CAPITULO 1LÓGICA Y CONJUNTOS 1 PROPOSICIONES PROPOSICIÓN Es una unidad semántica que, o sólo es verdadera o sólo es falsa. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que carecen de sentido, no son objeto de estudio de la lógica. Oraciones que son proposiciones. 7 es un número primo. 5(3+4) = 36. Todos los números enteros son positivos. Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador. Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas. Todas ellas pueden ser calificadas por el lector con precisión y sin ambigüedades o subjetivismo. Representación simbólica de proposiciones. Usualmente, las primeras letras del alfabeto español en minúscula se usan para representar proposiciones. a: , b: , c: ,d: ,…………z:. a: 15 es un número impar. a: 38 - 20 = 18. b: Todos los números enteros son positivos. c: Obtengo buenas notas. Oraciones que no son proposiciones. Lava el auto, por favor. Hola, ¿cómo estás? ¡Apúrate! La conceptualización cambia lo absurdo en azul. x + 5 = 9. ¡Mañana se acabará el mundo! No son proposiciones porque no se puede establecer su valor de verdad. Generalmente las oraciones imperativas, exclamativas e interrogativas no son proposiciones. x + 5 = 9 no es una proposición, ya que el valor de x no es preciso y por lo tanto no se puede establecer su valor de verdad. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 2 VALOR DE VERDAD El valor de verdad de una proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Éste puede ser verdadero o falso. Lo asociamos: Utilizaremos cualquiera de ellas, pero la convención a seguir en el texto será el uso de 0 y 1, tomando como referencia el sistema de numeración binario. Ejemplo: TABLA DE VERDAD Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas. La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica. Construcción de tablas de verdad. Valor de Verdad Valor Falso 1 0 V F T False TRUE Proposición Valor de Verdad a: 7 es un número primo. 1 Verdadero b: Todos los números enteros son negativos. 0 Falso º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 3 OPERADORES LÓGICOS En nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más complejas, no tan simples o elementales. Ejemplo: No te encontré en tu casa. Fui al banco y estaba cerrado. Tengo una moneda de cinco centavos o una de diez centavos. El carro de Juan o es azul o es negro. Si me gano la lotería, entonces me compro una casa. Estudio en la ESPOL si y sólo si me esfuerzo. Surge entonces la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lógicos. Gramaticalmente, estos nexos, en su mayoría, son denominados partes invariables de la oración. NEGACIÓN (÷) Tabla de Verdad de la Negación: Este operador lógico cambia el valor de verdad de una proposición: si a es una proposición verdadera, ÷a es falsa; si a es una proposición falsa, ÷a es verdadera. La negación se presenta con los términos gramaticales: "no", "ni", "no es verdad que", "no es cierto que". Ejemplo Si se tiene la proposición: a: Tengo un billete de 20 dólares. La negación de a es: ÷a: No tengo un billete de 20 dólares. CONJUNCIÓN ( . ) Sean a y b proposiciones, la conjunción entre a y b, representada simbólicamente por a.b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a ÷ a 0 1 1 0 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 4 Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero. En español, la conjunción copulativa se presenta con los términos gramaticales: "y", "pero", "mas", y signos de puntuación como: la coma, el punto, y el punto y coma. Ejemplo Si se tienen las proposiciones: a: Obtengo buenas notas. b: Gana una beca. La conjunción entre a y b es: a.b: Obtengo buenas notas y gano una beca. DISYUNCIÓN ( v ) Sean a y b proposiciones, la disyunción entre a y b, representada simbólicamente por a v b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas a b a.b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 a b a v b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 5 proposiciones es falso. En español, la disyunción se presenta con el término gramatical "o". Ejemplo: Si se tienen las proposiciones: a: Tengo un libro de Trigonometría. b: Tengo un libro de Álgebra. La disyunción entre a y b es: a v b: Tengo un libro de Trigonometría o uno de Álgebra. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA ( v ) Sean a y b proposiciones, la disyunción exclusiva entre a y b, representada simbólicamente por a v b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Este operador lógico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposición resultante será verdadera cuando solamente una de ellas sea verdadera. La disyunción exclusiva a Y b puede expresarse como: (a v b) . ÷ (a . b) La disyunción exclusiva se presenta con el término gramatical "o", "o sólo", "o solamente", "o..., o...". Ejemplo: Si se tienen las proposiciones: a: Estoy en Quito. b: Estoy en Guayaquil. La disyunción exclusiva entre a y b es: a v b: O estoy en Quito o estoy en Guayaquil. a b a v b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 6 CONDICIONAL ( ÷ ) Sean a y b proposiciones, la condicional entre a y b, representada simbólicamente por a ÷ b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: Este operador lógico también se denomina enunciación hipotética o implicación. En la proposición a ÷ b, a es el antecedente, hipótesis o premisa; b es el consecuente, conclusión o tesis; y la proposición resultante será falsa solamente cuando el valor de verdad del antecedente sea verdadero y el valor de verdad del consecuente sea falso. La proposición a ÷ b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: "si a, entonces b", "a sólo si b", "a solamente si b", "b si a", "si a, b", "b con la condición de que a", "b cuando a", "b siempre que a", "b cada vez que a", "b ya que a", "b debido a que a", "b puesto que a", "b porque a", "se tiene b si se tiene a", "sólo si b, a", "b, pues a", "cuando a, b", "los a son b", "a implica b", o cualquier expresión que denote causa y efecto. Ejemplo: Si se tienen las proposiciones: a: Juan gana el concurso. b: Juan dona $ 10 000. La condicional entre a y b es: a ÷b: Si Juan gana el concurso, dona $ 10 000. Parafraseando la condicional, tenemos: - Juan gana el concurso sólo si dona $ 10 000. - Juan dona $ 10 000 si gana el concurso. - Si Juan gana el concurso, entonces dona $ 10 000. - Juan dona $ 10 000 puesto que gana el concurso. a b a ÷ b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 7 - Juan dona $ 10 000 debido a que gana el concurso. - Juan dona $ 10 000 siempre que gane el concurso. - Cuando Juan gane el concurso, dona $ 10 000. - Juan dona $ 10 000 porque gana el concurso. En base a este ejemplo, nos podemos preguntar: ¿cuándo se quebrantará la promesa de Juan? Esto será únicamente cuando Juan gane el concurso y no done el dinero. Existen otras proposiciones relacionadas con la condicional a÷b, las cuales se denominan: recíproca, inversa y contrarecíproca (o contrapositiva). La Recíproca, es representada simbólicamente por: b ÷ a. La Inversa, es representada simbólicamente por: ÷a÷ ÷b. La Contrarrecíproca, es representada simbólicamente por: ÷b ÷ ÷a. Ejemplo de Variaciones de la condicional: A partir de la proposición: "Si es un automóvil, entonces es un medio de transporte". La Recíproca sería: "Si es un medio de transporte, entonces es un automóvil". La Inversa sería: "Si no es un automóvil, entonces no es un medio de transporte" La Contrarrecíproca sería: "Si no es un medio de transporte, entonces no es un automóvil" BICONDICIONAL (· ) Sean a y b proposiciones, la bicondicional entre a y b, representada simbólicamente por a·b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: a b a·b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 8 Este operador lógico también se denomina doble implicación. La proposición a^b será verdadera cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean iguales. También se puede observar que la proposición a·b será falsa cuando los valores de verdad de ambas proposiciones sean diferentes. En español, la proposición a·b se puede encontrar con los siguientes términos gramaticales: "a si y sólo si b", "a si y solamente si b", "a implica b y b implica a", "a cuándo y sólo cuando b". Ejemplo: Dadas las proposiciones: a : Un triángulo es equilátero. b: Un triángulo es equiángulo. La bicondicional entre a y b es: a·b: Un triángulo es equilátero si y sólo si es equiángulo. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS Proposiciones simples son aquellas que no poseen operador lógico alguno. Las proposiciones compuestas están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos. Ejemplo 1: Traduzca al lenguaje simbólico la proposición: "Si la seguridad privada es efectiva, disminuyen los índices de asalto en la ciudad y el turismo se desarrolla. Los índices de asalto no disminuyen, pero la seguridad privada es efectiva. Entonces, el turismo no se desarrolla". Solución: Se pueden identificar las siguientes proposiciones simples: a: La seguridad privada es efectiva. b: Los índices de asalto disminuyen en la ciudad. c: El turismo se desarrolla. Los operadores lógicos que se encuentran presentes en esta proposición compuesta º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 9 son la condicional, la conjunción y la negación. La traducción es: [(a÷(b.c)).(÷b.a)]÷(÷c)| Nótese la importancia del uso de los signos de agrupación para preservar la idea original del enunciado. Ejemplo 2: Si se consideran las siguientes proposiciones simples: m: Viajo al exterior. n: Apruebo el curso de nivel cero. p: Obtengo una beca. Una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta "Viajo al exterior sólo si apruebo el curso de nivel cero y obtengo una beca", es: a) ÷ p ÷ (m. n) e)(n . ÷p) ÷ m b) ÷m ÷÷ (n . p) d) m ÷ (n . p) c) ÷(n . ÷p) v Ejemplo 3: Determinación de valores de verdad Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c, y d son respectivamente 0, 0, 1, 1, indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas: a) ÷(avb)÷(c . ÷d) d) ÷(c÷a)v(b.d) Solución: a) ÷(0v0)÷(1 . ÷0) ÷(0)÷0 1 ÷0 0 d) ÷(1÷0)v(0.1) ÷(0)v0 1v0 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 10 FORMAS PROPOSICIONALES VARIABLES PROPOSICIONALES p constituye una variable proposional cuando puede representar a una proposición simple o compuesta, este valor será desconocido mientras no se especifique el valor de verdad de las proposiciones involucradas. Para representar variables proposicionales se utilizan las letras minúsculas del alfabeto p, q, r……. FORMAS PROPOSICIONALES Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variables proposicionales y los operadores lógicos que las relacionan. Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto español A, B, C, ........ Ejemplo : Tabla de verdad de una forma proposicional. Dada la siguiente forma proposicional: A: [(p.q)÷(r v÷p)].r Debido a la presencia de las 3 variables proposicionales p, q y r, existirán 2 3 proposiciones posibles en la tabla de verdad de A. p q r p.q ÷p r v÷p [(p.q)÷(r v÷p)].r A 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 11 TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN, CONTINGENCIA Dada la estructura lógica de una forma proposicional: TAUTOLOGÍA.- Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo: TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN.-Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo CONTRADICCIÓN CONTINGENCIA.- Si se tiene algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales. Ejemplo CONTINGENCIA p q q÷p p÷(q÷p) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 p q ÷q p÷÷q ÷ p÷(q÷÷p) 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 p q p v ÷q p÷(pvq) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 12 Implicación Lógica Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A implica lógicamente a B, denotado por A⇒B, si y sólo si A→B es una tautología. Ejemplo: La forma proposicional tautológica: *(p→q)∧(q→r)+⇒(p→r), se puede traducir al lenguaje común como “si cada vez que se tiene p se tiene q y cada vez que se tiene q se tiene r, entonces cada vez que se tiene p se tiene r” Equivalencia lógica Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B, denotado por A⇔B, si y sólo si A↔B es una tautología. Ejemplo: La forma proposicional: (p→q)⇔(≦q→≦p), se puede traducir al lenguaje común como “cada vez que se tiene p, se tiene q”, y es lógicamente equivalente a “cuando no se tiene q, entonces no se tiene p”. p q r p→q q→r p→r (p→q)∧(q→r) *(p→q)∧(q→r)]→(p→r) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p q ¬p ¬q p→q ≦q→≦p p→q)↔(≦q→≦p) 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 13 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS LEYES DE LOS OPERADORES FUNDAMENTALES CONJUNCIÓN Y DISYUNCIÓN LEYES DE LOS OPERADORES NEGACIÓN, CONDICIONAL Y BICONDICIONAL. CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN (p.q) = (q.p) Conmutativa (pvq) = (qvp) [(p.q).r ]=[p.(q.r) ] Asociativa [(pvq)vr ]=[pv(qvr)] (p.p)=p Idempotencia (pvp)=p (p.1)=p Identidad (pv1)=p (p.0)=0 Absorción (pv0)=0 ÷0 = 1 ÷1 = 0 Negación ÷(÷p)= p Doble Negación o Involutiva pv(q.r) = (pvq).(pvr) p.(qvr) = (p.q)v(p.r) ) Distributivas ÷(p.q) = (÷pv÷q) ÷(pvq) = (÷p.÷q) De Morgan (pv÷p) = 1 Tercero Excluido (p.÷p) = 0 Contradicción (p.q) = (÷q÷÷p) Contrapositiva o Contrarrecíproca (p÷q) = (÷pvq) (÷p÷q) = (pvq) ÷(p÷q) = (÷pvq) Implicación º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 14 RAZONAMIENTOS RAZONAMIENTOS Son proposiciones compuestas que pueden ser representadas por la conjunción de proposiciones denominadas premisas o hipótesis, la condicional como operador lógico principal; y, una proposición final denominada conclusión. Las premisas o hipótesis corresponden al antecedente de la implicación, mientras que la conclusión es su consecuente. | H 1 . H 2 . H 3….. . H n | ÷ C CONJUNCIÓN DE HIPÓTESIS CONDICIONAL CONCLUSION ANTECEDENTE OPERADOR CONSECUENTE LÓGICO La lógica simbólica se ocupa de analizar la validez de los razonamientos; no nos puede decir si la información contenida en una hipótesis es verdadera o falsa. Los términos válido y no válido se refieren a la estructura del razonamiento, no a la veracidad o falsedad de las proposiciones. El punto importante a recordar es que la veracidad o falsedad de las premisas y la conclusión, no determinan la validez del razonamiento. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO Un razonamiento es válido cuando la forma proposicional que representa su estructura lógica es una tautología. Si dicha forma proposicional es una contradicción o contingencia, entonces el razonamiento no es válido, en cuyo caso se denomina falacia. Ejemplo 1: Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: "Si Pablo recibió el e-mail, entonces tomó el avión y estará aquí al mediodía. Pablo no tomó el avión. Luego, Pablo no recibió el e-mail". Solución: Se procede primero a identificar las proposiciones simples: º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 15 a: Pablo recibió el e-mail. b: Pablo tomó el avión. c: Pablo estará aquí al mediodía. Luego, se identifican las hipótesis y la conclusión: H 1 : a÷(b.c) H 2 : ÷b C: ÷a H 1 : p÷(q.r) H 2 : ÷q C: ÷p |H 1 . H 2 |÷C |(p÷(q.r)).÷q|÷ ÷p E Ejemplo 2: Determinación de la validez de un razonamiento. Determine si el siguiente razonamiento es válido: “Si el crimen ocurrió después de las 04h00, entonces Pepe no pudo haberlo cometido. Si el crimen ocurrió a las 04h00 o antes, entonces Carlos no pudo haberlo cometido. El crimen involucra a dos personas, si Carlos no lo cometió. Por lo tanto, el crimen involucra a dos personas”. a: El crimen ocurrió después de las 04h00. b: Pepe pudo haber cometido el crimen. c: Carlos pudo haber cometido el crimen. d: El crimen involucra a dos personas. Luego se identifican las hipótesis y la conclusión: p q r q.r H 1 p÷(q.r) H 2 ÷q H 1 . H 2 C ÷p |H 1 . H 2 |÷C 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 16 H 1 : a÷(÷b) H 2 : (÷a)÷(÷c) H 3 : (÷c)÷d C: d H 1 : p÷(÷q) H 2 : (¬p)÷(÷r) H 3 : (÷r)÷s C: s [H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ]÷C [(p÷(÷q))∧((÷p)÷(÷r))∧((÷r)÷s)]÷s Puesto que la forma proposicional resultó una contingencia, podemos concluir que el razonamiento no es válido (falacia lógica). Análisis: La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones irrefutables y convincentes. Una parte importante de las matemáticas son las definiciones, éstas en general no responden a la pregunta ¿qué es?, sino a la pregunta ¿qué características tiene? Que nos ayudan en el trascurso de nuestras vidas. p q r s ÷q H 1 p÷(÷q) ÷p ÷r H 2 (÷p)÷(÷r) H 3 (÷r)÷s H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 [H 1 ∧ H 2 ∧ H 3 ]÷C 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 17 CONJUNTOS CONJUNTO Colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. Para establecer si un objeto pertenece o no a un conjunto, debe verificarse que posea la característica o propiedad declarada por el conjunto. De aquí que es importante que esta característica no sea ambigua. Los conjuntos usualmente se denotan con letras mayúsculas del alfabeto español A, B, C…. Algunas agrupaciones que representan conjuntos son: • Los números enteros. • Los habitantes de la Luna. • Los animales en extinción. • Los números primos. • Los paquetes de software. • Los operadores de telefonía celular. Todas estas agrupaciones poseen una característica que puede ser verificable con precisión. Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x ∈ A. Para decir que x no está en A, escribiremos x ∉A. La descripción de un conjunto se puede realizar de las siguientes maneras: • Por COMPRENSIÓN, para referirnos a alguna característica de los elementos. A = {x/x es consonante de la palabra comprensión} • Por EXTENSIÓN o TABULACIÓN, cuando se listan todos los elementos. A = {c, o, m, p, r, n, s} • Por medio de DIAGRAMAS DE VENN, cuando se desea representarlo gráficamente. A Note que: d ∈ A b ∉ A c o m p r n s º CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 18 CARDINALIDAD Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A). Ejemplo: Cardinalidad de conjuntos. A = {x/x es un dígito impar en el sistema de numeración decimal} N(A) = 8, porque A = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13} CONJUNTOS RELEVANTES Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos: • A es VACÍO (∅) si no tiene elementos. A = {x/x es un número par e impar a la vez} N(A) = ∅ • A es UNITARIO si tiene un único elemento. A = {*} N(A) = 1 • A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos. A = {x/x es integrantes de un equipo de futbol} • A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos. A = {x/x es número entero} • A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U. A = {x/x es una letra del alfabeto español} CUANTIFICADORES CUANTIFICADOR UNIVERSAL (∀) Cualquier expresión de la forma: “para todo”, “todo”, “para cada”, “cada”, constituye CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 19 en el lenguaje formal un cuantificador universal y se simboliza por medio de ∀ . ∀x, 4x+3x = 7x Se lee “Para todo número x se cumple que 4x+3x=7x”. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (∃) Cualquier expresión de la forma: “existe”, “algún”, “algunos”, “por lo menos uno”, “basta que uno”, constituye en el lenguaje formal un cuantificador existencial y se simboliza por medio de ∃. ∃x, 3x+6 = 9 Se lee “Existe al menos un número x, para el cual 3x+6=9”. Ejemplo: Sea Re ={x/x es ser humano}. Traduzca al lenguaje común las siguientes proposiciones. a) ∀x [(x es vegetariano) .(x come zanahorias)] b) ∃x [(x es vegetariano) v (x come zanahorias)] c) ∀x [(x es vegetariano) .÷ (x come zanahorias)] a) Todos los seres humanos son vegetarianos y comen zanahorias. b) Algunos son vegetarianos o comen zanahorias. c) Todos los seres humanos son vegetarianos pero no comen zanahorias. SUBCONJUNTO El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A ⊆ B)⇔∀x[(x ∈A)→(x ∈B)] Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B ∉ A), se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: (A ⊂ B)⇔[(A ⊆ B)∧¬(A = B)] - La proposición (x ∈ ∅) es falsa, porque no existen elementos que pertenezcan CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 20 al conjunto vacío. - La proposición 0÷p es siempre verdadera. - Concluimos que: [(x ∈ ∅)→(x ∈ A)] ≡ 1, es decir que ∅ ⊆ A. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Si realizáramos un análisis similar, podríamos concluir también que todo conjunto es subconjunto de sí mismo: A ⊆ A. CONJUNTO POTENCIA P(A) Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). P(A) ={B/B ⊆ A} La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2N(A). Ejemplo 1: Determinación el conjunto potencia A = {*, +, a} N(P(A)) = 2 3 = 8. Si A = {*, +, a}, entonces P(A) = { ∅, {*}, {+}, {a}, {*, +}, {*, a}, {+, a}, A}. Ejemplo 2: Determinación el conjunto potencia Dado el conjunto A = {1, {a, b}}, construya P(B). N(P(A)) = 2 2 = 4 P(B) = {∅, {1}, {{a, b}}, B}. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 21 1.8.1 Relaciones entre conjuntos IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional, se tiene: (A = B)⇔∀x[(x ∈A)↔(x ∈B)] CONJUNTOS DISJUNTOS E INTERSECANTES Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS UNIÓN ENTRE CONJUNTOS La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪ B y se define como: A∪B = {x/(x ∈A)∨(x ∈B)} Diagrama de Venn de la Unión entre Conjuntos: CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 22 INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como: A∩B = {x/(x ∈A)∧(x ∈B)} Diagrama de Venn de la Intersección entre Conjuntos: DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS ( La diferencia entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no pertenecen al conjunto B. Se denota por A−B y se define como: A−B = {x/(x ∈A)∧¬(x ∈B)})} Diagrama de Venn de la Diferencia entre Conjuntos: DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por AΔB y se define como: AΔB = (A−B) ∪ (B−A), o también: AΔB = {x/[(x ∈A)∧¬(x ∈B)]∨[(x ∈B)∧¬(x ∈A)]} CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 23 Diagrama de Venn de la Diferencia Simétrica entre conjuntos: COMPLEMENTACIÓN DE CONJUNTOS La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por AC y se define como: AC = {x/(x ∈Re)∧¬(x ∈A)} Diagrama de Venn de la Complementación de conjuntos: Ejemplo: Sean A, B, C conjuntos no vacíos. Respecto del siguiente diagrama de Venn. La región sombreada corresponde a: CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 24 a) (A ∩ B) − C b) (A ∩ B) − A c) (A ∩ B) − C d) (A − B) ∩ C e) (B − A) ∪ C PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Las operaciones entre conjuntos y algunas de sus más importantes propiedades se incluyen en las denominadas Leyes del Álgebra de Conjuntos. A continuación se presentan las de uso más frecuente: Leyes de las Operaciones Fundamentales Unión e Intersección UNIÓN INTERSECCIÓN A∪ B = B∪ A Conmutativa A∩B = B∩A (A∪B)∪C=A∪(B∪C) Asociativa (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∪A = A Idempotencia A∩A = A A∪∅ = A Identidad A∩Re = A A∪ Re = Re Absorción A∩∅ = ∅ Otras Leyes. 0 C = Re (Re) C = ∅ Complementación (A C ) C = A Doble Complementación o Involutiva A∪ (B∩C) = (A∪ B) ∩ (A∪ C) A∩ (B∪ C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributivas (A∩B) C = A C ∪ B C (A∪ B) C = A C ∩B C De Morgan A∪ A C = Re A∩A C = ∅ (A ⊆ B)·(B c ⊆A c ) (A ⊆ B)·(A c ∪ B=Re) (A ∪ B=Re)·(A c ⊆ B) CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 25 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos. - p.d. A∪ B=B∪ A (Conmutatividad) x ∈(A∪B)⇔(x ∈A)∨(x ∈B) Definición de Unión. ⇔(x ∈B)∨(x ∈A) Ley Conmutativa de la Disyunción. ⇔x ∈(B∪A) Definición de Unión. Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos. - p.d. (A∪ B)C = AC∩ BC (Primera ley de De Morgan) x ∈(A∪B)C ⇔ (x ∈Re)∧¬(x ∈(A∪B)) Definición de Complementación. ⇔ (x ∈Re)∧¬[(x ∈A)∨(x ∈B)] Definición de Unión. ⇔ (x ∈Re)∧[¬(x ∈A)∧¬(x ∈B)] Ley de De Morgan de la Disyunción. ⇔ [(x ∈Re)∧¬(x ∈A)]∧[(x ∈Re)∧¬(x ∈B)] Ley de Idempotencia. ⇔ x ∈(Re −A)∧ x ∈(Re − B) Definición de Diferencia. ⇔ x ∈(AC∩ BC) Definición de Complementación. (A∩B = 0)^A ⊆ B c [(A ⊆ C)∧(B ⊆ C)]⇔[(A∪B) ⊆ C] [(A ⊆ B).(A ⊆ C)]⇔[A ⊆ (B∩C)+ Transitividad (A ⊆ B)⇔*(A∩BC) ⊆ ∅] Reducción al absurdo (A = B)⇔[(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] (A = B)⇔(B = A) Equivalencia A∩B ≠ ∅ ⇒ (A ≠ ∅)∧(B ≠ ∅) A∪B = ∅ ⇔ (A = ∅)∧(B = ∅) A∪B = ∅ ⇔ (A = ∅)∧(B = ∅) A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C) ∅ ⊆ A A ⊆ A ∅ ⊆ A [(A ⊆ B)∧(B ⊆ C)]⇒(A ⊆ C) Transitividad [(A ⊆ B)∧(C ⊆ D)]⇒[(A∩C) ⊆ (B∩D)] [(A ⊆ B)∧(C ⊆ D)]⇒[(A∪C) ⊆ (B∪D)] CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 26 Demostración de propiedades del álgebra de conjuntos. - p.d. N(A∪B) = N(A) + N(B)−N(A∩B) A= (A−B)∪(A∩B) Expresado mediante conjuntos disjuntos. N(A) = N(A−B)+N(A∩B) Su cardinalidad es la suma. N(A−B) = N(A)−N(A∩B) Se obtiene esta expresión útil. A∪B = (A−B)∪(A∩B)∪(B−A) Expresado mediante conjuntos disjuntos. N(A∪B) = N(A−B)+N(A∩B)+N(B−A) Su cardinalidad es la suma. N(A∪B) =N(A)−N(A∩B)+N(A∩B)+N(B)−N(B∩A) Cardinalidad de la diferencia. N(A∪B) = N(A)+N(B)−N(A∩B) Se completa la demostración. Se puede demostrar que: N(A∪B∪C) = N(A)+N(B)+N(C)−N(A∩B)−N(A∩C)−N(B∩C)+N(A∩B∩C) Ejemplo 1: Determine los elementos de los literales a y b dado que: Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {2, 4, 6, 8} C= {1, 3, 6, 7} a) (A ∪ B) ∩ (C c ∩ B c ) c b) (A - B) ∪ (C c - B) a) (A ∪ B) ∩ (C c ∩ B c ) c A ∪ B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B c ={1, 3, 5,7} C c ={2, 4, 5,8} (C c ∩ B c ) c ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} (A ∪ B) ∩ (C c ∩ B c ) c ={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} R. b) (A - B) ∪ (C c - B) A-B ={1, 3, 5} C c ={2, 4, 5,8} C c – B ={5} (A - B) ∪ (C c - B) = {1, 3, 5} R. 2 4 8 5 1 3 6 6 7 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 27 Ejemplo 2: En una encuesta realizada a 90 personas, 50 escuchan música, 20 ven película y 60 escuchan música o ven película. ¿Cuántas personas realizan las 2 actividades?. Datos: N(Re)= 90 N(M)= 50 N(P)= 20 N(M ∪ P)= 60 N(M ∩ P)= ? Luego: N(M ∪ P) = N(M) + N(P) - N(M ∩ P) 60 = 50 + 20 - N(M ∩ P) 60 = 70 - N(M ∩ P) N(M ∩ P) = 10 R. N(M ∪ P) = N(M) + N(P) - N(M ∩ P) N(M ∪ P) = 50 + 20 - 10 N(M ∪ P) = 60 N(M ∪ P) C = N(Re) - N(M ∪ P) N(M ∪ P) C = 90 - 60 N(M ∪ P) C = 30 Ejemplo 3: Se hizo una encuesta a 1000 personas acerca del canal de televisión donde preferían ver programas documentales y se obtuvieron los siguientes resultados: 620 veían Teleamazonas; 400 veían Canal Uno; 590 veían Ecuavisa; 195 veían Teleamazonas y Canal Uno; 190 preferían ver Canal Uno y Ecuavisa; 400 veían Teleamazonas y Ecuavisa; 300 preferían ver Teleamazonas y Ecuavisa, pero no Canal Uno. Determine el número de personas que no ven estos canales. Datos: N(Re) = 1000 50 20 60 40 10 10 30 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 28 N(T) = 620 N(C) = 400 N(E) = 590 N(T∩C) = 195 N(C∩E) = 190 N(T∩E) = 400 N*(T∩E) − C] = 300 Si N(T∩E) = 400 y N*(T∩E) − C+ = 300, entonces N(T∩C∩E) = 100. N(T∩C∩E) = N(T∩E) - N*(T∩E) − C] N(T∩C∩E) = 400 – 300 N(T∩C∩E) = 100 Luego: N(T∪C∪E) = N(T)+N(C)+N(E)−N(T∩C)−N(C∩E)−N(T∩E)+N(T∩C∩E) N(T∪C∪E) = 620 + 400 + 590 − 195 − 190 − 400 +100 N(T∪C∪E ) = 925 N(T∪C∪E) C = N(Re)−N(T∪C∪E) = 1000 − 925=75 R. Respuesta: 75 personas que no ven estos canales. PREDICADOS PREDICADOS DE UNA VARIABLE Son expresiones en términos de una variable que al ser reemplazadas por los elementos de un conjunto referencial, se convierten en proposiciones. Si x representa a cualquier elemento de Re, entonces la expresión p(x) se definirá como predicado. La notación para los predicados será: p(x), q(x), r(x), etc. Ejemplo: Dado Re = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p(x): x es impar. Si x = 3, p(3): 3 es impar, es una proposición verdadera. Si x = 6, p(6): 6 es impar, es una proposición falsa. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 29 Por lo tanto, p(x) es un predicado. CONJUNTO DE VERDAD DE UN PREDICADO Es el conjunto formado por todos los elementos de Re para los cuales el predicado se convierte en una proposición verdadera. La notación a utilizar para este conjunto es Ap(x), y se define como: Ap(x) = {x/(x ∈Re)∧(p(x)⇔1)} En relación a los conjuntos de verdad de predicados compuestos, se cumplen las siguientes propiedades: Leyes de los Conjuntos de Verdad de Predicados. A÷p(x) = A C p(x) A[p(x)vq(x)] = Ap(x)∪Aq(x)) A[p(x).q(x)] = Ap(x)∩Aq(x) A[p(x)÷q(x)] = A C p(x)∪ Aq(x) Ejemplo: Aplicación de las propiedades de los conjuntos de verdad. Se pueden obtener conjuntos de verdad de predicados compuestos a partir de los conjuntos de verdad de los predicados que lo constituyen. De esta forma, si se requiere hallar A[p(x)→(q(x)∧¬r(x))], se pueden emplear las propiedades anteriormente citadas de la siguiente forma: A[p(x)÷(q(x).r(x))] = A[¬p(x)v(q(x).÷r(x))] = ACp(x) ∪ (Aq(x)∩A÷r(x)) A[p(x)÷(q(x).÷r(x))] = ACp(x) ∪ (Aq(x)∩ACr(x)) De esta manera, conociendo los conjuntos de verdad de p(x), q(x), r(x) y el referencial de estos predicados, se puede obtener el conjunto de verdad resultante de esta operación. En referencia a los ejemplos 1.51, 1.52, 1.53 y 1.54 se tiene que: A C p(x) = {2, 4, 6} Aq(x) = {1, 2, 3, 4} A C r(x) = {1, 3, 4, 5, 6} CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 30 Realizando las operaciones indicadas en A C p(x) ∪ (Aq(x)∩ A C r(x)), se obtiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 6}, el cual constituye el conjunto de verdad del predicado compuesto requerido. Dado que ya se ha definido a los predicados y en la sección 1.9 se describieron los dos tipos de cuantificadores que se utilizan en la lógica simbólica, se pueden traducir expresiones del lenguaje natural que combinan predicados y cuantificadores. Para el efecto, si se tiene un predicado p(x) y un conjunto referencial Re, los siguientes enunciados son proposiciones con cuantificadores: ∀xp(x) ∃xp(x) Ya que el primero de ellos se lee “para todo x elemento del Re, se cumple p(x)”, y el segundo de ellos se lee “existe al menos un x elemento de Re que cumple con p(x)”, ambos pueden ser calificados como proposiciones verdaderas o falsas. De aquí que, si un predicado es cuantificado con alguno de los dos cuantificadores definidos, se obtiene una proposición, tal como se define a continuación. VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES Una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado es igual al conjunto referencial de la expresión abierta. ∀xp(x)⇔(Ap(x) = Re) Una proposición con un cuantificador existencial es verdadera si y sólo si el conjunto de verdad del predicado no es vacío. ∃xp(x)⇔¬(Ap(x) = ∅) Ejemplo 1: Sea el conjunto referencial Re = {1, 2, 3, 4, ...} y los predicados: p(x): x es un número impar, q(x): x es un número par. Identifique cuál de las siguientes proposiciones es falsa: CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 31 a) A(p(x)÷q(x) ⊆ Aq(x) falso Ap(x)= {1, 3, 5,……. } b) Re = Ap(x) ∪ Aq(x) falso Aq(x)= {2, 4, 6,……. } c) Ap(x) = A C q(x) falso d) Aq(x) − Ap(x) = ∅ verdadero R, e) A(q(x)÷p(x)) = Ap(x) falso Ejemplo 2: Dado el conjunto referencial Re = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y los predicados: p(x): x es un número par. q(x): x es mayor que siete. r(x): x es menor que diez. s(x): x es un número impar. Determine cada uno de los siguientes conjuntos: a) Ap(x) ∪ Aq(x) e) A[(p(x)÷s(x))÷(q(x)÷r(x))] b) As(x) ∩ Ar(x) f) A C r(x) ∩ As(x) c) Ap(x) ∪ As(x) d) A(p(x) ÷ q(x)) Solución: Ap(x): {2, 4, 6} q(x): {∅} r(x): {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. s(x): {1, 3, 5} a) Ap(x)∪Aq(x) = {∅, 2, 4, 6} b) As(x)∩Ar(x) = {1, 3, 5} c) Ap(x)∪As(x )= {1, 2, 3, 4, 5, 6} d) A(p(x)÷q(x)) = A C (p(x)∪q(x)) = {∅} e) A[(p(x)÷s(x))÷(q(x)÷r(x))] = A C [(p(x) )∪s(x)) )∪(q(x) )∪r(x))] = Re f) A C r(x)∩As(x) = {∅} CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 32 g) (Re−Ap(x))∩(Aq(x) )∪As(x)) = {0, 1, 3, 5} Re−Ap(x) = {0, 1, 3, 5} Aq(x)∪As(x) = {0, 1, 3, 5} PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO PAR ORDENADO Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, x y y, que tiene un orden; al elemento x se lo denomina primera componente y al elemento y se lo denomina segunda componente. Se representa simbólicamente por: (x, y). Como el par es ordenado, no es lo mismo (x, y) que (y, x). Una terna ordenada sería un conjunto de tres elementos ordenados y su representación es: (a, b, c). Es importante anotar que existen conjuntos ordenados que pueden formarse con más de tres componentes. PRODUCTO CARTESIANO Sean dos conjuntos A y B, no vacíos, denominaremos producto cartesiano entre A y B, al conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al conjunto A, y la segunda al conjunto B. Simbólicamente, se representa como: A x B. A x B = {(x, y)/(x ∈A).(y ∈B)} La representación gráfica de A x B constituye el plano cartesiano, en el cual tanto los elementos de A como los de B se alinean en dos segmentos de recta. Un segmento representará al conjunto A y el otro al conjunto B. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 33 PLANO CARTESIANO CARDINALIDAD DEL PRODUCTO CARTESIANO. La cardinalidad entre los conjuntos A x B es: N(A x B) = N(A) N(B) La cardinalidad de A x B x C es: N(A x B x C) = N(A) N(B) N(C) La cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades de los conjuntos que intervienen en la operación. Ejemplo 1: Producto cartesiano entre dos conjuntos A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 6} A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)} La cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B) = 9. Ejemplo 2: Producto cartesiano entre tres conjuntos A = { m, n} B = {2, 4, 6} C = {x, y} x ∈A y ∈B (x, y) ∈A x B CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 34 A x B x C = {(m,2,x), (m,2,y), (m,4,x), (m,4,y), (m,6,x), (m,6,y), (n,2,x), (n,2,y), (n,4,x), (n,4,y), (n,6,x), (n,6,y)} La cardinalidad del conjunto resultante es N(A x B x C) = 12. Ejemplo: Cardinalidad del producto cartesiano. Si A, B, C son conjuntos tales que: N(A) = 3, N(B) = 5, N(C) = 2 y N(B∩C) = 3, determine N[A x (B∪C)]. Solución: En base a la definición de N(A x B), tenemos que: N[A x(B∪C)] = N(A).N(B∪C) Por otra parte: N(B∪C) = N(B) + N(C) − N(B∩C) = 5 + 2 − 3 = 4 Luego: N[A x(B∪C)] = (3)(4) =12 R. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO. El producto cartesiano tiene las siguientes propiedades: A x (B∪C) = (A x B)∪(A x C) A x (B∩C ) = (A x B)∩(A x C) A x (B−C) = (A x B)−(A x C) (A∪B) x C = (A x C)∪(B x C) (A∩B) x C = (A x C)∩(B x C) (A−B) x C = (A x C) − (B x C) RELACIONES RELACIÓN Una relación establece la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos no vacíos A y B. Usualmente, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 35 conjunto B, de llegada. Simbólicamente, la relación se representa por R y se cumple que: R ⊆ A x B Es decir, todos los subconjuntos de A x B constituyen una relación. La cantidad máxima de relaciones que se pueden obtener a partir de dos conjuntos no vacíos A y B es: 2N(A) N(B). Ejemplo: Cantidad de relaciones. Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {a, b}, determine analíticamente el número de relaciones posibles que se pueden obtener de A en B, y realice los diagramas sagitales correspondientes a todas las relaciones posibles. Solución: El número de relaciones de A en B es 2N(A)N(B) = 2(2)(2) = 24= 16 Diagramas sagitales: Caso 1: Ningún elemento del conjunto de partida está relacionado con ningún elemento del conjunto de llegada (relación vacía). Caso 2: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. R 1 R 2 R 3 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 36 Caso 3: Relaciones de un solo elemento del conjunto de partida con dos del conjunto de llegada. Caso 4: Relación de dos elementos del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. Caso 5: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con uno solo del conjunto de llegada. R 4 R 5 R 6 R 7 R 10 R 11 R 8 R 9 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 37 Caso 6: Relaciones de un elemento del conjunto de partida con dos del conjunto de llegada y el otro elemento del conjunto de partida con otro del conjunto de llegada. Caso 7: Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con todos los elementos del conjunto de llegada (producto cartesiano). DOMINIO DE UNA RELACIÓN Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondencia constituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R. R 12 R 13 R 14 R 15 R 16 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 38 No necesariamente todos los elementos del conjunto de partida forman parte del dominio de una relación. RANGO DE UNA RELACIÓN Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Se representa simbólicamente por: rg R. Es común también denominar al rango de la relación como el recorrido, imagen o codominio de la misma. No necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del rango de una relación. Ejemplo: Dominio y rango de una relación. A = {2, 4, 5} B = {1, 3, 5} R = {(x, y)/x+y es un número primo} Solución: R = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)} dom R = {2, 4} R. rg R = {1, 3, 5} R. REPRESENTACIÓN SAGITAL DE UNA RELACIÓN Ejemplo: A = {0, 2, 4, 6} B = {1, 3, 5} R = {(x, y)/x>y} R = {(2,1), (4,1), (4,3), (6,1), (6,3), (6,5)} Podemos observar que domR = {2, 4, 6} y rgR = {1, 3, 5}. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 39 FUNCIONES FUNCIÓN Una relación de A en B es una función si y sólo si el dominio de la relación es todo el conjunto de partida, y si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento en el rango. Simbólicamente, esta definición se representa por: 1. dom R = A 2. ∀x ∈A∀y1, y2 ∈B[(x R y1) ∧ (x R y2) ⇒(y1 = y2)] Para denotar funciones usualmente se utiliza la letra f. De esta definición, se concluye que en una función no pueden existir dos elementos del conjunto de llegada relacionados con un mismo elemento del dominio, o lo que es igual, un elemento del dominio no puede estar relacionado con dos elementos diferentes del conjunto de llegada. Cabe anotar que toda función es una relación, pero no toda relación representa una función. Es posible que las funciones también sean representadas con las letras g, h… En la expresión y = f(x): • x se conoce como la variable independiente. • y se conoce como la variable dependiente. Ejemplo: Relaciones y funciones. Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3}, y las relaciones: R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2), (d, 3)} R2 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (d, 1)} Determine si R1 o R2 constituyen funciones de A en B. Solución: R 1 : A÷B CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 40 Sí constituye una función, ya que el dominio de R1 es todo el conjunto de partida A, y a cada elemento del dominio le corresponde uno del conjunto de llegada. R2: A÷B No es una función, porque el dominio no constituye todo el conjunto de partida A. También se puede observar que no se cumple la segunda condición de función para el elemento b. A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} f : A÷B f = {(1, a), (2, b), (3, b)} En este caso, se dice que b es imagen de 2 y de 3, y que a es imagen de 1. TIPOS DE FUNCIONES FUNCIÓN INYECTIVA f : A→B es inyectiva ⇔ {∀x1, x2 ∈A[¬(x1 = x2)⇒÷( f (x1) = f (x2))]} f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio. dom f = A rg f = {a, b} CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 41 Es necesario que N(A) ≤ N(B) para poder construir funciones inyectivas. Ejemplo: A = {2, 4, 5} B = {8, 64, 125, 216} f : A÷B, “y es el cubo de x” f = {(2, 8), (4, 64), (5, 125)} FUNCIÓN SOBREYECTIVA f : A→B es sobreyectiva ⇔ {∀y ∈B ∃x ∈A[y = f (x)]} f es sobreyectiva si rg f = B. Es necesario que N(A) ≥ N(B) para poder construir funciones sobreyectivas. Ejemplo: A = ,−1, 0, 1- B = {0, 1} f : A→B, “y es el cuadrado de x” f = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1)} dom f = A rg f = {8, 64, 125} f es inyectiva. dom f = A rg f = B f es sobreyectiva. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 42 FUNCIÓN BIYECTIVA. f : A→B es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ejemplo: P = {Guayas, El Oro, Pichincha} C = {Machala, Guayaquil, Quito} f : P→C, “y es capital de x” f = {(Guayas, Guayaquil), (El Oro, Machala), (Pichincha, Quito)} Las funciones biyectivas tienen propiedades importantes, una de las cuales se explicará a continuación. FUNCIÓN INVERSIBLE f : A÷B es inversible si y sólo si su relación inversa es una función de B en A. A partir de esta definición, el lector podrá verificar el siguiente teorema. f es una función inversible si y sólo si es biyectiva. FUNCIÓN INVERSA Si f : A÷B es biyectiva, es posible construir la inversa f –1 : B→A. Esta nueva función permite invertir el sentido de la correspondencia, tal que a cada y ∈ B se lo asocia con un único x ∈ A. La función inversa es f –1 : B÷A, lo cual indica que el orden de los conjuntos cambia. dom f = A rg f = B f es biyectiva. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 43 Adicionalmente, se puede notar que el dominio de f es el rango de f –1 y el rango de f es el dominio de f –1 . FUNCIÓN COMPUESTA Sean las funciones f : A→B y g : C→D, la función compuesta denotada por gof es una función que relaciona A con D, es decir, que a partir de un elemento x de A, se obtiene un elemento g( f (x)) de D. La composición de funciones gof se ilustra en el siguiente gráfico, suponiendo que B = C: Composición de funciones gof. Es importante anotar que gof existe, si y sólo si: rg f ⊆ dom g. Dadas dos funciones f y g: gof es el conjunto de parejas de la forma (x, g(f (x))). Considerando el gráfico anterior, si f y g son procesos, entonces h = gof es el resultado del proceso siguiente: 1. h recibe un elemento x y lo introduce en el proceso f para obtener b = f (x) 2. h introduce a b en el proceso g para obtener g(b) = g(f (x)) 3. En resumen, h ha transformado a x en h(x) = g(f (x)) Lo anterior nos permite concluir que dom(gof ) = A, y que rg(gof ) ⊆ rg g ⊆ D. La composición de funciones fog, siendo g:B→C y f: C→A, se ilustra en el siguiente gráfico: CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 44 Composición de funciones fog. La función compuesta fog existe, si y sólo si: rg g ⊆ dom f. Se cumple que dom (fog) = B, y que rg (fog) ⊆ rg f ⊆ A. La composición de funciones, en general, no es conmutativa. Ejemplo: Composición de funciones. Considere los conjuntos A = {♣, ♦, ♥, ♠} y B = {a, b, c, d, e}. Se tienen las funciones: f : A→B dada por f = {(♣, b), (♦, a), (♥, d), (♠, c)} g : B→A dada por g = {(a, ♣), (b, ♣), (c, ♦), (d, ♥), (e, ♠)} Es posible construir las funciones: gof: A ÷A gof = {(♣, ♣), (♦, ♣), (♥, ♥), (♠, ♦)} fog: B ÷B fog = {(a, b), (b, b), (c, a), (d, d), (e, c)} De este ejemplo se puede concluir que fog es diferente a gof. CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 45 Ejemplo: Composición de funciones. Dados los conjuntos A y B tales que A = B = {1, 3, 5, 7} y la función f y g de A en B: f = {(1, 3), (3, 1), (5, 5), (7, 7)} g = {(1, 7), (3, 7), (5, 1), (7, 3)} Determine f −1 o g. Solución: f –1 = {(3, 1), (1, 3), (5, 5), (7, 7)} f –1 o g = {(1, 7), (3, 7), (5, 3), (7, 1)} Adicionalmente, se cumple que: dom (f –1 o g) = dom g rg ( f –1 o g) ⊆ rg f –17 CAPITULO 1 LÓGICA Y CONJUNTOS 46 ANÁLISIS: Un conjunto elaborado puede representar información de una manera fácil y precisa. La representación gráfica y por enumeración muestra a cada uno de los elementos del conjunto mediante la utilización de diagramas o llaves, lo que es muy práctica en la vida cotidiana para solución de problemas comunes; por otra parte, la forma literal permite establecer la característica común o propiedad de los elementos de un problema y es muy útil para representar de una manera distinta con un número de elementos.
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