Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3PRÁCTICA 3 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS Objetivos: En esta práctica el estudiante tendrá la oportunidad de modelar y resolver algunos problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales y podrá determinar los conjuntos de soluciones con la ayuda de nuevos comandos y menús de la Aplicación Principal de la calculadora ClassPad 300 PLUS. Requisitos: Antes de realizar esta práctica, el estudiante debe haber resuelto en su totalidad las prácticas anteriores. 3.1 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. 1. La compañía Barba Negra & Asoc. está promocionando un nuevo modelo de afeitadora. La ofrece al público en tres tipos de estuches con hojillas adicionales de repuesto. La siguiente tabla presenta el número de hojillas adicionales y el costo de fabricación de cada estuche: Estuche A Estuche B Estuche C Número de hojillas adicionales 2 4 6 Costo de fabricación por estuche Bs. 2.000 Bs. 2.500 Bs. 3.000 a) ¿Cuál es el número de estuches de cada tipo que se pueden ofrecer mensualmente, si la compañía es capaz de fabricar 20.000 afeitadoras y dispone para los costos por estuche Bs. 50.000.000? b) Unos meses después se observa que los estuches de cuatro hojillas adicionales son los de menor preferencia. Un estudio de demanda indica que el precio unitario p del estuche de menor preferencia está en función del número q de estuches demandados de acuerdo con la ecuación 4.000 q 5 2 p + − · . Determine el número de estuches de cada tipo, que deben producirse al mes, si la demanda del estuche de menor preferencia coloca su precio unitario en Bs. 3.000. Determine además, para este caso, el número total de hojillas que se necesitarán fabricar al mes para incorporarlas en los diferentes estuches. Solución: Selección de variables: A x : número de estuches tipo A producidos mensualmente; N x A ∈ . B x : número de estuches tipo B producidos mensualmente; N x B ∈ C x : número de estuches tipo C producidos mensualmente; N x C ∈ . Traducción en términos matemáticos: Ecuación en el número de afeitadoras por mes: 000 . 20 x x x C B A · + + (I). Ecuación en el costo de fabricación mensual: 000 . 000 . 50 x 000 . 3 x 500 . 2 x 000 . 2 C B A · + + (II). Se resolverá el sistema equivalente ¹ ' ¹ · + + · + + 000 . 100 x 6 x 5 x 4 000 . 20 x x x C B A C B A haciendo uso de los comandos del menú [Matriz – Calcular ►] de la Aplicación Principal. Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 28 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 2. Operación con la ClassPad (1) Retire la tapa de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione [ON/OFF] para encenderla. (2) Toque en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal. (3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo. (4) Toque el botón para acceder al administrador de variables. Toque main dos veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.] [Cerr.] •Esta última secuencia limpia las variables asignadas y regresa a la ventana del área de trabajo de la aplicación Principal. (5) Active el teclado virtual 2D presionando [Keyboard] y toque la lengüeta [2D]. Toque el botón para acceder a las plantillas de matrices. (6) Toque y registre los elementos de la matriz ampliada. Figura 1 (7) Seleccione la matriz ampliada. Toque [Interactivo] [Matriz – Calcular ►] [ref]. •Su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 1. Como puede observar, el menú [Interactivo] tiene prácticamente los mismos comandos del menú [Acción]. Los comandos se ejecutan, seleccionando previamente la expresión matemática en la línea de entrada, luego se tocan el menú Interactivo, el menú secundario y por último el comando deseado. 3. Encuentre el conjunto solución del sistema por sustitución regresiva a partir de la matriz escalonada reducida mostrada en la pantalla de su calculadora. Si se desea obtener la matriz solución del sistema, será necesario agregar un pivote normalizado. Esto implica insertar una fila de ceros con el pivote faltante 1 y una columna de ceros con un 1 en la fila del pivote agregado y luego hacer ceros por encima de los pivotes. Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 29 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 (8) Seleccione la matriz escalonada en la línea de salida. Toque para copiar la matriz en el portapapeles. Ubique el cursor en la línea de entrada y toque para obtener una copia. (9) Sitúe el cursor en cualquier casilla de la matriz y toque para insertar una fila y una columna. (10) Registre un 1 en la tercera fila y tercera columna y un 1 en la tercera fila quinta columna. Registre ceros en las celdas vacías. Figura 2 (11) Seleccione la nueva matriz en la línea de entrada. (12) Toque [Interactivo] [Matriz – Calcular ►] [rref]. •Su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la Figura 3. •Obtenemos la matriz reducida que nos permite establecer el conjunto solución del sistema. Figura 3 4. A partir de esta última pantalla, escriba la matriz solución del sistema. Compare con el resultado encontrado por sustitución regresiva. Observaciones: El comando [ref] reduce la matriz ampliada del sistema, a una matriz escalonada reducida donde se puede hacer el análisis del tipo de conjunto solución que presenta el sistema. En el caso de los sistemas compatibles indeterminados, esta matriz escalonada reducida nos indicará qué variables son básicas y cuáles son libres. En el ejemplo precedente, la matriz presentada en la Figura 1, indica que A x y B x son variables básicas y C x la única variable libre. El comando [rref] permite resolver directamente, a partir de la matriz ampliada, un sistema compatible determinado. Si no se sabe de antemano que el sistema es compatible determinado, es conveniente aplicar primero el comando [ref] para averiguar los rangos de la matriz del sistema y la matriz ampliada. Otra manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales es por medio del comando [Solve], disponible en los menús desplegables [Acción] e [Interactivo]. Con este comando pueden resolverse ecuaciones en una y varias variables. La sintaxis de este comando, para el caso de los sistemas lineales, es el siguiente: 1. Si el sistema tiene m ecuaciones y m incógnitas la sintaxis del comando es la siguiente: Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 30 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 Solve({ecuación 1,ecuación 2, … , ecuación m},{variable 1, variable 2, … ,variable m}) 2. Si el sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas con n > m, será necesario especificar m variables básicas (dependientes). La sintaxis del comando es la misma que la anterior pero deben especificarse sólo las variables básicas. Para entender el último caso, resolvamos el sistema anterior ¹ ' ¹ · + + · + + 000 . 100 x 6 x 5 x 4 000 . 20 x x x C B A C B A usando este comando. Para simplificar las variables, escribamos el sistema en la forma ¹ ' ¹ · + + · + + 000 . 100 z 6 y 5 x 4 000 . 20 z y x . (13) En la línea de entrada toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [Solve]. •Esto activa el comando [Solve]. (14) Active el teclado matemático [mth]. (15) Escriba seguidamente {x+y+z=20000,4x+5y+6z=100000},{x,y} (16) Oprima [EXE]. Figura 4 Observe que en este caso, se especificaron como variables básicas x, y (variables independientes) porque se registraron dos ecuaciones. El conjunto solución del sistema queda expresado en función de la variable libre z (variable independiente). Si definimos la variable t como un parámetro que recorre los números reales ( R t ∈ ) tenemos que la solución matemática del problema está representada por las ecuaciones paramétricas: R t ; t z 20000 t 2 y t x ∈ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + − · · . El sistema también puede resolverse haciendo uso de las plantillas del teclado 2D: (17) Active el teclado [2D]. (18) Toque la plantilla . •Esto activa una plantilla con dos celdas, donde pueden registrarse dos ecuaciones y una pequeña celda donde se registran las variables básicas. (19) En la primera celda escriba la primera ecuación x+y+z=20000. (20) En la segunda celda escriba la segunda ecuación 4x+5y+6z=100000. (21) En la celda pequeña registe las variables básicas x,y. (22) Oprima [EXE]. •Se obtiene la solución paramétrica del sistema. Figura 5 Para encontrar la solución del problema en el contexto real, se sigue el siguiente paso: • Estudio de la no negatividad y variabilidad en los enteros de las variables en el Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 31 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 conjunto solución del sistema: Dado que 0 z , 0 y , 0 x ≥ ≥ ≥ con N z , y , x ∈ , esto nos lleva a la resolución del sistema de inecuaciones ¹ ' ¹ ≥ ≥ + − 0 t 0 20000 t 2 cuyo conjunto solución es obviamente: 10000 t 0 ≤ ≤ con N t ∈ . Observación: Podemos aprovechar este sistema de inecuaciones en una variable, para ilustrar su resolución con el uso del comando lógico (booleano) [and] del menú secundario [Ecuación/Desigualdad ►]: (23) Active el teclado alfabético [abc]. •Al alternar los botones y se puede acceder al teclado de variables y al teclado de símbolos matemáticos. (24) En la línea de entrada escriba la primera inecuación 0 20000 t 2 ≥ + − alternando los botones y cuando sea necesario. (25) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [and]. (26) Escriba la segunda inecuación 0 t ≥ (27) Toque el botón [Ejec]. •Se obtiene la solución 10000 t 0 ≤ ≤ del sistema, como sabíamos. Figura 6 La respuesta a la parte a) del problema es N t ; 10000 t 0 ; t z 20000 t 2 y t x ∈ ≤ ≤ ¹ ¹ ¹ ' ¹ · + − · · . Es decir, existen para la compañía, 10.001 maneras de ofrecer mensualmente la cantidad de estuches de cada tipo, fabricando 20.000 afeitadoras a un costo mensual para los estuches de Bs. 50.000.000. Algunas de estas soluciones podemos visualizarlas en la siguiente tabla: Número de estuches t Tipo A Tipo B Tipo C 0 0 20.000 0 1 1 19.998 1 5.000 5.000 10.000 5.000 9.999 9.999 2 9.999 10.000 10.000 0 10.000 • Para dar respuesta a la parte b), utilizaremos la ecuación de demanda 4.000 q 5 2 p + − · : Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 32 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 Si la empresa decide colocar el precio de venta de cada estuche tipo B en Bs. 3.000, la cantidad demandada de los mismos será: 2.500 q 4.000 q 5 2 3.000 · ⇒ + − · . De manera que 750 . 8 t 500 . 2 0000 . 20 t 2 500 . 2 y · ⇒ · + − ⇒ · . En consecuencia, la cantidad de estuches a ofrecer mensualmente será: Número de estuches t Tipo A Tipo B Tipo C 8.750 8.750 2.500 8.750 • A partir de la solución anterior se puede determinar el número total de hojillas que se necesitarán al mes para incorporarlas en los diferentes estuches: Número de hojillas: 000 . 80 750 . 8 6 500 . 2 4 750 . 8 2 · ⋅ + ⋅ + ⋅ . 5. Sandra, Chicho y Tanque, molestos con Cesar Augusto por embarcador y por tomador de cerveza de otra marca, deciden rumbear. En diversas oportunidades compraron cerveza en la Licorería Mala Bar que exponía la siguiente lista de precios de su cerveza favorita: ENVASE CANTIDAD PRECIO UNITARIO Botella 250 cc 475,00 Bs./ botella Botella (más que un litro) 355 cc 645,00 Bs./ botella Lata 250 cc 550,00 Bs./ lata Tabla 1 a) Si en total bebieron 16,35 litros y gastaron por ellos Bs. 31.525,00. Determine el número exacto de envases de cada tipo que compraron. b) Relacione la información encontrada en el inciso a) y la información aportada en la tabla 2 para completar la misma: ¿Qué bebió cada uno? ¿Cuántos cc bebió cada uno? ¿Cuánto pagó cada uno? Botella 250 cc Botella 355 cc Lata 250 cc Sandra 7 5 Chicho 10 5 Tanque 8 6 Totales: Tabla 2 Solución: Selección de variables: x : número de botellas de 250 cc que compraron; N x ∈ . y : número de botellas de 355 cc que compraron; N y∈ Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 33 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 z : número de latas de 250 cc que compraron; N z ∈ Traducción en términos matemáticos: Ecuación en la cantidad total de cc que bebieron: 350 . 16 z 250 y 355 x 250 · + + (I). Ecuación en la cantidad total de Bs que gastaron: 525 . 31 z 550 y 645 x 475 · + + (II). Sistema equivalente a resolver ¹ ' ¹ · + + · + + 305 . 6 z 110 y 129 x 95 270 . 3 z 50 y 71 x 50 . (28) Borre la pantalla de la aplicación Principal. (29) Utilice la plantilla del teclado virtual 2D para resolver el sistema de ecuaciones declarando como variables básicas x, y. •Muestre que el conjunto solución del sistema viene dado por: ¹ ; ¹ ¹ ' ¹ ∈ , _ ¸ ¸ − − · R t : t , 59 920 t 150 , 59 t 272 5165 S (30) Toque la lengüeta [mth] y luego [OPC]. Utilice el comando [and] para encontrar el intervalo donde las tres variables son no negativas simultáneamente (análisis de no negatividad de las variables). (31) Al obtener la relación de orden para el parámetro t en la línea de salida, selecciónela y toque el botón de la barra de herramientas para obtener los extremos del intervalo en forma decimal (ver Figura 7). Figura 7 • Estudio de la variabilidad entera de las variables en el conjunto solución del sistema: En la búsqueda de la solución del problema en el contexto real, la última pantalla indica que el número de latas, descrito por la variable libre z, debe ser uno o algunos de los números enteros positivos: z = 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17 y 18. Si miramos la Tabla 2 a completar, observamos que z debe tomar como valor mínimo 11, lo que descarta los cuatro primeros números de la lista. Debemos establecer cuáles de los restantes, hacen que las variables básicas x, y tomen valores enteros positivos. Evidentemente que esto se logra evaluando estas variables para t = 11, 12, … , 18. Si embargo, podemos hacer uso de las listas de la Aplicación Estadística para observar cuáles son las soluciones posibles en este caso. (32) Toque el icono del panel de iconos. (33) Toque el icono para acceder a la Aplicación Estadística. (34) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borra la información que pudiera estar en las listas. (35) En la parte inferior de la lista list1, toque la casilla de cálculo a la derecha del indicador Cal►. Esto nos permite hacer uso del editor Cal=. Toque el recuadro para activar el editor (Figura 8): (36) Active el teclado virtual [abc]. Con este teclado y el teclado de la calculadora escriba: seq((5165 – 272t)/59, t, 11, 18) y toque [Ejec]. • Aparecerá una lista con los valores correspondientes a la variable x. (37) Toque nuevamente el recuadro y borre su contenido con . Seguidamente escriba la sintaxis: approx(list1) y toque [Ejec]. Figura 8 Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 34 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 •Aparecerán los valores anteriores en forma decimal. (38) De manera análoga, siguiendo los mismos pasos anteriores, en la lista list2 escriba la sintaxis: seq((150t-920)/59,t,11,18). Toque [Ejec]. (39) Borre el contenido en el recuadro. Escriba la sintaxis: approx(list2) y toque [Ejec]. (40) Finalmente en list 3, escriba la sintaxis: seq(t,t,11,18) y toque [Ejec]. (41) Borre el contenido del recuadro. Escriba: approx(list3) y toque [Ejec] •Al desactivar el teclado virtual obtendrá la pantalla mostrada en la Figura 9. Figura 9 Como habrá notado, el comando seq( permite generar una sucesión de números de acuerdo a una formula o expresión matemática para valores enteros de su variable, desde un número entero dado hasta otro. Su sintaxis es la siguiente: Seq(expresión matemática, variable, primer entero, segundo entero, salto entero) El comando approx( convierte una expresión en formato simbólico a formato decimal. • Respuesta a la situación problemática planteada: Observe que el problema tiene solución única en el contexto real. La última pantalla (Figura 9) nos muestra que la única solución posible, donde las tres variables son enteras positivas, es la indicada en la fila 4 de las tres listas: Número de botellas de 250 cc que compraron: 23 Número de botellas de 355 cc que compraron: 20 Número de latas de 250 cc que compraron: 14 6. Complete ahora la tabla con esta información: ¿Qué bebió cada uno? ¿Cuántos cc bebió cada uno? ¿Cuánto pagó cada uno? Botella 250 cc Botella 355 cc Lata 250 cc Sandra 7 5 Chicho 10 5 Tanque 8 6 Totales: 3.2 Resolución de problemas. 3.2.1 Un problema de química: Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 35 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 7. En una reacción química, el sulfato de manganeso ( 4 MnSO ) y el permanganato de potasio ( 4 KMnO ) se combinan con el agua ( O H 2 ) para producir ácido sulfúrico ( 4 2 SO H ), sulfato de potasio ( 4 2 SO K ) y óxido de manganeso ( 2 MnO ). El problema consiste en equilibrar la reacción. a) Escriba las ecuaciones que relacionan los coeficientes de los compuestos involucrados en la solución. b) Explique por qué este sistema es necesariamente compatible indeterminado (dar una explicación matemática y otra química). c) Resuelva este sistema y encuentre la solución aceptable por los químicos, verifíquela y escriba la ecuación balanceada. • Consideraciones para la construcción del modelo: La reacción combina cierto número de moléculas de cada reactivo para obtener cierto número de moléculas de cada producto. Las variables del problema representan estos números: a cada reactivo y cada producto, corresponde una variable. Por otra parte, todos los átomos de cada elemento contenidos en las moléculas que entran en la reacción, se vuelven a encontrar en los productos. Se obtiene de este modo un sistema de ecuaciones lineales homogéneas: una para cada elemento. Entre todas las soluciones, se utiliza la que está formada por números enteros positivos coprimos. 8. a) b) c) 3.2.2 Un problema de flujo de tráfico: Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 36 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 9. La siguiente figura muestra el flujo de tránsito en el centro de una ciudad durante las horas pico de un día hábil. Las flechas indican la dirección del flujo en cada cuadra de un sentido; la tasa promedio de vehículos que pasan por cada cuadra por hora aparece indicada en el diagrama. Se tiene la información de que en cada una de las cuadras de la manzana central correspondientes a las avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2.000 vehículos por hora sin congestionarse, en tanto que la tasa máxima de cada cuadra de la manzana de las calles 4 y 5 es de 1.000 vehículos por hora. El flujo se controla por semáforos instalados en cada esquina. Figura 10 a) Suponga que en las calles de la manzana central está prohibido estacionar vehículos y no existen estacionamientos. Encuentre dos patrones de flujo posibles (soluciones) para las tasas de flujo 3 2 1 x , x , x y 4 x que garanticen que no habrá congestionamiento. b) Suponga ahora que en la cuadra de la calle 4, comprendida entre las avenidas 5 y 6 se repavimentará y que el flujo de tráfico entre las esquinas respectivas se reduce a 300 vehículos por hora. ¿Cuál es el patrón de flujo para este caso?. c) ¿Cuál es el patrón de flujo si se decide cerrar la calle 5 entre las avenidas 5 y 6? • Consideraciones para la construcción del modelo: El número de vehículos que entran en una determinada esquina debe ser igual al número de vehículos que salen de esta misma esquina. Cada cuadra empieza en una esquina y termina en otra; si se escriben cuidadosamente las ecuaciones, cada columna de la matriz del sistema contiene dos unos y los demás elementos son nulos. 10. a) b) c) 3.2.3 Un problema de un circuito eléctrico: Un circuito eléctrico está compuesto normalmente por un conjunto de elementos activos, que generan energía eléctrica (por ejemplo, las baterías que transforman una energía de tipo químico en eléctrica) y de elementos pasivos, que consumen dicha energía (por ejemplo, las resistencias que transforman la energía eléctrica en calor). Ambos conjuntos están conectados entre sí. En la Figura 11 se muestra un circuito compuesto por una batería, E, y varias resistencias 1 R , 2 R , 3 R y 4 R . Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 37 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 Las magnitudes que describen el comportamiento de un circuito son la Intensidad de Corriente Eléctrica I y el Voltaje V o caída de potencial y se miden, en el Sistema Internacional de Unidades, en Amperios (A) y Voltios (V).. La intensidad de corriente eléctrica es la cantidad de carga por segundo, que pasa a través de un cable o elemento de circuito. El voltaje es una medida de la separación o gradiente de carga que se establece en un elemento del circuito. Figura 11 El voltaje también se denomina caída de potencial o diferencia de potencial y, en general se puede determinar entre dos puntos arbitrarios de un circuito. El voltaje esta relacionado con la cantidad de energía que se transforma de eléctrica en otro tipo cuando pasa la unidad de carga (por ejemplo, calor en una resistencia). Se denomina Fuerza Electromotriz (f.e.m.) cuando se refiere al efecto contrario, conversión de energía de otro tipo (por ejemplo químico en una batería) en energía eléctrica. La f.e.m. suele denotarse E y también se mide en voltios. Los elementos de un circuito se interconectan mediante conductores. Los conductores o cables metálicos se utilizan básicamente para conectar puntos que se desea estén, a la misma diferencia de potencial (es decir, idealmente la caída de potencial a la largo de un cable o conductor metálico es cero). Para facilitar el estudio de un circuito conviene definir los siguientes términos: Nodos, Ramas y Mallas. •Nodo es la unión de más de dos cables: Los puntos a y b son los dos únicos existentes en el circuito que se esquematiza en la Figura 12; el punto c es la unión de dos elementos, pero no es un nodo. •Rama es el recorrido a lo largo del circuito entre dos nodos consecutivos: acb es una rama, bac no lo es. En el esquema se tienen tres ramas: acb, bda y ab. •Malla (o ciclo) es un recorrido cerrado. Por ejemplo abda (malla I) y acba (malla II). También lo es el recorrido exterior bdacb, pero es redundante con las anteriores (I y II) que recorren todos sus elementos. Figura 12 Para proceder al estudio de un circuito se identifican las corrientes que van por cada rama. En el circuito anterior se distinguen tres corrientes diferentes: 1 I , 2 I e 3 I . La notación y los sentidos de las corrientes se asignan arbitrariamente; si después de analizado el circuito, una corriente resulta negativa, entonces su sentido es opuesto al escogido inicialmente. Se debe conocer para cada elemento o dispositivo del circuito, la relación que hay entre la intensidad de corriente que atraviesa el dispositivo y la caída de potencial o voltaje entre sus extremos. •Baterías: Las baterías tienen una característica muy simple, dan un voltaje fijo (su f.e.m.), para cualquier valor de corriente. •Resistencias: En las resistencias, el voltaje es directamente proporcional a la corriente que la atraviesa. En este caso se cumple la Ley de Ohm: V = R I, donde R es la constante de proporcionalidad llamada resistencia y se mide en ohmios (Ω). Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 38 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 11. El siguiente problema consiste en determinar la corriente en amperes que recorre cada malla en el siguiente circuito. Figura 13 a) Escriba todas las ecuaciones que relacionan las corrientes en cada malla. b) Resuelva el sistema y verifique el resultado obtenido. • Consideraciones para la construcción del modelo: Tome en consideración las Leyes de Kirchoff: • Ley de nodos: La suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero. Se toman positivas las corrientes que llegan y negativas las que salen. Esta ley se aplica a cada nodo del circuito menos uno. • Ley de mallas: La suma algebraica de las caídas de potencial a lo largo de una malla debe coincidir con la suma algebraica de las fuerzas electromotrices (de los elementos activos) a lo largo de la misma. Si no hay elementos activos, la suma algebraica de las caídas de potencial en la malla es cero. Para la aplicación de esta ley es necesario asignar un sentido de recorrido a las mallas y dar convenios de signos: Observaciones: • Una f.e.m. se toma positiva si en el recorrido se sale por el polo positivo. • Una caída de potencial se toma como positiva si en el recorrido se va a favor de la corriente cuando se pasa por el elemento. Por ejemplo, aplicando estas leyes al circuito mostrado en la Figura 12 se tiene: • Nodo a: 0 I I I 3 2 1 · − − . • Malla I: 3 2 1 1 1 I R I R E + · . • Malla II: 3 3 2 4 2 2 2 I R I R I R E − + · − . De esta manera puede plantear un sistema de ecuaciones que permite determinar las diferentes intensidades de corriente en el circuito. Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 39 Facultad de Ingeniería UCV Álgebra Lineal y Geometría Analítica Práctica 3 12. a) b) 4.2.4 Un problema de geometría analítica 13. Toda esfera tiene una ecuación de la forma 0 d cz 2 by 2 ax 2 z y x 2 2 2 · + + + + + + . El problema consiste en determinar la ecuación de la esfera que pasa por los puntos de coordenadas ) 3 , 2 , 1 ( P , ) 0 , 1 , 2 ( Q − , ) 1 , 3 , 4 ( R − y ) 2 , 4 , 0 ( S . a) Escriba las ecuaciones que relacionan a, b, c y d. b) Resuelva el sistema, verifique el resultado obtenido y escriba la ecuación de la cuádrica. 14. a) b) Prof. Robinson Arcos Departamento Matemática Aplicada 40
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