1 Cálculo de Probabilidades1. Explique si los modelos representativos de las siguientes experiencias conviene hacerlos determinís- ticos o estadísticos (aleatorios o estocásticos) a) Resultado de la fórmula de distancia recorrida por una maceta en caída libre desde un balcón calculada a partir del dato del tiempo transcurrido. b) Distancia recorrida por una maceta desde un balcón en caída libre medida en forma directa. c) Diámetro de un eje. d)Tiempo empleado para ir de Constitución a Mar del Plata por un tren según lo que dice la tablilla de horarios. e) Tiempo real empleado para ir de Constitución a Mar del Plata por el tren que parte 8 hs de la estación. f) Resultado económico luego de 10 jugadas de ruleta. g) Aumento de precios de la carne en el próximo mes. h) Bene…cio de una empresa en el mes. i) Cantidad de asistentes a una obra teatral un día de función. j) Presión de un gas a partir de las mediciones de masa, volumen y temperatura. k) Ubicación del lugar impacto de un misil desde un portaviones del Golfo Pérsico con dirección a Irán. l) La temperatura del día de mañana si conozco el pronóstico del tiempo. m) Tiempo necesario para programar una base de datos especí…ca. n) Tiempo de espera de un colectivo 96 en la puerta de la universidad. 2. Un motor puede tener 3 tipos de inconvenientes: A:aceite sin viscosidad, B: bujías desgastadas, C: …ltro de aire tapado. El 40% tiene inconveniente A el 30% B y el 20% C . El 15 % tiene defectos A y B , el 10% A y C , y el 5% B y C . El 2% de los motores presentan los 3 tipos de inconveniente. Hallar las probabilidades de que un motor: a) tenga inconvenientes A y B (Rta: 0,13). b) Tenga algún inconveniente (Rta: 0,62). c) No tenga inconveniente (Rta: 0,38) d) Tenga solamente inconveniente A (Rta: 0,17). e) Tenga solamente un inconveniente (Rta: 0,36) f) Tenga a lo sumo un inconveniente (Rta: 0,74) g) Tenga más de un inconveniente (Rta: 0,26). h) Que un motor con …ltro de aire tapado tenga además bujías desgastadas (Rta: 0,03) i) Que un motor con inconvenientes tenga bujías desgastadas (Rta: 0,4838) 3. En un hospital se ha estudiado la efectividad de una prueba para detectar el cáncer con 3000 voluntarios, de los cuales 1000 son enfermos de cáncer y 2000 son personas sanas, obteniéndose los resultados que se muestran en la siguiente tabla: Test (+) Test (-) Total padece cáncer 900 100 1000 no padece cáncer 20 1980 2000 Total 920 2080 3000 a) Si uno de estos sujetos padece cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva? b) Si la prueba de uno de estos sujetos es positiva, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una persona que padece cáncer? c) ¿Qué tipos de errores de diagnóstico pueden cometerse con esta prueba? ¿Cuáles son sus probabilidades de falsos positivos y de falsos negativos? d) Si se sabe que se cometió un error ¿cuál es la probabilidad de que sea en un persona enferma? 4. Un taxi se vio implicado en un accidente nocturno con choque y huida posterior. Hay dos com- pañías de taxis en la ciudad, la Verde y la Azul. El 85% de los taxis de la ciudad son Verdes y el 15% Azules. Hubo un testigo del accidente. El tribunal comprobó la …abilidad del testigo bajo las mismas circunstancias que había la noche del accidente y llegó a la conclusión de que el testigo identi…caba correctamente cada uno de los colores en el 80% de las ocasiones y fallaba en el 20%. 1 a) Sabiendo que el testigo identi…có el taxi como azul, ¿cuál es la probabilidad de que el taxi implicado en el accidente fuera en efecto Azul. b) ¿qué probabilidad se puede calcular utilizando la formula de la probabilidad total? ¿y con la fórmula de Bayes? Rta: a) 0,4138 5. La caja C1 contiene 3 bolillas negras y 5 blancas y la caja C2 tiene 1 bolilla negra y 9 blancas. Se elige una caja al azar de donde se extrae una bolilla y, sin mirarla, se la coloca en la otra caja. Luego se extrae al azar otra bolilla de esta última caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que esta bolilla sea negra? b) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primer caja haya sido C1? c) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la primer caja haya sido C1 y la bolilla extraída de allí haya sido blanca? d) Si es negra, ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción haya salido una bola blanca? Resp.: 0,2347; b) 0,2663; c) 0,121; d) 0,7602 6. Sea el espacio muestral o = ¦r. ¸. .. n¦ con equiprobabilidad. Para los sucesos ¹ = ¦r. ¸¦. 1 = ¦r. .¦ y C = ¦r. n¦. a) Determinar si los sucesos ¹. 1 y C son independientes dos a dos.(esto es, A y B indep; A y C indep, etc). b) Decidir si ¹. 1 y C son independientes. Resp.: a) sí b) no 7. El control de calidad para cierto tipo de motor incluye dos pruebas: A (ensayo de sobrecarga) y B (ensayo de consumo). El 5% falla en la prueba A, el 6% en la prueba B y el 90% en ninguna. a) Indique si las fallas en las pruebas son sucesos estadísticamente independientes, justi…cando numéricamente la respuesta. b) De los que fallan en A, ¿qué porcentaje falla en B? Resp.: a) no; b) 20% 8. El sistema de matrículas de vehículos consiste en un número de 4 dígitos seguido de un bloque de 3 letras consonantes. (por ejemplo: 0474-KTK). a)¿Cuántas placas posibles hay con un determinado bloque de letras? b) ¿Cuántas placas posibles hay con la misma parte numérica? c) ¿Cuántas placas se pueden formar en total con este sistema? d) ¿Qué % de placas posibles tienen la misma parte numérica? 9. Se tiene un curso de 50 alumnos y se quiere seleccionar una muestra con reemplazo de 4 personas. (Nota: En Estadística las muestras aleatorias simples, m.a.s., se seleccionan con reemplazo, es decir, una persona puede estar varias veces en la muestra, donde todos los individuos tienen la misma probabilidad de salir y todas las combinaciones de personas tambien tienen la misma probabilidad de salir) a) ¿Cuántas m.a.s. distintas se pueden seleccionar? b) Suponiendo que Juan es un de los 50 alumnos ¿En cuántas muestras distintas se puede encontrar a Juan? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan integre la muestra? 10. Se sacan 3 cartas de un mazo de truco, a) ¿cuántas formas distintas se pueden obtener?, b) ¿cuántas de estas tienen todas las cartas del mismo palo?Resp.: a) 9880; b) 480 11. ¿Cuántos números de 5 cifras hay en el sistema de numeración de base 4? Resp.: 768 12. En un concurso se han previsto 3 categorías de premios consistentes en 2 medallas, 3 placas y 5 diplomas, ¿de cuántas maneras pueden distribuírse entre 10 personas si cada una sólo puede recibir un premio? Resp.: 10! 2!3!5! = 2520 13. Se tiran dos dados no cargados. Indique la probabilidad de que: a) no aparezca ningún as; b) no aparezca ningún as y ningún dos. Resp.: a) 0,6944; b) 0,4444 14. De un mazo de cartas españolas (40 cartas) se extraen al azar 4 cartas. Calcule la probabilidad de que: a) sean de palos distintos; b) sean de palos distintos y además tengan valores distintos. Resp.: a) 0,1094; b) 0,0552 2 15. Un canal de comunicación binario simple transporta mensajes usando sólo dos señales (bits): 0 y 1. Supongamos que en un canal de comunicación binario dado el 40% de las señales emitidas son 1, y que si se emitió un 0 la probabilidad de que se reciba un 0 es 0,90, y que si se emitió un 1 la probabilidad de que se reciba un 1 es 0,95. Calcular a) la probabilidad de que una señal recibida sea 1. b) dado que se recibió un 1, la probabilidad de que se haya emitido un 1. Resp.: a) 0.44 b) 0.863 64 16. Un lote tiene100 componentes entre los cuales hay / componentes defectusos. El sistema de control consiste en elegir al azar 10 componentes y aceptar el lote si se encuentran a lo sumo 1 defecuoso en la muestra. Calcular la probabilidad de aceptar el lote para los siguientes valores de / : 2. 8. 20. 50. 17. Una empresa compra bulones a proveedores . El control de recepción establece seleccionar una muestra al azar de 20 bulones de la partida y rechazarla si se encuentra 1 o mas defectuosos . a) Si la P de que un bulón sea defectuoso es el 4% ¿Cual es la P de rechazar la partida? ¿Qué consideraciones tuvo que hacer para este calculo? b) Gra…car la P de aceptar la partida en función de los posibles valores de P de defectuosos. c) Si se considera razonable un lote con un % de defectuosos de a lo sumo 3% ¿Cual es la máxima probabilidad de rechazar un lote razonable? d) Para ahorrar costo de control se veri…can los bulones uno a uno y se detiene el control y rechaza la partida ante el primer bulón defectuoso ¿Cual es la P de que el rechazo se produzca con el quinto bulón controlado? 18. El motor de un automóvil consta de 300 componentes individuales. Cada uno de éstos es entregado independientemente por un proveedor diferente. Los 300 proveedores garantizan que la probabili- dad de entregar un componente defectuoso es 0.01 o menor. a) calcular la probabilidad de que el motor sea aceptable (se considera aceptable el motor sólo cuando ninguno de sus componentes es defectuoso). b) ¿qué nivel de calidad debe exigirse a cada proveedor (es decir, qué probabilidad de componente defectuoso) si se desea que el motor sea aceptable con probabilidad 0.98 o mayor? Nota: Un requerimiento habitual que la industria automotriz hace a sus proveedores, es que en- treguen componentes con proporciones defectuosas del orden de 60 a 100 ppm. ¿es esta práctica consistente con los resultados anteriores? Para REPASO: 19. Se tienen 3 resistencias A, B y C, para las que se sabe que en cierto tiempo la probabilidad de hallarlas quemadas es 1(¹) = 0. 2; 1(1) = 1(C) = 0. 08; 1(¹ ¨ 1) = 0. 04; 1(¹,C) = 1,4; 1(1,C) = 3,8; 1(¹¨1 ¨C) = 0. 01.Calcular la probabilidad de encontrar: a) por lo menos una resistencia quemada, b) sólo una resistencia quemada, c) sólo dos resistencias quemadas, d) B quemada sabiendo que lo están A y C, e) exactamente dos quemadas sabiendo que por lo menos una lo está, f) ninguna quemada. Resp.: a)0,28; b)0,21; c)0,06; d)0,5 e)0,2143; f)0,72 20. En una población de trabajadores el 40% tienen sólo instrucción primaria, el 50% tiene secundaria completa (y no mas) y el 10% restante tiene estudios universitarios. Entre los trabajadores con instrucción primaria hay un 10% de desempleo, entre los de secundaria el desempleo es del 5% y en el resto la tasa de desempleo es del 2%. Si se elige un trabajador al azar, a) ¿cuál es la probabilidad de que sea un desempleado? b) si el trabajador elegido resulta ser desempleado, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera completado la secundaria? Resp.: a) 0,067; b) 0,3731 21. Una caja contiene 7 bolillas blancas y 3 rojas y se extraen 2 bolillas con reposición. Calcular la probabilidad de que: a) ambas sean blancas, b) ambas sean del mismo color, c) al menos una sea 3 roja, d) resuelva los ítems anteriores considerando extracciones sin reposición. Resp.: a) 0,49 b) 0,58 c) 0,51 d) 7/15; 8/15; 8/15 22. Una caja tiene 3 bolillas blancas y 7 rojas. Una segunda caja contiene 12 blancas y 8 rojas. Se elige una caja al azar de donde se extrae una bolilla y, sin mirarla, se la deja aparte. Luego se extrae otra bolilla de la misma caja. Calcular: a) la probabilidad de que esta última bolilla sea blanca; b) si ésta es blanca, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la primer caja? c) si es blanca la última bolilla, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido la primer caja y haber descartado una bolilla blanca? Resp.: a) 0,45; b) 0,33; c) 0,0741 23. Un sistema de pasaje de residuos sólidos tiene dos mecanismos de pesada: uno por computadora y otro mecánico. La probabilidad de que uno al menos funcione bien es al 0,99 y la probabilidad de que funcione bien el primero es 0,96. El sistema falla cuando ambos mecanismos fallan. Si el mecanismo por computadora falla, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema falle? Resp.: 0,25 24. Para la señalización de un aeropuerto se han instalado dos indicadores que funcionan independi- entemente. Cuando hay una avería en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad de 0,95 y el B con probabilidad de 0,9. Calcular la probabilidad de que durante una avería se accione sólo un indicador. Resp.: 0,14 25. Con los datos dados, calcular lo pedido: (a) Si 1(¹) = 1(1) = 0. 3 y 1(¹ ¨ 1) = 0. 2. calcular 1(¹1) y 1(¹1). (b) Si 1(¹1) = 0. 4 y 1(¹'1) = 1(¹'1) = 0. 9, indique si ¹ y 1 son sucesos independientes. Calcule además 1(¹ ' 1) y 1(1¹). (c) ¹ y 1 sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos es 1,6 y la de que no ocurra ninguno es 1,3. Determine 1(¹) y 1(1).Resp.: 1/3 y 1/2 26. Probar que, si ¹ y 1 son sucesos independientes, también lo son ¹ y 1 entre sí, ¹ y 1 entre sí y ¹ y 1 entre sí. 27. En una fábrica de cubiertas para camiones se consideran de buena calidad a aquellas que no son ni excesivamente duras ni excesivamente blandas. Un estudio estadístico determinó que el 5% de las cubiertas fabricadas son exc. blandas (EB) y el 4% son exc. duras (ED). El 15% de las cubiertas ED se vende al público, mientras que el 98% de las EB no sale a la venta. Se sabe además que la probabilidad de que una cubierta de buena calidad no se venda es 0,01. a) ¿qué porcentaje de cubiertas se vende al público? b) ¿qué porcentaje de cubiertas que salen a la venta son de mala calidad? c) ¿qué porcentaje de cubiertas no son de buena calidad ni se venden al público? d) indique, justi…cando la respuesta, si los sucesos "cubierta EB" y "cubierta ED" son estadísticamente independientes. Resp.: a) 90,79%; b) 0,77%; c) 8,3%; d) no 28. (Paradoja de J.L.F. Bertrand, 1822-1900) Una caja contiene dos monedas de oro, otra caja contiene dos monedas de plata y una tercera caja contiene una moneda de oro y una de plata. Se elije una caja al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro, ¿cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea también de oro? (La respuesta no es 0,5). Resp.: 2/3 29. ¿Cuál es la probabilidad de que en un curso de 40 alumnos haya alguna coincidencia de cumpleaños? Resp.: 0.891 4 30. Se sacan 10 cartas de un mazo de barajas españolas. Calcule la probabilidad de sacar: a) por lo menos un as; b) por lo menos dos ases. Resp.: a) 0,7001; b) 0,2559 31. La encargada del edi…cio donde viven otras 40 personas echa a rodar un rumor. A la mañana temprano se lo dice a una vecina, quien a su vez lo repite a una tercera, etcétera. En cada paso el emisor del rumor elige al azar al receptor entre los restantes 40 habitantes del edi…cio. a) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin retornar a la encargada que lo originó. b) Hallar la probabilidad de que el rumor se transmita 15 veces sin que ninguna persona lo reciba más de una vez. Resp.: a) 0.70156; b) 0.04899 32. Sacando cartas de un mazo español de 40, calcular la probabilidad de que el primer basto aparezca a partir de la tercera extracción, sabiendo que en las dos primeras extracciones salió por lo menos un oro. Resp.: 0,7101 33. A y B se baten a duelo. En cada disparo, la probabilidad de acierto para A es 0,2 y para B es 0,3. Dispara primero A y si no acierta, se arroja una moneda. Si sale cara dispara A de nuevo, de lo contrario dispara B. Si después de esto ninguno acertó, B tiene un último disparo. Calcular las probabilidades de que "gane" A, que "gane" B y de que ambos resulten ilesos. Resp.: 0,28; 0,3 y 0,42 2 Variables Aleatorias Unidimensionales 1. Considere la variable A : cantidad de caras al lanzar una moneda 2 veces. Hallar: a) Función de probabilidad de A (gra…carla). b) Función de distribución acumulada de A (gra…carla). c) Media y varianza (Rta: j = 1; o 2 = 1 2 ). d) Si en un juego a partir de cada caras obtenida me dan $3 y por participar del juego debo pagar $2, calcular la función de probabilidad de la ganancia en el juego y la media. (Rta: j G = 1) 2. Supongamos que se tiene la distribución de probabilidad de notas de un parcial de la siguiente manera: Curso 1: notas: 2-5-8 con distribución de probabilidad uniforme Curso 2: notas: 4-5-6 con distribución de probabilidad uniforme Curso 3: notas: 4-5-6 con distribución de probabilidad tal que P(X3=4)=0,65; P(X3=5)=0,20; P(X3=6)=0,15 Curso 4: notas: 4-5-10 con distribución de probabilidad tal que P(X4=4)=0,65; P(X4=5)=0,20; P(X3=10)=0,15 Para cada curso: a) gra…car las funciones de probabilidad; b) hallar media y varianza; c) analizar como varían media y varianza en relación a la probabilidad. 3. Un agricultor que siembra fruta a…rma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la mosca del mediterráneo. Encontrar la probabilidad de que al inspeccionar 4 duraznos: a) los 4 estén contaminados por la mosca del mediterráneo; b) cualquier cantidad entre 1 y 3 esté contaminada. c) Hallar la cantidad media de duraznos contaminados que encontrará en la muestra. Resp: a) 0,1975; b) 0,7901; c) j = 2. 666 7 4. Se tiene el siguiente plan de muestreo: de un lote de 50 unidades se eligen 5 al azar y se rechaza el lote si la muestra contiene 1 ó más defectuosas. Sea la variable A : cantidad de defectuosas en la muestra, hallar la función de probabilidad de A y calcular la probabilidad de rechazar un lote que contenga: a) 10 defectuosas; b) 3 defectuosas. Resp: a) 0,6894; b) 0,276 5 5. Una variable aleatoria tiene función de densidad ,(r) = ¹r 2 + 0. 5 para 0 < r < 1 y ,(r) = 0 en cualquier otro caso. a) Calcular la constante ¹. b) Hallar la función de distribución 1(r) c) Hallar la probabilidad de que un valor de r elegido al azar sea menor que 0. 5, d) Si se sabe que un valor de r elegido al azar fue mayor que 0. 5, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 0. 75? Resp: a) 3/2 b) 1(r) = 8 < : 0 r < 0 x 3 2 + x 2 0 _ r _ 1 1 1 < r c) 5/16 d) 53/88 6. Una variable aleatoria tiene función de densidad ,(r) = 1.2r para 0 < r < 1 y ,(r) = 3:÷ :r para 1 < r < 3. a) Calcular : b) Hallar la media y la varianza de A c) Calcular la probabilidad condicional 1(A < 2. 5,A 2) d) Si se eligen al azar 5 valores de A, ¿cuál es la probabilidad de que 4 ó más sean mayores que 2? Resp: a) 0. 2; b) j = 16 15 . o 2 = 0. 3622 c) 0. 75; d) 0. 0005 7. El porcentaje de alcohol de un cierto compuesto se puede considerar una variable aleatoria con la siguiente función: ,(r) = 1 5000 (100 ÷r) si 0 _ r _ 100 0 en otro caso a) Halle la función de distribución de probabilidad 1(r) b) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alcohol en el compuesto sea superior a 30? c)¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alcohol en el compuesto sea inferior a 70? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de alcohol en el compuesto esté comprendido entre 30 y 70? e)Si el porcentaje de alcohol es inferior a 70, ¿cuál es la probabilidad de que supere 30? f) Si el porcentaje de alcohol es superior a 30, ¿cuál es la probabilidad de que supere 70? g)Sean los sucesos A: porcentaje superior a 30; B: porcentaje inferior a 70, determine si A y B son independientes h) Halle el porcentaje medio de alcohol en el compuesto. Resp: a) 1(r) = 0 para r < 0; 1(r) = 1 ÷ (100 ÷ r) 2 ,10000 para 0 < r < 100; 1(A) = 1 para r 100; b) 0,49 c) 0,91; d) 0,4; e) 0,43956 ; f) 0,1837; g) No; h)33,33 8. El diámetro de las arandelas fabricadas por una máquina es una v. a. A cuya función de densidad de probabilidad es: ,(r) = r ÷1 para 1 < r < 2; ,(r) = 3 ÷r para 2 < r < 3; ,(r) = 0 en otro r (en mm). Un sistema de control descarta las arandelas de diámetro superior a 2,5 mm y las arandelas de diámetro inferior a 1,5 mm. Halle la función de distribución acumulada del diámetro de las arandelas no descartadas y la correspondiente función densidad. Gra…que ambas funciones. 9. Dos tornos cortan varillas cuyas longitudes (en metros) tienen las respectivas funciones de densidad de probabilidad: , 1 (r) = ( 2r 5 si 2 _ r _ 3 0 en otro caso , 2 (r) = ÷ 3 4 (r ÷1)(r ÷3) si 1 _ r _ 3 0 en otro caso El torno 1 corta el 60% de las varillas de la producción total y el resto lo hace el torno 2. a) Si se elige una varilla y resulta que mide más de 2,5m ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido cortada por el torno 1? b) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de la longitud de las varillas de la producción total? c) ¿Cuál es la media y la varianza de la longitud de las varillas de la producción total? Resp: a) 0.84; b) ,(r) = 8 < : , 2 (r) + 0. 4 si 1 _ r < 2 , 1 (r) + 0. 6 +, 2 (r) + 0. 4 si 2 _ r _ 3 0 en otro caso = 8 > < > : ÷ 3 10 (r ÷1)(r ÷3) si 1 _ r < 2 6r 25 ÷ 3 10 (r ÷1)(r ÷3) si 2 _ r _ 3 0 en otro caso 6 c) j = 2. 32; o 2 = 0. 2776 10. Un camionero transporta diariamente cargas de dos tipos A y B. El 70% de las veces hace viajes con cargas A y el resto de las veces con cargas tipo B. El tiempo que demanda un viaje con carga A es una v. a. A A con función densidad ,(r) = x 2 9 para 0 < r < 3; cero para otro valor. Los viajes con carga de tipo B tienen un tiempo de duración A B cuya función densidad es ,(r) = 1 2 ÷ x 8 para 0 < r < 4; cero para otro valor. a) Hallar la probabilidad de que un viaje dure más de 2hs. b) Si un viaje duró más de dos horas, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido con la carga B?. c) Hallar la función densidad del tiempo de viaje del camionero en un día cualquiera. Calcular el tiempo medio de un viaje. d) Calcule la variancia del tiempo de viaje por de…nición y veri…que con la fórmula de la variancia de la mezcla. 11. Juan tira un dado cargado cuya función de probabilidad es: 1(r) = /r para r = 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 1(r) = 0 para otro r. En este juego, Juan gana en dólares el cuadrado del número que obtiene al tirar el dado. a) ¿Cuál es la función de probabilidad de la ganancia que obtiene Juan? b) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane por lo menos 9 dólares? c) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane más de 9 dólares? d) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane a lo sumo 9 dólares? e) ¿Cuál es la probabilidad de que Juan gane menos de 9 dólares? f) ¿Cuál es la media en dólares de Juan? Resp: a) 1(r) = x 21 ; b) 18 21 ; c) 15 21 ; d) 2 7 ; e) 1 7 ; f) j Y = 21 12. La variable A tiene densidad ,(r) = r,2 para 0 < r < 2 ; (0 en otro caso). a) Hallar la densidad de 1 = A 3 b) calcular la media de 1 de dos maneras distintas c) Calcular la probabilidad de que 1 _ 6 de dos maneras distintas, d) Hallar la densidad de 1 = A(A÷1) 2 . Resp: a) ,(¸) = 1 6 ¸ 1=3 para 0 < ¸ < 8; b) 1(1 ) = 3. 2 c) 1(1 _ 6) = 0.174 52 13. La tensión de alimentación de un equipo de transmisión de radio es una variable A con densidad ,(r) = r si 0 < r _ 1; ,(r) = 1,4 si 1 < r _ 3; 0 en otro caso. Se sabe que la potencia de emisión del equipo, 1 , está relacionada con la tensión según ¸ = ÷r 2 + 4r. a) ¿Cómo es la potencia de emisión de este equipo? b) Se considera que la potencia de emisión de un equipo como este es de óptima calidad cuando es superior a 3, ¿Cuál es la probabilidad de que este equipo no emita con óptima calidad? Resp: a) ,(¸) = 2 p 4y 2 p 4y si 0 < ¸ _ 3; ,(¸) = 1 4 p 4y si 3 < ¸ _ 4; 0 en otro caso.b) 0.5 14. Se sabe que el bene…cio total de una empresa está dado por 1 = 10Q÷5Q 2 (en miles de pesos), donde Q, que es la cantidad vendida, es una v. a. cuya función de densidad de probabilidad es ,(¡) = 8 < : ¡ si 0 < ¡ < 1 ÷¡ + 2 si 1 < ¡ < 2 0 en otro caso . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un bene…cio superior a los 3000 pesos? Resuelva de dos formas distintas. Resp: 0.86 15. Se tiene una botella de 10cc. La máquina envasadora envía a ella una cantidad aleatoria r de líquido con la siguiente función de densidad de probabilidad: ,(r) = 1 200 (20 ÷r) para 0 < r < 20; ,(r) = 0 en otro r. Halle: a) la función de densidad de probabilidad del líquido en la botella; b) ídem del líquido rebasado; c) la cantidad media de líquido en la botella. 16. Una compañía de luz paga a los usuarios una boni…cación por cortes de luz que se produzca durante el bimestre. Dicha boni…cación es de $1 si la duración del corte es menos de una hora y $3 si la duración del corte es superior a 3 horas. La boni…cación es de 0.5 por hora de corte más un peso si la duración del corte está entre 1 y 3 horas. La duración del corte de luz es una v. a. A cuya 7 función de densidad de probabilidad es: ,(r) = 2(2 ÷r),5 para 0 < r < 1. 5; ,(r) = 2(4 ÷r),25 para 1. 5 < r < 4; ,(r) = 0 en otro r (en hs). a) Halle la función de densidad de probabilidad de la boni…cación pagada a los usuarios durante un bimestre. b) Halle la función de densidad de probabilidad de los cortes de luz que duran menos de una hora o más de 3 horas. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un corte de luz dure más de una hora si se sabe que por él la compañía hace una boni…cación de menos de $2? d) Halle de dos formas distintas la boni…cación media pagada a los usuarios durante un bimestre. 17. Una máquina corta en forma automática trozos de tela con los cuales se arman rollos que se venderán. La longitud (en metros) de cada rollo es una v. a. X con la siguiente función de densidad de probabilidad: ,(r) = 3(r ÷ 30),800 para 30 < r < 50; ,(r) = /(r ÷ 60) para 50 < r < 60; ,(r) = 0 en otro r (en metros). El precio de venta de cada rollo es de $400. a) Halle la función de densidad de probabilidad del precio de venta por metro de tela. b) Hallar la probabilidad de que un rollo de tela se venda a menos de $8 el metro. 18. El peso de unos pollos en kg es una variable aleatoria A cuya función densidad es ,(r) = r÷1 para 1 < r < 2 y ,(r) = 3 ÷r para 2 < r < 3, 0 para otro valor. Calcular: a) la probabilidad de que los pollos pesen entre 1,5kg y 2,5kg. Indicar en el grá…co de la función densidad la probabilidad calculada b) la probabilidad de que los pollos que pesan más 1,5kg pesen menos de 2,5kg. Indicar en el grá…co de la función densidad la probabilidad calculada c) Hallar la función de distribución de A y gra…carla d) hallar la media y varianza del peso de los pollos e) Hallar la probabilidad de que al seleccionar dos pollos al azar, alguno pese más de 2,5 kg. f) Si al mercado solo se venden los pollos que pesan más de 1,5 kg hallar la función densidad de los pollos que se venden. g) Si cada pollo se vende a $12, hallar la función densidad del precio por kilogramo y su media. 19. ¿Cómo se relacionan las funciones de densidad de dos variables A e 1 donde 1 = cA +/ (con c y / números reales)? Comparar las medias y las varianzas de ambas variables. Para REPASO: 20. El control de recepción de una pieza que se recibe en cajas de 10 unidades consiste en elegir dos piezas de cada caja y rechazar la misma si alguna es defectuosa. El “honesto” proveedor coloca en cada caja un número de defectuosas que depende del resultado de arrojar un dado como sigue: Si sale un as, no pone ninguna; si el resultado es 2, 3, 4 ó 5 pone 1 y si es 6, pone 2. Determinar: a) la distribución del número de defectuosas que hay en las cajas; b) la distribución del número de defectuosas que se encuentran en cada muestra de 2 unidades; c) el porcentaje rechazadas. Resp.: a) P(0) =1/6; P(1) = 4/6; P(2) = 1/6; b) P(0) = 0,8037; P(1) = 0,1926; P(2) = 0,0037; c) 19,63% 21. En una estación de servicio, la distribución de clientes que llegan cada 15’ tiene la siguiente función de probabilidad: 1(0) = 0. 2; 1(1) = 0. 4; 1(2) = 0. 3; 1(3) = 0. 1. Además, la probabilidad de que un cliente pague con tarjeta de crédito es j = 0. 25. Obtener la distribución de los clientes que en el lapso de 15’ pagan con tarjeta de crédito. Resp: 1(0) = 0. 7109 1(1) = 0. 2547; 1(2) = 0. 0328; 1(3) = 0. 0016 22. Una variable aleatoria tiene función de densidad ,(r) = c para 0 < r < 1 y ,(r) = c,r 2 para r 1 a) Hallar a. b) Demostrar que la media y la varianza no existen. c) Calcular la función de distribución y la mediana. Resp: a) 0,5 b) Mediana=1; 1(r) = 8 < : 0 si r < 0 x 2 si 0 _ r _ 1 1 ÷ 1 2x si 1 < r 8 23. El tiempo en minutos en que una señorita habla por teléfono es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad: ,(r) = /.c x=5 si 0 < r 0 en otro caso a) Halle / para que ,(r) sea función de densidad b) Calcular 1(r) c) Halle la probabilidad de que hable más de 2 minutos. d) Halle la probabilidad de que hable a lo sumo 3 minutos e) Si se sabe que habló por lo menos 2 minutos, encuentre la probabilidad de que hable a lo sumo 3 minutos; f) Halle el tiempo medio en que la señorita habla por teléfono. Resp: a) / = 1/5; b) 1(r) = 1 ÷c x=5 para r 0; 1(r) = 0 para r < 0; c) 0,6703; d) 0,4512; e) 0. 181 26; f) 5 24. El diámetro de las lentejas es una v. a. A con: ,(r) = 3 16 (r ÷ 3) 2 para 1 < r < 5; ,(r) = 0 en otro r (en mm). Calcule: a) la probabilidad de que el diámetro de una lenteja supere los 4 mm, si se sabe que su diámetro está comprendido entre 2 y 5 mm; b) la función de densidad del diámetro de las lentejas cuyo diámetro es superior a 4 mm ó inferior a 2 mm. Resp: a) 7/9; b) ,(r) = 3 14 (r ÷3) 2 para 1 < r < 2 ó 4 < r < 5; ,(r) = 0 en otro r 25. Hipotéticamente, la duración en horas de ciertas lámparas es una variable aleatoria cuya función de densidad es ,(r) = 30,r 2 para r 30 y ,(r) = 0 en cualquier otro caso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar dure más de 40 horas? b) Si se eligen 5 lámparas al azar, ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos 2 que duren más de 40 horas? c) Si una lámpara dura más de 35 horas ¿Cuál es la probabilidad de que funcione 10 horas más? Resp: a) 0,75; b) 0,9843 26. La duración de las llamadas telefónicas de una central es una v. a. A uniforme entre 0 y 4 minutos. Se sabe además que el costo de una llamada está dado por: C(r) = 5r para r < 1; C(r) = 5 para 1 _ r _ 3; C(r) = 5(r ÷ 2) para r 3. Halle la función de densidad y de distribución de probabilidad del costo de una llamada. 27. El aporte de agua que en un año llega a un embalse procedente de su cuenca alimentadora, constituye un volumen A (en Hm 3 ) aleatorio que se distribuye según la siguiente función de densidad ,(r) = (r ÷150),125 2 para 150 < r < 275; ,(r) = (400 ÷r),125 2 para 275 < r < 400; ,(r) = 0 en otro r. Si la capacidad del embalse es de 170 Hm 3 , el consumo de la ciudad que abastece es de 180 Hm 3 , si el agua que llega primero se destina al consumo de la ciudad, y si se supone que al comienzo de un cierto año el embalse está vacío, se pide: a) las funciones de densidad de probabilidad y de distribución de probabilidad del agua embalsada al cabo de un año; b) la probabilidad de que al cabo de un año el embalse esté vacío, así como la de que esté lleno; c) la media y varianza del agua embalsada al cabo de un año; d) ídem, del agua suministrada a la ciudad. 28. Un fabricante de bombones recibe un 70% de castañas de un proveedor A tal que el tamaño responde a una ,(r) = r,12 para 1 _ r _ 5. el resto lo recibe de un proveedor B cuyas castañas responden a ,(r) = 3 125 r 2 para 0 _ r _ 5. Se descartan las castañas del productor A que pesan menos de 2 gr y luego se mezclan con la del productor B. a) Hallar la función densidad de las castañas seleccionadas del productor A. b) ¿Cuál es la función densidad de todas las castañas que se seleccionan? ¿Cuál es su media? c) Para armar bombones se le agrega a las castañas un baño de chocolate que le aumenta un 30% del peso y un envoltorio de 2gramos. Hallar la media y varianza del peso …nal del producto. 29. El diámetro (en cm) de los huevos de una granja es una v. a. A con la siguiente función de densidad de probabilidad: ,(r) = r ÷ 3 para 3 < r < 4; ,(r) = 5 ÷ r para 4 < r < 5; ,(r) = 0 9 en otro r. Los huevos se clasi…can en grandes si tienen un diámetro superior a 4. 5c:, y en chicos en caso contrario. Una máquina de la granja está diseñada para separar y colocar en una bandeja los huevos grandes. Por cuestiones de forma, un 10% de los que deberían pasar (o sea los chicos), no lo hacen y quedan en la bandeja. Halle la función de densidad de probabilidad de los huevos que quedan en la bandeja. 30. Generar con EXCEL 5 números random con la función Aleatorio(). Establecer la variable X mínimo de los 5 valores (función Min de Excel) , trazar el histograma calcular el promedio (función Promedio de Excel). Ídem para el promedio de los cinco y para el máximo (función Max de Excel). Interpretar los resultados. 31. Considere chapas cortadas en forma de cuadrados de lado X de medida equiprobable entre 0 y 1 al que se le calcula el área A. a) Simular valores de las variables X y A y realizar los histogramas correspondientes. b) Gra…car las funciones de densidad involucradas y la función cambio de vari- able y compararla con los histogramas realizados. c) Calcular la media de las medidas del lado y del área del cuadrado y compararlas con los promedios de los valores simulados. 3 Variables asociadas a los procesos Bernoulli, Poisson e Hiper- geométrico 1. Un tren sanitario debe llevar un equipo de 3 personas, las cuales se eligen al azar entre un grupo de voluntarios que consta de 4 médicos y 2 enfermeras. a) Encuentre la probabilidad de que el tren lleve a más de un médico. b) Si llamamos M a la cantidad de médicos del equipo, ¿cómo se distribuye esta variable? Escriba la función de probabilidad de M y grafíquela con Excel. c) Utilizando el software, dar un rango de valores de M donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad. Resp: a) 4/5 2. Sea A la cantidad de espadas en una mano de truco (es decir cantidad de espadas en 3 cartas elegidas de 40). Escribir la función de probabilidad de A. Si en un juego se paga $2 por participar y luego se reciben $3 por cada espada en la mano de truco, hallar la función de probabilidad de 1 = ganancia (o pérdida) en este juego. Gra…car 1(r) y 1(¸). 3. PARA RESOLVER CON EXCEL: con el enunciado del ejercicio anterior, si R es la cantidad de defectuosos que hay en el lote, hallar y gra…car la probabilidad de rechazar el lote, en función de R, bajo el procedimiento de control descripto (rechazo si hay 1 o más defectuosos entre los 5 muestreados). 4. Se lanza un dado no cargado 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca: a) algún as? b) por lo menos un as? c) ningún as? d) más de un as? e) menos de dos ases? f) a lo sumo dos ases? g) por lo menos dos ases? h) entre 2 y 4 ases (inclusive)? i) exactamente 7 ases? j) todos ases? k) Si llamamos R a la cantidad de ases en los 10 lanzamientos, ¿cómo se distribuye esta variable? Escriba la función de probabilidad de R y grafíquela con Excel. l) Utilizando el software, dar un rango de valores de R donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad. m) hallar la media y el desvío estándar R. Resp: a) 0,8385; b) 0,8385; c) 0,1615; d) 0,5155; e) 0,4845; f) 0,7752; g) 0,5155; h) 0,5; i) 0,00025; j) 1,6510 8 ; m) 1(A) = 1. 67; o(A) = 1. 18 10 5. Un canal de comunicación binario simple transporta mensajes usando sólo dos señales (bits): 0 y 1. Supongamos que en un canal de comunicación binario dado el 40% de las señales emitidas son 1, y que la probabilidad de que una señal sea recibida correctamente es de 0,9. Si se recibieron 10 señales "1", ¿cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 hayan sido emitidas como "0"? (Sug: señal recibida correctamente equivale a: si es 1, Recibe1 y si es 0, Recibe0). Resp.: 0.839 6. PARA RESOLVER CON EXCEL: Un fabricante a…rma que el porcentaje de defectuosos con el que se está produciendo es del 3%. El sistema de control acepta un lote de estos productos controlando la cantidad de defectuosos en una muestra. a) Si un comprador A rechaza el lote cuando encuentra 2 o más defectuosas en una muestra de 20 piezas, ¿Con qué probabilidad de rechazo está trabajando? b) Si un comprador B rechaza el lote si encuentra 10 o más defectuosas en una muestra de 100, ¿Con qué probabilidad de rechazo está trabajando B? c) Compare para cada uno de estos compradores, los riesgos de equivocarse al aceptar o rechazar los lotes si el porcentaje de defectuosas de la producción es 3%, 5% u 8 % alternativamente. d) Considerando que el porcentaje de defectuosos con el que se trabaja es grande y no se quiere rechazar tantos lotes (por ejemplo ` = 35, j = 0.12) proponer un sistema de control para rechazar a lo sumo el 75% de las veces. 7. Una marca de gaseosa presenta una promoción en la que el 10% de sus tapas tienen premio. a) ¿Cuál es la probabilidad de necesitar comprar más de 5 gaseosas para conseguir un premio? b) Si N es la cantidad de gaseosas que compro hasta conseguir un premio, ¿cómo se distribuye N? Escriba la función de probabilidad y grafíquela con Excel. c) Utilizando el software, dar un rango de valores de N donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad. d)¿cual es el numero esperado de gaseosas a comprar para tener un premio? Resp:a) 0.590 49 d) 10 8. Con el enunciado del ejercicio anterior, a) si K es la cantidad de gaseosas que compro hasta conseguir la segunda con premio, ¿cómo se distribuye K? Escriba la función de probabilidad y grafíquela con Excel. b) ¿cuál es el numero medio de gaseosas que debo comprar para tener dos premios? c) ¿cuál es la probabilidad de necesitar comprar 10 gaseosas hasta conseguir 2 premios? d) ¿que probabilidad se tiene de conseguir 2 premios si se compraron 10 gaseosas? Resp: b) 20 c) 0,0387 d) 0,1937 9. En un proceso de control de calidad se efectúa una revisión periódica examinando la cantidad de piezas necesarias hasta encontrar la segunda defectuosa. Si el proceso trabaja con un 20% de defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de revisar: a) 8 ó menos; b) 12 ó más; c) exactamente 12? Resp: a) 0,4967; b) 0,3221; c) 0,0472 10. Un tirador obtiene, con un arma A, el 80% de aciertos y con un arma B el 90%. Si en 8 disparos obtuvo 6 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que haya usado el arma B? Resp: 0,3364 11. Un proceso se controla en cuanto a su porcentaje defectuoso mediante un grá…co de control. Las muestras extraídas son de tamaño : = 10 y el proceso se revisa, deteniéndolo toda vez que se encuentra alguna defectuosa en la muestra. a) ¿Qué probabilidad hay de "detenerlo" sin necesidad cuando el porcentaje de defectuosas es el estándar, es decir j = 0. 01? b) Si el proceso está fuera de control y j es del 4% ¿Cuántas muestras de 10 unidades cree Ud. que podrán ser necesarias, como máximo, para que la probabilidad de detectarlo sea del 90% por lo menos? Resp: a) 0,0956; b) 6 11 12. PARA RESOLVER CON EXCEL: con el enunciado del ejercicio anterior, hallar y gra…car la probabilidad de rechazar el lote en función de j =porcentaje de defectuosos, bajo el procedimiento de control descripto (rechazo si hay 1 o más defectuosos entre los 10 muestreados). 13. A un comercio entran en promedio 60 personas por hora. a) Calcularla probabilidad de que en los próximos 5 minutos no entre nadie; b) Hallar el lapso de tiempo tal que la probabilidad de que no entre nadie es 0,5. c) Si llamamos 1 al tiempo de llegada de una persona al comercio, ¿cómo se distribuye esta variable? Escriba la función densidad de probabilidad de 1 y grafíquela con Excel. d) Utilizando el software, dar un rango de valores de 1 donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad.Resp: a) 0,0067; b) 42 segundos 14. El tiempo de vida de cierto tubo de luz en horas responde a una función densidad exponencial con ` = 0.001 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo de este tipo dure más de 2000 horas? b) ¿Cuál tiene que ser el tiempo de garantía del tubo si el fabricante está dispuesto a aceptar solo un 3% de reclamos? c) Hallar la función de distribución de probabilidad acumulada; d) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 3000 horas si hace 1000 horas que está conectado y funcionando? e) Compare los resultados de los ítems a) y d) teniendo en cuenta la propiedad de la V.A exponencial no tiene memoria? f) ¿Cuál es la media y desvío del tiempo de vida de los tubos? g) Si como norma de seguridad todos los tubos de luz se reemplazan (funcionen o no) luego de 2000 horas de haberse conectado ¿cuál es la función densidad del tiempo de uso de los tubos y cuál es su media? h) Si los tubos se usan con reemplazo para iluminar un lugar y tengo sólo 3 disponibles, ¿cómo se distribuye el tiempo que estará iluminado el lugar? i) Si tengo que iluminar este lugar 4000 hs, ¿cuál es la probabilidad de que me alcancen las 3 lámparas?. Resp: a) 13. 53 %; b) 30. 45 horas; c) 86. 47 %;d) 86. 47 %; f) j = 1000 horas; o = 1000 horas. 15. Cierto tipo de cable presenta en promedio 1 falla cada 250 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo de 1000 metros tenga: a) ninguna falla?; b) menos de 4 fallas?; c) 6 ó más fallas? d) Si llamamos 1 a la cantidad de fallas en 250 metros de cable, ¿cómo se distribuye esta variable? Escriba la función de probabilidad de 1 y grafíquela con Excel. e) Utilizando el software, dar un rango de valores de 1 donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad. Resp: a) 0,0183; b) 0,4335; c) 0,2149 16. El proceso de fabricación de una tela genera en promedio 1 falla cada 100 metros. La longitud de cada rollo queda determinada por la aparición de la segunda falla, de modo que todos los rollos tienen una falla. Calcular: a) el porcentaje de los rollos con longitudes inferiores a 150 m; b) la longitud superada por el 90% de los rollos; c) la longitud superada por el 10% de los rollos; d) la longitud mediana; e) la longitud modal; f) Si llamamos 1 a la longitud de la tela cortada en la segunda falla, ¿cómo se distribuye esta variable? Escriba la función de probabilidad de 1 y grafíquela con Excel. g) Utilizando el software, dar un rango de valores de 1 donde se concentre aproximadamente el 90% de probabilidad. Resp: a) 44,2%; b) 53,2 m; c) 389 m; d) 168 m; e) 100 m 17. Ciertos rollos de tela tienen longitud variable que ha quedado determinada por la aparición de cada falla del proceso productivo y por lo tanto su distribución es exponencial con ,(r) = 0. 01.c 0;01x para r 0 (metros). Estos rollos se dividen en dos grupos: de 1 o calidad los que miden más de 80 metros y de 2 o calidad los que miden menos. Calcular la longitud media de cada grupo. Resp: 180 y 34,7 m. 12 18. Una máquina produce rollos de alambre con fallas distribuidas según un proceso de Poisson de tasa 1 cada 25 metros. La máquina corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 50 metros, o a los 50 metros si no encontró fallas antes a) Hallar la cantidad media de fallas en los rollos. b) Hallar la densidad de la longitud de los rollos. 19. La duración de una llamada, en minutos, tiene distribución exponencial de parámetro 3. El costo de las llamadas es de $0,90 por minuto o fracción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de una llamada sea menor a $5? b) ¿Cómo se distribuye la variable costo de una llamada? Calcular su media y su varianza. Resp: a) 0. 99; b) j= 0. 33, o 2 =0. 111 20. El número de automóviles que llegan a cierta intersección por minuto tiene una distribución de Poisson con una media de 5. a) ¿cuál es la probabilidad de que más de 10 automóviles aparezcan en la intersección durante cualquier minuto? b) ¿cuál es la probabilidad de que en a lo sumo un minuto aparezcan 10 automóviles en la intersección? c) ¿cuál es la probabilidad de que se requiera más de 2 minutos antes de que lleguen 10 automóviles? d) ¿cuál es la probabilidad de que transcurra más de 1 minuto entre llegadas? e) ¿cuál es el número medio de minutos que transcurren entre llegadas? Resp: a) 0. 0318; b) 0. 0318; c) 0. 4579; d) 0. 0067; e) 0. 2 21. PARA RESOLVER CON EXCEL: Una central tiene 5 centrales automáticas independientes entre sí, donde para cada una de ellas el número de conexiones erróneas por día obedece a una distribución de Poisson con j = 0. 01 conexiones erróneas. a) Calcular la probabilidad de que se produzcan exactamente 3 conexiones erróneas en la ciudad durante un día. b) Un ingeniero quiere aumentar la con…abilidad del sistema modi…cando el valor de j. ¿Para qué valor de j el ingeniero podrá a…rmar que la probabilidad de una o más conexiones erróneas en la ciudad en un día cualquiera es igual a 0,02? b) Gra…car la con…abilidad del sistema (es decir la probabilidad de una o más conexiones erróneas) en función del valor medio de conexiones por día. Resp: a) 1,9810 5 ; b) j = 0,004 22. PARA RESOLVER CON EXCEL: Una usina dispone de dos máquinas con capacidades de 100 y 150 Mw respectivamente. Cada máquina está detenida el 8% del tiempo –por fallas–, siendo las paradas independientes entre sí. La demanda de energía es una variable aleatoria con distribución Gamma de media 120 Mw y desvío estándar 58 Mw. ¿Qué porcentaje de las veces la demanda queda satisfecha? Resp: 9,1% Para REPASO: 23. Una secretaria gubernamental sospecha que algunas fábricas infringen los reglamentos federales contra la contaminación ambiental en cuanto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas no encuentre ninguna infracción? b) ¿cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre dos que infringen el reglamento? Resp: a) 0.3991; b) 0.1316 24. Se tiene el siguiente plan de muestreo: de un lote se eligen 5 piezas al azar y se rechaza el lote si la muestra contiene 1 ó más defectuosas. Si la muestra no contiene defectuosos, se toma una nueva muestra de 15 y se rechaza el lote si hay 2 o más defectuosas. Calcular la probabilidad de rechazar un lote con un 5% de defectuosas. Resp: 0,358 13 25. La probabilidad de que una nave espacial realice un despegue correcto es igual a 0,87. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 10 despegues correctos antes del primero con di…cultades? Resp: 0.21613 26. Al probar una cierta clase de neumático para camión en un terreno escabroso se encontró que el 25% de los camiones terminaban la prueba con pinchaduras. Si A es la variable que cuenta la cantidad de camiones que terminan con pinchaduras en los 5 que se prueban, dar su distribución de probabilidad. Además, utilizando A. describir los siguientes sucesos y calcular las probabilidades indicadas: a) De los 5 camiones probados, hallar la probabilidad de que: a 1 ) menos de 3 tengan pinchaduras; a 2 ) más de 2 no tengan pinchaduras. b) ¿Cuántos de los 5 camiones en promedio pueden sufrir pinchaduras? Resp: a 1 ) 0,8965; a 2 ) 0,8965; b) 1,25 27. Una pareja plani…ca tener hijos hasta conseguir tener dos varones. Suponiendo que la probabilidad de que nazca un varón es 0. 5 a) ¿cuál es la probabilidad de que su segundo varón sea su cuarto hijo? b) ¿cuál es la probabilidad de que necesiten tener 6 o más hijos para conseguir el objetivo? c)¿cuál es el número esperado de hijos a tener? Resp: a) 0.1875.b) 0.1875 c) 4 28. El diámetro de las arandelas producidas por una máquina es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad: ,(r) = (r ÷ 6),4 para 6 < r < 8; ,(r) = (10 ÷ r),4 para 8 < r < 10; ,(r) = 0 en otro r (en mm). Si se revisan 100 arandelas, ¿cuál es la probabilidad de que más de una tenga un diámetro inferior a 6,5 mm? Resp: 0. 8234 29. Un fabricante compró un nuevo equipo para producir cable plástico con el cual ha conseguido disminuir el promedio de fallas –que con el viejo equipo era de 2 cada 1000 metros– a 1 cada 1000 metros. Le han informado que su competidor principal, que tiene –o tenía– un equipo igual al que él dejó de usar, ha instalado también un nuevo equipo similar al suyo; su con…anza en la fuente de información es tal que asigna una probabilidad 0,6 a dicho evento. A …n de cerciorarse, decide comprar 2000 metros de la competencia e inspeccionarlos, hallando 5 fallas. ¿Cuál es, con esta información, la probabilidad de que el competidor haya instalado el nuevo equipo? Resp: 0. 2573 30. Un auto en un camino de rally tiene una tasa de pinchadura de una cada 3000km siguiendo ley Poisson. El trayecto a recorrer es de 5000km y el auto lleva 2 ruedas de auxilio. Calcular de dos maneras diferentes la probabilidad de no llegar a destino. Resp: 0. 234 14 4 Otras variables particulares: Uniforme y Normal. Teorema Central del Límite 1. La cantidad en litros de café que expende una máquina en una sala de espera es una variable aleatoria A uniforme entre 6 y 9 litros. a) ¿Cuál es la media y el desvío de A?; b) ¿Cuál es la probabilidad de que A tome valores entre la media y la media más un desvío? c) ¿Puede tomar A un valor que se encuentre a más de dos veces la desviación estandar desde la media?; d) ¿Cuál es la máxima distancia, en términos de la desviación estándar a la que se puede encontrar un valor A a partir de la media?; e) Hallar la función de distribución acumulada de A.Resp: a) j = 7. 5; o = 0. 866;b) 0,2887; c) no; d) j X ±1. 5; e) F(x) = 0 si x<6; F(x) = r ÷6 3 si 6 < r < 9; F(x) =1 si x9 2. Juan toma todas las mañanas un tren que llega a la estación en un horario aleatorio entre las 8:10 y las 8:30. Si A es la variable que mira el tiempo de arribo de este tren (en minutos después de las 8:10), a) Hallar la probabilidad de que el tren llegue después de las 8:15; b) Hallar la probabilidad de que el tren llegue después de las 8:25 si a las 8:15 aún no había llegado; c) Si la empresa debe pagar una multa de $100 por cada minuto que se retrase después de las 8:20, ¿cuál es la probabilidad de que deba pagar más de $400? d)¿Cuál es la media de las multas que paga la empresa? e) ¿Cómo se distribuye la variable "multa a pagar"? 3. Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una ley normal y que pueden medirse con cualquier grado de precisión, a) ¿qué porcentaje de resistencias tendrá un valor que exceda los 43 ohms? b) ¿Entre qué valores estarán el 95% de las resistencias? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las resistencias se encuentren en el intervalo (media – 3 desvíos; media + 3 desvíos)? ¿y en el intervalo (media – desvíos; media + desvíos)? ¿y en el intervalo (media –2 desvíos; media + 2desvíos)?. Resp: a) 6,68% b) Entre 36,08 y 43,92 ohms; c) 99%; 68%; 95% 4. Una compañía fabrica lámparas cuya duración está distribuida normalmente con media 800 horas y desvío 40 horas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara dure entre 778 y 834 horas? b) ¿Qué especi…cación debiera ponerse en la etiqueta sobre la duración de las lámparas para que el 95% de las mismas lo cumpla? c) Hallar un valor C tal que el 10% de las lámparas dure más que dicho valor. d) Sea X el tiempo de duración de las lámparas, hallar la expresión de la función de densidad de probabilidad de X. e) Si se compran 10 de estas lámparas ¿cuál es la probabilidad de que todas cumplan con la especi…cación del ítem b)? Resp: a) 0,5111; b) 734; c) C = 851,2 e) 0,5987 5. En un establecimiento agropecuario, el 10% de los novillos que salen a venta pesan más de 500 kg. y el 7% pesa menos de 410 kg. Si la distribución del peso es normal, calcular: a) el peso superado por el 15% de los novillos; b) la probabilidad de que en una jaula de 25 novillos haya alguno con un peso inferior a 400 kg. Resp: a) 492 kg; b) 0,614 6. Una máquina fabrica bujes cuyos diámetros son una V. A. N. (j = 12; o = 2) mm. Otra máquina fabrica ejes cuyos diámetros son una V. A. N. (j = 11; o = 3) mm. a) Elegidos un eje y un buje al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el eje entre dentro del buje? b) Se supone aceptable un par eje-buje cuando ‘el juego’ está entre 0,2 mm y 0,5 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que al 15 elegir un eje y un buje formen un par aceptable? c) Si se extraen 5 pares, ¿cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos uno aceptable? Resp: a) 0,6064; b) 0,0314; c) 0,1475 7. Se tiene la información que el ingreso per cápita de los varones de determinado país tiene una media de U$1000 y un desvío de U$100, mientras que el de las mujeres una media de U$800 y un desvío de U$80. Suponer que los ingresos son v.a normales. a) ¿Qué porcentaje de personas de ese país gana más de U$950? b) ¿Qué porcentaje de parejas de ese país gana más de U$1900? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio entre los ingresos de hombre y mujer en la pareja sea mayor a U$950? Resp: a) 72 %; b) 21%; c) 21,77% 8. En un instituto de adelgazamiento se hace comer diariamente a cada paciente una cantidad de alimentos que sigue una distribución normal (j = 1000; o = 30) g pero el gasto de energías diario es una V. A. N. (j = 1100; o = 40) g. Al cabo de un mes, ¿qué porcentaje de pacientes adelgazará más de 3,5 kg? Resp: 0,0339 9. Una con…tería elabora bombones cuyo peso es una V. A. N. (20; 5) g. Los bombones se empaquetan en cajas de 50 unidades con peso de la caja vacía igual a 200 g. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una caja de bombones pese menos de 1,1 kg? b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar en una caja por lo menos 2 bombones con peso inferior a 10 g? Resp: a) 0,0023; b) 0. 3162 10. Una conserva se venderá envasada en latas. Las distribuciones de los pesos y sus costos son los siguientes: Peso neto = A ~ `(j = 498; o = 12)q Peso del envase = 1 ~ `(j = 82; o = 6)q Costo de la conserva = $0. 60 por q Costo del envase = $0. 08 por q Calcular la probabilidad de que una unidad terminada tenga un costo inferior a $300. Resp: 0. 2296 11. Los diámetros de remaches producidos por una máquina tienen distribución normal de media 3 mm y desvío 0,01 mm. La especi…cación para los mismos es 3. 01 ± 0. 025 mm. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 remaches haya más de 5 defectuosos? b) ¿Cuántos remaches habrá que fabricar para obtener, con un 90% de probabilidad, 4 buenos?Resp: a) 0,0006; b) 6 12. El peso de ciertos bulones producidos en una fábrica es una variable l(35. 45). Las tuercas corre- spondientes tienen peso también aleatorio según una distribución `(16. 5) gr. Si se arman paquetes con 20 pares bulón-tuerca, a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete pese más de 1,1 kg? b) ¿Cuántos paquetes hay que controlar, como media, para encontrar 3 que tengan menos de 1,1 kg? c) ¿Cuál es la probabilidad de tener que revisar más de 5 paquetes hasta encontrar 3 que pesen menos de 1,1kg?. Resp: a) 0,78; b) 14 13. Una quinta produce naranjas que son envasadas en cajones de 200 naranjas y luego exportadas en camiones para su comercialización. Se sabe que el peso de una naranja es una v.a de media 140 gr y desvío 20gr y se supone que el peso de cada cajón vacío es de 2kg. a)¿cuál es la probabilidad de que un cajón lleno pese más de 30,7kg? b) Si cada camión carga 300 cajones y la carga máxima es de 9 toneladas ¿cuál es la probabilidad de que exceda la carga máxima? c)¿cuál es la probabilidad de encontrar en un camión menos de 3 cajones con peso superior a 30,7 kg? d) ¿Cuantos cajones se pueden cargar para que la probabilidad de superar la carga màxima de 9 tn sea del 1%?Rta: a) 0.0067; b) 0.5; c) 0.67; d) 16 14. El consumo diario de combustible en una planta industrial es una variable aleatoria com media 35 litros y varianza 140 litros al cuadrado. ¿Qué capacidad en litros deberá tener un tanque para satisfacer el consumo de 300 días con 90% de con…abilidad? Rta: 10762 litros 15. Una máquina envasadora de productos líquidos descarga una cantidad A aleatoria en latas de 2 litros. La cantidad A varía uniformemente entre 0,2 y 2,2 litros, rebasándose la cantidad que supera el volumen de la lata. a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de la 1 variable cantidad de volumen de la lata? b) Hallar la media y el desvío de 1 ; c)¿Qué probabilidad existe de que en 30 latas haya más de 35 litros de producto? Rta: b) j = 1. 19; o = 0. 562;c) 0,591 16. Un camión transporta cajas cargadas de artículos varios. El peso de estas cajas es una variable muy asimétrica y dispersa con un valor medio de 25 kg y un desvío estándar de 18 kg. De acuerdo con las reglamentaciones vigentes, la carga máxima que puede llevar el camión es de 4000 kg, sin embargo, como el sitio de carga no dispone de báscula, existe el riesgo de superarla en caso de colocar demasiadas cajas. Calcular el número máximo de cajas a cargar en el camión para que la probabilidad de dicho evento sea a lo sumo del 5%. Resp: 145 17. Una empresa tiene 3 vendedores, A, B y C. Las ventas diarias de cada uno son sumamente variables y se conocen sus medias y desvíos pero no sus leyes de distribución. Dichos parámetros valen 100 y 45 para A, 120 y 30 para B y 94 y 15 para C. Calcular: a) la probabilidad de que en 40 días hábiles, B y C en conjunto dupliquen al menos las ventas de A; b) la probabilidad de que en 60 días hábiles B venda al menos un 30% más que C; c) la venta total mínima que, con 95% de con…abilidad podrá obtenerse con los 3 durante los próximos 60 días hábiles. Resp: a) 0. 8212; b) 0. 305; c) 18127 18. PARA RESOLVER CON EXCEL: Hay unas zapatillas económicas que se expiden en cajas de cartón corrugado de 6 pares, cada par contenido en su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir que se encuentran 11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decidido efectuar un control al …nal de la línea de empaques, pero como obviamente sería ilógico abrir cada caja para veri…carla, se aplicará el siguiente procedimiento: Se colocará una balanza al …nal de la línea y se pesarán todas las cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe …jarse un peso crítico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrirá y, en caso de que le falte alguna zapatilla, se la completará. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condición de detectar al menos el 99% de las cajas incompletas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con los siguientes parámetros: Peso individual de las zapatillas: t ~ `(j = 170q; o = 7q) Peso de las cajas individuales: r ~ `(j = 50q; o = 5q) Peso de las cajas de cartón corrugado: ¸ ~ `(j = 300q; o = 40q) Calcular: a) el valor de C; b) el porcentaje de las cajas completas que se revisa inútilmente. Resp: a) C = 2581g b) 11% 19. Para REPASO: 20. El período de tiempo que el cajero de un banco atiende a cada cliente es una v.a. de media 3,2 minutos y un desvío de 1,6 minutos. Si se observa una muestra de 64 clientes a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio del tiempo de atención del cajero sea a lo sumo 2,7 minutos? 17 b)¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de atención del cajero a 1 cliente sea a lo sumo 2,7 minutos? ¿Qué supuestos son necesarios para calcular esta probabilidad? c) ¿Cuánto tiempo habrá que esperar como mínimo el 90% de las veces para atender a 64 clientes? Resp: a) 0.0062 b) 0,3783; c)188,4min?? 21. En una planta de procesamiento químico es importante que el rendimiento de cierto tipo de producto en lote se mantenga por arriba de 80%. Si permanece por debajo de 80% por un tiempo prolongado la compañía pierde dinero, entonces si varios lotes por dia resultan defectuosos, la planta se detiene y se llevan a cabo los ajustes. Se sabe que el rendimiento se distribuye normalmente con desviación estandar de 4%. a) ¿cuál es la probabilidad de una “falsa alarma” cuando el rendimiento medio es de 85%? b) ¿cuál es la probabilidad de una “falsa alarma” cuando el rendimiento medio es de 80%? c) ¿cuál es la probabilidad de no detectar que el rendimiento medio es de 76%? d) Realizar la curva de control (curva característica) en función del rendimiento medio utilizando Excel. Resp: a) 0,10565; b) 0.5; c) 0,15866 22. PARA RESOLVER CON EXCEL: Si el peso de los hombres es un v.a N(70; 12) kg y el peso de las mujeres v.a N(60; 10) kg. Si un ascensor admite una carga máxima de 460kg a) ¿Cuál es la probabilidad de que con seis hombres se exceda la carga máxima b)¿para qué carga máxima debiera calcular este ascensor si deseo que la probabilidad de que se exceda la carga límite sea del 1%? c) Si suben 4 hombres y 2 mujeres ¿cuál es la probabilidad de superar la carga máxima de 460kg? d) Si suben 6 personas ¿cuál es la probabilidad de superar la carga máxima de 460kg? Resp: a) 0.08; b) 488,48; c) 0,0158; d) 0 Ejercicios Adicionales 1. Se sacan en forma sucesiva y con reposición 3 cartas de un mazo de truco.Se realiza un segunda tanda de extracciones con reposición hasta obtener la misma cantidad de copas que en la primera extracción. Si se paga $4 por jugar y se cobra $1 por cada extracción que se hace en la segunda tanda, a) Cuál es la probabilidad de ganar $4? b)Cuál es la probabilidad de haber sacado 1 copa en la primera si se obtuvo una ganancia de $0? 2. En un proceso de pintura se producen con media 1 falla por unidad, según un proceso de Poisson. Las normas de control de calidad cali…can como defectuosa toda unidad con más de 2 fallas. De los tres inspectores, ¹ y 1 aplican correctamente la norma, pero C, equivocadamente, clasi…ca como defectuosas las que tienen 2 ó más fallas. Si de un grupo de 15 unidades, que se saben inspeccionadas todas por el mismo inspector, hay 3 clasi…cadas como defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan sido inspeccionadas por C? Resp: 0,5504 3. De un lote de gran tamaño constituido por bombones de licor y de fruta, se arman dos tipos de cajas, A y B. Del total del lote el 8% son bombones de fruta. Las cajas A se arman con 10 bombones tomados al azar. Las cajas B con 10 bombones de licor. a)¿Cuál es la probabilidad de que una caja A contenga por lo menos un bombón de fruta? B) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que tomar 12 bombones del lote para armar una caja B? c) De una partida que contiene 35% de cajas A y el resto B se tomó una caja y esta no contenía bombones de fruta. ¿Cuál es la probabilidad que fuera una caja A? 18 4. La duración de un componente electrónico es una v. a. exponencial de media 2000 hrs. ¿Cuál es la probabilidad de que se prueben más de 6 de estos componentes para encontrar 2 cuya duración supere las 2300 hrs.? Un dispositivo utiliza 2 de estos componentes. Al encenderse el dispositivo solo uno de estos elementos se conecta. Cuando este falla comienza a funcionar el otro. ¿Cuál es la probabilidad de que este dispositivo dure más de 3000 hrs.? 5. Una empresa recibe lotes de 40 componentes electrónicos. El sistema de control que aplica consiste en muestrear los lotes seleccionando 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra algún componente defectuoso. La empresa considera que un lote con a lo sumo 3 defectuosos es aceptable, por lo que quiere decidir si el procedimiento de control es adecuado. a) si en un lote hay 3 defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que este lote sea rechazado? b) ¿le parece un buen procedimiento de muestreo? ¿porqué? Resp: a) 0,33755 b) no es un buen procedimiento. 6. Los depósitos en caja de ahorro responden a una distribución exponencial de media 1000$. Un decreto establece que no podrán retirarse más de 800$, por lo cual los titulares de las cajas que tienen menos de esa cantidad retiran todo y el resto decide sacar todo lo que se puede. a) ¿Qué porcentaje de cuentas queda sin dinero? b) ¿Cuál será la distribución de los depósitos que queda en las cuentas luego del retiro? c) Hallar la media de los depósitos que quedan en las cajas. Resp: a) 0,55 7. El número de buques tanque que llegan en un día a una re…nería tiene una distribución de Poisson con j = 2. Si más de tres buques llegan en un día, los que están en exceso deben enviarse a otro puerto, pues las actuales instalaciones portuarias pueden despachar a lo sumo tres buques al día. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que hacer salir buques en un día determinado? b) ¿Cuál es el número esperado de buques que llegan en un día? c) ¿Cuál es el número más probable de buques que llegan en un día? d) ¿Cuál es el número esperado de buques atendidos diariamente? e) ¿Cuál es el número esperado de buques rechazados diariamente? f) ¿En cuánto deben aumentarse las instalaciones actuales para permitir la atención a todos los buques el 90% de los días? Resp: a) 0, 15; b) 1(A) = 2; c) 1 ó 2; d) 1(¹) = 1. 78; e) 1(1) = 0. 22 8. Un conmutador telefónico recibe en promedio 60 llamadas por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar más de 10 minutos hasta que ingresa la primera llamada? b) ¿Cuál es tiempo medio de espera entre llamadas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora ingresen 30 llamadas? d) ¿Cuál es la cantidad media de llamadas que ingresan en 30 minutos? e) Sea T es el tiempo hasta la primera llamada, hallar la función de densidad de probabilidad de T y su función de distribución acumulada. d) Sea K la cantidad de llamadas en 30 minutos, hallar la función de probabilidad de K. 9. Un viajante tiene tres alternativas de viaje a su trabajo: A, B y C y sabe que los porcentajes de veces que usa estos medios son, respectivamente, 50%, 30% y 20%. El tiempo de viaje de cada medio de transporte es una v. a. 1 (en horas) con funciones densidad: , A (t) = t si 0 _ t _ / A 0 en otro caso , B (r) = 2t si 0 _ t _ / B 0 en otro caso , C (r) = 3t si 0 _ t _ / C 0 en otro caso a) Si se sabe que ha transcurrido media hora y aun no ha llegado al trabajo. ¿Cuál es la prob- abilidad de que llegue por el medio de transporte ¹? b) Hallar la función densidad del tiempo que demora en ir al trabajo. Rta: a) 5/9 19 10. En un circuito entran en serie dos elementos similares, que se obtienen del almacén al armarlo. En el almacén hay 80% de estos elementos de calidad A cuya vida media es de 2000 horas y 20% de calidad 1 , cuya vida media es de 1000 horas, ambos distribuídos exponencialmente. Sabiendo que el circuito hace 2000 horas que funciona sin fallas, calcular la probabilidad de que contenga al menos un elemento de calidad A. Resp: 0,9929 11. Un concurso de pesca dura 2 horas. La tasa de pique es de 1,5 pez/hora. La probabilidad de pescar un pez que pica es del 70%. Se pueden pescar hasta 3 peces. a) Calcular el % de concursantes que presenta 3 peces b) Cual es la P de que un concursante presente 3 peces antes de la 1/2 hora? c) Si un pez pesa según una N(500,100) Calcular la P de que el concursante presente más de 2 Kg de peces si trae 3 pescados, idem si no se sabe que cantidad de peces trae. 12. Se tienen dos máquinas para fabricar caños por extrusión de 6 metros de longitud. Un inspector rechaza los caños con fallas; va primero a una máquina y necesita revisar 5 caños para encontrar uno fallado; en la otra lo encuentra al 3er caño revisado. Se sabe que las fallas se producen al azar, en la máquina A con un promedio de 1 cada 30 m y en la B de 1 cada 28 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera inspección haya sido en la máquina B? Resp: 0,5663 13. Unos cajones de ciruelas se arman con 10 ciruelas chicas y 30 ciruelas grandes. El peso de las ciruelas chicas es Uniforme(20;40) gr. El peso de las grandes es aleatorio según ,(r) = x 450 si r ¸ (40; 50). 0 en otro caso. a) ¿cuál es la probabilidad de que el peso neto de uno de estos cajones de ciruelas supere los 1700gr? b) Si los envases tienen un peso `(200; 30) y los cajones se controlan con una balanza antes de salir a venta rechazando los que pesan menos de 1750gr. ¿qué porcentaje de cajones es rechazado? c) ¿Qué peso bruto debería informarle al transportista para que sólo el 4% de los cajones lo supere? 14. El intervalo de tiempo entre llegadas de personas para tomar un ascensor es una v.a. Exponencial de media 40 segundos. Si el ascensor llega exactamente cada 2 minutos. a) ¿Cuál es la fdp de la cantidad de personas que subirán al ascensor si tiene capacidad para 4 y llega vacío? b) Si existe una probabilidad del 20% de que una persona baje en el 1 o piso ¿Cuál es la fdp de la cantidad de personas que bajan y su media? c) Si baja 1 persona ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido la única persona a bordo? Resp: a) P (x = 0) = 0,0498; P (x =1) = 0,1494; P (x =2) = P (x=3) = 0,2240; P (x = 4) = 0,3528 ; b) P (y = 0) = 0,5719 ;P (y =1) = 0,3321; P (y = 2) = 0,0847; P (y =3) = 0,0108; P (y = 4) = 0,0006; j Y = 0. 5361;c) 0,09 Parcial I 1. Un ordenador personal está contaminado por un virus y tiene cargados dos programas antivirus que actúan independientemente uno del otro. Ni bien aparece un virus es detectado por uno u otro programa. El programa v1 detecta la presencia del virus con una probabilidad de 0.9 y el programa v2 detecta el virus con una probabilidad de 0.8. a)¿Cuál es la probabilidad de que el virus sea detectado? b) Si fue detectado ¿cuál es la probabilidad de que lo haya detectado el programa v2. 2. Un determinado producto se envasa en paquetes cuyo peso, en gramos, se comporta como una v.a uniforme U(100;150) y la caja se comporta como una v.a. normal N(60;3). Si se forman cajas con 10 paquetes cada una, se pide determinar: a)Determinar entre que valores se encuentran los pesos el 90% para las cajas. b)¿Qué porcentaje de cajas pesa menos de 1,3kg? (Hacer un esquema de la densidad normal indicando lo pedido en cada ítem) Resp: a) Entre 1234,69 y 1385,31; b) 0,4129 20 3. Una máquina originalmente produce piezas de peso A según la función densidad ,(r) = 2r,9 para 0 < r < 3 (en gramos) , pero las piezas sufren un control que logra descartar las que pesan menos de 0,6 gramos. a) ¿Cuál es la función densidad de las piezas no descartadas? b) A un comprador A las piezas se venden a $2 pesos el gramo ¿Cuál es precio de venta medio por pieza? c) A un comprador B las piezas se venden a $3,5 por pieza ¿Cuál es precio de venta medio por gramo de pieza? d) ¿a cuál de los compradores se vende en promedio más cara la pieza? Resp: a) 25r,108 si 0. 6 < r < 3 y 0 para otro x; b) $4,14; c) $ 1,69; d) A paga más cara la pieza. 4. Un fabricante asegura que la duración de unos dispositivos electrónicos tienen distribución ex- ponencial de media 2500 hs. Si en una empresa telefónica todos los dispositivos de esta clase se cambian, funcionen o no, a las 5000 hs a)¿qué porcentaje de esos dispositivos funcionaría un tiempo mayor a 5000 hs? b) Si se cambiaron 10 dispositivos ¿cuál es la probabilidad de que aún funcionen más de 2 entre esos 10?c)¿Cómo se distribuye el tiempo de uso de los dispositivos? Resp: a) 0,1353; b) 0,143; c) f (t) = 1/2500 c t=2500 si t =0; f (t) = 0 si t<0 Parcial II 1. La energía se produce en generadores eolicos en forma aleatoria según una densidad ,(r) = r,4 si 0 < r < 2 y (r) = ÷r,4+1 si 2 < r < 4 (A en kw). La transmisión se hace por líneas que provocan que la potencia recibida 1 se modi…que de acuerdo a la siguiente expresión: ¸ = ÷(r ÷1) 2 + 1 si 0 < r < 2 y ¸ = r,2 ÷ 1 si 2 < r < 4. ¿Cuál es la probabilidad de que la potencia que se recibe en una estación derivadora supere los 0,8Kw? ¿Cómo es la potencia que se recibe en la citada estación? 2. Los ómnibus arriban a una terminal en forma exponencial. Se observó que la probabilidad de que un ómnibus arribe antes de 15min es de 70%. a) ¿cuál es la probabilidad de que en 1hora y 40 min arriben 5 ómnibus? b)¿Cuál es el tiempo medio para que arriben 5 ómnibus? c) Si en la última media hora llegó un ómnibus, ¿cuál es la probabilidad de que arriben 2 antes de 50 min? Resp: a) 0,09 b)62,5min c)0,798 3. Un vehículo de transporte de cargas tiene una capacidad autorizada de 1600kg. Normalmente transporta paquetes cuyo peso es una v.a. Normal(105,12). a) ¿Cuántos paquetes podrá trans- portar para que sólo un 5% de los viajes exceda el valor autorizado? b) En alta temporada además de estos paquetes transporta cajones cuyo peso es una v.a. N(70,10). ¿Cuál es la probabilidad de exceder los 1600kg si se cargaron 18 bultos tomados al azar y los cajones constituyen el 60% del total? c) Si sólo se transportan cajones y la cantidad que se carga es una variable Poisson de media 13, ¿cuál es la probabilidad de que se cargaran más de 15 cajones? y que se carguen más de 1500kg? 4. La longitud de unas varillas en cm es una v.a. con ,(r) = r ÷ 3 si 3 < r < 4 y ,(r) = 5 ÷ r si 4 < r < 5. a) Las varillas que miden más de 4,5cm son cortadas por la mitad ¿cuál es la densidad de probabilidad de la longitud de las varillas cortadas? b) Si de las varillas originales, sin cortar ninguna, se seleccionan 10 ¿cuál es la probabilidad de que menos de 8 de ellas midan menos de 4cm? c) Las varillas cortadas se mezclan con las de longitud inferior a 4cm, ¿cómo será la longitud de estas varillas mezcladas? Resp: a) ,(¸) = 80 ÷32¸ si 2.25 < ¸ < 2.5; 0 en otro ¸. b)0.9452 Parcial III 21 1. Según los servicios de espionaje, los mensajes enviados por A ocurren según un modelo Poisson con tasa de 2 por semana. Los mensajes de B, en cambio, se envían con tasa de 3 por semana. Los expertos opinan que la fuente A envía el 70% de los mensajes. En un lapso de 10 días se interceptaron 2 mensajes del mismo origen, ¿cuál es la probabilidad de que los haya enviado B? Si no se toma en cuenta la opinión de los expertos, ¿varía la probabilidad calculada? Por qué? Resp: a) 0,1877 2. Se producen piezas de fundición que resultan con peso variable con densidad ,(r) = 0. 003r 2 si 0 < r < 10 (en gramos). Sufren un proceso de maquinado que reduce su peso en un 20% y se les coloca …nalmente un tornillo que pesa 2gr. a)¿Cuál es el peso medio de las piezas elaboradas? Cuál es su varianza? b) Si las piezas elaboradas se empacan en paquetes de 30 y se arman paquetes con 28 piezas de fundición, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete de las piezas elaboradas supere en peso a un paquete de las pzas de fundición? Resp: a) j = 8; o 2 = 2,4; b) 0,9881 3. Un fabricante asegura que la duración de los neumáticos que fabrica (esto es, cumpliendo las normas) es exponencial con media de 50 (en miles de km). Una empresa que equipa sus móviles con estos neumáticos los cambia, aunque aún sirvan, a los 60 mil km. a) ¿Qué porcentaje de neumáticos serviría por más de este kilometraje? b) Si se cambiaron recientemente 16 neumáticos, ¿cuál es la probabilidad de que más de 2 de estos pudieran estar aún en condiciones? Resp: a) 0,3 b) 0,9739 4. La vida media de un componente marca A es de 15 meses, siguiendo un modelo exponencial. Para la marca B, la duración del mismo tipo de componentes sigue una función densidad ,(r) = r ÷6 50 si 6 < r < 16.Se cuenta con un stock con el 80% de componentes tipo A y el resto B. a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los componentes del stock dure menos de 10 meses? b) ¿Cuál es la densidad de la duración de las componentes del stock? Resp: a) 0,42 b) ,(t) = 4,75 c t=15 si 0 < t < 6; ,(t) = 4,75 c t=15 + r,250 - 3/125 si 6 < t < 16; ,(t) = 4,75 c t=15 si t 16 c) 0,99 22 5 Variables aleatorias en 2 o más dimensiones 1. Dos líneas de producción manufacturan cierto tipo de artículos. Suponga que la capacidad (en cualquier día dado) es 2 artículos para la línea I y 3 para la línea II. La tabla adjunta muestra la distribución de probabilidades conjunta para la producción de articulos: A I A II 0 1 2 3 0 0 0,04 0,02 0,09 1 0,02 0,14 0,21 0,14 2 0,07 0,06 0,07 0,14 Obtener: a) las funciones de probabilidad marginales; b) la probabilidad de que la línea I produzca 1 o 2 artículos y la línea II 2 o más; c) la probabilidad de que la línea I produzca más que la II; d) la probabilidad de que se produzcan en total 3 artículos; e) la probabilidad de que se produzcan 2 en total si se sabe que la línea I produce menos de 2; f) ¿Son A e 1 independientes? 2. De un cajón de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 bananas, se seleccionan al azar 4 frutas. Si A es el número de naranjas obtenidas e 1 el número de manzanas obtenidas: a) Hallar la distribución de probabilidad conjunta y las distribuciones de probabilidad marginales. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad total de naranjas y manzanas obtenidas no supere a 2? 3. Se tiran simultáneamente un dado y dos monedas. Sea A: cantidad de caras obtenidas al tirar las dos monedas, e 1 : cantidad de ases obtenidos al tirar el dado. a) Hallar la función de probabilidad conjunta para (A. 1 ) b) Hallar las funciones de probabilidad marginales. c) Si se obtiene por lo menos una cara al arrojar las monedas y el dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un as? d) Si se obtiene un as, ¿cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo una cara? e) Hallar la función de probabilidad de A si se sabe que salió una sola vez as en el dado. 4. Un juego consiste en tirar una moneda 4 veces, siendo A la cantidad de caras obtenidas, y tirar luego tantos dados como caras se hubieran obtenido en el paso anterior. Si 1 cuenta la cantidad de ases, se pide: a) Encontrar la función de probabilidad conjunta; b) Hallar las f.de prob marginales. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el juego se tiren 4 dados? d) ¿Cuál es la función de probabilidad de A condicional a saber que se tiraron 4 dados? 5. Sea el triángulo en el plano con vértices en (1. 0); (0. 1) y (2. 1). Si el punto aleatorio (A. 1 ) se distribuye uniformemente en . hallar: a) la densidad conjunta ,(r. ¸).b) las densidades mar- ginales.c) la probabilidad 1(A 1); d) la probabilidad 1(A 1,1 0.5);e) la probabilidad 1(A 1,1 = 0.5) 6. Dos jóvenes han quedado en encontrarse entre las 20 y las 21 horas, pero cada uno no esperará al otro más de 10 minutos. Calcular la probabilidad de que se encuentren. ¿Qué condición debe suponer para la resolución del problema? 7. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = c(2 ÷ r ÷ 2¸) para 0 < r < 2; 0 < ¸ < 1 ÷ x 2 . Calcular: a) la constante c b) 1(1 0. 25A = 1); c) 1(1 0. 25A < 1).d) Si x =1 calcular la media de Y.Resp.: a) c = 1. 5 b) 0,25 c) 13/28 d) j y=x=1 =1/6 8. Una vinatería cuenta con instalaciones para atender a clientes que llegan en automóvil y a quienes llegan caminando. En un día seleccionado al azar, sean A e 1 , respectivamente, los períodos de tiempo que se utilizan para cada caso y suponga que la función de densidad conjunta es: 23 ,(r. ¸) = 2 3 (r + 2¸) para 0 _ r _ 1 e 0 _ ¸ _ 1; ,(r. ¸) = 0 para otro (r. ¸). a) Hallar las distribuciones de probabilidad marginales. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las instalaciones para quienes lleguen en automóvil se utilicen menos de la mitad del tiempo de lo que se utilizan para los peatones? Resp: a) ,(r) = 2 3 (r + 1) 0 < r < 1 0 En otro caso . ,(¸) = 2 3 (2¸ + 1 2 ) 0 < ¸ < 1 0 En otro caso ;b) 1,4 9. Sean A e 1 las duraciones en años de dos componentes en un sistema electrónico cuya función de densidad de probabilidad conjunta es: ,(r. ¸) = c (x+y) para r 0; ¸ 0; ,(r. ¸) = 0 en otro (r. ¸). a) ¿Son A e 1 independientes? b) Encontrar la 1(0 < A < 1,1 = 2).Resp: a) si b) 0,63 10. Se elige un punto al azar en el intervalo (0; 1) y se llama A a la distancia de este punto al origen. Luego se elige otro punto al azar en el intervalo [r; 1] y se llama 1 a la distancia de éste al origen. Hallar la función de densidad de 1 . Rta: ,(¸) = ÷ln(1 ÷¸) si 0 < ¸ < 1; 0 en otro caso. 11. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = 24r 2 ¸(1 ÷ r) para 0 < r < 1; 0 < ¸ < 1 a) Demostrar que las variables A e 1 son estadísticamente independientes. b) Calcular la función de regresión de 1 condicional a A. Resp: a) al ser un dominio rectangular y expresarse ,(r. ¸) como un producto , 1 (r), 2 (¸), queda probada la independencia; b) 1(1,A) = 2,3 12. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = 24¸(1 ÷ r) para 0 < r < 1; 0 < ¸ < r. Hallar: a) la función de regresión de 1 dado A b) 1(r 0. 5¸ = 0. 25) c) 1(r 0. 5¸ 0. 25).Rta: a)1[¸,r] = 2 3 r para 0 < r < 1; b) 4,9; c) 0. 80 13. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = r + ¸ para 0 < r < 1; 0 < ¸ < 1. Calcular: a) 1(1 A) b) 1(A1 < 0. 5) c) el coe…ciente de correlación entre A e 1 . Resp: a) 0,5; b) 0,75; c) –0,0909 14. Una compañía dulcera distribuye cajas de chocolate con una mezcla de tres tipos de chocolate: blanco, con leche y al licor. Suponga que el peso de cada caja es de 1 kg, pero los pesos individuales de las blancos, con leche y de licor varían de una caja a otra. Para una caja seleccionada al azar, A e 1 representan los pesos de chocolate blanco y con leche, respectivamente, y suponga que la función de densidad de probabilidad conjunta es: ,(r. ¸) = 24r¸ para 0 _ r _ 1 , 0 _ ¸ , r+¸ _ 1 ; ,(r. ¸) = 0 en otro (r. ¸). a) Hallar la probabilidad de que en una determinada caja el peso de los chocolates al licor sea más de 1/2 del peso total. b) Hallar la distribución de probabilidad marginal del peso del chocolate blanco y la distribución condicional de A dado 1 . c) Hallar la probabilidad de que el peso de los chocolates con leche en una caja sea menos de 1/8, si se sabe que el chocolate blanco constituye el 2/4 del peso. d) ¿Cuál es el peso medio del chocolate blanco y el chocolate con leche para una de estas cajas de chocolate? 15. La cantidad de querosene en un tanque al principio del día es una variable aleatoria 1 (en miles de litros) de la cual una cantidad aleatoria A se vende durante el día. Suponga que el tanque no se recarga durante el día, de tal forma que A _ 1 , y suponga que la función de densidad conjunta es ,(r. ¸) = 2 para 0 < r < ¸; 0 < ¸ < 1; ,(r. ¸) = 0 en otro (r. ¸). a) Determinar si A e 1 son independientes. b) Hallar la 1(1,4 < A < 1,2,1 = 3,4) c) Hallar la cantidad media de querosene que queda al …nal del día. Rta: a) A e 1 no son independientes; b) 1,3; c) 1,3 16. Sea A el peso en toneladas de sandías que tiene almacenado un intermediario a principio de semana, con A uniforme en (0. 3). El peso total de lo que vende en una semana es una variable 1 tal que ,(¸,r) es uniforme en (0. r).a) Si el intermediario vendió en una semana 1 tonelada, 24 ¿cuál es la probabilidad de que haya tenido almacenadas más de 2 tn.? b) Hallar la densidad de 1 . c) Hallar el valor medio de la cantidad que queda sin vender a …nal de semana . Rta: a) 0. 37; b) ,(¸) = 1 3 (ln 3 ÷ln ¸) 0 < ¸ _ 3 0 En otro caso .c) 3/4 17. Sean A e 1 las variables de…nidas en el ejercicio 5, hallar la función de regresión de 1 condicional a A. 18. Sean A e 1 las variables de…nidas en el ejercicio 3, se pide: f) ¿Cuál es la distribución de probabilidad de la suma o = A +1 ? g) Hallar de dos formas diferentes la media de la suma o y su varianza. h) Suponga un juego en el que en un solo tiro de dado y dos monedas se obtiene una ganancia G dada por la siguiente fórmula: G = 2A + 31 . Hallar la ganancia media y su varianza resolviendo de dos formas distintas. 19. Sean A e 1 las variables de…nidas en el ejercicio 5, hallar la función de densidad de o = A +1 . 20. Sean A e 1 las variables de…nidas en el ejercicio 9, hallar la función de densidad de 1 = A ÷1 . 21. Se elige al azar un punto 1 en el intervalo (3; 8) del eje X y un punto Q en el intervalo (2; 5) del eje Y. Calcular la probabilidad de que la longitud del segmento 1Q sea mayor que 5. Resp: 0,8757 22. Las barras provenientes de un tren de laminación tienen sección rectangular y sus lados A e 1 tienen longitudes variables con distribuciones uniformes independientes entre 1 < r < 1. 1 y 2 < ¸ < 2. 2 respectivamente. Determine la probabilidad de que el área de una barra sea superior a 2. 2. Resp: 11(1 ÷10.|:(1. 1)) = 0. 5159 23. Dada ,(r. ¸) = cr+¸ 2 en el dominio 0 < r < 2.0 < ¸ < 1. Hallar: a) el coe…ciente de correlación entre A e 1 b) la densidad de 2 = A 1 ;c) la densidad de 1 = A1 . Resp: a) –0,1268; b) /(.) = z 18 + 1 4 0 < . < 2 4 9 . 2 + 4 z 4 . _ 2 24. En una línea de montaje se arma un mecanismo que tiene un eje que gira dentro de un buje. Un eje y un buje ajustan satisfactoriamente si el diámetro del segundo excede al del primero en no menos de 0,005 y no más de 0,035. a) Si los diámetros de los ejes y los bujes son variables aleatorias con distribuciones uniformes independientes en el intervalo (0.74; 0.76) para los ejes y (0.76; 0.78) para los bujes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un eje y un buje tomados al azar ajusten satisfactoriamente? b) Considere ahora que las variables son normales con las mismas medias y desvíos que en (a) y recalcule la misma probabilidad. Resp: a) 0,9375; b) 0,934 25. El porcentaje de votos que puede obtener el candidato A es una variable A y el porcentaje de votos para el candidato B es una variable 1 tales que la función densidad conjunta es ,(r. ¸) = /r 2 ¸ si 0 < r < 1 y 0 < ¸ < 1 ÷r 0 en otro caso (a)¿Cuál es la probabilidad de que A saque más votos que B? (b) Si 2 es la variable que da el % de votos que suman entre ambos candidatos,¿Cómo se distribuye 2? Rta: a) / = 60; 11,16; b) 1(.) = 8 < : 0 si . _ 0 . 5 0 < . < 1 1 . _ 1 ; ,(.) = 5. 4 0 < . < 1 0 En otro caso 25 6 Inferencia estadística 1. Suponga que la distribución de las concentraciones de SO4 para una estación de contaminación es normal con un desvío estándar de 4 p.p.m. (partes por millón). Captando 16 muestras de una hora de duración cada una, seleccionadas al azar en un período de estudio, se obtuvo un promedio de 9 p.p.m. Se pide: a) hallar un intervalo de con…anza del 95% para estimar la verdadera media; b) ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra si se desea que el error sea igual o inferior a 0,25 p.p.m., con una con…anza del 90%?; c) ¿cuál es el intervalo de con…anza del 95% para estimar la media si el desvío fue estimado a partir de los datos de la muestra (igual a 3,8 p.p.m.)? Rta: a) [7. 04; 10. 96]; b) : = 689; c) 2. De un conjunto de datos sobre la demanda bioquímica de oxígeno en una cierta estación ‡uvial se obtuvo que para 25 días seleccionados al azar, dicho parámetro indicador de contaminación arrojaba una media muestral de 35 mg/l . Asumir que el nivel diario de demanda bioquímica de oxígeno obedece a una distribución normal con varianza de 0,184 (mg/l) 2 . a) Halle el intervalo de con…anza del 99% de nivel de con…anza para estimar el verdadero valor medio de la D.B.O. b) Si un ingeniero no está de acuerdo con la amplitud del intervalo establecido en (a) y quisiera reducirlo en un 10% considerando el mismo nivel de con…abilidad, ¿cuántas mediciones diarias adicionales debería realizar? Rta: a) [34. 79; 35. 21];b) n=6 3. Suponga que una muestra de 9 barras extraídas al azar de una producción arrojan una media de 20 cm y que la longitud de las barras es una v.a.Normal con desvío o = 3 cm. a) ¿Cuál es el intervalo de con…anza del 90% de nivel de con…anza para estimar la longitud media de las barras? b) ¿Cuántas barras adicionales deben ser medidas para aumentar la con…anza del mismo intervalo al 95%? c) Si el desvío poblacional se desconoce pero las 9 mediciones arrojaron un valor de 9 P j=1 (r j ÷ 20) 2 = 84. 5 ¿cuáles son los intervalos de con…anza del 90% para estimar la media, la varianza y el desvío de la longitud de las barras? a) [18. 35; 21. 65]; b) Debera agregar 4 barras;c) I.C Media [18. 22; 21. 78];I.C Varianza [5. 45; 30. 92]; I.C Desvio [2. 33; 5. 56] 4. Los neumáticos fabricados en una empresa deben tener una utilidad media de al menos 60000 km. Para veri…car dicha especi…cación, se prueban 20 neumáticos y se observa que el promedio de duración (en miles de km) fue r = 59 y que 20 P j=1 r j 2 = 69810.Suponiendo que la utilidad de esos neumáticos se distribuye como variable aleatoria normal, a) Hallar los intervalos del 95% de con…anza para estimar la media y la varianza de la utilidad en base a la muestra dada. b) ¿Cuántos neumáticos habría que relevar para que el intervalo de con…anza de la media tenga un nivel de con…anza del 99%, con la misma amplitud que el hallado en a)? 5. Una muestra aleatoria de 100 obreros extraída de una población expuesta durante más de 15 años de trabajo en minas de plomo, reveló mediante análisis apropiados que el 55% de ellos se hallaba afectado de saturnismo (la enfermedad del plomo). Halle los intervalos de con…anza del 95% y 99% de N.C. para la verdadera proporción de obreros afectados en la población. Rta: Para un N.C del 95% , I..C [0. 45; 0. 65];Para un N.C del 99% , I..C [0. 42; 0. 68] 6. Las valijas producidas por una cierta compañía fueron capaces de resistir en promedio una presión de 500 libras. Se utilizó una nueva clase de material y se examinó una muestra aleatoria de 25 valijas, encontrándose que su resistencia media a la rotura fue de 512,5 libras y su varianza de 1296 libras 2 . Suponga que la resistencia a la rotura de las valijas está distribuida normalmente. 26 a) Halle un intervalo de con…anza del 90% de NC para estimar la media, la varianza y el desvío de la resistencia a la rotura de las valijas. b) Suponga que se conoce la varianza poblacional igual a 2401 libras 2 , ¿hay alguna evidencia que pueda probar que la resistencia media a la rotura haya aumentado signi…cativamente? (Tome una decisión a un nivel de signi…cación del 5%). c) Para el ensayo de hipótesis del ítem anterior, gra…que la curva característica con al menos 4 puntos. 7. A una muestra aleatoria de 100 amas de casa que han escuchado un cierto programa se les preguntó sobre la efectividad de la propaganda de un determinado producto y 39 de ellas dijeron que habían sido inducidas a comprar dicho producto. a) Construya un intervalo de con…anza del 98% de nivel de con…anza para la verdadera proporción de amas de casa que son inducidas a comprar un cierto producto. b) ¿Hay su…ciente evidencia para que los patrocinadores del programa a…rmen que la mayoría de las amas de casa serán inducidas a comprar el producto? Suponga un c = 0. 05. c) ¿Cuál es la probabilidad de dar la razón a los patrocinadores del programa cuando en realidad el 40% de las amas de casa son inducidas a comprar el producto? 8. La longitud de los cables de acero fabricados por una máquina es una v.a. Normal. Se desea estimar la media y la varianza de la longitud de dichos cables. A tal …n un operario toma una muestra aleatoria de 12 cables obteniendo las siguientes longitudes (en metros): 9,2; 9,7; 9,8; 10,2; 10,4; 10; 9,4; 9,5; 10,3; 9,9; 9,7;9,5. a) ¿Cuáles son los intervalos de con…anza del 95% de nivel de con…anza para la media y la varianza de la longitud de los cables? b) ¿Rechazaría Ud. la a…rmación del operario de que la longitud media es de 10 metros a un nivel de signi…cación del 1%? Suponga conocido el desvío poblacional igual a 0,35 metros. c) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II si la longitud media verdadera fuese de 10,5 metros? 9. Una determinada universidad a…rma que sus profesores cobran un sueldo medio anual no inferior a 7200 dólares con una desviación standard de 2000 dólares. En una muestra de 400 profesores se encontró un salario medio anual de 6900 dólares. a) Con un nivel de signi…cación del 5% compruebe dicha a…rmación. b) Si el salario medio anual fuese de 7000 dólares, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error del tipo II? Rta: a) Rechazo la a…rmacion;punto critico = 7036; b) 0. 36 10. Una máquina automática de embolsado de papas es diseñada para ubicar en promedio por lo menos 112 kilos en cada bolsa. Alguna variación es inevitable, pero un inspector de pesas y medidas sospecha que está embolsando por debajo del peso. Elige 8 bolsas al azar y encuentra que el peso de cada bolsa arroja los siguientes valores: 115, 110, 109, 107, 108, 102, 111, 113. a) ¿Qué conclusiones puede el inspector extraer, planteando una prueba de hipótesis con c = 0. 05? b) Para estos datos, decida para qué valores del nivel de signi…cación c se rechazaría la hipótesis. Encuentre el p-valor y explique su signi…cado. 11. La e…ciencia de los operarios de una gran empresa es una v.a. Normal. Una muestra de 10 operarios arroja los siguientes valores de e…ciencia: 100, 115, 70, 115, 75, 80, 100, 90, 100, 95. a) Encuentre los intervalos de con…anza del 98% de nivel de con…anza para estimar la e…ciencia media, la varianza y el desvío de la e…ciencia de los operadores. b) ¿Rechazaría Ud. la hipótesis a un nivel de signi…cación del 5% de que la e…ciencia media es a lo sumo 90 suponiendo que el desvío es conocido e igual a 15? c) ¿Aceptaría Ud. la hipótesis planteada en (b) si se quiere diferenciar una alternativa de 92? ¿Qué conclusiones extrae de este resultado? d) ¿Cómo modi…ca el test planteado en (b) si el desvío poblacional no es conocido? Rta: a) c) I.C Media [80. 23; 107. 77];I.C Varianza [98. 77; 1024. 91]; I.C Desvio [10. 35; 33. 33];b) Se acepta la hipotesis, Xc=97. 77;c) 0. 88; 27 12. Una de las más celebres Leyes de Murphy establece que “si se deja caer al suelo una tostada untada con dulce, la probabilidad de que caiga del lado del dulce es mayor que la de que caiga del lado del pan”. Para veri…carla, se desea realizar un experimento en la University de Southwestern Louisana, en el que se dejan caer : tostadas untadas con mermelada de grosellas y se observa cuántas caen del lado del dulce. El comité de investigaciones de la universidad decreta que, para que el experimento sea considerado concluyente, deberá cumplirse que si la Ley de Murphy es falsa (la probabilidad de caer del lado del dulce es 1 2 ), el riesgo de decir que es verdadera es de 0,02 y si la Ley es cierta, y la probabilidad de caer del lado del dulce es igual a 0.6, entonces la proba- bilidad de con…rmarla debe ser de 0.9. ¿Cuántas tostadas hay que arrojar para que se cumplan estas condiciones? Indique el ensayo de hipótesis elaborado.Rta: a) : = 273; Criterio: "digo que la ley es falsa si b j < 0.56" 13. Dos personas A y B juegan a cara y cruz con una moneda. Al cabo de 100 partidas A, que eligió cara, ha ganado 62 veces. Tras este resultado, B a…rma que la moneda está cargada, y que la probabilidad de obtener cara es al menos 2/3. A sostiene que la moneda no está cargada. ¿Quién tiene razón? Analice ambas posibilidades realizando los ensayos de las hipotesis correspondientes a un nivel de signi…cación del 5%.Indique riesgos implícitos y las condiciones bajo las cuales es válido el desarrollo de cada ensayo. 14. El diámetro de los ejes producidos por un torno automático es una v.a. con una desviación típica igual a 0,24 mm. A los efectos de veri…car el posicionado de la herramienta se tornean 40 ejes, resultando un diámetro medio de 12,1 mm. a) Determine un intervalo de con…anza del 95% de N. C. para el valor del diámetro medio de los ejes. b) ¿Cuántos ejes adicionales deberán tornearse si se desea que la amplitud de dicho intervalo sea de 0,12 mm? c) ¿Aceptaría Ud. la hipótesis de que el diámetro medio de los ejes es de 12 mm a un nivel de signi…cación del 10%? 15. Una máquina tiene dos posibles posiciones. En la 1 a produce componentes cuya dimensión es una v.a. `(10; 1), mientras que en la posición 2 corresponde a una v.a. `(10.25; 1). Desafortunada- mente no ha sido registrada la posición para una larga secuencia de operaciones independientes. Se propone medir 25 componentes y si su dimensión promedio se halla por debajo de 10.1 se decide que fue usada la posición 1, y en caso contrario, se decide que fue usada la posición 2. a) Calcule la probabilidad de llegar a conclusiones erróneas. b) ¿Cuántos componentes deberían ser controlados para que la probabilidad de decidirse a favor de la posición 2, cuando en realidad rige la posición 1, sea inferior a 0,01? ¿Cuál es entonces la probabilidad de decidirse por la posición 1 cuando vale la 2? c) Para 100 componentes, ¿cuál debería ser la regla de decisión de modo tal que la probabilidad de decidirse por la posición 1 cuando la máquina está en la 2 sea de 0,02? 16. Un fabricante de acero a…rma que suministra su producción con una dureza que obedece a una distribución normal de media 75 y desvío 1. Diseñe una prueba de hipótesis a dos colas bajo las siguientes condiciones: (I) Probabilidad de cometer error tipo I igual a 0,05 y (II) Probabilidad de cometer error tipo II para durezas que se aparten en más de 2 unidades de la enunciada, debe ser a lo sumo 0,05. Determine: a) los intervalos de aceptación y rechazo de la hipótesis planteada; b) el tamaño de la muestra que satisface las condiciones impuestas. 17. Se debe inspeccionar la densidad del pavimento de un nuevo aeropuerto mediante la extracción de probetas. Se sabe que la densidad de dicho pavimento tiene una distribución normal con o = 3% 28 y que para lotes de calidad buena la densidad media es de 96% y para los de calidad pobre del 92%. Diseñe el plan de muestreo para decidir si el pavimento es de buena o mala calidad, si los riesgos tanto de la empresa constructora como de la inspección se establecen en el 5% (los riesgos ligados a decisiones erróneas en cuanto a la aceptación o rechazo de lotes de pavimento). Rta: : = 6, punto crítico = 0.94 18. Un pavimento debe tener, según el proyecto, un espesor de 18 cm promedio, admitiéndose una disminución de 0,5 cm para el promedio de cada muestra que consta de 4 cilindros (probeta extraída al azar). El espesor de la probeta obedece a una distribución normal con un desvío igual al 4% de su valor medio. a) ¿Cuál es el riesgo del contratista que le rechacen la recepción de la obra conforme al resultado de una muestra de 4 probetas? b) ¿Cuál es el riesgo del comitente de aceptar un pavimento de 15 cm de espesor promedio a la luz de los resultados observados en (a)? 19. Se debe usar una muestra de tamaño 1 para ensayar que el valor medio de una distribución exponencial es 1 contra la hipótesis de que dicho valor medio es 10. Si la hipótesis planteada es aceptada cuando el valor observado es menor o igual que 2 y la hipótesis alternativa es aceptada cuando el mismo excede dicha cantidad, halle las probabilidades de cometer errores tipo I y tipo II con este criterio. 20. Un analista político asegura que el candidato A sacará, en las próximas elecciones, más del 50% de los votos. Establezca cómo realizar un ensayo de hipótesis para con…rmar o no esta apelación. Indique riesgos implícitos y las condiciones bajo las cuales es válido el desarrollo del ensayo. 21. Un fabricante de baterías asegura que la duración media de éstas es de más de 2 años (se sabe que el desvío es o = 0.3 años). Determine las condiciones de un ensayo de hipótesis para aceptar o no la aseveración del fabricante con un nivel de signi…cación del 5% de modo que la probabilidad de error de tipo II para una media de 1,8 años sea del 5%. Gra…que la curva característica del ensayo (con al menos 4 puntos). 22. Una empresa pesquera proveedora de sardinas a una planta envasadora recibe la siguiente in- dicación por parte de la envasadora: A todo lote recibido se la hará un control de recepción consistente en pesar 30 sardinas seleccionadas al azar del lote y rechazar el lote completo si el peso promedio es mayor que 264 gr ya que se considera que serían demasiado grandes para en- vasarlas. El peso de las sardinas tiene un desvío de 35gr. A continuación se ha gra…cado la curva 29 característica del control. a) ¿Cuál es la variable de decisión y el criterio de aceptación-rechazo? ¿cómo se calcula cada punto de esta curva característica? b) Si la media verdadera es de 256gr ¿qué porcentaje de lotes será rechazado con el criterio adoptado? ¿y si la media fuera 268 gr? c) Explicar el signi…cado de la curva característica del control y lectura. d) Indicar cuáles son los pesos medios de los lotes que “suelen ser rechazados” y cuales son “generalmente aceptados”. ¿Qué pasa con los pesos medios que no están en estos dos grupos (aceptados-rechazados)? e) Si se toman para el control muestras de 60 sardinas con el mismo criterio de aceptación-rechazo ¿en qué cambia la curva de control? Indique el signi…cado del punto B y del punto A. ¿Cambian las conclusiones del ítem d)? 23. Diferencia de medias: Considere las siguientes longitudes de cables (en cm) obtenidas de una muestra extraída de cada uno de 2 lotes A y B: Lote A: 134; 146; 105; 119; 124; 161; 107; 83; 113; 129; 97; 123. LoteB: 70; 118; 101; 85; 107; 132; 94. Suponiendo que las longitudes de los cables en dichos lotes tienen una distribución normal, realice un informe para personas no expertas en estadística que permita comparar las longitudes de los cables provenientes de dichos lotes. Estimación bayesiana 24. Se sabe que la cantidad de veces que aparece la palabra ’Rolex’ en un mensaje Spam de 5 palabras se corresponde con una variable A S ~ 1i:o:ic|(: = 5. j = 0.7). En cambio, esta misma variable para los mensajes Spam es A noS ~ 1i:o:ic|(: = 5. j = 0.1). Observamos un mensaje de 5 palabras y aparece 1 vez ’Rolex’. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el mensaje provenga de una fuente de Spam? b) Si sabemos que a este servidor el 25% de los mensajes que llega es spam, ¿cómo cambia la probabilidad anterior? c) Considerando a j una variable aleatoria, ¿cuáles son las distribuciones a priori y a posteriori de j obtenidas en a)? y en b) ? 25. En un kiosco de kermesse se propone a los jugadores el siguiente juego: se presentan 9 cajas, todas con 8 bolitas, donde una tiene 8 bol. blancas, otra tiene 1 roja y 7 blancas, etc. Esto es, la caja "/" tiene exactamente / bolitas rojas (/ = 0. ..8), pero las cajas no están identi…cadas . El jugador elige al azar una caja, una niña con ojos tapados saca de ésta 2 bolitas, las muestra y 30 el jugador debe adivinar cuántas bolitas rojas había en la caja elegida (esto es, adivinar "/") y si acierta gana $100. Si usted jugó y en la muestra se obtuvo una blanca y una roja, ¿Qué valor de / respondería? 26. Formalizar el ejercicio anterior explicitando: la función de probabilidad a priori considerada para / y la función de probabilidad a posteriori hallada. Además, estimar el valor de / y dar un intervalo de aproximadamente el 90% de con…anza para /. 27. El peso \ (en gramos) de ciertos objetos es una variable aleatoria cuya función densidad es de la forma ,(r) = 1 2 (r ÷c) si c < r < c + 2 0 en otro caso A priori, se sabe que c tiene distribución l(0. 10). Se observa que el peso de tres de estos objetos es n 1 = 5; n 2 = 4; n 3 = 4. 5. En base a la información dada por la muestra, ¿qué puede deducirse de c? Encuentre la distribución a posteriori de este parámetro y dé estimaciones puntual y con un intervalo. 28. Se tiene una variable aleatoria A cuya función densidad depende de un parámetro c según la expresión ,(r) = 8 < : 3r 2 c 3 si 0 < r < c 0 en otro caso para la que se obtuvieron los valores muestrales r 1 = 2; r 2 = 6 ; r 3 = 1. Considerando r como estimador de la media de A. encuentre un estimador para el parámetro c. Rta: bc = 4 29. En el ejercicio anterior, encuentre la densidad a posteriori y un estimador bayesiano para el parámetro c. Rta: ,(c,:nc:t:c) = 8.6 8 .c 9 si c _ 6.Estimador puntual: `o(c) = 6 30. Un proceso de producción produce con una calidad del 100 p% de artículos defectuosos. A priori se supone que la proporción p de artículos defectuosos se distribuye uniformemente sobre el intervalo (0. 1). De una partida se examina una muestra de 6 artículos y se encuentran 2 defectuosos. En una caja se ponen otros 4 artículos de la misma partida. En base a la información muestral, estimar la probabilidad de que esta caja contenga un solo artículo defectuoso. 31. El número de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrial tiene una distribución Poisson de media ` desconocida. Sobre la base de experiencias previas en plantas industriales similares un estadístico a…rma que los posibles valores de ` se distribuyen a priori como una variable exponencial de media 1/2. Durante los primeros 9 días de funcionamiento de la planta industrial ocurrieron un total de 45 accidentes. a) Hallar la distribución a posteriori de ` y en base a la información suministrada calcular la probabilidad de que durante el décimo día ocurran dos o más accidentes. b) Hallar un intervalo de con…anza de nivel 0.95 para estimar `. 32. PARA RESOLVER CON EXCEL: El Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires contrata a una empresa encuestadora para “determinar” la proporción j de la población de la Ciudad irritada por las polémicas declaraciones de uno de sus ‡amantes ministros. Para analizar los datos la encuestadora cuenta con tres expertos estadísticos (bayesianos ellos), el primero opina que la densidad a priori para j sigue una distribución 1ctc(1. 10), pero el segundo opina que sería más apropiado usar una a priori 1ctc(10. 1) y el tercero, una a priori 1ctc(1. 1). a) Analizar el signi…cado tienen esas creencias previas gra…cando las densidades a priori. b) ¿Qué consecuencias 31 tienen sobre el análisis de los datos si se decide utilizarlas para estimar p basada en el resultado de 18 "irritados" en una encuesta realizada a 20 vecinos de la Ciudad? Gra…car las densidades a posteriori y hallar estimaciones puntuales en cada caso.c) ¿Qué cantidad de vecinos de la Ciudad deben encuestarse si se quiere garantizar que las medias de las primer y tercer distribuciones a posteriori di…eran en menos de 0.01? 33. Simulación: Sea una variable tal que: 1(r) = 8 < : 0 si r _ 0 _ r si 0 < r < 1 1 si r _ 1 a) Calcule su media y su varianza. b) Simule 9 valores para A c) Con los datos anteriores estime j x , o 2 x , y presente dos intervalos de con…anza para ambos al 90% de N. C. Ensayos de Bondad de Ajuste 34. Se desea determinar si la cantidad de accidentes que ocurre por semana en un cruce de caminos sigue una ley Poisson. En una muestra de 50 semanas se obtuvo la siguiente tabla de frecuencias: N o de accidentes Frecuencia 0 24 1 16 2 7 3 2 4 ó más 1 ¿Puede a…rmarse a un nivel del 5% que la cantidad de accidentes se distribuye según una ley Poisson? 35. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de la duración de ciertas baterías en años: intervalos Frecuencia 1,45-1,95 2 1,95-2,45 1 2,45-2,95 4 2,95-3,45 15 3,45-3,95 10 3,95-4,45 5 4,45-4,95 3 ¿Puede a…rmarse a un nivel del 5% que la duración de las baterías se ajusta a una distribución normal con media 3,5 años y desvío estándar 0,7 años? 32 Ejercicios Adicionales 1. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = cr para 0 < r < 1; r 2 < ¸ < 1.Hallar: a) la densidad condicional de 1 dado A; b) la varianza condicional de 1 dado A c) 1(1 A) Resp: a) ,(¸,r) = 1,(1 ÷r 2 ) para r 2 < ¸ < 1; b) 1 12 (1 ÷r 2 ) 2 ; c) 2/3 2. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = cr¸ para ¸ 2 < r < 1; 0 < r < 1.Hallar: a) la varianza condicional de 1 dado A y compararla con la varianza de 1 b) el coe…ciente de correlación entre A e 1 ; c) 1(r + ¸ < 1) d) 1(¸ < 0. 5r = 0. 4).Resp: a) o 2 Y=X = x 18 ; o 2 Y = 0. 0485; b) 0,3723; c) 0. 1824; d) 0,625 3. Dada la función de densidad conjunta ,(r. ¸) = 0. 25 +0. 25r 3 ¸ ÷0. 25r¸ 3 para ÷1 < r < 1; ÷1 < ¸ < 1. Probar que el coe…ciente de correlación es nulo y sin embargo hay dependencia entre las variables. 4. Demostrar que la suma de dos variables aleatorias exponenciales independientes del mismo parámetro ` es una variable aleatoria tipo gamma. 5. Encuentre un estimador para el parámetro ` de una variable exponencial A de la que se tiene la muestra de valores: r 1 = 4; r 2 = 2 ; r 3 = 1; r 4 = 4.a) Dar la expresión de la densidad a posteriori para el parámetro `.b) Dar un valor estimado para ` y usarlo para encontrar la 1(A 3). Rta: a) ,(`,:nc:t:c) = 11 5 : 4 4! .c 11 si ` _ 0 6. Una empresa tiene como esquema de control de calidad de recepción aceptar la partida recibida si una muestra de 30 unidades tiene como peso total más de 3 Kg. La variancia del peso de cada unidad es de 0,001 Kg2. Se supone que las partidas “buenas” son las que se aceptan con más del 95% de probabilidad. a) ¿Qué valores de media corresponden al peso de las partidas “buenas”? b) divida los valores medios en 3 categorías: “buenas”, claramente “malas” (por ende con alta probabilidad de rechazo) y el resto “dudosas”. Fije los valores necesarios. Parcial I 1. Un proceso químico debiera producir en media 800 toneladas de un producto por día. Se relevaron producciones diarias durante 10 días y se obtuvo los siguientes datos: 805 790 790 780 770 800 790 800 780 790 (Resolver indicando los supuestos que se requieren para que sea válido el procedimiento utilizado) (a) Hallar los intervalos del 90% de con…anza para estimar la media y la varianza de la producción diaria. (b) ¿Cuántos días habría que relevar la producción para que el intervalo de con…anza de la media tenga la mitad de amplitud que el hallado? (c) En base a los datos y considerando que el desvío es de 10tn, ¿puede a…rmarse que la producción media es de 800 toneladas? Decida a un nivel de signi…cación del 5%. 33 2. El consumo de energía 1 (en miles de kw) está asociado a la producción A (en tn) mediante la densidad conjunta ,(r. ¸) = /(r ÷10) si 10 _ r _ 20 ; 10 _ ¸ _ r 0 en otro caso (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el consumo supere los 15000 kw si la producción superó las 13 tn? (b) Hallar la curva de regresión de 1 dado A = r (esto es, j y=x ), gra…carla e interpretarla. 3. La longitud (en metros) de ciertas varillas es una variable A con densidad ,(r,c) = 8 < : 4r 3 c 4 si 0 _ r _ c 0 en otro r (a) Estime en forma bayesiana el parámetro c si en una muestra de cuatro varillas se obtuvieron las siguientes longitudes: 1, 1, 4, 2. Encuentre un intervalo de con…anza para c y también una estimación puntual. (b) Con la información dada por la muestra, ¿cuál es la probabilidad de que el parámetro sea menor a 5? (c) Con la estimación puntual dada para c, calcule la probabilidad de que una varilla mida menos de 3 metros. 4. El contenido de los paquetes de cereal llenados por una determinada máquina tiene una distribución normal con desvío estándar de 30 gr. La máquina se regula para descargar, en media, 360 gr. Se desea establecer un control periódico del proceso de llenado y se establece en un 5% la probabilidad de detener la máquina innecesariamente cuando el peso medio de los paquetes es igual a 360gr. (que es el peso neto indicado en el envase), y en 2% la probabilidad de no realizar las correcciones necesarias en el proceso cuando el peso medio de cereal volcado por la máquina se aleja en 10gr de lo especi…cado (o sea, es 360±10q:). Indique el criterio de decisión y el tamaño de muestra adecuado que daría Ud. a la persona encargada de controlar el proceso. Gra…que la curva característica del ensayo identi…cando al menos 5 puntos. Parcial II 1. Un empacador de frutillas tiene un contrato de provisión donde se establece que el peso medio de las frutillas que envía debe ser de al menos 20 gr. El desvío del peso es de 6 gr. Establecer arbitrariamente y con un criterio razonable un ensayo para decidir si un camión de frutillas debe ser despachado o no. Calcular los errores de decisión. Gra…que la curva característica del ensayo (con al menos 4 puntos). 2. La cantidad de fallas en rollos de 10 m de cable corresponden a una v.a. Poisson. Estimar la tasa de fallas si en 4 muestras se han encontrado: 3, 1, 0 y 2 fallas. 34 3. Se controlaron 100 envases de cartón y resultó que 12 de ellos estaban fallados. El fabricante dice que en su producción se trabaja con una cota máxima del 10% de defectuosos. A la vista de los datos: ¿corresponde aceptar o no la aseveración del fabricante? Decida ud. un nivel de signi…cación adecuado y cuanti…que los riesgos. 4. Sea A el peso en toneladas de sandías que tiene almacenado un intermediario a principio de semana, con A uniforme en (0. 3). El peso total de lo que vende en una semana es una variable 1 tal que ,(¸,r) es uniforme en (0. r). (a) Si el intermediario vendió en una semana 1 tonelada, ¿cuál es la probabilidad de que haya tenido almacenadas más de 2 tn.? (b) Hallar la densidad de 1 . (c) Hallar el valor medio de la cantidad que queda sin vender a …nal de semana . (d) Si 2 = 1,A representa un peso relativo, dar la función densidad de 2. 35