20República bolivariana de Venezuela Universidad nacional experimental politécnica "Antonio José de sucre" vice-rectorado "Luis caballero mejías" Asignatura: Laboratorio de dinámica de maquinas Prof. Vicente arnone Practica de laboratorio nº6 Momento de inercia y oscilación torsional libre Integrantes Cadena anderson, exp:2009203038 Valles juan, exp:2010xxxxxxxxx Abreu jean carlos, exp:2006xxxxxx Mendezfragell, exp:2010xxxxxxxxxxxxx Caracas, abril de 2014 Introducción En este informe se plantea el uso del banco universal de prácticas con la modelación de un sistema de que está compuesto de un volante que gira alrededor de su eje de rotación, una masa atada a una clavija en el borde de la circunferencia. Comprobaremos que el uso de la ecuación de conservación de energía dará el momento de inercia del volante ya que este es directamente proporcional a la ecuación La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. nos dice que en ausencia de fuerzas exteriores. Entre ellos podemos señalar los de espacio. De esta forma. "MOI") es similar a la inercia. movimiento y fuerza. supongo que forman parte del contexto del conjunto de las Leyes de Newton.Parte teórica Inercia: Siguiendo la Primera Ley de Newton. El momento de inercia (Moment of inertia. excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. todo cuerpo continúa en su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme a menos que actúe sobre él una fuerza. Así se consiguen reducir las fluctuaciones de velocidad angular. Es decir. respectivamente: . masa rotacional. tiempo. es decir. Al contrario que la inercia. entonces. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. Las fórmulas para los segundos momentos de área en torno a los ejes X y Y son. teniendo en cuenta la geometría espacial. que únicamente aporta al sistema una inercia adicional de modo que le permite almacenar energía cinética. la dirección y sentido de las fuerzas y del movimiento. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. Este volante continúa su movimiento por inercia cuando cesa el par motor que lo propulsa. Esta Primera Ley de Newton o Ley de Inercia introduce o establece muchos conceptos de golpe. se utiliza el volante para suavizar el flujo de energía entre una fuente de potencia y su carga. El momento de inercia es. el volante de inercia se opone a las aceleraciones bruscas en un movimiento rotativo. El Momento de Inercia: Se define como un elemento totalmente pasivo. Un análisis matemático de este tipo de problema siempre conduce a una integral de segundo momento del área. es una medida cuantitativa de la distribución del área respecto a los ejes del momento. Una relación entre las ecuaciones anteriores es: Jz = Ix + Iy En ocasiones.I x y 2 dA . y la integral I z r 2 dA Se conoce como momento polar de inercia del área. para distinguirlo del correspondiente a un área se denomina muy a menudo momento de inercia de masa. El momento de inercia de un volumen es un momento de inercia verdadero porque un volumen tiene masa. las integrales de inercia son: I x y 2 z 2 dm I y x 2 z 2 dm I z x 2 y 2 dm En la actualidad numerosas líneas de investigación están abiertas a la búsqueda de nuevas aplicaciones de los volantes. Sin embargo. el momento de inercia se expresa en la forma I = k²A Aquí. k se conoce como radio de giro. En el caso de un volumen. Algunos ejemplos de dichos usos son: .y I y y 2 dA En este caso Ix e Iy recibe el nombre de momentos rectangulares de inercia. En los ferrocarriles eléctricos que usan desde hace mucho tiempo un sistema de freno regenerativo que alimenta la energía extraída del frenado nuevamente a las líneas de potencia. Absorber la energía de frenado de un vehículo. entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el CG y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Este eje puede . Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia del una forma compleja. pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Como dispositivos para suavizar el funcionamiento de instalaciones generadoras de energía eléctrica mediante energía eólica y energía fotovoltaica. Cálculo del momento de Inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia. de modo que se reutilice posteriormente en su aceleración. Si el objeto está montado sobre soportes. es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. normalmente una lámina metálica semiconductora llamada célula fotovoltaica. con los nuevos materiales y diseños se logran mayores rendimientos en tales fines. Si el objeto vuela en el espacio. Nota: La energía fotovoltaica es un tipo de electricidad renovable obtenida directamente de los rayos del sol gracias a la foto-detección cuántica de un determinado dispositivo. el eje está definido por la línea central de los soportes. Selección de la posición de los ejes de referencia Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad. se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. así como de diversas aplicaciones eléctricas industriales. la cantidad debe ser dividida por el valor apropiado de "g". donde la libra se refiere al peso del objeto. y de hecho. su signo depende de la elección de los ejes de referencia. Esto lleva a usar unidades de momento de inercia como lb. ya que la masa sólo puede ser positiva.ser trasladado. en los EEUU. Los valores del momento de inercia. más que a su masa. confirmará si se están usando las unidades correctas. Signo / polaridad de momento de inercia Los valores del centro de gravedad pueden ser positivos o negativos. un objeto que pesa 1libra. tiene 1libra de masa.x Cuando las lb. a otro eje si se desea. un análisis dimensional. son: 2 m. La siguiente tabla muestra algunas de las unidades utilizadas en la actualidad para el MOI y el POI: UNIDAD COMENTARIOS . para que sean dimensionalmente correctos en cálculos de ingeniería.in². no puede ser la unidad de masa. utilizando las reglas descritas en el apartado "Teorema de los ejes paralelos".in² o las lb. No obstante. sólo pueden ser positivos. ya que esto violaría la segunda ley de Newton. De nuevo. Si la unidad de peso es la libra. más tarde. Unidades del Momento de Inercia En los Estados Unidos.ft² se usan para definir el momento de inercia o la polaridad del mismo. Las unidades correctas del momento de inercia. la palabra "libra" se utiliza para designar tanto el peso como la masa. por razones ancestrales. debe dividirse por g = 386.in. dimensionalmente correcto Las unidades más utilizadas en los EEUU. lb.ft² .s² lb = peso.in² lb.088 in/s² lb in s² = distancia x peso / g. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan en las siguientes unidades. dimensionalmente correcto Slug.m² . entonces. alrededor de un eje es: I = Mr² donde: I = MOI (slug ft² u otras unidades de masa longitud) M = masa del elemento (slug u otra unidad de masa) r = distancia de la masa puntual al eje de referencia. de una masa puntual. REGLA 1.lb.in². peso / g = masa.in. son las lb.s² .s² REGLA 2.in.in² Calculando el momento de Inercia El Momento de inercia (a veces llamado el segundo momento). pueden ser utilizadas directamente en cálculos de ingeniería: slug. dimensionalmente correcto Kg. Si el momento de inercia o el producto de inercia se expresan en las siguientes unidades.m² Kg = masa.in². lb.ft² slug = masa. oz. Kg. lb. .ft². incluso siendo dimensionalmente incorrectas. sus valores deben ser divididos por el valor apropiado de "g" para hacerlos dimensionalmente correctos. oz. Su momento de Inercia combinado es M r². la definición general es: I= r 2 Fórmula básica . En estos ejemplos. el radio de giro es r. la masa está localizada a una distancia r del eje de referencia. separadas una distancia de 2 r. Como primer ejemplo. así que el momento de Inercia es Mr². El segundo ejemplo muestra un tubo fino de radio r. El eje de referencia pasa a través del punto medio (CG).Radio de giro El momento de inercia de cualquier objeto. Por simetría. el centro de gravedad cae sobre el eje central. De nuevo.Para varias masas puntuales o una masa distribuida. Las masas tienen cada una un momento de Inercia de M r² / 2. considérese un cuerpo consistente en dos masas puntuales de masa M / 2. puede ser expresado por la fórmula: I = M k² donde: I = momento de inercia M = masa (slug u otra unidad de masa dimensionalmente correcta) k = longitud (radio de giro) (ft) La distancia (k) se llama radio de giro y se refiere a la distribución de masas. . es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. el valor puede determinarse usando el teorema de los ejes paralelos: Ia = I + d² M. que pasa por el (CG). y el teorema de los ejes paralelos se usa para determinar el momento de Inercia total del vehículo con estos componentes montados en el lugar apropiado." Teorema de los ejes paralelos Si en el ejemplo anterior hubiésemos querido determinar el momento de Inercia del objeto alrededor del eje Xa en lugar de alrededor del eje X. el momentote Inercia de cada componente del cohete. . El offset "d" es la distancia del (CG) del componente a la línea central del cohete.Esto nos lleva a la siguiente definición: "El radio de giro de un objeto. entonces. Entonces. respecto de un eje que pasa a través del (CG). I = k² M Ia = M (d² + k²) El teorema de los ejes paralelos. Primero se mide o se calcula alrededor del eje que pasa por el (CG). Como. El radio de giro es siempre medido desde el (CG). se usa frecuentemente al calcular el momento de Inercia de un cohete u otro dispositivo aeroespacial. A muchos cuerpos. por ejemplo. Si se pueden pesar estos cuerpos y localizar su centro de masa. se les da una forma tal que se puede suponer que sus masas están en un solo plano. por ejemplo. Por lo común no resulta necesario hacer una perforación para suspender el cuerpo. observando el comportamiento dinámico del cuerpo en respuesta a una entrada conocida. por ejemplo. es factible suspenderlos como un péndulo y hacerlos oscilar. la pieza se debe suspender más o menos cerca del centro de masa. pero no en coincidencia con éste. Entonces se puede calcular el momento de inercia de este tipo de cuerpos basándose en la observación de su período o frecuencia de oscilación. Para este tipo de problemas por lo general resulta factible determinar el momento de inercia.Medición del Momento de Inercia Con frecuencia. Considérese. una rueda o engrane dentado se puede suspender sobre una cuchilla en el borde. la forma de un cuerpo es tan compleja que es imposible calcular el momento de inercia. el problema de hallar el momento de inercia de un automóvil. . bielas y manivelas. en torno a un eje vertical que pase por su centro de masa. Como se ilustra en la figura 1a. mg ( rGsen ) . Entonces la ecuación se puede escribir: mg. una fuerza de gravedad mg actúa en G. El movimiento del péndulo se iniciará desplazándolo un ángulo pequeño o y soltándolo t 0 0 desde esta posición. Por ende..rG I0 C1 Sen mg.rG I0 t C 2 Cos t + Donde. C1 y C2 son las constantes de integración. se desplaza un ángulo . Mo = . . así se encuentra C1 = 0 y C2 = . + --------- =0 Io Esta ecuación diferencial tiene bien conocida solución mg. Sustituyendo estas condiciones en la ecuación y su primera derivada permite evaluar las 0 constantes. Por consiguiente. Al sumar los momentos en torno a da: . de modo que sen se pueda sustituir por .. cuando y .rG .Cuando el cuerpo de la figura 1a.Io =0 El objetivo es que el péndulo oscile describiendo sólo ángulos pequeños. En la figura 1b. Se define una rigidez a la torsión kt de la varilla o alambre como el momento de torsión necesario para torcer la varilla en un ángulo unitario. Cos t t IG Así pues. Se hace girar describiendo cualquier ángulo y luego se suelta..rG I0 C 2 Cos t Puesto que una función coseno se repite cada 360°. la ecuación del movimiento se convierte en . el período de oscilación es . el período del movimiento en segundos es: I0 T 2 mg. Si la inercia de la figura 1b. kt . La inercia I se conecta a un alambre o una varilla delgada en el centro de masa de la inercia. mg. 0 IG De igual manera como se hizo con las ecuaciones anteriores se llega a k 0 .rG Esta ecuación indica que se debe ajustar el peso del cuerpo para que sea mg. Se muestra como puede determinarse el momento de inercia sin pesar el cuerpo en realidad. se debe medir la distancia rG y luego debe suspenderse el péndulo y hacerse oscilar de manera que se pueda observar el período T. (Borde del volante). Se subió la masa girando el volante un número determinado de vueltas. (t1) 8. Se montó el volante en su eje horizontal. Se midió la distancia a la cual quedo la masa con respecto al suelo. se soltó el volante dejando caer la masa desde su estado de reposo 7. 4. 3. Se contó y registró el número de vueltas que da el volante mientras oscila para llegar a su estado de reposo . Se dejó que la masa alcanzara el suelo y se marca esta posición en el volante y un punto fijo del banco de pruebas. (n1= 2 vueltas) 5. 2. I T 2 G kt Por lo general se conoce la rigidez a la torsión o se puede calcular a partir del conocimiento de las dimensiones de la varilla y su material. se midió y se registró el tiempo que tardó el volante para volver otra vez a su estado de reposo. (t2) 9. (h=109cm). donde giró libremente. En ese punto. Se midió y se anotó el tiempo que tardó la masa en llegar al suelo. Parte Experimental 1ª PARTE (MOMENTO DE INERCIA) Procedimiento: 1. Se amarró la cuerda con la masa a la clavija del volante. 6. Cuando llego al suelo. 04+3.86 seg 3 n2= ( 18+18.5+19.52seg 18.32 seg 19. De la práctica se obtuvo los siguientes datos: n1=2 vueltas h=105 cm ∅ esf =2.10.5 ) seg =18.76 seg 3 t2 = ( 3 8.52+ 4.76+ 37.5 Experimento 3 3. se parte de la siguiente Ecu.5 A partir de estos datos promediamos lo que es t1.04 seg 37. 1 1 mgh= mV 2 + I W 02 2 2 Donde V es la velocidad angular de la masa “m”. resulta: t1 = ( 3.52 seg 38.72seg 37. y la altura h. cuando alcanza el suelo y viene dado: .32 ) seg =37.72 ) seg =3. Se midió el diámetro de la esfera sujeta al volante.76 seg 18 Experimento 2 4. 11.52+37. t2 y n2 Al promediar los valores.53 cm Medida t1 t2 Nº vueltas(n2) Tabla nº 1 Experimento 1 3. Se repitió el procedimiento tres veces y se promediaron los valores obtenidos.66 vueltas 3 Ahora determinamos el momento de inercia. 76 seg V =55 .V= 2h t1 Sustituyendo valores: V= 2 (10 5 cm ) 3. v=0.3171 Para obtener el momento de inercia con respecto al peso.66 ) ( 37.66 /37.86 ) W 0=0. se multiplica la ecuación de la energía por la gravedad g y de despeja el producto I*g=Iw 1 1 m g2 h= mV 2 + Ig W 02 2 2 Despejando: Ig= 1 2 m g2 h− m gV 2 2 ( W0 ) 2 Se desconoce la masa m.76 ) ) ( 18. está dada por la ecuación: W 0= 2n 2 t 2 ( 1+ ( n 1 /t 1 ) ) ( n2 /t2 ) Sustituyendo valores: W 0= 2× ( 18. 8 5 cm seg .5585m/deg W 0 Es la velocidad angular media para que la rueda llegue al reposo.86 ) × ( 1+ ( 2/ 3. se puede calcular a través de la densidad . d= m v Para la esfera: ∅ esf =253 mm=2.545 m/ s ) 2 ( ( 0.06656 kg ) ( 9.81 m / s ) ( 0. 4793 cm3 3 cm m=0. v=0.26 5 cm )3 3 Vesf =8. Densidaddelacero=7850 Despejando la masa: kg kg =0.81 m / s ) ( 1. 4793 cm 3 De igual manera conociendo la densidad del acero con que está hecha la esfera podemos resolver la ecuación y buscar la masa.00785 3 3 m cm m=d .06656 kg ) ( 9.5 3 cm 4 Vesf = π r 3 3 4 Vesf = π ( 1.35006 )2 ) .00785 kg ×8.06 656 kg Al sustituir valores: Ig= Ig= 1 2 m g2 h− m gV 2 2 ( W0 ) 2 2 1 2 2 2 2 ( 0.09 m )− ( 0. Se colocó la barra de sección circular entre la mordaza del volante y un punto fijo de banco (mordaza estacionaria). Se montaron las crucetas al volante. los siguientes datos: Diámetro barra= 6.8 mm= 0.5 18 17 L3= 45 cm 18 18 17 .5 17 Tabla nº 2 Promediando: Para L1= 37 cm N º Oscilaciones= Para L2= 41 cm 19+18. 4.5+18 =18. 5. Se repitió el procedimiento tres veces y para tres longitudes diferentes de la barra.5 kg m Ig=113. Se hace oscilar el volante durante un tiempo determinado y se cuenta el número de oscilaciones.68 cm SE MIDIERON LAS OSCILACIONES DURANTE UN TIEMPO DE 10 SEG (t=10 seg) OSCILACIONES Nº Oscilaciones Nº Oscilaciones Nº Oscilaciones L1= 37 cm 19 18.5 oscilaciones 3 L2= 41 cm 18. 2. 3.48929 2 s 2ª PARTE (OSCILACION TORSIONAL) Procedimiento: 1. Se obtuvo de la práctica. Se midió la longitud y diámetro de la barra. 00 oscilaciones 3 Quedarían los siguientes valores.54054 seg .6239 Para L2= 41 cm rad seg =0. τ= 2π ωn Para L1= 36cm τ= 2π = ωn 2π 11.00 oscilaciones 2 π rad rad × =10. 6814 10 seg 1 oscilacion seg Para el cálculo del período.4 11 10 seg 1 oscilacion seg Para L3= 46 cm ω n= 17. a calcular las frecuencias durante un tiempo de 10 seg: Para L1= 37 cm ω n= 18.16 oscilaciones 2 π rad rad × =11.16 oscilaciones 3 Para L3= 45cm N º Oscilaciones= 17+17+17 =17.5 oscilaciones 2 π rad rad × =11.623 9 10 seg 1 oscilacion seg Para L2= 41 cm ω n= 18. se puede utilizar la siguiente ecuación.5+18+18 =18 .N º Oscilaciones= 18. 2676 seg rad seg 0.5769 seg 0.5506 seg 0.411 seg =0.3086 seg 2 0.54054 seg 0.6814 rad seg Tabla nº 3 2 .6814 seg =0.5506 seg Para L3= 46 cm τ= 2π = ωn 2π rad 10.6239 11.5769 seg Ordenando los valores en la siguiente tabla: Longitudes Frecuencias (Wn) Períodos ( τ ) Período al 2 cuadrado( τ ) L1= 37 cm L2= 41 cm L3= 45 cm rad seg 0.τ= 2π = ωn 2π rad 11.3328 seg 2 11.411 10. Wo: Wo=0.1 0.(τ^2 vs L) 0.2 Período alcuadrado τ^2(seg^2) (τ^2 vs L) 0.35006 Wo=2 . 1995 vueltas 2 πrad rad · =2.05 0 36 41 46 longitud L(m) Velocidad angular del volante.3 0.35 0.15 0.1995 seg 1 vuelta seg rad seg Para calcular la inercia “Iw” se tiene que multiplicar por g en la ecuación de energía y luego despejar de esta: 1 2 1 2 m· g ·h= m· V + I ·Wo multiplicandoporgqueda : 2 2 1 1 m· g2 · h= m· g · V 2 + I · g · Wo2 2 2 .25 0. 81 · 0.064223 kgm · 9.09 m− ·0.8378 seg 2 I w =2 .297 ) 2 seg 4 seg 2 seg2 rad 2 4.746 N · m2 Periodo teórico Usaremos la ecuación T =2 π · √ Iw ·L G· J · g Donde las variables G. La J se calculara ahora y la L variara para varios resultados de T. g ya se conocen. .Donde I·g = Iw 1 2 2 1 2 m· g · h= m· g · V + I w · Wo 2 2 Despejando Iw se tiene que: 1 2 2 2 ·(m · g · h− · m· g · V ) 2 I w= Wo 2 2 ·(0.064223 kgm · 96.2361 I w= m2 1 m m2 · 1. Iw. 5516 seg Para L2 = 0.0064 m ¿ ¿ π 4 π J= ·d = ·¿ 32 32 J =1.938 ·1010 N/m2 g = 9.81 m seg 2 T =0 .647 · 10−10 m4 G = 7.746 N · m para L1 = 0.0.647 ·10−10 m4 · 9.81m/seg2 2 Iw = 2 . 746 N · m2 · 0. 5889 seg para L3 = 0.36m T =2 π · √ 2 .938 ·1010 2 · 1. 746 N · m2 · 0.647 ·10−10 m4 · 9.46m .938 ·1010 2 · 1.36 m N m 7.41 m N m 7.41m T =2 π · √ 2.81 m seg 2 T =0 . 6235 seg Longitud (L) Períodosteórico ( τ ) Períodoteórico al 2 cuadrado( τ ) 36cm 0.3043 seg 41cm 0.6235 seg 2 0.3887 seg Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L 0.1 0.√ 2 .15 0.5889 seg 2 0.81 2 m seg T =0 .25 Período teorico al cuadrado τ^2(seg^2) 0.4 0.36000000000000032 longitud L(m) Período teorico al cuadrado(τ^2) vs L . 746 N · m2 · 0.45 0.3 0.647 ·10−10 m4 · 9.46 m T =2 π · N m 7.5516 seg 2 0.3468 seg 46cm 0.2 0.05 0 0.35 0.938 ·1010 2 · 1. Conclusión Se concluye en la manera que los periodos de vibración “T” eran directamente proporcionales a la longitud “L” para el caso de periodo teórico. A medida que se aumentaba “L” iba a aumentar lógicamente el periodo “T”. Para el caso experimental este (el periodo “T”) es inversamente proporcional a la frecuencia de vibración según la ecuación . “T” aumentaba porque la frecuencia de vibración es menor. Esto en otras palabras quiere decir que si la longitud “L” aumenta. Como se demostrara a detalle en la parte experimental. Sustituir esta “T” en la ecuación de frecuencia da que: Donde si se aumenta “L” la frecuencia disminuirá.shtml . Y si disminuye la frecuencia aumentara el periodo de vibración como es el caso para del periodo teórico.com/apuntes/ingenieria_mecanica/vibraciones mecanicas/ http://www. Bibliografía Teoría de vibraciones aplicaciones William Thomson Editorial: Prince Hall http://www.elprisma.com/trabajos81/vibracionesmecanicas/vibraciones-mecanicas.monografias.