PROF.GILBERTO SANTOS JR POLINÔMIOS 1 . INTRODUÇÃO Observe as figuras seguintes e suas dimensões: A primeira figura é um retângulo de dimensões x e x + 3, cujo perímetro é indicado pela expressão: 2x + 2(x + 3) 4x + 6 e cuja área é indicada por: x(x + 3) x 2 + 3x A segunda figura é um cubo com aresta de medida x, cuja área total é indicada por: 6x 2 e cujo volume é expresso por: x 3 A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é: 6(x + 2) 2 6(x 2 + 4x+ 4) 6x 2 + 24x+ 24 cujo volume é expresso por: (x + 2) 3 x 3 + 6x 2 + 12x+ 8 Todas essas expressões são chamadas expressões polinomiais ou polinômios e serão objeto de estudo dessa apostila. 2 . DEFINIÇÃO Chamamos de expressão polinomial na variável real x toda expressão da forma: a n x n + a n - 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 em que: - a n , a n - 1 , a n - 2 , ..., a 2 , a 1 , a 0 são números reais denominados coeficientes; - n é um número inteiro positivo ou nulo; - O maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o grau da expressão; x + 2 x + 2 x + 2 x x x x + 3 x Veja, por exemplo, as expressões polinomiais apresentada na introdução do capítulo: 1ª) 4x + 6: expressão polinomial do 1º grau (grau 1). 2ª) x 2 + 3x: expressão polinomial do 2º grau (grau 2). 3ª) x 3 : expressão polinomial do 2º grau (grau 3). 4ª) 6x 2 + 24x + 24: expressão polinomial do 2º grau (grau 2). Pela definição não são exemplos de expressão polinomial: 1ª) x -2 + 3x -1 + 1, pois o expoente da variável x não pode ser negativo. 2ª) x 3 + 2 x 1 + x 1 , pois a variável x não pode aparecer no denominador. 3 . FUNÇÃO POLINOMIAL As funções definidas por expressões polinomiais são denominadas funções polinomi- ais. Assim: 1ª) f(x) = 2x – 1 é um função polinomial de grau 1. 2ª) g(x) = 3x 2 – 2x – 1 é um função polinomial de grau 2. 3ª) h(x) = x 3 - 6x 2 + x – 1 é um função polinomial de grau 3. 4ª) p(x) = x 4 - x 2 é um função polinomial de grau 4. Então, toda função polinomial definida por: f(x) = a n x n + a n - 1 x n – 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 para todo x real, é denominada função polinomial de grau n, em que n é um número inteiro positivo ou nulo. Se o grau de uma função polinomial for 0, então a função é definida por f(x) = a 0 , com a 0 e R, que é uma função constante. Exemplos: 1º) f(x) = 5 2º) f(x) = -2 3.1 Polinômios Polinômio é o nome dado à expressão que define a função polinomial. Assim, na função f(x) = 2x + 1, o polinômio é a expressão 2x + 1 e, na função g(x) = x 2 – 3x – 4, o polinômio é x 2 – 3x – 4. Como é corrente o uso da palavra polinômio em lugar de função polinomial, daqui em diante chamamos as funções polinomiais simplesmente de polinômios. Exemplos: 1º) p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio constante. 2º) p(x) = 2x + 1 é um polinômio do 1º grau. 3º) p(x) = x 2 – 5x + 6 é um polinômio de grau 2. 3.2 Polinômio zero ou nulo Se considerarmos o polinômio constante especial p(x) = 0 como função polinomial, en- tão p(x) será denominado polinômio zero ou nulo. Dizemos que o polinômio zero ou nulo não tem grau. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) Verifique se são polinômios: a) p(x) = 2x 3 + x + 4 sim b) s(x) = 3 x + 2 x - 1 não c) r(x) = x -2 + 3x -1 + 4 não d) h(x) x 5 – 1 sim e) q(x) = 4x 5 – 1 sim f) p(x) = 2 sim g) g(x) = 2 x 1 - 3x não h) q(x) = x 3 – x 2 + 2x – 2 sim 2) Para que valores de a e R o polinômio p(x) = (a 2 – 9)x 2 + (a + 3)x + 5 é do 1º grau? R: a = 3. 3) Em que condições o grau do polinômio p(x) = (a + 2)x 2 + (b – 3)x + (c – 1) é 0? R: a = -2 e b = 3. EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 4)(UEPA-2014) Uma empresa que fornece serviços de transporte rápido de São Paulo para Belém dispõe de três tamanhos de caixas para envio de objetos, conforme ilustrado abaixo. O polinômio de variável x, indicado por C(x) que representa a soma dos volumes das três caixas dessa empresa é: a) C(x) = x 3 + 2x 2 + x b) C(x) = x 3 + 4x 2 + x c) C(x) = x 3 + 2x 2 + 8x d) C(x) = x 3 + 2x 2 + 16x e) C(x) = x 3 + 4x 2 + 32x x 5)(MARK-SP) Determine m e R para que o polinômio p(x) = (m – 4)x 3 + (m 2 – 16)x 2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2. R: Não existe m 6)(MARK-SP) Calcule os valores de m, n e para os quais o polinômio p(x) = (2m -1)x 3 – (5n – 2)x 2 + (3 - 2 ) é nulo. R: m = 1/2, n = 2/5, = 3/2 4 . VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIOS Considere um polinômio p(x) e um número real o . O valor numérico do polinômio p(x) para x = o é o número que se obtém substituindo x por o e efetuando os cálculos necessários. Indica-se por p(o ). Então, p(o ) é o valor numérico de p(x) para x = o . Exemplos: 1º) O valor numérico de p(x) = 2x 2 – 3x + 5 para x = 4 é: P(4) = 2(4) 2 – 3(4) + 5 = 32 – 12 + 5 = 25 Logo, p(4) = 25. 2º) Dado p(x) = 4x 3 – 3x 2 + 5x – 10, o valor de p(x) para x = 3 é: P(3) = 4(3) 3 – 3(3) 2 + 5(3) – 10 = 108 – 27 + 15 – 10 = 86. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7) Dado p(x) = x 4 – x - 3, calcule p(- 2). R: 15 8) Dados p(x) = -3x 3 + x 2 + x – 2 e g(x) = x 3 – x 2 + x – 2. R: 1 9) Determine o polinômio p(x) do 1º grau tal que p(5) = 13 e p(3) = 7. R: p(x) = 3x – 2 10) Um polinômio p(x) é do 2º grau. Sendo p(1) = 0, p(2) = 7 e p(-1) = 4, escreva o poli- nômio p(x) e calcule p(0). R: p(x) = 3x 2 – 2x – 1; p(0) = -1 11) Consideremos o polinômio p(x) = 2x 3 – 6x 2 + mx + n. Se p(2) = 0 e p(- 1) = -6, calcule os valores de m e n. R: m = 2 e n = 4 EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 12)(FEI-SP) Sendo p(x) = ax 4 + bx 3 + c e q(x) = ax 3 – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. R: a = 1, b = -1 e c = 0 5 . IGUALDADE DE POLINÔMIOS Dizemos que dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus valores numéricos são iguais para todo o e R. Assim: p(x) = q(x) · p(o ) = q(o ) R) ( e ¬o Em consequência, dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, têm o mesmo grau e os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais. Exemplo: Dados os polinômios p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d e q(x) = 2x 3 + 5x 2 – 4x + 3, te- mos: p(x) = q(x) · a = 2, b = 5, c = -4 e d = 3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13) Determine os valores de a, b, c, d e e de modo que os polinômios p(x) = ax 4 + 5x 2 + dx – b e g(x) = 2x 4 + (b – 3)x 3 + (2c – 1)x 2 + x + e sejam iguais. R: a = 2, b = 3, c = 3, d = 1, e = -3 14) Dados p(x) = (mx 2 + nx +p)(x + 1) e g(x) = 2x 3 + 3x 2 – 2x – 3 determine os valores de m, n e p para que se tenha p(x) = g(x). R: m = 2, n = 1, p = -3 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 15)(PUC-SP) Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha (m + n + p)x 4 – (p + 1)x 3 + mx 2 + (n – p)x + n = 2mx 3 + (2p + 7)x 2 + 5mx + 2m. R: m = 1, n = 2, p = -3 5 . RAIZ DE POLINÔMIOS Já sabemos que p(α ) é o valor numérico do polinômio p(x) para x = o . Se p(o ) = 0, então o número o é raiz do polinômio p(x). Exemplos: 1º) Dado o polinômio p(x) = x 2 – 7x + 10, temos: P(5) = 0 ¬ 5 é raiz de p(x) P(3) = -2 ¬ 3 não é raiz de p(x). 2º) Dado o polinômio p(x) = x 3 – 3x 2 + 2, temos: P(1) = 0 ¬ 1 é raiz de p(x) P(3) = 2 ¬ 3 não é raiz de p(x). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 16) Verifique se o número 3 é raiz do polinômio p(x) = x 3 – 3x 2 + 2x – 6. R: sim 17) Sabendo que -3 é raiz de p(x) = x 3 – 4x 2 – ax + 48, calcule o valor de a. R: a = 5 18) O polinômio p(x) = x 3 + ax 2 + bx admite as raízes 6 e 1. Calcule os coeficientes a e b. R: a = -7, b = 6 6 . OPERAÇÃO COM POLINÔMIOS Por meio de exemplos, vamos retomar operações conhecidas no estudo de expressões algébricas, como adição, subtração e multiplicão de polinômio. Em seguida, estudaremos mais detalhadamente a divisão de polinômios. 1ª) Se p(x) = 3x 2 + 2x – 1 e q(x) = -x 3 + 4x 2 – 2x – 5, temos: p(x) + q(x) = -x 3 + (3 + 4)x 2 + (2 – 2)x + (-1 – 5) = -x 3 + 7x 2 – 6. 2ª) Se p(x) = 3x 2 - 4x + 1 e q(x) = 5x 2 – 3x + 4, temos: p(x) – q(x) = 3x 2 - 4x + 1 - 5x 2 + 3x – 4 = -2x 2 - x – 3. 3ª) Se p(x) = 2x 3 - 4x 2 + 5x - 3, temos: 7.p(x) = 7(2x 3 - 4x 2 + 5x – 3) = 14x 3 - 28x 2 + 35x - 21. 4ª) Se p(x) = 3x - 4 e q(x) = –2x + 5, temos: p(x) . q(x) = (3x – 4)(–2x + 5) = -6x 2 + 15x + 8x – 20 = -6x 2 + 23x – 20. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19) Dados os polinômios p(x) = x 2 – 4x + 3, q(x) = -2x + 4 e r(x) = 2x 3 – 4x + 5, calcule: a) p(x) + r(x) R: 2x 3 + x 2 – 8x + 8 b) q(x) – p(x) R: -x 2 + 2x + 1 c) -4r(x) R: -8x 3 + 16x - 20 d) p(x) . q(x) R: -2x 3 + 12x 2 – 22x + 12 e) (q(x)) 2 R: 4x 2 - 16x + 16 20) Determine os valores de a, b, e c para que se verifique a igualdade [ax 2 + (2a + b)x + 2b] + [cx 2 + (3 – 2c)x – 6] = 2x 2 – 4. R: a = 0, b = 1, c = 2 21) Sabendo que 2 - x x 8 7x 1 - x b 2 x a 2 + + = + + , determine os valores de a e b. R: a = 2, b = 5 22) Sabendo que p(x) = x 1 - 0 0 x 1 - c b a e g(x) = 4 1 (x – 3)(x + 5), determine os valores de a e b para que p(x) = g(x). R: a = 1/4, b = ½, c = -15/4 6 . DIVISÃO DE POLINÔMIOS Dados dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinômios q(x) e r(x) que satisfaçam as seguintes condições: 1ª) p(x) = h(x)q(x) + r(x); 2ª) o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o grau de h(x) ou então r(x) = 0. Assim dizemos que: - p(x) é o dividendo; - h(x) é o divisor; - q(x) é o quociente; - r(x) é o resto. Para efetuar a divisão de polinômios usaremos o método da chave, semelhante ao empregado para números inteiros. 6.1 Método da chave Consideremos a divisão de 337 por 8: 1º) 337 8 2º) 337 8 4 - 32 4 1 33 : 8 ÷ 4 4 . 8 = 32 33 – 32 = 1 (subtraindo ou somando com sinal trocado) 3º) 337 8 4º) 337 8 - 32 42 - 32 42 17 17 -16 1 17 : 8 ÷ 2 2 . 8 = 16 17 – 16 = 1 Observemos que: dividendo + 337 = di vi sor + 8 . quociente + 42 + resto + 1 Vamos utilizar a mesma técnica para a divisão de polinômios: 1º) x 2 – 5x + 6 x - 3 x x 2 : x = x 2º) x 2 – 5x + 6 x - 3 - x 2 + 3x x – 2x + 6 Trocando o sinal: - x 2 + 3x 3º) x 2 – 5x + 6 x - 3 - x 2 + 3x x - 2 – 2x + 6 -2x : x = -2 4º) x 2 – 5x + 6 x - 3 - x 2 + 3x x - 2 – 2x + 6 2x - 6 0 -2(x – 3) = -2x + 6 Trocando o sinal: 2x - 6 Verificamos que: dividendo + + 6 5x - x 2 = divisor + ÷ 3) (x . quociente + 2) - (x Quando r(x) = 0, dizemos que a divisão é exata e o polinômio p(x) é divisível pelo polinômio h(x). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 23) Usando o método da chave, efetue a divisão de p(x) por h(x) quando: a) p(x) = x 2 + 4x + 3 e h(x) = x + 1. R: q(x) = x + 3; r(x) = 0 b) p(x) = x 3 + x 2 - x + 1 e h(x) = x + 4. R: q(x) = x 2 – 3x + 11; r(x) = -43 c) p(x) = 2x 3 + x - 1 e h(x) = x - 1. R: q(x) = 2x 2 + 2x + 3; r(x) = 2 d) p(x) = 7x 3 + 30x 2 – 40x + 15 e h(x) = x 2 + 5x - 6. R: q(x) = 7x - 5; r(x) = 27x - 15 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 24)(Cesgranrio-RJ) Sabendo que polinômio p(x) = x 3 + 2x 2 + mx + n é divisível por h(x) = x 2 + x + 1, calcule o valor de m + n. R: 3 6.2 Divisão por x – a – Dispositivo prático de Brio-Ruffini Usando o método da chave, vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x 2 – 5x 2 + x – 2 por h(x) = x – 2. 3x 3 - 5x 2 + x - 2 x - 2 - 3x 3 +6x 2 3x 2 + x + 3 x 2 + x - 2 -x 2 + 2x 3x - 2 -3x + 6 4 Assim temos: q(x) = 3x 2 + x + 3 r(x) = 4. Há, porém, um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do tipo x – a de uma maneira mais simples e rápida: é o chamado dispositivo prático ou algoritmo de Briot-Ruffini. Termo constante do divisor, com sinal trocado a Coeficiente de x do dividendo p(x) Termo constante do dividendo P(x) Coeficiente do quociente Vejamos o roteiro desse dispositivo prático, efetuando a divisão de p(x) = 3x 2 – 5x 2 + x – 2 por h(x) = x – 2. 1º) 2 3 -5 1 -2 2º) 2 3 -5 1 -2 + 3 3º) 2 3 -5 1 -2 + 6+(-5) + 3 1 4º) 2 3 -5 1 -2 + 6+(-5) 2+1 + + 3 1 3 5º) 2 3 -5 1 -2 + 6+(-5) 2+1 6+(-2) + + + 3 1 3 4 Pelo quadro, temos: q(x) = 3x 2 + x + 3 r(x) = 4 O mesmo resultado obtido pelo método da chave. Logo: 3x 3 – 5x 2 + x – 2 = (x – 2)(3x 2 + x + 3) + 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 25) Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de: a) p(x) = 5x 2 - 3x + 2 por h(x) = x + 3. R: q(x) = 5x - 18; r(x) = 56 b) p(x) = 2x 4 + 7x 3 – 4x + 5 por h(x) = x + 3. R: q(x) = 2x 3 + x 2 - 3x + 5; r(x) = -10 c) p(x) = x 4 + 3x 2 + x - 5 por h(x) = x + 2. R: q(x) = x 3 - 2x 2 + 7x - 13; r(x) = 21 d) p(x) = 2x 3 - 7x 2 + 2x + 1 por h(x) = x - 4. R: q(x) = 2x 2 + x + 6; r(x) = 25 e) p(x) = 2x 3 - 10x 2 + 8x - 3 por h(x) = x - 5. R: q(x) = 2x 2 + 8; r(x) = 37 f) p(x) = x 2 - 2x + 1 por h(x) = 3x + 1. R: q(x) = x/3 – 7/9; r(x) = 16/9 g) p(x) = 2x 3 - 3x 2 + x + 2 por h(x) = 2x - 1. R: q(x) = x 2 - x; r(x) = 2 26) Calcule o valor de a, sabendo que: a) p(x) = 2x 3 + 4x 2 - 5x + a é divisível por h(x) = x - 1. R: a = -1 b) p(x) = 2x 3 + ax 2 + (2a +1)x + a + 3 é divisível por x + 4. 6.3 Teorema de D’Alembert O resto da divisão de um polinômio p(x) por x – a é p(a). Exemplo: Vamos determinar o resto da divisão p(x) = x 3 – x 2 – 2x + 3 por x + 2 pelo dispo- sitivo prático de Briot-Ruffini: -2 1 -1 -2 3 1 -3 4 -5 Verificando o teorema de D’Alembert: p(x) = x 3 – x 2 – 2x + 3 ¬ ¬ p(-2) = (-2) 3 – (-2) 2 – 2(-2) + 3 = = -8 – 4 + 4 + 3 = -5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 27) Calcule o resto da divisão de: a) p(x) = 2x 3 – 4x 2 + x – 1 por h(x) = x – 1; R: r(x) = -2 b) p(x) = 2x 3 – x 2 + 5x – 3 por h(x) = x – 4; R: r(x) = 129 c) p(x) = x 4 + 2x 2 - x – 5 por h(x) = x + 3; R: r(x) = 97 28) Verifique se o polinômio p(x) = x 2 – 3x + 2 é divisível por x + 3. Não, r(x) = 20 29) Calcule o valor de a para que o polinômio p(x) = x 2 – ax + 2 seja divisível por h(x) = x – 2. R: a = 3 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 30)(PUC-SP) Calcule o valor de a para que o resto da divisão do polinômio p(x) = ax 3 – 2x + 1 por h(x) = x – 3 seja igual a 4. R: a = 1/3 31)(ITA-SP) Determine os valores de a e b para que os polinômios p(x) = x 3 – 2ax 2 + (3a + b)x e g(x) = x 3 – (a + 2b)x + 2a sejam divisíveis por h(x) = x + 1. R: a = -3/7, b = 8/7 6.4 Teorema do fator Se c é uma raiz de um polinômio p(x), de grau n > 0, então x – c é um fator de p(x). Demonstração: Pelo teorema de D’Alembert, a divisão de p(x) por x – c resulta um quocien- te q(x) e um resto p(c) tal que: p(x) = (x – c)q(x) + p(c) Se c é uma raiz de um polinômio p(x), então p(c) = 0 e temos: p(x) = (x – c)q(x) Portanto, x – c é um fator de p(x). Como consequência, podemos dizer que p(x) é divisível por (x – a) e por (x – b), com a = b, se, e somente se, p(x) for divisível por (x – a)(x – b). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32) Mostre que x – 6 é um fator de p(x) = x 3 – 6x 2 + x – 6 e calcule o quociente de p(x) por x – 6. R: q(x) = x 2 + 1 33) Mostre que x + 4 é fator do polinômio p(x) = x 3 – x 2 – 18x + 8 e calcule o quociente de p(x) por x + 4. R: basta mostrar que p(-4) = 0, q(x) = x 2 - 5x + 2 34) Dado p(x) = x 3 + x 2 – 10x + 8, determine p(x) para x = 3, x = 2 e x = 0. A seguir, escreva p(x) como produto de dois fatores. R: p(3) = 14; p(2) = 0; p(0) = 8, q(x) = x 2 + 3x – 4, logo x 3 – x 2 – 10x + 8 = (x – 2)(x 2 + 3x – 4) 35) Dado p(x) = 2x 3 + x 2 – 5x + 2, determine p(x) para x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 e x = 2. A seguir, escreva os fatores de p(x). R: p(-2) = 0; p(-1) = 6; p(0) = 2, p(1) = 0, p(2) = 12; 2x 3 + x 2 – 5x + 2 = (x + 2)(x – 1)(2x – 1) 36) Verifique se é exata a divisão de p(x) = x 3 + 2x 2 – x – 2 por (x + 2)(x + 1). R: m = -2; n = 0 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 37)(Fumec) Determine m e n de modo que p(x) = 2x 4 – x 3 + mx 2 – nx + 2 seja divisível por (x - 2)(x + 1). R: m = -2; n = 0 38)(UFPB) O polinômio p(x) = x 4 – 4x 3 + mx 2 + 4x + n é divisível por (x - 1)(x - 2). Calcu- le o valor de 5m + 2n. R: 7 39)(FEI-SP) Dado o polinômio p(x) = 4x 4 – 5x 2 – 3bx + a, calcule os valores de a e b de modo que p(x) seja divisível por g(x) = x 2 – 1. [sugestão: faça x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1)] R: a = 1; b = 0 40)(Unicamp-SP) Determine o quociente e o resto da divisão de x 100 + x + 1 por x 2 – 1. R: q(x) = x 98 + x 96 + x 94 + ... + 1; R(x) = x + 2 6.5 Polinômios de Coeficiente e Variáveis Complexos No estudo dos polinômios foram considerados como coeficientes números reais para uma variável também real. Podemos ampliar esse estudo para polinômios com coeficientes complexos para uma variável complexa. Exemplos: 1º) p(x) = 3x 2 + 4x + (3 – 2i) é um polinômio. 2º) O número i é raiz do polinômio p(x) = x 2 + 1, ou seja, p(i) = 0. 3º) Se p(x) = x 3 – (4 + 2i)x 2 + 9ix + 2 e h(x) = x – 2i, podemos efetuar p(x):h(x) usando o algoritmo de Briot-Ruffini: 2i 1 -4 - 2i 9i 2 1 -4 i 0 Então, p(x):h(x) = x 2 – 4x + 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 41) Dado o polinômio p(x) = x 3 – 2x 2 + 3x – 2i, calcule p(i) e p(2). R: 2 e 6 – 2i 42) Efetue a divisão de p(x) = 3x 3 – 2x 2 + ix – 3i por (x + i). R: h(x) = 3x 2 + (-2 – 3i)x + (-3 + 3i); r(x) = 3 43) Determine o valor de a para que o número 1 – i seja raiz do polinômio p(x) = x 2 – 2x + a. R: a = 2 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 44)(PSS-2006) O polinômio P(x) de menor grau, de coeficientes reais, com coeficiente da variável de maior grau igual a 1, que tem 3 e (2 – i) como raízes, sendo i a unidade imaginá- ria, terá o resto de sua divisão por (x – 1) igual a R: (a) (a) - 4 (c) - 1 (d) 4 (b) - 2 (d) 2 7 . EQUAÇÕES POLINOMIAIS 7.1 Definição Denomina-se equação polinomial ou algébrica toda equação que pode ser escrita na forma: a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0, com a n = 0, em que os a i (a n , a n – 1 , ..., a 2 , a 1 , a 0 ) são elementos do conjunto dos números complexos, n e N * e n é o grau da equação. Exemplos: 1º) 3x + 1 = 0 é uma equação do 1º grau. 2º) x 2 – 3x – 4 = 0 é uma equação do 2º grau. 3º) x 3 - 2x 2 + x – 2 = 0 é uma equação do 3º grau. 4º) x 4 - 2x 3 + x 2 + 2x – 2 = 0 é uma equação do 4º grau. 5º) 3x 2 – 2ix + 1 = 0 é uma equação do 2º grau. 7.2 Raiz ou Zero de uma equação polinomial Denomina-se raiz ou zero da equação polinomial a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0, o valor o de x que satisfaz a igualdade, ou seja, o valor tal que: a n o n + a n - 1 o n - 1 + ... + a 1 o + a 0 = 0, Exemplos: 1º) x 2 – 7x + 10 = 0 admite x = 5 como raiz: 5 2 – 7.5 + 10 = 25 – 35 + 10 = 0. 2º) x 4 + x 3 - x 2 – 4 = 0 admite x = -2 como raiz: (-2) 4 + (-2) 3 – (-2) 2 – 4 = 16 + 8 – 4 – 4 = 0 7.3 Determinação das raízes de uma equação O objetivo é determinar o conjunto solução formado pelas raízes de uma equação, ou seja, resolver equações da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio. Já sabemos resolver equações do 1º e 2º grau por meio de simples fórmulas, além de algumas de grau maior que 2 por meio de fatoração ou outro artifício. - ax + b = 0 (com a = 0) ¬ x = a b - (raiz da equação de 1º grau); - ax 2 + bx + c = 0 (com a = 0) ¬ ¬ x = 2a b - A ± (raiz da equação de 2º grau), em que A = b 2 – 4ac. Durante muito tempo, esforços foram feitos ara encontrar fórmulas que permitissem resolver qualquer equação de grau maior que 2. Como exemplos: - x 3 – 6x 2 – 7x + 60 = 0 - x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0. Verificou-se, por fim, que o melhor meio de resolver essas equações polinomiais seria fazer estimativas de possíveis soluções. 7.4 Decomposição em fatores de primeiro grau Em 1799, Gauss demonstrou o teorema fundamental da Álgebra, que admitiremos sem demonstração: Toda equação p(x) = 0 de grau n (n > 1) possui pelo menos uma raiz complexa. Utilizando esse teorema podemos mostrar que os polinômios de grau n > 1 podem ser decompostos num produto de fatores do 1º grau. Exemplos: 1º) 2 é raiz de p(x) = x 2 + 3x – 10, pois p(2) = 0. Então, pelo teorema de D’Alembert, p(x) é divisível por x – 2 e temos: 2 1 3 -10 1 5 0 Logo q(x) = x + 5. Daí vem: p(x) = x 2 + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5). 2º) -1 é raiz de p(x) = x 3 - 2x 2 - x + 2, pois p(-1) = 0. Então, pelo teorema de D’Alembert, p(x) é divisível por x + 1 e temos: -1 1 -2 -1 2 1 -3 2 0 Logo q(x) = x 2 - 3x + 2. Daí vem: p(x) = x 3 - 2x 2 - x + 2 = (x + 1)(x 2 – 3x + 2). Resolvendo x 2 – 3x + 2 = 0, usando a fórmula de Báskara (por exemplo), obtemos 1 e 2, ou seja: x 2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2) Daí: p(x) = x 3 - 2x 2 - x + 2 = (x + 1)(x – 1)(x + 2). Seguindo esse processo n vezes, chegamos a: p(x) = a n (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) ... (x – x n ) em que x i são as raízes de p(x) e a n é o coeficiente de x n . Naturalmente: p(x) = 0 ¬ a n (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) ... (x – x n ) = 0 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 45) Calcule as raízes das seguintes equações: a) 3x – 12 = 0 R: S = {4} b) 2 x – 1 = 0 R: S = { 2 /2} c) -x 2 + 9 = 0 R: S = {-3, 3} d) x 2 – 6x + 10 = 0 R: S = {3 – i, 3 + i} e) x 2 + 4x + 4 = 0 R: S = {-2} f) x 2 - 2x + 2 = 0 R: S = {1 – i, 1 + i} 46) Utilizando fatoração, calcule as raízes das equações: a) x 3 – 4x 2 + 3x = 0 R: S = {0, 1, 3} b) x 3 + 2x 2 + x + 2 = 0 R: S = {-2, -i, i} c) x 3 + 2x 2 + 9x + 18 = 0 R: S = {-2, -3i, 3i} d) x 3 – 2x 2 + 2x = 0 R: S = {0, 1 - i, 1 + i} 47) Resolva as equações em R: a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 R: S = {-2, -1, 1, 2} b) x 6 – 3x 3 + 2 = 0 R: S = {1, 3 2 } 48) Uma das raízes da equação 2x 3 – 4x 2 – 2x + 4 = 0 é 1. Resolva a equação. R: S = {-1, 1, 2} 49) Resolva a equação x 4 – x 3 – 7x 2 + x + 6 = 0, sabendo que -2 e 1 são raízes da equação. R: S = {-2, -1, 1, 3} 50) Sabendo que 2 é raiz da equação x 3 + 2x 2 – 5x + c = 0, calcule o valor de c e o conjun- to solução da equação. R: c = -6; S = {-3, -1, 2} EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 51)(PUC-SP) Dado o polinômio f (x) = 1 0 x 1 - x 2 - 1 x x x x + , pedem-se: a) as raízes de f; R: S = {0, - 3 , 3 } b) o quociente e o resto da divisão de f por x 2 – 1. R: q(x) = x; r(x) = -2x 52)(PUC-SP) Sabendo que -2 é raiz do polinômio f(x) = x k 0 0 x 1 1 1 - x , em que x e C e k e R, determine: a) o valor de K; R: k = 10 b) as demais raízes do polinômio. R: S = {-2, 1 + 2i, 1 – 2i} 53)(Vunesp-SP) Se m é raiz do polinômio real p(x) = x 6 – (m + 1)x 5 + 32, determine o resto da divisão de p(x) por x – 1. R: r(x) = 30 EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 54)(UEPA-2014) Girolamo Cardano (1501–1576) apresentou no livro Ars Magna, demons- trações sobre como resolver equações cúbicas. Ele propôs para equações da forma x 3 + px+ q = 0 a solução 3 3 2 3 3 2 27 p 4 q 2 q - 27 p 4 q 2 q - x + + + + + = Sabe-se que Rafael Bombelli (1526–1572) estendeu às ideias de Cardano e encontrou uma das raízes da equação x 3 – 15.x – 4 = 0, o número 4. Nessas condições, a soma dos inver- sos das outras raízes dessa equação é: R: (e) (a) 4 (b) 2 (c) 0 (d) -2 (e) -4 7.5 Pesquisa de raízes racionais de uma equação de coeficientes inteiros Vimos que as equações polinomiais de grau maior que 2 não têm um processo deter- minado de resolução por meio de fórmulas. Devemos procurar, então, uma ou mais raízes para com elas encontrar todas as raízes. Propriedade que nos auxiliará na pesquisa das raízes: Se o número racional q p , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação de coeficien- tes inteiro: a n x n + a n - 1 x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 então p é divisor de a 0 e q é divisor de a n . Exemplo: Pesquise as raízes da equação 3x 3 + 2x 2 – 7x + 2 = 0 Resolução: Na equação dada, temos a 0 = 2 e a n = 3. p é divisor de 2 ¬ p e {-1, 1, -2, 2} q é divisor de 3 ¬ q e {-1, 1, -3, 3} Pela propriedade, as prováveis raízes racionais são: ) ` ¹ ¹ ´ ¦ e 3 2 , 3 2 - , 3 1 , 3 1 - 2, 2, - 1, 1, - q p Fazendo a verificação: p(-1) = 8 ¬-1 não é raiz; p(1) = 0 ¬1 é raiz, então p(x) é divisível por x – 1. A partir da descoberta, vem: 1 3 2 -7 2 3 5 -2 0 Logo, 3x 3 + 2x 2 – 7x + 2 = (x – 1)(3x 2 + 5x – 2). Resolvendo 3x 2 + 5x – 2 = 0 x’ = 3 1 e x” = -2 então, 3x 3 + 2x 2 – 7x + 2 = (x – 1) | . | \ | 3 1 - x (x + 2). Logo, s = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ 1 , 3 1 2, - . EXERCÍCIOS PROPOSTOS 55) Resolva a equação x 4 + x 3 – 7x 2 –x + 6 = 0. R: S = {-3, -1, 1, 2} 56) Determine as raízes inteiras da equação algébrica 2x 3 + 5x 2 – x – 6 = 0. R: S = {1, -2} EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 57)(PUC-SP) Quais são as raízes da equação 3x 3 – 13x 2 + 13x – 3 = 0? R: S = {1, 3, 1/3} 58)(FEI-SP) Resolva a equação cúbica x 3 – 2x 2 – 3x + 6 = 0. R: S = {2, 3 , - 3 } 59)(ITA-SP) Quais são as raízes inteiras da equação x 3 + 4x 2 + 2x – 4 = 0? R: -2 60)(EEM-SP) Determine as raízes da equação 7 2) (x 4x 1 - x 1 - x 2 4 + + = + . R: S = {2, -1 + 2i, -1 - 2i} 61)(Unicamp-SP) Ache todas as raízes (inclusive as complexas) da equação x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 = 0. R: S = {1, 1/2 – 3 /2.i, 1/2 + 3 /2.i, -1/2 – 3 /2.i, -1/2 + 3 /2.i} 62)(Fuvest-SP) Resolva a equação x 4 - 5x 3 + 13x 2 - 19x + 10 = 0, sabendo que o número complexo z = 1 + 2i é uma das suas raízes. R: S = {1 – 2i, 1 + 2i, 1, 2} “Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência aplicada que economiza traba- lho e torna a vida mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não aprendemos a nos ser- vir dela com bom senso”. Albert Einstein. Gostou da Apostila? Você a encontra no Blog: http://professorgilbertosantos.blogspot.com.br/ Link! Dê uma olhada.