Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralementNOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 1 de 8 Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Cet exemple détaille la vérification d'une poutre homogène simple soumise à une charge uniformément répartie. La poutre n'est maintenue latéralement qu'aux points d'appui. Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur - tous droits réservés. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel 1 Application Cet exemple couvre le cas d’une poutre constituée d’un profilé laminé en I, en flexion par rapport à son axe fort et maintenue latéralement uniquement aux points d’appui. Cet exemple comprend : - la classification de la section transversale, - le calcul de la résistance en flexion, ainsi que le calcul précis du moment critique de déversement élastique, - le calcul de la résistance au cisaillement, - le calcul de la flèche à l’état limite de service. Cet exemple ne comprend pas la vérification de la résistance de l’âme au voilement par cisaillement. Charge La charge uniformément répartie se compose : • du poids propre de la poutre • de la dalle en béton • des charges d’exploitation 1 1 1 : Maintien latéral Coefficients partiels de sécurité • γG = 1,35 (charges permanentes) • γQ = 1,50 (charges variables) • γM0 = 1,0 EN 1993-1-1 • γM1 = 1,0 § 6.1 (1) EN 1990 5 mm Congé de raccordement r = 18 mm Masse 49.12 × 24 kN/m3 = 2.88 kN/m2 Considérons un profilé IPE 330 – Nuance d’acier S235 Euronorme z tf 19-57 Hauteur h = 330 mm tw Largeur b = 160 mm y Epaisseur de l’âme tw = 7.3 cm3 .1 kg/m y h z b Aire de la section A = 62.y = 713.70 m • Distance entre poutres : 2.15 cm4 Inertie de gauchissement Iw = 199100 cm6 Module élastique par rapport à l’axe y-y Wel. On considère que la poutre n’est maintenue latéralement qu’à ses extrémités.1 cm3 Module plastique par rapport à l’axe y-y Wel.5 mm Epaisseur de l’aile tf = 11. • Portée : 5. en fonction des données fournies ci-dessous.6 cm2 Moment d’inertie par rapport à l’axe y-y Iy = 11770 cm4 Moment d’inertie par rapport à l’axe z-z Iz = 788.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page de Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 2 8 Données de départ Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .75 kN/m2 • Charges d’exploitation : 2.tous droits réservés.1 cm4 Inertie de torsion It = 28. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel Calcul d’une poutre secondaire non mixte d’un plancher de bâtiment multiétagé.50 m • Épaisseur de la dalle : 12 cm • Cloisons : 0.50 kN/m2 • Densité du béton : 24 kN/m3 • Nuance d’acier : S235 Poids de la dalle : 0.y = 804. 25 = 22.28 × 5.25 kN/m Combinaison à l’ELU (Etat Limite Ultime) : Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .3.482 kN/m Charges permanentes : G = 0.tous droits réservés.50 = 9.88 + 0.5 × 22.4.1 Remarque : L’Annexe Nationale peut imposer soit les valeurs de fy tirées du Tableau 3.50 kN Limite d’élasticité Nuance d’acier S235 EN 1993-1-1 L’épaisseur maximale est de 11. soit celles données par la norme « produits ».1.702 = 90.482 + (2.56 + 1. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel γG G + γQ Q = 1.48 kNm Moment maximal à mi-portée : My.28 kN/m EN 1990 § 6.5 = 6.28 × 5.125 × 22. .Ed = 0.48 kNm Diagramme de l’effort tranchant 63. donc : fy = 235 N/mm2 Tableau 3.70 = 63.Ed = 0.1 × 9.50 × 6.56 kN/m Charges variables (Charges d’exploitation) : Q = 2.75) × 2.5 mm < 40 mm.5 × 2.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 3 de 8 Poids propre de la poutre : (49.81) × 10-3 = 0.50 kN V Effort tranchant maximal aux appuis : Vz.35 × 9.2 Diagramme du moment M 90. Ed / Mc. puisque celle-ci est de classe 1 Moment résistant La résistance en flexion d’une section transversale s’obtient par : Mc.tous droits réservés.2 c / tw = 271 / 7.Rd = 90.07 ≤ 9 ε = 9 Classe 1 Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .5 – 2 × 18)/2 = 58.5 . en l’occurrence : Classe 1 Ainsi.5 = 36.2 (feuille 2) c = (b – tw – 2 r) / 2 = (160 – 7. les vérifications à l’ELU doivent se référer à la résistance plastique de la section transversale.1 < 72 ε = 72 (feuille 1) Classe 1 La classe de la section transversale correspond à la plus élevée (c.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 4 de 8 Classification de la section : Le paramètre ε est fonction de la limite d’élasticité : ε = 235 =1 f y [N/mm 2 ] Aile « en console » : aile soumise à un effort de compression uniforme EN 1993-1-1 Tableau 5.01 = 0.Rd = Mpl. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel Partie interne comprimée : âme en flexion pure EN 1993-1-1 c = h – 2 tf – 2 r = 330 – 2 × 11.Rd = Wpl.479 < 1 OK EN 1993-1-1 § 6.3 × 235 / 1.0) / 1000 Mc.-à-d.Rd = 189.5 = 5. la moins favorable) des classes de l’aile et de l’âme.25 / 11.48 / 189.y fy / γM0 = (804.01 kNm My.25 mm c/tf = 58.2.5 – 2 × 18 = 271 mm Tableau 5. zg est la distance du point d’application de la charge au centre de cisaillement: zg = h / 2 = +165 mm (zg est positif lorsque la charge s’applique en direction du centre de cisaillement) Les coefficients C1 et C2 s’obtiennent à partir du diagramme du moment. et pour k = 1.tous droits réservés. le module de cisaillement : G = 80770 N/mm2 L. Dans le cas d’une charge uniformément répartie. Le calcul qui suit permet de déterminer ce coefficient en calculant le moment critique de déversement élastique. le module d'élasticité : 2 E = 210000 N/mm2 G.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 5 de 8 Coefficient de réduction pour le déversement Pour calculer le moment résistant au déversement d’une poutre non maintenue latéralement.454 Voir SN003 . la portée : L = 5. Moment critique de déversement Le moment critique se calcule à partir de la formule suivante : Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur . il faut déterminer le coefficient de réduction pour le déversement. on peut considérer l’hypothèse suivante : k=1 puisque l’aile en compression est libre en rotation autour de l’axe faible de la section transversale. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel ⎧ Voir SN003 ⎫ π 2 E I z ⎪ ⎛ k ⎞ I w (k L ) G I t ⎪ ⎜⎜ ⎟⎟ M cr = C1 + + (C2 zg ) 2 − C2 zg ⎬ 2 ⎨ 2 (k L ) ⎪ ⎝ kw ⎠ I z π E I z ⎪⎭ ⎩ 2 avec E. on obtient : C1 = 1.70 m Dans la formule du Mcr.127 C2 = 0. kw = 1 puisqu’aucun dispositif n’empêche le gauchissement aux extrémités de la poutre. λ LT.4 EN 1993-1-1 Remarque : l’Annexe Nationale peut également donner la valeur de λ LT.2.3.75 kN C2 zg = 0.3 (1) ⎧ χ LT ≤ 1. y f y M cr = 804300 × 235 × 10.2. le coefficient de réduction pour le EN 1993-1-1 déversement se calcule de la façon suivante : § 6.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 6 de 8 Ainsi : π 2 E Iz (k L ) 2 = π 2 × 210000 × 788.9 EN 1993-1-1 § 6.3.1 ⎭ Mcr = 113.2.5 1 + α LT λ LT − λ LT.2 (1) Dans le cas de profilés laminés.9 kNm Élancement réduit L’élancement réduit s’obtient à partir de la formule suivante : λ LT = Wpl.75 × … Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .91)2 − 74. La valeur recommandée est de 0. § 6. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel ⎧ 199100 ⎫ 80770 × 281500 × 100 + + (74.454 × 165 = + 74.tous droits réservés.4.0 .1 × 10 4 (5700) 2 × 10 − 3 = 502.0 1 ⎪ χ LT = but ⎨ χ ≤ 1 2 2 ⎪⎩ LT λ 2LT − β λ LT φLT + φLT où : [ ( ) 2 φLT = 0.10 − 3 ⎨ 502750 ⎩ 788.127 × 502.6 = 1.91⎬.0 = 0.3(1) Donc λ LT = 1.0 + β λ LT ] .91 mm M cr = 1.288 113.288 > λ LT.0 Coefficient de réduction Dans le cas d’un profilé laminé.3. 4) + 0.Rd = (0.0) × 10-6 = 92.5 [1 + 0.4 et β = 0.75 Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .24 = 0.49) 8 EN 1993-1-1 Tableau 6.3.0 et de β.340 et : χ LT = On vérifie ensuite : et : 1 1.mod = χLT / f = 0.3 λ LT.94) [1 – 2 (1.mod Wpl.0 OK 2 χLT = 0. Les valeurs recommandées sont respectivement 0.288)2 ] = 1.Rd = χLT.2. qui se calcule grâce à l’expression suivante : Av.488 × 804300 × 235 / 1.480 < 1 / λ LT = 0.0 = 0.tous droits réservés.z = A – 2 b tf + (tw + 2 r) tf Av.24 kNm EN 1993-1-1 My.5 = 3080 mm2 EN 1993-1-1 § 6.Rd = 90.Ed / Mb.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 7 de αLT est le facteur d’imperfection pour le déversement.8 où : )] 2 EN 1993-1-1 § 6.z = 6260 – 2 × 160 × 11.5 (1 − k c )1 − 2 λ LT − 0.5 + (7.2.1 Résistance au cisaillement En l’absence de torsion.3 (2) mais ≤ 1 kc = 0.480 / 0.06 > 2 Î Courbe c (αLT = 0. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel Remarque : L’Annexe Nationale peut donner les valeurs de λ LT.288 − 0.603 OK Le facteur f permet de prendre en compte l’influence de la distribution du moment sur le moment de résistance au déversementde la poutre : [ ( f = 1 − 0.984 EN 1993-1-1 Tableau 6.75 × (1.480 < 1.75.5 Tableau 6.5 : Pour h/b = 330 / 160 = 2.48 / 92.75 × (1.480 χLT = 0.49 (1. On obtient : φLT = 0.5 (1 – 0.94 Donc : f = 1 – 0.340 + (1.984 = 0.2.288 – 0.8)2] = 0.981 < 1 OK § 6. la résistance plastique au cisaillement dépend de l’aire de cisaillement.3. il faut choisir la courbe de déversement à partir du Tableau 6. Lorsque l’on applique la méthode pour les profilés laminés.288) 2 2 = 0.y fy / γM1 Mb.340) − 0.488 Moment de résistance au déversement Mb.5 + 2 × 18) × 11.6 On obtient : χLT.4 et 0.6 (3) . 6 (2) Vz.50 / 417. L'usage de ce document est soumis aux termes et conditions du contrat de licence d'Access Steel hw / tw ≤ 72 ε / η EN 1993-1-1 § 6.3 Flèche résultant de G+Q : w= 5 (G + Q) L4 5 × 15.9 = 0. Rd = Av.0 = 72 Remarque : Il n’est pas nécessaire de prendre en considération l’interaction entre l’effort tranchant et le moment. EN 1993-1-1 L’Annexe Nationale peut préciser des valeurs limites. se reporter à EN1993-1-1 § 6.3 qui nous préoccupe.Ed / Vpl.25 = 15. Remarque 2 : Pour ce qui a trait aux vibrations. z. on peut considérer que les résultats sont pleinement satisfaisants.152 < 1 OK Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance au voilement par cisaillement lorsque : Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .9 kN 1. puisque le moment maximal est obtenu à mi-portée. l’Annexe Nationale peut EN 1993-1-1 spécifier des limites concernant leur fréquence.tous droits réservés. .2. Vérification à l’Etat Limite de Service Combinaison à l’ELS G + Q = 9.1 cas présent.5.6 (6) Par sécurité on peut prendre η = 1.Rd = 63. et que l’effort tranchant maximal est obtenu aux appuis.81 kN/m EN 1990 § 6.0 hw / tw = (330 – 2 × 11.9 < 72 × 1 / 1.2.5) / 7.2.z.2.81 × (5700) 4 = = 8.Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement NOTE DE CALCUL Réf document : SX001a-FR-EU Page Titre Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Réf Eurocode EN 1993-1-1 Réalisé par Alain Bureau Date Déc 2004 Vérifié par Yvan Galéa Date Déc 2004 8 de Résistance plastique au cisaillement Vpl. la flèche totale est tellement faible que le problème de vibration ne se pose pas. Dans le cas § 7.8 mm 384 E I y 384 × 210000 × 11770 × 10 4 La flèche résultant de (G+Q) est de L/648 – OK Remarque : Le client devrait spécifier la flèche maximale admissible. Dans le § 7.2.0 8 EN 1993-1-1 § 6. z ( f y / 3 ) γ M0 = 3080 × (235 / 3 ) = 417.56 + 6.8 pour étudier les effets combinés de la flexion et du cisaillement. De manière générale.5 = 40. Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Référence STEEL du document Enregistrement de la qualité TITRE DE LA RESSOURCE Exemple: Poutre simplement appuyée non maintenue latéralement Référence(s) Créé le mercredi 22 septembre 2010 Ce contenu est protégé par des droits d'auteur .tous droits réservés. Espagne J Chica Labein 1/3/05 G W Owens SCI 21/05/06 Contenu technique approuvé par les partenaires STEEL : Ressource approuvée par le Coordonnateur technique DOCUMENT TRADUIT Traduction réalisée et vérifiée par : eTeams International Ltd Ressource traduite approuvée par : CTICM 28/06/05 . 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