PRACTICA ENCARGADA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES, CURSO;METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA Indicaciones; Se debe realizar el siguiente procedimiento de solución para cada uno de los casos propuesto: a) b) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificando el tipo de EDP. c) Plantear el esquema numérico de solución. d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. e) Efectuar la codificación MATLAB para la solución. 1) Una placa cuadrada apoyada simplemente en sus extremos está sujeta a una carga por unidad de área como se muestra en la figura: la deflexión en la dimensión z se determina resolviendo la EDP elíptica: Sujeta condiciones de frontera en los extremos, donde la deflexión y la pendiente normal a la frontera son 0. El parámetro D es la rigidez de flexión, (1) Donde E=el modulo de elasticidad, ∆z = el espesor de la placa y δ=razón de poisson. Si definimos una nueva variable como sigue La ecuación (1) se re expresa como: ……… (2) de manera sucesiva dos ecuaciones de poisson. Primero, de la ecuación (**) se obtiene u sujeta a la condición de frontera u=0 en los extremos. Después los resultados se emplean junto con , para obtener z sujeta la condición que z=0 en los extremos. Desarrolle un programa computacional para determinar las deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de aire. Pruebe el programa con una placa de 2m de longitud en sus extremos, q=33.6 KN/m2, ∆x=∆y=0.5 m para su corrida de prueba. δ=0.3, ∆z= m y E=2x Pa. Emplee a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Deflexiones de una placa cuadrada sujeta a una carga constante por unidad de aire. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificando el tipo de EDP. EDP elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución. Método de solución es por diferencias Finitas. d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. Se acondiciona nuestro problema de acuerdo a las condiciones dadas para obtener la siguiente matriz a partir de la siguiente ecuación: u i 1, j u i 1, j u i , j 1 u i , j 1 4u i , j q : D Obteniéndose la siguiente Matriz A y B. -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 Matriz A 0 0 1 0 0 1 1 0 -4 1 1 -4 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 Obteniéndose u(1,1) u(2,1) u(3,1) u(1,2) u(2,2) u(3,2) u(1,3) Resultados -0,315315 -0,40131 -0,315315 -0,40131 -0,51597 -0,40131 -0,315315 Matriz B 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 0,45864 u(2,3) u(3,3) -0,40131 -0,315315 A Partir de estos datos se calculan las deflexiones a partir de la siguiente ecuación: zi 1, j zi 1, j zi , j 1 zi , j 1 4 zi , j ui . j Obteniéndose la siguiente Matriz A y B. -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 Matriz A 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -4 1 0 1 -4 1 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 Obteniéndose las siguientes Deflexiones: z(1,1) z(2,1) z(3,1) z(1,2) z(2,2) z(3,2) z(1,3) z(2,3) z(3,3) Resultados Finales 0,062704688 0,085995 0,062704688 0,085995 0,118243125 0,085995 0,062704688 0,085995 0,062704688 Solucion por matlab % calculo de las deflexiones en una placa sometida a esfuerzos clc dx=0.5; dy=0.5; dz=1e-2; q=33.6e3; dens=0.3; E=2e11; D=(E*dz^3)/(12*(1-dens^2)); K=(dx*dy*q)/D; Matriz B -0,315315 -0,40131 -0,315315 -0,40131 -0,51597 -0,40131 -0,315315 -0,40131 -0,315315 %mattriz principal A=[-4 1 0 1 -4 1 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 -4]; T=ones(9,1); C=K*T; B=inv(A)*C; V=[B] Z=0.25*(inv(A)*V); disp('los valores para Z son: '); disp(Z) 2) La siguiente memoria, propone una forma para determinar la distribución de tensiones bajo una zapata rectangular rígida, a una cierta profundidad "z", a partir de la Matríz de Flexibilidad. Las flexibilidades quedan definidas teniendo en cuenta la fórmula de Boussinesq para la determinación de los esfuerzos normales y aplicando la Ley de Hooke. Dada una zapata aislada, de lados B1, B2, B1 = 2,5m B2 = 2,5m que en principio la consideramos flexible y discretizada en n1 x n2 partes, donde: n1 = 24 n2 = n1. El asentamiento elástico en "j", debido a una carga en "i" (no considerando la consolidación) está dado por: Con σz(x,y,z), determinado por Boussinesq, para una carga concentrada unitaria "p0", a una profundada z0. z0 = 25cm si variamos luego la posición de la carga y para cada posición determinamos las tensiones que por ella se ponen de manifiesto y luego, aplicamos superposición de efectos. Lo determinado es la sobrepresión en la cota z0, producto de haber cargado la zapata con carga unitarias concentradas en las aéreas discretizadas. (dependiendo del grado de discretización, se asemeja a tener una carga distribuida unitaria en toda la zapata. Estudiar el comportamiento de las presiones que se observarían a la profundidad z0. 3) En la figura se indica la sección transversal de un tablestacado para el cual se pide el gasto que escurre debajo del mismo en [l/h.m]. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. La sección transversal de un tablestacado con dos niveles de de agua de diferentes alturas. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia, identificando el tipo de EDP. Ecuación Diferencial Elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución. Se hace un análisis del grafico y se genera el polígono deseado Al final se aplica las condiciones de contorno plateadas anteriormente y se obtienen los siguientes resultados.1 y las demás fronteras tipo NEUMANN g= 0. . Líneas de contorno d) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).8) y el valor de la frontera superior izquierda va a cambiar tomando un valor de frontera tipo NEUMANN g= 3. (Dirichelt – 1.Ahora en un análisis de las fronteras La frontera de la parte superior derecha el valor va a ser constante es decir. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.276x10-3)/10)*3600 = 1. identificando el tipo de EDP.m 4) Para el azud que se indica en la figura.276x10-3 Q=((3.Para hallar el caudal usaremos la siguiente definicion: Q=K*∆H*(nc/ne) donde nc = 6 y ne = 10 Q=4. se pide el caudal que escurre debajo del mismo en [l/h. Ecuación Diferencial Elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución. .17936 l/h. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia.2x1-5*(610-480)*(6/10) = 3. La sección transversal de un tablestacado con dos niveles de de agua de diferentes alturas.m] suponiendo que el suelo es isótropo y tiene un coeficiente de permeabilidad igual a k. 1) y el valor de la frontera superior izquierda va a cambiar tomando un valor de frontera tipo NEUMANN g= 9. . Se hace un análisis del grafico y se genera el polígono deseado Al final se aplica las condiciones de contorno plateadas anteriormente y se obtienen los siguientes resultados.6 y las demás fronteras tipo NEUMANN g= 0. d) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).Ahora en un análisis de las fronteras La frontera de la parte superior derecha el valor va a ser constante es decir. (Dirichelt – 1. 1x10-4)/10)*3600 = 0.1)*(6/20) = 5.Para hallar el caudal usaremos la siguiente definicion: Q=K*∆H*(nc/ne) donde nc = 6 y ne = 20 Q=2x1-4*(36.m 5) Para la sección transversal de una presa de suelo homogénea como la indicada en la figura. Ecuación Diferencial Elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución.1x10-4 Q=(5. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. se pide trazar la línea de saturación y la red de filtración.1836 l/h. . La sección transversal de un tablestacado con dos niveles de de agua de diferentes alturas. identificando el tipo de EDP.6-28. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. d) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).57032966631 C1= = 82.57032966631) y el valor de la frontera superior derecho va a cambiar tomando un valor de frontera tipo NEUMANN g= 82.Ahora en un análisis de las fronteras C1= =83. (Dirichelt – 83. Se hace un análisis del grafico y se genera el polígono deseado .7635789464 y las demás fronteras tipo NEUMANN g= 0.7635789464 La frontera de la parte superior izquierdo el valor va a ser constante es decir. Inicialmente la placa se encuentra a 0°C. K k C . Las restantes dos fronteras están aisladas. Instantáneamente las temperaturas en la frontera izquierda y en la superior se llevan a los valores mostrados en la siguiente figura. Placa Calentada b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. 6) Encontrar la distribución de temperatura en una placa de aluminio de 10x10 cm para los 10 primeros segundos. El coeficiente de difusividad térmica para el aluminio es: K = 0. identificando el tipo de EDP.Al final se aplica las condiciones de contorno plateadas anteriormente y se obtienen los siguientes resultados. Las ecuaciones que rigen el fenómeno y el coeficiente de difusividad térmica son: 50ºC 100ºC 10 x10 m 2T 2T T K 2 2 t y x 0 Aislado Aislado a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.835 cm2/s. Ecuación Diferencial Parabólica c) Plantear el esquema numérico de solución. l j 11/ 2 Ti l.l j 11/ 2 Ti l1. j Ti l1. Primera ecuación Para la Primera Dirección Para Primeros Nodos 2(1 )Ti l. j 1 / 2 Ti . j Ti . j 2(1 )Ti .l j Ti l1. j 11/ 2 2(1 )Ti . j 11/ 2 Segunda Dirección Para Primeros Nodos Ti l11.l j Ti l1.l j 1 Ti l11.l j 1 2(1 )Ti l. j 11/ 2 Ti l1. j 2(1 )Ti l. j 2(1 )Ti . j Ti l.l j 1 / 2 Ti l1. j Para Últimos Nodos Ti l.l j 1 / 2 Ti .d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. j Para Nodos Intermedios Ti l.l j 1 / 2 Ti . /j 2 Para Nodos Intermedios . j/ 2 2(1 )Ti . Se aplica el esquema de IDA el cual es del mismo método de solución que Crack Nicholson pero en 2 dimensiones empleando 6 ecuaciones para obtener una Matriz de Solución y 2 direcciones de solución. j 11/ 2 2(1 )Ti . 079855 50 16.88704076 7.390494813 22. /j 2 Ti . j/ 2 2(1 )Ti .5088891 50 24.43230362 0 0 0 0 0 0 Para t=10 s e) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).23267412 15.6950594 10.l j 1 / 2 Ti l11.21975072 33. Definiremos el tipo de frontera .3513063 50 32.l j 1 Ti l11. j Ti . /j 2 Al final obtenemos los siguientes resultados Con ∆x=3.0558571 50 20.22084679 53.0549171 5.l j 1 / 2 Ti .l j 1 2(1 )Ti l. j Ti .l j 1 2(1 )Ti l.4602466 15. j/ 2 2(1 )Ti . Primera escogemos la opción Transferencia de Calor Acondicionamos la EDP de acuerdo a nuestro problema.18443566 12. Ti l11.40774565 0 0 0 0 0 0 100 100 100 50 57.295875248 4.l j 1 Para Últimos Nodos Ti l11.63583833 35.4536847 41.33333 ∆t=5 Para t=5s 100 100 100 50 39. Al final obtendremos el siguiente grafico. . Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt.Para los lados sin un valor de frontera o frontera aislada seleccionaremos el tipo de frontera Neumann. Y para los lados con un valor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera Dirichelt. Ahora iremos a la barra de función “Plot Selección ” y marcaremos lo deseado. Líneas Azules tipo de frontera Neumann. a) Efectuar un características propuesto. el de la izquierda es de 50 m de altura y el de la derecha de 5 m. teniendo en cuenta la posición de la roca impermeable a una profundidad de 350 m. modelar y establecer las líneas de flujo y las líneas equipotenciales.. la profundidad de cimentación de 20 m.Al final obtenemos los siguientes resultados. Presa expuesta a dos análisis de las físicas del caso niveles de agua . 7) En la figura se muestra una presa expuesta a dos niveles de agua. 98 26.94 28.69 37.94 25.02 16.46 5 11.76 31.12 25.19 23.90 20. c) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.05 24.46 27.46 27.37 25.94 31.52 28.61 .28 29.46 34.31 50 43.36 29.29 17.50 29.47 27. Lado izquierdo: 50 Lado derecho: 5 Líneas Azules tipo de frontera Neumann.06 50 43.98 29.46 31.53 5 11.64 25.39 0 0.96 38. Aplicamos el método de solución de Diferencia Central y Regla del Espejo.08 34.88 30.48 23.55 29.50 20.35 29.58 25.02 23.86 5 11.45 25.82 28.47 27.b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia.71 33. Ecuación Diferencial Elíptica Plantear el esquema numérico de solución.40 26.57 24.00 27.25 21. identificando el tipo de EDP.47 27. Obteniéndose: 50 43. Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt. Lado izquierdo: 50 Lado derecho: 5 Líneas Azules tipo de frontera Neumann. Generando la grafica adecuada para el problema con condiciones de frontera establecidas Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt. Al final se obtienen los siguientes Resultados .d) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB). Distribución de velocidades de circulación del fluido (flujo) Caudales de filtración en la sección media debajo de la estructura La distribución de presión en la base de la estructura Resolución Formulación en Excel Ordenaremos los datos de la siguiente forma de acuerdo como se presenta la figura: Aplicaremos la formulación conocida como el Espejo de Agua “En la cual consiste que si no se pudieran completar los datos para calcular cualquier nodo que se presente esa condición se tomara lo anterior” Nota: La formula a emplear para el cálculo de un Nodo es conocida como Cruz: .8) Para la figura mostrada. se requiere conocer las siguientes variables: Distribución de presiones del líquido en el suelo. Ti . Se aplica esa formulación para toda la fila menos las esquinas. j Ti 1. En el lado 1 Se aplica La formulación para toda esa columna menos la esquina. En la parte Superior Central Las demás celdas restantes se aplican la formulación conocida como “Cruz” a si como la anterior. En la esquina del lado 1 En el centro de la parte inferior. j 1 Ti 1. j 1 Ti . Las anteriores figuras muestran los lados izquierdos lo mismo se aplica para los lados derechos. . j Ti . j 4 En los siguientes gráficos se muestra la formulación Espejo de Agua para cada uno de los lados. Segundo lo copiaremos en un “Block de Notas” la formulación en Excel.clabel(cs). Sección Formulas y escoge la opción habilitar calculo Repetitivo Al final obtendremos los siguientes resultados.txt >> [px. >> cs=contour(placa2).hold on . Tercero lo guardaremos en el siguiente orden: Disco C>>Matlab >> “work” Una vez terminado lo anterior aplicaremos la siguiente codificación: En Comand Window >> load placa2.py]=gradient(placa2).Se va la ventana opciones de Excel. Seleccionaremos los resultados de la formulación en Excel y los espacios que faltan en las celdas faltantes agregaremos ceros. Codificación en Matlab Primeramente nos ayudaremos en la hoja de Excel creada para la formulación en Excel para Matlab. El cual se hace con el siguiente procedimiento . en la cual mismo proporciona el mismo programa.-py).hold off Figure 2 7 6 5 4 40 3 50 60 30 10 2 20 50 70 80 90 1 100 1 2 60 3 4 5 6 7 En el PDETOOL de Matlab El PDETOOL de Matlab es como otra codificación en Matlab.Figure 1 7 6 5 4 40 3 50 60 30 10 2 20 50 70 80 90 1 100 1 2 60 3 4 5 6 7 >> quiver(-px. .Nota: Primeramente hay que tener bien en claro los conocimientos de que tipos de condición para cada frontera Neumann y Dirichelt Primeramente abriremos el pdetool en el Comand Window Luego escogernos la función “Crear líneas” y diseñaremos nuestro polígono que se asemeja al problema obteniéndose. Al final obtendremos el siguiente grafico. Y para los lados con un valor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera Dirichelt. .Definiremos el tipo de frontera Para los lados sin un valor de frontera seleccionaremos el tipo de frontera Neumann. Ahora iremos a la barra de función “Plot Selección ” y marcaremos lo deseado. Por último aplicaremos la función “Solve PDE” Al final obtendremos 9) Calcular la distribución de temperatura de una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10 cm. Como condición de frontera . Líneas Azules tipo de frontera Neumann.835 cm 2 / s.Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt. El coeficiente de difusividad térmica es: k = 0. Ecuación Diferencial Parabólica Plantear el esquema numérico de solución.03 41.36 9.03 46.38 28.00 20. Ecuación de Calor K 2T T x t K T10 T20 t ( x) 2 T30 Ecuación de Solución T40 100 50 Ti 1 Ti (Ti1 2Ti Ti1 ) ∆x 2 k 0.91 50 34.84 51. Placa Calentada b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia.51 50 23.00 0.82 21.63 9. identificando el tipo de EDP.52 50 20.17 50 28.79 50 32. los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximarán a la solución verdadera.18 5.56 50 26.19 63.00 4.20875 frontera inicial frontera final t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T00 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 T10 0.68 65.50 20.44 50 16.tenemos que en los extremos de la barra la temperatura es constante todo el tiempo: T (0.t) = 100 °C y T (10.00 0.82 32.06 41. 100 rx e rt tienden a cero. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Como condición inicial tenemos que en el interior de la barra la temperatura para el tiempo t = 0 es: T (x.39 55.71 25.90 50 36.89 15.0) = 0 °C para 0 < x < 10.76 17.88 33.835 ∆t (s) 1 λ 0.37 61.00 2.02 T40 T50 0.48 T30 0.t) = 50 °C. 50 T20 0.22 34.62 13.73 30.00 50 10.81 25.55 50 30.79 50 .16 58.32 38.91 Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB). Acondicionamos la EDP de acuerdo a nuestro problema. Se genera la barra metálica graficando un rectángulo (con las dimensiones adecuadas) en el pdetool . . Ax=input('ingrese la variacion de distancia: ').Se especifica las condiciones de frontera a la grafica: Frontera izquierda: dirichlet 100 Frontera derecha: dirichlet 50 Frontera superior: neumann Frontera inferior: neumann Obteniéndose al final el siguiente esquema de solución: Solución matlab % SOLUCION EDPs PARABOLICA PARA UNA BARRA CALENTADA L=input('longitud de la barra: '). At=input('ingrese la variacion de tiempo: '). t=input('ingrese el tiempo: '). 0E07cm/s. n=length(B). como el que se ilustra en la Figura.kk=input('ingrese el "k" prima: '). end T(i+1. T(i+1. TL=input('ingrese temp de lado izquierdo de la barra: '). la pantalla anclada de un muelle de atraque. C=input('ingrese la constante de conductividad del calor: '). El tablestacado es de longitud considerable en dirección perpendicular a la Figura por lo cual el flujo de agua bajo el mismo es bidimensional.j+1)-2*T(i. K=(kk/(d*C)). . T(i.j)+lambda*(T(i. for j=2:n-1 T(i+1. B=[0:Ax:L].1)=TL. T=Ti*ones(t.j-1)). for i=1:t T(i.n). el muro de recinto de una terminal marítima.n)=TR. lambda=(K*At/(Ax^2)). Para el modelo. se utiliza un tablestacado hincado en un suelo limoso con una permeabilidad de 5. etc.j)=T(i.j)+T(i. d=input('ingrese la densidad: '). end disp(T) plot(B.n)=TR. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto.T) xlabel('LONGITUD (m)') ylabel('TEMPERATURA (ºC)') title('ISOTERMAS PRODUCIDAS AL CALENTAR UNA BARRA') hold on grid on 10) Dentro de los innumerables problemas de ingeniería en los que se recurre a un tablestacado se encuentra: el caso de una pared para mantener la excavación de un edificio en construcción.1)=TL. Ti=input('ingrese la temperatura inicial de la barra: '). TR=input('ingrese temp de lado derecho de la barra: '). 0000 6. Fronteras tipo Dirchelt Ti . j 4 En fronteras Neumann se utiliza el Método del Espejo. En la línea equipotencial aguas arriba. se utiliza un tablestacado hincado en un suelo limoso con una permeabilidad de 5.0000 . identificando el tipo de EDP.0000 0. j Ti . la pantalla anclada de un muelle de atraque. j 1 Ti .0000 0. j 1 Ti 1.0E07cm/s b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. j Ti 1. el muro de recinto de una terminal marítima.0000 0.El caso de una pared para mantener la excavación de un edificio en construcción. En la línea equipotencial de aguas abajo.0000 0. d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. Para el modelo. Para la formulación se aplica la formula anterior.0000 6. Ecuación Diferencial Parabólica Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt. Obteniéndose: 6. etc.0000 6. h=0 m Líneas Azules tipo de frontera Neumann.0000 0. h=6 m c) Plantear el esquema numérico de solución. 9996 2.6138 1.4074 4.3482 Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).1019 1.5482 1.2373 3.8550 3.0930 3.5921 1.0 ) y el valor de la frontera superior izquierda va a cambiar tomando un valor de frontera tipo NEUMANN g= 6 .1444 2.7225 3.6043 5.9264 4.2796 3.5598 1.8699 3.2110 2.5890 1.4108 4.9996 2.5.1295 2.4791 2.9063 2.7621 2.6510 e) 5.1825 1.3860 4. Se hace un análisis del grafico y se genera el polígono deseado Ahora en un análisis de las fronteras La frontera de la parte superior izquierda es la que va a cambiar su condición mientras que en la parte superior derecha el valor va a ser constante es decir.0732 1.8171 4.7883 3.8418 3.0000 2.9996 0.3015 2.6264 3.5409 1. (Dirichelt .3949 0.6977 3.4400 4.6490 3.6428 2.5058 3.4682 5.9997 2.4585 4.4934 2.4516 4.2771 2.2568 0.5203 3.7196 2.5310 0.3565 3.1575 2.3729 2.0359 3.9634 2.7424 0.8977 4.0000 0.9996 2.3502 2. 0m.0m y la presa está enterrada dentro del suelo 2. Una presa de concreto cimentada sobre un terreno permeable isótropo con una permeabilidad de 5.0E07cm/s. h=6 m En la línea equipotencial de aguas abajo. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. constituye realmente un vertedero ya que el agua pasa sobre la presa en ciertas épocas del año. . h=0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo.0E07cm/s. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. identificando el tipo de EDP. Estas son: En la línea equipotencial aguas arriba.Teniendo así la grafica de flujo de agua bajo el mismo es bidimensional 11) La Figura considera una presa de concreto cimentada sobre un terreno permeable isótropo con una permeabilidad de 5. La sección representada. El agua del embalse en la cara aguas arriba tiene una altura de 6. 69772 3. j 6.74246 Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).00000 0.12950 2.78829 3.00000 5.54820 1.21101 2.72255 3.44003 4.00000 2. 0.07325 1. j Ti .00000 5.81710 4. Se definen planteadas en el método numérico. Ahora en un análisis de las fronteras La frontera de la parte superior izquierda es la que va a cambiar su condición mientras que en la parte superior derecha el valor va a ser constante es decir.Ecuación Diferencial Parabólica c) Plantear el esquema numérico de solución.99962 0.38603 4.61378 1.27967 3.49344 2.99970 2.00000 0. j 1 Ti 1.10192 1.65101 4 6.00000 0.03592 3.85498 3.99962 2.86996 3.23736 3.84183 3.25678 0.60431 6.58902 1.50581 3.35023 2.39494 0.92640 4.0 ) y el valor de la frontera superior izquierda va a cambiar tomando un valor de frontera tipo NEUMANN g= 6 d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.54095 1.00000 0.27708 2.96346 2.14439 2.64280 2.99964 2.00000 5.46818 6.30154 2.71958 2.47909 2.52027 3.62639 3.00000 0. Aplicaremos la formulación conocida como el Espejo de Agua “En la cual consiste que si no se pudieran completar los datos para calcular cualquier nodo que se presente esa condición se tomara lo anterior” Nota: La formula a emplear para el cálculo de un Nodo es conocida como Cruz: Ti .45855 4.64903 3.55978 1.53107 0.76213 2.59211 1.45161 4.00000 5.89773 4. j Ti 1.34824 .40739 4. j 1 Ti .41079 4.99967 2.35649 3.15747 2.90633 2.18254 1.37291 2. (Dirichelt .00000 0.09305 3. h=6. de profundidad. La cota de la excavación es h2 = 7. Las paredes están enterradas dentro del suelo 6.5 m. h=4.0E07cm/s. y la excavación está en 1.Al final se obtienen: 12) La Figura ilustra el caso de dos paredes que mantienen una excavación en un terreno permeable de permeabilidad 5. respectivamente. Las condiciones de contorno aplicadas al modelo de la excavación son: En la línea equipotencial aguas arriba. Las cotas aguas arriba y abajo de la excavación son h1 = 12 m y h3 = 13.5 m En la línea equipotencial de aguas abajo.0 m.0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo .5 m.5 m. La cota de la excavación es h2 = 7. respectivamente. Ecuación Diferencial elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución.5 m. y la excavación está en 1. de profundidad.0 m.5 m.5 d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema. Las cotas aguas arriba y abajo de la excavación son h1 = 12 m y h3 = 13. Las paredes están enterradas dentro del suelo 6. Una excavación en un terreno permeable de permeabilidad 5. identificando el tipo de EDP. El valor de la frontera y tipo de frontera en el cual tiene la forma de un canal es Frontera tipo Neumann g=6 La frontera superior izquierda es del tipo Dirichlet y tiene un valor igual a 0 La frontera superior derecha es del tipo Neumann y tiene un valor de g = 4.0E07cm/s.5 m. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia.a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Aplicaremos la formulación conocida como el Espejo de Agua “En la cual consiste que si no se pudieran completar los datos para calcular cualquier nodo que se presente esa condición se tomara lo anterior” Nota: La formula a emplear para el cálculo de un Nodo es conocida como Cruz: . 55058 5.65746 5.35579 5.02192 0.00000 5.87862 5. j Ti 1.50000 4.Ti . j 1 Ti 1.00000 0.00000 5.53592 .88476 4.50000 4.84567 4.91220 4.87197 5. j Ti .73976 4.86640 5.76177 5.60038 4.00000 5.90518 4.00000 5.00000 5.78154 4.00000 0.09303 5.82953 4.50000 4.90137 4.32059 5. j 4.69653 4.95378 4.07575 5.00000 0.74350 5.61872 5.72254 5.61441 4.00000 0.89889 4.72006 4.53824 5.10698 5.01135 5. La grafica nos presenta dos paredes enterradas para lo cual la grafica seria Dados estos valores la grafica final sería la siguiente 6.21323 5.60294 4.66953 5.50000 4.94093 4.79297 4.21343 5.88133 5.45728 5.47809 Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).76846 5.11206 0.21383 5.97731 5.89807 e) 4 4. j 1 Ti .59538 5.00000 0.53588 5.58106 5.00000 5.21325 0.41901 5.21428 5.33647 5.31532 6.40766 6.00000 5.70286 4.49210 5.85933 4.60918 4.53693 5.52126 6. La fundación del relleno es impermeable y representa una condición de borde de flujo y una pequeña línea equipotencial de cabeza cero es representada en la parte baja del dren.0 m. La fundación del relleno es impermeable y representa una condición de borde de flujo y una pequeña línea equipotencial de cabeza cero es representada en la parte baja del dren.0 m). . la red de flujo se genera debido a una lluvia intensa la carga total sobre el relleno (en condición de flujo permanente) será igual a la altura geométrica del relleno. Para el caso del ejemplo la cabeza tiene un valor de 6. En condiciones de saturación y considerando flujo permanente. h = 0. Si por ejemplo.0 m). En condiciones de saturación y considerando flujo permanente. Para el caso del ejemplo la cabeza tiene un valor de 6. En la Figura se representa este caso.0 m. Es una Ecuación Diferencial Elíptica c) Plantear el esquema numérico de solución. la red de flujo se genera debido a una lluvia intensa la carga total sobre el relleno (en condición de flujo permanente) será igual a la altura geométrica del relleno. En la Figura se representa este caso.0 m Los demás contornos son líneas de flujo normal nulo. Si por ejemplo.0 m En la línea equipotencial inferior. Un muro que sostiene un relleno con un dren vertical entre la cara interior del muro y el relleno. el borde superior del relleno será una condición de borde equipotencial (f=6. identificando el tipo de EDP. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia.13) Otra forma habitual de flujo es el caso de un muro que sostiene un relleno con un dren vertical entre la cara interior del muro y el relleno. Las condiciones de contorno aplicadas al modelo del relleno se son: En la línea equipotencial superior. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. el borde superior del relleno será una condición de borde equipotencial (f=6. h = 6. 030973 0.448118 2.607696 0.709787 0.551948 0.115439 0.425505 0.199510 0.395365 0. Aplicaremos la formulación conocida como el Espejo de Agua “En la cual consiste que si no se pudieran completar los datos para calcular cualquier nodo que se presente esa condición se tomara lo anterior” Nota: La formula a emplear para el cálculo de un Nodo es conocida como Cruz: Ti .940009 0.624684 3.428148 6.000000 4.811315 0.831033 1.399603 6.002914 0.525532 1.(0) d) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.032161 1.511360 0.875022 2.551130 0.000000 1.008831 0.498332 1.514840 0.940285 2.259222 2.032464 0. j 1 Ti 1.673709 0.002841 0.779902 2.316788 0. j 1 Ti .334839 0.472220 2.418174 0.840682 3.633628 e) 6.064613 1.386180 0.121203 Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB).000000 4.008453 0.552409 1. j 4 6.281207 0.729699 0.998805 0.457298 0.791680 2.000000 4. (6-0) Líneas Azules tipo de frontera Neumann.221154 0.022081 1.076429 0.000000 3.430784 0.138650 1.000000 4. j Ti .245200 0.Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt.209943 6. j Ti 1.791860 3. Para este problema se genera la siguiente grafica .702667 2.060802 0.319729 6. . Para finalmente darle la solución a la EDP ELIPTICA . Líneas Azules tipo de frontera Neumann.Se le da valores a las fronteras teniendo en cuanta la condición del problema Líneas Rojas tipo de frontera Dirichelt. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad. Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno de agua. La ecuación diferencial que expresa la profundidad como función del tiempo es: Encontrar la relación por los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler.184648 h(h) 70 h0 10 c1 0. Datos Diámetro Mayor 5 Diámetro Menor 0.16666 Gravedad 32. h= 10ft. y0 ) h K . d = 2in. Por el agujero fluye el agua bajo la influencia de la gravedad. b) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.00891378 Método de Solución por Runge-Kutta Ecuaciones de Runge Kutta K1 hf ( x0 . y0 1 ) 2 2 h K K 3 hf ( x0 . Comparar sus resultados con la solución analítica: a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. y0 K 3 ) K 2 hf ( x0 1 y1 y0 ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 Obteniéndose al final t 0 70 140 210 280 350 420 490 .14) Un tanque cilíndrico con un agujero pequeño en su fondo está lleno de agua. Datos: D=5ft. y0 2 ) 2 2 K 4 hf ( x0 h. 3713 0.075145 1.06819427 2.92952072 1.90657617 3 7 115.84748062 0.85182491 1.7820891 7 3 320.902276 8 2 392.9492987 1.95195537 6.8151412 6 4 260.18673692 1.509827 3.04298416 0.732909 4.93978676 0.8938393 4 6 159.84475722 0.415211 1.2159248 9 1 485.695 0.85679976 1.07266239 2.9 0.75704804 1.41049698 2 8 74.16801206 7.28095932 Grafico T vs. H por método de Runge-Kutta Por la Solución Analítica i h t 0 10 0 1 9 36.2108 0.h k1 k2 k3 k4 10 1.4848 .5252734 Grafico T vs.592 0.02780469 1.3929 0. H por Solución Analítica 1.537937 1.682 0.408733 1.17905802 1.2865 0.788 0.439884 1.08573564 1.9293599 5 5 207.1536812 10 0 709.314758 1.632371 1.97315029 2.637992 1. c) Efectuar la codificación MATLAB para la solución. Solución con Runge Kutta Software de Métodos Numéricos (Editorial Megabyte) 15) Una barra sobresale de un satélite en un campo de radiación solar. La ecuación diferencial basada en un modelo unidimensional de conducción de calor es . encontrar la relación T(x). La condición inicial es que en x=3. 16) Se usa un separador estándar de aceite para separar una mezcla de agua y aceite. T=637. Obtener la relación v(t) usando la ecuación .6285 °R.Donde. El nivel de derrame de aceite está 5ft arriba del extremo inferior de la pared de retención. Usando los procedimientos de Runge-Kutta y de Euler.0ft. y dT/dx=0. 0680228 6 1.2855115 8 1. y0 ) h K .06 Densidad del Aceite Densidad del Agua 0.9869856 2 0.9496539 1. y0 1 ) 2 2 h K K 3 hf ( x0 .2846916 9 1.2489917 4 1. b) Formulación en hoja de cálculo para la solución del problema.5497797 0.2659371 1 0.015 3.1729963 1 1. y0 2 ) 2 2 K 4 hf ( x0 h.2855211 9 1.2275438 5 1.1410055 6 1.02 4.01 2.2657953 4 1.0291098 1 0.1051672 2 1.2024129 3 1.06 0.a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. y0 K 3 ) K 2 hf ( x0 y1 y0 1 ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6 Obteniéndose al final t v 0 0 k 1 k 2 k 3 1.0549861 2 1.9455498 .2279516 5 1.2780974 1.0830123 4 0.03 7.4 Coeficiente de Fricción h 0.1737677 4 1.1063522 9 0.6 1 Aceleración debida a la Gravedad 386. Datos Diámetro Promedio del Glóbulo de Aceite 0.005 1.7768389 0.9435794 2 0.0275106 7 1.005 Método de Solución por Runge-Kutta Ecuaciones de Runge Kutta K1 hf ( x0 .288 0.025 6. 9012531 4 .0679487 3 0.k 1.2023724 8 1. V 1. 0.9868935 1 c) Efectuar la codificación MATLAB para la solución.2489657 6 1. Solución por Runge-Kutta 17) Una tira horizontal larga de madera arde en un extremo como muestra la figura.1409489 6 1.2780846 4 1 Grafico T vs. 003058361 Calor especifico de la madera 0.0526 530 2160 4.55556E-05 Coeficiente de transferencia de calor media entre la madera y el aire 0.85 0.55 Conductividad térmica de la madera 5.0725 .000555556 Espesor de la tira de madera Temperatura del Aire Ambiente Temperatura de la Flama Constante de Stefan Bolotzmann Emisividad radiante de la Madera Emisividad radiante de la Flama Altura de la Flama 0.9 0.80556E-13 0.Los datos del Problema son: Velocidad de Propagación a lo largo del eje x de la flama Datos 0. 8 2306.t)…………(1) El problema general de flujo difusivo (sin considerar términos de reacción ni convección) en una geometría de acuífero libre está gobernado por la siguiente ecuación en derivadas parciales: SS ∂h(x.3 l1 6630 . el desarrollo del término de la divergencia ∇⋅ (∇h(x.9 1.2 161.0 1316.9 123.01E+ 09 8.9 751.7 3584.0 275.8 1771.0 0.7 44593 .3 k4 57.2 414355.3 379.8 14167 .362 0.7 275299.t)=-K. 0 10787 .0 546.5 k2 27. 6 2424261.2 1244912.0 0.0 1227 .2 6873 .7 216.1 27526 .0 k3 27.0 27291 .18E+ 11 4. 6 45590 .5 0.1 0.4 7141 .1 0. 1 757.7 167.∇h(x.0 1482.4 18) El movimiento del agua sobre el terreno viene caracterizado por la ley de flujo de Darcy.t)+r…………(2) donde los parámetros del terreno que intervienen son la recarga y el coeficiente de almacenamiento.6 22487.8 75690 .0 90962.4 88.q(x.t)/∂t=-∇.82E+ 09 4.72E+ 06 6.1 1200 . 6 26024 .1 7724 .4 40030 .00833 1200 0 0. 5 13372 3.04165 1200 Al final se obtienen los siguientes resultados: x(mt s) x(pie s) y 0.7 z l2 l3 l4 2293. 2 14762 .15E+ 04 7.5 1314.0 0.1 18298 . que gobierna el problema planteado en esta sesión: .3 16625 1.93E+ 21 k1 0.0 4019.3 217.1 0.5 379.4 14110 .6 9142.7 74269. Aplicando la ecuación de Darcy se obtiene: Dado que el dominio espacial de la variable de estado h(x. 7 7134 .4 9160 .4 1067.5 19580 .47E+ 05 3.3 56.43E+ 04 2.t) es unidimensional.76E+ 07 6.Densidad de la Madera h t dt/dx x t 20.38E+ 07 9.6 493. 1 3694413 4.3 123.6 86.2 43180 8.9 6783 .6 6590 .7 11344 .3 8065 .7 7478. que muestra cómo ésta fluye de mayor a menor nivel piezométrico: q(x.5 → 2.2 2142.9 293.1 0.1 0.t)) en la expresión (3) se simplifica resultando la siguiente ecuación en derivadas parciales (EDP) parabólica 1D. La solución requiere dos condiciones de contorno que.j-1)+H(i. K=input('ingrese la constante K: '). debido al carácter transitorio del problema. Resolver el caso mediante un esquema de diferencias finitas. for i=1:t-1 H(i. por tanto. end plot(B. están representados en la figura mostrada.t) = ho y h(x = L. H=Hi*ones(t. L]. n=length(B). la condición inicial es h(x.n)=HR. se han propuesto de tipo Dirichlet (valor de la variable pre-escrito): h(x = 0.j)+(R/(2*(1+R)))*(H(i.1)=HL. H(i.n)=HR. Solución por matlab %ACUIFERO LIBRE L=input('ingrese la distancia del acuifero: '). el nivel original es ho y. HL=input('ingrese la altura izq: ').j)=((1-R)/(1+R))*H(i. Dichas condiciones de contorno y el dominio de resolución.n). Ss=input('ingrese la constante Ss: '). para este caso. Además. C=(dt/Ss)*r.t = 0) = ho .t) = hL.H) disp(H) . r=input('ingrese la constante r: '). t=input('ingrese el tiempo: '). end H(i+1. B=[0:dx:L]. x∈[0. HR=input('ingrese la altura: '). dt=input('ingrese la variacion dt: ').j+1))+C/(1+R). R=(K*dt)/(Ss*dx^2).j+1)+H(i+1. este caso de EDP parabólica unidimensional. for j=2:n-1 H(i+1. dx=input('ingrese la variacion dx: ').j-1)+ H(i+1. se necesita una condición inicial que haga referencia al estado del nivel piezométrico antes de ejecutar la excavación. Hi=input('ingrese el nivel freatico inicial: '). En este caso. 19) Utilizando el método de los elementos finitos.01 0 0. para problemas unidimensionales como es el ejemplo de la Barra sometida a su propio peso y carga puntual. según: Solución Analítica: Métodos Matriciales 100 0 0 0 200 -100 0 -100 100 0.01 0 0 0 0.01 0.01 0. establecer una solución.5 14 = Solucion Finita –Método Gauss Seidel 100 0 0 0 200 -100 0 -100 100 = 0 500 450 0 500 450 .02 Q1 Q2 Q3 = 0 9. 499973 13.445312 13.98632 13 81 9.99999 9 99 9.99999 79 98 9.486328 13.499999 13.99658 03 2 9.97265 25 63 9.499986 13.99999 17 92 9.94531 5 25 9.99829 02 1 9.99957 75 28 9.499999 13.499999 13.28125 13.0625 13.99914 51 55 9.499893 13.99999 58 96 9.493164 13.499999 13.i 0 1 2 3 4 5 6 X1 0 0 0 0 0 0 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 20 0 21 0 22 0 23 0 24 0 25 0 26 0 27 0 28 0 X2 X3 0 0 2.99999 95 99 .75 12.499946 13.499993 13.499999 13.99999 66 67 9.625 13.499572 13.5625 9.390625 5 9.498291 13.99999 32 33 9.125 9.496582 13.499998 13.25 8.78125 13.99998 65 66 9.499145 13.499996 13.5 7.99978 38 64 9.99316 06 41 9.89062 9.99997 3 33 9.99999 33 83 9.99989 19 32 9.5 7 6 10.99994 59 66 9.499786 13.472656 13. 499999 99 9. como: .29 0 30 0 31 32 33 0 0 0 9.5 9. Determine la distribución de momento flector y fuerzas de corte para la solución final.499999 99 9. Malvern 1969. 22) El equilibrio estático de un sólido puede representarse por el principio de trabajos virtuales (PTV).499999 97 9.5 14 14 14 14 14 20) Establecer un esquema de solución en elementos finitos para la siguiente estructura: 21) Establecer un esquema de solución en elementos finitos para la siguiente viga. dependiente del tipo de problema a resolver.Para el caso bidimensional. identificando el tipo de EDP. Por elementos Finiros d) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB. c) Plantear el esquema numérico de solución. la cual gobierna las relaciones entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material. Primeramente se define el esquema grafico. a) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. esfuerzo plano y deformación plana. para la solución del problema. Es una EDP Elíptica. Estructura el cual sufre un tipo de cargas concentradas en forma creciente hacia el eje x. b) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. y de la ecuación constitutiva del material. el campo de deformaciones y el campo de esfuerzos vienen dados por: σ=Dε Donde D es la matriz constitutiva del material. . utilizando PDETOOL. Proponer un procedimiento en elementos finitos. Se define las fronteras y opta por la opción “Estructura Esfuerzo” Al final se obtiene los siguientes resultados. . 5 m de profundidad. Establecer los campos de esfuerzos y desplazamientos verticales. El problema considerado es de deformación plana.31 Kg/cm2. El modulo elástico considerado es de 200 Kg/cm2.23) Se tiene una zapata corrida sin carga excéntrica. con una contratrabe de 0. se tiene que la presión aplicada (carga lineal variable) es de 60 Kg/cm. las condiciones de contorno y los materiales se muestran en las siguientes figuras. y el modulo de Poisson es de 0. el cual incluyo pruebas de compresión triaxial sin consolidación ni drenaje.20 m de ancho por 0. y φ=12.30 m de alto. Efectuar el mismo análisis aplicando excentricidad en la carga de la zapata. El suelo en que se apoya esta representado por una porción de terreno de 10 m de largo y 3.15 m de peralte. En la base del suelo están impedidos los desplazamientos horizontales y verticales (se asume que a esa profundidad del suelo ya no son significativos los efectos de la zapata). La geometría del problema. En los lados solo se han impedido los desplazamientos horizontales pues se supone que en el medio tiene una gran extensión. Datos que se obtuvieron de un estudio de mecánica de suelos.66°. tomando un espesor de 10 cm y repartiendo la carga entre el ancho de la contratrabe. La carga aplicada al cimiento corrido es de 12 000 Kg/m.35. .80 m de ancho por 0. Se trata de una zapata corrida de concreto de 0. Las propiedades utilizadas para el suelo son c=0. ν=0. Obtener la matriz de rigidez de un elemento. 8 de base y 4 de coronación.196 MPa. Obtener los desplazamientos de los nodos. Obtener el vector de cargas. cuya geometría y condiciones de contorno se describen en el dibujo. distinguiendo cuáles son de desplazamientos y cuáles de fuerzas. y un origen de coordenadas globales en la esquina inferior izquierda. se pide: Indicar gráficamente los grados de libertad de la estructura.10 1010 Pa. Obtener las derivadas de las funciones de forma. La estructura está empotrada en su base.24) Resuelva por el Método de los Elementos Finitos la presa de la figura (cotas en metros). El muro se carga con una presión hidrostática procedente del peso del agua que baña la cara izquierda. estando el lado izquierdo sometido a una presión hidrostática. 25) Se define un muro de contención de hormigón (E=20 GPa. Resolver el problema considerando también el peso propio de la presa Analizar los resultados obtenidos. tal y como se describe en el dibujo. y esbozar gráficamente la deformada. Utilícese para su resolución elementos cuadrados de cuatro nodos con funciones de forma lineales y tenga en cuenta que se considera en tensión plana. de modo que en la coronación tiene valor 0 y en la base valor 2p=0. el coeficiente de Poisson ν = 0. Explique y estructure cada paso seguido en la resolución.5 y la densidad ρ = 2656 kg/m3. y una discretización de dos elementos cuadrados lineales. Se pide: Calcular los desplazamientos de los nodos considerando que la presa está únicamente sometida a presión hidrostática. . tal y como indica la figura. cuyo módulo elástico es E = 3. Considerando una sección en tensión plana de espesor unitario.3) de 20 metros de altura. proponga un esquema de modelamiento. El peso aproximado del concreto es de 25 kN/m3 y su modulo es E = 28106 kN/m2.26) Para el siguiente sistema hidrológico subterráneo. La ecuación diferencia que rige el comportamiento del sistema es Sujeta a las siguientes restricciones o condiciones de borde. . 27) Un puente es soportado por varias pilas (columnas) de concreto. junto a una sobrecarga estimada debido a transito. cuya geometría y estado de carga se muestra en la Figura. La carga de 20 kN/m2 representa el peso del puente. ecuaciones que describan la hidrodinámica del agua subterránea y el esquema de solución numérica que resuelva el caso. Deseamos analizar el estado de tensiones y deformaciones de la columna utilizando el método de diferencias finitas. identificando el tipo de EDP. f) Efectuar un análisis identificando el caso numérico al que se hace referencia. Por elementos Finiros h) Aplicación de la caja de herramientas PDETOOL de MATLAB. g) Plantear el esquema numérico de solución. Primeramente se define el esquema grafico. .e) Efectuar un análisis de las características físicas del caso propuesto. Estructura el cual sufre un tipo de cargas concentradas en forma creciente hacia el eje x. Es una EDP Elíptica. Al final se obtiene los siguientes resultados. . . 10 6 N/m. . C= 10 N. m= 1 Kg.28) Resolver el sistema Masa-Resorte-Amortiguador Forzado Acoplado mostrado en la siguiente figura. f(t) = 10 u (t-1). usando los siguientes datos: k=8 .s/m.