Poly Suites Series Fonct

Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Ann´ ee universitaire : 2010/2011 Suites et s´ eries de fonctions Abdesselam BOUARICH Deuxième version : 15/06/2011 A. Bouarich 2 A. Bouarich Suites et séries de fonctions Table des mati` eres 1 Les s´ eries num´ eriques 5 1.1 Propriétés des séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Séries ` a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Comparaison d’une série avec une intégrale simple généralisée . . . . . 12 1.3.3 Règles de Cauchy et de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1 Le théorème de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Le théorème d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 2 Suites de fonctions 29 2.1 Convergence simple d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Théorème de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Théorème de l’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.3 Théorème de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Les s´ eries de fonctions 45 3.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 49 4 Les s´ eries enti` eres 4.1 58 Propriétés du domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 . . . . . . . . . . . .3 Théorème de la convergence quadratique . .1 Convergence des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 89 Problème de convergence des séries de Fourier . . . . . .3 Formule de Hadamard . . . . . . . 83 5 Les s´ eries de Fourier 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . 87 Série de Fourier associée ` a une fonction périodique . . . . . . . . . 88 5.4. . . . . ´ Equations différentielles linéaires et les séries entières . . . . . 86 5. . . . . . 88 5. . . .2 Cas d’une équation différntielle singulière . . . .2 4. . . .1. . . . 62 4.3. . 71 4. . . . . . .3. . . . .3. . . . . . . . . . . 80 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Coefficients de Fourier d’une série trigonométrique . 74 4. 71 4. . . . . .2 Exemples classiques de séries de Fourier . . . . . . .1 5. . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . .1 Définition et propriétés . . . . . . 95 5. .3 4.1.2 Exemples de fonctions développables en série entière . . . . . . . . .1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Séries trigonométriques 80 86 . 94 5. . . . . . . . . .1 Coefficients de Fourier d’une fonction périodique . . . . . . .4 Opérations sur les séries entières . . . . . . . .3.2 5.1 Cas d’une équation différentielle régulière . . . . . . . . . .1. . . .2. . . . 101 . . . 68 Fonctions d’une variable réelle développables en série entière . . . . .1. . . . . . .2 Théorème de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5. . . . . . . . .2. 86 5. . . . . . . .2. . . . . . . . . Sn ) converge (resp. Utiliser le fait que le reste d’ordre n > 0. Si la suite des sommes partielles {Sn /n ∈ N} converge (resp. Si la série numérique (un . Sn ) s’appelle série numérique de terme général un . tend vers zéro. qui s’appelle reste d’ordre n ∈ N de la série numérique (un . Pour que la série numérique de terme général un converge il faut et il suffit X que la suite des restes qui lui est associée. p>n+1 ∀n ∈ N. Proposition 1. Soit {un /n ∈ N} une suite de nombres réels ou complexes.1 Propri´ et´ es des s´ eries num´ eriques D´ efinition 1. C) on dira que la série numérique (un . on donnera quelques conditions nécessaires a` la convergence d’une série numérique qui seront tirées ` a partir des résultats classiques des suites numériques convergentes. diverge) et on note : X un := lim Sn n>0 n→+∞ 3. Sn ). on va désigner une série numérique de terme général X un par la somme un = u0 + u1 + · · · + un + · · ·. A. Bouarich Suites et séries de fonctions . Rn = up . p>n+1 Démonstration. De même.Chapitre Premier Les s´ eries num´ eriques 1. Sn ) converge vers S ∈ R (resp. S ∈ C) on lui associe la suite numérique dont le terme général Rn := S − Sn = X up . Dans la suite. Rn = S − Sn . Sn ) sera désignée que par son terme général un . Pour tout entier n > 0 on définit la somme partielle des (n+1)-premiers termes de la suite un par l’expression : Sn := u0 + u1 + · · · + un 1. 2. diverge) dans R (resp. Le couple (un . s’il n’y a aucune confusion ` a craindre la série numérique (un . n>0 Ci-dessous. remarquer que pour tout couple d’entiers n > m la différence Sn − Sm−1 = um + um+1 + · · · + un . Une série numérique dont le terme général est positif un > 0 converge si et p=n X seulement. la série de terme général un = 1 converge et sa n(n + 1) somme est égale ` a: X n>1 A. 1 1 1 1 1 1 1 Sn = u1 + · · · + un = ( − ) + ( − ) + · · · + ( − ) =1− . p=0 Démonstration. 1 2 2 3 n n+1 n+1 converge vers 1. Si une série de terme général un converge alors lim un = 0. λun + µvn . converge.6 Les séries numériques Proposition 2. Remarquer que si la suite des sommes partielles Sn = p=n X up est de Cauchy.3 3. 1) Cherchons la nature de convergence de la série de terme général un = 1 . Par conséquent. Utiliser le fait que la série numérique X un converge si et seulement. Corollaire 1. n→+∞ Démonstration. Si les séries numériques X un et n>0 X vn convergent alors pour tous les réels n>0 λ et µ la série de terme général. Remarquer que la condition un > 0 implique que la suite des sommes parp=n X tielles Sn = up est croissante parce que Sn+1 − Sn = un+1 > 0. Ensuite. Bouarich un = 1 1 1 1 + + ··· + + ··· = 1 2 2. n(n + 1) ∀n > 1 Observons que puisque pour tout entier n > 1 le terme général un = 1 1 1 = − n(n + 1) n n+1 on en déduit que la somme partielle des n-premiers termes.4 n(n + 1) Suites et séries de fonctions . Pour que la série numérique de terme général un converge il faut et il suffit que pour tout réel ε > 0 il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers n > m > n0 . p=0 donc pour tout réel ε > 0 il existe un entier n0 > 1 tel que pour tout entier n ∈ N on aura l’inégalité | Sn − Sn−1 |=| un |< ε qui implique lim un = 0. si la suite des sommes partielles Sn = up est majorée. Ensuite. Démonstration. appliquer le fait p=0 qu’une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée. Proposition 4. n→+∞ Proposition 3. Exemple 1. | um + um+1 + · · · + un |< ε. si la n>0 suite des sommes partielles Sn est une suite de Cauchy. Arctg et Arctg . Arctg . la condition lim un = 0 est nécessaire pour la converge d’une série numérique mais n→+∞ n’est pas suffisante. 2 2 2 n + 2nCh(a) + (Sh(a))2 n + 2n cos(θ) − sin (θ) n>0 n>0 1 1 2n + 1 3. Soient a et b deux nombres complexes fixés tels que a + b − 1 6= 0. Soit p > 2 un entier naturel fixé. Bouarich Suites et séries de fonctions . un (p) = k=1 3) En déduire que la série de terme général un (p) converge et calculer sa somme. Exercice 3.Propriétés des séries numériques 7 Notons aussi que le reste d’ordre n > 1 de la série X n>1 Rn = 1 − S n = 1 est égal ` a n(n + 1) 1 n+1 X1 1 s’appelle : série harmonique. On considère la suite numérique Un dont l’expression est définie par la relation récurrente : ∀n > 2. La série harmonique n n p=n X up on voit que pour tout entier n > 1 on a l’inégalité diverge parce que si on pose Sn = 2) La série de terme général un = p=1 S2n − Sn = 1 1 1 1 1 + ··· + > + ··· + = n+1 2n 2n 2n 2 qui implique que la suite des sommes partielles Sn n’est pas de Cauchy. Un+2 = aUn+1 + bUn et o` u U0 et U1 sont des nombres complexes donnés. 1 + n + n2 2n2 1 + n2 (1 + n)2 Indication : Regarder le terme général un comme étant une fraction rationnelle de n et décomposer le en éléments simples . Exercice 2. Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leurs sommes respectives : X X 1 1 1. et . n(n + 1)(n + 2) n3 − n n>1 n>2 X X 1 1 et . montrer que la somme p k=n X 1 1 partielle uk (p) = − un+1 (p − 1) . puis calculer la somme partielle des premiers termes. n n n>1 Donc. 1) Vérifier que la somme partielle des (n + 1)-premiers termes de la suite Un est donnée par l’expression : (1 − a)U0 + U1 − bUn − Un+1 Sn = 1−a−b A. Pour tout entier n ∈ N∗ on pose un (p) = 1 n(n + 1) · · · (n + p) 1 un (p − 1) − un+1 (p − 1) . 2. p p! 1) En vérifiant la relation. Notons que la série harmonique Exercice 1. X1 1 diverge malgré que son terme général tend vers zéro. 2 X nun et p=n−1 X p=1 X Rp − nRn .8 Les séries numériques 2) En déduire que la série X Un converge si et seulement si la suite récurente Un converge n>0 vers zéro. si | q |> 1 a lim Sn = n→+∞ . (3n − 8)(3n − 2)(3n + 4) 2n − 1 n(n2 − 4) X Exercice 5. S´ eries g´ eom´ etriques D´ efinition 2. La série de terme général ∀n > 0. 1) Montrer que si la limite lim f (x) = 0 alors la série de terme général un converge. en passant ` a la limite dans l’expression de la suite Sn on déduit que   diverge . Soit un > 0 une suite décroissante dont la série associée un converge.1) D’o` u la proposition : A. si | q |< 1. 2) En déduire que la série de terme général wn = n(un − un+1 ) converge.  1−q (1. x→+∞ 2) Application : Calculer la somme des séries numériques suivantes : 8 . Rn possèdent la même nature de convergence. 3) Application : Calculer la somme de la série X Un quand le terme général Un est défini n>0 par la relation récurente Un+2 = Un+1 + Un avec U0 et U1 ∈ C. p>n+1 i) Vérifier que la somme partielle p=n X pup = p=1 ii) En déduire que les deux séries 1. Soient a. si q = 1 Sn = a 1 + q + q 2 + · · · + q n = q n+1 − 1  a si q 6= 1. n(n2 n>0 1) En utilisant la différence des sommes partielles S2n et Sn . un = aq n s’appelle série géométrique de raison q. q−1 Ainsi. Etant donnée une + fonction f : R → R on définit une suite numérique par l’expression. ´ Exercice 4. un = af (n) + bf (n + 2) + cf (n + 4) ∀n > 0. b et c des nombres réels tels que a + b + c = 0. montrer que la suite vn = nun tend vers zéro. X X 3) On rappelle que le reste d’ordre n > 1 de la série un est définie par Rn = up . − 4) 6n − 1 . Par récurrence on vérifie que la somme partielle des (n + 1)-premiers termes d’une série géométrique de terme général un = aq n est égale ` a:   a(n + 1). Soient a et q deux nombres complexes non nuls. Bouarich Suites et séries de fonctions . Si le module | q |< 1 alors la somme et le reste de la série géométrique un = aq n sont données respectivement par. S´ eries ` a termes positifs Dans cette section. 1. p=0 p=0 Suites et séries de fonctions . converge si et seulement si le module | q |< 1. 6 5n+1 ∀n > 0 1 3 X 1 converge vers = n 3 2 n>0 3n −1 n 5 X −1 n ( ) avec un ) converge vers = 5 6 n>0 5 Exercice 6. 1) La série géométrique de terme général un = avec un reste d’ordre n égal ` a Rn = 3 1 . n>0 2. n>0 Démonstration. X aq n = n>0 a 1−q Rn = resp. un = aq n . S’il existe un réel A > 0 et un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . 1−q Exemple 2. Si la série vn converge alors la série un converge. Corollaire 2. Soient un > 0 et vn > 0 les termes généraux de deux séries. Montrer que pour tout réel 0 < q < 1 les trois séries suivantes convergent et calculer leurs sommes respectives X n>1 1.3. Bouarich p=n X vp p=n0 p=0 p=n 0 −1 p=n X X up 6 A vp − vp . X n2 q n X n(n + 1) et n>1 2 n>1 qn. aq n+1 . Une série géométrique de terme général. on se ropose de décrire quelques méthodes et règles pratiques qui permettent de décider sur la nature de convergence des séries numériques dont le terme général est positif. Si la série X n>0 n>0 X un diverge alors la série vn diverge. 1) Observer que pour tout entier n > n0 on a l’inégalité suivante p=n X up 6 A up − p=n 0 −1 X 06 p=n0 qui est équivalente ` a l’inégalité 0 6 p=n X p=0 A.3 nq n . alors les propositions suivantes sont vraies : X X 1.Séries ` a termes positifs 9 Proposition 5.1 Crit` eres de comparaison Th´ eor` eme 1 (Premier critère de comparaison). un 6 Avn . 2 3n+1 2) La série géométrique de terme général vn = ( reste d’ordre n égal ` a Rn = 5 (−1)n+1 . tend vers p=0 +∞) il en résulte que la suite des sommes partielles p=n X vp diverge aussi. un+1 vn+1 6 un vn alors les propositions suivantes sont vraies : X X 1.10 Les séries numériques Ainsi. Bouarich Suites et séries de fonctions . Cherchons la nature de convergence des séries suivantes xn = n n3 + n2 + n + 1 et yn = n n2 + 1 1) Notons que puisque pour tout entier n > 1 on peut écrire 0 < xn 6 on en déduit que la série n 1 = n3 + n2 n(n + 1) X xn converge parce que dans l’exemple 1 nous avons démontré n>0 1 que la série converge. puisque pour tout entier n > 0 on a. X X 2. si on suppose que la suite des sommes partielles p=n X vp converge il s’ensuit que la suite p=0 des sommes partielles p=n X up est majorée. p=0 Exemple 3.e. n(n + 1) n>1 X 2) De même. et donc d’après la proposition 3 la série p=0 converge. A. X un n>0 2) De même. S’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . 1 6 yn n+1 il s’ensuit que la série X yn diverge parce que la série harmonique n>0 X n>0 1 diverge. Observer que si pour tous les entiers n0 6 m 6 n on fait le produit des um+1 vm+1 inégalités 6 membre ` a membre on obtient l’inégalité suivante um vm un+1 vn+1 6 un0 vn0 =⇒ un+1 6 un0 vn+1 vn0 qui permet d’établir les deux assertions du théorème en appliquant le résultat du théorème précédent. Si la série un diverge alors la série vn diverge. Si la série vn converge alors la série un converge. Soit un > 0 et vn > 0 les termes génraux de deux séries. si on suppose que la suite des sommes partielles p=n X up diverge (i. Démonstration. n+1 Th´ eor` eme 2 (Second critère de comparaison). n! 1) Montrer par récurrence que pour tout entier n > 1. 2n−1 6 n!.5. Cherchons la nature de convergence de la série de terme général n vn = Arctg 2 n +1 Puisque la limite lim x→0 x6=0 1 Arctg(x) = 1 (ie. Exemple 5. Ainsi.3.8 · · · (3n − 1) diverge. . n +1 Exercice 7. converge et que sa somme est un nombre irrationnel. un = 2. n! n>0 1 1 1 6 . si on applique le premier théorème de comparaison aux deux membres de la double inégalité (L/2)vn < un < (3L/2)vn on déduit que les séries un et vn sont de même nature.5. (n + p)! (n + 1)! (n + 1)p−1 X 1 4) Montrer que le reste Rn d’ordre n > 1 de la série peut être encadré par n! 3) Montrer que pour tous les entiers n > 0 et p > 1. · · · (2n − 1) Observons que le rapport n>1 Th´ eor` eme 3 (Critère d’équivalence). on se propose de montrer que la série numérique de terme 1 général. Arctg(x)∼0 x) on voit que si on désigne par wn = x n le terme général de la s{erie harmonique on obtient la limite suivante n 2+1 vn n2 n lim = lim = lim =1 1 n→+∞ wn n→+∞ n→+∞ n2 + 1 n n X Donc. Démonstration. la série Arctg 2 diverge. Si pour ε = L/2 on applique la définition de la limite lim n→+∞ pourra trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 on aura | un − L |< L/2 vn =⇒ L/2 6 un < 3L/2 vn =⇒ un = L on vn (L/2)vn < un < (3L/2)vn Ainsi. Dans cet exercice. donc si pour tout entier n > 1 un 2n + 1 2n + 2 n+1 X1 1 vn+1 un+1 on pose vn = on obtient l’inégalité > .5. puisque la série harmonique n un vn n n>1 X 2. diverge le théorème précédent implique que la série 1. existe) alors les deux séries numériques un et n→+∞ vn X vn possèdent la même nature de convergence. · · · (2n − 1) 3n + 2 un+1 3n n = > > . Si la limite lim = L ∈ R∗+ (ie.8 · · · (3n − 1) 1. Cherchons la nature de convergence de la série de terme général ∀n > 1.5.Séries ` a termes positifs 11 Exemple 4. n>0 0 < Rn < A. Soit un > 0 et vn > 0 les termes génraux de deux X un séries. Bouarich 1 n!n Suites et séries de fonctions . X 1 2) En déduire que la série numérique converge.3. Si f : [1. n! n>0 Notes : Au chapitre quatre on démontrer que la série numérique.. +∞[→ R+ est une fonction décroissante continue alors la série de terme géZnéral un = f (n) converge (resp. . n>0 n! o` u p ∈ N∗ X 1 . n Ainsi. diverge) si et seulement. diverge).3.. 6 f (n + 1) 6 Z 6 .. . étant donnée une fonction décroissante continue f : [1. 1. X 1 . en faisant varier l’entier p entre 1 et n on obtient les inégalités suivantes : Z 2 f (2) 6 f (t)dt 6 f (1) Z1 3 f (3) 6 f (t)dt 6 f (2) . X 1 . Bouarich Suites et séries de fonctions . ´ A) Etude g´ en´ erale Notons que puisque la fonction f est supposée décroissante ceci permet d’écrire pour tout entier n > 1 et pour tout réel x ∈ [n. converge vers la n! n>0 base du logarithme népérien e (ie. n’est pas un nombre rationnel. +∞[→ R+ on se propose d’étudier la nature de convergence de la série numérique dont le terme général est défini par l’expression un = f (n). n + 1]. Log(e) = 1). Z n+1 f (n + 1) 6 f (x) 6 f (n) =⇒ f (n + 1) 6 f (t)dt 6 f (n). 1 A. . n+1 f (t)dt 6 f (n) n dont la sommation membre ` a membre nous donne les deux encadrements suivants : Z n+1 Sn+1 − f (1) 6 f (t)dt 6 Sn 1 ce qui est équivalent ` a écrire la double inégalité suivante Z n+1 Z n f (t)dt 6 Sn 6 f (t)dt + f (1) 1 1 D’o` u le thèorème : Th´ eor` eme 4.2 Comparaison d’une s´ erie avec une int´ egrale simple g´ en´ eralis´ ee Dans ce paragraphe. si l’intégrale simple +∞ généralisée f (t)dt converge (resp.12 Les séries numériques 5) En déduire que la somme. n>0 n! X np . n! n>0 6) Calculer la somme des séries numériques suivantes X n2 n>0 n! en fonction de la somme S = X n3 . 2 . Cherchons la nature de convergence de la série numérique 1 . Z 1 n 1 f (x)dx 6 6 un Z n+1 f (x)dx. Donc. la série et l’intégrale simple généralisée Sh(n) n>1 Z +∞ dx possèdent la même nature de convergence. la série numérique Sh(x) Sh(n) 1 n>1 converge. Z +∞ f (t)dt 6 Rn 6 n+1 Z +∞ f (t)dt.Séries ` a termes positifs 13 Corollaire 3. pα 1 p=n X (Log(p))α o` u α∈R p=1 B) S´ eries de Riemann 1 D´ efinition 3. +∞[. +∞[→ R est une fonction décroissante continue dont l’inégrale +∞ X simple généralisée f (t)dt converge alors le reste d’ordre n > 1 de la série f (n) 1 possède l’encadrement suivant. A. La série de Riemann de terme général un = α converge si et seulement si n le réel α > 1. 1 b) En déduire la nature de convergence des suitent numériques suivantes : 1 p=n X pLog(p) p=1 . Si fZ : [1. 1 p=n X p=1 . Sh(n) n>1 X 1 on obtient une fonction décroissante Sh(x) X 1 et continue sur l’intervalle [1. Exercice 8. Pour tout entier n > 1 on pose : 1 un = f (1) + f (2) + · · · + f (n) a) Montrer que pour tout entier n > 2 on a la double inégalité suivante. p Exemple 6. L’encadrement du reste Rn s’obtient par somme membre ` a memebre des Z p+1 inégalités f (p + 1) 6 f (t)dt 6 f (p) sur tous les entiers p > n + 1. Bouarich Suites et séries de fonctions . Par conséquent. 1 Proposition 6. Sh(x) 1 1 En effet. n Démonstration. La série numérique de terme général un = α s’appelle série de Riemann de n paramètre α ∈ R. puisque pour x > 0 assez grand la fonction est équivalente ` a la fonction 2e−x Sh(x) Z Notons que si pour tout réel x > 1 on pose f (x) = +∞ et comme l’intégrale simple généralisée e−t dt = e converge on en déduit que l’intégrale 1 Z +∞ X 1 dx simple généralisée converge aussi. Soit f : R+ → R une fonction croissante continue. nα n>1 1 b) Pour un paramètre α > 0 remarquons que si pour tout x ∈ [1. si α 6= 1  lim N→+∞ 1 − α N 1 Par conséquent. Si le réel α > 1 alors le reste d’ordre n de la série de Riemann X 1 est nα n>1 encadré par. n→+∞ n→+∞ A. n n>1 X 1 √ . selon le théorème précédent la série de terme général n un = f (n) possède la même nature de convergence que l’intégrale simple généralisée. α−1 α−1 α − 1 (1 + n) α−1n Exemple 7. Proposition 7. . n n>1 X 1 √ . diverge) si et X un converge. les séries de Riemann suivantes divergent : X1 . Si la limite lim nα un = A ∈ R∗+ alors la série n→+∞ seulement si α > 1 (resp. a) Notons que si α 6 0 le terme général un = α ne tend pas vers zéro.   Z +∞ Z N lim Log(N). n2 n3/2 n5/4 n>1 n>1 n>1 Par contre. α 6 1). Soient un > 0 une suite et α un nombre réel tel que la limite lim nα un = A ∈ [0. X 2. 1. +∞] n→+∞ Alors les propositions suivantes sont vraies. +∞[ on pose f (x) = α x on obtient une fonction décroissante continue sur l’intervalle [1. Ainsi. En appliquant l’encadrement du reste Rn donné dans corollaire 3 ci-dessus ` a la série de X 1 Riemann on obtient le : nα n>1 Corollaire 4. donc n X 1 la série de Riemann diverge. la série de Riemann de terme général un = α converge si et seulement. D’après le résultat de la proposition précédente on voit que les séries de Riemann suivantes convergent : X 1 X 1 X 1 . f (n) = α = un . si n le réel α > 1. Si la limite lim nα un = 0 avec α > 1 alors la série un converge (resp. 10 n n>1 En pratique on utilise les séries de Riemann comme modèles de comparaison comme on va l’expliquer par la proposition suivante. X 3.14 Les séries numériques 1 Démonstration. si α = 1 dt dt  N→+∞ = lim = 1 1 tα N→+∞ 1 tα  1 (1 − α−1 ). 1 1 1 1 6 Rn 6 . Si la limite lim nα un = +∞ avec α 6 1 alors la série un diverge. Bouarich Suites et séries de fonctions . +∞[ et telle que pour tout 1 entier n > 0. Bouarich xλ (Log(x))β =⇒ 1 xα+λ < 1 xα (Log(x))β . Q(n) C) S´ eries de Bertrand D´ efinition 4. Suites et séries de fonctions . La série de terme général. converge si et seulement si deg(Q) − deg(P) > 2. 1) Le cas o` u α < 1 : Observons que puisque α < 1 on peut trouver un réel xλ = +∞ λ > 0 tel que α < α + λ < 1. La nature de convergence des séries de Bertrand est donnée par la proposition suivante. Ainsi. un = 1 . .Séries ` a termes positifs 15 Démonstration. s’appelle série de Bertrand a ` nα (Log(n))β paramètres réels α et β. Par conséquent. puisque pour tout réel β la limite lim x→+∞ (Log(x))β on en déduit que pour tout réel x > 0 assez grand on a 1< A. nα 1 Exemple 8. La nature de convergence de la série de Bertrand X n>2 mée dans le tableau suivant ` a double entrée : α 1 nα (Log(n))β α<1 α=1 α>1 β61 divergence divergence convergence β>1 divergence convergence convergence β est résu- Démonstration. Montrer que la série de terme P(n) général. c’est-` a-dire un < α . noter que si la limite lim nα un = +∞ on pourra trouver un entier n0 tel que n→+∞ 1 pour tout entier n > n0 on aura un > α . puisque pour tout réel α < 1 la série de n X X 1 Riemann diverge on d´ e duit que la s´ e rie un diverger aussi. Soient P(x) et Q(x) deux fonctions polynˆ omiales. et puis appliquer le premier théo1/nα rème de comparaison. Proposition 8. puisque pour n X 1 X tout réel α > 1 la série de Riemann converge on déduit que la série un converger α n aussi. ∀n > n0 . 1) Observer que le produit nα un = un . Les séries numériques de Bertrand généralisent celles de Riemman parce que si on porte β = 0 dans l’expression du terme général d’une série de Bertrand on obtient une série de Riemann. lim nα un = 0 on pourra trouver un entier n0 tel que pour tout 2) Noter que si la limite n→+∞ 1 entier n > n0 on aura nα un < 1. Ainsi. un = n sin( 3 ). n2 n>1 Exercice 9. La série de terme général. 3) De même. converge parce que la limite lim n2 un = n→+∞ n X 1 1 et on sait que la série de Riemann converge. comme pour α − µ > 1 la série de Riemann converge on déduit que la série nα−µ X 1 de Bertrand converge quand α > 1 et β ∈ R. Bouarich X n>2 n p 1 Log(n) et X n>2 1 n1/5 (Log(n))5 Suites et séries de fonctions . ∀x ∈]1. la série numérique de Bertrand de terme général un = β Z +∞ n(Log(n)) 1 possède la même nature de convergence que l’intégrale simple généralisée dx x(Log(x))β A o` u A > 1. x(Log(x))β 1 d’après le théorème 2.16 Les séries numériques X 1 Ainsi. +∞[ x2 (Log(x))β+1 1 décroˆıt sur l’intervalle [e−β . +∞[ et sa fonction dérivée est donnée par l’expression 3) Le cas o` u α = 1 : Notons que puisque la fonction f (x) = f ′ (x) = −Log(x) − β . α n (Log(n))β n>2 2) Le cas o` u α > 1 : Observons que puisque α > 1 on peut trouver un réel µ > 0 tel que 1 1 < α − µ < α. α (Log(n))β n n>2 1 est dérivable sur x(Log(x))β l’intervalle ]1. 3/2 n Log(n) n>2 X X Log(n) n>2 n4/3 et X (Log(n))9 n2 n>2 convergent tandis que les séries de Bertrand suivantes divergent : 1 . β 6 1). infinie) lorsque la variable X tend vers +∞ si le paramètre β > 1 (resp. D’autre part. nLog(n) n>2 X A. on voit bien que la fonction F(X) tend vers une limite finie (resp. et donc la série de Bertrand de 1 terme général un = converge si et seulement si β > 1. puisque la limite lim µ = 0 on en déduit que pour x→+∞ x (Log(x))β tout réel x > 0 assez grand on a 1 xµ (Log(x))β <1 =⇒ 1 < xα (Log(x))β 1 xα−µ X 1 Ainsi. D’après la proposition précédente les séries de Bertrand suivantes 1 . n(Log(n))β Exemple 9. Z +∞ 1 Pour trouver la nature de convergence de l’intégrale généralisée dx il suffit β x(Log(x)) A Z X 1 qu’on remarque que si pour tout réel X > A on pose F(X) = dx on obtient β x(Log(x)) A l’expression après avoir effectuer le changement de variables Log(x) = t :  Z Log(X) Log(Log(X)) − Log(Log(A)). +∞[. si β = 1 dt  = F(X) = 1 1 1 β  ( − ). Donc. comme pour le réel α + λ < 1 la série de Riemann diverge on déduit que la nα+λ X 1 série de Bertrand diverge quand α < 1 et β ∈ R. si β 6= 1 Log(A) t 1 − β (Log(X))β−1 (Log(A))β−1 on en déduit que la fonction f (x) = Ainsi. Si λ > 1 alors la série X un diverge. +∞[→ R une fonction décroissante continue.Séries ` a termes positifs 17 Exercice 10. p p=n X p=1 Z n f (x)dx. (Log(n))5 nx (1 1 . (Log(n))b 2 ne−n . Puis appliquons la définition de la limite lim n un = λ au nombre réel n→+∞ ε>0: (∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N). 1 p=1 1) Montrer que la suite un est décroissante positive. 1 1 6 2. n > n0 =⇒ −ε + λ < √ n un < λ + ε < 1 =⇒ 0 6 un < (λ + ε)n < 1 A.3 1 est équivalente ` a Log(n). 1) Montrer qu’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . 1[ la somme parielle que la somme partielle p=n X p=1 1.3. Bouarich Suites et séries de fonctions .9 · · · (4n − 3) n +n Exercice 12. Log(n) n>2 (Log(n)) Exercice 13. n2 + 1 Log(1 + na ) . Log(n) n>1 n X 1 3) Que peut-on dire de la nature de convergence de la série . + ny ) Exercice 11.5 · · · (2n − 1) . Log 3 2 n +n+1 1. Etudier la nature de convergence des séries suivantes : Arctg(n) . n>0 Démonstration. Soit un > 0 le terme général d’une série telle que λ = √ lim n un . 1) Supposons que 0 6 λ < 1 et choisissons un nombre réel ε > 0 tel que √ 0 6 λ < λ + ε < 1. Si 0 6 λ < 1 alors la série X un converge. Arctg √ . 1 1 sin( ). Alors les propositions suivantes sont vraies : n→+∞ 1. 3) Application : a) On suppose que la série grand la somme partielle p=n X X n>1 f (n) diverge. Pour tout entier Z n p=n X n > 1 on pose. Soit f : [1. n>0 2. 1 1 n1−α est ´ e quivalente ` a tandis pα 1−α R` egles de Cauchy et de D’Alembert Th´ eor` eme 5 (Règle de Cauchy). un = f (p) − f (x)dx.3. Démontrer que n ∈ N assez f (p) est équivalente ` a l’intégrale simple définie p=1 b) En déduire que pour tout α ∈]0. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes : n+1 1 1. a n n 1 n5/4 Sh( 1 ). n nLog(n) X 1 2) En déduire que la série numérique converge. 2) En déduite que la suite un converge.5. 2) Comme dans la preuve de l’assertion 1) si on suppose que le réel λ > 1 on peut trouver un nombre réel ε > 0 tel que 1 6 λ − ε < λ. .. . Bouarich Suites et séries de fonctions . puisque le réel q = λ + ε < 1 on en déduit que la série géométrique de terme général vn = (λ + ε)n converge. un Donc. . 1) Supposons que le nombre réel 0 6 λ < 1 et choisissons un réel ε > 0 tel que 0 6 λ < λ + ε < 1. si on applique la définition de la limite on peut trouver un entier n0 > 0 tel que dès que l’entier n > n0 cela implique qu’on a l’inégalité.. . et donc la série de terme général un converge d’après le théorème de comparaison. 2n + 1 r p n n>1 Th´ eor` eme 6 (Règle de D’Alembert). qui montre que la série de terme général un diverge parce que la série géométrique de terme général wn = (λ − ε)n diverge. Cherchons la nature de convergence des séries de terme général 3n − 1 n nn 2 an = et b = n (2n + 1)n 2n + 1 1) Puisque la limite √ n n 1 = <1 n→+∞ n→+∞ 2n + 1 2 X la règle de convergence de Cauchy implique donc que la série lim an = lim nn converge. Alors les propositions suivantes sont vraies : n→+∞ un X 1. √ 1 < λ − ε < n un < λ + ε =⇒ 1 < (λ − ε)n < un .18 Les séries numériques Ainsi.. en multipliant les inégalités suivantes membre ` a membre : 0 6 un0 +1 < (λ + ε)un0 0 6 un0 +2 < (λ + ε)un0 +1 . Si 0 6 λ < 1 alors la série un converge. . . 0 6 un < (λ + ε)un−1 A. un+1 Notons que si on applique la définition de la limite ` a lim = λ et au réel ε > 0 on n→+∞ un peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 on aura : un+1 06 <λ+ε<1 =⇒ 0 6 un+1 < (λ + ε)un . n>0 Démonstration. (2n + 1)n n>0 2) De même. puisque la limite r 3n − 1 3 lim bn = lim = >1 n→+∞ n→+∞ 2n + 1 2 X 3n − 1 n2 le critère de Cauchy implique que la série diverge. n>0 2. Soit un > 0 le terme général d’une série telle que un+1 lim = λ. Exemple 10. Si λ > 1 alors la série X un diverge. Et. .. en conséquence de ce qui précède on conclut que les deux critères de Cauchy et de X 1 D’Alembert ne reconnaˆıssent pas la nature de convergence des deux séries numériques n2 n>1 X1 et . Cherchons la nature de convergence des séries de terme général vn = an n! et un = nn n! vn+1 a = 0 la règle de convergence de D’Alembert = lim n→+∞ n + 1 vn X an implique que la série numérique est convergente. la série numérique un diverge. e > 1. n→+∞ vn n→+∞ (n + 1)2 Ainsi. si on considère la série divergente de terme général un = et la série convergente n 1 de terme général vn = 2 on obtient en même temps : n  1 1  lim √ n  =1 un = lim √ = lim  n  n→+∞ n→+∞ n→+∞ Log(n) n   exp[ ] n 1 1  lim √ n  vn = lim √ = lim =1   n→+∞ n n2 n→+∞ 2Log(n)   n→+∞ exp[ ] n et  un+1 n  lim = lim =1  n→+∞ n→+∞ n + 1 un 2 v n   lim n+1 = lim = 1. n! n>1 1) Puisque la limite lim n→+∞ 2) Puisque pour tout entier n > 1 le rapport un+1 (n + 1)n+1 n! 1 = n = (1 + )n un n (n + 1)! n tend vers la base du logarithme népérien. donc comme ci-dessus. Ainsi. n! Il est important de souligner que les critères de convergence de Cauchy et de D’Alembert ne permettent pas de déduire la nature de convergence d’une série de terme général un qui vérifie l’une des deux proporiétés √ un+1 lim n un = 1 ou lim =1 n→+∞ n→+∞ un 1 En effet. Par conséquent. lim = λ avec λ > 1 on peut trouver un réel ε > 0 n→+∞ un tel que 1 < λ − ε < λ. puisque 0 6 λ+ ε < 1 il en résulte X X (λ + ε)n converge. Bouarich Suites et séries de fonctions .Séries ` a termes positifs 19 nous obtenons l’inégalité 0 6 un < (λ+ ε)n−n0 +1 un0 . que la série géométrique n>0 n>0 un+1 2) En partant de l’hypothèse. ∀n > n0 X qui implique lim un > 1. n→+∞ n>0 Exemple 11. ` a partir d’un certain rang n0 > 0 on obtient l’inégalité 1 < (λ − ε)n−n0 +1 un0 < un . n n>1 A. et donc la série numérique un converge. la règle de D’Alembert implique que la série X nn numérique diverge. 3. ( n+c α(α + p)(α + 2p) · · · (α + np) 4. n Log(k + a) k=2 Suites et séries de fonctions . p. ( . un+1 β 1 = 1 − + o( ) un n n P Montrer que si β > 1 (resp. 3.6 · · · (2n + 2) Indication : Comparer la série un avec la série de terme général vn = 2. (1 − )n . lorsque la limite du rapport un un+1 Exercice 15.5 · · · (2n − 1) 1. 1 Indication : Comparer la série un avec la série de Riemann vn = α .4. xn = √ A. β < 1) alors la série un converge (resp. . la règle de Cauchy est puissante devant la règle de D’Alembert. n+1 nn (Log(n))n 3n 2 2n e−an a 3 . En déduire que la règle de D’Alembert implique celle de Cauchy. √ (1 + a)(1 + a2 ) · · · (1 + an ) (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n + 1) 2. Pour tout entier n > 1 on pose u2n−1 = Exercice 17. 1) Soit un > 0 le terme général d’une série et n0 > 0 un entier tel que pour tout entier n > n0 . 1 . b.4. 2 (n + n) n an + b nLog(n) ) . n→+∞ 2n−1 2n−1 et u = . Autrement dit. Si une suite un > 0 vérifie la limite lim = λ montrer qu’on a aussi n→+∞ un √ lim n un = λ. o` u α. Quant au dernier exercice de cette section il propose un résultat qui améliore la règle de D’Alembert un+1 est égale ` a un.5 · · · (2n − 1) 1. diverge). o` u a ∈ R∗+ .3. n 2) Soit un > 0. Exercice 16.6 · · · 2n 2. β. q ∈ R∗+ sont des paramètres. a > 0 . 2. a.20 Les séries numériques Exercice 14. un+1 1 λ 1 = 1 − + 2 + o( 2 ) un n n n alors la série P un diverge. β(β + q)(β + 2q) · · · (β + nq) √ 2 an n! √ √ 5. . Pour finir cette section on invite le lecteur de traiter les deux prochains exercices qui visent ` a comparer la puissance de décision de la règle de Cauchy devant celle de D’Alembert. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes : n! nLog(n) n3 n n2 ) . n+k Applications : Etudier la nature de convergence des deux séries numériques suivantes : 1. 2n 3n−1 3n Vérifier que la règle de D’Alembert ne permet pas de déduire la nature de convergence de X la série un tandis que la règle de Cauchy permet d’en étudier la nature de convergence. un = et vn = . . 1. Montrer que s’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . c ∈ R . Bouarich a a n! sin(a) sin( √ ) · · · sin( √ ) n 2 et yn = k=n 1 Y Log(k) o` u a ∈ R∗+ . Bouarich n>1 Suites et séries de fonctions . n>0 Démonstration. Soit un le terme général d’une série numérique. S’il existe une série ` a termes X positifs convergente an telle que ` a partir d’un certain rang on a. une série qui converge absolument elle converge au sens ordinaire. alors la série n>0 X un converge absolument. Remarquer que pour tout couple d’entiers naturels n > m on a l’inégalité. X n>0 | un | diverge on dira que n>0 Pour trouver la nature de convergence de la série des modules X n>0 | un | on pourra donc appliquer ` a la série de terme général vn =| un |> 0 toutes les règles et les critères de convergence que nous avons étudié dans le paragraphe précédent. X 1. (1 + t2 )n 0 1) Montrer que pour tout entier n > 1 l’intégrale simple géralisée In converge. i=n X ui est de Cauchy quand la i=0 n>0 Th´ eor` eme 7. ´ 2) Etablir une relation entre les termes In+1 et In . | Sn − Sm |=| um+1 + · · · un |6| um+1 | + · · · + | un |. nous donnerons deux résultats importants qui vont enrichir la liste des méthodes d’étude des séries non nécessairement réelles et positives.Séries ` a termes positifs 21 ∞ dt . n2 n>1 A. On dira que la série numérique un converge absolument si la série des modules n>0 X n>0 | un | converge.4 S´ eries absolument convergentes D´ efinition 5. 1. Démonstration. Evidente. qui permet de déduire que la suite des sommes partielles Sn = X série des modules | un | converge. | un |6 an .3. Si la série des modules n>0 n>0 C’est-` a-dire. Proposition 9. 1) Pour tout réel α > 0 la série de terme général an = 2+iα converge n X X 1 absolument parce que la série des modules | un |= converge. En déduire la valeur exacte de In . (−1)n Exemple 12. Pour tout entier n > 1 on pose In = Z 3) Trourver la nature de convergence de la série de terme général In . X X | un | converge alors la série un converge. 2. Soit un le terme général d’une suite de nombres réels ou complexes. Ci-dessous. Exercice 18. Si la série la série X un converge tandis que la série des modules Xn>0 un est semi-convergente. Bouarich Log(1 + un ). | un |a avec a ∈ R∗+ Suites et séries de fonctions . puisque les deux sous-suites S2n et S2n+1 extraites de la suite des sommes p=n X (−1)p−1 X (−1)n−1 partielles Sn = convergent on en déduit que la série converge. De plus. Exercice 20. puisque un+1 − un = vn = S2n+1 = 1 1 − 1 1 1 1 1 1 + − + ··· + − + >0 2 3 4 2n − 1 2n 2n + 1 −1 on conclut que la suite vn converge. n X Notons d’abord que puisque la série des valeurs absolues | cn | n’est autre que la série n>1 X1 X Harminique cn ne converge pas absolument. 1 −1 + > 0 la suite un est croissante . donc la série n n>1 n>1 X Pour prouver que la série cn converge nous allons montrer que les deux sous-suites exn>1 traites de la suite des sommes partielles Sn = p=n X p=1 un = S2n = p=2n X p=1 (−1)p−1 p et (−1)p−1 . Montrer que si bn est une suite bornée alors pour toute série X absolument la série des produits an bn converge absolument. un + 1 A. eun − 1. 1].22 Les séries numériques sin(n2 ) 2) La série de terme général bn = converge absolument parce que pour tout entier n3 X 1 1 n > 1 on a l’inégalité | bn |6 3 et on sait que la série de Riemann converge. n>0 Exercice 21. elle diverge. p n p=1 n>1 Exercice 19. Par conséquent. n n3 n>1 3) Montrons que la série de terme général cn = (−1)n−1 est semi-convergente. comme 2n + 3 2n + 1 pour tout entier n > 1 on a En effet. sin(un ). de même 2n + 2 2n + 1 1 −1 puisque vn+1 − vn = + < 0 la suite vn est décroissante. p vn = S2n+1 = p=2n+1 X p=1 (−1)p−1 p sont adjacentes. Montrer que si la série numérique X X an qui converge an converge absolument alors pour tout n>0 réel. puisque la différence un − vn = < 0 tend 2n + 1 vers zéro cela implique que les deux suites un = S2n et vn = S2n+1 sont adjacentes. la série numérique X an xn converge absolument. x ∈ [−1. Si un est le terme général d’une série absolument convergente trouver alors la nature de convergence des séries suivantes : un . D’autre part. 1 23 S´ eries altern´ ees Le th´ eor` eme de Leibniz D´ efinition 6. donc la série de terme général vn n’est pas une série alternée. Soit an > 0 une suite décroissante qui tend vers zéro. des sommes partielles Sn = p=0 Observons que puisque S2n+2 − S2n = a2n+2 − a2n+1 6 0 on en déduit que la suite S2n est décroissante. on ne peut pas conclure que la série un converge. D’autre part. Démonstration.4 1. Pour comprendre ce phénomène considérons la série de terme général (−1)n vn = √ . Pour tout réel α > 0 la série altérnée X (−1)n n>0 séries altérnées suivantes sont convergentes : nα converge. Pour tout entier n > 0 le reste Rn de la série alternée X (−1)n an vérifie n>0 l’inégalité | Rn |6 an+1 . Il s’agit donc de démontrer que si la suite an décroˆıt vers zéro alors la suite p=n X up converge o` u un = (−1)n an . comme la suite des sommes partielles Sn converge on déduit que la X série alternée (−1)n an converge. puisque pour tout entier > 0 on a an − an+1 > 0 et an > 0 on en déduit que la suite S2n = (a0 − a1 ) + (a2 − a3 ) · · · (a2n−2 − a2n−1 ) + a2n > 0 est minorée. La série de terme général un = (−1)n an s’appelle série alternée. pour pour chercher sa nature de convergence on a pas le droit d’appliquer le théorème de Leibniz. ∀n > 2 n + (−1)n et remarquer que le terme v2n > 0 tandis que le terme v2n+1 < 0.Séries alternées 1. Th´ eor` eme 8 (Leibniz). donc elle converge. Par conséquent. Exemple 13. . Donc.e.4. un un+1 < 0) mais sans que la suite des valeurs absolues | un | ne décroˆıt vers zéro ` a partir P d’un certain rang. les X (−1)n X (−1)n X (−1)n √ √ . Enfin. n>0 Proposition 10. dans ce cas. A. En particulier. Bouarich Suites et séries de fonctions . notons que puisque la suite an tend vers zéro et S2n+1 = S2n − a2n+1 il s’ensuit que les deux sous-suites extraites des sommes partielles S2n et S2n+1 convergent vers la même limite. . Exercice. 1 Noter aussi que puisque la suite des valeurs absolues | vn |= √ tend vers zéro et n + (−1)n n’est pas monotone. Toute série alternée converge. Démonstration. 5 10 n n n n>1 n>1 n>1 Notons que si un est le terme général d’une série de nombres réels qui change de signes (i. et soit un le terme général d’une suite numérique définie par la relation de récurrence suivante : un+1 = un + un−1 λ(λ + 1) o` u u0 = a < b = u1 . I(p) − k=n X k=0 (−1)k = (−1)n+1 kp + 1 Z 1 0 x(n+1)p dx. Soit λ un réel différent de zéro et −1 . Pour que la série de terme général un = an bn converge il suffit qu’on a les conditions suivantes : p=n X 1. 0 6 Z n>0 Applications : Montrer qu’on a les deux sommes suivantes : Log(2) = X (−1)n−1 n>1 1.2 et n π X (−1)n = . montrer que k=0 ∀n ∈ N.4. La suite an tend vers zéro. Exercice 23.24 Les séries numériques Pour trouver la nature de convergence de la série de terme général vn il suffit qu’on observe que pour tout entier n > 2 on peut écrire (−1)n 1 vn = √ − √ √ n n( n + (−1)n ) (−1)n et ainsi puique la série de terme général √ converge tandis que la série de terme général n 1 positif wn = √ √ diverge car elle est équivalent au terme général de la série n( n + (−1)n ) X 1 (−1)n √ diverge. on en déduit donc que la série n n + (−1)n n>2 Exercice 22. p 1 + x np +1 0 Z 1 X (−1)n dx 3) En déduire que la somme de la série alternée = . 1 + xp 1 xnp 1 dx 6 . 2) Trouver tous les réels a et b pour que la série de terme général un soit géométrique. 1 X (−1)n dt . Soient an et bn deux suites numériques. 4 2n + 1 n>0 Le th´ eor` eme d’Abel Th´ eor` eme 9 (Critère de convergence d’Abel). p=0 2. Bouarich Suites et séries de fonctions . p pn + 1 0 1+t n>0 1) En utilisant la somme partielle d’une suite géométrique k=n X ak . 3) Trouver tous les réels a et b pour que la série de terme général un soit altérnée. 1) Trouver l’expression général de la suite un . A. harmonique divergente . Le but de cet exercice est de montrer que pour tout réel pZ> 0 la série alternée. p np + 1 0 1+x 2) Montrer que pour tout entier n > 0 on a l’inégalité. converge vers la valeur de l’intégrale simple définie I(p) = . La suite des sommes partielles Bn = bp est bornée. La série numérique X n>0 | an − an+1 | converge. n>0 i=0 Corollaire 5. puisque d’après la condition 2) la suite an tend vers zéro et d’après la condtion 3) la série numérique X | an − an+1 | converge. n m+1   3M 3M i=n−1 X ε  | ai − ai+1 |< . donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 tel n>0 que pour les enties n > m > n0 on obtient les majorartions suivantes. comme la suite des sommes ai bi est une suite de Cauchy la série numérique X an bn converge. Bouarich | ai − ai+1 i=n X |= (ai − ai+1 ) = a0 − an+1 i=0 Suites et séries de fonctions . Pour toute suite nui=n X mérique bn dont la suite des sommes partielles Bn = bi est bornée. Pour démontrer le théorème nous allons vérifier que la suite des sommes X partielles associée ` a la série numérique an bn est une suite de Cauchy. | Bn |6 M.  ε ε  | a |< et | a |< .   3M i=m+1 qui impliquent que | Sn − Sm |=| partielles Sn = i=n X i=n X i=m+1 ai bi |< ε. n>0 i=n X Pour cela posons Sn = ai bi et pour tout couple d’entiers naturels m < n développons i=0 l’expression de Sn − Sm comme suit : Sn − Sm = i=n X i=n X ai bi = i=m+1 i=m+1 i=n X = i=m+1 i=n X = i=m+1 ai (Bi − Bi−1 ) ai Bi − ai Bi − = an Bn + i=n X ai Bi−1 i=m+1 i=n−1 X i=n−1 X ai+1 Bi i=m (ai − ai+1 )Bi − am+1 Bm i=m+1 Notons que puisque d’après la condition 1 la suite des sommes partielles Bn est bornée il existe un réel M > 0 tel que pour tout entier n > 0. Par conséquent. Démonstration. Observer que puisque pour tout entier n > 0. la série numérique i=0 X an bn converge. D’autre part. Soit an > 0 une suite décroissante qui tend vers zéro. n>0 Démonstration. an > an+1 > 0 et la suite an tend vers zéro on voit que la suite des sommes partielles suivante converge : i=n X i=0 A.Séries alternées 25 3. puisque cn = eian est terme général d’une suite géométrique de raison eia on pourra écrire pour tout entier n > 0 : an + a . puisque la suite des sommes partielles Bn = X implique que la série an bn converge. Donc. il suffit qu’on démontre que la suite des sommes partielles associées ` a la suite des nombres complexes de terme général cn = cos(an) + i sin(an) = eian est bornée. i=n X bi est bornée le théorème d’Abel i=0 n>0 Noter que le résultat du corollaire généralise le théorème de Liebniz parce que la suite des sommes partielles associée ` a la suite bn = (−1)n est bornée. donc d’après le corollaire précédent. Dans cet exemple. En effet.26 Les séries numériques Ainsi. Exemple 14. pour tout réel α > 0 nous allons appliquer le théorème d’Abel pour trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes un = sin(an) nα et vn = cos(an) nα o` u a 6∈ 2πN∗ 1 Puisque la suite α tend vers zéro en décroissant. il suffit n qu’on vérifie que la suite des sommes partielles associées aux suites de nombres réels cos(an) et sin(an) sont bornées. eia(n+1) − 1 2 1 − cos(an + a) sin( ) 2 2 | c0 + c1 + · · · + cn | = . = = . 2) Pour tout réel α ∈ R. n 6n − 5 n + 1 n + (−1) Log(n) Log(n) n nLog(n) X Exercice 25. n>0 1) Démontrer que la suite an convege. (−1)n 2 . 1 eia − 1 1 − cos(a) sin( ) 2  p=n X  1   | sin(p) | 6 | c + c + · · · + c |6 0 1 n  a . . . (−1)n .   p=0 sin( ) 2 =⇒ p=n X  1   cos(p) | 6 | c0 + c1 + · · · + cn |6  a .  |  sin( ) p=0 2 X sin(an) X cos(an) Par conséquent. Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes : (−1)n (−1)n n n (−1)n sin(n) cos(n) √ . . 2 Exercice 24. trouver la nature de convergence des séries suivantes : . . Soit an une suite numérique dont la série associée | an+1 − an | converge. pour tout réel a 6∈ 2πN les série numériques et nα nα n>1 n>1 convergent. X . . X . . 1 1 . . 1 1 . − et − . . . α α. Bouarich | bn+1 − bn | Suites et séries de fonctions . α α (n + 1) n Log(n + 1) Log(n) n>1 n>2 3) En déduire qu’il existe une suite convergente bn dont la série associée X n>0 diverge. A. Pour tout entier n > 1 on définit deux suites de nombres réelles en posant n!en an+1 √ ) et un = Log( nn n an X 1) Montrer que la série numérique un converge et en déduire que la suite an tend vers an = n>1 une limite finie quand l’entier n tend vers l’infini.Séries alternées 27 Exercice 26. Dans cet exercice. lim εn (y) = 0 n→+∞ 1 . est bonrée et que la série de p1+iy 4) Applications : Trouver la nature de convergence des séries numériques suivantes : X cos(Log(n)) X sin(Log(n)) 1. un = an (f (n + 1) − f (n)). avec z = x + iy ∈ C. Riemann X n>1 1 n1+iy i=n X k=1 diverge. p=n X 1) Montrer que la somme partielle Un = up peut s’écrire sous la forme : p=0 Un = −a0 f (0) + an f (n + 1) + 2) En déduire que la série p=n−1 X p=1 f (p)(ap−1 − ap ) X un converge si et seulement si la limite lim f (x) = l ∈ R. Pour tout entier n ∈ N on pose. Exercice 28 (Formule de Stirling). α n Exercice 27. vn (y) = iy εn (y) + iy (n + 1) n2 avec 3) En déduire que la suite des sommes partielles. on se propose de trouver la nature de convergence de la série 1 de Riemann de terme général. n>1 n>1 X cos(Log(n)) X sin(Log(n)) n>1 nLog(n) . converge absolument si et n seulement si x > 1. . x→+∞ n>0 3) Applications : Trouver la nature de convergence des deux séries numériques suivantes : (−1)n−1 1 √ ) Arctg( 1 + n(1 + n) n vn = et wn = 1 1 1 ((n + 1)1+ n+1 − n1+ n ). Soient f : R+ → R une fonction et an une suite réelle. . n n 2. 2) Pour tout réel y ∈ R et pour tout entier n > 1 on pose. Le but de cet exercice est de chercher un équivalent du factorielle n! lorsque l’entier n tend vers l’infini. A. Bouarich Suites et séries de fonctions . n 1 1) Montrer que la série de Riemann de terme général. n>1 nLog(n) . x+iy . z . vn (y) = 1 1 − iy n (n + 1)iy Montrer qu’il existe une suite numérique εn (y) telle que pour tout entier n assez grand. nIn = (n − 1)In−2 . ax . b) ∈ R∗+ × R∗+ on définit une intégrale simple généralisée et une série numérique par les expressions suivantes : Z +∞ X sin(bx) b I(a. A. est bornée sur l’intervalle [0. b) = ax 2 2 e −1 a n + b2 0 n>1 1) Etudier la nature de convergence de l’intégrale généralisée. b). In = 2 (sin(x))n dx. I(a. et I = b) En déduire que I2n = 2n+1 2 22n (n!)2 (2n + 1)! 3) Montrer que la suite In est décroissnte et que la limite lim I2n n→+∞ I2n+1 Indication : Observer que pour tout entier n > 1. b) = e−nax sin(bx)dx. Z +∞ 3) Calculer l’intégral simple généralisée. b) ∈ R∗+ × R∗+ . 0 sin(bx) 4) Montrer que la fonction. b) = f (a. In (a. montrer qu’il existe un réel M > 0 tel que pour p=1 tout entier n > 1 on a | I(a. b) − p=n X p=1 b M |6 . b) = dx et f (a. xp . b). Bouarich Suites et séries de fonctions . I(a. 2) Démontrer que la fonction f (a. π (2n)! 22n (n!)2 . ∀n > 1. Pour tout couple de nombres réels (a. I2n+1 I2n+1 (2n!)2 1 et en déduire que pour n assez grand on a 4) Montrer que la limite lim n 4n = n→+∞ 2 (n!)4 π l’équivalence √ n! ∼ nn e−n 2πn (Formule de Stirling) Exercice 29. 1 6 I2n 6 = 1. e −1 p=n X 5) En utilisant la somme partielle. I2n−1 .28 Les séries numériques Z π 2) Pour tout entier n ∈ N on pose. 2 +b n a2 n2 6) En déduire que pour tout couple de réels (a. b) est bien définie sur le produit R∗+ × R∗+ . +∞[. 0 ´ a) Etablir la relation récurrente. lim fn (x) = f (x). 1. 1) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions fn : R → R définie par x2n l’expression : fn (x) = 2n . 2. Bouarich Suites et séries de fonctions . quand il existe. On dira que la fonction f est une limite simple de la suite de fonctions.1 – Graphes des fonctions f1 et f10 A.5 −2 −1 1 2 Figure 2. elle est unique.Chapitre Deux Suites de fonctions 2. Exemple 15. Ceci est une conséquence immédiate de l’unicité de la limite d’une suite de nombres réels.1 Convergence simple d’une suite de fonctions D´ efinition 7.5 f10 (x) 1. si pour tout réel x ∈ K la limite. Démonstration. On dira aussi que la suite de n→+∞ fonctions fn converge simplement vers fonction f (x) sur le sous-ensemble K ⊂ I. La limite simple d’une suite de fonctions fn : I → R. x +1 1. Soient K ⊆ I un sous-ensemble non vide et f : K → R une fonction. existe dans R. Proposition 11. On appelle suite de fonctions sur un intervalle non vide I ⊆ R la donnée d’une famille de fonctions fn : I → R avec n ∈ N. Le plus grand sous-ensemble non vide J ⊂ I des points x ∈ J tel que la limite lim fn (x) n→+∞ existe dans R s’appelle domaine de convergence simple de la suite de fonctions fn .0 f1 (x) 0. fn : I → R. 1] → R définie par ∀n ∈ N. A.5 1.0 1.5 1. n→+∞   1. si si si x=0 0<x<1 x = 1.2 – Graphes des fonctions g2 et g10 Comme dans l’exemple précédent.5 Figure 2.0 −0. Suites et séries de fonctions . la suite de fonctions fn (x) = 2) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions gn : [0.5 −0. Bouarich    1. 1[ les suites numériques xn et (1 − x)n tendent simultanément vers zéro on en déduit que la limite simple de la suite de fonctions gn (x) sur le segment [0. x2n converge simplement sur R vers la fonctions x2n + 1  1    2 si x = ±1 f (x) = 0 si | x |< 1    1 si | x |> 1.30 Suites de fonctions Observons que puisque pour tout réel x ∈ R on sait que lim x2n n→+∞ on en déduit que pour tout réel x ∈ R.0 g10 (x) 0. gn (x) = xn + (1 − x)n g2 (x) 1. Donc.5 0. g(x) := lim gn (x) = 0.5 −1. remarquer que puisque pour tout réel x ∈]0.    +∞ si | x |> 1 = 1 si x = ±1   0 si | x |< 1  1    2 lim fn (x) = 0 n→+∞    1 si x = ±1 si si | x |< 1 | x |> 1. 1] est donnée par. étudiées x +1 ci-dessus. . sup{| fn (x) − f (x) | . allons introduire un deuxième mode de convergence qui préserve la continuité de la limite d’une suite de fonctions continues. Bouarich Suites et séries de fonctions . n x2n + xn + 1 2. Autrement dit. alors la suite fn converge simplement vers la fonction f : I → R. pour un réel donné ε > 0 il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . Proposition 12. A. 1 + . .2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions D´ efinition 8. on a la double inégalité | fn (x0 ) − f (x0 ) |6 sup{| fn (x) − f (x) | . la convergence uniforme sur I =⇒ la convergence simple sur I. On dira que la suite de fonctions fn est uniformément de Cauchy si (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m. Dans le prochain paragraphe. ∀x ∈ I} < ε. Trouver la limite simple des suites de fonctions suivantes définies sur R : x2 + n n x n 1 1. . 1. Supposons que la suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformément vers une fonction f : I → R.Convergence uniforme d’une suite de fonctions 31 x2n Notons que les deux suites de fonctions fn (x) = 2n et gn (x) = xn + (1 − x)n . Ainsi. la suite de fonctions bornées fn converge simplement vers la fonction f : I → R. 1 + x2 + x4 + · · · + x2n 2x2 + n n sin(nx) nxn α . n > n0 =⇒ sup{| fn (x) − f (x) | . sont continues mais leurs limites simples ne sont pas continues. Démonstration. n > m > n0 =⇒ sup{| fn (x) − fm (x) | . Autrement dit. ∀x ∈ I} < ε on en déduit que la suite numérique fn (x0 ) converge vers le nombre réel f (x0 ). Exercice 30. Exercice 31. Donc. On dira que la suite de fonctions bornées fn converge uniformément vers une fonction f : I → R si (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N). e−n x o` 2. √ u α ∈ R. x0 ∈ I. Soient I ⊂ R un intervalle non vide et fn : I → R une suite de fonctions bornées. ∀x ∈ I} < ε 2. Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est une fonction bornée. puisque pour tout réel fixé. Si la suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformément vers la fonction f : I → R. n ∈ N). ∀x ∈ I} < ε La fonction f : I → R qui vérifie le premier énoncé de la définition précédente s’appelle limite uniforme de la suite de fonctions fn sur l’intervalle I. | fn (x) − fm (x) |6| fn (x) − f (x) | + | f (x) − fm (x) | qui implique sup{| fn (x) − fm (x) | . Bouarich Suites et séries de fonctions . n→+∞ En effet. 2. Th´ eor` eme 10. | fn (x) − fm (x) |6 sup{| fm (x) − fn (x) | . La limite uniforme d’une suite de fonctions bornées est unique. Pour toute suite de fonctions bornées fn : I → R les propositions suivantes sont équivalentes : 1. n→+∞ b) Montrons que sur l’intervalle I la suite de fonctions fn converge uniformément vers la fonction f (x) = lim fn (x). Noter que la limite uniforme implique la limite simple. puisque pour tout x ∈ I et pour tout couple d’entiers n > n0 et m > n0 . La suite de fonctions fn converge uniformément vers une fonction f : I → R. Noter que si on fixe un nonmbre réel x ∈ I on obtient pour tous les entiers m et n ∈ N tels que n > n0 et m > n0 . ∀x ∈ I} < ε/2 qui montrent que la suite de fonctions fn est uniformémént de Cauchy sur l’intervalle I. ∀x ∈ I} < ε. ∀x ∈ I} Ainsi. 2) =⇒ 1) Supposons que la suite de fonctions fn est uniformément de Cauchy et considérons un réel ε > 0. ∀x ∈ I} < ε Donc. ∀x ∈ I} + sup{| fm (x) − f (x) | . et que la limite simple est unique quand il existe. | fn (x) − fm (x) |6 sup{| fm (x) − fn (x) | . Démonstration. ( sup{| fn (x) − f (x) | . ∀x ∈ I} 6 sup{| fn (x) − f (x) | . La suite de fonctions fn est niformément de Cauchy sur l’intervalle I. ∀x ∈ I} < ε/2 =⇒ sup{| fn (x) − fm (x) | . si pour un réel ε > 0 on applique la définition de la convergence uniforme on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour n > n0 et m > n0 on obtient les inégalités. ∀x ∈ I. a) Sous cette hypothèse. C’est-` a-dire. sup{| fm (x) − fn (x) | . on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers n > n0 et m > n0 . g : I → R alors f = g. ∀x ∈ I} < ε A. ∀x ∈ I} < ε sup{| fm (x) − f (x) | .32 Suites de fonctions Corollaire 6. elle converge vers un nombre réel f (x) = lim fn (x). Démonstration. si une suite de fonctions bornées fn : I → R converge uniformément vers deux fonctions f. puisque pour tout réel x ∈ I la suite numérique fn (x) est de Cauchy. 1) =⇒ 2) Remarquons que grˆ ace ` a l’inégalité triangulaire pour tout couple d’entiers naturels n et m on peut écrire que ∀x ∈ I. 1) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions ∀x ∈ [0. n→+∞ ´ Etape 2 Si la limite simpe de la suite fn n’existe pas on arrête l’étude et on déclare que la suite de fonctions fn ne converge pas simplement. Bouarich Suites et séries de fonctions . fn (x) = xn Il est clair que la suite de fonctions fn (x) = xn converge simplement vers la fonction. n > n0 =⇒ sup{| fn (x) − f (x) | . 1] vers sa limite simple f . si la limite lim un = 0 on déclare que la suite de fonctions fn converge uniforn→+∞ mément vers la fonction f : J → R. si on passe ` a la borne supérieure sur tous les réels x ∈ I on obtient l’implication ∀n ∈ N. A. | fn (x) − f (x) |6 ε. Ci-dessous. qui montre que sur l’intervalle I la suite de fonctions bornées. peut être divisé en étapes : ´ Etape 1 On cherche la limite simple de la suite de fonctions bornées fn : I → R en calculant la limite lim fn (x) = f (x) pour x fixé dans I. ´ Etape 3 S’il existe un sous-ensemble non vide J ⊆ I sur lequel la suite de fonctions fn converge simplement vers une fonction f : J → R on calcule alors la limite de la suite numérique un = sup{| fn (x) − f (x) | /x ∈ J} quand l’entier naturel n tend vers l’infini. ∀x ∈ I} 6 ε. ∀x ∈ I. ( 0 si 0 6 x < 1 f (x) = 1 si x=1 Mais. Ainsi. converge uniformément vers la fonction f (x) = lim fn (x). nous allons appliquer le plan d’étude qu’on vient de décrire pour étudier la limite uniforme de certaines suites de fonctions bornées. 1]} = 1 ne tend pas vers zéro on conclut donc que la suite de fonctions fn (x) ne converge pas uniformément sur [0. ∀x ∈ I Ainsi.Convergence uniforme d’une suite de fonctions 33 donc si on fait tendre l’entier m vers +∞ dans la valeurs absolue | fn (x) − fm (x) | tout en gardant l’entier n > n0 fixé on obtient l’inégalité suivante. si la limte lim un 6= 0 on déclare que n→+∞ la convergence de la suite de fonctions fn est simple sur l’intervalle J ⊆ I et qu’elle est non uniforme sur l’intérvalle J. par contre. Exemple 16. puisque pour tout entier n ∈ N la borne supérieure un = sup{| fn (x) − f (x) | /x ∈ [0. n→+∞ En conséquence de ce qui précède on déduit qu’un plan d’étude de la convergence uniforme d’une suite de fonctions bornées. fn : I → R. fn : I → R. 1]. lim hn (x) = 0. r 1 n −1/2 un = sup{| hn (x) | . puisque la fonction exponenn→+∞ tielle ex augmente plus rapidement que les fonctions polynˆ omiales on en déduit que pour tout ∗ réel non nul x ∈ R . Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions ∀x ∈ R. Pour voir est-ce que la suite de fonctions hn converge uniformémént vers la fonction nulle nous allons calculer la borne supérieure de la fonction hn (x) sur R. n→+∞ 2 Par conséquent. hn (x) = nxe−nx ∀x ∈ R. Bouarich Suites et séries de fonctions . a]. 2) Soit x ∈ R. 3) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions bornées. gn (x) = [nx] n Notons que puisque pour tout réel x ∈ R et pour tout entier n ∈ N on a l’inégalité 0 6 nx − [nx] < 1 =⇒ 0 6 x − gn (x) < 1 n 1 Par conséquent.34 Suites de fonctions Notons que si pour un réel a ∈]0. ∀x ∈ R} 6 on conclut que n la la suite de fonctions gn (x) converge uniformément sur R vers la fonction g(x) = x. x ∈ R} =| hn (± √ ) |= e . a] on trouve que la borne supérieure sup{| fn (x) | . x h′n (x) −∞ 0 hn (x) − − √12n 0 @ @ R @ pn − √1 2n + 0 −1/2 e 2 pn −1/2 2e +∞ − @ @ R @ 0 et ` a partir duquel on déduit que le maximum absolu de la fonction | hn (x) | défini une suite numérique. Pour le faire on va dresser 2 le tableau des variations du signe de la fonction dérivée h′n (x) = (n − 2n2 x2 )e−nx . On désigne par [x] la partie entière de x qui est définie comme l’unique entier naturel qui vérifie la double inégalité : [x] 6 x < [x] + 1. a]} = an et ainsi comme la suite numérique an tend vers zéro on conclut que la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [0. 2 2n qui tend vers l’infini lorsque l’entier n ∈ N tend vers +∞. ∀x ∈ R. sur R la suite de fonctions hn (x) = nxe−nx ne converge pas uniformément vers la fonction nulle h(x) = 0. 1[ on restreint la suite de fonctions fn (x) = xn sur le segment [0. h(x) = 0. puique la borne supérieure sup{| gn (x) − x | . ∀x ∈ [0. A. notons que lim hn (0) = 0 car hn (0) = 0. 2 Par conséquent. 2 D’abord. la suite de fonctions hn (x) = nxe−nx converge simplement vers la fonction nulle. De même. Sur le segment [0. +∞[.Convergence uniforme d’une suite de fonctions 35 h30 (x) 2 1 h5 (x) −2 −1 1 −1 −2 Figure 2.3 – Graphes des fonctions h5 et h30 Observons que pour tout réel a > 0 la restriction de la suite de fonctions hn (x) sur les intervalles de type ] − ∞. +∞[ nous donne des fonctions décroissantes dont la borne supérieure 2 sup{| hn (x) | /∀x ∈ R. 1]. 1] ? A. Soit f : R → R une fonction deux fois dérivables et dont la dérivée seconde est bornée. 1] on définit deux suites de fonctions par les expressions. −a] et [a. d) La suite de fonctions gn converge-t-elle uniformément sur [0. Montrer que la suite de fonctions gn : R → R définie par ∀x ∈ R. b) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [0. Bouarich Suites et séries de fonctions . Exercice 32. gn (x) = n(f (x + 1 ) − f (x)) n converge uniformément vers la fonction dérivée f ′ . gn ) sur le segment [0. −a] ou sur [a. 1[ la suite de fonctions gn converge uniformément sur le segment [a. 1]. | x |> a} =| hn (±a) |= nae−na tend vers zéro quand l’entier n tend +∞. la suite de fonctions hn (x) converge uniformément vers la fonction nulle sur tous les intervalles de la forme ] − ∞. Donc. c) Montrer que pour tout réel a ∈]0. 1]. fn (x) = (x(1 − x))n + x et gn (x) = (1 − x)n + x a) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions fn (resp. Exercice 33. nx + n 3) Pour tout entier n > 1 on pose : φn (x) = . fn (x) = 0 si x ∈ [0. ∀x ∈ [0. a ` l’aide d’une intégration par partie. Bouarich Suites et séries de fonctions . Exercice 36. 1) Montrer que la suite de fonctions fn (x) converge simplement vers une fonction f (x) que l’on explicitera en fonction de φ(x). n + x2n Arctg(nx). Si fn : [a. 1]. 2nx2 2) Pour tout entier n > 1 on pose : φn (x) = . fn (x) = f (t) cos(nt)dt.1 Th´ eor` emes fondamentaux sur la convergence uniforme Th´ eor` eme de la continuit´ e Th´ eor` eme 11. ∀x ∈ [0.36 Suites de fonctions Exercice 34. 1]. Soit φn (x) une suite de fonctions continues sur [0. b] → R et montrons que f est continue en tout point x0 ∈ [a. x2n . 1] par φn (x) = . b]. Sont-elles continues ? b) La suite de fonctions φn converge-t-elle uniformément vers φ(x) ? c) Montrer que la suite de fonctions fn converge unifomrément vers f (x). 1] vers une fonction φ(x) telle que φ(0) = 0 est-ce que la suite de fonctions fn (x) converge uniformément vers f (x) sur [0. 1]. ( φn (x)(sin( πx ))2 . n1 ]. si x ∈ [ n1 . b] → R. 1] ? 2. 1] qui converge simplement vers une fonction φ(x) sur [0. b] on pose. et soit fn (x) une suite de fonctions définies sur [0. Soit f : [a. x2 + n 2 kn (x) = (cos(x))n sin(x) 1 Exercice 35. alors f est continue sur le segment [a. A. nx + n + 1 a) Déterminer la fonction φ(x) et dire est-ce que la suite de fonctions φn (x) converge uniformément vers φ(x) ? b) La limite simple de la suite de fonctions fn (x) est-elle continue sur [0. Chercher la nature de convergence des suites de fonctions suivantes.3 2. Pour tout entier n ∈ N et pour tout réel x ∈ [a. b et c de la question 3 pour la suite de fonctions φn (x) définie sur n [0. 1] ? 4) Rafaire les questions a. 2nx + 1 a) Déterminer les fonctions φ(x) et f (x). montrer que la suite de fonctions fn converge uniforéA ment vers la fonction nulle. Démonstration. 1] ? c) La suite de fonctions fn (x) converge-elle uniformément vers f sur [0. nx + n + 1 5) Si la suite de fonctions φn (x) est quelconque et converge uniformément sur [0. b]. b] → R une Z xfonction de classe C . 1]. Supposons que la suite de fonctions continues fn : [a. 1] par les expressions. b] → R converge uniformément vers une fonction f : [a. cos(nx) .3. b] → R est une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f : [a. ∀x ∈ [a. ∀x ∈ [a. 1] vers une fonction f que l’on déterminera. a ∈]0. 1] 3) En déduire que pour tout réel. 1] ? A. 1] → R qui est définie par les expressions suinvantes :   x=0  1 si g(x) = 0 si 0 < x < 1   1 si x=1 Ainsi. | x − x0 |< η =⇒ | fn0 (x) − fn0 (x0 ) |< ε/3. 1[. 2) nous avons démontré que la suite de fonctions continues gn (x) = xn + (1 − x)n converge simplement sur le segment [0. nx + 1 ∀x ∈ [0. la fonction f (x) est continue au point x0 . Exercice 37. puisque la limite simple g(x) n’est pas continue aux points 0 et 1 ∈ [0. | fn (x) − f (x) |6 sup{| fn (x) − f (x) | . Notons que pour le même réel ε > 0 si on applique la continuité de la fonction fn0 au point x0 ∈ [a. Rappelons que dans l’exemple 15 (cf. 4) La convergence de fn vers f est-elle uniforme sur [0. 2) Montrer que pour tout entier n > 0 on a l’inégalité | fn (x) − f (x) |6 2 . b] on pourra trouver un réel η > 0 tel que. b] → R converge uniformément alors pour tout réel x0 ∈ [a. 1] le théorème de continuité implique que la suite de fonctions gn (x) ne converge pas uniformément sur le segment [0. Si une suite de fonctions continues fn : [a. 1] vers la fonction g : [0. Ainsi. 1]. b] qui vérifient la condition | x − x0 |< η on obtient grˆ ace ` a l’inégalité triangulaire | f (x) − f (x0 ) | 6 | f (x) − fn0 (x) | + | fn0 (x) − fn0 (x0 ) | + | fn0 (x0 ) − f (x0 ) | < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε Donc. Bouarich Suites et séries de fonctions .Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 37 Puisque la suite de fonctions fn converge uniformément vers la fonction f donc pour un réel donné ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout entier n > n0 et pour tout réel x ∈ [a. nx + 1 ∀x ∈ [0. 1]. b] on a la formule de la limite double : lim ( lim fn (x)) = lim ( lim fn (x))) x→x0 n→+∞ n→+∞ x→x0 Exemple 17. Corollaire 7. la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [a. si on coinsidère les réels x ∈ [a. 1] 1) Montrer que la suite de fonctions fn (x) converge simplement sur [0. b] on obtient l’inégalité. b]} < ε/3. Pour tout entier n > 0 on pose : fn (x) = n(x3 + x)e−x . b]. b]} 6 ε . Alors. b] → R une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers une fonction f : [a. donc si on fixe un réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 . b] on obtient l’inégalité suivante Z x . b] vers la fonction f . si pour tout entier n > n0 on intègre la dernière inégalité sur le segment [a. b] → R. Puisque la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [a. ∀t ∈ [a.3. b] on a la formule Z x Z lim fn (t)dt = n→+∞ a a Z x f (t)dt . b]. b] a converge uniformément sur le segment [a. Soit fn : [a. la suite de fonctions primitives Z x Fn (x) = fn (t)dt. x] ⊆ [a. et a x lim fn (t) dt n→+∞ Démonstration. ∀x ∈ [a. b] vers la fonction primitive F(x) = pour tout réel x ∈ [a.2 Suites de fonctions Th´ eor` eme de l’integration Th´ eor` eme 12. b−a Ainsi. | fn (t) − f (t) |6 sup{| fn (t) − f (t) | /∀t ∈ [a.38 2. Z x . Z x x−a . . b]. . ∀x ∈ [a. fn (t)dt − f (t)dt. a]. hn (x) = nxe−nx 2 converge simplement vers la fonction nulle h(x) = 0. Bouarich Suites et séries de fonctions . a Exemple 18. si dans l’intégrale simple définie Z a Z a h −1 i 1 2 2 a 2 hn (x)dx = nxe−nx dx = e−nx = (1 − e−na ) 2 2 0 0 0 on fait tendre l’entier n vers l’infini on voit que Z a Z a 1 lim hn (x)dx = 6= lim hn (x)dx = 0 n→+∞ 0 2 0 n→+∞ Donc. 6 | fn (t) − f (t) | dt 6 ε6ε b−a a a a Z x fn (t)dt converge uniformément sur le segqui montre que la suite de fonctions Fn (x) = a Z x ment [a. d’après le théorème de l’intégrabilité la suite de fonctions hn ne peut pas converger uniformément sur le segment [0. b] vers la fonction F(x) = f (t)dt. a]. Rappelons que dans l’exemple 16 (cf 3) nous avons démontré que la suite de fonctions hn : R → R qui est définie par l’expression ∀x ∈ R. Montrons alors que pour tout réel a > 0 la suite de fonctions hn (x) ne converge pas uniformément sur le segment [0. En effet. ∀x ∈ R. A. Pour prouver ce fait considérons la suite de fonctions fn : R → R définies par les expressions suivantes :   0. Sur le segment [0. si x 6 n2 − n     n−2 (x − n2 ) + n−1 .4 – Graphe de la fonction fn : R → R Notons que selon le graphe de la fonction fn (x) on voit que la borne supérieure de fn sur son domaine de définition R est égale ` a sup{| fn (x) | /∀x ∈ R} = 1 n Donc. la suite de fonctions fn converge uniformément sur R vers la fonction nulle f (x) = 0. n→+∞ a a n→+∞ Ainsi. observons que pour tout entier n ∈ N et pour tout réel a ∈ R tel que n2 − n > a l’intégrale simple généralisée Z +∞ Z n2 −n Z n2 +n Z +∞ fn (x)dx = fn (x) dx + fn (x)dx + fn (x) dx a n2 −n a = Z n2 n2 −n (n−2 (x − n2 ) + n−1 )dx + Z n2 +n n2 +n n2 (−n−2 (x − n2 ) + n−1 )dx = 1. D’autre part.Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 39 Mise en garde : Le théorème de l’intégrabilité n’est pas valable pour les suites de fonctions définies et intégrables sur un intervalle non borné. si n2 − n 6 x 6 n2 fn (x) =  −n−2 (x − n2 ) + n−1 . si n2 6 x 6 n2 + n     0. si on fait tendre l’entier naturel n vers l’infini on voit que Z +∞ Z +∞ lim fn (x)dx = 1 6= lim fn (x)dx = 0. Exercice 38. Donc. π/2] on définit une suite de fonctions fn par l’expression fn (x) = n(cosn (x)) sin(x) A. ∀x ∈ R. si x > n2 + n et o` u le graphe du terme général fn est représenté dans la figure suivante : 6 1 n - n2 − n n2 n2 + n Figure 2. Bouarich Suites et séries de fonctions . on conclut que le théorème de l’integrabilité ne s’applique pas aux suites de fonctions qui convergent uniformément sur un intervalle I ⊆ R non borné. dans l’expression precédente. en conséquence de ce calcul. lim Z n→+∞ 0 x fn (t)dt et Z x lim fn (t)dt 0 n→+∞ 3) Conclure. 3) Montrer que pour tout réel a > 0 la suite de fonctions fn converge unifomrément sur l’intervalle [a. fn (x) = 3n (x2 − x2 n n+1 ) ´ 1) Etudier la convergence simple de la suite de fonctions fn (x). A. 1] comparer les deux limites suivantes. e) Même question si on suppose que la fonction f est de classe C 1 non nécessairement bornée. Pour tout entier n > 0 on définit une fonction par l’expression ∀x ∈ [0. x→+∞ 2) Montrer que les deux suites de fonctions fn et gn convergent simplement sur R+ vers la fonction nulle. c) Que peut-on dire a ` propos de la convergence uniforme de la suite de fonctions fn sur un segment [a. Bouarich Suites et séries de fonctions . 1]. Z b 1 b) Pour tout couple de nombres réels a < b on pose un = f (x + )dx. 2) Pour tout réel x ∈ [0. Exercice 40. calculer l’intégrale simple définie.40 Suites de fonctions 1) Pour tout entier n ∈ N. Calculer la limite n a de la suite numérique un . b] ⊆ R ? ´ d) Etudier la nature de convergence de la suite de fonctions fn lorsque la fonction dérivée f ′ est bornée sur R. Etant donnée une fonction continue. 4) En déduire que la suite de fonctions fn gn (produit) converge unifomrément sur R+ . 0 2) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément sur le segment [0. π/2] ? Exercice 39. Z π/2 fn (x)dx. Pour tout entier n 6= 0 on définit une fonction continue sur R par l’expression fn (x) = f (x + 1 ) n a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn (x). a]. dont l’intégrale simple Z +∞ généralisée f (t)dt converge et telle que f (0) = 0 on lui associe pour tout entier n > 1 0 deux fonctions définies par les expressions suivantes : ∀x > 0. ´ Exercice 41. f : R+ → R+ . Soit f : R → R une fonction continue. +∞[ et que la suite de fonctions gn converge unifomrément sur [0. fn (x) = f (nx) et x gn (x) = f ( ) n 1) Montrer que la limite lim f (x) = 0. b[→ R converge uniformément vers une fonction g :]a. on a l’implication suivante ∀n > m > n0 =⇒ sup{| fn (x) − fm (x) | . puisque la suite des fonctions dérivées fn′ est uniformément de Cauchy et la suite numérique fn (x0 ) converge. ´ Etape 2 : Pour tout y ∈]a. d dfn ( lim fn (x)) = lim (x) = g(x) n−→+∞ dx dx n→+∞ Démonstration. b[ tel que la suite numérique fn (x0 ) converge. ′ | fn (x) − fm (x) | 6 | fn (x0 ) − fm (x0 ) | + | x − x0 | sup{| fn′ (x) − fm (x) | . b[→ R. b[→ R est continue sur le segment [a. x ∈]a. b[} 6 ε 2(b − a) et | fn (x0 ) − fm (x0 ) |6 ε 2 qui. b[}. ∀n > m > n0 =⇒ | fn (x) − fm (x) |6 ε Autrement dit. si x = y A. b]} 6 ε qui montre que la suite de fonctions fn : [a. b] → R qui est dérivable sur l’intervalle ]a.3. b[} ′ 6 | fn (x0 ) − fm (x0 ) | + | b − a | sup{| fn′ (x) − fm (x) | . b[. b] → R est uniformément de Cauchy. b] le théorème des accroissements finis nous permet de trouver un réel c compris entre x et x0 tel que ′ fn (x) − fm (x) − fn (x0 ) − fm (x0 ) = (x − x0 ) fn′ (c) − fm (c) ′ (x) | . x ∈]a. grˆ ace à ce qui précède. puisque le réel | fn′ (c) − fm (c) |6 sup{| fn′ (x) − fm eduit que pour tout réel x ∈ [a. b] → R converge uniformément vers une fonction continue f : [a. définies par les expressions suivantes   fn (x) − fn (y) . nous permettent de déduire que ∀x ∈ [a. donc pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout couple d’entiers m > n > n0 on a les inégalités suivantes : ′ sup{| fn′ (x) − fm (x) | . si x 6= y x−y ϕn (x) =  fn′ (y). b[} on en d´ Ainsi. D’autre part. ϕn :]a. Soit fn : [a. S’il existe un point x0 ∈]a. x ∈]a.3 41 Th´ eor` eme de la d´ erivation Th´ eor` eme 13. b[→ R. Bouarich Suites et séries de fonctions . ∀x ∈ [a. f ′ (x) = ∀x ∈]a. puisque la fonction fn − fm : [a. b[ telles que la suite des fonctions dérivées fn′ :]a. En effet. b]. x ∈]a. b]. donc si on fixe un couple de nombres réels x0 et x ∈ [a. b] → R une suite de fonctions continues et dérivables sur l’intervalle ]a. b[ fixé montrons que la suite de fonctions continues. b[ et dont la fonction dérivée est donnée par l’expression. alors la suite de fonctions fn : [a. b].Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 2. On va dévelpper la preuve du théorme ` en étapes élémentaires : ´ Etape 1 : Sous les hypothèses du théorème démontrons que la suite de fonctions fn est uniformément de Cauchy. 1) La convergence uniforme d’une suite de fonctions dérivables fn : [a. x ∈]a. b[→ R converge uniformément sur l’intervalle ]a. ∀x ∈]a. Bouarich Suites et séries de fonctions . b[ et sa dérivée est donnée par l’expression : ∀y ∈]a. b[. puisque la suite des fonctions dérivées fn′ est uniformément de Cauchy sur l’intervalle ]a. si on applique le théorème des accroissements finis ` a la fonction fn − fm on peut trouver un réel c compris entre les nombres réels x 6= y et qui permet d’écrire l’expression suivante (fn (x) − fm (x)) − (fn (y) − fm (y)) ′ (x − y)(fn′ (c) − fm (c)). ′ sup{| ϕn (x) − ϕm (x) | . b[. n→+∞ dx dx n→+∞ Mise en garde : Dans ce paragraphe. nous allons discuter deux questions qui se posent ` a propos des suites de fonctions dérivables uniformément convergentes. b[} | ϕn (x) − ϕm (x) |6 sup{| fn′ (x) − fm ∀x ∈]a. b] → R converge simplement. b] → R n’implique pas que la suite des fonctions dérivées fn′ : [a. x ∈]a. b[} Par conséquent. b[} 6 sup{| fn′ (x) − fm (x) | . = ′ (c). b[ on en déduit que la suite de fonctions ϕn est uniformément de Cauchy sur l’intervalle ]a. b[ parce que.42 Suites de fonctions est uniformément de Cauchy sur son domaine de définition. et qui implique la suivante. =⇒ ϕn (x) − ϕm (x) = fn′ (c) − fm Ainsi. comme dans l’étape précédente. lim x→y x6=y f (x) − f (y) x−y = = fn (x) − fn (y) n→+∞ x−y x6=y lim lim ϕ (x) n x→y lim x→y x6=y = = lim n→+∞ lim n→+∞ ϕ (x) lim n x→y x6=y lim f ′ (y) n→+∞ n Par conséquent. la limite uniforme f de la suite de fonctions fn est dérivable sur l’intervalle ]a. A. b[. b[ on obtient l’inégalité suivante ′ (x) | . f ′ (y) = lim fn′ (y) n→+∞ ⇐⇒ d d ( lim fn ) = lim (fn ). ´ Etape 3 : Désignons par f : [a. Notons d’abord que la suite de fonctions ϕn :]a. b[. puisque pour x = y on a par définition ϕn (y) = fn′ (y) on voit que si on majore le réel ′ (c) par la borne sup´ fn′ (c) − fm erieure de la fonction fn − fm sur ]a. b] → R la limite uniforme de la suite de fonctions fn et observons que si on applique la formule de la limite double ` a suite de fonctions continues ϕn on obtient pour tout y ∈]a. puisque pour tout réel x ∈ [−1. fn (x) = x2 + 2 n et montrons que la suite de fonctions fn (x) converge uniformément sur le segment [−1.Théorèmes fondamentaux sur la convergence uniforme 43 cos(nx) Pour voir ceci considèrons la suite de fonctions dérivables fn (x) = qui converge n ′ uniformément vers la fonction nulle . 1] vers la fonction f (x) =| x | qui est non dérivable au point x = 0. n fn (x) = 0. comparer les quantités ( lim fn (x)) et lim (x). A. Autrement dit. 1[. f (x) =| x | . Soit fn : R+ → R le terme général d’une suite de fonctions définies par les expressions suivantes : ( x sin( ). si − 1 6 x < 0 si x = 0 si 0 < x 6 1 qui est discontinue . Pour comprendre ce phénomène considérons la suite de fonctions dérivables r 1 ∀x ∈ [−1. 1] vers la fonction. Que peut-on n−→+∞ dx dx n→+∞ conclure ? Exercice 43. et donc la suite de fonctions fn′ (x) ne converge pas uniformément sur ] − 1. si 0 6 x 6 nπ. ∀x ∈ [−1. 2 Exercice 42. ´ 2) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions dérivées fn′ (x). si x > nπ. On considère la suite de fonctions fn (x) = xe−nx o` u x ∈ R. ∀x ∈ [−1. n→+∞   1. 1]. la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [−1. r 1 Il faut noter que l’exemple de la suite de fonctions dérivables fn (x) = x2 + 2 ne contredit n pas le résultat du théorème de la dérivabilité parce que la suite des fonctions dérivées fn′ (x) = r x x2 1 + 2 n . ′ g(x) = lim fn (x) = 0. En effet. 1] converge simplement vers la fonction    −1. 1]} 6 1 n Donc. la suite de fonctions d’érivables fn ne remplit pas toutes conditions du théorème de la dérivabilité. Bouarich Suites et séries de fonctions . d dfn 3) Pour tout x ∈ R. 2) La limite uniforme d’une suite de fonctions dérivables peut être non dérivable. 1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur R. par contre la suite des fonctions dérivées fn (x) = sin(nx) n’a pas de limite. 1] on a l’inégalité r r 1 1 1 1 2 ⇐⇒ 0 6 x2 + 2 − | x |6 | x |6 x + 2 6| x | + n n n n on en déduit que la borne supérieure sup{| fn (x) − f (x) | . Pn+1 (x) = Pn (x) + 12 (x − P2n (x)). A. montrer que pour tout réel x ∈ [0. 0 6 Pn (x) − √ x6 √ x(1 − 1√ n x) . b) Déterminer l’expression de la suite de fonctions dérivées fn′ et étudier sa convergence uniforme sur R+ . Bouarich Suites et séries de fonctions . 1]. 2 x 2) Vérifier que la suite de fonctions. 1] vers la fonction f (x) = x.44 Suites de fonctions a) Calculer la limite simple de suite de fonctions fn sur R+ . ( P0 (x) = 0 ∀x ∈ [0. converge uniformément sur le segment 2 [0. fn (x) = x(1− )n . 1]. 1]. 3) En déduire que la suite de fonctions polynˆ omiales Pn (x) converge uniformément sur le √ segment [0. Dans cet exercice on se propose de montrer que la fonction f (x) = x est une limite uniforme d’une suite de fonctions polynˆ omiales définies sur le segment [0. 1] de la suite de polynˆ omes Pn (x2 ). Sur le segment [0. 4) Déterminer la limite uniforme sur le segment [0. ∀n ∈ N∗ 1) Par récurrence. c) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformément ? √ Exercice 44. 1] on définit une suite de fonctions polynˆ omiales Pn (x) par la relation de récurrence. 1] vers la fonction nulle. son terme général fn (x) converge simplement (resp. uniformément) sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R il faut et il suffit que la suite des restes X Rn (x) = fn (x). Si le domaine de convergence simple J ⊂ I de la suite de fonctions de terme général Sn est non vide on définit une fonction S : J → R par l’expression. Sn (x) converge } s’appelle domaine de convergence simple de la série de fonctions (fn . fn (x).Chapitre Trois Les s´ eries de fonctions 3. Sn ) s’appelle série de fonctions de termes général fn et le sous-ensemble J = {x ∈ I . si la suite de fonctions Sn converge uniformément vers la fonction S(x) sur le domaine J ⊂ I on dira que la série de fonctions de terme général fn converge uniformément vers la fonction S : J → R. Pour qu’une série de fonctions. En plus. X Exercice 45. uniformément) sur J vers la fonction nulle. ∀x ∈ J n→+∞ n>0 qu’on appellera limite simple de la série de fonctions de terme général fn . X Exercice 46. uniformément) sur J vers la fonction nulle. 4. A. Pour tout entier naturel n > 0 on définit la somme partielle des (n + 1)-premiers termes de la suite fn par l’expression. Le couple des suites de fonctions (fn .1 D´ efinitions et propri´ et´ es Soient I ⊂ R un intervalle et fn : I → R une suite de fonctions. uniformément) sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R. fn (x). X S(x) = lim Sn (x) = fn (x). Sn ). 3. converge simplement (resp. Sn (x) = f0 (x) + f1 (x) + · · · + fn (x) 2. Bouarich Suites et séries de fonctions . ∀x ∈ J k>n+1 converge simplement (resp. converge simplement (resp. 1. Si une série de fonctions. ∀x ∈ I. pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 tel que ∀n. R). m ∈ N. la série de fonctions n>0 bornées n>0 X fn (x) convergence normalement sur I. R) → R+ est une norme. Donc. Th´ eor` eme 15 (Weierstrass). converge normalement X kfn k∞ est convergente. la série de fonctions X kfm + · · · + fn k∞ 6 kfm k∞ + · · · + kfn k∞ < ε fn converge uniformément sur l’intervalle I. Une série de fonctions bornées qui converge normalement sur un intervalle non vide I ⊆ R converge uniformément sur I. k·k∞ ) est complet. ∀x ∈ I} Exercice 47. afin d’alléger les notations pour toute fonction bornée f : I → R nous poserons kf k∞ := sup{| f (x) | . n>0 Démonstration. En effet. en normes) si la série numérique n>0 Th´ eor` eme 14. On dira que la série de fonctions bornées. comme la série numérique X X an converge il s’ensuit que la série numérique kfn k converge. 1) Montrer que l’application k · k∞ : B(I. R) l’espace vectoriel réel des fonctions bornées sur l’intervalle I. Bouarich Suites et séries de fonctions . R). n > m > n0 =⇒ kfm k∞ + · · · + kfn k∞ < ε Ainsi. pour étudier la nature de convergence d’une série de fonctions bornées de terme général fn : I → R on suit les étapes suivantes : A. (ie. 3) Montrer que le sous-espace vectoriel réel. C(I. k · k∞ ). R). Donc.46 Les séries de fonctions Dans la suite de ce chapitre. Si la série numérique an converge alors n>0 la série de fonctions X fn (x) converge normalement sur I. 2) Montrer que l’espace vectoriel normé (B(I. montrer que toute suite de Cauchy d’éléments de l’espace normé (B(I. Ainsi. fn : I → R. k · k∞ ) converge dans B(I. R). puisque pour tout réel x ∈ I on a l’inégalité | fn (x) |6 an cela implique que la norme de convergence uniforme kfn k∞ 6 an . des fonctions continues sur l’intervalle I est fermé dans l’espace normé (B(I. en appliquant l’inégalité triangulaire pour la norme k · k∞ on voit que =⇒ n > m > n0 Donc. R). | fn (x) |6 an . uniformément). C’est-` a-dire. D´ efinition 9. Supposons que la série de fonctions de terme général fn : I → R converge normalement sur I. Soit I ⊆ R est un intervalle non vide. Démonstration. On désigne par B(I. Soient an > 0 une suite et fn : I → R une suite de fonctions X bornées telles que pour tout x ∈ I. n>0 Le théorème suivant qui est très efficace pour prouver qu’une série de fonctions bornées converge normalement (resp. n>0 En général. converge} n>0 Il y aura deux cas possibles : – Si le domaine de converge simple de la série de fonctions fn est vide (i. Cette étape nous permet donc d’identifier le domaine de convergence simple de la série de fonctions fn : I → R i.e. Exemple 19. ` a chaque cas particulier de séries de fonctions il y a sa méthode spécifique qui permet d’avoir des renseignements sur la convergence uniforme.e. 2. ∀x ∈ [0. x ∈ J} X et ainsi si la série numérique kfn k∞ converge le théorème de Weierstrass nous permet n>0 de conclure que la série de fonctions X fn converge normalement sur J. 1] Notons que puisque un (x) est le terme général d’une suite géométrique de raison x on déduit que la somme partielle  k=n  n+1 si x = 1 X n+1 Sn (x) = uk (x) = 1 − x  si x 6= 1 k=0 1−x A. 1) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions dont le terme général est défini sur le segment [0. X J = {x ∈ I/ fn (x0 ) . Bouarich Suites et séries de fonctions . On étudie la nature de convergence uniforme de la suite des sommes partielles ∀x ∈ J. Toutefois. Pour chaque entier n > 0 on calcule (ou on majore) la norme de la convergence uniforme du terme général de la série de fonctions i.e. Sn = f0 + f1 + · · · + fn Cette étude nous invite donc ` a appliquer ` a la suite de fonctions Sn toutes les méthodes étudiées dans le chapitre 2 consacré ` a l’étude des suites de fonctions. J = ∅) on arrête l’étude et on déclare que la série de fonctions fn ne converge pas. Les méthodes et techniques qu’on applique le plus souvent pour trouver la nature de convergence uniforme peuvent être résumés dans les points suivants : 1. et par suite la n>0 série converge uniformément sur J.Définitions et propriétés 47 Etape 1 : On cherche le domaine de convergence simple. un (x) = xn .e. : kfn k∞ = sup{| fn (x) | . Pour étudier la convergence uniforme de la série de fonctions fn sur le sous domaine de convergence simple J ⊆ I il n’y a pas de méthodes générales. 1] par. J 6= ∅) on passe alors ` a l’étape suivante. – Si le domaine de convergence simple de la série de fonctions fn est non vide (i. Pour un réel fixé x0 ∈ I on étudie la nature de convergence de la série numérique X fn (x0 ) n>0 en lui appliquant les critères et les règles de convergences étudiés dans le chapitre 1 consacré aux séries numériques. Etape 2 : On cherche le domaine de convergence uniforme. converge normalement sur le segment n>0 1 [0. Cependant. 1[ on en déduit que la série de fonctions X xn ne converge n>0 pas uniformément sur l’intervalle [0. 1[ on restreint les fonctions un (x) sur le segment [0. | x |> a} on voit que la borne supérieure kgn k∞ = sup{| gn (x) | / | x |> a} = A. a] vers la fonction S(x) = . la série de fonctions un (x) converge simplement sur l’intervalle [0. si pour tout réel a > 0 on restreint la suite de fonctions gn (x) sur le sous-ensemble {x ∈ R . 1[. gn (x) = 1 1 + n 2 x2 1 1 a) Notons que puisque pour x0 = 6 0 le terme général 6 2 et la série 1 + n2 (x0 )2 n (x0 )2 X 1 X 1 converge on en d´ e duit que la s´ e rie de fonctions converge de Riemann 2 n 1 + n 2 x2 n>1 n>0 simplement sur R∗ . ∀x ∈ R. b) Notons aussi que puisque la borne supérieure. puisque la série de Riemann 1 n2 =⇒ ∀n ∈ N∗ . n2 1 + x2 Observons que puisque pour tout x ∈ R on a l’inégalité ∀n ∈ N∗ . 1[ Notons que puisque le reste d’ordre n > 1 Sn (x) − S(x) = − xn+1 1−x n’est pas borné sur l’intervalle [0. 0 < fn (x) 6 Donc.48 Les séries de fonctions Donc. xn . a] ⊂ [0. ∀x ∈ R∗ } = 1 on en déduit que la série de fonctions X n>0 1 ne converge pas normalement sur R∗ . 1 + n 2 x2 Toutefois. fn (x) = ∀x ∈ R. kfn k∞ 6 1 n2 X 1 converge le théorème de Weierstrass implique que n2 n>1 1 converge normalement sur R. 1[ vers la fonction S(x) = 1 . si pour tout réel a ∈]0. 1−x 2) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions fn définies sur R par. Bouarich 1 1 + n2 a2 Suites et séries de fonctions . la série de fonctions 2 + x2 n n>1 X 3) Cherchons la nature de convergence de la série de fonctions gn définies sur R par. 1[ on voit que la borne supérieure kun k∞ = sup{un (x)/0 6 x 6 a < 1} = an X et ainsi on en déduit que la série de fonctions. 1−x ∀x ∈ [0. sup{| gn (x) | . Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme ce qui implique que la série de fonctions X n>0 49 1 converge normalement sur tous les 1 + n 2 x2 sous-ensembles {x ∈ R . . 1. n>0 n>0 X Indication : Considérer la série de fonctions un (x) + ivn (x) o` u (i)2 = −1. On définit sur R deux suites de fonctions par les expressions suivantes : ( ( 1 si n = 0 0 si n = 0 un (x) = et vn (x) = −na −na cos(nbx) si n 6= 0 sin(nbx) si n 6= 0 e e Montrer que les séries de fonctons de termes généraux un (x) et vn (x) convergent normalement X X sur R et calculer leurs sommes U(x) = un (x) et V(x) = vn (x). de dérivabilité ou d’integrabilité et qui s’énoncent comme suit. X X (−1)n un (x) et un (x) convergent simplement sur 2) Montrer que les séries de fonctions n>0 n>0 le segment [0. n>0 3. Sur le segment [0. la dérivabilité ou chercher p=0 une primitive de la fonction S(x) = X fn (x) sur le domaine de convergence simple de la n>0 suite de fonction Sn (x) il suffit qu’on lui applique respectivement les théorèmes de continuité. Trouver le domaine et la nature de convergence des séries de fonctions suivantes : X X x4n X 1 (Log(x))n . n2 3n n n>1 n>1 n>1 Exercice 49. Exercice 48. 1] on définit une suite de fonctions par les expressions : un (x) = ( −xn+1 Log(x) 0 si si 0<x61 x=0 1) Déterminer le maximum absolu de la fonction un (x) sur le segment [0. n 2 − x2 1 + x2n n>1 n>1 n>0 X sin(nx) X X sin(nx) x √ . . . Par exemple. Soient a > 0 et b ∈ R des réels fixés. 1] et calculer leurs sommes respectives. | x |> a} avec a > 0. 1]. Bouarich Suites et séries de fonctions . X X 3) Déterminer pour chacune des séries de fonctions (−1)n un (x) et un (x) son domaine n>0 n>0 de convergence uniforme ? Exercice 50. si on veut étudier la continuité.2 Th´ eor` emes fondamentaux de la convergence uniforme On rappelle que la nature de convergence d’une série de fonctions X fn (x) s’obtient en n>0 étudiant la nature de convergence de la suite de fonctions des sommes partielles associée p=n X Sn (x) = fn (x). 2. A. sin( ). converge uniformément sur ]a. Sn (x) = f0 (x)+f1 (x)+· · ·+fn (x). dérivables sur l’intervalle ]a. Si la suite de fonctions des sommes partielles.50 Les séries de fonctions Th´ eor` eme 16 (Continuité). X 1 Exemple 20. Montrons que la série de fonctions. comme le terme général fn (x) est continu sur R il s’ensuit que la fonction F(x) est continue sur R. Bouarich Suites et séries de fonctions . converge uniformément sur le segment [a. b[. puisque la série de Riemann n n2 n>1 X converge le théorème de Weierstrass implqiue que la série de fonctions fn (x) convergence n>1 normalement (donc uniformément) sur R. Si la suite de fonctions des sommes partielles. S′ (x) = X d X fn (x) = fn′ (x) dx n>0 n>0 Dans l’exemple suivant on va expliquer comme on e applique les théorèmes précédents pour examiner la continuité et la dérivabilité des fonctions définies au moyen d’une série de fonctions. F(x) = . b[ on a la formule de dérivation. Soit fn : [a. b[. kfn k∞ = sup{| fn (x) | . b] alors la fonction S(x) = X fn (x) n>0 est continue sur le segment [a. a) Continuit´ e de la fonction x 7−→ F(x) sur R 1 Pour tout entier n > 1 posons fn (x) = 2 et notons que la norme de convergence x + n2 X 1 1 uniforme. S′n (x) = f0′ (x) + f1′ (x) + · · · + fn′ (x). Soit fn : [a. Par conséquent. De plus. Th´ eor` eme 17 (Intégrabilité). b] → R une suite de fonctions continues. pour tout x ∈]a. b] alors pour tout x ∈ [a. définit une fonction 2 x + n2 n>1 dérivable sur R. b[ tel que la série numérique fn (x0 ) converge alors la fonction. Sn (x) = f0 (x) + f1 (x) + · · · + fn (x). b] → R une suite de fonctions continues. ∀x ∈ R} = 2 . n>0 S(x) = X fn (x) n>0 est continue sur le segment [a. Ainsi. b]. X S’il existe un x0 ∈]a. converge uniformémen sur le segment [a. b[ et telles que la suite des sommes partielles des fonctions dérivées. Soit fn : [a. b] on a la formule Z x Z x Z x X XZ x lim Sn (t)dt = lim Sn (t)dt ⇐⇒ fn (t) dt = fn (t)dt a n→+∞ n→+∞ a a n>0 n>0 a Th´ eor` eme 18 ( Dérivabilité ). b) D´ erivabilit´ e de la fonction x 7−→ F(x) sur R A. b] et est dérivable sur l’intervalle ouvert ]a. b] → R une suite de fonctions continues. b] il suffit qu’on n>0 a les conditions suivantes : 1. Soient an et fn : [a. puisque la fonction dérivée. k 2. fn′ (x) = 2(3x2 − n2 ) (x2 + n2 )3 fn(2) (x) = et donc le tableau des variations de fn′ (x) = x (2) fn (x) −∞ + −2x est donné par : + n2 )2 (x2 − √n3 √n 3 0 fn′ (x) −2x . Pour que la X série de fonctions an (x)fn (x) converge uniformément sur le segment [a. x ∈ R} = 8n3 X 1 et la série de Riemann converge le théorème de Weiestrass implique que la série X n3 des fonctions dérivées fn′ converge normalement (donc uniformément) sur R.Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 51 D’après le théorème de dérivabilité pour montrer que la fonction F(x) = rivable su R il suffit qu’on démontre que la série des fonctions dérivées X fn (x) est dé- n>1 X fn′ (x) converge n>1 uniformément sur R. En effet. La série de fonctions k=n X k=0 i=n . Il existe un réel M > tel que pour tout entier n ∈ N. on en déduit que la dérivée seconde + n2 )2 (x2 √ 3 3 8n3 − @ @ R @ 0 +∞ + 0 √ − 38n33 0 Par conséquent. donc le n>1 théorème de la dérivation implique que la fonction F(x) est dérivable sur R et que sa fonction dérivée est donnée en tout point x ∈ R par. F′ (x) = X n>1 −2x (x2 + n2 )2 Pour finir ce chapitre nous allons démontrer le théorème d’Abel pour les séries de fonctions et nous l’appliquerons ` a certains exemples de séries de fonctions. kfn′ k∞ = sup{| fn′ (x) √ 3 3 | . Th´ eor` eme 19 (Abel). puisque la norme de convergence uniforme. b] → R deux suites de fonctions. X . . . an k = sup{. ai (x). x ∈ [a. b]} < M i=0 . . X . . . f (x) − f (x) . . converge uniformément sur [a. b]. n+1 n n>0 A. Bouarich Suites et séries de fonctions . Démonstration. Maintenant. l’inégalité précédente permet de conclure i=n X que la suite des sommes partielles Sn (x) = ai (x)fi (x) est uniformément de Cauchy sur i=0 X le segment [a. nous allons vérifier que X la somme partielle de la série de fonctions an (x)fn (x) est une suite uniformément de de n>0 Cauchy. D’autre part. Bouarich Suites et séries de fonctions .52 Les séries de fonctions 3. Le théorème d’Abel qu’on vient de démontrer admet deux énoncés particuliers qu’on rencontre le plus souvent en pratique. si on applique la condition 1) on obtient la majoration suivante : ∀x ∈ [a. b]. b]. Dans cette preuve. si on remarque que la suite de fonctions An (x) est uniformément bornée (i. b]. La suite de fonctions fn converge sur le segment [a. A. Pour cela pour tout entier n > 0 posons i=n X ai (x)fi (x) Sn (x) = et An (x) = i=0 i=n X ai (x) i=1 et pour tout couple d’entiers 0 6 m < n développons la différence Sn (x) − Sm (x) comme suit : Sn (x) − Sm (x) = = i=n X i=n X i=m+1 = i=n X i=m+1 = ai (x)fi (x) i=m+1 i=n X i=m+1 (Ai (x) − Ai−1 (x))fi (x) Ai (x)fi (x) − Ai (x)fi (x) − = An (x)fn (x) + i=n X Ai−1 (x)fi (x) i=m+1 i=n−1 X i=n−1 X Ai (x)fi+1 (x) i=m i=m+1 Ai (x)(fi (x) − fi+1 (x)) − Am (x)fm+1 (x). b]. Donc. Enfin. la série de fonctions an (x)fn (x) converge uniformément sur le n>0 segment [a. puisque 2) implique que la suite des sommes partielles i=n X i=0 | fi (x) − fi+1 (x) | est uniformément de Cauchy sur le segement [a. b] uniformément vers la fonction nulle. | i=n−1 X Ai (x)(fi (x) − fi+1 (x)) |6 M i=m+1 i=n−1 X i=m+1 | fi (x) − fi+1 (x) | . b] vers la fonction nulle.e conditions 1) et que la suite de fonctions fn (x) converge uniformément (i. Nous les énoncerons sous forme de deux corollaires. sous les hypothèses du théorème.e condition 3) vers la fonction nulle on déduit donc que les deux suites de fonctions An (x)fn (x) et Am (x)fm+1 (x) convergent uniformément sur le segement [a. Pour que la série de X an (x)fn (x) converge uniformément sur le segment [a. Il existe un réel M > 0 tel que pour tout n ∈ N. b] → R deux suite de fonctions. Soient an et fn : [a. k k=n X k=0 i=n .Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme 53 Corollaire 8. b] il suffit qu’on ait les fonctions n>0 conditions suivantes : 1. X . . . an k = sup{. ai (x). i=n X i=0 | fi (x) − fi+1 (x) |= f0 (x) − fn+1 (x) converge uniformément et puis appliquer le théorème de Abel. . b]} < M i=0 2. Si la suite de fonctions fn est décroissante (i. X sin(nx) n n>1 et X cos(nx) n>1 n Rappelons que la somme partielle de la suite géométrique de raison. Démonstration. Démonstration. b] vers la fonction nulle. La suite de fonctions fn est décroissante (i. Remarquer que la condition fn+1 (x) 6 fn (x) permet de déduire que la suite des sommes partielles. b] on pose i=n X an (x) = (−1)n on vérifie que la somme partille. alors la série de fonctions (−1)n fn (x) converge uniformément sur le n>0 segment [a.e. eix ∈ C. Bouarich . b] vers X la fonction nulle. b] → R une suite de fonctions. x ∈ [a. | ai (x) |= 1 ou 0. Cherchons la nature de convergence des séries de fonctions. b]. Soit fn : [a. fn+1 (x) 6 fn (x)) et converge uniformément sur [a. Remarquer que si pour tout entier n > 0 et tout réel x ∈ [a. donc uniformément i=0 bornée. Corollaire 9 ( Leibniz ). Exemple 21.e fn+1 (x) 6 fn (x)) et converge uniformément sur le segment [a. est donnée par l’expression : En (x) = p=n X eipx = i=0 = 1 − ei(n+1)x 1 − eix e−i(n+1)x/2 − ei(n+1)x/2 inx/2 e e−ix/2 − eix/2 et que pour tout réel x 6∈ 2πZ le module de la somme partielle En (x) est égale ` a A. sin((n + 1)x/2) . . . | En (x) |= . . sin(x/2) Suites et séries de fonctions . imaginaire) du nombre complexe En (x) est égale ` a l’expression p=n p=n X X cos(px) resp. comme la partie réelle (resp. Im(En (x)) = sin(px) ℜ(En (x)) = p=0 p=0 on déduit qu’on a les deux inégalités suivantes .54 Les séries de fonctions Ainsi. p=n X sin(px) . . 6 1 | sin(x/2) | . p=n . . X . sin(px). 6 . 1 | sin(α/2) | p=0 et . p=n . . X . cos(px) . . 6 1 | sin(x/2) | . p=n . . X . cos(px). 6 . Soit a ∈ R un paramètre. si le paramètre a < 1. Exercice 51. si on se donne une suite décroissante de fonctions continues fn : [α. X nxe−nx n>0 2 et X1 (cos(x))n sin(nx). définit Exercice 53. nα . ∀n ∈ N. Calculer la somme des séries de fonctions suivantes : X e−nx n>1 n . 2π−α] → R (i. π[ les deux séries de fonctions f (x) = X sin(nx) et n n>1 g(x) = X cos(nx) n>1 n sont continues sur le segment [α. Par exemple. 2π − α]. X cos(nx) n>1 une fonction de classe C 1 sur R. Sur R on définit une suite de fonctions par. k=n X 2 3) On suppose a = 1. observons que si on fixe un réel α ∈]0.e. Bouarich Suites et séries de fonctions . n n>1 Exercice 52. si le paramètre a < 0. 2) Montrer que la série de fonctions fn converge normalement si et seulement. Calculer la dérivée de la fonction. fn+1 6 fn ) et qui converge uniformément vers la fonction nulle. π[ on voit que pour tout x ∈ [α. fn (x) = na x2 e−nx 2 1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformément sur R si et seulement. et en déduire k=1 A. e−kx . 1 | sin(α/2) | p=0 Enfin. Montrer que pour tout réel α > 2 la série de fonctions. 2π − α]. le théorème d’Abel implique que les deux séries de fonctions suivantes : f (x) = X fn (x) sin(nx) et n>0 g(x) = X fn (x) cos(nx) n>0 convergent uniformément. pour tout réel α ∈]0. 2π − α] on a p=0 et p=0 Par conséquent. donc elle définissent deux fonctions continues sur [α. 1] vers n>1 une fonction qu’on notera f . X n>1 fn est de classe C 1 sur l’intervalle fn . t+1 e 0 X (−1)n−1 n I) Pour tout réel x on pose : f (x) = . X 1) Montrer que la série de fonctions fn (x) = xn sin(nx) n fn converge simplement sur le segment [−1. un (x) définit une fonction de classe C 1 sur ] − ∞. A. 1]. f (x) = arctg x sin(x) 1 − x cos(x) Applications : Calculer la somme des séries suivantes : X sin(n) n>1 n . Exercice 54. périodique et paire. 3) Est-ce que f est dérivable sur R ? Exercice 57. n! n>1 1) Montrer que f est bien définie sur R. Pour tout réel x on pose f (x) = X 1 arcos(cos(nx)). Dans cette exercice on se propose de montrer que l’intégrale simple généralisée Z +∞ cos(tx) I(x) = dt définit une fonction de classe C ∞ sur R. −1]. −1]. 3) En dérivant la série de fonctions. n→+∞ – la série de fonctions fn ne converge pas uniformément. b) Montrer que la fonction f est de classe C ∞ sur son domaine de définition. 1] on définit une suite de fonctions par l’expresssion ∀n ∈ N∗ . n 2x − 1 X b) Montrer que la série de fonctions un (x) converge normalement sur ] − ∞. n>1 c) Montrer que la série de fonctions dérivées X n>1 En déduire que la série X n>1 u′n (x) converge uniformément sur ]−∞. 2) Montrer que la limite simple de la série de fonctions X n>1 ] − 1. Sur le segment [−1. k=1 – la somme S(x) = lim Sn (x) . 2) Montrer que f est continue sur R. montrer que pour tout x ∈ [−1. Exercice 56. 1[. X (−1)n n>1 sin(n) n et X sin(2n) n>1 n Exercice 55. Bouarich Suites et séries de fonctions . a) Trouver le domaine de convergence simple de la série de fonctions de terme 1 x + 1 n général. n 2 + x2 n>1 a) Déterminer le domaine de définition de la fonction f . −1]. un (x) = √ .Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme – l’expression de la somme partielle Sn (x) = k=n X 55 fn (x) . Exercice 58. 1] → R le terme général d’une suite de fonctions continues définies pour tout entier n > 1 par les expressions. Dans cet exercice on se propose de calculer l’intégrale généralisée. 1] → R définie  0    xLog(x) f (x) =    x−1 0 Z 1 0 xn+1 Log(x) dx. déduire que l’intégrale généralisée I(x) et + 1 sur R. I + p=n X Ip = p=1 c) Montrer que la fonction f : [0. d) En déduire que l’intégrale généralisée I converge vers une série numérique de Riemann convergente que l’on déterminera. A. x−1 par les expressions. 1[ si x=1 est continue. b) Calculer la norme de convergence uniforme kfn k∞ .  0 si x = 0.    x−1 1 si x = 1. 1] ? X fn (x). a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn . c) Est-ce que la suite de fonctions fn converge uniformément sur le segment [0. Z 1 xLog(x) I= dx x−1 0 au moyen d’une série numérique convergente. d) Calculer la limite simple de la série de fonctions n>1 2) a) Montrer que pour tout entier n > 1 l’intégrale simple généralisée Z 1 In = fn (x)dx 0 converge et la calculer. si x=0 si x ∈]0.    n x Log(x) fn (x) = si 0 < x < 1. 1) Soit fn : [0. 0 a) Montrer que pour tout réel x ∈ R les intégrales généralisée I(x) et In (x) convergent. b) Montrer que pour tout entier n > 1 et pour tout réel x 6= 0 on a. I(x) − c) En montrant que lim p=n−1 X p n (−1) Ip (x) = (−1) 0 p=0 Z n→+∞ 0 +∞ Z e−nt cos(tx) dt. et + 1 +∞ est une fonction de classe C ∞ e−nt cos(tx) dt = 0 . b) Montrer que pour tout entier n > 1. Bouarich Suites et séries de fonctions .56 Les séries de fonctions II) Pour tout entier n ∈ N on pose : In (x) = Z +∞ e−nt cos(tx)dt. Exercice 60. 1[. Montrer que la série de fonctions A. Montrer que les deux fonctions de Riemann classe C ∞ sur l’intervalle ]1. Exercice 61. Démontrer que la X1 x Arctg( ) converge normalement sur n n n>1 tout intervalle bonré et que sa somme est une fonction dérivable sur R.Théorèmes fondamentaux de la convergence uniforme Exercice 59. 1[ on pose f (x) = fonction f est de classe C ∞ sur l’intervalle ] − 1. 57 X (−1)n−1 n>1 nx X (−1)n−1 n>1 n+x et X 1 sont de nx n>1 . +∞[. Pout tout réel x ∈] − 1. Bouarich Suites et séries de fonctions . X Notamment. En conséquence.Chapitre Quatre Les s´ eries enti` eres 4. si on désigne par D ⊆ C le domaine de convergence simple de la série entière X an z n donc le sous-ensemble translaté D + z0 est égal au n>0 domaine de convergence simple de la série entière X n>0 an (z − z0 )n . n>0 Les séries entières sont un cas particulièr des séries de fonctions dont le terme général est un monˆ ome de type. Notons que si on effectue le changement de variable u = z − z0 on déduit que l’étude de X la convergence des séries entières de la forme an (z − z0 )n se ramèrne ` a l’étude des séries n>0 centrées ` a l’origine X n>0 n an z . Soit an ∈ C une suite de nombres complexes. 1) Soit a 6= 0 un nombre complexe. Cherchons le domaine de convergence de X la série entière an z n et calculons sa somme. Théoriquement pour chercher leurs domaines de convergence simple ou uniforme on pourra leurs appliquer les résultats du chapitre 3. si les éléments an . Exemple 22. Le sous-ensemble D ⊆ C des nombres complexes z qui induisent une série entière X convergente an (z − z0 )n s’appelle domaine de convergence. un (z) = an (z − z0 )n . n>0 A. Suite ` a cette remarque on conclut que l’étude des séries entières peut être développée que pour les séries entières centrée ` a l’origine sans perdre la généralités.1 Propri´ et´ es du domaine de convergence D´ efinitions et exemples D´ efinition 10.1. z0 ∈ C n>0 2. 1. Bouarich Suites et séries de fonctions . On appelle série entière toute série de fonctions de la forme X an (z − z0 )n o` u z.1 4. z et z0 ∈ C pour prouver que la somme an (z − z0 )n n>0 définit une fonction continue. intégrable ou dérivable on peut lui appliquer les théroèmes fondamentaux sur la convergence uniforme des séries de fonctions étudiés au chapitres 2 et 3. la série entière X 1 an z n converge simplement sur le disque ouvert centré ` a l’origine et de rayon et sa |a| n>0 somme est égale ` a la fonction X 1 1 an z n = . | z |< S(z) = 1 − az |a| n>0 2) La série entière X n>0 n!z n converge seulement au point z = 0 parce que si z 6= 0 la règle de d’Alembert implique que | (n + 1)!z n+1 | = lim (n + 1) | z |= +∞ n→+∞ n→+∞ | n!z n | lim Donc. r. la série diverge en tout point élément de l’ouvert C∗ . ∀z ∈ C.Propriétés du domaine de convergence 59 Puisque tout tout nombre complexe z0 6= 0 la série numérique X an z0n est une série géomé- n>0 trique. converge parce que d’après la nn n>1 règle de Cauchy on a pour tout nobre complexe z ∈ C. X zn 3) Pour tout nombre complexe z ∈ C la série entière. . elle converge si et seulement si le module | a || z0 |< 1. Autrement dit. . n |z| n . z . lim =0<1 . n . | z0 |) = {z ∈ C . = lim n→+∞ n→+∞ n n 4. les n>0 propositions suivantes sont vraies : 1. D(0. D(0. Alors.e. n>0 On rappelle que dans le plan complexe C le disque ouvert (resp. Le disque ouvert centré ` a l’origine et de rayon | z0 | ( i. fermé) centré ` a l’origine et de rayon R est défini par. uniforme ou normal des séries entières an (z − z0 )n . comme pour tout nombre complexe z ∈ C tel que | |< 1 la série numérique z0 X . 1) Supposons que la série numérique an z0n converge dans C. elle est donc i=0 z bornée. n>0 2. X Démonstration. | z0 |)). D(0. nous allons démontrer quelques résultats qui nous permettent de décrire X le domaine de convergence simple. | z |6 R} X Th´ eor` eme 20 (Abel). Ainsi. | z0 |)) est contenu dans X le domaine de la convergence simple de la série entière an z n .e. D(0. | z0 |) = {z ∈ C . | z |< R} resp. Pour tout réel 0 < r <| z0 | la série entière X an z n converge normalement sur le n>0 disque fermé centré ` a l’origine et de rayon r (i. n>0 Observons que puisque la suite des sommes partielles An = i=n X an z0n converge.1. Soit z0 ∈ C∗ tel que la série numérique an z0n converge.2 Rayon de convergence Dans ce paragraphe. . z X z z n . . z n+1 ( ) − ( ) . =| −1| (| |)n . Bouarich n>0 Suites et séries de fonctions . z0 z0 z0 z0 n>0 A. théon→+∞ z0 rème 9) implique que la suite des sommes partielles converge et lim k=n X Sn (z) = k ak z = k=0 k=n X (ak z0k )( k=0 z k ) z0 converge. Donc. et donc tout nombre complexe z ∈ C de module | z |<| z0 | appartient au domaine X de convergence de la série entière an z n . il nous permet de déduire que n>0 si le domaine de convergence simple d’une série entière X an z n contient un seul point non n>0 nul. A. z0 6= 0. il existe n→+∞ n>0 un entier n0 ∈ N tel que pour tout n ∈ N qui vérifie n > n0 implique que | an | ρn < 1. Bouarich X n>0 an r n converge } Suites et séries de fonctions . n>0 2) Notons d’abord si on pose un (z) = an z n on voit que la norme de convergence uniforme sur le disque fermé D(0. Pour toute série entière an z n le sous-ensemble non vide n>0 C = {r ∈ R+ . r) est donnée par l’expression kun k∞ = sup{| un (z) | . alors il contient aussi le disque ouvert centré ` a l’origine et de rayon r =| z0 |. r)} =| an | r n Montrons donc que pour tout réel 0 < r <| z0 | la série entière sur le disque fermé D(0. X Corollaire 10. comme pour tout entier n > n0 la somme partielle k=n X k=n0 | ak | r k k=n X = k=n0 k=n X 6 k=n0 6 on déduit que la série numérique X n>0 | ak | ρk r k ρ r k ρ r n0 k=n−n X 0 r k ρ ρ k=0 | an | r n converge car le réel 0 < le théorème de Weierstrass (cf. d’après ρ an z n converge normalement n>0 sur le disque fermé centré ` a l’origine et de rayon 0 < r <| z0 |. Donc. Toutefois. X an z n converge normalement n>0 En effet. r). puisque l’assertion 1) du théorème implique que pour tout réel ρ tel que r < ρ <| z0 | X la série numérique an ρn converge on en déduit que lim | an | ρn = 0.60 Les séries entières z = 0 le théorème d’Abel sur les séries numériques produits (cf. ∀z ∈ D(0. Il est évident que le théorème d’Abel nous ne donne pas une description complète du domaine X de convergence simple d’une série entière an z n . théoreème 15) la série entière X r < 1. Par conséquent. X n>0 an r n converge } ∗ possèdent la même borne supérieure dans R+ . : R = Ra . r0 [. r 6 R0 ce qui est absurde. X n>0 | an | r n converge } ⊆ {r ∈ R+ . | an |6| bn |. Par conséquent. n>0 A. Corollaire 12.Propriétés du domaine de convergence 61 ∗ est un intervalle de R+ . soit que C = {0} ou soit qu’il existe un réel r0 ∈ R+ tel que C = [0. Démonstration. R ∈ R+ . an r n converge } n>0 n>0 Supposons qu’il existe un réel R0 < R < R1 . Alors. n>0 Démonstration. puisque la série X an Rn converge le n>0 théorème d’Abel implique que pour tout réel 0 < r < R et que la la série X n>0 | an | r n connverge. | an | r n converge }. Donc. le cercle) de centre z0 et de rayon R s’appelle disque (resp. cercle) de X an (z − z0 )n . n>0 ∗ 1. an r n converge } le théorème d’Abel implique que la série an Rn n>0 n>0 converge absolument. Bouarich n>0 Suites et séries de fonctions . X X R0 = sup{r ∈ R+ . s’appelle rayon de convergence de la série entière X n>0 n an (z − z0 ) . le rayon de convergence Ra de la série entière an z n est supérieur ou égal au rayon n>0 de convergence Rb de la série entière X n bn z ie. Observer que l’inégalité | an |6| bn | implique l’inclusion des sous-ensembles. n>0 {r ∈ R+ . S’il existe un réel R > 0 tel que la série an Rn soit semi-convergente alors n>0 le rayon de convergence Ra de la série entière. les sous-ensembles non vides. X Corollaire 11. Ainsi. C’est-` a-dire. si on suppose R < Ra on pourra trouver un réel R < r0 < Ra . Le disque (resp. | bn | r n converge } ⊆ {r ∈ R+ . X D´ efinition 11. | an | r n converge } 6 R1 = sup{r ∈ R+ . X Alors. En effet. La borne supériere. R = Ra . X X {r ∈ R+ . et ainsi X X comme r0 ∈ {r ∈ R+ . Il est clair que l’inclusion de la proposition implique que. D’o` u . de l’ensemble non vide {r ∈ R+ . convergence de la série entière n>0 Lemme 1. est égal ` a R ie. Soit an (z − z0 )n une série entière. : Rb 6 Ra . R0 = R1 . ce qui est absurde. X n an z . Notons que puisque R ∈ {r ∈ R+ . n>0 Démonstration. Soit X an z n une série entière. Soient an et bn ∈ C des suites telles pour n ∈ N assez grand. X n>0 an r n converge } on en déduit que R 6 Ra . X n>0 an r n converge } 2. ∀p ∈ N. mn = inf{ap . Notons maintenant que puisque la suite mn est croissante majorée et la suite Mn est décroissante minorée donc elles convergent dans R et leurs limites vérifient l’inégalité. c’est ce que nous rappelerons maintenant. 1) D’après le corollaire 11. lim Mn ) s’appelle limite inf´ erieure (resp.3 Formule de Hadamard Pour énoncer la formule de Hadamard qui permet de calculer le rayon de converrgence d’une série entière on aura besoin de la notion de la limite supérieure d’une suite de nombres réels .62 Les séries entières Exemple 23. minorée) il s’ensuite que la suite Mn (resp. ∀n ∈ N} n→+∞ n→+∞ Le nombre réel lim mn (resp. p > n + 1} ⊆ {ap . n>1 Dans le prochain paragraphe on démontrera la formule de Hadamard qui nous permet de calculer la valeur exacte du rayon de convergence d’une série entière réelle ou complexe. ∀p ∈ N. p > n} on en déduit les inégalités suivantes. limite sup´ en→+∞ n→+∞ rieure) de la suite bornée an et se note Lim-inf an n→+∞ A. puisque la série entière X (−1)n−1 n>1 point z = 1 et la série numérique X (−1)n−1 n n>1 de la série entière X (−1)n−1 n>1 n n z n converge au est semi-convergente. 2) Notons que puisque pour tout entier n ∈ N. Pour tout entier n > 0 on pose. lim mn = sup{mn . | cos(n) |6 1 le corollaire 12 implique que le X rayon de convergence de la série entière cos(n)z n est supérieur ou égal ` a un. Bouarich resp. le rayon de convergence z n est égal ` a un. Soit an ∈ R une suite. ∀n ∈ N} 6 lim Mn = inf{mn . ∀p ∈ N. En effet. m0 6 m1 6 m2 6 · · · 6 mn 6 an 6 Mn 6 · · · 6 M2 6 M1 6 M0 Il est clair que si la suite an n’est pas majorée (resp. mn ) ne prend que des valeurs infinies.1. Dans la suite on suppose que la suite an est bornée pour assurer que les suites mn et Mn soient bornées. p > n} et Mn = sup{ap . 4. n>1 puisque le terme général de la série de convergence de la série entière X cos(n) ne tend pas vers zéro on en déduit que le rayon n>1 X cos(n)z n est égale ` a un. ∀p ∈ N. Lim-sup an n→+∞ Suites et séries de fonctions . p > n} Notons que puisque pour tout entier n > 0 on a l’inclusion {ap . n→+∞ n→+∞ 1. (b) l’esnemble des termes {an < λ + ε .Propriétés du domaine de convergence 63 La proposition suivante se démontre en utilisant la caractérisation de la borne supérieure et de la borne inférieure d’une suite de nombres réels. Lemme 2 (Caractérisation de Lim-inf et Lim-sup ). (b) l’esnemble des termes {an > λ − ε . n > n0 } est infini. Soit an ∈ R une suite bornée. n→+∞ n→+∞ 4. Le nombre réel λ = Lim-sup an si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un entier n→+∞ n0 > 0 tel que (a) an < λ + ε pour tout entier n > n0 . . . La suite an converge dans R si et seulement si Lim-inf an = Lim-sup an . n > n0 } est infini. 3. Si le terme an est non nul alors. 2. Le nombre réel λ = Lim-inf an si et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un entier n→+∞ n0 > 0 tel que (a) an > λ − ε pour tout entier n > n0 . a . . a . p p . n+1 . . n+1 . Lim-inf . . 6 Lim-inf n | an | 6 Lim-sup n | an | 6 Lim-sup . . an an n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ . . a p . n+1 . En conséquence. si la suite . . si la suite numérique n | an | converge alors le rayon de convergence de la X 1 p série entière an z n est égal ` a . existe un entier n0 > 0 tel que ∀n ∈ N. n>0 est donné par la formule sup{r ∈ R+ . n>0 Th´ eor` eme 21 (Formule de Hadamard). converge alors la suite n | an | converge aussi et elles an possèdent la même limite. Le théorème suivant de Hadamard nous propose une formule qui nous permet de calculer le X rayon de convergence d’une série entière an z n . X an z n . Bouarich lim an ρn = 0 il n→+∞ p n | an | Suites et séries de fonctions . Exercice. puisque | an | ρn < 1 =⇒ ρ6 1 Lim-sup n→+∞ A. Démonstration. n > n0 =⇒ X n>0 an r n converge }. Le rayon de convergence d’une série entière. Donc. lim n | an | n>0 n→+∞ Démonstration. X n>0 an r n converge } = 1 Lim-sup n→+∞ + p n | an | ∈R p En particulier. Soit ρ ∈ {r ∈ R+ . Rappelons aussi que d’après le critère de Cauchy (resp. supposons qu’il existe un réel r0 ∈ R∗+ tel que sup{r ∈ R+ .64 Les séries entières Par conséquent. 1 Lim-sup n→+∞ p n | an | an r0n diverge la règle de Cauchy implique que la limite n>0 Lim-sup n→+∞ q n | an r0n | > 1 1 =⇒ Lim-sup n→+∞ p n | an | 6 r0 < 1 Lim-sup n→+∞ Ceci est absurde. de D’Alembert) si pour un nombre complexe fixé z 6= 0 on a l’inégalité suivante : lim n→+∞ resp. n>0 | an+1 | converge vers R ∈ R+ alors la suite numéNotons d’abord que si la suite numérique | a | n p rique n | an | converge aussi vers R. le rayon de convergence de la série entière p n X | an | an z n est égal n>0 a ` 1 Lim-sup n→+∞ p n | an | . Par conséquent. La description complète du domaine de convergence simple (resp. X an r n converge } 6 n>0 1 Lim-sup n→+∞ Inversement. puisque la série X X an r n converge } < r0 < n>0 p n | an | . sup{r ∈ R+ . p n | an z n | =| z | lim n→+∞ p n | an | < 1 . uniforme) d’une série entière X an z n sera donnée par le théorème suivant. Donc. a . . a . . n+1 z n+1 . . n+1 . lim . =| z | lim . . . <1 n→+∞ n→+∞ an z n an alors la série numérique ⇐⇒ | z |< lim n→+∞ 1 p n | an | . a . . n . | z |< lim . . n→+∞ an+1 ⇐⇒ X an z n converge absolument. n>0 . a . + . n . Th´ eor` eme 22 (Hadamard). Soit an ∈ C une suite telle que R = lim . . X 3. Si R ∈ R∗+ alors pour tout réel 0 < r < R la série entière an z n converge normalement n>0 sur le disque fermé centré ` a l’origine et de rayon r. ∈ R . n>0 A. Si R = +∞ alors la série entière an z n converge normalement sur tous les disques n>0 fermés centrés ` a l’origine. n→+∞ an+1 l’une des trois propositions suivantes est vraie : X 1. Si R = 0 la série entière an z n converge seulement au point z = 0. X 2. Bouarich Suites et séries de fonctions . Alors. Propriétés du domaine de convergence 65 Démonstration. Dans ce cas pour tout réel r > 0 la limite | an+1 r n+1 | = n→+∞ | an r n | lim Donc. Bouarich R = +∞ R=0 D=R D = {x0 } R ∈ R∗+ ] − R + x0 . n | an | Le théorème de Hadamard qu’on vient de démontrer nous montre que si la série entière. C’est-` a-dire on a D(z0 . Donc. dans le cas d’une série entière complexe on aura R = +∞ R=0 D=C D = {z0 } R ∈ R∗+ D(z0 . 1) Supposons que le réel R ∈ R∗+ . X an (z − z0 )n . R) ⊆ D ⊆ D(z0 . a un rayon de convergence non nul R 6= 0 alors le domaine de convergence n>0 simple D de cette série contient le disque ouvert D(z0 . il existe un entier n0 > 0 tel que n→+∞ n>0 pour tout entier n ∈ N qui vérifie n > n0 implique que | an z0n |< 1. Notons que si pour un nombre complexe z0 la série numérique X an z0n converge il s’ensuit que lim an z0n = 0. puisque la série numérique X n>0 que la série entière X n r | an | lim n→+∞ | an+1 | =0 | an | r n converge le théorème de Weierstrass implique an z converge normalement sur le disque fermé centré ` a l’origine et n>0 de rayon r > 0. R) ⊆ D ⊆ D(z0 . ch. Ainsi. pour tout réel 0 < r < R la série X an r n converge absolument parce que la limite du rapport de D’Alembert numérique n>0 | an+1 r n+1 | | an+1 | r = r lim = <1 n→+∞ n→+∞ | an | | an r n | R lim Ainsi. Xn>0 an z n converge normalement sur le disque fermée centré à n>0 l’origine et de rayon r. R + x0 ] Suites et séries de fonctions . 3) Supposons que R = 0. 2) Supposons que R = +∞. puisque la série numérique 3) implique que la série entière X | an | r n converge le théorème de Weierstrass (cf. R) Plus précisément. R). R) et dans le cas d’une série entière réelle on aura A. R) et il est contenu dans le disque fermé D(z0 . R + x0 [⊆ D ⊆ [−R + x0 . Donc. comme le module 1 | z0 |< p le passage ` a la limite sur n implique que z0 = 0. si le réel θ 6∈ {0. | z |< 1} X n2 z n converge normalement sur le disque et que pour tout réel 0 < r < 1 la série entière n>0 fermé D(0. . D’après la formule de Hadamard le rayon de convergence de la X zn série entière est égal a ` Log(n + 1) n>1 Log(n + 2) =1 Log(n + 1) X zn Le domaine de convergence simple de la série entière complexe continent donc Log(n + 1) n>1 le disque centré ` a l’origine et de rayon un. 2π} on voit que le module de la somme partielle Sn peut être majorée comme suit. 1) b) Observons que pour tout nombre complexe unitaire. en conséquence de ce qui précède on conclut que le domaine de convergence simple de X la série entière n2 z n est égal au disque ouvert n>0 D = D(0. 1). eiθ ∈ ∂D(0. 1) = {z ∈ C . le terme général de la X X série numérique n2 einθ ne tend pas vers zéro. Ainsi. r) ⊂ D. d’après la formule de Hadamard le rayon de convergence de la X série entière complexe n2 z n est égal ` a n> an n2 = lim =1 n→+∞ an+1 n→+∞ (n + 1)2 R = lim Par conséquent. n>1 a) Posons an = n2 . Log(n + 1) n>1 Rappelons que pour tout entier n > 1 la somme partielle de la suite géométrique de raison eiθ est donnée par l’expression : Sn = p=n X eipθ = p=0 i(n+1)θ/2 − e−i(n+1)θ/2 1 − ei(n+1)θ inθ/2 e = e 1 − eiθ eiθ/2 − e−iθ/2 Donc. Log(n + 1) a) Posons bn = Log(n + 1). 1) Déterminons le domaine de convergence de la série entière X n2 z n . donc la série entière n2 z n diverge en n>0 n>0 chaque point qui appartient au cercle centré ` a l’origine et de rayon un. 1) ⊆ D ⊆ D(0. R = lim bn n→+∞ bn+1 = lim n→+∞ b) Cherchons les nombres complexes éléments du cercle {eiθ . 2π]} qui appartiennent X zn au domaine de convergence simple de la sérié entière . 2) Déterminons le domaine de convergence de la série entière X n>1 zn . θ ∈ [0.66 Les séries entières Exemple 24. on désigne par D le domaine de convergence simple de la série entière X n2 z n on déduit que n>1 D(0. Donc. p=n . . . 1 . X ipθ . . sin((n + 1)θ/2) . e = . . . . . 6 sin(θ/2) | sin(θ/2) | p=0 A. Bouarich Suites et séries de fonctions . nα X einθ n>1 nα converge lorsque θ ∈ {0. si le réel θ ∈ {0. 2π} on obtient la série de Bertrand divergente X X zn 1 = . Bouarich Suites et séries de fonctions . r). θ ∈ [0. Mais. notons que la série numérique X einθ n>1 seulement si le réel α > 1. comme pour tout réel α > 0 la suite α est décroissante n p=n X et tend vers zéro et la suite des sommes partielles An = eipθ est bornée lorsque le réel Observons que pour un nombre complexe eiθ la suite numérique p=1 θ 6∈ {0. 2π}. si le réel α > 0. le domaine de convergence simple de la série entière est égal ` a Log(n + 1) n>1 D = {z ∈ C/ | z |6 1} − {1} et que pour tout réel 0 < r < 1 la série entière X n>1 disque fermé D(0. π}. nα n>1 A. zn converge normalemnet sur le Log(n + 1) 3) Soit α ∈ R un réel fixé. π} si et Dans le tableau suivant on résume les discussions développées ci-dessus ` a propos du domaine X zn de convergence simple de la série entière complexe .Propriétés du domaine de convergence 67 1 est décroissante et tend vers zéro le théorème Log(n + 1) X einθ d’Abel sur les séries numériques produits implique que la série numérique Log(n + 1) Ainsi. Ainsi. Détrminons le domaine de convergence simple de la série entière X zn nα n>1 1 a) Si on pose cn = α la formule de Hadamard implique que le rayon de convergence de la X zn n série entière est égal ` a nα n>1 lim cn n→+∞ cn+1 (n + 1)α 1 = lim (1 + )α = 1 α n→+∞ n→+∞ n n = lim et donc le domaine de convergence simple de la série a l’origine et de rayon un. puisque la suite numérique n>1 converge si θ 6∈ {0. 2π]} qui appartiennent au domine de X zn convergence simple de la série . le théorème d’Abel pour les séries produits implique que la série numérique converge. ` X zn contient le disque ouvert centré nα n>1 b) Cherchons les points du cercle {eiθ ∈ C . Log(n + 1) Log(n + 1) n>1 n>1 X zn Donc. Enfin. nα n>1 einθ tend vers zéro si et nα 1 seulement. Rb ) 6 Rb . observons que si on suppose qu’il existe un réel r > 0 tel que Ra < r 6 Ra+b on en X X X déduit que les deux séries (an + bn )r n et bn r n convergent. Xn>0 La série entière (an + bn )z n s’appelle somme des séries entières de coefficeints an et bn . X (an + bn )r n converge} =⇒ Rb 6 Ra+b n>0 Par conséquent. Rb ) on en déduit qu’on a l’inclusion {r ∈ R . X n>0 bn r n converge} ⊆ {r ∈ R . Donc.68 Les séries entières 4.1. n>0 n>0 X n Ainsi. Rb ) 6 Ra+b . A. | an + bn |6| an | + | bn |. 1) Pour fixer les idées supposons que Ra = inf(Ra . Bouarich Suites et séries de fonctions . 2) Supposons par exemple que Ra < Rb . Donc. Démonstration. pour tout réel non nul tel que Ra < r < Rb on X X voit que la série numérique an r n diverge tandis que la série numérique bn r n converge. Ra = Ra+b . Proposition 13.4 Paramètre α60 0<α61 α>1 Domaine {z ∈ C/ | z |< 1} {z ∈ C/ | z |6 1} − {1} {z ∈ C/ | z |6 1} Op´ erations sur les s´ eries enti` eres A) La somme de deux s´ eries enti` eres Soient X an z n et n>0 X bn z n deux séries entières de rayon de convergence respectifs Ra et Rb . le rayon de convergence Ra+b de la siérie entière X (an + bn )z n est supérieur n>0 ou égal ` a inf(Ra . En particulier. inf(Ra . et donc puisque le sous-ensemble n>0 {r ∈ R . Ainsi. X (an + bn )r n converge} =⇒ Ra 6 Ra+b n>0 De la même fa¸con si on suppose que Rb = inf(Ra . si Ra < Rb alors Ra+b = Ra . Notons que puisque pour tout nombre réel non nul r tel que 0 < r < Ra les deux séries numériques X X X | an | r n et | bn | r n convergent il en résulte que la série numérique (| an | + | bn |)r n n>0 n>0 n>0 converge. puisque pour tout entier n. Rb ). Ceci contredit le fait que Ra < r < Ra+b . comme la série somme (an + bn )r diverge aussi on en déduit que le rayon de n>0 converge Ra+b < Rb . n>0 son rayon de convergence sera noté Ra+b . X n>0 an r n converge} ⊆ {r ∈ R . et donc la série an r n n>0 n>0 n>0 converge aussi. on en déduit que la X série numérique (| an + bn |)r n converge. Enfin. Bouarich Suites et séries de fonctions . C) Composition de deux s´ eries enti` eres X X Soient A(z) = an z n et B(z) = bn z n deux séries entières de rayon de convergence n>0 n>0 respectifs Ra et Rb . si en particulier on suppose que le réel 0 < r < Ra il s’ensuit que le nombre complexe B(z) A. Rb ) on aura | B(z) |< r. Soit r > 0 un réel tel que r < Ra et r < Rb . k=n X ak bn−k on en déduit que D’autre part. | cn | r n converge dans R+ . donc elle est majorée dans R+ . Pn (r) 6 An (r)Bn (r) 6 P2n (r) Notons que puisque les sommes partielles An (r) et Bn (r) convergent il s’ensuit que la suite produit An (r)Bn (r) converge. Pour tout entier n ∈ N posons   k=n k=n X X     k   A (r) = | a | r p = | ak bn−k |   n n  n  k=0 k=0 et k=n k=n   X X   k     P B (r) = | b | r (r) = pk r k n n n   k=0 k=0 Avec ces notations on voit que pour tout entier n > 0 et pour tout réel r > 0 on a la double inégalité. si sur cette inclusion on passe ` a la borne supériere la proposition 1 implique que : inf(Ra . Rb ) 6 Rab .Propriétés du domaine de convergence 69 B) Le produit de Cauchy de deux s´ eries enti` eres X X an z n et bn z n deux séries entières de rayon de convergence respectifs Ra et Rb . Ainsi. Ainsi. Proposition 14. Donc. En effet. Démonstration. r < inf(Ra . comme la suite Pn (r) est croissante elle converge dans R+ . son rayon de convergence sera noté Rab . Supposons que B(0) = b0 = 0. Soient n>0 n>0 Si pour tout entier n > 0 on pose. X n>0 | cn | r n converge} Par conséquent. pour tout réel r > 0 on pourra alors trouver un réel ρ > 0 tel que pour tout z ∈ C de module | z |< min(ρ. Rb )} ⊆ {r ∈ R+ . Rb ) 6 Rab . cn = k=n X ak bn−k k=0 on pourra définir la série entière X cn z n que l’on appelle série entière produit des deux séries n>0 entières de coefficients an et bn . notons que si pour tout entier on pose cn = k=0 | cn |6 pn et que par conséquent la série numérique ce qui précède démontre que le sous-ensemble X n>0 {r ∈ R+ . inf(Ra . X (aα + nα )z n o` u a et α ∈ R. X Déterminer le domaine de convergence simple de la série entière. n n2 n n>1 n>1 n>1 n n X (in − 1)z n X (−1)n n X n n C 2n z 2. n>1 4. bz 2 + az + 1 Exercice 67. 1−z Suites et séries de fonctions . n>1 n z . Trouver le rayon et le domaine de convergence simple des séries entières suivantes : X zn X X Log(n)z n 2 1. Soit an z n une série entière de rayon de convergence R > 0. lim = 1). et montrer que Indication : Décomposer la fraction rationnnelle. an Exercice 63. Calculer le rayon de convergence et la somme de chacune des séries entières. nπ X X (3 + (−1)n )z n et cos zn 3 n>0 n>0 Indication : On rappelle que pour tout z ∈ C tel que | z |< 1 la somme A. n n2 + 1 2n − 1 n>1 3. n>0 (u1 + au0 )z + u0 sa somme est égale ` a la fraction rationnelle . (Log(n))n z n . (−1) . nn n>1 X nα n>1 n>0 X (a − nb)n z n . . (z + 1) . . Calculer le n>0 rayon de convergence des séries entières X (an )k z n et n>0 X n>0 an z kn o` u k ∈ N∗ .70 Les séries entières appartient au domaine de convergence de la série entière A(z) et que l’expression composée A ◦ B(z) a un sens. zn a2n + 1 . an n! o` u a et b ∈ R. Bouarich X n>0 zn = 1 . n>1 X (n!)2 z n X n>1 (2n)! √ X n!z n . Trouver le domaine de convergence simple et la somme de la série entière. en éléments simples.e. Notons que puisque l’expression A ◦ B(z) est égale ` a la somme de la série composée n X A ◦ B(z) = an B(z) n>0 n on voit que si on développe les puisances B(z) on obtient la série entière suivante centrée a l’origine ` A ◦ B(z) = a0 + a1 b1 z + (a1 b2 + a2 b21 )z 2 + (a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b31 )z 3 + · · · X Exercice 62. un z n . Soient a et b ∈ C et un le terme général d’une suite de nombres réels définit par la relation de récurrence un+2 + aun+1 + bun = 0 avec u0 et u1 sont donnés. n→+∞ bn X X an z n et bn z n ont le même rayon de convergence. n(n + 1)(2n + 1) Exercice 66. . Montrer que les séries entières n>0 n>0 Exercice 64. Soient an et bn deux suites numériques équivalentes (i. X x2n+2 f (x) = n(n + 1)(2n + 1) n>1 1 . n>1 Exercice 65. X an (x − x0 )n o` u an . Lim-sup n→+∞ | (n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)an+m | n+1 | an+m | = Lim-sup =R | (n + m + 1)(n + m) · · · (n + 2)an+m+1 | n→+∞ n + m + 1 | an+m+1 | Ainsi. observons que si on dérive m-fois les termes de la série entière qui définie f (x) on obtient la série entière suivante. x0 + r] le théorème de la dérivation d’une série de fonctions implique que la fonction f possède une fonction dérivée d’ordre m ∈ N qui est continue sur l’intervalle ]x − R0 . X an (x − x0 )n . x.2. A. X (n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)an+m (x − x0 )n n>0 dont le rayon de convergence égal ` a. puisque pour tout réel 0 < r < R la série des dérivées d’ordres m ∈ N∗ associée ` a f (x) converge uniformément sur le segment [x0 − r. x0 + R[ et elle est donnée par l’expression. Alors. la fonction f :] − R + x0 .1 D´ efinition et propri´ et´ es Th´ eor` eme 23. pour tout entier n ∈ N le coefficient réel. on va s’intéresser aux fonctions réelles d’une seule variable réelle qui co¨ıncident avec la somme d’une série entière ` a coefficients réelles ie. Bouarich Suites et séries de fonctions . Soit X n>0 an (x − x0 )n une série entiere ` a coefficients réels dont le rayon de convergence R > 0.2 71 Fonctions d’une variable r´ eelle d´ eveloppables en s´ erie enti` ere Dans ce paragraphe.Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 4. x0 ∈ R f (x) = n>0 4. D’autre part. x0 + R[→ R définit par la série entière. et pour tout réel x n! n>0 Démonstration. x0 + R[ et pour tout entier m > 0 la dérivée f (m) (x0 ) = m!am . et n>0 par suite la fonction f (x) = X n>0 an (x − x0 )n est continue sur l’intervalle ] − R + x0 . r]. la fonction f (x) est de classe C ∞ sur l’intervalle ]x0 − R. Notons que puisque le rayon de convergence R > 0 donc pour tout réel X 0 < r < R la série entière an (x − x0 )n converge uniformément sur le segment [−r. an = tel que | x − x0 |< R X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n n! f (n) (x0 ) . est de classe C ∞ et ses fonctions dérivées d’ordre m ∈ N sont données par les séries entières suivantes : X f (m) (x) = (n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)an+m (x − x0 )n n>0 En conséquence. X f (m) (x) = (n + m)(n + m − 1) · · · (n + 1)nan+m (x − x0 )n n>0 Donc. R + x0 [. A. On dira qu’une fonction f de classe C ∞ est développable en série entière (ou analytique) au voisinage d’un point x0 ∈ R s’il existe un réel R > 0 et une suite de nombres réels an telle que pour tout réel x ∈]x0 − R. Si f et g sont développables en séries entières au voisinage de x0 alors leurs produit f × g est aussi développable en série entière au voisinage de x0 . Si f est développable en série entière au voisinage de x0 et f (x0 ) 6= 0 alors la fonction 1 est aussi développable en série entière au voisinage de x0 .72 Les séries entières Le résultat du théorème précédent nous permet de déduire que les coifficients d’une série entière sont uniques. f 4. notons que si on se donne une fonction f :]R − x0 . D´ efinition 12. La série de Taylor associée ` a f (x) au point x0 a-t-elle un rayon de convergence non nul ? X f (n) (x0 ) 2. X n>0 an (x − x0 )n = X n>0 bn (x − x0 )n alors pour tout entier n ∈ N. x0 + r[. R + x0 [→ R est de classe C ∞ on peut lui associer une série entière de Taylor réelle centrée au point x0 X f (n) (x0 ) n>0 n! (x − x0 )n et ainsi deux questions naturelles se posent : 1. Corollaire 13. Si f est développable en série entière au voisinage de x0 et g est développable en série entière au voisinage de f (x0 ) = y0 alors la fonction composée g ◦ f est développable en série entière au voisinage de x0 . 3. Plus précésément on a le. 2. x0 + R[. Si f et g sont développables en séries entières au voisinage de x0 alors leurs somme f + g est aussi développable en série entière au voisinage de x0 . an = bn . La série de Taylor (x − x0 )n converge-t-elle vers f (x) ? n! n>0 Ci-dessous nous allons caractériser les fonctions de classe C ∞ dont la série de Taylor associée possède un rayon de convergence non nul. f (x) = X n>0 an (x − x0 )n ` titre d’exercice on vérifie facilement que les fonctions développables en séries entières au A voisinage de x0 sont stables par les opérations algébriques suivantes : 1. S’il existe un réel n>0 n>0 r > 0 tel que pour tout réel x ∈]x0 − r. Soient an et bn deux suites de nombres réels telles que les réries entières X X an (x − x0 )n et bn (x − x0 )n ont un rayon de convergence non nul. Bouarich Suites et séries de fonctions . Inversement. 2. comme le rayon de convergence de la série entière de Taylor de f (x) au point x0 est non nul (au moins égal ` a R) il s’ensuit que la fonction f est développable en série entière au voisinage de x0 . A. x0 + R[ Par conséquent. x0 + R[ vers la fonction nulle il s’ensuit que f (x) = X f (n) (x0 ) n>0 n! (x − x0 )n . une fonction développable en série entière au voisinage d’un point x0 co¨ıncide avec sa série entière de Taylor sur un voisinage de x0 . Démonstration. x0 + R[. puisque la suite de fonctions Rn (x) = f (x) − (x − x0 )p converge simplep! p=0 ment sur l’intervale ] − R + x0 . ∀x ∈] − R + x0 . x0 + R[ vers la fonction nulle. Th´ eor` eme 24. d’après le théorème 3 la fonction f (x) est de classe sur un voisinage de x0 et que X f (n) (x0 ) pour les réels x proches de x0 la série entière de Taylor. 1) Supposons que sur un voisinage de x0 . f (x) = X f (n) (x0 ) n! n>0 (x − x0 )n Autrement dit. Ainsi. Bouarich Suites et séries de fonctions . n! n>1 comme la série de Taylor associée ` a la fonction f (x) converge simplement sur un voisinage p=n X f (p) (x0 ) de x0 on en déduit que la suite des restes Rn (x) = f (x) − (x − x0 )p converge p! p=0 simplement sur un voisinage de x0 vers la fonction nulle. 2) Inversement. Il existe un réel R > 0 tel que la fonction f (x) soit de classe C ∞ sur l’intervalle ouvert ] − R + x0 . x0 + R[. supposons qu’il existe un réel R > 0 et que la fonction f (x) vérifie les deux conditions du théorème sur l’intervalle ]x0 − R. Montrons alors que la fonction f (x) est développable en série entière au voisinage de x0 . Rn (x) = f (x) − p=n X p=0 f (p) (x0 ) (x − x0 )p p! converge simplement sur l’intervalle ] − R + x0 . f (x) = X n>0 C∞ an (x − x0 )n . (x − x0 )n = f (x). Donc. La suite des restes d’ordre n > 1 du développement limité de Taylor associée ` a la fonction f au voisinage de x0 . x0 + R[. Le théorème suivant nous donnera les conditions nécessaires et suffiantes pour que la série entière de Taylor associée ` a une fonction f (x) de classe C ∞ ait un rayon de convergence non nul. p=n X f (p) (x0 ) En effet.Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 73 Notons que d’après le théorème 3 on déduit que si une fonction f (x) est développable en série entière au voisinage d’un point x0 il existe un réel R > 0 tel que ∀x ∈]x0 + R. Pour qu’une fonction réelle f (x) soit développable en série entière au voisinage d’un point x0 il faut et il suffit qu’elle vérifie les conditions suivantes : 1. Démonstration. Pour qu’une fonction réelle de classe C ∞ soit développable en série entière au voisinage d’un point x0 il suffit que toutes ses fonctions dérivées d’ordre supérieure soient bornées sur un voisinage de x0 . x0 + ε[. 1[ tel que le reste du développement de Taylor de f ` a l’ordre n au point x0 est donné par l’expression Rn (x) = f (x) − p=n X p=0 f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) f p (x0 ) (x − x0 )p = (x − x0 )n+1 p! (n + 1)! Donc. pour tout réel x élément de l’intervalle ]x0 − ε. Supposons qu’il existe deux réels ε > 0 et M > 0 tels que pour tout entier n ∈ N et pour tout réel x ∈]x0 − ε.74 Les séries entières Corollaire 14. Rappelons que pour tout entier n > 0 et pour tout réel x ∈] − ε + x0 . x0 + ε[ il existe un réel θ ∈]0. p=n . x0 + ε[ on obtient la majoration. | f (n) (x) |< M. . X f p (x0 ) (2ε)n+1 . . (x − x0 )p . < M . −a] il existe un réel θx ∈]0. Donc.e. ex = n>0 X xn n>0 n! Le développement en série entière de la fonction exponentielle nous permet de déduire le développement entière des fonctions cosinus et sinus hyperboliques. la fonction f (x) est développable en série entière sur un voisinage du point x0 . Bouarich Suites et séries de fonctions . ex − p=n X p=0 xp xn+1 θx x = e p! (n + 1)! =⇒ Observons aussi que puisque la série numérique | ex − X an n>0 n! p=n X p=0 xp an+1 a |6 e . A. a] vers la fonction exponentielle ex i. a] on déduit que pour tout réel x ∈ [a.f (x) − p! (n + 1)! p=0 (2ε)n est le terme général d’une série numérique convergente on en n! X f (n) (x0 ) déduit que la série entière de Taylor (x − x0 )n converge uniformément sur l’inn! Ainsi. : ∀x ∈ R.2. 1[ tel que. et donc la série entière converge n! n! uniformément sur le segment [−a. x0 + ε[ vers la fonction f (x). p! (n + 1)! converge il en résulte que la suite X xn an tend vers zéro quand l’entier n tend vers l’infini. 4. comme la suite n>0 tervalle ] − ε + x0 . x 7−→ ex Notons que si pour un réel a > 0 on applique la formule de Mac-Laurain ` a la fonction x f (x) = e sur le segment [−a.2 Exemples de fonctions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere 1) La fonction exponentielle. +∞[→ R+ est donc de classe C ∞ et ses fonctions dérivées d’ordre n > 1 sont données par. fα(n) (x) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n Notons que la série de Taylor associée ` a la fonction fα au point x = 0 a pour expression 1+ X α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! n>1 xn et que son rayon de convergence est égal ` a un. Notons enfin que puisque les fonctions fα et gα sont des solutions particulières de l’équation diff´rentielle ordinaire (1 + x)y ′ (x) = αy(x) A. 1[. L’application fα :] − 1. X (−1)n n! n>0 xn Ainsi. comme les fonctions cosinus et sinus hyperboliques sont définies par ∀x ∈ R. ∀x > −1. 1[ on pose. x 7−→ (1 + x)α Fixons un réel α 6= 0 et pour tout réel x > −1 posons fα (x) = (1 + x)α . si pour tout réel x ∈] − 1. X α(α − 1) · · · (α − n + 1) gα (x) = 1 + xn n! n>1 on obtient une fonction qui est de classe C ∞ sur ] − 1. Par conséquent. Bouarich et y(0) = 1 Suites et séries de fonctions . on obtient le série entière e−x = ∀x ∈ R. ex . Ch(x) = ex + e−x 2 et Sh(x) = ex − e−x 2 on voit donc que leurs développement en séries entières sont données sur R par.Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 75 Observons que si on remplace x ∈ R par −x dans le développement en série entière de l’exponentielle. Ch(x) = X x2n (2n)! n>0 Sh(x) = X x2n+1 (2n + 1)! n>0 Notons aussi que les series entières réelles ci-dessus nous permettent de calculer la valeur exacte des séries numériques convergentes suivantes :  X  X 1 1     = e = Ch(1)     n! (2n)! n>0 n>0 et X X (−1)n 1 1     = Sh(1) =     (2n + 1)! n! e n>0 n>0 2) La fonction. 3. 1[. 1[ on intégre terme ` a terme les séries précédentes entre x 0 et x (i.5 · · · (2n − 1) n =1+ (−1)n x 2. 1[ la u le développement en série entières.4.6 · · · (2n) 1+x n>1 Suites et séries de fonctions . D’o` (1 + x)α = 1 + ∀x ∈] − 1. X (−1)n−1 n n>1 3) Les fonctions. on applique dx) on obtient le développement en série entière des fonctions 0 suivantes sur ] − 1. 1[.76 Les séries entières la théorie des équations différentielles ordinaires implique qu’en effet pour tout x ∈] − 1. 2 √ A.4. X α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! n>1 xn Le développement en séries entières au voisinage de zéro de la fonction (1 + x)α nous permet de retrouver le développement en série entière des fonctions suivantes sur ] − 1. Log(1 + x) = X (−1)n−1 n>1 Log(1 − x) = − Arctg(x) = X xn n>1 X n (−1)n n>0 xn n x2n+1 2n + 1 Notons que puisque le développement en séries entière de Log(1 + x) et Arctg(x) convergent au point x = −1 on en déduit la somme des séries numériques suivantes. x 7−→ √ = Log(2) et X (−1)n π = 2n + 1 4 n>0 1 1 + x et x 7−→ √ 1+x 1 Dans le développement en série entière de la fonction (1 + x)α si on prend α = on en déduit 2 que √ et si on prend α = − 1+x=1+ 1 on obtient.5 · · · (2n − 3) n + (−1)n−1 x 2 n>2 2. fonction fα = gα . Bouarich x X 1.6 · · · (2n) X 1 1. 1[.3. 1 1+x 1 1−x 1 1 + x2 = X (−1)n xn = X n>0 xn n>0 X = (−1)n x2n n>0 Notons que si pour toutZx ∈] − 1.e. 6 · · · (2n) 2n + 1 n>1 5) Les fonctions circulaires sin(x) et cos(x) et leurs fonctions inverses Rappelons que les fonctions trigonométriques cos(x) et sin(x) sont de classe C ∞ et que pour tout entier n > 0 les fonctions dérivées d’ordre n > 0 cos(n) (x) = cos(x + nπ ) 2 sin(n) (x) = sin(x + et nπ ) 2 sont bornées sur R.6 · · · (2n) 2n + 1 n>1 A. comme le développement en série entière au voisinage de zéro de la fonction √ est donné par √ 1 1 − x2 X 1. cos(x) = X (−1)n n>0 (2n)! x2n X (−1)n sin(x) = x2n+1 (2n + 1)! n>0 π π Rappelons aussi que la fonction sin est inversible sur l’intervalle ]− .3.4. d’après le corollaire 2 leurs séries de Taylor calculées au point x = 0 convergent simplement sur R telles que pour tout x ∈ R.5 · · · (2n − 1) x2n+1 (−1)n 2.4. elle se note Arg sh : R → R. x 7−→ Arg sh(x) Rappelons que la fonction Sh est inversible sur R et que sa fonction inverse est de classe C ∞ .5 · · · (2n − 1) x2n+1 2. si dans le développement en série entière de la fonction (1 + x)α on remplace x par x2 1 et on prend α = − on obtient une série entière dont l’intégration terme ` a terme nous donne 2 Arg sh(x) = x + X 1. ′ 1 Arg sh (x) = √ 1 + x2 Donc.4. [ et sa fonction inverse 2 2 se note Arc sin :] − 1. En dérivant la relation Arg sh ◦ Sh(x) = x on en déduit que la fonction dérivée de Arg sh est égale à. 1[→ R. En effet. : Arc sin(x) = x + X 1.6 · · · (2n) 1 − x2 n>1 donc en l’intégrant entre 0 et x on trouve le développement en série entière de Arc sin au voisinage de zéro i. Donc.Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 77 4) La fonction. Bouarich Suites et séries de fonctions .3. puisque la fonction sin est de classe C ∞ son inverse Arc sin est de classe C ∞ et sa première fonction dérivée est donnée par ′ 1 Arc sin (x) = √ 1 − x2 Ainsi.5 · · · (2n − 1) 1 =1+ x2n 2.e.3. 3) Montrer qu’on a. . f ”(x). . . Dans cet exercice on se propose de calculer l’integrale généralisée Z 0 A. Log( 1−x 1−x 1 − x2 x sin(a) 3. Z x 2 e−t dt. au voisinage de zéro. 1 + x2 1 − x cos(a) 4. On définit sur R une fonction par l’expression. √ . Log(1 − 2x cos(a) + x2 ). Exercice 72. sin(Log(1 + x)). Bouarich 1 Log(x) dx. 0 2) En déduire le développement en série entière de la fonction f (x).78 Les séries entières Enfin. Pour tout réel x on pose f (x) = xn+2 . b > 0 avec a 6= b. Pour tout réel a ∈ R touver le domaine de convergence simple et la somme des séries entières réelles. Exercice 69. (cn )2 xn . . (x − tg(x)) cos(x).3. (1 − ax)(1 − bx) X 2) Calculer la somme de la série entière. 1[. notons que puisque la fonction cos est inversible sur l’intervalle ]0. f ′ (x) = 2xf (x) + 1. 1 f (x) = . Arc cos(x) = π − Arc sin(x) 2 on conclut donc le développement en série entière de la fonction Arc cos est donnée au voisinage de zéro par. ∀x ∈ R.5 · · · (2n − 1) x2n+1 π −x− 2 2. π[ et sa fonction inverse Arc cos :] − 1. 2. 4) Retrouver une écriture simple du développement en série entière de la fonction f (x). f (x) = 2 ex 2 1) Donner le développement en série entière de la fonction g(x) = e−x . ga (x) = X cos(na)xn et hα (x) = n>0 X sin(na)xn n>0 Exercice 70. et puis celle de f (x). 1[→]0. Arctg . 2 2 1 − 2 cos(α)x + x 1 − ex 1+x+x Log(1 − x) 1+x ). Dans cet exercice on fixe deux réels positifs a. Développer en série entière les fonctions suivantes au voisinage de zéro : 1 1 x 1.4. n>0 Exercice 71. π[ est liée avec la fonction Arc sin par l’équation ∀x ∈] − 1.6 · · · (2n) 2n + 1 n>1 Exercice 68. x2 − 1 Suites et séries de fonctions . Arc cos(x) = X 1. Arctg . 2) En déduire l’expression explicite de la fonction dérivée f ′ (x). (n + 1)(n + 2) n>0 X 1) Calculer la somme de la dérivée seconde. 1) Calculer les coefficients cn du développement en série entière de la fraction rationnelle. Exercice 73. Pour tout réel x 6= 0 on pose θ(x) = exp(− 1) Montrer que la fonction θ(x) est de classe C ∞ 2) Est-ce que la fonction θ(x) est développable en série entière au voisinage de zéro ? Exercice 75. déduire que 8 0 Z 1 X 1 Log(x) π2 π2 dx = et que = 2 8 n2 6 0 x −1 n>0 1 ) et θ(0) = 0.Fonctions d’une variable réelle développables en série entière 1) En utilisant la série entière. Pour tout réel x on pose X fα (x) = e−n cos(nα x) n>0 1) Montrer que les fonctions fα est de classe C ∞ sur R et que pour tout entier k > 0 la fonction dérivée. x2 au point x = 0. X 79 x2n . Soit α ∈ R. 2 x −1 (2n + 1)2 n>0 Z π/2 2) Pour tout entier n > 0 calculer les intégrales simples définies In = (sin(x))n dx. Exercice 74. montrer que l’integrale généralisée n>0 Z 1 0 X Log(x) 1 dx = . Montrer que pour tout réel x ∈ R et pour tout entier k > 0 on a k=n X . X fα(k) (x) = e−n nkα cos(nα x + kπ) n>0 2) On suppose que le réel α 6 1. 0 Z π/2 π2 arcsin(sin(x))dx = 3) En remarquant que l’intégrale définie . . fα(k) (0)xk . . X α en |x|−n . . Montrer que pour tout réel x ∈ R tel que | x |< R on a X . a un rayon k! k=0 de convergence R 6= 0. k=n X fα(k) (0)xk 3) On suppose que le réel α > 1 et que la série entière de Taylor.6 k! k=0 n>0 En déduire que la fonction fα est développable en série entière au voisinage de zéro. . . fα(k) (0)xk . . X α en |x|−n . . R[ on pose. X x3n . Montrer que la fonction S(x) est solu(3n)! n>0 tion d’une équation différentielle du second ordre qu’on détérminera. En déduire l’expression explicite de la fonction S(x).> k! k>0 n>0 En déduire que la fonction fα n’est pas développable en série entière au voisinage de zéro. 1) Calculer le rayon de convergence R de la série entière. Bouarich Suites et séries de fonctions . Exercice 76. 2) Pour tout réel x ∈]−R. S(x) = A. (3n)! n>0 X x3n . dans cette preuve on pose pour x proche de x0 . y”(x) = u(x)y ′ (x) + v(x)y(x). p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 telles que au voisinage de x0 ∈ R on a p(x0 ) 6= 0 et r(x0 ) 6= 0. n>0 A.3 Les séries entières ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires et les s´ eries enti` eres Dans cette section. Une équation différentielle linéaire de degré deux régulière au point x0 . Bouarich n>0 Suites et séries de fonctions . possède une X solution développable en série entière y(x) = an (x − x0 )n dont le rayon de convergence est n>0 non nul. on se propose de trouver des solutions développables en série entière pour les équations différentielles ordinaires linéaires réelles de degré deux de type : p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 o` u les coefficients p(x). q(x) et r(x) sont développable en série entières au voisinage du point x0 . D’abord notons que puisque la fonction p(x) est continue telle que p(x0 ) 6= 0 elle reste donc non nulle sur un voisinage de x0 . Donc. p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 possède une solution y(x) développable en série entière au voisinage de x0 qui ne dépendant que des conditions initiales y(x0 ) et y ′ (x0 ). X X u(x) = un (x − x0 )n et v(x) = vn (x − x0 )n . Ces d’équations différentielles sont dites r´ eguli` eres au point x0 . Th´ eor` eme 25.80 4. n>1 n>2 Notons aussi que puisque les fonctions p(x). Posons pour tout réel x proche de x0 . Démonstration. 4. Ainsi. q(x) r(x) et v(x) = − u(x) = − p(x) p(x) et on se propose de chercher les solutions développables en série entière au voisinage de x0 pour l’équation différentielle “normalis´ ee ” : y”(x) = u(x)y ′ (x) + v(x)y(x) Supposons que l’équation différentielle normalisée. q(x) et r(x) sont des fonctions données développables en série entière et y(x) est la fonction inconue. la solution y(x) est de classe C ∞ et ses deux premières dérivées sont données par.3. on s’intéresse au équations différentielles ordinaires linéaires réelles de degré deux. donc les fonctions u(x) et v(x) sont développable en série entières au voisinage du point x0 .1 Cas d’une ´ equation diff´ erentielle r´ eguli` ere Dans ce paragraphe. X X y ′ (x) = nan (x − x0 )n−1 et y”(x) = n(n − 1)an (x − x0 )n−2 . .    n(n − 1)an = (n − 1)an−1 u0 + (n − 2)an−2 u1 + · · · + a1 un−2     + an−2 v0 + · · · + a1 vn−2 . En pratique pour chercher une solution de l’équation différentielle régulère p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 qui soit développable en série entière au voisinage de x0 on procède comme suit : 1... observons que si on porte les séries entières ci-dessus dans l’équation différentielle normalisée y”(x) = u(x)y ′ (x) + v(x)y(x) on obtient le système suivant :   2a2 = a1 u0 + a0 v0      6a3 = 2a2 u0 + a1 u1 + a1 v0 + a0 v1  . . grˆ ace ` a ce système on voit que puisque les valeurs u0 = u(x0 ) et v0 = v(x0 ) son connues il en résulte que la donnée des valeurs a0 = y(x0 ) et a1 = y ′ (x0 ) déterminent complètement tous les coefficients an pour n > 2. Pour déterminer les coefficients an du développement en série entière de la solution y(x) de l’équation différentielle p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 on procède comme dans la preuve du théorème précédente.´ Equations différentielles linéaires et les séries entières 81 Puis. = . Maintenant.. a . p . n . Ensuite. 2. on doit calculer l’une des deux limites lim . . y” − xy ′ − y = 0 Portons la série entière y(x) = X an xn et ses deux premières dérivées n>0 y ′ (x) X = nan xn−1 X (n + 1)an+1 xn = X n>1 X n>0 n−2 y”(x) = n(n − 1)an x = (n + 2)(n + 1)an+2 xn n>2 n>0 dans l’équation différentielle y” − xy ′ − y = 0. ou lim n | an | afin de n→+∞ an+1 Xn→+∞ déterminer le rayon de convergence de la série entière y(x) = an (x − x0 )n solution n>0 de l’équation différentielle donnée. Bouarich X n>1 (n + 1)((n + 2)an+2 − an )xn = 0 Suites et séries de fonctions . Cherchons une solution dévelopable en séries entière au voisinage de zéro pour l’équation différentielle régulière normalisée. Exemple 25. X X X (n + 2)(n + 1)an+2 xn − x (n + 1)an+1 xn − an xn = 0 n>0 n>0 n>0 X X X (n + 2)(n + 1)an+2 xn − nan xn − an xn = 0 n>0 n>1 n>0 X (2a2 − a0 ) + ((n + 2)(n + 1)an+2 − nan − an )xn = 0 n>1 (2a2 − a0 ) + A. 2 Donc. Pour tout réel θ on se propose de calculer la somme de la série entière X sin(nθ) n>1 n! xn 1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière X sin(nθ) n! n>1 2) Montrer que la fonction y(x) qui co¨ıncide avec la série entière xn . Exercice 79.3 a0   a2n = (2n)(2n − 2) · · · 4. la solution de l’équation différentielle y”−xy ′ −y = 0 possède une solution développable en série entière au voisinage de zéro. Soit α ∈ R.3 n>1 sont des séries entières dont le rayon de convergence est infini. X sin(nθ) n>1 domaine de convergence est solution de l’équation différentielle y” − 2 cos(θ)y ′ + y = 0 avec y(0) = 0 et n! xn sur son y ′ (0) = sin(θ) 3) Déterminer l’expression explicite de la fonction y(x).82 Les séries entières Donc. 3. o` u  X x2n   y (x) = 1   (2n)(2n − 2) · · · 4. (x2 + 1)y” − xy ′ − y = 0 . y” − x2 y ′ − y = 0 . 5.  a1 = y ′ (0). 2. (1 + x2 )y”(x) + xy ′ (x) − α2 y(x) = 0 A.   (n + 2)an+2 = an . y” − xy = 0 . y” − 2xy ′ + 2ny = 0 avec nN . si on compare les deux membres de la dernière ligne on obtient le système suivant :   a0 = y(0). y(x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x). Exercice 77. Montrer que chacune des équations différentielles suivantes admet une solution développable en série entière au voisinage de zéro : 1. Dans R on considère l’équation différentielle ordinaire Eα . Exercice 78.2 n>0 X x2n−1     y2 (x) = (2n − 1)(2n − 3) · · · 5. ∀n > 0 qui définit les an par une relation de récurrence grˆ ace ` a laquelle on obtient. (1 − x2 )y” − xy ′ + a2 y = 0. Bouarich Suites et séries de fonctions .  a1   a2n−1 = (2n − 1)(2n − 3) · · · 5. 4. 3. d’après le théorème 6. qui sont développables en séries entières au voisinage d’une singularité x0 . 3) En déduire que la fonction fα est d’éveloppable en série entière au voisinage de zéro.2 Cas d’une ´ equation diff´ erntielle singuli` ere D´ efinition 13. Th´ eor` eme 26. a ∈ R. Bouarich et y”(x) = X n>0 (n + σ)(n + σ − 1)an xn+σ−2 Suites et séries de fonctions . Si l’équation différentielle linéaire de degré deux. fα (x) = x + 1 + x2 . X y ′ (x) = (n + σ)an xn+σ−1 n>0 A. On procède de la même fa¸con que dans le cas d’une équation différentielle régulière. x2 y”(x) + xy ′ (x) + (x2 − a2 )y(x) = 0. p(x)y”(x) + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 présente une singularité d’ordre m > 0 au point x0 alors elle possède une solution développable en série entière au voisinage de x0 qui est de la forme. On dira que l’équation différentielle ordinaire de degré deux.´ Equations différentielles linéaires et les séries entières 83 1) Montrer que l’équation différentielle Eα possède une solution d’éveloppable en série entière au voisinage de zéro dont le rayon de convergence est non nul. o` u σ∈R n>0 Démonstration. p(x0 ) = p′ (x0 ) = · · · = p(m) (x0 ) = 0 et p(m+1) (x0 ) 6= 0. Notons que l’équation différentielle de Bessel d’indce. α √ 2) Vérifier que la fonction. présente une singularité d’ordre m = 2 au point x0 = 0. Le théorème suivant nous donnera une méthode pratique qui permet de trouver les solutions de l’équation différentielle singulaire. est solution de l’équation différentielle Eα . r(x0 ) 6= 0. X y(x) = xσ an (x − x0 )n . Donc. p(x)y” + q(x)y ′ (x) + r(x)y(x) = 0 présente une singularit´ e d’ordre m ∈ N∗ au point x0 ∈ R si q(x0 ) 6= 0. 4. Le reste de ce paragraphe sera consacré ` a la cherche des solutions développables en séries entières de l’équation différentielle de Bessel d’indice a ∈ R. q(x) et r(x) des fonctions développables en série entière au voisinage de x0 ∈ R. Soient p(x). p(x)y”+q(x)y ′ (x)+r(x)y(x) = 0. pour chercher une solution de l’équation diffirentielle de Bessel qui soit développable série entière il suffit qu’on porte la fonction X y(x) = xσ an xn telle que y(0) = a0 6= 0 n>0 et ses deux premières dérivées. si le paramètre inconnu σ = −a 6∈ N la relation récurrente ((σ+n)2 −a2 )an = −an−2 ⇐⇒ an = −an−2 (σ + a + n)(σ − a + n) ⇐⇒ an = −an−2 n(n − 2a) nous permet de voir que pour tout entier n > 0. Ainsi. a2n+1 = 0 a2n = (−1)n et 22n n!(−a a0 + 1)(−a + 2) · · · (−a + n) Par contre si le paramètre inconnu σ = a 6∈ N on aura pour tout entier n. ∀n > 2 Notons que puisque le coefficient a0 6= 0 il s’ensuit que le nombre réel inconnu σ = ±a et que a1 = 0. X X X X (n + σ)(n + σ − 1)an xn+σ + (n + σ)an xn+σ + an xn+σ+2 − a2 an xn+σ = 0 n>0 n>0 n>0 n>0 X X X X (n + σ)(n + σ − 1)an xn+σ + (n + σ)an xn+σ + an−2 xn+σ − a2 an xn+σ = 0 n>0 n>0 2 2 σ 2 n>2 2 (σ − a )a0 x + ((1 + σ) − a )a1 x σ+1 n>0 X + (((n + σ)2 − a2 )an + an−2 )xn+σ = 0 n>2 Ainsi. admet deux solutions développables en série entière au voisinage de x0 = 0 qui sont indépendantes et sont données par les expressions : Ja (x) = xa X (−1)n n>0 J−a (x) = x−a x2n . β ∈ R Suites et séries de fonctions . x2 y” + xy ′ + (x2 − a2 )y = 0. en comparant les deux membre de la dernière   (σ 2 − a2 )a0  ((σ + 1)2 − a2 )a1   ((σ + n)2 − a2 )an + an−2 ligne on obtient le système suivant : = 0 = 0 = 0.84 Les séries entières dans l’équation différentielle de Bessel x2 y”(x) + xy ′ (x) + (x2 − a2 )y(x) = 0. conséquence de ce qui précède. + 1)(a + 2) · · · (a + n) Donc. Bouarich avec α. toute solution J(x) de l’équation de Bessel s’écrit sous la forme J(x) = αJa (x) + βJ−a (x) A. 22n n!(a + 1)(a + 2) · · · (a + n) Si a 6∈ Z on démontre que le couple de fonctions Ja (x) et J−a (x) est un système fondamental de solutions de l’équation différentielle de Bessel. C’est-` a-dire. 22n n!(−a + 1)(−a + 2) · · · (−a + n) X (−1)n n>0 x2n . an = −an−2 (σ + a + n)(σ − a + n) ⇐⇒ et donc a2n+1 = 0 a2n = (−1)n et 22n n!(a an−2 = −an−2 n(n + 2a) a0 . on conclut que si le réel a 6∈ N alors l’équation différentielle de Bessel. Bouarich Suites et séries de fonctions . Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage de x0 = 1 (resp. Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage de x0 = 0 de l’équation différentielle xy” + (1 − x)y ′ + ay = 0 o` u a ∈ R∗ . x0 = −1) de l’équation différentielle (1 − x2 )y” − xy ′ + a2 y = 0 avec a ∈ R est un paramètre. Etudier l’existence d’une solution développable en série entière au voisinage de x0 = 0 de l’équation différentielle xy” + y ′ + xy = 0. tandis que la fonction Jm (x) s’appelle fonction de Bessel d’indice entier m ∈ N. 2n 2n 2 n!(m + 1)(m + 2) · · · (m + n) 2 n!(n + m)! n>0 Enfin. X Exercice 80. Jm (x) = xm X n>0 (−1)n X x2n m! = x2n+m . 2) Déterminer le rayon de convergence de la série f (x) = X an xn et calculer sa somme au n>0 moyen des fonctions élémentaires. Lorsque l’indice a = −m avec m ∈ N∗ on démontre que l’équation de Bessel possède une solution J−m (x) = (−1)m Jm (x). on voit que l’équation de Bessel admet une seule solution développable en série entière donnée par l’expression. 1) Trouver l’expression du terme général an . Exercice 81. Exercice 83. notons que les fonctions Ja (x) et J−a (x) solution de l’équation de Bessel avec a 6∈ N s’appellent fonctions de Bessel d’indice non entier. Exercice 82. On suppose que la fonction f (x) = an xn est solution de l’équation diffén>0 rentielle 4xy” + 2y ′ + y = 0 avec la condition initiale y(0) = 1. en procédant comme ci-dessus.´ Equations différentielles linéaires et les séries entières 85 Si l’indice a = m ∈ N. A. chp. − α] avec α ∈]0. [. ω ω Exemple 26. Soient an et bn deux suites de nombres réels et ω ∈ R∗+ . 2π − k=n X 1 α] la suite des sommes partielles. − α] avec α ∈]0. Proposition 16. Si les séries numériques X n>0 alors la série trigonométrique | an − an+1 | et X n>0 | bn − bn+1 | convergent. comme la sin(α/2) k=1 A. X (an cos(nωx)+bn sin(nωx)) converge uniformément sur tout n>0 2π π intervalle de type [α.1. un (x) = an cos(nωx) + bn sin(nωx). Par exemple.1 S´ eries trigonom´ etriques D´ efinition et propri´ et´ es D´ efinition 14. chp. ω De même. 1) Soit α ∈]0. [. 3) on déduit qu’on a la proposition suivante. Si les suites an et bn sont positives et tendent vers zéro en décroissant. Proposition 15. Donc. ω ω Corollaire 15. alors la n>0 n>0 X (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) converge uniformément sur R vers une n>0 fonction qui est continue et 2π -périodique. 3) on déduit qu’on a la proposition suivante. Rappelons que pour tout réel x élément du segment [α.1 5. X alors la série trigonométrique (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) converge uniformément sur les n>0 2π π intervalles de type [α. π[. Bouarich Suites et séries de fonctions . s’appelle série trigonométrique réelle. Si les séries numériques série trigonométrique X | an | et X | bn | convergent. grˆ ace au théorème d’Abel pour les séries de fonctions (cf. Les séries trigonométriques réelles sont donc une forme particulière des séries de fonctions dont l’étude complète est déj` a développée dans le chapitre 3.Chapitre Cinq Les s´ eries de Fourier 5. est bornée. grˆ ace au théorème de Weierstrass (cf. La série de fonctions de terme général. | sin(kx) |6 . cos(nωt) sin(mωt)dt = sin(nωt) sin(mωt)dt = cos(nωt) cos(mωt)dt = 0. grˆ ace aux formules du lemme précédent on conclut que pour tout entier n > 0 les coefficients de la série trigonométrique de somme f (x) sont donnés par les expressions : Z 2 T an = f (t) cos(nωt)dt T 0 Z 2 T bn = f (t) sin(nωt)dt T 0 A. cos(nωt) cos(nωt)dt = sin(nωt) sin(nωt)dt = . le théorème d’intégration nous permet décrire que pour tout entier naturel m>0: Z T Z X Z T a0 T f (t) cos(mωt)dt = cos(mωx)dx + an cos(nωt) cos(mωt)dt 2 0 0 0 n>1 X Z T + bn sin(nωt) cos(mωt)dt 0 n>1 et que Z T f (t) sin(mωt)dt = 0 a0 2 Z T sin(mωx)dx + 0 + X n>1 bn Z T X n>1 an Z T cos(nωt) sin(mωt)dt 0 sin(nωt) sin(mωt)dt] 0 Ainsi. périodique avec T = ω 2π Lemme 3. | 2 n +n+1 n X 1 série numérique de Riemann est convergente. 2π − α]. donc sa somme définit sur R une fonction continue et T2π . 0 0 0 0 Notons que puisque la série trigonométrique de somme f (x) converge uniformément sur la période [0.Séries trigonométriques 87 1 tend vers zéro en décroissant le théorème d’Abel implique que la série n X sin(nx) trigonométrique converge uniformément sur le segment [α. Bouarich Suites et séries de fonctions . Z T Z T T 2. et on sait que la uniformément) sur R parce que pour tout entier n > 1. 2 Z0 T Z0 T Z T 3. ω Z T 1. n2 n>1 5. T]. cos(nωt) sin(nωt)dt = 0 .2 Coefficients de Fourier d’une s´ erie trigonom´ etrique Dans ce paragraphe on suppose que la série trigonométrique a0 X ∀x ∈ R. n n>1 X cos(nωx) 2) Pour tout réel ω la série trigonométrique converge normalement (donc n2 + n + 1 suite numérqiue n>0 cos(nωx) 1 |6 2 . Si T = alors pour tous les entiers n et m ∈ N on a les formules suivantes.1. f (x) = + (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) 2 n>1 converge uniformément sur R. ∀n > 0 (5. Si f est intégrable sur le segment [0.1) T 0 Z 2 T bn = f (t) sin(nωt)dt. 0 < r < 1.2. Ainsi.1 Coefficients de Fourier d’une fonction p´ eriodique D´ efinition 15. par exemple. En effet. 2π] la série numérique n>0 que fonctions de θ. les parties réelle et imaginaire X ℜ(f (reiθ )) = (αn cos(nθ) − βn sin(nθ))r n n>0 X ℑ(f (reiθ )) = (αn sin(nθ) + βn cos(nθ))r n n>0 convergent normalement sur le segment [0. si on considère la série entière dont la somme X 1+z zn = 1+2 1−z n>1 on en déduit que pour tout réel.2) T 0 A. étant donnée une fonction f : R → R qui est T-périodique et intégrable au sens de Riemann sur le segment [0. en tant et pour réel θ ∈ [0. Soit f (z) = X an z n la somme d’une série entière dont le rayon de convergence n>0 R > 0. Donc. les séries trigonométriques fr (θ) = 1 − r2 1 − 2r cos(θ) + r 2 gr (θ) = r sin(θ) 1 − 2r cos(θ) + r 2 = 1+2 X r n cos(nθ) n>1 = X r n sin(nθ) n>1 convergent uniformément. Bouarich Suites et séries de fonctions . ∀n > 1 (5. 5. 2π] vers des fonctions continues et 2π-périodiques. 2π]. Z 2 T an = f (t) cos(nωt)dt. ( ( an (fr ) = 2r n an (gr ) = 0 et bn (fr ) = 0 bn (gr ) = r n 5.88 Les séries de Fourier Exemple 27. Notons que pour tout réel r < R la restriction de la fonction f (z) sur un cercle centré a ` l’origine et de le rayon r < R induit des séries trigonométriques qui convergent uniformément sur [0. si pour tout entier n > 0 on pose an = αn + iβn on voit que pour tout réel 0 < r < R X an r n einθ converge absolument. Les coifficients de Fourier de fr (θ) et gr (θ) sont donc donnés par les expressions suivantes. T] nous allons lui associer une série trigonométrqiue réelle que l’on appelle série de Fourier et dont la convergence sera étudiée dans la prochaine section.2 S´ erie de Fourier associ´ ee ` a une fonction p´ eriodique Dans cette section. Soit f : R → R une fonction T-périodique. T] on définit les coefficients de Fourier de f par les formules suivantes. Si f : R → R est une fonction T-périodique paire (resp. A. Dans la section 3. nous allons étudier la question de convergence de la série de Fourier associée ` a une fonction périodique et nous démontrerons le théorème Dirichlet qui donnera les conditions suffisantes pour que la série de Fourier converge. Bouarich ∀n ∈ Z. c0 = a0 .4) Notons que la somme partielle de la série de Fourier peut être exprimée en fonction des coeffients de Fourier complexes comme suit. 2 n=−∞ n>1 (5. (5. ∀n ∈ Z. Etant donnée une fonctions f : [0.3) s’appelle série de Fourier associée ` a la fonction périodique f . Notons que les coifficients de Fourier de la fonction f peuvent être éxprimés par les nombres complexes en posant. n=+∞ X a0 X + (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) = cn einωx . an = 0). + 2 k=1 k=−n on en déduit donc que la série de Fourier associée ` a la fonction T-périodique f prend la forme suivante. 2 cn = an − ibn 2 et c−n = an + ibn 2 ∀n ∈ N∗ En utilisant les expressions intégrales des coefficients de Fourier réels on déduit que les coifficinets de Fourie complexes peuvent être calculés par l’intégrale simple complexe suivante 1 cn = T Z T 0 f (x)e−inωx dx. T] → R on pourra la prolonger sur R en une fonction T-périodique en posant. Sn (x) = k=n k=n X a0 X (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)) = ck eikωx . F(x) = f (x − nT).5) Nous avons introduit les coefficients de Fourier complexes parce que ils se calculent plus rapidement que les coefficients réels dans certaines situations particulières comme nous allons le voir ci-dessous sur certaines fonctions T-périodiques. 5. impaire) et intégrable sur [0.Série de Fourier associée ` a une fonction périodique 89 La série trigonométrique définit par l’expression suivante a0 X (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) + 2 n>1 (5. T] alors ses coefficients de Fourier bn = 0 (resp.2 Exemples classiques de s´ eries de Fourier a) Prolongement d’une fonction par p´ eriod´ ecit´ e ´ Soit T > 0 un réel fixé. Proposition 17.2. (n + 1)T] Suites et séries de fonctions . ∀x ∈ [nT. T] son prologement F sur R est donc intégrable sur tous les segments de R de longueur T. : Z X 2πnx 4 T/2 2πnx bn sin( ) o` u bn = f (x) sin( )dx T T 0 T n>1 A. si on se donne une fonction f : [0.1 – Le graphe de la fonction 1-périodique qui prolonge x2 sur R Donc. Bouarich Suites et séries de fonctions . : Z a0 X 2πnx 4 T/2 2πnx + an cos( ) o` u an = f (x) cos( )dx 2 T T T 0 n>1 Dans ce cas on dira que la fonction f : [0. pour cela il suffit qu’on pose Fp (−x) = Fp (x) = f (x − nT) 1 ∀x ∈ [nT. Enfin. ∀n ∈ Z 2 Puisque le prolognement Fip de f sur R est impaire ses coifficients de Fourier an seront nuls et sa série de Fourier ne contient que des termes en sinus i.e. T/2] → R sur R en une fonction T-périodique et qui soit paire . (n + )T]. T/2] → R est développée en série de Fourier de cosinus. notons qu’une fonction f : [0. T/2] → R peut être prolongée sur R en une fonction qui soit T-périodique et impaire . et donc on peut lui associer une série de Fourier.e. si la fonction f est intégrable sur [0.2 – Le graphe de la fonction 2-périodique paire qui prolonge x2 sur R Notons que puisque le prolognement Fp de f sur R est paire ses coifficients de Fourier bn seront nuls et sa série de Fourier ne contient que des termes en cosinus i. ∀n ∈ Z 2 Figure 5. De même. (n + )T].90 Les séries de Fourier Figure 5. pour cela il suffit qu’on pose −Fi (−x) = Fi (x) = f (x − nT) 1 ∀x ∈ [nT. 3 – Le graphe de la fonction 2-périodique impaire qui prolonge x2 sur R Dans ce cas on dira que la fonction f : [0. T/2] → R est développée en série de Fourier de sinus. Bouarich Suites et séries de fonctions . Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique f : R → R qui prend sur la période [0. 2π] la valeur f (x) = eax . π(a2 + n2 ) La série de Fourier associée ` a la fonction eax est donc donnée par la somme (e2πa − 1) 1 X (e2πa − 1) + (a cos(nx) − n sin(nx)) 2πa π a2 + n2 n>1 A. on voit que les coefficients de Fourier réels de la fonction f sont e2πa − 1 donnés par a0 = et si n > 1 πa an = a(e2πa − 1) π(a2 + n2 ) et bn = − n(e2πa − 1) . Z 2π Z 2π 1 1 cn = f (x)e−inx dx = eax−inx dx 2π 0 2π 0 h 1 e(a−in)x i2π = 2π a − in 0 1 e2πa 1 1 (e2πa − 1)(a + in) an − ibn = ( − )= = . 2 2 2π a − in a − in 2π a +n 2 En conséquence de ce calcul. b) Coiffecients de Fourier de la fonction 2π-p´ eriodique x 7−→ eax Soit a ∈ R∗ est un réel fixé.Série de Fourier associée ` a une fonction périodique 91 Figure 5.4 – Le graphe de la fonction 2π-périodique e−x/2π Pour calculer les coefficients de Fourier an et bn de la fonction f nous allons calculer ses coefficients de Fourier complexes qui sont donnés par l’intégrale simple complexe. Figure 5. 5 – Le graphe de la fonction 2π-périodique cos(0. an = λ sin(2πλ) π(λ2 − n2 ) et bn = − n(1 − cos(2πλ)) π(λ2 − n2 ) La série de Fourier associée ` a la fonction 2π-périodique cos(λx) a pour expression : sin(2πλ) X λ sin(2πλ) cos(nx) − n(1 − cos(2πλ)) sin(nx) + 2πλ π(λ2 − n2 ) n>1 c) Coiffecients de Fourier d’une fonction constante par morceaux Calculons les coefficients de Fourier de la fonction impaire T-périodique qui co¨ıncide avec la fonction h(x) = 1 sur l’intervalle ]0. πλ λ2 sin(2λπ) in an − ibn ( + (1 − cos(2πλ)) = 2 2 2 λ −n 2πλ 2πλ 2 Donc. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique qui co¨ıncide avec la fonction g(x) = cos(λx) sur [0. les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique définit sur [0. 2π]. cn = = = = Z 2π Z 2π 1 1 −inx g(x)e dx = cos(λx)e−inx dx 2π 0 2π 0 Z 2π i2π h sin(λx) 1 −in sin(λx) −inx e−inx − e dx 2πλ 2π 0 λ 0 Z 2π sin(2λπ) in h − cos(λx) −inx i2π in cos(λx −inx + e − e dx 2πλ 2πλ λ λ 0 0 sin(2λπ) in n2 + (1 − cos(2πλ) + cn 2πλ 2πλ2 λ2 De la dernière linge de ce calcul on déduit que a0 = cn = sin(2λπ) et que pour tout entier n > 1.92 Les séries de Fourier b) Coiffecients de Fourier de la fonction x 7−→ cos(λx) Soit λ 6∈ Z est un réel fixé. T/2]. 2π] par cos(λx) sont donnés par. Figure 5.75x) Pour calculer les coefficients de Fourier de la fonction g nous allons calculer ses coefficients de Fourier complexes en procédant par intégration par partie. A. Bouarich Suites et séries de fonctions . ∀x ∈ [0. π] 2) Donner le développement en série de Fourier en sinus de la fonction 2π-périodique g(x) = cos(x). cosinus) des fonctions 2π-périodiques suivantes : f (x) = x. (2n + 1)π Ainsi. g(x) = x2 . an = 0. π] est donnée par l’expression 4 X sin((2n + 1)x) π n>0 2n + 1 Exercice 84. ∀x ∈ [0. π]. T 0 T T 2nπ T π n n 0 Z T/2 Les coefficients de Fourier de la fonction h(x) sont finalement donnés par les expressions : ∀n ∈ N. ∀n > 1. Bouarich Suites et séries de fonctions . b2n+1 = 4 . b2n = 0 et ∀n > 0. A. π] Exercice 86. Soit T > 0.6 – Le graphe d’une fonction impaire 2π-périodique et constante Puisque la fonction h(x) est impaire on déduit que pour tout entier n ∈ N. Donner le développement en série de Fourier en sinus (resp. en conséquence du calcul précédent on conclut que la série de Fourier associée ` a la fonction 2π-périodique impaire égale ` a un sur [0. Exercice 85.   0 si −T/2 6 x < −T/4     1 si −T/4 < x < T/4 F(x) =  a si T/4 < x < T/2     b si x = −T/4 ou x = T/4. Tandis que les coefficients bn se calculent par intégration par partie comme suit : bn = 2 T = 2 T = Z T h(x) sin( 0 2πnx )dx T Z 2πnx 4 T/2 2πnx h(x) sin( )dx = h(x) sin( )dx T T 0 T −T/2 Z 4 T/2 2πnx 4 h −T 2πnx iT/2 2 1 (−1)n sin( )dx = cos( ) = ( − ). an = 0. ∀x ∈ [0. Pour tout couple de nombres réels a et b on définit une fonction F : R → R T-périodique par les expressions. h(x) = π − x.Série de Fourier associée ` a une fonction périodique 93 Figure 5. 1) Donner le développement en série de Fourier en cosinus de la fonction 2π-périodique f (x) = sin(x). k(x) = x(π − x). 2) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction T-périodique F. Corollaire 16. Admise. A.3 Probl` eme de convergence des s´ eries de Fourier Rappelons que dans la section précédente ` a la donnée d’une fonction T-périodique f : R → R nous lui avons associé la série de Fourier suivante n=+∞ X a0 X + (an cos(nωx) + bn sin(nωx)) = cn einωx 2 n=−∞ n>1 sans s’intéresser ` a sa convergence.94 Les séries de Fourier 1) Tracer le graphe de la fonction F. c’est dans cette section qu’on se propose d’étudier la convergence d’une série de Fourier et calculera aussi sa limite s’imple. C(λ) = Z b f (t) cos(λt)dt et S(λ) = a Z b f (t) sin(λt)dt a tendent vers zéro quand le réel λ tend vers l’infini. c’est grˆ ace au noyau de Dirichlet que nous dégagerons les conditions suffantes qui assureront la convergence de la série de Fourier vers la fonction périodique donnée au départ. Bouarich Suites et séries de fonctions . b] → R une fonction bornée et intégrable au sens de Riemann. Pour régler ces qusetions nous allons suivre la méthode de Dirichlet qui permet d’écrire la somme partielle d’une série de Fourier sous la fomre d’une intégrale simple définie qui dépend de la fonction périodique donnée et d’une fonction remarquable appelée noyau de Dirichlet. Si f : R → R est une fonction T-périodique intégrable sur [0. 5. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f : R → R 2π-périodique définie par.3. 2π[ avec k > 1. T] alors ses coefficients de Fourier an et bn tendent vers zéro ` a l’infini i. Alors les fonctions définient par les intégrales suivantes. 5. Démonstration. Exercice 87. Ensuit.e.1 Convergence des coefficients de Fourier Lemme 4 (Lebesgue). En effet. Soit f : [a. Soit f : R → R une fonction 2π-périodique et de classe C k sur ]0. ( 0 si −π < x < 0 f (x) = 2 x si 0 < x < π. : T 2 lim an = lim n→+∞ n→+∞ T Z 2 lim bn = lim n→+∞ n→+∞ T Z f (t) cos(nωt)dt = 0 0 et T f (t) sin(nωt)dt = 0 0 Exercice 88. Z 2π | cn (f (k) ) | 1 | cn (f ) |= et que | c (f ) |6 | f (k) (t) | dt n nk 2πnk 0 2) En déduire que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers zéro plus rapidement 1 que la suite numérique k . Notons que si dans la somme partielle d’ordre n > 0 de la série de Fourier associée ` a f on remplace les coefficients de Fourier conplexes ck de la fonction f par leurs expressions intégrale on obtient. (5. avec ces notations on déduit que la somme partielle Sn (x) de la série de Fourier de f (x) prend la forme intégrale suivante. Pour tout entier n ∈ N la fonction périodique définit par l’expression suivante Dn (t) = k=n X k=−n eikωt 1 sin((n + )ωt) 2 = ωt sin( ) 2 s’appelle nième noyau de Dirichlet.2 Th´ eor` eme de convergence de Dirichlet Soit f une fonction T-périodique. Bouarich Suites et séries de fonctions . A.Problème de convergence des séries de Fourier 95 1) Démontrer que pour tout entier n > 1 le module des coefficients de Fourier complexes de f est donné par.6) T 0 T 0 D´ efinition 16. n 3) Démontrer que si f est de classe C 2 alors la série de Fourier de f converge normalement.3. Sn (x) = k=n X ck eikωx k=−n = k=n X 1 Z T k=−n = 1 T Z T 0 T 0 f (t)e−ikωt dt eikωx k=n X f (t) eikω(x−t) dt. Z Z 1 T 1 T Sn (x) = f (t)Dn (x − t)dt = f (x + t)Dn (t)dt. k=−n Dans la suite pour tout entier n ∈ N et pour tout réel t 6∈ Dn (t) := k=n X eikωt = e−inωt k=−n 2π Z posons ω 1 − ei(2n+1)ωt 1 − eiωt 1 1 )ωt i(n+ )ωt 2 2 e −e iωt iωt − e 2 −e 2 1 sin((n + )ωt) 2 ωt sin( ) 2 −i(n+ = = Ainsi. 5. Th´ eor` eme 27 (Théorème de Dirichlet). 2 2 n>1 o` u f (x+ ) (resp. Le noyau de dirichlet Dn (x) vérifie les propriétés suivantes : Z 1 T 1. 2. T] et qui vérifie en plus les conditions suivantes dites de Dirichlet : 1. Bouarich Suites et séries de fonctions . 3. Proposition 18. Alors. Dn (t)dt = 1. T] . f (x+ ) + f (x− ) a0 X = + (an cos(nωx) + bn sin(nωx)). Si f est une fonction T-périodique alors la somme partielle d’ordre n > 0 de sa série de Fourier est donnée par l’intégrale simple Sn (x) = 1 T Z 0 T/2 (f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt Z T Démonstration. T 0 2. 1) Observer que puisque pour tout entier k 6= 0 l’intégrale définie e−kiωt dt 0 Z 1 T Dn (t)dt = 1. la limite ` a gauche) de la fonction f (x) au point x ∈ R.96 Les séries de Fourier La suite Dn (t) des noyaux de Dirichet possède des propriétés remarquables que nous résumerons dans la proposition suivante. la fonction f (x) est dérivable sur les intervalles ouvert ]xi . L’intégrale simple. A. T/2] : Sn (x) = = = = 1 T Z 1 T Z 1 T Z 1 T 0 T 1 f (x + t)Dn (t)dt = T T/2 f (x + t)Dn (t)dt + 0 T/2 f (x + t)Dn (t)dt + 0 Z 0 T/2 Z T/2 f (x + t)Dn (t)dt 1 T −T/2 Z 0 f (x + t)Dn (t)dx 1 T Z f (x − t)Dn (t)dx −T/2 T/2 0 (f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt. la fonction f (x) admet des dérivées ` a gauche et ` a droite en chaque point xi . la série de Fourier de la fonction f (x) converge simplement vers la fonction ∀x ∈ R. Soit f : R → R une fonction T-périodique intégrable sur le segment [0.6) la périodicité de la fonction f (x) et du noyau Dn (x) nous permet d’exprimer Sn (x) par une intégrale simple étendue que sur [0. est nulle il s’ensuit que T 0 2) Observer aussi que si on écrit la somme partielle Sn (x) en utilisant l’expression intégrale donnée par (5. sur l’intervalle [0. T] la fonction f (x) est discontinue seulement sur un ensemble fini de points 0 6 x1 < x2 < · · · < xn 6 T . f (x− )) désigne la limite ` a droite (resp. xi+1 [⊂ [0. = + n→+∞ 2 2 n>1 Corollaire 17. Ainsi. T] alors pour tout réel x ∈ R. 2 n>1 A. puisque les fonctions F+ ees et intégrables sur le segments [0. Pour calculer la somme de la série de Fourier associée ` a une fonction f qui est T-périodique et vérifiants les conditions de Dirichlet nous allons étudier la limite simple de la suite de fonctions f (x+ ) + f (x− ) Sn (x) − 2 tout en utilisant l’expression intégrale de la somme pertielle (cf (5)) 1 Sn (x) = T Z T/2 (f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt 0 Notons que puisque le noyau de Dirichlet Dn (x) est T-périodique et paire son intégrale sur Z 1 T/2 1 la moitié de la période est égale ` a Dn (t)dt = . Bouarich Suites et séries de fonctions . on voit que pour toute entier T 0 2 n on peut écrire : Z f (x+ ) + f (x− ) 1 T/2 Sn (x) − = (f (x + t) − f (x+ ))Dn (t)dt 2 T 0 Z 1 T/2 + (f (x − t) − f (x− ))Dn (t)dt T 0 − esignent les fonctions définies respectivement par Observons que si F+ x et Fx : [0.Problème de convergence des séries de Fourier 97 Démonstration. a0 X f (x) = + (an cos(nωx) + bn sin(nωx)). Si f : R → R est une fonction T-périodique continue et dérivable par morceaux sur [0. pour tout x ∈ R la série de Fourier associée ` a la fonction T-périodique f (x) f (x+ ) + f (x− ) a0 X converge vers lim Sn (x) = (an cos(nωx) + bn sin(nωx)). T/2] → R d´ les expressions suivantes : F+ x (t) = t f (x + t) − f (x+ ) ωt t sin( ) 2 F− x (t) = et t f (x − t) − f (x− ) ωt t sin( ) 2 on voit que la différence f (x+ ) + f (x− ) Sn (x) − 2 = 1 T + 1 T T/2 Z 0 Z T/2 0 F+ x (t) sin( (2n + 1)ωt )dt 2 F− x (t) sin( (2n + 1)ωt )dt 2 − Ainsi. T/2] le x et Fx sont born´ lemme de Lebesgue (ou son corollaire 4) implique que 1 n→+∞ T Z T/2 1 lim n→+∞ T Z T/2 lim 0 et 0 F+ x (t) sin( (2n + 1)ωt )dt = 0 2 F− x (t) sin( (2n + 1)ωt )dt = 0 2 Par conséquent. 1) Rappelons qu’au paragraphe 2. Bouarich sin(2πλ) X λ sin(2πλ)(−1)n + 2πλ π(λ2 − n2 ) n>1 Suites et séries de fonctions .9) n>1 2) Si on applique le théorème de Dirichlet ` a la série de Fouriée assocée ` a la fonction 2πpériodique qui co¨ıncide avec la fonction cos(λx) sur [0. cos(λπ) = A. 2π] (cf.98 Les séries de Fourier Le théorème de Dirichlet nous permet de calculer la somme de toutes les séries de Fourier que nous avons étudié dans le paragraphe 2. pour tout réel a 6= 0 nous avons déterminé la série de Fourier associée ` a la fonction 2π-périodique qui co¨ıncide avec eax sur ]0. 2π[. ` πacoth(πa) = 1 + 2a2 X n>1 1 n2 + a2 (5.2.2) on obtient pour tout réel x ∈]0.2. X (−1)n aπ = 1 + 2a2 Sh(aπ) n2 + a2 (5. + 2πa π n>1 a2 + n2 ∀x ∈]0. 2π[. si dans la série de Fourier de cos(λx) on porte x = π on obtient la somme. Exemple 28.8) Observons aussi que si dans la série de Fourier de eax on porte x = π on obtient la somme suivante eaπ 1 a X (−1)n = + e2aπ − 1 2πa π n2 + a2 n>1 qui est équivalente ` a l’expression suivante. cos(λx) = sin(2πλ) X λ sin(2πλ) cos(nx) − n(1 − cos(πλ)) sin(nx) + 2πλ π(λ2 − n2 ) n>1 Pour x = 0 le théorème de Dirichlet nous permet de déduire que la somme 1 + cos(2πλ) sin(2πλ) λ sin(2πλ) X 1 = + 2 2 2πλ π λ − n2 n>1 qui nous permet de voir que pour tout réel λ 6∈ Z on a la somme πλcotg(πλ) = 1 + 2λ2 X n>1 λ2 1 . 2πa π n>1 a2 + n2 2 ∀a ∈ R∗ a partir de laquelle on déduit aussi que pour tout réel a 6= 0. si on lui applique le théorème de Dirichlet on conclut que eax = (e2πa − 1) 1 X (e2πa − 1) (a cos(nx) − n sin(nx)).7) Notons que si on porte x = 0 dans cette série de Fourier on déduit la somme suivante e2πa − 1 a X e2πa − 1 1 + e2πa + = .10) De même. 2.1. − n2 (5. 2π[ (5.2. π[ π cette somme implique que la série numérique alternée 2 X (−1)n π = 2n + 1 4 n>0 La figure 7 ci-dessous représente le graphe de la somme partielle Sn (x) = k=n 4 X sin((2k + 1)x) π 2k + 1 k=0 de la série de Fourier qu’on vient de déterminier pour les valeurs n = 17 et n = 22.Problème de convergence des séries de Fourier 99 qui est équivalente ` a la somme suivante X (−1)n λπ = 1 + 2λ2 sin(λπ) λ2 − n2 n>1 (5. Il faut noter que lorsque la variable x s’approche de la discontinuité dela fonction h(x) le graphe de la somme partielle Sn (x) s’éloigne légèrement du graphe de h(x).12) Observons que puisque l’expression qu’on vient d’établir est équivalente ` a la suivante X sin((2n + 1)x) n>1 on voit que si on prend x = 2n + 1 = π . π[ n>1 (5. π 2n + 1 ∀x ∈]0. Bouarich Suites et séries de fonctions . Sur cette figure on voit que le graphe de la somme partielle Sn (x) oscille autour du graphe 6 de la fonction h(x) tout en cherchant ` a converger vers lui. Ce phénomème s’explique par le fait qu’au voisinage d’une discontinuité de la fonction périodique h(x) sa somme partielle de Fourier ne converge pas unifomément. 4 ∀x ∈]0.11) 3) La série de Fourier associée ` a la fonction 2π-périodique impaire qui co¨ıncide avec la fonction h(x) = 1 sur [0.7 – Le graphe bleu est celui de S17 (x) et le rouge est celui se S22 (x) A. 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 −2 −3 Figure 5. π] converge simplement vers la somme : 4 X sin((2n + 1)x) = 1. ( a si − π < x < 0 f (x) = b si 0 < x < π. Soient a < b deux réels et f : R → R une fonction 2π-périodique définie par. π] par | sin(x) | montrer que pour tout réel x ∈ R. Bouarich n>0 Suites et séries de fonctions . k k>1 Exercice 94. En déduire 0 X sin(kx) la somme de la série trigonométrique. (2n + 1)2 n2 n>1 n>1 X Exercice 91. Z π Exercice 93. π] par | cos(x) |. 2) En déduire que pour tout réel x ∈]0. | sin(x) | = = X cos(2nx) i 2h 1−2 π 4n2 − 1 n>1 8 X (sin(nx))2 π 4n2 − 1 n>1 Exercice 95. π] on a la somme x(π − x) = π 2 X cos(2nx) − 6 n2 n>1 et en déduire la somme des séries numériques convergentes X 1 X (−1)n−1 et . 4 2n − 1 n>1 Exercice 90. | sin3 (x) |. Soit f la fonction 2π-périodiques sur R telle que f (x) =| x | si | x |6 π. ∀x ∈ R. Développer en série de Fourier la fonction 2π-périodique. X 2n sin(nx) sin(αx) (−1)n = 2 2 π(α − n ) sin(πα) n>1 Exercice 92. 1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f . Exercice 97. Exercice 96. 1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f . En calculant les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique définie sur [−π. Etudier la convergence de la série de Fourier associée ` a la fonction 1-périodique définie sur R par g(x) = x − [x] o` u [x] la partie entière du réel x. 2 π (2n + 1)2 n>1 3) En déduire la somme des séries numériques convergentes X 1 1 et . Démontrer que pour tout réel x ∈ [0. . π 4 X cos((2n + 1)x) 2) Montrer que | x |= − . Pour tout k ∈ N∗ calculer l’intégrale simple (π − x) sin(kx)dx. Refaire les questions de l’exercice précédent pour la fonction 2π-périodique définie sur le segment [−π. 2 n n2 n>0 A. En considèrant la fonction 2π-périodique qui co¨ıncide sur l’intervalle ] − π. π[ on a la somme π X sin((2n − 1)x) = . Soit α 6∈ Z. π[ avec la fonction sin(αx) montrer que pour tout réel | x |< π.100 Les séries de Fourier Exercice 89. le but de ca paragraphe est de calculer l’intégrale simple définie Z T 0 | f (x) |2 dx en fonction des coefficients de Fourier de la fonction f (x).3 (−1)n π3 . Lemme 5. Z 0 T (f (x) − Sn (x)) sin(kωx)dx = 0. 0 2. T]. Démontrer que pour tout réel x ∈ [0.Problème de convergence des séries de Fourier 101 Exercice 98. (f (x) − Sn (x)) cos(kωx)dx = 0 . = (2n + 1)3 32 Th´ eor` eme de la convergence quadratique Soit f : R → R une fonction T-périodique bornée et intégrable sur le segment [0. Bouarich Suites et séries de fonctions . Démonstration. Pour tout entier 0 6 k 6 n on a les formules suivantes Z T 1. pour tout entier n > 0 on a Z T 0 (f (x) − Sn (x))Sn (x)dx = 0. Rappelons que sous ces hypothèses on pourra associer ` a la fonction f (x) une série de Fourier dont la somme partielle d’ordre n > 0 est donnée par k=n Sn (x) = a0 X (ak cos(kωx) + bk sin(kωx)) + 2 k=1 Notons aussi que puisque la fonction f (x) est bornée on pourra trouver un réel M > 0 tel que pour tout réel x ∈ [0. Z T | f (x) |2 dx nous allons considérer la suite réelle Pour calcuer l’intégrale simple définie 0 2 ∆n (f ) = T Z 0 T | f (x) − Sn (x) |2 dx dont le terme général s’appelle l’écart quadratique d’ordre n > 0 de la fonction f . T]. | f (x) |2 6 M | f (x) | Z =⇒ T 0 | f (x) |2 dx 6 M Z T 0 | f (x) | dx < +∞ Ainsi.3. En conséquence. Les formules du lemme impliquent la proposition suivante : A. Exercice. Le nombre réel ∆n (f ) est fini et il mesure l’erreur qu’on comit lorsque la valeur de la fonction f (x) est approchée par la nième somme partielle de la série de Fourier associée ` a f (x). π] on a la somme 8 X sin((2n + 1)x) π (2n + 1)3 x(π − x) = n>0 et en déduire que la somme de la série numérique convergente X n>0 5. Alors. si on fait tendreZ l’entier n > 0 vers l’infini on obtient l’inégalité de Bessel : (a0 )2 X 2 T + ((ak )2 + (bk )2 ) 6 | f (x) |2 dx. Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable sur [0. T]. : lim an = 0 et lim bn = 0 n→+∞ n→+∞ Notons que grˆ ace ` a cette remarque on déduit que les séries trigonométriques. Z (a0 )2 X 2 T + ((an )2 + (bn )2 ) 6 | f (x) |2 dx. les coefficients de Fourier de la fonction f vérifient l’inégalité de Bessel. T] alors si an et bn désignent les coefficient de Fourier de f (x) X X les séries numériques | an |2 et | bn |2 convergent. Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable sur [0. bornée et intégrable sur le segment [0. ∆n (f ) > 0. Donc. 2 T 0 k>1 De l’inégalité de Bessel on déduit que pour toute fonction f (x) qui est T-périodique.102 Les séries de Fourier Proposition 19.e. grˆ ace aux résultats du lemme on pouura déveloper l’écart quadratique ∆n (f ) comme suit : ∆n (f ) = = = = Z 2 T | f (x) − Sn (x) |2 dx T 0 Z Z 2 T 2 T (f (x) − Sn (x))f (x)dx − (f (x) − Sn (x))Sn (x)dx T 0 T 0 Z Z 2 T 2 T | f (x) |2 dx − f (x)Sn (x)dx T 0 T 0 Z k=n (a0 )2 X 2 T | f (x) |2 dx − [ ((ak )2 + (bk )2 )] + T 0 2 k=1 Corollaire 18 (Inégalité de Bessel). En effet. Obserer que la propostion 19 implique que l’écart quadratique d’ordre n > 0. pour tout entier n > 0 l’écart quadratique d’ordre n > 0 de la fonction f (x) est égale ` a 2 ∆n (f ) = T Z T 0 | f (x) |2 dx − h (a )2 k=n i X 0 + ((ak )2 + (bk )2 ) 2 k=1 Démonstration. (5.13) 2 T 0 n>1 Démonstration. Ceci confirme donc le résultat du n>0 n>0 lemme de Lebesgue qui affirme que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers zéro i. Bouarich X sin(nx) √ n n>0 et g(x) = sin(nx) Log(n + 1) n>0 X Suites et séries de fonctions . k=n ∀n > 0. Alors. T]. (a0 )2 X 2 + ((ak )2 + (bk )2 ) 6 2 T k=1 Z T 0 | f (x) |2 dx Par conséquent. f (x) = A. T] vers la fonction f (x) alors en faisant tendre l’entier n > 0 vers l’infini dans la suite numérique. si la suite des sommes partielles Sn (x) de la série de Fourier associée ` gence uniformément sur [0.14) n>1 Démonstration. 1) Dans cet exemple nous allons calculer la somme des deux séries numériques. on conclut que ces deux séries trigonométriques ne sont pas des séries de Fourier. les coefficient de Fourier an de f (x) sont nuls tandis que ses coefficients de Fourier bn se calculent par l’intégrale définie. Ainsi. 2 n>1 Ci-dessous. Z Z 1 π 2 π bn = x sin(nx)dx = x sin(nx)dx π −π π 0 Z π 2 cos(nx) . on a la formule suivante qui s’appelle identit´ e de Parseval : 2 T Z T (f (x))2 dx = 0 (a0 )2 X 2 + (an + b2n ). Donc. 2 (5. Th´ eor` eme 28 (Identité de Parseval). Soit f : R → R une fonction T-périodique et intégrable sur [0. T]. On donnera qu’une preuve lorsque la série de Fourier de f converge uniformément.Problème de convergence des séries de Fourier 103 converge simplement sur R vers des fonctions 2π-périodique mais ne sont pas intégrables sur le segment [0. Alors. X 1 n2 et n>1 X n>1 1 (2n + 1)2 Pour cela considérons la fonction 2π-périodique qui co¨ıncide sur la période [−π. 2π]. Le théorème suivant prouvé par Parseval montre qu’en effet l’inégalité de Bessel est une varie égalité. nous appliquerons la formule de Parseval pour calculer la somme de certaines séries numériques remarquables. Exemple 29. ∆n (f ) = = 2 on en déduit que T Z 0 T 2 T Z 2 T Z T 0 T 0 | f (x) − Sn (x) |2 dx k=n (a0 )2 X | f (x) | dx − [ + ((ak )2 + (bk )2 )]. 2 | f (x) |2 dx = 2 k=1 (a0 )2 X 2 + (an + b2n ). a f (x) converEn effet. π] avec la fonction impaire f (x) = x. le cas général sera admis. . π cos(nx) (−1)n−1 = [−x dx] = 2 . π[. + π n n n 0 0 Notons que d’après le théorème de Dirichlet on obtient la somme suivante ∀x ∈] − π. A. Bouarich x= X (−1)n−1 n>1 n sin(nx) Suites et séries de fonctions . π] on trouve que 1 π Z π x2 dx = −π X (bn )2 X 1 2π 2 =4 3 n2 =⇒ n>1 Donc. Bouarich X (−1)n π2 +4 cos(nx). π] vers x2 = A.104 Les séries de Fourier Notons aussi que si on applique la formule de Parseval ` a la fonction f (x) sur l’intervalle [−π. π] avec la fonction g(x) = x2 . nous allons calculer la somme des deux séries de Riemann X (−1)n−1 et n2 n>1 X 1 n4 n>1 en utilisant la série de Fourier de la fonction 2π-périodique qui co¨ıncide sur la période [−π. Notons que puisque la fonction g(x) est paire ses coefficients de Fourier bn sont nuls tandis que les coefficients an se calculent par intégration par parties comme suit : 2 a0 = π et pour tout entier n > 1. puisque la fonction g : R → R est continue donc sa série de Fourier converge en tout point x ∈ [−π. la série de Riemann X n>1 1 π2 = (2n + 1)2 8 2) Dans cette exemple. la série de Riemann n>1 X 1 π2 = 2 n 6 n>1 D’autre part. observons que la série de Riemann X 1 peut s’écrire sous la forme n2 n>1 X 1 X 1 1 π2 X 1 π2 X 1 = = + = + 2 2 2 6 n (2n) (2n + 1) 4 6 (2n + 1)2 n>1 n>0 n>1 n>1 Par conséquent. d’après le théorème de Dirichlet. an = = = = Z π 0 x2 dx = 2π 2 3 Z Z 1 π 2 2 π 2 x cos(nx)dx = x cos(nx)dx π −π π 0 Z π 2 h x2 sin(nx) iπ 2x sin(nx) − dx π n n 0 0 Z π 2 h 2x cos(nx) iπ 2 − cos(nx)dx 2 π n2 0 0 n (−1)n 4 2 n Ainsi. 3 n2 n>1 Suites et séries de fonctions . α] si x ∈]α. Soit f : R → R une fonction de classe C 2 . après simplification on conclut que la série de Riemann X 1 π4 = n4 90 n>1 Exercice 99. 2) A l’aide du théorème de Parseval montrer que si pour tout réel t ∈ [0. (2n + 1)3 n6 n>0 n>1 Exercice 101. Bouarich | f (t) |6| f ”(t) | Suites et séries de fonctions . Soit f : R → R la fonction 2π-périodique définie pour tout réel x ∈ [−π. On définit sur R une fonction 2π-périodique ( π 2 f (x) = 0 si x ∈ [−α. 2π]. cn (f ′ ) et cn (f ”) les coefficients de Fourier complexes de f (x). Soit α ∈]0. 2π − α[ 1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f (x). 2) Déterminer la somme de la série de Fourier de f (x). observons que si on applique la formule de Parseval ` a la fonction g(x) et ` a ses coefficients de Fourier on obtient : Z 1 π 4 (a0 )2 X + x dx = (an )2 π −π 2 n>1 2π 4 5 2π 4 X 16 + 9 n4 n>1 = Ainsi. 1) Calculer les coefficients de Fourier cn (f ′ ) et cn (f ”) en fonction de cn (f ). 2π-périodique et telle que Z 2π f (t)dt = 0 0 On désigne respectivement par cn (f ). X 3) En déduire la somme des deux séries numériques X 1 (−1)n et . si on porte x = 0 dans la série de Fourier précédente on obtient la somme X (−1)n−1 n2 n>1 = π2 12 Enfin. π[ un réel fixé. X sin(nα) n>1 et n X sin2 (nα) n>1 n2 Exercice 100. 1) Calculer les coefficients de Fourier de f (x). 2) La série de Fourier converge-t-elle sur R ? 3) Déterminer en fonction de α la somme de chacune des séries numériques.Problème de convergence des séries de Fourier 105 Donc. A. π] par f (x) = x3 − π 2 x. de sa fonction dérivée première f ′ (x) et de sa dérivée seconde f ”(x). ∀n > 2. 0 0 4) Dans quel cas l’égalité a-t-elle lieu ? A.106 Les séries de Fourier alors les coefficients de Fourier cn (f ) = 0. Z 2π Z 2π 3) A l’aide du théorème de Parseval montrer que | f (t) | dt 6 | f ′ (t) |2 dt. 2π]. ∀t ∈ [0. En déduire qu’il existe θ ∈ [0. Bouarich Suites et séries de fonctions . 2π] et a ∈ R+ tels que f (x) = a cos(t + θ). 100 Convergence simple. 71 Fonction de Bessel d’indice entier. 85 Somme de deux séries entières. 19 Reste d’ordre n d’une série. 12 Série entière. 82 ´ Equation différentielle ordianire.Index Cercle de convergence. 4 Série de Bertrand. 28 ´ Ecart quadratique. 57 Série entière de Taylor. 44 Limite supérieure. 58. 60 Règle de Cauchy. 14 Série de Fourier complexe. 28. 60 Coefficients de Fourier. 8 Produit de Cauchy de deux séries entières. 30 Critère d’équivalence des séries. 11 Composition de deux séries entières. 62 Limite simple. 36 Identité de Parseval. 94 Premier critère de comparaison des séries. 6 Série numérique. 20 Séries géométriques. 20 Série alternée. 62 Formule de Stirling. 8 Limiet inférieure. 88 Comparaison d’une série avec une intégrale simple généralisée. 9 Série absolument convergente. 17 Règle de Duhamel. 71 Formule de Hadamard. 10 Critère de convergence d’Abel. 68 Rayon de convergence. Bouarich Noyau de Dirichlet. 7 Séries trigonométriques. 67 Somme partielle. 100 ´ Equation différentielle. 62 Disque de convergence. 79 ´ Equation différentielle singulière. 84 Fonction de Bessel d’indice non entier. 87 Série de Riemann. 28 Convergence uniforme. 19 Règle de Gauss. 88 Série de Fourier d’une fonction périodique. 84 Fonction développable en série entière. 79 ´ Equation différentielle de Bessel. 16 Règle de D’Alembert. 68 Conditions de Diriochlet. 4 Suite de fonctions. 60 Domaine de convergence. 102 Inégalité de Bessel. 71 Série harmonique. 23 Critères de comparaison des séries. 22 Série convergente. 28 Second critère de comparaison des séries. 26 Formule du double limites. 4 Suites et séries de fonctions . 86 Coefficients de Fourier complexes. 101 A. 4 Série semi-convergente. 45 Convergence quadratique. 95 Convergence normale. 82 Fonction analytique. 30 A. 22. 49 Théorème de dérivabilité. 58 Théorème d’intégrabilité. 37 Théorème de continuité de la convergence uniforme. 45 Uniformément de Cauchy. 40 Théorème d’Abel.108 INDEX Théorème d’Hadamard. 49 Théorème de continuité. 52 Théorème de Weierstrass. 35 Théorème de dérivabilité. 95 Théorème de Liebniz. 49 Théorème de Dirichlet. 50. Bouarich Suites et séries de fonctions . 63 Théorème d’intégrabilité. Documents Similar To Poly Suites Series FonctSkip carouselcarousel previouscarousel nextSéries NumériquesSéries numériquesCours - Series Numeriques 3506 SeriesNumeriques CorrigeserieSeriesserinumrS_©ries num_©riquesserie.pdfL2-Analyse3-Chap1.pdfAnalyseCours - Series NumeriquesVideoEcoS2Chap2.pdfCPGEfic00122Resume Anayse 2 CPICours Complet Math FinSeries NumeriquesResume de Cour Analyse 1 (2)Analyse 3ch1ch4 (1)serliTD1_SeriesNumCCP_2004_MP_M1_c.pdfmath les sériesIntégrale généraliséeL2-Analyse3-Chap1... fortCours BtsKHATMIADAADE65d01Suite Et SerieklMore From Ahmad ElhamriSkip carouselcarousel previouscarousel nextLaplace CoursClimatisation Passivebiomasse2014-20152013 Wind RoseBoukaroura Abdelkader831 PresentationFard 2 Fasl 2 Sana 2 SeExportCalcul Réacteurs-CHAP 3EDP Ordre1Photovoltaique GETInitiation LatexListe 3 Principale CHIloi4709eeDecret Loi13 09TD5 CorrectionConduction PDFLes Unités Des Énergies Et La Conversion Desمنتديات ستار تايمز_ __•♥•__الجديد فــي عمـل الأنظمـة الوهــمية _ Vmware Workstation 12 pro__•♥•__Chap2منتديات ستار تايمز_ حصـــــ النسخة النهائية من برنامج أوفيس 2016 ـــــرياchap12dfgdhtCours CristallographieSM2-Atomes_1011Polycopie Travaux PratiqueArt12-4_2StdONDULEURExercices Et Probleme Corriges - Chimie 1Footer MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK

Comments

Description