UNIVERSIDAD DE CUENCAFACULTAD DE INGENIERIA LABORATORIO DE TEORIA DE CONTROL PRACTICA 2B: MODELACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS Y ANALOGÍA ELECTRO-MECANICA NOMBRES: Jaime Campozano, Pablo Vintimilla. 1) Revisar la teoría y los modelos matemáticos de los siguientes sistemas mecánicos: a) péndulo simple Fig. 1 Péndulo Simple En la cual: L: Longitud de la cuerda mg: Peso del péndulo Modelo matemático: Partiendo de la figura 1 podemos obtener la siguiente expresión en donde 𝜃 es el angulo que forma la tensión el péndulo con la vertical. 𝑚𝑙𝜃 ′′ + 𝑚𝑔 sin(𝜃) = 0 𝑚𝑔 sin(𝜃) 𝜃 ′′ + =0 𝑙 𝜃 ′′ + 𝑤02 sin(𝜃) = 0 𝜃 ′′ + 𝑤02 θ = 0 b) Péndulo doble Fig. 2 Péndulo doble Donde: L1, l2: Longitud de la cuerda 1 y cuerda 2, respectivamente M1, m2: Masa del péndulo 1 y péndulo 2, respectivamente Modelo matemático: En las ecuaciones anteriores se puede simplificar mucho mas quedando de la siguiente manera: 𝑑2 𝜃1 𝑑2 𝜃2 (𝑚1 + 𝑚2 )𝑙1 2 + (𝑚1 + 𝑚2 )𝑔𝜃1 + 𝑚2 𝑙2 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝜃2 𝑑2 𝜃1 𝑙2 + 𝑔𝜃2 + 𝑙1 =0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 c) péndulo compuesto Fig. 3 Péndulo compuesto M1,m2: Masa del péndulo 1 y péndulo 2, respectivamente I0: Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación. Modelo matemático: 𝐼0 𝛼 = −𝑚𝑔ℎ 𝑠𝑒𝑛(𝜃) Expresamos la ecuación de la dinámica de rotación en forma de ecuación diferencial: 𝑑2 𝜃2 𝑚𝑔ℎ sin(𝜃) + =0 𝑑𝑡 2 𝐼0 Esta no es la ecuación diferencial de un Movimiento Armónico Simple. Si la amplitud es pequeña podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes sin(𝜃) ≈ 𝜃. La ecuación diferencial se escribe entonces 𝑑2 𝜃2 𝑚𝑔ℎθ + =0 𝑑𝑡 2 𝐼0 d) sistema masa-resorte-amortiguador Obtengamos un modelo matemático de este sistema de masa-resorte-amortiguador montado en un carro, suponiendo que éste está inmóvil durante un t < 0. En este sistema, u(t) es el desplazamiento del carro y la entrada para el sistema. En t = 0, el carro se mueve a una velocidad constante, o bien ů = constante. El desplazamiento y(t) de la masa es la salida. (El desplazamiento en relación con el piso.) En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte. Suponemos que la fuerza de fricción del amortiguador es proporcional a ẏ-zi y que el resorte es lineal; es decir, la fuerza del resorte es proporcional a y - u. Para sistemas traslacionales, la segunda ley de Newton establece que: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 Fig. 4 Sistema masa-resorte-amortiguador montado en carro. k: Coeficiente del resorte b: Coeficiente de amortiguamiento Modelo matemático: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑚 2 = −𝑏 ( − ) − 𝑘(𝑦 − 𝑢) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑚 2 +𝑏 + 𝑘𝑦 = 𝑏 + 𝑘𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2) Encontrar las ecuaciones diferenciales genéricas de un sistema mecánico de doble péndulo y luego proceda a simular su respuesta temporal utilizando Matlab – Simulink. Péndulo doble Modelo matemático: Ecuación 1: 𝑑2 𝜃2 𝑑2 𝜃1 𝑙2 + 𝑔𝜃2 + 𝑙1 =0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Ecuación 2: 𝑑2 𝜃1 𝑑2 𝜃2 (𝑚1 + 𝑚2 )𝑙1 + (𝑚1 + 𝑚2 )𝑔𝜃1 + 𝑚2 𝑙2 =0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 Para la simulación utilizamos los siguientes valores: 𝑚1 = 5𝑘𝑔; 𝑚2 = 3𝑘𝑔; 𝑙1 = 𝑙2 = 20𝑚; 𝜃1 (0) = 1; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜. Haciendo la transformada de Laplace se obtiene las siguientes ecuaciones: 𝜃1 (𝑠)(20𝑠 2 ) + 𝜃2 (𝑠)(20𝑠 2 + 9.8) − 20𝑠 = 0 (1) 2 2 𝜃1 (𝑠)(160𝑠 + 196) + 𝜃2 (𝑠)(60𝑠 ) − 160𝑠 = 0 (2) De las cuales se obtiene la función de transferencia de los dos ángulos: 𝑠 3 + 0.784𝑠 𝜃1 (𝑠) = 4 𝑠 + 2.744𝑠 2 + 0.9460 1.96𝑠 𝜃1 (𝑠) = 4 𝑠 + 2.744𝑠 2 + 0.9460 Se hacen los diagramas de bloques en Simulink: Obtenemos: Salida de θ1: Salida de θ2: Salida de la suma de las dos respuestas anteriores: 3) Resolver el siguiente ejercicio (sistema con dos grados de libertad): Dos barras delgadas de longitud “l” y masa “m” cada una están unidas por sus puntos medios mediante un resorte de constante “k” y longitud natural “b”. Si las barras oscilan en un plano vertical y se han soltado a partir del reposo en θ1=0 y θ2=θ0, determinar las ecuaciones del movimiento y despejar θ1 en función de “t” si θ0 es un ángulo muy pequeño. Respuesta: 0 1 (cos pt cos ut ) 2 Donde 3g p 2l 3 k g u 2m l 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− =0 𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖̇ 𝜕𝑞𝑖 𝐿 = 𝑇−𝑉 1 1 11 11 1 1 𝑇 = 𝐼1 (𝜃1̇ )2 + 𝐼2 (𝜃2̇ )2 = 𝑚1 𝑙 2 (𝜃1̇ )2 + 𝑚2 𝑙 2 (𝜃2̇ )2 = 𝑚1 𝑙 2 (𝜃1̇ )2 + 𝑚2 𝑙 2 (𝜃2̇ )2 2 2 23 23 6 6 1 1 1 1 𝑉 = 𝑘(𝑥1 − 𝑥2 )2 + 𝑘(𝑥2 − 𝑥1 )2 − 𝑙 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝑙 𝑚2 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 2 2 2 𝑙 𝑥1 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 2 𝑙 𝑥2 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 2 2 2 1 𝑙 𝑙 1 𝑙 𝑙 1 𝑉 = 𝑘 ( 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ) + 𝑘 ( 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) − 𝑙 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 2 2 2 2 2 2 2 1 − 𝑙 𝑚2 𝑔 cos 𝜃2 2 2 1 1 1 𝑙 𝑙 𝐿 =𝑇−𝑉 = 𝑚1 𝑙 2 (𝜃1̇ )2 + 𝑚2 𝑙 2 (𝜃2̇ )2 − 𝑘 ( 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ) 6 6 2 2 2 2 1 𝑙 𝑙 1 1 − 𝑘 ( 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) + 𝑙 𝑚1 𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 + 𝑙 𝑚2 𝑔 cos 𝜃2 2 2 2 2 2 𝑚1 = 𝑚2 𝑙2 𝑙2 𝑙 𝐿= 𝑚 (𝜃1̇ + 𝜃2̇ )2 − 𝑘[(𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 )2 + (𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 )2 ] + 𝑚𝑔(cos 𝜃1 6 8 2 + cos 𝜃2 ) Usando la ecuación de Lagrange para 𝜃1 𝜕𝐿 1 = 𝑚 𝑙 2 𝜃1̇ 𝜕𝜃1̇ 3 𝑑 𝜕𝐿 1 ( ) = 𝑚 𝑙 2 𝜃1̈ 𝑑𝑡 𝜕𝜃1̇ 3 𝜕𝐿 𝑙2 𝑙 = − 𝑘 [(𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ) cos 𝜃1 − (𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) cos 𝜃1 ] − 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 𝜕𝜃1 4 2 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− =0 ̇ 𝑑𝑡 𝜕𝜃1 𝜕𝜃1 1 𝑙2 (𝑎) 𝑚 𝑙 2 𝜃1̈ + 𝑘 [(𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ) cos 𝜃1 − (𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) cos 𝜃1 ] 3 4 𝑙 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 = 0 2 Si 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ≈ 𝜃1 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ≈ 𝜃2 cos 𝜃1 ≈ 1 1 𝑙2 𝑙 (𝑎) 𝑚 𝑙 2 𝜃1̈ + 𝑘 [(2𝜃1 ) − (2𝜃2 )] + 𝑚 𝑔 𝜃1 = 0 3 4 2 Usando nuevamente la ecuación de Lagrange para 𝜃2 𝜕𝐿 1 = 𝑚 𝑙 2 𝜃2̇ 𝜕𝜃2̇ 3 𝑑 𝜕𝐿 1 ( ) = 𝑚 𝑙 2 𝜃2̈ 𝑑𝑡 𝜕𝜃2̇ 3 𝜕𝐿 𝑙2 𝑙 = − 𝑘 [(𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 )(−cos 𝜃2 ) + (𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) cos 𝜃2 ] − 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 𝜕𝜃2 4 2 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( )− =0 𝑑𝑡 𝜕𝜃2̇ 𝜕𝜃2 1 2 ̈ 𝑙2 (𝑏) 𝑚 𝑙 𝜃2 + 𝑘 [(𝑠𝑒𝑛 𝜃1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 )(−cos 𝜃2 ) + (𝑠𝑒𝑛 𝜃2 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ) cos 𝜃2 ] 3 4 𝑙 + 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 = 0 2 Si 𝑠𝑒𝑛 𝜃1 ≈ 𝜃1 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 ≈ 𝜃2 cos 𝜃2 ≈ 1 1 𝑙2 𝑙 (𝑎) 𝑚 𝑙 2 𝜃2̈ + 𝑘 [(−2𝜃1 ) + (2𝜃2 )] + 𝑚 𝑔 𝜃2 = 0 3 4 2 El sistema es causal, por tanto, debe aplicarse una entrada. Si está se aplica en el primer péndulo, tenemos 1 𝑙2 𝑙 (𝑎) 𝑚 𝑙 2 𝜃1̈ + 𝑘 [(𝜃1 ) − (𝜃2 )] + 𝑚 𝑔 𝜃1 = 𝜃0 3 2 2 Tenemos un sistema de dos ecuaciones (a) y (b). Usando Transformada de Laplace y asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero, tenemos 1 𝑙2 𝑙 𝜃0 (𝑎) 𝑚 𝑙 2 𝑠 2 𝜃1 (𝑠) + 𝑘 (𝜃1 (𝑠) − 𝜃2 (𝑠)) + 𝑚 𝑔𝜃1 (𝑠) = 3 2 2 𝑠 1 𝑙2 𝑙 (𝑏) 𝑚 𝑙 2 𝑠 2 𝜃2 (𝑠) + 𝑘 (𝜃2 (𝑠) − 𝜃1 (𝑠)) + 𝑚 𝑔 𝜃2 (𝑠) = 0 3 2 2 De (b) 𝑙2 𝜃2 (𝑠) = 2 2 𝑘 𝜃1 (𝑠) 𝑙 𝑙2 𝑙 𝑚 𝑠2 + 𝑘 + 𝑚 𝑔 3 2 2 Reemplazando en (a) 𝑙2 1 𝑙2 𝑘 𝜃1 (𝑠) 𝑙 𝜃0 𝑚 𝑙 2 𝑠 2 𝜃1 (𝑠) + 𝑘 (𝜃1 (𝑠) − 2 2 ) + 𝑚 𝑔𝜃1 (𝑠) = 3 2 𝑙 𝑙 2 𝑙 2 𝑠 2 3 𝑚𝑠 + 2 𝑘+2 𝑚𝑔 4) Grafique la respuesta temporal de la función θ1(t), para lo cual puede usar Matlab y las ecuaciones diferenciales del sistema. Datos: 𝜃0 = 0.3 𝑙 = 0.7𝑚 𝑏 = 0.7𝑚 𝑔 = 9.8 𝑘 = 15𝑁/𝑚 𝑚 = 0.4𝑘𝑔 Con estos valores obtenemos p, u y la función θ1(t): 3𝑔 𝑝=√ 2𝑙 3(9.8) 𝑝=√ 2(0.7) 𝑝 = 4.58 3 𝑘 𝑔 𝑢=√ ( + ) 2 𝑚 𝑙 3 15 9.8 𝑢=√ ( + ) 2 0.4 0.7 𝑢 = 8.78 𝜃0 𝜃1 = (cos 𝑝𝑡 − cos 𝑢𝑡) 2 𝜃1 (𝑡) = 0.15(cos 4.58𝑡 − cos 8.78𝑡) Función y grafica obtenida en Matlab: 5) Realice la simulación del sistema mecánico, utilizando el software WORKING MODEL o similares. Sistema diseñado en working model: Sistema inicial Simulando Posicion de la segunda barra 6) Proceda a construir el sistema mecánico planteado en el punto 2, con parámetros (k,l,m,b) escogidos por quien realiza la práctica. Sistema mecánico construido: Parámetros físicos: 𝑁 𝑘 = 5.4 , 𝑙 = 0.193𝑚 , 𝑚 = 0,0057𝑘𝑔, 𝑏 = 0.11𝑚 𝑚 7) Proceda a observar la respuesta física real del sistema construido cuando se aplica un desplazamiento angular θ2=θ0. En estos puntos se pidió que no se los realizara 8) En base a la cuidadosa observación del mecanismo, verifique que se cumple la función θ1(t). En estos puntos se pidió que no se los realizara 9) Plantee un circuito eléctrico análogo al sistema mecánico construido, de tal manera que se obtengan ecuaciones diferenciales similares. De acuerdo al análogo mecanico estableceos las siguientes ecuaciones diferenciales . 1 1 𝑞1̈(𝐿1 + 𝐿2) − 𝐿2𝑞2̈ + 𝑞1 − 𝑞2 = 𝐸1 𝐶1 𝐶1 1 1 1 𝐿2𝑞1̈ − 𝐿2𝑞2̈ + 𝑞1 − 𝑞2 ( + ) = 0 𝐶1 𝐶2 𝐶1 Las cuales son ecuaciones diferenciales similares a las obtenidas en el caso mecánico. 10) Utilizando Matlab y las ecuaciones diferenciales correspondientes, realizar la simulación del circuito eléctrico planteado. 11) Utilizando un simulador de circuitos eléctricos (Multisim, Proteus, etc), verificar la analogía electro – mecánica. 12) Encontrar las ecuaciones diferenciales del siguiente sistema mecánico, y plantear su correspondiente circuito eléctrico análogo: Ecuaciones diferenciales del sistema mecánico: Para M1 y M2 se aplica las leyes de Newton utilizando la suma fuerzas que actúan sobre cada masa: Para M1: 𝑑𝑥1 𝑑(𝑥1 − 𝑥2 ) 𝑑2 𝑥1 𝑘1 𝑥1 + 𝑐1 + 𝑘2 (𝑥1 − 𝑥2 ) + 𝑐2 + 𝑚1 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝒅𝟐 𝒙𝟏 𝒅𝒙𝟏 𝒅𝒙𝟐 𝒎𝟏 𝟐 + (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 ) + (𝒌𝟏 +𝒌𝟐 )𝒙𝟏 − 𝒄𝟐 − 𝒌𝟐 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Para M2: 𝑑(𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑑2 𝑥2 𝑘2 (𝑥2 − 𝑥1 ) + 𝑐2 + 𝑚2 = 𝑃𝑚 sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝒅𝟐 𝒙𝟐 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒙𝟏 𝒎𝟐 𝟐 + 𝒄𝟐 + 𝒌𝟐 𝒙𝟐 − 𝒄𝟐 − 𝒌𝟐 𝒙𝟏 = 𝑷𝒎 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Circuito eléctrico análogo: Ordenando cada ecuación diferencial del sistema mecánico, y poniéndola en función de la velocidad de vibración, obtenemos: 𝑑𝑣1 𝑚1 + (𝑐1 + 𝑐2 ) 𝑣1 + (𝑘1 + 𝑘2 ) ∫ 𝑣1 𝑑𝑡 − 𝑐2 𝑣2 − 𝑘2 ∫ 𝑣2 𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑣2 𝑚2 + 𝑐2 𝑣2 + 𝑘2 ∫ 𝑣2 𝑑𝑡 − 𝑐2 𝑣1 − 𝑘2 ∫ 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝑃𝑚 sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 Una vez obtenidas estas dos ecuaciones, obtenemos las ecuaciones eléctricas análogas de tipo impedancia, sustituyendo L (autoinducción) por M (masa), R (resistencia) por Cm (coeficiente de amortiguamiento), 1/C (capacidad) por k (constante de elasticidad), E (tensión) por F (fuerza), e I (corriente) por V (velocidad): 𝑑𝑖2 1 1 (𝟏) 𝐿2 + 𝑅2 𝑖2 + ∫ 𝑖2 𝑑𝑡 − 𝑅2 𝑖1 − ∫ 𝑖1 𝑑𝑡 = 𝑃𝑚 sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 𝐶2 𝐶2 𝑑𝑖1 1 1 1 (𝟐) 𝐿1 + (𝑅1 + 𝑅2 ) 𝑖1 + ( + ) ∫ 𝑖1 𝑑𝑡 − 𝑅2 𝑖2 − ∫ 𝑖2 𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑡 𝐶1 𝐶2 𝐶2 Ya con (1) y (2) podemos deducir fácilmente el circuito ya que tenemos planteada la LVK (ley de voltajes de Kirchhoff) para cada una de las dos mallas del circuito eléctrico. Donde: 1 1 𝐿1 = 𝑚1 , 𝑅1 = 𝑐1 , 𝐶1 = , 𝐿2 = 𝑚2 , 𝑅2 = 𝑐2 , 𝐶2 = , 𝑘1 𝑘2 13) Simular el circuito eléctrico planteado en el punto anterior de tal manera que se puedan observar las respuestas temporales de las corrientes en las mallas, y compararlas con las respuestas temporales de velocidad de las masas en el sistema mecánico. Nos impones valores para las constantes mecánicas: 𝑚, 𝑐, 𝑘 𝑦 𝑝𝑚 . 𝑁 𝑚1 = 0.01𝐾𝑔 𝑐1 = 1000 𝑠 𝑘1 𝑚 Circuito 𝑁 = 10 𝑃𝑚 = 120𝑁 mecánico 𝑚 𝑁 𝑁 𝑚2 = 0.01𝐾𝑔 𝑐2 = 5000 𝑠 𝑘2 = 10 𝑚 𝑚 Circuito 𝐿1 = 10𝑚𝐻 𝑅1 = 1𝐾Ω 𝐶1 = 0.1𝐹 𝑉𝑚 = 120𝑉𝑟𝑚𝑠 eléctrico 𝐿2 = 10𝑚𝐻 𝑅2 = 5𝐾Ω 𝐶2 = 0.1𝐹 Respuestas temporales de las corrientes de las mallas: Canal A: Corriente I1(t) malla1 Canal B: Corriente I2(t) malla 2 Respuestas temporales de velocidad de las masas del sistema mecánico: Para simular las respuestas temporales de velocidad para cada masa hallaremos las funciones de transferencia V1(s) y V2(s), para obtener su respuesta temporal usando el software Matlab. Partiendo de las ecuaciones de velocidad deducidas en el punto 12) hallamos la T. Laplace: 𝑑𝑣1 (1) 𝑚1 + (𝑐1 + 𝑐2 ) 𝑣1 + (𝑘1 + 𝑘2 ) ∫ 𝑣1 𝑑𝑡 − 𝑐2 𝑣2 − 𝑘2 ∫ 𝑣2 𝑑𝑡 = 0 𝑑𝑡 𝑉1 (𝑠) 𝑉2 (𝑠) 𝑚1 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉1 (𝑠) + (𝑐1 + 𝑐2 ) ∗ 𝑉1 (𝑠) + (𝑘1 + 𝑘2 ) ∗ − 𝑐2 𝑉2 (𝑠) − 𝑘2 =0 𝑠 𝑠 (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑘2 [𝑚1 𝑠 + (𝑐1 + 𝑐2 ) + ] ∗ 𝑽𝟏 (𝒔) − [𝑐2 + ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) = 0 𝑠 𝑠 𝑑𝑣2 (2) 𝑚2 + 𝑐2 𝑣2 + 𝑘2 ∫ 𝑣2 𝑑𝑡 − 𝑐2 𝑣1 − 𝑘2 ∫ 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝑃𝑚 sin(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 𝑉2 (𝑠) 𝑉1 (𝑠) 𝜔 𝑚2 ∗ 𝑠 ∗ 𝑉2 (𝑠) + 𝑐2 ∗ 𝑉2 (𝑠) + 𝑘2 ∗ − 𝑐2 𝑉1 (𝑠) − 𝑘2 = 𝑃𝑚 2 𝑠 𝑠 𝑠 + 𝜔2 𝑘2 𝑘2 𝜔 [𝑚2 ∗ 𝑠 + 𝑐2 + ] 𝑽𝟐 (𝒔) − [𝑐2 + ] ∗ 𝑽𝟏 (𝒔) = 𝑃𝑚 2 𝑠 𝑠 𝑠 + 𝜔2 Como se ve anteriormente se tiene un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas con dos incógnitas resolviendo para V1(s) y V2(s) se tiene que: DE (1): 𝑚1 𝑠 2 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 ) 𝑐2 𝑠 + 𝑘2 [ ] ∗ 𝑽𝟏 (𝒔) = [ ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) 𝑠 𝑠 𝑐2 𝑠 + 𝑘2 𝑽𝟏 (𝒔) = [ 2 ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) 𝑚1 𝑠 + 1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 ) (𝑐 Reemplazando esta expresión en (2) y dando valores a las constantes: 𝑚2 𝑠 2 + 𝑐2 𝑠 + 𝑘2 (𝑐2 𝑠 + 𝑘2 )2 𝜔 [ − 3 2 ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) = 𝑃𝑚 2 𝑠 𝑚1 𝑠 + (𝑐1 + 𝑐2 )𝑠 + (𝑘1 + 𝑘2 )𝑠 𝑠 + 𝜔2 0.01𝑠 2 + 5000𝑠 + 10 (5000𝑠 + 10)2 377 [ − 3 2 ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) = 120 2 𝑠 0.01𝑠 + 6000𝑠 + 20𝑠 𝑠 + 3772 𝑽𝟐 (𝒔) 𝟎. 𝟎𝟑𝟕𝟕𝒔 + 𝟐𝟐𝟔𝟎𝟎𝒔𝟐 + 𝟕𝟓. 𝟒𝒔 𝟑 = 𝟏𝑬 − 𝟔𝒔𝟔 + 𝟏. 𝟏𝒔𝟓 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝒔𝟒 + 𝟏𝟓𝟕𝟎𝟎𝟎𝒔𝟑 + 𝟕. 𝟏𝟎𝑬𝟗𝒔𝟐 + 𝟖𝟓. 𝟐𝑬𝟔𝒔 + 𝟏𝟒𝟐𝟎𝟎𝟎 Para V1(s): 5000𝑠 + 10 𝑽𝟏 (𝒔) = [ ] ∗ 𝑽𝟐 (𝒔) 0.01𝑠 2 + 60000𝑠 + 20 Simulando en Matlab y dando un step inicial de 120 tenemos la respuesta temporal de velocidad v1(t)y v2(t): Comparaciones: Para las respuestas obtenidas en las corrientes de mallas nos dan don ondas senoidal de igual fase, pero diferente amplitud, a comparación de las respuestas de velocidad obtenidas en Matlab que nos da la primera V2(t) y su análogo la corriente I2(t) iguales, mientras que V1(t) y su análogo la I1(t) se presentan diferentes esto se debe a la escala en la que trabajamos en Matlab es muy diferente a la escala y condiciones iniciales en Multism. 14) Presentar las conclusiones de la práctica realizada. En esta practica se realizo una simulación de un sistema mecánico de dos barras unidas por medio de un resorte con la cual se dio diferentes condiciones iniciales, y luego procedimos a simular las mismas en el software anteriormente mostrado. Mediante un circuito de masa , resorte amortiguador se pudo simular posteriormente un circuito rlc, con el cual mediante la simulación se obtuvo la salida del voltaje y la corriente , en estos casos se demostró la analogía entre estos dos circuitos tanto mecánico como eléctrico . Para encontrar las funciones de transferencia correspondientes en el circuito mecánico como en el eléctrico , solo se cambiaban los valores de los componentes utilizados en cada caso , ya que estos circuitos son análogos y nos demuestran una gran similitud , con lo cual su función de transferencia es la misma.