Pr Algebra 014

March 29, 2018 | Author: Guilherme Rocha | Category: Integer, Quadratic Equation, Complex Number, Equations, Mathematical Notation


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PROFESSOR CASTANHEIRA E−MAIL: [email protected] 01) Mostre que para cada inteiro não negativo n: PRALGEBRA014 BLOG: www.professorcastanheira.blogspot.com P  n = 1  x 20  1  x 21  1  x 22   1 n 1  x −1 2n  =  2903 n − 803n  −  464n − 261n  = 1  x  x2    x2 .  2903 − 803 ⋅a −  464 − 261 ⋅b = 2100a − 203b = 7x − 7y = 7z . = E ainda (verifique!): P  n = = Onde x é um número complexo. Resolução: A afirmação obviamente vale para n igual a zero. Supondo que vale para algum n, provemos que vale para o sucessor de n: 1  x 20  1  x 21  1  x 22   1 n1  x 2n  1  x n 1 2n  1  1  x  x2    x 2 −1  1  x2  1 x 2n  1  x  x    x 2 n 1  1 2 2n  1 − 1   2903 n  − 464n  −  803n − 261n  =  2903 − 464 ⋅a −  803 − 261 ⋅b =  x  x 2 n 1  2    x 2 n2 2n  2 − 1  = 2439a − 542b = 271x − 271y = 271z . 1  x  x    x 02) Calcule: 2 −1 .  10 4  324   224  324   344  324   46 4  324   584  324   4 4  324   164  324   284  324   404  324   524  324  Resolução: Cada termo entre parênteses é, para algum inteiro positivo a, da forma (verifique!): a 4  324 = a 4  4⋅3 4 = . Observação: Acima, a, b, x, y e z representam inteiros adequados ao contexto. Verifique! Observação: Usamos acima seguidamente o produto notável da diferença de enésimas potências. Mais precisamente, se n é um inteiro não negativo e a e b são inteiros, então existe algum inteiro q tal que: a n − b n =  a − b ⋅q . a − 3  9  a  3  9  . 2 2 Aplicando tal igualdade parênteses (verifique!): para cada termo entre 04) Considere todos os números reais a e b tais que: a 2  b2 = 1  I  Determine então o valor mínimo de: G  a , b  = 12b − 5a  II  Resolução: De (II):  72  9   132  9   192  9   252  9    552  9   612  9  =  12  9   7 2  9   132  9   19 2  9    492  9   552  9  612  9 1  9 2 = 3730 = 373 . 10 03) Mostre que é sempre divisível por 1897: P  n  = 2903n − 803n − 464n  261 n . a = 12b − G 5 . Onde n é um inteiro não negativo. Resolução: Note inicialmente que 1897 pode assim ser escrito como um produto de números primos 1897 = 7⋅271 . Donde basta mostrar que 7 e 271 dividem P (n) separadamente. Com efeito (verifique!): Levando em (I) e colocando na forma canônica de uma equação quadrática em b (verifique!): 169  b 2  − 24G  b   G 2 − 25  = 0 . Que deve ter discriminante não negativo, ou seja: −24G  − 4  169   G 2 − 25   0 . 2 Professor Castanheira – Página 1 Determine então o valor mínimo de: F x . 05) Considere todos os números reais x e y tais que: Exercício: Determine cada número complexo x tal que: x3 − 8 = 0 .com Exercício: Determine algum número natural n de modo que seja quadrado perfeito: Com G de fato atingindo (−13) para (verifique!): b = − E a = 5 13 o 12 13 valor mínimo de 2 11  28  2 n . Resposta:  x  5    y − 12  = 14 2 . i .PROFESSOR CASTANHEIRA E−MAIL: lccs1701@yahoo. .blogspot. PRALGEBRA014 BLOG: www. mostre que: a 2  b 2  c 2 = ab  ac  bc a = b = c . Exercício: Sendo x e y números complexos não nulos. − i . mostre números x 2  y 2 − 2x − 4y  5 = 0 x = 1 e y = 2 . façamos a substituição: x = 14a − 5 E y = 14b  12 . y = x  y . Exercício: Sejam x e y números complexos de produto 6.professorcastanheira. 2 . − 1 −  3 i . Mostre então que: x 2 y  x y 2  x  y = 63 Exercício: que: Sendo x e y ⇒ x 2  y 2 = 69 . Resposta: −1 . y x Donde (verifique!): F  x . 2 2 2 2 −1  3 i . mostre que: xy = x − y ⇒ x y  − xy = 2 . Com o valor mínimo de F igual a: 365  28 −13  = 1 .com Donde (verifique!): −13  G  13 . Professor Castanheira – Página 2 ⇔ . b e c números reais. Resolução: Usando a questão anterior. b  = 365  28  12b − 5a  . reais. ⇔ Exercício: Sendo a. Exercício: Determine cada número complexo x tal que: x3  x 2  x  1 = 0 . y  = H  a . Resposta: n igual a 12.
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