PROFESSOR CASTANHEIRA E−MAIL: [email protected] 01) Mostre que para cada inteiro não negativo n: PRALGEBRA014 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com P n = 1 x 20 1 x 21 1 x 22 1 n 1 x −1 2n = 2903 n − 803n − 464n − 261n = 1 x x2 x2 . 2903 − 803 ⋅a − 464 − 261 ⋅b = 2100a − 203b = 7x − 7y = 7z . = E ainda (verifique!): P n = = Onde x é um número complexo. Resolução: A afirmação obviamente vale para n igual a zero. Supondo que vale para algum n, provemos que vale para o sucessor de n: 1 x 20 1 x 21 1 x 22 1 n1 x 2n 1 x n 1 2n 1 1 x x2 x 2 −1 1 x2 1 x 2n 1 x x x 2 n 1 1 2 2n 1 − 1 2903 n − 464n − 803n − 261n = 2903 − 464 ⋅a − 803 − 261 ⋅b = x x 2 n 1 2 x 2 n2 2n 2 − 1 = 2439a − 542b = 271x − 271y = 271z . 1 x x x 02) Calcule: 2 −1 . 10 4 324 224 324 344 324 46 4 324 584 324 4 4 324 164 324 284 324 404 324 524 324 Resolução: Cada termo entre parênteses é, para algum inteiro positivo a, da forma (verifique!): a 4 324 = a 4 4⋅3 4 = . Observação: Acima, a, b, x, y e z representam inteiros adequados ao contexto. Verifique! Observação: Usamos acima seguidamente o produto notável da diferença de enésimas potências. Mais precisamente, se n é um inteiro não negativo e a e b são inteiros, então existe algum inteiro q tal que: a n − b n = a − b ⋅q . a − 3 9 a 3 9 . 2 2 Aplicando tal igualdade parênteses (verifique!): para cada termo entre 04) Considere todos os números reais a e b tais que: a 2 b2 = 1 I Determine então o valor mínimo de: G a , b = 12b − 5a II Resolução: De (II): 72 9 132 9 192 9 252 9 552 9 612 9 = 12 9 7 2 9 132 9 19 2 9 492 9 552 9 612 9 1 9 2 = 3730 = 373 . 10 03) Mostre que é sempre divisível por 1897: P n = 2903n − 803n − 464n 261 n . a = 12b − G 5 . Onde n é um inteiro não negativo. Resolução: Note inicialmente que 1897 pode assim ser escrito como um produto de números primos 1897 = 7⋅271 . Donde basta mostrar que 7 e 271 dividem P (n) separadamente. Com efeito (verifique!): Levando em (I) e colocando na forma canônica de uma equação quadrática em b (verifique!): 169 b 2 − 24G b G 2 − 25 = 0 . Que deve ter discriminante não negativo, ou seja: −24G − 4 169 G 2 − 25 0 . 2 Professor Castanheira – Página 1 Determine então o valor mínimo de: F x . 05) Considere todos os números reais x e y tais que: Exercício: Determine cada número complexo x tal que: x3 − 8 = 0 .com Exercício: Determine algum número natural n de modo que seja quadrado perfeito: Com G de fato atingindo (−13) para (verifique!): b = − E a = 5 13 o 12 13 valor mínimo de 2 11 28 2 n . Resposta: x 5 y − 12 = 14 2 . i .PROFESSOR CASTANHEIRA E−MAIL: lccs1701@yahoo. .blogspot. PRALGEBRA014 BLOG: www. mostre que: a 2 b 2 c 2 = ab ac bc a = b = c . Exercício: Sendo x e y números complexos não nulos. − i . mostre números x 2 y 2 − 2x − 4y 5 = 0 x = 1 e y = 2 . façamos a substituição: x = 14a − 5 E y = 14b 12 . y = x y . Exercício: Sejam x e y números complexos de produto 6.professorcastanheira. 2 . − 1 − 3 i . Mostre então que: x 2 y x y 2 x y = 63 Exercício: que: Sendo x e y ⇒ x 2 y 2 = 69 . Resposta: −1 . y x Donde (verifique!): F x . 2 2 2 2 −1 3 i . mostre que: xy = x − y ⇒ x y − xy = 2 . Com o valor mínimo de F igual a: 365 28 −13 = 1 .com Donde (verifique!): −13 G 13 . Professor Castanheira – Página 2 ⇔ . b e c números reais. Resolução: Usando a questão anterior. b = 365 28 12b − 5a . reais. ⇔ Exercício: Sendo a. Exercício: Determine cada número complexo x tal que: x3 x 2 x 1 = 0 . y = H a . Resposta: n igual a 12.