Laboratorio de Procesamiento Digital de Señales.Operaciones con señales discretas con MATLAB. Objetivos específicos • • • Realizar operaciones de suma, rest a , energía y potencia con señales de tiempo discreto. Realizar la convolución discreta de dos señales adquiridas por la tarjeta de sonido. Realizar la autocorrelación discreta de dos señales adquiridas por la tarjeta de sonido. Materiales y equipos 1 Computadora con sistema operativo Windows y MATLAB. 1 Micrófono para PC 2 Parlantes Introducción teórica Las señales se pueden clasificar por su duración, por su simetría y por su energía y potencia. Para esta última clasificación tenemos: ∞ • Energía de una señal: • • • Ex = Potencia de una señal: Px = ∫ 2 x ( t ) dt −∞ lim T0 →∞ 1 T ∫ x (t ) dt 0 T0 Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo. Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que implica que Ex es infinito. Ej. Una señal periódica. Operaciones con las señales: • Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desplazamiento a la derecha. • Compresión del tiempo: x(2t) • Dilatación del tiempo: x(t/2) • Reflexión: x(-t) La convolución: Mediante la convolución calcularemos la respuesta de un sistema (y(t)) a una entrada arbitraria (x(t)). Hay dos condiciones para realizar la convolución: • El sistema debe ser lineal invariable en el tiempo (LTI). • La respuesta al impulso del sistema es h(t). Mediante convolución somos capaces de determinar la respuesta del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a una entrada impulso. Por tanto. pues. El área es. se evaluará el área de la función x(λ) h(t-λ). Para realizar la convolución entre dos señales. Alineamos las secuencias y las sumamos y desplazamos sucesivamente. que llamaremos xs[k] y hs[n-k] (donde n y k son enteros) . una de las secuencias se refleja y se desplaza sucesivamente. • Los valores más recientes de x(t) son multiplicados por sus correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).La función h(t) se define para t ≥ 0 y decrece cuando t → ∞ para la mayoría de los sistemas físicos. x[n]={ 4.5.1. ts =1/2. disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo nts. • La respuesta en t0 depende de los valores actual y pasado de la entrada y de la respuesta al impulso. Las dos secuencias comienzan en n=0. 1.0.4 }. Para ello. x[-n]={ 3. una aproximación numérica. . ∞ ys [ n] = ∞ ∑ t x [k ]h [n − k ] = t ∑ x [k ]h [ n − k ] k =−∞ s s s s s k =−∞ s La convolución discreta se define para un intervalo de muestreo ts =1 : ∞ ys [ n] = x [ n ] * h [ n] = ∑ x [ k ]h [n − k ] s s k =−∞ En la práctica se trabaja con secuencias de longitud finita. Veremos algunos métodos para calcular la convolución a partir de dos secuencias. 4 } . Método de la tira deslizante (Sliding Strip Method) Sea h[n]={ 2. Para hacer la convolución. Es necesario.3 }. Hacemos el “reflejo” de una de ellas. Propiedades de la convolución (se supone que x(t)* h(t)= y(t) ): x1 (t ) + x2 (t ) * h (t ) = y1 (t ) + y2 (t ) K1 x1 (t ) + K 2 x2 (t ) * h (t ) = K1 y1 (t ) + K 2 y2 (t ) x (t ) * h (t − α ) = y (t − α ) x (t − α ) * h (t − β ) = y (t − α − β ) δ (t ) * h (t ) = h (t ) x ( t ) * h′ ( t ) = x′ ( t ) * h ( t ) = y ′ ( t ) x ′ ( t ) * h′ ( t ) = y ( t ) x m (t ) * h n (t ) = y m + n (t ) 1 x ( α t ) * h ( α t ) = y ( αt ) α La Convolución Discreta: Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que sólo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. por tanto. Método de las Suma por Columnas Hacemos el mismo ejemplo. . 1.22..2. Para dos secuencias de duración M y N..4.11. El índice del comienzo de la convolución es la suma de los índices de comienzo de las respectivas señales...31.12} . Si las dos señales comienzan en n= n0 y n= n1 .. 1. n 0 h x 25 4 1 8 20 2 y 1 2 3 4 5 04 3 0 16 5 0 4 6 15 0 12 8 22 11 31 4 12 y[n] = {8.31.5.4. la convolución comienza en n= n0 +n1 .22..15.12}.5..12}. n=0. 5 Método de la malla. su convolución se extiende durante M+N-1 muestreos.11. No es necesario “reflejar” una de las secuencias.5 t = 3ts 2 5 0 4 t = 4ts 2 5 0 4 t = 5ts 2 5 0 4 3 1 4 0 15 0 16 Suma 3 1 4 0 0 0 4 0 Suma 0 0 0 12 Suma t=0 h k h k 2 5 0 4 3 1 4 0 0 La convolución discreta y[n] es {8. 2. n=0.5.31.4.11.t = ts 2 5 0 4 t = 2ts 2 5 0 4 3 1 4 0 0 8 0 0 0 Suma = 8 ys[0]=8*½=4 3 1 4 0 2 20 0 0 Suma = 22 ys[1]=22*½=11 3 1 4 6 5 0 0 Suma = 11 ys[2]=11*½=5. La convolución numérica es {4.22. 5 Propiedades sobre la duración de la convolución discreta. y[n] = {8. 2.11.6}.. t).Propiedades de la convolución discreta ( x[n]* h[n]= y[n] ) ∞ y [n ] = ∑ x [k ] h [ n − k ] k =−∞ [ Ax1 + bx2 ] * h = y1 + y2 x [ n ] * h [ n − α ] = x [n − α ] * h [ n ] = y [n − α ] x [n − α ] * h [ n − β ] = y [n − α − β ] δ [n ]* h[ n ] = h[ n] h [ n ] = δ [ n ] * h [ n ] = {u [ n ] − u [n −1]} * h [ n ] = yu [ n ] − yu [ n −1] ∞ u [ n ]* x [n ] = ∑ x [ k ] k =−∞ {x [n] − x [n −1]} * h [n] = y [n ] − y [n −1] La correlación y la autocorrelación: Correlación: Es una operación similar a la convolución. La correlación discreta: Se definen de igual manera que en el caso continuo. El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento (t=0). . así como la autocorrelación. ya que Rxx(t) = Rxx(. La autocorrelación es simétrica con respecto al origen. con la diferencia de que en la correlación no hay que “reflejar” una de las señales: ∞ Rxy (t ) = x (t ) **y (t ) = ∫ x (λ )y (λ − t ) d λ = x (t )* y (−t ) −∞ Esta expresión nos indica que la relación que existe entre la convolución y la correlación. La correlación nos da una medida de la similitud entre dos señales. No existe la propiedad conmutativa por lo que dadas dos señales x(t) e y(t) se definen dos correlaciones: ∞ Rxy (t ) = x (t ) **y (t ) = Ryx (t ) = y (t ) **x (t ) = ∫ x ( λ )y ( λ − t ) d λ −∞ ∞ ∫ y (λ ) x (λ − t ) d λ −∞ que sólo coinciden en t=0: Rxy(0)= Ryx(0) La correlación de una señal consigo misma se denomina autocorrelación: ∞ Rxx ( t ) = x (t ) **x (t ) = ∫ x (λ ) x ( λ − t ) d λ −∞ La autocorrelación representa la similitud entre una señal y su desplazada. ±1.1). 3. Realice la suma y la resta de ambas señales y guarde los resultados en las variables suma y resta respectivamente. Parte II. y) Hace la correlación de los vectores de M elementos x e y. h) Hace la convolución de los vectores x y h. Devuelve un vector de 2M. ±2. >> rxx = xcorr(x) Hace la autocorrelación del vector x de M elementos.∞ Rxy [ n ] = ∑ x [ k ] y [k − n ] para n=0.1 elementos. ai.SamplesPerTrigger=40000. ±3. PROCEDIMIENTO Parte I. Devuelve un vector de 2M. ai.1 elementos.t]=getdata(ai). Operaciones con señales digitalizadas con la tarjeta de sonido. Capture dos señales desde la tarjeta de sonido. >> y = conv(x. Puede usar la siguiente función (32 bits): ai=analoginput('winsound') addchannel(ai. ±1.TriggerType='Immediate'.SampleRate=8000. ±3. una llámela s1 y la otra s2.1 >> rxy = xcorr(x. ai. … n=−∞ MATLAB dispone de dos funciones para el cálculo de convoluciones y correlaciones. 2. . start(ai) [s1. Adquiera dos señales de voz diferentes. … n=−∞ ∞ Ryx [n ] = ∑ y [ k ] x [k − n ] para n=0. Generación de una señal en MATLAB 1. El vector resultante y tiene un tamaño igual a length(x)+ length(h). ±2. muestre el espectro en frecuencia de cada una de las señales. Busque en el archivo de ayuda de la caja de herramientas de adquisición de datos los comandos necesarios para reproducir una señal en la tarjeta de sonido y reproduzca las señales resultantes de la suma y la resta. Bibliografía • The MathWorks Inc. 3.3 segundos en el tiempo una de las señales adquiridas y súmela con la misma sin desplazar y reproduzca la señal resultante. Manual del usuario de MATLAB. 2. apague todo el equipo y desconecte los circuitos. . Desplace 0. Investigación complementaria 1. Explique cómo realizar la convolución de dos señales contínuas. Utilice la función de autocorrelación integrada en MATLAB para encontrar la autocorrelación de las señales s1 y de la señal s2. Análisis de resultados 1. 3. 4. Salga de los programas. 2.4. Aplicando las funciones integradas en MATLAB. Presente las funciones que creó para el cálculo de la energía y la potencia y la convolución con Matlab. ¿Qué obtiene como resultado? Presente las gráficas obtenidas en la práctica con sus respectivos nombres y títulos. 5. Cree una función que calcule la reflexión de una señal discreta.
Report "Practica 3 Operaciones Con Funciones Discretas Con MATLAB"