Práctica 6, Teorema de Máxima Transferencia de Potencia

19/Noviembre/2010Instituto Tecnológico de Morelia José María Morelos y Pavón Equipo: 09120782 Ramos Albarrán Fernando 08121065 Fuentes Martínez Bonifacio Iván 09120762 Estrada Calderón José Antonio 08121071 Zúñiga Salinas David Asesor: M. C. J. Luis Lemus D. Circuitos Eléctricos 1 [PRÁCTICA #6: TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA] División de Estudios Profesionales: Ingeniería Eléctrica OBJETIVO: Comprobar mediante el análisis, práctica y simulación por computadora, el Teorema de Máxima Transferencia de Potencia que se da a través de una resistencia de carga con valor conectada a un circuito emisor de dicha potencia. INTRODUCCIÓN: Potencia ( ) es la velocidad a la que se consume la energía, y se mide en Joule por segundo (J/s). Un J/s equivale a 1 watt (W), por lo tanto, cuando se consume 1 Joule de potencia en un segundo, se gasta o consume 1 Watt de energía eléctrica. La forma más usual de calcular la potencia que consume una resistencia en un circuito, es multiplicando el valor el voltaje aplicado por el valor de la corriente que circula a través de ella. Aplicando Ley de Ohm a esta ecuación se obtienen otras fórmulas para calcular la potencia en un resistor. Ó Muchas aplicaciones de circuitos requieren que la máxima potencia disponible de una red o fuente se transfiera a una carga en particular . La solución consiste en determinar el valor de la resistencia que hace posible que la transferencia de potencia sea máxima. Se identifica de un lado de una red que contenga fuentes dependientes o independientes un par de terminales a y b, a las cuales se le conecta la resistencia del lado contrario. El Teorema de Máxima Transferencia de Potencia establece que la potencia máxima entregada por una red se alcanza cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia Thévenin o igual a la resistencia de Norton de la red que contenga las fuentes dependientes o independientes. Por lo cual es necesario obtener el circuito equivalente de Thévenin o de Norton del circuito que hará la máxima transferencia de potencia. Para obtener los equivalentes de Norton y Thévenin, el circuito se puede analizar por el análisis de mallas, análisis de nodos, transformación de fuentes, etc. Estos teoremas de circuitos eléctricos son aquellas técnicas derivadas de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm que permiten resolver de una manera más simple cierto tipo de circuitos. Algunos con aplicaciones más particulares que otros, facilitan el estudio de los circuitos eléctricos. Cabe mencionar la función cuadrática, que es la que obtenemos al graficar la potencia se varía la resistencia de carga . cuando ( ) Donde a, b y c son números reales y a diferente de cero. Si representamos varios puntos de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. La representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas es la siguiente. Una función cuadrática se caracteriza principalmente por que la describe un polinomio de segundo grado, en la cual si se despeja el término al cuadrado, siempre tendrá dos posibles soluciones, por ejemplo, en la función , ya no es una función lineal, en donde correspondía un solo valor al despejar una variable. √ Pendiente Una ecuación lineal describe una línea recta (L), cuya inclinación es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje x positivo y se mide desde el eje x positivo a la recta L, en sentido antihorario, si L fuera paralela al eje x, su inclinación sería cero. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. En estas condiciones , siendo el ángulo de inclinación. La pendiente de la recta que ) y ( ) pasa por dos puntos ( es: Pendiente: DESARROLLO: Se diseñó un circuito eléctrico, el cual contiene fuentes de voltaje y resistencias conectadas entre sí. Se analizó teóricamente para obtener el equivalente de Thévenin, con la resistencia de Thévenin se determinó un rango de valores para variar la resistencia de carga y demostrar la Máxima Transferencia de Potencia mediante una gráfica. Después se analizó el circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los obtenidos en el laboratorio. Por último se evaluaron los respectivos porcentajes de error. Material a) b) c) d) e) f) g) h) 1 Tablilla de conexión. 1 Fuente de voltaje de C.D. 4 Resistores de 100 , 1 resistores de 150 , 1 resistor de 330 1 Década de resistencia 3 Multímetros digitales Conectores banana – banana Conectores banana – telefónico 1 Adaptador Análisis Teórico El circuito diseñado para demostrar la Máxima Transferencia de Potencia es el que se muestra a continuación: y un resistor de 560 Voltaje de Thévenin Para calcular el voltaje de Thévenin desconectamos la resistencia de carga , y analizamos el circuito aplicando Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) para obtener las ecuaciones de malla. Malla : Ec.(1) Malla : Ec.(2) Malla : Ec.(3) Malla : Ec.(4) Expresamos el sistema de ecuaciones obtenido en su forma matricial: ( )( ) ( ) Por medio de la Regla de Cramer, calculamos el determinante de la matriz principal ( ). | | | | | [( )( ) ( )( )] | [ ( )] ( ) ( ) Sustituimos el vector de constantes en la columna 1 de la matriz principal, y calculamos el determinante . | | | | | [( )( ( ) ( ) ( )( )] ) | [( )( )] Para encontrar los voltajes de los nodos a y b, se necesitan las corrientes de malla tanto, solo calcularemos los determinantes y restantes. , por lo | | | | | [( )( )] [( )( | )] | | | | | [( )( )] [( ( )( ) | ) ( )( )] Con los determinantes calculados anteriormente, obtenemos las corrientes de malla . La corriente . que circula a través de la resistencia , es la resta de las corrientes de malla e Una vez calculada dicha corriente podemos obtener el voltaje aplicando Ley de Ohm. Y como la resistencia se encuentra conectada al nodo de referencia, el voltaje es igual al voltaje del nodo b. ( )( ) De manera similar, el voltaje es el mismo que el voltaje en el nodo a, debido a que la resistencia está conectada a la referencia. El voltaje se calcula aplicando Ley de Ohm, ya que la corriente que pasa por la resistencia es la corriente de malla . ( Por último, el voltaje de Thévenin es el voltaje )( . ) Resistencia de Thévenin Para calcular la resistencia de Thévenin, de igual forma desconectamos la resistencia de carga de las terminales a y b del circuito. Y además desactivamos las fuentes de voltaje dándoles un valor de 0V, estás se comportarán como un cortocircuito; por lo tanto, el circuito queda de la siguiente forma. En este circuito, las resistencias se encuentran conectadas en estrella, si se hace una transformación estrella – delta, se obtiene . ( )( ) ( )( ) ( )( ) El circuito se puede redibujar de la siguiente forma: ( ( )( )( ) ( )( )( ) ) ( )( ) ( ( )( ) ( )( )( )( ) ) ( )( ) Luego de reducir estas resistencias en paralelo, sus equivalentes se suman, ya que quedan en serie. La resistencia equivalente es la resistencia que resulta del paralelo de ( )( ) y La resistencia Es la resistencia de Thévenin. Con el equivalente de Thévenin podemos calcular la corriente y el voltaje, para cualquier valor de la resistencia de carga . Aplicamos el divisor de voltajes para calcular el voltaje ( Con Ley de Ohm, calculamos la corriente ) La potencia . es el producto del voltaje por la la corriente que circulan por el resistor de carga ( )( ) ( )( ) ( ) La siguiente tabla se obtiene, al hacer variar la resistencia de carga con los valores mostrados en dicha tabla, usando las fórmulas anteriores y los valores obtenidos del equivalente de Thévenin. Resistencia de Carga ( ) ( ) ( ) Corriente Voltaje Potencia ( ) 30 50 70 90 106.32978 110 130 150 170 190 30.125 26.271 23.291 20.918 19.3125 18.984 17.3782 16.0223 14.8626 13.8595 0.903 1.313 1.6304 1.883 2.053 2.088 2.259 2.403 2.5266 2.633 27.202 34.493 37.973 39.388 39.648 39.638 39.257 38.501 37.551 36.492 (Ver gráfica añadida) Análisis Práctico: Para obtener el voltaje de Thévenin se desconectó la resistencia de carga, y se midió la diferencia de potencial entre los nodos donde se encontraba ésta, conectando un voltímetro en dichos nodos. Luego se cortocircuitaron las fuentes de voltaje y se midió con un ohmetro la resistencia entre los nodos donde se encotraba la resistencia de carga. Una vez obtenida la resistencia de Thévenin , se conectó nuevamente la resistencia de carga y se varío con una serie de valores por arriba y por debajo del valor de la resistencia de Thévenin. Para obtener el voltaje de la resistencia de carga, se conecto un voltímetro en paralelo con dicha resistencia, para obtener la corriente de la resistencia de carga se le conectó un amperímetro en serie a ésta, y ya que no existen medidores de potencia en Corriente Directa, la potencia se calculó a partir del voltaje y corriente medidos. Los datos obtenidos fueron los siguientes: Resistencia de Carga ( ) Corriente ( ) Voltaje ( ) Potencia ( ) 29.9 50.2 70.3 90.3 106.8 110.2 130.2 150.2 170.3 190.4 29.84 26.08 23.13 20.79 19.14 19.75 17.46 16.06 14.89 13.87 0.895 1.304 1.617 1.868 2.044 1.979 2.225 2.374 2.5 2.608 26.7068 34.00832 37.40121 38.83572 39.1221 39.08525 38.8485 38.1264 37.225 36.17296 (Ver gráfica añadida) Análisis por PSpice Para calcular el equivalente de Thévenin en circuitos donde las terminales a y b, una se encuentra en un nodo de no referencia y la otra al nodo de referencia, es necesario conectar una fuente de corriente ISRC que varia de 0 a 1 A (en incrementos de 0.1 A), en lugar de la resistencia de carga. Con lo cual al graficar la corriente contra el voltaje de dicha fuente se obtiene una linea recta, de la cual su pendiente es el valor de la resistencia de Thevenin y su interseccion con el eje de las “y” es el voltaje de Thévenin, en este caso la dirección a la cual apunta la fuente ISRC es el voltaje del nodo de no referencia que corresponde al voltaje de Thévenin, por que el nodo de no referenca vale 0 V, por lo tanto la grafica muestra el voltaje de Thévenin sin ningun problema. En el caso del circuito de esta práctica, las terminales a y b son nodos de no referencia, para ello al conectar la fuente ISRC en un sentido, la interseccion en “y” de la grafica muestra el valor del voltaje en el nodo al cual se dirije el sentido de la fuente, por lo tanto es necesario invertir el sentido de la fuente y graficar nuevamente. La interseccion en “y” de esta grafica nos da el voltaje del otro nodo de no referencia, la resta de dichos voltajes es el voltaje de Thévenin, y la suma de las pendientes de ambas graficas es la resistencia de Thévenin. 50V v o l t a j 25V e 00,5.5777) (600.000m,30.113) (300.000m,17.845) 0V 0A V(Ip:-) I_Ip 0.1A 0.2A 0.3A 0.4A 0.5A 0.6A 0.7A 0.8A 0.9A 1.0A Ahora invertimos la fuente ISRC, para obtener la segunda gráfica. 80V v o l t a j 40V e (600.000m,40.733) (300.000m,21.102) 00,1.4707) 0V 0A V(Ip:-) I_Ip 0.1A 0.2A 0.3A 0.4A 0.5A 0.6A 0.7A 0.8A 0.9A 1.0A La resta de los dos voltajes obtenidos es el voltaje de Thévenin, y la suma de las pendientes de ambas gráficas es la resistencia de Thévenin. Con estos valores, podemos dibujar el circuito equivalente de Thévenin en Schematics, y obtener la gráfica de la potencia que circula en la resistencia de carga . 40mW P o t e 35mW n c i a 30mW (110,39.621m) (130,39.240m) (90,39.353m) (70,37.943m) (150,38.500m) (106.444,39.658m) (170,37.547m) (50,34.499m) (30,27.226m) (190,36.499m) 25mW 30 40 60 - V(Rp:2) * I(Rp) 80 100 RL 120 140 160 180 190 De la gráfica se obtienen los valores de la resistencia de carga , y de la potencia que circula por ella, para cada valor dado de la resistencia . Si se desea conocer el voltaje y la corriente por la resistencia de carga , se pueden obtener a partir de los valores conocidos, de la siguiente manera. √ Para la corriente, se despeja de manera similar. √ Resistencia de Carga ( ) Corriente √ ( ) Voltaje √ ( ) Potencia ( ) 30 50 70 90 106.444 110 130 150 170 190 30.1252 26.2674 23.2818 20.9106 19.3021 18.9786 17.3737 16.0208 14.8615 13.86 0.9037 1.3133 1.6297 1.8819 2.0545 2.0876 2.2585 2.4031 2.5264 2.6334 27.226 34.499 37.943 39.353 39.658 39.621 39.240 38.500 37.547 36.499 CONCLUSIONES Y COMENTARIOS: Error absoluto: Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su cálculo. Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades. ( ) Porcentajes de error PSpice – Prácticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición. El número entre paréntesis de cada valor de indica el número de variación de la resistencia de carga . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Porcentajes de error Análisis Teórico – Prácticos. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentales corresponden a los valores obtenidos mediante la medición. El número entre paréntesis de cada valor de indica el número de variación de la resistencia de carga . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Porcentajes de error Análisis Teórico - PSpice. Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos en el análisis teórico, estos corresponden a los valores exactos. Los valores experimentables corresponden a los valores obtenidos mediante el análisis de PSpice. El número entre paréntesis de cada valor de indica el número de variación de la resistencia de carga . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1) El análisis en PSpice donde el voltaje de Thévenin se encuentra en nodos de no referencia, es necesario invertir la fuente de prueba ISRC, y con las dos gráficas obtenidas se calcula el equivalente de Thévenin, donde la suma de sus pendientes es la resistencia y la resta de sus intersecciones con el eje “y” es el voltaje 2) Algunos errores son negativos por que el valor exacto es mayor que el valor experimental, y algunos valores son casi nulos ya que el valor exacto y el valor experimental son aproximadamente iguales. 3) Como no existen medidores de potencia para circuitos de Corriente Directa es necesario medir el voltaje, corriente o ambos para calcular la potencia en un elemento resistivo. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: I. II. III. Manual de Prácticas de Laboratorio de Circuitos Eléctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M. Circuitos Eléctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniería Eléctrica I.T.M. Fundamentos De Circuitos Eléctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku; 3ra. Edición; McGraw Hill