I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT.– PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA INDICE ECUACIONES ELEMENTALES PLANTEO DE Ecuaciones Relojes CALENDARIOS PROBABILIDADES MAXIMOS Y MINIMOS 1 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA TEMA: ECUACIONES ELEMENTALES x2 + (a + b)x + ab = 0 ECUACIÓN x + a x + a = 0 x = –a Es la igualdad de dos expresiones x + b x + b = 0 x = –b algebraicas que sólo se verifica para ciertos Cumple que el producto en aspa da el término valores de la incógnita. La ecuación recibe el central nombre de igualdad relativa. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA SOLUCIÓN O RAÍZ DE UNA ECUACIÓN ECUACIÓN DE 2DO GRADO Es el conjunto de valores que satisfacen Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0 una ecuación. 1ro Suma de raíces: b x1 x 2 RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN a Consiste en averiguar por métodos algebraicos para qué valor de la incógnita la 2do Producto de raíces igualdad es verdadera. c x1 . x2 a ECUACIONES DE PRIMER GRADO 3ro Diferencia de raíces: Forma. ax b = 0 b 2 4ac x1 x2 a despejando la incógnita se obtiene su raíz: b PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE (b2 – 4ac) . x . a 1) Si. b2 – 4ac = 0 x1 = x2; R Para resolver una Ec. de primer grado se 2) Si. b2 – 4ac > 0 x1 = x2; R recomienda que las incógnitas estén en un mismo miembros y las cantidades numéricas o 3) Si. b2 – 4ac < 0 x1 = x2; C conocidas en el otro y así se podrá despejar FORMACIÓN DE UNA EC. 2DO GRADO más fácil. x2 – (S)x + P = 0 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Donde: S = x1 + x2 y P = x1 . x2 Forma. ax2 + bx + c = 0 FORMULA GENERAL: 2 raíces x1 y x2 SISTEMA DE ECUACIONES Se denomina sistema de ecuaciones, al 20 b b 2 4ac conjunto de ecuaciones cuyas soluciones . x1,2 . comunes se quieren obtener. Resolver un 2a sistema es encontrar su solución. MÉTODO DEL ASPA SIMPLE: PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Resolver: (x + 3)2 = (x – 1)2 + 28 2. Hallar “x” Rpta. 2 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA x a2 a2 x 7a 2 15 2 5 10 9. Resolver: Rpta. 4x 2 3x x 2 3x 2 2x 1 Rpta. 3. Resolver: 3 5 x 2 2 10. Hallar “x” (x + 10)2 – 2 (x – 1) = 2502 – 2x Rpta. Rpta. 11. Hallar “x” 4. Resolver: x 7 7 7 ...... x x 2 20 10 Rpta. Rpta. 12. Si una raíz es 4, hallar “n” en la 5. Resolver: ecuación: x 2 4x 8 4 x x2 + 2nx + 16 = 0 Rpta. Rpta. 6. Resolver: 13. Si “r” y “s” son raíces de la ecuación x 1 x 2 x 3 x 4 a b 1 1 2 3 4 5 ab a b x x entonces r2 + s2 es igual a: Rpta. Rpta. 7. Resolver: 14. Hallar “n”, si la suma de raíces en la ecuación: 1 x 1 x 3 x 1 x 1 x 4x 4 x x 3x2 + nx- 7 = 0 Es 2. Rpta. Rpta. 8. Hallar “x” 15. Las dos raíces de la ecuación: b(c–a)x2 + a(b–c)x + c(a–b) = 0 a2 (x – a) + b2 (x – b) = abx Son 1 y: Rpta. Rpta. PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS 1. Resolver: 2 3 5 A) B) C) 1 3 2 2 1 2 1 1 2 7 2 11 D) 5 E) 2 2 x 2. Resolver: 3 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 1 A) 333 B) 1 21 31 1 x 1 D) (333)2 x 1 C) 333 A) 1/2 B) 1/3 C) –1 E) (333)–2 D) –11 E) 5 7. Resolver para “x” en: x n x n n x n x n 3. Resolver: A) n2 + n + 1 B) n2 + 1 1 1 1 1 1 C) 0,5 (n2 + 1) D) n2 + 2n x x x 1 2 2 3 4 4 E) n2 + 2 F) A) x = 2 B) x = –3 C) x = –1 8. Resolver para “x” en: D) x = 4 E) x = 0 n 3 1 nx 1 n 2 x n 3 1 nx 1 n 2 x 4. Resolver en “x” n –1; 0; 1 a a b b A) n2 + 1 B) n2 + n + 1 1 1 1 b x a x C) n2 – n + 1 D) n2 + 2n E) n2 + 2 si: a y b R+ 9. Luego de resolver para que “x” en: A) a B) b 2x a b 2x a b 2 C) a – b D) a + b a b a b E) a + 2b se obtiene: a b a2 A) B) C) b a b 5. Resolver: b2 E) –a – b D) a m x n m ;n0 n xm n 10. Resolver en “x” A) m + n B) mn x2 3x 9 x2 3x 9 2x C) m – n D) m2 + n2 x 3 x 3 6. Resolver: A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 F) 1 1 1 1 x 333 x x 333 333 333 333 PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Resolver: x 1 x 2 x 2 x 1 4x 2 3x x 2 3x 2 2x 1 8 6 4 3 A) 4 B) 3 C) 5 A) 9 B) 8 C) 10 D) 6 E) 8 D) 12 E) 13 2. Resolver: 3. Hallar: a + b + c + d + e 4 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA Si: A) 18 B) 12 C) 16 D) 22 E) 10 2a 1 3 3b 1 7 7. Hallar el valor positivo al resolver: c 1 3x 4 23 x 20 3 4 2 x d 1 3 2 A) 6 B) 4 C) 10 2e 1 1 3 D) 12 E) 8 A) 18 B) 16 C) 17 8. Resolver: D) 22 E) 20 x a 1 x b 1 4. Hallar x b b a a a x b b x a A) a – b + 1 B) a – b – 1 C) a + b + 1 D) a – b A) a – b B) a + b C) 2a – b E) a + b D) 2a + b E) a2 – b2 9. Hallar “x” 2 4x 4x 5. Rsolver: 7x 2 2x 5 175 3 3 24x + 35 (120 – x) = 3650 A) 20 B) 20 C) 15 A) 70 B) 50 C) 60 D) 10 E) 8 D) 80 E) 52 10. Hallar el valor negativo de x: x2 + (3 – x)2 = 29 6. Resolver: 3x 5 5 x A) 5 B) –3 C) –4 D) 4 E) –2 TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES DEFINICIONES PREVIAS (x + 3) (x – 2) = 0 Ecuación Es una igualdad de dos expresiones De donde: algebraicas que sólo se verifica para algunos I. x + 3 = 0 x 3 . . valores de las letras, llamadas INCÓGNITAS. x 2 II. x – 2 = 0 Ejemplo: 3x + 4 = 7 + 2x Los valores numéricos x = – 3 y x = 2 , que Tiene la incógnita “x”, se comprueba que x = 3 hacen que los miembros de la ecuación tomen el mismo valor numérico, se llaman soluciones Ejemplo: o raíces de la ecuación. x2 + x – 6 = 0 Factorizando, obtenemos que: Identidad x2 + x – 6 = 0: es igual a: 5 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se verifica para todos los Resolución: valores de las letras Sea “x” el número de años que ahorran cada Ejemplos: persona. - Ahorro total de cada persona 500x. - Capital con ahorro de la primera persona *) m n2 m2 2mn n2 = 20 000 + 500x. . . * *) x 3x 2 x2 5x 6 - Capital con ahorro de la segunda persona . Identidades . = 7 500 + 500x. Problema Es toda cuestión en la que se pide calcular Según el enunciado del problema. una o varias cantidades llamadas incógnitas, El capital con ahorro de la primera es el doble que junto con otras cantidades conocidas del capital con ahorro de la segunda. llamadas datos, deben satisfacer a las 20 000 + 500x = 2(7 500 + 500x) condiciones que específica el enunciado. 20 000 + 500x = 2 . 7 500 + 2 500x Cuando estas condiciones pueden expresarse 20 000 + 500x = 15 000 + 1 000x mediante símbolos algebraicos se trata de 5 000 = 500x Problemas Algebraicos. . x = 10 años . Rpta. C MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN Encontrar un número tal que dividiéndolo por PROBLEMA 10 y a este cociente dividiéndolo por 3; la El procedimiento para resolver un suma de estos cocientes es 600. problema mediante el uso de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se A) 450 B) 3 500 C) 40 000 D) 4 500 requiere una práctica considerable y para esto se sugiere el siguiente esquema: Resolución: a. Leer cuidadosamente el problema y Sea el número = x, del enunciado del estudiarlo hasta que queda perfectamente problema: clara la situación que se plantea. - Número dividido por 10. x b. Identificar las cantidades comprendidas en el cociente problema, tanto las conocidas como las 10 desconocidas. x c. Planteo del problema: Se elige la incógnita - Al cociente lo dividimos por 3. por una letra “x” por ejemplo y se efectúan 10 con ello y con los datos, las operaciones que 32 x indique el enunciado. 10 x (Nuevo cociente) Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve 3 30 según las reglas que se enunciaron - Suma de los dos cocientes es 600 IMPORTANTE: x x PARA EL PLANTEO DE UNA ECUACIÓN ES IMPORTANTE TENER EN 600 ; CUENTA “LA COMA”, VEAMOS 10 30 EJEMPLO: El Triple de un Número , aumentado en 8 Damos común denominador en el primer miembro. 3x 8 3x x 600 El Triple , de un Número aumentado en 8 30 4x = 600 x 30 3x 8 . x = 4 500 . Rpta. D Ejemplos: Juan dice Pedro: Dame S/. 18 000 y así, tendré Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/. 7 500 el doble de dinero que tú y Pedro le contesta: cada una ahorra anualmente S/. 500 ¿Dentro más justo sería que tú me des S/. 15 000 y así de cuántos años la fortuna de la primera será tendremos los dos igual cantidad ¿Cuánto el doble de la segunda? tenía Pedro? A) 6 años B) 8 años C) 10 años D) 20 añosA) E) S/. 48 000 N.A. B) S/. 114 000 6 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA C) S/.96000 E)S/ 84 D) S/ 80 000 con la misma cantidad de dinero, cada uno 000 hubiera costado 180 soles más barato. Resolución: Calcular el número de cuadernos. Sea: x = dinero que tenía Juan A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 y = dinero que tenía Juan Resolución: Sea x = # de cuadernos que se han comprado - Cuando Juan dice a Pedro dame S/. 18 por S/. 6 000 34 000 y así tendré el doble de dinero que tú. Siendo: Costo Total x + 18 000 = 2(y – 18 000) Pr ecio de c/cuaderno # de cuadernos De donde: . x = 2y – 54 000 . Pr ecio de S/. 6 000 .... (I) c/cuaderno x ...... () - Cuando Pedro le Contesta más justo es que tú me des S/. 15 000 y así tendremos Si hubiera comprado 30 cuadernos más con la las dos iguales cantidades. misma cantidad de dinero. O Sea por S/. 6 y + 15 000 = x – 15 000 000, el precio del cuaderno sería: De donde: . x = y + 30 000 . Pr ecio de Costo total S/. 6 000 .... (II) c/cuaderno # de cuadernos x 30 - Igualamos (I) y (II) S/. 6 000 Pr ecio de c/cuaderno 2y – 54 000 = y + 30 000 x 30 . y = 84 000 . ....... () Rpta. E Si al comprar 30 cuadernos más, el precio de c/cuaderno costaría 180 soles más barato. El producto de los números naturales consecutivos es “P”, unidades más que el Luego, se plantea la siguiente ecuación siguiente consecutivo. Encontrar el menor. S/. 6 000 S/. 6 000 S/. 180 x x 30 A) P 2 B) P 2 2p D) P/3 E) N.A. C) 1 1 6 000 180 Resolución: x x 30 Sean los 2 números consecutivos: a = # menor Damos el común denominador en el (a + 1) = # mayor corchete: Del enunciado del problema: x 30 x 6 000 180 El producto de los dos números naturales x x 30 consecutivos es “P” unidades más que el 6 00030 siguiente consecutivo. Veamos: x x 30 180 a(a + 1) – P = (a + 2) x(x + 30) = 1 000 a2 + a – P = a + 2 x(x +30) = 20(50) a2 = P + 2 . a= P 2 . Rpta. B Por comparación de términos obtenemos . x = 20 cuadernos . Rpta. C Se ha comprado por S/. 6 000 cierto número de cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, PROBLEMAS PARA LA CLASE 7 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 1. Varios amigos alquilaron un ómnibus debe ser ésta cantidad para que el por $ 400 para una excursión, a pagar contenido del primer recipiente sea los por partes iguales, pero faltaron dos de 2/3 del segundo? ellos y cada uno de ellos tuvieron que pagar $ 10 más. ¿Cuántos fueron a la Rpta. excursión? Rpta. 2. Hallar un número cuyo cuadrado, 8. Hallar dos números cuya suma sea 60 y disminuido en 119 es igual a 10 veces el el cociente de sus recíprocas es 3. (Dar exceso del número con respecto a 8. como respuesta el quíntuplo del mayor, aumentado en 8) Rpta. Rpta. 3. Al preguntar una madre a su hija cuánto había gastado de los 40 soles que le dio. 9. El doble de mi edad, aumentado en su mitad, Ella respondió: “Si no hubiera en sus 2/5, y en sus 3/10 y en 40; suma 200 comprado un chocolate, que me costó años. ¿Cuántos años tengo? 10 soles, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado. Rpta. ¿Cuánto gastó? Rpta. 10. Dividir el número 1 000 en dos partes tales 4. Se compra cierto número de relojes por S/. 5 que si de los 5/6 de la primera se resta ¼ de 625, sabiendo que el número de relojes la segunda, se obtiene 10. calcular la segunda comprados es igual al precio de un reloj en parte. soles ¿Cuántos relojes se han comprado? Rpta. Rpta. 11. Pedro y Pablo tienen cada uno cierto número 5. Los ahorros de un niño constan de: (p + 1). (3p de soles, si Pablo le da 12 soles a Pedro; – 5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles Tendrán ambos la misma cantidad, si por el respectivamente. ¿A cuanto asciende sus contrario, Pedro le da 3/5 de su dinero a ahorro, si al cambiarlo en monedas de 25 Pablo, el número de soles de este queda soles el número de monedas obtenidas es el aumentado en los 3/8 ¿Cuántos soles tiene doble que el número de monedas de 5 soles? cada uno? Rpta. Rpta. 6. Si al numerador de la fracción 3/5 se le 12. Un número entero consta de tres dígitos. El suma un número y al denominador se le dígito de las centenas es la suma de los otros resta el mismo número se obtiene otra dos, y el quíntuplo del de unidades es igual a fracción equivalente a la recíproca de la la suma de las decenas y las del de centenas. fracción dada. Calcular el número. ¿Hállese este número sabiendo que si se invierten los dígitos resulta disminuido en Rpta. 594? Rpta. 7. Dos recipientes contienen 80 y 150 litros de agua y se les añade la misma 13. La suma de los dos dígitos de un número cantidad de agua a cada una. ¿Cuál entero es 15. si se invierte el orden de 7 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA los dígitos se obtiene otro número igual media hora más. ¿Cuál es la distancia de la al primero multiplicado por 23/32. ciudad “M” a la ciudad “N”? ¿Hállese el número? Rpta. Rpta. 15. ¿Cuál es la edad actual de un Padre que 14. Un tren va de la ciudad “M” a la ciudad “N” duplica la edad de su hijo y hace 24 años su en 3 horas, viajando a una velocidad edad era 10 veces la edad de su hijo? uniforme, en el viaje de regreso el tren va a 10 km/h más despacio y la jornada toma Rpta. PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En un negocio de aves, se venden pavos, 5. En una tienda hay la siguiente oferta: un gallinas y codornices. Son todos gallina cuadro grande con marco vale 6 cuadro menos 5; son todos pavos menos 7, y pequeños sin marco, 2 cuadros grandes si son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las codornices marco valen uno pequeño con marco, tres entonces: pequeños sin marco valen uno pequeño con marco. ¿Cuántos cuadros pequeños sin A) Compro 8 aves. marco se pueden cambiar por los marcos de B) Solo quedó 1 pavo. C) Dejó 3 pavos. dos cuadros grandes? D) Había 7 pavos. E) Llevó 16 aves. A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 12 2. La suma de un tercio de un número más un cuarto del mismo, es “x”. ¿Cuál es el 6. Si tiene un examen de 350 preguntas de resto del número? las cuales 50 son de matemáticas, suponiendo que a cada pregunta de 12 7 5 matemáticas se dé el doble de tiempo A) x B) x C) x que a cada pregunta no relaciona con 7 12 7 7 7 esta materia. ¿Cuánto demorará en D) x E) x resolver matemáticas si el examen dura 6 5 tres horas? 3. Si al comprar una docena de lapiceros A) 45min B) 52min C) 62min me regalan 1 lapicero ¿Cuántas docenas D) 60min E) N.A. he comprado si recibo 338 lapiceros? 7. Para ensamblar 50 vehículos entre A) 21 B) 24 C) 26 bicicletas, motocicletas y automóviles, D) 28 E) 30 se utilizaron entre otros elementos 38 motores y 48 llantas. ¿Cuántas 4. “A” tiene un año menos que “B” y “B” un año motocicletas se ensamblaron? menos que “C”. Si el cuadrado de la edad de A) 10 B) 12 C) 14 “C” se resta el cuadrado de la edad de “B”, la D) 16 E) 24 diferencia es 10 años menos que los 17/5 de la edad de “A”. Hallar la edad de “C” 8. El cuadrado de la suma de las 2 cifras que A) 10 B) 11 C) 12 componen un número es igual a 121. si de D) 13 E) 14 este cuadro se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras; se obtiene 81. ¿Cuál es el número? 8 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA A) 65 B) 56 C) 47 D) 38 E) 29 10. “A” y “B” comienzan a jugar con igual suma de dinero; cuando “B” ha perdido los 3/4 de dinero con que empezó a jugar; lo que ha 9. Ho gané S/. 1 más que ayer y lo que he ganado “A” es 24 soles más que la tercer ganado en los dos días es 25 soles mas que los parte de los que le queda a “B”. ¿Con cuanto 2/5 de los que gané ayer. ¿Cuánto gané ayer? empezaron a jugar? A) S/.15 B) S/.16 C) S/.14 A) S/.20 B) S/.21 C) S/.22 D) S/.17 E) S/.13 D) S/.23 E) S/.36 TEMA: RELOJES Y CALENDARIOS En este capitulo estudiaremos problemas relacionados con el tiempo y para su mejor entendimiento lo dividiremos del siguiente modo: A. Tiempo relacionado con campanadas, golpes y balazos, .......etc # de Tiempo de TiempoTotal x intervalos intervalo B- Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir 1 día 24 horas Tiempo Tiempo Transcurrido que falta oh 24 h X x-0=x ( 24 - x ) Hora correcta C- Adelantos y Atrasos + Atraso -Adelanto Total Total Hora Hora Hora Retrasada Real Adelantada -Atraso +Adelanto Total Total 10 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA D.- Calendarios: considerar el número de días que trae cada mes. ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO 31 28 ó 29 31 30 31 30 31 Año normal Año bisiesto : Año Múltiplo De 4 AGOSTO SETIEMBRE OCTUBRE NOVIEMBRE DICIEMBRE 31 30 31 30 31 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuánto mide el ángulo que forman Siendo las 8am? Hora exacta se descompone un reloj, de modo que ahora se adelanta 1minuto cada 10 a) 12 m b) 14 pm. minutos ¿Qué hora marcaría las agujas de ese reloj cuando en otro reloj en buen estado leemos 1 p.m. c) 10 am. d) 15 pm. e) 9 am. a) 1h 15 min b) 1h 10 min 5. Son las 2h 36 min.¿Qué ángulo forman las agujas del reloj? c) 1h 10 min d) 1h 30 min e) 1h 20 min a) 138° b) 117° c) 72° d) 142° e) 146° 2. Hace 10 horas que el reloj del colegio se atrasa 3 min. Cada media hora 6. ¿Qué hora es si faltan para las 11 pm; La tercera parte del tiempo que .¿Cuál es la hora exacta, si el reloj del colegio indica que son las 11h 28 transcurrió desde las 8h 52 min.; Pasado el meridiano? min.? a) 9h 28 min b) 10h 14 min a) 10h 28 min b) 12h 28 min c) 10h d) 10h 28 min c) 11h 56 min d) 12h 56 min e) 10h 08 min e) 10h 15 min 7. Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos ¿En cuantos segundos dará 12 campanadas? 3. Un reloj se adelanta 5 min. cada 18 horas a partir de las 8 a.m. ¿Cuánto a) 12s b) 10s c) 11s d) 9s e) 13s tiempo deberá transcurrir para que ese reloj marque de nuevo la hora 8. Un reloj se adelanta 2 segundos por hora. ¿Cuántos días como mínimo deberán exacta? transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta? a) 108 días b) 72 días c) 48 días d) 18 días a) 600 días b) 500 días e) Imposible calcular c) 900 días d) 700 días e) 850 días 4. ¿Qué hora es si son 5/7 de lo que falta del día? 16 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 9. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 7h 10 min? 15. A qué hora, después de las 3 p.m. Las agujas de un reloj determinan un ángulo que mide 130°? a) 105° b) 150° a) 3: 45’ b) 3: 35’ c) 170° d) 160° c) 3: 30’ d) 3: 40’ e) 155° e) 3: 50’ 16. ¿A que hora, después de las 11: 00, el minutero y horario de un reloj 10. ¿A que horas del día, las horas transcurridas son la tercera parte de las forman un ángulo de 41° por primera vez? horas que faltan transcurrir? a) 6 pm. b) 8 am a) 11:20 b) 11:05 c) 4 pm. d) 3 am c) 11:10 d) 11:02 e) 6 am. e) 11:06 17. Entre las 4 y las 5, ¿A que hora las agujas de un reloj (minutero y 11. ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 horario) forman un ángulo de medida 76°, por primera vez? segundos? a) 4:02 b) 4:04 c) 4:06 d) 4:08 a) 0,52 b) 0,37 e) 4:10 c) 0,71 d) 0,41 e) 0,49 18. Un reloj adelanta 20 segundos cada cuarto de hora. En un día. ¿Cuánto tiempo adelantara? 12. ¿Cuántas campanadas dará en un día un reloj que indica cada hora a) 1h b) 34 min con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada? c) 32 min d) 17 min e) 1h 35 min a) 78 b) 179 c) 160 d) 68 19. ¿A que hora, después de las 4: 00, las agujas de un reloj, minutero y horario, determinan un ángulo que mide 12° por segunda vez? 6 13. e) 72las agujas de un reloj a las 2h 10 min 54 seg. ? 11 a) 10° b) 0° a) 3: 35 b) 4: 24 c) 30° d) 15° c) 5: 20 d) 6: 35 e) 75° e) 4:50 14. Cierto reloj se atrasa 3 min. Cada 40 min. Y lo hace desde hace 8 horas. ¿Cuál es la hora correcta cuando el reloj marca las 5h 30 min? 20. ¿Qué hora es, sabiendo que el tiempo transcurrido excede en 2h 15 min a la mitad del tiempo que falta transcurrir? a) 4h 54 min b) 4h 52 min a) 9h 30 min b) 5h 39 min c) 6h 06 min d) 6h 17 min c) 8h 15 min d) 9h 15 min e) 6h 32 min. e) 8h 27 min 17 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA PROBLEMAS PARA CASA 1. ¿Cuánto mide el ángulo determinado por la agujas de un a) Lunes b) Martes reloj a las 10:40 p.m.? c) Miércoles d) Jueves a) 100° b) 70° c) 80° e) Viernes d) 80° e) 110° 9. En un año bisiesto, ¿Cuántos días Lunes y Martes habrá 2. Un reloj se atrasa 1 hora y media cada 18 días: ¿Cuánto como máximo? tiempo deberá transcurrir para que marque la hora exacta? a) 51 y 52 b) 52 y 52 a) 120 días b) 1140 hrs. c) 52 y 53 d) 53 y 53 c) 144 días d) 12 000 hrs. e) 53 y 52 e) 288 días 10. Antes de ayer tenía 15 años y el próximo año seré mayor de 3. Hace ya 45 horas que un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 edad, le decía Inocente a Inocencia.¿En que fecha se realizo horas. ¿Que hora señalará el reloj cuando sean en realidad el dialogo? las 8h 50 min? a) 28 de Diciembre a) 8:17 b) 10:25 c) 8:23 b) 31 de Diciembre d) 9:17 e) 9: 23 c) 01 de Enero d) Faltan Datos 4. ¿A que hora del día, las horas transcurridas son excedidas e) N.A en 3 horas por el doble de las horas que faltan transcurrir? a) 3 am. b) 1 pm. c) 5 pm. 11. Si el ayer de antes de ayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado d) 5 am. e) 1 am. mañana de antes de ayer? a) Lunes b) Martes 5. Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00 ¿Qué hora es? c) Domingo d) Jueves a) 7: 50 b) 10: 25. c) 8. 20 e) Viernes d) 8. 40 e) 8: 30 12. Si el lunes es el martes del miércoles y el Jueves es el Viernes del Sábado. ¿Qué día es el domingo del lunes? 6. ¿A que hora entre las 5 y las 6 las agujas de un reloj determinan un a) Martes b) Miércoles ángulo que mide 40°? c) Jueves d) Viernes a) 5: 15 b) 5: 22. c) 5: 20. e) Sábado d) 5: 14 e) 5: 21 13. En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 7. Si el 1° de Enero de 1942 cae jueves ¿Qué día caerá el 1-° de domingos. ¿Qué día será el 26 de dicho mes? mayo del mismo año? a) Lunes b) Martes a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves c) Miércoles d) Jueves e) Sábado e) Viernes 14. ¿Cuantas veces durante el día se superen las agujas de un 8. Si el ayer de mañana es sábado ¿Qué día será el mañana del reloj? ayer de pasado mañana? -2- I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA a) 12 b) 24 c) 11 15. Una alarma suena 5 veces sonara en 1 minuto? d) 22 e) 23 a) 300 b) 240 c) 301 d) 241 e) 299 TEMA: PROBALIDADES Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se sello. So yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una basa en el supuesto que todos los resultados posibles son posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½. salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas. Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 Debemos recordar que: y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será: El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles 3 1 asociados a un experimento. 6 2 Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral () seria Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de conjunto de dos elementos: que esta sea de diamante será: = {cara; sello} 13total de cartas de diamantes 1 Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este P experimento seria: 52 ( total de cartas) 4 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salid un alumno del aula, este sea mujer? EVENTOS INDEPENDIENTES 30 total de mujeres P Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre si 50 ( total de alumnos ) para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el Recordemos: resultado de ésta. Probabilidad: Definición clásica ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces? La probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así: 1 n de eventos favorables P (s1) = P 2 n de eventos posibles En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado Donde: 0P1 que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es: 1 La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre 0 y P (s2) = 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de 2 que sea 1, el evento es seguro. Luego la probabilidad que ocurran ambos será: 19 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA P (s1 s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes) A = C1 C2; B = S1 S2 = 1/4 1 1 1 P (C1 C2) = P (C1) x P (C2) = 2 2 4 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 1 1 1 Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea. P (S1 S2) = P (S1) x P (S2) = 2 2 4 Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas? Luego: Definimos: 1 1 1 P (A B) = P (A) + P (B) = C1 : Obtener cara en el primer lanzamiento 4 4 2 C2 : Obtener cara en el segundo lanzamiento S1 : Obtener sello en el primer lanzamiento Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una monedad dos veces. S2 : Obtener sello en el segundo lanzamiento PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el reloj sea más de las 12 meridiano? 8. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado al aire, resulte un Rpta.: número par? 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento Rpta.: de 3 monedas? Rpta.: 9. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta de espadas de una baraja? 3. en un salón de clases hay 35 alumnos, de los cual, 20 son limeños; ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? Rpta.: Rpta.: 10. En un bingo, un jugador esta esperando se “cante” una bola, y de los 40 números ya se anunciaron 30, ¿Cuál será la 4. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; ¿Cuál es la probabilidad que se cante dicha bola? probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul? Rpta.: Rpta.: 5. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una baraja de cartas, al 11. si a través de la ventana se observa el paso de las personas extraer una de ellas se obtenga un As? (dama o varón); que probabilidad hay que pase una dama. Rpta.: Rpta.: 12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al sumar los puntos de las 6. Las caras de un lápiz hexagonal se numeran del 1 al 6; ¿Cuál es caras superiores de lanzar 2 dados? la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un número no menor que 3? Rpta.: Rpta.: 13. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y 5 de color blanco. Se extraen dos al mismo tiempo; ¿Cuál es la probabilidad de que 7. Considerando a una gestante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de haya una de cada color? que nazca varón y mediante cesárea? Rpta.: Rpta.: 20 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA Rpta.: 14. En una determinada ciudad, de cada 69132 bebes nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad que el próximo bebe a nacer normalmente, sea 18. Se lanzan 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo mas niña? 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores? Rpta.: Rpta.: 15. Una tienda vende únicamente 4 bebidas, ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cobrador elija unan de estas 4 19. Indicar la probabilidad de extraer una carta menor que 7 de una bebidas? baraja. Rpta.: Rpta.: 16. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire, se 20. el Instituto Nacional de Estadística e Informática informo que obtenga cara? de 4815 jóvenes de 21 años, fallecen a los 25 años 963 de ellos. Calcular la probabilidad que un joven de 21 años, siga vivo luego Rpta.: de los 25 años. 17. En una reunión social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; Rpta.: ¿Cuál es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama? PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Se lanzan dos dados. Indicar la probabilidad de obtener por lo c) 1/6 d) 1/7776 menos 10 en la suma de los puntos de las caras superiores e) 1/30 5. Se lanzan al aire un dado común y uno tetraédrico; ¿Cuál es la a) 1/6 b) 1/2 probabilidad de obtener una suma mayor que 7? c) 1/4 d) 1/9 e) 1/12 a) 1/4 b) 1/24 c) 7/2 d) 5/24 2. Cual es la probabilidad de obtener 2 caras en el lanzamiento de e) 9/24 dos monedas. 6. Se tiene un dado tetraédrico y otro en forma de octaedro a) 1/2 b) 3/4 (ambos con sus caras numeradas a partir del 1). ¿Cuál es la c) 1/4 d) 1/8 probabilidad que la suma de las caras inferiores sea un cuadrado perfecto? e) 1/3 a) 1/32 b) 5/32 3. Se lanza un dado y una moneda, calcular la probabilidad que c) 9/32 d) 7/32 resulte cara y el número 6. e) 11/32 a) 1/9 b) 2/11 c) 1/12 d) 1/3 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 al extraer una carta de una baraja completa? e) 1/6 a) 1/10 b) 1/11 4. En el clásico juego de “kachito” (5 dados); ¿Cuál es la probabilidad que c) 1/12 d) 1/13 resulten 5 ases? e) 1/14 a) 1/9 b) 1/4 21 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 8. Se lanzan al aire 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad que la 12. se lanzan 2 dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que la suma diferencia de los puntos sea menor que 3? de los puntos sea un múltiplo de 3? a) 2/3 b) 1/3 a) 1/2 b) 1/3 c) 3/10 d) 25/26 c) 1/4 d) 1/5 e) N.A. e) 1/6 9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga un cinco y luego un 3? 13. Se lanza una moneda al aire y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda y un número par de puntos en el dado? a) 5/36 b) 1/36 c) 5/6 d) 1/6 a) 1/2 b) 1/3 e) 11/36 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 10. En una fiesta, por cada 3 varones, había 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea una mujer? 14. Se lanzan dos dados al aire ¿Cuál es la probabilidad que resulten dos números iguales? a) 2/3 b) 1/2 a) 1/36 b) 1/38 c) 1/3 d) 3/5 c) 1/9 d) 1/6 e) 2/5 e) 1/4 11. Se lanzan dos monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos? 15. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras están numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la probabilidad que resultan tres unos? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/2 a) 1/64 b) 1/12 e) 1/9 c) 1/4 d) 1/9 e) 1/20 TEMA: MAXIMOS Y MINIMOS I. MCD: El máximo común divisor de 2 o más números es el mayor de los divisores comunes de dicho conjunto de números. Ejemplo: Hallar el MCD de 18 y 24 DIVISORES 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 24 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 24 Divisores comunes de 18 y 24 : 1, 2, 3, 6 máximo MCD (18 y 24) = 6 OBSERVACION: Los divisores del MCD son también del conjunto de números. 22 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA Divisores 6: 1, 2, 3, 6 Dónde: 1, 2, 3, y 6 son los divisores comunes de 18 y 24 II. MCM: El mínimo común múltiplo de 2 o más números es el menor de los múltiplos comunes positivos de dicho conjunto de números. Ejemplo: Hallar el MCM de 4 y 6 Múltiplos positivos 4: 4, 8, 12, 16, 20, 324, 28, 32, 36, … 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … Múltiplos comunes de 4 y 6 : 12, 24, 36, … mínimo MCM (4, 6) = 12 OBSERVACION: Los múltiplos comunes son también múltiplos del MCM del conjunto de números. Múltiplos comunes de 4 y 6: 0 12, 24, 36, 48, 60, … son 12 Dónde: 12 es el MCM de 4 y 6 Formas de determinar el MCD y MCM de 2 o mas números I. Por la descomposición simultanea de sus factores primos: Ejemplo: Hallar el MCD de 60, 72 y 132 60 – 72 – 132 2 30 – 36 – 66 2 MCD 15 – 18 – 33 3 PESI 5– 6 – 11 2 MCM 5 – 3 – 11 2 5 – 1 – 11 5 1 – 1 – 11 11 1– 1– 1 MCD (60, 72, 132) = 2 x 2 x 3 = 12 MCM (60, 72, 132) = 2 x 2 x 3 x 2 x 3 x 5 x 11 = 3690 23 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA II. Por la descomposiciones canónicas: El MCD es el producto de factores primos comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes presentados. El MCM es el producto de factores primos comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes presentados. Ejemplo: A = 21 x 31 x 51 B = 22 x 32 x 51 x 7 C = 23 x 52 x 71 MCD (A, B, C) = 21 x 51 = 10 MCM (A, B, C) = 23 x 32 x 52 x 71 = 12600 III. Por divisiones sucesivas (Algoritmo de Euclides): Solo sirve para determinar el MCD de 2 números. Ejemplo: Determinar el MCD de: (247; 143) cocientes. COCIENTES 1 1 2 1 2 247 143 104 39 26 13 104 39 26 26 13 0 RESIDUOS El MCD será el último divisor MCD (247 y 143) = 13 PROPIEDADES: 1. Si un conjunto de números se divide entre su MCD los cocientes obtenidos son PESI. Ejemplo: MCD (18, 24, 30) = 6 18 24 30 3 , 4 , 5 6 6 6 PESI Finalmente: 18 = 6 x 3 24 = 6 x 4 30 = 6 x 5 MCD 24 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA 2. Si el MCM de un conjunto de números se divide entre ellos los cocientes obtenidos serán PESI. Ejemplo: MCM (4, 6, 10) = 60 60 60 60 15 , 10 , 6 4 6 10 PESI Finalmente: 60 4 15 60 6 10 60 10 6 3. Si a todos los elementos de un conjunto de números se les pmult8iplica (o divide) por una misma cantidad su MCD o MCM quedara multiplicado (o dividido) por la misma cantidad. Ejemplo: MCD ( 4, 6, 8) =2 MCD (3x4, 3x6, 3x8) = 3x2 MCM ( 4, 6, 8) = 24 MCM (5x4, 5x6, 5x8) = 5x24 4. Para 2 números A y B PESI se cumple que: MCD (A, B) = 1 MCM (A, B) = A x B Ejemplo: 4 y 9 son PESI MCD (4, 9) = 1 MCM (4, 9) = 4 x 9 5. Para 2 números A y B (“A” e múltiplo de B) se cumple que: MCD (A, B) = B MCM (A, B) = 20 Ejemplo: 20 es múltiplo de 4 25 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA MCD (20, 4) = 4 MCM (20, 4) = 20 6. Solo para 2 números A y B cualesquiera se cumple: MCD (A, B) x MCM (A, B) = A x B Ejemplo: MCD (10, 25) x MCM (10, 25) = 10 x 25 5 50 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si un kilo de manzanas contiene entre 6 y 8 manzanas. ¿Cuál el mayor peso que puede tener 4 docenas de manzanas? 8. En una urna hay 10 bolas rojas, 12 azules y 15 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se deben sacar para tener la Rpta.: seguridad de haber extraído 8 bolas de uno de los colores? 2. Hay 6 clases de caramelos mezclados. ¿Cuál es la cantidad Rpta.: mínima que debe comprar, para asegurarse que tendrá por lo menos 2 de la misma clase? 9. En una caja hay caramelos de 3 sabores distintos. ¿Cuántos Rpta.: deben tomarse como mínimo para tener la seguridad de haber extraído 4 del mismo sabor? 3. Una caja tiene 4 medias blancas y 4 medias negras. ¿Cuál Rpta.: es la menor cantidad de medidas que se debe sacar sin ver de modo que haya un par usable? 10. ¿Cuál es el valor de “x” que hace que la expresión siguiente sea mínima? Rpta.: R 6 x 2 3 4. ¿Cuántas personas como mínimo hay en cinco filas de 3 Rpta.: personas cada fila? Rpta.: 11. De una baraja de 52 naipes. ¿Cuántas cartas debo extraer como mínimo, para que salga con seguridad una carta de corazones? 5. Una de mis 27 bolas de billar pesa más que las otras, para Rpta.: averiguarlo apliqué una balanza de 2 platillos al precio de 5 soles la pesada. ¿Cuántos tuve que pagar, si llegue a saber cual era? 12. En una reunión se encuentran 480 personas. ¿Cuántas personas Rpta.: como máximo deberán retirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que están presentes dos personas con la misma fecha de cumpleaños? 6. Una familia consta de una pareja de esposos, dos hermanos, dos sobrinos y dos hermanas. Hallar el mínimo número de personas Rpta.: que conforman dicha familia. Rpta.: 13. Hallar el menor número que se debe quitar a 1575, para que tenga la raíz cuadrada exacta. 7. Si con cada 8 colillas se puede formar un cigarrillo y Percy reúne Rpta.: 77 colillas, hallar respectivamente, el máximo número de cigarrillo que puede fumar y el número de colillas que sobrarían. 14. De 6 fichas rojas, 8 azules y 10 verdes. ¿Cuál es el mínimo número que se debe extraer para tener la certeza de haber Rpta.: extraído un color por completo? 26 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA Rpta.: 18. En una urna hay 2 bolas azules y 3 bolas negras. ¿Cuántas bolas debo extraer como mínimo, para poder decir con certeza que ha sacado una bolla de color azul? 15. ¿Cuál es el menor número de trozos de igual longitud que pueden obtenerse dividiendo 3 varillas de 540m, 480m y 360, sin desperdiciar material? Rpta.: Rpta.: 19. Si: a + b = 1 a 0, b 0; calcular el máximo valor de: F (a; b) = ab 16. Calcular el mínimo valor de: P(x) = x2 + 3 Rpta.: Rpta.: 20. Se dispone de 5 candados y sus 45 llaves. ¿Cuántas veces tendrá que probarse como mínimo las llaves, para determinar con 17. Si 2x peras pesan entre 3a y 5b gramos (a b). ¿Cuál es el mínimo certeza que llave corresponde a que candado? número de peras que puede haber en “m” kilogramos? Rpta.: Rpta.: PROBLEMAS PARA LA CASA 1. En una caja hay 12 bolas azules, 15 blancas, 8 verdes y 20 rojas. a) 8 b) 10 ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se deben sacar para tener la certeza de haber extraído 13 bolas de uno de los c) 17 d) 11 colores? e) N.A. a) 48 b) 49 6. Un grupo de 456 personas van a elegir un presidente, si se presentan c) 51 d) 52 5 candidatos para el puesto. ¿Cuál es el menor número de votos que e) 50 puede obtener uno de ellos y tener así más que cualquier de los otros 4? 2. Con cada 3 colillas se puede hacer 1 cigarro, si Manuel tiene 21 a) 90 b) 93 colillas. ¿Cuál es el máximo número de cigarros que puede el fumar? c) 91 d) 92 e) 95 a) 9 b) 10 c) 11 d) 7 7. 2 kilogramos de manzanas contiene entre 20 y 25 manzanas, e) 8 entonces el mínimo peso que pueden tener 140 manzanas se encuentra: 3. Si 2 números suman 1. ¿Cuál es el máximo valor que puede a) Por debajo de los 7 Kg. tener su producto? b) Entre 7 Kg. y 8,5 Kg. a) 1 b) 7/8 c) Entre 8,5 y 10 Kg. c) 1/4 d) 1/2 d) Entre 10 y 12 Kg. e) F.D. e) Por encima de los 12 Kg. 4. Cuantas personas como mínimo hay en 6 filas de 3 personas 8. En una caja se encuentran 3 conejos blancos, 4 conejas blancas, 4 cada fila: conejos marrones, 3 conejas marrones. ¿Cuál es el número mínimo de animales que se deben extraer para tener necesariamente un conejo a) 18 b) 9 y una coneja del mismo color? c) 10 d) 8 a) 2 b) 5 e) 7 c) 7 d) 8 e) 9 9. En una caja hay 12 fichas azules, 15 fichas blancas, 18 verdes, y 5. La familia “Fernández” consta de padre, madre, 8 hijas y se sabe 20 rojas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben que cada hijo tiene 1 hermano. ¿Cuántas personas como sacar para tener la seguridad de haber extraído 13 de uno de lo mínimo componen la familia “Fernández”? colores? 27 I.E.P. “SAN JERÓNIMO DE ESTRIDÓN” RAZ. MAT. – PRE AÑO INICIAL-PRIMARIA-SECUNDARIA a) 48 b) 52 c) 49 d) 51 13. ¿Cuál es el máximo valor que puede alcanzar la expresión: e) 46 8 E 8 x 8 2 10. Se tiene una balanza de platino y 9 bolas de billar aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas en la que se puede determinar en seguridad la bola que pesa más? a) 20 b) 10 c) 5 d) 2 a) 1 b) 4 e) N.A. c) 2 d) 3 e) N.A. 14. Karina compra caramelos de fresa y limón. Si cada caramelo de 11. Sara reparte entre sus 3 hijos en 15 y 24 soles semanales. Si fresa cuesta 50 céntimos y cada uno de limón cuesta 30 Emma reparte 20 y 28 soles cada semana. ¿Cuál es la máxima céntimos. ¿Cuál es el máximo número de caramelos que pudo diferencia que puede haber entre lo que recibe un hijo de Sara adquirir con 4 soles? y uno de Emma? a) 8 b) 10 a) 2 soles b) 3 soles c) 13 d) 13 c) 4 soles d) 5 soles e) N.A. e) no hay diferencia 15. Si con cada 7 colillas se puede formar 1 cigarro y Daniel reúne 52 colillas, hallar respectivamente el máximo número de cigarros que puede fumar y el número de colillas que sobrarían. 12. El número 112 se divide en dos números de dos cifras cada uno. Si uno del ellos es el menor posible. Hallar la suma de sus cifras. a) 7 y 3 b) 8 y 3 a) 4 b) 7 c) 9 y 2 d) 8 y 4 c) 10 d) 13 e) N.A. e) N.A. 28