00 . 2 = ÷ ( )( ) ( ) C 10 0 . 15 x C 10 00 . 6 x x 00 . 4 00 . 4 6 2 6 2 ÷ ÷ × = × + ÷ Taller 01 de Electromagnetismo 4 Al resolver está ecuación cuadrática para x, encontramos que x = 0.775 m Ejemplo 1.4 El átomo de hidrógeno El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados por una distancia en promedio de 5.3x10 -11 m. Encuentre la magnitud de la fuerza eléctrica y la fuerza gravitacional entre las dos partículas. Solución De acuerdo con ley de Coulomb, encontramos que la fuerza eléctrica atractiva tiene la magnitud 2 2 e e r e k F = ( ) ( ) 2 11 2 19 2 2 9 e m 10 x 3 . 5 C 10 x 60 . 1 C m . N 10 x 99 . 8 F ÷ ÷ = N 10 x 2 . 8 F 8 e ÷ = Utilizando la ley de gravedad de Newton para las masas de partículas determinamos que la fuerza gravitacional tiene la magnitud 2 p e g r m m G F = ( )( ) ( ) 2 11 27 31 2 2 11 g m 10 x 3 . 5 kg 10 x 67 . 1 kg 10 x 11 . 9 kg m . N 10 x 7 . 6 F ÷ ÷ ÷ ÷ × | | . | \ | = N 10 x 6 . 3 F 47 g ÷ = La razón 39 g e 10 x 2 F F ~ . Así pues, la fuerza gravitacional entre partículas atómicas cargadas es despreciable comparada con la fuerza eléctrica. Ejemplo 1.5 Determinación de la carga en esferas Dos pequeñas esferas idénticas cargadas, cada una con 3.0x10 -2 kg de masa, cuelgan en equilibrio como se indica en la figura 1.7. Si la longitud de cada cuerda es 0.15 m y el ángulo θ = 5.0º, encuentre la magnitud de la carga sobre cada esfera. Figura 1.7 Dos esferas idénticas, cada una con la misma carga q, suspendida en equilibrio por medio de cuerdas. De acuerdo con el triángulo rectángulo de la figura 1.7, vemos que L a sen = u . Por consiguiente ( ) m 013 . 0 º 0 . 5 sen m 15 . 0 Lsen a = = u = La separación de las esferas es 2a = 0.026 m Figura 1.8 El diagrama de cuerpo libre para la esfera cargadas en el lado izquierdo. La fuerza que actúan sobre una de las esferas se muestran en la figura 1.8: Debido a que la esfera está en equilibrio, las resultantes de las fuerzas en las direcciones horizontal y vertical deben sumar cero por separado: Taller 01 de Electromagnetismo 5 0 F Tsen F ) 1 e x = ÷ u = E 0 mg cos T F ) 2 y = ÷ u = E En la ecuación (2), venos que u = cos mg T , por lo que T puede eliminarse de 1) si hacemos esta sustitución. Lo anterior brinda un valor para la fuerza eléctrica, e F u tan ) 3 mg F e = ( )( ) º 0 . 5 tan s / m 80 . 9 kg 10 x 0 . 3 F 2 2 e ÷ = N 10 x 6 . 2 F 2 e ÷ = De la ley de Coulomb, la fuerza eléctrica entre las cargas tiene magnitud 2 2 e e r q k F = donde r = 2a = 0.026 m y la q es la magnitud de la carga en cada esfera. (Advierta que el término 2 q surge aquí debido a que la carga es la misma en ambas esferas). En esta educación puede despejarse 2 q y obtenerse 2 2 9 2 2 e e 2 C / m . N 10 x 99 . 8 ) m 026 . 0 )( N 10 x 6 . 2 ( k r F q ÷ = = C 10 x 4 . 4 q 8 ÷ = Ejemplo 1.6 Fuerza eléctrica sobre un protón Encuentre la fuerza eléctrica sobre un protón ubicado en un campo eléctrico de 2.0x10 4 N/C dirigido a lo largo del eje x positivo. Solución Puesto que la carga sobre el protón es + e = 1.6x10 -19 C, la fuerza eléctrica sobre él es F = eE = (1.6x10 -19 C)(2.0x10 4 i N/C) = 3.2x10 -15 N donde i es un vector unitario en la dirección x positiva. El peso del protón es mg = (1.67x10 -27 kg)(9.8m/s 2 ) = 1.6x10 -26 N. Por consiguiente, vemos que la magnitud de la fuerza gravitacional en este caso es despreciable comparada con la fuerza eléctrica. Ejemplo 1.7 Campo eléctrico debido a dos cargas Una carga q1 = 7.0 μC se localiza en el origen y una segunda carga q2 = - 5.0 μC se ubica en el eje x a 0.30 m del origen, (figura 1.9). Encuentre el campo eléctrico en el punto P, el cual tiene coordenadas (0, 0.40) m. Solución Primero encuentre la magnitud del campo eléctrico producido por cada carga. Los campos E1 producidos por la carga de 7.0 μC y E2 debido a la carga - 5.0 μC se muestran en la figura 1.9. Sus magnitudes son ( ) ( ) 2 6 2 2 9 2 1 1 1 40 . 0 10 0 . 7 . 10 99 . 8 m C x C m N x r q K E e ÷ | | . | \ | = = C N x E / 10 9 . 3 5 1 = ( ) ( ) 2 6 2 2 9 2 2 2 2 50 . 0 10 0 . 5 . 10 99 . 8 m c x C m N x r q K E e ÷ | | . | \ | = = C N x E / 10 8 . 1 5 2 = Figura 1.9 El campo eléctrico total E en P es igual a la suma vectorial E1+E2, donde E1 es campo debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2 El vector E1 tiene sólo una componente y. El vector E2 tiene una componente x dada por Taller 01 de Electromagnetismo 6 E1cosθ = 3/5E1 y, una componente negativa dada por -E2Senθ = -4/5 E2. Por tanto, podemos expresar el vector como E1 = 3.9x10 5 j N/C E2 = (1.1 x10 5 i -1.4 x10 5 j) N/C El campo resultante E en P es la superposición de E1 y E2: E = E1 + E2 = (1.1X10 5 i + 2.5x10 5 j) N/C De acuerdo con este resultado, encontramos que E tiene una magnitud de 2.7x0 5 N/C y forma un ángulo Φ de 66º con el eje x positivo. Ejemplo 1.8 Campo eléctrico de un dipolo Un dipolo eléctrico está compuesto por una carga positiva +q y una carga negativa -q separadas por una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.10. Determine el campo eléctrico E debido a estas cargas a lo largo del eje y en el punto P, el cual está a una distancia y del origen. Suponga que y >>a. Solución En P, los campos E1 y E2 debido a las dos cargas son iguales en magnitud, ya que P es equidistante de las dos cargas iguales y opuestas. El campo total E = E1 + E2, donde ( ) 2 2 2 2 2 1 a y q k r q k E E e e + = = = Las componentes y de E1 y E2 se cancelan entre sí. Las componentes x son iguales pues ambas están a lo largo del eje x. En consecuencia, E es paralela al eje x y tiene una magnitud igual a 2E1cosθ. En la figura 1.10 vemos que cosθ = a/r = a/(y 2 +a 2 ) 1/2 . ( ) ( ) 2 / 1 2 2 2 2 2 1 2 cos 2 a y a a y q kk E E e + + = = u ( ) 2 / 3 2 2 2 a y qa k E e + = Utilizando la aproximación y>>a, podemos ignorar a 2 en el denominador y escribir 3 2 y qa k E e = Figura 1.10 El campo eléctrico total E en P debido a dos cargas iguales y opuestas (un dipolo eléctrico) es igual a la suma vectorial E1+E2. El campo E1 se debe a la carga positiva +q y E2 es el campo debido a la carga negativa – q. De este modo vemos que a lo largo del eje y el campo de un dipolo en un punto distante varía como 1/r 3 , en tanto que el campo de variación más lenta de una carga puntual varía como 1/r 2 en E para el dipolo se obtiene también para un punto distante a lo largo del eje x (solucionar este problema) y para un punto distante general. El dipolo es un buen modelo de muchas moléculas como el HCl Ejemplo 1.9 Campo eléctrico debido a una barra cargada Una barra de longitud tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria λ y una carga total Q. Calcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo (Figura 1.11) Razonamiento y solución En este cálculo se considera que la barra está sobre el eje x. Utilicemos Δx para representar la longitud de un pequeño segmento de la barra y expresamos con Δq la carga sobre el segmento. La proporción entre Δq y Δx es igual a la proporción entre la carga total y la longitud total de Taller 01 de Electromagnetismo 7 la barra. Es decir Δq/ Δx = Q/ = λ. Por tanto, la carga Δq sobre el pequeño segmento es Δq = λ Δx. Figura 1.11 El campo eléctrico en P debido a una barra está cargada uniformemente que yace a lo largo del eje x. El campo en P debido al segmento de carga Δq es ke Δq/x 2 . El campo total en P es la suma vectorial sobre todos los segmentos de la barra. El campo ΔE producido por este segmento en el punto P está en la dirección x negativa y su magnitud es 2 2 x x k x q k E e e A = A = A ì Observe que cada elemento produce un campo en la dirección x negativa por lo que el problema de sumar sus contribuciones es particularmente simple en este caso. El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a diferencia distancias desde P, está dado por la siguiente ecuación r r dq k E e ˆ 2 } =  , que en este caso se convierte en: } + =   d d e x dx k E 2 ì donde los límites en la integral se extienden desde un extremo se la barra (x =d) hasta el otro (x = + d). Puesto que ke y λ son constantes, pueden salir del integrando. De esta forma encontramos que d d e d d e x k x dx k E + + ( ¸ ( ¸ ÷ = = }    1 2 ì ì ( ) d d Q k d d k E e e + = | . | \ | + ÷ =    1 1 ì donde hemos usado el hecho que la carga total Q = λ . A partir de este resultado vemos que si el punto P está bastante lejos de la barra (d >> ), entonces puede ignorarse en el denominador, y E = keQ/d 2 . Esta es exactamente la forma que usted esperaría para una carga puntual. Por tanto, en el caso de grandes valores de d/ , la contribución de la carga aparece como una carga puntual de magnitud Q. Utilizar la técnica de límite (d/ → ∞) es un buen método para verificar una fórmula teórica. Ejemplo 1.10 Campo eléctrico de un anillo de carga uniforme Un anillo de radio a tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud, con una carga total Q. Calcule el campo eléctrico d lo largo del eje x del anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x del centro del anillo ( Ver figura 1.12) Razonamiento y solución Figura 1.12 Un anillo cargado uniformemente de radio a (a) El campo en P sobre el eje x debido a un elemento de carga dq (b) El campo eléctrico total en P está a lo largo del eje x. Advierta que la componente perpendicular del campo eléctrico en P debido al segmento 1 es cancelado por la componente perpendicular debida al segmento 2, el cual se localiza en el segmento q opuesto al anillo. Taller 01 de Electromagnetismo 8 La magnitud del campo eléctrico en P debido al segmento de carga dq es 2 r dq k dE e = Este campo tiene una componente dEx = dEcosθ a lo largo del eje del anillo y una componente dE┴ perpendicular al eje. Sin embargo, como vemos en la figura 1.12, el campo resultante en P debe estar sobre el eje x debido a que la suma de las componentes perpendiculares es igual a cero. Es decir, la componente de cualquier elemento es cancelada por la componente perpendicular de un elemento en el lado opuesto del anillo. Puesto que r = (x 2 + a 2 ) 1/2 y cosθ = x/r encontramos que ( ) dq a x x k r x r dq k dE dE e e x 2 / 3 2 2 2 cos + = | . | \ | = = u En este caso, todo los segmentos del anillo producen la misma contribuciones al campo en P puesto todos son equidistantes de este punto. Así, podemos integrar la expresión anterior para obtener el campo total en P. ( ) ( ) } } + = + = dq a x x k dq a x x k E e e x 2 / 3 2 2 2 / 3 2 2 ( ) Q a x x k E e x 2 / 3 2 2 + = Este resultado nuestra que el campo es cero en x = 0 ¿Esto le sorprende? Ejemplo 1.11 Campo eléctrico de un disco cargado uniformemente Un disco de radio R tiene una carga uniforme por unidad de área σ. Calcule el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central del disco y a una distancia x de su centro (ver figura 1.13). Razonamiento La solución a este problema es directa si consideramos al disco como un conjunto de anillos concéntricos. Podemos usar entonces el ejemplo 1.10, el cual produce el campo de un anillo de radio r, y sumar las contribuciones de todos los anillos que conforman el disco. Por simetría, el campo sobre un punto axial debe ser paralelo a este eje. Figura 1.13 Un disco cargado uniformemente de radio R. El campo eléctrico en un punto axial P está dirigido a lo largo de este eje, perpendicular al plano del disco. Solución El anillo de radio r y ancho dr tiene un área igual a 2πrdr (ver figura 1.13). La carga dq sobre este anillo es igual al área del anillo multiplicada por la carga por unidad de área, o dq = 2πσrdr: Usando este resultado en la ecuación dada para Ex en el ejemplo 1.10 (con a sustituida por r) se produce para el campo debido al anillo la expresión ( ) ( ) rdr a x x k dE e to 2 2 / 3 2 2 + = Para obtener el campo total en P, integramos esta expresión sobre los límites r = 0 hasta r = R, observando que x es una constante. Esto se transforma en: ( ) } + = R e r x rdr x k E 0 2 / 3 2 2 2 to ( ) R e r x x k E 0 2 / 1 2 2 2 / 1 ( ( ¸ ( ¸ ÷ + = ÷ to ( ) | | . | \ | + ÷ = 2 / 1 2 2 R x x x x k E e to El resultado es válido para todos los valores de x. El campo cercano al disco sobre un punto axial puede obtener también a partir de 1) suponiendo que R > x. 0 2c o to = = x k E e Taller 01 de Electromagnetismo 9 donde Є0 es la permitividad del campo espacio libre o vacío. Ejemplo 1.12 Una carga positiva acelerada Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E dirigido a lo largo del eje x, como se muestra en la figura 1.14 Describa su movimiento Figura 1.14 Una carga puntual positiva q en un campo eléctrico uniforme E experimenta una aceleración constante en la dirección del campo. Razonamiento y solución La aceleración de la carga es constante y está dada por qE/m. El movimiento es en línea recta a lo largo del eje x. Por consiguiente, podemos aplicar las ecuaciones de la cinemática para movimiento rectilíneo con aceleración constante. 2 0 0 2 1 at t v x x + = ÷ at v v + = 0 ( ) 0 2 0 2 2 x x a v v ÷ + = Si x0 = 0 y v0 = 0 se obtiene 2 2 2 2 1 t m qE at x = = t m qE v = x m qE v 2 2 = La energía cinética de al carga después de que se ha movido una distancia x es qEx x m qE m mv K = | . | \ | = = 2 2 1 2 1 2 Este resultado también puede obtener del teorema del trabajo y la energía, gracias a que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica es qEx x F e = y K W A = Ejemplo 1.13 Un electrón acelerado En la figura 1.15 se muestra un electrón que entra a la región de un campo eléctrico uniforme con v0 = 3.00x10 6 m/s y E = 200 N/C. El ancho de las placas es = 0.100 m (a) Encuentre la aceleración del electrón mientras está en el campo eléctrico. Figura 1.15 Un electrón se lanza horizontalmente en un campo eléctrico uniforme producido por dos placas cargadas: El electrón se somete a una aceleración hacia abajo (opuesta E) y su movimiento es parabólico. Solución Puesto que la carga en el electrón tiene una magnitud de 1.60x10 -19 C y m = 9.11x10 -31 kg, utilizando un análisis similar al ejemplo 1.12 se tiene que ( )( ) j kg x C N C x j m eE a    31 19 10 11 . 9 / 200 10 6 . 1 ÷ ÷ = ÷ = s m j x a / 10 51 . 3 13   ÷ = b) Encuentre el tiempo que tarda el electrón en viajar a través de la región Solución La distancia horizontal recorrida por el electrón mientras está en el campo eléctrico es = 0.100 m. Empleando la ecuación x = v0t con Taller 01 de Electromagnetismo 10 x = , encontramos que el tiempo que transcurre en el campo eléctrico es s x v t 8 6 0 10 33 . 3 m/s 3.00x10 m 100 . 0 ÷ = = =  c) ¿cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en el campo eléctrico? Solución Utilizando la ecuación 2 2 2 1 2 1 t m eE at y ÷ = = y los resultados de a) y b), encontramos que ( )( ) 2 8 2 13 2 10 33 . 3 / 10 51 . 3 2 1 2 1 s x s m x at y ÷ ÷ = = cm m y 95 . 1 0195 . 0 ÷ = ÷ = Si la separación entre las placas es más pequeña que esto, el electrón golpeará la placa positiva. Pregunta rápida 1.7 Para una superficie gaussiana a través de la cual el flujo neto sea cero, las siguientes cuatros afirmaciones podrían ser ciertas. ¿Cuáles de ellas deben ser necesariamente ciertas? (a) No hay cargas en el interior de la superficie. (b) La carga neta en el interior de la superficie es cero. (c) El campo eléctrico es cero en todos los puntos de la superficie. (d) El número de líneas de campo eléctrico que entran en superficie es igual al número de líneas de campo que salen de ella. Explicación y respuesta Figura 1.16 Carga puntual situado en el exterior de una superficie cerrada. El número de líneas que entran en la superficie es igual al de líneas que salen de la misma. (b) y (d). (a) no es necesariamente cierta, puesto que podría haber el mismo número de cargas positivas y negativas en el interior de la superficie. (c) no es necesariamente cierta, como puede en la figura 1.16, donde existe un campo eléctrico no nulo sobre todos los puntos de la superficie, pero la carga neta cerrada por ésta es cero, de modo que el flujo eléctrico neto es cero. Situación problémica 1.2 Una superficie gaussiana esférica encierra una carga puntual q. Describa qué le ocurre al flujo neto a través de la superficie si (a) se triplica la carga, (b) se duplica el volumen de la esfera, (c) la superficie se convierte en un cubo, y (d) la carga se mueve a otro punto en el interior de la superficie. Razonamiento (a) Si se triplica la carga, el flujo neto a través de la superficie también se triplica, puesto que el flujo neto es proporcional a la carga encerrada por la superficie. (b) El flujo neto permanece constante si el volumen varía puesto que la superficie sigue encerrando la misma carga, sin importar su volumen. (c) El flujo neto no varía cuando varía la forma de la superficie cerrada. (d) El flujo neto a través de la superficie cerrada permanece constante si la carga se mueve a otro punto, mientras este segundo punto se encuentre en el interior de la superficie. Situación problémica 1.3 Considere una carga puntual +Q situada en el espacio vacío. Se rodea la carga con cascarón esférico conductor, de modo que la carga se encuentre en el centro de éste. ¿Qué efecto tiene esto sobre las líneas de campo creadas por la carga? Razonamiento Al rodear la carga con el cascarón esférico conductor, las cargas de la superficie conductora se desplazarían para satisfacer las condiciones de un conductor en equilibrio electrostático, así como la ley de Gauss. Aparecerá una carga neta –Q sobre la superficie interior del conductor, de modo que el campo eléctrico en el interior del conductor se anula (una superficie esférica en el interior de la superficie conductora rodeará una carga neta igual cero). Por tanto, aparecerá una carga +Q sobre la superficie exterior del cascarón. De este modo, una superficie gaussiana situada en el Taller 01 de Electromagnetismo 11 exterior del cascarón encerrará una carga neta +Q, la misma que habría si el cascarón no hubiera estado allí. Por tanto, el cambio en las líneas de campo es la ausencia de líneas en el interior del cascarón conductor. Ejemplo 1.14 Flujo a través de un cubo Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x. Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cabo de lados orientado como se indica en la figura 1.17 Solución El flujo neto puede evaluarse al sumar los flujos a través de cada cara del cubo. En primer lugar, observe que el flujo a través de cuatro de las caras es cero, puesto que E, es perpendicular a dA es perpendicular a E en las caras marcadas con y en la figura 1.16. En consecuencia, θ = 90º, por lo que E.dA = EdAcos90º = 0. Por la misma razón de los planos paralelos al plano xy también es cero. Figura 1.17 Una superficie hipotética en forma de cubo en un campo eléctrico uniforme paralelo al eje x. El flujo neto a través de la superficie es cero Considere ahora las caras marcadas con y . El flujo neto a través de éstas es } } - + - = u 2 1 A d E A d E e     Para la cara E es constante y apunta hacia adentro, en tanto que dA apunta hacia fuera (θ = 180º), de manera que encontramos que el neto a través de esta cara es } } } ÷ = ÷ = ÷ = = - 1 1 2 1 º 180 cos    E EA dA E EdA A d E puesto que el área de cada cara es 2  = A . Del mismo modo en E es constante y apunta hacia afuera y en la misma dirección que dA (θ = 0º), por lo que el flujo a través de esta cara es } } } = = = = - 2 1 2 2 º 0 cos    E EA dA E EdA A d E Por tanto, el flujo neto sobre todas las caras es cero, ya que 0 2 2 = + ÷ = u   E E e Ejemplo 1.15 El campo eléctrico debido a una carga puntual A partir de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico debido a una carga puntual aislada q y demuestre que la ley de Coulomb se deduce de este resultado. Solución Para esta situación elegimos una superficie gaussiana esférica de radio r y centrada en la carga puntual, como en la figura 1.18. El campo eléctrico de una carga puntual positiva apunta radialmente hacia fuera por simetría y es, por tanto, normal a la superficie en todo punto. Es decir, E es paralelo a dA en cada punto, por lo que E.dA = EdA y aplicando la ley de Gauss se tiene } } = = - = u 0 c q EdA A d E e   Figura 1.18 La carga puntual q está en el centro de la superficie gaussiana esférica y E es paralela dA en todos los puntos sobre la superficie Por simetría, E es constante en todo los puntos sobre la superficie, por lo que puede sacarse de la integral. Por consiguiente Taller 01 de Electromagnetismo 12 ( ) } } = = = 0 2 4 c t q r E dA E EdA donde hemos aprovechado el hecho de que el área de la superficie de una esfera es 4πr 2 . Por tanto, la magnitud del campo a una distancia r de q es 2 2 0 4 r q k r q E e = = tc Si una segunda carga puntual q0, se sitúa en un punto donde el campo es E, la fuerza eléctrica sobre la carga tiene una magnitud 2 0 0 r qq k E q F e e = = Previamente obtuvimos la ley de Gauss a partir de ley de Coulomb. Aquí mostramos que la ley de Coulomb se desprende de la ley Gauss. Son equivalentes. Ejemplo 1.16 Una distribución de carga simétrica esféricamente Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga positiva Q (figura 1.19), a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de esfera b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. Solución Puesto que la distribución de carga es simétrica esféricamente, seleccionamos también es este caso una superficie gaussiana esférica de radio r, concéntrica con esfera, como en la figura 1.18a. Siguiendo la línea de razonamiento dada en el ejemplo 1.15, encontramos que ) r (para 2 a r Q k E e > = Observe que este resultado es idéntico al obtenido para una carga puntual. Por tanto, concluimos que, para una esfera cargada uniformemente, el campo en la región externa a la esfera es equivalente al de una carga puntual localizada en el centro de la esfera. Figura 1.19 una esfera aislante cargada uniformemente de radio a y una carga total Q. a) El campo en un punto exterior a al esfera es keQ/r 2 . b) el campo dentro de la esfera se debe sólo a la carga dentro de la superficie gaussiana y está dado por (keQ/a 3 )r b) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de la esfera. Razonamiento y solución En este caso elegimos una superficie gaussiana con radio r < a, concéntrica con la distribución de carga (ver figura 1.19b). Expresamos el volumen de esta esfera más pequeña mediante V' . Para aplicar la ley de Gauss en esta situación es importante observar que la carga qin dentro de la superficie gaussiana de volumen V' es una cantidad menor que la carga total Q. Para calcular la carga qin, si usa el hecho de que V q in ' = µ , donde µ es la carga por unidad de volumen y V' es el volumen encerrado por la superficie gaussiana, dado por 3 3 4 r V t = ' para una esfera. Por tanto. | . | \ | = ' = 3 3 4 r V q in t µ µ Como en el ejemplo 1.15, la magnitud del campo eléctrico es constante en cualquier punto de la superficie gaussiana esférica y es normal a la superficie en cada punto. Por consiguiente, la ley de Gauss en la región r < a se tiene ( ) } } = = = 0 2 4 c t in q r E dA E EdA Al despejar E se obtiene r r r r q E in 0 2 0 3 2 0 3 4 3 / 4 4 c µ tc t µ tc = = = Taller 01 de Electromagnetismo 13 Puesto que por definición 3 0 3 / 4 a Q tc µ = , esto puede expresarse de la siguiente manera r a Q k r a Q E e 3 3 0 4 = = tc Advierta que este resultado para E difiere del obtenido en el inciso a). Éste muestra que E→0 mediante r →0, como tal vez usted pudo haber pronosticado de acuerdo con la simetría esférica de la distribución de carga. En consecuencia, el resultado elimina la singularidad que existiría en r = 0 si E varía como 1/r 2 dentro de la esfera. Es decir, si 2 / 1 r E · , el campo sería infinito en r = 0, lo cual es, sin duda, una situación imposible físicamente. Una grafica de E contra r se muestra en la figura 1.20 Figura 1.20 Una gráfica de E contra r para una esfera aislante cargada uniformemente: El campo dentro de la esfera (r < a) varía linealmente con r. El campo fuera de la esfera (r >a) es el mismo que el de una carga puntual Q localizada en el origen. Ejemplo 1.17 El campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado Un cascarón esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie (ver figura 1.21). Encuentre el campo eléctrico en puntos dentro y fuera del cascarón. Razonamiento y solución El cálculo del campo fuera del cascarón es idéntico al ya realizado para la esfera sólida en el ejemplo 1.16. Si construimos una superficie gaussiana esférica de radio r > a, concéntrica con el cascarón, entonces la carga dentro de esta superficie es Q. En consecuencia, el campo en un punto fuera del cascarón es equivalente al de una carga puntual Q en el centro. ) r (para 2 a r Q k E e > = Figura 1.21 a) El campo eléctrico interior de un cascarón esférico cargado uniformemente es cero. b) El campo exterior es el mismo que el de una carga puntual con una carga total Q localizada en el centro del cascarón. c) Superficie gaussiana para r < a El campo eléctrico dentro del cascarón esférico es cero. Esto se desprende también de la ley de Gauss aplicada a una superficie esférica de radio r < a. Puesto que la carga neta dentro de la superficie es cero y por la simetría esférica de la distribución de carga, la aplicación de la ley de Gauss muestra que E = 0 en la región r < a, Ejemplo 1.18 Una distribución de una carga simétrica cilíndricamente Encuentre el campo eléctrico a una distancia r de una línea de carga positiva y uniforme de longitud infinita cuya carga por unidad de longitud es λ uniforme (ver figura 1.22) Razonamiento La simetría de la distribución de carga muestra que E debe ser perpendicular a la línea de carga y apuntar hacia afuera, como en la figura 1.22a. La vista del extremo de la línea de carga mostrada en la figura 1.22b ayuda a visualizar las direcciones de las líneas de campo eléctrico. En este caso elegimos una superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud que es coaxial con la línea de carga. Para la parte curva de esta superficie, E es constante en magnitud y perpendicular a la superficie en cada punto. Además, el flujo a través de los extremos del cilindro gaussiano es cero debido a que E es paralelo a estas superficies. Solución La carga total dentro de nuestra superficie gaussiana es λ . Al aplicar la ley de Gauss y Taller 01 de Electromagnetismo 14 advertir que E es paralelo a dA en todos los puntos sobre la superficie curva del cilindro, encontramos que 0 0 c ì c |    = = = - = } } in e q dA E A d E Pero el área de la superficie es  r 2t = A , por tanto, ( ) 0 r 2 c ì t   = E r k r E e ì tc ì 2 2 0 = = Figura 1.22 (a) Una línea de carga infinita rodeada por una superficie gaussiana cilíndrica concéntrica con la línea de carga. (b) Una vista de extremo muestra que el campo sobre la superficie cilíndrica es constante en magnitud y perpendicular a la superficie. Si la línea de carga tiene una longitud finita, el resultado para E no es el dado por la ecuación r k E e ì 2 = . Para puntos cercanos a la línea de carga y alejados de los extremos, la ecuación anterior proporciona una buena aproximación del valor del campo. Esto se traduce en que la ley de Gauss no es útil para calcular E en el caso se una línea de carga finita. Esto se debe a que la magnitud del campo eléctrico ya no es constante sobre la superficie del cilindro gaussiano. Además, E no es perpendicular a la superficie cilíndrica en todos los puntos. Cuando hay poca simetría la distribución de carga, como se este caso, es necesario calcular E utilizando la ley de Coulomb. Ejemplo 1.19 Una lámina plana de carga no conductora Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con carga uniforme por unidad de área σ. Razonamiento La simetría de la situación señala que E debe ser perpendicular al plano y que la dirección de E en un lado del plano debe ser opuesta a su dirección en el otro lado, como se muestra en la figura 1.23. Es conveniente elegir para nuestra superficie gaussiana un cilindro pequeño cuyo eje sea perpendicular al plano y cuyos extremos tengan cada uno un área A y sean equidistantes del plano. Figura 1.23 Una superficie gaussiana cilíndrica que penetra una lámina de carga infinita. El flujo a través de cada extremo de la superficie gaussiana es EA. No hay flujo a través de la superficie curva del cilindro. Taller 01 de Electromagnetismo 15 En este caso vemos que E es paralelo a la superficie cilíndrica, no hay flujo a través de esta superficie. El flujo hacia afuera de cada extremo del cilindro es EA (puesto que E es perpendicular a los extremos); por tanto, el flujo total a través de nuestra superficie gaussiana es 2EA. Solución Notando que la carga total dentro de la superficie es σA, aplicando la ley de Gauss para obtener 0 0 2 c o c | A q EA in e = = = 0 2c o = E Puesto que la distancia de la superficie a partir del plano no aparece en la ecuación anterior, concluimos que 0 2 / c o = E a cualquier distancia desde el plano. Es decir, el campo es uniforme en todos lados. Ejemplo conceptual 1.20 Explique por qué la ley de Gauss no puede utilizarse para calcular el campo eléctrico de a) un dipolo eléctrico, b) un disco cargado, y c) tres cargadas puntuales en las esquinas de un triángulo. Razonamiento Los patrones de campo eléctrico de cada una de estas tres configuraciones no tienen suficiente simetría para hacer los cálculos prácticos. (La ley de Gauss en forma integral sólo es útil para calcular el campo eléctrico de distribuciones de carga altamente simétricas, como esferas, cilindros y láminas cargadas uniformemente). Con el fin de aplicar la ley Gauss en forma integral, usted debe ser capaz de encontrar una superficie cerrada que rodee la distribución de carga, la cual puede subdividirse de manera que la magnitud del campo sobre las regiones independientes de la superficie sea constante. Una superficie de este tipo no puede encontrarse en estos casos. Ejemplo 1.21 Una esfera dentro de un cascarón esférico. Una esfera conductora sólida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q (figura 1.24). Un cascarón esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrico con la esfera sólida y tiene una carga neta –Q. Mediante el empleo de la ley de Gauss, determine el campo eléctrico en las regiones marcadas con , , y y la distribución de carga sobre el cascarón esférico. Figura 1.24 Una esfera conductora sólida de radio a y carga 2Q rodeada por un cascarón esférico conductor de carga –Q. Razonamiento y solución Advierta primero que la distribución de carga en ambas esferas tiene simetría esférica, puesto que éstas son concéntricas. Para determinar el campo a diversas distancias r del centro, construimos superficies gaussianas esféricas de radio r. Para encontrar E en el interior de la esfera sólida de radio a (región ), considere una superficie gaussiana de radio r < a. Puesto que no hay carga dentro de un conductor en equilibrio electrostático, vemos que qin = 0, por lo que de la ley de Gauss y la simetría, E1 = 0 para r < a. De este modo, concluimos que la carga neta 2Q sobre la esfera sólida se distribuye sobre su superficie exterior. En la región sobre las esferas, donde a < r < b, construimos una superficie gaussiana esférica de radio r y advertimos que la carga dentro de esta superficie es + 2Q (la carga sobre la esfera interior). Debido a al simetría esférica, las líneas de campo eléctrico deben apuntar radialmente hacia afuera y ser de magnitud constante sobre la superficie gaussiana. Siguiendo el ejemplo 1.15 y utilizando la ley de Gauss, encontramos que ( ) 0 0 2 2 2 2 r 4 c c t Q q E A E in = = = Taller 01 de Electromagnetismo 16 b) r a (para 2 r 4 2 2 2 0 2 < < = = r Q k Q E e tc En la región donde r > c, la superficie gaussiana esférica que rodea a una carga total qin = 2Q + (-Q) = Q. En consecuencia, la ley de Gauss aplicada a esta superficie origina. c) r (para 2 2 > == r Q k E e Por último, considere la región , donde b < r < c. El campo eléctrico debe ser cero en esta región debido a que el cascarón esférico es también un conductor en equilibrio. Si construimos una superficie gaussiana de este radio, vemos que qin debe ser cero puesto que E2 = 0. De acuerdo con este argumento, concluimos que la carga sobre la superficie interior del cascarón esférico debe ser -2Q para cancela la carga +2Q sobre la esfera sólida. (La carga -2Q es inducida por la carga +2Q). Además, puesto que la carga neta sobre el cascarón debe tener una carga igual +Q. Pregunta rápida 1.8 Si el camino entre A y B no influye sobre la integral de la siguiente ecuación } - ÷ = ÷ = A B A A B s d E q U U U   0 ¿Por qué no utilizamos simplemente la expresión ΔU = -q0Ed, donde d es la distancia en la línea recta entre A y B? Explicación y respuesta En general, el campo eléctrico varía de un punto a otro, de modo que la expresión propuesta no produce el resultado correcto. Situación problémica 1.4 Supongamos que los científicos hubieran decido medir pequeñas energías utilizando los protón- voltios en vez de los electrón-voltios. ¿Qué diferencia habría? Razonamiento No habría ninguna diferencia. Un electrón-voltio es la energía ganada por un electrón que es acelerado a través de la misma diferencia de potencial de un voltio. Un protón acelerado a través de la misma diferencia de potencial tendrá la misma energía cinética, puesto que su carga es de la misma magnitud que la del electrón. El protón se moverá más lentamente después de acelerarse a través de un voltio, puesto que su masa es mayor, pero aún así habrá ganado una energía cinética de un electrón-voltio o un protón- voltio. Pregunta rápida 1.9 Si se libera un electrón desde el reposo en un campo eléctrico uniforme, ¿la energía potencial eléctrica del sistema carga-campo aumenta, disminuye o permanece constante? Explicación y respuesta La energía potencial eléctrica disminuye si un electrón (de hecho, cualquier partícula cargada) se libera en un campo eléctrico. La fuerza eléctrica hace que electrón se acelere, y la energía potencial del sistema carga-campo disminuye a medida que la energía cinética del electrón aumenta. Es el caso análogo a la disminución de energía potencial y aumento de energía cinética de cuerpo que cae debido a la gravedad. Pregunta rápida 1.10 Si el potencial eléctrico de un punto es cero, ¿significa que no hay carga en las proximidades del punto? Explicación y respuesta No. Suponga que hay varias cargas en la vecindad del punto en cuestión. Si algunas cargas son positivas y otras negativas, las contribuciones al potencial eléctrico en el punto pueden cancelarse. Por ejemplo, el potencial eléctrico en el punto medio entre carga de igual magnitud y signo contrario es cero. Pregunta rápida 1.11 Un globo esférico contiene una partícula cargada positivamente en su centr0. Si se infla el globo para hacerle ocupar un volumen mayor, mientras la partícula cargada permanece en el centro, ¿Cuáles de las siguientes cantidades varían: (a) el potencial eléctrico sobre la superficie del globo, (b) la magnitud del campo eléctrico sobre la superficie del globo, (c) el flujo eléctrico a través del globo? Explicación y respuesta (a), (b). El potencial eléctrico es inversamente proporcional al radio (V = keq/r). La magnitud del Taller 01 de Electromagnetismo 17 campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado del radio (V = keq/r 2 ). Puesto que pasa el mismo número de líneas de campo a través de la superficie, independiente del tamaño, el flujo eléctrico a través de la superficie permanece constante. Pregunta rápida 1.12 Suponga que se conoce el valor del potencial eléctrico en un punto ¿Puede calcularse el valor del campo eléctrico en dicho punto únicamente con es información? Explicación y respuesta El valor del potencial eléctrico en un punto no es suficiente para determinar el campo eléctrico. El campo eléctrico está relacionado con la variación del potencial en el espacio de modo que debe conocerse cómo varía el potencial alrededor del punto. Pregunta rápida 1.13 Si el potencial eléctrico es constante en una región, ¿qué puede deducirse acerca del campo eléctrico en esa misma región? Si el campo eléctrico es nulo en una región, ¿qué puede deducirse acerca del potencial eléctrico en esa misma región? Explicación y respuesta Si V es constante en determinada región del espacio el campo eléctrico en dicha región debe ser nulo, puesto que el campo eléctrico está relacionado con la variación del potencial en el espacio. (En una dimensión, Ex = -dV/dx, de modo que si V es constante E = 0) De igual modo, si E = 0 en una determinada región del espacio, V debe ser constante en dicha región (por ejemplo, el interior de un conductor cargado en equilibrio). Situación problémica 1.4 ¿Por qué el extremo de un pararrayos es puntiagudo? Razonamiento La función de un pararrayo es servir de atracción a los rayos, de modo que la carga liberada por el rayo pueda desviarse hasta suelo de forma segura. Si el pararrayo es puntiagudo, el campo eléctrico es muy intenso cerca del extremo, puesto que el radio de curvatura del conductor es muy pequeño. Este gran campo eléctrico aumenta mucho la probabilidad que la descarga del rayo se produzca cerca del extremo del pararrayos, en vez de cualquier otro sitio. Ejemplo 1.22 El campo eléctrico entre dos placas paralelas de carga opuesta Una batería de 12 V se conecta entre dos placas paralelas, como se ve en la figura 1.25. La separación entre las placas es igual a 0.30 cm, y el campo eléctrico se supone como uniforme. (Esta suposición es razonable si la separación de las placas es pequeñas en la relación con el tamaño de placa y si no consideramos puntos cerca de los bordes de las placas) Determine la magnitud del campo eléctrico entre placas. Figura 1.25 Una batería de 12 V conectada a dos placas paralelas. El campo eléctrico entre las placas tiene una magnitud dada por la diferencia de potencial divida entre la separación d de las placas. Solución El campo eléctrico está dirigido de la placa positiva hacia la placa negativa. Vemos que la placa positiva está a un potencial mayor que la placa negativa. Advierta que la diferencia de potencial entre las placas debe ser igual a la diferencia de potencial entre los terminales de la batería. Esto puede entenderse observando que todos los puntos en un conductor en equilibrio están al mismo potencial, por lo que no hay diferencia de potencial entre una terminal de la batería y cualquier parte de la placa a la cual está conectada. Por tanto, la magnitud del campo eléctrico entre las placas es V/m 10 0 . 4 m 10 30 . 0 V 12 3 2 x x d V V E A B = = ÷ = ÷ Esta configuración, conocida como capacitor de placas paralelas. Taller 01 de Electromagnetismo 18 Ejemplo 1.23 Movimiento de un protón en campo eléctrico uniforme Un protón se suelta desde el reposo en un campo eléctrico uniforme de magnitud igual a 8.0x10 4 V/m dirigido a lo largo del eje x positivo (figura 1.26). El protón se desplaza 0.50 m en la dirección de E. a) Encuentre el cambio en el potencial eléctrico entre los puntos A y B. Figura 1.26 Un protón se acelera de A a B en la dirección del campo eléctrico. Solución El cambio de potencial eléctrico no depende de la presencia del protón. De la ecuación Ed ds E V B A ÷ = ÷ = A } , tenemos: ) m 50 . 0 ( V/m) 10 0 . 8 ( 4 x Ed V ÷ = ÷ = A m 10 0 . 4 4 x V ÷ = A Este resultado negativo indica que el potencial disminuye entre A y B b) Determine el cambio de energía potencial del protón para este desplazamiento Solución A partir de la ecuación } - ÷ = A = A B A s d E q U V   0 sabemos que V e V q U A = A = A J x V x C x U 15 4 19 10 4 . 6 ) 10 0 . 4 )( 10 6 . 1 ( ÷ ÷ ÷ = ÷ = A El signo negativo indica que la energía potencial del sistema disminuye cuando el protón se mueve en la dirección del campo eléctrico. Este hecho concuerda con el principio de conservación de la energía en un sistema aislado; cuando el protón acelera en la dirección del campo, adquiere energía cinética y al mismo tiempo el sistema pierde energía potencial eléctrica. El aumento de energía cinética de una partícula cargada en un campo eléctrico se utiliza en muchos dispositivos, como los cañones de electrones de los tubos de imagen de los televisores y los aceleradores de partículas utilizados en las investigaciones de la física de partículas. Ejemplo 1.24 Potencial debido a dos cargas puntuales Una carga puntual de 2.00 μC se localiza en el origen y una segundo carga puntual de -6.00 μC se coloca en la posición (0, 3.00) m sobre el eje y, como se muestra en la figura 1.27a. (a) Calcule el potencial en el punto P, de coordenadas (4.00, 0) Taller 01 de Electromagnetismo 19 Figura 1.27 (a) El potencial eléctrico en el punto P debido a las dos cargas puntuales q1 y q2 es la suma algebraica de los potenciales creados por ambas cargas b) ¿Qué trabajo se realiza para traer una carga puntual de 3.00 μC desde el infinito hasta el punto P. Solución Para dos cargas puntuales, la ecuación ¿ = i i i e r q k V se convierte en | | . | \ | ÷ = 2 2 1 1 r q r q k V e En este ejemplo q1 = 2.00 μC, r1 = 4.00 m, q2 = -6.00 μC y r2 = 5.00 m. Por tanto, VP tiene el valor. ( ) | | . | \ | ÷ + = ÷ ÷ m C x m C x x C m N x V P 00 . 5 10 00 . 6 00 . 4 10 00 . 2 / . 10 99 . 8 6 6 2 2 9 V x V P 3 10 29 . 6 ÷ = b) ¿Qué trabajo se realiza para traer una carga puntual de 3.00 μC desde el infinito hasta el punto P (ver figura 1.27b)? Solución El trabajo realizado es igual al cambio de energía potencial dado por la ecuación } - ÷ = A = A B A s d E q U V   0 ( ) 0 3 3 ÷ = A = A = p V q q q U W ( )( ) J x V x C x W 3 3 6 10 9 . 18 10 26 . 6 10 00 . 3 ÷ ÷ ÷ = ÷ = El signo negativo se debe al hecho que la carga de 3.00 μC atraída por la combinación de q1 y q2, que tiene carga neta negativa. La carga 3.00 μC mueve espontáneamente hacia las otras cargas cuando es liberada, de modo que el agente externo no necesita hacer nada para acercarla a las otras cargas. Sin embargo, para evitar que la carga se acelere, el agente externo se opone al desplazamiento de la carga, lo cual implica que el trabajo realizado es negativo. Un agente externo necesitaría realizar un trabajo positivo para alejar la carga desde P hasta el infinito. Ejemplo 1.25 Potencial eléctrico de un dipolo Un dipolo eléctrico consta de dos cargas de igual valor y signo contrarios, separadas una distancia 2a, como se muestra en la figura 1.28. El dipolo se encuentra orientado a lo largo del eje x y centrado en el origen. Calcule (a) El potencial eléctrico en cualquier punto P del eje x y (b) el campo eléctrico en un punto muy alejado del dipolo. Figura 1.28 Dipolo eléctrico situado sobre el eje x Solución (a) Utilizando la ecuación ¿ = i i i e r q k V , tenemos que | . | \ | + ÷ ÷ = = ¿ a x q a x q k r q k V e i i i e 2 2 2 a x qa k V e ÷ = (b) Si P se encuentra muy alejado del dipolo de modo que x >>a, entonces podemos ignorar el término a 2 en x 2 – a 2 , de modo que V se convierte en ) ( 2 2 a x x qa k V e >> ~ Utilizando la ecuación dx dV E x ÷ = y este resultado, podemos calcular el campo eléctrico en el punto P. Taller 01 de Electromagnetismo 20 a x x qa k dx dV E e x >> = ÷ = para 4 3 Si comparamos este resultado con el que obtuvimos en el ejemplo 1.8, vemos que difieren un factor de 2 para puntos muy alejados del dipolo. Es el ejemplo citado, calculamos el campo eléctrico sobre una línea perpendicular a la línea definida por el dipolo. Como vemos en la figura 1.10, las componentes verticales del campo se cancelan. Por tanto, sólo las componentes horizontales de ambos campos (que tienen una magnitud muy pequeña) contribuyen al campo total. En este ejemplo, por el contrario, estudiamos el campo sobre la prolongación de la línea que conecta las dos cargas del dipolo. Para los puntos situados sobre dicha línea, los vectores de campo eléctrico sólo tienen componente sobre la línea, de modo que ambos vectores de campo se combinan para producir el campo eléctrico total. Como resultado, el campo eléctrico es mayor que el de la dirección perpendicular al dipolo en un factor de 2. Ejemplo 1.26 Potencial debido a un anillo uniformemente cargado Calcule el potencial y el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje de un anillo de radio a cargado uniformemente, con carga total Q. El plano del anillo es perpendicular al eje x (figura 1.29) Figura 1.29 Anillo de radio a uniformemente cargado, cuyo plano es perpendicular al eje x. Cada segmento del anillo de carga dq se encuentra a la misma distancia de cualquier punto P situado sobre el eje x Solución Sea x la distancia entre P y el centro del anillo, como se muestra en la figura 1.29. El elemento de carga dq se encuentra a una distancia del punto P igual a 2 2 a x r + = . Por tanto, podemos expresar V como } } + = = 2 2 a x dq k r dq k V e e En este caso, cada elemento de carga dq se encuentra a la misma distancia de P. Por tanto, podemos sacar el término 2 2 a x + de la integral y V se reduce a 2 2 2 2 a x Q k dq a x k V e e + = + = } La única variable en dicha expresión de V es x . Aplicando consideraciones de simetría, vemos que a lo largo del eje x E sólo puede tener componente en x. Por tanto, podemos utilizar la ecuación dx dV E x ÷ = para calcular la magnitud del campo eléctrico en P: ( ) | | 2 / 1 2 2 ÷ + ÷ = ÷ = a x dx d Q k dx dV E e x ( )( ) ( ) x a x Q k E e x 2 2 / 3 2 2 2 1 ÷ + ÷ ÷ = ( ) 2 / 3 2 2 a x Qx k E e x + ÷ = Este resultado coincide con el que obtuvimos a través de la integración directa (véase ejemplo 1.10) Ejemplo 1.27 Potencial de un disco cargado uniformemente Encuentre el potencial eléctrico a lo largo del eje x de un disco cargado uniformemente de radio a y carga por unidad de área (Figura 1.30) Razonamiento y solución De nuevo elegimos el punto P a una distancia x del centro del disco y consideramos el plano del disco perpendicular al eje x. El problema se simplifica dividiendo el disco en una serie de anillos cargados. El Potencial de cada anillo está Taller 01 de Electromagnetismo 21 dado por al ecuación 2 2 a x Q k V e + = del ejemplo 1.26. Figura 1.30 Un disco cargado uniformemente de radio a, cuyo plano es perpendicular al eje x. El cálculo del potencial en un punto axial P se simplifica al dividir el disco en anillos de área 2πrdr. Considere uno de dichos anillos de radio r y ancho dr, como se indica en la figura 1.30. El área del anillo es dA = 2πrdr (la longitud de la circunferencia multiplicada por el ancho) y la carga en el anillo es dq = σdA = σ2πrdr. Por tanto, el potencial en el punto P debido al anillo es 2 2 2 2 2 a x rdr k a x dq k dV e e + = + = t o Para encontrar el potencial total en P, sumamos sobre todos los anillos que integran el disco. Es decir, integramos dV de r =0 a r = a. } + = a e a x rdr k V 0 2 2 2 o t ( ) rdr a x k V a e 2 2 / 1 0 2 2 ÷ } + = o t Esta integral es de la forma du u n y tiene el valor de 1 1 + + n u n , donde 2 1 ÷ = n y 2 2 a r u + = . De esto resulta ( ) | | x a x k V e ÷ + = 2 / 1 2 2 2 o t Como en ejemplo 1.26, podemos encontrar el campo eléctrico en cualquier punto axial tomando el negativo de la derecha de V en relación con x. | | . | \ | + ÷ = ÷ = 2 2 1 2 a x x k dx dV E e x o t Ejemplo 1.28 Potencial de una línea de carga finita Una barra de longitud por unidad de longitud y una carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en el punto P a lo largo del eje y a una distancia d del origen (Figura 1.31) Figura 1.31 Una línea de carga uniforme de longitud localizada a largo del eje x. Para calcular el potencial en P, la línea de carga se divide en segmentos, cada uno de longitud dx, que tiene una carga dq = λdx. Solución El elemento de longitud dx tiene una carga dq = λdx donde λ es la carga por unidad de longitud, Q/ . Puesto que este elemento está a una distancia 2 2 d x r + = de P. Podemos expresar el potencial en P debido a este elemento como 2 2 d x dx k r dq k dV e e + = = ì Taller 01 de Electromagnetismo 22 Para obtener el potencial total en P integramos esta expresión sobre los límites x = 0 a x = . Si advertimos que ke, λ y d son constantes encontramos que } } + = + =    0 2 2 0 2 2 d x dx Q k d x dx k V e e ì Esta integral que se encuentra en la mayoría de las tablas integrales, tiene el valor } | | . | \ | + + = + d d x x d x dx 2 2 2 2 ln Al evaluar V, encontramos que | | . | \ | + + = d d Q k V e 2 2 ln    Ejemplo 1.29 Potencial creado por una esfera uniformemente cargada Una esfera maciza aislante de radio R tiene una carga total Q, distribuida uniformemente por todo su volumen (figura 1.32) (a) Calcule el potencial eléctrico en un punto exterior a la esfera, es decir, r > R. Tome el potencial como uno r → ∞. Figura 1.32 Esfera sólida aislante de radio R cargada uniformemente con carga total Q. El potencial eléctrico en los puntos B y C coincide con el generado por una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. Solución En el ejemplo 1.16 calculamos, a partir de la ley de Gauss, que la magnitud del campo eléctrico en el exterior de una distribución de carga con simetría esférica es ) (para 2 R r r Q k E e r > = donde el campo está dirigido radialmente hacia afuera cuando Q es positiva. Para obtener el potencial en un punto exterior, como B en la figura 1.32, sustituimos esta expresión para E en la ecuación s d E dV   - ÷ = como dr E s d E r = -   en este caso, obtenemos. } } · · ÷ = ÷ = r e r r B r dr Q k dr E V 2 ) (para R r r Q k V e B > = Observe que el resultado es idéntico al del potencial eléctrico debido a una carga puntual. En vista de que el potencial debe ser continuo r = R, podemos usar esta expresión para obtener el potencial en la superficie de la esfera. Esto es, el potencial en un punto C en la figura 1.32 ) (para R r R Q k V e C = = b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera cargadas, es decir, para r < R. Solución En el ejemplo 1.16 encontramos que el campo eléctrico dentro de una esfera carga uniformemente es R) r (para 3 < = r R Q k E e r Podemos utilizar este resultado y la ecuación } - ÷ = A = A B A s d E q U V   0 para evaluar la diferencia de potencial VD -VC donde D e sun punto interior: } } ÷ = ÷ = ÷ r e r R r C D rdr R Q k dr E V V 0 3 ( ) 2 2 3 2 r R R Q k V V e C D ÷ = ÷ Taller 01 de Electromagnetismo 23 Sustituyendo Vc = keQ/R dentro de esta expresión y al despejar VD, obtenemos ) (para 3 2 2 2 R r R r R Q k V e D < | | . | \ | ÷ = En r = R, esta expresión proporciona un resultado para el potencial que concuerda con el potencial en la superficie, esto es, VC. En la figura 1.33 se presenta una gráfica de V contra r para esta distribución carga. Figura 1.33 Una gráfica del potencial eléctrico y contra la distancia r desde el centro de una esfera aislada cargada uniformemente de radio R. La curva para VD dentro de la esfera es parabólica y se une suavemente con la curva para VB fuera la esfera la cual es una hipérbola. El potencial tiene un valor máximo V0 en el centro de la esfera. Ejemplo1.30 Dos esferas cargadas conectadas Dos conductores esféricos de radio r1 y r2 están separadas por una distancia mucho mayor que el radio de cualquier de las esferas. Éstas están conectadas por medio de un alambre conductor, como se ve en la figura 1.34. Si las cargas sobre las esferas en equilibrio son q1 y q2 respectivamente, encuentre la razón de las intensidades de campo en las superficies de las esferas. Solución Puesto que las esferas están conectadas por un alambre conductor, deben estar al mismo potencial 2 2 1 1 r q k r q k V e e = = Figura 1.34 Dos conductores esféricos cargados conectados por un alambre conductor. Las esferas están al mismo potencial V. Por tanto, la razón de carga es 2 1 2 1 r r q q = (1) En vista de que las esferas están muy alejadas, sus superficies están cargadas de manera uniforme, y podemos expresar la magnitud de los campos eléctricos en sus superficies como 2 1 1 1 r q k E e = y 2 2 2 2 r q k E e = Tomando la razón de estos dos campos y utilizando 1) encontramos que 1 2 2 1 r r E E = (2) Por consiguiente, el campo es más intenso en la vecindad de la esfera más pequeña. Ejemplo1.31 Capacitor de placas paralelas Un capacitor de placas paralelas tiene un área A = 2.00x10 -4 m 2 y una separación de placa d = 1.00 m. Encontrar su capacitancia. Solución Taller 01 de Electromagnetismo 24 Figura 1.35 Una capacitor de placas paralelas se compone de dos placas paralelas cada una de área A, separadas por una distancia d. Cuando se carga el capacitor, las cargas tienen cargas iguales de signo opuesto. De la ecuación d A C 0 c = , encontramos | | . | \ | | | . | \ | = ÷ ÷ ÷ m x m x m N C x C 3 2 4 2 2 12 10 00 . 1 10 00 . 2 . 10 85 . 8 pF F x C 77 . 1 10 77 . 1 12 = = ÷ Ejemplo1.32 Capacitor cilíndrico Un capacitor cilíndrico de radio a y carga Q coaxial con un cascarón cilíndrico más grande de radio b y carga –Q (ver figura 1.36a). Encuentre la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es . Figura 1.36 (a) El capacitor cilíndrico se compone de un conductor cilíndrico de radio a y longitud rodeado por un cascarón cilíndrico coaxial de radio b (b) Vista lateral de un capacitor cilíndrico. La línea de la superficie gaussiana cilíndrica de radio r y longitud . Razonamiento y solución Si suponemos que es grande comparada con a y b, podemos ignorar los efectos de borde. En este caso, el campo es perpendicular a los ejes de los cilíndricos y está confinado a la región entre ellos (figura 1.36b). Debemos calcular primero la diferencia de potencial entre los dos cilíndricos, la cual está en general por } - ÷ = ÷ b a a b s d E V V   donde E es el campo eléctrico en la región b r a < < . Se demostró en ejemplo 1.18, utilizando la ley Gauss, que el campo eléctrico de un cilindro de carga por unida de longitud λ es E = 2keλ/r. El mismo resultado se aplica aquí debido a que el cilindro exterior no contribuye al campo eléctrico dentro de él. Con este resultado y notando que E está a lo largo de r en la figura 1.36b, encontramos que } } ÷ = ÷ = ÷ b a e b a r a b r dr k dr E V V ì 2 | . | \ | ÷ = ÷ a b k V V e a b ln 2 ì Al sustituir en la ecuación que define la capacitancia de un capacitor C ≡ Q/ΔV y utilizando el hecho de que λ = Q/ , obtenemos | . | \ | = | . | \ | = A = a b k a b Q k Q V Q C e e ln 2 ln 2   donde │ΔV│ es la magnitud de la diferencia de potencial, dada por 2keλln(b/a), una cantidad positiva. Es decir, ΔV = Va – Vb es positiva debido a que el cilindro interior está a un potencial mayor. Nuestro resultado para C tiene sentido debido a que muestra que la capacitancia es proporcional a la longitud de los cilindros. Como podría esperarse, la capacitancia depende también de los radios de los dos cilindros conductores. Un cable coaxial, ejemplo, se compone de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b separados por un aislador. El cable conduce corrientes en direcciones opuesta en los conductores interior y exterior. Dicha geometría es en especial útil para proteger una señal eléctrica Taller 01 de Electromagnetismo 25 de influencias externas. De acuerdo con la ecuación anterior vemos que la capacitancia por unidad de longitud de un cable coaxial es | . | \ | = a b k C e ln 2 1  Ejemplo1.33 esférico Un capacitor esférico de un cascarón conductor esférico de radio b y carga –Q concéntrico con una esfera conductora más pequeña de radio a y carga Q (Figura 1.37). Encuentre su capacitancia. Figura 1.37 Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón esférico de radio b. El campo eléctrico entre las esferas apunta radialmente hacia afuera si la esfera interior está cargada positivamente. Razonamiento y solución Como demostramos en el ejemplo 1.16 el campo eléctrico fuera de una distribución de carga simetría esféricamente es radial y está dado por keQ/r 2 . En este caso corresponde al campo entre las esferas (a < r < b). (El campo es cero en cualquier otro lado). De la ley de Gauss vemos que sólo la esfera interior contribuye a este campo. De este modo, la diferencia de potencial entre las esferas está dada por b a e b a e b a r a b r Q k r dr Q k dr E V V ( ¸ ( ¸ = ÷ = ÷ = ÷ } } 1 2 | . | \ | ÷ = ÷ a b Q k V V e a b 1 1 La magnitud de la diferencia de potencial es ab a b Q k V V V e a b ) ( ÷ = ÷ = A Sustituyendo esto en la ecuación C ≡ Q/ΔV, obtenemos ) ( a b k ab V Q C e ÷ = A = Preguntas de campo eléctrico 1) Un globo se carga negativamente por frotamiento y después se adhiere a una pared ¿Esto significa que la pared está cargada positivamente? ¿Por qué después de cierto tiempo cae el globo? 2) Una gran esfera metálica aislada de tierra se carga con un generador electrostático mientras una persona parada sobre un taburete aislante sostiene la esfera. ¿Por qué es seguro hacer esto? ¿Por qué no sería seguro para otra persona tocar la esfera después de que ésta se ha cargado? 3) Dos esferas conductoras cargadas, cada una de radio a, están separadas por una distancia r > 2a ¿La fuerza neta sobre cada esfera está dada por la ley de Coulomb? Explique 4) ¿Es posible que campo eléctrico exista en el espacio vacío? Explique 5) Una carga 4q está a una distancia r de una carga –q. Compare el número de líneas de campo eléctrico que salen de la carga 4q con el número que entra a la carga –q. Problemas de campo eléctrico 1) En la figura P1.1 se localizan tres cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un triángulo equilátero. Calcular la fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7.0 μC. Taller 01 de Electromagnetismo 26 Figura P1.1 2) Dos cargas puntuales idénticas +q están fijas en el espacio y separadas por una distancia d. Una tercera carga puntual –Q puede moverse libremente y se encuentra inicialmente en reposo en un bisector perpendicular de la línea que conecta las dos cargas fijas a una distancia x de la línea (figura P1.2). (a) Muestre que si x es pequeña en relación a d, el movimiento de –Q es armónico simple a lo largo del bisector, y determine el periodo de ese movimiento. (b) ¿Qué tan rápido se mueve Q cuando está en el punto intermedio entre las dos cargas fijas? Figura P1.2 3) Dos pequeñas esfera de plata, cada una con 100g de masa, están separadas 10 m. Calcule la fracción de los electrones de una esfera que deben transferirse a la otra para producir una fuerza atractiva de 1.0x10 4 N entre las esferas. (El número de electrones por átomo de es 47, y el número de átomos por gramo es el numero de Avogadro dividido por la masa molar de la plata, 107.87) 4) Un punto con una carga q se localiza en (x0, y0) en el plano xy. Demuestre que las componentes x y y del campo eléctrico en (x, y) debidas a esta carga son | | 2 / 3 2 0 2 0 0 ) ( ) ( ) ( y y x x x x k E e x ÷ + ÷ ÷ = | | 2 / 3 2 0 2 0 0 ) ( ) ( ) ( y y x x y y k E e y ÷ + ÷ ÷ = 5) Cuatro cargas puntuales están en las esquinas de un cuadrado de lado a, como en la figura P1.5 (a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la posición de la carga q. (b) ¿Cuáles es la fuerza resultante sobre q. Figura P1.5 6) Una carga –q1 se localiza en el origen y una –q0 se ubica a lo largo del eje y en y. ¿En que punto a lo largo del eje y el campo eléctrico es cero? 7) Considere un cascarón cilíndrico circular recto con una carga total Q, radio R y altura h. Determine el campo eléctrico en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como en la figura P1.7 (sugerencia. Emplee el resultado ejemplo 1.10 y considere al cilindro como una colección de anillos de carga). (b) Utilice el resultado del ejemplo 1.11 para revolver el mismo problema, pero esta vez suponga que el cilindro es sólido. Figura P1.7 Taller 01 de Electromagnetismo 27 8) Una barra aislante cargada de manera uniforme de 14 cm de largo se dobla en forma de semicircunferencia, como en la figura P1.8. Si la barra tiene una carga total de -7.5 μC, encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en O, el centro de la semicircunferencia. Figura P1.8 9) La figura P1.9 muestra las líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales separadas por una pequeña distancia. (a) Determine la proporción q1/q2 (b) ¿Cuáles son los signos de q1 y q2? Figura P1.9 10) Un protón se lanza en la dirección x dentro de una región de un campo eléctrico uniforme E = -6.00x10 5 i N/C. El protón viaja 7.00 cm antes de detenerse. Determine (a) la aceleración del protón, (b) su velocidad inicial, y (c) el tiempo que tarda en detenerse. 11) Cada uno de los electrones en un haz de partículas tiene una energía cinética K. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que detendrá estos electrones en una distancia d? 12) Se lanza protones con una velocidad inicial v 0 = 9.55x10 3 m/s dentro de una región donde se presenta un campo eléctrico uniforme E = (-720j) N/C, como en la figura P1.12. Los protones van a incidir sobre el blanco que se encuentra a una distancia horizontal de 1.27 mm del punto donde se lanzaron los protones. Determine (a) los dos ángulos de lanzamiento θ que darán como resultado un impacto, y (b) el tiempo total de vuelo para cada trayectoria. Figura P1.12 13) Una bola de corcho cargada de masa m está suspendida en una cuerda ligera en presencia de un campo eléctrico uniforme, como en la figura P1.13. Cuando E = (Exi +Eyj) N/C, bola está en equilibrio a un ángulo θ. Encuentre (a) la carga en la bola y (b) la tensión en la cuerda. Figura P1.13 14) Tres cargas de igual magnitud q están fijas en vértices de un triángulo equilátero (Figura P1.14). Una cuarta carga Q tiene libertad de movimiento a lo largo del eje x bajo la influencia de las fuerzas ejercidas por las tres cargas fijas. Encuentre un valor para s para el cual q esté en equilibrio. Taller 01 de Electromagnetismo 28 Figura P1.14 15) Ocho cargas puntuales, cada una de magnitud q, se localizan en las esquinas de un cubo de lado s, como en la figura P1.15 (a) Determine las componentes x, y, z de la fuerza resultante ejercida sobre la carga localizada en el punto A por otras cargas. (b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de esta fuerza resultante? Figura P1.15 Preguntas de ley de Gauss 6) Si el campo eléctrico en una región del espacio es cero, ¿puede usted concluir que no hay cargas eléctrico en esa región? Explique 7) Con la ley de Gauss explique por qué las líneas de campo eléctrico deben empezar y terminar en cargas eléctricas. (Sugerencia: cambie el tamaño de la superficie gaussiana) 8) Explique por qué el exceso de carga en un conductor aislado debe residir en su superficie, empleando la naturaleza repulsiva de la fuerza entre cargas similares y la libertad de movimiento de la carga dentro del conductor. 9) Dos esferas sólidas, ambas se radio R, conducen cargas totales idénticas Q. Una esfera es un buen conductor mientras que la otra es un aislador. Si la carga sobre la esfera aislante está distribuida uniformemente por todo su volumen interior, ¿cómo se comparan los campos eléctricos externos de estas esferas? ¿Los campos son idénticos en el interior de las dos esferas? Problemas de ley de Gauss 16) Un campo eléctrico uniforme ai + bj intersecta a una superficie de área A ¿Cuál es el flujo a través de esta área si la superficie se ubica (a) en el plano yz, (b) en el plano xz, (c) en el plano xy 17) Considere una caja triangular cerrada que descansa dentro de un campo eléctrico horizontal de magnitud E = 7.8x10 4 N/C, como en la figura P1.17. Calcule el flujo eléctrico a través de (a) la superficie vertical, (b) la superficie inclinada, y (c) toda la superficie de la caja Figura P1.17 18) Un cono de radio R en la base y altura h está sobre una mesa horizontal, y un campo eléctrico uniforme horizontal E penetra el cono, como en la figura P1.18. Determine el flujo eléctrico que entra el cono. Figura P1.18 19) Cuatro superficies cerradas, S1 a S4 , junto con las cargas –2Q, Q y –Q se dibujan en la figura P1.19. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie. Taller 01 de Electromagnetismo 29 Figura P1.19 20) Una línea de carga infinitamente larga que tiene una carga uniforme por unidad de longitud λ se encuentra a una distancia d de un ponto O, como en la figura P1.20. Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera se radio R centrada en O. (Sugerencia: Considere tanto R < d como R >d). Figura P1.20 21) Una carga puntual Q se localiza justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R, como en la figura P1.21 ¿Cuál es el flujo eléctrico (a) a través de la superficie curva, y (b) a través de la cara plana? Figura P1.21 22) Considere un delgado cascarón esférico de 14.0 cm de radio con una carga total de 32.0 μC distribuida uniformemente sobre su superficie. Encuentre el campo eléctrico a (a) 10 cm y (b) 20 cm del centro de la distribución de carga. 23) Un filamento recto cargado uniformemente de 7.00 m de largo tiene una carga positiva total de 2.00 μC. Un cilindro de cartón descargado de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de radio rodea el filamento en su centro, con el filamento como el eje del cilindro. Utilizando todas las aproximaciones razonables, encuentre (a) el campo eléctrico en la superficie del cilindro, y (b) el flujo eléctrico total a través del cilindro. 24) Una larga lámina plana de carga tiene una carga por unidad de área de 9.0 μC/m 2 . Determine la intensidad de campo eléctrico justo arriba de la superficie de la lámina, medida desde su punto medio. 25) Una delgada placa conductora de 50.0 cm de lado se encuentra en plano xy. Si una carga total de 4.00x10 -8 C se pone sobre la placa, encuentre (a) la densidad de carga sobre la placa, (b) el campo eléctrico justo arriba de la placa y (c) el campo eléctrico justo abajo de la placa. 26) Un alambre largo y recto está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre tiene una carga por unidad de longitud de λ y el cilindro tiene una carga neta por unidad de longitud de 2 λ. De acuerdo con esta información, utilice la ley de Gauss para encontrar (a) la carga por longitud unitaria en las superficies interior y exterior del cilindro y (b) el campo eléctrico fuera del cilindro, a una distancia r del eje. 27) Para la configuración mostrada en la figura P1.27, suponga que a = 5.0 cm, b = 20 cm, y c = 25 cm. Suponga también que mide un valor del campo eléctrico en un punto a 10 cm del centro igual a 3.6x10 5 N/C, radialmente hacia adentro en tanto que el campo eléctrico en punto a 50 cm del centro es 2.0x10 2 N/C radialmente hacia afuera. A partir de esta información entre (a) la carga sobre la esfera aislante, (b) la carga neta sobre la esfera conductora hueca, y (c) la carga total sobre las superficies interior y exterior de la esfera conductora hueca. Taller 01 de Electromagnetismo 30 Figura P1.27 28) Un cilindro de aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad de carga volumétrica que varía con el radio como | . | \ | ÷ = b r a 0 µ µ donde ρ0, a y b son constantes positivas y r es la distancia desde el eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias radiales (a) r < R y (b) r > R. Preguntas de potencial eléctrico 10) Establezca la distinción entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica 11) Explique por qué las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de campo eléctrico. 12) El potencial de una carga puntual se define igual a cero a una distancia infinita. ¿Por qué no podemos definir el potencial de una línea de carga infinita igual a cero a cero en r →∞ ? 13) ¿En qué tipo de clima sería más probable que una batería de automóvil se descargara y por qué? 14) Caminar sobre una alfombra y tocar después a alguien puede producir una descarga eléctrica. Explique la razón por la que ocurre lo anterior. Problemas de potencial eléctrico 29) Un positrón tiene la misma masa que un electrón. Cuando se acelera un positrón desde el reposo entre dos puntos a una diferencia de potencial fija, adquiere una velocidad que es el 30% de la velocidad de luz. ¿Qué velocidad alcanza un protón acelerado desde el reposo entre los mismos dos puntos? 30) Un electrón que se mueve paralelo al eje x tiene una rapidez inicial de 3.7x10 6 m/s en el origen. Su rapidez se reduce a 1.4x10 5 m/s en el punto x = 2.0 cm. Calcule la diferencia de potencial entre el origen y este punto, ¿Cuál punto está a mayor potencial? 31) Un bloque de masa m y carga Q se conecta a un resorte de constante k. El bloque está sobre una pista horizontal sin fricción y el sistema está inmerso en un campo eléctrico uniforme de magnitud E y su dirección es como se indica en la figura P1.31. Si el bloque se suelta desde reposo cuando el resorte está indeformado (en x = 0). (a) ¿En qué cantidad máxima se alarga el resorte? (b) ¿Cuál será la posición de equilibrio del bloque? (c) ¿Muestre que el movimiento del bloque es armónico simple y determine su periodo. (d) Repita el inciso (a) si el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la superficie es μ Figura P1.31 32) Una partícula que tiene carga q y masa m está conectada a una cuerda con longitud L y amarrada al punto P en la figura P1.32. La partícula, la cuerda y el punto pivote están sobre una mesa horizontal. La partícula se suelta desde el reposo cuando la cuerda forma un ángulo θ con un campo eléctrico uniforme de magnitud E. Determine la velocidad de la partícula cuando la cuerda es paralela al campo eléctrico (punto a en la figura P1.32) Taller 01 de Electromagnetismo 31 Figura P1.32 33) El potencial electrostático debido a un conjunto de cargas puntuales sobre una malla cartesiana es ( ) ( ) 2 2 2 2 2 45 1 36 ÷ + ÷ + + = y x y x V donde V está en voltios. Determinar la posición y magnitud de todas las cargas en esta distribución 34) Calcule la energía requerida para agrupar el arreglo de carga que se muestra en la figura P1.34, donde a = 0.20 m y b = 0.40 m y q = 6.0 μC. 35) Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xyz que está en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = E0k, el potencial eléctrico resultante es V(x,y,z) = V0 para puntos dentro de la esfera y ( ) 2 / 3 2 2 2 3 0 0 0 ) , , ( z y x z a E Z E V z y x V + + + ÷ = para puntos fuera de la esfera, donde V0 es el potencial electrostático (constante) en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x, y y z del campo eléctrico resultante. Figura P1.34 36) Las tres cargas de la figura P1.36 están en los vértices de un triangulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, considerando q = -7.0 μC. Figura P1.36 37) Una barra de longitud L (figura P1.37) se encuentra a lo largo del eje x con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carga no uniforme λ = αx (donde α es una constante positiva), (a) ¿Cuáles son las unidades de α? (b) Calcule el potencial eléctrico en A. Figura P1.37 38) Calcule el potencial eléctrico en el punto P sobre el eje del anillo mostrado en la figura P1.38, el cual tiene una densidad de carga uniforme σ. Taller 01 de Electromagnetismo 32 Figura P1.38 39) ¿Cuántos electrones deben extraerse de un conductor esférico inicialmente descargado de 0.300 m de radio para producir un potencial de 7.50 kV. 40) Dos conductores esféricos cargados se conectan mediante un largo alambre conductor y una carga de 2.00 μC se pone en la combinación: (a) Si una esfera tiene una radio de 4.00 cm y el radio de la otra es de 6.00 cm, ¿cuál es el campo eléctrico cerca de la superficie de cada esfera? (b) ¿Cuál es el potencial eléctrico de cada esfera? 41) A cierta distancia de una carga puntual la magnitud del campo eléctrico es de 500 V/m y el potencial eléctrico es igual a -3.00kV. (a) ¿Cuál es la distancia a la carga? (b) ¿Cuál es la magnitud de la carga? 42) La distribución de carga que se muestra en la figura P1.42 se conoce como un cuadrupolo lineal (a) Demuestre que el potencial en un punto sobre el eje x donde x > d es 2 3 2 2 xd x qd k V e ÷ = (b) Muestre que la expresión obtenida en (a) cuando x >>d se reduce a 3 2 2 x qd k V e = Figura P1.42 43) La barra delgada cargada uniforme que se muestra en la figura P1.43 tiene una densidad de carga lineal λ. Encuentre una expresión para el potencial eléctrico en P. Figura P1.43 44) Un capacitor lleno de aire está compuesto de dos placas paralelas, cada una con área de 7.60 cm 2 , separadas por una distancia de 1.8 mm. Si se aplica una diferencia de potencial de 20.0 V a estas placas, calcule (a) el campo eléctrico entre las mismas (b) la densidad de carga superficial, (c) la capacitancia, y (d) la carga sobre cada placa. 45) Un cable coaxial de 50.0 cm de largo tiene un conductor interior con un diámetro de 2.58 mm que conduce una carga de 8.10 μC. El conductor circundante tiene un diámetro interior de 7.27 mm y una carga de 8.10 μC. (a) ¿Cuál es la capacitancia de este cable? (b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los conductores? Suponga que la región entre los conductores es aire.