Capítulo 5EL EQUILIBRIO DE LOS FLUIDOS 5.1 El modelo de fluidos ideales En términos cualitativos un fluido es todo material deformable que adquiere la forma del recipiente que lo contiene. Los líquidos y los gases están comprendidos en esta categoría, los primeros pueden estar confinados por un contenedor abierto a la atmósfera, los segun- dos generalmente precisan de un recipiente cerrado. Más precisamente se entiende por fluido un material que en estado de reposo no puede sostener esfuerzos de cizalla. Bajo la acción de este tipo de esfuerzos, aún mínimos, el cuerpo necesariamente fluye. En esto se diferencian de los sólidos elásticos, los cuales en estado de equilibrio pueden mantener sin dificultad esfuerzos que yacen en el plano de cualquier corte. La ley de Pascal para la presión de un fluido en reposo expresa esta propiedad (ver comentarios asociados a, 2.10, 2.20, 2.66) −−→ = −p− σ → n, σ ik = −pδ ik . (5.1) (n) Como ya hemos mencionado, Euler emplea esta propiedad, bien comprobada experimen- talmente, que caracteriza la hidrostática y la asume como hipótesis válida también para los fluidos en movimiento. De esta manera construye un modelo, llamado de fluidos ideales, cuyas ecuaciones en un sistema de referencia inercial, las dos primeras iguales en notación indicial o vectorial, son µ ¶ ∂vi ∂vi ∂p ρ + vk = − + Fi , (5.2) ∂t ∂xk ∂xi µ − ¶ ∂→v − → ρ + (−→v • grad)−→v = −grad(p) + F ∂t dρ + ρdiv(−→v ) = 0. dt como hemos visto en 2.67, 2.66, y 1.84. Aunque el modelo ignora un aspecto fundamental de los fluidos, la viscosidad y todas sus importantes consecuencias, conserva sin embargo algunos aspectos básicos del comportamiento de cualquier fluido y el conocimiento de sus propiedades está ampliamente justificado por la experiencia en esta disciplina. Hay mu- chos resultados de este modelo, relativamente más simple que el tratamiento de los fluidos viscosos, que son útiles y correctos dentro de una aproximación tolerable. En muchas circunstancias hay propiedades que dependen esencialmente de balances de cantidad de movimiento y energía en los cuales la viscosidad juega un papel menor. El principiante obtiene gran beneficio de la visión heurística que ofrece el modelo de fluidos ideales, mien- tras vaya aprendiendo también que en determinadas configuraciones no se podrá omitir el efecto directo o indirecto producido por la viscosidad, aunque esta sea muy tenue. Este capítulo está dedicado a estudiar algunas propiedades de este modelo, limitadamente al caso de fluidos en reposo. En el capítulo siguiente estudiaremos la familia de movimientos irrotacionales. En otro capítulo se tratarán los movimientos con vorticidad. Debido a las dificultades de la teoría basada en el sistema de ecuaciones 5.2, el estudio se suele dividir en dos grandes dominios, los fluidos incompresibles, div(− → v ) = 0, (5.3) por ejemplo. Los primeros. descubierto por Arquímedes de Siracusa (287-212 a. en los cuales ρ es una constante con valor fijo en todos los puntos del material y los fluidos con densidad no uniforme. div(−→v ) 6= 0 y se ha de emplear la ecuación de continuidad completa. Consideremos las ecuaciones 5. y. en 5. por el momento − → sin ninguna restricción especial sobre ρ o sobre F . 2. en los cuales ρ = ρ(−→ x . de modo que 5. La 5. Para que se pueda cumplir la condición de equilibrio es evidente que F debe − → ser el gradiente de alguna función.7) c −→ − → de la cual se desprende que tanto j cuanto B deben ser vectores que yacen sobre las − → − → − → superficies isobáricas ( j • grad(p) = 0. Si las líneas de B . El gradiente de p tiene la dirección de la normal a estas superficies. por el cual circula − → −→ la densidad de corriente j y en el cual existe un campo magnético B . el caso de un fluido conductor de la electricidad. (5. Reemplazando la fuerza de Lorentz. (5.). digamos.5 implica − → que en el estado de equilibrio F debe ser normal a las superficies de presión constante. Naturalmente. recordando la discusión asociada a las ecuaciones 1.7. En estas notas nos limitamos al estudio de movimientos con densidad uniforme en la mayoría de los casos.5 resulta 1−→ − → grad(p) = j × B. El tratamiento de los fluidos incompresibles a su vez se subdivide en dos amplias áreas. 1. − → a = 0.2 Hidrostática El equilibrio de los líquidos bajo la acción de la gravedad es posiblemente el más anti- guo de los temas estudiados por la mecánica de fluidos. se deduce que −→ rot( F ) = 0.85.1 Magnetohidrostática Veamos.3 que debe cumplir el campo de velocidad. 5.Hidrostática 51 y los fluidos compresibles. En efecto.2 para un fluido en reposo. El estudio de los fluidos incompresibles no homogéneos es considerablemente más complejo que el de los fluidos con densidad constante. t) y debe cumplir la ecuación ∂ρ + v • grad(ρ) = 0.2. Se verá durante el tratamiento del tema que la compresibilidad del fluido es un efecto menor cuando las velocidades del flujo son muy inferiores a la velocidad del sonido en el medio y por el contrario es un efecto de gran importancia para velocidades del flujo sónicas o suprsónicas. El dominio de los flujos compresibles está asociado generalmente con el trata- miento de problemas de altas velocidades. (5. tienen densidad constante sobre las trayectorias de los elementos materiales y para ellos la ecuación de continuidad se simplifica debido a la condición 5.86. cuyo origen se puede encontrar en la literatura de la antiguedad asociado al célebre principio del empuje de flotación. Es un rama especializada de la mecánica de fluidos cuyas aplicaciones son de gran importancia para la geofísica. .5.5 sobredetermina la incógnita p.5) Las superficies con p(x. la tercera de las 5. La ecuación general del equilibrio hidrostático es − → grad(p) = F . 5.6) − → No siempre F satisface este requerimiento. siendo C una constante. o estratificada. se denominan isobáricas. puesto que las fuerzas de volumen son datos del − → problema.4) ∂t (ver 1. (5. Los fluidos con densidad uniforme. B • grad(p) = 0). en el caso de los fluidos compresibles. z) = C. que F debe ser una fuerza conservativa. C.2. o sea.86). tomando el rotor de 5. la − → − → − → gravedad: −g Ez ) y la fuerza por unidad de volumen es F = ρ F . (5.1 Equilibrios barotrópicos −→ Supongamos. El tema es demasiado extenso para ser tratado aquí.8) − → − → dado que div( B ) = 0 y div( j ) = 0. (5.La condición de barotropía 52 cruzan esas superficies la condición de equilibrio no puede ser satisfecha.15) . que derive de un potencial Ω. No alcanza con pedir −→ que F = −grad(Ω) sea conservativa. las superficies de igual densidad − → deben coincidir con las isobáricas. (5.6 → − − → −→ − → − → −→ rot( j × B ) = ( B • grad) j − ( j • grad) B = 0.. En este caso podemos definir una función Zp dp H = . y.8. Puesto que − → F también debe ser normal a las superficies isobáricas.10) ρ p0 de modo que dp dH = . El estudio de estos equilibrios forma parte de la magnetohidrodi- námica y tiene numerosas aplicaciones en la física de la fusión nuclear y en la astrofísica.5 se reescribe como grad(H + Ω) = 0. Aplicando 5. normal a las superficies isobáricas y que la densidad esté estratificada conforme a la presión: ρ = ρ(p).14) dρ ρ ρ0 y se denomina función de presión. (5. donde K es una constante. entonces. para que exista equilibrio es preciso que F sea conservativa. En suma. 5.13) ρ Cuando p = p(ρ) es un dato aa función H se puede calcular como una integral de la variable densidad Zρ µ ¶ dp dρ H = . z) = K. o bien p = p(ρ).11) ρ − → − → Escribiendo dH = grad(H ) • δx y dp = grad(p) • δx resulta · ¸ 1 − → grad(H ) − grad(p) • δx = 0.9) condición que no se cumple para cualquier distribución de densidad. Cuando la presión es una función de la densidad (o viceversa) se dice que se cumple una condición de barotropía.3 La condición de barotropía − → Con frecuencia la fuerza conocida es la fuerza por unidad de masa F (por ejemplo.12) ρ − → y puesto que esta ecuación vale para todo δx. F es el gradiente de alguna función y el equilibrio es posible. es decir que F sea normal a las superficies de igual densidad ρ = ρ(x. (5. Ahora 5. i. (5.6 da − → −→ grad(ρ) × F + ρ rot( F ) = 0. esta última porque en condiciones estáticas vale − → − → − → 4π j = c rot( B ). es necesario que 1 grad(H ) = grad(p). (5. que p = p(ρ) y que F = −grad(Ω). 5. Sólo cuando se satisface 5.e.3. para asegurar el − → − → equilibrio se debe cumplir también grad(ρ) × F = 0. entonces la 5. (5. de modo que la ecuación p + ρΩ = C. en la proporción S2 /S1 .4.18. sólo depende de h. explica el conocido fenómeno de los vasos comunicantes abiertos a la atmósfera. Un líquido contenido en dos o más recipientes de cualquier forma. Sea el caso de la gravedad sobre la superficie terrestre.16) donde C es una constante de integración. discutido por el holandés Stevin (1586). Dos cilindros de distinta sección. La cantidad p − p0 = ρgh se denomina presión de sobrecarga (respecto de la atmósfera) que existe en el seno del líquido a la profundidad h. Una columna de agua de 30 metros siempre ejerce una sobrecarga de 3 atmósferas sobre el fondo. Estas propiedades se aplican también en la operación de manómetros y baróme- tros. La igualdad de la presión sobre planos horizontales en el líquido. La función de presión es simplemente p/ρ. La constante de integración se determina por el conocimiento del valor de la densidad (o de la presión) sobre alguna superficie equipotencial elegida como referencia. Es evidente que p es constante sobre las superficies equipotenciales y que estas coinciden con las isobaras. en la cual el líquido alcanza una altura h1 respecto del fondo. Un manómetro es un instrumento para medir sobrecargas moderadas. (5. considerados como incompresibles y cuya densidad es uniforme. (5. 5. Por lo tanto F1 /S1 = F2 /S2 y se obtiene en el segundo pistón un considerable aumento de la fuerza aplicada sobre el primero. En consecuencia. Para el agua la sobrecarga es de aproximadamente una atmósfera cada 10 metros de profundidad. Si se aplica una fuerza F1 (por ejemplo.1 Nociones básicas Un ejemplo de este tipo de solución ocurre en el caso del equilibrio de líquidos. Ω = gz.4 Equilibrio de líquidos pesados 5. debido al principio de los vasos comunicantes. la presión en la superficie de contacto con el líquido p = F1 /S1 . S1 y S2 . Los cilíndros poseen pistones. La presión a cualquier profundidad no depende de la forma del volumen ocupado por el líquido. entonces vale la ecuación p = p0 − ρgz = p0 + ρgh. Una de sus ramas. En ese caso ρ es una constante y dH = d(p/ρ). tales que S2 À S1 . (5.17) permite conocer la variación de la presión en concordancia con la variación del potencial. abiertos a la atmósfera y cuyos fondos tienen una comunicación común (por ejemplo. Las superficies isobáricas son planos horizontales. dada por 5. Es un tubo de vidrio en U con ramas dispuestas según la vertical. donde z es la dirección vertical y el líquido ocupa la región z < 0. ni de la cantidad de fluido presente. con un líquido cuya densidad ρ es conocida. bien adherentes a las paredes de modo que el fluido no pueda escurrirse. un tubo en U) llega a la misma altura en todos ellos. La misma presión (ignorando la diferencia insignificante que se origina por diferencias de altura de los pistones) se encuentra sobre la superficie S2 del segundo pistón.18) Aquí hemos introducido la presión atmosférica p0 sobre la superficie libre del líquido z = 0 y hemos empleado la profundidad h. El principio de funcionamiento de la prensa hidráulica se explica con los mismos conceptos. contienen un líquido que se comunica por el fondo de un recipiente común a ambos. la ecuación hidrostática se puede integrar exactamente cuando el fluido es barotrópico. se conecta a un recipiente en el cual tenemos confinado un gas cuya presión desconocida . normales a la fuerza de gravedad. un peso considerable) sobre el pistón S1 . los cuales apoyan sobre el líquido en ambas ramas del dispositivo.Equilibrio de líquidos pesados 53 de la cual resulta H + Ω = C. escribiendo z = −h. tanto en el caso de un tanque cilíndrico de 5 metros de diámetro cuanto si se trata de un modesto caño de 2 cm de diámetro. 2 El empuje de flotación La hidrostática de líquidos pesados tiene un amplio campo de aplicaciónes en la navegación de barcos o submarinos y en la construcción de diques. que equivale a la sobrecarga de 1 mm de Hg (por Torricelli. En meteorología se empleaba también la unidad Bar = 106 barias. Nos limitamos aquí a pocas nociones básicas. (5. discipulo de Galileo Galilei e inventor del barómetro de mercurio). Una columna de 760 mm de Hg ejerce una sobrecarga que se define como 1 atmósfera normal. La altura de mercurio en el tubo respecto de la superficie del mercurio expuesto al aire en la cubeta. Por supuesto. se llena de mercurio. En efecto. Se dipone el tubo en vertical volcando el extremo abierto en una cubeta que contiene el mismo líquido. Aplicando 5. está completamente sumergido en el líquido (z < 0. pero más recientemente prevalece el hectopascal = 100 pascales. (5. La otra rama está abierta a la atmósfera cuya presión es p0 y el líquido marca una altura h0 .23) S S S V un empuje vertical de flotación equivalente al peso κV del volumen de líquido desplazado por la presencia del cuerpo. Empleando la densidad del mercurio y la gravedad terrestre (981 cm/s2 ) resulta que 1 atm equivale a 1033 cm de columna de agua. h .mide la presión atmosférica. Un esquema similar se emplea para medir la presión atmosférica en el barómetro de Torricelli. La equivalencia en esta floresta de unidades de presión (no queremos ni acordarnos de las unidades inglesas. (5. la diferencia de alturas h0 − h1 es positiva cuando el gas está comprimido a una presión mayor que p0 y en cambio es negativa cuando el recipiente contiene un gas rarefacto cuya presión es menor que la atmosférica. (5. que ocupa un volumen V rodeado por una superficie cerrada S. En los laboratorios donde se trabaja con vacío todavía se emplea frecuentemente el torr. en la cual elegimos z = 0 para el fondo del manómetro cuya presión denotamos con pf . tenemos p0 + ρgh0 = pf = p1 + ρgh1 . Calculando la integral obtenemos −−→ I I I Z − → − → f (R) = −p0 n dS + κ z − →n dS = κ z − → n dS = κ grad(z)d3 x = κV E z .19) Resulta ∆p = p1 − p0 = κ(h0 − h1 ). cuidando que no penetre aire en el tubo. en lo que concierne el estudio de la flotación y la estabilidad de cuerpos sumergidos o semisumergidos. Cuando un cuerpo rígido. la pulgada de Hg o la libra por pulgada cuadrada) es como sigue.21) puesto que cuando z = h la presión es nula.20) donde κ = ρg es el peso específico del líquido del manómetro.033 Bar = 1033 mBar = 1013 Hpascal 5. en este caso tenemos p0 = κh. que vale casi 1 atm. dejando una zona de vacío en la extremidad superior. la resultante de las acciones del líquido sobre el cuerpo vale −−→ I f (R) = − (p0 − κz)− → n dS. Una parte del mercurio contenido en el tubo desciende y se une al de la cubeta. así como en lo atinente a la resultante y el momento resultante de las fuerzas que ejerce el líquido sobre las paredes que lo confinan.17. La unidad cgs de presión es la baria = 1 dina/cm2 y en MKS la unidad es el pascal =1 newton/m2 . Un tubo de vidrio de algo menos de un metro de longitud.22) S donde κ es el peso específico del líquido. La fuerza peso del cuerpo depende del peso específico del .Equilibrio de líquidos pesados 54 p1 deseamos medir. (5. la unidad originalmente usada en mediciones barométricas. superficie libre en z = 0). 1 Atm = 760 Torr = 1033 cm H2 O = 1. cerrado en un extremo.4. de modo que 1 pascal = 10 barias. Son temas con un desarrollo muy extenso en varias ramas de la ingeniería. la fuerza centrífuga y otra fuerza perturbadora originada por la presencia del cuerpo celeste. f (R) + P = 0. En cambio. y la discusión de la estabilidad del cuerpo flotante son algo más elaborados que el caso precedente. metacentro. el centro de −→ − → masa. mientras que Υ es el potencial de la perturbación.24) 2 donde Φ es el potencial de la gravedad terrestre. por ejemplo predice marea alta cada doce horas. El estudio del punto de aplicación del empuje. Pero en ese caso. La teoría de Newton supone que. x̄L . Este punto se suele denominar centro de flotación. Entonces el segmento OC = D es la distancia de la Luna respecto del centro de la Tierra y θ = ](OP .17) Ω = const. la distancia OP al centro se indicará con r. ocupa la posición superior. ML es la masa de la Luna y P C. x̄L . x̄C . debida a Laplace. de modo que finalmente x̄C quede más abajo −→ que x̄L . La cupla se anula si x̄L está sobre la misma línea vertical −→ de x̄C . el plano horizontal de la superficie libre corta el cuerpo. cuando κc = κ. pero con una cupla resultante que − → tiende a hacer rotar el cuerpo. Podemos escribir ML Υ1 = −G (5. que describimos a continuación.5 La teoría de equilibrio de las mareas La explicación de las mareas fue desarrollada por Newton mediante una teoría de la figura de equilibrio de los mares. la superficie libre del mar toma la forma de equilibrio que correspondería a la acción de un cuerpo celeste perturbador que mantuviera su posición fija respecto de la Tierra. es la distancia angular Luna-zenith del punto P vista desde el centro de la Tierra. o sea. En esta última circunstancia las fuerzas sobre −−→ − → el cuerpo podrían estar equilibradas. El peso del cuerpo se aplica en cambio en el centro de masa del cuerpo. 5. El cálculo del momento de las fuerzas de presión. que el lector puede realizar como un ejercicio sencillo. nuevamente. Sea O el centro de la Tierra. el segundo término representa el potencial centrífugo. mientras la idea simplista que el fenómeno se explica sólo con la atracción de la Luna conduce a una sola alta marea por dia. En esas condiciones. muestra que el empuje de flotación se aplica al centro de masa del −→ volumen V de líquido. El lector puede mostrar como ejercicio que.La teoría de equilibrio de las mareas 55 −→ − → cuerpo y vale P = −κc V E z cuando el peso específico del cuerpo es uniforme. −→ x̄C . donde G es la constante de la gravitación universal. P un punto cualquiera del mar y C la posicíon de la Luna.25) PC para el potencial gravitatorio de la Luna en P . es la distancia de P .. pero son distintos cuando el cuerpo es inhomogéneo. mientras esta última rota sobre su eje y sufre una aceleración dirigida hacia aquel. Al límite. esta vez sólo por la parte sumergida del cuerpo. siendo d la distancia al eje de rotación y ω la velocidad angular. el ángulo entre OP y OC. Empleando los potenciales de estas fuerzas escribiremos 1 Φ − ω 2 d2 + Υ = const. Estos dos puntos coinciden si el cuerpo tiene una densidad ρc uniforme. (5. cuando x̄C es más alto que x̄L . la superficie libre (donde p es constante) es una superficie equipotencial (ver 5. en cada instante. generada por la acción combinada de la gravedad terrestre. la determinación del centro de flotación. la posición inferior. OC). Cuando el cuerpo está semisumergido. que denotaremos con R. se comprende facilmente que la posición del cuerpo sumergido − → − → es estable cuando el centro de flotación. La teoría de equilibrio fue superada más adelante por la teoría dinámica de las mareas. el cuerpo está en −→ una posición inestable y tiende a tumbarse. si κc > κ el cuerpo se hunde. o también. se puede pensar que el cuerpo puede ser efectivamente reemplazado por igual volumen de líquido y es obvio que el equilibrio hidrostático queda inalterado. el empuje de flotación equivale al peso del volumen de líquido desplazado. En otras palabras. Fue luego perfeccionada por Bernouilli y contiene una parte de la solución del problema. si κc < κ tiende a flotar y cuando κc = κ tenemos un equilibrio neutro. Por lo tanto.La teoría de equilibrio de las mareas 56 al centro lunar. vista en el nivel no perturbado · µ ¶¸ ∂ 1 2 2 g= Φ− ω d ..32) g donde Cb es una constante y g es la gravedad aparente en cada lugar debida a la acción combinada de la atracción de la Tierra y la fuerza centrífuga de la rotación. El primer término es una cons- tante y por lo tanto podemos escribir Υ b ζ= + C. Vamos a indicar con ζ la elevación del agua respecto del nivel no perturbado por la presencia de la Luna. ¡ ¢1 La geometría permite expresar R como r2 + D2 − 2Dr cos(θ) 2 y dado que r/D ¿ 1 podemos desarrollar en serie de potencias · ³ r ´2 1 ¡ ¸ 1 1 r ¢ = 1 + cos(θ) + 3 cos2 (θ) − 1 + . Υ = Υ1 + Υ2 .. (5. Naturalmente.27) R D D D 2 La teoría de funciones especiales enseña que 1 X ³ r ´n ∞ 1 = Pn (cos(θ)) . Asimismo podemos poner ML Υ2 = −G r cos(θ). a las fuerzas operantes sobre la Tierra debemos agregar una fuerza de inercia adicional. como ejercicio. (5. si vamos a describir el equilibrio desde una plataforma fija a la Tierra. . alrededor del nivel libre no perturbado. tales que OC = OC 0 y los tres puntos C 0 . esta no es precisamente un sistema inercial sino que se halla en estado de aceleración. (5. Esta es la novedad substancial introducida por Newton y es la clave de la explicación correcta de las mareas. están alineados.28) R D n=0 D donde Pn (z). Desarrollamos la ecuación de la superficie equipotencial. es igual al potencial generado por dos masas iguales a 12 ML . 5. respectivamente. C.30) 2 D D En esta aproximación el potencial de la perturbación. en coordenadas esféricas) de toda la Tierra hacia la Luna.33) ∂n 2 0 . Las cantidades con subíndice 0 denotan los valores no perturbados. (5.26) D2 para el potencial en P correspondiente a una aceleración uniforme (z = r cos(θ). En efecto. (5. El lector puede verificar. esta propiedad. z ≡ cos(θ).31) 2 0 ∂n 2 0 donde ∂/∂n indica la derivada según la normal exterior. Estos centros ficticios de atracción se denominan Luna y Anti-Luna. definidos por 1 dn ¡ 2 ¢n Pn (z) = n n z −1 . Se obtiene 3 ML ³ r ´2 ¡ ¢ Υ= G 3 cos2 (θ) − 1 . (5. ubicadas en los puntos C y C 0 . O.24. (5. como destacó Kelvin.. son los polinomios de Legendre. (5. hasta la primera aproximación · ¸ · µ ¶¸ 1 ∂ 1 Φ − ω 2 d2 + Φ − ω 2 d2 ζ + Υ = const.29) 2 n! dz Calculamos Υ desarrollando 1/R y retenemos sólo el orden más bajo significativo en r/D. pero las nociones básicas de la teoría del equilibrio han quedado esbozadas. respectivamente. N. El esferoide tiene dos máximos. aproximadamente) el comienzo de cada ciclo de marea se desfasa de unos 50 minutos entre un dia y el siguiente. Suponiendo que el agua cubre toda la Tierra: Zπ µ ¶ b = −1h C 2 sin(θ) cos (θ) − 1 dθ = 0.36) 2 MT D La constante Cb se puede determinar teniendo en cuenta que. 5.38) 2 3 0 La forma de equilibrio de la superficie libre es un esferoide descripto por una función armónica de segundo orden (proporcional a Pn (z)) cuyo eje pasa por el cuerpo perturbador. Hay otros factores en juego. definida por µ ¶3 3 ML RT h≡ RT . (5.35) 3 donde hemos introducido la escala de altura de marea. Tomamos de Chan- drasekhar (Stellar Structure. Estos efectos se superponen de una manera compleja sobre el ciclo de las mareas.6 Atmósfera politrópica En un gas una relación de barotropía del tipo p = Aρn (5. En primera instancia.Y..2 corresponde aproximadamente al valor observado en la atmósfera terrestre. (5. si la densidad y la temperatura se distribuyen en la totalidad de la masa fluida de modo que las superficies de igual densidad y las superficies de igual temperatura permanecen .34) RT2 donde RT es el radio medio y MT la masa de la Tierra. (5. El Sol también influye sobre las mareas y el plano de la órbita lunar no coincide exactamente con la eclíptica. 1957) algunas citas significativas de Kelvin sobre esta cuestión. (5. debido a la conservación del volumen del líquido. Puesto que el dia solar es de 24 horas. (5. por el centro de la Tierra (ver figura). Dover.37) S integrando sobre la superficie S del océano.39) se denomina politrópica y n se llama índice politrópico. h. Para simplificar supongamos que la Luna está en una posición equatorial: debido a la rotación de la Tierra sobre su eje. Para aire con un grado significati- vo de humedad n = 1. Se obtiene µ ¶ 2 1 b ζ = h cos (θ) − + C. uno en la posición sublunar y otro en la dirección exactamente opuesta. El significado físico de esta dependencia entre presión y densidad se comprende mediante el concepto de equilibrio convectivo debido a Kelvin (1862). ”Se dice que un fluido bajo la acción de la gravedad está en equilibrio convectivo. g=G . pero en un examen apro- ximado de la marea podemos ignorar las variaciones de g y la elipticidad del nivel no perturbado. ponemos MT r = RT . mientras que se necesitan 24 horas y 50 minutos para que la Luna vuelva a pasar por el mismo punto de la Tierra (porque la Luna rota alrededor de la Tierra en 27 dias.Atmósfera politrópica 57 La gravedad aparente varía sobre la superficie terrestre. un punto del océano sufre dos altas mareas y dos bajas mareas diarias. debe ser Z ζdS = 0. porque tiene una zona central donde se produce energía por reacciones de fusión nuclear. Esta dependencia existe no sólo dentro del volumen que se desplaza. Ya hemos men- . evocado por Kelvin. P . La agitación natural producida en una gran masa de fluido como el Sol por el enfriamiento de la superficie. desde la temperatura que tenía en P hasta la temperatura actual del fluido en P 0 . Note el lector el cierre de la frase. ”Si un gas está contenido en una esfera rígida e impermeable al calor y lo dejamos aislado por un tiempo suficientemente largo. yo creo. Lo que nos interesa destacar de los comentarios citados. mantener una buena aproximación al equilibrio convectivo en toda la masa”. aproximadamente. P 0 . Sin embargo.la esencia del equilibrio convectivo es que si una pequeña porción cúbica o esférica del fluido. que se desarrolla en cualquier elemento del fluido bajo una muy tenue perturbación y que da lugar. por la expansión o la contracción. donde asume que la inercia del movimiento es des- preciable: significa que aún cuando se consideran desplazamientos del gas. Pero si lo revolvemos artificialmente en todo el volumen. El siguiente comentario de Kelvin aclara. hasta que la temperatura se vuelva uniforme. de tipo adiabático. debe. mientras se cumpla la condición termodinámica δQ = 0 (los elementos del gas no intercambian calor) durante el suave revolverse o agitarse del fluido. pero ciertamente una parte de la estructura de la estrella se encuentra. a una relación del tipo p = Aργ . cuasiestático. cosa que se ignoraba en tiempos de Kelvin. se encierra idealmente con una membrana impermeable al calor y se la deja expandir o contraer hasta la densidad que posee el fluido en otra posición. se asentará en un estado de equilibrio térmico global mediante la conducción del calor.. aproximadamente. estos son tan lentos que en todo momento se satisface con buena aproximación la ecuación hidrostática (la aceleración no cuenta). en equilibrio convectivo. Representa el desplazamiento respecto del radio terrestre dado por la ecuación 5. por lo tanto. esta condición no describe el caso más general. Kelvin agrega ”. su temperatura se va a modificar. que los cambios de presión debidos a la inercia del movimiento son despreciables”. las corrientes que no alteran considerablemente la distribución estática de presión y densidad lo llevarán. sino que además se encuentra establecida en toda la masa del fluido. en cualquier posición. Hoy sabemos que el Sol no está enteramente en equilibrio convectivo.35 invariadas cuando se producen corrientes asociadas a una influencia perturbadora tan débil. a lo que yo he denominado equilibrio convectivo de la temperatura..” Lo que Kelvin propone es un proceso reversible.Atmósfera politrópica 58 Figura~1 Figura de equilibrio (línea azul) para explicar la teoría estática de las mareas. donde γ es el cociente de los calores específicos. es que podemos emplear la relación adiabática entre p y ρ junto con la ecuación hidrostática. 39 con 5. R la constante universal de los gases (8. Los cambios de estado que tienen lugar durante la convección natural en estas condiciones se representan mejor con una ecuación termodinámica del tipo δQ = cdT. la siguiente ecuación para los cambios politrópicos dT dV (cv − c) + (cp − cv ) = 0. El equilibrio bajo la acción de fuerzas conservativas se obtiene con 5. p = Aρn . la cual puede producir la condensación del vapor en las corrientes ascendentes. en el estudio de los equilibrios convectivos de la atmósfera se emplea la relación politrópica. empleando la ecuación de estado y la relación ρ ∝ 1/V . Si en estas circunstancias escribimos la primera ley de la termodinámica para una pequeña porción del gas.43) de la cual. Esta es la definición de un proceso politrópico. (5. (5. se pasa facilmente a la ecuación 5. Durante el proceso de agi- tación el calor entregado al sistema es proporcional al cambio instantáneo de temperatura. La función de presión 5.49) n L .39.48) n−1 µ En el caso de la gravedad terrestre Ω = gz. (5.42) T V Integrando resulta T (cv −c) V (cp −cv ) = constante. (5.41) y dado que para los gases perfectos vale la relación pV = Rg T .40) en la cual c es un calor específico. aproximadamente constante. en la cual el índice politrópico vale cp − c n= . donde Rg es la constante del gas.47) p0 T0 ρ0 T0 ecuaciones que relacionan la presión y la densidad con la temperatura. se obtiene.16 n RT + Ω = C. Esta última es más general que la adiabática y la comprende en el caso c = 0. (5. (5.14 cuando n 6= 1 es Zρ An n−1 n p n RT H = Anρn−2 dρ = ρ = = . (5.46) µ siendo T la temperatura absoluta. (5. tal que Rg = cp − cv .44) cv − c Por lo tanto. (5.Atmósfera politrópica 59 cionado que un índice politrópico n 6= γ se ajusta más a lo observado en la atmósfera terrestre.31×107 erg/◦ K- mol) y µ el peso molecular. donde el subíndice 0 se refiere a un estado termodinámico de referencia. en los cuales δQ 6= 0 debido a la presencia de humedad. El mismo Kelvin fue llevado a considerar procesos de mezcla. poniendo T0 para la temperatura en z = 0 resulta n−1 z T = T0 (1 − ).45) n−1 n−1ρ n−1 µ ρ0 donde empleamos la ecuación de estado de gases perfectos ρRT p= .46 se obtiene µ ¶ n−1 n µ ¶ n−1 1 p T ρ T = . (5. entonces. resulta (cv − c)dT + pdV = 0. o agitación del aire. = . Combinando 5. Más arriba está la estratosfera. 5.54 como p dp d(E + − T S) = . una región en la cual la temperatura es aproximadamente constante. (5. 1/ρ es el volumen específico (volumen de la unidad de masa) y δQ es el calor intercambiado con el ambiente para poder pasar de un estado al otro del gas.Atmósfera politrópica 60 donde µg L= (5.6. (5. La función de presión en este caso es Zρ RT dρ RT ρ G= = ln( ). (5.12. Tomando la temperatura standard para T0 = 273 ◦ K. sino que se pasa gradualmente de una región a otra.49 nos muestra que la atmósfera es finita y para n = 1. ambos potenciales termodinámi- cos definidos por unidad de masa.52) p0 n L ρ0 n L La ecuación 5.51) dz n L y la presión y la densidad varían según p n − 1 z n−1 n ρ n − 1 z n−1 1 = (1 − ) = (1 − ) .58) µ ρ0 . De aquí. Naturalmente. resulta L = 7.56) ρ Volviendo a la 5.50) RT0 es la escala de altura de la atmósfera. con el mismo argumento que en 5.2 llega a una altura z = 6L = 48 km.2.7 ◦ K/km (5. En particula.16 se obtiene G+Ω=C (5. con n = 1. cuando se compara el estado termodinámico de dos pequeños volúmenes de gas próximos entre sí podemos escribir la primera ley de la termodinámica en la forma 1 dE + pd( ) = T dS = δQ. resulta 1 grad(G) = grad(p) (5. el potencial termodinámico de Gibbs.46. En realidad. En efecto. troposfera y estratosfera no tiene una frontera definida. la más baja. unos 11 km de altura y debido a los movimientos convectivos que mezclan continuamente las capas de aire. en latitudes medias.1 Atmósfera isotérmica El caso n = 1 corresponde a un gas en equilibrio térmico como indica la ecuación de estado 5. (5. alrededor de T=223 ◦ K.53) µ ρ µ ρ0 ρ0 donde hemos puesto H = G.r para la gravedad terrestre tenemos RT ρ ln( ) + gz = 0. El descenso de la temperatura se describe con un gradiente constante dT n − 1 T0 =− ≈ −5. denominada troposfera alcanza. la atmósfera se compone de diferentes regiones. y más arriba aún la temperatura de la alta atmósfera comienza a crecer hasta unirse al tenue plasma de la magnetosfera. se encuentra en un equilibrio politrópico medio aproximado.54) ρ En esta ecuación E es la energía interna y S la entropía.57) para el equilibrio isotérmico en un potencial de fuerzas general. Si la temperatura es constante podemos reescribir 5.55) ρ ρ donde G = E + p/ρ − T S. (5.99 km. 59) kT L donde se ha usado la relación R/µ = k/m entre la constante universal de los gases y la constante de Boltzmann (k = 1. obtenida con los métodos de la mecánica estadística en los comienzos de esa nueva disciplina física.40.61 en 5. (5. La primera ecuación 5. El gra- diente adiabático tiene un papel destacado en el análisis de la estabilidad del equilibrio atmosférico. En el caso de la atmósfera terrestre marca un descenso de aproximadamente 1◦ centígrado por cada 100 metros de altura (10 ◦ K/km).50.68 es superior al gradiente politrópico 5.47 donde n = γ. La presión y la densidad se calculan con 5. Reemplazando 5. El miembro izquierdo de la ecuación 5. 5. Reordenando la ecuación se obtiene γ − 1 µgz T = T0 (1 − ). (5. . En valor absoluto el gradiente adiabático 5. resulta γ RT + Ω = C. m: masa molecular) y la definición 5. (5.51.16.67) γ RT0 y la cantidad µ ¶ dT γ − 1 µg ≡− . (5. (5.64) ρ es decir. (5.14 vale Zρ Aγ γ−1 γ p γ RT H= Aγργ−2 dρ = ρ = = .59 coincide con el resultado de la distribución de equilibrio de Boltzmann.62) ρ ρ donde p H=E+ . en la base de la atmósfera.6. porque en este caso la función de presión es un potencial termodinámico denominado entalpía.66) γ−1 µ γ−1 µ donde hemos fijado una temperatura T0 en el nivel del mar z = 0. (5.65) γ−1 µ y en el caso de la gravedad terrestre γ RT γ RT0 + gz = . En el caso del aire γ = 1. por la hipótesis adiabática.38×10−16 erg/◦ K.12 1 grad(H) = grad(p). (5. Evidentemente dH = dp/ρ y por el argumento empleado en 5. Entonces 5.60) donde A es una constante (A = p0 /ργ0 ) y γ es el cociente de los calores específicos a presión y volumen constantes.Atmósfera politrópica 61 donde hemos puesto ρ = ρ0 cuando z = 0. La atmósfera isotérmica se extiende hasta el infinito. La función 5. Es una configuración tal que en cada lugar se ha establecido la relación p = Aργ . De aquí se obtiene mgz z ρ = ρ0 exp(− ) = ρ0 exp(− ). (5. (5.54 es equivalente a p dp d(E + ) = . pero la densidad decrece rápidamente con la escala característica L.68) dz ad γ R se denomina gradiente adiabático.63) ρ es la entalpía. H coincide con la entalpía. La atmósfera isotermica se caracteriza por un decaimiento exponencial de ρ y p con la altura.61) γ−1 γ−1ρ γ−1 µ ρ0 donde hemos empleado la ecuación de estado de los gases y la notación H.54 es ahora nulo.2 Atmósfera adiabática Cuando el índice politrópico vale n = γ = cp /cv tenemos un gas en equilibrio adiabático. los valores correspondientes al ambiente en z + dz. Por lo tanto p02 γ1 p2 1 ρ02 = ρ01 ( ) = ρ1 ( ) γ . Lo dejamos libre y estudiamos si comienza a moverse de modo de volver a la posición inicial. en el segundo no hay estabilidad. (5. de modo que vuelve hacia su posición original. (5.7 Nociones sobre la estabilidad atmosférica Examinemos la estabilidad de un cierto equilibrio hidrostático. los valores de la configuración de equilibrio a la altura z y ρ2 . Sean ρ1 .68 µ ¶ dT dT γ − 1 µg > =− . la temperatura aumenta con la altura en lugar de disminuir. (5. (5. La condición 5. Esta condición se puede escribir de una manera más significativa. A veces en ciertas capas de la atmósfera se presenta una situación inusual. En el primer caso el equilibrio es estable. p02 = p2 . (5.74) γ RT ρ dz p T dz De la cual se deduce γ − 1 µg dT >− . o bien si continua moviendose hacia arriba.69) p01 p1 Si ρ02 es mayor que la densidad del ambiente.73) dz y la ecuación de estado de los gases 5. (5. La condición ρ02 > ρ2 . p2 .75) γ R dz y comparando con 5. El estado termodinámico del elemento perturbado se indicará con notación primada.70) asegura la estabilidad del equilibrio de la atmósfera. Tomamos un pequeño elemento de volumen y lo desplazamos desde una altura z a z + dz. cuando la atmósfera se enfría. de modo que la temperatura decrece con la altura más rápidamente de lo previsto por el gradiente adiabático.71) p1 γp dz dz o sea 1 dp 1 dρ > . Este evento se denomina inversión de temperatura y da lugar a una configuración sumamente estable.Nociones sobre la estabilidad atmosférica 62 5. En cambio. el peso del volumen desplazado causa su hundimiento respecto a la atmósfera adyacente. Al final del desplazamiento la presión del elemento perturbado es igual a la del ambiente. entonces el equilibrio se vuelve inestable y se producen corrientes convectivas que tratan de mezclar el gas para disminuir el valor absoluto del gradiente térmico. ρ0 .46 podemos reescribire la condición de estabilidad como 1 µg 1 dρ ρg 1 dT − > =− − . (5. Puesto que al comienzo de la perturbación el elemento de volumen no difiere del ambiente. p0 . p1 . Por ejemplo. p01 = p1 .76) dz dz ad γ R Si la temperatura de la atmósfera disminuye con la altura más lentamente que el gradiente adiabático se encuentra en equilibrio estable. pero la densidad puede ser distinta.72) γp dz ρ dz Empleando la ecuación hidrostática dp = −ρg (5. dado que depende de la expansión adiabática que sufre el elemento.76 es de la mayor importancia y tiene un amplio campo de aplicaciones en meteorología y astrofísica. ello ocurre en un equilibrio politrópico en el cual n < γ. el equilibrio se rompe y comienza un movimiento convectivo. p2 γ1 1 dp dρ ρ1 ( ) = ρ1 (1 + dz) > ρ2 = ρ1 + dz. tenemos ρ01 = ρ1 . . El elemento se expande adiabáticamente (no hay tiempo para intercambiar calor) hasta que la presión interna es igual a la del ambiente que lo rodea. En tal caso podemos escribir Zr M (r) = 4πr2 ρdr.5 del equilibrio hidrostático toma la forma dp M (r) = −G 2 ρ. ρc . muchos aspectos esenciales del problema en este cálculo.79. θ= . Para integrarla necesitamos una relación entre p y ρ.78) dr Por otro lado. p. la distancia al centro del astro. de modo que todas la magni- tudes. Vamos a describir aquí el modelo politrópico de estrellas debido a Emde a principios del siglo XX. una solución completa del caso general requiere un tratamiento numérico. constituido por 5. entre los más destacados: la radiación y la gene- ración de energía nuclear en el centro de las estrellas. es mejor plantear la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para ello. η= . pc . en este caso la ecuación 5. T . Tc . (5. Definimos. (5. x= .77) 0 junto con dM (r) = 4πr2 ρ (5. pc .Lane. presión y temperatura en el centro de la estrella. b≡ = . empleando como unidad la masa del Sol MO y como unidad de distancia el radio del Sol RO .80 junto con la 5. las siguientes variables M (r) r p ρ T q= . La ecuación de Emde . (5.Equilibrios autogravitatorios 63 5.81 los valores de la densidad. muy estudiada desde la segunda mitad de 1800 hasta las primeras décadas de 1900. que en este caso será la ecuación politrópica µ ¶ n1 µ ¶ n−11 ρ p T = = . como es usual en la teoría de las estructuras estelares y los valores de ρc . Sea M (r) la masa de gas contenida en una esfera de radio r. De estas ecuaciones se deduce µ ¶ 1 r2 dp = −4πGρ. (5.81) ρc pc Tc con índice n. ρ. son funciones sólo de r. Tc .79) dr r donde G es la constante de la gravitación universal. Conviene usar variables sin dimensiones. naturalmente. (5.Lane sólo admite un estudio analítico parcial. Se omiten.78 y 5.81 conducen a la ecuación de Emde . dx x2 donde hemos introducido dos constantes adimensionales 3 4πRO ρc GMO m 1 GMO ρc a≡ . (5.8 Equilibrios autogravitatorios La teoría de las estructuras estelares es una rama importante de la astrofísica de consi- derable extensión y complejidad.80) r2 ρ dr la ecuación diferencial de los equilibrios autogravitantes.83) dx 1 dψ ψn = −bq . ψ= . Suponemos una masa de gas con simetría esférica. Podemos formarnos una idea elemental de algunos de los principios físicos en juego estudiando la configuración de equilibrio autogravitante de grandes masas de gas en equilibrio convectivo.82) MO RO pc ρc Tc El sistema de ecuaciones diferenciales toma la forma dq 1 = ax2 ψ n . La ecuación 5.84) MO RO kTc RO pc . Hemos introducido en 5. una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden de carácter no lineal para la temperatura. entonces. (5. como se ve por el tercer panel el radio de la estrella es aproximadamente un radio solar y la masa dada en el segundo panel es alrededor de 1. ρO . sino de una posición cercana.951 × 1010 cm. El arranque del procedimiento numérico no se hace a partir de x = 0. Es evidente que la constante a es tres veces el cociente entre la densidad del centro de la estrella y la densidad media del Sol. Tc = 0. suponemos que en primera aproximación ψ = 1 e integramos la ecuación para q dq 1 3 = ax2 .985 × 1033 gm. densidad. (5. (5. temperatura y masa en función de r. Por lo tanto. Elegidos dos valores para pc y ρc .8. (5. MO = 1. La constante b es el cociente entre la energía potencial de una molécula en la superficie del Sol y 2/3 la energía térmica de una molécula del gas en el centro del astro. ψ 01 ≈ 1 − 1.67 × 10−8 dinas cm2 /gm2 . Luego se integra numéricamente el sistema 5. empleando el programa descripto en el ejercicio 5. cuyo orden de magnitud es similar al que estiman las teorías actuales para una estrella como el Sol. a partir del centro. RO = 6.672 × 10−24 gm. suficiente para encender las reacciones nucleares de fusión a partir del hidrógeno.5882 × G . La integración produce también las funciones que describen la estructura. porque para x = 0 tenemos una división por cero en 5. hasta que se obtiene el primer cero de la temperatura. x = 0. (5. (5. mientras que Tc = 1. pero no es necesario. mH = 1.87) dx 3 6 Se puede mejorar la aproximación.89) RO RO k Las constantes físicas y los parámetros astronómicos valen G = 6. suponiendo que la masa gaseosa está compuesta por hidrógeno.01. hacia afuera x > 0.33333 × 10−7 × a. ese punto determina el radio de la estrella xe = R/RO y el valor de qe para esa posición es la masa de la estrella Me /MO .36 × 107 ◦ K. ψ ≈1−b .88) La siguiente figura ilustra un resultado obtenido integrando con el método de Runge-Kutta. de manera que dada la masa y el radio de la estrella podemos inmediatamente conocer la densidad y la temperatura en el centro del cuerpo. presión.90) k = 1. (5.83. k y la masa molecular del gas.01 con los siguientes valores iniciales q01 ≈ 3.. q≈ ax .Variando pc y ρc . m. . El lector puede hacer otras integraciones mediante Matlab. con lo cual fijamos también Tc .592 × 3 .86) dx 3 Ahora podemos integrar la ecuación para ψ dψ ax ax2 = −b .1 masas solares. las condiciones del centro son MO MO mH ρc = 1.7. El modelo fue integrado con n = 5/3. Buscamos analíticamente una solución para x2 ¿ 1. e iterando el procedimiento podemos construir una tabla de resultados.66667 × 10−5 × ab.41 gm/cm3 . a = 20 y b = 1. algo menos que diez veces la densidad del agua. quedan definidas a y b. con Ψ = 1. digamos x = 0.83. iterando el procedimiento. q = 0. El resultado es ρc = 9.85) ρc m escrita mediante la constante de Boltzmann. La temperatura central obtenida es del orden del Kev en unidades energéticas.379 × 10−16 erg/◦ K. θ = 0.Equilibrios autogravitatorios 64 Para llegar a la segunda constante empleamos la ecuación de estado pc kTc = . Para evitar la división por cero alcanza con poner el punto de partida de la integración en x = 0. . (b) ¿Cual es la velocidad angular Ω1 para que el líquido comience a derramar? (c) ¿Cuanto vale la velocidad angular Ω2 necesaria para que el líquido comience a dejar libre el fondo del recipiente? Suponga que no hay derrames y examine la relación entre h0 y L para que eso no ocurra. American Jounal of Physics. (a) Calcular la fuerza de flotación para esta configuración. Reid. 5. El cuerpo tiene peso específico κC . Extender el principio de Arquímedes para este caso.23? Ejercicio 5. ”Floating of a long square bar”. κ y yace sobre un fondo plano del mar. Calcular el empuje y escribir la ecuación que permite calcular el centro de aplicación del empuje. con la parte recta en horizontal. (a) Calcular el empuje de flotación y su punto de aplicación o metacentro.4 Sea la configuración de equilibrio del ejercicio anterior.9 Ejercicios del capítulo 5 Ejercicio 5. con velocidad angular Ω. menor que el peso específico del agua. (b) Realizar el cálculo del metacentro para el caso particular de una esfera homogénea y para un prisma homogéneo de sección rectangular. Hay buen contacto entre la parte plana de la sección y el fondo. (c) ¿Como flota un prisma de madera de sección cuadrada? ¿Sobre un lado o de punta sobre un vértice? Depende del cociente de densidades madera vs. 5.1 Un cuerpo completamente sumergido en el mar está configurado como un cilindro alargado tiene la sección con forma de letra D tumbada. Ejercicio 5. Discutir las condiciones de equilibrio. El cuerpo está parcialmente sumergido. determinar la forma de la superficie libre. hasta que el líquido gira como un cuerpo rígido (es la viscosidad del líquido lo que permite que se llegue a esta configuración).Ejercicios del capítulo 5 65 Figura~2 Soluciones del equilibrio de una estrella politrópica (ver texto). Se pone en rotación líquido y recipiente juntos. Ejercicio 5. (a) Alcanzado el equilibrio rotante. de modo que no circula agua debajo del cuerpo.3 Un recipiente cilíndrico de altura L y radio a contiene un líquido hasta la altura h0 < L.P. Estudiar la extensión del .2 Considere un cuerpo flotante en la superficie de un líquido en reposo. Considere un cuer- po completamente sumergido y rodeado por el líquido. (b) Examinar que ocurre con el cuerpo: ¿emerge o se queda en el fondo? ¿se contradice el principio de Arquímedes. 31. líquido: discutido por W. 565 (1963). 2 (equilibrio convectivo con humedad) y n = 1. completamente rodeado por un delgado estrato de agua de espesor δ = δ(θ). punto que define el radio xe % y la masa total qe . Ω correspondientes al planeta Tierra y calcule ∆.m . % Las variables principales son psi y q (presión y masa. rotante con velocidad angular.4 (equilibrio adiabático).01 fijo en todas las integraciones. % Para cambiar de estrella editar la primera línea. empleando la masa y el radio % del Sol. calcular también la temperatura.Ejercicios del capítulo 5 66 principio de Arquímedes para este caso.4. la cual supondremos en equilibrio politrópico con índice n.8 El siguiente archivo script ”esfpolit. forma esférica con radio R. de manera que en coordenadas esféricas r. dejar xspan(1)=0. % esfpolit. % Al final. temperatura y densidad. (b) Reemplazar valores numéricos de M . Ω.6667 . % datos de inicio. respectivamen- te. Examinar cualitativamente las fuerzas que actuan sobre la esfera y su punto de aplicación. (a) Determinar la forma de la superficie libre y obtener la diferencia de profundidad del agua ∆ entre el ecuador y el polo. respectivamente). % magnitudes derivadas son theta y eta. % valores iniciales % xspan: define el intervalo de integración. n = 5/3. R. a = 20. Tambien hay que dar n:el índice politrópico. siendo δ la altura para la cual p = 0 y suponiendo que δ/R ¿ 1 calcular ∆ la diferencia de alturas de atmósfera entre el ecuador y el polo. θ. y01=1-(a*b*x0^2)/6.m ” de Matlab calcula y grafica solu- ciones de la estructura interna de estrellas en equilibrio politrópico. en el centro . x0=0. y02=(a*x0^3)/3. y0=[y01. Discutir la condición de equilibrio para la esfera flotante. Ejercicio 5. Considere una esfera flotando en la superficie libre: es un cuerpo parcialmente sumergido. Ejercicio 5.5 La misma configuración de los precedentes ejercicios 5. b = 1.7 La misma configuración planetaria del ejercicio precedente. % Llama la función estrella. editar global ppaarr nu = 1/n. % parametros % desarrollo en el centro: necesario para evitar la singularidad de las EDOs en x=0.01. (b) Reemplazar valores numéricos correspondientes al planeta Tierra y discutir resultados para los casos n = 1. la presión y la densidad.m % Los datos iniciales son: a = 3× (densidad en el centro/densidad media del Sol) % y b = (energía potencial de una molécula en superficie del Sol)/((2/3) energía % térmica de una molécula en el centro). siendo δ/R ¿ 1. Comentar el resultado. ppaarr = [n a b]. la superficie libre está dada por la ecuación r = R + δ(θ). Ejercicio 5. % Todas las variables están en unidades astronómicas. % editar y modificar xspan(2) hasta obtener el primer cero de theta. ϕ. alrededor del eje z. de la estrella (en unidad del radio y la masa del Sol. (a) Obtener la forma de la atmósfera δ = δ(θ). y02]. respectivamente).script file para integrar esferas gaseosas politrópicas autogravitan- tes. Ejercicio 5.3 y 5.6 Sea un planeta con masa M . Discuta la condición de equilibrio para el cuerpo sumergido. pero en este caso no hay estrato líquido sino una atmósfera gaseosa. ^(1-nu)).’b-’).2. [1e-7 1e-7]). % theta % rutina de graficación subplot(2.^nu). ylabel(’q’). grid. .1e-7. F=y(1)^nu.Y4. xlabel(’x/R’).2). respectivamente) xspan=[0.Y3. grid.y0. ylabel(’\theta’). grid. a=ppaarr(2).Y2.yp2]. grid.01 1.1) plot(x..Y1. ’AbsTol’.2.’r-’). global ppaarr n=ppaarr(1). % colocar el siguiente archivo function ”estrella. ylabel(’\psi’).2.2) plot(x. % define la precision % para integrar las EDOs [x.options). \eta_0. .’y-’).1).’g-’).. b=ppaarr(3).m”en el camino de busqueda de Matlab % estrella. y). % q Y4=(Y1. options=odeset(’RelTol’.3) plot(x. xlabel(’x/R’). \psi_0. yp=[yp1.. % psi Y2=y(:. yp1=-y(2)*F*b/xq.y]=ode45(’estrella’. .. % integracion de la estrella Y1=y(:. xlabel(’x/R’).Ejercicios del capítulo 5 67 % (en grados Kelvin. . \Gamma =’. Atmósferas y gm/cm^3.. num2str(par)]). xq=x^2.m function yp=estrella(x.. subplot(2.2. xlabel(’x/R’). subplot(2.4) plot(x.. % opcional: editar figura y textos con los comandos de barra. % eta Y3=(Y1.. nu=1/n. subplot(2. ylabel(’\eta’). .0]. yp2=F*xq*a.m: ecuaciones diferenciales de esferas politropicas autogravitantes % se controla con el script file: esfpolit. title([’Estrella politropica. antes de imprimir.xspan.