UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMONDEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CALCULO II SEMESTRE I/2017 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 0.5 0 Z -0.5 -1 -1 -0.5 -1 0 -0.5 0 0.5 0.5 Y 1 1 X Docente: G. Cupé Cochabamba Marzo 2017 1 2 DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CARRERAS DE QUIMICA, ALIMENTOS, FISICA, CIVIL CALCULO II SEMESTRE I/2017 DOCENTE: G.Cupé PRESENTACION La matemática, como lenguaje simbólico, ha evolucionado a lo largo de muchos siglos. Se plantearon en un principio los problemas matemáticos utilizando el lenguaje cotidiano disponible ( 20 siglos antes de la era cristiana ) , pasando por el empleo de construcciones geométricas ( 5 siglos antes de la era cristiana ) , volviendo al uso del lenguaje cotidiano pero introduciendo abreviaturas ( 10 siglos después de la era cristiana ) y alcanzando la madurez ( simbolismo propio ) hasta hace dos siglos. Actualmente el lenguaje matemático es utilizado por la física, química , informática y otras cien- cias para expresar sus objetos de estudio y las relaciones entre ellos mediante expresiones funcionales y ecuaciones fundamentales especí…cas. Lo signi…cativo de tales expresiones ( funciones y ecuaciones básicas ) es el de emplear números tanto para representar los objetos de estudio como también sus propiedades. Por ejemplo, tres números se emplean para representar un paralelepípedo y un número para representar su volumen; de igual manera, tres números se emplean para representar la ubicación de un punto en el espacio y un número para repre- sentar el valor de la temperatura en ese punto. Las relaciones funcionales adquieren una "interpretación .o signi…cado en cada ciencia de acuerdo al signi…cado atribuído a los números. La asignatura de Cálculo II, o Cálculo a varias Variables; tiene tres componentes temáticos: i) Estudio de objetos geométricos en el espacio, empleando el álgebra, gracias al uso de un sistema de coordenadas. Este estudio se facilita con el empleo del concepto de vector; lo que permite mirar a los objetos geométricos como generados por partículas en movimiento. El papel que desempeñan los objetos geométricos en la asignatura es el de servir como medios de ayuda para la comprensión de los otros dos temas de la materia ( derivación e integración ). ii) La derivación de funciones a varias variables, esto es; el estudio de las relaciones entre las varia- ciones en cada una y/o todas las variables independientes con las variaciones ( o impacto) que ocasionan en las dependientes. Según la interpretación que se dé a las variables utilizadas, las técnicas del cáculo diferencial permiten resolver diferentes problemas fundamentales. iii) El cálcuo integral,esto es; la medición de magnitudes geométricas y/o físicas de los objetos de estudio mediante un proceso de descomposición ( desintegración ) en elementos "in…nitesimales "seguido de un proceso de medición en cada elemento y luego de sumación de esas medidas para obtener la magnitud total asociada al objeto. Para la comprensión ( o apropiación conceptual ) de los temas mencionados por el estudiante, es imprescindible la realización de varios y variados ejercicios que se re…eran a los conceptos que debe aprehenderse. Este documento tiene el propósito de promover esa ejercitación. CAPíTULO 1 VECTORES 0.1. LA RECTA REAL. GLOSARIO: Recta. Punto. Número Real. Recta Real. Conjunto. Representación de un Conjunto. Valor Absoluto. Distancia. Vector Desplazamiento. 1. Indicar el signi…cado ( en términos de distancias) de la propiedad que cumplen los puntos del conjunto : a) fx 2 R j jx 4j > 1g , b) fx 2 R j jx + 4j > 1g 2. Representar grá…camente los conjuntos siguientes: a) fx 2 R j jxj = 5g ; b) fx 2 R j x(x 1) > 0g, c) fx 2 R j jxj + jx 1j < 6g 3. Representar grá…camente los puntos cuya distancia al punto 3 es mayor que su distancia al punto 3: Escribir dicho conjunto simbólicamente, por comprensión. 4. Qué signi…cados, en términos de puntos y vectores, se puede dar a la expresión: 3+6 8=1 5. Determinar grá…camente y algebraicamente el vector que desplaza una partícula ubicada en el punto 10 , hasta el punto 10. 6. Se desea determinar los dos puntos que dividen al segmento ab (a < b):Qué vector permite encontrarlos, mediante desplazamiento a partir del punto a? 7. Qué signi…cado en términos de vectores tienen las expresiones: a+a+a+a+a = 5a 3 a 2 p 2a 2a = 2( a) ( 3)( 5) = [3( 5)] = 15 5(0) = 0 8. Una partícula inicialmente ubicada en un punto P de la recta real, se desplaza una unidad a la izquierda, luego dos unidades a la derecha, luego tres unidades a la izquierda, ... y así sucesivamente hasta completar 20 de estos movimientos. Determinar la distancia total recorrida y el desplazamiento total. a+b 9. Dados los puntos a y b de la recta real, explicar o justi…car que el punto , es el punto 2 medio del segmento determinado por a y b: 10. Si consideramos al número x como vector, a) mostrar que jxj representa la distancia entre el punto inicial donde actúa el vector x; y el punto …nal obtenido. b) en base a lo anterior, qué signi…cado se puede dar al valor absoluto de la diferencia de dos números: jx yj 11. Determinar todos los vectores x , tales que desplazan al punto 2, una distancia mayor a 5. 0.2. SISTEMA DE COORDENADAS. Un sistema de coordenadas es una manera de ubicar puntos mediante números. Para ubicar puntos en el plano se requieren dos números ; y para ubicar un punto en el espacio se requieren tres números. El propósito de emplear un sistema de coordenadas es el de representar los objetos geométricos, es decir conjuntos de puntos; mediante relaciones algebraicas o sistemas de ecuaciones. Esta técnica 3 c) 2A 3B + 2C 2. 7. z2 ) 5. 5)a cada uno de los siguientes planos y eje: a) plano xy . se denominan vectores. 34 ) . Qué subconjuntos representan las ecuaciones: a) x = 3 b) y = 5 . La otra operación es la de un número con un vector. ) tripletas de números reales con los cuales sí es posible realizar operaciones algebraicas como la suma de manera que estas operaciones tengan un signi…cado que corresponda a relaciones fundamentales que efectivamente se dan entre las magnitudes físicas. Si bien el conjunto de pares o tripletas de números. b) R3 3. sistema polar. Algebraicamente desplazar el punto (4. c) plano xz . 1) . Cuál de los puntos P (6. ) = (2. en a) R . Qué representa r = en el plano. y1 . dos o tres variables. 0) en un sistema de coordenadas cartesianas 8. ) = (2. VEC TO RES ha resultado ser una pieza esencial en el desarrollo tecnológico y cientí…co en el que actualmente nos encontramos. En cambio en el espacio. (1. 3).uplas de números reales denominados puntos representan objetos con los que se trabaja en el desarrollo de una temáticas. 4. b) plano yz .3. f) eje z 0. 0. sistema polar: (r. Sean A = (1. 3) y C = (0. 2) . (r. 10) . los pares de números ubican puntos. Estas tripletas. mientras que las n . B = ( 1. 5) al punto (0. son representas por el sistema de ecuaciones correspondientes a dichas super…cie. 2). en a) R2 . . que visualmente corresponde a la ley del paralelogramo. signi…ca que el punto se desplaza ( por acción del vector ) a otro punto cuya ubicación es justamente el resultado obtenido por la "suma ". Si los dos vectores representan dos desplazamientos consecutivos. Represente los puntos en el plano. con las que se realizan operaciones. por ejemplo ). luego de unos dos siglos de la creación del concepto de sistemas de coordenadas ha sido posible también asociar a magnitudes físicas ( como el desplazamiento. que representan puntos no se pueden operar algebraicamente ( sumar. ( 1. 3. Cuál es el vector posición …nal ? 3. Determinar el vector desplazamiento V que desplaza el punto (3. Q( 5. Las curvas que resul- tan geométricamente de la intersección de dos super…cies. 6) horizontalmente a la derecha 8 unidades y vertical- mente hacia abajo 5 unidades. (0. Con los vectores se pueden realizar dos operaciones: la suma de vectores. Encuentre la distancia de (3. 2. y2 ) está dada por p P1 P2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 4. 3) . En el plano.4 1. Trace los puntos (3. calcular y representar gra…camente las operaciones que se indican . En general. entonces la suma representa el desplazamiento total. fuerza. y1 ) y P2 (x2 . 7. COORDENADAS CARTESIANAS El sistema de coordenadas más empleado es el denominado sistema cartesiano en honor a su creador alrededor del año1600. mientras que las …guras denom- inadas curvas son representadas por una ecuación con una o dos variables. Traze y describa el subconjunto de puntos representado por y = x . siendo el resultado un vector que mantiene su dirección ( la recta donde el vector yace ) pero puede quedar ampliado o reducido e incluso cambia de sentido cuando el número es negativo. velocidad. 1. d) eje x . etc.e) eje y . Cuál punto se encuentra en el plano yz? 9. 8) está más cercano al plano xz?. Qué representa r = cos en el plano. 1. Mostrar que la distancia P1 P2 entre los puntos P1 (x1 . 4) y R(0. sistema polar. 0. y2 . VECTORES. z1 ) y P2 (x2 . los puntos son ubicados por tripletas de números. Otro caso importante es que cuando se "suma ün punto con un vector. 4). los objetos geométricos denominados super…cies se representan algebraicamente mediante ecuaciones con una. b) R2 . 1. 1. Encontrar la distancia P1 P2 entre los puntos P1 (x1 . las n . c) R3 ? 2. 32 ) 6. En cada caso explicar su signi…cado contextual en términos de puntos y vectores desplazamiento a) A + B b) A B + C .uplas denominadas vectores representan características o propiedades geométricas y/o físicas de aquellos objetos con los que se trabaja. x2 ) al punto P2 = (y1 . 5) al punto (0. QB . Determinar el vector desplazamiento V que desplaza el punto (3. y3 ). construir el paralelogramo. B = ( 4. Si su respuesta al ejercicio anterior es que son iguales. 0) es tal que 0 + A = A + 0 = A. 6. Mostrar que las medianas de un triángulo se intersectan en un punto común que trisecta a cada una de las medianas. 4) son vectores que representan los vectores diagonales de un paralel- ogramo. Indicar y mostrar las propiedades para la suma y multiplicación por un escalar. x2 .que siempre es así. Cuál es el desplazamiento total. 9. En general. 4) . b son números. (30.Hallar la expresión vectorial del punto C tal que: i) Pertenezca a la recta determinada por A y B. OPERACIONES CON VECTORES. Sean A = (1. 0. 4) :Tome un punto Q (concreto) cualquiera fuera del cuadrado y desplácelo según los ! ! ! ! vectores QA . En cada caso indique el signi…cado de la igualdad Si A. Qué vector desplaza el punto P1 = (x1 . 1. 1). ii) algebraicamente 5. (12. 4. y2 ): En general. 0). indicar el procedimiento para resolver el problema. AE . 1. calcular y explicar los distintos signi…cados que se puede dar a las expresiones: a) A + C. 4) . Qué vector desplaza el punto P1 = (x1 . entonces * A + B=B + A * (A + B) + C = A + (B + C) * El vector 0 = (0. determinar el vector desplazamiento total si sucesivamente se aplican a una partícula los vectores ! ! ! ! ! AB . C son vectores y a. B y C son los vértices de un triángulo. Sea AB un segmento de recta. * (ab) A = a (bA) * (a + b) A = aA + bA * a (A + B) = aA + aB La sustracción entre dos vectores A y B se de…ne por: A B = A + ( B) 2. B. VEC TO RES 5 4. Las respuestas …nales (desplazamiento totales) son iguales o distintos ? 10. :::. 5. 6) . 0. 0) y (10. Dado cualquier vector A. QD . Los vértices de un cuadrado son los puntos A = (4. existe el vector A tal que A + ( A) = ( A) + A = 0 * 1A = A. 4) . 6.4. 8. y su distancia a B sea el doble de su distancia a A: ii) C sea un punto cualquiera del (del plano o del espacio) y su distancia a B sea el doble de su distancia a A: 4. Dado el cuadrilátero de vértices (4. 20) . determinar empleando vectores el punto de intersección de sus diagonales. 4. 4) y C = (0. 5) y B = (4. b) 2A B + 2C. 5. QC . AD . hallar ! ! ! AB + BC + CA 3. siendo uno de sus vértices el punto (0. 0. B = (2. y2 . Si A . Si A = (10. muestre algebraicamente . 10).de manera general . AF i) grá…camente. 10) 7. 0. 7. 4) y D = (4. C = ( 4. indicar el procedimiento para resolver el problema. Realize lo mismo que el ejercicio anterior pero tomando el punto Q (concreto) dentro del cuadra- do. x3 ) al punto P2 = (y1 . AC . Si ABCDEF son los vértices de un exágono regular. 5)? 0. Si ABCD es un paralelogramo. 0) y (1. paralelo y del jAj mismo sentido que A.6. B y C son tres vectores del espacio y: ! ! ! ! R1 = 2 A 3 B + C ! ! ! ! R2 = 3 A 5 B + 2 C ! ! ! ! R3 = 4 A 5 B + C ! ! ! ! es posible escribir R 3 en la forma: R 3 = m R 2 + n R 1 ?. 30) . PARALELISMO. 1. 30) de un cuadrilátero. 4) . en algún momento pasa por el punto (6. 1. ! 5. Si un vector representa a un vector desplazamiento. Dados los puntos A =p(0. la característica que determina dos vectores paralelos es que uno de ellos debe ser igual al otro multiplicado por una constante. 1. 1) hasta alcanzar la posición …nal de (2. Expresar el vector (15. 4) y (4. mostrar que 2 2 2 2 2 2 AB + BC + CD + DA = AC + BD 4. 10) como suma de vectores paralelos a ! u = (2. 6). Una partícula que inicialmente está ubicada en (0. Justi…que su respuesta. 0) . Determinar a qué punto desplaza el ! vector 2 A . 0. 0) y a una distancia 100 2 del punto (4. mostrar que si se unen consecutivamente los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo. 4). 2. VEC TO RES ! ! ! 8. MODULO DE UN VECTOR. 10) . 6. 0):Si la trayectoria sigue exactamente las direcciones de los vectores dados. b) Algebraicamente 4. 0) y B = (10. mostrar que 2 2 2 2 2 2 2 AB + BC + CD + DA = AC + BD + 4P Q Inicialmente veri…que para un caso concreto (dése cuatros puntos como vértices del cuar- ilátero) 5. Q son los puntos medios de sus diagonales.5. (20. al punto (0. Dados los vértices (0. 10) determinar todos los puntos del plano que se hallen a una distancia de 10 2 unidades de ambos.6 1. Si A . 0. Visualmente se dice que dos vectores son paralelos cuando está ubicados o yacen sobre la misma recta o rectas paralelas. se dicen paralelas cuando no se cortan pero tienen la misma dirección. Demostrar que las diagionales de un paralelogramo se bisectan 10. entonces el vector = ( jAj A) es un vector unitario. 2. El vector A desplaza el punto (3. 2) y !v = ( 3. (40. Si ABCD es un cuadrilátero cualquiera y P . a) Grá…camente. a) sea paralelo al vector ( 4. Mostrar que si A 6= 0. 5) 0. Determinar todos los p puntos que se hallan sobre la recta de…nida por los puntos (0. Determinar el valor de a para que el vector (2. escríbalo. 5) se desplaza en las direcciones de los vectores (1. 0) y (30. Este resultado valdrá para cualquier cuadrilátero ?. visual- mente se entiende por su módulo al "tamaño "de la ‡echa y por tanto su signi…cado es que ese tamaño es justamente la distancia entre el punto inicial y el punto …nal en el movimiento descrito por dicho vector desplazamiento. 1). A 1 1. Dos rectas . Si es posible. Para el manejo algebraico. 4) al punto (8. sea en el plano o en el espacio. Mostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equidistante a los tres vértices. (1. 3. 1. Mostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado 3. 3. 9. 5) y a la recta que pasa por (0. y para determinar la recta perpendicular se busca un vector contenido en dicha recta. a3 ) incide en dicho espejo. 1. a3 ): 0. Empleando este hecho. En qué propoción deben estar los lados de un rectángulo para que la proyección de la base sobre una diagonal sea la tercera parte de dicha diagonal ? (15. 10. 8. VEC TO RES 7 7. . El punto P = (0. 1. Dados lo puntos (10. 10) y (10. 1) y D = (2. 10). 1) es el doble del que forman C = (1. 5. Determinar la distancia de su posición …nal al origen de coordenadas. 3.8. En qué proporción deben estar los lados de un rectángulo para que sus diagonales al cortarse formen un ángulo de a) 30 ? . Esa condición permite solucionar el problema y se obtiene una operación entre dos vectores denominado su producto vectorial que permite obtener un vector perpendicular a los dos. 5) se desplaza 100 unidades paralelamente a la recta que pasa por los puntos (4. 4) . Empleando vectores determine el punto cuya suma de distancias a la circunferencia de radio 5 con centro en (0. 6). En qué situación se tendrá que la suma de dos vectores unitarios de como resultado un vector unitario?. Encuentre el ángulo entre una diagonal del cubo y a) una de sus aristas . 10. 12) se proyecta ortogonalmente sobre el segmento de…nido por los puntos (5. entonces jA + Bj jAj + jBj a) Geométricamente . PRODUCTO VECTORIAL. permite evaluar dicho ángulo en un sistema de coordenadas mediante una operación ( denominada pro- ducto escalar ) entre dos vectores perteneciendo cada uno a una recta dividido entre los módulos de tales vectores. Suponga que el plano coordenado XZ es un espejo y que el rayo de luz del vector (a1 . 2. 6. mostrar que la distancia del punto (x1 . b) 60 7. En el triángulo de vértices (3. Empleando el hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de re‡exión muestre que la dirección del rayo re‡ejado está dada por (a1 . 0) determinar el o los puntos que conjuntamente los anteriores determinan un triángulo equilátero 0. es perpendicular a toda recta contenida en el plano. Mostrar que si A y B son vectores. a2 . 8) y (3. 10) halle el ángulo interior más grande. 1. y1) a la recta ax + by + c = 0 es jax1 + by1 + cj p a2 + b2 11. 5) 8. 0) y (10. Hallar el ángulo determinado por las diagonales de un cubo 4. b) una diagonal de una de sus caras 5. sea la más pequeña posible 12. b) Algebraicamente En qué situación se veri…ca la igualdad ? 9. Justi…que su respuesta. a2 . Se debe observar que el vector buscado debe ser perpendicular a los dos vectores del plano. 4. PRODUCTO ESCALAR. 1) y B = (2. PERPENDICULARIDAD. 3) y (15. 0. que da el ángulo determinado por dos lados de un triángulo en función de las longitudes de los lados del triángulo. El Teorema de los Cosenos de la geometría euclidiana. Si una recta es perpendicular a un plano. Un problema básico en geometría es medir el ángulo que determinan al cortarse dos rectas. Mostrar que el ángulo que forman los vectores A = (1. Mostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí 6. 2.7. se eligen dos vectores cada uno contenido en una recta del plano. determinar la longitud del segmento proyección. Empleando la proyección de un vector sobre otro. Otro problema básico en geometría es el de levantar en el espacio una recta perpendicular a un plano. al cortarse dos rectas determinan dos ángulos que son suplementarios. 8) y (10. 0). 0) y (40. (8. 9. El segmento de…nido por los puntos (3. En realidad. se tiene que el producto escalar cero es equivalente a que se tenga visualmente o geométricamente esa situación. 4. 5).determine la longitud de la proyección. Una situación especial resulta cuando los vectores o rectas que los contienen son perpendiculares. B = (1. se veri…ca A (B C) = (A C)B (A B)C veri…carlo para los vectores A = (1. B = (1. 0) y C = (1. 1. Dados los vectores A . (40. 1. 0. 1. hallar los otros dos vértices. Dada la de…nición de producto vectorial de dos vectores. 2. 1) 9. 1) . Trace los tres vectores con punto inicial en el origen de coordenadas. 1):Encuente !a b . 0. 2.8 1. B y C. hallar el área de dicho cuadrilátero 5. 0) y C = (1. b = QP . Sea P un punto que no está en la recta L. 20) y (0. 10) . 6) 4. que pasa por los puntos Q y R:Muestre que la distancia d del punto P a la recta L es ja bj d= jaj ! ! donde a = QR . VEC TO RES ! ! 1. se veri…ca A B C=A B C) veri…carlo para los vectores A = (1. Dados los vectores A . 10) . 1. Dados los vértices (0. 1. B y C. 5) y ( 3. Encuentre el área del triángulo de…nido por los vectores (4. : ! ! 7. Dado el paralelogramo de…nido por los vectores A y B . Dos vértices opuestos de un cuadrado son los puntos (20. (20. 6. Veri…que que se cumplen las propiedades del vector producto vectorial. 0) y b = (0. Determine la relación de áreas: area def inido por los vectores diagonales area def inido por los vectores A y B 8. 1) . mostrar que jA Bj = jAj jBj sin donde es el ángulo formado por los vectores A y B 3. 30) de un cuadrilátero. 30) . Sean los vectores !a = (1. 1) . 0) y (30. 8. 0) 5. Tres puntos no colineales. según un vector desplazamiento paralelo al vector desplazamiento que se determina a partir de dos de los puntos de la recta. o si no se cortan. Determinar la ecuación de la recta que resulta de la intersección de los planos x + y = 10 . En cada caso determinar el punto del plano que se halla más cerca de P . y . (0. EL PLANO. 3. 6) . 0) y X = (0. 1). 3. 3. 2) y (5. z que dan un punto de la recta correspondiente a ese valor de t. El manejo algebraico de los objetos geométricos se realiza mediante el manejo de sistemas de ecuaciones o de funciones. y = 2t . Se observa que cualquier punto de la recta ( como tripleta de números ) se puede determinar mediante el desplazamiento de un punto …jo de la recta. P1 = (4. 3) . y luego. V = (2. 2. 10) y (0. L2 pasa por (8. 0. 0. 8. 1. y. plano x + y + z = 6. se obtienen valores para las variables x . 2) . plano x + 2y 2z = 0 . Se reconoce que dos planos son perpendiculares cuando sus vectores perpendiculares son paralelos. 0. es decir que no pertenecen a una misma recta. P2 = ( 1. De esa manera. 4. 2) + t (1. . 0. cuando: a) P0 = ( 1. 2. 0. 0) . determinan un único plano. tienen la misma dirección ) o alabeadas ( no se cortan y tienen distintas direcciones. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos: P0 = (7. 3) . digamos t . Hallar el punto simétrico de P = (0. 2) . b) P = (4. z = 1 3t. Hallar las ecuación de la recta que pasa por el punto P0 con vector direccional V . 5) respecto de la recta que pasa por (4. 1. 1). En cada caso determinar los puntos donde la recta intersecta a los ejes coordenados o planos coordenados 2. La ecuación algebraica correspondiente a un plano se obtiene considerando que un vector perpendicular al plano es justamente perpendicular a cualquier vector ubicado en el plano. 0) y (1. Hallar la distancia del punto P al plano dado: a) P = (0. 2. 0) . 3. 4. 1. CAPíTULO 2 GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO LA RECTA Dos puntos en el espacio determinan una única recta. se dice que son paralelos. se obtiene un sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas. 1. 0) y (0. b) P0 = (5. 2) + t (4. 1) . se cortan alabeadas ) 3. b) x = t . Calcular el punto más próximo al origen del plano ax + by + cz + d = 0 ( los coe…cientes son distintos de cero ) 6. 5. Dando valores reales a una de las variables. Calcular la distancia entre las siguientes rectas: a) X = (1. V = (1. 5) respecto del plano que pasa por (4. 0. 1). 1. 1). 3. Calcular la distancia del punto P1 a la recta dada P1 = (1. 1). Hallar la posición relativa entre las rectas L1 y L2 : L1 pasa por los puntos (0. y si no se cortan pueden ser paralelas ( esto es. 0. z = 3t y x = 1 t .( paralelas. 1. determinar en cada caso el punto más próximo a P1 . x + z = 10 9 . 0. 5. Dos planos dados pueden intersectarse formando una recta. Determinar los puntos donde intersecta a los ejes coordenados . 0) 6. Se determina mediante el producto vectorial un vector perpendicular al plano. z) es perpendicular al vector anteriormente mencionado. Hallar el punto simétrico de P = (0. el vector que une un punto …jo del plano con un punto cualquiera (x. 0. X = (1.9. 1) + t (3. y = 2 + 2t. 1. 0) . En el espacio dos rectas pueden interceptarse. 1) . 1. En el ejercicio anterior . 4. 0. 2) y S(1. G EO M ETRIA AN ALITIC A D EL ESPAC IO 0. es decir es una ecuación no lineal. PROBLEMAS ENTRE RECTAS Y PLANOS. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1. se puede indicar que una super…cie cilíndrica se genera desplazando una curva plana ( contenida en un plano ) a lo largo de una dirección. lo que efectivamente es verdadero . En realidad. 6) y radio r = 6 . ax + by + cz = d2 está dada por jd2 d1 j d= p a2 + b2 + c2 7. 0. 5.12. 1. SUPERFICIE ESFERICA. 4. Determinar el punto donde la recta que pasa por (1. 2.11. Dada la super…cie esférica de centro (0. quiere decir que si en un punto de la super…cie se considera una "muy pequeña región. Hallar el punto simétrico de (1. resulta difícil distinguirla de una región plana. 2. la derivación parcial y la integración múltiple resuelven problemas relacionados con ciertas características geométricas y/o físicas de los objetos geométricos. 0. 4.10. Es signi…cativo el hecho de que las ecuaciones de las rectas y los planos son ecuaciones lineales ( variables a lo más con exponente 1 ). 2. y+z =5 3. Las super…cies son objetos geométricos. OTRAS SUPERFICIES. 3) respecto del plano x y + 2z 6 = 0. 1. 3) y contiene a la recta X = (1. 1. 1) y es ortogonal al plano 3x 2y+5z = 15. si el punto (2. Es natural suponer que la resolución de ecuaciones no lineales es más complicado que la resolución de sistemas lineales. 0) . intersecta a dicho plano. 4. 2. sobre o fuera de la super…cie esférica . Lo anterior. Mostrar que la distancia d entre los planos paralelos ax + by + cz = d1 . 3. 3. 1) . Hallar el polo norte de la super…cie esférica x2 + y 2 + z 2 4x 8z 5 = 0 5. Mientras que una super…cie de revolución se genera haciendo girar una curva plana alrededor de un eje o recta contenido en el mismo plano . mientras que en la ecuación de la super…cie esférica todas las variables …guran con exponente cuadrado. Determinar . Determinar el punto de menor cota de la super…cie esférica de centro el origen y tangente al plano x + 2y + 4z 8 = 0 6. 3) . 3). 2. Las super…cies son objetos geométricos muy útiles entre otras cosas porque ayudan al desarrollo de los conceptos de derivadas parciales y el de integración múltiple. R( 1. es decir. hallar la ecuación del plano paralelo al plano z = 0 que al interceptarla determina una circunferencia de radio 2. Mostrar que la distancia d del punto P1 a la recta X = P0 + tV está dada por: V d = (P1 P0 ) jV j 6. 1. Determinar la distancia al origen de la recta que resulta de la intersección de los planos x + z = 5. De manera particular. Dos familias de super…cies son muy utilizadas en el cálculo a varias variables: las super…- cies cilíndricas y las super…cies de revolución. Determinar el punto de la super…cie x2 + y 2 + z 2 4x + 4y 8z 1 = 0 que se halla más lejos del origen de coordenadas . Dados los puntos P (2. 4. Una super…cie empleada en la geometría y en la física es aquella cuyos puntos tienen la siguiente propiedad: cada uno de los puntos se halla a una distancia constante R de un punto …jo denominado centro de la super…cie. 2. En el ejercicio anterior determinar los dos puntos ( uno de cada recta ) que se hallan más próximos 0. hallar la mínima distancia entre las rectas P Q y RS 8.10 2. conjunto de puntos del espacio que "localmente "son semejantes a un plano. 2. Q(1. 1) + t (5. 6) se halla dentro . para la super…cie esférica del anterior ejercicio. 1. c) y = cos x 1 d) z = . el sistema de ecuaciones que lo representan varía de acuerdo al sistema de coordenadas empleado. 4. uno respecto de un eje perpendicular a una plano y otro ángulo: el formado por su proyección en el anterior plano y una semirrecta de dicho plano. El sistema de coordenadas cilíndricas en el espacio ubica un punto mediante las coordenadas polares de su proyección ortogonal en un plano y su . el empleo de uno u otro sistema de coordenadas se realiza de acuerdo a la simplicidad y claridad algebraica y conceptual que se obtiene al emplearlo 2. Dado un objeto geométrico. x = 0 . e) z = y1 . alrededor del eje z.f) y 2 + z 2 = 1 x 3. 2. El sistema de coordenadas polares ubica un punto del plano mediante su distancia a un punto …jo llamado polo y el ángulo que forma el segmento que une el punto con el polo respecto de una recta …ja llamada eje polar. existen otras maneras de ubicar puntos tanto en el plano como en el espacio mediante pare y tripletas de números reales respectivamente. G EO M ETRIA AN ALITIC A D EL ESPAC IO 11 Aparte del sistema cartesiano de coordenadas. y x2 + y 2 = a2 :( 0 < a < R ).a lturarespecto de dicho plano. alrededor a) del eje z. b) del eje y. El sistemas de coordenadas esféricas ubica un punto del espacio mediante su distancia a un punto …jo y dos ángulos. 5. . Hallar la ecuación de la super…cie de revolución originada por la rotación de la curva z = 4y 2 . Bosquejar el grá…co de las super…cies cilíndricas : a) y = x :b) y = x3 . Hallar la ecuación de la super…cie de revolución originada por la rotación de la curva z = 4y . Debido a lo anterior. x = 0 . Qué curva determina al intersectarse las super…cies : x2 + y 2 + z 2 = R2 . . t = 0. f (t) = ( t. DERIVADAS. CAPíTULO 3 CURVAS EN EL ESPACIO Una curva en el espacio se lo puede considerar como el conjunto de puntos que resulta al intersectar dos super…cie en el espacio. t = 4. 4.a l movimiento que se realiza. 0 t 2 . modernamente presenta a una curva como una función donde tres variables ( las que dan la posición de la partícula ) dependen de una variable ( el tiempo o instante en el que se halla la partícula en la posición indicada ). t). El concepto de derivada se origina a causa de la necesidad de estudiar la variación que sufre la variable o variables dependientes debido u originada por la variación ocasionada en la variable o variables independientes. 2. f (t) = t2 . 3. pero a veces interesa mirar a una curva de una manera dinámica. t 1) . f (t) = (t. f (t) = (a cos t. sin t). la derivada de la función en un instante dado 13 . t = 2 4. 6.14. En la interpretación de que una curva de…ne la posición o trayec- toria de una partícula en el espacio en función del tiempo. añade a una curva un sentido de recorrido y la noción de rapidez . cos t. t3 0. y a la necesidad de mostrar una gran cantidad de puntos de la trayectoria para visualizar una imagen aproximada de la trayectoria. 1. TRAYECTORIAS. y representar el vector derivada en el punto correspondiente junto a la grà…ca respectiva : 2. t). tiene sentido y rapidez de recorrido. Dos problemas básicos en esta situación son el de determinar la velocidad ( vector ) de la partícula y la longitud de la trayectoria entre dos instantes de tiempo. Describir grá…camente las trayectorias de las siguientes curvas: 1. f (t) = (t. Desde un punto más global. Los conceptos más importantes empleados en el área de las ciencias y la tecnología están de…nidos en términos de variaciones y por tanto los problemas centrales se re…eren a determinar cualitativa y cuantitativamente el efecto que causan las variaciones de las variables indepen- dientes en la dependientes. El primer problema da lugar al concepto de derivada y el segundo al de una integral a lo largo de una curva. la derivada redulta ser una función que proviene ( o deriva. f (t) = 1. f (t) = (t.. RECTA TANGENTE. que por ese aspecto permite comprender más profundamente a la función original Encontrar las derivadas de las siguientes curvas en el valor de t indicado . Esta última manera de considerar. Esta manera da una visión estática del objeto. 5. Debido a las limitaciones de representar puntos del espacio en el plano u hoja de papel. de ahí su nombre ) de una función original. b sin t). t2 .15. como el resultado de los puntos que se van generando al moverse una partícula en el espacio. f (t) = t. t3 . 3. 0. Este modo. La secuencia de posiciones que va tomando una partícula en su movimiento genera lo que se conoce como trayectoria de la partícula.13. en general en este aspecto conviene emplear paquetes informáticos. t. t2 . f (t) = (cos t. sin t) . 1). Realize la grá…ca respectiva 2. Sin embargo. 2. 0). 1 cos t) desde (0. 0. 0) hasta (2 . la recta tangente a la curva f (t) = t. 5. su sentido es el el sentido de la trayectoria y su dirección es la de la recta. . t2 trazada desde el punto (0. 4). f (t) = (cos t. Empíricamente. Encontrar la longitud de una vuelta de la hélice f (t) = (cos t. 1). sin t) en (0. t2 desde el punto (2. básicamente sumas y multiplicaciones. 1. 1. 3. Calcular la longitud de f (t) = (t sin t. Encontrar la recta tangente a la curva f (t) = t. uno de los propósitos del uso de un sistema de coordenadas es el de medir la longitud empleando simplemente operaciones algebraicas. 9). t2 en (1. Calcular la longitud de f (t) = (2t. Determinar el o los puntos donde intersecta al plano x + 2y + 3z 12 = 0 . t3 en (1. De esa manera. 2). 3. y da la trayectoria de la partícula en el caso de que la fuerza total actuando sobre la partícula se redujera a cero. t2 . 1) hasta el punto (6. 4t) entre t = 1 y t = 3. Calcular la longitud de f (t) = 2t. La longitud de una parte de una curva o trayectoria descrita por una partícula puede ser medida con diferentes instrumentos.14 3. sin t. denominada recta tangente a la curva en ese instante. es posible transferir el problema a un proceso enteramente computacional y realizable por la computadora. t3 en t = 1.16. 4. LONGITUD DE CURVA. 5. f (t) = 2t. 4. una manera sería superponer sobre la curva un alambre. Su módulo es la rapidez. luego recti…carlo ( hacerlo recto) y medir la longitud con un instrumento de medida como el metro. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado. t). f (t) = t. 6. C U RVAS EN EL ESPAC IO representa el vector velocidad de la partícula en dicho instante. y) . 1. 3). y) = 2 . 1). LIMITES Y CONTINUIDAD. la curva de nivel c se de…ne como f(x. sobre todo motivados por la necesidad de resolver problemas cada vez más 15 . varias variables independientes y una sola dependiente simbolizada por y = f (x1 . El propósito del estudio podría ser comprender cómo se "distribuye "la temperatura en el plano ( cómo varía la temperatura en las diferentes regiones del plano). f (x. 4. y) . c) los puntos donde la temperatura vale 1 Para cada una de las siguientes funciones gra…car los conjuntos de nivel correspondientes a los valores datos de c. y) = x2 + y 2 . Las curvas o super…cies constituídas por los puntos que toman el mismo valor para la función dada se denominan curvas y super…cies de nivel c. y) j puntos del dominio de la función y f (x. las super…cies ) constituídas por todos los puntos que se encuentran a la misma temperatura ( isotermas ). hallar a) el dominio de la función. 2. y) = . y) . c = 1. y) = xy. las n variables independiente representan la ubicación de un punto o las características numéricas que de…nen los objetos de estudio. FUNCIONES A VARIAS VARIABLES . c = 0. c) los puntos donde la temperatura vale 0 2. 9. b) f (2. Por ejemplo. CURVAS DE NIVEL. y) = y x2 . y) = 2x + y da la temperatura en el punto (x. Si f (x. y) = da la temperatura en el punto (x. mientras la variable dependiente da el valor de la característica de estudio de los objetos anteriores. y). y) de…ne la ubicación de los objetos de estudio ( en este caso puntos ) y z puede darnos el valor de la temperatura en el punto correspondiente (x. y) = xy 1 da la temperatura en el punto (x. 2 . 1. :::. 4. de derecha a izquierda. f (x. (x. CAPíTULO 4 DERIVADAS PARCIALES 0. 6. 9. c) los puntos donde la temperatura vale 4 x y 3. x + y2 8. Por ejemplo.18. Gra…car las curvas de nivel de la función temperatura f (x. 1. 5.para los valores c = 0 x . y. 0. hallar a) el dominio de la función. x2 y 2 7. f (x. b) y f ( 1. c = 1. Si f (x. f (x. b) f (3. y) = cg 1. z) = x + py + z. x2 . 4. 2. Si f (x. 0. Las funciones denominadas a varias variables. siendo c el valor que toman. 2 . 0. xn ) en general traduce una situación física y/o geométrica. c = 2. 1. Los conceptos matemáticos han ido evolucionando en el transcurso del tiempo. f (x. x y2 10. z) = z x2 + y 2 . c = 0. 2). y. en la función z = xy . 1. Indicar cómo varía la temperatura de una partícula que se mueve sobre la recta y = 4 .17. Por ejemplo. Un procedimiento que permite ir comprendiendo la "distribución "de temperaturas es determinar las curvas del plano ( y en tres dimensiones . 4 . 1. f (x. hallar a) el dominio de la función. 4. 4. c = 0. p x 4. y) = y 4.requiere un manejo conceptual y computacional nada sencillo en un principio. En qué puntos es contínua y en qué puntos es discontínua la función f : R ! R . más simples y más precisos.en el punto (2.16 4. y) = . En el caso de una función con una variable dependiente y varias independientes. Se dice que el límite de una función en un punto P es el número L cuando elementos próximos a P ( sin incluir a P ) tienen sus imágenes próximas a f (P ):La debilidad de esta idea es que es subjetiva. La de…nición moderna de continuidad se expresa de la siguiente forma: Una función se dice contínua en un punto P de su dominio cuando para cualquier vecindad dada de f (P ) ( esto es. inicialmente es importante cómo varía la variable dependiente cuando solamente una de las variables indepen- dientes varía . Una de las manera más importantes de çomprender üna función y determinar sus caraterísticas más importantes es de estudiar el impacto o variación que causan las variaciones de las magnitudes independientes en las variables o magnitudes dependientes. por lo que su de…nición precisa se realiza en términos de vecindades exactamente como para el caso de continuidad. f (x. 1) . Una función. f (x. Por ello. y) = x + y + 2 . mientras que el valor de la derivada parcial da cuantitativamente el impacto que sufre la variable dependiente ante una variación de una de las independientes. . en qué puntos no es contínua ? y 0. 0) 2x 3y x y 6. La noción de proximidad puede tener diferente signi…cación para las personas. Los conceptos de límite y continuidad se re…eren a nociones de proximidad. El concepto apropiado para ello es el de derivada parcial. Mostrar que f (x. en cada caso indicar el signi…cado del valor encontrado @x @y 2. y) = xy + 3x2 y. La función f (x. y) = no tiene límite en (0. 1. DERIVADAS PARCIALES complejos y también por la idea de integrar conceptos más simples en otros más generales. de…nida por jxj f (x) = . es semejante a la anterior aunque más general. en un principio. f (x. incluyendo P ) de manera que todos los puntos X de dicha vecindad tengan sus imágenes f (X) en la vecindad inicial dada de f (P ) La idea de límite. Hallar el límite de f (x. de…nida por jxj f (x.19. es la tecnica de determinar operacionalmente el límite calculando los valores de la función en puntos o sobre curvas que se hallan próximos al punto P: 2. En qué puntos es contínua y en qué puntos es discontínua la función f : R2 ! R . 1. Más importante que ello. DERIVADAS PARCIALES. y 3. se dice contínua en P cuando elementos próximos a P tienen sus imágenes próximas a f (P ):La debilidad de esta idea es que es subjetiva. El signo de la derivada parcial en un punto indica si la variable dependi- ente aumenta o disminuye la dependiente cuando ocurre un aumento o disminución pequeña en la independiente. dicho concepto ha tenido que ser enunciado de manera que sea independiente de los sujetos. El mostrar que un número es el límite de una función en un punto P. . Una de…nición objetiva a veces al convertirse en un enunciado preciso puede convertirse pedagógicamente en algo más difícil de comprender. y) = x3 xy + y + 3 en (1. y) = x2 y 2 . x 3. mientras las demás permanecen constantes. 1) 3x 2y 5. intuitivamente. permaneciendo todas las demás constantes. puntos próximos alrededor de f (P ) ) siempre es posible determinar una vecindad de dicho punto ( puntos alrededor de P. @f @f Calcular . 1. b) es mínima? c) calcular dichos valores 0. 6. 4. 1) es a) máxima?. Así resulta que si bien tanto la derivada direccional como la derivada total generalizan el concepto de derivada parcial. z) = x2 + y 2 + z 2 en (1. Si f (x.22. 4). la derivada direccional es 3 3 igual a cero. y) = en el punto (2. la derivada direccional depende por completo de las derivadas parciales y evidentemente del vector v: 1. 1) es cero. b) es mínima? c) calcular dichos valores. 3. 3) es a) máxima?. f (x. encontrar la dirección para la cual la derivada direccional en el punto (2. z) = 2xz y 2 . 2. SIGNIFICADO DE LA DERIVADA. f (x) = x2 + x. Se trata de responder a la pregunta sobre cómo varía la función cuando simultáneamente varían todas las variables independientes. en cualquier dirección (éste es un punto crítico de f ). como era de esperar. Un resultado. Por @f ejemplo. De acuerdo a la de…nición hallar la derivada de: 2. 4. El signi…cado de la derivada en las diferentes variaciones conceptuales está dado por expresiones de la siguiente forma: por un lado está la variación . ¿En qué dirección la derivada direccional de f en el punto (1. 4. Cuál es el signi…cado del valor encontrado? (signo y valor en sí) 2 4 6. y) = x + 2y. 2) x y2 5. 11 . 4). ¿En qué dirección la derivada direccional de f en el punto (1. f (x. 2) en dirección x del vector (3. 7. 1) en la dirección de ! v = (3. y) = x2 + y 2 . y) = xy t2 5. f (x. f (x. f (x. 1) en la dirección de ! v = (3. y) = 4x2 + 9y 2 . y. nos informa sobre la variación de la función cuando el punto @x del dominio se mueve en dirección del eje de las abscisas o eje x :Un problema importante es determinar cómo varía una función cuando el punto del dominio se mueve a lo largo de una recta cualquiera cuya dirección está dada por un vector v:El concepto que resuelve este problema es el de derivada direccional de una función en una dirección dada por un vector v:Este es un concepto más general que el de derivada parcial pues lo incluye como un caso particular. @x @f < 0: b) Indique el comportamiento de los valores de la función en dicha región y marque en @y base a su indicación la zona de mayor temperatura en dicha región. de una función de R2 a R. Si f (x. Si f (x. b) Indicar cómo varía la temperatura de una partícula que se mueve sobre la recta y = 1 . 1. Las derivadas parciales de una función permiten conocer la manera cómo varía la función a lo largo o dirección de uno de los ejes coordenados. y) = 1 2x2 + 3y 2 en (2. 8. 3. 9 . DERIVADAS DIRECCIONALES. 9. LA DERIVADA. 4). y) = x2 y xy . a) represente grá…camente las región donde > 0 y. Sin embargo. f = y xy 0. y) = x2 + y 2 10y para los valores c = 0 . DERIVADAS PARCIALES 17 @f 5. f (t) = 3t x x2 y 6. Un concepto aún más general que el de derivada direccional es el de derivada o derivada total de una función. operacionalmente su cálculo se reduce al cálculo de derivadas parciales. y. de izquierda a derecha.20. Si f (x. Calcular la derivada direccional de cada una de las siguientes funciones en el punto dado y en la dirección indicada. y) = x2 + y 2 en (1. Para la función f (x. mostrar que en el punto .21. y) = x3 + 3x2 + 4xy + y 2 . es que la variación total de la función depende completamente de cada una y todas las derivadas parciales. (sug: emplee el signi…cado de derivada parcial) 0. Gra…car las curvas de nivel de la función temperatura f (x. 1. Indique el signi…cado del valor encontrado 2. Determinar la derivada direccional de la función f (x. 2) en la dirección de ! v = (1. Compruebe su a…rmación 5. a) cuál es el signi…cado de dx jx=2 en el contexto del signi…cado de f ? .02 a) si su movimiento es hacia abajo . a) Emplee derivadas direccionales . 4) . y0 )h . 5). determine si ha aumentado o disminuído su distancia al (9. Cuál el signi…cado del valor obtenido ? . y) = x2 y 2 + 5x . se mueve una distancia de 0. 6. En qué dirección el valor de la derivada direccional es 1 ? . La temperatura de un punto (x. a) emplee derivada direccional . calcular la derivada direccional en el punto (8. 4) . DERIVADAS PARCIALES sufrida por las variables dependientes y por otra la variación sufrida por cada una de las variables in- dependientes.pero en volumen . 4) en la dirección v = (3. ( h t 0 ) dx @f f (x0 + h. 7.si el radio disminuye 2 cms. 4) al punto (2. b) Para qué valor del lado x . en qué dirección y sentido debe moverse para que su derivada direccional valga 0. z) = xy 10z . y. En qué puntos del plano la derivada direccional máxima es igual o mayor a 10 ? 9. b) emplee la derivada . 1. 5) . Empleando derivadas parciales calcule cuánto varía aproximadamente la distancia del punto (10. y) le asigna su distancia a la recta x = 0 .b) Emplee la Derivada. empleando derivadas parciales determine si ha aumen- tado o disminuído su distancia al (9. b) Calcular la gradiente de f y explicar el signi…cado de dicha gradiente en un punto cualquiera .03. ( h t 0 . Comprueba tu a…rmación. y0 + k) f (x0 . 4.en el valor de y ?. y la altura aumenta 4 cms. ( El volumen de una esfera de radio r está dado por V = 43 r3 :) . y0 ) es un vector perpendicular a la curva dada en el punto (x0 . y0 ) f (x0 . 3. si el radio disminuye 3 cm. Dada la función f (x. 10. Cuánto varía aproximadamente el volumen de una esfera de radio 5 metros . y0 + k) f (x0 . La relación anterior entre las variaciones es mejor cuanto más pequeñas sean las variaciones en las variables independientes.01. 3. y. y0 ) . z) del espacio está dada por T (x. 11. Si y = x3 nos da el volumen de un cubo de lado x . mostrar empleando el signi…cado de gradiente que el vector r (x0 . y0 ) t Dv f (x0 . k t 0) @x @y k dy 2. 0) y aproximadamente en cuanto b) si su movimiento ha sido en dirección y sentido de la gradiente en ese punto .01) . Dada la ecuación de una curva en el plano bajo la forma (x. Empleando derivadas calcular aproximadamente la variación de la función f (x) = x4 cuando el valor de x varía de x = 5 hasta x = 5. 5) al punto (5. y) le asigna su distancia al punto (9. y0 ) t ( . 0) cuando (10. ) . Sea f la función que a cada punto del plano (x. ( h t 0 ) @x @f f (x0 . y h = 6 ms . c) Si una partícula se halla en el punto (8. (ht0) @f @f h f (x0 + h. y) = 0 .003 4.5 ?. Empleando derivadas parciales calcule cuánto varía aproximadamente cuánto varía el volumen de un cono de radio inicial R = 4 ms. 0) y aproximadamente en cuanto 8. ( k t 0 ) @y f ((x0 . y0) + hv) f (x0 . cuánto varía la temperatura de una partícula si se mueve del punto (2. Sea f la función que a cada punto del plano (x.18 4. a un aumento pequeño del lado se tiene un aumento en la misma cantidad . Comprueba tu a…rmación . Para los ejercicios que siguen tomar en cuenta las siguientes fórmulas df f (x0 + h) f (x0 ) t ( )h . Ambas variaciones está relacionadas por un factor que es justamente la derivada de la función. a) Determinar la expresión algebraica de f . 3. 0) . y0 ) t ( )k . Emplee derivadas . . ? . 5) recorre hasta el punto (10. Una partícula que inicialmente se halla ubicada en el punto (0. y0 ) t ( )h . y). y0 ) . dx = 0. dx = 0. (x0 .dz) i) f (x) = x2 . x0 = 2 . En cada ejercicio calcular: a) La diferencial de la función en el punto dado (dy . ( h t 0 . y0 + k) f (x0 . dx = 0. considerando una función z = f (x. k t 0) @x @y k se puede escribir como @f @f f (x0 + h.01 : 1 ii) f (x) = . podemos escribir dy y t x ( xt0) dx dy y t dx dx aceptando que x representa un h t 0. el símbolo dx: dy A la expresión dx . dy = 0. 4) . alrededor del punto considerado. ( xt0. dz de una función en un punto es la variación que aproximadamente se produce en el valor de la variable dependiente cuando se da una variación ( o variaciones) "pequeña(s). 1. dz) . signi…ca un x t 0 . x0 = 4 . 0. se denomina diferencial de y: dy dx dy dy = dx ( ) dx dy t y De la misma manera. y) = .02 x y2 iv) f (x. ( h t 0 . dy signi…ca un y t 0: La diferencial dy .01 x . z. 2) . ) . se denomina diferencial de z: dz @x @y @x @y @z @z dz = x+ y . y t 0) @x @y @z @z dz = dx + dy ( ) @x @y dz t z donde dx . y0 ) t ( . b) Determinar la diferencia entre la variación exacta y la variación aproximada dada por la diferencial ( y dy .002 x iii) f (x. y0 ) = (3.en la(s) variable(s) independiente(s). 4). DERIVADAS PARCIALES 19 12. y)) = x2 2xy . (ht0) dx Simbolizando y = f (x0 + h) f (x0 ) . dy = 0. dx = 0. En base al ejercicio anterior hallar la ecuación de la recta normal o recta perpendicular a la curva y x2 = 0 en el punto (2. ( xt0. y0 + k) f (x0 . podemos escribir @f @f zt x+ y . y escribiendo en lugar de x . z. y0 ) t h+ k . y0 ) = (4. la relación: @f @f h f (x0 + h.01 . Considerando la función y = f (x) y que df f (x0 + h) f (x0 ) t ( )h .01 . El valor exacto de la variación en la variable dependiente es y . y0 + k) f (x0 .23. 4. y t 0) @x @y @f @f @z @z A la expresión x+ y = x+ y . k t 0) @x @y Simbolizando z = f (x0 + h. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION. (x0 . aumenta su base a una velocidad constante de 4 cm/seg. . y x) . donde f es una función derivable de dos variables. x = x(u) . Empleando la Regla de la Cadena calcular las fórmulas correspondientes para dy 2. v):Mostrar que: = ( )2 ( )2 @x @y @u @v 9. para w = w(x. y disminuye su altura a una velocidad constante de 2 . demostrar que + =0 @x @y y z @u @u @u 7.1cm. La altura de un cilindro es h = 30 cm y el radio de su base es 5 cm. Calcular + + .98) + 2. cuál es el signi…cado del primer sumando dx ? . y = y(r. Calcular (1.992 . y) = f (x + y. y. si el espesor del metal es 3 mm. y @x @y @x @z del segundo sumando dy ? @y Aproximadamente q . demostrar que : x +y +z = 3u x x @x @y @z 8. u = u(t) dt @z 4. digamos @g @g @f @f f = f (u.01 2. 3 3 3. 1) + (1. s) . z) .98 6. La Regla de la Cadena da la relación entre las derivadas de las funciones componentes con la derivada de la función compuesta resultante. 0. Sea g(x. en las variables del dominio de g:La variación respectiva en el dominio de g ocasiona ( en cadena ) variaciones en las variables de l codominio de g:Se tiene que el producto de las variaciones parciales es igual a la variación completa ocasionada por las variables independientes iniciales.2 cm y r se disminuye en 0. empleando derivadas . y) . 1 1 1 5. inicialmente de base x = 10 metros y altura y = 5 metros . 7. . siendo y = y(x) . La Regla de la Cadena produce una serie de fórmulas útiles sobre todo en la resolución de ecuaciones diferenciales. siendo y = y(x) .01) + (5. Intuitivamente. Un rectángulo . Si u = f (x y. Calcular (2. ) .003 6. x = x(t) . z = z(t) dt @u @u 6. DERIVADAS PARCIALES @z @z @z 2. La denominada Regla de la Cadena aparece en el caso donde la función a derivar resulta ser la composición de otras dos funciones. x y). Aunque parezca que la Regla de la Cadena se emplea sobre todo para calcular derivadas en el caso de composición de funciones. problemas relativos al estudio de la geometría de super…cies ( geometría diferencial ) y en especial permite obtener los resultados más importantes para la determinación de los máximos y mínimos de una función . Si h = g f Dh(P ) = Dg(f (P )Df (P ) 1. x = x(t) dt dy 3. Si u = x3 f ( . la fórmula anterior expresa lo siguiente: Una variación en el dominio de la funció f ocasiona una variación en las variables de su codominio.24. En la diferencial dz = dx + dy . . 2. x = x(r. es decie .20 4. para z = z(x. s) @r dw 5. y = y(t) . una de sus utilidades más frecuentes es más bien ser un pilar en las demostraciones de teoremas debido a que puede reducir un teorema referida a varias variables al caso de una sola variable.98) q 2 2 4. Las dimensiones interiores de una caja metálica rectangular cerrada son 30 20 15 cm. calcular aproximadamente la cantidad de material empleada en su construcción. . calcular la variación de volumen del cilindro si h se aumenta en 0. LA REGLA DE LA CADENA. b) Escribir la función que da la altura h del nivel del agua en función del tiempo t . Si empieza a salir agua en el instante t = 0 por el vértice a una velocidad constante de 2 litros por segundo . c) Determinar los instantes en que está aumentando el área y los instantes en que está disminuyendo . b) En algún instante el área vale 40 m2 ?. Un recipiente de forma de cono invertido de radio basal x = 5 metros y altura y = 20 metros . Una piscina de altura 5 metros y base 10 por 8 metros .? . 10. dt 11.Determinar aproximadamente la velocidad a la que disminuye la altura del nivel del agua cuando la altura de dicho nivel es de 3 metros : i) por cálculo directo ( sin derivada ) . inicialmente está lleno de agua . c) Realize el grá…co de las funciones anteriores . . cuál es el valor más grande que alcanza el área de dicho rectángulo ? . ii) empleando derivadas. d) Cuál es dh el signi…cado de en t = 10 . 4. a) Escribir la función que da el volumen de agua en el recipiente en función del tiempo . inicialmente está lleno de agua . a) Expresar el valor del área del rectángulo en función del tiempo . Debido a un ori…cio en el vérice sale el agua a una velocidad de 15 litros por segundo de manera constante . d) En base a tu respuesta anterior . DERIVADAS PARCIALES 21 cm/seg. . y) = x3 + y 3 3xy. 23 . mientras que el máximo global es el mayor valor que toma la función considerando todo su dominio. 1). Un estudio más profundo de una super…cie empleando el cálculo diferencial requiere de la determinación de diferentes elementos. 2). y0 . 1. 4. en el punto (1. x2 y2 z2 8. y) = x2 + y 2 4x + 6y + 25. en el punto (3. Se tienen varios teoremas o criterios que nos permiten resolver el problema de determinar máximos y mínimos de una función. 5. Aplicar el ejercicio anterior para hallar la ecuación del plano tangente a la super…cie: a) x2 + y 2 2x + 4y + 2z = 0 en (1. z0 ) está dado por d e f ax0 x + by0 y + cz0 z + (x0 + x) + (y0 + y) + (z0 + z) = g 2 2 2 6. 1. MAXIMOS Y MINIMOS. x2 + y 2 + z 2 = 14. La forma de una super…cie en una vecindad de un punto está determinado por su plano tan- gente.26. problema que de manera más precisa se conoce como problema de optimización. 2). 3. 3). CAPíTULO 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA 0. 12). pero también de las características de su dominio. Por su importancia se detalla estos aspectos en un anexo al presente documento. Determinar la ecuación del plano tangente a la super…cie x2 + 2y 2 + 3z 2 = 21 y paralelo al plano x + 4y + 6z = 0. Una de las aplicaciones centrales del cáculo diferencial es la determinación de los valores máx- imos y mínimos de una función. en el punto (1. 7. z = x3 + y 3 + 3xy. xz 2 + x2 y = z 1. z = xy. de a b c tal modo que intercepte a los ejes coordenados a igual longitud del origen. los resultados dependen ( como debe ser ) de la función. Relativo a los valores máximos ( al igual que para los valores mínimos ) hay dos conceptos: el máximo global y el de máximo local. Conceptos semejantes se tienen respecto de mínimo global y local. 3. El plano tangente y la recta normal son dos elementos complementarios que son simplemente una muestra del empleo de las derivadas en el estudio de la geometría de las super…cies. 1. 1. f (x. Hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a cada una de las siguientes super…cies en el punto indicado 2. 4. en el primer octante.25. 2. 4. 3. 0. b) x2 3y 2 + z 2 + x 3y + 7z = 2 en ( 1. Mostrar que la ecuación del plano tangente a la cuádrica trasladada ax2 +by 2 +cz 2 +dx+ey+f z = g en el punto (x0 . Es recomendable una comprensión de los resul- tados indicados en el mencionado anexo para tener una visión amplia acerca de este problema importante en diferentes áreas. En verdad. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL. Un máximo local es un valor. Hallar los máximos y mínimos relativos a puntos silla: 2. considerando únicamente una vecindad. Hallar la ecuación del plano tangente al elipsoide 2 + 2 + 2 = 1. el máyor que toma la función. f (x. 6. b) máxima 16. 5). 8. y) > 0 y f (x. Hallar los extremos de f (x. Determinar cuántos de cada uno de los paquetes debe comprar con el propósito de minimizar los costos y cumplir los requisitos ? 19. z = x2 + 2xy + 3y 2 . Desea llevar consigo un total de 83 bolivianos . (4. y) = x3 y 2 (6 x y). 5) . de entre todas las rectas del plano de la forma y = ax + b . B y C respectivamente por paquete . (5. Existen aparte de los anteriores máximos y/o mínimos locales ? 13. 2) y (8. (20. b) más lejos del punto (0. b) mínima . Un producto P1 contiene 1 . y = 16 . b) más lejos del punto ( 5. 9. 4) sea : a) mínima . Determinar el rectángulo del primer cuadrante con lados apoyados en los ejes coordenados y uno de sus vértices sea un punto de la recta x + 4y = 20 de manera que su área sea máxima 17. y) = x y 2 2x y 2 y determinar su natu- raleza. 5) . B y C respectivamente . aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias verticales a los puntos (0. 0). 0) y que sin embargo no existe mínimo relativo en (0. 15) que se halla a) más cerca del punto (0. Determinar . se tiene que en cada punto (x. El precio del material con el que se construirá Bs la base es de 100 2 y del material con el que se puede construir las cara laterales cuesta 75 m Bs . Determinar el punto del rectángulo de vértices (5. 12) y de radio 4. b) si el cilindro . 0) es un punto crítico de f (x. y) = 3x4 4x2 y + y 2 . 10). 0) . determinar el punto de su trayectoria que se halla más cerca del origen de coordenadas 18. Si f (x. y 0 ) se se halla a) más próximo del punto ( 5. Determinar cuántas monedas de cada clase debe llevar de manera que la cantidad de monedas sea : a) máxima .24 5. determinar el o los puntos a máxima ( y a mínima ) temperatura . Determinar el punto del primer cuadrante ( los puntos (x. z = xy (2x + 4y + 1). Si en la lámina plana limitada por y = x2 . y) < 0). 12. 2 y 4 unidades de A . la función tiene un mínimo en (0. Una persona necesita adquirir 10 .y el producto P2 contiene 5 . APLIC AC IO N ES D E LA D ERIVADA 5. sólo tendrá una tapa 15. 30 . 12 y 12 unidades de las substancias A. Se desea construir una caja de base cuadrada . 15) y (20. la temperatura está dada por T (x. 7. Una persona dispone de monedas de 5 y 2 bolivianos . Veri…car que (0. 5). 10. Determinar las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puede construir con 1500 m2 bolivianos 14. (Sug. y) . y) = x2 + y 2 48y . 10) 11. Un ciclista está girando en una pista circular de centro (8. y) tal que x 0 . mostrar que sobre toda recta que pasa por el origen. de modo que en su con- strucción se emplee la menor cantidad de volumen : a) si el cilindro será contará con las dos tapas . Gra…car los puntos donde f (x. Hallar las dimensiones del cilindro que tenga volumen igual 100 m3 . 2 y 1 unidades Si el producto P1 cuesta el paquete a Bs 30 y el producto P2 cuesta también Bs. 4) . (4. En ambos casos justi…que su respuesta 12. 7. 20) y (40. se halla a menor temperatura b) determinar los mínimos locales de T 11. (10. ( máximo ) . z0 ) al plano ax + by + cz = d. 3). Determinar el punto de la circunferencia de radio 5 y centro (0. y) = x + y 2 con 2x2 + y 2 = 1. 3). 8. z) = x2 + y 2 + z 2 con 3x + 2y 7z = 5. y. y) de la lámina rectangular de vértices (0. y0 . b) repita el problema anterior considerando la restricción 0 a 1 . 5) que se halla a) más cerca del punto (4. f (x. y = 8 + 3t. a b c 0. y. f (x. está de…nida en cada punto (x. determinar : a) el o los puntos del triángulo equidistantes de los tres vértices . Hallar una fórmula para la distancia más corta del punto (x0 . MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS. f (x. APLIC AC IO N ES D E LA D ERIVADA 25 20. Determinar . y = 3. 1. 6. 1. z = 11 + t. Calcular las aristas del mayor paralelepípedo rectangular que tiene 3 caras en los planos coor- x y z denados y un vértice en el plano + + = 1. 14. f (x. (8. y el ángulo a de manera que el área sea máxima 0. de entre todas las rectas del plano de la forma y = ax + b . 12) y (0. 12) a) determinar qué punto de la lámina ( si existe ) . MULTIPLICADORES DE LA- GRANGE . Con un alambre de 12 metros de longitud se desea construir una …gura de la forma siguiente x x a a 12-2x determinar las longitudes x . f (x. b) más lejos del punto ( 4. 0) . Dado el triángulo de vértices (0. y. CALCULO DE ERRORES. z = 5 t. z) = x2 + y 2 + z 2 con x2 + y 2 = 1. y) = x + y con xy = 1. 4) . f (x. Calcular las dimensiones de un envase de lata cilíndrico (con una tapa) que debe contener un litro. x = 2 4t. 0) . z) = x 2y + 2z con x2 + y 2 + z 2 = 1. z) = x + y + z con x2 + y 2 + z 2 = 4. 3) y (8. 2. c) el o los puntos del triángulo tal que la suma de sus distancias a los tres vértices sea mínima ( máxima ) 10. 8. Hallar los máximos y mínimos de las siguientes funciones sujetas a las restricciones que se indican. z = x + 1. La temperatura T (x. de tal modo que su fabricación requiera la mínima cantidad de metal. 1) . 5. Este resultado permite calcular aprox- imadamente los valores …nales que toma una función cuando se tiene la información de los . 4. b) el o los puntos del triángulo tal que la suma de sus distancias al cuadrado a los vértices sea mínimo . Las derivadas dan aproximaciones a las variaciones sufridas por las variables dependientes oca- sionadas por variaciones en las variables independientes. Encontrar la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera de las rectas x = 1 + 2t. 3. aquella para la cual la suma de los cuadrados de las distancias verticales a los puntos (0. y) = x2 + y 2 con x y = 3. y) = x2 +y 2 6x .28. 0) sea : a) mínima . 9. 2 b 4 13. f (x. y. 5.27. k t 0) @x @y f ((x0 . y que pueden resultar por ejemplo del nivel de precisión de los instrumentos de medida ). k t 0) @x @y .0 0. (ht0) dx @f @f f (x0 + h. Cuál es el error absoluto que a lo más se comete?.01 ms y el radio de su base es r = 5 0. y0) + hv) t f (x0 . se mide su hipotenusa y uno de sus ángulos agudos: z . b) Compruebe su resultado calculando el mayor y menor valor posible de dicho volumen. Emplee derivadas parciales. Las dimensiones interiores de una caja metálica rectangular cerrada son 30 20 15 cms. y0 ) + Dv f (x0 .02 ms y su altura interior es de 2. pero la cinta métrica comete un error por alargamiento del uno por ciento de la longitud medida. 4. .01 ms según las medidas tomadas.01 metros = 60 2 Empleando diferenciales. Cuál es el error posible de la medida de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si los catetos miden 11. y0 + k) f (x0 . Cuál es el error relativo que a los más se comete?. Determinar el valor de su volumen y el valor de su super…cie total. Se utilizan las siguientes fórmulas: df jf (x0 + h) f (x0 )j t h .26 5. 5. APLIC AC IO N ES D E LA D ERIVADA valores iniciales. determinar la longitud de su perímetro P (indicando el error). valores sujetos a error ( cotas para estos errores se conocen. a) Calcule su volumen y el (máximo) error absoluto cometido.8 ms con un error posible de 0. y0 + k) t f (x0 . de las derivadas en el punto inicial y de las variaciones ocurridas en la vari- ables independientes. y0 ) + h+ )k .5 m y 7. calcular el volumen del cilindro. 3. calcular el error aproximado en el costo. Para ello. ( h t 0 . 2. En un triángulo rectángulo. ( h t 0 .0 0. : z = 10 0. y0 )j jhj + jkj . se utilizan las siguientes fórmulas df f (x0 + h) t f (x0 ) + h .02 ms. 6. y0 )h . (ht0) También en base a las mismas fórmulas es posible acotar ( indicar el mayor error posible ) el error que se puede cometer al calcular el valor de una variable dependiente en base a valores de las variables independientes. Una pila de ladrillos mide 6 50 4 pies. El diámetro interior de un depósito cilindro circular recto es 6. (ht0) dx df jf (x0 + h) f (x0 )j h .01 ms?. (ht0) dx @f @f jf (x0 + h. 7. si se calculan 12 ladrillos por pie cúbico y el millar de ladrillos cuesta 1200 bolivianos. La altura de un cilindro es h = 3 0. si en todas las medidas se comete a lo más un error de 2 mm. el área a asignarse al rectángulo ( que resulta ser la unión de los cuadrados ) corresponderá a la suma de las áreas de los cuadrados. son medibles. ya que es la manera de ir reduciendo el error en el cálculo de la propiedad correspondiente al objeto complejo. mientras que el segundo concepto está desarrollado a través del concepto de integral. No siempre se da esta situación. y = 0. volumen. (1. Sea A el rectángulo con vértices ( 1. masa. este proceso es lento manualmente.29. Sin embargo. 2). 2). Una técnica de determinar características medibles de objetos complejos a partir de componentes simples fue inventado por Arquímedes: se trata de descomponer ( en realidad desintegrar ) un objeto en partes simples. Si bien el cálculo de integrales se puede realizar ( al menos intentar ) calculando sumas con una gran cantidad de términos. aunque el proceso computacional de la suma se compone de muchísimos términos. 0. calcular aproximadamente el valor de la integral ZZ 2 2 e(x +y ) dA A INTEGRALES ITERADAS 27 . 1. generalmente una suma relativamente de pocos términos conduce a buenas aproximaciones del valor exacto. Características como la longitud. luego de la invención de la derivada. Sea A el triángulo limitado por x = 0. a pesar de ello. Un caso importante se da cuando los elementos resultados de la división del objeto complejo pueden ser aproximados por elementos básicos tales que la medición de su característica es fácil o conocida. los que tienen asociado un valor para una misma magnitud geométrica y/o física. CALCULO DE INTEGRALES. b) dividiendo A en cuatro partes iguales. Muchos siglos posterior a Arquímedes. a partir de esa situación es razonable asignar al objeto más complejo ( resultante de la unión de los objetos semejantes simples ) un valor correspondiente a la magnitud en cuestión que no es más que la suma de los valores correspondientes a cada elemento. si un rectángulo está conformado por numerosos cuadrados. Por ejemplo. se puedo mostrar que el último cálculo de suma con términos cada vez más numerosos se puede lograr en una mayoría de casos sencillamente determinando una función cuya derivada es conocida ( antiderivación ). (1. En la naturaleza se observan repetición de objetos semejantes. CAPíTULO 6 INTEGRACION MULTIPLE Dos conceptos que aparecen en la naturaleza son el de "variación el de "multiplicidad ". ( 1. área . Es recomendable dividir la región de integración en pedazos homogéneos y tomar los puntos donde se evalúa la función integrando que se hallan ubicados en la zona central de cada pedazo o elemento de la partición. este resultado se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo. calcular aproximadamente el valor de la integral ZZ 1 + x2 y dA A a) Dividiendo A en dos partes iguales . 0). luego calcular la caraterística para cada parte simple y …nalmente efectuar la suma respectiva ( denominado integración ) . z + y = 1. cuando una característica tiene la mencionada propiedad se dice que es una característica medible. 2. 0). El primer 2 concepto está enfocado en el análisis matemático a través del concepto de derivada. Es que es necesario realizar más sumas. donde A es la región del primer cuadrante limitada por xy = 4. actualmente con la disponibilidad de un equipo computacional. que solo di…eren en el orden. luego con respecto a x: El resultado obtenido por cualquiera de los procesos. y) dxdy. Calcular: ZZ 2. f (x. TEOREMA FUNDAMENTAL . si embargo. y) dydx 6 (x2 4)=4 0. CALCULO DE INTEGRALES DOBLES. Como se ha señalado el Teorema Fundamental es apropiado para calcular integrales cuando el integrando tiene funciones antiderivada.31. f (x. ZZ A 3. Hay integrales que solamente se pueden cal- cular mediante ese mecanismo y no ser posible mediante antiderivadas ( simplemente porque el integrando no tiene función antiderivada entérminos de las funciones básicas conocidas ). dxdy. 1 Z 2 Z2 2x x 9. x = y. Z ZCalcular. Es verdad que el procedimiento mediante sumas es más general. 0 x2 Los resultados anteriores compare con los obtenidos mediante sumas de 4 términos. siendo A el rectángulo limitado por x = 0. el método de calcular sumas es más adecuado. xy 2 dydx. 0 1 Z 1 Z x2 4. A CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACION Para calcular integrales dobles mediante el Teorema Fundamental es posible realizarlo de dos maneras: primero realizando la integración con respecto a la variable x y luego con respecto a la variable y. es el mismo. xey dydx. y) dxdy. x = 0. desplazando el cómputo de sumas con gran cantidad de sumandos a la determinación de antiderivadas. ydxdy. y = 0. x = 2. y = 4.28 6. Z 0 Z 0 2 2y 6. y = x 1. f (x. 0. 1. Z ZGra…car la región de integración e invertir el orden de integración. . x + y = 2. 1 2 3. x2 dxdy. p dydx. y 2 dxdy. y) dydx. CAMBIO DE VARIABLE. 1 x 5. Z 0 Z 0 1 x 5. si A es el triángulo limitado por y = x. 0 y2 Z 1 Z 1 x2 7. y la otra manera es integrando primero con respecto a y. f (x. ZZ A 4. 1 1 x2 Z 2 Z p 2x x2 8.30. Es evidente que la aproximación es pobre pero ayuda a comprender las di…cultades inherentes a cada procedimiento. IN TEG RAC IO N M U LTIPLE El teorema fundamental del cálculo permite calcular una integral doble mediante el cálculo de funciones antiderivada del integrando. aunque las operaciones algebraicas que se realizan son diferentes en general y en algún caso solo es posible realizar uno de ellos. este problema se va haciendo más compli- cado a medida que aumenta la complejidad algebraica de la función integrando. y)dydx = f (x(u. y = x + 4. y f (x. Sug: hacer xy = u . x = y 3 . mostrar que Z 1 Z 1 u e 1 ey=(x+y) dydx = x=0 y=0 2 RR 7. xy 3 = 15. . Por una transfor- mación de coordenadas sucede que el dominio cambia de forma como tambien la forma algebraica del integrando. x2 = vy 4. xy = 2 . es la preimagen ( unívoca) de R por las ecuaciones de transformación 2. y = x x3 . xy = 8 . Si bien el cálculo de áreas de …guras planas limitadas por curvas puede obtenerse mediante integrales a una variable. 7. ese hecho puede hacer más simple los cálculos o permitir un análisis más amplio y profundo de los sigi…cados relacionados con el valor a obtenerse. Empleando coordenadas esféricas hallar el volumen encerrado por la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 y el cono z 2 sin2 = (x2 + y 2 ) cos2 . siendo R la región del plano 2 2 2 2 limitada por x + y = 4 y x + y = 9 9. Emplear la fórmula Z Z Z Z x. A partir del resultado hallar el volumen de una esfera de radio a. Mostrar que el volumen generado por la revolución de la región del primer cuadrante limitada por las parábolas y 2 = x . donde R es la región del plano limitada por x2 y 2 = 1 . Empleando coordenadas polares . y 2 = 5 x. Sug: hacer y 2 = ux . Calcular R (x + y )dxdy . x + y = v 6. y = x3 x. Hallar el área de la región limitada por y = x3 . Sea R la región limitada por x + y = 1 . x + y = 3a. y = 0: 3. 9. 2 2 x2 y 2 = 9 . x2 = y . x2 = 8y en torno al eje X es 279 =2. v donde G 1 (R) . v = 2xy 8. 2y = x + 4. y = x. y = 0. hallar el volumen de la región encima del plano xy limiatda por el paraboloide z = x2 + y 2 y el cilindro x2 + y 2 = a2 10. Para la región del ejercicio anterior determinar el centro de masa: Suponga densidad constante AREAS DE REGIONES PLANAS 1. xy 3 = v 3. y = x2 + 2. x2 + y 2 = 2. x + y = 2. 8. y = a2 x2 . Hallar el área de la región limitada por xy = 4 . siendo una constante tal que 0 . v)) J dudv R G 1 (R) u. y=p x2 . y)dA : R En los ejercicios siguientes hallar el área de la región limitada por las curvas dadas. Aplicando la transformación x + y = u . xy = 4. xy 3 = 5 . y = x2 . Empleando coordenadas polares calcular R x2 + y 2 dxdy . 4. y = x + 1. y(u. 11. x = 0 . y 2 = 8x . v). y = 3x. El calculo de una integral doble con el Teorema Fundamental puede simpli…carse algunas veces mediante un cambio de coordenadas más conocido como cambio de variables. 6. una aplicación sencilla aZpartir Z de la de…nición permite obtener un signi…cado geométrico o interpretación del símbolo f (x. y = 0 . y = uv . y 2 = 4ax. 6. x = 4y 3 5. y = 4x3 . Hacer el cambio R R up= x2 y 2 . y = a x. calcular el volumen de la región limitada por z = 4 x2 y 2 y el plano xy: 12. Mostrar que Z Z x y cos( )dxdy = sin 1 R x+y Sug: hacer x y = u . IN TEG RAC IO N M U LTIPLE 29 1. 2. Empleando coordenadas cilíndricas. 5. y = 0. se suman las masas parciales obteniéndose la masa total aproximadamente ( el error se debe. x = 1 y la densidad es (x. 1. z) = x + y 10. Por ejemplo. Para hacer efectivos estos cálculos es importantes hacer una adecuada división ( desintegración ) de la región de integración. CENTRO DE GRAVEDAD. y) es (x. Si A es la lámina circular de centro el origen de coordenadas y radio R . y) = x. Una lámina delgada está limitada por el arco de parábola y = 2x x2 y el intervalo 0 x 2. 0 0 0 . y. Cuando dichas variables ( en este caso base y altura ) sufren variaciones la …gura se deforma. El cálculo de magnitudes geométricas y/o físicas se realizan a partir de otras magnitudes básicas : por ejemplo. lo importante es que la nueva …gura se puede descomponer en elementos o partes que aproximadamente son rectángulos. Calcular el centro de masa del volumen encerrado por los cilindros x2 + y 2 = a2 . dydxdz. sin embargo. y = x2 . 0 0 1 Z =2 Z 1Z 2 3. 1 z 2. y 2 + z 2 = a2 . 0 p0 0p Z 4 Z 2 z Z 4z x2 4. z) = z . x y x y 7. En el caso de una substancia no homogénea ( es decir en la fórmula m = v no es aplicable porque no es constante) se puede dividir la substancia en pequeños elementos ( pequeños paralelepípedos ) y considerar que cada uno de ellos tiene densidad costante. con espesor constante e y la densidad es (x. La densidad en cada punto es a) (x. y) = x2 + y . CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES 1. Si A es la región de espesor constante e limitada por y = x2 . DENSIDAD MEDIA. Si V es el conjunto 0 x 2. el cálculo integral permite hallar el valor de magnitudes con çomponentes "variables como resultado de una suma de magnitudes para el caso de çomponentes çonstantes. z = 0. hallar: a) La masa.por su forma que dichos cálculos corresponden al cálculo de una integral. Los cálculos de ciertas magnitudes físicas y/o geométricas al ser planteadas algebraicamente sugieren . Calcular el centro de masa del volumen encerrado por z = x2 + y 2 . x + y = 2. y) = y. y 2 = 5 x. calcular aproximadamente la integral triple. hallar: a) La masa. (x. Lo mismo que el ejercicio anterior para : + = 1. zr2 sin dzdrd . Los méto- dos del cálculo integral permiten sumar las áreas de los elementos que son aproximadamente rectangulares y pueden disminuir el error simplemente disminuyendo el tamaño de los pedazos. y) = x. Se calcula las masas parciales mediante la fórmula para densidad constante. 0 y 3. IN TEG RAC IO N M U LTIPLE MASA. el cálculo de masa de una substancia homogénea puede hacerse si se conoce su volumen y su densidad. 4 3 2 3 x y z 8. b) (x. y = 0. 3. b) la densidad media. en este caso como en la mayoría de los casos ) a que el supuesto de que la densidad es constante en cada pedazo no es verdadero. 6. CENTROIDE. En resumen. 2. a b c 9. y. el cálculo de área de un rectángulo se hace a partir de otras dos magnitudes ( longitudes ) que son la base y la altura. ZZZ xyzdV V Z 2 Z 1 Z 2 2. 5. x2 + y 2 = a2 . Calcular el centro de masa del tetraedro limitado por + + = 1 y los planos coordenados. En los siguientes cuatro ejercicios hallar el centroide de cada una de las regiones limitadas por las curvas dadas 4. dzdydx.30 6. y 2 = x + 3. Determinar su masa si la densidad en cada punto (x. b) la densidad media. + = 1. Hallar el volumen limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 y el cono z = x2 + y 2 . siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia al eje.Calcular el volumen encerrado por los cilindros x2 + y 2 = a2 . y = 0. 5. b. 6. CENTROIDE DE REGIONES SOL- IDAS x y z 1. 0 2 y 0 x y z 6. p 12. 2. MASA. z = 4. c a b c son positivos. 13. CENTRO DE GRAVEDAD. el cilindro x2 x + y = 0. 15. x2 + y 2 = az 2 . 10.Hallar el volumen del sólido limitado x2 + y 2 = a2 . Hallar la masa de un cono circular de altura h y radio de la base R. Hallar el centro de gravedad de un cubo de arista a. z = 0. 8. Hallar el momento de inercia de un cilindro circular recto de radio a y altura h con respecto a su eje si la densidad es proporcional a su distancia a la base. x2 + y 2 = a2 . Hallar la masa de una esfera de radio R. z = 0. z 0. x = 2y. 16. a b c 7. Hallar el volumen que se extrae de una esfera de radio R si se la perfora con un taladro cilíndrico de radio b y cuyo eje coincide con un diámetro de la esfera . x2 + y 2 = a2 . z = 0. Hallar el volumen de la región limitada por x2 + y = 9. e inferiormente por z = x2 + y 2 . . zdzdxdy. Hallar el centroide de la región del primer octante limitada por + + = 1. x + z = 4. siendo la densidad en cada punto proporcional a su distancia a un plano diametral …jo. 3. z = 0. 9. MOMENTO. siendo la densidad en cada punto igual a la suma de sus distancias a tres aristas adyacentes (ejes coordenados). 4. p 14. Emplee coordenadas cilíndricas 17. x = 0.Calcular el volumen del tetraedro limitado por + + = 1 y los planos coordenados. 11. Hallar el volumen limitado por x2 + az = a2 .Hallar el volumen del sólido limitado por x + y = 1. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano xy que divide en dos partes de volumenes iguales a la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = R2 . donde a. IN TEG RAC IO N M U LTIPLE 31 Z 2 Z 6 2y Z p4 y2 5.Hallar el volumen limitado por el paraboloide z = x2 + y 2 . el plano z = 0. z = 0. y = 0. Hallar el volumen limitad superiormente por x2 +y 2 +z 2 = 1.Calcular el volumen encerrado por z = x2 + y 2 . y 2 + z 2 = a2 . y = 0. . en cada caso. la partícula va aproximádose cada vez más ( o incluso puede alcanzarlo ) a un punto denominado su ( ubicación ) límite.etc. :::::) Determinar. Divergencia. En el estudio de las sucesiones es de gran importancia el comportamiento de su ubicación a medida que transcurre el tiempo. an = 2 . interesa qué tipo de movimiento realiza la partícula para valores cada vez más grandes del tiempo. si la sucesión fan g dada es convergente o divergente. pueden representar la ubicación. an = . n! n 1 (2x) 5. Resulta que n es el tiempo de observación y an da la posición de la partícula en ese instante. Escribir los primeros cuatro términos de la sucesión fan g cuyo término n-ésimo está dado por 3n 2 1. la partícula no se aproxima a ninguna posicón límite sino se va alejando más y más de su posición inicial. de una partícula que se mueve en la recta real. por ejemplo. Periodicidad. Las sucesiones de números ( conjuntos de números donde está de…nido el primero. en caso de que sea convergente hallar su límite: 33 . (2n 1) n ( 1) x2n 1 6. sin embargo. Caótico : la partícula observada parece mover erráticamente a lo largo de la recta real. an+2 = an+1 + an ( n = 1. segundo . n2 (2 + sin (n =2)) cos n 4. an = . 3. CAPíTULO 7 SUCESIONES Y SERIES SUCESIONES 1. es posible determinar regularidades "más complejas "que la periodicidad ( ciclos de diferente periodicidad ). 2. n +1 n 1 ( 1) n 2. la partícula a intervalos de tiempo regulares va ocupando la misma posición. 2n n 2 + ( 1) 3. an = . términos de la secuencia ) tienen diferentes interpretaciones. En general se dan cuatro tipos de comportamiento: Convergencia. a2 = 1 . observada a intervalos de tiempo iguales. an = 1 3 5 ::: (2n 1) 7. Mostrar que el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci está dado por (an bn ) an = p 5 con 1 p a = 1+ 5 2 1 p b = 1 5 2 Sucesión de Fibonacci: a1 = 1 . an = 5. ( ai positivo indica depósito mientras que ai signi…ca retiro de fondos. . . sin . n (n + 1) X n2n 16. . n3 1 X 1 19. . 3n + 1r 3 1 14. . . n!1 n SERIES DE TERMINOS POSITIVOS Las series de números se originan a partir de las sumas parciales de los términos de una sucesión s1 = a1 s2 = a1 + a2 sn = a1 + a2 + a3 + ::: + an y si interpretamos que cada valor ai de la sucesión representa el monto de dinero depositado en un banco en el mes i. 10n . 4 ln n 11. X n! n 21. Xn 5n 20. ::: 2 3 4 o n 5 n 10. que en este caso no se da ) entonces los diferentes términos de la serie ( que en realidad es otra sucesión que proviene de la inicial ) representan el depósito con que se cuenta en el banco en el mes i. p > 0. SU C ESIO N ES Y SERIES 1 1 1 8. n+1 n 1 1 13. Los cuatro tipos de comportamientos de la serie ( como sucesión ) dan las maneras en que puede comportarse el monto disponible como depósito a media que los meses van transcurriendo. . X n! 23. . . La sucesión convergente a . . 1. (Sugerencia: np=n = e(p ln n)=n ). 2n n 3 . . X e 2n 17. n Según la de…nción.34 7. n . (n + 1) (n + 2) (n + 3) X 1 18. . n+1 . . ::: 2 3 4 1 2 3 4 9. . nn X n2 24. X 22n 22. . mostrar que n 12. La sucesión converge a 1. 2n X n n 25. Demostrar que l m n p = 1. Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series X 2 15. . n2 + 2 X n! 26. . n (n + 1) X n x n 12. x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + :::. se pueden de…nir nuevas funciones mediante serie de funciones polinomi- ales. es posible sustituir una función por su representación polinomial. y así sucesivamente. que no son polinomios. X n n 1 1 3. . demostrar que la serie reagrupada 1 + + 2 3 4 3 2 5 7 1 1 1 1 3 1 + + + ::: = S. n. 3 X n 1 1 6. Un teorema matemático muestra que. en determinados intervalos ( intervalos de convergen- cia ) . ( 1) . nn SERIES ALTERNAS 1. (Sugerencia: Tomar en la primera serie y escribirla en 4 9 11 6 2 2 1 1 1 la forma 0 + + 0 + 0 + + ::: y sumarla luego término a término con la primera serie. ( 1) p n . En 2 4 6 realidad se tiene que S = ln 2 . Dentro de la misma interpretación dada los términos de la sucesión que origina la serie ( como depósitos mensuales de dinero en un banco). mediante polinomios con la aproximación que se desee. 9. Y también S = (1 1) + (1 1) + (1 1) + ::: = 0. Explicar: Si S = 1 1 + 1 1 + 1 1 + ::: Entonces S = 1 (1 1) (1 1) ::: = 1. ( 1) X ln n n 1 1 5. X n 1 n+1 2. 7. n! PROBLEMAS VARIOS SOBRE SERIES 7. . x x2 x3 x4 10. . En la práctica. se carater- izan que para evaluarlos ( a diferencia de otra funciones ) solo se emplean las dos operaciones algebraicas básicas: suma y multiplicación. SU C ESIO N ES Y SERIES 35 X 2n n! 27. Determinar si las siguientes series son condicional o absolutamente convergente. ( 1) . la mayoría de las funciones ( se exigen ciertas condiciones ) se pueden aproximar por polinomios. Aunque es evidente que los resultados hallados son aproximados. SERIE DE POTENCIAS Las funciones más sencillas del análisis matemático resultan ser los polinomios. ( 1) n . ( 1) . n X x2n 13. 2n 1 X n 1 1 4. Un problema interesante e importante es la posibilidad de representar funciones . Si 1 + + ::: converge a S. + + ::: X5 2 5n2 3 53 4 54 x 11. las series alternas presentan la situación de que un mes se deposita y al otro se retira fondos. 1 1 1 1 1 1 1 8. n=2 (ln n) . Explicar.Ejercicio resuelto 52 -). ( mejor algo que nada ) Determinar el intervalo de convergencia de las siguientes series. Luego 1 = 0. Más aún. lo que permite solucionar problemas que de otra manera no son resolubles. Se desea conocer el comportamiento del valor de depósito a medida que el tiempo va transcurriendo. n=2 (n 1) n (n + 1) X xn 14. estudiar los extremos. además Z x 1 x2 dx arcsin x = p ). tan x en potencias de x. sin x en potencias de x. . 0 1 x2X X n n n 23. arctan x en potencias de x (sugerencia: arctan x = ). 0 (1 + x4 ) . n2 n X (x 3) 16. SU C ESIO N ES Y SERIES X (x 2) n 15.4940.36 7. n! n! n! n! PROBLEMAS VARIOS SOBRE Z 1SERIES DE POTENCIA p 25. 2 2 20. Obtener c) 5e y 15e. calcular cos xdx = 0. n! n! X n2 X n2 X n3 X n4 24. 17. Mostrar que a) xex = x . Mostrar que a) x2 + x ex = xn . 18. 0 1 + x2 1 22. ex=2 en potencias de x 2. b) = e. Z x dx 21.76355. Utilizando desarrollos en serie. arcsin x en potencias de x (sugerencia: Usar la serie binómica para desarrollar p . sinh x = en potencias de x. calcular = 0. Utilizando desarrollos en serie. 0 Z 1=2 dx 26. . ex e x 19. n 3n Desarrollar la función dada en serie de potencias y determinar el intervalo de convergencia. b) = 2e.