Facultad de Cs. Económica.UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 1 PRÁCTICA 0 NOTA A LOS ALUMNOS: Los temas que se incluyen en esta práctica se suponen conocidos por ustedes. Como serán necesarios a lo largo del curso es fundamental que, a modo de repaso, resuelvan estos ejercicios consultando bibliografía y/o al docente. 1) Ordenar en forma creciente: t ; 1,999 ; 3,14 ; 4 3 ÷ ; 2 ÷ ; 9 , 1 ; -2 ; 49 27 2) Calcular a) | . | \ | ÷ ÷ · | . | \ | + ÷ ÷ | . | \ | ÷ + 5 1 5 4 3 1 2 4 3 : 2 1 5 4 3 2 b) 3 ) 2 ( 3 5 ) 2 ( 2 3 1 3 2 · ÷ + ÷ ÷ | . | \ | ÷ c) 2 1 : 25 , 0 2 5 2 1 ) 2 , 0 ( 4 1 04 , 0 1 3 2 1 + | . | \ | · ÷ + | . | \ | · ÷ d) 7 1 , 0 700 25 1 2 14 15 , 0 · + · ÷ · · 3) Analizar la validez de las siguientes igualdades y, para aquellas que sean falsas, dar un ejemplo. a) ( ) 0 , 0 > > = b a b a ab b) ( ) 0 , 0 > > + = + b a b a b a c) 2 2 2 ) ( b a b a + = + d) ( ) 0 , 0 1 1 1 = = + = + b a b a b a e) n m n m a a a = + f) ( ) ( ) 0 2 2 = = a a a x x g) ( ) 0 0 0 = = a a h) ( ) m m m b a b a = i) ( ) 0 , 0 = = = d b d b c a d c b a Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 2 j) n m n m a a = 4) Resolver las siguientes ecuaciones. a) 1 1 2 ÷ = + x b) 6 5 1 13 + = ÷ x x c) 1 2 2 4 1 = + + ÷ x x d) x x x x 4 1 2 3 2 8 2 = ÷ + ÷ 5) Resolver las siguientes inecuaciones. a) 2 1 2 > + ÷ x b) 2 4 4 2 ÷ > ÷ x x c) 3 1 2 ÷ < + x d) 1 2 1 2 < + ÷ x x e) 3 2 1 1 s ÷ s ÷ x 6) Representar en la recta numérica. i) Las soluciones del ejercicio 4). ii) a) { } 0 ) 2 ( / = ÷ e x x IR x b) { } 0 ) 3 ( ) 1 ( / = ÷ + e x x IR x c) { } 0 36 / 2 = ÷ e x IR x d) { } 0 ) 7 ( / 2 = + e x IR x 7) Representar en la recta numérica. i) Las soluciones del ejercicio 5). ii) a) { } 5 3 / < s ÷ e x IR x b) { } 0 ) 1 ( / > ÷ e x x IR x c) { } 0 ) 2 ( ) 3 ( / < ÷ + e x x IR x d) { } 0 49 / 2 > ÷ e x IR x 8) i) Racionalizar, en cada c+aso, el denominador de la fracción: a) 5 3 b) 3 4 7 ÷ ii) Racionalizar, en cada caso, el numerador de la fracción: Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 3 a) 12 4 7÷ b) 2 3 11+ 9) i) Escribir como intervalo o como unión de intervalos los conjuntos solución del ejercicio 7) ii). ii) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos e indicar su resultado en forma de intervalos. a) ] 7 , 2 ( ] 5 , 1 [ · f) ] 7 , 2 [ ] 2 , ( ÷ · ÷· b) ] 7 , 2 ( ] 5 , 1 [ g) ] 7 , 2 [ ] 2 , ( ÷ ÷· c) ) 2 , 1 ( ] 5 , 1 [ · h) ) , 2 ( ] 2 , ( +· · ÷· d) ) 2 , 1 ( ] 5 , 1 [ i) ) , 2 ( ] 2 , ( +· ÷· e) ] 8 , 6 [ ] 5 , 1 [ · j) ) , 3 ( ] 2 , ( +· ÷ · ÷· 10) Representar en el plano los siguientes puntos. ) 0 , 0 ( , ) 0 , 1 ( , ) 2 , 0 ( , ) 2 , 3 ( , ) 3 , 2 ( , ) 5 , 1 ( ÷ ÷ ÷ ÷ 11) Realizar las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ) 2 ( : ) 8 2 8 ( 2 ÷ + ÷ x x x b) ) 1 ( : ) 1 5 4 ( 3 ÷ + ÷ x x x c) | . | \ | ÷ | . | \ | ÷ 10 1 : 1000 1 3 x x 12) i) Probar si 1 ÷ = x es raíz de los siguientes polinomios. a) 1 2 2 ) ( 2 3 + + ÷ = x x x x P c) 10 15 25 ) ( 3 + ÷ = x x x R b) 1 2 ) ( 2 + + = x x x Q d) 1 2 2 ) ( 2 4 5 6 + ÷ + + ÷ = x x x x x x S ii) ¿Cuál es el orden de multiplicidad de la raíz 1 ÷ = x en cada uno de los polinomios dados? 13) Determinar todos los valores de ¨a¨ de modo que ) (x g sea un factor de ) (x f . a) 2 ) ( 1 4 ) ( 2 3 ÷ = + + ÷ ÷ = x x g ax ax x x f b) 1 ) ( 7 2 ) ( 2 3 2 + = + ÷ ÷ = x x g x ax x a x f Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 4 RESPUESTAS 1) –2 ; 2 ÷ ; 4 3 ÷ ; 49 27 ; 1,999 ; 9 , 1 ; 3,14 ; t 2) a) 5 13 b) –6 c) 125 51 d) 0 4) a) 1 ÷ = x b) 8 7 = x c) 1 ÷ = x d) 7 2 = x 5) a) 2 1 ÷ s x b) 2 1 < x c) 1 3 5 ÷ < < ÷ x d) 3 2 < < ÷ x e) 1 1 s s ÷ x 6) ii) a) { } 2 ; 0 b) { } 3 ; 1 ÷ c) { } 6 ; 6 ÷ d) { } 7 ÷ 7) ii) b) { } 1 0 / > v < e x x IR x c) { } 2 3 / < < ÷ e x IR x d) { } 7 7 / > v ÷ s e x x IR x 8) i) a) 5 5 3 b) ) 3 4 ( 13 7 + ii) a) ( ) 4 7 4 3 + ÷ b) 3 11 1 ÷ 9) i) a) | ) 5 , 3 ÷ b) ( ) ( ) +· · ÷ , 1 0 , c) ( ) 2 , 3 ÷ d) ( | | ) +· ÷ · ÷ , 7 7 , ii) a) ( | 5 , 2 c) ( ) 2 , 1 e) O/ g) ( | 7 , · ÷ i) IR b) | | 7 , 1 d) | | 5 , 1 f) | | 2 , 2 ÷ h) O/ j) ( | 2 , 3 ÷ 11) a) 36 ) ( 14 8 ) ( = + = x R x x C b) 0 ) ( 1 4 4 ) ( 2 = ÷ + = x R x x x C c) 0 ) ( 100 1 10 1 ) ( 2 = + + = x R x x x C 12) i) a) no c) sí b) si d) no ii) c) multiplicidad 1 (raíz simple) b) multiplicidad 2 13) a) 2 1 ÷ = a b) 4 2 ÷ = . = a a Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 5 Práctica Nº 1 FUNCIONES 1) Indicar cuáles de los gráficos dados a continuación representan una función 9 ÷ 9 : f . En caso afirmativo, indicar el conjunto imagen f I a) b) c) d) e) f) g) x 6 y y 2 -1 4 x 4 3 y x 3 y x - 4 y x 8 y x y 5 x Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 6 2) i) Graficar las siguientes funciones lineales. a) x y = d) ) 1 .( 2 + = x y b) x y 2 = e) x y 2 ÷ = c) 3 2 ÷ = x y f) 2 = y ii) Indicar dominio e imagen en cada caso. iii) Indicar los pares ordenados que corresponden a las intersecciones con los ejes coordenados. iv) Indicar los conjuntos ÷ + C C C y , 0 (de ceros, de positividad y de negatividad respectivamente). 3) Hallar las ecuaciones de las rectas que verifican las siguientes condiciones: i) Pasa por el punto ) , ( 0 0 y x P = y tiene pendiente m, siendo: a) 3 ) 3 , 1 ( ÷ = ÷ = m P b) 4 ) 1 , 2 ( = ÷ = m P ii) Pasa por los puntos ) , ( 0 0 y x P = y ) , ( 1 1 y x Q = siendo: a) ) 7 , 5 ( ) 3 , 1 ( ÷ = ÷ ÷ = Q P b) ) 6 , 3 ( ) 3 , 3 ( ÷ = ÷ = Q P 4) Hallar las ecuaciones de las rectas que verifican las siguientes condiciones: a) Es paralela al eje x y pasa por el punto ) 4 , 2 (÷ = P . b) Es paralela a la recta de ecuación 0 3 2 5 2 = + ÷ y x y pasa por el punto ) 2 , 1 (÷ = P . 5) A partir de los siguientes gráficos escribir la función lineal correspondiente a cada recta. Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 7 6) Hallar el valor de ¨a¨ para que la recta de ecuación 15 ) 2 ( = ÷ + x a ay sea paralela a la recta 7 3 ÷ = ÷ x y 7) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analítica y gráficamente. a) ¹ ´ ¦ = + ÷ ÷ = 3 2 1 3 y x x y c) ¹ ´ ¦ = + ÷ ÷ = 0 10 6 2 5 3 x y x y b) ¹ ´ ¦ ÷ = + = 5 3 1 3 x y x y d) ¹ ´ ¦ = + = ÷ 2 4 2 9 2 3 y x y x c) 8) Indicar cuáles de las siguientes ecuaciones representa curvas de demanda, oferta o ninguna de ellas. a) 0 3 1 4 = ÷ p x d) 0 3 5 2 = + ÷ p x b) 0 20 6 = + + ÷ p x e) 0 12 8 4 = + + p x c) 0 24 3 = ÷ p 9) Cuál es la ecuación de oferta, supuesta lineal, en el mercado de video – cassettes si cuando el precio es de $30 hay disponibles 35 video – cassettes de un tipo dado y cuando el precio es de $35 hay disponibles 50. 10) Una estadística indica que para un artículo cuando el precio es de $24 se demandan 80 unidades y cuando es de $36 se demandan 50 unidades. Si se supone que la demanda es lineal, se pide: 8 x y b) 4 2 2 x y a) -5 -5 x y c) -4 2 x y d) Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 8 a) Hallar la expresión de la ley de demanda. b) El precio correspondiente a una demanda de 100 unidades. 11) Indicar el significado de los denominadores de ecuación segmentaria 1 30 200 = + p x . 12) La curva de demanda para un artículo es 0 80 2 8 = ÷ + p x , donde x representa la cantidad demandada y p el precio. a) Calcular la cantidad demandada para 8 = p y 40 = p . b) Hallar el precio si la cantidad demandada es 2 = x y 6 = x . c) ¿Cuál es el mayor precio que se pagaría por dicho artículo? d) ¿Qué cantidad se demandaría si el artículo fuera gratis? e) Graficar la curva. 13) i) Graficar las siguientes funciones cuadráticas y hallar las coordenadas del vértice de la parábola que representan. a) 2 x y = e) 2 2x y = b) 1 2 + = x y f) 4 ) 1 ( 2 ÷ + = x y c) 2 ) 1 ( + = x y g) x x y 2 2 + = d) 2 x y ÷ = h) 1 2 2 ÷ ÷ ÷ = x x y ii) Indicar dominio e imagen en cada caso. iii) Hallar analítica y gráficamente los conjuntos de ceros 0 C , de positividad + C y de negatividad ÷ C . 14) Hallar las funciones cuadráticas que verifican las siguientes condiciones: a) Pasa por los puntos ) 0 , 3 (÷ = P y ) 0 , 2 ( = Q y tiene por ordenada al origen 8. b) Sus raíces son 2 1 ÷ = x y 2 2 = x . ¿Es única? 15) i) Expresar las siguientes funciones cuadráticas en la forma V V y x x a x f + ÷ = 2 ) ( ) ( a) 10 12 2 ) ( 2 + ÷ = x x x f b) 1 2 1 4 1 ) ( 2 ÷ + = x x x f c) 10 12 2 ) ( 2 ÷ + ÷ = x x x f ii) Hallar la expresión de una función cuadrática que cumpla: a) el vértice es (-2,9) y f (0)=5 b) el C 0 ={-2,3} y el punto (1,3) pertenece al gráfico de la función. Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 9 16) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analítica y gráficamente. a) ¹ ´ ¦ + = ÷ + = ) 1 ( 4 5 4 2 x y x x y c) ¹ ´ ¦ = + ÷ = 2 2 3 2 x y x x y b) ¹ ´ ¦ = + ÷ + ÷ = 0 3 3 2 2 x y x x y d) ¹ ´ ¦ ÷ = + = 5 1 2 x y x y 17) i) Graficar las siguientes funciones. a) 3 x y = e) 3 2x y = b) 3 3 + = x y f) 1 ) 1 ( 3 ÷ + = x y c) 3 ) 2 ( + = x y g) 4 x y = d) 3 x y ÷ = h) 4 4 + ÷ = x y ii) Indicar dominio e imagen en cada caso. iii) Hallar los conjuntos ÷ + C C C y , 0 18) Graficar las siguientes funciones. Indicar la Im(f), C 0 (f); C + (f); C - (f) a) ¹ ´ ¦ > + ÷ < = 0 1 0 1 ) ( x si x x si x f b) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ < < ÷ + ÷ ÷ s = 2 1 2 1 1 1 2 ) ( x si x si x x si x f c) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ ÷ ÷ s s ÷ ÷ < + ÷ = 1 ) 3 )( 1 ( 1 1 0 1 1 ) ( x si x x x si x si x x f ¿Qué está pasando con la función alrededor del punto x =-1? 19) EJ 3: Graficar ambas funciones y calcular los puntos de intersección. 2 ) ( 0 2 3 5 0 2 ) ( 2 ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > + < = x x g x si x x si x f 20)i) Graficar las siguientes funciones. a) x y = d) x y 3 = g) 3 1÷ + = x y b) 3 ÷ = x y e) x y 3 ÷ = c) 3 ÷ = x y f) x y ÷ = Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 10 ii) Indicar dominio e imagen en cada caso. iii) Hallar los conjuntos ÷ + C C C y , 0 . 21) Graficar ambas funciones y calcular los puntos de intersección. a) 3 2 1 ) ( | | ) ( + ÷ = = x x g x x f b) 4 ) ( | 1 | ) ( = ÷ = x g x x f c) 2 ) 2 ( 9 1 ) ( 4 | | ) ( 2 + + = + ÷ = x x g x x f 22) Representar las siguientes funciones homográficas determinando previamente dominio e imagen. Indicar en cada caso los conjuntos ÷ + C C C y , 0 . a) x y 1 = d) x y 1 ÷ = g) 1 2 ÷ = x x y b) 1 1 ÷ = x y e) x y 4 = h) 1 2 3 ÷ + = x x y c) 1 1 ÷ = x y f) 1 1 1 + ÷ = x y 23) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analítica y gráficamente. a) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ + = 3 1 3 3 x y x x y b) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + ÷ = 1 2 3 2 2 x y x y c) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + = 2 1 1 y x y 24) Dados los siguientes sistemas, se pide: i) Determinar cuál ecuación representa una curva de demanda y cuál una de oferta. ii) Determinar analítica y gráficamente el precio de equilibrio en el mercado. a) ¹ ´ ¦ ÷ = ÷ = 3 2 3 15 p x p x d) ¹ ´ ¦ = + ÷ = 20 10 2 x p p x b) ¹ ´ ¦ = ÷ + = + ÷ 0 200 2 0 140 2 2 x p p x e) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + + = 24 ) 6 ( 2 2 1 x p p x c) ¹ ´ ¦ = ÷ ÷ = ÷ + 0 2400 300 0 2160 180 x p p x f) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ + = = · 10 40 1 8000 x p p x Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 11 25) En una fábrica cuyo costo es lineal, el costo fijo es $800. Se sabe, además, que para producir 100 unidades el costo total es de $1400. Se pide: a) Hallar las funciones de costo total y costo medio. b) Hallar costo total y medio para 200 y 1000 unidades. c) Si el productor vende el producto a un precio unitario de $10, ¿para qué nivel de producción cubre los costos totales suponiendo que venda todo lo que produce? d) Graficar en un mismo sistema cartesiano las funciones de ingreso, costo y beneficio. Sacar conclusiones. 26) Sea un producto cuya ley de costo total está dada por 600 10 10 1 ) ( 2 + ÷ = x x x C . Si la ley de demanda es 600 10 + ÷ = p x , se pide: a) Hallar la ley de beneficio total. b) Hallar la ley de beneficio medio. c) Hallar el beneficio medio para una demanda de 200 unidades. 27) i) Representar la función x a y = para 1 > a y para 1 0 < < a . ii) Graficar las siguientes funciones exponenciales. Indicar en cada caso dominio e imagen. iii) Indicar los conjuntos ÷ + C C C y , 0 a) x e y = d) x e y ÷ = g) x e y . 2 = b) 2 + = x e y e) x e y 2 = h) 2 + ÷ = x e y c) 1 ÷ = x e y f) x e y ÷ = i) 4 1 + = + x e y 28) i) Representar la función x y a log = para 1 > a y para 1 0 < < a . ii) Graficar las siguientes funciones logarítmicas. Indicar en cada caso dominio e imagen. a) x y ln = e) x y ln ÷ = b) ) 1 ln( + = x y f) x y ln 2 = c) 1 ln + = x y g) x y 2 ln = d) ) ln( x y ÷ = h) 2 ) 2 ln( + ÷ = x y iii) Indicar los conjuntos ÷ + C C C y , 0 29) Hallar Dominio e Imagen para que la función sea biyectiva, y calcular la inversa de cada una de ellas. i) 16 6 ) ( 1 2 ) ( 4 2 ) ( 2 ÷ ÷ = + ÷ = + = x x x h x x x g x x f ii) a) x e x f + =1 ) ( b) ) 2 ln( 2 1 ) ( ÷ = x x g c) 1 2 3 ) ( + ÷ = x e x h Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 12 30) Los costos de producción (en centenares de pesos) para una compañía se describen con la ecuación x e x C 02 , 0 70 100 ) ( ÷ ÷ = , donde x es el número de unidades producidas. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de la empresa? 31) i) Representar las funciones x y sen = , x y cos = y x y tg = . ii) Graficar las siguientes funciones trigonométricas. Indicar dominio e imagen en cada caso. a) senx y 3 = c) ) sen( x y ÷ = e) | . | \ | ÷ = 2 cos t x y b) x sen y 2 2 = d) senx y 2 ÷ = f) 1 cos ÷ = x y iii) Indicar período y amplitud de las funciones antes mencionadas. 32) Encontrar todos los valores de | ) t 2 , 0 e x que verifican: a) 2 2 ) 0 cos ) 1 ) 2 1 cos ) ÷ = = ÷ = = senx d x c senx b x a 33) Hallar el dominio de las siguientes funciones. a) 3 18 2 ) ( 2 + ÷ = x x x g k) 5 4 2 ) ( ÷ ÷ = x x f b) 9 6 ) ( 2 + ÷ = x x x x f l) ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > ÷ < < ÷ ÷ ÷ < = 3 ) 100 ln( 3 1 3 1 1 ) ( x x x x x x x g c) 5 2 2 ) ( 2 + + + = x x x x g m) ( ) 3 1 log ) ( ÷ + = x x g d) x x f 3 6 ) ( ÷ = e) x x x g 6 ) ( 2 + ÷ = o) 1 2 ) ( ÷ + = x x x g f) ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > ÷ s ÷ = 0 5 2 0 1 1 ) ( x si x x si x x f p) | . | \ | ÷ + = 2 4 log ) ( 2 x x x g g) x x f 3 log ) ( = q) senx x f ÷ = 1 1 ) ( h) ) 3 6 log( 2 ) ( x x x f + = Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 13 34) i) Si x e x f = ) ( y x x g 1 ) ( = , entonces el dominio de ) ( g f es: a) 9 d) | ) +· , 0 b) ( ) +· , 0 e) ninguna de las respuestas anteriores c) { } 0 ÷ 9 ii) Si x e x f = ) ( y x x g 1 ) ( = , entonces el dominio de ) ( f g es: a)9 d) | ) +· , 0 b) ( ) +· , 0 e) ninguna de las respuestas anteriores c) { } 0 ÷ 9 35) Sabiendo que la función de demanda de un producto es lineal y que los clientes demandan 100 unidades por semana cuando el precio de venta por unidad es $500 y 500 unidades si el precio disminuye a $200, determinar: a) la función de demanda; b) el precio a partir de cual cesaría la demanda; c) la función de Ingreso del productor; d) el nivel de producción que hará máximo el ingreso y el valor de ese ingreso; y e) representar gráficamente el ingreso en función de la cantidad producida 36) Una persona deposita $50.000 al 12% anual de interés. ¿Cuánto tendrá (capital más interés) después de 20 años? a) Si el interés se paga anualmente; y b) Si el interés se paga cuatrimestralmente. 37) Una corporación tiene $20.000 para depositar y espera mantener este depósito durante tres años. Se presentan dos opciones: se paga un interés del 10% anual con capitalización semestral o 8% anual con capitalización bimestral. ¿Cuál opción elegirá la corporación? 38) Se invierte un capital de $10.000 y al cabo de 5 años se reciben $25.000. Si el interés se capitaliza trimestralmente, ¿cuál fue la tasa de interés anual? RESPUESTAS 1) a) sí, IR I f = d) no g) sí, | | 5 , 0 = f I b) sí, { } 6 = f I e) no c) no f) sí, | 8 , (÷· = f I Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 14 2) ii) a) IR If IR Df = = d) IR If IR Df = = b) IR If IR Df = = e) IR If IR Df = = c) IR If IR Df = = f) { } 2 = = If IR Df iii) a) ) 0 , 0 ( intersección con ambos ejes b) ) 0 , 0 ( intersección con ambos ejes c) ) 3 , 0 ( ÷ intersección con eje y , | . | \ | 0 , 2 3 intersección con eje x d) (0, 2) intersección con eje y , (-1,0) intersección con eje x e) (0,0) intersección con ambos ejes f)(0,2) intersección con eje y , no tiene intersección con el eje x iv) a) { } ( ) ( ) 0 , , , 0 , 0 0 · ÷ = +· = = ÷ + C C C b) { } ( ) ( ) 0 , , , 0 , 0 0 · ÷ = +· = = ÷ + C C C c) | . | \ | · ÷ = | . | \ | +· = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ÷ + 2 3 , , , 2 3 , 2 3 0 C C C d) { } ( ) ( ) 1 , , , 1 , 1 0 ÷ · ÷ = +· ÷ = ÷ = ÷ + C C C e) { } ( ) ( ) +· = · ÷ = = ÷ + , 0 , 0 , , 0 0 C C C f) O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C 3) i) a) x y 3 ÷ = b) 9 4 ÷ = x y ii) a) 2 11 2 5 ÷ ÷ = x y b) 2 3 2 3 ÷ ÷ = x y 4) a) 4 = y b) 4 6 ÷ ÷ = x y 5) a) 2 + = x y c) 5 ÷ ÷ = x y b) 8 = y d) 2 2 1 + = x y 6) 2 1 = a 7) a) ( ) { } 2 , 1 ÷ = S c) { } 5 3 / ) , ( 2 ÷ = e = x y IR y x S b) O/ = S d) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ | . | \ | ÷ = 4 3 , 2 5 S Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 15 8) a) oferta d) oferta b) oferta e) ninguna c) oferta - demanda 9) 3 55 3 1 + = x p 10) a) 56 5 2 + ÷ = x p b) 16 $ = p 11) 200 es la cantidad demandada si el producto fuera gratis y $30 es el precio a partir del cual cesaría la demanda. Los valores corresponden a las intersecciones de la recta de demanda con el eje de cantidades y de precios respectivamente. 12) a) 0 8 = . = x x c) 40 = p b) 16 32 = . = p p d) 10 = x 13) a) IR Df = | ) +· = , 0 If ) 0 , 0 ( = V , { } { } O , 0 , 0 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C b) IR Df = | ) +· ÷ = , 1 If ) 1 , 0 ( ÷ = V , { } ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , , 1 1 , , 1 ; 1 0 ÷ = +· ÷ · ÷ = ÷ = ÷ + C C C c) IR Df = | ) +· = , 0 If ) 0 , 1 ( = V , { } { } O , 1 , 1 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C d) IR Df = ( | 0 , · ÷ = If ) 0 , 0 ( = V , { } { } 0 , O , 0 0 ÷ = / = = ÷ + IR C C C e) IR Df = | ) +· = , 0 If ) 0 , 0 ( = V , { } { } O , 0 , 0 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C f) IR Df = | ) +· ÷ = , 4 If ) 4 , 1 ( ÷ ÷ = V , { } ( ) ( ) ( ) 1 , 3 , , 1 ,-3 - , 1 ; 3 0 ÷ = +· · = ÷ = ÷ + C C C g) IR Df = | ) +· ÷ = , 1 If ( ) 1 , 1÷ ÷ = V , { } ( ) ( ) ( ) 0 , 2 , , 0 2 , , 0 , 2 0 ÷ = +· ÷ · ÷ = ÷ = ÷ + C C C h) IR Df = ( | 0 , · ÷ = If ) 0 , 1 (÷ = V , { } ( ) ( ) +· ÷ ÷ · ÷ = = ÷ = ÷ + , 1 1 , , , 1 0 C C C | 14) a) ) 2 )( 3 ( 3 4 ÷ + ÷ = x x y b) ) 2 ( ) 2 ( + ÷ = x x a y . No es única. Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 16 15) i) a) 8 ) 3 ( 2 ) ( 2 + ÷ ÷ = x x f b) ( ) 4 5 1 4 1 ) ( 2 ÷ + = x x f c) 8 ) 3 ( 2 ) ( 2 + ÷ ÷ = x x f ii) ) 3 )( 2 ( 2 1 ) ( ) 9 ) 2 ( ) ( ) 2 ÷ + ÷ = + + ÷ = x x x f b x x f a 16) a) ( ) ( ) { } 16 , 3 ; 8 , 3÷ ÷ = S b) ( ) ( ) { } 0 , 3 ; 5 , 2÷ ÷ = S c) ( ) { } 1 , 1 = S d) O/ = S 17) a) { } ( ) ( ) 0 , , , 0 , 0 , , 0 · ÷ = +· = = = = ÷ + C C C IR If IR Df b) { } ( ) ( ) 3 3 3 0 3 , , , 3 , 3 , , ÷ · ÷ = +· ÷ = ÷ = = = ÷ + C C C IR If IR Df c) { } ( ) ( ) 2 , , , 2 , 2 , , 0 ÷ · ÷ = +· ÷ = ÷ = = = ÷ + C C C IR If IR Df d) { } ( ) ( ) +· = · ÷ = = = = ÷ + , 0 , 0 , , 0 , , 0 C C C IR If IR Df e) { } ( ) ( ) 0 , , , 0 , 0 , , 0 · ÷ = +· = = = = ÷ + C C C IR If IR Df f) { } ( ) ( ) 0 , , , 0 , 0 , , 0 · ÷ = +· = = = = ÷ + C C C IR If IR Df g) | ) { } { } O , 0 , 0 , , 0 , 0 / = ÷ = = +· = = ÷ + C IR C C If IR Df h) ( | { } ( ) ( ) ( ) +· ÷ · ÷ = ÷ = ÷ = · ÷ = = ÷ + , 4 4 , , 4 , 4 , 4 ; 4 , 4 , , 4 4 4 4 4 4 0 C C C If IR Df 18) a) ( | { } ( ) ( ) · + = · ÷ = = · ÷ = ÷ + , 1 , 1 , , 1 , 1 , 0 C C C If b) | | { } ( ) ( ) · + = · ÷ = = ÷ = ÷ + , 1 , 1 , , 1 , 2 , 1 0 C C C If c) ( ) | | { } ( ) ( ) ( ) · + = · ÷ = ÷ = +· ÷· = ÷ + , 3 , 3 , 1 1 , , 3 1 , 1 , 2 ] 1 , ( 0 C C C If 19) { } ) 7 , 3 ( ), 0 , 2 (÷ 20) ii) a) IR Df = , | ) +· = , 0 If , { } { } O , 0 , 0 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C b) IR Df = , | ) +· = , 0 If , { } { } O , 3 , 3 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C c) IR Df = , | ) +· ÷ = , 3 If , (-3,3) ), , 3 ( ) 3 , ( , {-3,3} 0 = +· ÷ ÷· = = ÷ + C C C d) IR Df = , | ) +· = , 0 If , { } { } O , 0 , 0 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C e) IR Df = , | ) +· = , 0 If , { } { } O , 0 , 0 0 / = ÷ = = ÷ + C IR C C f) IR Df = , ( | 0 , · ÷ = If , { } { } 0 , O , 0 0 ÷ = / = = ÷ + IR C C C g) IR Df = , | ) +· ÷ = , 3 If , { } ( ) ( ) ( ) 2 , 4 , , 2 4 , , 2 ; 4 0 ÷ = +· ÷ · ÷ = ÷ = ÷ + C C C 21) a){ } ) 2 , 2 ( ), 6 , 6 (÷ b){ } ) 4 , 5 ( ); 4 , 3 (÷ c) {(-2,2); (1,3)} Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 17 22) a) { } 0 ÷ = IR Df , { } 0 ÷ = IR If , ( ) ( ) 0 , , , 0 , O 0 · ÷ = +· = / = ÷ + C C C b) { } 1 ÷ = IR Df , { } 0 ÷ = IR If , ( ) ( ) 1 , , , 1 , O 0 ÷ · ÷ = +· ÷ = / = ÷ + C C C c) { } 0 ÷ = IR Df , { } 1 ÷ = IR If , { } ( ) ( ) ( ) 0 , 1 , , 1 0 , , 1 0 = +· · ÷ = = + ÷ C C C d) { } 0 ÷ = IR Df , { } 0 ÷ = IR If , ( ) ( ) +· = · ÷ = / = ÷ + , 0 , 0 , , O 0 C C C e) { } 0 ÷ = IR Df , { } 0 ÷ = IR If , ( ) ( ) 0 , , , 0 , O 0 · ÷ = +· = / = ÷ + C C C f) { } 1 ÷ = IR Df , { } 1 ÷ = IR If , { } ( ) ( ) ( ) +· · ÷ = = = + ÷ , 1 0 , , 1 , 0 , 0 0 C C C g) { } 1 ÷ = IR Df , { } 2 ÷ = IR If , { } ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , , 1 0 , , 0 0 = +· · ÷ = = ÷ + C C C h) { } 1 ÷ ÷ = IR Df , { } 3 ÷ = IR If , ( ) | . | \ | ÷ ÷ = | . | \ | +· ÷ ÷ · ÷ = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ = ÷ + 3 2 , 1 , , 3 2 1 , , 3 2 0 C C C 23) a) { } ) 4 , 7 ( ); 3 , 0 ( ÷ = S b) { } ) 3 , 5 ( ); 1 , 1 ( ÷ ÷ = S c) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ = ) 2 , 2 1 ( S 24) a) ( ) ( ) 6 , 3 ; 2 , 4 ; = e e p x d) ( ) ( ) 5 ; 15 ; = e e p x b) ( ) ( ) 150 ; 5 ; = e e p x e) ( ) ( ) 2 ; 3 ; = e e p x b) ( ) ( ) 50 , 9 ; 450 ; = e e p x f) ( ) ( ) 20 ; 400 ; = e e p x 25) a) 800 6 ) ( + = x x C x x C 800 6 ) ( + = b) 2000 ) 200 ( = C 10 ) 200 ( = C 6800 ) 1000 ( = C 8 , 6 ) 1000 ( = C c) 200 = x d) 800 4 ) ( ÷ = x x B 26) a) 10 60 ) ( 2 x x x I ÷ = 600 70 5 ) ( 2 ÷ + ÷ = x x x B b) x x x B 600 70 5 ) ( ÷ + ÷ = c) 27 ) 200 ( = B 27) a) IR Df = , ) , 0 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 18 b) IR Df = , ) , 0 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C c) IR Df = , ) , 1 ( +· ÷ = If , { } ( ) ( ) ,0 - , , 0 , 0 0 · = +· = = ÷ + C C C d) IR Df = , ) , 0 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C e) IR Df = , ) , 0 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C f) IR Df = , ) 0 , (÷· = If , IR C C C = / = / = ÷ + , O , O 0 g) IR Df = , ) , 0 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C h) IR Df = , ) 0 , (÷· = If , O , , O 0 / = = / = + ÷ C IR C C i) IR Df = , ) , 4 ( +· = If , O , , O 0 / = = / = ÷ + C IR C C 28) a) ) , 0 ( +· = Df , IR If = , { } ( ) ( ) 1 , 0 , , 1 , 1 0 = +· = = ÷ + C C C b) ) , 1 ( +· ÷ = Df , IR If = , { } ( ) ( ) 1,0 - , , 0 , 0 0 = +· = = ÷ + C C C c) ) , 0 ( +· = Df , IR If = , | . | \ | = | . | \ | +· = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ÷ + e C e C e C 1 , 0 , , 1 , 1 0 d) ) 0 , (÷· = Df , IR If = , { } ( ) ( ) 0 , 1 , 1 , , 1 0 ÷ = ÷ · ÷ = ÷ = ÷ + C C C e) ) , 0 ( +· = Df , IR If = , { } ( ) ( ) +· = = = ÷ + , 1 , 1 , 0 , 1 0 C C C f) ) , 0 ( +· = Df , IR If = , { } ( ) ( ) 1 , 0 , , 1 , 1 0 = +· = = ÷ + C C C g) ) , 0 ( +· = Df , IR If = , | . | \ | = | . | \ | +· = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ = ÷ + 2 1 , 0 , , 2 1 , 2 1 0 C C C h) ) , 2 ( +· = Df , IR If = , { } ( ) ( ) 2 2 2 0 2 , 0 , , 2 , 2 ÷ ÷ ÷ + ÷ + = +· + = + = e C e C e C 29) i) 1 1 3 ) ( 2 2 1 ) ( 1 1 + ÷ ÷ = ÷ = ÷ ÷ x x g x x f | ) | ) 25 3 ) ( biyectiva es , 25 , 3 : 1 + + = +· ÷ ÷ +· ÷ x x h h ii) ] 1 ) 3 [ln( 2 1 ) ( 2 ) ( ) 1 ln( ) ( 1 2 1 1 ÷ ÷ = + = ÷ = ÷ ÷ ÷ x x h e x g x x f x 30) Costo fijo es de $3000. 31) ii) a) IR Df = | | 3 , 3 ÷ = If b) IR Df = | | 2 , 2 ÷ = If c) IR Df = | | 1 , 1 ÷ = If d) IR Df = | | 2 , 2 ÷ = If e) IR Df = | | 1 , 1 ÷ = If f) IR Df = | | 0 , 2 ÷ = If iii) a) Período: t Amplitud: 3 Facultad de Cs. Económica. UBA Análisis Matemático I. Cátedra Gustavo Zorzoli P. Bossi– M. J. Bianco – R. García – C. Salpeter – G. Zorzoli 19 b) Período: 2 t Amplitud: 2 c) Período: t 2 Amplitud: 1 d) Período: t 2 Amplitud: 2 e) Período: t 2 Amplitud: 1 f) Período: t 2 Amplitud: 1 32) a) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ t t 3 5 , 3 b) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ t 2 3 c) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ t t 2 3 , 2 d) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ t t 4 7 , 4 5 33) { } { } { } ) ` ¹ ¹ ´ ¦ e + ÷ = ÷ ÷ +· ÷ ÷· ÷ ÷ ÷· +· ÷ ÷ ÷ +· ÷ ÷· ÷ ÷ ÷ Z k k IR q IR p o IR m l IR k h g IR f e d IR c IR b IR a ; 2 2 ) ] 2 , 4 [ ) ) , 1 ( ] 2 , )( ) ) 100 , 1 ( ) 1 , )( ) ) , 3 5 ( ) 3 5 , 2 )( ) , 1 )[ 5 ) ] 6 , 0 )[ ] 2 , )( ) 3 ) 3 ) t t 34) i) opción b) ) , 0 ( +· ii) opción a) 35) a) 575 4 3 + ÷ = x p c) x x x I 575 3 3 ) ( 2 + ÷ = b) 575 = p d) 33 , 110208 ; 3 1150 max = = I x 36) a) 65 , 482314 = C b) 37 , 525981 = C 37) Elegiría el 10% anual con capitalización semestral (26801,91) en vez del 8% anual con capitalización trimestral (23445,41). 38) 18,9%