GEOMETRIA DESCRITIVACRISTINA GRAFANASSI TRANJAN o centro de projeção (o) é um ponto próprio.a projetante (o)(A) é oblíqua a (α). isto é. a projeção de um ponto sobre um plano pode ser entendida como a interseção com este plano de uma reta que passa pelo ponto. 1.1. 2 Projeções Cilíndricas As projeções cilíndricas podem ser: Oblíquas . está a uma distância infinita do plano.1 Assim. está a uma distância finita do plano. ESTUDO DAS PROJEÇÕES Dados o plano (α) e um ponto fixo (o). . Cilíndricas . (o) (o) (A) (A) (B) (B) A (α) B A B (α) Projeções Cônicas Fig. chama-se de projeção do ponto (A) no plano (α) ao traço A produzido em (α) pela projetante (o)(A). (o) (A) ( α) (o) (A) plano de projeção centro de projeção ponto objetivo ou ponto no espaço (o)(A) projetante A projeção de A em (α) A (α) Fig. isto é. exterior a este plano e a uma distância finita dele.o centro de projeção (o) é um ponto impróprio.1 1 . Tipos de projeções: Cônicas . 1. se faz necessário conhecer as projeções do ponto em. se pelo contrário. pelo menos.plano vertical de projeção Fig. 4 .a projetante (o)(A) é ortogonal a (α). será insuficiente para determinar sua posição no espaço. a determinação de sua projeção sobre um plano é imediata e única.2 Ortogonais . dois planos de projeção.2. Sendo conhecida a posição de um ponto no espaço. for dada a projeção do ponto. Planos de projeção: (π ' ) 2 diedro o PVS o 1 diedro PHA (π) o 4 diedro LT PHP o 3 diedro PVI π . Para tal.plano horizontal de projeção π ' . Mas. é a reta de interseção entre os dois planos de projeção.3. 5 1. PVS=PHP PVI=PHA Fig. . que formam quatro regiões denominadas diedros. Coordenadas descritivas: Sinais das coordenadas: DIEDROS AFASTAMENTO COTA 1o + + 2o + 3o 4o + - Linha de chamada .PVS/PHP 3o diedro . A LT divide cada um dos planos em dois semi-planos.3 Linha de Terra (LT) . 1o diedro .PVI/PHA Épura .PHA/PVS 2o diedro . que contém as projeções de um mesmo ponto. em épura.PHP/PVI 4o diedro .é a linha perpendicular à LT.é a figura resultante do giro de um plano de projeção em torno da LT até coincidir com o outro. Posições que um ponto pode ocupar em relação aos planos de projeção.4. Está em um dos quatro diedros. 1.4.4 Coordenadas completas de um ponto: 1. .1. Pertence a um dos planos de projeção: 1. Pertence a π. 1. Está na L.2. .4.4.2. 1.1.4.3.T. . Pertence a π'.2.tem cota nula.4. tem afastamento nulo. .5 1.tem ambas as projeções nulas.2. 70. 45) PHA 1º D.Usando uma mesma LT para cada exercício. fazer a épura dos seguintes pontos. -20. 15. 35) ∈ PV (G)(140. -20. Exercícios: 1 – Assinale com um X. -70) (E)(60. 0. -70. -60. ?)∈LT (A)(20. -10) (D)(50. 30. -10) (E)(100. Ponto (x. y. 40) (C)(60. -30)∈PV (H)(130. a posição dos pontos abaixo dados por suas coordenadas. -20) (E)(70. ?. 25) (G)(110.6 1. -25. ?) ∈ PH (F)(120. no lugar correspondente. 40. 30) (C)(50. -20. 30) (H)(70. 27) (P)(-15. ?)∈PH (G)(110. -50) (M)(80. PHP 3º D. 30) (D)(-30. 20) (C)(30. -40. 0. -35) ∈ PV . -20. 0) (I)(40. e representá-los no espaço: (A)(-20. ?. ?)∈ PH (H)(160. 30. 20) (F)(90. ?. LT 2 . 0. 30.-70) (N)(0. z) (A)(20. 30. 0.5. 0) (L)(100. 30. 20. -10) (B)(40. 40. PVS 2º D. 40. -25) (F)(20. 10) (B)(40. -40. 30) (B)(10. PVI 4º D. -30. ?. 30. 0) (J)(80. -40. -25) (D)(80. -60) (O)(-50. T. 2.T. Traço vertical (V) .2.2.2. é onde a projeção vertical toca a L.7 2 . Pontos Notáveis (traços) da reta: São os pontos em que uma reta atravessa os planos de projeção. .É o ponto em que a reta atravessa o plano horizontal.1. Traço horizontal (H) . isto é. 2. é onde a projeção horizontal toca a L. Em épura. o ponto da reta que tem cota nula.2. o ponto da reta que tem afastamento nulo. isto é.1. Em épura. ESTUDO DA RETA As projeções de uma reta ficam definidas pelas projeções de dois de seus pontos.É o ponto em que a reta atravessa o plano vertical. 2. 2. Pertinência de ponto a reta Um ponto pertence a uma reta quando tem suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta. . logo.o ângulo â que a reta faz com π' aparece em VG na projeção horizontal.8 2.tem projeção horizontal em VG.todos os pontos da reta tem a mesma cota. Reta Horizontal .3. .não tem traço horizontal.É // a π e ∠ a π'. 2.3. Características: . tem projeção vertical paralela à LT. . RETAS PARTICULARES São as retas que ocupam uma posição particular no espaço: podem ser paralelas ou perpendiculares a um dos planos de projeção.1. . Reta fronto-horizontal .3. .tem projeção vertical em VG. .todos os pontos da reta tem o mesmo afastamento. Reta Frontal .não tem traço vertical. Características: . logo.3. .2.É // a π' e ∠ a π. . .o ângulo â que a reta faz com π aparece em VG na projeção vertical. . tem projeção horizontal paralela à LT.tem ambas as projeções paralelas à LT e em VG.não tem nenhum traço. Características: .3.todos os pontos tem cota e afastamento respectivamente iguais.É // a π e π'.9 2. 2. . .5. . Características: .3.tem abscissa constante. Características: .tem projeção vertical reduzida a um ponto. . . 2.É // a π e ⊥ a π'.não tem traço horizontal.tem projeção vertical perpendicular à LT e em VG.tem projeção horizontal reduzida a um ponto.tem abscissa constante.tem projeção horizontal perpendicular à LT e em VG.3. Reta de topo . . .É // a π' e ⊥ a π.não tem traço vertical. . .todos os pontos da reta tem a mesma cota. Reta vertical .10 2.todos os pontos da reta têm o mesmo afastamento.4. Uma reta que não ocupe posição especial no espaço chama-se reta qualquer.a VG da reta se dará na terceira projeção. 2. .tem abscissa constante. e a reta oblíqua aos dois planos. . 2.para determinar seus traços é preciso recorrer à terceira projeção.4. mas ortogonal à LT chama-se reta de perfil. Estudo do terceiro plano de projeção 2.1.4. .11 Existem ainda as retas oblíquas aos dois planos de projeção. Estudo da reta de perfil . Projeção lateral do ponto A terceira projeção de um ponto é representada no quadrante correspondente ao diedro onde ele está situado. ou projeção lateral.2.4. 3.4. 2. Terceira projeção da reta de perfil Para determinar a terceira projeção da reta de perfil. basta determinar a terceira projeção de dois de seus pontos. . Pontos notáveis da reta de perfil São determinados a partir de sua 3a projeção.4.12 2.4. -40) (S)(?. (C)(40. contida em π.?) 9 . no 1o diedro. 0) (B)(60. determinar os traços e dizer quais diedros atravessa a reta (A)(B). cujo suporte faz 45o D com π. ?. b . -20) (B)(80. (A)(30. do 1o diedro. horizontal. ?..30) (F)(100. -20. (A)(10..30) 3 .30.5. 40.-10) (B)(50. (A)(10.Traçar as projeções da reta (B)(C) que contém o ponto (A)(30.40) (B)(?.(E)(F) = 50 mm. ?) (R)(?. 40.(C)(D) = 30 mm. 8 .-30.?:?) c .-20.Traçar a épura.?) 6 . (E)(60. 10. Exercícios propostos: 1 .13 2. 30. 30) 2 .20. sabendo-se que (A) ∈ π' e y(B)=z(B).30) ∈ π'. 40) ∈ βi e (B) ∈ π. (M)(30.fronto-horizontal. 5 .?.20. (B)(-10.40.Construir as projeções da reta horizontal (A)(B) e determinar-lhe os traços. 50.20) (C)(50. -30) (M)(40. ?) (Q)(?.. ?) (N)(-10. ?.Dada a reta (A)(B).10). 7 .T.se que ( A) ∈ π e (B)(50. 15). (A)(20. 20) .20).10). traçar as épuras das seguintes retas: a . localizar os pontos abaixo: (A)(30.Traçar a épura do segmento horizontal (A)(B) = 60 mm. 15. abscissa (B)>(A).10.?.Traçar a épura da reta (A)(B) que passa pelo ponto (C)(20.10.20. sabendo . (A)(20.?) d .(A)(B) vertical. ?.Usando uma só L. ?) (P)(?. a reta está no 1o diedro. 60..?:?) 4 . de topo.Traçar a épura do segmento frontal (M)(N)=50 mm.Traçar a épura do segmento de perfil (A)(B) = 40 mm..10. passando por (P)(120. .2. Posições relativas de duas retas 2. quando tem um ponto em comum.6.1.6.2.6.1. Retas coplanares Quando pertencem a um mesmo plano.Retas concorrentes As projeções vertical e horizontal de um ponto comum (de concorrência) estão em uma mesma linha de chamada.14 2. e paralelas quando não tem pontos em comum. Quando não pertencem a um mesmo plano. 2. 2. Retas reversas ou não coplanares. podem ser concorrentes.6. vertical (r) ⊥ (π') .15 Obs: a) se α for ⊥ a um dos planos de projeção. Se o"∈ r" → são concorrente. as projeções horizontais ou verticais serão coincidentes. (α) ⊥ (π) (α) ⊥ (π') b) quando uma das retas for vertical ou de topo. (r) ⊥ (π) . se o"∉ r" → são reversas . uma de suas projeções será um ponto pertencente à projeção de mesmo nome da outra reta.topo c) Se uma das retas for de perfil é preciso recorrer à 3a projeção. logo tem a mesma abscissa.16 2.6. Obs: a) (α) ⊥ (π) (α) ⊥ (π') b) (r) e (s) ⊥ (π) (r) e (s) ⊥ (π') c) ambas as retas são de perfil 1o caso: estão em um mesmo plano de perfil.2. .2. Retas paralelas Duas retas são paralelas quando tem projeções de mesmo nome paralelas. 17 2o caso: As retas não estão no mesmo plano de perfil. podem ser ou paralelas ou reversas. logo não podem ser concorrentes. . 55) 10 . -30) (M)(-10. (A)(20.10. 20) (D)(?. 0. 60) (Q)(120.-20) (C)(95. 30. 0. ?) .-10) 2 .18 2.15.20. (A)(10. (B)(0. -30) (B)(50. 10) (B)(?. 0) 7 . 30) (B)(10. (A)(10. 30) (N)(60. 40) (G)(65. (M)(20. -20. 40.7.Traçar duas retas (A)(B) e (C)(D) concorrentes. ?.?. (M)(0. (A)(50.-20. 30. 10. (A)(10. 15.Por um ponto (A) traçar uma reta paralela à reta (B)(C) dada.-15. Pede-se traçar por (M) o segmento (M)(N) = 20 mm. -30) (D)(?.30) (D)(30. 60. 0) 9 . 30) (M)(10.30) (D)(35. 0) 5 . ?) (N)(40. (A)(-10. traçar pelo ponto (P) a reta paralela (P)(H). concorrente com as retas (M)(N) e (P)(Q).0) 3 . paralelas. 40.São dados uma reta de perfil (A)(B) e o ponto (M). 0. 20. -40) (P)(70. 10. determinar a projeção vertical do outro ponto.0. sabendo-se que pertence à reta de perfil (C)(D).30) (B)(95.Por um ponto (A)(20. 30. 20) (C)(50. 30) (B)(40.Sabendo-se que a reta (M)(N) tem projeções simétricas em relação à LT.-15) (B)(0.T.Traçar a épura de duas retas de perfil (A)(B) e (C)(D). (A)(25.. ?) (P)(90.0. 30. -30) a reta frontal (r) concorrente com a reta (A)(B). 50) (N)(10. 50) 6 . -10. 30.30) (C)(25. 45. 30) (H)(?. 20. Exercícios propostos: 1 .?:?) (C)(-10.-40) 4 . 50. 10. paralelo a (A)(B). ?) (C)(?.Construir a reta (R)(S) de projeções simétricas em relação à L. 30) (F)(-20.Conhecendo a projeção horizontal da reta (A)(B) e a projeção vertical de um de seus pontos. 0. 10.15.Pelo ponto (A) traçar duas concorrentes paralelas respectivamente às retas (F)(G) e (M)(N).20) traçar uma reta (A)(B) paralela à reta dada (C)(D). 15.-10. 35) 8 .Construir pelo ponto (P)(60.. 60. 30.