GUÍA DE EJERCICIOSMAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 30 PRACTICA 5 (transformada de Fourier) Determinar la transformada Fourier de: 1 , ) , ) , ) 2 3 cos 1 1 ( ) : 4 0 1 sen w w w t t f t Rpta F w t w ¦ ÷ | | ÷ < ¦ = = ´ | > \ . ¦ ¹ 2 , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) 7 3 2 2 2 ( ) cos cos : 5 2 2 5 f t t t Rpta F w w w w w π δ δ δ δ = = + + + + ÷ + ÷ 1 ¸ ] 3 , ) , ) 2 2 2 2 ( ) : jw a w a t f t Rpta F w e a t π = = + 4 , ) 2 2 2 ( ) : a t a f t e Rpta F w a w ÷ = = + 5 , ) 2 2 1 ( ) : a w a f t Rpta F w e a t π ÷ = = + 6 , ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) : 2 t a w a f t Ae Rpta F w A a e π ÷ ÷ = = 7 , ) , ) , ) , ) , ) 0 2 0 0 1 1 ( ) cos : at A f t Ae u t w t Rpta F w a j w w a j w w ÷ 1 = = + + + + ÷ ¸ ] 8 , ) , ) , ) , ) 0 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) cos : a t f t Ae w t Rpta F w Aa a w w a w w ÷ 1 = = + + + + ÷ ¸ ] 9 , ) , ) , ) , ) 2 2 2 ( ) 1 : at w A aA f t A e u t Rpta F w j aw w π δ ÷ 1 = ÷ = + ¸ ] + 10 , ) , ) , ) , ) , ) 2 1 2 1 1 ( ) 4 : 2 4 2 4 t d f t t e sen t u t Rpta F w dt j w j w ÷ 1 1 = = ÷ ¸ ] + ÷ + + ¸ ] 11 , ) , ) , ) , ) , ) 2 1 1 2 0 2 ( ) : wT k k j k wT n sen wt f t t nT Rpta F w e sen δ ÷ ÷ ÷ = = ÷ = _ Hallar la transformada Fouriaer de las siguientes señales: 1 4 f x (t) A t coseno 2 2 7 2 5 8 GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 31 3 6 9 , ) , ) t x t e u t ÷ = , ) , ) , ) 2 2 cos 2 1: A wT A Rpta X w T jw ÷ = , ) , ) 2 cos 2 2: A wT A Rpta X w jw ÷ = , ) , ) , ) 1 1 2 2 2 4: sin sin A w w Rpta F w c c π + ÷ 1 = + ¸ ] , ) , ) 3 3 7 10 3 3 5 1 2 2 2 3 10 2 10 10 3 3: 10 sin wj w jw jw e Rpta X w c e e π ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + = 1 + ¸ ] , ) , ) , ) 2 2cos 2 2 5: w sen w Rpta F w jA w w 1 = + ¸ ] , ) , ) , ) 2 3 2 2 4 2 4 6: cos 1 jw jw w w A jw Rpta X w w e j e ÷ 1 = + ÷ ÷ ¸ ] , ) , ) 2 9: 1 jw Rpta X w jw = + , ) , ) , ) 2 2 4 4 8 7 : 4sin sin wT wT AT Rpta X w c c π π 1 = ÷ ¸ ] , ) , ) , ) 2 4 10 40 10 100 8: cos 1 2cos w A w w Rpta X w π π ÷ 1 = + ¸ ] Resolver los siguientes problemas 1. Calcular la transformada de Fourier de , ) , ) 0 ( ) cos f t u t w t = utilizando por la propiedad de modulación y por el teorema de convolucion en frecuencia. , ) , ) , ) 0 0 2 2 2 0 : jw Rpta F w w w w w w w π δ δ 1 = + + ÷ + ¸ ] ÷ 2. Calcular la transformada de Fourier de la funcion , ) f t y con este resultado, calcular la transformada de las siguientes funciones , ) , ) , ) , ) 1 2 3 4 , , , f t f t f t f t : , ) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 w w w w F w e P e P ÷ | | | | ÷ + | | = + | | \ . \ . 1 1 3 4 1 0 1 0 0 1 0 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( ) 0 otro caso 0 otro caso 0 otro caso 0 otro caso t t t t t t e t e t e t te t f t f t e t f t e t f t ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ¦ ¦ ÷ s s ÷ s s ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ s s s s = = s s = s s = ´ ´ ´ ´ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¹ ¦ ¦ ¹ ¹ , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 2 2 2 1 1 1 1 : 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 jw jw jw jw jw jw jw jt jt e e e F w F w e Rpta jw jw jw e F w e jwe e e F w f t jw jt jt jw π ÷ + ÷ ÷ ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = + = + + ÷ + ÷ | | = ÷ ÷ ÷ ÷ | = = + + | + ÷ + \ . Hallar el diagrama de magnitud y fase para: GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 32 1 2 ( ) 3 4 t f t P ÷ | | = | \ . 4 1 ( ) 3 3 t f t P ÷ | | = | \ . 2 5 , ) , ) , ) , ) , ) 4 1 ( ) 2 : 2 2 = ÷ | | = | \ . = ÷ sen w F w t w f t P Rpta w arctg tg w φ Mediante la transformada de Fourier de la señal generatriz, calcular los coeficientes de Fourier n x de las siguientes señales periódicas: 1 x(t) t -T T 2 T 2 , ) , ) 1 4 2 4 1 4 : 1 1 n A n n Rpta x e π ÷ + | | = ÷ ÷ | \ . 3 2 2 2 3 2 impar : 0 0 par A n n n Rpta x x A n π ¦ ¦ = = ´ ¦ ¹ Resolver los siguientes problemas 1. La señal periódica mostrada es la entrada a un filtro RC diseñar el filtro para eliminar los primeros cinco armónicos. Encuentre la amplitud de la respuesta al sexto armónico 2. Si la entrada al filtro de la figura es la señal: - Diseñar el filtro tal que el sistema no elimine los armónicos de frecuencia - Calcular la relación: potencia de señal de salida eliminada y potencia total de salida. 3. Encontrar el espectro de magnitud y fase de la señal periódica 4. Una señal en el tiempo , ) v t tiene transformada de Fourier que se muestra en la figura. Dibujar la transformada de Fourier de , ) 2 v t , , ) 2 v t y de , ) , ) cos v t t 5. Si , ) 10 t x t e ÷ = . Calcular el ancho de banda dentro de la cual este contenido el 80% de la energía de la señal. : 0.15056 Rpta B Hz = 6. La señal , ) , ) kt x t t e u t ÷ = se pasa por un filtro pasabajos de ganancia unitaria y ancho de banda B . Calcular el ancho de banda del filtro, a fin de que la energía de salida del filtro sea el 80% de la energía a la entrada. Expresar B en función de k . : 0.15056 Rpta B k Hz = 7. Si , ) , ) 2 sin 10 x t c t = . Hallar su espectro de energía y su energía total. GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 33 8. La salida , ) y t de un sistema LTI causal esta relacionado con la entrada , ) x t por la ecuación , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) , ) 10 3 t dy t y t x z d x t z t e t t dt τ τ τ µ δ · ÷ ÷· + = ÷ . = + } . - Encontrar la función de transferencia , ) H w - Determinar la respuesta al impulso del sistema 9. El modelo de un sistema es , ) , ) , ) , ) '' 8 ' 15 + + = x t x t x t y t . Hallar: • ( ) h t y , ) H w • Determinar la salida si , ) ÷ = t x t e 10. Un sistema estable tiene respuesta en frecuencia: , ) , ) , ) 3 2 4 2 5 6 jw H w w jw jw + = ÷ ÷ + ÷ Determinar: - La ecuación diferencial que relaciona la salida con la entrada - La respuesta al impulso - Cual es la salida si , ) , ) , ) 4 4 t t x t e t e u t ÷ ÷ = ÷ 11. Dado un sistema causal y estable representado por: , ) 2 4 6 5 + = + ÷ jw H w jw w Determinar - La ecuación diferencial que relaciona la salida con la entrada - La respuesta al impulso (la función del sistema ( ) h t ) - Cual es la salida si la entrada es la componente par de , ) 0 1 0 ÷ ¦ ¦ s s = ´ ¦ ¹ t e t x t otros - Cual es la salida si la entrada es la componente par de , ) , ) , ) 4 1 ÷ = ÷ t x t t e u t 12. Si la entrada a un rectificador de onda completa es , ) , ) 0 a t sen w t siendo , ) 0 > a t hallar su salida , ) Y w en función de , ) , ) ¦ ; = A w a t F 13. Si un sistema representado por , ) , ) = y t x t tiene entrada , ) , ) 0 a t sen w t con , ) 0 > a t hallar la densidad espectral de energía en términos de , ) , ) ¦ ; = A w a t F 14. Hallar la respuesta a una entrada , ) , ) 0 cos x t w t = de un sistema cuya función es: , ) 0 0 0 0 j j e w H w e w θ θ ÷ ¦ > ¦ = ´ < ¦ ¹ , ) , ) 0 0 : cos Rpta y t w t θ = ÷ 15. Hallar la respuesta a una entrada , ) , ) 5 2 x t u t = ÷ de un sistema cuya función de transferencia es: , ) 2 1 10 1 1 jw H w e jw ÷ | | = ÷ | + \ . , ) , ) , ) 4 : 10 4 t Rpta y t e u t ÷ ÷ = ÷ 16. Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es ( ) h t y la entrada ( ) x t hallar el espectro de frecuencia de la salida 0 ( ) y t , ) , ) ( ) ( ) t t h t t e u t x t e u t ÷ ÷ = . = GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 34 17. Utilizar la convolucion para encontrar: , ) , ) , ) 1 1 1 2 x t jw jw ÷ ¦ ¹ ¦ ¦ = ´ ` + + ¦ ¦ ¹ ) F 18. Sea , ) ¦ ; , ) , ) , ) , ) 5 = = + ÷ + ÷ x t X w w w w δ δ π δ F y , ) , ) , ) 2 = ÷ ÷ h t u t u t : • ¿ , ) x t es periódica? • ¿ , ) , ) - x t h t es periódica? • ¿puede ser periódica la convolucion de dos señales periódicas? 19. Para el sistema LTI cuya respuesta a la entrada , ) x t es una salida , ) y t Encontrar: - La respuesta en frecuencia. - La respuesta al impulso - La ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida de este sistema , ) , ) , ) , ) , ) , ) 3 4 2 ÷ ÷ ÷ ÷ = + . = ÷ t t t t x t e e u t y t e e t µ Hallar la transformada inversa de Fourier si: 1 , ) , ) , ) 2 2 1 1 2 2 1 w w F w arcsen arcsen j π π = ÷ ÷ + 10 , ) , ) 2 3 F w sen w = 2 , ) , ) 2 2 2 w jw sen F w e jw ÷ = + 3 , ) , ) , ) , ) , ) , ) 2 1 : 1 2 t t F w Rpra f t e e u t jw jw ÷ ÷ = = ÷ + + 4 , ) , ) , ) , ) 2 2 2 2 6 2 3 : 1 4 w w F w e e Rpra f t t t π π ÷ ÷ = + = + + + 5 , ) , ) , ) 2 4 2 : 1 j t w F w Rpra f t te w ÷ = = + Para las siguientes funciones esquematizar los diagramas de magnitud y fase. 1 , ) , ) , ) 10 cos 100 t f t e u t t ÷ = 3 , ) , ) , ) , ) 2 1 cos 10 t f t t P t = ÷ 2 , ) , ) , ) 2 2 2 cos 10 t f t arcsen t π = 4 , ) , ) , ) 4cos 10 cos 100 f t t t = Hallar la representación de la función en el tiempo a partir de los diagramas: 1 3 2 4 GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 35 7 , ) , ) , ) 2 2 : A T T Rpta f t jsen t Sa t π = ÷ 12 , ) , ) , ) : 2 T Rpta f t Sa T t π = + Determinar , ) h t , La función de transferencia, la ecuación diferencial que relaciona la entrada y la salida y la respuesta al impulso de: 1 } 2 y(t) } A jw x(t) Retardo T=10u sg + 3 y(t) A jw x(t) Retardo T + } } 4 5 8 + X(w) Y(w) + 1 jw+1 1 jw+1 1 jw + + 1 jw+1 1 jw+1 1 jw+1 GUÍA DE EJERCICIOS MAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta 36 , ) , ) , ) , ) , ) 2 4 3 2 1 : 3 3 1 ÷ = + + + jw Rpta H w jw jw jw Para los siguientes circuitos hallar lo pedido: 1 i(t) 1 2 1 1 2 v 0 (t) - + , ) j ¦ , ) , ) , 2 = ÷ ÷ . = + i t t i t i t π π π π 3 v i (t) 2 1 1 3 i(t) , ) j ¦ , ) , ) 2 , 2 = ÷ . = + i i i v t t v t v t π π π 2 0 8 4 = = T w π