Práctica Investigación Operativa15.2-4.* Warren Buffy es un inversionista muy rico que ha amasado su fortuna con su legendaria perspicacia y quiere hacer una inversión. La primera opción es una inversión conservadora con buen desempeño si la economía mejora y sólo sufrirá una pérdida pequeña si la economía empeora. La segunda es una inversión especulativa que se desempeña muy bien si la economía mejora, pero muy mal si empeora. La tercera es una inversión contracíclica que perdería algún dinero en una economía que mejora, pero se desempeñaría muy bien si empeora. Warren cree que existen tres escenarios posibles en las vidas de estas inversiones potenciales: 1) economía que mejora, 2) economía estable y 3) economía que empeora. Es pesimista sobre el rumbo de la economía, y ha asignado probabilidades a priori respectivas de 0.1, 0.5 y 0.4, a estos tres escenarios. También estima que sus ganancias en estos escenarios son las que se presentan en la tabla siguiente: Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contracìclica -10 MM 0 MM 15MM Probabilidad 0,1 0,5 0,4 A priori ¿Qué inversión debe hacer Warren según los siguientes criterios? a) Criterio de pago maximin. b) Criterio de la posibilidad máxima. c) Regla de decisión de Bayes. SOLUCION a) Criterio de pago maximin. Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contracìclica -10 MM 0 MM 15MM Prob. A priori 0,1 0,5 0,4 Mìnimo valor de cada alternativa Inv. Conservadora Inv. Especulativa Inv. Contracìclica -10MM -30MM -10MM -10MM, en ambos casos es el mayor valor por lo tanto: RESPUESTA Warren Buffy debe invertir en una inversión conservadora o una inversión contracìcica. Pero debe elegir sólo una de ellas y no ambas. b) Criterio de la posibilidad máxima. Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contracìclica -10 MM 0 MM 15MM Prob. A priori 0,1 0,5 0,4 - Como 10MM es el mayor valor de la columna de mayor probabilidades (economía estable) entonces: RESPUESTA Warren Buffy debe realizar una inversión especulativa para de este modo obtener un mayor beneficio. c) Regla de decisión de Bayes. 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = 30 ∗ 0.1 + 5 ∗ 0.5 − 10 ∗ 0.4 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = $ 1.5 𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = 40 ∗ 0.1 + 10 ∗ 0.5 − 30 ∗ 0.4 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = $ − 3 𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = −10 ∗ 0.1 + 0 ∗ 0.5 + 15 ∗ 0.4 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = $ 5 𝑀𝑀 Economía Economía Economía Esperanza Alternativa que en mejora estable de pago empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM $ 1,5 MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM $ -3 MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM $ 5 MM Prob. A priori 0,1 0,5 0,4 En la inversión contra cíclica se espera mayor beneficio, entonces: RESPUESTA Warren Buffy debe realizar una inversión contra cíclica para de este modo obtener un mayor beneficio de $5MM. 15.2-5. Reconsidere el problema 15.2-4. Warren Buffy decide que la regla de decisión de Bayes es el criterio más confi able. Cree que 0.1 es correcto como probabilidad a priori de una economía que mejora, pero no sabe cómo dividir el resto de las probabilidades entre la economía estable y la que empeora. Por lo tanto, quiere realizar un análisis de sensibilidad respecto de estas dos probabilidades. a) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.3 y la de una economía que empeora es 0.6. b) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.7 y la de una economía que empeora es 0.2. c) Grafi que la ganancia esperada de las tres alternativas de inversión contra la probabilidad a priori de una economía estable (con probabilidad a priori de economía que mejora fi ja en 0.1). Use la gráfica para identificar el punto de cruce donde la decisión cambia de una inversión a otra. d) Use el álgebra para obtener los puntos de cruce que se mencionan en el inciso c).A e) Desarrolle una gráfica de la ganancia esperada (con la regla de decisión de Bayes) contra la probabilidad a priori de una economía estable. SOLUCION a) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.3 y la de una economía que empeora es 0.6. Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM Prob. A priori 0,1 0,3 0,6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = 30 ∗ 0.1 + 5 ∗ 0.3 − 10 ∗ 0.6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = $ − 1.5 𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = 40 ∗ 0.1 + 10 ∗ 0.3 − 30 ∗ 0.6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = $ − 11 𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = −10 ∗ 0.1 + 0 ∗ 0.3 + 15 ∗ 0.6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = $ 8 𝑀𝑀 Economía Economía Economía Esperanza Alternativa que en mejora estable de pago empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM $ - 1,5 MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM $ -11 MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM $ 8 MM Prob. A priori 0,1 0,5 0,4 RESPUESTA En este caso, Warren Buffy debe realizar una inversión contra cíclica para de este modo obtener un mayor beneficio de $8MM. b) Aplique de nuevo la regla de decisión de Bayes cuando la probabilidad a priori de una economía estable es 0.7 y la de una economía que empeora es 0.2. Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM Prob. A priori 0,1 0,7 0,2 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = 30 ∗ 0.1 + 5 ∗ 0.7 − 10 ∗ 0.2 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = $ 4.5 𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = 40 ∗ 0.1 + 10 ∗ 0.7 − 30 ∗ 0.2 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = $ 5𝑀𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = −10 ∗ 0.1 + 0 ∗ 0.7 + 15 ∗ 0.2 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = $ 2 𝑀𝑀 Economía Economía Economía Esperanza Alternativa que en mejora estable de pago empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM $ 4.5 MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM $ 5 MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM $ 2 MM Prob. A priori 0,1 0,7 0,2 RESPUESTA En este caso, Warren Buffy debe realizar una inversión especulativa para de este modo obtener un mayor beneficio de $5MM. c) Grafique la ganancia esperada de las tres alternativas de inversión contra la probabilidad a priori de una economía estable (con probabilidad a priori de economía que mejora fija en 0.1). Use la gráfica para identificar el punto de cruce donde la decisión cambia de una inversión a otra. Economía Economía Economía Alternativa que en mejora estable empeora Inv. Conservadora 30 MM 5 MM -10MM Inv. Especulativa 40 MM 10MM -30MM Inv. Contra cíclica -10 MM 0 MM 15MM Prob. A priori 0,1 p 0.9-p 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = 30 ∗ 0.1 + 5 ∗ 𝑝 − 10 ∗ (0.9 − 𝑝) 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟)] = 15𝑝 − 6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = 40 ∗ 0.1 + 10 ∗ 𝑝 − 30 ∗ (0.9 − 𝑝) 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜)] = 40𝑝 − 23 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = −10 ∗ 0.1 + 0 ∗ 𝑝 + 15 ∗ (0.9 − 𝑝) 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐ì𝑐𝑙𝑖𝑐𝑎)] = −15𝑝 + 12.5 P1 P2 Valores aproximados: 𝑝1 ≈ 0.62 𝑝2 ≈ 0.68 d) Use el álgebra para obtener los puntos de cruce que se mencionan en el inciso c).A 15𝑝 − 6 = −15𝑝 + 12.5 30𝑝 = 18.5 18.5 𝑝= 30 𝑝1 = 0.6167 15𝑝 − 6 = 40𝑝 − 23 −25𝑝 = −17 17 𝑝= 25 𝑝2 = 0.68 e) Desarrolle una gráfica de la ganancia esperada (con la regla de decisión de Bayes) contra la probabilidad a priori de una economía estable. Pago esperado 0.6167 0.68 15.3-3. Se proporciona la siguiente matriz de pagos (en miles de dólares) para un análisis de decisión: Estado de la naturaleza Alternativa S1 S2 S3 A1 6 1 1 A2 1 3 0 A3 4 1 2 Prob. A priori 0,3 0,4 0,3 a) De acuerdo con la regla de decisión de Bayes, ¿qué alternativa debe elegirse? b) Encuentre el VEIP. c) Se le proporciona la oportunidad de gastar 1 000 dólares para obtener información acerca de qué estado de la naturaleza es probable que ocurra. Dada su respuesta del inciso b), ¿vale la pena gastar este dinero? a) De acuerdo con la regla de decisión de Bayes, ¿qué alternativa debe elegirse? 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴1)] = 6 ∗ 0.3 + 1 ∗ 0.4 + 1 ∗ 0.3 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴1)] = $ 2.5 𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴2)] = 1 ∗ 0.3 + 3 ∗ 0.4 − 0 ∗ 0.3 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴2)] = $ 1.5𝑀 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴3)] = 6 ∗ 0.3 + 5 ∗ 0.4 − 10 ∗ 0.3 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝐴3)] = $ 2.2𝑀 Estado de la naturaleza Esperanza Alternativa S1 S2 S3 de pago A1 6 1 1 $ 2,5 M A2 1 3 0 $ 1,5 M A3 4 1 2 $ 2,2M Prob. A priori 0,3 0,4 0,3 En la alternativa A1 se espera mayor beneficio, entonces: RESPUESTA Debe tomarse la alternativa A1 para de este modo obtener un mayor beneficio de $2.5M. b) Encuentre el VEIP. Estado de la naturaleza Alternativa S1 S2 S3 A1 6 1 1 A2 1 3 0 A3 4 1 2 Pago maximo 6 3 2 Prob. A priori 0,3 0,4 0,3 Pago esperado con informacion 3,6 perfecta Para encontrar el VEIP, es necesario restar al pago esperado con información perfecta el pago esperado sin experimentación que por teorema de Bayes sabemos que es $2.5M. 𝑉𝐸𝐼𝑃 = 3.6 − 2.5 𝑉𝐸𝐼𝑃 = 1.1 𝑀 RESPUESTA El VEIP para este caso es de $ 1.1 M. c) Se le proporciona la oportunidad de gastar 1 000 dólares para obtener información acerca de qué estado de la naturaleza es probable que ocurra. Dada su respuesta del inciso b), ¿vale la pena gastar este dinero? RESPUESTA Dado el caso de que el VEIP es de $1.1M y el gasto para obtener es de $1M, es conveniente hacer esta inversión ya que en el mejor de los casos se obtendría $ 2.6 M y si tomamos la alternativa A2 por regla de Bayes, el beneficio esperado es de $ 2.5M. 15.3-6. Reconsidere el ejemplo prototipo de Goferbroke Co. Que incluye el análisis de la sección 15.3. Con la ayuda de un geólogo consultor se han obtenido algunos datos históricos que proporcionan más información precisa de la posibilidad de obtener sondeos favorables en terrenos similares. En específico, cuando la tierra contiene petróleo, los sondeos favorables se confirman 80% de las veces. Este porcentaje cambia a 40 cuando el terreno está seco. a) Revise la fi gura 15.2 para encontrar las nuevas probabilidades a posteriori. c) ¿Cuál es la política óptima que resulta? a) Revise la figura 15.2 para encontrar las nuevas probabilidades a posteriori. c) ¿Cuál es la política óptima que resulta? Pago esperado si el resultado del sondeo es desfavorable (SSD): Estado de la naturaleza Alternativa Petroleo Seco Perforar en busca 700 -100 de petroleo Veder terreno 90 90 Prob. A posteriori 0,1 0,9 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎𝑟 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐷 )] = 700 ∗ 0.1 − 100 ∗ 0.9 − 30 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎𝑟 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐷 )] = −50 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐷 )] = 90 ∗ 0.1 + 90 ∗ 0.9 − 30 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐷 )] = 𝟔𝟎 Pago esperado si el resultado del sondeo es desfavorable (SSF): Estado de la naturaleza Alternativa Petroleo Seco Perforar en busca 700 -100 de petroleo Veder terreno 90 90 Prob. A posteriori 0,4 0,6 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎𝑟 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐹 )] = 700 ∗ 0.4 − 100 ∗ 0.6 − 30 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑜𝑟𝑎𝑟 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐹 )] = 𝟏𝟗𝟎 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐹 )] = 90 ∗ 0.4 + 90 ∗ 0.6 − 30 𝐸[𝑝𝑎𝑔𝑜(𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 − 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝑆𝑆𝐹 )] = 60 Política Resultado del Pago esperado excluyendo el Pago esperado incluyendo el Accion optima sondeo costo de experimentacion costo de experimentacion SSD Vender terreno 90 60 Perforar en SSF busca de 220 190 petroleo Respuesta De acuerdo a la política optima, el valor esperado ante una situación desfavorable luego de experimentar para la venta seria $60M, y ante una situación favorable luego de experimentar seria de $190M 15.4-3. Le proporcionan el siguiente árbol de decisión donde los números entre paréntesis son probabilidades y los números a la derecha son los pagos en los puntos terminales. Analice el árbol de decisión para obtener la política óptima. Para el pago esperado: 580 900 820 820 15.4-5. La contralora de Macrosoft Corporation tiene 100 millones de dólares sobrantes de fondos para inversión. Ha recibido instrucciones de invertir la cantidad completa a un año en acciones o en bonos (pero no en ambos) y después reinvertir el fondo completo ya sea en acciones o bonos (pero no en ambos) un año más. El objetivo es maximizar el valor monetario esperado del fondo al final del segundo año. Las tasas de interés anual sobre estas inversiones dependen de la situación económica, como se muestra en la siguiente tabla: Las respectivas probabilidades de crecimiento, recesión y depresión del primer año son 0.7, 0.3 y 0. Si ocurre el crecimiento en el primer año, estas probabilidades son las mismas para el segundo año, pero, si ocurre una recesión el primer año, las probabilidades cambian a 0.2, 0.7 y 0.1 para el segundo. a) Construya a mano el árbol de decisión del problema. b) Analice el árbol para identificar la política óptima. a) Construya a mano el árbol de decisión del problema. Primer año Tasa de interés Alternativa Crecimiento Recesión Depresión Acciones 20 -10 -50 Tasa de interés Bonos 5 10 20 Prob. A priori 0,7 0,3 0 Segundo año Tasa de interés Alternativa Crecimiento Recesión Depresión Acciones 20 -10 -50 Tasa de interés Bonos 5 10 20 Prob. A priori 0,2 0,7 0,1 a) Analice el árbol para identificar la política óptima. b) Analice el árbol para identificar la política óptima. Se puede elegir cualquiera de las dos ya que de cualquier modo acción o bono darán el mismo beneficio. El primer año si se elige acción y aparece recesión, el siguiente año debe elegirse bono, en cambio si aparece crecimiento debe elegirse acción el próximo año. Si el primer año se elige bono, y aparece recisión, entonces el siguiente año debe elegirse bono. Sin embargo si aparece crecimiento el siguiente año debe elegirse acción