Distribución probabilística de PoissonEn una distribución binomial cuando n es grande, por lo general mayor de cincuenta, y p, la probabiad de éxito de un suceso, se acerca a cero, mientras que q la probabilidad de fracaso, se aproxima a 1 de tal manera que el producto de np, llamado lambda A, es menor o igual a 5, debe utilizarse la . tribución de Poisson. Algunos autores consideran no sólo el hecho de que p sea muy pequeña, sino :ambién cuando p es tan grande que se aproxima a 1,también para A> 5, en ambos casos, se puede ::mlicar esta distribución. - fórmula es: Siendo . ..1,= np "Qi=hJmero = 2,71828 de casos le favorables. Generalmente se dice que la distribución de Poisson tiene su mayor aplicación, cuando en el erimento que se realiza ocurren sucesos llamados raros, los cuales se identifican con una probabi-d de éxito sumamente pequeña (p) y el número de observaciones (n) grande; pero I~ verdad es __ .J esta distribución se aplica a una variedad de situaciones diferentes, como las ocurrencias respeca un campo continuo, como área o tiempo. Algunos de estos eventos aleatorios ocurren en forma -ependiente a una velocidad dentro de un campo o intervalo, generalmente de tiempo o espacio. ,0 .. :::"::;:.::--: ,::,.:/,::,-:",_-,-, :e.e: '-'-;s;- '_," ••••• Son eje~e,l~.~p~.r~~elic~ciÓI1 de ladistribuCig~de,~oisson: el númérode personas que llegan ",-:..n aJmacéf1;¡R.~n9q'oaerbpoertoen tmtiempO detElrfl1inqdo;el número de lIamé,ldas telefónicas :.;x minuto; ·.el.·.n:: u :· • m·.· .~ .:· .·ro.: d Elqe.fectó .. s .. e.. n·p.ie ..zas .si·m .. j.t...•... a res. e ..nel mate .. rial, y. a sea por ce.ntím.e. t.r .. ocuao centí~~:\r~:·liRe~l;h~~erode ba.St~rias.~n un cultivo;.iinsecto~por·kiIómetro·cuad~ago;el - ":nero de fallá~\~e"uná l1}aq,-!!ría..durq~te una'l1oraó undía;:E)1 nún;¡e rodE) accidentes por día; el ero de re,s)~ITiBstRneio.~s>lisit'-!gE).~· a llDabori)pa.9Ja. de ~egurose(lun determinado período, ° .•- Como se~q~9~;g~sé~~.r;:sélra~~.81ball.~fl~pr~9~lJílidad de ocurrenciade cualquixrpúrnero e éxitos (X) IJÓrriDIg,~~#e ··I'li~diciórí(n:íihuto:\l1oia,qía\se ritírpetr9: .rri~trOretc;) yenestcis probleue se pres.'. §¡¡¡i~QR~r~~(¡ Sblllci<5ndal}'yli¡~lorªelpgráry1etr9Ian1Hdá ('X 1.0 SE:¡a.;el.·'.promedio - -azón de ocurréiiC;¡'~5t~féYeñfo' ~léátofjo'pBrlíJnidáadetierlípo ti espaciQy:élnúmero'de éxitos. )\:\r::::;"\J;@V:,:(~:::\.~,:-::Y;):H\,:_:~.::: :S!J.:)-:=:,),:'::'¡':'>:.ii::::{/:',-:/·{;':1h)'\;:i{:·':?:}»::-f:t:: :~:::::;;::,::,,<:;-:;:,:.,.;: ..-.:., .. , :.;~:';:-:;_ .. '.;.:.~:::~;.::;:::.; ;.::.':-:::.; <.; .;"'-':" ..•.." , ,' ,.- .. , ,_ :, .- ',--," ;<::". ,):: ;} :"i¿.( o,' ;-:::. ,:.e,_,:,:;, ::' "";,':',,, 'C_':'" '-> --o';> % de las bombiRas fabricadas por una compañía son defectuosas, _--"'. en una muestra de 100 bombillas, 3 sean defectuosas. "; A = 100 (0,01) = 1 hallar la probabilidad de x=3 P(X=3) 13e-1 1(0,36788) =-1-3. = --~3.2.1. =0,06131 = 6,13 % _ 1..27068) p( X~3) = 1.( 0.13534) 6 = 018045 = 18.13534) + 2' ( 0.10 q = 0. b) 1.03 ( 1 00 ) = 3 n = 100 a) p(X.04979 1 b) . Un 10 % de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabTicación resulta ser defectuoso. sean defectuosas. x = 3.13534) = 1.39% 2.001) = 2 n = 2.3)=Xi=-3-'-P(X~2) _ 8 (0. 4.001 q = 0.001.1937=19. determinar la probabilidad de que.13534)] b) =? .[20 ( 0.04 % ' 2.13534 + 0.27068 + 0. Solución: p = 0. a) exactamente 3.O) = 3° e-3 _ -0-' --- 1( 0.0. c) 2.4305 )=0.000 individuos. d)3. mediante: a) distribución binomial b) distribución de Poisson Solución: a) p = 0.000 2 ! + 22 (0.03 q = 0.3233 = 32. Si el 3 % de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas.000 a) ílX e-Á 23 e-2 p(X.000 (0. sean exactamente dos los defectuosos.04979) = 0. f) 5.1)=1 e-1 p( x. 2)= -2-'- (1)( 0.37% b) Distribución de Poisson x=2 12 íl=np=10(O.999 íl = 2.18394 = 18. 5.36788) = ---~ 2 = 0.97 íl = O. .01)( 0. Hallar la probabilidad de que de una muestra de diez utensilios. hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillas a) O. de un total de 2.2) =C~ (0.252 Ciro Martínez Bencardino Ejercicios resueltos 1. Solución: p = 0.90 n = 10 x=2 Distribución binomial P(X.67670 = 0. p( x ~2) O! ' 1.33 % 3. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0.9)8 =45( 0.1)2 (0. seleccionados al azar. b) más de 2 individuos tengan reacción. e) 4. 8 = 4.22404 _.14937 + 0.32 % ::1 número de ahogados en accidente. ) 2.04979) = 0.656(0...04979) = 0. P(1~X~3)= 0.002479) 8i = + 4$X~8)= 1.22405 + 0.6) = 66 P xX ?.002479) 68 ( 0.16803 4! f) p( X=5) = Con el problema anterior.65~13 002479l =. 2! 0.08388 = 8.002479) 66 (0.776(0. _ olución: p = 0.14937 + 0.04979 = 0. e) 2 a p( X>5) .002479) .3° (0. 720 720' = O1606= 16.04979) + p( x> p( X>5) 5) = 1.91612 = 0. 5.002479) 7. 24 .04979) + 1! 3° ( 0. 115.04979 ) 2! 3' ( 0.10082 5! bombillas p( X=4) = 34 (0. .000 ) = 6 n = 200. ·· .10082 )) = 1.04979) = 0.296(0..000 habitan.8. por año.00003 ¡ A.76 .-04-0-- 279.22405 = 0.39 % 3' (0.002479)_ 4.000 6° e-6 P X~O) 1(0.06 % 8! 40.04979 ) +--O!-- p( x ~ 2) = 0. 010326 = 10 33 % 6.04979)] Pr x 5) O! = 1-l. 4~X$8)=- 64 (0.04979) l' +--2-'--+--31-= 33 ( :. ······100 5! + 35 (0.16804 + 0.936 (0.002479) 41 + 5! +-'-6-'---+---7'--+ 67 (0.22405 + 0.O 32 P(XS2)= 0.002479) = 0. _ 6) = 68 ( 0.002479 b) p( X=2 j 62 ( = -0-' .00003 ( 200.6~ 6.75 % ( x=2.0.044622 p¡ x. f) menos de 3 ahogados por año.320' .42321 = 42. 7.163.002479) 65 (0.002479) . = 0. 7.000 haya: a) O. e) 6.14937 + 0.22405 + 0.04979) p( 1~ X ~3) 0.04979) 32 (0.es.:9024~ = ~6. = 0. =? x = 6.d cuya p0blación es de 200.[( 0.320 40.22404 2! d) p( x =3) = 33 35 ( ( 0.+---12-0---·+----72-0·---+---5. en un país X es de tres por cada 100.002479) = 1.= ----1-( = . hallar la probabilidad de: o menos sean defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una ciud¿.22405 + 0. d) 8. Solución: a) más de 5. e) entre 4 y 8.04979 + 0.679.Capitulo VII. 'Distribuciones Probabilisticas Discretas y Contínuas 253 e) e) P(X=2)= 32 ( 0.59747 = 59.002479) .002479) 46. b) entre 1 y 3.1.04979) = 0.········· . 0. >.616( 0. 000 vehículos. Sí hay 6. en cualquier hora dada llegue más de uno. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de personas. El número de demandas presentadas a una compañía de seguros. ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos dos vehío los tengan problemas con las llantas? Supongamos que. presentan 10 accidentes cada trimestre. " 2. en un período de 30 minutos.8 clientes/hora. ¿cuál es la probabilidad de que: más de 3 casas se incendien durante el año? b) exactamente dos? El promedio de atracos en cierta ciudad es de dos por día.. a) por lo menos dos se acerquen al'especialista? b) no más de dos se acerquen al especialis.000 casas en dicha zona.000 asegurados contra este tipo de accidentes. en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente. a) exactamente 4 llamadas en un período de 30 segundos? b) como máximo dos llamadas en un período de 15 segundos? 13. El cierre de bancos por problemas financieros ha ocurrido a razón de 5.000 usuarias de tintes.000. b) por lo menos un Banco sea cerrado durante el semestre. de cada 2. En promedio. C la probabilidad de que en un día cualquiera.a11. una casa. Una compañía de seguros considera que solamente a alrededor del 0. en cierta zona de Buenos Aires. no se presente ninguna demanda? b) por lo menos se presenten dos demandas? La probabilidad de que un cajero se equivoque en el pago de un cheque es de 0. Se estima que una de cada 10. ¿cuál es la probabilidad de que 30. a) b) c) Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6. --a) de que en la primera media hora por lo menos lleguen 4 personas. la probabilidad de obtener: a) dos o menos artículos defectuosos? b) más de dos defectuosos? 6 . Las estadísticas sobre la aplicación de normas de seguridad en una fábrica indican que. haya: no más de tres atracos.500 artículos de un lote de producción que arroja 0. La empresa tiene 10. . Ejercicios para resolver (Ver respuestas al final del capítulo) 1. más de dos mueran? b) como máximo dos mueral'l? o a) 9. Calcule la probabilidad de que: 14. es la probabilidad de que durante un período de diez minutos. ¿cuál es probabilidad de que máximo tres de ellos sufran accidente? ¿cuá. Utilice la distribución de Poisson para determinar la probabilidad que no haya más de doce accidentes de trabajo en cada trimestre. Supongamos que de cada 5. ¿cuál es la probabj" que lleguen. ¿Cuál es la probabi de que en 800 cheques pagados por dicho cajero: por lo menos se equivoque en el pago de tres cheques? b) máximo se equivoque en dos? La tasa de mortalidad de cierta enfermedad es de tres por mil. a) 3.. en promedio. se incendia dura el año. a) 4.7 clausuras por año. Se toma una muestra de 1. Si 1. vehículos transitan por la autopista durante cierto día.01 % de la población le ocurre cierto. Calcule la probab.:¡ de accidentes cada año. b) a lo más dos atracos. en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes. a) a) 10. 7. a) encuentre la probabilidad de que ningún Banco sea cerrado durante un período de cuatro meses. en promedio. 15. 5. b) de que en los 10 primeros minutos no llegue ningún cliente.000 personas es alérgica a cierta sustancia utilizada en la fabricación de-para el cabello. dos tienen problemas con las llantas en una autopista.256 Ciro Martinez Benca.24% de defectuosos. Utilizando la distribución de Poisson.0005. a) por lo menos dos sufran reacciones alérgicas?' b) más de una sufra reacciones alérgicas? 12. determinar probabilidad de que en un día dado. El conmutador de una clínica recibe un promedio de 20 llamadas cada 2 minutos. Los clientes de una cafetería llegan a razón de nueve. doce personas por hora consultan a un especialista en decoración en un almacén de telas. en promedio (np) es de tres por día.