DOBLADO DE PAPEL EN EL PRIMER NIVEL DE RAZONAMIENTO DEL MODELO DIDÁCTICO DE VAN HIELE Y SU PROYECCIÓN HACIA LA FORMALIZACIÓN DEL PENSAMIENTOGEOMÉTRICO Carlos Cabezas Manríquez (*) Dpto. de Matemática Universidad Católica del Maule Talca Chile (*) Este trabajo está basado en investigaciones que el autor realizó en el marco del Proyecto FONDECYT N°1030122, en el cual participó como co investigador. RESUMEN Presentamos una secuencia de actividades que tienen como objetivo producir el tránsito de los estudiantes por las cinco fases de aprendizaje que les permitirán el logro de tipos de razonamiento propios del primer nivel de Van Hiele. La estrategia es el uso del doblado de papel para favorecer la visualización de elementos de geometría que, siendo abstractos, se hacen más “cercanos” a los estudiantes a través de la manipulación del papel. Las actividades propuestas tienen como objetivo el desarrollo de la intuición geométrica favoreciendo el paso del lenguaje informal al formal y la adquisición de elementos que les permitirán una mejor comprensión de los procesos formales de demostración. INTRODUCCIÓN En la aplicación del Modelo de Van Hiele, es fundamental realizar una adecuada selección de las actividades que se propondrán a los alumnos en el desarrollo de los primeros niveles, para que éstos tengan la posibilidad cierta de expresar aquello que el profesor está interesado en aprender de ellos. Sin embargo esta fase no pasaría de ser una buena “prueba de diagnóstico” y correría el riesgo de quedarse en una serie de actividades lúdicas, si las actividades propuestas no jugaran también un rol importante en el desarrollo futuro del proceso de aprendizaje de los alumnos. Afirmamos, por lo tanto, que una adecuada actividad para plantear en esta etapa, debe considerar también la posibilidad de usarse como material de apoyo e instancia de aprendizaje en el futuro desarrollo del razonamiento matemático en las etapas siguientes del modelo de Van Hiele dando, así, una unidad y continuidad al proceso. En la aplicación de una propuesta de “aprendizaje de las isometrías con la metodología de proyectos” y donde hemos usado el modelo de Van Hiele para la apropiación de los contenidos (Proyecto FONDECYT N°1030122), proponemos como una “adecuada actividad” para el primer nivel de razonamiento, el uso del doblado de papel y damos, como ejemplo, una actividad en la cual cada doblado es interpretable como un elemento que interviene en el estudio de las isometrías, así tal actividad puede seguirse presentando en cada nivel de razonamiento de Van Hiele, mostrando un proceso continuo desde el nivel de reconocimiento hasta el de rigor en el que se incluyen demostraciones con uso formal del lenguaje y razonamiento matemático. Este tránsito a través de los niveles permite que los estudiantes vayan construyendo significados asociados a los conceptos geométricos en juego por interacción con los conocimientos previos y produzcan así su incorporación a sus estructuras cognitivas. el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele es un excelente modelo de representación de los procesos de desarrollo del razonamiento de los estudiantes de matemática. Coincidimos con Adela Jaime Pastor (Tesis doctoral. Provee de un marco teórico adecuado para la investigación acerca del desarrollo del razonamiento geométrico que han alcanzado alumnos que se enfrentan a procesos de aprendizaje de elementos de geometría. se desarrolla una secuencia de actividades. es decir. en función de favorecer la adquisición de aprendizajes significativos por parte de los estudiantes.EL PROBLEMA En la aplicación del modelo de Van Hiele es importante la consideración de los conocimientos previos de los estudiantes y el grado de dominio de los tipos de razonamiento descritos por el modelo. se presenta el problema de la significación atribuida por los estudiantes a los conceptos geométricos presentes en la actividad desarrollada. damos un resumen del Modelo de Van Hiele enumerando a continuación los Niveles de Razonamiento y las Fases de Aprendizaje que constituyen el modelo. En el tránsito por las fases de aprendizaje dentro de un nivel de razonamiento. de modo que al término de este itinerario haya alcanzado una significación de éstos y un lenguaje que le permita la adquisición de un tipo superior de razonamiento. con sus respectivas descripciones. por otro. a través de la manipulación de una hoja rectangular de papel. los distintos niveles representan distintas formas de razonamiento que permiten establecer etapas en la maduración matemática durante el proceso de aprendizaje geométrico y valorar el progreso de los estudiantes. en las que los estudiantes pueden construir significados asociados a los conceptos geométricos que aparecen en estas actividades. así como muestra un itinerario a seguir. Universidad de Valencia 1993) en el sentido de que el modelo de Van Hiele abarca un aspecto descriptivo y uno instructivo. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco “niveles de razonamiento”. Una actividad propia del Nivel 1 de Van Hiele es la manipulación de materiales concretos a través de juegos que representen situaciones que puedan ser matematizables de modo que. Mostramos una situación en la cual. cada uno de los cuales se alcanza tras haber recorrido cinco fases llamadas “de aprendizaje”. MODELO DE VAN HIELE Por razones de completitud en la presentación de este trabajo. es decir el paso de un nivel a otro no implica el abandono de un tipo de razonamiento sino el dominio de éste para el mejor desarrollo y uso del tipo de razonamiento propio del nivel superior y. para ir alcanzando progresivamente niveles superiores de razonamiento. Vemos por ejemplo en la enseñanza básica que los niños dependen fuertemente de objetos concretos para comprender ciertos conceptos en geometría mientras que los alumnos de enseñanza media ya comprenden algunos razonamientos formales y poseen un vocabulario . estas formas de razonamiento son complementarias y acumulativas en este proceso. esto permitirá una adecuada aplicación del mismo. a través del paso por las distintas fases de aprendizaje propias de este nivel de razonamiento. las distintas fases de aprendizaje se constituyen en pautas a seguir por los profesores para favorecer el avance de los estudiantes en los respectivos niveles de razonamiento. MARCO TEÓRICO De acuerdo a numerosas investigaciones. los estudiantes puedan ir construyendo significados de los conceptos objeto de estudio y desarrollando nuevos tipos de análisis que les permitan el paso a niveles de razonamiento superiores. Los niveles de razonamiento están presentes en forma evidente en los distintos niveles educativos. Los estudiantes perciben las figuras geométricas en su totalidad. Pueden describir. 3... diferenciaciones o clasificaciones de figuras que realizan se basan en semejanzas o diferencias físicas globales entre ellas. sin embargo. Describen de manera informal las figuras por sus propiedades pero no necesariamente relacionan unas propiedades con otras o unas figuras con otras.. el cual sí es exigible para estudiantes de educación superior.” NIVEL 2: DE ANÁLISIS 1. Los estudiantes describen las figuras de manera formal. los reconocimientos. Se limitan a describir el aspecto físico de las figuras. En muchos casos las descripciones de las figuras están basadas en su semejanza con otros objetos. NIVEL 1: DE RECONOCIMIENTO 1. 4. no necesariamente geométricos. ya que aún no comprenden la necesidad de su encadenamiento lógico ni la estructura de una demostración. Perciben las figuras como objetos individuales. 2. pudiendo incluir atributos irrelevantes en la descripción que hacen. Realizan clasificaciones de manera formal ya que el nivel de su razonamiento matemático ya está iniciado. .. En los últimos cursos de la enseñanza media y en los niveles universitarios los estudiantes comprenden la necesidad de la demostración y del razonamiento lógico. de manera global. difícilmente los alumnos logran alcanzar el nivel 4. 2. es decir que no son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase. 3. que conocen. 4. como unidades. “tiene forma de. 3. Comprenden el papel de la definición y los requisitos parra una definición correcta. es decir. Suelen usar frase como “se parece a. 2. de acuerdo a numerosas investigaciones. Los estudiantes empiezan a hacer generalizaciones a partir de la experimentación NIVEL 3: DE CLASIFICACIÓN 1. Los estudiantes comprenden los sucesivos pasos de una demostración pero los ven en forma aislada. Pueden entender una demostración realizada por el profesor o explicada en un libro pero no son capaces de realizarla por sí mismos. Los niveles de razonamiento en el modelo de Van Hiele son cinco. entendiendo. de deducción formal. las propiedades de las partes que forman una figura.más formal. Los estudiantes perciben que las figuras geométricas están formadas por partes o componentes que tienen ciertas propiedades matemáticas. señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto significa que reconocen cómo unas propiedades derivan de otras . Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades. que en la enseñanza media.”. realizando demostraciones y comprendiendo la estructura de las teorías matemáticas. estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones. El nivel 5 llamado por Van Hiele “de Rigor Matemático” es el propio de un matemático profesional por lo que damos las características de los cuatro primeros niveles de razonamiento. informalmente. que tipo de problemas se van a plantear. La labor del profesor en esta fase es la de acompañamiento para orientar una discusión y exposición ordenada de las ideas. que materiales se van a utilizar. etc. creando primero los vértices de la red y después las conexiones entre ellos. etc. comprendiendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas. 3. propiedades. formas de enfrentar los problemas. comprendan. Por una parte el profesor debe informar a los estudiantes sobre el campo de estudio en el que van a trabajar. si son escogidas cuidadosamente. 2. que los estudiantes adquieran de manera comprensiva los conocimientos básicos necesarios (nuevos conceptos. Por otro lado es también una fase de información para el profesor pues éste debe obtener el máximo de información acerca de los conocimientos previos de los estudiantes sobre el tema que se abordará y el nivel de razonamiento que han desarrollado en su experiencia anterior. Comprenden que se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas lo que les permite entender que se puedan realizar distintas forma de demostraciones para obtener un mismo resultado.. experiencias. Reconocen la demostración como única forma de verificación de una afirmación. permitir que los estudiantes completen sus . todo ello en un ambiente de diálogo en el grupo. observación de regularidades. A lo largo de estas fases. Loa estudiantes comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y comprenden la estructura axiomática de la matemática. De acuerdo a Van Hiele “las actividades. relaciones. vocabulario. propiedades. el profesor debe procurar que sus alumnos construyan la red mental de relaciones del nivel de razonamiento al que deben acceder.. es necesario conseguir. Es decir. Las fases de aprendizaje en el modelo de Van Hiele son las siguientes: FASE 1: INFORMACIÓN Está fase es un tiempo de toma de contacto con los estudiantes. apliquen. que se deben estudiar para que los estudiantes descubran. FASE 2: ORIENTACIÓN DIRIGIDA Los estudiantes comienzan a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que les ha sido proporcionado. forman la base adecuada del pensamiento del nivel superior” FASE 3: DE EXPLICITACIÓN Es una fase de interacción entre estudiantes con el fin de compartir sus resultados. etc.NIVEL 4: DE DEDUCCIÓN FORMAL 1. las ideas. En este nivel los estudiantes ya se realizan deducciones y demostraciones formales. Es interesante que surjan puntos de vista divergentes pues la oportunidad de defenderlos hará que los estudiantes analicen con cuidado sus ideas o la de sus compañeros. para después centrar su actividad en aprender a utilizarlos y combinarlos. etc. propiedades. Aquí será importante plantear actividades concretas bien secuenciadas y convenientemente dirigidas hacia los conceptos. asimilen. conceptos. en primer lugar. que serán motivo de su aprendizaje en el nivel correspondiente.) con los que tendrán que trabajar. FASES DE APRENDIZAJE Las fases de aprendizaje son etapas en la graduación y organización de las actividades que debe realizar un estudiante para adquirir las experiencias que le lleven al nivel superior de razonamiento. si los estudiantes ya conocen estos elementos tendrán la oportunidad de practicarlos. tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario. usamos un lenguaje coloquial e informal para que los estudiantes tengan la confianza de plantear las ideas que les surjan y el profesor pueda apreciar los niveles de conocimiento de los estudiantes respecto de los conceptos en juego y del grado de formalismo que han desarrollado o puedan manifestar espontáneamente. De cualquier modo las respuestas a las preguntas de los estudiantes acerca de . Se pide a los alumnos buscar relaciones entre los elementos y comprobar que el triángulo construido tiene los tres lados iguales. Definir elementos básicos en el estudio de las transformaciones isométricas. Ubicación en la escala de Van Hiele: Nivel 1. Introducir de manera informal el concepto de congruencia y de reflexión. Relacionar estos elementos y construir un triángulo equilátero. Instrucciones para el trabajo: como una forma de introducir desde el comienzo. Situación: Mediante dobleces en una hoja de papel rectangular. en esta fase. para que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan tener varias respuestas válidas conforme a la interpretación del enunciado. facilitar el necesario cambio de registros por los cuales deberán transitar los estudiantes en la medida que recorran las fases de aprendizaje y logren alcanzar los distintos niveles de razonamiento. FASE 5: INTEGRACIÓN La primera idea importante es que. Se trata de crear una red interna de conocimientos aprendidos más amplia que sustituya a la que ya poseía produciendo el paso a otro nivel de razonamiento. En esta fase no es aconsejable introducir nuevos conceptos. DESARROLLO En la realización de actividades de manipulación de materiales concretos. Esta idea les obliga a una mayor necesidad de justificar sus respuestas utilizando un razonamiento y lenguaje cada vez más potente. elementos que servirán en la futura formalización del lenguaje y. no se trabajan contenidos nuevos sino que sólo se sintetizan los ya trabajados. propios del primer nivel de Van Hiele. elegimos dar las indicaciones verbales usando ya los nombres formales que describen ciertos objetos o conceptos geométricos. Objetivo: Visualizar elementos de geometría a través de dobleces en una hoja de papel. lo ideal son problemas abiertos. Comprobar la igualdad de los lados del triángulo como una orientación hacia el proceso de demostración. en caso que los alumnos no lo sepan surgirán preguntas acerca de estos elementos. FASE 4: ORIENTACIÓN LIBRE Aparecen actividades más complejas fundamentalmente referidas a aplicar lo anteriormente adquirido. se visualizan elementos básicos de geometría mediante los cuales se construye un triángulo equilátero. Se introducen informalmente elementos de transformaciones por reflexión. Estas actividades deberán ser lo suficientemente abiertas.aprendizajes acerca del nuevo vocabulario. Dobla el papel de modo que el punto D coincida con el punto A y el punto C coincida con el punto B. Tres situaciones se pueden presentar. Copia las figuras en la otra mitad de la hoja. el primero. orientando su definición formal en las fases siguientes hasta alcanzar el nivel de razonamiento correspondiente.definiciones serán en un lenguaje informal en la primera fase. Se les entrega una hoja de papel rectangular y una ficha de trabajo que contiene el dibujo de los dobleces y las instrucciones a seguir: En una hoja rectangular traza o marca la mediatriz de los lados menores del rectángulo. en este caso. Traza ahora la mediatriz de los lados menores de uno de los rectángulos que se formaron en la actividad anterior y rotula los puntos como muestra la figura. Llama I y J a los puntos producidos en el último doblez. Éstas se representan en las figuras siguientes: . Actividad 1. Llama a este punto P. Haz un doblez que pase por el punto F de manera que el punto D coincida con un punto de la última mediatriz trazada. sus conjeturas. En esta actividad se pide a los estudiantes que establezcan relaciones entre los elementos geométricos que han aparecido en la actividad anterior. Anótalas en tu cuaderno. 6. Acompañará a los estudiantes en sus procesos de discusión de resultados y orientará hacia la formalización. Una estrategia es la de dejar a los alumnos usar su propio lenguaje para después entrar en una etapa en que se precise su significado y se definan mejor los conceptos. ¿Qué puedes decir del segmento IJ? 5. 2. Haz una lista de todos los segmentos marcados en la hoja de papel y busca relaciones entre ellos. ¿Qué puedes decir de los triángulos ∆FCP y ∆EBQ? Actividad 3. ¿Qué figuras geométricas se produjeron con los dobleces? Busca relaciones entre ellas. 3. Esta actividad se identifica con la fase 3 del modelo de Van Hiele y tiene como objetivo que los estudiantes interactúen entre ellos en un ambiente de diálogo. su lenguaje y las descripciones que hagan de los objetos. Escribe todas las propiedades del triángulo ∆FCP que puedas encontrar. identifiquen figuras geométricas y observen sus propiedades. ¿Cómo puedes comprobar estas propiedades? 7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? ¿Qué propiedades tienen? 4. busquen regularidades.Marca ahora los segmentos FP y CP Actividad 2. 1. El profesor deberá estar atento a las observaciones de los estudiantes. La instrucción para esta fase es muy simple y directa: . conjeturas y resultados con los compañeros de tu grupo. otras observaciones que se pueden hacer.Comenta y discute tus observaciones. Ficha de trabajo: Integración de conocimientos 1. Actividad 4. Después de haber compartido con sus compañeros los estudiantes se habrán dado cuenta que hay otros puntos de vista que se pueden considerar. Afirmaciones: Escribe tus afirmaciones e intenta justificarlas. ¿Por qué son paralelas? Punto medio Da un ejemplo ¿De quién es . ¿Por qué son perpendiculares? Rectas paralelas Da un ejemplo encontrado en la hoja de dobleces. Conceptos Segmento Ejemplos Da un ejemplo encontrado en la hoja de dobleces. Las actividades realizadas han producido un ambiente de curiosidad de los estudiantes. otro lenguaje que se puede utilizar para expresar sus ideas. Esta actividad tiene como objetivo ordenar los aspectos mencionados de modo que cada estudiante forme con los conceptos nuevos una red interna de conocimientos más amplia que la que ya posee y logre el paso al siguiente nivel de razonamiento. Observaciones: Has una descripción de las observaciones que has realizado. Razón ¿Por qué es un segmento? Descripción Escribe algunas características del elemento que señalaste que te permiten afirmar que es un segmento. donde aparecen elementos geométricos que se relacionan entre sí de ciertas maneras formando figuras que tienen ciertas propiedades. Del compartir las observaciones con los compañeros han surgido nuevas formas de observación así como la necesidad de justificar las afirmaciones. Escribe algunas características de los segmentos o rectas señaladas en tu ejemplo que te permiten decir que son paralelas. otras justificaciones que se pueden dar para sus afirmaciones. etc. Actividad 5. Sin embargo han quedado necesariamente algunos aspectos sueltos. Escribe algunas Rectas Da un ejemplo perpendiculares encontrado en la hoja de dobleces. en efecto unos cuantos dobleces han transformado la hoja de papel en un mundo nuevo. La instrucción es la siguiente: Después de haberse enriquecido mutuamente en la exposición y discusión de ideas escriban en sus cuadernos sus aportes al conocimiento de los contenidos en los que hemos incursionado. Ordénalos de la siguiente manera: 1. algunos conceptos que necesitan ser mejor trabajados. 2. Escribe algunas características de los segmentos o rectas señaladas en tu ejemplo que te permiten decir que son perpendiculares. elementos que deben ser definidos. El uso del origami (doblado de papel) en las actividades de aprendizaje correspondientes al primer nivel. como son segmento. encontrado en la hoja de dobleces Ficha de trabajo: integración de conocimientos 2 En la columna del frente. Señala un ejemplo que ¿De quién es Escribe algunas encuentres en la hoja mediatriz? ¿Por características del elemento donde hiciste los qué? señalado en tu ejemplo que dobleces. las posiciones relativas de los segmentos como son la perpendicularidad y el paralelismo se hacen visibles y cercanos a los estudiantes y su manipulación les favorece el desarrollo de procesos contructivistas que . en principio abstractos. ¿Qué puedes decir del triángulo ∆EBQ? ¿Por qué? RESULTADOS Aplicado el modelo de Van Hiele al aprendizaje de las isometrías en cursos de primer año medio de tres Liceos de la zona urbana de la ciudad de Talca. En efecto todos los alumnos transitan exitosamente por las fases de aprendizaje en el primer nivel de Van Hiele. escribe todo lo que has observado en el triángulo ∆FCP. los resultados obtenidos dan cuenta de un avance sustantivo de los estudiantes en los niveles de razonamiento respecto de aquellos presentados al inicio de la investigación. Los elementos de geometría.Ángulo Mediatriz Triángulo Eje de simetría punto medio? ¿Por características del elemento qué? señalado en tu ejemplo que te permiten decir que el punto elegido es su punto medio. eje de simetría y. te permiten decir que se trata de un eje de simetría. Da un ejemplo ¿Por qué es un Señala las características encontrado en la hoja triángulo? observadas en la figura que de dobleces te permiten decir que se trata de un triángulo Da un ejemplo ¿Por qué es un eje Señala las características encontrado en la hoja de simetría? observadas en la figura que de dobleces. escribe los pasos que te permitan comprobar que el triángulo ∆FCP tiene los tres lados iguales. Da un ejemplo ¿Por qué es un Señala las características encontrado en la hoja ángulo? observadas en la figura que de dobleces. En la columna del frente. te permiten decir que es una mediatriz. recta. te permiten decir que se trata de un ángulo. se presenta muy favorable para producir un ambiente en que los estudiantes intercambian ideas que favorecen la significación de los conceptos. mediatriz. favorecen la producción de un ambiente distendido donde los estudiantes se atreven a compartir sus ideas y observaciones acerca de los elementos en estudio. También esta estrategia les entrega elementos de razonamiento que favorecen el desarrollo de la intuición. permitiendo un paso natural del lenguaje informal al lenguaje formal. acompañado de actividades adecuadas y bien planificadas. El modelo de Van Hiele es un modelo poco conocido y aplicado en Chile. El uso del origami en el primer nivel de Van Hiele. HP es la mediatriz de FC por construcción 5. puede producir aprendizajes de alto nivel en geometría. FP ≈ CP por paso 3 6. La demostración formal inducida por esta superposición de lados es la siguiente: 1. favorece la comprensión de las características de los elementos geométricos en juego y sus relaciones. Este último hecho también se deduce intuitivamente del experimento de los estudiantes de doblar el papel marcando la mediatriz de un segmento. que más tarde usarán para encontrar caminos formales de demostración. Nuestra investigación nos permite afirmar que es un modelo aplicable en la enseñanza-aprendizaje de la geometría de nuestros jóvenes y que. favorece el desarrollo de la conceptualización y la formación de redes internas de conocimientos. La estrategia de presentar actividades basadas en el doblado de . favorece la matematización de situaciones reales. sin embargo con una gran producción en investigación en países extranjeros y aplicación con excelentes resultados. FC ≈ FP ≈ CP por 3 y 5. El uso del origami en el primer nivel de Van Hiele. favorece en los estudiantes el desarrollo de la intuición y provee de elementos de juicio para el desarrollo del proceso de demostración. El origami como estrategia de exploración de elementos geométricos en el primer nivel de Van Hiele. En esta demostración se ha usado como base la idea de superposición de los lados del triángulo y la propiedad del concepto nuevo de mediatriz de tener sus puntos equidistantes de los extremos del segmento. CONCLUSIONES Y PROYECCIONES El uso de origami en las actividades del primer nivel de Van Hiele. en todos los niveles del sistema educativo. El uso de origami en el primer nivel de Van Hiele.más tarde formalizarán. DF ≈ FC Por construcción 2. DF ≈ FP Por construcción 3. FC ≈ FP dos segmentos congruentes a un tercero 4. A continuación mostramos un ejemplo de demostración formal que ha sido basada en los pasos de una comprobación informal del hecho que el triángulo ∆FCP es equilátero: La primera aproximación que los estudiantes han efectuado de una “demostración” de este hecho está basada en la superposición de los lados del triángulo ∆FCP. (1989): Simetría dinámica Editorial Síntesis. Editorial Síntesis S.E. R. A... Addison-Wesley Iberoamericana. GUTIÉRREZ A.M. Revista Investigación y didáctica de las matemáticas.P. pp. & CLEMENS. MEC. JAIME A. Dinamarca. Fourier: Grenoble. (1977). 131-137. Madrid España. C. GRENIER.. Ernest (Ed. J. A. FORTUNY. Cognitive processes in Mathematics (pp. ROGERS (Eds. HOFFER. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. (1992). SLOBODA & D. USA: Univ.Learning to Think Mathematically: Problem solving. 169-203). A. P. and Sense. 13). SCHOENFELD.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning. PÉREZ. Tesis Doctoral. España. K. G. A. GIMÉNEZ. 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